LINE RN ALGEBRU P STUJEME

Transkript

1
LUBO MOTL
MILO ZAHRADNK
[email protected]
[email protected]
PSTUJEME
LINE RN ALGEBRU
MATEMATICKO-FYSIKLN FAKULTA UK 1994
2
Obsah
I Zimn semestr
13
1 Prvn seznmen s pedmtem
15
1.1 Gaussova eliminace : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15
1.2 een soustav rovnic a objemy tles : : : : : : : : : : : : : : 18
1.3 V
poet objemu pravidelnho dvacetistnu : : : : : : : : : : 18
2 Kdo je grupa a tleso
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Grupa : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Permutace : : : : : : : : : : : : : : : :
eil vy byste rovnici ptho stupn? :
Nehmotn tlesa : : : : : : : : : : : :
Cayleyova sla : : : : : : : : : : : : :
Trisekce hlu pravtkem a krutkem :
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
27
27
31
35
37
40
42
3 Prostory pln vektor
45
4 Skalrn souin
59
5 Matice a linern zobrazen
69
6 Hodnost
77
3.1 Linern nezvislost : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47
3.2 Steinitzova vta : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51
3.3 Funkce typu spline : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55
4.1 Gramm-Schmidtova ortogonalisace : : : : : : : : : : : : : : : 65
4.2 Ortogonln doplnk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67
5.1 Nkter dal v
znan pklady matic : : : : : : : : : : : : : 75
6.1 Hodnost souinu, regulrn matice : : : : : : : : : : : : : : : 80
6.2 Ekvivalentn dkov pravy : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82
3
4
OBSAH
6.3 Frobeniova vta, eitelnost soustavy : : : : : : : : : : : : : : 84
7 Opertory v r
znch basch, stopa
89
7.1 Podobn matice, matice v rzn
ch basch : : : : : : : : : : : 89
7.2 Stopa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91
8 Determinant
8.1
8.2
8.3
8.4
Zkladn vlastnosti determinant : :
V
poet cirkulantu : : : : : : : : : :
Rozvoj determinantu podle sloupce :
Cramerovo pravidlo, een soustavy
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
93
98
104
105
107
9 Vlastn sla a vektory opertoru
109
II Letn semestr
119
10 Dldn a krystaly
121
11 Exponencila matice
131
9.1 Charakterisace isometri ve tech rozmrech : : : : : : : : : : 112
9.2 Pehled grup, Cartanida : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113
10.1 Penroseho pokryt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 124
10.2 Pklad trozmrnho kvasikrystalu : : : : : : : : : : : : : : 128
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
Aplikace na soustavu diferencilnch rovnic
Heisenbergv obraz : : : : : : : : : : : : : :
Vztah stopy a determinantu : : : : : : : : :
Taylorv vzorec : : : : : : : : : : : : : : : :
Poissonovo rozdlen : : : : : : : : : : : : :
Gaussova kivka : : : : : : : : : : : : : : :
Logaritmus matice : : : : : : : : : : : : : :
Hamiltonovy rovnice pro osciltor : : : : : :
12 Lieova algebra
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
Killingova forma a metrika :
Teorie representac : : : : : :
Kompaktn grupy : : : : : : :
Vhy a mky : : : : : : : :
Superalgebry a supersymetrie
Ob vyat grupa : : : : : :
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
137
138
139
141
142
144
145
146
149
153
154
161
168
170
172
OBSAH
5
13 Nilpotence, Jordan
v tvar
179
14 Positivn matice
201
15 Dualita
217
13.1 Base z etzc vektor : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 182
13.2 Jordanv tvar obecn matice : : : : : : : : : : : : : : : : : : 186
13.3 Polynomy a funkce matic : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 193
14.1 Perron-Frobeniova vta : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 202
14.2 Feynmanv integrl : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 207
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
Duln grupa : : : : : : : : : :
Duln grafy a tlesa : : : : : :
Dualita v geometrii : : : : : : :
Duln prostory : : : : : : : : :
Dualita a skalrn souin : : : :
Dualita ve funkcionln anal
ze
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
16 Spektrln rozklad, adjunkce
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
Fyzikln veliiny v kvantov mechanice :
Prostor Fourierov
ch ad : : : : : : : : :
Kvantov
harmonick
osciltor : : : : : :
Hermitovy polynomy : : : : : : : : : : : :
Legendreovy polynomy : : : : : : : : : : :
ebyevovy, Laguerrovy a dal polynomy
Diagonalisace konvolunho opertoru : :
17 Kvadratick svt
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
Bilinern a kvadratick formy : :
Matice kvadratick formy : : : :
Diagonalisace kvadratick formy
Signatura, denitnost : : : : : :
Kvadriky a kueloseky : : : : :
Vlnky a kdovn obrazu : : : : :
18 Dv maticov bagately
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
217
218
220
221
225
229
235
238
241
242
244
246
251
255
259
259
261
264
271
272
280
287
18.1 Pseudoinverse matice : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 287
18.2 Polrn rozklad opertoru : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 289
6
OBSAH
19 e tensor
293
19.1 Co jest tensor : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 293
19.2 Symetrick a antisymetrick tensory : : : : : : : : : : : : : : 306
19.3 Tensory v obecn relativit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 317
19.4 Spinory : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 322
19.5 Tensory a nezvisl jevy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 332
19.6 Epilog : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 336
(Text k obrzkm na oblce viz denici rovnobnostnu v kapitole Prostory pln vektor a t kapitolu Dldn a krystaly.)
N vod ke ten tchto skript
Texty psan antikvou tto velikosti jsou ureny i zatenkm (teba jako doplnk k pednce jednoho z autor tohoto textu) a obsahuj ltku,
kterou doporuujeme studentm vech druh studia libovolnho ronku na
MFF UK. Roziujc partie psan nkdy menm psmem1 a nkdy znakami (]) resp. (~) oznaujcmi zatek resp. konec dotyn roziujc partie!
jsou ureny pokroilejm, resp. vce motivovan
m tenm. Ani tyto partie
vak nevyaduj vt pedbn znalosti, snad krom ovldnut kalkulu!,
tzn. element diferencilnho a integrlnho potu { jako oblast, kter asto zasahuj sv
m tmatem. Skripta jsou psna dosti strun nejen z dvodu snahy udret rozsah v nosn
ch mezch!2 . #dn
pedmt nelze dobe
ovldnout bez jistho vlastnho tvrho! sil. Partie vynechan se slovy doka te si sami! nedoporuujeme peskakovat, pokud by teni nebyla
vc dost jasn, i kdy to teba jet neum zformulovat. Me se stt, e
vynechan partie vyvolaj nevoli tene ppadn pn nalzt podrobnj vysvtlen. Uvtme tedy jakoukoliv, nejlpe vak konstruktivn, kritiku a
nmty pro zlepen a rozen naeho textu. V dalch versch tohoto {zatm
provisornho{ textu se pokusme na uveden nmty reagovat.
Vulgarisujc! shrnut a poznmky nevyadujc zvltn vnmavost a inteligenci jsou psny strojopisn
m fontem (pro ty s pmoaejm chpnm matematiky
3).
Kone n rozhodnut, kter pase pojmme jako roziujc, jsme jet neprovedli.
Tedy lenosti.
3
Co mohou b
t i autoi textu. V dalm plnujeme uveden
typ poznmek podstatn
rozit. Niels Bohr pi sv nvtv v Moskv v roce 1960 prohlsil, e se nikdy ped sv
mi
studenty nebrn prozradit, e je hlupk. Perevod ik to peloil tak, e se netaj s tm, e
jsou studenti hlupci. Kapica (mon nkdo jin
) vtipn replikoval, e prv v tomto tkv
1
2
OBSAH
7
Matice A je psna tlustm psmem a matice transponovan, komplexn
sdruen, hermitovsky sdruen, inversn a pseudoinversn po ad jako AT ,
A, A , A;1 a A:. Pro vektory jsou vyhraena psmena se ipkou, nap. ~u.
Potte-li ale nco sami, volte samozejm znaen podle vlastnho uven.
Potejte s tm, e fysici obvykle p adjungovanou matici pomoc kku
(Ay ), komplexn sdruen pomoc hvzdiky msto pruhu (c ) a nad matici
mnoh
autor pe stky. Pro transponovanou matici je oblben vlnka: Ae .
Grupy, tlesa a prostory jsou psny psmem zdvojen
m.
Pomrn brzy se objev zpis matematick
ch formul s dolnmi i hornmi
indexy (pokud jde o mocnn, lze to vyst z kontextu): vimnte si, e v ist
linern algebraick
ch ppadech se sumuje jen podle zdvojen
ch index,
z nich je jeden dole a druh
nahoe (vtinou v tomto poad), a voln
indexy maj stejnou polohu ve vech lenech na obou stranch rovnost.
V
jimku tvo nap. skalrn souin v R n
b(~x ~y) =
n
X
i=1
xi y i :
(0.1)
Sprvn by se tento vzorec ml pst ve tvaru
b(~x ~y) =
n X
n
X
gij xi yj :
i=1 j =1
gij = 0 jinak)
(0.2)
kde gij (teba gij = 1 pro i = j a
je veliina zvan metrick
tensor. Hodnota skalrnho souinu nen nic a priori danho!, jak uvidme
pozdji!
Bezpatkov psmo v bnm textu naznauje, e prv tete jakousi lohu. Pro dkazy je asto voleno psmo ikm.
Mon u brzy zjistte, jak jest uiten latinsk a eck abeceda.
Proto je zde uvdme (eckou s anglick
mi nzvy psmen).
A je stan a nebo stka
B dv baculat bka.
C je rohlk, msc, srp,
D pl broskve nkdo slup'.
E je heben vylman,
F semafor pochrouman,
G je rohlk bez piky,
H postlka Haniky.
CH je msc u postele,
I pravtko uitele,
J je obrcen hl,
K snhov vloky pl.
L je klika od devnku,
M dva stany tbornk.
N pilo M o nohu,
O je kol z tvarohu.
P je prapor na mvn,
R je aek pro zasmn,
S je zatoen had,
T stoleek { prostrat!
U je msa na knedlky,
V je vza z keramiky,
Y vidlice na prek,
Z je znaka zatek.
A
alpha
N
B
beta
; gamma O o
delta $
E " epsilon P %
Z
zeta
&
H
eta
T
# theta
I
iota
'
K
kappa
X
lambda M
mu
!
nu
xi
omikron
pi
rho
sigma
tau
upsilon
phi
chi
psi
omega
rozdl mezi kodaskou a moskevskou kolou. Autoi se nestyd piznat hloupost jak u itel,
tak student, projev-li se.
8
OBSAH
vodn pozn mky k obsahu skript
Pedmt linern algebry tvo bezesporu jednu z centrlnch st zkladnho matematickho vzdlvn na universitch. Jeho v
razn logick stavba,
abstraktnost a elegance pojm a vt a tak, pes etn vazby k ostatnm
matematick
m disciplnm i aplikacm, znan sobstanost pedmtu (ve
smyslu malho objemu znalost jin
ch matematick
ch discipln bezpodmnen nutn
ch k pochopen zde studovan ltky) z nho in ideln vodn
pedmt modern matematiky.
Termn modern matematika! je nutno v tto souvislosti trochu vysvtlit. Nejde ji samozejm vbec jen o vy matematiku! s ponkud
hypertrofovan
m drazem na klasick
innitesimln poet. Uvdomme si,
e jinak dokonal knihy teba Jarnkovy zrcadl (nejen msty ji archaick
m zpsobem vyjadovn) dobu svho vzniku { kter je souasn generaci
student vzdlena srovnateln s dobou Bolzano-Cauchyho.
Modern matematiku v souasnosti charakterisuje ji nejen abstraktnost
pstupu, snaha o logickou jasnost v
stavby pedmtu, lakoninost vyjadovn (co jsou pevldajc trendy matematiky 20.stolet), ale tak, zvlt
v poslednch desetiletch, optn
nvrat k interakcm s fysikou a ostatnmi
prodnmi vdami. Posledn trend ovem nepsob jet tak dlouho, aby se
stail odrazit v pevn vtin stvajcch uebnic, od obecn koly ponaje, ovlivnn
ch vce ne padestiletou odlukou! matematiky od fysiky
(zapoatou rozvojem discipln jako je teorie mnoin, topologie a abstraktn
algebra a vrcholc v dle Bourbakiho).
Zkrtka eeno, nyn je opt v md! svazovat abstraktn matematick
konstrukce s reln
m svtem souasn fysiky (a dalch vd). Pisatel tchto
skript pat k tm, jim uveden mda vyhovuje mnohem vce ne dvj
stav.
Neinme si, samozejm, nrok na zvltn originalitu. Kupkladu, ani
bychom se snaili opisovat nap. knihu '1], je jasn, e tato kniha (a samozejm t kniha '0]) znan ovlivnila obsah uveden
ch skript (a doporuujeme
ji k peten i alespo seznmen se s n ambiciznjm studentm). Jinak je vhodn pipomenout, e o pedmtu linern algebry existuj destky
knih, skript, uebnch text, a to i v etin, a dal vychzej. Doporuujeme
teni alespo zbn seznmen napklad s existujcmi skripty linern algebry autor Vopnky '2], Goralka '3], Beve '4] a dalch. (Je poun
si pest teba jen vody k tmto knihm dokumentujc, jak rzn osobnosti pistupuj odlin
m zpsobem ke zdnliv stejn
m tmatm.) Seznm
se tak trochu i s histori pednen tohoto pedmtu na MFF UK. Skripta
OBSAH
9
'2] byla napklad psna v dob vrcholc odluky! matematiky od fysiky,
kdy geometrie (speciln projektivn geometrie) byla mlem nazrna jako
ji mrtv disciplna!, jej znalost vak me b
t vhodn jako prprava
k jin
m, dleitjm oborm matematiky!.
Posice geometrie se ovem za poslednch dvacet let radikln promnila:
Nyn je geometrie v centru souasnho matematickho dn { co dosvduje i poet tzv. Fieldsov
ch medail (analogie Nobelovy ceny, kter {jak
znmo{ nen v matematice udlovna). LA je samozejm do znan mry
tak vodem k tomuto pedmtu.
LA je vak tak stavebnm kamenem kvantov mechanice, teorii pravdpodobnosti, teorii diferencilnch rovnic, linernmu programovn, ekonomii
: : : , jak asem uvidme, a t vodem do modern anal
zy, pesnji do pedmtu zvanho funkcionln anal
za!.
Je obdivuhodn, jak mnoh pojmy LA maj krom sv vnitn elegance (kter samozejm nen utajena autorm '2], '3], '4], : : : ) t rznorod
aplikace a vazby na dal matematick obory. Tento aspekt je v uveden
literatue tm zcela zanedbvn. Napklad pojem opertoru je jednm
z nejvhodnjch v
chodisek k formulaci kvantov mechaniky, pojem exponencily matice je zkladnm prostedkem popisu evolunch rovnic (tzn.
systm vyvjejcch se v ase).
Weyl ve svm nekrologu o Hilbertovi ekl mimo jin: : : : dolo
pak navc k jistmu zzraku: ukzalo se, e teorie spektra Hilbertov
ch prostor4 je odpovdajcm matematick
m prostedkem
nov kvantov fysiky, zaveden Heisenbergem a Schr)odingerem
r.1925.!
Zdaleka nejen do LA pat zsadn pojem grupy, slouc mj. k matematickmu zkoumn pojmu symetrie. (S pojmem grupy se seznmme na
etn
ch pkladech* samotn teorie grup vak v tchto skriptech nen obsaena.)
Tato skripta jsou zpiskem pednek linern algebry pro prvn ronk
fysiky, konan
ch pvodn vcemn dle Kopkov
ch skript, pednek, je
postupn doznaly zmn a rozen hlavn smrem k aplikacm.) Jsou nult
m! pokusem o text, kter
v esk literatue o pedmtu LA zatm vcemn
chyb. Obsahuj jist velik mnostv chyb, snad pevn tch nepodstatn
ch. Jsou psna (pro leckoho a pli) strun, nebo+ nechtj suplovat
existujc texty. Mla by b
t, alespo v zsad, sobstan,5 aby ten ne4
5
Tzn. nekone ndimensionlnch prostor se skalrnm sou inem.
Viz nap. tabulku na stran 7.
10
OBSAH
musel hledat podstatnou informaci jinde.
Na druh stran vele doporuujeme teni, aby erpal dal informace
z n e j r z n j c h zdroj. Vede to tm vdy k lepmu pochopen
(tak jako je vdy lep komunikovat s vce lidmi { pln hlupky ovem
vyjmaje { ne stle slyet jeden, by+ i konsistentn, nzor). Ne uvdme
seznam nkter zkladn literatury. Clem tto knihy je vce poloit draz
na s o u v i s l o s t i LA s ostatn matematikou (resp. alespo na ty, kter
jsou bli autorm textu) ne na pedmt takkajc sm o sob!.
Tak jsme se snaili soustedit nkter fakta, kter jsou sice dobe znma
znalcm specialisovan
ch obor, tzn. pat do jakhosi obecnho folklru!
dan
ch obor a kter tedy dnmu specialistovi nestoj za zformulovn u
proto, e to pece vichni (experti) znaj { kter ale naopak b
vaj neznm
obecnmu (i matematickmu) publiku a nevyskytuj se v vodnch textech
(ba nkdy ani v monograch). Pkladem budi teba Feynmanv integrl, podmnka detailn rovnovhy z teorie Markovsk
ch proces, ale i tak
triviln vc, jakou je v
poet objemu k-rozmrnho rovnobnostnu v nrozmrnm prostoru (co me b
t pro ryzho algebraika! vc lec mimo
jeho zjem! a ryzmu analytikovi! se to me jevit jako triviln cvien na
vtu o substituci i plon
integrl.
Jinak eeno, text se obrac ke teni libovolnho ronku nap. fysiky,
kter
nebude ani specialistou analytikem, ani specialistou algebraikem, ale
ct potebu porozumt nkter
m zkladnm vcem { teba potn objem i plon
ch obsah mnohostn: : : { a u teoretick
ch konstrukc oceuje
nejen jejich krsu, ale jet radji jejich n e p o s t r a d a t e l n o s t v rozvoji matematicko-fysikln gramotnosti. Rdi bychom tene pesvdili, e
vtina konstrukc uveden
ch v tto knize vyhov tomuto poadavku.
Dal doporuen literatura pro studenty fysiky
Do doby zdokonalen tchto skript lze jet doporuit standardn skripta
Kopkova (podle nich byla koneckonc uveden pednka zpotku organisovna) Matematika pro fyziky II,IV. Sbrka pklad (Kopek a kolektiv) je nezbytn
m doplkem (do doby, ne zaadme odpovdajc pklady i
do pedkldan
ch skript) kadho studenta LA/fys. O sbrce pklad Proskurjakov lze ci tot co o jej paralele v oblasti anal
zy (Dmidovi). Ob
sbrky obsahuj velik mnostv (nkdy velice zajmav
ch i tk
ch a dleit
ch) pklad a pes svoji zastaralost (vznikaly v 50.letech a dve) jsou
zatm nenahraditeln pro vnj zjemce. Z velikho mnostv dal litera-
OBSAH
11
tury lze ostatn literaturu v jazyce eskm doporuit jen jako doplkovou,
nebo+ vtinou nepokr
v vechny partie, na kter se klade draz v tchto
skriptech (plat to samozejm i obrcen).
Krom knihy Kostrikina a Manina doporuujeme zkladn a dnes ji
klasickou uebnici Souasn geometrie, peloenou i do anglitiny.
V
br ltky v pedloenm textu je samozejm ovlivnn subjektivn
volbou autor (nealgebraik!)* uve-me alespo heslovit nkter zkladn
tmata, kter k linern algebe tak pat a informaci o nich by ten zde
marn hledal.
Jde pedevm o numerick aspekty linern algebry (co je samostatn
obor velk praktick dleitosti), dle o soustavnj informaci o ann a projektivn geometrii (a o linernm programovn), o teorii perturbace spektra
linernch opertor (uve-me alespo knihu '11]). Tak nkter ist linern algebraick! partie jsou asi pojednny mn obrn, ne b
v zvykem.
U tmatu tak standardnho, jako je LA, nem smysl se snait o plinou
originalitu v
kladu. Na druh stran nkter roziujc partie nemaj vdy
{ pokud je nm znmo { odpovdajc analogii v bn (i cizojazyn) knin
literatue.
Zmnn a nkter dal literatura
0. Ji Kopek: Matematika pro fyziky I, II, III, IV a pklady k nim I-IV
1. A. I. Kostrikin, J. I. Manin: LA i geometrija, Moskva 1986
2. Petr Vopnka: Linern algebra a analytick geometrie, 1964, skripta UK
3. Pavel Goralk: vod do linern algebry, 1978, skripta UK
4. Jindich Bev: Linern algebra I, II, 1980, skripta UK
5. Ladislav Bican: Linern algebra, 1980, skripta UK
6. B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Souasn geometrie, I.dl,
Moskva 1979, 1986
7. G. Birkho., S. MacLane: Algebra, Bratislava 1978
8. Israel M. Gelfand: Lekce z linern algebry6 , Moskva 1966
9. Vladimr Konek: Zklady algebry, z tto knihy se uili po desetilet vai
dvn pedchdci, Praha 1954
10. Leo Boek: Tensorov poet, Praha 1978
11. Tosio Kato: Perturbation Theory , Springer-Verlag 1986
Tato kniha samozejm representuje pouze nepatrn
zlomek rozshlho dla jednoho
z nejvtch matematik 20. stolet. Tak na legendrnm Gelfandov semini (kter
trv
od podzimu roku 1943 a dodneka, posledn lta ovem na Rutgersov universit v USA)
je linern algebra (a potenciln cel matematika) stle ptomna.
6
12
OBSAH
12. Michael B. Green, John H. Schwarz, Edward Witten: Superstring theory,
Cambridge University Press 1987
13. I. V. Proskurjakov: Sbrka loh z LA, Moskva, 1984
14. Ji Formnek: vod do kvantov teorie, Academia 1983
15. Ale Pultr: Skripta k pednce pro 1. a 2. ronk informatiky, 1995
16. Ladislav Koubek: vod do anal. geometrie a algebry, 1965, skripta UK
17. Gilbert Strang: Linear Algebra and its Applications, Academic Press
19767
18. Nicolas Bourbaki: Algebra, Paris 1959, je to opt literatura pro nron*
obsahuje vak i historick poznmky o pedmtu linern algebry
19. Jozef Kvasnica: Matematick apart fyziky, Academia, Praha 1989
20. Ji Blank, Pavel Exner, Miroslav Havlek: Linern opertory v kvantov fyzice, Praha, Karolinum 1993
21. L. Krump, V. Souek, J. Tnsk
: vod do analzy na varietch, v pprav, vyjde 1997
22. Marjorie Senechal: Quasicrystals and geometry, Cambridge University
Press, 1995
Jeden cit t pro kur na z vr vodu
Jeden z tvrc kvantov mechaniky R. Jost vzpomn na vznik kvantov
teorie pole, matematicky vcemn nerigorosn, avak spn fysikln teorie
{ podle knihy Simon-Reed: Metody souasn matematick fysiky:
In the thirties, under the demoralizing in/uence of quantum
perturbation theory, the mathematics required of a theoretical
physicist was reduced to a rudimentary knowledge of the Latin
and Greek alphabets.
A budete-li mt nkdy pi etb textu pocit, e jste se s njak
m pojmem
(kter
prv potebujete) jet nesetkali, pouijte rejstk!
Velmi rozen americk u ebnice (\for handicapped students", citujeme-li postesknut jednoho z uivatel tto knihy nad rovn americk
ch student, kter
m pednel: : : )
7
OBSAH
13
st I
Zimn semestr
14
OBSAH
Pozn mka k 2. vyd n skript
V novm vydn skript jsou opraveny zjitn chyby a peklepy* je t pidno
nkolik drobn
ch dodatk.
Nkter z parti textu { zvlt z tch, chpan
ch jako roziujc! (pro
tene libovolnho roniku i vku) by si mon zaslouily pepracovn i
doplnn. Tyto partie vak obvykle netvo soust vodnch kurs. Mnoh
sti textu (a nejen ty vymezen symboly (]) a (~)) mohou tedy naopak b
t
pi etb vynechny.
To lze doporuit zejmna teni bez specilnho zjmu o fyzikln aplikace (jako jsou mnoz studenti kurs matematiky a informatiky). Minimln
smysluplnou podmnoinu textu mohou pak tvoit nap. (msty mrn okletn) kapitoly 1, 3 { 8, 17 plus rudimenty kapitol 2, 9, 11, 13, 15, 16, 19.
(Konzultujte pitom obsah knihy* pop. i strom zvislosti na str. 26).
Z hlediska obor, jako je ist algebra a informatika, ovem ve skriptech
mnoh zkladn vci stle chyb (jako teba dkladnj zmnka o jin
ch
tlesech ne je R i C , speciln o konen
ch tlesech) a draz je msty
poloen jinam, ne by poteby tchto obor vyadovaly. Z dalch v
znan
ch
aplikac LA zde pak chyb nap. jakkoliv informace o teorii linernch kd.
Avak samotn
fakt, e linern algebra m podstatn
dopad i jinde ne
v sob sam, je snad ilustrovn dostaten i tak.
Pozn mka k 3. vyd n skript
Krtk
termn od rozebrn pedchozho vydn do ppravy novho tisku
neumonil udlat plnovan podstatnj zmny a doplky* bylo pouze opraveno nkolik dalch zjitn
ch chyb a pidno jedno cvien. Do budoucna
plnujeme rozen knky m.j. o obshlej soubor een
ch pklad. Jakkoliv nmty k dalmu vydn jsou vtny.
Pi adaptaci textu 3. vydn LaTEXem nm poskytl velmi efektivn a
rychlou pomoc student 2. ronku Michal Belda* pat mu n vel
dk!
Kapitola 1
Prvn seznmen
s pedmtem
Abstraktnost, logick v
stavba a universlnost pouit pojm LA jsou rysy
tto teorie, kter zatenk sotva ocen ihned. Ve snaze probudit jeho motivaci a pomoci mu penst se pes poten abstraktn partie bez zjevn
ch
aplikac uvedeme hned te- nkter pklady situac, pi jejich zkoumn
pedmt LA vyrostl a k jejich popisu jsou pojmy a vty LA uiten
m
nstrojem (jak asem uvidme).
Podnikneme zde krtkou vodn exkursi do problematiky:
1. een soustav linernch rovnic
2. v
potu objem (pozdji i povrch)
3. vyuit symetri pi zkoumn pravideln
ch tles.
Zmnme se t o metod linearisace! jako klov ideje mnoh
ch prodnch vd.
Potebn
nadhled nad (1) bude pozdji poskytovat teorie linernch prostor, nad (2) teorie determinant a antisymetrick
ch tensor a nad (3)
teorie grup.
1.1 Gaussova eliminace
Seznmme se krtce s touto zkladn metodou een soustav linernch
rovnic. Soustavu m rovnic o n neznm
ch
a11 x1 + : : : + a1n xn = b1
15
16
KAPITOLA 1. PRVN SEZNMEN S PEDMTEM
..
.
(1.1)
am1 x1 + : : : + amn xn = bm
budeme zapisovat pomoc tabulky, tzv. matice (podrobnji budeme pozdji
mluvit o rozen matici soustavy)
0
B@
a11 a1n b1 1
..
.
..
.
...
.. C
. A:
am1 amn bm
(1.2)
Vzpomeme si nyn, jak jsme eili soustavy dvou rovnic na stedn kole:
vypotme! z 1.rovnice
x1 = a1 (b1 ;
11
n
X
i=2
a1i xi )
(1.3)
a dosadme do dalch rovnic. V ei matic to meme pehlednji vyjdit takto (promyslete): odeteme vhodn
nsobek 1.dku od ostatnch dk tak, abychom dostali novou, ekvivalentn! matici (dvajc soustavu se
stejn
m eenm jako dve), majc pod lenem a11 sam nuly.
0a a
BB 011 a~1222
BB .. ..
@ . .
0 a~m2
a1n b1 1
a~2n ~b2 C
C
.. C
. . . ...
. C
A
a~mn ~bm
(1.4)
kde a~22 = a22 ; aa1121 a12 atd.
Pokud je a11 = 0, musme postup modikovat: pehodme poad rovnic.
Nelze-li ani takto doclit a11 6= 0, tzn. cel
prvn sloupec matice je nulov
,
meme zejm volit x1 libovoln a fakticky potom eme pouze soustavu
s matic
0
1
a12 a1n b1
B@ ...
...
..
.
.. C
. A:
am2 amn bm
(1.5)
Analogicky pokraujeme dle { vynulovnm sloupce pod a~22 (pokud lze
doclit a~22 6= 0* jinak volme x2 libovoln a x1 na zvr vypoteme z prvn
rovnice pot, co jsme urili x3 : : : xn ze zb
vajcch rovnic) atd. Uveden
m
1.1. GAUSSOVA ELIMINACE
17
postupem dospjmeme nakonec k ekvivalentn! matici (vedouc k tmu
een) tvaru (promyslete podrobnji, procvite na konkrtnch pkladech)
0 ::: ::: ::: :::
BB ::: ::: :::
BB
::: :::
BB
B@
:::
:::
:::
:::
2
2
2
2
2
2
1
CC
CC
CC
CA
(1.6)
kde kky () oznauj zaruen nenulov prvky { nkdy zvan pivoty (jejich plin malost by ovem nepzniv psobila na numerickou pesnost
v
sledku1), od nich nalevo jsou sam nuly, stejn tak jako nalevo od krtnut
m trojhelnkem oznaen
ch prvk na prav stran, take je-li nkter
z prvk oznaen
ch 2 nenulov
, soustava zejm nem een. Jinak peme
obecn een soustavy (1.6) a tedy i obecn een v
choz soustavy takto:
Nech+ posledn dek, v nm existuje nenulov
len, je v poad k-t
,
nech+ a~kl je pslun
pivot, tedy zleva prvn takov
to len. (Nebudeme ji
pst dal vlnovky.) Promnn xl+1 : : : xn volme nyn libovoln* promnnou xl dopoteme z rovnice
a~kl xl + a~k l+1xl+1 + : : : + a~knxn = ~bk :
(1.7)
Dal postup smrem nahoru! je analogick
, ten si ho zkus promyslet
sm! (Promnn xj , u nich se nikdy nevyskytne pivotn! koecient typu
, libovoln volme* ostatn promnn xj postupn (pro klesajc indexy)
dopotvme z rovnic
a~ij xj +
n
X
k=j +1
a~ik xk = ~bi (1.8)
kde a~ij je pivotn! koecient.)
Na rtli jsme jen nejzkladnj schema metody, kter je iroce pouvna a jej pouit
m mnoho dalch, zvlt numerick
ch, aspekt, kter
mi se zde vbec nezab
vme.
1
18
1.2 een soustav rovnic a objemy tles
Omezme se pro nzornost na ppad t rovnic pro ti neznm. Ozname
s1 s2 s3 sloupce matice
0
1
0 1
a
11 a12 a13
B@ a21 a22 a23 CA tedy s1 = B@ aa1121 CA atd.
a31 a32 a33
a31
(1.9)
Chceme eit soustavu napsanou ve vektorovm tvaru takto:
0 1
b1
x1 s1 + x2s2 + x3 s3 = b kde b = B
@ b2 CA :
b3
(1.10)
Pro jakkoli ti vektory a b c 2 R 3 = R R R zave-me oznaen V (a b c)
pro objem rovnobnostnu R vymezenho vektory a b c tzn. tlesa tvaru
R(a b c) = fv = x1 a + x2 b + x3 c j xi 2 (0 1)g:
(1.11)
Podle znmho vzorce pro objemP( zkladna krt v
ka!) snadno ovme
platnost vztah { (za b dosadme xi si , promyslete a nakreslete si, co znamen
, e vka nemn svou velikost pi pechodu od rovnob nostnu R(s1 s2 b)
k rovnob nostnu R(s1 s2 x3 s3 ))
V (s1 s2 b) = x3 V (s1 s2 s3)
(1.12)
(a podobn pro x1 x2 .) Tedy plat vzorec
(1.13)
x3 = VV((ss1ss2sb)) :
1 2 3
Jde o Cramerovo pravidlo, s nm se setkte v kapitole o determinantu.
1.3 Vpoet objemu pravidelnho dvacetistnu
U Pythagorejci mli za emblm pravideln
ptihelnk, obrazec, jeho podivuhodn vlastnosti byly skryty obyejn
m smrtelnkm (a nkter z nich i
samotn
m Pythagorejcm, jak uvidme pozdji v kapitole o Penroseov pokryt) a jeho zkoumn mus pedchzet studiu dvacetistnu. Uvidme, jak
symetrie pomh v een tto lohy.
1.3. VPOET OBJEMU PRAVIDELNHO DVACETISTNU
19
Spoteme nejprve slo x = cos 2=5 = cos 72 . Pohledem na pravideln
ptihelnk s jednotkov
mi vektory ~ei
6~e1
iP~e5PP
P
1
~e2
J
~e4 ~eJ3J
J^
Cvi en. Nakreslete podobnou hvzdici,
ovem z vektor ~e1 + ~e2 a podobn.
Kolikr
t vt rozmry bude mt, tj. kolik je
k~e1 + ~e2k = k~e1k ?
zjistme, e (odvodnte podrobn vimnte si, e ve vrazu n e pracujeme
celkem s ptadvaceti dvojicemi vektor, z nich deset je blzkch, jako nap.
1 a 2, a deset je dalekch, jako nap. 1 a 3)2
0 = k~e1 + ~e2 + ~e3 + ~e4 + ~e5 k2 = 5 + 10 cos 25 + 10 cos 45 =
= 5 + 10x + 10(2x2 ; 1)
p
tedy x = 14 ( 5 ; 1) = 2 , kde je tzv. zlat ez3
0:618 2 + = 1 ili ;1 = + 1:
(1.14)
(1.15)
(1.16)
O magick
ch! vlastnostech tohoto sla se lze pouit v knihch o teorii sel.
Podobn pozorovn plat i pro pravideln
dvacetistn, majc jak znmo
12 vrchol, kter dle ztotonme s vektory ~e1 : : :~e12 vychzejcmi z potku ve stedu tlesa. Doporuujeme zapjit si nebo lpe s
m si vyrobit zmnn
dvacetistn.
Dva vrcholy dvacetistnu toti bu- spl
vaj, nebo jsou protilehl a nebo
jsou v posici blzk! i dalek!, piem obou druh dvojic je po ticeti* kad
z dvancti vrchol m pt blzk
ch! soused a stejn tak pt
dalek
ch!, souin vak dlme dvma, abychom nezapoetli kadou dvojici dvakrt. Jeliko k~e1 + : : : + ~e12 k = 0, lehce ovme, e cos ' se li jen
Nezapomete, e cos 2 = 2 cos2 ; 1.
Zlat
ez se vykld jako pomr stran obdlnka, kter
jde rozdlit na jemu podobn
obdlnk a tverec. Nedivte se, e mnoh
autor mn zlat
m ezem pevrcenou hodnotu
1:618. Zlat
ez je tak (dokate) limitou pomru sousednch len Fibonacciho posloupnosti, v n je kad
len sou tem pedchzejcch dvou: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 : : :
2
3
20
ve znamnku, oznauje-li ' hel mezi dvma body blzk! resp. dalek!
dvojice vrchol ~ei ~ej . Spoteme tento hel ' mezi blzk
mi vrcholy:
Volme oslovn dvancti vrchol tak, aby vektor
~e1 + ~e2 + ~e3 + ~e4 + ~e5
(1.17)
byl kladn
m nsobkem ~e6 . Pak je (ovte!)
k~e1 + ~e2 + ~e3 + ~e4 + ~e5 k2 = 5 + 10 cos ' ; 10 cos '
(1.18)
(v dan ptici je pt blzk
ch a pt dalek
ch dvojic). Z druh strany, zprojektujeme-li ~e1 : : : ~e5 do ~e6 , plat
k~e1 + ~e2 + ~e3 + ~e4 + ~e5k2 = (5 cos ')2 = 25 cos2 ':
(1.19)
Tedy cos ' spluje rovnici
25 cos2 ' = 5 tedy cos ' = 5;1=2
(1.20)
a objem ji pomrn snadno dopoteme (provete!).
Cvi en. Spotte i objemy dalch pravidelnch (Platnovch) tles pro
zn
mou vzd
lenost vrchol od t it. Tmito tlesy jsou tystn, krychle,
osmistn a dvan
ctistn dvan
ctistn m
ptihelnkov stny.
Nkolik pozn mek o principu linearisace
Linearisujeme-li problmy jedn! nezvisl promnn, dostvme z hlediska
LA objekty vcelku triviln, toti jednorozmrn. Tedy LA nem pli co ci
ke klasickmu innitesimlnmu potu jedn promnn.
Jin situace nastane pi zkoumn funkc vce promnn
ch. Tam u vtina v
znanjch tvrzen m sv linern algebraick jdro!* pokud by se
LA vyuovala jen jako pomocnk pro anal
zu, bylo by logitj s algebrou
zat a v letnm semestru 1.ronku. I v anal
ze uslyte mnoho o pojmu,
kter
se denuje jako linern zobrazen: : : !, toti o diferencilu.
Mnoh fysikln zkony (Hookv, Ohmv: : : ) jsou linearisovanou vers
zkon pesnjch, o to vak sloitjch, toti nelinernch. Nejpozdji zanedlouho uvidte, e cel fysikln teorie (nerelativistickou mechaniku) lze
chpat jako linearisovan verse! teori plnjch (teorie relativity).
Na zvr jedna odstraujc poznmka. Linearisovan! obrzky, jako
graf ne zobrazujc typick
zznam zmn prmrn
ch ronch teplot v obdob 10 000 let,
d
d
d
d
21
c
d
kter asto tvo grack
doprovod nejrznjch zkouman
ch situac (a+
u jde o kolsn cen akci na burse, zpis teploty pacienta nebo cokoli jinho) svd obvykle o nevelk matematick gramotnosti autora. Mme-li
k disposici jen daje oznaen kolekem, jsou domalovan linern spojnice
mezi nimi jenom pekejcm balastem. Kritick
uivatel dan informace by
ml tyto linern spojnice nejdve umazat (a teprve pot si ppadn me
poloit otzku, jak
typ kivky je vhodn proloit dan
mi daty { i podl
nich!).
Linearisovat problm m toti smysl, jsou-li namen hodnoty rozprosteny dostaten hust! (vzhledem k rychlosti zmny derivace zkouman zvislosti).
Jako pklady extrmn chaotick
ch funkc vzprajcch se i pi znan
hustm v
bru men
ch dat rozumn linearisaci uve-me nedvno publikovan
graf zmn prmrn ron teploty ve tvrtohorch (zskan
r. 1993 na
zklad men prezu grnskho ledovce), kde vhodn
krok pro linearisaci
problmu nein miliony ale pouh destky let(!) i { v jin kle { grafy
rzn
ch elektrick
ch potencil a jin
ch (i nefysiklnch) asov
ch veliin
popisujcch innost mozku (linearisovat a tud jednodue predikovat teba
promny nlad nkter
ch psychicky nevyrovnan
ch osob se jev jako marn snaen nkdy i v rozmez pouh
ch vtein(!)* k porozumn takov
mto
promnliv
m veliinm je lpe opt se o poznatky z teorie chaosu i stacionrnch nhodn
ch proces). Krtce, situace, kdy pedloen daje maj
hustotu nedostatenou pro rozumnou linearisaci!, jsou velmi ast. Doplujc daje bu- nemme, nebo se domnvme, e je nepotebujeme { a nvyk
ze koly kreslit pmky jako podle pravtka! me pesto petrvvat.4
Autorm se bohuel nepodailo v tto lipice proti lomen
m arm b
t dsledn
mi:
pi kreslen chaotickho grafu nahoe byl pouit program TEXCad, prokldajc lomenou
4
22
Pro nerozumn uivatele ehokoliv (a+ je to tuka a pravtko, LA, statistika i jin partie matematiky) plat, e nejlpe by bylo jim dotyn
nstroj
zcela utajit.
Poznmka. Ponkud ranovanjm zpsobem linearisace je preparace
dat metodou integrlnch sout!. Ta je zaloena na pomrn prost mylence { e toti primitivn funkce teba i k velmi divok! funkci { jako
na pedchozm obrzku { u vypad podstatn hladeji!, take pikldat
pravtko ke grafu primitivn funkce u smysl mt me (vezmeme-li pak primitivn funkci jet jednou, bude situace jet lep!)
V
rok typu graf roste! m pak u dobr
smysl (jenome je zase obtnj ci, eho e graf to vlastn roste). Nejvdetji dan metoda vypad,
piteme-li k pvodn zkouman funkci konstantu tak, aby stedn hodnota
byla rovna nule na danm intervalu. Primitivn funkce pak me zanat i
konit v nule!, tzn. vypad obvykle u jako luk!, poppad m tch ohyb
trochu vce. A u lze init zvry typu: od roku 1770 do roku 1850 se klima
oteplovalo, pak ochlazovalo do roku 1910, pak zase : : :
vodn pozn mka o funkcion ln analze
Pouit LA na nejrznj problmy prodnch vd ve smyslu pedchoz poznmky se d shrnout do hesla!: msto sloit funkce
f (x1 : : : xn )
(1.21)
zkoumejte jej linearisaci v okol danho bodu v R n .
Toto vak nen jedin
zpsob, jak LA vstupuje do jin
ch parti matematiky. Takto LA bhem 19.stolet vznikla, avak pouit uvedenho typu
ji netvo nejpodstatnj st toho, jak LA interaguje se zbytkem matematicky nyn. Vy stupe abstrakce nabz disciplna zvan funkcionln
analza. Ta pracuje s vcerozmrn
mi linernmi objekty (jako rzn nekonenrozmrn prostory funkc) s pouitm nzorn
ch! pojm znm
ch
z geometrie euklidovskho prostoru. Tento pstup je velmi uiten
i pro
zskn potebnho nadhledu nad takovou parti, jako je klasick
diferenciln a integrln poet. Pojmy funkcionln anal
zy tvo i zklad soudobho
jazyka kvantov teorie. Z tohoto a dalch dvod budeme postupn teni
vnucovat! funkcionln-analytick mylen i tam, kde by to zpotku ani
ru zvolen
mi body grafu: : :
23
neoekval. Uvid teba, e nkter sti anal
zy vypadaj z pohledu LA ponkud jinak a leckdy i jednodueji { nap. Taylorv vzorec jako exponencila
derivace. Uvid elegantn popis situac jako je nap. teorie een soustav linernch diferencilnch rovnic prvho du s konstantnmi koecienty, kde
bez znalosti LA (Jordanova tvaru) nelze problmu vbec porozumt, pokud
porozumnm mnme vce ne nauen se kuchace! odnkud spadl
ch!
pedpis.
Dal pozn mky o pedmtu
LA je mnohem mlad ne teba anal
za. Zatmco jdro klasickho kalkulu! vzniklo v 17. a 18.stolet, nkter zcela zkladn pojmy LA vznikly
ani ne ped sto lety, a partie LA blzk sv
m pojetm funkcionln anal
ze
jsou jenom pr destek let star. (Nkter jet ani nepronikly do mnoha
standardnch uebnic.)
Souasn
bouliv
rozvoj geometrie v souvislosti s teoretickou fysikou jist dle obohat obsah pedmtu LA v blzk budoucnosti* srovnateln rychl
rozvoj (relativn vzhledem k historickmu obdob) v anal
ze probhl naposled snad nkdy v osmnctm stolet...
Znamen to tak snad, e LA teprve ek obdob zpesovn a pebudovn jejich zklad v analogii s prac Bolzana, Cauchyho,: : : v zkladech
anal
zy? Asi nikoliv, co je dno tak odlinou povahou obou pedmt:
v algebe v jistm smyslu nen co zpesovat! a cesta od nzornho argumentu i spn formln manipulace k precisnmu dkazu je zde mnohem
pmoaej ne v anal
ze.
Pirovnejme anal
zu resp. algebru k dvma nsledujcm dtsk
m innostem: staven hradu z psku (anal
za) a sestaven hodin ze stavebnice
(algebra). V
rok hrad u je skoro hotov, zb
v pr vc uhladit a zamst!
nem pi sestavovn hodin protjek: ozuben koleka hodin do sebe prost
bu- zapadaj nebo ne ( skoro zapadaj! je nesmysl). Tak je to i s dkazy
v linern algebe: jsme-li skoro hotovi!, jsme obvykle ji zcela hotovi, zatmco v anal
ze b
v nkdy od dkazu podle obrzku! k pesnmu dkazu
jet dlouh cesta.
U naeho pirovnn meme ci: zatmco pi v
stavb hradu z psku se
nzory na hotovost dla, vypracovn detail, klid atd. mohou liit podle ntury a podnosti jednotliv
ch uastnk stavby i pihlejcch, v ppad
konstatovn stavebnice je sloena! je mon hodnocen mnohem jednoznanj.
24
Poznamenejme dle, e jsme v tato skripta vloili mnoho poznmek uvdjcch i fakta, kter zde nejsou dokzna. V takov
ch ppadech nm lo o
uveden nkter
ch snadno formulovateln
ch (nikoliv nutn snadno dokazateln
ch) tvrzen kajcch dleitou dodatenou informaci o prv probranm
pedmtu a jeho souvislostech. Oekvme nmitky typu ideje a nrtky
dkaz nepat do uebnic, a vbec u ne do uebnic pro zatenky! a
pedeslme, e s takov
mito nmitkami nesouhlasime* k vysvtlen tohoto stanoviska si rozti-me tvrzen a vty objevujc se v textu do nkolika
skupin:
1. vty zkladn dleitosti pro dal text, s v
raznou a netriviln mylenkou dkazu (leckdy i nesouc nzev autora()): tyto dokazujeme
vdy, nkdy i vce zpsoby (existuje-li vce monost dkazu). Takov
chto vt je jenom 5-10 v kadm semestru (a kad
adept na znmku
alespo 3 by je ml dn zaregistrovat !).
2. vty eknme standardn, jejich dkaz (po uveden ppadnho nvodu) vyaduje jistou samostatnou ale pmoarou! nmahu { jako pozorn pronsoben sum v souinech apod. { dkaz takov
chto vt asto
penechme teni* nkter z tchto vt mohou ppadn mt snadno
pochopiteln
v
znam i pro zatenka, kter
v takovm ppad me
zpotku formln dkaz peskoit a vrtit se k nmu pozdji po zdokonalen sv
ch formulanch dovednost. Dleitost vt tohoto typu je
obvykle spe v tom, e pomhaj ujasnit si roli zkladnch denic dan
oblasti.
3. vty sice dleit jinde, ale okrajovho v
znamu v uvedenm textu (nenavazuje se na n dle). Zde se sname uvst leckdy alespo mylenku
dkazu, ne vak vdy. Nkter fakta jsou prost zajmav dokonce i
bez dkazu! (Nematematici to vd: : : ) Bylo na vdomou snahou vloit takto do textu nejrznj doplujc ltku souvisejc s LA (i kdy
neme b
t ani ei o plnosti naeho v
bru). Souasn matematika
(a to i ta skuten nepostradateln! teba pro fysika) je toti tak
rozshl disciplna, e zvldnout ji podn ve smyslu dokonalho i
formlnho ovldnut technick
ch detail je kol prakticky nezvldnuteln
pro jedince. asto je ale potebn mt teba jen letm povdom
o uiten
ch pojmech a metodch { u proto abychom vdli, s m se
teba potebujeme v budoucnu vce seznmit. Mme-li volit mezi nepodnou znalost! (teba i jednoduchou karikaturou jinak mnohem
25
formln sloitj situace) nebo pln
m ignorovnm dleit
ch fakt,
volme prvn monost.
V kontrastu k asto vyslovovanmu nzoru, e jdrem matematiky jsou
vty a (pesn!) dkazy, chceme zdraznit i dleitost znalost vhodn
ch
metod (a tedy vlastn i vhodn
ch denic). Zastvme nzor, e metoda je
dleitj ne vta { z jedn metody volbou rzn
ch pedpoklad a rzn
ch
situac asto dostvme rzn tvrzen. Opan
ppad, kdy jeden dleit
fakt se dokazuje rznmi metodami, je sice velice pozoruhodn
, ale podstatn mn ast
! Metodu lze vyloit leckdy i v jednoduch karikatue*
v
raznou metodu si lze zapamatovat mnohem snadnji ne technick pedpoklady (ty koneckonc metoda leckdy pirozen nastol ji sama od sebe)*
jet hor je, e nkdy komplikovan pedpoklady zatemn v
raznou metodu
ppadn tuto metodu tak znetvo! (patn zvolen, nkdy i pli obecn
pedpoklady vty nap.) tak, e neuvidme pozdji monost uplatnit pvodn jasnou metodu i v situacch, kter ambicisn formulovan obecn vta
jaksi nepedvdala: : :
Nap. lovk i letmo seznmen
se souasnou teoretickou fysikou v, jak
mnohostrann pouit asto ve velmi komplikovan
ch situacch m ona velmi
jednoduch metoda integrace zvan per partes!. Viz koneckonc i uveden
skripta: co maj spolenho teba ortogonln polynomy, distribuce apod.
krom onoho jedinho magickho slova per partes? Myslet si, e jedna abstraktn vta z teorie njakho hodn obecnho! integrlu vechny tyto
ppady zahrne, je dosti absurdn a hlavn neuiten pedstava* pokud by
je teba i momentln zahrnula, tak se nepochybn brzy objev njak dal
odlin aplikace. (Mimochodem to, co maj teba distribuce a ortogonln
polynomy spolenho, se spe vyjd jazykem LA { pojmem transponovanho i adjungovanho opertoru { ne jazykem teorie integrlu, kter
sotva
zahrne dv takto odlin pouit metody per partes do jedn vty.)
Podkovn. Autoi dkuj etn
m kolegm (vetn mnoh
ch student MFF UK), kte vnovali svj as na seznmen se s nkter
mi partiemi
skript a jejich kritick poznmky a nmty leckdy zanechaly stopu na obsahu tchto skript. Zvltn dky pat recensentm prof. J. Formnkovi, DrSc.
a dr. M. Znojilovi, CSc. Dal reakce na obsah i formu tchto skript budou
vtny* nejlpe na elektronick
ch adresch uveden
ch v zvru knihy.
26
Linern algebra a souvislosti, 1994
'
'
Grupy $
$
Polynomy
Mno"iny
Permutace
Kvadratick
Zobrazen
Binomick
Homomor#smus
rovnice
Kartzsk
formule Dualita grup Komplexn sla
souin
&
%
-#
Zkladn vta
'
$
)
souin
- Skalrn
algebry
&"='
Linern prostor
&
%
Ortogonln
nekonen
-- Lin.Dimenze
projekce
ady
Matice a
zobrazen
Gramm-Schmidt ! skldn
Hodnost
"
9$
%
&
'
; Ôpertor Determinant )
(dkov prostor
; Podobn
-
(sloupcov)
-?Nsoben ?matice
Gaussova eliminace
;
*
? determinantu (een soustav ;
Stopa
;
Zobecnn
een
Cramerovo
Objemy
tles
&
%
pravidlo Z
'
$
?
Z~Spektrum Charakterizace izometri
$
Krystalogra#ck '
Invariantn
grupy
podprostory
opertoru
Penroseovo
Direktn
Nilpotentn opertory
dl"dn
&
%
souet prostor
SoS?&
lin. $
Blokov matice % $
$
'
'
'
Diskrtn
Soustavy
Cyklick vektor
?
'
$
R
Modely Positivn a Jordanova vta dif. rovnic
jin
rstu 6 stochastick @
Evolun
kanonick
I
a zniku %
matice
rovnice %
tvary
@Spektrln
?polomr
&
&
&
%
Feynmanv
]
J
integrl %
'
?Cirkulant $
&
J'
$
'
$
?
Dualita
Harmonick J Exponencila
linernch prostoruP matice (opertoru)
analza
PP
q Vta o Transpozice
Lieovy grupy
Konvoluce
&
%
opertoru
a algebry
X
representaci
'
$
X
z
X
Duln base
In#nitesimln
Adjunkce
- Normln
Dualita v anal.
genertor
opertor
Symetrick
komuttor
Spektrln
rozklad
hermitovsk
Spektrum
Vektorov souin
Ortogonln polynomy
ortogonln
komutujcch
Taylorv vzorec
Kvantov fyzika
a unitrn
opertor Four.
Heisenbergv obraz
;
transformace
matice
Poissonovo rozdlen
&
%
;
&
%
Vztah stopy a
'
$
'
$
;
determinantu %
;
Projektivn
Kvadratick formy
&
Reprezentace
grup
prostor
Diagonalizace
Projektivn Doplnn na tverec 6
?
zobrazen
Grammova
Jacobi-Sylvester
Spinory
&
%
Plon
obsahy
matice
Diagonalizace
Teorie
relativity
Pythagorova
vta ?Pseudoinverse spektrlnm rozkladem '
>
$
6
Signatura
S
matic
Tensory
Sw Transformace
- Extrmy
Kvadriky
slo"ek
funkc
Polrn rozklad
-?opertoru
+"en tensor
Pmkov
plochy
Zdvihn index
& %
(matice)
Symetrick tensory
Prostory funkc =Q
Antisymetrick tensory
Nezvisl jevy
vce
Vnj souin
v pravdpodobnosti promnnch s
Grassmannova
& algebra %
Kapitola 2
Kdo je grupa a tleso
2.1 Grupa
Tato kapitola, striktn vzato, jet nepat do linern algebry. Pojem grupy je vak natolik stednm pojmem algebry (a cel matematiky), e se
mu samozejm nememe vyhnout. Naopak, budeme se snait tento pojem
co nejvce ilustrovat v prbhu celho kursu LA. Zde uvedeme jen nkolik
nejzkladnjch pojm.
Zanme tedy konen v
klad stylem vta, dkaz,: : :
Definice grupy. Mnoinu G , na n je denovna binrn operace tzn.
zobrazen
f(a b) 7! a + b resp. ab resp. a bg : G G ! G
(2.1)
naz
vme grupou, plat-li vztahy
1. 8a b c 2 G a + (b + c) = (a + b) + c resp. a (b c) = (a b) c
(asociativita).
2. 90 resp. 1 2 G (takzvan
nulov
i neutrln prvek), e 8a 2 G a +0 =
0 + a = a resp. a 1 = 1 a = a.
3. 8a 2 G 9b (tzv. opan
i inverzn prvek, peme potom b = ;a resp.
b = a;1 ) takov
, e a + b = b + a = 0 resp. ab = ba = 1.
Zname-li operaci jako +, mluvme o aditivn grup, peme-li ji jako nsoben, jde e o grup multiplikativn, jindy jde o komposici! apod.
27
28
KAPITOLA 2. KDO JE GRUPA A TLESO
Cvi en. Doka te jedinenost neutr
lnho a inversnho prvku.
G
Definice. Grupu nazvme komutativn nebo Abelovou, je-li 8a b 2
: a + b = b + a: (Znak +! jsme vyhradili jen pro Abelovy grupy.)
Definice. Podmnoina P G , kter je uzavena na binrn operaci
grupy G a unrn operaci inverse, se naz
v podgrupou G . Podgrupa P G je normln podgrupou G , plat-li
8g 2 G g P fg p p 2 Pg = fp g p 2 Pg P g
(2.2)
Tdy a P fa p p 2 Pg lze nsobit (pro normln podgrupu P!) podle
vzorce (a P) (b P) = ((a b) P). Tento vzorec je korektn prv tehdy, jde-li
o normln podgrupu, nebo+ monost napsat jak
koliv souin apbp0 t ve
tvaru abp00 je ekvivalentn monosti napsat jak
koliv prvek pb t ve tvaru
bp00 p0;1 = bp000 . Vzniklou grupu naz
vme faktorgrupou grupy G podle P
a oznaujeme G =P. (Tento pojem, jako i nsledujc pojem direktnho a
polodirektnho souinu, bude pro zatenka asi velmi abstraktn a proto
tk
* je mono ho pi prvnm ten vypustit.)
Jin definice. Poadavek 8g 2 G g P = P g lze pepsat tak
jako 8g 2 G g P g;1 = P, co je dvod, pro normln podgrup tak
kme invariantn (mnno vi tzv. vnitnm automorsm
m g : p 7!
gpg;1 ). P je tedy normln podgrupou G prv tehdy, kdy
8g 2 G p 2 P gpg;1 2 P:
(2.3)
Tento vztah vyjaduje gPg;1 P, a jeliko plat i pro g;1 : g;1 Pg P ,
P g P g ;1 , je ekvivalentn g P g ;1 = P.
Pojem normln podgrupy by se nedokal docenn bez zaveden nsledujc konstrukce.
! Ge mezi dvma grupami nazveme morsmem nebo homomorsmem, pen-li grupovou operaci,
tzn.
(a b) = (a)e(b) (1) = e1 (a;1 ) = (a);f1
(2.4)
Definice morfismu. Zobrazen :
G
Vlnka zde oznauje binrn operaci, unrn operaci vybrn inversnho prvku! nebo nulrn operaci vybrn neutrlnho prvku! v Ge . Budi znmo, e
morsmus, kter
je surjekc, to jest funkc na!, se naz
v epimorsmem
a monomorsmem je morsmus v ppad, e funkce je injekc (tj. kdy
2.1. GRUPA
29
je prost
, rzn
m piad rzn). (Mnemotechnick pomcka SEMI i MISE
sloen z potench psmen tchto zobrazen vm vdy pipomene, kter
je kter.) Je-li ob, to jest zobrazen je bijekc, vzjemn jednoznan
m
piazenm, mluvme o isomorsmu.
Definice jdra. Jdrem homomorsmu ' : G
! Ge nazveme mno-
inu vzor neutrlnho prvku z Ge . Dokate, e jdro kadho morsmu je
normln podgrupou G a naopak, je-li G 0 normln podgrupou G , je G 0
jdrem morsmu fx 7! x + G 0 g : G ! G =G 0 .
Definice centra. Centrem grupy G naz
vme jej podmnoinu Z(G )
tch prvk s, pro n
8g 2 G sg = gs
(2.5)
a je to tedy podgrupa (gs1 = s1 g gs2 = s2 g ) g(s1 s2 ) = (s1 s2 )g) a to
dokonce normln, protoe gsg;1 = sgg;1 = s.
Definice prostoty. Grupu naz
vme poloprostou (polojednoduchou),
neobsahuje-li dn vlastn1 normln Abelovy podgrupy. Grupa je prost
(jednoduch), neobsahuje-li dn vlastn normln podgrupy. (U Lieov
ch
spojit
ch grup, diskutovan
ch dle, slovo dn! musme chpat jako dn krom diskrtnch!.)
Pm sou in grup. Typick
m pkladem grupy, kter nen prost, je
direktn neboli pm (tak kartzsk
) souin grup A B . Jde o kartzs-
k
souin tchto grup s jednotkov
m prvkem (1A 1B ), inversnm prvkem
(a b);1 = (a;1 b;1 ) a s operac denovanou vztahem (a1 b1 ) (a2 b2 ) =
(a1 a2 b1 b2 ). Jej poet prvk je tedy roven souinu pot prvk grup A
a B (v ppad spojit
ch grup je jej dimense rovna soutu dimens grup A ,
B ).
Takov grupa m za svoji normln podgrupu jak grupu isomorfn A
(s prvky (a 2 A 1B )), tak grupu isomorfn B .
Cvi en. Ilustrujte uveden pojmy na n
sledujcch pkladech grup:
1. (R +), jej podgrupy (Q +) a (Z +), (R nf0g ), (Q nf0g ), : : : Existuje
morsmus fx 7! ex g : (R +) ! (R n f0g ), protoe ea+b = ea eb a
dokonce isomorsmus na grupu (R + ).
Vlastn znamen netriviln: Grupa m vdy dv triviln normln podgrupy, sebe
samu a grupu obsahujc jen neutrln prvek.
1
30
2. ruleta! Zn = f0, 1, 2, : : : , n ; 1g (i j ) = (i + j ) modulo n.
Je isomorfn multiplikativn grup n sel rovnomrn rozestavn
ch
po jednotkov krunici, jednm z nich je jednotka2 : fa 2 Zn 7!
exp(2ia=n)g : Zn ! podgrupa C .
3. spojit ruleta! U 1 = fz 2 C * jz j = 1g s nsobenm komplexnch
sel. Lze sestrojit morsmus fx 7! exp(ix)g : (R +) ! (U 1 ) nebo
isomorsmus z aditivn grupy td reln
ch sel licch se o nsobek
2 (stn modulo 2).
4. Permutace na mnoin & skldn, viz dle.
5. Pemstn ili shodnosti v elementrn geometrii a rzn podgrupy
na zpsob symetrie tles (nap. isometrie dvacetistnu), symetrie
krystal apod.
6. Krystalograck grupy, v dvojrozmrnm ppad symetrie dldn. Pohle-me na obrzky ve speciln kapitole (a na text na stran 122)
vnovan tmto otzkm a charakterisujme grupy tam pojmenovan
prostorov!, bodov! neboli krystalograck! a stacionrn!.
7. Pojem grupy je stednm matematick
m pojmem i jinde ve fysice.
Ve standardnm modelu elementrnch stic, to jest teorii kvark,
lepton a zprostedkujcch boson, je dleit grupa symetri SU3 SU2 U 1 , rzn teorie velkho sjednocen se sna tuto grupu vyloit
jako podgrupu grupy vt, nap. SU5 a heterotick stringy se ji sna
doclit z grupy SO 32 nebo E 8 E 8 .
8. Historicky se pojem grupy poprv objevil zatkem 19.stolet (to jest
po roce 1800) pi zkoumn (ne)eitelnosti algebraick
ch rovnic stupn alespo ptho. Galois svj objev sepsal pes noc, nsledujc den
ml souboj kvli nnmu pohlav a nechal se odprsknout.
9. Radujme se, e v poslednm desetilet byla dokonena (snad) klasikace velk tdy grup, toti konen
ch grup, do n pat grupy krystalograck, grupy permutac, stejn jako grupa symetri dvacetistnu a
jin
ch tles a dal, tak grupa vech operac, kter lze provst s Rubikovou kostkou. Klasikace konen
ch grup je dlem srovnateln
m (i
vahou pslun knihy) s atlasem svta a je v
sledkem enormnho sil
nkolika generac algebraik.
2
Pipomnme, e exp(ix) = cos x + i sin x.
2.2. PERMUTACE
31
Kone n Abelovy grupy. Neskonale prost lohou je klasikace konen
ch komutativnch grup { dokonce vech konen generovan
ch (s konen
m genertorem), kter
m porozumte sami, zobecnte-li pojem direktnho
souinu na libovoln mnostv initel.
Vta. Kad konen Abelova grupa je isomorfn pmmu souinu
vhodn
ch cyklick
ch grup, kter jdou dokonce volit tak, e kad z nich m
poet prvk rovn
mocnin prvosla (pozor, dy grup-initel se mohou
opakovat).
G
= Zp(1)n(1) Zp(2)n(2) : : : Zp(N )n(N ) , nap. Z75 = Z3 Z25 : (2.6)
Vimnte si, e nap. grupa Z4 nen isomorfn pmmu souinu Z2 Z2
{ napklad proto, e druh mocnina kadho prvku druh z grup (nikoliv
vak prvn) je jednotkov
prvek.
generuje grupu G , jestlie
9n 9a1 a2 : : : an e 8i(ai 2 A nebo a;i 1 2 A) a e (2.7)
Definice. ekneme, e mnoina A G
8g 2 G
g = a1 a2 : : : an :
(2.8)
(Nkter ai mohou b
t stejn.) Grupa generovan jednoprvkovou mnoinou
se naz
v cyklick (nap. Zn nebo Z) a je vdy komutativn, co doka te.
2.2 Permutace
Motto.
Mte permutace rdi? Rdi mte permutace? Permutace rdi mte?
Rdi permutace mte? Permutace mte rdi? Mte rdi permutace!
Permutace je vzjemn jednoznan (tj. prost a na!) zobrazen obvykle konen mnoiny na sebe.
Pojem. Permutaci p : X ! X ozname za transposici, existuj-li
x 6= y 2 X takov, e p(x) = y, p(y) = x a jinak p(z) = z pro z 2 X n fx yg.
Definice. Jakoukoli uspodanou n-tici (x1 x2 : : : xn ), pokud p(xi )
= xi+1 pro i = 1 : : : n ; 1 a p(xn ) = x1 nazveme cyklem permutace p
dlky n ; 1.
32
6
-
R Tato situace
pro
nenastane: Ipermutace
>
-
?
Qk
? (nebylo by prost) QQ?
Definice. Uspodme-li prvky X do posloupnosti (1 2 : : : n) (kde n
je poet prvk X ), meme permutaci znzornit tabulkou
::: n
::: #
p(1) p(2) p(3) p(4) : : : p(n)
1
#
2
#
3
#
4
#
Kadou dvojici typu i < j , kde p(i) > p(j ) nazveme invers tabulky
(permutace). (Budeme mluvit o i j -inversi.) 4ipky a rmeky budeme nadle
vynechvat.
Ti ekvivalentn de
nice znaku (znamnka) permutace
znak 1p = (;1)poet invers p
znak 2p = (;1)suma dlek cykl p, tedy (;1)poet cykl lich dlky
znak 3p = (;1)k , kde k je poet transposic Ti nutn
ch k sestaven
permutace: p = T1 : : : Tk
Vta. Pojem znaku permutace je dobe denovn a vechny ti denice uruj tot. Permutacm s kladn
m resp. zporn
m znakem (znamnkem)
kejme sud resp. lich.
Dkaz.
1. znak 1 = znak 3 : Zkladn skutenost, ji je teba dokzat, je, e pidme-li k permutaci S transposici T , zmn se poet invers o lich slo.
Nech tedy P = S Tij , kde Tij je transposice mnc prvky i 6= j . Pak
m permutace P tabulku, v n je v druhm dku proti permutaci S
vymnno i-t a j -t slo. Inverse i j bu zmiz nebo se objev (v P
proti S , to je to lich slo), inverse, kterch se neastn ani i ani j ,
2.2. PERMUTACE
33
zstanou a u invers typu i a a a j (kde a je libovoln prvek tabulky)
se bu nic nezmn, nebo ob zmiz, nebo ob vzniknou, nebo jedna
vznikne a jedna zmiz.
Z toho plyne nejen rovnost znak, ale i jednoznanost denice znak 3 ,
protoe znak 1 je denovn jednoznan.
2. znak 2 = znak 3 : Kadou permutaci lze sloit z cykl a kad cyklus
dlky n lze rozepsat na komposici n transposic. Nap.
! !
1 2 3 4 = 1 2 3 4 (2.9)
2 3 4 1
2 1 3 4
! !
1
2
3
4
1
2
3
4
1 3 2 4 1 2 4 3
(2.10)
Vyhodnocujeme-li pravou stranu, to jest zjiujeme-li, co vsledn permutace piad teba trojce, je nutn nejprve pest, co piad trojce ta
pln prav permutace (4), druh zprava piad tyce tyku (4) a lev
tto tyce tyku. Proto nalevo napeme pod trojku tyku.
M ete si tak promyslet, kterak v permutaci, kter
obsahuje dva cykly, lze
tyto dva cykly slepit, slo me-li tuto permutaci s njakou transposic, pehazujc dva prvky, ka d z jednoho cyklu, a naopak, slo me-li tento cyklus znovu
s touto transposic, dostaneme dva cykly:
' $
' $
'e $
Z~Z
e
ZZ
~
e
e-e e XyX;>;
;:;
C
C
e e Z} CW Z} CW
e %
Z
= %
Z= %
&
&
&
Cvi en.
1. Sud permutace tvo norm
ln podgrupu A n grupy vech permutac Sn .
Co je faktorgrupou?
2. Doka te tuto vtu: Zobrazen fp 7! znak pg : P (X ) ! Z2 je morsmus grupy P (X ) vech permutac na mno in X do multiplikativn grupy
f+1 ;1g a ta je isomorfn cyklick dvojprvkov grup Z2 = f0 1g se
st
nm modulo 2. Sud permutace jsou j
drem tohoto homomorsmu.
34
3. (Jet ke grup
m obecn.) Grupa vech otoen a posunut trojrozmrnho prostoru (uva ujme jen ty, kter nemn orientaci) m
za norm
ln
podgrupu grupu vech posunut. Naopak podgrupa vech otoen xujcch
po
tek nen norm
ln. Uka te, pro. (Dv rzn
, vz
jemn neinversn otoen nemohou d
t dohromady identitu, a je navc skl
d
me s translacemi
v jakmkoli poad.)
Polopm sou in grup (]). Posledn cvien bylo typick
m pkla-
dem, kdy lze grupu G vech isometri popsat jako polopm souin grup
A B , kde B je normln podgrupa (dlitel) G (v naem ppad je B grupou
vech translac) a A je isomorfn faktorgrup G =B .
Polodirektn (semidirektn) souin grup A B je tedy kartzsk
souin tchto grup s operac denovanou podle
(a1 b1 )(a2 b2 ) = (a1 a2 b1 ba21 )
(2.11)
kde ba = (a)b je symbol inkovn grupy A na grup B (ili nkterho
zvolenho morsmu grupy A do grupy automorsm B , ili grupy vech isomorsm B do sebe). Konkrtn v nahoe uvedenm pklad si uvdomte, e
rotace generuje pirozen
m zpsobem automorsmus grupy translac, kter
dan translaci piad translaci ve smru pslun otoenm. (Zvolme-li triviln morsmus , kter
kadmu a piad identick
automorsmus grupy
B , dostaneme obyejn
pm
souin A B .) Kad
si me nalzt inversn
prvek k (a b) (nebo alespo ovit, e jm (a;1 (b;1 )(a;1 ) ) je), jednotkov
prvek je (1A 1B ) a asociativitu ovme zde:
'(a1 b1 )(a2 b2 )] (a3 b3 ) = (a1 a2 a3 b1 ba21 b(3a1 a2 ) )
(a1 b1 ) '(a2 b2 )(a3 b3 )] = (a1 a2 a3 b1 (b2 ba32 )a1 )
(2.12)
Prvn sloky obou v
sledk se rovnaj evidentn, ale rovnaj se i druh, ponvad (upravujeme druhou komponentu v druhm v
sledku) plat nsledujc
vzorce plynouc z toho, e (a) jsou automorsmy grupy B .
(b2 ba32 )a1 = ba21 (ba32 )a1 = ba21 b(3a1 a2 )
(2.13)
Dalm pkladem polopmho souinu je 2n-prvkov grupa 2n symetri
pravidelnho n-helnka, kter je polopm
m souinem (pesnji je mu isomorfn) grupy Z2 (hraje roli A ) a grupy Zn (kter je normln podgrupou
2n ). (~)
2.3. EIL VY BYSTE ROVNICI PTHO STUPN?
35
2.3 eil vy byste rovnici p tho stupn?
(]) Tuto sekci jsme nenazvali Galoisova teorie, abychom pli nepodrdili
ppadn na vt formln pesnost si potrpc znalce tto teorie, ale pesto
doufme, e hloubav studenty inspiruje k dumn o een rovnic vych
stup.
Mnoz jsou pesvdeni, e vzorec pro een algebraick rovnice libovolnho stupn mus existovat. Proto hned na potek pedvedeme jeden
dvod, kter
snad vru tchto osob v existenci vzorce podlom:
Hledme-li koeny rovnice (vydlili jsme koecienty u nejvy mocniny
a zavedli stdav znamnka)
xn ; axn;1 + bxn;2 ; cxn;3 + ; : : : = 0
(2.14)
chceme vlastn rozloit tento polynom na souin koenovch initel
xn ; axn;1 + bxn;2 ; cxn;3 + ; : : : = (x ; x1)(x ; x2 ) : : : (x ; xn): (2.15)
Roznsobme-li pravou stranu a uvme, e se mus rovnat vechny koecienty u jednotliv
ch mocnin x, zjistme, e a je soutem vech koen (kladn
vzat
m dky na znamnkov konvenci), b je soutem vech souin dvojic
rzn
ch koen atd.
Vimnme si, e vechny koecienty jsou invariantn3 vi libovoln permutaci koen, a toto bude zajist platit pro jakkoli jejich funkce (a2 ; b : : :).
Nezd se vm tk z nich zskat v
raz natolik asymetrick
, jak
m je x1 ?
Jak to vlastn dlme u kvadratick rovnice
x2 ; ax + b = 0, kde a = x1 + x2 b = x1 x2?
(2.16)
Umocnme a na druhou, dostaneme x21 + 2x1 x2 + x22 , odeteme 4b a zbude
nm x21 ; 2x1 x2 + x22 , co po odmocnn dv (x1 ; x2 ). Pitenm a a
vydlenm dvma dostvme koeny.
Z uvedenho postupu je snad zejm, e rzn koeny dv (jeden) vzorec
proto, e volme rzn hodnoty odmocnin. (Zde, v ppad druh odmocniny,
jde o dvojznanost znamnka, n-t odmocnina je n-znan funkce.)
Chcete-li si odvodit vzorce pro een rovnice tetho a tvrtho stupn,
doporuujeme vm sestavit si tabulky, kterak vyjdit rzn (vi permutacm koen) invariantn polynomy koen, nap.
x21 + x22 = a2 ; 2b:
(2.17)
3
Nezmn se, permutujeme-li koeny.
36
Pro kubickou
p rovnici pak pohledte na v
raz (! = exp 2i=3 je primitivn
hodnota! 3 1)
x1 + !x2 + !2 x3
(2.18)
a uvdomte si, e pokud se vm poda vypotat tento v
raz z koecient,
budete mt takka vyhrno. (Pitete k v
razu zrcadlov
x1 + !2 x2 + !x3
a souet koen x1 + x2 + x3 a dostanete 3x1 * vidme, e vzorec pro koen
bude mt tvar soutu dvou tetch odmocnin a a=3.)
Zrove tet mocnina danho v
razu vypad symetritj vi permutacm koen (a tak by se mohla lpe vyjadovat pomoc koecient), nen
vak pln:4
(x1 + !x2 + !2 x3 )3 = x31 + x32 + x33 + 6x1 x2 x3 +
(2.19)
+3!(x21 x2 + x22 x3 + x23 x1 ) + 3!2 (x1 x22 + x2 x23 + x3 x21 ):
p
Pepsnm ! do tvaru (;1=2 + i 3=2) dospjeme radostn ke stavu, kdy
jedin
vi permutacm neinvariantn len bude
p
i3 3=2(x21 x2 + x22 x3 + x23 x1 ; x1 x22 ; x2 x23 ; x3 x21 ):
(2.20)
Ten ovem ji lze zskat jako druhou odmocninu v
razu vi vem permutacm invariantnho podobn, jako x1 ; x2 u kvadratick. (Pod onmi stan
mi
tetmi odmocninami bude souet njak
ch polynom z koecient a jaksi
druh odmocniny.)
Provedete-li naznaen kroky, dospjete k een: jet je vak uiten
substituc x = y ; a=3 rovnici pevst do formy s nulov
m koecientem u x2 ,
co se projev tm, e lze vykrtat vechny leny obsahujc a. Zvrem bude
Cardan
v vzorec: rovnice
y3 + py + q = 0
(2.21)
m koeny (rzn znamnka ped druhou odmocninou prv zaji+uj zrcadlovost! v
raz)
v
s 3 2 v
s 3 2
u
u
u
u
q
p
q
q
3
3
t
t
y = ; 2 + 3 + 2 + ; 2 ; p3 + 2q :
(2.22)
Podobn lze v radiklech (pomoc odmocnin) vyeit i rovnici tvrtho
stupn (zkuste si to). Pro odvozen je teba znt triky pro een rovnice
kubick. Zkuste zat s v
razem
(x1 + x2 ; x3 ; x4 ):
(2.23)
4
V
raz pak napeme ve tvaru tet odmocniny tto !tet mocniny".
2.4. NEHMOTN TLESA
37
Teprve potom trochu pochopte, pro nelze eit rovnice vych stup,
shrnete-li postup een:
Z koecient jsme vdy sestavili (symetrick
vi Sn ) v
raz, odmocnili,
a dostali tak formuli F , kter se nsob nkterou odmocninou z jednotky odpovdajcho stupn pi urit permutaci koen. Nali jsme tak charakter
(morsmus do U 1 ) grupy dosud ppustn
ch permutac. Tm, e k takovmu v
razu piteme v
raz symetrick
nebo zrcadlov
, dostaneme vzoreek,
kter
zcela mn hodnotu pi permutacch, vi kter
m nen F invariantn.
Zajmme se tedy jen o podgrupu permutac, kter F nechvaj beze zmny
(kejme tomu naruen grupy symetri Sn do G , nap. A n ). Tato grupa G je normln podgrupou grupy pedchoz, jako kad jdro charakteru.
Tvorbou nov
ch v
raz a dalm odmocovnm postupn naruujeme grupu
symetri danho v
razu a na 1G , grupu obsahujc jen identickou permutaci.
Naruen grupy probh S2 ! A 2 = 1G resp. S3 ! A 3 ! 1G resp. S4 !
A 4 ! B 4 ! 1G , kde B 4 je (lokln) oznaen pro typrvkovou podgrupu A 4
isomorfn Z2 Z2 s prvky
(1 2 3 4) ! f(1 2 3 4) (2 1 4 3) (3 4 1 2) (4 3 2 1)g:
(2.24)
U vych stup postup nelze realisovat, ponvad znm vta (obsaen v uebnicch algebry) k, e grupa A n je prost pro n > 4. Prostotu A 5
(vzorce pro rovnice vych stup by nm umonily odvodit i vzorec pro
rovnici ptho stupn) dokete tak, e si uvdomte, e ppadn normln podgrupa grupy A 5 by musela (aby nebyla triviln) obsahovat alespo
jednu neidentickou permutaci p, kter me mt v ppad pti prvk jednu
z nsledujcch struktur cykl: cyklus dlky 4, cyklus dlky 2, dv transposice. Aby vak byla normln, mus obsahovat s permutac p vechny prvky
gpg;1 , g 2 A 5 , a tud (jak zjistte) by musela obsahovat vechny prvky
stejn struktury cykl. Z poadavku uzavenosti na komposici vak vyvodte, e mus obsahovat vechny permutace z A 5 (a jde tedy stejn o triviln
podgrupu), protoe cyklus dlky 2 lze zapsat jako komposici cykl dlky 4
apod. (~)
2.4 Nehmotn tlesa
Seznmme se s pklady algebraick
ch struktur proti grup bohatch o dal
operaci.
Definice. Mnoinu M se dvma binrnmi operacemi +! a ! nazveme
okruhem, plat-li
38
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
a (b c) = (a b) c
90 : a + 0 = 0 + a = a
8b 9a a + b = 0 = b + a, (b = ;a)
91 : a 1 = 1 a = a
a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc
Pklad. Zobrazen na R n mohu skldat ( !), ale i stat ( +!): (' +
)(a) := '(a) + (a): Nejde vak jet o okruh (co nen splnno?) Okruh
dostaneme, bereme-li linern zobrazen (viz dle). Podrobnj diskusi tchto
a dalch pbuzn
ch pojm (obor integrity: : : ) viz algebraick uebnice.
Ns bude dle nejvce zajmat nsledujc speciln ppad okruhu:
Definice. Okruh nazveme tlesem, pokud
8a 2 M n f0g 9b 2 M , e
ab = ba = 1 a zname b = a;1 :
(2.25)
(2.26)
Pklady tles.
1. Zp, kde p je prvoslo { cyklick grupa s p prvky: Tlesem Zp zde
mnme tleso sel f0 : : : p ; 1g se stnm a nsobenm modulo p
(zbytek po dlen p)* je vidt, e v ppad, e p nen prvoslo (nap.
77), najdeme v Zp njak s nm soudln slo (nap. 14), jeho kad
nsobek (modulo p) bude dliteln
jejich nejvtm spolen
m dlitelem (zde 7) a tedy neme b
t roven jednice (ze Zp )* nenajdeme tedy
inversn prvek. Naopak, je-li p prvoslo, najdeme pro kad nenulov
i 2 Zp inversn prvek (nap. v Z7 jsou inversn prvky k 1,2,3,4,5,6 po
ad 1,4,5,2,3,6, teba 5 3 modulo 7 = 1.)
2. Krom Zp s prvoseln
m p lze sestrojit komutativn tlesa, kter maj
pn prvk (mocnina prvosla), kter si lze pedstavit jako polynomy
nejv
e (n ; 1)-nho stupn s koecienty ze Zp , se stnm modulo p
v kadm stupni x a nsobenm modulo njak
vhodn
(ireducibiln,
to jest nerozloiteln
na souin jednoduch) polynom n-tho stupn. (Operace modulo polynom n-tho stupn se provd odetnm
souinu tohoto polynomu s njak
mi xi , dokud nedostaneme polynom
nejv
e (n ; 1)-nho stupn.)
2.4. NEHMOTN TLESA
39
3. (Q + ). Vte, jak se n
sob a staj zlomky?
4. (R + ) a jeho nejvt komutativn nadtleso (C + ).
Pro nejsou uiten teba u-komplexn sla x = a + bu, u2 = 1?
Inversn slo k x lze pst jako x;1 = (a ; bu)=(a2 ; b2 ) a neexistuje
pro x = a(1 u) { z puristickho hlediska tedy nespluje aximy pro
tleso.
Zsadnj je, e takov u-komplexn sla se rozpadaj na dv nezvisl
reln sla* napeme-li dv u-komplexn sla ve tvaru
x = a 1 +2 u + b 1 ;2 u y = c 1 +2 u + d 1 ;2 u (2.27)
lze potom zapsat souin xy jako souet dvou sloek, z nich prv je
souinem jen prv
ch sloek initel a druh je souinem druh
ch:
(2.28)
xy = ac 1 +2 u + bd 1 ;2 u
Pesn tak se nsob diagonln matice x resp. y s sly a b resp. c d
na diagonle. (Ov uveden
fakta.)
5. Mnoina sel typu fm + pp : n j m 2 T n 2 Tg pro p 2 T, pp 2= T pro
dan tleso T (zprvu T = Q ) jsou tlesa, hrajc velkou roli v dkazech
nemonosti trisekce hlu apod.
6. U kvaternion se pozdrme troku dle.
Kvaterniony, nejvt nadtleso tlesa R , objev Williama Rowana Ha-
miltona (podle nho zname tleso H ) z roku 1843. Pat k nejastji citovan
m pkladm zblesku gnia! v matematick literatue, o em se,
spolu s popisem v
jimen osobnosti W.R.Hamiltona, mete dost nap.
v asopise Math. Intelligencer 11/2(1989).
Chceme-li mt tleso s vce ne jednou imaginrn jednotkou (pouh dv
nesta, jak se d nahldnout), aby
i2 = j 2 = k2 = : : : = ;1
(2.29)
pedepeme-li jet vztah ne a uvaujeme-li jen ti jednotky i j k
ij = k
(2.30)
40
je u ve dal ureno denic tlesa, vztahy nap.
ij = k ) i2 j = ik ) ;ik = j apod.
(2.31)
Kvaterniony jsou tedy sla! tvaru
x = + i + j + k f g R
(2.32)
stajc se zejm
m zpsobem a nsobc se v souladu s distributivnm zkonem a s pravidly (vimnte si nekomutativity)
i2 = j 2 = k2 = ;1 ij = k = ;ji jk = i = ;kj ki = j = ;ik:
(2.33)
Vechna mon nadtlesa C s maximln dimens jsou isomorfn s kvaterniony. Pi dkazu se vyuv vhodn volba kombinac ?-maginrnch jednotek, aby byly splnny podmnky i2 = j 2 = k2 = ijk = ;1.
Pokuste se najt x;1 . : : : Nevte-li, prozkoumejte slo
; i ; j ; k
2 + 2 + 2 + 2 :
(2.34)
V itateli je sdruen kvaternion, ve jmenovateli tverec jeho normy.
2.5 Cayleyova sla
(]) Jet vt tleso ne kvaterniony dostaneme, opustme-li poadavek asociativity n
soben. Kad Cayleyovo slo neboli oktonion m
svj oboustrann
inversn prvek. Zn
me-li distributivn z
kon a pirozen z
kon st
n, tak jedin,
co je teba najt pro nalezen jejich struktury, je multiplikativn tabulka imagin
rnch jednotek.
Prozrame hned na po
tku, e algebra Cayleyovch sel (zname ji O ) m
imagin
rnch jednotek sedm, je tedy osmirozmrnm prostorem nad R . Mete si
promyslet, pro v jin dimensi nic podobnho nefunguje.
Pokud se dozvte, e obsahuje za sv podtleso kvaterniony (a e tverec kad
imagin
rn jednotky je ;1), jist v
s symetricko-estetick dvody pivedou k ve,
e kvaterniony obsahuje vcekr
t: kejme kvaternionick trojice trojici Cayleyovch sel (obvykle imagin
rnch jednotek), kter se chovaj jako i j k. Ozname-li
imagin
rn Cayleyovy jednotky jako i j k A B C D, napadne n
s, e (krom ijk)
tak ABC mohou tvoit trojici. Hned se ale dostaneme do nesn
z, protoe souiny
iA a iB mus bt oba D (chceme-li, aby souinem dvou imagin
rnch jednotek
byla plus minus jin
) a souin iD ji nelze denovat v souladu s poadavkem, aby
kad dv rzn jednotky spolu s jejich souinem tvoily trojici.
2.5. CAYLEYOVA SLA
41
Existuje vak een tveice ABCD lze rozdlit na dvojice temi zpsoby, ke
kadmu zpsobu lze piadit jednu jednotku z fi j kg. Tedy budeme mt sedm
imagin
rnch jednotek, jejich tverce budou ;1, kter navz
jem antikomutuj, a
kvaternionick trojice zskaj tvar (z jistch dvod je teba ps
t iDC kCB msto
iCD kBC )
ijk iAB iDC jAC jBD kCB kAD:
(2.35)
Vimnte si, e kad
dvojice jednotek je v pr
v jedn trojici, a jej souin je tedy
dobe denov
n. Pklad neasociativity je
(ij )A = kA = D 6= ;D = iC = i(jA):
(2.36)
Podobn, jako lze zskat H z mnoiny C C , lze O zskat z H H , pedepeme-li
pro n
soben
(x + yA)(x + y A) = (xx ; y y) + (yx + y x)A x y x y 2 H :
0
0
0
0
0
0
0
0
(2.37)
Zajmav
je ot
zka automorsm uveden algebry. Poadujeme-li po automorsmu
', aby
'(a + b) = '(a) + '(b) '(a b) = '(a) '(b)
(2.38)
zjistme, e komplexn sla maj grupu automorsm isomorfn Z2 (krom identickho automorsmu komplexn sdruen), automorsmy kvaternion tvo grupu
SO (3) (ti imagin
rn jednotky lze otoit trojrozmrnou ortogon
ln transformac)
a Cayleyova sla maj zvl
tn grupu automorsm G 2 . Jde o podgrupu SO (7) {
kvaterniony lze tak ortogon
ln ot
et, ale nikoli zcela voln dimense grupy G 2
je jen 14 ve srovn
n s dimens 21 = 7 (7 ; 1)=2 grupy SO (7), viz str. 114.
Jak vypadaj takov transformace grupy G 2 ? Shrom
dme-li k sob zbytky kvaternionickch trojic od jedn imagin
rn jednotky { napklad i (to jest jk AB DC ),
meme ci, e lze rotovat do sebe souadnice j a k, stejn jako A a B nebo D
a C , ovem v grup G 2 mus bt celkov !hel tchto t otoen nulov (proto je
dimense G 2 jen dvoutetinov
ve srovn
n s SO (7)).
Ovte-li, e algebra je skuten symetrick
vi uvedenm rotacm, snadno
pak i pochopte, pro m
kad prvek jednoznan oboustrann inversn prvek.
Co se te invariant, m
grupa G 2 invariant grupy SO (7) (metrick tensor
mn ) a navc antisymetrick tensor ymno (indexy m n o nabvaj hodnot i j k A B
C a D), kter je nulov vyjma ppad, kdy m n o tvo kvaternionickou trojici
(pak nabv
znaku permutace). G 2 lze tak charakterisovat jako podgrupu SO (7),
kter
ponech
v
na mst njak prvek spinorov representace.
Ostatn vyat grupy. Grupa G 2 je jednou z Cartanovch vy"atch grup,
o nich jet uslyme. Kad
z nich me bt charakterisov
na jako grupa automorsm njak neasociativn algebry (struktury podobn okruhu, viz def. na str.
37).
Dvodem, pro neuk
eme tyto algebry s grupami symetri E 6 E 7 E 8 , je jejich
sloitost. #ekneme jen, e F 4 je grupa automorsm algebry A (3 O ), to jest vech
42
hermitovskch matic 3 3 s Cayleyovmi elementy a operac denovanou jako
(2.39)
antikomut
tor A B = 12 (AB + BA):
Takov
matice obsahuje ti nez
visl
re
ln
sla na diagon
le a ti dal Cayleyova sla mimo diagon
lu, dimense A (3 O ) je tedy 27, ovem jednotkov
matice
pi automorsmu mus pejt opt na sebe. To je dvod, pro v sekci Cartani
da
prohl
sme, e fundament
ln representace F 4 je 26-rozmrn
.
2.6 Trisekce hlu pravtkem a krutkem
Stovky lid se snailo a mnoz dodnes sna roztetit !hel. V tto sekci uk
eme,
pro je nemon rozdlit obecn !hel na tetiny pomoc pravtka a krutka.
Uk
eme5 nejprve, e vechny body, kter lze sestrojit, maj souadnice, kter
jdou zapsat jako vraz obsahujc st
n, odt
n, n
soben, dlen a druh odmocniny, a nazname, e body, kter by musely jt vytvoit, kdybychom umli roztetit
!hel, maj souadnice, kter nemaj takovto jednoduch tvar z druhch odmocnin.
Budeme postupn roziovat tleso Ti , podtleso R , obsahujc vechny x-ov a
vechny y-ov souadnice. Zaneme s i = 0 a T 0 = Q . Nov body (x y) lze zskat
jako prnik pmky s pmkou
x ; x1 y ; y1 x ; x3 y ; y3
x2 ; x1 = y2 ; y1 a x4 ; x3 = y4 ; y3 (2.40)
krunice s krunic
2
2
(x ; x1 )2 + (y ; y1 )2 = r12
a (x ; x3 )2 + (y ; y3 )2 = r34
(2.41)
nebo pmky s krunic,
2
(x ; x1 )(y2 ; y1 ) = (y ; y1 )(x2 ; x1 ) a (x ; x3 )2 + (y ; y3 )2 = r34
(2.42)
kde pmky spojuj ji vyznaen body a krunice maj sted v nkterm vyznaenm bod a maj polomr, aby na nich leel njak ji odkryt bod. To jest
xi yi rij2 (xi ; xj )2 + (yi ; yj )2 2 Ti . Vyeenm prvn dvojice rovnic dost
v
me, e i x a y le v Ti , tedy nic novho. U druh dvojice lze dv rovnice od
sebe odest, x2 + y2 se poere a zbude line
rn rovnice, kter
v kombinaci s jednou
z kvadratickch d
soustavu tho typu, jakou je tet, opt s koecienty z Ti . p
Kdy eme tet,
p bu budou x a y z T i , nebo budou tvaru x resp. y = m+pn d,
kde m n d 2 Ti a d 2= Ti . V druhm ppad sta rozit tleso na Ti & d], to
jest na
p
p
(2.43)
T i+1 = T i & d] = fm + n d j m n 2 T i g:
5
Dkujeme panu Petru Vopnkovi za inspiraci.
2.6. TRISEKCE #HLU PRAVTKEM A KRU$TKEM
43
p
p
To je opravdu tleso,p protoe (m + n d) 1 = (m ; n d)=(m2 ; n2 d). (Tleso C lze
pak ch
pat jako R & ;1].) Protoe operac s krutkem a pravtkem dl
me konen
;
poet, sta konenkr
t rozit tleso. Vechny souadnice bod, je dostaneme,
budou tud z njakho rozenho tlesa Tn .
Kdybychom umli dan !hel 3 roztetit, pak bychom umli sestrojit vzd
lenost
tan pi dan jednotkov vzd
lenosti a danm tan 3.
+ tan tan 2 = 2 tan tan( + ) = 1tan
(2.44)
; tan tan 1 ; tan2 3
2 tan + tan (2.45)
tan 3 = 1 tan2 tan = 3 tan ; tan
1 ; 3 tan2 1 ; 2 tan 1 tan2
Sekvenci rovnost a( si verikuje kad s
m. Posledn vzorec nen nic jinho ne
kubick
rovnice pro tan .
;
;
tan3 ; 3 tan 3 tan2 ; 3 tan + tan 3 = 0
p
(2.46)
Pokud m
ale tato
p rovnice s koecienty z Ti koen zpT i+1 , teba m + n d, kde
m n d 2 pT i a d 2= Ti , pak m
tak koen m ; n d (polynom se rozpadne na
M + N d a mus bt M = N = 0, speci
ln pro d = ;1 zde tvrdm, e rovnice
s re
lnmi koecienty obsahuje s komplexnm koenem i komplexn sdruen). Pro
kubickou rovnici je ale faktor u kvadratickho
lenu minus
p
p soutem koen, ili tet
koen le v Ti je roven ;(m + n d) ; (m ; n d) ; kvadratick koecient.
Indukc dost
v
me, e pokud m
kubick
rovnice koen z Ti , m
pak i racion
ln
koen (T 0 Q ). Nen tk nahldnout, e urit pro njak racion
ln (ba pro
vtinu) tan 3 nebude mt6 racion
ln koen, m tvrzen dok
eme (detaily v dal
subsekci).
T z
vr bychom dostali pro kubaturu krychle (rovnice x3 = 2, nalezen hrany krychle s dvojn
sobnm objemem) nebo kupkladu pro konstrukci pravidelnho
sedmi!helnka. (Pravideln pti!helnk jde sestrojit!)
Racionln koeny
Chtjme nalzti vechny racion
ln koeny algebraick rovnice s celoselnmi koecienty an : : : a1 a0 :
an xn + : : : + a1 x + a0 = 0
(2.47)
Dosadme-li poadovan tvar koenu x = p=q (meme uvaovat, e p q jsou nesoudln
cel
sla) do tto rovnice, dostaneme po vyn
soben vrazem qn rovnici
an pn + an 1 pn 1 q + : : : + a1 pqn 1 + a0 qn = 0:
;
6
;
;
(2.48)
#hel 3 s racionln tangentou jde vdy sestrojit a pesto nejde nar
sovat jeho tetina.
44
Napeme ji ve dvou tvarech, v nich je n
zornj
an pn = ;q(an 1 pn 1 + : : : + a1 pqn 2 + a0 qn 1 )
(2.49)
a0 qn = ;p(a1qn 1 + : : : + an 1 pn 2q + an pn 1 )
(2.50)
n
e (podle prvho) an mus bt n
sobkem q (p a q jsou nesoudln
) a e (podle
druhho) a0 mus bt n
sobkem p (qn a p jsou nesoudln
, v z
vorce jsou vdy cel
;
;
;
;
;
;
;
;
sla).
Nyn ji sta zkontrolovat sla p=q, kter
pipadaj do !vahy.
Pro tedy nelze sestrojit pravideln sedmi!helnk?
Protoe by musel jt sestrojit !hel = =7. Zkontrolujte n sledujc vzorce.
2
tan 4 = tan(2 2) = 4 tan (12 ; tan 4)
(2.51)
1 ; 6 tan + tan 3 ; tan2 2
1
;
tan
tan 7 = tan(3 + 4) = tan +4
(2.52)
1 ; 3 tan2 1 ; 6 tan2 + tan4 Ale pro = =7 je tan 7 = 0 a jeliko tan 6= 0, mus bt nulov
z
vorka. Peme-li
x = tan2 , m
me tedy rovnost
3 ; x + 4 ; 4x = 0 neboli x3 ; 21x2 + 35x ; 7 = 0
(2.53)
1 ; 3x 1 ; 6x + x2
co je kubick
rovnice, kter
(dky skutenostem ve) neme mt jin re
ln racion
ln koeny ne ;1 1 ;7 7. *
dn ale rovnici nee (zkontrolujte), a tak nelze
sestrojit !seku dlky tan2 =7, a tedy ani !seku dlky tan =7:
Sestrojen !seek dlek x a x2 jsou ekvivalentn !koly, ponvad m
me-li x,
sta narsovat podobn troj!helnky, jeden se stranami 1 x, druh s odpovdajcmi stranami x y a bude y = x2 . Naopak, lze vyznait na pmku sousedn !seky
o dlk
ch ca = 1 cb = x2 , nad !sekou ca + cb zkonstruovat Thaletovu krunici a
sestrojit kolmici v bod dlcm !seky ca cb . Vka v danho troj!helnka pak bude
x podle Euklidovy vty o vce v2 = ca cb . (~)
Kapitola 3
Prostory pln vektor
Touto kapitolou zan vlastn v
klad linern algebry.
Definice. Nech+
je komutativn tleso* dle mjme na mysli vdy R
nebo C , piem oba tyto ppady budou velmi dleit a v lecems odlin.1
Mnoinu V nazveme linernm nebo vektorovm prostorem nad T ,
jsou-li denovny na V operace stn! a nsoben konstantou! z T splujc nsledujc axiomy (neutrln prvek prostoru jakoto grupy 0V budeme
znait ~0)
T
1. (V +) je komutativn grupa
2. 8 2 T 8~v 2 V ( ~v) = ( ) ~v
3. 0T ~v = 0V (;1T ) ~v = ;~vV
4. (~u + ~v) = ~u + ~v
5. ( + ) ~v = ~v + ~v
Prvky takovho prostoru naz
vme vektory a zname ~u apod. Kdybychom podtren slovo tleso! v denici nahradili slovem okruh!, v
sledn
objekt bychom naz
vali modulem.
Nevnujeme pozornost prostorm nad jin
mi tlesy, a jsme si vdomi toho, e je
studuj v dnen matematice obory z nejprestinjch, jak
m je algebraick geometrie. Zpo tku si mete pedstavovat prostory reln, na pechod ke komplexnm v as
upozornme.
1
45
46
KAPITOLA 3. PROSTORY PLN VEKTOR%
Pojem linern kombinace. Jak
koliv vektor tvaru soutu nsobk
konenho potu vektor
~v =
n
X
i=1
~vi i
(3.1)
nazveme linern kombinac vektor ~v1 : : : ~vn .
Definice. Pro libovolnou mnoinu M vektor nazveme jejm linernm
obalem linern prostor vech linernch kombinac vektor z M a zname
ho
n
X
(M ) = f ~vi i 8i ~vi 2 M i 2 Tg:
(3.2)
L
i=1
Definice. Base prostoru V je kad minimln2 mnoina vektor (dle
msto adjektiva minimln! budeme mluvit o linern nezvisl
ch vektorech), jejm linernm obalem je cel V , a dimense je poet tchto vektor.
O jednoznanosti pojmu dimense pesvdme nedviv v sekci o Steinitzov vt. Obvykle budeme mluvit o prostorech konen dimense, ale mnoh
zvry mohou b
t elegantn pevedeny i do situace nekonen dimense.
Definice. ekneme, e M
V generuje V , pokud
8~v 2 V 9~v1 ~v2 : : : ~vn 2 M a 1 2 : : : n 2 T, e ~v =
n
X
i=1
~vi i : (3.3)
Pklady linernch prostor.
1. Vektory v rovin a v prostoru z elementrn geometrie.
2. R n = R| R {z: : : R} :
3. C n :
n
4. Prostor F(X ) vech funkc (reln
ch i komplexnch) na njak mnoin X . Je-li X interval, jde o veliknsk
prostor, pro interval X = h0 1i
hle- na dal pklady.
5. C h0 1i spojit funkce na h0 1i :
2
Takov, z n nelze dn
ubrat tak, e se linern obal nezmn.
3.1. LINERN NEZVISLOST
47
6. P h0 1i polynomy, Pn h0 1i polynomy nejv
e n-tho stupn.
7. T h0 1i trigonometrick polynomy, kombinace funkc cos 2nx a sin 2nx
pro n 2 N .
8. Prostor funkc po stech konstantnch na h0 1i, vyjma dlcch bod
0 < a1 < a2 < : : : < an < 1:
9. Prostor spojit
ch funkc po stech linernch.
10. Mnoina een soustavy linernch rovnic s nulovou pravou stranou.
11. Prostor vech (resp. jen omezen
ch resp. konvergentnch) posloupnost.
12. Patologick
pklad: R coby linern prostor nad tlesem racionlnch
sel (podobn zvrhlost! se uv pi dkazu existence nemiteln
ch
mnoin v teorii mry).
13. Magick neboli latinsk tverce, tvercov tabulky sel, v nich
se navzjem rovnaj vechny dkov a sloupcov souty, ppadn dle
libosti i souty po diagonlch.
14. Miliony dalch pklad.
kol. Hledejte base uvedench prostor (ne ka d prostor m
basi piro-
zen zadanou jako 2),3) nebo i 6), nap. 9),10)), sestrojte tmto isomorsmy do
vhodnho R n (je-li to mo n) a urete dimense.
3.1 Line rn nez vislost
Definice. Vektory ~v1 : : : ~vn 2 V nazveme linern zvisl, existuje-
li n-tice sel
(1 : : : n ) 2 T n n f(0 0 : : : 0)g
takov, e
n
X
i=1
~vi i = 0:
(3.4)
(3.5)
Zde T znamen R nebo C . Pro kad i, pro n i 6= 0, lze vyjdit vektor
~vi jako linern kombinaci ostatnch vektor
~vi =
X
j 6=i
j
~vj j kde j = ; i :
(3.6)
48
Necel dimense
(]) Neodpustme si z tmatu vyboujc poznmku urenou pro zvdav tene, kte si chtj zapem
let nad fraktly, to jest tvary sob podobn
mi
(zvtme-li fraktl, vidme podobnou strukturu jako ped zvtenm), o tom,
e mnohdy m smysl mluvit i o neceloseln dimensi. Rozpracovn teorie
takov
ch prostor zahjil jeden z nejvtch (snad nejvt) matematik naeho stolet John von Neumann.3
Uvame, e trojrozmrn
prostor m podmnoiny trojrozmrn (cel
prostor, kvdry, koule atd.), dvojrozmrn (povrchy kvdr, koul, kruhy atd.)
a jednorozmrn (kivky) a e objem (mra) tlesa dimense men ne ti je
nulov
.
Podobn brzy uslyte, e Lebesgueova mra Cantorova diskontinua
na pmce je nulov. Cantorovu diskontinuu lze pipsat dimensi ln 2= ln 3
v souladu s nsledujc denic. (Pesvdte se, e pro tvary s celoselnou
dimens d
v
spr
vn hodnoty.)
Jak ji spo tat. V R n mjme omezenou mnoinu bod M . Pro ka-
dou pesnost C najdme co nejlep zpsob s co nejmenm B (C ), kterak
lze pro kad
bod P z M pomoc B (C ) bit informace vypotat souadnice
takovho bodu A, aby ml od bodu P vzdlenost men ne 2;C (nebo jinak
eeno, aby se kad souadnice A liila od odpovdajc souadnice P mn
ne o 2;C , tj. byla s pesnost na C bit). Zobecnnou (Hausdorovou)
dimens pak rozumme limitu pomru B (C )=C pro C ! 1. (Uvejme denici jen pro omezen mnoiny.) Pojem v
e uveden
se obvykle formalisuje
nsledujcm zpsobem:
Definice. Nazvme "-st dan mnoiny M takovou jej konenou pod-
mnoinu N , e kad
bod m od mnoiny N vzdlenost nejv
e ". Hausdor.ova dimense se denuje jakoto
ln n d = "lim
!0 ln (1=")
(3.7)
pokud tato limita existuje, kde n oznauje minimln mon
poet prvk
"-st N .
$lechtickou pedponu zskal jeho otec za to, e pj il csai penze. Ji jako mal
projevoval John matematick nadn, a tak se jeho otec rozhodl, e z nho vychov velkho
matematika. Nue platil nejlep matematiky, aby Johna u ili, a vychoval z nho svtovho
matematika.
3
3.1. LINERN NEZVISLOST
49
Pojem Cantorova diskontinua. Jde o podmnoinu intervalu h0 1i
tch sel, kter lze ve trojkov soustav zapsat jako 0 abcde : : :, kde slice a b c d e : : : jsou jen nuly a dvojky, piem sem pat i sla typu
(0 02222 : : : )3 (toto je tot jako (0 1)3 = 1=3).
Z hlediska teorie mnoin je to mnoina nespoetn (nelze jejm prvkm
vzjemn jednoznan padit pirozen sla), jej mohutnost je stejn, jako mohutnost kontinua: sta nahradit dvojky v zpise jednotkami a vznikl
slo interpretovat jako binrn, m Cantorovo diskontinuum jednoznan4
piadme intervalu h0 1i.
Mnoinu lze nzorn zskat tak, e interval h0 1i rozdlme na ti sti
a prostedn (oteven
interval (1=3 2=3)) vypustme. Kad
zbyl
interval rozdlme na ti sti a prostedn vypustme (tj. intervaly (1=9 2=9) a
(7=9 8=9)). Takto postupujeme do nekonena* Cantorovo diskontinuum je
tedy prnikem mnoin po n vyktrtnutch pes n 2 N .
Celkem vynechme z intervalu h0 1i seky o celkov dlce
1 + 2 + 4 + 8 : : : = 1=3 = 1
(3.8)
3 9 27 81
1 ; 2=3
ili zbude mnoina mry nula. (~)
Czech-shmade 1994
Bod na kup.doln tetin obrysu obrazce,
kter zsk
me po nekonenkr
t provedenm
pistaven rovnostrannho troj!helnka na
prostedn tetinu kad strany (viz obr.),
lze popsat desetinnm slem z intervalu
(0,1) ve tykov soustav, kde k-t
slice
(0,1,2,3) ud
v
, na kter tvrtin strany
v k-tm stupni rozlien bod le. Protoe
dlky !seek klesaj jen jako 3 k ,
pipeme frakt
lu (obrysu) dimensi
log 4/log 3.
(3.9)
;
Isomor
smus, podprostory, reln a komplexn dimense
Definice. Zobrazen ' : V ! W mezi dvma linernmi prostory nazve4
A na njakou spo etnou mnoinu% p.: (0 02222 : : :)3 6= (0 20000 : : :)3 , ale
(0 01111 : : :)2 = (0 10000 : : :)2 .
50
me isomorsmem, je-li vzjemn jednoznan (prost a na!) a linern.
~)
'(~v + ~w) = '(~v) + '(w
(3.10)
Definice. Podmnoinu linernho prostoru, kter je sama vektorov
m
prostorem v indukovan operaci + a , nazveme podprostorem. Je-li W
podprostor V (dle zname prost W V ), nazveme faktorprostorem
(pochopte, pro jde o speci
ln pklad faktorgrupy) V podle W mnoinu vech
td prvk typu
~a + W = f~a + ~v j ~v 2 W g
(3.11)
a zname ho V =W . Stn a nsoben zavdme pedpisem
(~a + W ) + (~b + W ) := (~a + ~b) + W (~a + W ) := ~a + W :
(3.12)
Ovte korektnost5 tchto denic.
Vta. Ozname-li symbolem dim V dimensi prostoru V , plat
1. Pro W V je dim W dim V . Pro ppad konen dimense a W 6= V
je nerovnost ostr.
2. dim W + dim V =W = dim V
Lemma. Nech+ ~v1 : : : ~vn je base podprostoru W V . Pak ji lze doplnit
na basi celho V (m > n)
~v1 : : : ~vn ~vn+1 : : : ~vm piem tdy
~vn+1 + W : : : ~vm + W
tvo basi faktorprostoru V =W .
(3.13)
(3.14)
Tvrzen. Nech+ W 1 V , W 2 V . Pak
dim W 1 + dim W 2 = dim W 1 \ W 2 + dim L(W 1 W 2 ):
5
Vnitn neprotie ivost.
(3.15)
3.2. STEINITZOVA VTA
51
~ 1:::n a vektory ~z1:::p
Dkaz. Je-li ~v1:::m base W 1 \ W 2 , lze najt vektory w
tak, aby vektory
~v1 : : : ~vm w
~ 1 : : : w
~ n tvoily basi W 1
~v1 : : : ~vm ~z1 : : : ~zp tvoily basi W 2 :
(3.16)
~ 1:::n, ~z1:::p tvo basi L(W 1 W 2 ).
Pak ji jen ovte, e ~v1:::m , w
Vta. Isomorfn prostory maj stejnou dimensi, prostory stejn dimense
nad t
m tlesem jsou isomorfn.
Vta. Dimense komplexnho prostoru V chpanho jako prostor nad
tlesem reln
ch sel je dvojnsobn proti komplexn dimensi tho prostoru
dimR V = 2 dimC V (3.17)
protoe tvo-li ~v1 : : : ~vn komplexn basi V , vytvej prvky ~v1 : : : ~vn a
i~v1 : : : i~vn relnou basi V .
Dal lohy.
1. Najdte dimensi, sestavte co nejpirozenj basi prostoru vech funkc
spojitch na R , kter jsou navc line
rn v zadanch intervalech (;1 a0 )
(a0 a1 ) : : : (an;1 an ) (an 1), kde a0 < a1 < : : : < an . Zkoumejte
line
rn nez
vislost funkc fn(x) = jx ; an j, fn+1 (x) = 1 a fn+2 (x) = x.
2. Dumejte nad line
rn nez
vislost soubor funkc:
(a)
(b)
(c)
1 x x2 x3 : : :
e1 x e2 x e3 x : : : 1 < 2 < 3 : : :
sin 1 x sin 2 x sin 3 x : : : (po adavky na i ?)
3. Najdte co nejvce co nejodlinjch pklad podprostor line
rnho
prostoru vech posloupnost.
3.2 Steinitzova vta
Mjme ve vektorovm prostoru V
1. njak linern nezvisl vektory ~v1 : : : ~vm
52
~ 1 : : : w
~ n takov, e 8i ~vi 2 L(fw
~ 1 : : : w~ ng) to jest
2. a dal vektory w
~ 1 : : : w
~ n.
kad
vektor ~vi je linern kombinac vektor w
POTOM PLAT5 m n.
Dsledek. Nazvali jsme
bas jakoukoliv mnoinu nezvisl
ch vektor
~v1 : : : ~vn e V = L(f~v1 : : : ~vng). Libovoln dv base maj potom stejn
poet prvk neboli dimensi, kter je tm pdem dobe denovna.
Mjme
Dkaz dsledku ze Steinitzovy vty.
dv
base
~v1 : : : ~vm a w
~ 1 : : : w
~ n. Uijme dvakrt Steinitzovu vtu dle schematu:
~ 1 : : : w
~ n nezvisl =) n m
(f~v1 : : : ~vm g) = V & w
~ 1 : : : w
~ n g) = V & ~v1 : : : ~vm nezvisl =) m n:
(fw
L
L
(3.18)
Vroky vlevo nahoe a vpravo dole resp. vpravo nahoe a vlevo dole zname~ i tvo basi.
naj, e ~vi resp. w
Lemma o vmn, zklad dkazu Steinitzovy vty. Nech+
w~ 2 (f~v1 : : : ~vm g) w~ =
L
m
X
i=1
~vi i :
(3.19)
Je-li j 6= 0, tak
L
~ ~vj+1 : : : ~vm g) = L(f~v1 : : : ~vm g):
(f~v1 : : : ~vj ;1 w
~ ; Pk6=j ~vk k ).
Pro dkaz sta dosadit ~vj = 1j (w
(3.20)
Zeslaben vty. Vrokem 6k (k = 1 : : : m) mysleme modikaci Steinitzovy vty vzniklou dodatenm pedpokladem, e mnoiny f~v1 : : : ~vm g
~ 1 : : : w
~ n g maj alespo k spolen
ch prvk. Pak 60 zna pvodn
a fw
Steinitzovu vtu a 6m je triviln tvrzen.
6k a lemma implikuje 6k;1
Nvod. Nech mezi onmi spolenmi k ; 1 prvky z vty 6k;1, kterou
~ i0 , piem ve vyjden
chceme dokzat, nen vektor ~vu a tak jist w
~vu = Pni=1 w
~ i i je i0 6= 0.
3.2. STEINITZOVA VTA
53
~ j , pro n j 6= 0, je nutn njak w
~ i0 , kter nen mezi k ; 1
Mezi tmi w
spolenmi vektory, jinak bychom mohli napsat ~vu jako linern kombinaci
ostatnch spolench vektor a vektory ~vi by nebyly nezvisl. Podle lemma~ 1:::ng) = L(fw
~ 1 : : : w~ i0 ;1 ~vu w
~ i0 +1 : : : w
~ n g), m se ale dotu je L(fw
stvme do situace vty 6k .
Poznmka. Vta k, e rozkaz Zam vhodnch m vektor mno iny
fw~ 1 : : : w~ ng prvky mno iny f~v1 : : : ~vm g tak, aby se line
rn obal (fw~ 1:::ng)
L
nezmnil ! tedy lze realisovat, eho zejm
m dsledkem je vysnn nerovnost
m n.
Alternativn zaveden pojmu dimense
Existuj i dal zpsoby zaveden pojmu dimense* uve-me nyn jeden z nich.
Je, pravda, mnohem krat, avak urit mn konstruktivn! a asi i mn
przran
ne zpsob zaloen
na Steinitzov vt. Pojem dimense se v nm
denuje rekursivnm zpsobem, zaloen
m v podstat na metod matematick indukce:
Definice. Dimens vektorovho prostoru V budeme rozumt nulu, po-
kud pjde o prostor s jedin
m prvkem ~0, nebo minimln n takov, aby
kad
vlastn (tj. netoton
s V ) podprostor V ml u7z denovanou dimensi,
a to nejv
e n ; 1.
Vta. Ve vektorovm prostoru dimense n m kad base pesn n prvk. (Bas v tomto alternativnm pojet opt rozumme soubor nezvisl
ch
vektor, kter
generuje V tzn. kter
je maximln! mon
).
Dkaz. Postupujeme matematickou indukc podle relace ' pro n = 0
(ba i n = 1 2) je to snad zejm: : : . Z(rejm(e ka(zd)y kone(cn(e generovan)y
prostor m)a kone(cnou dimensi podle t)eto denice. M-li prostor dimensi n
(podle denice), tak v nm zejm nebude existovat base o mn ne n
prvcch (to by byl spor s induknm pedpokladem!), ale ani base o vce ne
n prvcch (nebo potom bychom vynechnm jednoho prvku takovto base a
vzetm pslu+nho linernho obalu dostali vlastn podprostor dimense vt+
ne n ; 1 podle induknho pedpokladu, co by byl spor s denic dimense
nahoe!)
54
Nkter geometrick pojmy
Rovnobnostn je dan
potkem souadnic (nulov
m vektorem) a vektory ~v1 : : : ~vn 2 V
(X
)
n
i
i
~vi j 8i 2 h0 1i
(3.21)
i=1
Obvykle pedpokldme, e ~v1 : : : ~vn jsou nezvisl, m vyloume
nap. zdegenerovn krychle na estihelnk.
Poznmka. Rovnobnostny nad pravidelnmi hvzdami t, pti, deseti a jedenadvaceti vektor v rovin E 2 viz ob
lku knihy. Kad vnitn
bod takovhoto rovnobnostnu je ovem mono vyj
diti nekonen mnoha
zpsoby jako kombinaci zmnnch vektor, nejlep vyj
den (minimalisujc sumu absolutnch hodnot souadnic) je mono zn
zornit lomenou arou,
bc nejkrat cestou po segmentech ornamentu a k dosaen nejbliho
(k po
tku) rohu kosotverce, ve kterm zmnn bod le. (Vechny nenulov souadnice tohoto vyj
den krom dvou poslednch jsou rovny jedn.)
Simplex je vymezen
vektory ~v1 : : : ~vn 2 V a potkem souadnic
(X
n
X i )
i
i
~vi j 0 1
(3.22)
i=1
Nepedpokldme-li nezvislost ~vi , me vzniknout tak n-helnk.
Tuto denici s potkem souadnic lze brt jako speciln ppad nsledujc obecnj denice pro ~v0 = ~0: Simplex vymezen
body (koncov
mi body odpovdajcch vektor) ~v0 ~v1 : : : ~vn je konvexnm obalem
mnoiny tchto bod, tj.
(X
n
i=0
~vi i j
n
X
i=0
)
i = 1 :
(3.23)
Poznmka. Pro n = 2 jde o trojhelnk, pro n = 3 o tystn
(jsou-li ovem vektory ~v1 ~v2 ~v3 nezvisl, kreslete). Pro kontrast uve-me, e napklad v ppad pti vektor ~v1 : : : ~v5 v rovin dostvme
ptihelnk.
Polyedr je pak souvisl sjednocen konen mnoha simplex. (Najdte i jin denice.) Konvexnm polyedrem pak rozumme prnik konen
mnoha poloprostor. (Zkuste precisovat denici u vajc konvexn obal.)
3.3. FUNKCE TYPU SPLINE
55
3.3 Funkce typu spline
Matematick
obor, jeho zkladnmi objekty zkoumn jsou nejrznj linern prostory funkc , se naz
v funkcionln anal
za. Prostory funkc tam
zkouman
ch jsou ovem vtinou nekonen dimense { co pin technick
komplikace a nkdy i zcela nov rysy proti situacm, se kter
mi se setkvme v LA . Existuje vak i nkolik v
znan
ch typ prostor funkc konen
dimense, pouvan
ch velmi asto v tzv. teorii aproximac (kde jde o nahrazen pvodn sloit! funkce jednodu aproximujc funkc z njak tdy
polynom, trigonometrick
ch polynom, : : : viz dle). 6
Ne uveden prostory jsou velmi asto pouvny { teba v teorii aproximac funkc. Zatm meme seznmen s nimi chpat jako pleitost pocviit
se v hledn zajmav
ch pklad bz v rzn
ch linernch prostorech.
Nejde vak zdaleka jenom o tento (samo)el. Ne zkonstruovan base
podstatn
m zpsobem pouijeme pozdji (viz odstavec Vlnky! v druh
sti knihy v kapitole Kvadratick
svt, vnovan
vodu do problematiky
oboru zvanho Image processing!).
Krom ji zmnn
ch prostor polynom a trigonometrick
ch polynom
jde v aplikacch velmi asto o prostory funkc majcch po stech vlastnost
: : : ! kde za : : : lze dosadit vlastnosti jako konstantn, linern, kvadratick
,
kubick
, : : : Tedy takzvan spline functions! { esky snad \splajny" (?).
Popime nyn podrobnji tyto pklady. Vezmme pro uritost interval
'0 1] rozdlen
na (typicky mal!) intervaly 'xi xi+1 ) pomoc jistho (xovanho v dalm v
kladu) dlen intervalu
D
= fxi g kde 0 = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = 1:
(3.24)
Dohodnme se pro konkrtnost, e vechny dle uvaovan funkce budou
mt pedepsnu hodnotu 0 vn intervalu (0 1) . Naopak, bude li to eln,
povaujme interval '0 1) za grupu se stnm modulo 1 (v takovm ppad
nkdy u bez bezpodmnenho poadavku nulovosti uvaovan
ch funkc v
bod 0 = 1).
1. Prostor K vech funkc po stech konstantnch na kadm intervalu
(xi xi+1 ) a zprava spojit
ch v kadm bod xi .
Z naeho dosavadnho, ist algebraickho, hlediska jsou samozejm vechny prostory
stejn dimense !stejn" (tedy isomorfn). Tato stejnost ovem zmiz pi zkoumn konkrtnjch problm, teba u pi rznm zaveden pojmu !vzdlenost vektor" v jednotliv
ch
prostorech.
6
56
2. Podprostor K0 = ff 2 K :
R 1 f (x)dx = 0g.
0
Cvi en. Najdte vhodn base prostor K a K0 !
Nvod. V ppad 1) volte funkce (typu Stolov hora!)
i(x) = .xi xi+1 ](x)
(3.25)
kde I : I (x) = 1 , x 2 I oznauje tzv. charakteristickou funkci
intervalu I (nkdy se t mluv o tzv. indiktoru! I ).
V ppad 2) zkuste funkce typu
i (x) = i(x) ; ci i+1(x) kde ci = xxi+1;;xxi :
i+2
(3.26)
i+1
3. Prostor L vech spojit
ch funkc po stech linernch!, pesnji linernch na kadm intervalu 'xi xi+1 ] a nulov
ch vn intervalu '0 1].
4. Podprostor
Z1
L0 = ff 2 L :
f (x)dx = 0g:
(3.27)
0
Cvi en. Najdte vhodn base prostor L a L0 !
Nvod. V ppad 3) volte funkce (typu Mileovka!)
Z
:i(x) = i (x)dx
(3.28)
tedy primitivn funkce k i .
V ppad 4) zkuste funkce
xi+1)(xi+2 ; xi) : (3.29)
i (x) = :i (x) ; di :i(x) kde di = ((xxi+2 ;
; x )(x ; x )
i+3
i+1
i+1
i
Vimnte si, e zobrazen
ff ! f 0g : !
L
je isomorsmem prostor L a K0 .
0
K
(3.30)
3.3. FUNKCE TYPU SPLINE
57
5. Prostor Q vech vude derivovateln
ch funkc, kvadratick
ch v kadm
intervalu 'xi xi+1 ] a nulov
ch vn intervalu '0 1].
Cvi en. Najdte vhodnou basi prostoru Q.
Nvod. Zkuste funkce (typu p!)
Z
6i(x) = i (x)
(3.31)
tedy primitivn funkce k i . #e jde vskutku o basi, je nejlpe vidt s
pouitm isomorsmu
ff ! f 0g : Q ! L0 :
(3.32)
Poznmka. V konstrukci prostor uvedenho typu (polynomy zvolenho stupn uvnit interval (xi xi+1 ) s co nejhladm napojenm! na sebe)
lze samozejm
i dle. Vezmte teba podprostor Q0 = ff 2
R 1 f (x)dx =pokraovat
Q :
0
g
a
prostor
primitivnch funkc k nmu. Dostaneme tzv.
0
kubick splajny! (spline functions). Najdete vhodnou basi tohoto prostoru ? (S pib
vajcm stupnm polynomu to zejm bude formln m dle
komplikovanj.) Najdte aspo dimensi tohoto prostoru!
Nsledujc obrzky znzoruj typick pklady funkc z prostor K L Q:
%LL
%
% L
aaa,,,TT
LL
TT
L
58
A ne uveden posloupnosti funkc naznauj pklady vhodn
ch voleb
bas v prostorech K L0 a Q* nkter z tchto bas jsou vcemn! ortogonln (viz nsledujc kapitolu a podrobnj koment pak v odstavci Vlnky
v druh sti knihy).
Haarovy funkce*
pklad ortogonln base v K:
Pklad base v L0 :
""SS S
""SS S
SS "
S"
...a jejich primitivn funkce
jako base Q:
a tak dle ...
Cvi en. Jak
je vztah mezi nakreslen
mi funkcemi z L0 a pslun
mi
vhodn volen
mi Haarov
mi funkcemi?
Kapitola 4
Skalrn souin
Pojem skalrnho souinu je zobecnnm pojmu ji asi znmho (ze stedn
koly) pro vektory v R 2 nebo v R 3 .1 Jeho axiomatick zaveden je nsledujc:
Definice. Zobrazen2
f(~x ~y) 7! b(~x ~y)g
V
V ! R nebo
C
(4.1)
splujc vztahy
1. b(~x + ~y~z) = b(~x~z) + b(~y~z)
2. b(~x ~y + ~z) = b(~x~z) + b(~x ~y)
3. b(~x ~y) = b(~x ~y)
4. b(~x ~y) = b(~x ~y)
5. b(~x ~y) = b(~y~x)
6. 8~x 6= ~0 b(~x~x) > 0
Neple&te, prosm, s vektorov
m sou inem, o nm pohovome mnohem pozdji.
Zprvu budeme mt na mysli reln prostory, na pechod na komplexn v as upozornme. Postupn budeme objasovat, pro prv komplexn sla (a teorie na nich zaloen)
jsou tak dleit ve fysice. Nejde o vc jednoduchou, i matematikm trvalo ti stalet,
od Cardana a do minulho stolet, ne Gauss problm jasn zformuloval, a teprve s rozmachem kvantov mechaniky se ukzala nepostradatelnost komplexnch sel ve fysice.
Jednm z impuls pro jejich vznik u v dob Cardanov byla skute nost, e vzorec pro
een kubick rovnice nkdy ned vechny ti koeny (ponvad nemme odmocninu ze
zporn
ch sel), a jsou vechny reln, co se zavedenm C vye.
1
2
59
60
KAPITOLA 4. SKALRN SOUIN
nazveme skalrnm souinem na vektorovm prostoru V .
Cvi en. Minimalisujte soubor tchto axiom.
Poznmka. Nyn nemluvme o skalrnm souinu tyvektor v teo-
rii relativity, jeliko nespluje posledn (estou) podmnku, ani o komplexnm skalrnm souinu bez hvzdiky!, protoe nevyhovuje pt poznmce,
b(~x~x) nen obecn reln
a mluviti o est podmnce nem vbec cenu.
Definice. Vektory ~v1 ~v2 : : : ~vn nazveme vzjemn kolm nebo ortogonln, plat-li (na prav stran rovnosti ne zavdme oznaen tzv. normy
vektoru)
b(~vi ~vj ) = ij k~vi k2 (4.2)
(
i=j
kde ij je tzv. Kronecker
v symbol: ij = 10 pokud
pokud i 6= j
~
Skutenost, e dva vektory ~a b jsou kolm, zname tak ~a ? ~b ()
b(~a ~b) = 0.
loha. Soubor nenulovch vz
jemn ortogon
lnch vektor je v dy line
rn
nez
visl.
Pedbn upozornn. asto, jako v ppad R n , C n ppadn je-
jich podprostor je skalrn souin zadn jaksi od prody!. Uvidme, e
na kadm linernm prostoru lze skalrn souin zavst, a to mnoha zpsoby. asem uvidme, pro jak problmy potebujeme v danm linernm
prostoru najt! i zkonstruovat vhodn
skalrn souin. Je teba tak zdraznit opanou strnku vci: v mnoha problmech pojem skalrnho souinu
pek sprvnmu pochopen situace. Uveden pojmu skalrnho souinu a
zkladnch tvrzen s nm spjat
ch takto brzy ve v
kladu linern algebry lze
odvodnit tm, e pojmy jako kolmost! jsou v bn pedstavivosti pmo
svzny s pojmy pmka, rovina a se zkoumnm jejich vzjemn polohy a
pro zatenka je spe tk pojem vektoru zcela oprostit od takov
chto
zdnliv nezbytn
ch atribut { a v dalm pochopit, pro vbec zavdme
teba pojem dulnho prostoru a pro maj tensory dva druhy index: : :
(Posu-me, jak je tk pro zatenka si jako isomorsmus prostor
R 2 ! R 2 bez skalrnho souinu pedstavit vedle otoen tak kosen nebo
nataen podl jedn nebo obou souadnic.)
Pklady.
61
P
1. b(~x ~y) = ni=1 xi yi pro ~x = (x1 : : : xn ) 2 C n resp. R n (pak lze
vynechat sdruen)
2. Pojem skalrnho souinu je dleit
i v anal
ze. Na prostorech funkc
b
v skalrn souin zadn pomoc uritho integrlu. (Vimnte si,
e tento pechod je zcela pirozen
: v minulm pklad jsme stali
souiny hodnot3 x a y v bod i, v ppad funknm nab
v i { nyn
znaen jako x { hodnot ze spojitho oboru, a tak je pirozen nahradit
sumaci integrac.)
Zb
b(~f ~g) = f (x)g(x)dx
(4.3)
a
Konkrtn, pro polynomy se uv
Z1
;1
Z1
;1
P (x)Q(x)dx Legendrev skalrn souin
(4.4)
nebo
P (x)Q(x)e;x2 dx Hermitv skalrn souin
(4.5)
(tento skalrn souin je dleit
v kvantov mechanice pi zkoumn
harmonickho osciltoru) a mnoh dal (sly linern algebru i anal
zu).
Korelace. slo b(~x ~y) je v nkter
ch situacch naz
vno korelac mezi ~x a ~y. Mjme zadny njak funkce x y na konen mnoin M ,
jej prvky ozname jako 1 : : : n, to jest
mjme vektory (x1 : : : xn ) a
P
n
1
n
(y : : : y ). Podle znamnka b(~x ~y) := i=1 xi yi se k, e veliiny x a
y jsou kladn nebo zporn korelovny. Za mru korelovanosti4 obvykle
povaujeme veliinu koecient korelace!
Pn xiyi
~
~
b
(
x
y
)
q
cxy = k~xk k~yk = Pn i=1 Pn
i=1 (xi )2 i=1 (yi )2
(4.6)
3
Pojmme te' vektor x jako funkci, piazujc promnn i z oboru 1 : : : n i-tou
souadnici xi.
4
Jestlie chceme denovat ve statistice bnj koecient korelace, kter
je roven signu
a, pokud y zvis linern
na x (yi = axiP
+ b), je teba nejprve ode st od x resp. y prmr
P
i
i
i
x resp. y: x := x ; x =n, yi := yi ; yi =n.
62
a veliiny x y, pro kter je cxy = 0 (alespo piblin), naz
vme nekorelovan nebo nezvisl (toto slovo nechpejme v algebraickm smyslu).
(Koecient le v intervalu h;1 1i.) Domnvme se nap., e m smysl pst
vztah typu
yi = xi + z i + const* i = 1 : : : n
(4.7)
P
kde ~z je nekorelovan
zbytek! takov
, e b(~x~z) = 0 a ni=1 z i = 0. To je
tzv. linern regrese a mnoina M zde m v
znam seznamu poadov
ch
sel men. Ani linern regresi neteba pehnt, jak jsme asto svdky pi
zpracovn nejrznjch dat v rzn
ch oblastech: z faktu, e je b(~x ~y) 6= 0,
co je tm vdy, jet neplyne, e ve souvis linern se vm a e vypoten veliina dv njakou uitenou informaci. K zvrm nejrznjch
v
zkum typu prepart P psob (ne)pzniv na to i ono! je dobr b
ti a
priori spe krititj, nejsou-li autoi odbornky v matematick statistice.
Diracovsk brackety. Nenpadn si dovolujeme upozornit na nzorn
zpsob zpisu rovnic s vektory, skalrnm souinem atd., hojn pouvan
v kvantov teorii. Vektor ~v lze pst jako jvi, skalrn souin
b(~x ~y) = hyjxi
(4.8)
(Vimnte si obrcenho poad, v bracketech komplexn sdruujeme lev
vektor.) Vektory hj jsou prvky dulnho vektorovho prostoru, o nm
uslyme pozdji, a existence skalrnho souinu se ukazuje b
t v jistm smyslu ekvivalentn monosti rozumnho vzjemnho piazen vektor prostoru
a jeho dulu (zaji+ujc smysluplnost hyj, mme-li jyi.) Vektorm zapsan
m hj resp. ji kme bra-vektory resp. ket-vektory podle prvnch resp.
poslednch t psmen anglickho v
razu pro zvorku hbracketi.
Definice. Funkci
q
f~x ! k~xk b(~x~x)g : V ! R +
(4.9)
nazveme normou vektoru ~x, indukovanou skalrnm souinem b. Normou
tedy myslme dlku! vektoru a nikoliv jej kvadrt, jak jest mnohdy dobr
m zvykem.
Jak lze zrekonstruovat b(: : : : : :), znme-li k: : :k? Na to odpovd nsledujc tvrzen, zobecujc znmou kosinovou vtu.
Vta. b(~x ~y) = 12 (k~xk2 + k~yk2 ; k~x ; ~yk2 ) (reln
ppad)
63
Dkaz. Okamit z bilinearity skalrnho souinu. Nejjednodu++ kontrolu koecient a znamnek doclte pro jednorozmrn prostor, kdy ~x a ~y
jsou sla a rovnost
(4.10)
xy = 21 x2 + y2 ; (x ; y)2
plat. Stejn otestujte
b(~x ~y) = 41 (k~x + ~yk2 ; k~x ; ~yk2):
(4.11)
V obecnm komplexnm ppad je teba ut sloitj vztah, kter
dokete zase tak, e tverce norem napete jako skalrn souiny a roznsobte!
je (koecienty u druh promnn je teba pi vyt
kn sdruit).
Vta.
b(~x ~y) = 14 (k~x + ~yk2 ; k~x ; ~yk2 + i k~x + i~yk2 ; i k~x ; i~yk2 )
(4.12)
Cvi en. Zatm jet nevme, e v R 3 je b(~x ~y) x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 =
k~xk k~yk cos ', kde ' je hel mezi ~x = (x1 x2 x3 ) a ~y = (y1 y2 y3). Doka te
to!
Minkowskho vta. (trojhelnkov nerovnost pro normu)
k~x + ~yk k~xk + k~yk
(4.13)
Dkaz.
k~x + ~yk2 = b(~x + ~y~x + ~y) = k~xk2 + k~yk2 + b(~x ~y) + b(~y~x) (4.14)
? k~xk2 + k~yk2 + 2 k~xk k~yk :
Posledn krok je oprvnn dky
(4.15)
Cauchyho nerovnosti.
b(~x ~y) + b(~y~x) 2 k~xk k~yk v relnm ppad b(~x ~y) k~xk k~yk (4.16)
64
Dkaz Cauchyovy nerovnosti. Funkce
f (t) = k~x ; t~yk2 = b(~x ; t~y~x ; t~y) = k~xk2 ; tb(~x ~y) ; tb(~y~x) + t2 k~yk2
(4.17)
je nezporn 8t 2 R , tud diskriminant
(b(~x ~y) + b(~y~x))2 ; 4 k~xk2 k~yk2 0:
(4.18)
Dokzali jsme tedy, e reln st skalrnho souinu dvou vektor je men+
nebo rovna souinu norem' stejn tak je ale men+ nebo rovna absolutn
hodnota skalrnho souinu
jb(~x ~y)j k~xk k~yk (4.19)
o em se lehce pesvdme tm, e vektor (teba) ~y nsobme takovou
komplexn jednotkou, aby byl skalrn souin reln, m se ov+em nezmn
normy vektor ani absolutn hodnota skalrnho souinu, a pitom nerovnost
u budeme mt dokzanou.
Geometrick odbo en, definice. Isomorsmus mezi dvma vektorov
mi prostory ' : V ! Ve zachovvajc navc i skalrn souin
b~ ('(~v) '(w~ )) e = b(~v w~ )
(4.20)
V
nazveme isomorsmem prostor
se skalrnm souinem (V b) a (Ve eb).
Definice. Prostor R n s obvykl
m skalrnm souinem
b(~x ~y) =
n
X
i=1
xiyi
(4.21)
budeme naz
vat euklidovskm prostorem* oznaen E n .
Pklad. Mme charakterisovat vechny isomorsmy E 2 do sebe (v poz-
dj terminologii vechna ortogonln zobrazen). (Morsmy algebraick struktury S do sebe se naz
vaj endomorsmy a ty, kter jsou navc isomorsmy, se oznauj za automorsmy, tvo grupu asto znaenou Aut(S).)
Vta. Takov
isomorsmus ' : E 2 ! E 2 je
1. bu- otoenm o vhodn
hel ! (pro ! = 0 identita)
4.1. GRAMM-SCHMIDTOVA ORTOGONALISACE
65
2. nebo komposic otoen se zrcadlenm , nap.
((x y)) = (x ;y)
(4.22)
v tom i onom poad.
Poznmka. Morsmy z prv skupiny tvo normln podgrupu vech
isomorsm. Promyslete, pro je faktorgrupou grupa
fisomorsmy nemnc orientaci, isomorsmy mnc orientacig (4.23)
isomorfn grup f+1 ;1g s n
sobenm nebo grup (Z2 +modulo 2).
Dkaz. Pi+me '((1 0)) = (a c) a '((0 1)) = (b d). Podle denice
isomorsmu plat vztahy (dosate vektory base)
k'(~x)k2 = k~xk2 ) a2 + c2 = 1 b2 + d2 = 1:
b(~x ~y) = 0 ) b('(~x) '(~y)) = 0 ) ab + cd = 0:
Vyjdeme tedy a = cos , c = sin , b = ; sin , d = cos .
Pak ; cos : sin + sin : cos = sin( ; ) = 0.
Bu se tedy a li+ o nsobek 2, tedy
a b
c d
! =
cos ; sin sin cos !
jde o rotaci o hel , nebo se li+ o lich nsobek , pak
a b
c d
! cos sin sin ; cos ! cos ; sin sin cos (4.24)
(4.25)
(4.26)
!
!
1 0
=
=
0 ;1
(4.27)
vidme komposici otoen a zrcadlen. (Nsoben matic budete zvldat nejpozdji brzy.)
4.1 Gramm-Schmidtova ortogonalisace
Seznmme se nyn s jednou velmi pirozenou konstrukc, majc nzorn
geometrick
v
znam. (Budeme asem mon a pekvapeni, ke kolika netrivilnm aplikacm pln
m sloit
ch formul! tato metoda povede* bude
66
nap. jednotcm prvkem rozshl kapitoly klasick anal
zy zvan Teorie ortogonlnch polynom.)
Mme-li dva vektory ~v1 ~v2 , meme vyjdit
~v2 = a~v1 + w
~ 2 tak, aby ~v1 ? w
~ 2:
(4.28)
Dal text roziuje tuto operaci na ppad vce vektor.
Vta. Nech+ ~v1:::n 2 (V b). Pak
9w~ 1:::n takov, e
~ i w~ j ) = 0 kdy i 6= j . Peme t w
~i ?w
~ j.
1. b(w
~ 1 : : : w~ k g) plat 8k = 1 : : : n.
2. (f~v1 : : : ~vk g) = (fw
L
L
Dkaz. Kreslete si obr
zek pro k = 2 3, projdte Grammovm a Schmidtovm ortogonalisanm procesem vlastn nohou. Druh podmnka bude splnna,
~ j ve tvaru5
volme-li w
w~ k = ~vk ;
kX
;1
j =1
w~ j jk neboli ~vk = w~ k +
kX
;1
j =1
w~ j jk :
(4.29)
~ 1 : : : w
~ k;1 ~vk g) podle induknho pedJe zejm L(f~v1 : : : ~vk g) = L(fw
~ k tak L(fw
~ 1 ::: w~ k g) = L(fw
~ 1 ::: w~ k;1 ~vk g). Podpokladu a dky volb w
mnka prv vyaduje, aby 8i = 1 : : : k ; 1 bylo
w~ i ? w~ k , b(w~ i ~vk ;
co
kX
;1
i=1
jednoznan uruje ik .
w~ j jk ) = 0 , b(w~ i ~vk ) = b(w~ i w~ i)ik (4.30)
Pklad.
Legendreovy polynomy Pn(x) = Pn dxRdnn (x2 ; 1)n tvo ortogonalisaci
1 x x2 : : : vi skalrnmu souinu
1
;1
f (x)g(x)dx.
Hermitovy polynomyR Hn(x) = Hn ex2 dxdnn e;x2 tvo ortogonalisaci vi
skalrnmu souinu
5
~ 1 = ~v1 .
Mme tedy w
1
;1
f (x)g(x)e;x2 dx funkc 1 x x2 : : :.
4.2. ORTOGONLN DOPLNK
67
Nejde o nic jinho, ne e vezmeme prvn vektor ze souboru,
ke druhmu piteme takov nsobek prvnho, aby byl kolm na
prvn, ke tetmu piteme takov kombinace tch pedchzejcch vektor (tch, kter jsou ji kolm navzjem), aby byl
kolm opt na vechny pedchoz atd., a dostaneme vektory,
kter generuj t prostor, jako ty pvodn, ale vzjemn ji
jsou kolm.
4.2 Ortogon ln doplnk
~ 8w
~ 2 W g nazveme ortogoDefinice doplku. Mnoinu f~v j ~v ? w
nlnm doplkem mnoiny W V , zname W ? a znak teme komn
nebo kolmtko.
Tvrzen. (W ?)? = L(W ).
Lemma, je se bude hodit. Nech+ W V . Pak kadou ortogonln
~ 1:::n prostoru W lze prodlouit na ortogonln basi celho V * prodloubasi w
me basi libovolnm zpsobem na basi celho V a ortogonalisujeme ,a la
Gramm-Schmidt.
Jeho dsledek. dim W ? = dim V ; dim W .
Dkaz tvrzen.
Nech je W linern prostor (budeme tedy tut
mnoinu pst zdvojenm W ). Jeliko je zejm, e W (W ?)? (ponvad vektor je
kolm na v+echny vektory, kter jsou kolm na nho) a dle dim W =
dim(W ?)? dle lemmatu, mus bt W = (W ?)?.
Zejm je W ? = (L(W ))?, a proto (W ?)? = L(W ) dle minulho
bodu.
Definice. Nech+
W
V . Dle pedchozho tvrzen lze kad
vektor
~v 2 V napsat ve tvaru
~v = w
~ +w
~e , kde w
~ 2W w
~e 2 W ?.
~ g : V ! W ( V ) naz
vme ortogonln projekc na
Zobrazen f~v 7! w
podprostor W .
68
Nech+ W 1 V , W 2 V , : : :, W n V jsou na sebe vzjemn kolm
podprostory takov, e
n
X
dim V = dim W j
(4.31)
j =1
~ 2 W j ~v ? w
~ ). Pak existuje jednozna(W i ? W j znamen 8~v 2 W i 8w
n
rozklad vektoru ~v 2 V
~v = Pnj=1 w
~ j , kde w
~ j 2 W j.
Pochopte a vysvtlete jednomu lovku, kter to nech
pe. Zobrazen f~v 7!
w~ j g : V ! W j ( V ) oznaujeme dle pP
j a naz
vme ortogonln projekc
na W j . Plat tedy: identick zobrazen= nj=1 pj 6 .
1. Prvn a druh Pythagorova vta: Velikost tverce pod odvsnou resp.
peponou se rovn velikosti tverce nad odvsnou resp. peponou.
2
~ k2 + w
~e :
2. Tet Pythagorova vta: k~vk2 = kw
P
~ )k 2 :
3. Obecnj tvrt Pythagorova vta: k~vk2 = nj=1 k~pj (w
4. Ptou Pythagorovu vtu! uvidme ve form Parsevalovy rovnosti na
stran 257.
5. Parafrze Pythagorovy vty ve tvaru, kdy odvsny a pepony ji nejsou
sekami, n
br vcerozmrn
mi simplexy, pochz od Grassmanna a
my o n mluvme na str. 315. Pythagoras ji asi jet neznal.
Dkazy si provete sami krom est vty.
Projekc bez pvlastku ortogonln a bez pedpokladu zaveden skalrnho souinu nazveme linern zobrazen p : V ! V , plat-li p2 = p.
Projekce
P p1 : : : pn nazveme doplkov, plat-li 8i 6= j : pipj = pj pi = 0
a 1 = nj=1 pj , kde 1 oznauje identick zobrazen. Opertoru splujcmu
p2 = p se tak k idempotentn (z latinskho stejn
jako mocniny!) a
co se t
e vlastnch sel x (viz dle), spluj x2 = x, tedy x = 0 resp. x = 1.
Poslednmu vztahu se v kvantov fysice k relace plnosti. Se teme-li projektory
ji ihi j na vechny vektory (!stavy") z base (na podprostory
jimi generovan), dostaneme
P
identick
opertor (zde zna en
svislou arou) j = i ji ihi j
6
Kapitola 5
Matice a linern zobrazen
Motto. Matice Indukuj Linern Obrazen 4tudkm, Znal
m A Hol-
dujcm Radji Algebraick
m Dohadm Ne Idiotsk
m Klepm.
Linearita Umouje Bezpen Odstrann 4otk, Macch Odvk Touhy
Lidstva.
Definice. Linernm
zobrazenm (homomorsmem) f : V ! W
rozumme kad zobrazen splujc vztahy
~ ) = f (~v) + f (w
~ ) 8~v w
~ 2V
f (~v + w
(5.1)
f (~v) = f (~v)
(5.2)
Pklady.
1. Zobrazen typu f~x 7! ~f (~x)g : R n ! R m , kde1
0
B
~f = B
BB
@
1
0
BB
BB
~
x
=
.. C
. A
@
1
f1
f2 C
CC
x1
x2 C
CC
fm
xn
n
X
.. C a f k (~x) = akj xj :
. A
j =1
(5.3)
Tabulku (akj ) naz
vme matic tohoto linernho zobrazen.
V zjmu budoucnosti peme nkter indexy nahoru. Koho to obtuje, nech& si pedstav vechny dole.
1
69
70
KAPITOLA 5. MATICE A LINERN ZOBRAZEN
2. Otoen, zrcadlen, stejnolehlost, kosen (ale nikoli posun vektoru, nulovmu vektoru mus b
t piazen opt nulov
) atd. jako pklady z elementrn geometrie.
Chceme-li mluvit o zobrazench v tzv. annch prostorech (vetn
posunu), je uiten pst souadnice vektoru v n-rozmrnm prostoru
nikoli pouze (x1 x2 : : : xn ), ale (x1 x2 : : : xn 1) a identikovat tento
vektor s jeho nsobky. Tmto se nm tak pirozen odkryj nevlastn
body (v nekonenu) jako vektory s nulovou posledn (pidanou) souadnic. Transformace souadnic zahrnujc posunut bude mt tvar
!
R ~v ~0 1
(5.4)
kde matice R obhospodauje obvyklou st linernho zobrazen a
sloupcov
vektor ~v posun. Dal poznmky o projektivnm prostoru
v kapitole o kvadratick
ch plochch.
3. Ortogonln projekce na podprostor.
4. ada pklad z anal
zy na nekonenrozmrn
ch prostorech funkc a
jejich vhodn
ch (i konendimensionlnch) podprostorech, kup.
df (derivace)
f 7! f 0 dx
f 7!
Zx
0
f (y)dy (primitivn funkce)
(5.5)
(5.6)
f 7! g f (nsoben funkc)
(5.7)
f 7! ft kde ft(x) = f (x + t), (posun o t):
(5.8)
Linern zobrazen f : V ! V , zvlt na prostorech funkc, naz
v-
me opertory. (Nap. opertor derivovn, opertor souadnice, tj.
nsoben funkc g(x) = x apod.)
5. Mnoh nelinern zobrazen b
v uiten linearisovat.
Matice
Brzy uvidme, jak je v
hodn pracovat abstraktnm zpsobem s opertory
bez jejich vyjadovn v urit basi. O tom, s jak
m vhnm se uskuteoval
71
krok k bezsouadnicovmu mylen, svd v
zva E. Schmidta na jednom
semini v G)ottingenu k Johannu2 von Neumannovi z konce dvact
ch let:
Ne, ne! Nekejte opertor, kejte matice!!
Zanme tedy s denic matice.
Definice. Nech+ f : V ! W je linern zobrazen, ~v1 : : : ~vn base V a
w~ 1 : : : w~ m base W . Pime
~f (~vi ) = X w
~ j aji :
m
(5.9)
j =1
~ 1 : : : w~ m g). Tabulku
To lze, nebo+ W = L(fw
A = (aji) j = 1 : : : m i = 1 : : : n
~ j . Prvky matice a-me
nazveme matic f vi basm ~vi a w
0 1 1
1
a 1 a 2 a1n
BB a21 a22 a2n CC
A = BB .. .. . . . .. CC
. A
@ . .
m
m
a 1 a 2 amn
(5.10)
(5.11)
(peme-li indexy vude dole (aij = aij ), po dkch teme sla 11,12,: : :
v bnm poad) a jej velikost vyslovujme jako v
ka krt ka, ili zde
~ i a mluvme o matici
m n. asto se zajmme o ppad V = W a ~vi = w
vzhledem k (jedn) basi ~vi .
P
P w~ yj , kde
Vta. Nech+ ~x = ni=1 ~vi xi . Potom ~f (~x) = m
j =1 j
yj =
n
X
i=1
aji xi :
(5.12)
V dkazu je uit jen vztah pro obraz vektoru base, linearita a zmna poad
dvou sum.
X j
~f (~x) = X ~f (~vi )xi = X X w
~ j aji xi = w
~ jy
2
n
n m
m
i=1
i=1 j =1
j =1
Tehdy jet% pozdji po emigraci John.
(5.13)
72
Vta o sloenm zobrazen. Nech+ f : V ! W m matici A vi
~ 1:::m . Nech+ g : W ! Z m matici B vi basm w
~ 1:::m a
basm ~v1:::n a w
~z1:::p. Pak komposice
gf :V !Z
(5.14)
m matici C vi basm ~v1:::n a ~z1:::p, piem matice C = B A je komposice
neboli souin matic3 B a A a m elementy
cji =
Dkaz.
m
X
~g(~f (~vi )) = ~g(
k=1
w~ k aki) =
m
X
k=1
m
X
k=1
bjk aki :
~g(w
~ k )aki =
p
m X
X
k=1 j =1
(5.15)
~zj bjk aki =
p
X
j =1
~zj cji (5.16)
Uite n kol. Ovte asociativitu n
soben matic A (B D) = (A B) D a distributivnost A (E + F) = A E + A F a (E + F) A = E A + F A.
Poznmky.
Pravidlo pro zapamatovn dka krt sloupec! zn, e cji je skalrnm souinem j -tho dku B a i-tho sloupce A, je teba ale vynechat
komplexn sdruovn.
tvercov matice danho rozmru nn tvo nekomutativn okruh vi
stn4 a nsoben. Toto plat samozejm i o mnoin vech linernch
zobrazen f : V ! V .
V ppad tvercov
ch matic obvykle! neplat A B = B A* je-li
alespo jedna netvercov, tak maj tyto souiny rzn
rozmr nebo
dokonce neexistuj, a tak o neplatnosti rovnosti nikdo nepochybuje.
Test. Ute se n
sobit matice, dokud nebudete souhlasit s tm, e
0
10 1 2
B@ 10 -23 -23 -41 CA : BBB 3 4
@ -2 -3
4 0 -2 3
0
3
4
1
1 0
1
CC B -11 -19 C
CA = @ 13 19 A
8 17
Nezamujte s A B, existuje-li!
Matice se s taj zejm
m zpsobem: cij = aij + bij , je-li C = A + B.
(5.17)
73
Pklady z analzy: opertory derivace a posunu
Opertor derivace. Na prostoru Pn vech polynom nejv
e n-tho
stupn m opertor D'f ] = f 0 vi basi 1 x x2 : : : matici
0
1
1 BB 2 CC
D = BB 3 CC :
(5.18)
@. . . . . A
.. .. .. .. . .
Vimnte si, e ve tetm sloupci je vektor piazen
opertorem derivace
tetmu vektoru base, vyjden
pomoc souadnic v te basi.
Pokud bychom zkoumali matici derivovn vi basi
2
3
4
1 x x2! x3! x4! : : : (5.19)
mla by matice tvar (protoe d=dx(xk =k!) = (xk;1 =(k ; 1)!))
0 1 1
BB 1 CC
N = BBB ... ... ... . . . ... CCC
(5.20)
@ 1 A
kter
bude jak
msi standardem v kapitole o nilpotentnch opertorech. (Spotte N2 , N3 : : : . Snad v
m vyjde, e jedniky se jen posouvaj od diagon
ly.)
Opertor posunu. Najdeme matici P opertoru posunu ff 7! f g,
kde f (x) = f (x + ), vi basi 1 x x2 =2! : : : a dokeme vztah
2
n
P = 1 + N + 2! N2 + : : : + n! Nn
(5.21)
piem 1 zna jednotkovou matici opertoru identity, kter m na diagonle jednotky a jinde nuly a proto5
0
1
1 BB 1 CC
1 = BB .. .. . . . .. CC 1 A = A resp. A 1 = A (1ij = ij )
. A
@. .
1
(5.22)
5
Pro jednotkovou matici se mnohdy uvaj symboly I , E , J a dal.
74
pro stejn vysokou resp. irokou matici A, jako je jednotkov matice. V uvedenm vztahu rozpoznvme Taylorv vzorec znm
z anal
zy a vc budeme
dle studovat v kapitole o exponencile.
Opertor posunu toti vektoru base xk =k! piad funkci (podle binomick
vty)
k xj k;j
(x + )k = X
(5.23)
k!
j =0 j ! (k ; j )!
co je kombinace vektor base xj =j !. Matice P tedy bude mt na mst
s indexy (jk ) prvek
k;j :
(5.24)
(k ; j )!
Stejn tak prav strana pispv na posici (jk ) jen lenem s (k ; j )-tou mocninou N (co jste snad dokzali v loze), ped n je t koecient.
loha. Zamyslete se, jak se chov
oper
tor P pro ! 0.
Opertor diference
Vimnme si nyn diskrtn variace na tma opertoru derivace.
Zkoumejme opertor
^ 1 (Pt ; 1)
Dt =
t
(5.25)
kde symbolem 1 oznaujeme identick zobrazen ff 7! f g. Jde o tzv. opertor prvn diference, podrobnji
'D^ f ](x) = 1 (f (x + t) ; f (x)):
(5.26)
t
t
Rozvime (D^ t )n = ((Pt ; 1)=t)n podle binomick formule (a nebojme se
toho, e pracujeme s opertory a nikoliv s sly a tedy vlastn pouvme
platnost binomick formule na komutativnm okruhu):
n
X
(D^ t )n = t1n (;1)n;k k!(nn;! k)! Pkt Pkt = (Pt )k
k=0
nebo pro konkrtn funkci f
n
X
'(D^t )n f ](x) = t1n (;1)n;k k!(nn;! k)! f (x + kt)
k=0
(5.27)
(5.28)
5.1. NKTER DAL VZNAN PKLADY MATIC
75
Nsledujc cvien je u spe z anal
zy.
loha. Doka te pomoc l'Hospitalova pravidla vztah
lim'(D^ )n f ](x) =
t!0 t
dn f (x)
dxn
m m!(;1)k !
X
m
u ijte 0 = (1 ; 1) =
k=0 k!(m ; k)!
(5.29)
a uznejte, e
(D^ t )n
(5.30)
je vhodnou n
hra kou n-t derivace v ppad, e f je zad
na jen pomoc hodnot
na njak podm ce R , to jest v bodech x + mt, m 2 Z. Pro nepravideln
rozmstn bod v m ce je dobr
Vandermondova matice, viz d
le.
5.1 Nkter dal vznan pklady matic
Permutan matice indukovan permutac : f1 : : : ng ! f1 : : : ng m
prvky
pij = i(j):
(5.31)
M tu prostou vlastnost, e prvkm base piad tyt v jinm poad:
~f (~vj ) = X ~vi i(j ) = ~v(j) :
(5.32)
Tmto jsme representovali grupu permutac na f1 : : : ng v grup vech
matic n n, kter odpovdaj isomorsmm na V (tj. regulrnch, viz dle).
Trojhelnkov matice horn resp. doln A jsou takov, pro n aij =
0 pro i > j resp. i < j .
Poznmka. Takov matice se ji objevila pi popisu Gramm-Schmidtova ortogonalisanho procesu. Obecnji, mme-li zadan
etzec
podprostor V 1 V 2 : : : V n V a mme-li zobrazen f : V ! V
takov, e f (V i ) V i a zna-li A jeho matici vi postupn doplovan
basi, m A tvar, v nm se postupn zleva doprava sniuje (nebo zstv
stejn
) sloupec nul, jm kon kad
sloupec matice, nco jako horn trojhelnkov matice, v n jsou elementy bloky a nikoli ji pouh sla, kde bloky
odpovdaj doplujcm prvkm base V i vi V i;1 . Bloky jsou triviln, je-li
dim V i = dim V i;1 + 1. Mnoina zobrazen tohoto typu tvo pologrupu
(uzavenou na komposici, obsahujc jednotkov
prvek). Najdte njak jej
podgrupy. Nvod: Zamte f (V i ) V i za silnj pedpoklad.
76
Diagonln matice je takov, e aij = 0 pro i 6= j , tedy takov, kter
je zrove horn trojhelnkov i doln trojhelnkov. Diagonln matice
tvo podpologrupu pedchoz pologrupy. Co musme jet po adovat, aby
lo o multiplikativn grupu a nejen pologrupu (grupa bez po adavku existence
inversnho prvku)?
Z mnoha v
znan
ch pklad matic, jimi se hem sbrky pklad (nap. od Proskurjakova) uvedeme jeden (dvojit
) pklad.
Vandermondova matice
Polynom n-tho stupn meme charakterisovat
1. bu- zadnm jeho koecient: p(x) = an xn + : : : + a1 x + a0 .
2. nebo teba zadnm hodnot v njak
ch bodech 0 1 : : : n .
Vztah mezi tmito dvma soubory sel lze zapsat jako
0
1 0 1 0
10 1
p(0 )
a0
1 0 20 n0
BB p(1) CC BB a1 CC BB 1 1 21 n1 CC BB aa01 CC
BB .. CC = V BB .. CC = BB .. .. .. . . .. CC BB .. CC (5.33)
@ . A @ . A @ . . . . . A@ . A
p(n)
an
1 n 2n nn
an
Stejn matice vznik pi zkoumn nsledujcho, zdnliv odlinho, fakticky
vak tm totonho problmu: vme, e
(5.34)
lim f (x + h) ; f (x) = f 0 (x)
h!0
h
a chceme pro kad n 2 N a kadou volbu sel 0 1 : : : n najt koecienty q0 q1 : : : qn , aby
Pn q f (x + h )
i = f (n) (x)
lim i=0 i
(5.35)
hn
h!0
chceme tedy odvozovat vzorce typu
f 00(x) = lim f (x ; h) ; 2f (x) + f (x + h) :
$ete u itm l'Hospitalova pravidla snad v
m vyjde, e
(5.36)
h2
h!0
q0 q1 qn V = 0 0 n!
(5.37)
Kapitola 6
Hodnost
Zaneme vtou, kter by se stejn tak mohla hodit do partie o dimensi a
kter zobecuje rovnost dim W + dim W ? = dim V pro W V .
Vta. Pro dan zobrazen f : V ! W zave-me symboly 1
f~v 2 V j ~f (~v) = ~0g
(6.1)
~ 2 W j 9~v 2 V ~f (~v) = w
~g
Im (f ) = f (V ) = fw
(6.2)
a mluvme o jdru neboli nulovm prostoru a obrazu danho linernho
K er (f ) =
zobrazen.
Pak je dim K er (f ) + dim Im (f ) = dim V .
~ 1 : : : w
~ m je base Im (f ) a nech ~z1 : : : ~zk je base
Dkaz. Nech w
~ i.
Najdme pro kad i = 1 : : : m njak ~vi takov, e ~f (~vi ) = w
~
~
~
~
Potom je z1 : : : ~zk v1 : : : vm base prostoru V , ponvad je-li v 2 V a
p+eme-li (jednoznan)
K er (f ).
~f (~v) =
m
X
i=1
) ~f (~v ;
w~ ii
m
X
i=1
!
~vii) = 0 (!) (6.3)
existuj jednoznan uren koecienty 1 : : : k takov, e
~v ;
m
X
~vi i =
k
X
~zj j :
(6.4)
i=1
j =1
1
Obor hodnot, nmi zna en
jako image (obraz), se mnohdy zna R(f ) jako zkratka
slova range. Nam zna enm se vyhneme nedorozumnm pramencm z faktu, e R(f ) =
S(A) a nikoliv R(f ) = R (A).
77
78
KAPITOLA 6. HODNOST
Ozna en. Pro matici A zdme symboly
0
BB
j j
j
j
~r = a 1 a 2 : : : a n a ~si = B
B@
1
a1i
a2i C
CC
.. C
. A
(6.5)
ami
pro jej j -t
dek a i-t
sloupec (zkratka slovenskho riadok a st<pec). Prostory
R (A) = L(f~r1 : : : ~rm g) R n (6.6)
S(A) = L(f~s1 : : : ~sn g) R m
(6.7)
naz
vme dkovm resp. sloupcovm prostorem matice A.
Definice. Mjme linern zobrazen f : V
! W s matic A vi basm
~v1 : : : ~vn a w
~ 1 : : : w~ n. Ozname symboly
h = hf = dim Im (f )*
hr = hr (A) = dim R (A)* hs = hs (A) = dim S(A):
(6.8)
(6.9)
Vta. hr = hs = h. Spolenou hodnotu budeme naz
vat hodnost
matice A resp. zobrazen f . Vzhledem k dleitosti tohoto tvrzen uvedeme
dva dkazy vztahu hr = hs (a souvislosti s h si nechme na konec).
Lemma, zklad prvho zpsobu. Nech+ matice A0 vznikne z matice
A vynechnm sloupce, kter
je linern kombinac ostatnch. Potom samozejm hs (A) = hs (A0 ) (pro?), ale tak
hr (A) = hr (A0):
(6.10)
(Plat zajist i lemma, kde zamnme slovo dka!, psmeno r! atd. slovem
sloupec!, psmenem s! apod.)
Nejprve ukeme, jak z danho lemmatu plyne vysnn hr = hs . Vynechvejme sloupce a dky matice A a dojdme k jaksi podmatici A; , ze
kter se ji nic ned vynechat. Potom je matice A; tvercov' kdyby mla
vce sloupc ne dk, nebyly by sloupce nezvisl, a naopak (pro?). Jeliko podle lemmatu mme hr (A) = hr (A; ) a hs (A; ) = hs (A), je dkaz
79
vztahu hr = hs hotov, nebo hr (A; ) = hs (A; ) (ob se rovnaj rozmru tto
tvercov matice, z n u nelze nic vynechat).
Dkaz lemmatu. Nech teba posledn sloupec je linern kombinac
pedchozch:
~sn =
nX
;1
i=1
~si i
(6.11)
Ozname symbolem ^rj useknut dek ~rj (bez poslednho lenu ajn ).
Tvrdme, e zobrazenm useknut
f~r 7! ^rg : R (A) ! R (A0 )
(6.12)
(kter linern roz+me na cel R (A)) se nemn vztah linern nezvislosti dk. Vskutku, ozname-li symbolem F linern funkci (dkovho
vektoru)
;1
nX
F x1 : : : xn;1 = xii
(6.13)
i=1
X
mme vztah
i~ri =
i^ri F (P i^ri )
P
(6.14)
(nebo v dkovm prostoru R (A) plat vztah ~r = ^r F (^r) ' odvodnte
bl e) a tud
X i ~ X i ~
i~r = 0 , i^r = 0:
(6.15)
Druh zpsob. Ne napsanou argumentaci je teba trochu modikovat
v ppad prostor komplexnch.
Zaveme na R (A) skalrn souin indukovan vnoenm do R n . V+imnme si, e prostor
N = (R (A))?
(6.16)
je jdrem (nulovm prostorem) zobrazen
f~x 7! ~y = A~xg : R n ! R m:
(6.17)
(Toto je fakt samostatn dleitosti, zvl. v teorii e+en soustav rovnic.)
Na jedn stran tedy mme vztah (podle vty u konce kapitoly o skalrnm souinu)
dim N = n ; dim R (A) = n ; hr (A):
(6.18)
80
KAPITOLA 6. HODNOST
Na druh stran plat podle prv vty tto kapitoly
dim N = n ; dim S(A) = n ; hs (A)
(6.19)
Tedy je hr (A) = hs (A).
Dkaz rovnosti hodnosti zobrazen.
Vztah h = hs dokeme rozkladem f : V ! W na komposici zobrazen
f
-W
I? A 6
J
n
R
Rm
V
P
kde I je isomorsmus piazujc vektoru ~v = ni=1 ~vi xi sloupec souad~y = A~xg a J je
nic (xi=1:::n ) vi basi ~vi , A je oznaen zobrazen f~x 7! P
j
=1
:::m
~ j yj . Sta
isomorsmus piazujc sloupci souadnic (y
) vektor mj=1 w
si nyn uvdomit, e (odvodnte podrobnji)
h = dim Im (f ) = dim(A I )(V ) = dim A(R n) = dim S(A):
(6.20)
6.1 Hodnost souinu, regul rn matice
Vta. Nech+ f : V
! W , g : W ! Z. Ozname symboly hf , hg , hgf
hodnosti pslun
ch zobrazen. Pak plat vztahy
Im (g
f ) Im (g)
K er (f )
K er (g f )
(6.21)
a tud i hgf min(hf hg ):
Poznmka. Zatmco vztah hgf hg je v tto formulaci vidt triviln,
implikaci K er (f ) K er (g f ) ) hgf hf je vhodn zformulovat i v ei
matic:
Vta. R (B A) R (A)
B A) S(B)
a tedy tak h(B A) min(h(A) h(B)).
P
Dkaz. Vztah cji = bjk aki znamen, e
X
X
~rj (C) = bjk~rk (A) a ~si(C) = ~sk (B)aki :
S(
(6.22)
6.1. HODNOST SOUINU, REGULRN MATICE
81
Definice regularity. tvercovou matici n n nazveme regulrn,
m-li hodnost n, v opanm ppad kme matici singulrn.
Prv dsledek. Pro kadou regulrn matici A existuje tzv. inversn
matice B takov, e
0
AB = BA = 1: : : to je jednotkov matice B@
1 .. . . .
.
1
.. C
. A:
(6.23)
1
(Staila by jedna podmnka k pln charakterisaci B, objasnte.) Zname ji
B = A;1.
Dkaz. Pro regulrn matici A je zobrazen
f~x 7! A~xg : R n ! R n
(6.24)
bijekc (prost a na). Inversn matic je pak prost matice inversnho zobrazen. Toto je tak regulrn.
Druh dsledek. Regulrn matice tvo grupu vi nsoben, ponvad B;1 A;1 je zejm inversn matic k AB, kter je tm pdem regulrn
(pro regulrn A, B).
Kter matice jsou ur it regulrn.
Trojhelnkov matice s nenulov
mi prvky na diagonle.
Permutan matice.
Vandermondova matice, jsou-li vechny 0 1 : : : n rzn.
Exponencila matice (nakoukni do kapitoly o exponenci
le).
Matice tvaru
A=1+B
s takovou matic B, aby v
raz (prv C je A;1 )
C=
1
X
n=0
(;1)n Bn
(6.25)
(6.26)
82
KAPITOLA 6. HODNOST
byl dobe denovn: to zarume teba malost vech element B (aby
suma konvergovala na vech posicch) nebo kupkladu nilpotentnost
B (to jest poadavkem, aby Bn = 0 pro vechna n ponaje njak
m
n0 ).
6.2 Ekvivalentn dkov pravy
Objasnme konkrtn postup pi urovn hodnosti matice, pi v
potu matice inversn a pi een soustav rovnic. Zkladn metodou je zde Gaussova
eliminace (zapomntliv a+ nahldnou do vodn kapitoly).
Definice. Ekvivalentn
dkovou pravou matice rozumme
piten nsobku jednoho dku k jinmu
v
mnu dvou dk
vynsoben njakho dku nenulovou konstantou
a tak konenou posloupnost uveden
ch prav.
Tvrzen. Ekvivalentn dkov pravy nemn prostor R (A) { tedy ani
hodnost matice. Dkaz si provete sami, je to jednoduch.
Vta. Matici A0 vzniklou z matice
A dkovou pravou lze zskat vynsobenm matice A njakou matic M zleva,2 kde matice M je
jednotkov matice, kter m navc na posici (ij ) slo , chceme-li
pist -nsobek j -tho dku k dku i-tmu
permutan matice, odpovdaj transposici prvk i j , chceme-li zamnit i-t
a j -t
dek
jednotkov matice, kter m na posici (ii) slo (msto jednotky),
chceme-li i-t
dek vynsobit slem nebo souinem Mn : : : M2 M1 , chceme-li postupn provst pravy odpovdajc maticm M1 M2 : : :
Vpo et inversn matice.
2
Tmto vdy mme na mysli, e tato matice M stoj vlevo: A0 = M A.
6.2. EKVIVALENTN DKOV #PRAVY
83
Nech+ A je tvercov regulrn matice n n.
Napime si dvojici matic (A j 1) (chpejme ji jako jednu matici rozmru
n 2n) a provdjme jej dkov pravy tak dlouho, a dostaneme ekvivalentn! matici (1 j B).
(Jde o dvoj proveden Gaussovy eliminace: nejprve vynulujeme leny
pod diagonlou A, pot leny nad diagonlou.)
V souladu s posledn vtou je (M representuje pravy)
M (A j 1) = (1 j B) neboli M A = 1 M 1 = B
(6.27)
a matice B je tud hledanou inversn matic k A:
M = A;1 = B:
(6.28)
Varianta ec soustavu. Jde o postup znm
z vodn kapitoly pro
regulrn A. Soustavu
A~x = ~b
vyeme provdnm dkov
ch prav rozen matice
~
Ajb
(6.29)
(6.30)
do t doby, ne dostaneme matici tvaru
(1 j ~x) *
(6.31)
vektor ~x je pak hledan
m eenm ~x = A;1 ~b, protoe matice prav M je
opt prv A;1 .
Kombinovan varianta. Meme najednou najt
stavu A~x = ~b tak, e upravujeme matici
A j 1 j ~b
A;1 i vyeit sou(6.32)
a do chvle, kdy se na mst, kde byla pvodn A, objev matice jednotkov.
Na mstech, kde sdlila 1 resp. ~b, si peteme hledan A;1 resp. ~x.
Sloupcov analogie. Peme-li matice vedle sebe, je teba provdt
dkov pravy (aby se ob matice mnily zrove). Chceme-li pouvat
sloupcov pravy, matice je teba zapsat pod sebe. Jet jedna zmna probhne: sloupcov pravy se daj pst jako nsoben vhodnou matic tentokrt
zprava.
84
KAPITOLA 6. HODNOST
6.3 Frobeniova vta, eitelnost soustavy
Soustava A~x = ~b je eiteln prv kdy h(A) = h(A j ~b).
Dkaz. e+itelnost znamen, e 9x1 : : : xm tak, e
~b = X ~sixi:
m
(6.33)
i=1
To v+ak existuje prv tehdy, kdy ~b 2 S(A), tedy kdy hs (A) = hs (A j ~b).
een neeiteln soustavy, linern regrese. V mnoha praktick
ch lohch se setkvme se situac, kdy rovnice pro dan neznm znme pouze piblin, vtinou dky nepesnosti men, zato je obvykle vt
poet rovnic ne neznm
ch.
V obecnjm ppad eme soustavu
A~x = ~b
(6.34)
kde ~b 2= S(A). Za zobecnn een ~x pak pokldme een soustavy, v n
proti posledn nahradme pravou stranu k n nejblim mon
m vektorem
lecm ve sloupcovm prostoru, to jest ortogonln projekc ~b do S(A).
U linern regrese hledme dv neznm a b podle ady nepesn
ch
daj (xi yi ), aby platilo!
yi = axi + b:
(6.35)
Hledan
vektor ~x, matice A a prav strana nabudou tvaru
0
BB
A = BB
@
1
0
!
BB
a
~
~
b = BB
.. .. C x = b
. . A
@
1
x1 1
x2 1 C
CC
y1
y2 C
CC
xn 1
yn
.. C :
. A
(6.36)
Metoda nese nzev metoda nejmench tverc
, protoe hledme a b
takov, aby byl minimln v
raz
n
X
i=1
(yi ; axi ; b)2 :
(6.37)
6.3. FROBENIOVA VTA, EITELNOST SOUSTAVY
85
Vypotejte tedy koecienty a, b takov, aby vektor
0
B
@
y1 1
0
B
.. C
. A ; a@
x1 1
011
0 x1 1
011
B.C
B . C
B.C
.. C
. A ; b @ .. A byl kolm na @ .. A i @ .. A
yn
xn
xn
1
1
(6.38)
a porovnejte vsledky se vzorci zn
mmi z praktik i odjinud.
Pklad prvn. Najdte inversn matici k matici n n
0
BB 1
A = BB 1
@.
1 1
1
1 .. ... ...
een.
00
BB 1
BB 1
B@ 1
1 1
0 1
1 0
1 1
1 1 1
0 n;1 n;1 n;1
B
0
1
B 1
B
1
1
0
B
B
@ 1
1
1
1
1
1
1 ;1 01 1 1 1
B
B ;1 ;1 B
B
@ ;1
01
BB B
BB @
1 1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
..
.
1
1
1
..
.
1
CC
CC :
A
1
1
1
..
.
1
C
C
C
C
A
C
1 1 1 1
n ; 1 n ; 1 1
1 1
1 0
1 1
0
(6.39)
(6.40)
1
1
C
C
C
C (6.41)
A
C
1 1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
; n 1 1 1 ; n 1 1 ; n 1 1 ; n 1 1 ; n 11
; n1 1 ; n1 1 1 ; n1 1 ; n1 1 ; n1 1
; n 11 ; n 1 1 ; n 1 1 1 ; n 1 1 ; n 1 1
; n1 1 ; n1 1 ; n1 1 ; n1 1 1 ; n1 1
1
n;2
1;1 n
n;1 1
n;1 1
n;1 1
n;1
1
;1
nn;
2
1;n
1
n;1 1
n;1 1
n;1
1
n;1 1
nn;
1
;2
1;1 n
n;1 1
n;1
1
n;1 1
n;1 1
nn;
1
;2
1;n
1
n;1
1
n;1 1
n;1 1
n;1 1
1
nn;
;2
1;n
1
CC
CC
CA
1
CC
CC A
(6.42)
(6.43)
86
KAPITOLA 6. HODNOST
V
sledek tedy zn
0
1
2 ;n 1 1
BB 1 2 ; n 1 CC
1
;1
:
A = n ; 1 BB ..
.. . . . .. C
.
. C
@ .
A
1
1 2 ; n
(6.44)
Zobecnn. Chceme-li najt inversn matici k matici, kter m na diagonle slo a + b a mimo diagonlu b, tj. k matici
0
1
0
1
a + b b b
1 1 1
BB b a + b b CC
BB 1 1 1 CC
B
C
A = B ..
.. . . . .. C = a1 + bU U = B
B@ ... ... . . . ... CCA
.
. A
@ .
b
b a + b
1 1 1
(6.45)
a napov-li nm intuice, e inversn matice bude tho tvaru
A;1 = c1 + dU
(6.46)
lehce dopoteme koecienty c d z toho, e
1 = AA;1 = (a1 + bU)(c1 + dU) = ac1 + (ad + bc)U + bdU2 (6.47)
a protoe U2 = nU, je ac = 1, ad + bc + nbd = 0, z eho c = 1=a a
d = ;b=(a (a + nb)).
Pklad druh. Vyeme soustavu zadanou prvn matic a provedeme
diskusi.
0
BB 45 ;;23 32
B@ 8 ;6 ;1
7 ;3 7
0
BB 01 ;21 ;71
B
@0 2 7
0
Diskuse.
4
7
;5
17
;3
19
19
4 14 38
1 0
CC BB 14 ;;12 ;13
CA B@ 8 ;6 ;1
7 ;3 7
1 0
2
;7 C
CC B@ 01 ;21
;7 A
0 0
; 14
3
1
9
1
7 1C
C
A
;5 9 C
;3 2
17 ;1 ;3
(6.48)
1
2
7 19 ;7 C
A (6.49)
0 0 6.3. FROBENIOVA VTA, EITELNOST SOUSTAVY
87
= 0: volme x3 x4 libovoln, z prvnch dvou rovnic dopoteme x2 a
x1 .
6= 0: podle Frobeniovy vty nem een. Hledejme zobecnn een,
to jest pravou stranu nahradme ortogonln projekc do sloupcovho
prostoru matice A. Najdte tedy takov
x1 x2 x3 x4 , aby n
sledujc
vektor byl kolm ke vem sloupcm A, co vede ke tyem (ale jen ke
dvma nez
vislm) rovnicm, kter dopotete.
0
BB
B@
1 0 1 0 1 0 1 0 1
CC 1 BB 54 CC 2 BB ;;32 CC 3 BB 23 CC 4 BB 47 CC
CA ; x B@ 8 CA ; x B@ ;6 CA ; x B@ ;1 CA ; x B@ ;5 CA (6.50)
7
;3
7
17
3
1
9
Kontrolou vm bude, e dosazenm = 0 muste dostat een pedchozho bodu.
Pklad tet. Najdte nejmen kladn cel n pro kter
0
cos 2 sin 2
B
An = 1 kde A = BB@ ; sin 2 cos2 cos3 sin3
; sin 3 cos 3
1
CC
CA :
(6.51)
een. Vimnu si, e pro blokovou matici tvaru
!
B
A= C
n
!
B
n
plat A = Cn .
Dle si uvdomm, e
cos sin ; sin cos !n =
(6.52)
!
cos n sin n
; sin n cos n :
(6.53)
Hledme tedy nejmen n, aby 2n i 3n bylo dliteln 360, tm je n = 360
jako nejvt spolen
nsobek 180 a 120.
88
KAPITOLA 6. HODNOST
Poznmka. Existuje samozejm nepebern mnostv loh z fyziky i
odjinud, vedoucch k een njak soustavy linernch rovnic. Jako pklad
si napite nap. Kirchho.ovy zkony pro njak
sloitj elektrick
obvod,
obsahujc pouze zdroj stejnosmrnho napt a odpory. Spotte velikosti
proud v jednotliv
ch vtvch obvodu.
-I
U
I5 ?
I4 6
R1
R3
R5
R2 I3 R4
6
6I2
?I1
Kapitola 7
Opertory v rznch bas ch,
stopa
7.1 Podobn matice, matice v rznch basch
Vta. Nech+ f : V ! W m
~ 1 : : : w
~m
1. matici A vi basm ~v1 : : : ~vn a w
~f1 : : : w
~gm :
2. matici B vi basm ~vf1 : : : ~vfn a w
P
~fj = Pj 0 w
~ j 0 djj .
Nech+ ~vfi = i0 ~vi0 ci0i , w
0
Pak B = D;1 AC:
+
(7.1)
~ i,
Speciln, mme-li pokad jednu basi (V = W ), ~vi = w
mme vzorec B = C;1 AC:
(7.2)
Matici C kme matice pechodu od base ~vi (star) k basi ~f
vi (nov).
Pro lep zapamatovn detailn: Ve sloupcch m matice zapsny souadnice
vektor nov base (~f
vi ) vi star basi (~vi ). Obsahuje-li tedy nov base del
vektory ne star, matice pechodu od star k nov obsahuje
velk sla!.
P
i
Jsou-li x souadnice vektoru ~x v basi ~vj (star), tj. ~x = i ~vi xi a obdobn
89
90
KAPITOLA 7. OPERTORY V R%ZNCH BASCH, STOPA
xei souadnice v basi ~vfj (nov), jsou svzny vztahem
0
BB
X i fj
i
x = c j x ili B
B@
j
1
0
BB
.. C = C B
B@
. A
x1
x2 C
CC
xn
1
xf1
C:
xf2 C
C
.. C
. A
(7.3)
xfn
Dkaz. Pechod od nevlnkovan basi k vlnkovan nap+eme takto (v+imnte si, e { podle obvyklch pravidel { nsobme matic dek, jeho prvky
nejsou sla, ale vektory!):
~f1 : : : w
~gm ) = (w
~ 1 : : : w
~ m )D
(~vf1 : : : ~vfn ) = (~v1 : : : ~vn )C a (w
P ~ aj zapisuji
Vztah ~f (~vi ) = w
j i
~ 1 : : : w~ m )A
(~f (~v1 ) : : : ~f (~vn )) = (w
(7.4)
(7.5)
~f1 : : : w
~gm )B:
a podobn (~f (~vf1 ) : : : ~f (~vfn )) = (w
(7.6)
Zkombinujeme-li posledn rovnost s druhou rovnost prvn dky dkazu,
mme
~ 1 : : : w
~ m )DB:
(~f (~vf1 ) : : : ~f (~vfn )) = (w
(7.7)
Naopak, pilome-li funkci k rovnosti
~f
vi =
n
X
k=1
X
~vk cki ) ~f (~f
vi ) = ~f (~vk )cki
n
k=1
mme
~ 1 : : : w~ m )AC
(~f (~vf1 ) : : : ~f (~vfn )) = (~f (~v1 ) : : : ~f (~vn ))C = (w
a zskme tak dokazovanou rovnost
AC = DB ) B = D;1 AC:
(7.8)
(7.9)
(7.10)
Definice. Matice A, B, pro n existuje matice C, e
B = C;1AC
naz
vme podobn a zname A B.
(7.11)
7.2. STOPA
91
Urob si sm:
1. A B ) An Bn , A;1 B;1 (existuje-li).
2. Podobn matice maj stejnou hodnost (ale i stejnou stopu a determinant, ba dokonce stejn
charakteristick
polynom, jak uvidme pozdji).
3. Pro A B existuje v R n base ~v1 : : : ~vn , v n m zobrazen f~x 7!
A~xg : R n ! R n matici B.
7.2 Stopa
Dleitost tohoto pojmu ocenme a pozdji.
Definice. Nech+ opertor f : V ! V m vi njak basi ~v1 : : : ~vn
matici A. Stopou matice1 A resp. opertoru f nazveme souet diagonlnch
prvk:
n
X
Tr f = Tr A = aii
(7.12)
i=1
Korektnost denice (nezvislost na basi) stopy pro opertor vypl
v z nsledujcho
tvrzen. Stopy podobn
ch matic A a A0 jsou stejn.
Tvrzen je dsledkem obecnjho faktu, tzv. cyklinosti stopy (plat i
kdy AB 6= BA):
Tr AB = Tr BA
(7.13)
protoe
Tr(C;1 AC) = Tr(ACC;1 ) = Tr A:
(7.14)
Cyklinost stopy dokeme prostou zmnou poad sumace a pejmenovnm sumanch index:
Tr AB =
1
n X
n
X
i=1 j =1
aij bji Tr BA =
n X
n
X
j =1 i=1
bij aji:
(7.15)
Zkratka !Tr" je z anglickho !trace"% pouv se t zkratky !Sp" z nmeckho !Spur".
92
KAPITOLA 7. OPERTORY V R%ZNCH BASCH, STOPA
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
Kapitola 8
Determinant
Teorie determinant vznikla v souvislosti s eenm soustavy
A~x = ~b
(8.1)
pro regulrn A. Jak jsme ji naznaili v vodn kapitole, lze tmto otzkm
dti i geometrickou interpretaci. Uvidme toti, e teorii determinant je
mono chpat jako teorii men objem v R n . Omezme se pro konkrtnost
na ppad dimense ti a podvejme se, jak vlastnosti m mt veliina zvan
objem tlesa. Uime nsledujc pozorovn pro vektory z R 3 .
Ozname symbolem
V (~v1 ~v2 ~v3 )
(8.2)
P
objem rovnobnostnu R(~v1 ~v2 ~v3 ) = f 3i=1 ~vi i j i 2 (0 1)g.
Aditivita. Objem sjednocen disjunktnch mnoin by ml b
t roven
soutu objem st. Obrzek (nakreslen
jen v dvourozmrn situaci) vs
snad pesvd, e by mlo platit
;
;
;;#
;; ;
; ;;~v10
~v2 ;
-;
~v1
(obsah velkho! rovnobnka je roven soutu obsah mench rovnobnk { sta pesunout dlouh
! trojhelnk)
V (~v1 ~v2 ~v3 ) + V (~v10 ~v2 ~v3 ) = V (~v1 + ~v10 ~v2 ~v3 )
(8.3)
93
94
KAPITOLA 8. DETERMINANT
a podobn vztahy pro druhou a tet promnnou.
My vme podrobnji ze zkladn koly, e objem je dn vzorcem zkladna krt v
ka! a e v
ka na zkladnu L(f~v2 ~v3 g) se nemn pitenm
nsobk ~v2 a ~v3 k ~v1 , tedy
V (~v1 + ~v2 2 + ~v3 3 ~v2 ~v3 ) = V (~v1 ~v2 ~v3 )
pro libovoln 2 3 a podobn pro druhou a tet promnnou.
(8.4)
Znamnko objemu, pojem orientace
Konsistence (8.3) vede k poadavku (objasnte!)
V (;~v1 ~v2 ~v3 ) = ;V (~v1 ~v2 ~v3 ):
(8.5)
To znamen, e u nelze chpat V jako vdy nezpornou veliinu. Musme
vybrat sprvn znamnko pro V . Jak ho urme? Zde pichzme ke klovmu pojmu orientace base ~v1 ~v2 ~v3 !. Tato orientace me b
t bu- sou-
hlasn s kanonickou bas danho prostoru i nesouhlasn. Pedstavme-li
si kanonickou basi
0 1
0 1
0 1
1
C
C
B
C
B
~e1 = B
~
~
e
=
1
e
=
(8.6)
@ A 2 @ A 3 @A
1
orientovanou podle pravidla prav ruky, nap. ~e1 dozadu (tj. za vae zda), ~e2
vpravo a ~e3 nahoru, obecnji pohybuje-li se prav ruka1 ve smru ukazovku
od ~e1 k ~e2 , m palec ve smru ~e3 , lze mluviti o pravotoivosti (nap. ~e1:::3 )
nebo levotoivosti dan base. Pojmu souhlasn orientace dvou bas
vnujeme roziujc poznmku ne. Zatm se spokojme s konstatovnm,
e base
~vp(1) ~vp(2) : : : ~vp(n)
(8.7)
je souhlasn orientovna s bas
~v1 ~v2 : : : ~vn
(8.8)
prv kdy je p sud permutace. Take je pirozen chtt, aby platil vztah
(vimnme si, e ;~v1 ~v2 ~v3 m jinou orientaci ne ~v1 ~v2 ~v3 )
V (~vp(1) ~vp(2) ~vp(3) ) = znak p V (~v1 ~v2 ~v3 ):
1
S prsty ohnut
mi na krunici se stedem v po tku.
(8.9)
95
Cejch
Zb
v ocejchovat veliinu V teba vztahem
V (~e1 ~e2 ~e3 ) = 1
(8.10)
pro kanonickou basi v R 3 .
Je-li nyn A matice 3 3, pime
det A msto V (~s1 (A)~s2 (A)~s3 (A)):
(8.11)
(Propak asi volme toto oznaen? Viz ne.)
Poadavky v
e lze nyn zformulovat takto:
det A je linern funkc kadho sloupce
Je-li p matice tvaru
pij = i(j)
(8.12)
pro vhodn zobrazen : f1 2 3g ! f1 2 3g, tak je (viz v
e)
det p = znak (8.13)
s tm, e nen-li permutace, dodenujme jeho znak na nulu2 (pak toti
m p njak dva sloupce stejn a proto mus b
t {viz v
e{ det p =
; det p).
Rozpis do sloupc
Rozepime nyn sloupec
0 1 1 0 1 1 0 1 0 1
B@ aa211 CA = B@ a1 CA + B@ a21 CA + B@ CA
a31
a31
(8.14)
a podobn zbyl dva. Z poadavku linearity v kadm sloupci plyne vztah
(rozepite podrobn)
2
det A =
X
p
Tohoto ozna en budeme uvat i pozdji.
det Ap
(8.15)
96
kde stme pes vech 27 zobrazen p : f1 2 3g ! f1 2 3g a matice Ap m
na posici (i j ) prvek aij , pokud i = (j ), a jinak nulu. Uitm vztahu pro
determinant permutan matice a linearity mme
det Ap =
Y3
i=1
api(i) znak p
(8.16)
a tud dospvme k zvru.
det A =
X
p
znak p
Y3
i=1
api (i)
(8.17)
Shrme obsah tohoto odstavce: induktivnmi vahami jsme dospli k zvru, e existuje-li rozumn
! pojem objemu mnohostnu, mus b
t pro rovnobnostn dn3 formul (psanou obecn4 pro R n )
De
nice determinantu
det A =
X
p
znak p
n
Y
i=1
api (i)
(8.18)
Poznmka o permanentu. Pokud bychom vynechali nsoben znakem
permutace a tedy vechny pspvky stali, dostali bychom permanent
dan matice. Na rozdl od determinantu matice n n, kter
lehce spoteme
napklad pravou matice na trojhelnkov
tvar ji po asymptoticky cn3
operacch (potebujeme vynulovat cca. n2 =2 element matice a kad takov
vynulovn je spojeno s pitenm nsobku jedn dky k jin, co obn
2n operac), permanent se s nejvy pravdpodobnost takto rychle potat
ned a nauky o NP-plnostech maj promyleny postupy, jak modikovat
ppadn
algoritmus pro jeho polynomiln rychl
v
poet na een vtiny
v
poetn nron
ch kombinatorick
ch problm.
Ped systematick zkoumn pojmu determinantu vlome jet
informativn vsuvku o pojmu orientace v R n . Msto o orientaci
n-tice sloupc matice mluvme pmo o orientaci reln matice. (Komplexn
matice m obecn komplexn determinant, a tak nen vhodn mluviti o jeho
znamnku.)
3
4
A na znamnko a ppadn
koecient souvisejc s volbou jednotkovho objemu.
Vimnte si, e vahy mohly b
t provedeny pro jakkoli n.
97
Definice. Dv matice A A0 nazveme souhlasn
existuje spojit zobrazen
ft 7! A(t)g : h0 1i !
nn
M
orientovan, pokud
(8.19)
do prostoru Mnn matic n n takov, e
A(0) = A A(1) = A0 a pro vechna t 2 h0 1i je A(t) regulrn.
(8.20)
Homotopie. To je nzev pro takov
to spojit
pechod! od jedn n-
tice vektor (sloupc A) k druh (sloupc A0 ), pi kterm nedojde nikdy
k splcnut! mnn base R n (regularita A(t)).
Vta. Jsou pouze dv tdy
entovn!: tda M
Zobrazen
ekvivalence v relaci b
t souhlasn ori+ souhlasn a tda
; nesouhlasn orientovan
ch s 1.
M
fA 7! B Ag :
!
(8.21)
pevd M
na M
resp. na M podle toho, zda B 2 M+ resp. B 2 M; .
Permutan matice p pat do Mznak .
Dkaz jen nazname. Pipome0me, e Gaussovou eliminac lze kadou
regulrn matici A vyjdit jako komposici elementrnch matic typu Mij =
1 + Eij (indexy i j neoznauj posici v matici, nbr konkrtn matici M'
matice Eij m jedniku jen v mst na i-t dce a v j -tm sloupci, jinde
nuly, (Eij )kl = ik lj ) nebo typu jednotkov matice, v n jednu 1 nahradme
;1 (nebo lze vzt typ matice prohazujc dva dky) nebo typu, kde se proti
jednotkov nsob jeden dek kladnou konstantou .
Pitom matice vznikl zapomenutm initel tvaru Mij v tomto souinu je souhlasn orientovna s A: nen problm spojit pejt od A k A0
spojitou zmnou , resp. nzorn rozpisem na souin mnoha matic s ! 0.
Take mme souin matic typu J<ji> prohazujcch dva dky a Jk nsobc k-t dek slem a ptme se, kdy je tento souin (ne)souhlasn
orientovn s 1.
Ukazuje se, e zvis pouze na tom, zda je initel J<ji> a Jk se zpornm sud nebo lich poet, pesnji (jak dokeme) komposice dvou matic
typu J<ij> nebo Jk je souhlasn orientovna s 1. Prozkoumme jen souiny
dvou transposinch matic (podrobnj+ zkoumn souin typu J<ji>Jk ,
Jk J<ji> a Jk Jk0 0 penechme teni) a rozli+me pitom dva ppady:
M
M
98
J<ij>J<kl>, piem mnoiny fi j g a fk lg nejsou disjunktn. V ppad, e jsou dokonce stejn, je souinem pimo jednotkov matice,
v opanm dostaneme souin typu
0
10
1 0
1
1 1
1 B@ 1 CA B@ 1 CA = B@ 1 CA 1
1 1 (8.22)
co je otoen o 120 kolem osy prvho oktantu, take dostaneme souhlasnost s 1.
Disjunktn ppad, tedy situace typu
0
1 0
10
1
1 ;1 1 BB 1 CC BB 1 CC BB ;1 CC
B@ 1 CA = B@ ;1 CA B@ 1 CA 1 1 ;1
(8.23)
co je komposice otoen prv a druh osy o 90 , otoen tet a tvrt
osy o 90 a otoen druh a tvrt osy o 180 , z eho plyne souhlasnost.
Poznmka. Idea tohoto dkazu (rozloit matici na souin mnoha jednoduch! matic) se nm bude hodit i jindy, a to nejlpe v nsledujcm
tvaru (promyslete si jej): kadou regulrn matici souhlasn orientovanou
s 1 lze rozloit na souin (mnoha) matic jen malinko se licch od jednotkov matice!.
Cvi en. V R 2 sestrojte homotopii od
(;~e1 ~e2 ) do (~e2 ~e1 ): (Otote to!)
(8.24)
Nahldnte, e homotopii od (~e1 ~e2 ) do (~e1 ;~e2 ) sestrojit nelze.
8.1 Z kladn vlastnosti determinant
Vta. Funkce
fA 7! det Ag :
m tyto vlastnosti:
M
nn ! R
(nebo C : : :)
(8.25)
8.1. ZKLADN VLASTNOSTI DETERMINANT%
99
1. Je to multilinern funkce, tedy linern funkce kadho sloupce (xujeme-li sloupce zb
vajc).
2. Zmn znamnko po v
mn dvou sloupc, obecnji pro libovolnou
permutaci
det ~s(1) ~s(n) = znak det ~s1 : : : ~sn
(8.26)
Z toho tak plyne, e determinant matice se dvma stejn
mi sloupci je
nulov
, protoe je roven minus sob!.
3. Nezmn se pitenm linern kombinace ostatnch sloupc k sloupci
danmu.
4. det A 6= 0 , A je regulrn* det 1 = 1.
Dkaz.
1. Pi+me (uvnit sumujeme pes ty permutace, pro kter p(1) = j )
det A =
X
j
f j (~s1 )
p(1)=
Xj
p
znak p
n
Y
i=2
ap(i) i
(8.27)
kde f j (~sk ) = ajk oznauje j -tou souadnici sloupce ~sk , co je linern
funkce tohoto sloupce, vnitn suma na prvm sloupci vbec nezvis a
proto je cel determinant linern funkc prvho (analogicky v+ak tak
jakhokoli jinho) sloupce.
2. Plat (sumujeme pes v+echny permutace )
det(~s(1) : : : ~s(n) ) =
=
X
znak n
Y
j =1
X
znak a(;1 (j )) j = znak X
n
Y
i=1
a((i)i) =
znak n
Y
j =1
a(j) j (8.28)
(8.29)
uvdomme-li si, e sumace pes v+echny permutace = ;1 je tot,
co sumace pes v+echny permutace (permutace tvo grupu) a e
znak = znak znak , je dkaz hotov.
100
3. Toto pomrn snadno plyne z pedchozch dvou bod. Vyuijeme linearity ve sloupci, ke ktermu pitme, a seteme determinant pvodn
matice s determinantem matice, kter m dva sloupce stejn.
4. Plyne z toho, e Gaussovou eliminac (kter podle (1), (3) nemn
(ne)nulovost determinantu) lze dospt od regulrn matice k jednotkov matici.
Cvi en. Spotte determinant Vandermondovy matice.
Nejprve odetete prvn dek od druhho, tetho atd. a zskte tak nuly
v prvm sloupci (vyjma prvn dky). Pak zjistte, e z druhho dku lze
vytknout (1 ; 0 ), ze tetho : : : a z (n + 1)-vho lze vytknout (n ; 0 ).
(Vyuijete pi
tom vztahy typu 33 ; 30 = (3 ; 0 )(23 + 3 0 + 20 ).) Zskte
Q
tm faktor nj=1 (j ; 0 ), kter
vysko ped determinant. Pak odetete
od poslednho sloupce 0 -nsobek pedposlednho, od pedposlednho : : : od
tetho 0 -nsobek druhho, m dostanete men Vandermondovu matici
(v n chyb 0 ).Q
V
sledek je i<j (j ; i ), tedy pokud jsou vechny i rzn, je matice
regulrn.
Vta. Nech+ matice A m tvar (tzv. blokov
!
0
A
C
A = 0 A00 matice)
(8.30)
kde v levm dolnm rohu jsou sam nuly a v podtabulce C cokoli. Pak
det A = det A0 det A00 :
(8.31)
0
Pokud blok nen nulov, neplat dn vzorec typu (!)
det A = det A0 det A00 ; det C det O:
(8.32)
A0 resp. A00 rozmr m m resp. (n ; m) (n ; m). Determinant matice A zskme jako sumu pes v+echny permuDkaz. Nech m matice
tace mnoiny index od jedn do n, ale je teba si uvdomit, e nenulov
pspvek daj jen permutace rozloiteln, to jest takov, kter lze zapsat
jako komposici permutac 0 00 , piem 0 resp. 00 inkuj pouze na
mnoin index f1 : : : mg resp. fm + 1 : : : ng: nerozloiteln permutace
101
nutn obsahuj cyklus, jeho se astn indexy obou skupin, tedy tyto permutace nutn piad nktermu indexu prv skupiny njak index skupiny
druh, stejn tak jako naopak, a proto leny odpovdajc tmto permutacm
obsahuj initel z levho dolnho rohu (kde jsou nuly).
Uvdomme-li si navc, e znak = znak 0 znak 00 , meme ji pst
det A jako
X
znak n
Y
i=1
a(i) i =
XX
0 00
znak 0 znak 00
m
Y
i0 =1
a0(i0 ) i0
n
Y
i00 =m+1
a00 (i00 ) i00 :
(8.33)
Poznmka. Vtu lze zobecnit i na ppad vce blok (zformulujte). Extrmnm ppadem je situace, kdy bloky maj rozmr 1 1. Pak m vta
dleit
dsledek.
Dsledek. Determinant trojhelnkov matice je souin diagonlnch
prvk.
8i < j nebo 8j < i aij = 0 ) det A =
n
Y
i=1
aii
(8.34)
Tento vzorec spolu s Gaussovou eliminac dv nejdleitj nvod k v
potu determinant. Pvodn denici determinantu uvme jen ve specilnch
ppadech, nap. pro matice, kter maj mnoho nul!, nebo pro matice malho rozmru:
O determinantu matice! 0 0 je vhodn pedpokldat, e je roven jedn.
Determinant matice! 1 1 je pmo a11 . Determinant matice 2 2 je a11 a22 ;
a12 a21 . Determinant matice 33 potme pomoc Sarusova pravidla (jako
souet t jihov
chodnch! souin minus souet t severov
chodnch!
souin) a je teba zdraznit, e neplat pro matice jinho rozmru ne 3 3.
Zsadn v
znam v teorii determinant m
Vta.
det BA = det B det A
Poznmky. Ped dkazem vty si neodpustme pr dek komente.
Ozname-li obvykl
m symbolem G L (n) (obecnou linern) grupu
vech regulrnch matic rozmru n n, pak uveden vta k pouze!
to, e nsledujc zobrazen je homomorsmus grup:
fA 7! det Ag : G L (n) ! (R n f0g )
(8.35)
102
Vta m i geometrickou interpretaci: det A oznauje, jak vme, koecient, s nm se mn objem tlesa pi zobrazen f~x 7! A~xg : R n ! R n
(toto konstatovn se nebudeme snait vce precisovat). Provedeme-li
nejprve zobrazen dan matic A a pak B, nsob se nm objem nejprve koecientem det A a pak jet koecientem det B, ale z druh
strany jsme provedli zobrazen f~x 7! BA~xg a objem se tedy zmnil
s koecientem det BA.
Vta o souinu determinant umouje zavst pojem determinantu
libovolnho opertoru f : V ! V pedpisem
det f = det A
kde A je maticov vyjden f v njak bzi prostoru V . Je-li toti
A0 = CAC;1 maticov vyjden f v jin bzi, je det A = det A0 .
Uvdomte si toti, e det(A;1 ) = (det A);1 .
Doka te vodn vty tto sekce jako dsledek vty pr
v diskutovan.
Dkaz. Nejprve si uvdomme, e vztah plat pro (nap. horn) trojhelnkov matice, protoe souin dvou trojhelnkovch matic je opt trojhelnkov matice, kter m na i-tm mst na diagonle souin prvk matic,
kter nsobme, na tomt mst, a determinant trojhelnkov matice je
souinem diagonlnch prvk, jak jsme nedvno ukzali.
Obecn matice B resp. A pevedeme takovmi dkovmi resp. sloupcovmi pravami, ktermi se nemn determinant (to jest piten ady jedn
k ad jin nebo vmna dvou ad spojen se zmnou znamnka jedn z nich
{ tato prava mj. lze zskat jako komposice pedchozch) na matice B0 resp.
A0 (hornho) trojhelnkovho tvaru.
B = R1 : : : RN B0 A = A0S1 : : : SM
(8.36)
Sta ji napsat
det BA = det(R1 : : : RN B0 A0 S1 : : : SM ) = det B0 A0 =
= det B0 det A0 = det B det A:
(8.37)
(8.38)
Nkte z vs prahnou po abstraktnjm dkazu, tak ho maj mt.
103
Lemma. Kad matice B lze zapsat jako jaksi sprvn uzvorkovan
suma! matic tm permutanch
M
B = B (8.39)
kde matice B maj vude nuly, krom mst ((i) i), kde maj odpovdajc
element matice B, toti b(i) i .
Nejde vak o obyejn stn, ale o (pro znalej kme v jistm kontextu tensorov!) stn dvou matic, kter se li jen v jednom sloupci* souet
pak m tento sloupec roven soutu (tch rzn
ch) sloupc stanc a ostatn sloupce m stejn jako stanci (na rozdl od obyejnho soutu, kter
by
ml i tyto sloupce rovny soutm, ili dvojnsobn). Pokud jsou oba stanci
pln stejn matice, nevme, kter
sloupec mme zdvojnsobit* alespo se
dohodnme, e vybereme nulov
sloupec, je-li njak
.
Tento rozpis jsme diskutovali ji na vodu kapitoly* stanc bude celkem
nn, ovem jen n! z nich bude regulrnch. Pro opakovn: nejprve rozepeme
B podle prvnho sloupce, pak stance podle druhho atd. Nap.
! ! !
a b = a b b =
c d
d
c d
! !! ! !!
b
=
c c d
L
Druh lemma. Pro rozklad B = B plat tak
M
AB = AB :
a b a d
(8.40)
(8.41)
(8.42)
Dkaz sta provst pro ppad
A(B1 B2 ) = AB1 AB2
(8.43)
a indukc spatit, e A lze nasoukat do stle hlub+ch zvorek, a vraz
zcela roznsobme.
Ale tento ppad je oividn. Nech je rzn sloupec matic B1 a B2 ten
prv. Pak jsou elementy prvho sloupce matice AB skalrnm souinem
(bez hvzdiky) dk A s prvnm sloupcem B, take vskutku
~s1 (A(B1 B2 )) = ~s1 (AB1 ) + ~s1 (AB2 )
(8.44)
a ostatn sloupce matic AB1 , AB2 a tedy i AB1 AB2 , ale tak A(B1 B2 )
jsou stejn.
104
Dle si v+imneme, e vztah
det AB = det A det B
(8.45)
je snadnm zobecnnm vztahu nedvno dokzanho
det A det P = det Aznak (8.46)
protoe sloupce (nap. i-t) matice AB jsou jen slem b(i) i (kter lze
vytknout) pronsoben sloupce matice AP .
Nyn ji lze upravovat det AB: nejprve dosadme z prvho lemmatu, pak
upravme podle druhho a nakonec uijeme dvakrt vztahu
det(C D) = det C + det D
(8.47)
vyjadujcho linearitu determinantu jako funkce kterhokoliv sloupce.
L
L
detPAB = det A( B ) =L
det( AB ) =
(8.48)
= det A( det B ) = det A det( B ) = det A det B:
8.2 Vpoet cirkulantu
Spoteme zde jeden v
znan
determinant, zvan
cirkulant, jako ilustraci vzorce det AB = det A det B. Nejde jen o ze stovky jin
ch namtkou
vybran
pklad* metoda ne pouit je ve skutenosti zkladem celho
matematickho oboru { harmonick analzy (teorie Fourierov
ch trigonometrick
ch ad atp.).
Pklad. Mme pro libovoln a0 a1 : : : an spotat
det C, kde
0
BB aan0
C = BB ..
@ .
1
a1 an;1 an
a0 an;2 an;1 C
CC
.. . . .
.
..
.
a1 a2 an
.. C
. A
(8.49)
a0
(dek (a0 : : : an ) se to dokola, na diagonle vude a0 ).
een. Pouijeme tento mal
trik!. (Pozor, pechzme do komplex-
nch prostor!) Ozname symbolem
" = exp n2+i1 cos n2+ 1 + i sin n2+ 1
(8.50)
8.3. ROZVOJ DETERMINANTU PODLE SLOUPCE
tzv. primitivn hodnotu
vyjdit matici opertoru
p
n+1
1.
105
Pime "j "j , j = 0 1 : : : n. Zkusme!
f~x 7! C~xg
(8.51)
v basi dan5 sloupcov
mi vektory tvaru (slka nahoe jsou exponenty)
~vj = 1 "j "2j : : : "nj
T
:
(8.52)
Plat nsledujc v
znan
vztah (~vj je vlastn vektor!):
C~vj = !j ~vj (8.53)
kde !j = a0 + a1 "j + a2 "2j + : : : + an "nj :
(Ovte podrobn.)
Mme tedy v
sledek! Determinant onoho zobrazen je v nov basi vyjden jako determinant diagonln matice s prvky !j na diagonle, je tedy
souinem !j :
n
n X
n
Y
Y
det C = !j = ( ai "ij ):
(8.54)
j =0
j =0 i=0
Na podobn tma budeme jet mluvit v podkapitole o duln grup.
8.3 Rozvoj determinantu podle sloupce
Ozname symbolem Aij matici vzniklou vynechnm i-tho dku a j -tho
sloupce (podle nho matici rozvjme) z matice A. Pak plat nsledujc
vta.6
X
8j det A = (;1)i+j aij det Aij
(8.55)
i
Dkaz. Ozname symbolem A<ij> matici vzniklou z A vynulovnm
v+ech prvk j -tho sloupce s vjimkou aij . Linearita determinantu jako funkce sloupce dv vztah
8j det A =
5
X
i
det A<ij> :
(8.56)
O pevodu souadnic vektoru do tto base se mluv jako o diskrtn Fourierov
transformaci.
6
V Kop kov
ch skriptech je brna za denici determinantu indukc podle rozmru,
suma pes permutace je tam tedy vtou.
106
Sta nyn dokzat
Lemma. det A<ij> = (;1)i+j aij det Aij
Pro i = j = 1 je lemma zejm, jinak pesthujeme prvek aij na msto
(1 1) postupnou aplikac
transposic sloupc v poad i $ i ; 1, i ; 1 $ i ; 2 : : : , 2 $ 1*
transposic dk v poad j $ j ; 1, j ; 1 $ j ; 2 : : : , 2 $ 1:
Jeliko transposice sloupc, ale i dk (jak ukazujeme dle) mn znamnko
determinantu, bude vsledn matice (zname ji A0<ij>) spl0ovat vztah
det A0<ij> = (;1)i;1+j ;1 det A<ij>:
(8.57)
Dkaz lemmatu plyne nyn ze zejmho vztahu
det A0<ij> = aij det Aij
(8.58)
(blokov matice, prvn sloupec nulov
a na prvn len, prav
spodek matice
A0<ij> je prv matice Aij ). Pouit dkov
ch prav se bylo mono vyhnout*
nebylo by to vak eln vzhledem k platnosti vztahu ne, jeho dsledkem
je (vimnte si pehozen index i a (i) proti dvjm formulm)
det A =
X
znak n
Y
i=1
ai(i)
(8.59)
princip. Zamnme-li v jakmkoli platnm tvrzen slovo dek! za slovo
sloupec! a naopak (a eventuln invertujeme poad nsoben matic, je-li
o nm e), dostaneme opt platn tvrzen.
Dkaz plyne ihned z trivilnho vztahu
znak znak ;1 = 1
(8.60)
pro inversn permutaci chpanou jako ;1 (j ) = i pokud (i) = j . Proto je
determinant transponovan matice, to jest matice pevrcen pes hlavn
diagonlu, stejn jako determinant matice pvodn.
Vpoet inversn matice
Ozname B matici s prvky bji = (;1)i+j det Aij . Pak je
X
k
bjk aki =
X
k
(;1)j +k aki det Akj = ij det A
(8.61)
8.4. CRAMEROVO PRAVIDLO, EEN SOUSTAVY
107
kde ij = 1 resp. 0 pokud i = j resp. i 6= j (v prvm ppad jde o rozvoj det A, v druhm jde o nulovost determinantu se stejnou i-tou a j -tou
dkou). Take plat
BA = det A 1
(8.62)
a tedy CA = 1, kde matice C = A;1 m prvky
cj i = (;1)i+j det Aij (det A);1 :
(8.63)
(Vimnte si pehozen poad index i j .)
8.4 Cramerovo pravidlo, een soustavy
Soustavu ne meme vyeit tak touto vahou:
X
A~x = ~b i ~b = ~sixi (~si je i-t
sloupec A)
(8.64)
Ozname symbolem Aj b~ matici vzniklou nahraenm j -tho sloupce matice
A sloupcem ~b. Pak je
det Aj b~ = det Aj ~si xi = =i det Aj~si xi = xj det A
(8.65)
(kde prostedn rovntko je oprvnn linearitou determinantu, Aj~si = A
pro i = j det Aj~si = 0 pro i 6= j ), tedy
det A ~
xj = det Ajb :
(8.66)
Geometrickou interpretaci tto vahy jsme ji uvedli v odstavci (1.2).
Ve srovnn s metodou odstavce (6.2) se nabz otzka, kter z tchto dvou
metod je innj a rychlej. To zvis na konkrtnm ppad. V
hoda
vzorce (8.66) je v jeho pehlednosti, co umon leckter jeho netriviln
aplikace i v lohch, kdy nm nejde vysloven o numerick hodnoty veliin
xj , ale teba jen o postihnut nkter
ch vlastnost een. Viz teba odstavec
(17.3) { Jacobi-Sylvesterova metoda.
Ale i v jin
ch problmech, teba pro tzv. psov matice (jejich nenulov
leny jsou soustedny pobl diagonly* takov
to typ se vyskytuje velmi
asto v aplikacch pi nhrad diferencilnch rovnic diferennmi) se nkdy
ukazuje, e uitenou informaci o hodnot xi lze odvodit i pro velmi velk
matice.
108
Cvi en. Mjme soustavu rovnic
xn + (n)xn;1 + (n)xn+1 = bn (8.67)
kde n je hodn velk (pedstavme si teba n = 1023 , jak je ve statistick
fysice bn) a kde vtina koecient (n) a (n) je nulov. (eknme, e
mn ne deset procent koecient (n) i (n) je nenulov
ch.)
Potom pro vtinu hodnot k 2 f1 2 : : : ng m een rovnice (8.67) s pravou stranou bn = kn alespo polovinu sloek nulov
ch! Dokate. (Prozkoumejte ten cyklus libovoln permutace pispvajc k determinantu v itateli,
kter
obsahuje sloupec k. Me b
t vbec pspvek permutace s takov
m
cyklem nenulov
?)
Alternativn formulace
Uve-me jet nsledujc homogenn! versi Cramerova pravidla:
Vta. Mjme homogenn soustavu
A~x = ~0
(8.68)
n rovnic o n + 1 neznm
ch, s matic hodnosti n. Pak jej een je dno (a
na nsobek) vzorcem
~xi = (;1)i det Ai (8.69)
kde Ai oznauje matici, vzniklou z A vynechnm i-tho sloupce. Dkaz lze
provst pomoc nsledujc vahy:
Doplme matici A nahoe jet jednm dkem { ozname jej ~y { volen
m
z dkovho prostoru A. Determinant takto rozen matice je samozejm
nulov
* jeho rozpisem podle prvnho dku y dostaneme
X
i
(;1)i yi det Ai = 0
(8.70)
tedy ~x z rovnice (8.69) je vskutku kolm k ~y. (Vzpomete si na charakterisaci
homogennho een jako ortogon
lnho doplku k dkovmu prostoru matice.)
Vyjasnte vztah tohoto tvrzen ke Cramerov pravidlu!
Kapitola 9
Vlastn sla a vektory
opertoru
Pichzme nyn k jednomu z nejdleitjch pojm linern algebry.
Definice. Nech+ f : V ! V je linern opertor a
~f (~v) = ~v
~v 6= ~0:
(9.1)
a
~v jeho vlastnm vektorem. (V ppad, e jde o prostor funkc V , mluvme
o vlastn funkci.) Souboru vlastnch sel opertoru kme spektrum.
Pak nazveme charakteristickm neboli vlastnm slem1 opertoru f
Zformulujte si sami pojem vlastnho sla a vektoru matice.
Nutnost zaveden komplexnch linernch prostor.
Chceme-li vyuvat mocn techniky vlastnch sel a vektor rozvinut dle,
uvame, e algebraick rovnice s koecienty z R nemus mt koen z R ,
zatmco pro C existuje
zkladn vta algebry. Ta tvrd, e kad
polynom alespo prvnho
stupn s libovoln
mi koecienty z C m v komplexnm oboru alespo jeden
koen.
Intuitivn dkaz. (Pro ty, co ji teba slyeli nco o logaritmu kom-
plexnho sla. Jinak, prosm, text peskote.) Polynom
anxn + an;1xn;1 + : : : + a1 x + a0
(9.2)
Nmecky !Eigenwert", rusky !sobstvnnoje zna enie", anglicky !eigenvalue" (germanismus svd o vedouc roli nmeck matematiky t doby).
1
109
110
KAPITOLA 9. VLASTN SLA A VEKTORY OPERTORU
se pro velk komplexn x = rei' , kde r ! 1 chov jako an xn . Lze najt
dostaten velk r, aby se argument (hel) pi objet krunice zmnil celkov
o 2n.
Pokud je polynom v cel Gaussov rovin nenulov, lze ho v+ude logaritmovat (logaritmus komplexnho sla je logaritmem jeho absolutn hodnoty
plus i-krt argument, kter vybereme teba z intervalu (; >), logaritmus
pak bude stejn jako polynom sm spojitou funkc a po objet2 po libovoln
kivce se vrt na vchoz hodnotu, ani by se zmnil by jen o nsobek 2i,
co je v rozporu se zvrem minulho odstavce.
Dsledek. Kad
polynom stupn n lze napsat ve tvaru
n
Y
p(x) = an (x ; i )
i=1
(9.3)
nebo ve tvaru
p(x) = an
Yk
(x ; j )n(j ) j =1
(9.4)
kde j jsou vzjemn rzn a n(j ) je stupe neboli nsobnost koene j .
Nznak dkazu. Je-li koen polynomu, pak3
p(x) = p(x) ; p() = (x ; )q(x)
(9.5)
kde q(x) je jak
si polynom stupn n ; 1, jeho koeny maj stejnou nsobnost
jako u p krom koenu , jen ji m o jednu men. Iterovnm posledn
vysazen formule dostvme poadovan
rozklad.
, e rovnici det(f ; 1) = 0:
Dkaz. 9~v ~f (~v) = ~v , (f ; 1) nen bijekc, a to nen prv kdy
det(f ; 1) = 0. Posledn rovnice je tzv. charakteristick rovnice opertoru. (Zopakujte si pojem determinantu opertoru!)
Vta o diagonalisaci. Nech+ charakteristick rovnice f : V ! V m
Vta. je vlastnm slem f
vechny koeny rzn, tj. jednonsobn. Pak lze f diagonalisovat, podrobnji
f m diagonln matici vzhledem k basi V tvoen vlastnmi vektory f .
2
3
Imaginrn st logaritmu pitom mnme spojit, nikoli v intervalu (; >.
Zde vyuvme rovnost typu x3 ; y3 = (x ; y)(x2 + xy + y2 ).
111
Dkaz. Sta ukzat, e vlastn vektory tvo basi V ' jeliko jejich poet
odpovd stupni charakteristick rovnice tzn. dimensi V , ukeme ji jen jejich nezvislost, teba takto: Kdyby pro vhodnou nenulovou sadu koecient
i platilo
X
i~vi = 0
(9.6)
kde ~f (~vi ) = i~vi , tak by pro kad kladn cel N platilo
X
0 = fN(
i~vi ) =
X
i Ni ~vi
(9.7)
a to je pli+ (nekonen mnoho) nezvislch rovnic pro neznm i na to,
aby +ly e+it. Dumejte podrobnji, viz t kapitolu o Jordanov tvaru.
Pouili jsme jednoduch tvrzen ko. Je-li ~f (~v) = ~v, je tak
f| f {z: : : f} f N (~v) = N ~v:
N
(9.8)
Vta. Nech+ 1 2 : : : n jsou prvky spektra f * kad
prvek peme
tolikrt, kolik je jeho nsobnost. Pak
det f =
n
Y
i=1
i a Tr f =
n
X
i=1
i :
(9.9)
V ppad jednonsobn
ch koen plyne z minul vty, obecn
dkaz rozvdt nebudeme, nebo+ vyplyne z detailnjch vah o Jordanov form matice, ale mete si jej provst ji te-, uvdomte-li si, e stopa a determinant
jsou (a na znamnko) koecienty an;1 a0 charakteristickho polynomu.
Vta. Nereln vlastn sla a vektory reln matice A (zatm nemluvme
o obecnm opertoru) lze sdruit do pr:
Je-li A~x = ~x tak plat i A~x = ~x:
(9.10)
Dkaz. Druh rovnost je komplexn sdruen s prvn, a e lze pruh
roztrhnout pi nsoben ab = ab, asi je+t vte.
Pklad. Ovenm vztahu
(1 ; BA);1 = 1 + B(1 ; AB);1 A
(9.11)
112
pokud inverse existuje alespo na jedn stran, doka te, e nenulov sti spektra AB i BAjsou stejn.
Tento fakt je jet mnohem jednodueji vidt z rovnosti (ukazujc podobnost AB a BA a platn pokud A resp. B je regulrn, co je siln
poadavek
v ppad nekonen dimense, kde tedy b
v uitenj vztah v
e uveden
)
AB = A BA A;1 = B;1 BA B:
(9.12)
Z tohoto plyne, e rovnice AB ; BA = 1 nem een pro matice konen velikosti4 (srovnej se sekc Kvantov
mechanika). Uvedenou nemonost je
mono dokzati i jednodueji uitm cyklinosti stopy. Provete!
9.1 Charakterisace isometri ve tech rozmrech
Dsledek. Nech+ f : E 3 ! E 3 je linern zobrazen zachovvajc dlky
vektor. Pak plat jdet f j = 1 a
je-li navc det f = +1, je f otoenm kolem vhodn osy
je-li det f = ;1, lze f vyjdit jako komposici otoen a zrcadlen*
protoe jsme v lich dimensi, meme za zrcadlc matici vzt minus
jednotkovou matici* to m tu v
hodu, e nezvis na tom, zda ji napeme vlevo i vpravo { komutuje se vemi maticemi (pro ;f plat
minul
bod)* v sudorozmrnm ppad je teba vzt matici vzniklou
z jednotkov nahrazenm jedn (lichho potu) jednotky minus jednotkou
Dkaz. Nejprve poznamenejme, e vlastnosti zachovv velikost vektoru a zachovv skalrn souin jsou v dsledku kosinov vty ekvivalentn.
~f (~v) = k~vk () b(~f (~v) ~f (w~ )) = b(~v w~ )
(9.13)
Podle prvn vty mme, e bu jsou v+echna vlastn sla zobrazen f
1 2 3 reln, nebo mus bt dv vzjemn komplexn sdruen (eknme
2 = 3 ). Jeliko
~f (~vi ) = i~vi & ~f (~vi ) = k~vik =) ji j = 1
(9.14)
Uvdomme si, e spektrum matice C + 1 je oproti spektru matice C posunuto o
jedni ku doprava.
4
9.2. PEHLED GRUP, CARTANIDA
113
Tedy je 2 2 = 3 2 = 1, a tak 1 = det f = 1 2 3 , ili 1 = 1.
Na+li jsme vlastn vektor pslu+ejc vlastnmu slu 1, v kladnm ppad tedy osu oten. ekneme u jen, e ozname-li tuto osu jako z , jsou
dal+ vlastn vektory ( je hel otoen kolem osy z ' lehce se o v+em pesvdte pmm vpotem)
~ex + i~ey s vlastnm slem ei
~ex ; i~ey s vlastnm slem e;i .
9.2 Pehled grup, Cartani da
Na zvr prvn sti knihy uvdme pehled grup, zvlt grup Lieovch
(to jest spojit
ch grup matic). Je trochu nhoda, e se ocitl v tto kapitole.
Zatenkm doporuujeme ten tto kapitoly odloit na pozdj dobu (po
seznmen se s vodem kapitoly Lieova algebra).
Mezi obvykl symboly pro grupy pat:
Sn, grupa vech permutac n-prvkov mnoiny (m n! prvk).
A n, jej normln podgrupa vech sud
ch permutac (m n!=2 prvk
pro n > 1).
2n, podgrupa Sn, grupa vech symetri pravidelnho n-helnka (2n
prvk).
nm ji znm aditivn komutativn grupy Z, Zn.
To byly grupy diskrtn (nespojit), v prv
ch tech ppadech konen.
Dal poloky budou grupy Lieovy. tete-li text poprv, nsledujc seznamy
peskote nebo tte v poad od nejjednoduch grup (ty ale urit):
G L SL O SO U SU : : :
(9.15)
Pro tene, kte zatm nebudou st ne uveden
text, uvdme telegracky nejdleitj informace. G L je grupou vech regulrnch matic, SL
je podgrupou vech matic s determinantem jedna (zopakujte vtu o nsoben
determinant!), O je grupou vech tzv. ortogonlnch matic* pojem ortogonln matice meme denovat nejmn temi ekvivalentnmi zpsoby:
Matice, jejich dky maj normu jednotkovou a jsou vzjemn kolm.
(Uka te, e potom plat tot pro sloupce.)
114
Matice, pro kter plat vztah AT = A;1. Jin
mi slovy, AAT = 1
(co je ekvivalentn se vztahem AT A = 1). Uka te. (Tato vlastnost
se nejlpe hod k dkazu uzavenosti na komposici a inversi. Provete
podrobn.)
Matice, kter zachovvaj skalrn souin: b(~x ~y) = b(A~x A~y).
Matice, kter zachovvaj velikost vektoru.
Konen, grupou SO rozumme grupu vech ortogonlnch matic, jejich
determinant m hodnotu jedna.
Cvi en. Determinant ortogon
ln matice je roven 1.
Grupy U a SU tzv. unitrnch matic jsou analogi grup O a SO * jsou
uiten v komplexnch prostorech. Pojem unitrn matice lze opt denovat
nkolika ekvivalentnmi zpsoby: unitrn matice zachovvaj skalrn souin
v komplexnm prostoru a dal ekvivalentn podmnky lze formulovat analogicky jako nahoe. Provete patinou modikaci, pracujte s matic A = AT
a podobn.
Cvi en. Determinant unit
rn matice je komplexn jednotkou.
Cartan (]) ve sv disertaci provedl klasikaci prost
ch kompaktnch spojit
ch grup a odpovdajcch algeber (viz kapitolu o exponencile). (Grup
kme kompaktn, pokud kad posloupnost jejch prvk obsahuje konvergentn podposloupnost* v ppad grup matic lze ci, e kompaktn grupy
jsou grupy matic, jejich prvky jsou matice se stejn omezen
mi slokami
a navc jsou tyto grupy uzaven jako podmnoiny patinho vektorovho
prostoru.
V dalm uvdme nkter zkladn data o tom, jak mohou obecn vypadat kompaktn grupy matic* uveden v
sledky i (gotick) oznaen pochzej
od Cartana. Pouit indexy oznauj tzv. rank grupy, co je (podobn jako
dimense grupy) pojem, kter
zavedeme podrobnji a v kapitole o Lieov
ch algebrch. (ten hloubji studujc ne uveden
text, hledajc vce
ne jen poten seznmen s nzvy nkter
ch v
znan
ch grup, by ml
nejprve prostudovat vodn partie dotyn kapitoly). Zhruba eeno, rank
grupy udv, kolik vzjemn komutujcch a nezvisl
ch krunic ( krunic!
rozumme jednoparametrickou podgrupu* pesn vysvtlen zde pouitho
pojmu nezvislosti! je mono podat tak a v kapitole Lieova algebra)
jsme schopni v grup objevit { zatmco dimense grupy je slo, kter udv,
115
do kolikadimensionlnho euklidovskho prostoru jsme schopni danou grupu
lokln vzjemn jednoznan a hladce zobrazit.
Cvi en. () Rank grupy vech otoen v E 3 (tuto grupu d
le zname
jako SO (3)) je roven jedn, tzn. neexistuj dv rzn
otoen prostoru podle
neidentickch os, kter
by komutovala. Uvdomte si to! (~)
Algebra Al a j odpovdajc grupa SU(l + 1) maj dimensi (l + 1)2 ; 1*
grupa obsahuje vechny unitrn unimodulrn komplexn matice
A rozmru (l + 1) (l + 1), to jest matice, splujc
AA = 1 det A = 1:
(9.16)
Algebra Bl a j odpovdajc grupa SO (2l +1 R ) maj dimensi (2l +1)l*
grupa obsahuje reln matice rozmru (2l + 1) (2l + 1) splujc
AAT = 1 det A = 1:
(9.17)
Algebra Cl a j odpovdajc grupa Sp(2l) neboli USp(2l) maj dimensi
(2l + 1)l* grupa obsahuje komplexn unitrn symplektick matice
rozmru 2l 2l, tj. matice splujc (v sekci o spinorech vysvtlme,
pro grupu vykldme jako unitrn grupu nad kvaterniony U (l H ),
co je dvod, pro mnoz p Sp(l) msto Sp(2l))
AA = 1 AKAT = K
(9.18)
kde K je njak regulrn antisymetrick5 matice (antisymetrick matice lichho rozmru je vdy singulrn, proto 2l).
Ani v tomto ppad nein pote ukzat, e jde o grupu (prove-te). Na rozdl od pedchozch grup s jasnou geometrickou interpretac
jejich prvk, pojem symplektick grupy lze motivovat (jinak ne formln algebraicky* interpretace jako unitrn grupa nad kvaterniony!
bude asi pli obtn
m soustem pro zatenka) jen teni s alespo
minimln znalost analytick mechaniky: viz t odstavec 11.10 ne.
Algebra Dl a odpovdajc grupa SO (2l R ) maj dimensi (2l ; 1)l.
(]]) Dal jsou Cartanovy vyat grupy (student je me pehldnout,
nezajmaj-li ho), u nich uvdme dimensi a poet rozmr fundamentln representace (E 6 m komplexn fundamentln representaci a k n
sdruenou, ostatn maj jen reln representace).
5
Takov, e K = ;KT , nkdy se k polosymetrick nebo kososymetrick.
116
E6 a grupa E 6, dimense 78, fund. 27/27.
E7 a grupa E 7, dimense 133, fund. 56.
E8 a grupa E 8, dimense 248, fund. 248. (Fundamentln representace
tto grupy spl
v s pidruenou.)
F4 a grupa F 4 , dimense 52, fund. 26.
G2 a grupa G 2, dimense 14, fund. 7. (Jde o grupu symetri Cayleyovch sel jakoto algebry nad R , kter dostaneme jako jet vt
tleso! (dimense osm) ne H , nepoadujeme-li u tlesa! asociativitu
nsoben.) (~)
Nejen kompaktnmi grupami iva je teorie grup. (Akoli kompaktn grupy
maj nesporn pednosti* maj konen
objem!, tzn. takzvan invariantn
integrovn po grup (Haarova mra)
Z
g2G
f (g)d =
Z
g 2G
f (gh)d =
Z
g2G
f (hg)d
(9.19)
lze normovat na jednotkov
integrl z jednotkov funkce, o em neme
b
t ei u nekompaktnch grup a co nap. zaruuje, e kad linern representace kompaktn grupy se d rozepsat jako pm
souet nerozloiteln
ch
podprostor.)
G L (n R =C
) jsou vechny regulrn reln/komplexn matice n n*
zkratka general linear!. Reln dimense je n2 v relnm ppad, dvojnsobn v komplexnm.
SL (n R =C
SO (n R =C ) je prnik SL a O * z toho plyne zkratka. Dimense je jako
u O . Pro tleso R je grupa kompaktn a zajmavj ne v komplexnm
) je podgrupa tch, kter maj determinant roven jedn (tzv.
unimodulrnch)* zkratka special linear!. Reln dimense je n2 ; 1
v relnm a dvojnsobn v komplexnm ppad.
O (n R =C ) je grupa vech ortogonlnch matic A (splujcch A;1 =
AT )* zkratka orthogonal!. Dimense je n(n ; 1)=2 v relnm a dvojnsobn v komplexnm.
ppad, kde je lep studovat kompaktn grupy unitrn (viz dle)*
neudme-li tedy tleso, mnme tm SO (n R ).
117
Spin(n), co je grupa tm isomorfn s SO (n), ale kadmu prvku
grupy SO (n) odpovdaj dva prvky grupy Spin(n), nap. jednotkovmu
prvku SO (n) pslu prvky, kter nazveme rotace o 0 ! a rotace
o 360 !. V sekci o spinorech ujasnme, pro rozeznme rotaci o 2 od
rotace o 0. Pklad: Spin(3) je isomorfn SU(2).
Grupa U (n) vech komplexnch unitrnch matic A rozmru n n,
splujcch A;1 = A (A)T * zkratka unitary!. Dimense je n2 .
Grupa SU(n) vech unitrnch unimodulrnch matic.
Grupa O (m n) (a odpovdajc unimodulrn SO (m n)) reln
ch pseudoortogonlnch matic A rozmru (m + n) (m + n), splujcch
AGAT = G
(9.20)
kde G je matice nulov krom diagonly, na n le m jednotek a n minus jednotek. Vidme, e SO (m 0) SO (m), a tak grupa SO (m n)
m tou dimensi jako SO (m + n). Kupkladu grupa O (3 1) neboli
O (1 3) je znm Lorentzova grupa otoen relativistickho asoprostoru, xujc Minkowskho tverec normy vektoru c2 t2 ;x2 ;y2 ;z 2
(za c si pedstavte jednotku, jak in i teoretit fysici). (Desetirozmrn) Lorentzova grupa obohacen o libovoln posunut nese jmno
dalho relativistickho prince: grupa Poincar.
Mnoz se rdi dovd, e konformn grupa obsahuje vechny (i nelinern) transformace zachovvajc hly. (Ve dvou dimensch je nekonenrozmrn, zobrazen odpovdaj holomorfnm funkcm komplexn
promnn a prv tato skutenost povyuje struny nad vcerozmrn
objekty.)
Vimnme si, e i takov grupa SO (3 1) je nesouvisl* skld se ze dvou
komponent s maticemi s a44 < 0 resp. > 0 (transformace pevracejc
budoucnost na minulost resp. budoucnost).
Komplexn analogii nem smysl uvaovat, nebo+ by vedla ke grup
isomorfn SO (m + n C ): matici A lze zastoupit podobnou matic B
dle vztahu A = CBC;1 , kde matici C zskme z G nhradou ;1 za
i, take plat CGCT = 1 a dosazenm za A zskme BBT = 1.
Zato m smysl uvaovat o grup U (m n) a SU(m n) komplexnch
pseudounitrnch matic (~)
AGA = G:
(9.21)
118
SYLABUS PEDNKY LA 1/FYZ,ZIMN SEMESTR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
19
18
20
21
22
23
24
Pojem grupy, tlesa, linernho prostoru, homomorfismu.
Permutace, transposice, cykly, inverze. Znak permutace.
Linern (ne)zvislost, pojem dimense, Steinitzova vta.
Isomorfismus. Podprostory lin. prostoru. Reln a komplexn
linern prostory a vztahy jejich dimens.
Prostory se skalrnm souinem. Cauchyova a Minkowskho
nerovnost.
Gramm-Schmidtv ortogonalisan proces. Ortogonln doplnk
podprostoru, ortogonln projekce. Dimense dopl ku.
Linern zobrazen. Pklady. Vztahy dimense jdra, obrazu
a defininho oboru.
Vyjden linernho zobrazen matic vi danm
bazm.(Pklad: derivace a posun polynomu) Transformace
souadnic vektoru pi linernm zobrazen.
Skldn zobrazen versus nsoben matic.
Sloupcov a dkov prostor matice, vztah jejich dimens.
Hodnost matice a zobrazen.
Frobeniova vta. een peurench soustav.
dkov $pravy matice, jejich representace jako nsoben
jistmi specilnmi maticemi zleva. Dsledky: een
soustav a vpoet inversn matice.
Gaussova eliminace.
Hodnost souinu matic. Regulrn matice, pklady.
Vyjadovn zobrazen maticemi v rznch dvojicch bas,
zpsob zpisu transformanch vztah. Podobn matice.
Stopa matice a zobrazen, vlastnosti.
Definice a zkladn vlastnosti determinantu (chovn pi
dkovch a sloupcovch operacch). Objem rovnobenostnu.
Determinant souinu matic. Dsledky.
Rozvoj determinantu podle dku (sloupce). Dsledek:
vpoet inversn matice. Cramerovo pravidlo.
Vpoet determinantu specilnch matic (blokov, 3x3,...)
Rozklad mnoholenu na koenov initele.
Vlastn sla a vektory matice (opertoru).
Charakterisace tdimenzionlnch izometri.
Vznan grupy matic: GL,SL,O,SO,U,SU,...
st II
Letn semestr
119
Kapitola 10
Dldn a krystaly
Ped tm, ne naveme na peruen
v
klad vlastnch vektor kapitolou
o Jordanov tvaru a nilpotentnch opertorech, zmnme se, v nsledujcch
dvou kapitolch, o dvou tmatech, spojen
ch snad pouze pojmem grupy
v nejobecnj form: o krystalech a o exponencile.
s
s ss s ss s
s
g gg
g g
cc c ccc ccc
g g
g g
g g
g
cc c c cc c c c c
c c c cc c cc c c c
121
122
KAPITOLA 10. DL$DN A KRYSTALY
Nkolik pojm z krystalograe
Mluvme-li o symetrich krystal, meme mt na mysli zkoumn vhodn
podgrupy O (3 R ), sestvajc z isometri pems+ujcch dan
krystal na
sebe!. Co ale budeme rozumt pojmem krystal? Naivn nhled, ztotoujc pojem krystalu s njak
m konkrtnm vce i mn pravideln
m tlesem (jako je nap. krychle v ppad kamenn soli) by ns daleko nezavedl. Podstatnj je u pozorovn, e kad
krystal m cosi jako soubor
povolen
ch ohraniujcch ploch!, jejich vzjemn hly jsou pevn zadny (a meme je na skuten
ch krystalech mit). Posuneme-li tyto plochy
do potku souadnic, meme hledat grupu symetri tohoto souboru rovin (prvky grupy jsou transformace pevdjc kadou povolenou rovinu do
njak jin povolen roviny). Dal zkoumn tohoto problmu vedlo krystalografy u v minulm stolet k zaveden fundamentlnho pojmu (tehdy,
ped experimentlnm dkazem existence atomu to byla pouh uiten mylenkov konstrukce) krystalov me: povolen ohraniujc roviny! jsou
pak charakterisovny jako celoseln! podprostory me (tzn. podprostory
protnajc krystalovou m v njak podmi dimense o jedniku men).
Tento pythagorejsk
! pstup k problmu je obecn od t doby pijmn
krystalografy (i kdy podrobnj porozumn, pro prv celoseln ohraniujc roviny pozorujeme na skuten
ch krystalech (a to tm v
znamnji,
m men jsou celoseln souadnice pozorovan podme!) stle chyb).
Take je teba studovat symetrie krystalov me!
Krystalograck soustavy pak odpovdaj rzn
m mon
m podgrupm
O (3 R ).
Zmnme se krtce o dvojrozmrn versi tohoto problmu, msto krystalick me upeme zrak a mysl na dldn roviny.
Definice. Pemstnm roviny rozumme takov zobrazen E 2 na sebe,
kter zachovv vzdlenosti (tedy i hly, doka te, nepedpokldme zachovn orientace, me tedy jt i o zrcadlen).
Poznmka. D se ukzat, e kad pemstn lze vyjdit jako kompo-
sici translace (f~x 7! ~x + ~ag : E 2 ! E 2 ) a vhodnho prvku O (2 R ) v tomto,
stejn jako v opanm, poad.
Definice. Prostorovou grupou G periodickho dldn rozumme
soubor vech pemstn, zobrazujcch dldn na sebe.
V rovin mohou mt dldn 17 rzn
ch (navzjem neisomorfnch) pro-
123
storov
ch grup (viz1 obrzek), trojrozmrn krystalick analogie jich m
230, kter se dl do sedmi zkladnch td (jednoklonn,: : : ).
Grupa translac dldn T je denovna jako podgrupa
vech translac z G * je tedy isomorfn Z Z, mluvme-li o periodickm
Definice.
dldn.
Definice. Bodovou
grupu dldn denujeme jako
S = f 2 O (2 R ) j 9 translace T 2 e T 2 G g
(10.1)
(doka te, e to je grupa). Tato grupa je zkladnm objektem krystalograckho zkoumn, nikoli stacionrn grupa, co je jej podgrupa (uka te, e
nemus bt tat
)
H = O (2 R ) \ G :
(10.2)
V
znanou roli v krystalograi hraje nsledujc zkladn vta, ji uvdme jen pro orientaci, viz poznmku o dkazu tto vty na konci kapitoly.
Vta. Je-li C cyklickou3 podgrupou S, pak C me obsahovat pouze
1, 2, 3, 4 nebo 6 prvk.
Dsledek. #dn
krystal s periodickou krystalovou m neme mt
tvar pravidelnho dvacetistnu ani ticetistnu.4 Pesnji, dn periodick
krystalick m v E 3 ani dldn v E 2 neme mt ptietnou cyklickou
podgrupu symetri.
Historick poznmka. Kdy v roce 1984 byly pipraveny rychl
m
ochazenm jist slitiny Al ( dural!) prvn krystaly! tvaru ticetistnu, byly
nazvny kvasikrystaly. Jak uvidme ne, pomr etnost atom takov
Jsou pro vs tyto abstraktn pojmy panlskou vesnic? Pak vzte, e v jednom panlskm mst, zvanm Granada, znzornili Arabov mozaikami dldn vech 17 typ
ji asi ped tisciletm.
2
Nemus b
t nutn z T.
3
Opakovn: jde o grupu generovanou jednm prvkem.
4
Co je degenerovan
rovnobnostn nad dvancti vektory tvocmi hlavn osy dvacetistnu (kter
je analogicky simplexem nad doty n
mi vektory% ob tlesa maj stejn grupy
symetri). Ticetistn tedy zskte vzty enm pravideln
ch !stan" nad stnami dvanctistnu nebo dvacetistnu tak vysok
ch, aby stny stan sousednch stn Plat*nova tlesa
leely v rovin a tvoily koso tvercov stny ticetistnu. Ten nepo tme mezi Plat*nova
tlesa, neb m dva druhy vrchol.
1
124
slitiny nen dn zlomky s mal
mi pirozen
mi sly, jak jsme zvykl z chemie,
ale iracionlnmi sly jako je .
Ji pedtm, v roce 1975, sestrojil matematik Oliver Penrose pklad kvasiperiodickho dldn s ptietnou grupou symetri. Elegantn popis
jeho konstrukce lze podat v ptirozmrnm prostoru.
10.1 Penroseho pokryt
V E 5 uvaujme cyklickou ptietnou grupu isometri G 5 isomorfn (Z5 +) a
generovanou prvkem g,
~g(~e1 ) = ~e2 ~g(~e2 ) = ~e3 ~g(~e3 ) = ~e4 ~g(~e4) = ~e5 ~g(~e5) = ~e1 (10.3)
piem f~ei g je kanonick base.
Hledme tzv. invariantn podprostory vi G 5 , to jest podprostory
E E 5 takov, e5
g(E ) E 8g 2 G 5 :
(10.4)
Nalezen invariantnch podprostor.
Snadno si uvdomme, e diagonla!
D
= f(t t t t t) j t 2 R g
(10.5)
je invariantnm podprostorem, obal vlastnho vektoru (1 1 1 1 1) grupy G 5
(je to vlastn vektor vech jejch prvk).
Dal podprostory. Zskme je, e z E 5 pejdeme do
zb
vajc tyi vlastn vektory G 5 (tyto a k nim sdruen):
(1 " "2 "3 "4 ) (1 "2 "4 "6 "8 )
C5
a urme
(10.6)
(z rovnic, aby byl vektor vlastnm vektorem generujcho prvku grupy, dostaneme, e podl sousednch souadnic je vdy stejn ") a dva vektory
s komplexn sdruen
mi souadnicemi v kanonick basi. Zde vude je " =
exp 2i=5, tedy "5 = 1. Invariantn podprostory v C 5 lze dostat jako linern obal libovoln podmnoiny mnoiny pti vlastnch vektor (tedy 32
podprostor, z toho jeden triviln {jen nulov
vektor{, jeden cel C 5 atd.).
Podmnku sta poadovat prv jen pro ten genertor g% protoe g je prost, tedy
zachovv dimensi, lze pst msto zna ky podmnoiny rovntko.
5
10.1. PENROSEHO POKRYT
125
Chceme-li se rozumn vrtit do relnho prostoru, vimnme si dvojrozmrnho komplexnho prostoru E C s bas6
f(1 " "2 "3 "4 ) (1 "1 "2 "3 "4)g:
(10.7)
Druh
vektor je onen komplexn sdruen
k prvnmu (jeliko souadnice
jsou komplexn jednotky, meme pruh tak posunutm doprava pemnit
na minus v exponentu) a lze zvolit jinou, relnj basi
f(1 cos 2=5 cos 4=5 cos 6=5 cos 8=5)
(0 sin 2=5 sin 4=5 sin 6=5 sin 8=5)g:
(10.8)
Bereme-li jen reln kombinace tchto vektor, zskme reln
dvojrozmrn
invariantn podprostor E . (Podobn z dalch dvou komplexn sdruen
ch
vektor dostaneme dal podprostor.)
Ortogonln projekce ~e1:::5 vypad asi tak jako na stran 19.
Poznmka. Podobn konstrukce je mono vytvoit i pro libovoln jin lich pirozen sla, ppad sud
ch sel se odliuje dvojrozmrnost
diagonly! (promyslete podrobnji). Ortogonln projekce t-, pti-, deseti-,
jedenadvacetirozmrn
ch krychl do nkterho z tchto dvojrozmrn
ch invariantnch podprostor (krom diagonly!) dvaj obrzky znzornn na
oblce knihy. Je mono si je pedstavit tak jako v
sledek posloupnosti postupn
ch ortogonlnch projekc do prostor dimens sniujcch se o jedniku, zanajc v prostoru E n , kde n = 3 5 10 21, a koncch ve zvolenm
invariantnm podprostoru. teni nechme k zamylen (asi netrivilnmu),
jak vypadaj viditeln! hrany tchto jednotliv
ch projekc.
Vty. D
? E ? E 0 ? D (kad
vektor kolm
na kad
)* projekce kad-
ho jednotkovho dvojrozmrnho tverce s vrcholy v Z5 do E (analogicky do
E 0 ) je kosotvercem s vnitnm hlem 36 nebo 72 , oba maj stejnou dlku
strany.
Dal, funk n shodn
dvojrozmrn
prostor vyvstane z druhho vektoru
(1 "2 "4 "6 "8 ) a jeho komplexn sdruenho, odlime ho rkou.
6
126
Konstrukce Penroseho pokryt. Pozor, je to namhav! (]])
Nech+7 K = h0 1i5 je jednotkov krychle v E 5 .
Ozname U = K + E = f~k + ~e j ~k 2 K ~e 2 E g.
Penroseovo pokryt (jde skuten o pesn vydldn roviny dvma typy
kosotverc, nikde se nepekr
vaj a nikde nezbude dra!) je tvoeno projekcemi vech dvojrozmrn
ch jednotkov
ch tverc s vrcholy v Z5 , kter
le cel v U .
Vulgarisace. () Pro rmcovou pedstavu o konstrukci Penroseova
dldn sta uvaovat o prostoru E E 3 kolmm na vektor (1 1 1).
Piteme-li k nmu jednotkovou krychli, dostaneme ps prostoru a pohledem ve smru (1 1 1) na tento ps prostoru spatme hranici zubatho
poloprostoru!, co se v prmtu jev jako estihelnkov s+, v n je kad
7
Otzku, zda krajn body do intervalu pat i ne, nyn nezodpovdejme% je nekone n
mlo pravdpodobn, e bychom se
do nich treli. Tato nejasnost se jednodueji vye
po projekci do (trojrozmrnho) E ?, kde se podmnka, aby tverec leel v U , redukuje na
to, e prmt jeho stedu le v ur itm rovnobnostnu, kter
vybereme jako kartzsk
sou in t interval, kad
uzaven
z jedn a oteven
z druh strany.
10.1. PENROSEHO POKRYT
127
estihelnk (stejn
m zpsobem) rozdlen na ti kosotverce. (~)
Cvi en. Doka te ptietnou symetrii tohoto pokryt. Ambicisnj studenti vnuj asi deset hodin na dkaz, e pokryt nem
pekryvy a dry.
Reference. >vodn seznmen nap. v Scientic American, April 1991,
v adresi motl na stch najdete program jednoho z autor, kter
toto
dldn kresl. Mon vs upout, e tlust
ch! kosotverc je vce ne
huben
ch! prv zlat
-ez-krt (tj. cca 1:618 krt). Ti, kte toto budou
dokazovat, nakonec dojdou k tomu, e je to pomr objem dvou urit
ch
trojrozmrn
ch rovnobnostn. (Pesnji eeno pomr obsah prnik
systmu ekvidistantnch rovnobn
ch rovin { mluvme o nich jako o rovinch z =konst. { a dvou rovnobnostn, kad
z nich je generovn vektory se z -ovou slokou rovnou vzdlenosti sousednch rovnobn
ch rovin,
ili pomr vyjde natst stejn
, nezvisl
na konkrtnm umstn rovin.)
V programu tak najdete parametr posun!, jeho volbou (0 nebo 1) doclte globln odlin obrzky (v uveden
ch krajnch ppadech je maximum
resp. minimum (dn) potu deseticp
ch hvzd).
Vta (Babilonova). Pomr etnost kosotverc (resp. rhomboid ve
vcerozmrn
ch kvasiperiodick
ch pokrytch diskutovan
ch ne) dvou typ
je roven pomru jejich obsah (resp. objem). Toto je dsledek nsledujcho
tvrzen: (~~)
Tvrzen. V ortogonln matici A rozmru 2n 2n, zapsan pomoc n n
!
a
b
A= c d
(10.9)
jsou spektra tzv. Grammov
ch matic aaT a ddT stejn. Speciln, matice a
a d maj determinant stejn
a na ppadn znamnko. Vtu lze zobecnit i
blok
pro bloky rzn
ch rozmr, doplnme-li men blok po diagonle jednotkami
(a vude jinde peme nuly).
Dkaz. Rozepsnm vztahu
neme mimo jin podmnku
AAT = 1 ortogonality A na bloky dosta-
ccT + ddT = 1
a z ekvivalentn rovnosti AT A = 1 zskme
aT a + cT c = 1
(10.10)
(10.11)
128
kombinac kter
ch dojdeme k zvru, e matice aT a = 1 ; cT c a ddT =
1 ; ccT jsou podobn, ponvad plat (viz podrobnji kapitolku o polrnm
rozkladu)
Lemma. Matice ef a fe jsou podobn, je-li alespo jedna z matic e f
regulrn. Speciln, podobn jsou i cT c a ccT pro regulrn c.
Dkaz.
ef = e fe e;1 = f ;1 fe f :
(10.12)
Cvi en.
Spotte pomr ploch 'tlustho' a 'tenkho' kosotverce
v~Penroseov pokryt.
Denici Penroseho dldn lze uplatnit pro libovoln
podprostor E E n
prostoru libovoln dimense* nen-li ovem E invariantn podprostor vhodn grupy, nebudeme mt dn symetrie takto vzniklho kvasiperiodickho
obecnho dldn.
10.2 Pklad trozmrnho kvasikrystalu
(]) Zmnme se jet o fysiklnj { toti trojdimensionln { analogii Penroseova pokryt. Ukeme, jak lze vyjdit prostor E 3 jako kvasiperiodick
slepenec rhomboid
8 dvou rzn
ch typ!.9
Zkladem porozumn ne uveden konstrukci, pochzejc z poloviny
80.let (Duneau-Katz), bude znalost dvacetistnu (viz vod skript)* zdrazujeme zvlt fakt, e skalrn souin jednotkov
ch vektor ve smru vrchol
je 1 nebo 5;1=2 (piem dleit je jen ta dichotomie v druhm ppad).
Nyn je mono pout nsledujc elegantn estirozmrnou konstrukci:
umstme v E 6 dv vzjemn kolm kopie E 3 , E 30 a mjme v E 3 resp. v E 30
vystavny dvacetistny tak, e plat 8i 6= j = 1 : : : 6
b(~ei~ej ) = ;b(~e0i ~e0j )
(10.13)
Jin
nzev: rhomboedr. Tak se naz
v rovnobnostn, kter
m vechny hrany stejn
dlouh.
9
V hodin mineralogie se poklepnutm kladvkem na krystal kamenn soli ukazuje,
kterak se tento rozpad na dal men krychli ky. Zde !poklepneme na ticetistn" a
tento se rozpadne na mnostv rhomboid dvou typ podobn, jako by se rozpadly na
dva druhy koso tverc mnoh pravideln desetihelnky, kter lze nalzt v Penroseov
pokryt. Dvacetistn se takto rozbt ned, take ns neudiv, e vtina experimentln
pipraven
ch kvasikrystal jsou spe ticetistny ne dvacetistny.
8
10.2. PKLAD TROZMRNHO KVASIKRYSTALU
129
kde ~e1 : : : ~e6 , resp. s arou, jsou zmnn vrcholy dvacetistnu v E 3 ,
resp. E 30 . Je vskutku pozoruhodn
m faktem, e takov dvoj oslovn
vrchol dvacetistnu! je vbec mon (peslujeme-li pt soused vrcholu
~e6 z ptihelnku na hvzdu a vrchol ~e6 zamnme s ;~e6 , pejdou nm blzk
dvojice vrchol na vzdlen a naopak). Vektory
0
~x1 = ~e1p+2~e1
..
(10.14)
. 0
~e6p+~e6
~x =
6
2
jsou nyn kolm (a jednotkov)!
Vytvome nyn nsledujc analogii Penroseovy konstrukce: vezmme
ps!
U = K +E3 E6
(10.15)
kde K je jednotkov krychle vymezen ~x1 : : : ~x6 . Vezmme nyn vechny
trojrozmrn jednotkov krychle s vrcholy ve mce Z6 (vechny celoseln kombinace ~x1:::6 ), kter le cel v U , ortogonln je promtnme do E 3
(projekc K je potom ticetistn) a mme ohlen pokryt E 3 rhomboidy
dvou typ. Ppadnou detailnj diskusi penechme tenm.
Nakonec jet pipomeneme, e podobn, jako Penroseovo dldn mlo
ptietnou symetrii, m nyn diskutovan pokryt trojrozmrn grupu symetri stejnou jako dvacetistn (nebo dvanctistn i ticetistn, jde pod
o tut grupu).
Poznmka. Dkaz hlavn krystalograck vty! je zaloen na nsledujcm pozorovn (viz podrobnji '22]* jin
dkaz viz '6]). Prove-me ho jen
pro stacionrn grupu H .
Nech+ g generuje njakou zmnnou cyklickou podgrupu C = Zn. Vezmme njakou dladici D obsahujc potek a ozname jako O sjednocen
vech obraz g(D) g 2 C tto dladice. Periodinost dldn znamen, e
lze najt dvourozmrnou m tvaru
M = fmf1 + nf2 j m n 2 Z f1 f2 2 R 2 g
(10.16)
takovou, e kad
posun dladic z O o vektor z M tvo podmnoinu pvodnho dldn. Zkuste odvodnit podrobnji!10
Dkaz nen tk
: jde v podstat o tvrzen, e kad periodick diskrtn podmnoina
R obsahujc po tek m tvar me M uveden v (10.16).
10
2
130
Take libovoln oten g 2 C pen m M na sebe, tud jeho matice
vi basi f1 f2 je tvoena celoseln
mi prvky (pslun sloupce udvaj
souadnice vektor g(f1 ) g(f2 )). Speciln stopa otoen g je celoseln!
Zkonfrontujme to ale s faktem, znm
m z kapitoly Skalrn souin (vztah
(4.26)), e stopa otoen o hel ' je rovna
Tr g = 2 cos ':
(10.17)
Tedy 2 cos ' mus b
t cel slo, co dv uveden hodnoty ' = 2=n. (~)
m
s
/
m
Na obrzku je st rozvinutho plt pravidelnho ticetistnu.
Pipop
meme, e ostr hly v kosotvercch jsou rovny arccos 1= 5 = arctan 2.
Vystihnte naznaen pl
%, spojte kruhov otvory (ob nakreslen ipky se
budou pekrvat) a nakreslete chybjc st povrchu ticetistnu!
(Odpov-. Chyb pticp hvzda s nramkem, tedy 10 kosotverc.)
Kapitola 11
Exponencila matice
Motto. Jednoho dne krely funkce po Vclavskm nmst. Najednou
se ped nimi objevila derivace a vechny funkce zaly plny strachu do musea,
pouze sinus bhal periodicky dokola a tak ho derivace zkosila: byl z nho
kosinus. Jedna funkce si dle vykraovala kolem svatho Vclava.
Ty se m neboj?! zeptala se derivace. Ne, j jsem exponencila,!
odpovdla exponencila a zintegrovala derivaci.
O exponencile. Zaveden veledleitho pojmu exponencily lze
motivovat bu- formln matematicky { hledme nejjednodu pklad spojit grupy matic! (tm je prv fexp (tA) j t 2 R g) nebo fysikln snahou
eit vvojov (neesky evolun) rovnice.
Mnoho loh lze toti formulovat ve tvaru rovnice ~v_ = A ~v, kde teka
zna derivovn podle asu, ~v je z njakho vektorovho prostoru V , na
nm inkuje linern opertor A, jej een je (pozor, pekvapen) ~v(t) =
exp (tA)~v0 . Takto lze zapsat soustavu n linernch diferencilnch rovnic
1. du (potom je ~v 2 R n a A je vhodn matice n n) a pipustmeli sloitj (pesnji eeno nekonenrozmrn) prostory funkc ~v(t x y z ),
lze do uvedenho schematu (zatm alespo formln) zaadit i znm rovnice
veden tepla
@
(11.1)
@t T = 2T
a Schr)odingerovu rovnici
!
@ = ; @h2 2 + U (~r) i@h @t
2m
131
(11.2)
132
KAPITOLA 11. EXPONENCILA MATICE
(2 oznauje jak znmo Laplacev opertor @x@ 22 + @y@ 22 + @z@ 22 ).
Na to, abychom mohli pst een rovnice
~v_ (t) = A~v(t) ) ~v(t) = exp(tA)~v0
(11.3)
pro njak
konstantn poten vektor ~v0 (okrajov podmnka), je teba
umt spotat exponencilu tvercov matice, co bude matice stejn
ch rozmr.
Definice. Zave-me exponencilu matice A jako limitu (pro N
sten
ch sout
exp A =
1
X
An
! 1)
n! :
(11.4)
i kAk = max
f
a j g
ij
(11.5)
n=0
Abychom dokzali konvergenci, mluvme o norm
a o metrice na prostoru Mk vech matic typu k k
d(A A0 ) = A ; A0 :
(11.6)
Cvi en na konvergenci ad, prv lemma.
kAnk kn;1 kAkn
(11.7)
k n i X
a j ail an;j1 l k kAk kn;2 kAkn;1 *
(11.8)
Dokeme matematickou indukc: je-li an ji prvek matice An , je
l=1
pro n = 1 (zatek indukce) vztah dv kAk kAk, emu uv mnoh.
Dal lemma. Je-li ada
1
X
n=0
kAnk
(11.9)
P A (na kadm mst matice) a
n
X
1
1 An X
(11.10)
n=0 n=0 kAnk :
konvergentn, konverguje i ada
133
(Plat v libovolnm normovanm! prostoru.)
Mil dsledek.
kexp Ak 1
X
kn;1 kAkn
n=0
n!
= k1 exp(k kAk)
(11.11)
Vta. Je-li AB = BA, tak plat i
exp(A + B) = exp A exp B = exp B exp A:
(11.12)
Dkaz. Bude uita1 substituce m = p ; n. V+imnte si, e posledn
prava (binomick formule) je mon jen proto, e AB = BA.
1
1
1 X
X
An X
Bm = X
An Bp;n =
n=0 n! m=0 m! p=0 0np n! (p ; n)!
0
1 1
1
X
X
p
!
1
n
p
;
n
A = X 1 (A + B)p
A
B
= p! @
n! (p ; n)!
p!
exp A exp B =
p=0
0np
p=0
(11.13)
(11.14)
Dsledek. exp A je vdy regulrn* (exp A);1 = exp(;A).
Zobecnn. Vzorec pro exponencilu soutu lze modikovat i pro p-
pad, e A a B navzjem nekomutuj, ale
'A 'A B]] = ''A B] B] = 0
(11.15)
oba komutuj se sv
m komuttorem 'A B] = AB ; BA (co je napklad
je-li A opertor souadnice a B opertor derivace). Pak plat
exp A exp B = exp(A + B) exp 12 'A B]:
(11.16)
Cvi en. Pokud A i B komutuje s 'A B], potom
exp(A + B + 12 'A B]) = exp(A + B) exp( 12 'A B])
(11.17)
Neteba si dlat pli starost s mezemi sumac% lze s tat pes vechna cel sla,
dohodneme-li se, e 1=k! je nula pro zporn cel k.
1
134
Dkaz ve uvedenho zobecnn se pohodlnji ne roznsobov-
nm ad provede nsledujcmi operacemi:
Vyjdme exp A a exp B ve tvaru
eA = N + o(1) eB = N + o(1)
(11.18)
kde N ! 1 je slo jdouc nade v+echny meze a
A = 1 + B:
=1+ N
N
(11.19)
exp A exp B = N N + o(1)
(11.20)
Chceme najt souvislost mezi
a vrazem
exp(A + B) = ( )N + o(1):
(11.21)
Budeme postupn pesouvat jednu betu za druhou nalevo (zaneme s tou
nalevo, nzorn rovnice je pro N = 5).
! : : :
(11.22)
Vzhledem k platnosti (pesnho) vztahu (K je mezi 0 a N )
K ; K = KK ;1 ' ]
(11.23)
( tak komutuje s ' ], doka te) lze tak pst
K = K
1
1 + K ' ] + o( N ) (11.24)
piem zvorku lze pesouvat na konec vrazu (komutuje s i ). V konenm dsledku mme (prvn betou peskakujeme N ; 1 alef, druhou N ; 2
alef atd.)
N N = ( )N (1 + (N ; 1)' ] + o( 1 ))(1 + (N ; 2)' ] + o( 1 )) : : : (2
)
N
Uvdomme-li si, e
' ] = N12 'A B]
N
(11.25)
(11.26)
135
lze zvorky ve (2
) pst jako (odchylky o(1=N ) ji nep+eme, protoe zejm
po roznsoben daj o(1))
(11.27)
(1 + N ; 1 'A B])(1 + N ; 2 'A B]) : : : N2
N2
co se d se stejnou chybou pst jako
(1 + 1 'A B])(N ;1)+(N ;2)+(N ;3)+::: N2
(11.28)
piem exponent m zde hodnotu N 2 =2 + o(N 2 ) a vraz se d napsat jako
exp( 21 'A B])
(11.29)
m je formule dokzna.
Vta. Nech+ A~v = ~v. Pak (exp A)~v = e~v.
X
1
Dkaz.
n=0
!
1
An ~v = X
n~v = e~v
n!
n!
n=0
(11.30)
Vyuit. Nech+ vlastn vektory ~v1:::k tvo basi uvaovanho vektorovho
prostoru R k . Pedchoz vta dv nvod k v
potu exp A v tomto ppad:
vi tto basi vlastnch vektor je toti opertor
f~x 7! A~xg resp. f~x 7! exp A~xg
vyjden diagonln matic
0 e1 0 1
0 1
B .
.. C
. C
. A resp. @ .. . . . .. A k
0 ek
kde 1:::k jsou vlastn sla psluejc ~v1:::k .
0 1 B@ ... . . .
0 (11.31)
(11.32)
Zobecnn. Nech+ A = CDC;1. Pak
exp A = C exp D C;1 :
Dkaz.
(11.33)
136
1
1
1
X
An = X
(CDC;1)n = C X
Dn C;1:
n=0
n!
n=0
n!
n=0
n!
(11.34)
Poznmka. Vidme, e exponencila linernho zobrazen f , denovan
samozejm jako
exp f =
1
X
fn
n=0
n!
(11.35)
nezvis na volb base a je tedy dobe denovan.
Pklad. Matice A m vlastn sla 1, 2, 3, je-li
0
1
5 ;3 2
A = B@ 6 ;4 4 CA :
4 ;4 5
(11.36)
Najdeme-li pslun vlastn vektory
A~v1 = ~v1 A~v2 = 2~v2 A~v3 = 3~v3 (11.37)
plat
exp A~v1 = e~v1 exp A~v2 = e2 ~v2 exp A~v3 = e3~v3 jin
mi slovy
(11.38)
0
1
0
1
1 e
A = C B@ 2 CA C;1 exp A = C B@ e2 CA C;1 (11.39)
3
e3
kde matice C m ve sloupcch souadnice vlastnch vektor. Provete podrobn.
Cvi en. Doka te, e exponenci
la cirkulantu je cirkulant. Obecnji, jak
koliv funkce dan
konenou i nekonenou mocninnou adou, kde promnn
je cyklickou z
mnou souadnic, je cirkulantem (konvolunm oper
torem ve
smyslu kapitoly (16.7)).
Cvi en. Spotte derivaci maticov funkce exp(tA) podle promnn t.
(V
sledek vypad stejn jako pro seln A.)
11.1. APLIKACE NA SOUSTAVU DIFERENCILNCH ROVNIC
137
Cvi en. Doka te n
sledujc formuli pro vpoet inversn matice: Jsou-li
re
ln sti vlastnch sel matice A kladn, tak plat
A =
;1
Z1
0
exp(;tA)dt
(11.40)
Nvod. Aplikujte matici A na integrl napravo a zamte poad aplikace integrlu a matice A* to dv integrl z derivace. Pouitm NewtonLeibnizovy formule (v
e uveden
pedpoklad o vlastnch slech zajituje
exponenciln rychl ub
vn integrandu!) dostaneme hledan
v
sledek.
Vimnte si, e tato formule je P
spojitou analogi v
potu (1 ; A);1
n
pomoc nekonen geometrick ady 1
n=0 A .
Poznamenejme, e v
e uveden formule je asto pouvna, teba v teorii pravdpodobnosti pi zkoumn Brownova pohybu nebo kupkladu pi
v
potech propagtor pomoc Feynmanova integrlu v kvantov teorii. (A
pak oznauje ve vtin ppad Laplacev opertor).
11.1 Aplikace na soustavu diferenci lnch rovnic
Soustava linernch diferencilnch rovnic prvnho du s konstantnmi koecienty typu
~x_ = A~x ~x 2 R n
(11.41)
nebo ve slokch
x_ 1 = a11 x1 + : : : + a1n xn
..
.
x_ n = an1 x1 + : : : + annxn
(11.42)
m een
~x(t) = exp(tA)~x0 (11.43)
kde ~x0 = (x10 x20 : : : xn0 )T (sprvn pod sebou) je sloupec potench podmnek v ase t=0: ~x(0) = ~x0 .
Podrobnj diskusi v
potu exp A odlome na konec kapitoly o Jordanov tvaru matice.
138
11.2 Heisenbergv obraz
V tto podsekci vs pouze informujeme, e opertorov rovnice
L0(t) = 'L(t) I]
m een L(t) = exp(;tI)L(0) exp(tI)
(11.44)
(11.45)
o em se lehce pesvdte, umte-li derivovat souin opertor.
Uveden zobrazen f (t) : M ! M na prostoru matic
K 7! exp(;tI)K exp(tI)
(11.46)
je exponencilou t-nsobku jinho zobrazen g : M ! M
f = exp tg g : K 7! 'K I]:
(11.47)
Nadpis je volen podle pojmu v kvantov mechanice, kterou lze (krom SchrQdingerova pojet s promnn
m stavov
m vektorem a konstantnmi
opertory) formulovat ekvivalentn v jazyce Heisenberga: stavov
vektor je
konstantn a opertory se vyvjej podle
i@h dtd L(t) = 'L H]
(11.48)
s t
m hamiltoninem, jako u SchrQdingera. (Nae I bylo H=i@h.)
Zmna exponencil. Nedvno jsme ukzali, e pokud A i B komutuj
se sv
m komuttorem, plat
exp A exp B = exp(A + B) exp 21 'A B]:
(11.49)
Pouh
m dosazenm z tto rovnice ovte, e za dan
ch pedpoklad plat
exp(A) exp(B) exp(;A) exp(;B) = exp'A B]:
(11.50)
Tento vzorec m celkem jednoduch zobecnn i v obecnm ppad, tj. ani
pedpokldme cokoli o komuttorech:
eA eBe;A = exp(B + 1!1 'A B] + 2!1 'A 'A B]] + 3!1 'A 'A 'A B]]] + : : :):
(11.51)
11.3. VZTAH STOPY A DETERMINANTU
139
Vzorec lehce dokete, uvdomte-li si, e v zvorce na prav stran je matice
piazen matici B exponencilou zobrazen komuttor matice A s danou
matic!, pro kter jsme prv nali explicitn vyjden
exp('A : : :])(B) = exp(A)B exp(;A)
(11.52)
pomoc nho dokazovan tvrzen pevedeme na
exp(A) exp(B) exp(;A) = exp(exp(A)B exp(;A))
(11.53)
co je vzorec nm znmj v oznaen C = exp A tj. C;1 = exp(;A)
C(exp B)C;1 = exp(CBC;1)
(11.54)
a tento vzorec uvme k v
potu exponencily matice M vyjden jako
CBC;1 s podobnou matic B (pokud mono v Jordanov tvaru). (Je pravdiv
proto, e pi rozpisu prav strany do ady se vykrt vechny vnitn
pry C;1 C a zbudou jen ty vnj.)
11.3 Vztah stopy a determinantu
det exp A = exp Tr A:
(11.55)
Krsn tvrzen, nen-li pravda?
Hlavn pozorovn. det exp(tA) = 1 + t Tr A + o(t) t ! 0
obecnji det (1 + tA + o(t)) = 1 + t Tr A + o(t):
(11.56)
(Symbol o(t) oznauje matici, jej vechny prvky jsou o(t), to jest njak
funkce takov, e plat nsledujc vztah.)
(11.57)
lim o(t) = 0
t!0
t
Dkaz lemmatu. Sami jist ovte exp(tA) = 1 + tA + o(t). Dle si
uvdomme, e neidentick permutace pispj k determinantu polynomem,
z nho lze vytknout t2 , abychom provedli tyto pravy:
det (1 + tA + o(t)) =
X
znak n Y
(j )
j =1
(j )
(j )
j + ta j + o j (t) = (11.58)
140
=
n Y
j =1
1 + tajj + ojj (t) + t2 jak
si polynom = 1 + t Tr A + o(t): (11.59)
Dkaz vty nyn dokon me dvma zpsoby.
det exp A = (det exp(A=N ))N = (1+Tr A=N + o(1=N ))N ! exp Tr A
N !1
Ozname f (t) = det exp tA. Plat zejm
f 0 (t) = lim det exp(t + h)A ; det exp tA =
(11.60)
h
h!0
det exp hA ; 1 =
= det exp tA hlim
!0
h
h
Tr
A
+
o
(
h
)
= det exp tA lim
= Tr A f (t):
h!0
h
A jsme u cle, nebo+ tato diferenciln rovnice
f 0(t) = Tr A f (t)
(11.61)
(11.62)
(11.63)
m een
f (t) = exp t Tr Ac c = f (0) = 1:
Cvi en. Doka te formuli
ln det(1 ; A) =
1
X
1
Tr An :
n
n=1
(11.64)
(11.65)
Nvod. Pite 1 ; A = exp B a nahldnte do odstavce logaritmus matice
ne.
Poznmka. Na nekonenrozmrn
ch prostorech se asto obtn st
pes vechny permutace, a tak je vztah
det exp A = exp Tr A
(11.66)
nadjnjm kandidtem pro denici determinantu, alespo pro nkter matice* stopa se pot i v nekonen dimensi jednodueji. Verse uveden ve
cvien je zvl+ asto pouvna, novji teba v teorii chaosu.
11.4. TAYLOR%V VZOREC
141
Nhrada komplexnho sla matic
Opravdu, mnoina komplexnch sel je isomorfn mnoin matic 2 2 ne
uvedenho tvaru:
!
a
;
b
a + bi 7! b a
(11.67)
Ovte, e jde o isomorsmus zejmna, e obraz souinu dvou komplexnch sel
je (maticov) souin obraz tchto sel.
Pomoc naeho vztahu determinantu a stopy lze dokzat i tuto vtu.
Vta. Nech+ CII oznauje zrealisovanou! matici 2n 2n, kter vznikne
z komplexn matice C rozmru n n uvedenou nhradou. Potom
det CII = jdet Cj2 :
(11.68)
Vimnte si, e zrealisov
nm matice hermitovsky sdru en k C dostanete matici
transponovanou vi zrealisov
n C:
(C )II = (CII )T :
Dkaz. Vyjdme-li matici
morfnosti)
(11.69)
C jako C = exp L, lze pst (dky iso-
CII = exp LII :
(11.70)
Nyn u jen sta dopotat
det exp LII = exp Tr LII = exp(2< Tr L) =
= exp(Tr L) exp (Tr L) = det exp L (det exp L):
(11.71)
(11.72)
11.4 Taylorv vzorec
Nech+ p je polynom. Znm
Taylorv vzorec meme pst
p(x + t) =
1 (n)
X
p (x)
n=0
n
n! t
(11.73)
(suma je ve skutenosti konen, je-li p polynom* volme prostor polynom
nikoli proto, e by to byla nejpirozenj mon volba, ale proto, e chceme
142
zstat na pd konenrozmrn
ch prostor, kde lze ve formulovat rigorosn velmi snadno). Zname-li obvykl
m dxd opertor derivovn (na vhodnm
prostoru polynom) a symbolem P^t translaci (tamt)
h^ i
Pt p (x) := p(x + t)
lze pst vzorec jako
(11.74)
d ):
P^t = exp(t dx
(11.75)
V sekci o Lieov
ch algebrch budeme mluvit o derivaci jako o basi innitesimlnho genertoru grupy vech posunut.
Teprve te- vidme, jak se kriminalita dramatisuje* exponencila derivaci
na Vclavskm nmst nezintegrovala, n
br pouze odsunula.
11.5 Poissonovo rozdlen
(]) Studujme model porodnosti v Praze (stejn tak ale lze mluvit o dopravnch nehodch, peklepech psaky, potech stic kosmickho zen
zaznamenan
ch pstrojem atd.), kdy se za as t narod prmrn t dt*2
jednotliv narozen jsou nezvisl
mi jevy.
Zanme se znalost pravdpodobnost fn, e do asu t = 0 u bylo
narozeno n dt, je tedy znma
P njak posloupnost ffn n 2 Zg, kterou
meme normovat vztahem n2Z fn = 1. Podobn pravdpodobnost, e
v ase t bylo narozeno n dt, pime jako fn (t). Mluvme tedy o prostoru
posloupnost a opertorech na nm.
Chceme-li spotat pravdpodobnost fn(t + dt), e do asu t + dt bude
ji narozeno n dt, dostaneme ji jako souet pravdpodobnost, e do asu t
bylo narozeno n ; 1 dt (fn;1 (t)) a v dob (t t + dt) se dt narodilo (dt)
a e do asu t bylo narozeno n dt (fn (t)) a v intervalu (t t + dt) se nic
nenarodilo (1 ; dt). Je-li as dt krtk
, lze toti zanedbat monost, e se
me narodit vce dt ne jedno. Poadavek, e prmrn se za t narod t
dt, se transformuje na pravdpodobnost dt, e se njak narod za as dt.
Mme tedy
fn(t + dt) = fn(t)(1 ; dt) + fn;1(t)dt
(11.76)
nebo v matematitjm hvu
fn0 (t) = ;(fn (t) ; fn;1(t)):
2
Kdo sleduje jen matematick vahy, nech& si mysl pod vude jednotku.
(11.77)
11.5. POISSONOVO ROZDLEN
143
Zavedenm opertoru diference D^ tentokrt jako
^ ]n = fn ; fn;1
'Df
pepeme rovnici jako
(11.78)
~f 0(t) = ;D^~f (t)
(11.79)
~f (t) = exp(;Dt
^ )~f
(11.80)
a een pomoc exponencily
nabude konkrtnho tvaru
fn(t) = e;t
1
X
m tm
m=0
m! fn;m:
(11.81)
Navc, pro poten stav fn = n0 dostvme pmo Poissonovo rozdlen
nn
fn(t) = e;t nt! :
(11.82)
Dkaz. V ase t = 0 je fn(t) = fn, sta tedy ovit, e zadan fn(t)
spl0uje diferenciln rovnici v+e. Opravdu, ob strany se rovnaj:
m m m;1 m;1 !
1
X
t ; t
fn0 (t) = ; e;t
m!
(m ; 1)! fn;m
m=0
1
mm
^ (t)]n = ; e;t X t (fn;m ; fn;m;1 )
';Df
m=0 m!
(11.83)
(11.84)
Cvi en. Uka te, e
8t
1
X
n=0
nn
pn (t) = 1 pro pn(t) = e;t nt! :
Mimo jin, plat i rovnost
8n
Z1
0
dt pn(t) = 1:
(11.85)
(11.86)
Gauss by po ns mohl hodit houbu, kdybychom se v tto souvislosti
nezmnili tak o Gaussov normlnm rozdlen.
144
11.6 Gaussova kivka
eme-li rovnici3 veden tepla (msto laplacinu peme jen druhou derivaci
podle x)
@ T = @ 2 T
(11.87)
@t
4 @x2
dostaneme een (v t > 0) pro danou poten podmnku T (0 x0 ) ve tvaru
Z1
0 2
1
T (t x) = p
dx0 exp(; (x ; x ) )T (0 x0 ):
t
t
;1
(11.88)
Je tak vidt, e nen mon hledat teplotu v zporn
ch asech* souvis to
s tm, e zatmco rstem asu se teplota zahlazuje!, jeho poklesem by se
rozrzovala! do nenosn
ch mez. Nkdo mon ji cosi slyel o ireversibilit rovnice veden tepla.
Meme se tak podvat (pro zmnu opt zcela rigorosn) na diskrtn
odno druh derivace: prozkoumejme opertor 2 na prostoru posloupnost
(2f )n = fn;1 + fn+1 ; 2fn :
(11.89)
Opertor 2 lze tedy pst jako
T^ 1 + T^;1 ; 2 1 = T^ ;1D^ 2 (11.90)
kde D^ je opertor prv diference
^ ]n = fn+1 ; fn:
D^ = T^1 ; 1 'Df
(11.91)
Exponencilu t-nsobku tohoto opertoru analyzuje nsledujc vta.
Vta. Nech+ T^k oznauje opertor posunut (posloupnosti) o k, tzn.
k
^
(T f )n = fn+k . Potom plat vztah
X
exp t2 = Fk (t)T^k (11.92)
k2Z
kde posloupnost F s asov promnn
mi prvky Fk (t) e diferenciln rovnici
F 0 (t) = 2F (t)
pi poten podmnce Fk (0) = k0 .
3
Pod si opt mete pedstavit njak kladn slo, teba 1 nebo 4.
(11.93)
11.7. LOGARITMUS MATICE
145
Dkaz. Z platnosti diferenciln rovnice vyplv
d exp t2 = X (2F (t)) T^k = 2 X F (t)T^k
k
k
dt
k2Z
k 2Z
(11.94)
a v poslednm tvaru lze tak pesunout 2 za sumu, protoe komutuje s kadm T^ k . Vidme, e derivace (lev strana) vy+la tak, jak mla.
11.7 Logaritmus matice
Hledme matici A splujc
exp A = B
(11.95)
pro danou regulrn matici B. Omezme se na ppad, kdy se B dosti mlo
li od 1* v ostatnch ppadech vyjdme B = B0n s dostaten velk
m n a
bude ln B = n ln B0 .
Abychom to mohli provst, mli bychom jet vysvtlit, jak spotat ntou odmocninu z B, ale to ponechme na jindy.
Krtce eeno, logaritmus matice B zskme pomoc Taylorovskho vztahu pro logaritmus sla
ln(1 + y) =
1
X
n+1
(;1)n ny + 1 :
n=0
(11.96)
Za y toti dosadme C = B ; 1.
Co se t
e konvergence, pocvite se z anal
zy: je-li pro 0 < q < 1
n
kCk < kq je tak kCnk < qk qn
(11.97)
a tud je ada pro logaritmus absolutn konvergentn ve smyslu
X
1 n+1
q
1
1 (;1)n Cn+1 X
n=0
n + 1 n=0 n + 1 ln( 1 ; q )
a dosadme-li za A hodnotu
1
n
X
A = (;1)n C n=0
n+1
pak plat exp A = 1 + C = B.
(11.98)
(11.99)
146
Protoe dobe vme, e pro sla udvaj ady dv navzjem inversn
funkce, mus vyjt rovnost dosazenm ad do sebe, ale ponvad pro v
poty
pi dosazovn ad matic do sebe plat zcela stejn pravidla jako pro ady
seln, vyjde uveden
vztah i pro matice.
V blzkm okol autor neum nikdo dokzat inversn charakter obou
ad pm
m dosazenm jedn do druh, problm vak vyeil Jan Vybral v
Obrzcch lut
ch r .18.
Pklady.
! !
;1 0 0 1 2= exp gl(2 R )
0 1
0 0
(11.100)
Nepat proto, e maj nekladn vlastn sla (druh z matic je dokonce
singulrn).
11.8 Hamiltonovy rovnice pro oscil tor
Z mechaniky u mon znte Hamiltonovy rovnice pro soustavu hmotn
ch
bod ve tvaru
@H q_i = @H
p
_
=
;
(11.101)
i
@p
@q
i
i
kde pi qi 2 R * i = 1 : : : n.
Vyetme zde ppad, kdy hamiltonin H (p q) je kvadratickou funkc
promnn
ch q ( souadnice!) a p ( impuls!). Jde o tzv. harmonick
osciltor (pesnji o soustavu spaen
ch osciltor { pedstavujte si teba soustavu hmotn
ch bod velijak propojen
ch nehmotn
mi pruinami). Ppad
nekvadratickho hamiltoninu vede ji mimo linern algebru (do geometrie
{ viz tak uebnice mechaniky i teba knihu autor DFN'6]).
Pedpokldme tedy Hamiltonovu funkci ve tvaru
H (p q) =
X
bij qiqj + cij qi pj + dij pi pj (11.102)
kde B C D jsou njak matice, piem meme pedpokldat symetrii matic B a D (nakoukni do vodu ke kapitole Kvadratick formy). Potom lze
rovnice nahoe napsat ve tvaru
~x_ = A ~x
(11.103)
11.8. HAMILTONOVY ROVNICE PRO OSCILTOR
147
kde x = (q p) a matice A je dna vztahem
!
C
D
A = 2 ;B ;CT (11.104)
neboli spluje vztah (ovte, procvite se trochu v n
soben matic!)
!
0
1
AK
kde K = ;1 0
(11.105)
tzn. AK je symetrick matice. Matice M = exp A (obecnji exp(tA) je
potom symplektick matice (viz pklady grup na zvr zimnho semestru
= ;KAT a t nsledujc kapitolu), co ukeme takto: vztah
pepeme jako
Vezmeme exponencilu
AK = ;KAT
(11.106)
; A = KAT K;1:
(11.107)
exp(;A) = K exp(AT )K;1 (11.108)
vynsobme to matic M zleva, pak matic K zprava a vskutku dostvme
poadovan
vztah
MKMT = K:
(11.109)
Jednoparametrick symplektick grupa exp(tA) tedy popisuje v
voj osciltoru v ase.
V typick aplikaci je C = 0 D = 1 a B je positivn denitn matice (nakoukni do kapitoly o kvadratick
ch formch ohledn positivn denitnosti).
Nen pak tk ukzat, e vechna vlastn sla matice A jsou ryze imaginrn (nebo+ vlastn sla matice ;B a tedy i A2 jsou negativn!). Dostvme
potom tzv. kvasiperiodick pohyb (periodick
v ppad jednoho hmotnho bodu), kde jednotliv frekvence jsou dny pslun
mi vlastnmi sly
matice B. Podrobnj informaci viz uebnice mechaniky. (~)
148
loha 1.
a) Zjednodute pedchoz postup pro ppad, kdy D = 1. (Co je i ppad
n
sledujc lohy, bereme-li kartzsk souadnice.)
b) Modikujte pedchoz postup pro ppad, kdy hamiltoni
n obsahuje i
line
rn len (v promnn x, jako v dal loze)
loha 2. Z
va vis u stropu mstnosti pipevnno k nmu n gumikami (i
pru inkami), kde n = 1 2 : : : Dal prov
zek vede od z
va k osob u podlahy,
kter
se zat
hnutm za prov
zek sna z
va periodicky rozhbat. Z kolika mst
na podlaze resp. stn se j to m e podait? Zvis tento poet na n?
Spotte pslun periody a urete pslun
msta.
>lohu lze zobecnit i pro vce zva a provzk (a osob).
Kapitola 12
Lieova algebra
Msto sloit
ch objekt, jak
mi jsou grupy SU(n) a dal, je mon zkoumat objekty jednodu, toti linern, nezajmme-li se prv o rozdly mezi
O (n R ) a SO (n R ): druh z nich je souvisl, lze se plynule dostat od jednoho jejho prvku ke ktermukoli jinmu, prvn z nich je nesouvisl, skld
se ze dvou oddlen
ch komponent (zrcadlc a nezrcadlc transformace).
Definice. Linern prostor g, na nm je denovna dal bilinern
operace 'A B ], dle zvan komuttor, splujc vztahy
'A B ] = ;'B A] 'A 'B C ]] + 'B 'C A]] + 'C 'A B ]] = 0
(12.1)
(druhmu se k Jacobiho identita) nazveme Lieovou algebrou.
kol. Uka te, e v Lieov algebe matic s komut
torem denovanm jako
'A B ] = AB ; BA je splnna (krom trivi
lnho vztahu 'A B ] = ;'B A]) tak
Jacobiho rovnost.
Pklad. Zkoumejme Lieovu algebru, kter kejme so3 , jej prvky pime jako antisymetrick matice s obvykl
m komuttorem
0
1
;
c
b
A=B
@ c ;a CA ;b a 0
1
;
f
e
B=B
@ f ;d CA :
;e d (12.2)
Ovte podrobnji, e
0
1
bd
;
ae
cd
;
af
'A B ] := AB ; BA = B
@ ae ; bd ce ; bf CA :
af ; cd bf ; ce
149
(12.3)
150
KAPITOLA 12. LIEOVA ALGEBRA
~ B~ , najdeme
Vzpomeneme-li si nyn na denici vektorovho souinu A
zajmav
isomorsmus
8
0
19
>
>
;
c
b
<
= 3
B
C
(
a
b
c
)
!
7
c
;
a
: (R + ) ! (so3 + ' ]):
@
A
>
:
;b a >
(12.4)
Zn
te Jacobiho to dstvo (identita) pro vektorov souin?
Je vidt role dimense (3) na hladk
prbh. Lze samozejm mluvit i
kup. o estirozmrnm prostoru antisymetrick
ch matic 4 4, ale pec jen
ji nebude isomorfn R 4 (4 6= 6). V ei funkcionln anal
zy je mon dt
doslovn
smysl komuttoru dvou matic i vektorovmu souinu vektoru nabla (@=@x @=@y @=@z ) s vektorem ~v = (vx vy vz ), emu kme rotace
vektoru, pouze vak s pouitm nekonendimensionlnch prostor.
Podvejme se na pr dach pklad Lieov
ch algeber a zanme pem
let o jejich vazbch na stejnojmenn Lieovy grupy.
gl(n R =C ) = freln/komplexn matice n ng
sl(n R =C ) = fA 2 gl j Tr A = 0g
o(n R =C ) = so(n R =C ) = fA 2 gl j A = ;AT g
u(n) = fA 2 gl(C ) j A = ;A g
su(n) = sl(n C ) \ u(n)
sp(n) = fA 2 u(n) j (Ak) = (Ak)T g v ppad sudho n* k je zde
njak antisymetrick regulrn matice n n
so(m n) = fA 2 gl(m + n R ) j AG = ;(AG)T g, G je diagonln
matice obsahujc m jednotek a n minus jednotek
Vta. Uveden linern prostory jsou uzaven na operaci komutovn.
Dkaz. Tedy pesvdte nejen sebe, ale i sv nevc kamar
dy, e plat
nap. implikace
A = ;AT B = ;BT ) 'A B] := AB ; BA = ;'A B]T :
(12.5)
151
Pojem. (]) Nech+ G je grupa matic. Innitesimlnm genertorem
grupy G nazveme mnoinu1 g = L(G ) matic A, pro n
fexp tA j t 2 R g je podgrupou
:
(12.6)
Poznmka. V pokroilejch kursech geometrie se
g obvykle denuje
G
abstraktnji jako ten
prostor ke G v 1! v prostoru vech matic: prvky
grupy, kter maj innitesimln blzko k jednotkov matici, se daj napsat
jako (gi je base genertoru)
1+
X
i
gi di :
(12.7)
Souvislost. Vtip je v tom, e innitesimln genertor grupy matic G
je Lieova algebra (a v uvdn
ch ppadech prv ta stejnojmenn, psan
vabachem, gotick
m psmem neboli nmeckou frakturou) a e lze navc
dobe vyloit roli komuttoru.
Dkaz pro obecnou grupu. Je teba ukzat dv zsadn vci: uza-
venost na stn a komutovn.
A B 2 g ) A + B 2 g (nen triviln!)
A B 2 g ) 'A B] = AB ; BA 2 g
1. Zkoumejme vrazy typu (N ! 1)
+ B + o( 1 ))N ! exp t(A + B) (12.8)
(exp tNA exp tNB )N = (1 + t A N
N
a uvdomme si, e fexp t(A+B) j t 2 R g tedy je podgrupa G , ponvad
pro kad t jde exponencila aproximovat s libovolnou pesnost (pomoc dostaten velkho N ) souinem prvk typu exp tA=N , kter le
(pesn) v G (a pedpokldme cosi jako uzavenost
i grupy
v obvykl
i
topologii dan nap. metrikou d(A B) = supi j a j ; b j ).
Zvyknme si, e nkdy se genertorem mn base tohoto prostoru nebo i jej jeden
prvek, nkde jsou prvky vynsoben i, aby byly (nap. u SU(n)) hermitovsk a nikoli
antihermitovsk, i se pak mus pipsat i ke komuttoru.
1
152
2. Podvejme se na vrazy typu (N ! 1)
p
p
p
p
(exp NtA exp NtB exp ; NtA exp ; NtB )N 2 =
(12.9)
= (1 + Nt 2 'A B] + o( N12 ))N 2 ! exp(t'A B]):
(12.10)
Lze tedy opt exp(t'A B]) vyjdit s jakoukoliv pesnost pomoc souinu prvk z G ' pokud je t < 0, sta vymnit psmena A a B nalevo.
Pklad. Ilustrujme si to na pklad algebry so3 : otome-li systm o mal
hel kolem osy x, pot o mal
hel kolem osy y a
pak zpt, ovem v tomt poad (nejprve o ; kolem x a pak o ;
kolem y), systm se nm oto o malink
hel (a na konvenn
znamnko) kolem osy z .
Cvi en. Gener
torem grupy ot
en kolem njak zvolen osy je (line
rn
obal) otoen o prav hel (podl zmnn osy). Propotte (sta toto dok
zat
rovin dost
v
me takto i vztahy mezi exponenci
lou matice
v euklidovsk
!
0 1 a funkcemi cos a sin, tedy vlastn denici komplexn exponenci
ly
;1 0
jaksi bez zaveden komplexnch sel.
Cvi en. Urete gener
tor grupy vech regul
rnch hornch trojhelnkovch
matic.
(Prostor vech hornch trojhelnkov
ch matic: Na jednu stranu je jasn,
e exponencila trojhelnkov matice je regulrn trojhelnkov matice* na
druh stran genertor me obsahovat pouze horn trojhelnkov matice,
co nahldneme snadno, napeme-li si prvn len rozvoje exp tA pro mal
t.)
Souvislost algeber se stejnojmennmi grupami. Abychom ukza-
li, v jakm smyslu Lieovy algebry odpovdaj grupm stejnho jmna, pedenujme innitesimln genertor grupy matic G jako mnoinu vech mon
ch
A_ (0), kde pro t 2 R je A(t) 2 G , tj. A(t) je derivovateln kivka po grup,
a A(0) = 1. (Ekvivalence plyne z toho, e za tuto kivku lze vdy zvolit
A(t) = exp(tA_ (0)).)
Tak napklad, kivka A(t) po grup SO (n) matic splujcch A(t)A(t)T =
1 po zderivovn a dosazen t = 0 d
A_ (0)AT (0) + A(0)A_T (0) = A_ (0) + A_ T (0) = 0
(12.11)
12.1. KILLINGOVA FORMA A METRIKA
153
tj. nutnou podmnku antisymetrie A_ (0), kter je zrove postaujc.
B = ;BT ) exp B = exp(;BT ) = exp(BT );1 = ((exp B)T );1
(12.12)
Cvi en. Zderivov
nm kritri pro lenstv v dalch Lieovch grup
ch (viz
Cartani
da) zskejte rovnice stejnojmennch Lieovch algeber. Pipomenete si
kup. t n
sledujc vzorec, s nm se v pozmnnch tvarech zn
te.
d
_
dt det Ajt=0 = Tr A(0)
(12.13)
12.1 Killingova forma a metrika
Mjme2 linern prostor gl(n) vech matic n krt n. Pirozen
isomorsmus
do E n dv nsledujc pedpis pro skalrn souin dvou matic:
b(A B) =
X
aij bij
(12.14)
Cvi en.
b(A B) = Tr ABT :
(12.15)
Z tohoto druhho vyjden pro b(A B) vidme nkter v
znan vlastnosti
takto zavedenho skalrnho souinu, nap. vztahy (kter pouijeme pozdji
v odstavci polrn rozklad)
b(A B) = b(OA OB) = b(AO BO):
(12.16)
pro libovolnou ortogonln matici O. (Dokate s pouitm cyklinosti stopy).
Tento vztah k, e metrika
(A B) = kA ; Bk (12.17)
kde kAk2 = b(A A) je invariantn vi grup O (n). Chpeme-li ji jako
metriku na grup O (n) gl(n), naz
v se Killingovou metrikou.
A co je Killingova forma na Lieov algebe?
Ta je opt, v konkrtnm pklad o(n), dna vztahem
b(A B) = ; Tr AB:
(Nezapomeme, e AT = ;A plat pro vechny A 2 o(n).)
(12.18)
154
Ukazuje se, e nejde o jen tak ledajak
skalrn souin na o(n) (mme
ho koneckonc stle na celm gl(n)), nebo+ tento skalrn souin na o(n)
respektuje navc strukturu Lieovy algebry! ve smyslu nsledujcch tvrzen
(kter jsou ekvivalentn):
Tvrzen 1.
Pro vechna X 2 o(n) a vechna A B 2 o(n) plat
b('X A] B) + b(A 'X B]) = 0
(12.19)
(kme, e Killingova forma je antisymetrick vi operaci komutovn s X*
uveden rovnost se ostatn bere za zklad denice Killingovy formy i v ppad obecn Lieovy algebry)
Tvrzen 2. Zobrazen
A 7! exp(;X)A exp X : o(n) ! o(n)
(12.20)
je isometrie pro kad X 2 o(n).
Cvi en. Doka te tvrzen 1 (prost dosate za b(:~: : :~: :) i za komut
tor a
vyu vejte toho, e AT = ;A apod.).
Doka te i tvrzen 2: zde je eln konsultovat t odstavec 11.2 o Heisenbergov obrazu a pslun analytick vahy (a% ji proveden limit i sestaven
diferenci
ln rovnice) okoprovat z dkazu vty o determinantu exponenci
ly.
12.2 Teorie representac
Pojmy analogick grup. (]]) Lieovu algebru g naz
vme komuta-
tivn, pokud 8x y 2 g 'x y] = 0 a takov algebra odpovd komutativn
grup. Tento ppad nen pli zajmav
.
Centrum algebry Lieovy je (analogicky centru grupy) mnoina Z(g)
tch prvk s 2 g, e 8t 2 g 's t] = 0, tj. komutuj se vemi prvky algebry.
Lieovou podalgebrou naz
vme (analogicky podgrup) podprostor g
uzaven
na komutovn. Mme dokonce analogii normln podgrupy { k
se mu idel Lieovy algebry a je to podprostor I takov
, e 8i 2 I 8j 2
g 'i j ] 2 I. Elementrnm pkladem idelu je centrum algebry* jin
m dleit
m pkladem je komutant dan Lieovy algebry, co je mnoina vech
prvk tvaru 'x y] x y 2 g. Idel je to proto, e ''x y] j ] opt le v komutantu, protoe je tvaru komuttoru dvou prvk.
12.2. TEORIE REPRESENTAC
155
Vty. Zaveden pojmy mimo jin implikuj, e pokud je H normln
podgrupou grupy G , pak je L(H ) idelem v L(G ). Jestlie je G souvisl,
pak
L(Z(G )) = Z(L(G )):
(12.21)
Pro dv grupy G 1 G 2 je
L(G 1 G 2 ) = L(G 1 ) L(G 2 )
(12.22)
innitesimlnm genertorem jejich direktnho souinu direktn souet jejich
innitesimlnch genertor { kde prvky L(G 1 ) komutuj s prvky z L(G 2 ),
a tak jsou L(G i ) idely v L(G 1 G 2 ).
Representace. Nech+ Y oznauje jedno z klasick
ch tles R C nebo H
(kvaterniony) a G je njak grupa. Pak linern representac2 grupy G
naz
vme konenrozmrn
linern prostor V nad tlesem Y, na nm je
pro kad
prvek g 2 G denovna (stejn znaen) funkce, splujc
1G~v = ~v a g(g0 ~v) = (gg0 )~v
g~v je Y-linern funkce ~v
g~v je spojit funkce g a ~v
Jin
mi slovy, je zadn morsmus grup
= V : G ! Aut V :
(12.23)
Vybereme-li basi ve V , lze si pedstavit, e nab
v hodnot ve G L (n Y).
V tomto ppad mluvme o maticov representaci.
Peme-li v ppad kvaternion matice vlevo od ~v, je rozumn mt ve V
nsoben skalrem zprava (V je pak prav modul nad H ). Natst lze ale
denovat i nsoben skalrem zleva (pruh musme pidat na to, aby platilo
q(q0~v) = (qq0 )~v)
q~v := ~vq
(12.24)
2
Representace (rusky predstavlenie) nemus b
t jenom linern. Tak napklad komplexn rovina spolu s nevlastnm bodem v nekone nu je bezvadnou nelinern representac grupy SL(2 C )=Z2 (grupa isomorfn Lorentzov SO (1 3)), bereme-li na n vechna
konformn (zachovvajc hly, v komplexn rovin jsou jimi analytick funkce) zobrazen,
kter jsou vzjemn jednozna n. Tmito zobrazenmi jsou toti z ! (z + )=(z + )
pro nenulov ; , kde komplexn sla lze bez jmy na obecnosti vybrat tak,
aby ; = 1, pesto vak zmna na ; ;
; ; dv tut transformaci, a proto jsme napsali faktor Z2 . Podgrupou pevdjc horn polorovinu (s nevlastnm bodem)
komplexn roviny na sebe je grupa SL(2 R ) s reln
mi .
156
a tak lze lev
modul pevrtit na prav
a naopak. Vyuijeme toho, e qq0 =
q0 q, kde q je obvykl sdruen kvaternionu
+ i + j + k = ; i ; j ; k:
(12.25)
Mme-li representace V i , lze generovat sloitj representace ve tvaru
direktnho soutu dvou (i vce) prostor, na nich grupa inkuje podle
g(~v1 ~v2 ) = (g~v1 g~v2 )
(12.26)
a podobn lze zskat representaci ve form tensorovho (resp. symetrisovanho resp. antisymetrisovanho) souinu dvou prostor, na kter
grupa
inkuje dle pravidla
g(~v1 ~v2 ) = (g~v1 g~v2 ):
(12.27)
(Zde nejde o nic jinho, ne jak se transformuj spinory { resp. tensory { s vce
indexy.) Ale tak lze zskat representaci na dulnm prostoru V 0 podle vzorce
(zde zase jde { v ei budoucho jazyka { o transformaci tensor/spinor
s indexy dole/nahoe)
~ = ~v0 g;1 w
~:
'g(~v0 )]w
(12.28)
Strukturn zobrazen. Nyn se podvme, pro sta pracovat s komplexnmi representacemi. Relnou representaci R n lze pevst na komplexn
~ 2 R n)
C n , piem psoben grupy je podle pirozen formule (~v w
~ ):
g(~v + i~w) = g(~v) + ig(w
(12.29)
Zd se, e se ale o cosi okrdme. Ji mal
! prostor R n byl uzaven na
psoben grupy a my jsme ho zbyten zvtili. Natujeme si to tak, e
povme, e existuje strukturn zobrazen j : C n ! C n (v nsledujcm
~ reln vektory)
vzorci jsou ~v w
j : (~v + i~w) 7! (~v ; i~w)
(12.30)
kter komutuje s psobenm grupy (g(j~v ) = j (g~v )), je antilinern (j (z~v ) =
~ ) = j (~v)+ j (w
~ )) a jeho druh mocnina je plus minus identick
z j (~v), j (~v +w
opertor (v tomto ppad plus) (j (j~v ) = ~v, zkrcen j 2 = 1), co jsou
ti vlastnosti, denujc strukturn zobrazen.
Naopak, mme-li komplexn representaci se strukturnm zobrazenm j ,
rekonstruujeme relnou representaci rozkladem komplexnho prostoru C n
157
povaovanho za R 2n na dva podprostory, odpovdajc vlastnm slm 1
resp. ;1 (opertor, splujc j 2 = 1, jin vlastn sla nem).
Obdobn lze pevst kvaternionickou3 representaci H m na komplexn
~ , kde ~v a w
~ jsou komC 2m * kvaternionick
vektor budeme pst jako ~v + j w
plexn vektory.
I nyn se o cosi okrdme: prostor jsme sice zbyten nezvtili, ale pvodn representace byla H -linern, zatmco nov je jenom C -linern. H linearitu si zrekonstruujeme tak, e ekneme, e existuje strukturn zobrazen
~ jsou zde komplexn vektory)
(~v w
~ ) = ;w
~ + j~v:
j (~v + j w
(12.31)
Lehce ovte antilinearitu, komutovn s psobenm grupy (zobrazen j je
vlastn nsoben j { shoda psmen ist nhodn { zprava, co komutovalo
s G dky H -linearit) a rovnost j 2 = ;1.
Naopak lze zptn zrekonstruovat representaci H n z dan C 2n , kter
pipout strukturn zobrazen s j 2 = ;1.
Representace, kter je direktnm soutem dvou prostor (representac)
2 , pipouV W , disponujcch strukturnmi zobrazenmi se stejn
mi jV2 = jW
2
t strukturn zobrazen jV jW se stejn
m j .
Tensorov
souin dvou representac V W (me jt i o (anti)symetrisovan
) se strukturnmi zobrazenmi jV jW toleruje strukturn zobrazen
j = jV jW se znakem j 2 = jV2 jW2 .
Ukeme jednoduch
pklad. Grupa SU(2) = Sp(2) m fundamentln representaci kvaternionickou (vdy+ jde nakonec o grupu jednotkov
ch!
kvaternion (s jednotkovou normou)), kterou si pedstavme jako dvouslokov komplexn spinvektory sA , A = 0 1, majc strukturn zobrazen
s j 2 = ;1. Symetrisovan
tensorov
souin, obsahujc dvouindexov spinory sAB = sBA , bude tedy disponovat strukturnm zobrazenm s j 2 = +1,
tedy budeme moci poadovat podmnky relnosti (invariantn vi psoben
grupy)
(12.32)
s00 = ;s11 s01 s10 2 R :
Nen se emu divit, spinor sAB , kter
sveme maximlnmi podmnkami
(symetrie a uveden samodrunost), je informan toton
s (trojrozmrn
m) vektorem. Proto se sticm se spinem rovn
m jedn k vektorov.
s01 = z = s10 s11 = x + iy s00 = ;(x ; iy)
(12.33)
Pro existenci strukturnho zobrazen podobnho jako u reln representace se kvaternionick representaci k tak pseudoreln, nkdy dokonce tak reln% existence
strukturnho zobrazen zaji&uje ekvivalenci representace s komplexn sdruenou.
3
158
Isomorfnost nkterch Lieovch algeber
>elem tchto dek je poukzat na skutenost, kter v jistm smyslu vdme za existenci hmoty, pesnji za existenci vech stic s poloseln
m
spinem. Od doby, kdy Cartan poprv piel s tmito ideami, ns dl ji pes
osmdest let, ale svest maj ony mylenky stle mladickou.
Co mon nejstrunji ven tene pesvdme (dle s tmto budeme
pracovat v sekci o spinorech), e algebry so(3 R ) a su(2) jsou isomorfn, a
to tak, e napeme prvky jejich bas4 a tie vs vyzveme k verikaci ne
napsan
ch komutanch relac pro ob sady matic.
V ppad struktury algebra Lieova! poadujeme po isomorsmu ' zajist i zachovn komuttoru, tj.
'('A B]) = ''(A) '(B)]:
(12.34)
Posta zkontrolovat komuttory matic tvocch basi, jako kombinace kter
ch lze prvek dan Lieovy algebry zapsat.
0
1
!
;
i=
2
SO
(3)
B
C
SU
(2)
S1 = @ ;1 A S1 = ;i=2 (12.35)
1 0
1
!
1
;
1
=
2
SO
(3)
SU
(2)
B
C
S2 = @ A S2 = 1=2 (12.36)
;1 0
1
!
;
1 ;
i=
2
SO
(3)
B
C
SU
(2)
S3 = @ 1 A S3 = i=2 (12.37)
'S1 S2 ] = S3 'S2 S3 ] = S1 'S3 S1 ] = S2
(12.38)
Z podobn
ch dvod jsou isomorfn i algebry so(1 3) a sl(2 C ), sl(2 R ) a
su(1 1), ale tak teba so(6) a su(4). Dalmi pklady jsou so(4) a su(2) su(2) nebo so(5) a sp(2 2).
Budete-li nkdy vdt o tchto vcech vce, snad pivtte informaci, e
fundamentln representace grupy Spin(n) je
jedna samodrun o dimensi 2k pro n = 2k +1 (lich n)* je reln, je-li
'(k + 1)=2] sud, jinak je kvaternionick
Za prvky genertoru grupy se mnohdy povauj i-nsobky nmi uveden
ch, tedy hermitovsk matice namsto antihermitovsk
ch.
4
159
dv komplexn vzjemn sdruen s dimens 2k;1 pro n = 2k, k lich
dv samodrun navzjem neekvivalentn, kad o dimensi 2k;1 pro
n = 2k, k sud* je-li k nsobkem ty, jsou reln, jinak jsou kvaternionick
SO (n) :
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
spin. repr. 2c 1q 2q 1q 2c 1r 2r 1r 2c
(12.39)
dim. kad 1 2 2 4 4 8 8 16 16
Na tyto skutenosti mete sami pijt, protoe vm pinme denici grupy
Spin(n).
Spinorov grupa. Chceme zskat Lieovu algebru isomorfn so(n), jej grupa ale obsahuje (vzjemn rozliiteln) prvky rotace o 0! a rotace
o 2!. Algebra so(n) je linernm obalem antisymetrick
ch matic eij = ;eji,
kter maj jednotku na mst (i j ) a minus jednotku na (j i), a tak spluj
komutan relace
'eij ekl ] = jk eil ; jl eik + il ejk ; ik ejl :
(12.40)
Nen tk nahldnout, e tyt komutan relace budou mti matice Eij ,
kter zskme jako
Eij = 14 (Ei Ej ; Ej Ei)
(12.41)
pokud matice Ei budou navzjem antikomutovat a tvercem kad z nich
bude jednotkov matice (budou tedy Diracov
mi -maticemi pro euklidovsk
prostor).
EiEj + Ej Ei = 2ij 1
(12.42)
Takov matice opravdu umme najt* budou nap. tensorov
mi souiny 'n=2]
Pauliho matic rozmru 2 2, tedy maticemi rozmru 2.n=2] 2.n=2]
!
!
!
1
;
i
1
x = 1 y = i z = ;1 ::
(12.43)
Spolen s Pauliho maticemi budou i tyto jejich tensorov souiny hermitovsk (ve vech ortonormlnch basch), z eho je zejm i antihermitovost
Eij . Explicitn lze pst
E2i;1 = (z )(i;1) x (12 )(.n=2];i)
(12.44)
E2i = (z )(i;1) y (12 )(.n=2];i)
m
E2m+1 = (z ) pro n = 2m + 1:
160
(Zde zna 'x] celou st x, 12 jednotkovou matici 2 2.) Zrove vidme,
e jsme zskali, co jsme chtli, protoe pro genertory eij grupy SO (n) bylo
nejmen kladn slo t, pro kter
exp(teij ) = 1
(12.45)
rovno 2* u matic Eij je to 4 (tedy a rotac o 4 dostaneme jednotkov
prvek grupy).
Pro lep nzornost si lze opertory Ek pedstavit jako kombinace kreanch bk a anihilanch bk opertor5 (k = 1 : : : l pro Spin(2l ; 1) { pak
pehldnme E2k pro k = l { a Spin(2l))
E2k;1 = (bk + bk ) E2k = i(bk ; bk ):
(12.46)
Lehce zkontrolujete rovnost
fEj Ek g = 2jk :
(12.47)
Opertory Eij pak pevdj bosonov stavy na bosonov a fermionov na
fermionov (bosonov
m mnme stav,6 vznikl
psobenm sudho potu opertor na vakuum). U Spin(2l ; 1) jsou pak bosonov a fermionov prostory
ekvivalentn, protoe je lze na sebe pevdt prv tm pehldnut
m! opertorem E2l , kter
komutuje se vemi Eij pro fi j g f1 2 : : : 2l ; 1g. a
tak m grupa Spin(2l ; 1) jen jednu fundamentln representaci o dimensi
2l;1 .
Jist sami najdete detaily o strukturnch zobrazench, pomoc nich urujeme relnost, komplexnost nebo kvaternionovost representace grupy Spin(n).
Jde o antilinern zobrazen, kter napklad prvku base b1 b3 j0i piad stav
b2 b4 b5 b6 j0i (nap. pro n = 12), ve kterm jsou obsazeny prv ty hladiny,
kter nebyly obsazeny ve vzoru (vidme, e v ppad lichho potu hladin
{ pro Spin(2l) s lich
m l, tmto vyrobme fermionov
stav z bosonovho
i naopak, ili nedostaneme strukturn zobrazen uvnit nap. bosonovho
prostoru, ale jen dkaz, e bosonov
a fermionov
prostor tvo vzjemn
komplexn sdruen representace). (Muste si urit konsistentn znamnko.)
Tyto opertory spluj fbj bk g = jk , 0 = fbj bk g = fbj bk g, bk j0i = 0, kde fa bg =
ab + ba je antikomuttor a j0i je vakuum, zkladn prvek base (vektorm kaj fysici
!stavy"), pomoc nho vytvme ostatn psobenm krea nch opertor b1 b2 j0i : : :.
6
Opertor s vlastnmi sly +1 ;1 pro bosonov resp. fermionov vektory lze zskat
jako jak
si sou in (1 ; 2b1 b1 )(1 ; 2b2 b2 ) : : : (1 ; 2bl bl ) a komutuje tedy se vemi Eij . Protoe
ur uje levo/pravoto ivost, k se mu podle eckho v
razu pro ruku opertor chirality.
5
12.3. KOMPAKTN GRUPY
161
Opertor chirality je souinem vech E matic (u lichho n, kde nehraje
chiralita takovou roli, nebo+ je jen jedna spinorov representace, je konvenc,
zda ve jet vynsobme En+1 )*
= i.n=2] E1 E2 : : : En
(12.48)
Mocninu imaginrn jednotky jsme napsali proto, aby bylo hermitovsk a
jeho tvercem byl jednotkov
opertor* aby tedy ml vlastn sla 1.
12.3 Kompaktn grupy
V nsledujcch odstavcch ven
m tenm nazname, pro jin kompaktn prost Lieovy algebry ne ty, o nich jsme mluvili v Cartanid, neexistuj.
V Lieov algebe, pslun dan kompaktn Lieov grup G zavedeme
skalrn souin, invariantn vi transformacm grupy. Nen to nic tkho,
vzpomeneme-li si na invariantn integraci, o kter jsme se ji zmnili.7 Jako
kad hezk vcika, i ona mus b
t nkdy uiten. Ten okamik pichz.
Chceme, aby skalrn souin dvou matic algebry byl invariantn vi
transformacm grupy v tzv. pidruen representaci, co je representace,
kter jakoto prostor spl
v s algebrou Lieovou (jej dimense je tedy rovna
dimensi grupy* matice z n zname A, B: : : ) a prvek grupy G na n inkuje
podle
G : A 7! G'A] = GAG;1 :
(12.49)
Zkontrolujte, e (GH )'A] = G'H 'A]]. Invariance znamen poadavek, aby
8A B 8H b(A B) = b(H 'A] H 'B]):
(12.50)
Pomoc invariantn integrace takov
skalrn souin lze zskat z libovolnho
(neinvariantnho) skalrnho souinu s ustednnm pes grupu!
b(A B) =
Z
G2G
s(G'A] G'B]):
(12.51)
Pak zjevn plat (prvn rovn-se! je oprvnn dky invarianci integrace
vi substituci GH ! G)
b(H 'A] H 'BR]) RG2G s(GHA H;1G;1 GHBH;1 G;1) = : (12.52)
= G2G s(GAG;1 GBG;1 ) = b(A B)
Integrl pouvme v tto knize ve smyslu vhodn line rn formy na prostoru spojit
ch
funkc, obvykle na kompaktnm prostoru% vekerou dal informaci o tomto pojmu viz
v kursech anal
zy!
7
162
Abychom ekli nco konkrtnho o zpsobu invariantn integrace: zapeme-li
matici R 2 SU(2) ve tvaru
R=
!
cos exp i sin exp i ; sin exp ;i cos exp ;i
(12.53)
kde meze jsou zejm z integrlu ne, lze invariantn integraci napsat
jako
Z =2
Z 2 Z 2
Z
= 41 2
d sin 2
d d:
(12.54)
R2SU(2)
0
0
0
Co se t
e jednoznanosti invariantnho skalrnho souinu: lze ho vdy nsobit njakou konstantou, ale pro prost grupy je jinak uren jednoznan.
Opravdu, kdybychom mli dva skalrn souiny b1 b2 , mohli bychom vzt
(tak invariantn) kombinaci
b = b1 ; b2
(12.55)
s nejmenm mon
m kladn
m , pi nm vechny b(A A) jsou jet nezporn, ale u pro nkter nenulov A jsou nulov. Pak by mnoina takov
ch
matic (s nulovou normou) tvoila idel.
Maximln tory
Dle zvolme torus T G , to jest maximln podgrupu isomorfn (Abelov)
U (1)l (nkdy znaenou jako T l , kde T = R =Z je grupa intervalu h0 1) se
stnm modulo jedna!). Mnoh vty ns uji+uj o tom, e pli nezle
na tom, kter
maximln torus8 vybereme. Jeho l naz
vejme rankem dan
grupy.
Pklad. V grup SO (2l) a SO (2l + 1) lze vybrat maximln torus Tl
vech matic t s l bloky na diagonle (i = 1 : : : l)
cos 2xi ; sin 2xi
sin 2xi cos 2xi
!
(12.56)
(v ppad SO (2l +1) doplnme do pravho dolnho rohu jednotku). Podobn
v grup SU(l + 1) umstme na diagonlu sla
exp 2xi (12.57)
8
Innitesimlnmu genertoru maximlnho toru se k Cartanova podalgebra.
163
P
kde xi = 0 (aby byl jednotkov
determinant, neprostou grupou U (l) se
zde nazab
vme). Innitesimlnm genertorem maximlnho toru je prostor
R l , v naich pkladech obsahuje matice, kter maj na diagonle bloky
pro ppad SO (u
nebo sla
SO (2l
0 ;xi
xi 0
!
(12.58)
+ 1) umstme do pravho dolnho rohu nulu!) a
ixi
(12.59)
v ppad SU(l + 1). T je podgrupou G a invariantn skalrn souin z g lze
zit na t.
Stiefelovy diagramy kreslme do l-rozmrnho prostoru, kde jsou souadnice x1 : : : xl zavedeny v souladu s tmto skalrnm souinem a koleky
(resp. tvereky) jsou vyznaeny prvky Lieovy algebry, jim odpovd jednotkov
prvek T ili i G , to jest tzv. celoseln mka (lattice, rejotka),
v naich pkladech jsou to body, kde jsou vechna xi cel.
(Na obrzku je celoselnou mkou dan grupy mnoina vech koleek
resp. tverek tch typ, kter jsou u n uvedeny. Rank vyznaen
ch grup
je 1 nebo 2.)
s
s
s
s
s
c c c
U
s cSO s
c s c
s c s
c s c
c ss SUU SOU
(1) =
(2)
(2) =
(2)
(1)
(3)
s c s c s sc s
c s c s sc s sc
s s c s c s sc s
s G c s sSp c s Sp sc s sc
c s SO
c
c s c s c s c s s
c
s
SU
Spin s c SO
c
s c s c
c
c
c s c s s c s
s
s c s c c
c
c
s
c s c s
s
cSU
s
s
cs
SU SU
SO
s SO SU c s SO SO c s SU
U
(2 2)
(5)
2
(1)
(2 2) jin pohled
(2) =
(3)
(3)
(2)
(3)
(2)
(2)
(4)
(3)
(3)
sc
s
sc
s
s
c
c
s
c
c
s
(3)
(3)=Z3
164
Koeny. Zb
v vysvtlit, co znamenaj ony pmky na diagramech. Vtip
je v tom, e prvky T (zname je zde t u : : :) psob v pidruen representaci
g (algebry cel grupy) tak, e se g rozpad na direktn souet
g=
r
M
i=1
Vi
V 0
(12.60)
piem na prostoru V 0 (kter
spl
v s t, je-li T opravdu maximln torus)
inkuj prvky t triviln
tv0t;1 = v0 8v0 2 V 0
(12.61)
a V i jsou dvojrozmrn prostory (je jich r, co je { z dvod rovnosti dimens
{ polovina rozdlu dimense grupy a jejho ranku, ili bude dokzno, e tento
rozdl je sud
) generovan maticemi Mi Ni , na nich psob t podle
tMit;1 = Mi cos 2i ; Ni sin 2i tNit;1 = Mi sin 2i + Ni cos 2i
(12.62)
kde i jsou njak kombinace xi (nap. x1 ; x2 ), to jest njak linern formy
na t, a naz
vme je koeny (krni, roots) dan grupy.
Vidme, e pokud nap. vymnme Mi a Ni (nebo teba zmnme znamnko u jedn z nich), bude posledn vysazen formule dle platn, zmnmeli znamnko u i . Tedy spolu s +i kme koen i form ;i.
Jet v
hodnj me b
t komplexikovat Lieovu algebru9 (dosud jsme
ji vdy povaovali za prostor nad R , prvky byly jen reln
mi kombinacemi
prvk base, kter
mi { samozejm { mohly b
ti komplexn matice) a doclit
tak, e se nm bude transformovat do sebe jen jedna matice Qi = Mi + iNi
resp. Q0i = Mi ; iNi msto dvou Mi Ni :
tQit;1 = exp(2i)Qi tQ0it;1 = exp(;2i )Q0i:
(12.63)
Matice Qi pak prost odpovd koenu i a matice Q0i koenu ;i .
Pklady. Grupa SU(l + 1) (stejn jako U (l + 1)) m koeny rs =
xr ; xs, kde r 6= s 2 f1 2 : : : lg a jako odpovdajc matici Qrs si lze
pedstavit matici, kter m vude nuly krom posice (r s), kde m cokoli
nenulovho. Kad
me ovit, e tQrst;1 d to, co m.
Pak ji nememe povaovat exponencily prvk algebry za prvky pvodn grupy. Relnost zrekonstruujeme poadavkem, aby Q a Q0 se kombinovaly jen cQ + cQ0 s komplexn
sdruen
mi koecienty.
9
165
Podobn grupa SO (2l) m koeny xr ; xs, ale navc m koeny (xr + xs )
(r 6= s) a grupa SO (2l + 1) m proti SO (2l) dal koeny xr .
Do Stiefelov
ch diagram tedy zakreslme navc mnoiny bod ui (dimense o jednu men, ne je rank), v nich koeny nab
vaj cel
ch hodnot.
Koeny nab
vaj cel
ch hodnot na celoseln mce, kde t = 1. Obecnji, prnikem soustav rovnobn
ch hyperrovin! (nadrovin) ui jsou body,
odpovdajc centru grupy.
Systmy koen
Penechme specialistm dkazy toho, e tzv. Weylova grupa, to jest grupa
vech vnitnch automorsm10 G xujcch zvolen
maximln torus, obsahuje pro kad i prvek, kter
ponechv systm hyperrovin (nadrovin) ui
na mst. Je-li tomu tak, mus jt o zrcadlen podle roviny kolm na dan
koen (pomoc invariantnho skalrnho souinu jsme ztotonili innitesimln genertor toru s jeho dulem) v obyejnm geometrickm smyslu (podle
invariantnho skalrnho souinu). Takov zrcadlen mus mnoin vech koen piadit tut mnoinu. Vyslovme tedy denici.
Systmem koen
v euklidovskm prostoru E naz
vme
konenou podmnoinu = E takovou, e
neobsahuje nulov
vektor
pro 2 = je c 2 = prv kdy c = 1
zrcadlen podle hyperroviny (nadroviny) kolm na kter
koli z koen
Definice.
pevd = na =
pro vechny dvojice koen je
f g := 2b( )=b( )
(12.64)
cel slo.
Posledn bod je dsledkem toho, e zrcadlen koenu podle roviny kolm
na m samozejm tvar
' () = ; 2bb(()) (12.65)
Takov
, kter
se d zapsat jako
g 7! hgh;1 pro njak h, jejich grupa tvo podgrupu Aut(G ), zna enou Int(G ).
10
166
lze vybrat vektor ~v, na nm forma nab
v jednotky, zjistme, e ' (~v) ; ~v
nle celoseln mce (protoe ' xuje u ). Z toho dle plyne, e
(~v ; ' (~v)) = ~v ; '' ()](~v )
(12.66)
je cel (prava vychz z toho, e pi skalrnm souinu je jedno, kter
initel
zrcadlme), co po dosazen ( (~v) = 1) dv uveden
v
sledek.
Bu- jak bu-, posledn bod m siln
dsledek.
Vta. Dva koeny 6= jsou
(0) bu- kolm
(1) nebo svraj hel 60 nebo 120 a maj stejnou normu
p
(2) nebo svraj hel 45 nebo 135 a pomr norem je 2
p
(3) nebo svraj hel 30 nebo 150 a pomr norem je 3
Dkaz. tynsobek kvadrtu kosinu hlu koeny seven
) 2b( )
4 cos2 ! = 2bb((
) b( )
(12.67)
je men (dky nezvislosti oste) ne tyi. Je to ale souin dvou cel
ch
sel, a tak je jedno nulov (ppad 0) nebo jedno rovn 1. Monosti pak
lehce proberete.
Dynkinovy diagramy. Nebudeme to dokazovat, ale vechny koeny
danho systmu lze zskat jako celoseln kombinace (linern nezvisl
ch)
prostch koen
. Potom tento systm prost
ch koen lze bu- rozdlit na
sjednocen disjunktnch a neprzdn
ch mnoin koen, kde dvojice z rzn
ch podmnoin jsou vdy kolm, a takov nerozloiteln systmy prost
ch
koen lze znzornit pomoc Dynkinova diagramu. Prost koeny v nm
spojme tolika arami, jak je slo varianty jejich vzjemn polohy podle
posledn vty. V ppadech (2) a (3) je jet slun pikreslit na spojnici
ipku, namenou ke kratmu koenu (jako pi obyejnm porovnvn <).
Pokud se (2) a (3) v Dynkinov diagramu nevyskytuje, maj vechny koeny
stejnou dlku a dan algebe kme jednodue nrovan (simply laced).
Vte nebo nevte, jin systmy prost
ch koen, ne ty s nsledujcmi Dynkinov
mi diagramy, neexistuj a spolu s tm neexistuj dal prost
kompaktn grupy.
'
Ae l e(S)eU (l +e1)e
...
B
e leSO...(2el +e1)e
Ce l eSp(2 el) e e
...
D
e leSOe(2...l) e ee
D2 e= Ae 1 A1
&
$
167
e e Ee 8 e
ee eee
eeeeee
eG 2 A3e= eD3
e
e
A1 = Be1 = C1 B2e= eC2 SO e(8)
Dynkinovy diagramy
eee%
eE 6 e
ee
ee
F4
ee
ee
E7
(Vimnte si, e na obrzku maj nkter Dynkinovy diagramy urit
symetrie: permutac rzn
ch koen dostaneme t
obrzek. Nebudeme to
rozebrat, ale je to spojeno s existenc vnjch automorsm
dan algebry (vnj je takov
, kter
nelze zapsat jako sdruen njak
m prvkem
grupy g: A 7! gAg;1 ). S vnjmi automorsmy lze oekvat symetrie mezi representacemi* u grup s Dynkinov
mi diagramy, kter maj symetrie,
lze oekvat vt poet fundamentlnch representac (E 6 napklad nebo
SU(l + 1) pro l > 1 m dv vzjemn komplexn sdruen, symetrie parity, vymujc prav dva koeny Dynkinova diagramu, u Spin(2l) garantuje
existenci dvou vzjemn zrcadlov sdruen
ch! spinorov
ch representac).
Grupa Spin(8) m dokonce symetrii triality: lze u n permutovat ti koeny
a je s tm spojena skutenost, e dv reln spinorov representace (s dvma
rzn
mi chiralitami) a representace vektorov maj stejnou dimensi 8.)
Naopak, pro kad
z uveden
ch diagram lze sestrojit Lieovu algebru a
z n tak kompaktn grupu. Nkolikrt jsme ji diskutovali (a budeme) o tom,
e SO (3) m stejnou algebru jako SU(2), kter m centrum Z2 (plus minus jednotkov matice), zatmco SO (3) m triviln jednoprvkov centrum.
Nyn meme isomorfnost tchto algeber ukzat na shodnosti Dynkinov
ch
diagram. Maximln centrum (poloprost, neobsahujc U (1) : : :) grupy
s danou algebrou, kter lze vytvoit, vystihuje nsledujc tabulka.
Al Bl Cl E7 D2s D2s+1 E6 E8 F4 G2 :
Zl+1
Z2
Z2 Z2 Z4 Z3
f1g
Tak napklad, grupa Al = SU(l + 1) m centrum Zl+1 .
(12.68)
168
Cvi en. M ete zkusit dok
zat, pro nen mo n zskat grupy E9 atd.,
pro maj vyat grupy dimensi, kterou jsme uv
dli atd.
Poradme vm, aby jste si zapsali v njak
ch souadnicch prost koeny.
Nap.
Al m prost koeny x1 ; x2, x2 ;Px3, : : : xl ; xl+1, kde pracujeme jen
s hyperrovinou (nadrovinou), kde
xi = 0
Bl m prost koeny x1 ; x2 , : : : , xl;1 ; xl , xl
Cl m prost koeny x1 ; x2 , : : : , xl;1 ; xl , 2xl
Dl m prost koeny x1 ; x2, : : : , xl;1 ; xl , xl;1 + xl
12.4 V hy a mky
Vhy. Koeny byly specilnmi ppady vah. Obecn
vahou mme na
mysli linern formu na Cartanov podalgebe, nab
vajc cel
ch hodnot na
celoseln mce. Zajmavj jsou ale vhy dan representace V dan
algebry. Prvky Cartanovy podalgebry navzjem komutuj, a tud meme
hledat jejich spolen vlastn vektory ve V a sla. Vha dan (mluvme
o komplexn) representace je tedy takov forma, kter piad prvku Cartanovy podalgebry jeho vlastn slo psluejc njakmu vlastnmu vektoru
cel podalgebry. Jestlie tedy potme kadou vhu tolikrt, kolikarozmrn
prostor jejch vlastnch vektor j pslu, bude vah prv tolik, jak je
dimense V .
Koeny lze tedy chpat jako vhy pidruen representace* tchto vah je
tedy tolik, kolik je dimense dan algebry, ovem jen proto, e potme i l
(rank) nulov
ch vah (vlastnmi vektory jsou prvky Cartanovy podalgebry),
kter obvykle za koeny nepovaujeme.
Tak napklad grupa SO (2l) (l je rank) m v zkladn 2l-rozmrn vektorov representaci 2l vah ~ei , i = 1 2 : : : l.
Samoduln mky. Kdy u jsme doli tak daleko, meme si nco
ci o vlastnostech mek (soustava diskrtnch bod v prostoru R n , zpravidla celoseln kombinace zkladnch mkov
ch vektor), a to z fysiklnho
pohledu v souasnosti nejnadjnjho kandidta na teorii veho, heterotick
struny.
12.4. VHY A M$KY
169
Kvantov teorie bosonov struny funguje pouze v dimensi asoprostoru 26, kvantov teorie superstruny jen v dimensi 10. Navc vlevojdouc a
vpravojdouc mdy uzaven struny spolu navzjem komutuj a genertory
grupy Poincar jsou souty vlevojdouc a vpravojdouc sti. Lze pak tedy
vzt lev
sektor z bosonov struny a prav
ze superstruny. Pebyten
ch 16
vlevojdoucch bosonov
ch dimens lze svinout na torus* aby z bosonov
ch
rozmr zbyla jen vlevojdouc st, je teba, aby celkov hybnost struny byla rovna celkovmu obten11 (ztotonme-li body, kter se li o celoseln
kombinace mkov
ch vektor, je mon, aby pi objdn uzaven struny jsme popojeli o njakou takovou kombinaci { to naz
vme obtenm).
Aby vbec existovaly njak stavy s nenulovou celkovou hybnost ve smru
svinut
ch souadnic (co je nutn k dobrmu chovn interakc), je teba,
aby duln mka (vech forem, nab
vajcch cel
ch hodnot na pvodn
mce) mla s pvodn spolen body (pi ztotonn pvodnho prostoru
s dulem). Dokonce je dobr pedpokldat, aby spl
valy, to jest aby byla
mka samoduln. Navc se budeme zab
vat jen sudmi samodulnmi
mkami, kde tverec dlky kadho jejho vektoru je sud
.
Je matematickou pravdou, e sud samoduln mky existuj jen v prostorech o dimensi, kter je nsobkem osmi. Tak teba v osmi rozmrech
mme samoduln mku ;8 vech celoseln
ch kombinac koen vyat
grupy E 8 . Tmi jsou (i j = 1 2 : : : 8)
~ei ~ej i 6= j 12 (~e1 ~e2 : : : ~e8 )
(12.69)
kde v druhm tvaru koen bereme jen ty se sud
m potem plus. (Lehce
napotte, e je jich celkem 112+128=240 prv 248-8, ili dimense minus
rank.) Formy ~v nab
vajc cel
ch hodnot na vech tchto koenech jsou pak
kombinacemi tchto koen (ortonormln basi ~ei ztotoujeme s bas k n
duln):
Lehce toti ukete, e souadnice ~v jsou bu- vechny cel nebo vechny
polocel. Celoselnost formy ~v na ~r0 = (1=2 1=2 : : : 1=2) pak k, e suma
souadnic ~v mus b
t sud, a tak je ~v celoselnou linern kombinac ~ei ~ej
(v ppad, e souadnice ~v jsou cel), a nebo toto plat pro ~v ; ~r0 , m
jsme ukzali, e i ~v le v ;8 , neboli samodualitu ;8 .
Samozejm, lze vybrat osm zkladnch mkov
ch vektor, celoseln
11
A na faktor 1=2.
170
mi kombinacemi kter
ch jsou vechny ostatn, nap.
~e1 ; ~e2~e2 ; ~e3 ~e3 ; ~e4 ~e4 ; ~e5 ~e5 ; ~e6~e6 ; ~e7
1 (~e1 +~e2 +~e3 +~e4 +~e5 +~e6 ;~e7 ;~e8 ) 1 (~e1 +~e2 +~e3 +~e4 ;~e5 ;~e6 ;~e7 ;~e8 ):
2
2
(12.70)
V estncti rozmrech najdeme kartzsk
souin ;8 ;8 dvou kopi ;8 a
mku ;16 , kter obsahuje jako podmku koenovou mku SO (32). Jde
o vechny celoseln kombinace vektor (i j = 1 2 : : : 16)
~ei ~ej i 6= j 21 (~e1 ~e2 : : : ~e16)
(12.71)
kde v druh sad je sud
poet plus. Dkaz samoduality probh stejn
jako u ;8 a i zde je mon vybrat 16 zkladnch mkov
ch vektor.
To jsou dvody, pro prom
lme teorii heterotick struny jen s kalibran
grupou Spin(32)=Z2 (odpovdajc mce ;16 ) nebo (zajmavj) grupou
E 8 E 8 (s mkou ;8 ;8 ).
12.5 Superalgebry a supersymetrie
Nejprve si eknme jet nco o obyejn
ch algebrch, napklad o algebe Poincar. Jde o Lieovu algebru, generujc isometrie asoprostoru vetn
posunut. Za jej basi lze tedy vybrat J , tedy genertory Lorentzovy grupy (resp. otoen) a p , genertory posun (znaen se kryje s oznaenm
momentu hybnosti a hybnosti, a snad ji mnoz z vs poznali, e to nen
nhoda).
Komutan relace budou
'p p ] = 0 'p J ] = i(g p ; g p )
(12.72)
'J J ] = ;i(g J ; g J + g J ; g J )
g je zde metrick
tensor. Jacobiho identitu mete zkontrolovat pm
m
v
potem.
Krom obyejn
ch algeber se dnes hodn mluv i o graduovanch algebrch neboli superalgebrch. Ta lze pst jako linern obal prvk, kter
mi ji nebudou pouze opertory, kter jsou zvykl s vtinou ostatnch
komutovat, n
br tak grassmannsk opertory, kter spolu typicky navzjem antikomutuj ab = ;ba (ovem s negrassmannsk
mi typicky komutuj)
a u nich je tedy lep mluviti o antikomuttoru fa bg = ab + ba. Jednotn
m jazykem, superkomuttor neboli graduovan komuttor dvou
12.5. SUPERALGEBRY A SUPERSYMETRIE
171
opertor 'a b]grad je antikomuttorem, pokud jsou oba grassmannsk, jinak
je komuttorem.
Chceme-li transformovat objekty prvkem grupy g blzk
m jednotkovmu, napeme tento jako g = 1 + d i si , kde d i jsou innitesimln (nekonen mal) parametry a s base genertoru. Pokud jsou si grassmannsk,
mus b
t grassmannsk i d i * pedstavme si pod nimi grassmannsk seln!
parametry, nap. grassmannsk opertory, kter komutuj se vemi negrassmannsk
mi a antikomutuj se vemi grassmannsk
mi.
Jestlie fysika pracovala do edest
ch nebo sedmdest
ch let jen s algebrami, psobenm jejich transformac mohly pechzet elektrony do neutrin,
erven kvarky do modr
ch anebo se systmy mohly otet nebo posouvat,
v poslednch dvaceti letech prom
lej teoretici i tzv. supersymetrie, pomoc nich lze transformovat bosony na fermiony a naopak. Uvdme jako
pklad supersymetrii na svtelnm kueli v desetirozmrnm asoprostoru,
kter proti algebe Poincar obsahuje navc i grassmannsk opertory Qa
a Qa_ . Pohle-me tedy zbn na nkter superkomuttory algebry superPoincar:
p
fQa Qbg = 2p+ab fQa_ Qb_ g = 2p; a_ b_ fQa Qb_ g = 2ai b_ pi
'Ji; Qa ] = pi2 ai a_ Qa_ : : :
(12.73)
(Indexy a resp. a_ jsou osmiznan spinorov indexy12 grupy SO (8), jsou
Diracovy matice, indexy odpovdaj kalibraci na svtelnm kueli v
=
2;1=2 (v0 v9 ) atd.) Vimnte si, e antikomuttor dvou supersymetri je
mrn
posunu. To vechno m nzorn vysvtlen, rozme-li pojem prostoru na superprostor, kter
krom komutujcch souadnic navc obsahuje i
antikomutujc, protoe v nm je supersymetrie geometrickou operac.
Supersymetrie zaji+uje teorim zajmav vlastnosti: jej zalenn do teorie strun odstran z tto teorie tachyony (stice pohybujc se nadsvtelnou
rychlost), jeliko nap. fQ1_ Q1_ g = 2p; tj. p; = Q1_ Q1_ , opertor Q1_ je
hermitovsk
a stedn hodnota p; ve stavu ji je tedy nezporn, ponvad
jde o tverec normy hjQ1_ Q1_ ji vektoru Q1_ ji. Navc implikuje stejn
poet fermionov
ch a bosonov
ch stav na kad hladin* kad
fermion m
svho bosonovho partnera a naopak (uvaj se pro n nzvy jako fotino,
gluino, gravitino, selektron, skvark). Supersymetrie zaruuje v mno12
$estnct opertor Qa Qb_ se transformuje jako 16-rozmrn reln representace grupy
SO (9 1) (j
je SO (8) podgrupou) { toti jako spinorov representace dan (teba kladn)
chirality. Pro srovnn { spinorov representace kladn chirality grupy SO (10) je tak
16-rozmrn, ovem komplexn.
172
ha ppadech vymizen kosmologick konstanty (hustoty vakua) a zhadou
naopak zstv, pro je kosmologick konstanta nulov (nebo podle pozorovn pinejmenm o 120 d men ne oekvan nhodn pspvky
od rzn
ch pol) i v naem svt, kter
supersymetrick
nen nebo kde je
supersymetrie naruena. A za zmnku stoj i fakt, e supersymetrie klade
omezujc podmnky na dimensi asoprostoru.
Ji jen poznamenejme, e podobn, jako obecn teorie relativity poaduje, aby se parametry Lorentzovy transformace mohly mnit od bodu k bodu,
lze tuto loklnost poadovat od supersymetrie a zskme tak rzn teorie supergravitace.
12.6 Ob vyat grupa
Clem tto sekce, v n sledujeme plohu 6.A skvl knihy Michaela B. Greena,
Johna H. Schwarze a Edwarda Wittena Superstring theory, je ukzat explicitn konstrukci ob grupy (resp. odpovdajc algebry) E 8 . Pro j kme
ob? Protoe m ze vech prost
ch vyat
ch grup nejvt dimensi (248)
a navc (chpeme-li mru symetrie jako pomr dimense a kvadrtu ranku,
aby se klasick grupy SO (n) asymptoticky touto veliinou blily konstant),
dosahuje rekordn hodnoty 31=8.
Konstrukci zaneme podalgebrou SO (16), kterou generuje 1615=2 = 120
opertor Jij = ;Jji , splujcch obvykl komutan relace
'Jij Jkl ] = Jil jk ; Jjl ik ; Jik jl + Jjk il (12.74)
a pidme k nim 128 genertor Q (celkov dimense tedy bude 120+128 =
248), kter se transformuj jako spinory SO (16) dan (eknme kladn) chirality, m mnme, e13
'Jij Q ] = Q (ij ) :
(12.75)
K dokonen specikace algebry musme dodenovat zb
vajc komuttor
'Q Q ] (je to komuttor a ne antikomuttor, protoe usilujeme o denici
algebry a nikoli superalgebry). Teorie grupy vak SO (16) tento komuttor
a na normalisaci uruje jednoznan*
'Q Q ] = (ij ) Jij
(12.76)
Gamma matice splujc fi j g = ij mohou b
t pro SO (16) vybrny reln. Denujeme dle jejich antisymetrisovan sou iny i1 i2 :::in = hi1 i2 : : : in i (i1 i2 : : : in permutace)=n!, opertor chirality = 12:::16 a ij = ij =2 = -i j ]=4.
13
12.6. OB VY3AT GRUPA
173
kladn
faktor , kter
mpby nm teorie SO (16) dovolila nsobit pravou stranu, lze absorbovat do -nsobnho peklovn Q , jejich normalisaci
toti dn z pedchozch formul neomezovala. Volba < 0 by vedla k nekompaktn form algebry E 8(8) , znm ze supergravitanch teori. Jestlie
tedy Lieova algebra E 8 s rozkladem pidruen representace
248 = 120 128
(12.77)
vi jej maximln14 podgrup Spin(16) existuje, na jejch komutanch
relacch dan
ch prv
mi temi vysazen
mi rovnicemi nen co telovat.
K utvrzen se, e formule opravdu denuj Lieovu algebru, je teba ovit Jacobiho identitu. (U jej splnn nm garantuje existenci matic, kter
spluj tyt relace jako abstraktn opertory Jij a Q , tj. existenci representace.) Z cvin
ch dvod doporuujeme explicitn kontrolu JJJ identity,
kter pouze vyjaduje, e Jij formuj Lieovu algebru, JJQ identity, kter zase potvrzuje, e se Q opravdu transformuj jako representace SO (16). Ani
JQQ identita neklade zvltn poadavky a jej platnost je podloena zvlt
tm, e ij matice spluj tou algebru jako Jij . Opravdu zsadn ppad volajc po kontrole je identita ''Q Q ] Q ]+''Q Q ] Q ]+''Q Q ] Q ] = 0.
Rozepsn vede k poadavku
8 X
ij
(ij ) (ij ) + (ij ) (ij ) + (ij ) (ij ) = 0 (12.78)
kterou mme dokzat pro ppad, e jsou indexy jedn chirality.
Vimneme si, e produkt dvou spinor me b
t rozepsn na kombinaci
plnho systmu gamma-matic i1 :::in pro n = 0 : : : 16, ili nulovost posledn formule je ekvivalentn nulovosti jejho zen s (k1 :::kn ) pro vechna n a k1 : : : kn . Dky shodn chiralit index se starme jen o sud n a antisymetrie dokazovan formule v nm dv monost omezit se na ppad antisymetrick
ch15 k1 :::kn , co dky elementrnm vlastnostem gamma-matic znamen n = 2 6 10 14. Ve skutenosti nm vztah
i1 :::ik = i1 :::i16 ik+1 :::i16 =(16 ; k)! a fakt, e opertor chirality lze vynechat, inkuje-li na spinory kladn chirality, zmen prci na polovinu. #e
nm sta prohldnout jen n = 2 a n = 6 lze spatit u na shodnosti potu
Maximalitou zde nemnme shodnost rank podgrupy a cel grupy, ale pesnji nemonost najt vt vlastn podgrupu.
15
Pro n = 0 4 8 12 16 jsou k1 :::kn symetrick a tud jejich en s antisymetrick
m
v
razem vymiz triviln.
14
174
nezvisl
ch len v antisymetrick kombinaci Q a Q (nalevo)
128 127 = 16 15 + 16 15 14 13 12 11
21
21
654321
a soutu pot nezvisl
ch komponent i1 :::in pro n = 2 a n = 6.
Zen se16 (kl ) = ;(kl ) d
; (Tr+ kl ij ) (ij ) + 2(ij kl ij ) (12.79)
(12.80)
co se uitm Diracov
ch identit anuluje* prv
resp. druh
len se rovnaj
64(kl ) . Faktor 64 u druhho lenu vzejde z inventury kladn
ch a zporn
ch pspvk (znamnko podle parity potu prvk prniku mnoin index
fi j g a fk lg) 2 1=2 + 14 13=2 ; 14 2. Kontrakc s (i1 :::i6 ) dostaneme
(prvn len te- ji nepispje)
2(ij i1 :::i6 ij ) (12.81)
co opt vymiz: klovou je zde rovnost 45 1 + 1 15 ; 10 6 = 0 pi bilanci
pspvk i1 :::i6 .
Pidn spinoru k pidruen representaci grupy SO (N ) vede k nov Lieov algebe jen ve tech ppadech: krom N = 16, co pin E 8 , se d v pln analogii sestrojit 52-rozmrn vyat grupa F 4 pidnm 16-rozmrnho
spinoru k 36-rozmrn pidruen representaci SO (9). Podobnost je opravdu velkolep* v 16-rozmrn spinorov representaci SO (9) lze vzt za pln
soubor matic matice i1 :::in pro n = 0 2 4 6 8 a antisymetrie nm dovol
omezit se opt na n = 2 a n = 6. Vzorce zstanou, jen sla se obmn* 8
msto 64, osmiku v druhm lenu dostaneme jako 2 1=2 + 7 6=2 ; 7 2
a msto 45 + 15 ; 60 bude porn u n = 6 vypadat 3 2=2 + 6 2=2 ; 3 6.
Tet monost je pidn osmirozmrnho spinoru k pidruen representaci SO (8), m zskme grupu SO (9) zpsobem, kter
se li SO (8) rotac
triality od standardnj a jednodu konstrukce { toti pidn 8-vektoru
Ji = Ji9 k pidruen representaci SO (8).
Nyn bychom rdi popsali nkter podgrupy E 8 . Jednu maximln podgrupu { SO (16) { jsme ji uvedli. Ta obsahuje maximln podgrupu SO (10) SO (6), vi n se jej pidruen representace rozpad na pidruen representace sloek a na produkt vektor
120 = (45 1) (1 15) (10 6):
(12.82)
Ekvivalentn jako en s (kl ) . Tr+ zna stopu v positivn chirln spinorov
representaci.
16
175
Jak se vi tto podgrup transformuje spinor SO (16)? 4estnct -matic
1:::16 , pomoc nich denujeme tvar opertor ve spinorov representaci,
se rozpadne na prvnch deset 1:::10 , kter meme povaovat za matice
SO (10), a poslednch est 11:::16 , kter zamstnme jako matice SO (6). Spinor SO (16) je tedy alespo v prvnm piblen souinem spinor SO (10) a
SO (6). A co s chiralitou? Opertor chirality SO (16) = 1 2 : : : 16 je zjevn souinem opertoru chirality SO (10) (10) = 1 2 : : : 10 a podobnho
u SO (6) (6) = 11 12 : : : 16 .
= (10) (6)
(12.83)
Tedy spinor Q positivn chirality grupy SO (16), kter
pi konstrukci E 8
pidvme k Jij , se rozpad na dva kusy s vlastnmi sly (10) = (6) = +1
resp. (10) = (6) = ;1. Ozname-li spinory positivn i negativn chirality
grupy SO (10) resp. SO (6) jako 16 i 16 resp. 4 i 4 (dimense spinorov
ch
representac jsme ji diskutovali), mme rozklad 128 grupy SO (16)
128 = (16 4) (16 4)
(12.84)
kter
ve spojen s rozkladem pidruen representace v
e udv zpsob
transformace fundamentln representace E 8 (u tto grupy je to tat co
pidruen) vi tto podgrup.
Nyn mme tu milou povinnost pedstavit vm grupu E 6 jako podgrupu
E 8 . Jako pedehru si uvdomme, e ve 4 grupy SO (6) jsou genertory hermitovsk
mi 4 4 maticemi, jejich bezstopost zabezpeuje prostota grupy
SO (6)* jsou tedy SU(4) genertory { neboli SO (6) je podalgebrou SU(4).
Postehnutm shodn dimense 15 u obou doclme pesvden, e neme
jti o vlastn podalgebru: mus jt o isomorfn algebry.17 Tato cesta ns souasn pouila, e fundamentln 4 a 4 grupy SU(4) se chovaj v SO (6) jako
spinory kladn resp. zporn chirality. Naopak, fundamentln (vektorov)
representace 6 grupy SO (6) je antisymetrick
m tensorem druhho ranku
grupy SU(4), kter
m dimensi 4 3=2 1 = 6, jak m b
t. (Je jedno, zda
bereme 4 ^ 4 nebo 4 ^ 4* tyto representace jsou ekvivaletn, jeliko je lze pepotvat pomoc antisymetrickho tensoru Levi-Civitty v = v =2.)
A tak mluvme msto o podalgebe SO (10) SO (6) o SO (10) SU(4).
Dle, SU(4) m oividnou podgrupu SU(3) U (1). Zname-li hornmi indexy U (1) nboje, rozkld se nm 4 grupy SU(4) na 13 3;1 , 6 grupy
To jsme ji mohli spatit na shodn
ch Dynkinov
ch diagramech SO (6) a SU(4) pot,
co jsme je zkonstruovali obecn pro SO (n) a SU(n).
17
176
{ prv ztotonn
s antisymetrick
m souinem dvou 4, se transformuje jako 32 3;2 a pidruen representace SU(4), co je vlastn 4 4 ; 1
(;1 zna odstrann
singlet { stopu) se pod SU(3) U (1) transformuje jako
80 3;4 34 10, kde 8 znamen pidruenou SU(3). Kombinac vech fakt
dochzme k vysnnmu rozkladu pidruen representace E 8 vi podgrup
SO (10) SU(3) U (1):
248 = ;(45
1)0 (1 1)0 (16 1)3 (16 1);3 ;
;(16 3);1 (10 3)2 (1 3);4 (12.85)
1
;
2
4
0
(16 3) (10 3) (1 3) (1 8) :
Zvltn pozornosti zaslou 78 genertor, kter jsou SU(3) singlety. Neb
komuttor dvou SU(3) singlet mus b
t opt SU(3) singlet, lze usoudit,
e tchto 78 genertor tvo uzavenou podalgebru (tch genertor, kter
s onou SU(3) komutuj, nkdy zvanou centralistor grupy SU(3))* je znma
jako vyat Lieova algebra E 6 . Evidentn je maximln subalgebra SO (10) U (1), vi n se pidruen representace E 6 rozkld podle pedpisu
SU(4)
78 = 450 163 16;3 10 :
(12.86)
A co vc, rozklad 248 obsahuje 27 kopi 3 grupy SU(3). Tyto se mus zobrazo-
vat na sebe pi E 6 transformacch , a tak mus mt E 6 njakou 27-rozmrnou
representaci s SO (10) U (1) rozkladem
27 = 16;1 102 1;4 :
(12.87)
Jistotu zv
me ovenm, e 16 (;1) + 10 2 + 1 (;4) = 0 stopa U (1)
genertoru v representaci 27 grupy E 6 je nula. To je v souhlase s faktem,
e stopa kadho genertoru njak prost Lieovy algebry vymiz v kad
representaci (onen U (1) genertor je jednm ze 78 genertor E 6 ). Tm tak
dokazujeme ireducibilitu, jeliko tato stopa by se neanulovala po vykrtnut
nkter
ch len rozkladu 27. Komplexn sdruenou representac jsou 3
27 = 161 102 14 :
(12.88)
Posledn vysazen formule nejsou zjevn vzjemn isomorfn, take 27 a 27
jsou komplexn representace, neekvivalentn k nim komplexn sdruen
m.
E 6 je opravdu jedinou vyatou Lieovou algebrou, kter vbec komplexn
representace m. Posbrnm len lze dojt k rozkladu 248 grupy E 8 vi
maximln podgrup E 6 SU(3).
248 = (78 1) (1 8) (27 3) (27 3)
(12.89)
177
Uijeme-li maximln podgrupu SU(2) U (1) grupy SU(3) a ozname-li
hornmi indexy U (1) nboj, mme
248 = (78 1)0 (1 3)0 (1 2);3 (1 2)3 (1 1)0 (27 1)2 (27 2);1 (27 1);2 (27 2)1 : (12.90)
Posbrnm SU(2) singlet dostaneme 133-rozmrnou pidruenou representaci dal vyat grupy E 7 , kter se rozkld pod maximln podgrupou
E 6 U (1) na
133 = 780 10 272 27;2:
(12.91)
Shromdnm dublet (u grupy SU(2) je representace 2 pseudoreln a tedy
isomorfn 2!) zskme fundamentln 56-rozmrnou representaci E 7 s E 6 U (1) rozkladem
(12.92)
56 = 1;3 13 27;1 271
a meme tedy zapsat rozklad 248 grupy E 8 pro maximln podgrupu E 7 SU(2)
248 = (133 1) (56 2) (1 3):
(12.93)
Krom E 6 , E 7 , E 8 znme jet vyat grupy F 4 a G 2 . Zmnnou SO (9)
konstrukci grupy F 4 lze vnoit do SO (16) v
stavby E 8 omezenm se na
Jij pro i j = 1 : : : 9 a v
brem 16 sloek spinoru ze 128, kter se vi
SO (9) SO (7) podgrup SO (16) rozkld na (16 8), stejn jako 1280 .
Zajmav
je centralistor grupy F 4 v E 8 . Mus jm b
t kombinace Jij
(spinory Q sotva donutme komutovat s ostatnmi), a to podgrupa SO (7)
(aby komutovala s SO (9) podgrupou F 4 ). Navc mus zachovvat n v
br
(16 1) z (16 8), tj. pjde o podgrupu SO (7) xujc jeden element osmirozmrn spinorov representace. Tto grup se k G 2 a je to souasn grupa
symetri Cayleyovy mal nsobilky, jak jsme ji uvedli v kapitolce o oktonionech. Tedy E 8 obsahuje podgrupu F 4 G 2 . Mimo jin, trojindexov
antisymetrick
invariant lze te- zskat z invariantnho spinoru s jako
hm n oi
ymno = s ~
~ ~ s (12.94)
kde ~ i = i 8 jsou gamma-matice SO (7) upraven tak, aby psobily uvnit
representace, splujc f~ i ~j g = ;ij .
A oekvali byste jin
rozpad 248 grupy E 8 vi podgrup F 4 G 2 ne
direktn sumu pidruen
ch representac a produktu fundamentlnch?
248 = (52 1) (26 7) (1 14):
(12.95)
Pokud jste tto sekci vbec nerozumli, nesmutnte a radji si zkontrolujte
posledn rovnost, zna-li stn a zvorky nsoben. (~~)
178
Kapitola 13
Nilpotence, Jordanv tvar
Nsledujc kapitola pojednv opt o ist linern algebraickm! tmatu
{ o nalezen Jordanova tvaru matice. Jde o jist vyvrcholen t sti linern
algebry, kde se neuvauje skalrn souin. K porozumn je teba dobrho
osvojen zklad linern algebry { pojm dimense, hodnost, vlastn slo a
vlastn vektor (a nieho jinho).
Motto kapitoly. K dan matici A najdte co nejjednodu podobnou
matici D, tzn. vyj
dete A = CDC;1 , kde D m
njak standardn tvar, s nm
se dobe pracuje.
Vidli jsme, e nejjednodu! asto znamen diagonln!, a to u zobrazen, kter m basi sloenou z vlastnch vektor. To je vak z hlediska tto
kapitoly spe triviln ppad. Ti, kte nepikldaj studiu Jordanova tvaru
velkou pozornost, by si mli nalzt vhodn argumenty: jednm z nejsilnjch
je, e nediagonalisovateln matice nebo opertor je kehk! vi typick
perturbaci { zmnme-li by+ jen o malinko maticov elementy, matice se stane diagonalisovatelnou. Je nekonen mlo pravdpodobn!, e nhodn
vybran
! opertor nebude diagonalisovateln
(dimense mnoiny takov
ch je
men ne dimense prostoru matic vech). Mnoh pirozen pklady nediagonalisovateln
ch opertor nm nicmn nabz anal
za.
Pklady. Opertor derivovn na prostoru polynom nejv
e n-tho
stupn
d :P !P
n
dx n
179
(13.1)
180
KAPITOLA 13. NILPOTENCE, JORDAN%V TVAR
2
n
3
m vi basi 1 x x2! x3! : : : xn!
0
BB matici N = B
@
1
1 1 C
C:
A
1C
3
d :P !P
Podobn opertor tet derivace dx
10
10
3
3 6 9
4 7 10 2 5 8
m vzhledem k basi 1 x3! x6! x9! x x4! x7! x10! x2! x5! x8!
0
1
N
4 matici N0 = B
@ N4 CA N3
kde matice Ni je matice i i typu z minulho pkladu.
Vimnte si, e Nn+1 = 0, (N0 )4 = 0.
(13.2)
(13.3)
(13.4)
(13.5)
(13.6)
koly. Najdte co nejjednodu vyj
den maticemi uvedenho typu pro
oper
tory
1. k-t derivace pro obecn pirozen k
2. pro libovoln diferenci
ln oper
tor s konstantnmi koecienty, nap. pro
d2 + d
dx2 dx
(13.7)
3. pro diferenci
ln oper
tor s polynomi
lnmi koecienty, nap. (m ete se
omezit jen na ppad polynom ni ho stupn, ne je stupe derivace,
ped nm stoj)
d2 + d :
x dx
2 dx
Definice. Matice N, N0 byly typick
mi pklady nilpotentnch
rtor
. To je takov
opertor f : V ! V , e 9n 2 N takov, e
f n f| f {z: : : f} = 0:
n krt
(13.8)
ope(13.9)
181
slu n (nejmenmu monmu) kme stupe opertoru. Podobn stupe
vektoru ~v je nejmen slo k takov, aby f k (~v) = ~0.
Vta. f : V ! V je nilpotentn , jeho jedin
m vlastnm slem je nula.
Dkaz. Implikace doprava je triviln st dkazu:
Je-li f (~v) = ~v, pak f k (~v) = ~0 , k ~v = ~0 ) k = 0 ) = 0: (13.10)
Pro netriviln st dkazu sestrojme etzec do sebe vnoench podprostor
f~0g = K er 0 (K er 1(K er 2( : : : (K er k = K er k+1 = V (13.11)
kde K er i = f~v 2 V j f i (~v) = ~0g
(13.12)
i
i
i
~ = f (~v) j ~v 2 V g:
a Im = f (V ) = fw
(13.13)
Z minulho semestru dobe vme, e dim Im i + dim K er i = dim V .
= K er i+1 , tak
Z toho pak plyne implikace vty doleva, protoe f i = 0.
Lemma. Nem-li f nenulov vlastn sla a je-li
K er i = V .
K er i
Dkaz lemmatu. Je tedy Im i = Im i+1 . To ale znamen, e zobrazen
f : Im i ! Im i+1 Im i
(13.14)
je vzjemn jednoznan a tedy regulrn na Im i . Mus bt Im i = f~0g,
jinak by existovalo nenulov vlastn slo zobrazen f , co by byl spor.
Ke zkoumn struktury etzc
f~0g(K er 1(K er 2 ( : : : a V = Im 0) : : : )Im k = Im k+1 = f~0g (13.15)
budeme potebovat jeden nov
pojem.
Definice. O nenulov
ch vektorech ~v1 : : : ~vn ekneme, e jsou nezvisl v
i podprostoru W V , pokud
X i
~vi 2 W ) vechny i jsou nulov:
(13.16)
( Nezvislost bez spojky! lze te- chpat jako nezvislost vi trivilnmu
podprostoru, obsahujcmu jen nulov
vektor.)
ekneme, e ~v1 : : : ~vn dokonce tvo basi V v
i W , pokud navc
L(f~
v1 : : : ~vng W ) = V :
(13.17)
( Basi bez spojky! te- chpeme opt jako basi vi podprostoru obsahujcmu jen nulov
vektor.)
182
13.1 Base z etzc vektor
Zkladn v
sledek teorie nilpotentnch opertor shrnuje nsledujc
vta. Nech+ f : V ! V je nilpotentn opertor stupn k. Pak existuj
vektory ~v1(k) : : : ~vN(k()k) stupn k, dle vektory ~v1(k;1) : : : ~vN(k(;k1);1) stupn
k ; 1, : : : a vektory ~v1(1) : : : ~vN(1)(1) stupn 1 takov, e nenulov vektory
z nsledujc tabulky tvo basi prostoru V .
~v1(k)
#
~f (~v1(k) )
#
~vN(k()k)
~f (~vN(k()k) )
#
#
..
.
#
~f k;1(~v1(k) )
#
~0
..
.
(13.18)
#
~f k;1 (~vN(k()k) )
~0
#
~v1(1) ~vN(1)(1)
#
#
~
~
0 0
Lemma o ponoovn. K dkazu zkladn vty o nilpotentnch oper-
torech budeme potebovat vdt, e v libovoln tabulce vektor, sestaven
~ znamen ~f (~v) = w
~ , jsou vechny
z etzc vektor, v nich ipka od ~v k w
vektory nezvisl prv tehdy, pokud jsou nezvisl vektory v nejspodnjm
dku (jejich obrazem je nulov
vektor).
0
BB ~v#1
BB ~v2
BB #
BB
BB ~v3
@ #
~0
~v4
#
~v5
#
~0
1
CC
CC
~v6
CC
#
C
~v7 ~v8 C
C
# # C
A
~0 ~0
(13.19)
Dkaz lemmatu. Nezvislost spodnch vektor plyne z nezvislosti
v+ech
P
vektor triviln. Naopak, je-li njak (netriviln) kombinace ~vi i (v+ech)
vektor nulov, je (dky tto rovnosti)
~f (X ~vi i ) = X ~f (~vi )i
(13.20)
i
i
13.1. BASE Z ETZC% VEKTOR%
183
nulov i njak kombinace vektor zmen+en tabulky, v nich vynechme
nejvrchnj+ vektor z kadho etzce. Nsobnm opakovnm tohoto my+lenkovho kroku (nsobnm zmen+ovnm skupiny vektor, z nich lze vytvoit nulov netriviln kombinace) dojdeme k zvru, e pak mus bt zvisl
i nejspodnj+ vektory.
Nvod k dkazu vty. Onu basi lze tedy zkonstruovat tak, e dbme
na nezvislost spodnch vektor, ov+em nesmme tak zapomenout dn
dlouh etzec ped tm, ne zaneme stavt krat+:
Lemma. Ve vt nahoe zvolme ~v1 : : : ~vn jako basi
kde K er k;1 (K er k V . Pak pro kad
vektor ~v 2
koecienty 1 : : : n takov, e
~v ;
X
i
V
vi K er k;1 ,
stupn k existuj
V
~vi i je stupn k ; 1:
(13.21)
Dkaz je okamit (vte-li, o em jde e).
Zvolili jsme njakou basi ~v1 : : : ~vn prostoru V vi K er k;1. Vektory
~f (~v1 ) : : : ~f (~vn ) doplnme dalmi vektory w
~ 1 : : : w
~ m 2 K er k;1 na basi
~ 1 ) ::: ~f (w
~ m)
prostoru K er k;1 vi K er k;2 . Vektory ~f 2 (~v1 ) : : : ~f 2 (~vn ) ~f (w
1
doplnme : : : atd. a do ppadnho doplnn base K er .
Mete, zajist, postupovat i zdola. Najdete njakou basi K er 1 . Ke kadmu jejmu prvku ~vi se pokuste najt njak
vektor ~ui , aby ~f (~ui ) = ~vi . Tm
zskte basi K er 2 (vektory ~vi a ty vektory ~ui , kter lze najt, dohromady).
: : : Prodluujete etzce, a najdete basi celho V = K er k .
Dsledek. V jazyku matic hlavn nilpotentn vtu vyjdme takto:
Kadou tvercovou nilpotentn matici A (9k Ak = 0) lze napsat ve tvaru
A = CJC;1
(13.22)
kde J m blokov
tvar (Jordan
v tvar pro nilpotentn matici)
0
BB J1
J = BB ..
@ .
1
C
J2 CC
.. . . . .. C
.
. A
Jn
(13.23)
184
a bloky maj tvar typu
0
BB B@ 1
1 1 C
C:
A
1C
(13.24)
Dkaz. Osvtl se to ihned, vyjdme-li zobrazen f~x 7! A~xg matic
vi basi sestrojen ve vt a napsan v poad
~f k;1(~v1(k) ) : : : ~v1(k) ~f k;1 (~v2(k) ) : : : ~v2(k) : : :
(13.25)
Matice C m tedy ve sloupcch souadnice vektor tvocch etzce, a to
tak, e ten napravo bu0ky se zobraz do druhho, ten do tetho : : : a lev
vektor (dan bu0ky) se zobraz do nulovho vektoru (lev vektor je vlastn
vektor pslu+ejc vlastnmu slu nula).
Dvod, pro je C nalevo a C;1 napravo, si lehce vyjasnte tak, e je-li ~u
sloupec souadnic vektoru v basi etzc, je C~u sloupcem souadnic v pvodn basi a AC~u je sloupec souadnic v pvodn basi vektoru piazenmu
vektoru C~u. Z druh strany, J~u je vektor piazen vektoru ~u (ob vyjdeno
v basi etzc) a CJ~u je jeho vyjden v pvodn basi. Proto je AC = CJ.
Ur en tabulky etzc. Nech+ m nilpotentn matice A rozmr n n. Spoteme si hodnosti mocnin A
h0 = n h1 := h(A) h2 := h(A2 ) : : : hk = 0
(13.26)
a tvar tabulky (poet etzc a jejich dlky) spoteme z rovnost
n ; h1 = dim K er 1 (poet vektor vespod etzc)
(13.27)
n ; h2 = dim K er 2 (celkov
poet vektor ve 2 dkch dole) atd.
(13.28)
Urovat konkrtn vektory lze nhodn. Postupujeme-li shora, zvolme
nhodn (nezvisl) vektory ~v1 : : : ~vn , spoteme ~f (~v1 ) : : : ~f (~vn ) a tyto
vektory doplnme (nhodn, ovem pozor: mus leet v prostoru K er k;1!)
~ 1 : : : w~ m (asto bude m = 0 ili dn doplnn). Takto postupuvektory w
jeme dle a nakonec obvykle zjistme, e spodn vektory etzc jsou linern
nezvisl. (Je nekonen mlo pravdpodobn, e budou zvisl, vybrali-li
jsme opravdu nhodn. Peme-li ale souadnice vektor pli jednoduch,
me se nm stt, e budou zvisl* pak je teba nkter
(-) z vektor korigovat.) Postup je mono libovoln kombinovat s vyhledvnm etzc zdola!.
13.1. BASE Z ETZC% VEKTOR%
185
Samozejm, fakt, e volba me b
t nhodn a v
sledek tedy nejednoznan
, zt zkouejcmu monosti kontroly, co b
v v
hoda pro zkouenho.
V praxi to jde lpe. Samozejm, v ppad matic 2 2, 3 3 a 4 4
(kter vm asi zadaj jako kol) je kla monost omezen. Jordanv tvar
nilpotentn (nenulov) matice 2 2 mus mt tvar
!
1 (13.29)
matice 3 3 m varianty dv
0
1 0
1
1 1 B@ 1 C
A B@ CA
(13.30)
a mezi maticemi 4 4 to nen o moc t* krom matic, v nich oproti dvma
ppadm z 3 3 pidme dol a vpravo nulovou dku a sloupec, pibudou
jen
0
1 0
1
1 1 BB 1 C
BB CC
(13.31)
B@ 1 C
C
A B@ 1 CA :
Pklad. Matice A typu 20 20 m dimense prostor
K er i
= f~x j Ai~x = ~0g
(13.32)
rovny dim K er 1 2 3 4 = 7 13 18 20. (Hodnosti mocnin A jsou doplky do
dvaceti, tj. 13 7 2 0.) Potom hledan tabulka obsahuje sedm etzc o dlkch 4 4 3 3 3 2 1.
0
1
~v1 ~v2
BB f~v1 f~v2 w~ 1 w~ 2 w~ 3
CC
(13.33)
B@ f 2~v1 f 2~v2 f w~ 1 f w~ 2 f w~ 3 ~x1
CA :
~ 1 f 2w
~ 2 f 2w
~ 3 f~x1 ~y1
f 3~v1 f 3~v2 f 2w
Vektory ~v1 ~v2 urme namtkou, ~f (~v1 ) ~f (~v2 ) doplnme nhodn
mi vektory
w~ 1 w~ 2 w~ 3 z K er 3 atd.
lohy.
186
1. Najdte Jordanv tvar matice z poslednho pkladu.
2. Zn
te-li strukturu nilpotentnho oper
toru A, najdte strukturu jeho mocnin A2 A3 atd.
3. Jsou-li nilpotentn A, B, mus bt nilpotentn AB nebo A + B?
13.2 Jordanv tvar obecn matice
Vybaveni dokonalou znalost struktury nilpotentnch opertor, obrtme se
nyn ke studiu struktury libovolnho opertoru f : V ! V .
Definice. Pro element spektra opertoru f : V ! V ozname
K er i
= f~v j (f ; 1)+i~v = ~0g:
(13.34)
ekneme, e je du k (neple+me s obvykle odlinou hodnotou nsobnosti
), pokud
K er 1 (K er 2 ( : : : (K er k = K er k+1 *
(13.35)
posledn len ozname K er a nazvme ho koenovm podprostorem .
Potebujeme nyn pojem direktnho soutu prostor:
Definice. ekneme, e podprostory V 1 V 2 : : : V k V tvo direktn
rozklad V , jestlie kad
vektor ~v 2 V lze jednoznan napsat ve tvaru
k
k
X
M
~v = ~vi , kde ~vi 2 V i : Zpis: V = V i :
(13.36)
i=1
i=1
Vta poprv. Plat
V
=
M
2spektrum f
K er (13.37)
a navc f (K er ) K er , dim K er = nsobnost .
Dkaz. Nech+ ~v 2 K er , tzn. (~f ; 1)k ~v = ~0, kde k je d . Chceme
nejprve ovit vztah ~f (~v) 2 K er . Plat ale
(~f ; 1)k~f (~v) = (~f ; 1)k+1~v + (~f ; 1)k ~v = ~0:
(13.38)
13.2. JORDAN%V TVAR OBECN MATICE
187
Nyn pouijeme dleit lemma. V = Im K er * navc f (K er ) f (Im ) Im , kde
K er ,
j
Im ~ = (~f ; 1)j ~v j ~v 2 V g
= fw
(13.39)
a Im je posledn len posloupnosti
Im 1 )Im 2 ) : : : )Im k
Im k+1:
(13.40)
Dkaz lemmatu. Pi+me f := (f ; 1) (meme si klidn pedstavo-
vat, e = 0). Je dleit si uvdomit snad nejpouvanj+ vztah zimnho
semestru
dim Im + dim K er = dim V (13.41)
aby stailo dokzat, e Im \ K er = f~0g.
Nech ~v 2 Im je nenulov vektor. Pak ~v = ~fk (~u) pro vhodn ~u 2 V .
Vztah ~v 2 K er by znamenal, e ~fk+j (~u) = ~0 pro vhodn 1 j k. To
v+ak nen mon, nebo Im k = Im k+1 = : : : = Im k+j a tedy by ji platilo
~fk (~u) = ~0, tzn. ~v = ~0.
Zbv ovit invarianci vi f ' ta je ale zejm ze vztahu
~f (~v) = (~f ; 1)~v + ~v
(13.42)
a tak pro ~v 2 Im resp. K er je (~f ; 1)~v 2 Im resp. K er a nsledn
tak ~f (~v) 2 Im resp. K er .
Pokra ovn dkazu vty. V+imnme si, e ji nepat do spektra
zenho opertoru f : Im ! Im !!!
Podle opertoru f : Im ! Im opt rozlome prostor Im = Im 0 +
K er 0 (zvolme dal+ prvek spektra 0 ), kde K er 0 je koenov podprostor
0 a Im 0 = (f ; 0 1)k0 Im , kde k0 je d 0 (snadno nahldneme, e dy
0 jsou stejn pro opertor f na V ! V jako na K er ! K er ).
Indukc takto dokonme (alespo0 v situaci konen dimense, jde to v+ak
asto i jindy) dkaz vty.
Nyn aplikujeme vtu o struktue nilpotentnho opertoru na kad
f ;
1 : K er ! K er . Dostvme tento zvren
v
sledek.
Jordanova vta podruh. Nech+ f :
V
! V je libovoln
opertor.
188
Pak existuje base V , v n m f matici tvaru
0
BB J1
J = BB ..
@ .
1
C
J2 CC
.. . . . .. C .
. A
JN
kde jednotliv buky Ji maj tvar
0
BB BB Ji = BBB ...
BB
@
(13.43)
1
1 1 C
C
C
C
.. .. . . . . . . .. C
CC
. .
. C
.
A
.. 1 C
(13.44)
(sla jsou ze spektra f ). Konkrtnji, kad matice A lze zapsat pomoc
podobn matice J v
e uveden
ch vlastnost jako
A = CJC;1
(13.45)
kde matice C m ve sloupcch vlastn vektory ~v ((~f ; 1)~v = ~0) resp. vektory
z etzc ((~f ; 1)~v =vektor vlevo od ~v).
Motivujc a zatemujc poznmky. Jednou z nejobecnjch matematick
ch discipln je teorie kategori, jejm clem je porovnvn formalism jednotliv
ch matematick
ch discipln a hledn jejich spolen
ch
rys. Ani bychom se napklad jakkoli pokoueli formalisovat podobnost
nap. mezi teori konen
ch mnoin a zobrazen na nich na jedn a LA na
druh stran, zkusme na intuitivn rovni vyjdit podobnou ideu, jak se
pouv pi konstrukci Jordanova tvaru, pi znzornn struktury zobrazen
na mnoin: znzorovn prvk mnoiny jako bod a zobrazen jako ipek
jsme ji pouvali u studia permutac (kdy jsme kreslili cykly permutace).
Obecn zobrazen lze znzornit obrzkem, v nm lze vybarvit ern nvratn! body y zobrazen, tj. takov, pro n 8n 9x 2 X f n(x) = y, a hraj
roli Im . V konkrtnm obrzku lze podmnku 8n nahradit podmnkou jen
pro n=3! apod. Ty ostatn, odpovdajc K er , ponechme bl.
N nynj rozklad je opt invariantn vi psoben zobrazen f , alespo
v tom smyslu, e bod piazen
ernmu bodu je opt ern
.
189
Podrobnj koment k Jordanov vt. Pechod od formulace
vty 1 k formulaci vty 2 (od direktnho rozkladu k blokov matici) je umonn nsledujcm obecn
m tvrzenm, kter sice potebujeme pro direktn
rozklad na libovoln
poet stanc, ale pro pohodl zformulujeme pouze
takto:
Tvrzen. Bu- V = N R (alternativn znaen pro K er a Im ) a f (N ) R . Nech+ ~v1 : : : ~vn tvo basi N a w~ 1 : : : w~ m tvo basi R . Nech+
A je matice f : N ! N a B matice f : R ! R . Pak matice f : V ! V m
~ 1 : : : w
~ m blokovou matici
vi basi ~v1 : : : ~vn w
!
A :
(13.46)
B
N , f (R )
Dkaz si kad, kdo ji ovldl pojem base a vyjadovn zobrazen matic
(a neek, e pln kadou formulaci za nho udl nkdo jin) me provst sm. Ti, kte jsou schopni i samostatnho
vbru index (: : : ), mohou
L
dokzat i (potebn) zobecnn pro V = N .
Nyn podrobnji okomentujeme poet a dlku rzn
ch blok v Jordanov
matici ve vt 2. Bloky odpovdajc danmu vlastnmu slu dvaj vlastn
(po odeten 1) Jordanv tvar nilpotentnho opertoru
(f ; 1) : K er ! K er :
(13.47)
Dve, ne ukonme diskusi nalezen Jordanova tvaru obecn matice,
jet doplujc poznmky k nilpotentnm opertorm.
Pklad. Mjme nilpotentn opertor F na R 11 zadan
v njak basi
(vynechvejme ipky) fa b c d e f g h i j k g vztahy (ipka od t k u znamen F (t) = u)
k ! h ! g ! ~0 f ! e d ! e ! ~0 c ! b a ! b ! ~0 i ! ~0 j ! ~0:
(13.48)
Je jasn, e hledanou tabulkou etzc z vty o struktue me b
t nap.
k ! h ! g ! ~0 i ; g ! ~0 j ; g ! ~0 d ! e ! ~0
f ; d ! ~0 a ! b ! ~0 c ; a ! ~0:
(13.49)
K obecn
m diagramm s netrivilnmi smykami se jet za chvli vrtme.
190
Problm. Nech% F je nilpotentn oper
tor. Charakterisujte vechny oper
tory, kter komutuj s F . Najdte d
le podmnku na F , aby fakt komutov
n
F a G implikoval, e G je polynom od F :
G=
n
X
k=0
ak F k
(13.50)
(een b) se d ci opertor F m jedin
etzec!.)
Diskuse dlek a potu jednotliv
ch Jordanov
ch bunk pro obecnou matici: nvod pro praktick potn lze shrnout do dvou krok, z nich vm
ekneme jenom ti.
1. Najdeme spektrum dan matice A (ppadn danho opertoru, nen-li
tento ji pmo zadn matic A v njak pirozen! basi).
Poznmka. Najt spektrum! je universln rada pro tm vechny situace LA, kdy ns v souvislosti se zadanou tvercovou matic
nenapad nic vhodnjho. Jasn
kandidt pro radu . 1! v Helpu!
(F1) jakhokoliv pedstavitelnho software, kter
by ml za cl procviit znalosti LA. V anal
ze by podobn universln rada mohla znt
nenapad-li vs nic rozumnjho, derivujte!.
2. Najdeme dimense prostor
K er 1 (K er 2 ( : : : (K er k
= K er (13.51)
neboli hodnosti matic (A ; 1), (A ; 1)2 , : : :
3. Najdeme koenov
podprostor K er a v nm podrobn prostudujeme
ji probran
mi metodami nilpotentn opertor
(A ; 1) : K er ! K er :
(13.52)
Pozor. Nejvy vektory etzc! volme sice zase teba namt-
kou!, ALE SAMOZEJM\ V PROSTORU K er i (nikoliv snad ve V ).
Pklad. Na R 10 mjme opertor F zadan
opt ipkami
g ! f ! e ! a ! b ! c ! d ! e k ! j ! i ! j:
(13.53)
191
1. Spektrum sestv z hodnot (ovte! Nakreslete si cykly danho zobrazen
a nakouknte do vodu kapitoly o Penroseov pokryt)
; 1 0 1 " "2 "3 "4 , kde " = exp(2i=5):
(13.54)
2. Jeliko je zejm
(g ; c) ! (f ; d) ! ~0 (i ; k) ! ~0
(13.55)
je nsobnost vlastnho sla 0 alespo ti. Vt ovem b
ti neme,
protoe mme jet est dalch vlastnch sel, z nich jednotka je
alespo dvojnsobn (protoe jsou dva cykly)
F (i + j ) = i + j F (a + b + c + d + e) = a + b + c + d + e (13.56)
a plat 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 = 10 (souet nsobnost).
3. Najdeme jet zb
vajc vlastn vektory
(F + 1)(i ; j ) = ~0 vlastn slo ;1
K
(F ; " )(a + "K b + "2K c + "3K d + "4K e) = ~0 K = 1 2 3 4
vektory ozname v"K , vlastn sla "K
(13.57)
Zvr. Vi basi
(f ; d) (g ; c) (i ; k) (i + j ) (i ; j ) (a + b + c + d + e) v" v"2 v"3 v"4 (13.58)
m nae zobrazen F matici
!
!
1
2
3
4
J = diag 0 1 ;1 1 " " " " :
(13.59)
(Symbol diag! vytv blokovou diagonln matici s uveden
mi prvky na
diagonle, jinde jsou nuly.)
Poznmka. V tomto konkrtnm ppad se mnoh
m nebude zdt Jordanv tvar jednodu ne matice vi basi g f e a b c d k j i:
0 BB +1
A = BBB @ +1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
1
CC
CC:
CA
(13.60)
Jednodu je, ale pesto pouen, e b
v uiten zkoumat i jin kanonick! tvary matice, je sprvn.
192
Cyklick vektor
Mjme linern opertor f :
vektor ~v 2 V a etzec
V
!
V
(ne nutn nilpotentn). Zkoumejme
~v ~f (~v) ~f 2 (~v) : : : ~f k (~v)
(13.61)
maximln mon dlky, pi n jsou vektory z ady jet nezvisl. Me se
nm stt, e takto sestrojme celou basi V (pro jakpak nilpotentn oper
tor
to nastane?) a takov basi kme cyklick base prostoru (vzhledem k f ) a
f m vi basi
0
BB 1
B
~v ~f (~v) : : : ~f k (~v) matici Q = B
BB .
@ ..
a0 1
a1 C
C
1 a2 C
C
.. . . . .. .. C
A
.
. . C
1 ak
(13.62)
kde ~f k+1(~v) = a0~v + a1~f (~v) + : : : + ak~f k (~v). (Chcete-li mt jedniky nad
diagonlou, jak jsme zvykl, napite poad prvk base pozptku.)
Diskusi pojmu cyklick vektor je teba chpat jako alternativn monost (paraleln rozvjenou) k pojmu Jordanovy buky. Srovnejme vyjden
A = CJC;1 versus A = DQD;1 kde J je Jordanova buka
0
BB J = B@ (13.63)
1
1 1 C
C:
A
1C
(13.64)
U Jordanova tvaru se velmi snadno pot Jn, exp J a tedy i exp A, a
bez namen. (Zopakujte.)
U vyjden v cyklick basi neteba znt spektrum A, a proto ho do-
poruuj bn kursy diferencilnch rovnic (tradin pro pevdn
soustavy diferencilnch rovnic prvho du na jednu rovnici vyho
du). Cyklick
vektor | nstroj skuten
ch ampion.
13.3. POLYNOMY A FUNKCE MATIC
193
Msto Jordanov
ch blok bychom tedy mohli vyjadovat opertor matic sloenou z nilpotentnch blok a z blok prv popsan
ch. Tento zpsob
kanonickho rozkladu se tedy tak leckdy pouv (nap. pi pevdn soustavy diferencilnch rovnic na jednu rovnici vyho du) a volba mezi nm
a Jordanov
m tvarem je nkdy zleitost vkusu.
Cvi en.
1. Spotte charakteristickou rovnici
0 = det(Q ; 1):
(13.65)
Poznmka. Pro ppad opertoru derivovn se tato rovnice naz
v charakteristickou rovnic rovnice
y(k+1) = ak y(k) + : : : + a0y:
(13.66)
2. Charakterisujte ppady, kdy vyj
den Q existuje! (V ei Jordanova
tvaru: kolik bunk psluejcch danmu elementu spektra mus existovat
apod.) Plat toti
vta. (]) Cyklick
vektor opertoru existuje (tzn. existuje ve vhod-
n basi vyjden pomoc matice, majc nenulov prvky jen tsn nad
diagonlou a v levm sloupci) prv tehdy, kdy pro kad
prvek spektra existuje prv jedna Jordanova buka.
Poznmka. Poznamenali jsme ji, e o nalezen cyklickho vektoru je e vdy, pevdme-li soustavu linernch diferencilnch rovnic
prvho du na jednu linern diferenciln rovnici vyho du. Peveden tedy nen mon zcela vdycky (jak by se dalo pi absenci pojmu
Jordanova tvaru v mnoh
ch kursech diferencilnch rovnic myln vyvozovat). (~)
13.3 Polynomy a funkce matic
Z funkc matic lze ist linern algebraick
mi prostedky zkoumat exponencilu, ale i polynomy. Msto rozvjen systematitj teorie -matic tak,
jak to dlaj etn knihy o LA, zde uvedeme jeden v
razn
v
sledek.
Hamilton-Cayleyova vta. Nech+ p je charakteristick
polynom matice A resp. opertoru f (zopakujte pojem determinantu opertoru!):
p() = det(A ; 1) resp. p() = det(f ; ^1):
(13.67)
194
POTOM PLAT5 p(A) = 0 resp. p(f ) = ^0:
(13.68)
Dkaz. Vyjdeme z direktnho rozkladu (viz obecnou Jordanovu vtu)
M
K er i :
i
Q
Vme, e p() = i (i ; )niP
, kde ni = dim K er i je nsobnost i .
Nech ~v 2 V . Pi+me ~v = ~vi , kde ~vi 2 K er i . Jenome
(A ; i 1)ni ~vi = ~0 (pro?)
Y
) p(A)~vi = ~0 jeliko p(A) = (i 1 ; A)ni
i
V
=
) p(A)~v = 0 8~v ) p(A) = 0:
(13.69)
(13.70)
(13.71)
(13.72)
Pro nilpotentn opertory nm vta nic pekvapivho nenabz. Objasnte.
Ovte d
le, e za ni sta dosadit dlku nejdelho etzce psluejcmu danmu
vlastnmu slu.
Pouit. Hamilton-Cayleyovu vtu meme pout napklad k v
potu
mocnin matice. Chtjme teba spotat prvnch deset mocnin matice A
0
1
4 ;5 7
A = B@ 1 ;4 9 CA
(13.73)
;4 0 5
Charakteristick
mnoholen A je p() = ;3 + 52 ; 17 + 13
a proto A3 = 5A2 ; 17A + 13 a A4 = 5A3 ; 17A2 + 13A: (13.74)
Do druhho vztahu lze dosadit A3 z prvho1 a sta tedy spotat druhou
mocninu matice A a pak jen stat.
Pesto nezapomete na standardn zpsob v
potu pomoc podobn diagonln matice:
0
1
1 A = C B@ 2 + 3i CA C;1
(13.75)
2 ; 3i
a tak kupkladu
01
1
A106 = C B@ (2 + 3i)106
6C
(13.76)
A C;1
10
(2 ; 3i)
1
Pi tme-li k matici slo, mnme tm toto slo vynsoben jednotkovou matic.
195
Soustavy diferencilnch rovnic
Vra+me se k een soustavy linernch diferencilnch rovnic s konstantnmi
koecienty typu
x_ 1 = a11 x1 + : : : + a1nxn
..
(13.77)
.
n
n
1
n
n
x_ = a 1x + : : : + an x krtce ~x_ = A~x, ~x = ~x(t) 2 R n . Jak jsme se ji zmnili, een lze hledat ve
tvaru
~x(t) = exp(tA)~c ~c 2 R n:
(13.78)
Poznmka. Ukeme, e kad een m tento tvar, pomoc Banachovy vty o kontrakci. Rovnici ~x_ = A~x zapeme ekvivalentn ve tvaru
rovnice integrln
Zt
~x(t) = ~x(t0 ) + A~x(s)ds:
(13.79)
t0
Na prostoru vech vektorov
ch funkc ~y() s hodnotami v R n uvaujme li-
nern opertor
~y() 7! F (~y()), kde 'F (~y)](t) = ~y(t0 ) +
Zt
t0
A~y(s)ds:
(13.80)
Cvi en z analzy. Zavete na tomto prostoru co nejjednodu metri-
ku (m se stane metrickm), aby F bylo kontrakc, uva ujeme-li funkce na
njakm malm intervalu (t0 t1 ).
Potom meme hledat een rovnice ~x_ = A~x jako pevn bod zobrazen
F metodou iterac. Budeme potat ~yn () jako F (~yn;1 ()) a zaneme s funkc
~y0 = ~c ~c 2 R n:
Iterovnm nm vyjde
~y1 (t) = ~c +
v dalm kroku
~y2 (t) = ~c +
Zt
t0
Zt
t0
(13.81)
A~c ds = (1 + (t ; t0 )A)~c
A~y1(s) ds = (1 + (t ; t0)A + (t ; t2!0) A )~c
2 2
(13.82)
(13.83)
196
a obecn matematickou indukc
~ym (t) =
m (t ; t )k Ak
X
0
k=0
k!
~c:
(13.84)
Zejm tedy hledan
xpoint! m tvar
~y(t) = (exp(t ; t0)A)~c:
(13.85)
Spo teme exponencilu. K doeen soustavy rovnic nm ji sta
umt potat exponencilu matice. Vyjdme matici A v Jordanov tvaru
tA = C tJ C;1
(13.86)
exp(tA) = C exp(tJ) C;1 :
(13.87)
a jak jsme ji dokazovali,
Potebujeme nyn spotat exponencilu t-nsobku matice v Jordanov tvaru. Ta se ale skld z blok a exponencilu spoteme tak, e exponencily
jednotliv
ch blok vypoteme samostatn a slome je opt do blokov matice.
Posledn, co musme umt, je tedy v
poet exponencily t-nsobku Jordanova bloku, nap.
0
1
t
t
exp B B = B
(13.88)
@ t t CA :
t
Ovem B = t1 + tN (kde N je matice s jednotkami nad diagonlou), a
jeliko t1 jako kad
seln
nsobek jednotkov matice komutuje se vemi
maticemi, uijeme vztahu
XY = YX =) exp(X + Y) = exp X exp Y
(13.89)
(mohli bychom se bez toho obejt, ale nebylo by to ekonomick) a exponencilu bloku ji lze pst jako
exp B = exp(t)
n tk Nk
X
k=0
k! :
(13.90)
Pklad exponencily exp tN
0
BB exp B
@
197
1 0
1
t 1 t t2 =2 t3 =6
C
B
t C
BB 1 t t2=2 CCC :
=
C
tA @ 1 t A
(13.91)
1
Nov
m rysem een ve srovnn s diagonalisovatelnou A bude fakt, e souadnice ji nebudou vdy kombinacemi exp(t), ale budou moci b
t i kombinacemi tk exp(t).
Funkce Jordanovy buky. Nejen exponencilu t-nsobku lze dobe
spotat pro Jordanovy buky. Obecnou funkci f (x) nilpotentn buky (kterou dosadme za x) spoteme podle Taylorova pedpisu (pro nzornost jen
pro matici 4 4)
0
B
fB
B
@
1
0
1 f (0) f 0 (0) f 00(0)=2! f 000(0)=3!
1 C
=2!
CC == BBB f (0) f 0(0) f 00(0)
1A @ f (0)
f 0(0)
f (0)
1
CC
CA : (13.92)
Zkontrolujte, e pro polynomy (sta mocniny) a exponenci
lu n
m d
v
tento
vztah zn
m pedpisy.
Pklad na Jordanv tvar. eme homogenn soustavu linernch
diferencilnch rovnic
x_ 1 = ;2x1 + x2 + 2x3
x_ 2 = ;x1 + 2x3
x_ 3 = ;2x1 + 3x3 :
(13.93)
Vme ji, e obecn een m tvar
~x(t) = (exp tA)~c
kde ~x~c 2 R 3 . Jde o to urit (exp tA)~c.
(13.94)
Najdeme Jordanv tvar A: spoteme vlastn sla (provete podrobnji)
1 1 ;1. Mme
0
1
0
1
;
3 1 2
4 ;4 (A ; 1) = B
@ ;1 ;1 2 CA (A ; 1)2 = B@ CA ;2 2
2 ;2 (13.95)
198
0
1
;
1 1 2
(A + 1) = B
@ ;1 1 2 CA :
;2 4
Vlastn vektor psluejc ;1 je (ovte)
0 1
2
~v = B
@ CA
1
(13.96)
(13.97)
Z tvar matic vidme
dim K er 11 = 1 dim K er 21 = 2 dim K er 1;1 = 1
(13.98)
a V = K er 21 K er 1;1 .
V prostoru K er 21 (vech vektor se stejn
mi prvnmi dvma souadnicemi, jeliko (A ; 1)2 m vzjemn opan prvn dva sloupce a nulov
tet)
vybereme teba vektor
0 1
1
w~ = B@ 1 CA
(13.99)
~ 0 = (A ; 1)w
~ = (;2 ;2 ;2)T 2 K er 11 .
Pak je w
Zvr.
(exp tA)~v = e;t~v
~ 0 = et w
~0
(exp tA)w
(13.100)
~ = exp t(A ; 1 + 1)w
~ = et (w
~ + t~w0 )
(exp tA)w
Libovoln een je linern kombinac zmnn
ch
~x(t) = e;t ~v + et ( w
~ 0 + w
~ + t~w0 )
(13.101)
kde jsou libovoln konstanty (lze je urit, jsou-li zadny okrajov
podmnky).
Metoda variace konstant a speciln prav strany
Soustavu n diferencilnch rovnic prvnho du (lze modikovat i pro rovnice
vyho du, viz Kopkova skripta) s nenulovou pravou stranou, napsanou
v maticovm tvaru
~x_ ; A~x = ~f (t) ~x(t) ~f (t) 2 R n
(13.102)
199
lze eit metodou variace konstant: Hledejme een ve tvaru
~x(t) = exp(tA)~c(t)
(13.103)
kde ~c je vhodn vektorov funkce. Dosazenm do (13.102) mme
Z
_~c(t) = exp(;tA)~f (t) tedy ~c(t) = t exp(;sA)~f (s)ds + ~c(0): (13.104)
0
Tento integrl lze snadno spotat v ppad, kdy ~f (t) m tvar
~f (t) = et p(t)~f * ~f 2 R n (13.105)
kde je komplexn slo a p je polynom. (To zahrnuje i ppad prav
ch stran
typu et cos (!t + ) p(t), kde ! jsou reln. Vyjasnte.)
Rozlome poten podmnku ~f do Jordanovy base matice A. Pedpokldejme tedy u rovnou, e ~f je prvkem takovto base, to znamen, e
(A ; 1)k~f = ~0
(13.106)
kde je vhodn vlastn slo matice A a k je pirozen slo.
Pedpokldejme nejprve, e 6= . Pak, ozname-li ~fj := (A ; 1)j~f ,
exp(;tA)~f (t) = exp(;t(A ; 1))e(;)t p(t)~f = e(;)t p(t)
k
X
(;1)j~fj
j =0
(13.107)
a primitivn funkci k souinu polynomu a exponencily ji jist umte spotat metodou per partes.
Pravidlo pro zapamatovn. Pokud 6= , tak een k prav stran
typu et p(t)~f je sumou v
raz tvaru et q(t)~fm , kde stupe q je stejn
jako
stupe p a m k.
Cvi en. Modikujte pro ppad, e = .
Na zvr jet uve-me krtkou obecnou informaci na tma
Invariantn podprostory opertoru. Tak naz
vme podprostor W
prostoru V , kter dan
opertor f : V ! V pen do sebe, tzn. f (W ) W .
Vidli jsme ji nkolik zajmav
ch pklad invariantnch podprostor (dokonce invariantnch rozklad) pi diskusi trojrozmrn
ch isometri, pi konstrukci Penroseova pokryt, nedvno pi dkazu obecn Jordanovy vty a
jinde. Plat nsledujc jednoduch
200
lemma. Pro kad n dim V existuje invariantn podprostor opertoru
f : V ! V , kter
m dimensi n.
Cvi en. Doka te to (teba jako dsledek invariantnho rozkladu na koe-
nov podprostory s pou itm vty o struktue nilpotentnho oper
toru existuj
vak i jin dkazy).
Poznmka. Pojem invariantnho podprostoru je dleit
i v nekonen
dimensi, kde ovem situace takto jednoduch nen a byly sestrojeny pklady (snad ponkud patologick) opertor nemajcch dn
netriviln
invariantn podprostor.
Dleit
je nsledujc Dsledek. Kad
opertor lze ve vhodn basi
vyjdit trojhelnkovou matic. (Podvejte se na poznmku na stran 75.)
Pro jist tdy opertor na prostorech se skalrnm souinem plat dokonce
silnj v
sledek, tzv. vta o spektrlnm rozkladu.
Dkaz. Sta sestrojit basi ~v1 ~v2 : : : ~vn takovou, aby linern obal ka-
d k-tice vektor ~v1 : : : ~vk byl invariantnm podprostorem f .
Neple(te laskav tuto vtu s faktem, e matici lze vdy pevst
na troj$helnkov tvar pomoc ekvivalentnch dkovch $prav.
Tento dsledek jet pouijeme pozdji.
Zakoneme tuto kapitolu dvma kontrolnmi lohami:
Cvi en. Jak je Jordanv tvar exponenci
ly matice A?
(Obdobn
jako u A, ale s exponencilou pvodnch hodnot na diagonle*
sta ovit pro jednu buku.)
Cvi en. Na njakm prostoru polynom konen dimense mjme dife-
renciln opertor (teba druhho du pro konkrtnost) s polynomilnmi
koecienty. Jak
me b
t jeho Jordanv tvar? (Zde maximln mon
poet bunk pro jeden kad
prvek spektra zvis na tom, jak je minimum z
sel (nezporn
ch, je-li opertor rozumn denovn!) tvaru
n minus stupe polynomu, kter
je koecientem u n-t derivace, (13.108)
priem nabude-li se toto minimum vcekrt, je diskuse jet jemnj. Objasnte a uve-te pklady teba s odkazem na ne uvedenou sekci Ortogonln
polynomy* speciln charakterisujte opertory, jejich Jordanv tvar je diagonln.)
Kapitola 14
Positivn matice
Zamme se nyn na zkoumn (reln
ch) matic s nezporn
mi prvky (aij
0). Takov matice vznikaj v nejrznjch aplikacch (teorie pravdpodobnosti, biologie, fysika, ekonomie)* aij maj v
znam korelace mezi j -t
m vstupem a i-t
m v
stupem a jejich nezpornost b
v dna kontextem lohy.
Z hlediska ist algebraickho vypad asi otzka zkoumejme matice s
nezporn
mi prvky! nepli zajmav { mnoina tchto matic netvo pli
v
raznou algebraickou strukturu. Na druh stran lze ci leccos zajmavho
o struktue samotn
ch positivnich matic. Vtina pslun
ch v
sledk byla
nejprve zskna v souvislosti s aplikacemi, hlavn v teorii pravdpodobnosti.
Zjemci o teorii pravdpodobnosti naleznou v tto kapitole zjednoduen
formulace nkter
ch zkladnch tvrzen nap. z teorie Markovsk
ch proces, ale i nekonen dliteln
ch pravdpodobnostnch rozloen, Brownova
pohybu,: : : Cel tato kapitola by po expansi mohla b
t jak
msi zakuklen
m
vodem do teorie pravdpodobnosti: : :
Pklad 1, model epidemie. Zkoumejme prbh nemoci s konstantn
intensitou nakalivosti! v ideln populaci, kde xz xn xi xd oznauje procento zdrav
ch, nemocn
ch, imunnch a mrtv
ch jedinc populace (jejich
souet je jedna) a matice
0 z
BB ppnzz
P = B@ 1
pzi pnn C
C
A
pin pii C
pdn 1
(14.1)
s jednotkov
mi souty ve vech sloupcch { to lze vyjdit rovnost
(1 1 1 1)P = (1 1 1 1)
(14.2)
201
202
KAPITOLA 14. POSITIVN MATICE
oznauje pravdpodobnost zmny stavu danho jedince do ptho dne (nap. pin je pravdpodobnost, e dnes nemocn
lovk bude ztra imunn* trivialita pravho sloupce souvis s tm, e mrtv jedinci to ji maj spoten).
Je-li poten stav populace dn vektorem ~x, za n dn bude dn vektorem
Pn~x* pi volb konstanty 1 v pravm dolnm rohu ovem bude prbh nemoci
fatln.
Pklad 2, vkov struktura obyvatelstva. Nech+ z n , n = 0 1
a 120 oznauje poet en vku hn n + 1) v populaci. Ve stabilisovan trn
spolenosti uvaujme veliiny pn+1 n , pravdpodobnost peit o jeden rok a
p0n, pravdpodobnost narozen dcerky n-let matce.
Vkov struktura ensk populace v roce N je potom dna vektorem
PN ~z(rok 0).
Cvi en. Naleznte podmnky na veliiny pn+1 n a p0n , pi nich populace
expanduje resp. vymr
.
Matice z obou pklad byly positivn (mly nezporn prvky) a matice
z prvho pkladu byla navc stochastick, mla jednotkovou sumu v kadm sloupci.
Msto positivn! bychom mli pesnji kat nezporn!. V aplikacch
se vak nejastji setkvme se situac, kdy bu- ji pmo prvky zkouman
matice jsou vechny oste vt ne nula nebo toto alespo plat pro dostaten velkou mocnimu dan matice (a tud se systm nerozpad na nkolik
vzjemn nekomunikujcch! st). To budeme mlky pedpokldat i my
v dalm zkoumn, ktermu vak pro kontrast pedeleme jednoduch
cvi en. Nezporn matice A je nilpotentn prv tehdy kdy neexistuj
cykly libovoln dlky n1 : : : nk = n1 takov, e ani ni+1 6= 0.
(Je vbec teba pedpokldat nezpornost matice ???) Pro positivn matice (ve smyslu pedchoz poznmky) plat nsledujc dleit tvrzen.
14.1 Perron-Frobeniova vta
Nech+ A je positivn matice. Ozname symbolem
(A) = 2spektrum
max jj
(14.3)
spektrln polomr A.
Pak (A) = pro njak vlastn kladn slo . Navc, toto nejvt
vlastn slo! je jednoduch. Dle, pro libovolnou poten volbu kladnho
14.1. PERRON-FROBENIOVA VTA
203
vektoru ~x plat
(A=)n~x = cx~v + zbytek
(14.4)
kde cx je konstanta zvisc na ~x, vektor ~v je vlastn vektor psluc (tato
vta implikuje, e je jen jeden!) a zbytek m d qn , kde q je podl druhho
nejvtho sla ku .
Je-li navc A stochastick,
je = 1. Vektor ~v potom nazveme stacioP
nrnm stavem a je cx = xi.
Poznmka. Je tedy
An+1~x An~x An~x const ~v:
(14.5)
Tyto dva vztahy nm dvaj nvod k piblinmu v
potu = (A) a ~v.
Cvi en. Pokuste se samostatn dok
zat nkter
z uvedench fakt.
Nvod k dkazu Perron-Frobeniovy vty. (])
Dkaz sta provst v ppad, e (A) = 1, protoe vezmeme-li matici
B = ((A));1 A, plat (B) = 1.
Nech+ tedy (A) = 1. Nech+ je dle A~v = ~v, pedpokldejme, e ne
vechny sloky vi maj stejn znamnko. Pime pak ~v = ~v+ ; ~v; , kde
v+ i = max(vi 0). Vzhledem k positivnosti prvk A jsou vektory A~v+
~
a A~v; tak positivn. Zave-me vektor w
wi = min'(A~v+ )i (A~v; )i ]
(14.6)
a pak lze spatit, e vektory ~z+ a ~z; v nsledujcch rozpisech jsou
opt nenegativn.
A~v+ = w~ + ~z+ A~v; = w~ + ~z;:
(14.7)
~ + ~z+ + ~z;, na druh stran vak je A(~v+ +
Pak je A(~v+ + ~v; ) = 2w
~v; ) = A~v + 2A~v; , a tak ~v = ~z+ ; ~z; , ale protoe kad souadnice
je nulov u alespo jednoho vektoru ze ~z+ a ~z; , mus b
t ~v
= ~z
.
~ (1 + )(~z+ + ~z; ) pro
Mli bychom pak A(~z+ + ~z; ) = ~z+ + ~z; + 2w
vhodn > 0, co je mon pouze v trivilnm ppad ~v = 0. (Jinak
by pak muselo existovat vlastn slo vt ne jedna.)
204
Obdobn
argument se d provst v obecnjm a uitenjm ppad,
kdy msto kladnosti vech prvk A pedpokldme jen jejich nezpornost a kladnost prvk vhodn mocniny Ak .
Nech+ A~v = ~v, Aw~ = w~ . Argumenty podobn
mi jako v druhm bod
ukete jednoznanost vlastnho vektoru, tedy vztah
~v = ~w:
(14.8)
Tedy existuje jedin
etzec psluejc vlastnmu slu jedna. Navc je
to vak etzec jednolenn
, protoe kdyby 9~z, e
(A ; 1)~z = ~v (A ; 1)~v = ~0
(14.9)
platilo by tak (rozn
sobte)
An~z = (A ; 1 + 1)n~z = ~z + n~v
(14.10)
co vak nen mon, protoe posloupnost An~z m vechny sloky omezen (doka te!), zatmco f~z + n~vg je neomezen (pro nenulov ~v).
Poznmka o piblinm vpo tu spektrlnho polomru.
Uveden vztahy
An+1~x = An~x An~x = const ~v
(14.11)
kde A~v = ~v, jj = (A), lze zobecnit pro libovolnou matici (i pro ppad, kdy (A) = jj s komplexnm )* tam vak musme pracovat s dvma
piblin
mi rovnostmi msto jedn).
Formulujte toto zobecnn a (ovl
d
te-li ji dobe teorii Jordanova tvaru)
doka te pslun
tvrzen.
Cvi en. Pohyb bluditm. Mjme dvojrozmrn konen bludit tzn.
systm pokoj s dvemi (nkter z nich vedou ven) takov
, e v kadm
pokoji mme zadno rozdlen pravdpodobnosti, udvajc s jakou stedn etnost budeme jednotliv
mi dvemi z danho pokoje vystupovat pop.
zda zstaneme sedt na mst. (Napklad pedpoklad rovnocennosti vech
viditeln
ch dve tzn. totln desorientace putujcho.) Pedpokldejme e
kterkoliv dvee funguj oboustrann tzn. pouvaj li se, tak obma smry
{ i kdy nikoliv nutn se stejnou etnost. (Takov
to pedpoklad neexistence past lze denovat i obecnji, zformulujte.) Potom nhodn
(nezemdlen
,
14.1. PERRON-FROBENIOVA VTA
205
tud stle se pohybujc ovem) poutnk asem urit vyleze z bludit!.
Matematisujte (rozmr matice je dn potem pokoj plus jedna, zkouman
m vektorem je pravdpodobnost pobytu v rzn
ch pokojch v danm ase
uplynulm od vchodu do bludit zvolen
mi dvemi), vyete a ppadn i
odhadnte stedn as strven
pobytem v bluditi pro njak
konkrtn labyrint. (Chcete-li ovem podrobnj odhady druhho nejvtho vlastnho
sla atp., d to dost prce.)
O nalezen nejvtho vlastnho vektoru
Nsledujc dv vty vznikly pvodn v teorii Markovsk
ch proces a jsou
nyn znmy jako podmnka tzv. detailn rovnovhy v knihch o nerovnovn
statistick fysice. Tyto vty dobe ilustruj osud nkter
ch matematick
ch
tvrzen, kter postupn vznikla odpozorovnm zkonitost v jist
ch specilnch situacch, aby po patinm zobecnn a zjednoduen nabyla vzhledu
malho cvien ze sbrky loh linern algebry.
Vta. Je-li stochastick matice A symetrick, je vektor
0 1
BB 11 CC
~1 = B
B@ ... CCA
(14.12)
1
jejm vlastnm vektorem pslun
m nejvtmu vlastnmu slu 1.
Tato a nsledujc vta nachzej dleit aplikace v nerovnovn statistick fysice. Uvdomme si napklad, e pi zkoumn systmu o 1023 stic
(z nich kad nab
v teba jen dvou rzn
ch stav { jako spin nahoru nebo dol { takto njak vypad teba tzv. Ising
v model statistick fysiky)
pracujeme s konguranm prostorem o 21023 prvcch (kvantov s linernm
prostorem tto dimense). Mme tedy co do inn s maticemi ponkud velkho rozmru: : :
Nsledujc vtu lze chpat tak (pro nezjemce o statistickou fysiku) jako
cvien na tmata uit Perron-Frobeniovy vty, vlastnch vektor, hodnosti,: : :
Vta. Ozname-li symbolem spektrln polomr positivn matice A
(tj. nejvt vlastn slo), tak plat
(;1 A)n ! DD0 n ! 1
(14.13)
206
kde D, D0 jsou vhodn positivn diagonln matice a oznauje matici, jej
vechny (i nediagonln) prvky jsou 1. Navc plat
m
X
i=1
dii d0ii = 1 (m je rozmr matice A)
a pslun
vlastn vektor k je tvaru
0
~v = B
@
Je-li A symetrick, tak D = D0 a
dostvme vztah
d0ii = d1 ,
kde
d=
m
X
i=1
(14.14)
d11 1
.. C
. A:
(14.15)
dmm
Pm (di )2 = 1 a pro stochastickou A
i=1 i
dii ,
tzn. An ! d1 D:
(14.16)
p
Konen pro symetrickou stochastickou A mme rovnost dii = 1= m, tzn.
pedchoz vtu.
Nech+ A je stochastick matice takov, e existuje diagonln matice Q
takov, e matice AQ je symetrick. Potom een A~u = ~u je tvaru
0 1
BB 11 CC
~u = const Q B
B@ ... CCA :
(14.17)
1
Dkaz. Prvn st si zkuste dokzat sami s pouitm Perron-Frobeniovy
vty. Druh st plyne z prv takto:
AQ je symetrick () AQ = QAT , z eho1 AnQ = Q(AT )n, a tak je
symetrick i An Q.
S pouitm prv sti mme (dky stochastinosti A) An ! P s diagonln P s jednotkovou stopou a (dky symetrii An Q) An Q ! DD, tedy
D = Q = P, ~u = An~u ! P~u = const Q(1 1 : : : 1)T .
1
Ukate si nap. indukc: AAQ = AQAT = QAT AT atd.
14.2. FEYNMAN%V INTEGRL
207
Grupy positivnch matic
Zanme nsledujcm cvienm.
Cvi en. Charakterisujte matice A takov, e exp(tA) je positivn resp.
stochastick
matice pro vechny re
ln hodnoty parametru t.
Odpov. Jde o matice, jejich vechny prvky mimo diagonlu jsou
nezporn resp. navc suma prvk v kadm sloupci je rovna nule! Abychom
toto nahldli, sta se podvat na ppad, kdy t ! 0.
Zajmme-li se speciln o tzv. konvolun matice (viz odstavec dualita grup* jde o matice komutujc s matic posunu! v cyklick grup Zn =
f0 1 2::: n ; 1g, tedy pesnji eeno v linernm formlnm! obalu tto
grupy), mme tuto odpov-: innitesimlnm genertorem takovto konvolun grupy je opt njak konvoluce, jej jdro je kladn piteme-li k nmu
vhodn
nsobek Diracovy delta funkce v nule!! Pro stochastick konvolun
grupy je navc suma jednotliv
ch hodnot jdra nulov.
Toto je jakousi jednoduchou analogi tvrzen o tvaru tzv. nekonen dliteln
ch pravdpodobnostnch rozloen! z teorie pravdpodobnosti, kde se
zhruba eeno dokazuje, e takovto pravdpodobnostn rozloen jsou bugaussovsk nebo Poissonovsk { i jaksi mix! tchto dvou. Prohldnemeli si konvolun jdro sestrojen ji v zimnm semestru pi diskusi Vandermondovy matice (pi diskusi nhrady vych derivac diferencemi), vidme,
e neme b
t kladn (ani po piten vhodn hodnoty v bod nula) pro derivace vyho du ne dv. Take ns moc nepekvap, e diferenn (resp.
diferenciln pi pechodu ke spojitmu ppadu) opertory du vyho ne
dv se pi studiu grup positivnch matic nebudou vyskytovat jakoto genertory. To, jak diferenn opertory du nejv
e dva vedou k Poissonovsk
m
i { ve vhodn pojat limit { dokonce ke gaussovsk
m mrm, jsme ji
trochu nahldli v kapitole exponencila matice. Pesn formulace takov
chto tvrzen samozejm vyaduj detailnj anal
zu, viz monograe z teorie
pravdpodobnosti.
14.2 Feynmanv integr l
Idea integrlu pes vechny trajektorie! vznikla nejprve v pracch
N.Wienera (1920!30) budujcch teorii Brownova pohybu. Jde o zkoumn
pologrupy fexp(t2) j t 0g, kde 2 je Laplacev opertor v R , R 2 apod.
208
V tomto ppad byla vybudovna matematicky rigorosn analogie vah,
kter budeme provdt v tto sekci.
Podobnou ideu rozvinul heuristicky Richard Phillips Feynman pot, co
ho do reje fysiky opt vthl problm, pro m tenk
tal rotujc a houpajc se ve vzduchu pomr frekvenc tchto dvou pohyb prv 1 : 2, a zskal
tak alternativn formulaci kvantov mechaniky, kter je dnes velmi populrn. Jeho konstrukce analogi vztah, je uvedeme za chvli, pro opertor
(i2 + U ) dosud nenala matematicky precisn tvar (vyjma ppadu diskutovanho ne v odstavci Feynmanv integrl a exp. matice). Za poslednch
40 let bylo uinno nkolik pokus zaadit tento pojem pln do matematiky!. Vylo i nkolik pehledn
ch lnk, dokonce i knih majcch ambicizn
nzvy jako matematicky rigorzn teorie Feynmanova integrlu!* jet vce
matematik si na pedmtu asi vylmalo zuby (kter natst nkdy narostly
znovu) a dost bylo asi tak tch, kte si na as mysleli (koneckonc i jeden
z autor tchto skript ped mnoha lety: : : ), e se s problmem vyrovnali
tm, e dokzali, e Feynmanv integrl neexistuje!. On skuten existuje jako integrl! i mra! (ve smyslu mat. teorie mry) prakticky pouze
pro grupy konen
ch matic (viz ne) resp. nekonen
ch positivnch matic,
jak specialist dobe vd. (Vak je na nm tak zaloena rozshl st soudob teorie pravdpodobnosti a teorie potencilu). Konkrtn, Feynmanv
integrl vybudovan
pro rovnici veden tepla je matematicky zcela v podku na rozdl od rovnice Schr)odingerovy. Rozdl je dn kladnost pslunho
jdra! exp(;x2 ) v kontrastu s komplexnm jdrem exp(ix2 ) pro rovnici
Schr)odingerovu. Rozdl v matematick
ch potch v tchto dvou zdnliv
analogick
ch situacch je tak propastn
, e vedl po dobu nkolika desetilet
matematick i teoretick fysiky (viz poznmku na tma vztahu tchto dvou
{ ponkud odlin
ch { zpsob nazrn fysiky na konci tto kapitoly) ke
konstruovn euklidovsk
ch variant!, jak
chsi analogi skuten fysiky zaloen
ch, zjednoduen eeno, na nhrad sla i slem ;1 v exponencile,
tzn. na nhrad Schr)odingerovy rovnice rovnic veden tepla. (Tak postupuj
i fysici, prodluuj-li analyticky problm do imaginrnho asu! resp. do
euklidovskho asoprostoru!, kde dostanou v
sledky, kter pevedou opt
do relnho asu.)
Zd se vak, e pistupovat k problmu Feynmanova integrlu jenom
z matematick
ch posic nen rozumn. Lep je asi objekt intensivn (nerigorzn, co se d dlat: : : ) zkoumat (co se teba v teorii elementrnch
stic vydatn dje* tam i v jin
ch oblastech souasn fysiky jsou Feynmanovy integrly skuten
m pilem teorie) a tm vyjasnit jeho poadovan
vlastnosti ped tm, ne se ho nsiln pokusme vmstnat do existujcch
209
matematick
ch struktur (a+ u to je teorie mry i cokoliv jinho), z nich
dn nemus b
t adekvtn. Pokud je metoda skuten uiten, tak se asi
nkdy vhodn
matematick
formalismus objev { podobn, jako se asem
objevil pro popis delta funkce, opertorovho kalkulu apod. (U to ale trv
v ppad Feynmanova integrlu dost dlouho: : : zd se vak, e vhodn
formalismus je nyn do znan mry pipraven v souasnm pojmovm apartu
tzv. clusterov
ch rozvoj matematick statistick fysiky.) A nyn tedy ble
k vci:
Feynmanova interpretace kvantov fysiky se d zjednoduen vyloit takto: pi bnm pechodu od teorie klasick k teorii kvantov nahradme veliiny klasick teorie njak
mi opertory, vydedukujeme jejich komuttory
atd. a zskme vzorec pro hamiltonin, podle nho se v ase mn stavov
vektor (SchrQdingerovo pojet) nebo opertory (Heisenbergovo pojet).
Skutenost, e stice u nem pesnou trajektorii (resp. v teorii pole e
pole nem pesn hodnoty ve vech mstech prostoru a ve vech asech), lze
spolu s Feynmanem vyloit tak, e vechny mysliteln trajektorie pispvaj
k amplitud pravdpodobnosti (co je komplexn slo takov, e tverec jeho absolutn hodnoty nm dv pravdpodobnost nebo jej hustotu)
initelem
exp( iS
(14.18)
@h )
kde S je inek (asov
integrl z lagraninu) a @h je Planckova konstanta.
Skutenost, e limitnm ppadem kvantov teorie je klasick
pohyb po konkrtn trajektorii, te- vysvtlme tak, e v tomto ppad se fze S=@h rychle
mn a pspvky (komplexn jednotky) se s velkou pesnost ru s v
jimkou trajektori v blzkosti klasick, kter spluje S = 0, a proto pispv
nejvtm dlem.
Feynman vtipn aplikoval sv integrly na kvantovou teorii pole* integroval tedy pes vechny mon hodnoty pole a zskal pravidla pro v
poet
element S-matice2 (z n se daj spotat inn prezy rzn
ch rozptylov
ch proces). Amplitudy (elementy S-matice) se zskaj sumac pes rzn
Feynmanovy diagramy. To jsou ty obrzky, kde nap. jeden ze dvou vstupujcch elektron vyle! virtuln foton, kter
druh
z nich pohlt!, a tm
modelujeme interakci mezi elektrony (k amplitud pispvaj i sloitj procesy, kde se nap. virtuln foton zmn na moment na elektron-positronov
pr).
Navc, Feynmanovy diagramy jdou pozmnit na ppad, kdy elementrn
2
Psmeno !S" pochz od nmeckho !Streung" nebo anglickho !scattering".
210
stavebn objekty nejsou bodov stice, ale struny tak, e zskaj tvar spojujcch se a rozpojujcch trubek! (nap. kalhot!), a lze zskvat i amplitudy pro teorie string. Jestlie u bodov
ch! diagram ji diagramy s jednm
rozdlenm fotonu na elektron-positronov
pr (diagram polarisace vakua)
dvaly nekonen
pspvek, ze kterho se zskv konen hodnota uritou
regularisac (piazovnm konen
ch hodnot divergujcm integrlm), nkter (super)stringov teorie vychzej zcela konen.
V prbhu let se objevily i jin zpsoby (ne jsou integrly po trajektorich), jak odvodit Feynmanovy diagramy (nap. Freemana Dysona), ale
path-integrly! zstvaj nejoblbenjmi.
Podvme se nyn na nejjednodu pklady.
Nsoben mnoha matic alias Feynmanv integrl
() Souin matic rozmru n n A B : : : Z m, jak znmo, elementy
X i0 a b
îj0 0 =
a ab b c c : : : z yj 0 (14.19)
(a b ::: y)
kde suma je pes vechny trajektorie, ili uspodan ptadvacetice index
(a b : : : y). (~)
Exponencila matice a Feynmanv integrl
(]]) Pouijeme vztah
tA )N :
(
1
+
exp tA = (exp tNA )N = Nlim
!1
N
(14.20)
~z = (1 + tNA )N ~x a tedy
(14.22)
V dalm si pedstavujme interval h0 ti rozdlen na N stejn
ch dl dlcmi
body tm = mt=N , m = 0 1 : : : N .
Trajektori nazvme libovolnou posloupnost3
y = (y(0) y(1) : : : y(N )) s hodnotami v f1 2 : : : ng
(14.21)
kde n n je rozmr matice A.
Je-li ~x 2 R n vektor, meme vektor ~z := (exp tA)~x napsat jako limitu
v
raz tvaru (v dalm peme indexy matice neodsazeny tsn nad sebou,
z estetick
ch dvod* horn index m b
t vce vlevo)
3
Pod y(m) mnme tot, co y(tm ).
z(jN ) =
211
X NY;1
y:y(N )=j i=0
y(0)
(1 + tNA )yy((ii+1)
) x :
(14.23)
Pime A ve tvaru A = U + s diagonln matic U a s matic s nulov
mi
diagonlnmi prvky. Pak je
NY
;1
=
i=0
Y
i:y(i+1)=y(i)
(1 + Nt U + Nt )yy((ii+1)
) =
(1 + Nt U)yy((ii+1)
)
Y
i:y(i+1)6=y(i)
(14.24)
(1 + Nt )yy((ii+1)
) (14.25)
co je piblin (v limit N ! 1 pesn) rovno, s oznaenm U (y) = Uyy
0
exp @ t
X
N i:y(i+1)=y(i)
1 s
U (y(i))A t
N
Y
i:y(i+1)6=y(i)
2y(i+1) y(i) (14.26)
kde s je poet skok! (y(i + 1) 6= y(i)) trajektorie y (konc v bod j ).
>hrnem (vztah je pesn
pro N ! 1, pak s ! N )
zj =
X
y
P (y) exp
Z t
0
U (y(u))du xy(0) ("")
(14.27)
kde vha P (y) ( Feynmanova mra! pes y* y(t) = j ) je dna v
razem
s NY;1
P (y) = Nt
2y(i+1) y(i) :
i=0
(14.28)
V
raz (**) naz
vme Feynmanovm integrlem funkce
y 7! exp
Zt
0
U (y(u))du xy(0)
(14.29)
podl vhy P .
S pouitm pojmu mry (viz kursy anal
zy) lze vzorci (**) dt zcela
pesn
smysl pro jakoukoli matici A i pro N ! 1. (D to ovem jistou
prci. Pro znalce: P m charakter Poissonova pole na prostoru po stech
konstantnch trajektori.)
Cvi en. Vyjasnte (**) pro ppad oper
toru
(A~f )n = f n+1 + f n;1 + U (n)f n:
(14.30)
212
Formule (**), asto naz
van Feynman-Kacova, dv een poten
lohy
~z_ = A~z ~z(0) = ~x 2 R n:
(14.31)
Okrajovou lohou (termn z teorie diferencilnch rovnic) rozumme nalezen een ~z_ = A~z za podmnky, e hodnota nkter
ch sloek ~z je pedepsna
pro kad
as t (ppadn jen pro nkter asy).
Pklad pro A = : na mce 6 6 bod mohou tvoit hranin body
dvacet okrajov
ch index.
Hledme-li een na intervalu t 2 ht0 1i, pak obvykle zadvme tak
poten podmnku ~z(t0 ). (Je-li z k v danm ase t zadno jako okrajov
podmnka, tak platnost vztahu ~z_ = A~z suspendujeme (doasn rume) po
dobu platnosti okrajov podmnky pro z k .)
Pro kadou trajektorii ozname symbolem posledn okamik t, pro n
je y(t) z mnoiny, kde je pedepsna okrajov hodnota v danm ase t. Potom
msto (**) mme formuli (^y je sek trajektorie od k t)
R
zj = Py P (^y ) exp t U (y(u))du zy( ) + (" " ")
R
P
+ y: =t0 P (y) exp tt0 U (y(u))du xt0
kde
s Yt y(t )
2 y(mtm+1) :
P (^y) = Nt
tm t
(14.32)
(14.33)
Poznmka. Formuli (***) lze dle zobecnit, denujeme-li operaci y^
(useknut trajektorie od t0 do ) pro libovolnou veliinu denovanou nejen jako okamik poslednho pobytu trajektorie! v njak zadan mnoin,
kter se me mnit s asem, ale obecnji jako okamik prvnho objeven
se urit udlosti formulovan pouze v termnech dal budoucnosti trajektorie!. Takovto veliiny se naz
vaj hitting time nebo stopping time
(co m smysl, pokud se dvme na trajektorii smrem do minulosti).
Cvi en. Doka Rte (***) i Rv ppad,
R e je libovoln hitting time. (Vyu ijte
multiplikativity exp tt0 = exp t0 exp t a P (y) = P (7y)P (^y), kde y7 resp. y^ je
sek y do resp. po asu .)
Jednodu pklad s ideou Feynmanova integrlu.
Hledejme funkci f na oblasti ` R 2 , splujc rovnici
2f = 0
(14.34)
213
kde 2 = @ 2 =@x2 + @ 2 =@y2 je (dvourozmrn
) laplacin, kter navc spluje
okrajovou podmnku f = g na hranici @ ` dan oblasti. Interpretujme kol
teba jako hledn stacionrnho rozloen teploty v aut (nepedpokldme
ovem proudn vzduchu, pedstavte si teba auto naplnnm pskem) pi
zadan teplot rzn
ch mst na karosrii.
Problm diskretisujeme (a snad nediskreditujeme): msto ` R 2 vezmeme konenou podmnoinu ` me Z2 * nkter body prohlsme za hranin
(@ `) a pedepeme na nich okrajovou podmnku g. (Tento pedpis se nebude v uvaovanm nejjednodum ppad s asem mnit.) Msto bn
diskretisovan verse laplacinu
(14.35)
(2f )x~ = 14 (f ~x+~e1 + f ~x;~e1 + f ~x+~e2 + f ~x;~e2 ; 4f ~x )
pracujme s opertorem prmru pes sousedy P = 1 + 2 (posledn len 2
mu chyb* (Pf )h~ pro hranin body denujme jako konstantu gh~ ) a chceme
tedy vyeit rovnici P ~f = ~f pi podmnce f = g na @ `, tzn. najt vlastn
vektor psluejc nejvtmu vlastnmu slu jedna stochastick matice P *
tato interpretace ns vak u nyn tolik nezajm.
Dosazujme do prav strany denice P
(Pf )x~ = 14 (f ~x+~e1 + f ~x;~e1 + f ~x+~e2 + f ~x;~e2 )
(14.36)
za f v
raz Pf (maj se rovnat), nzorn eeno nechme teplo stn psobit
na auto, dokud nedojde k rovnovze!, a narazme na @ `. (To znamen, f h~
pro ~h 2 @ ` u nerozepisujme, ale nahra-ne okrajovou podmnkou gh~ .)
Zskme vztah (pipomeme, e oznauje okamik dosaen stny)
X
f ~x = g(y( )) 41 (14.37)
y
kde sumace je pes vechny nhodn prochzky! po Z2 , startujc v ~x a
konc okamikem dosaen @ `.
kte tolik prce a dn
v
sledek!? Nemte zas tak pravdu. Alespo
je ze vzorce vidt, e vce ovlivuj teplotu v bod x! trajektorie krtk (a
tedy tak body blzk), z eho plyne pouen, e kdy se chceme oht, je
lep b
ti k topen ble ne dle.
Co vce, uvme-li, e dostaten jemn mka je dobrou aproximac
kontinua, pochopme, pro plat vta, e hodnota funkce f ve stedu koule,
214
uvnit kter m f nulov
laplacin, je rovna ustednn pes povrch.
1 Z
(14.38)
f (~0) = 4r
2 k~ak=r f (~a) jdS j :
Z integrlu po trajektoricch je zejm, e f (~0) je kombinac (ven
m prmrem) hodnot f na povrchu a cit pro symetrii nm napov, e pro ppad
stedu koule budou vechny body povrchu vystupovat se stejnou vahou.
(V anal
ze se tvrzen dokazuje ve vt o tech potencilech.)
Poznmka. Posledn vztah pro f (x) je velmi specilnm ppadem (***),
navc pro ppad diskrtnho asu!, kdy msto grupy fexp t2g, t 2 R , mme
posloupnost opertor P P 2 P 3 P 4 : : :
Feynmanv integrl v kvantov teorii pole
Ukeme si losoi peveden integrlu po trajektorich na integrl obyejn
(nkolikarozmrn
). Jako pklad si nevypjme obvyklou (bodovou) teorii
pole, n
br teorii strun. V
poty, kter nazname, se provdj pi v
potu
rozptylov
ch amplitud v teorich bosonov
ch (neobsahujcch antikomutujc
promnn) uzaven
ch strun (z topologickho hlediska krunice).
Pro danou funkci J komplexn promnn z = x + iy (kterou budeme
pojmat jako parametrisaci sfry promtnut ze severnho plu do roviny
rovnobn s rovnkem) chtjme spotat Feynmanv integrl pes vechny
funkce X promnn z z exponencily jakhosi integrlu:
IJ =
Z
X (z ) exp
D
Z
h
i
2
dx dy ;(rX ) + iJ (z )X (z) (14.39)
kde (rX )2 = (@=@x(X ))2 + (@=@y(X ))2 . Metoda doplnn na tverec nm
te- pome tak, e provedeme vhodnou4 substituci X (z ) = X 0 (z ) + M (z )
(posunut), m zstane nezmnna mra integrace DX = DX 0 , protoe jde
o jak
si souin diferencil funkce X ve vech bodech roviny!. Tm se nm
exponent uprav (uvme nov
symbol pro tverec gradientu, @ je derivace
podle x nebo y)
; @ X@ X + iJX = ;@X 0 @ X 0 ; 2@ M@X 0 ; @ M@ M + iJ (X 0 + M )
(14.40)
a vidme, e kdy upravme per partes jeden len
; 2@ M@ X 0 = ;2@(X@ M ) + 2X 2M
(14.41)
4
Nic se nedje, bude-li M komplexn% funkce exp ;z2 je holomorfn.
215
vykrtneme podle Gaussovy vty prvn len prav strany, kter
nepispv
dky spojitosti X v nekonenu, a zvolme M (z ) natolik vhodn, aby bylo
J (z) = 2i2M (z), vyru se nm kombinovan leny JX 0 a v exponencile
bude jen
; @ X 0@ X 0 ; @ M@M + iJM
(14.42)
a kdy pepeme exponencilu soutu jako souin exponencil, meme druhou z nich vytknout ped Feynmanv integrl a v
sledkem tedy je (od lenu
@ M@ M jsme opt odeetli totln divergenci)
Z
IJ = exp dx dy 2i JM IJ =0
(14.43)
protoe to co v drhovm integrlu zbylo (po pejmenovn integran promnn funkce X 0 ! X ) je prv IJ =0 , o nm teba ji vme, e je roven
jedn: : : (~~)
O vztahu matematick a teoretick fysiky
teni mon zatm tyto pojmy spl
valy. Tyto pojmy vak odpovdaj dvma odlin
m rovnm zkoumn: spojuje je samozejm pouvn matematiky jako zkladnho prostedku, li se vak v rovni rigorznosti. Zatmco
matematick fysika pipout jen zcela rigorzn pouit matematick
ch prostedk { vetn stylu vyjadovn vta/dkaz* co ovem nevyluuje i zde
obasnou volnost!, spojenou teba s vynechnm precisnho dkazu (pokud je ovem zejm, e jej lze vytvoit!), teoretick fysika se nesvazuje vdy
tmto (nkdy opravdu velmi destruktivnm) omezenm.
Vce elegantnch kouzel!, ale i zsadnch objev, za n se dv napklad Nobelova cena, je v teoretick fysice. Vztah teoretick
ch fysik k matematick fysice b
v nkdy trochu arogantn respektive hrani a s nechpavost typu pro se jet hrabete v problmech, kter jsou pece u ticet
let vyeeny?! Jen obas mohou matematit fysikov kontrovat ano, ale
patn vyeeny* sprvn odpov- je toti pln jin!. astji jen potvrzuj podrobn
m matematick
m zkoumnm to, co jejich teoretit pedchdci
uhdli! dve.
Takto dramaticky se ovem rozdl mezi matematickou a teoretickou fysikou jev jen v nkter
ch partich fysiky, hlavn v problmech s nekonen stupni volnosti!, jako je statistick fysika, teorie pole a teorie pevn
ch
ltek (a Feynmanv integrl). V jin
ch oblastech fysiky, zvlt tam, kde
geometrie je hlavnm matematick
m nstrojem, b
v rozdl mn v
razn
a dn
.
216
Cvi en. (Doplnk k Jordanovu tvaru.)5
Nech+ f : V ! V je nilpotentn opertor s jednm etzcem: ~v0 = ~0,
~vi = ~f (~vi+1 ) i = 0 1 : : : n ; 1. (Zobecnn ne proveden
ch vah na obecn
i nenilpotentn opertor je mon. Promyslete si jej.) Vezmme njak
jin
opertor f~ mlo se lic od f (jinak vahy ne ztrcej
zajmavost) a pime
Q
n
jeho charakteristickou rovnici ve tvaru P (x) = i=1 (x ; "i ) kde "i jsou
~ =w
~n 2 V a
prvky spektra f~. Vezmme njak
nov
poten vektor w
~
~ 0 = 0* odvodnte!)
sestrojme etzec (mus b
t w
fw~ i = f~(w~ i+1 ) ; "i+1 w~ i+1 i = 0 1 : : : n ; 1g:
~ namtkou* zformulujte
Jde-li o basi V (obvykle tomu tak bude, volme-li w
podmnku na basi pesn!), m pak f~ vi n matici
1
0
"1 1
CC
BB
"2 1
BB
... 1 C
CA
@
"n
Vimnte si, e tato matice obsahuje n parametr, (na rozdl od Jordanovy buky, kter obsahuje jen jeden), tak jako v ppad diagonalisovateln
matice.
Dleitost takovhoto vyjden je v tom, e nemn svj tvar v limit
f~ ! f . Tm se odstran asi nejhor vada na krse konstrukce Jordanovy
base* toti jej skokov se mnc tvar v okamicch, kdy opertor pestv
b
t diagonalisovateln
.
Toto je dleit teba pi een diferencilnch rovnic (zde u se pohybujeme obvykle v nekonen dimensi, kde je teba vtinou vhodn mnit i
~ , tak aspo nznakem): Vezmeme v td diferencilnch
poten vektor w
opertor 2. du s konstantnmi koecienty njak
opertor D s dvojnsobnm vlastnm slem . Nech+ D~ je mal perturbace D s vlastnmi funkcemi
exp(~ x) exp((~ + ")x). Pak je urit rozumnj msto uveden
ch, skoro
stejn
ch funkc brt do Jordanovy base teba dvojici
~
~
w~ = w~ = exp(( + ")x) ; exp(x) ! x exp(x)
2
a
"
~ w2 ; (~ + ")w
~ 2 ! exp(x)
w~ 1 = D~
Tato base se mn spojit i v bod degenerace D~ = D.
5
Pro ueten msta umis&ujeme zde. Spotte detailn.
Kapitola 15
Dualita
Dualita je jev, na kter
narazme v mnoh
ch oblastech vdy a lidsk innosti:
v historii (v Rakousko-Uhersku), v: : :
V tto kapitole se pokusme vyloit podstatu nkter
ch v
znam tohoto
slova.
15.1 Du ln grupa
Definice. kejme charakter grupy (budeme mluvit jen o Abelov
ch)
kadmu jejmu homomorsmu do U 1 , multiplikativn grupy komplexnch
jednotek. Duln grupou pak nazveme mnoinu charakter s operac nsoben:
(1 2 )(a) = 1 (a) 2 (a):
(15.1)
Mete ovit, e duln grupa k (R +) je opt ona (isomorfn j), duln
grupa k (Z +) je U 1 a naopak, duln grupa k Zn je zase isomorfn Zn *
vechny charaktery maj tvar
x 2 Zn 7! exp(2ikx=n) := 'k (x) pro k 2 f0 1 : : : n ; 1g:
(15.2)
Po chvli mylen uvte, e charaktery direktnho souinu cyklick
ch grup
jsou prv souiny charakter tchto grup, a budete tak umt najt duln
grupu k libovoln Abelov grup podle poznmky na stran 31. To se vm
bude hodit pozdji v anal
ze pi zkoumn Fourierov
ch ad a transformac
vce promnn
ch.
217
218
KAPITOLA 15. DUALITA
Lze tak denovat skalrn souin komplexnch funkc na grup (N je
poet prvk neboli d grupy)
X
(15.3)
b(F~ G~ ) = N1 F (g)G(g)
g 2G
(pozn.: pro Lieovy grupy lze nahradit integrac podle rovnomrn mry!,
tzn. s vhodnou vhou takovou, aby na integrl nemla vliv substituce g 7!
g0 g).
Cvi en. Doka te, e vechny charaktery cyklick grupy (ale i obecn konen Abelovy grupy, viz vtu o struktue Abelovch konench grup) tvo
ortogon
ln basi prostoru komplexnch funkc na tto grup.
15.2 Du ln grafy a tlesa
Mluvit v kombinatorice o polyedrech a rovinn
ch grafech je prakticky tot.
Mme-li rovinn
graf, pedstavme si ho nalepen na kouli a hranm grafu
budou po narovnn! odpovdat hrany polyedru.
Cvi en. Identikujte polyedry, jejich grafy vidte na obr
zku. Nakreslete
odpovdajc graf i pro ticetistn ze strany 130.
(]) Nakreslme-li si (kombinatorick) grafy Platnov
ch tles (neboli nakreslme-li bod za kad
vrchol tlesa a pospojujeme-li body tch vrchol,
kter jsou spojeny hranou) a jinou barvou vyzname do ploek teky (i do
nekonen ploky okol, odpovdajc spodn stn, dme jednu) a pospojujeme ty teky, ploky kter
ch soused stranou (nesta vrcholem), zskme tak
duln grafy k pvodnm. Zopakujeme-li operaci znovu, zskme v
choz
graf.
15.2. DULN GRAFY A TLESA
219
Graf tystnu je samoduln, krychle je duln k osmistnu (a naopak)
a dvanctistn je duln k dvacetistnu (a obrcen).
Hrub
popis k, e tleso m tolik vrchol, kolik m jeho dul stn.
Navc duln tlesa maj stejn
poet hran.
Kreslen graf vak nen jedin
zpsob, kterak zskvat duln tlesa.
Mjme obrazec v rovin nebo tleso v prostoru, pesnji eeno njakou
konvexn mnoinu bod M , uvnit kter le potek souadnic. Duln
mnoinu bod
M 0 pak denujme jako1
M 0 = f~x j 8~y 2 M b(~x ~y) 1g
(15.4)
Pokud lze zskat M jako konvexn obal njak men podmnoiny P , tj.
M = f~x j ~x =
n
X
i=1
~xii ~xi 2 P
sta text 8~y 2 M nahradit 8~y 2 P .
n
X
i=1
i = 1g
(15.5)
Duln normy
Definice. Nech+ k: : :k je norma na linernm prostoru V , tj. plat
k~v + w~ k k~vk + kw~ k k~vk = jj k~vk
(15.6)
a norma nenulovho vektoru je kladn. Potom duln normou (na dulnm
prostoru* viz odstavec duln prostory ne, zatm si pedstavujte euklidovsk
prostor a v0 (~v) chpejte jako b(~v ~v0 )) rozumme normu
~v0 0 =
sup v0 (~v) :
v~ 2V kv~ k1
(15.7)
Doka te, e jde o normu!
Pklad. Nech+ K je konvexn (jinak by neplatila trojhelnkov nerovnost pro normu za okamik denovanou) tleso stedov symetrick podle
potku v R n . Pak
k~vkK = inf fjj j ~v 2 K g
(15.8)
2R
Vedeni pragmatick
mi zjmy zatm umis&ujeme duln tleso do tho prostoru {
protoe v nm mme skalrn sou in{ a nikoli do prostoru dulnho, co by mlo hlub
logiku.
1
220
je norma na R n . (Norma nab
v jednotky na povrchu K , je tedy pomrem
dlky danho vektoru a dlky vektoru s nm rovnobnho, kter
ukazuje na
povrch K .) Pklady K jsou krychle, osmistn, dvanctistn a dvacetistn, a
pipustme-li i centrln nesymetrick tlesa, tak i tystn. Duln tleso
ke K pak lze denovat jako
K 0 := f~x 2 R n j k~xk0 1g:
(15.9)
Doka te, e du
ln norma k du
ln je zase pvodn. Doka te, e du
ln tlesa
podle posledn denice se shoduj s dve zavedenmi.
15.3 Dualita v geometrii
Asi jste u nkde2 slyeli, e existuje princip, podle nho kadou pravdivou
vtu o geometrii lze modikovat tak, e tato modikace bude tak pravdiv,
a zskme ji tak, e nahradme slovo bod! slovem rovina! (vdy doplte
a naopak!), slovo pmka ponechme beze zmny, frzi body le na pmce! frz roviny se protnaj v pmce!, prsek t rovin! vymnme za
rovina, na n le ti body! atd.
V ppad rovinn geometrie vymnme slova bod! a pmka!, pojmy
prsek pmek! a spojnice bod!, frze ti pmky se protnaj v jednom
bod! a ti body le na pmce! atd.
Abychom byli konkrtn, lze piadit bodu, pmce nebo rovin3 , jednotn
mnoin bod M , nsledujc mnoinu M 0 , to jest rovinu, pmku nebo bod
M 0 = f~x j 8~y 2 M b(~x ~y) = 1g:
(15.10)
(Doka te, e jde opravdu o rovinu, pmku nebo bod a e du
ln objekt k du
lnmu objetku je pvodn objekt.)
V dalm textu mluvme o rovinn geometrii. Schopnosti principu by byly
slab, pokud bychom si nevimli napklad skutenosti, e mnoina dulnch
pmek4 k bodm njak kueloseky obsahuje prv teny njak (dal)
kueloseky (a naopak). (Doka te.)
Te- ji lze ukzat vztah mezi Pascalovou a Brianelovou vtou.
Inspirac k tto sekci byla pednka Petra Vopnky Z klady matematickho mylen.
V ppad rovinn geometrie piazujeme bodu pmku a naopak.
4
/k se j pmkov kuelose
ka na rozdl od oby ejn bodov. Skute nost, e
v trojrozmrnm prostoru jsou teba tyi reln sla na nensiln ur en pmky, byl
jednm z historick
ch impuls ke zkoumn vcerozmrn
ch prostor.
2
3
15.4. DULN PROSTORY
221
Pascalova vta tvrd, e pokud vybereme na kuelosece njak
ch est
bod 1 2 3 10 20 30 a body A B C zskme jako prseky
A = 230 \ 20 3 B = 310 \ 301 C = 120 \ 10 2
(15.11)
kde nap. 230 znamen pmku spojujc body 2 a 30 , potom budou body
A B C leet na pmce.
Duln vta Brianelova tvrd, e pokud nar
sujeme est teen njak
kueloseky 1 2 3 10 20 30 a pmky A B C zskme jako spojnice5
A = 230 ~20 3 B = 310 ~30 1 C = 120 ~10 2
(15.12)
kde nap. 230 znamen prsek pmek 2 a 30 , potom se budou pmky
A B C protnat v jednom bod. (~)
15.4 Du ln prostory
Zatenk me mt pocit, e rozliovat vektor nap. v R n a linern formu
na R n (co je! opt pouh n-tice sel pedepisujcch hodnotu dan formy
na vektorech kanonick base) je samoeln. Vyjasnn jaksi dvojstrann
symetrie (prostor!prostor forem na nm!pvodn prostor) { a prv to je
obsahem pojmu dualita { dv dleitou informaci nejen v (pozdjch) konstrukcch anal
zy a funkcionln anal
zy resp. teoretick fysiky (dualismus
vlna/stice! sotva objevte v elementrnch konstrukcch ne, ale pat
sem tak), ale ji nyn: pin uritou systematisaci v nhledu na otzky
typu:
Pro je v jedn formuli A nebo A;1 a v jin AT nebo A;1T ?
Pro se transformuj jinak vektory a jinak jejich souadnice? : : : !
Dulnm prostorem k prostoru V budeme rozumt prostor vech li-
nernch forem, to jest linernch zobrazen, piazujcch prvkm V reln
nebo komplexn slo, podle toho, nad jak
m tlesem je sestrojen prostor V .
Budeme ho znait V 0 a podobn jeho vektory budeme obvykle pst s rkou.
Stn a nsoben konstantou z tlesa zde denujeme nejpirozenjm
zpsobem:
~ ) = ~u0(w
~ ) + ~v0 (w
~ )
(~u0 + ~v0 )(w
5
~ ) = ~u0(w
~ ):
( ~u0 )(w
Znak ~ znamen spojnici bod stojcch na stranch tohoto symbolu.
(15.13)
222
Terminologick poznmka. Odpovdajc objekty dulu asto oznaujeme pedponou kontra!. Naopak, pokud jsme ji pojmenovali objekty
ve V 0 a chceme oznait odpovdajc objekty V , pouvme pedpony ko!.
(Nzvy kovektor, kontravektor uijeme v kapitole o tensorech.)
V tto knize zvolen konvence hornch a dolnch index (piem index
vce vlevo (obvykle horn) nm vdy k, o jakou jde dku, a index vpravo
(obvykle doln), o kolikt
jde sloupec) pro svoji konsistenci pmo vybz
k tomu, abychom v dulnm prostoru pouvali pesn opan
zpis proti
prostoru pvodnmu (souadnice dulnho prostoru do dky, znaen x0i )*
neopomeneme vak vdy poznamenat, co bychom zskali, kdybychom krtkozrace psali ve stejn jako v prostoru pvodnm.
Budeme tedy znait ~v0i prvky duln base k basi ~vj tak, e
~v0i (~vj ) = ji :
(15.14)
Meme tedy i-tou souadnici vektoru ~x vi basi f~ej g interpretovat jako
hodnotu i-tho prvku duln base (jakoto formy) v bod ~x:
xi = v0i(~x) pokud ~x =
Pro jde o basi.
~v0 (
X
~vi xi ) =
P
X
~v0 (~vi )xi =
X
X
X
yixi = (
~vixi:
yj ~v0j )(
(15.15)
X
~vi xi )
(15.16)
Posledn tvar ( yj ~v0j )~v lze jednoznan pepsat vyjdenm ~v0 jako ~v0 =
P
yj ~v0j .
Definice. Mjme linern zobrazen f :
zobrazenm k f
V
! W . Nazvme dulnm
~ 0 7! w
~ 0 f g:
f 0 : W 0 ! V 0 fw
(15.17)
Vta v rznch konvencch. Nech+ A zna matici zobrazen f vi
~ 1 : : : w
~ n.
basm ~v1 : : : ~vm resp. w
Pouvme-li konvenci tto knihy a peme-li souadnice dulnho vektoru
~ 01 : : : w~ 0n a
do dky, mme pro duln zobrazen tou matici vi basm w
0
1
0
m
~v : : : ~v jako pro pvodn zobrazen:
~ 0 7! w
~ 0 A:
f0 : w
(15.18)
15.4. DULN PROSTORY
223
Samozejm, pokud bychom psali souadnice do sloupce6 i v dulnm prostoru, bude mt zobrazen matici transponovanou, a proto budeme dulnmu
zobrazen kat tak transponovan:
~ 0T 7! AT w
~ 0T :
f :w
(15.19)
V na+ versi vt ihned uvte pohledem na
h~ 0 0 i
f (w~ ) (~v) = w~ 0 A~v = w~ 0A ~v:
(15.20)
Definice. Nech+ f~ei g je base V , nech+ f~e0i g je (duln) base V 0 a base
f~e00i g duln7 bas k f~e0i g v prostoru V 00. Potom ztotonn
~ei $ ~e00i
(15.21)
dv tzv. kanonick isomorsmus mezi V a V 00 .
Toto ztotonn je mnohem pirozenj a jednoznanj, ne ztotonn
mezi V a V 0 , kter zkoumme dle!
Tvrzen. V tomto ztotonn je f 00 = f .
Protjkem pojmu linern forma je v anal
ze pojem funkce. V vodu ke
knize jsme konstatovali, e LA vyrostla ze zkoumn linearisovan
ch! problm anal
zy a je uiten se z tohoto hlediska podvat na nkter zkladn
vty anal
zy funkc vce promnn
ch a obnait jejich linern algebraick
jdro. Udlejme si tedy toto mal odboen k anal
ze.
Pklad. Ve tvrzen derivace ve smru je skalrn souin smru a gradientu! substituujeme za slova smr, funkce, derivace ve smru x, gradient!
slova vektor, forma, hodnota v x, representujc vektor formy!. Dostvme
vtu o representaci linern formy | zjednoduenou, linern versi uvedenho tvrzen.
Cvi en. Identikujte vty analzy, jim jsou n
sledujc tvrzen linearisovanou karikaturou.
6
~ 0 psmeno !T".
Abychom psali jen podle naich konvenc, pipsali jsme k vektoru w
Samozejm, ti, kte p souadnice vdy do sloupce, toto !T" u vektor vynechvaj.
7
Zajist, e duln k duln m indexy umstny zase jako pvodn.
224
Vta. Linern forma f~x 7! ~aT ~xg neme b
t konstantn na R n pokud
~a 6= ~0. Je-li vak konstantn pro vektory, na nich jsou konstantn jist dal
formy ~bi , f~x 7! ~bTi ~xg, tak existuj multipliktory j 2 R takov, e
X
~a = j ~bj :
(15.22)
Vta. Komposici linernch zobrazen odpovd nsoben matic.
Vta. Rovnici F (x y) =const pro zobrazen F (x y) = Ax + By lze eit
i v ppad, e A B x yconst jsou matice (vektory) sprvnho rozmru*
pokud B ;1 existuje, tak
y = ;B ;1Ax + const':
(15.23)
Jak ji bylo poznamenno, nahradme-li ve vtch anal
zy slovo funkce!
slovem linern forma! (tedy linearisujeme-li problm* linearisace je synonymem vzet diferencilu), dostvme jednoduch tvrzen LA, kter pitom
vyjaduj podstatu uveden
ch vt. Pro plnost uve-me jet jedno tvrzen
z teorie kvadratick
ch forem (kter teprve budou probrny ne):
Vta. Kvadratick form odpovd symetrick matice (a co matice druh
ch parcilnch derivac?).
V anal
ze ns ani nenapadne plst si body prostoru R n a funkce na nich
denovan (tch je trochu vce). V linern algebe mme msto bod vektory,
msto funkc formy. Neml by ns mst (v tto zjednoduen situaci) fakt, e
dimense vektorovho prostoru a jeho dulu (prostoru forem) jsou stejn a e
mme vtu o representaci (dky existenci skalrnho souinu a euklidovsk
metriky na R n ).
Zmna duln base. Pokud je
~ 1 : : : w
~ n , tj.
k basi w
C matice pechodu od base ~v1 :::~vn
~ 1 : : : w
~ n ) = (~v1 : : : ~vn )C
(w
(15.24)
potom lze vyjdit vztah mezi dulnmi basemi formul8
0
B@
0 ~v01
w~ 01 1
B .
.. C
. A = C;1 @ ..
~v0n
w~ 0n
1
CA :
(15.25)
Fakt ptomnosti inversn matice k C je analogick
zmn mtka mapy: na podrobnj map jsou vzdlenosti vt a naopak.
8
15.5. DUALITA A SKALRN SOUIN
225
~ 0 krt w
~ te
Lehce se o tom pesvdte, pokud zap+ete (nsobenm prvk w
0
~ ))
myslme w (w
0
B
@
0 ~v01 1
w~ 01 1
.. C
~ 1 : : : w
~ n ) = 1 = C;1 B
@ ... CA (~v1 : : : ~vn )C:
. A (w
~v0n
w~ 0n
(15.26)
Jestlie (proti konvencm tto knihy) budeme pst jednotliv prvky duln
base vedle sebe (tak jako v pvodn basi), bude matice pechodu od base
~v01 : : : ~v0n k basi w
~ 01 : : : w
~ 0n dna tzv. kontragradientn matic k matici
;
1
T
C, toti C :
~ 01 : : : w
~ 0n ) = (~v01 : : : ~v0n )C;1T :
(w
(15.27)
15.5 Dualita a skal rn souin
V tto sekci nebudeme dualisovat dan
skalrn souin na V , n
br uijeme
tohoto skalrnho souinu ke ztotonn V a V 0 .
Vta o representaci. Nech+ b(~:~:) je skalrn souin na V . Potom pro
kad
prvek ~v0 2
~v 2 V takov
, e
V0
existuje jednoznan uren
representujc vektor
8w~ 2 V
~ ) = b(w
~ ~v):
v 0 (w
(15.28)
~ j v 0 (w
~ ) = 0g je nulov prostor ~v0 , nech ~v ?
= fw
~)=
K er (mimo jin, K er ? je jednorozmrn). Pak lze volit ~v tak, aby v 0 (w
b(w~ ~v), a tak forma
fw~ 7! b(w~ ~v)g
(15.29)
m stejn nulov prostor jako ~v0 , navc ob formy nabvaj stejn hodnoty
i pro ~v, take ob formy jsou toton i na V = L(f~v K er g).
Dkaz. Nech
K er
denovn skalrn souin b(~:~:). Denujme
(neple+te se ztotonnm V a V 00 ) vztahem
Definice. Nech+ je na
zobrazen j : V ! V
0
V
h~ i
j(~v) (~u) = b(~u ~v):
(15.30)
Toto zobrazen (tvrdme) je antilinern ( anti! kvli tomu pruhu), tzn.
~j(~v1 + ~v2 ) = ~j(~v1 ) + ~j(~v2 )
~j(~v) = ~j(~v):
(15.31)
226
Nebylo by sprvn hledat ztotonn pomoc v
razu b(~v ~u) msto b(~u ~v),
ponvad ~j(~v) by pak nebyla linern forma (ale antilinern).
Speciln, mme-li ortonormln basi, piad zobrazen j prvku base
pmo pslun
prvek duln base.
Dleitou modikac transponovanho zobrazen pro ppad komplexnho
skalrnho souinu s pruhem je adjungovan (hermitovsky sdruen)
zobrazen.
Definice. Ozname jm zobrazen
~ )):
f = j ;1 f 0 j alternativn: b(~f (~v) w~ ) = b(~v ~f (w
(15.32)
Toto zobrazen m v te basi adjungovanou neboli hermitovsky sdruenou (viz dkaz ne) matici:9
A = AT :
(15.33)
Dkaz. Nech je ~v1 : : : ~vn ortogonln10 base V , nech f = j ;1 f 0j
je adjungovan opertor k f : V ! V , kde ~j(~v) je denovno (ve vt
o representaci) vztahem ~'j (~v)](~u) = b(~u ~v).
Tm, kterm vztah f = j ;1 f 0j psob bolesti hlavy (co me bt
v urit konstelaci i autor tchto dek), pipomnme, e je to tot jako
vztah
b(f (~u) ~v) = b(~u f ~v):
(15.34)
Vskutku,
b(~u f (~v)) = 'j (f (~v))](~u) =
(15.35)
0
= (f (j (~v)))(~u) = j (~v)(f (~u)) = b(f (~u) ~v)
prava na zlomu dky plat prv kdy jf = f 0 j , co je to sam jako
f = j ;1 f 0 j . P
P
Je-li f (~vi ) = ~vj aji , f (~vk ) = ~vj bjk , tak
b(f (~vi ) ~vk ) = Pj ajib(~vj ~vk ) = akib(~vk ~vk )
l=
b(~vi f (~vk )) = Pj bjk b(~vi ~vj ) = bik b(~vi ~vi )
(15.36)
Mnohdy se adjunkce zna kkem msto hvzdi ky.
Slovem !ortogonln" se zde, ale i mnohde jinde, mn to, e krom toho, e jsou
kolm, maj i stejnou velikost (nej astji jednotkovou, pak mluvme o ortonormln basi).
V protikladu k tomu se neuv pojmu !ortonormln matice" (z grupy O (n)).
9
10
15.5. DUALITA A SKALRN SOUIN
227
m je dkaz bik = aki = a ik hotov.
(Znovu pipomnme, e pro smysluplnost adjunkce je nutn existence
skalrnho souinu, kter
m za nsledek, e se indexy v rovnostech nevyskytuj ve vech lenech ve stejn v
ce.)
Tvrzen. Podobn jako u dulnho zobrazen,
f = f:
(15.37)
Dkaz je zejm, vyjdme-li zobrazen matic vi njak ortonormln basi.
Obecnji,
b(f (~u) ~v) = b(~u f (~v)) = b(f (~v) ~u) =
(15.38)
= b(~v f (~u)) = b(f (~u) ~v)
Poznmka o takzvan formln adjunkci.
V souvislosti se znm
m vzorcem per partes! se asto mluv o tzv.
formln adjunkci! opertoru. Jde o to, e zapomeneme-li hranat zvory!, meme tento vzorec interpretovat tak, e opertor minus derivace je
adjunkc k opertoru derivace! Slovo formln! se pouv prv v souvislosti s onm zapomenutm!. Podobn i pro opertory derivace vych d.
Uvidme pozdji, e (z nejrznjch dvod) se na vhodn
ch prostorech
funkc kupodivu budou ony zapomenut hranat zvory! anulovat, take
formln adjunkce bude dvat sprvn
v
sledek.
Adjunkce sou inu. Komposice dvou opertor m adjunkci
(fg) = g f :
(15.39)
To je zejm v maticov formulaci, obecnji
b(f (g(~u)) ~v) = b(g(~u) f (~v)) = b(~u g (f (~v)))
(15.40)
(pi prv prav nakldejte jako s normlnm vektorem s g(~u), ve druh
s f (~v)).
Toto tvrzen m za nsledek, e na njakm z prostor funkc, kter
budeme diskutovat v kapitole o adjunkci, bude platit11
!
d2 + b(x) d + c(x) = d2 a(x) ; d b(x) + c(x)
a(x) dx
2
dx
dx2
dx
(15.41)
Matematick
m jazykem, opertor nalevo, kter
sdruujeme, piazuje f 7! a(x)f 00 +
b(x)f 0 + c(x).
11
228
kde je teba nap. prvn len vpravo nejprve nsobit a(x) a pak teprve derivovat (pruh nad a(x) v na+ich pkladech pjde vynechat, polynomy a b c
budeme mt reln).
Tato rovnost pro svoji platnost potebuje, aby x byl hermitovsk opertor (pak budou hermitovsk i jeho reln funkce), aby d=dx byl antihermitovsk (co bude oboje splnno na prostorech funkc nap. kvantovho harmonickho osciltoru). Poznamenejme je+t trivialitu, e adjungovan opertor
k opertoru nsoben komplexnm slem c je nsoben c.
Definice. Zavedme tyi nov adjektiva pro opertor f . (Tot plat
pro matice.)
samoadjungovan neboli hermitovsk, je-li f = f
antihermitovsk, je-li f = ;f
unitrn, je-li f = f ;1
normln, je-li ff = f f
Prv
pojem pechz v relnm prostoru na symetrick
!, druh
pojem na
antisymetrick
!, tet na ortogonln! (matice pechodu mezi ortonormlnmi basemi). Msto samoadjungovan
se t k samosdruen
.
Antihermitovsk
opertor lze t denovat jako takov
, jeho i-nsobek
je hermitovsk
. (Ovte ekvivalenci.)
Pojem normlnho opertoru nem pli velik
samostatn
v
znam, ale
dobe zasteuje pedchoz ti skupiny. (To neznamen, e kad
normln
opertor pat do nkter z tchto skupin. Normlnm je jak
koli nsobek
unitrnho, hermitovskho, ale i mnoh jin opertory, teba konvolun {
viz strana 256.)
Cvi en. Naleznte vechny norm
ln nilpotentn oper
tory.
(Nulov
opertor. Nevidte-li to hned, pokejte na vtu o spektrlnm
rozkladu.)
Reln
nsobek (anti-)hermitovskho je (anti-)hermitovsk
, komplexn
jednotkou vynsoben
unitrn je unitrn atd. V kvantov fysice je dleit
nsledujc pozorovn.
Pozorovn. Exponencila antihermitovskho opertoru je unitrn ope-
rtor.
f = ;f ) (exp(f )) = exp(;f ) = (exp(f ));1
(15.42)
15.6. DUALITA VE FUNKCIONLN ANALZE
229
Uvdme dleit pklady.
Hermitovsk
opertor
Jeho exponencila
^
^ @h) { pokej as t
energie (hamiltonin) H
exp(Ht=i
sloka hybnosti p^z
exp(ip^z z=@h) { posun podl z
^
Sloka momentu hybnosti Jz exp(iJ^z '=@h) { rotace o ' kol z
(Posun souadn osy o z ve smru osy z je ekvivalentn posunu systmu
o ;z . Podobn pro otoen.)
Vysloven netriviln aplikace m vak pojem duality jinde v anal
ze
(rigorosn konstrukce sloit
ch objekt, kter bychom jinak st dokzali
denovat).
15.6 Dualita ve funkcion ln analze
(]]) Kdy u se obas jinde probraj ty lokln kompaktn metrick (ba
i topologick) prostory, uve-me informativn, k emu to me b
t teba
uiten.
Pojem pravdpodobnosti a mry. Je-li X (lokln) kompaktn prostor (teba R , R n , prostor trajektori,: : : viz dle) a je-li C(X ) prostor spojit
ch funkc s normou
kf k = sup jf (x)j (15.43)
x2X
ppadn pro X lokln kompaktn bereme soubor pseudonorem
kf kK = sup jf (x)j kompaktn K X
x2K
(15.44)
nazveme mrou kadou spojitou linern formu na C(X ). Je-li navc forma
(mra) nezporn ((f ) 0 8f 0) a (1) = 1, mluvme o pravdpodobnosti na X .
Pklad 1. D se ukzat, e linern forma
f 7!
je mrou pokud
Zb
a
Zb
f (x)g(x)dx
(15.45)
jg(x)j dx < 1*
(15.46)
a
230
R
je-li g(x) 0 a ab g(x)dx = 1, jde o pravdpodobnost.
Pro nekonen
interval (a b) nastvaj drobn pote s touto denic:
napklad znm Gaussova mra (pravdpodobnost)
Z1
f (x)e;x2 dx
(15.47)
f 7! p1
;1
nen jet spojitou formou ve v
e uveden topologii. Msto abychom mnili
topologii, radji dle rozme pojem mry na objekty tvaru
=
1
X
n=1
n
(15.48)
s mrami n v pedchozm smyslu, kde bu n 0 a P n(1) < 1 (do tto katulky spadne v
e uveden Gaussova mra) nebo obecnji
kde pro kadou funkci f s kompaktnm nosiem vyadujeme splnn
pro
P
knkf := sup jn(g)j
jgjf
(15.49)
poadavku n kn kf < 1: Sem patR Lebesgueova mra, piazujc
1
integrovateln
m funkcm f veliinu ;1
f (x)dx.
Teorie mry a integrlu je v
raznou (snad a hypertrofovanou) soust
ltky pednen studentm MFF UK v druhm ronku. (Je ale obvykle
budovna alternativnm pstupem bez drazu na pojem mry jako funkcionlu.) Jej uitenost vynikne ani ne tak pi v
potu integrl v R n (tam
by koneckonc staila njak varianta Riemannova integrlu), spe ve sloitjch situacch v teorii pravdpodobnosti a teoretick fysice. Nap. objekt
P (y) resp. P (^y) zaveden
v vodu k Feynmanov integrlu je mrou na prostoru vech trajektori, dokonce pravdpodobnost jsou-li exp tA stochastick
matice. (Pro nepositivn, nekonen matice ovem nastvaj znan pote
s Feynmanov
m integrlem, pojem mry u nesta k rozumnmu popisu
tohoto objektu.)
Dualita a distribuce
S distribucemi a delta-funkcemi zaal ze zcela pragmatick
ch dvod pracovat Paul Dirac. Diracova delta-funkce je intuitivn funkce nulov vude
231
krom bodu nula, kde m tak nekonenou hodnotu, e
Z1
(x)dx = 1
(15.50)
(x)f (x)dx = f (0):
(15.51)
;1
a tedy pro libovolnou funkci f (x)
Z1
;1
Pokud si chceme takovou funkci pedstavit, vyberme si nkter
z obvykl
ch
pedpis (M je slo jdouc nade vechny meze):12
(x) = pM exp ;M 2 x2 (x) = M (x 2 (; 2M1 2M1 ))
:
2 Mx
(x) = sinxMx : : : (x) = sinMx
2
(15.52)
Pokud m x fysikln rozmr (dlky), m (x) rozmr pevrcen dlky,
protoe (x) si lze pedstavit jako polovinu derivace! (bezrozmrn) funkce
signum(x).
Ukzalo se, e je uiten pracovat i s derivacemi delta-funkce. Budeme-li
n-tou derivaci funkce g znait jako g(n) (x), lze dokzat (bez byrokratick
ch
vah o podmnkch) matematickou indukc a metodou per partes vztah (hranat zvorky vymiz)
R 1 (n) (x)f (x)dx = h(n;1) (x)f (x)i1 ; R 1 (n;1) (x)f 0 (x)dx =
;1
;1
;1
:
n
(
n
)
= = (;1) f (0)
(15.53)
Prvn derivaci delta-funkce si mete pedstavit jako (M ! 1, derivujeme
vztahy v
e)
0 (x) = ;p2M 3 e;M 2 x2 0 (x) = ;sgn x M 3 jxj 2 ( 2M1 2M1 + M12 )
(15.54)
S delta funkcemi se manipuluje dobe i ve vce rozmrech: napklad ve
tech rozmrech chpeme delta-funkci (pipisujeme index 3!) vektoru jako
souin delta funkc jeho sloek (je tedy nulov vyjma potku souadnic)
3 (~x) = (x)(y)(z)
12
V
raz x 2 Y nab
v hodnoty jedna, je-li pravdiv
, jinak je nepravdiv
.
(15.55)
232
a lze bez nedorozumn pracovat s identitami jako (r znamen k~rk)
!
2
@ + @ 2 + @ 2 1 = ;43 (~r)
(15.56)
@x2 @y2 @z2 r
kter nzorn k, e hustota nboje, vytvejcho potencil q=40 r, je
q3 (~r)* tmto rozdlenm hustoty nboje imitujeme bodov
nboj velikosti q
umstn
v potku souadnic.
Poznamenejme, e v kvantov teorii pole se pvodn klasick pole (my
mluvme o skalrnm poli a jeho asov derivaci @0 , podobn je tomu ale
i u vektor elektrick intensity a magnetick indukce) stvaj opertory {
eknme pesnji opertor-distribucemi { takov
mi, e
'^(~x) @0 ^(~x0 )] = i3 (~x ; ~x0 ) '^(~x) ^(~x0 )] = '@0 ^(~x) @0 ^(~x0 )] = 0 (15.57)
komutuj kad dva opertory v rzn
ch bodech.
Greenovy funkce
Jde o v
poet funkce , splujc rovnici
L = f
(15.58)
s pravou stranou. Hned je jasn, e ke kadmu nalezenmu een lze pist
jakkoli een 0 odpovdajc rovnice bez prav strany
L0 = 0
(15.59)
tak, e i souet bude eenm. Zb
v nalzt jedno een. Najdeme-li ale pro
vechna x0 funkce x0 splujc
'Lx0 ] (x) = (x ; x0 )
(15.60)
budeme pak moci zapsat een rovnice z vodu pro jakoukoliv funkci f jako
integrl
Z1
(x) =
f (x0 )x0 (x)dx0 (15.61)
;1
o em se lehce pesvdte dosazenm (L psob jen na promnnou x)
'L] (x) =
Z1
;1
f (x0)Lx0 (x)dx0 = f (x):
Greenova funkce je oznaen pro sprvn normovan x0
G(x x0 ) = x0 (x)
a jej hodnoty se daj vyloit jako elementy opertoru L;1 .
(15.62)
(15.63)
233
Zmnka o exaktn teorii distribuc
Matematici obvykle denuj topologick dul V 0 jako prostor vech linernch forem na V spojit
ch v topologii zadan pomoc njakho systmu
pseudonorem.
Pkladem je Schwartz
v prostor13 D funkc nekonen diferencovateln
ch s kompaktnm nosiem (mnoina vech x, kde je funkce nenulov)
na R s pseudonormami typu (pro urit a b n)
dn f (x) :
kf ka b n = xmax
2ha bi dxn
(15.64)
Ti (ourav z v
s se mon
div, jak me mt funkce vechny derivace (bt z C )
a pitom mt omezen nosi kaj si, pokud je funkce pro x < ;1 nulov
, lze
vypotat vechny derivace v bod -1 (mus bt nulov, existuj-li) a Taylorovou
adou propotat, e je funkce nulov
i d
le. A naopak, funkce nulov
pro z
porn
x a x6 pro kladn
x ji nem
sedmou derivaci v bod nula. Nemaj vak pravdu !to,
e je funkce nekonen diferencovateln
jet neznamen
, e je analytick (z C ).
Pkladem budi funkce nulov
pro x2 1 a v intervalu (;1 1) nabvajc hodnoty
(15.65)
(x) = exp ; 1 ;1 x2 :
Je tak hladce napojena, e kad
jej derivace vyjde nulov
pro x ! 1; resp. x !
;1+, protoe vdy obsahuje onu !asn rychle klesajc exponenci
lu vyn
sobenou
njakm podlem polynom x.
Kdy u jsme se dostali do tchto parti analzy, nebylo by ekonomick nci,
e pomoc takov funkce lze kadou (integrabiln: : : ) funkci g(x) nekonen zahladit
na funkci G(x), kter
pak m
vechny derivace (a zde uruje ku rozmaz
n).
Z
1
G(x) =
dt f (x + at)
(x)
(15.66)
1
1
M
;1
Faktor M zde znamen
(pro funkci nahoe uvedenou)
M=
Z
1
;1
dt (x) ( 0:444) :
(15.67)
Na z
klad podobnho postehu lze dok
zat tzv. lemma o rozdlen jednotky:
M
me-li oteven oblasti O1 O2 : : : ON , jejich sjednocen pokrv
kompaktn mnoinu O, lze jednotkovou funkci na O rozepsat na souet libovoln hladkch funkc fi
nabvajcch hodnot z intervalu h0 1i, kad
z nich je nulov
vude krom oblasti
Oi . (Plat i na obecnjch prostorech, ne jsou euklidovsk.)
13
L. Schwartz, 1950.
234
Topologick
m dulem D0 je Schwartz
v prostor distribuc (v naem
ppad s konen
m nosiem) vech spojit
ch (podle topologie dan soustavou pseudonorem) linernch forem na D. Kad funkci f 2 D lze piadit
distribuci (a zkonstruovat tak vnoen D do D0 )
fg 2 7!
Z1
D
;1
f (x)g(x)dxg : D ! R :
(15.68)
Podle vzorce per partes mme
Z
Z d d g(x)dx
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
;
f (x) dx
dx
(15.69)
co umouje denovat operaci derivovn
d 0
0
dx : D ! D
(15.70)
d : ! :
; dx
(15.71)
jako duln zobrazen k opertoru
D
D
Takto meme nap. zskat libovolnou derivaci delta-funkce. (~~)
Cvi en. Metoda transfer matice! (opakovn Feynmanova integrlu).
Kolika zpsoby je mo no obsadit N idl u kruhovho stolu osobami tak,
aby dn dv osoby nesedly tsn vedle sebe?
Nvod. Vyuijme vztah (14.19). Vezmme 2 2 matici A = (0 1* 1 1).
Kad dvojici sousednch przdn
ch idl resp. dvojici s obsazenou pravou a
przdnou sousedn levou idl resp. dvojici obsazen lev a przdn sousedn prav idle v danm cyklickm uspodn pia-me v
raz a2 2 resp. a2 1
resp. a1 2 . Neppustnost sousedcch osob vyjadujeme poadavkem a1 1 = 0,
osoba! m vude index 1, przdno! index 2. Hledan slo je pak rovno
(pidejme vemon souiny z (14.19) obsahujc nkde t len a1 1 a uplatnme fakt, e prvn a posledn indexy jsou stejn, nebo+ jsme v kruhu!)
Tr AN = 1 + (; )N (15.72)
N
kde = ;1 ; 1 0:618 je zlat
ez. (Ovte posledn vztah.) Metoda m
zobecnn i pro vce typ mon
ch atom!, i na vcerozmrn mi.
Kapitola 16
Spektrln rozklad, adjunkce
Linern algebra tvo jdro pojmovho apartu souasn kvantov teorie.
To naznauje i pohled na obsah tto kapitoly. Bohatou informaci o kvantov
teorii a o pouit LA (a dalch matematick
ch parti) v n nalezne ten v
knize J. Formnka '14].
Ne uveden velmi dleit vta je koneckonc podrobnj, silnj vers
vty Jordanovy pro specilnch ppad normlnch (ili hlavn hermitovsk
ch
a unitrnch) opertor.
Provedeme vak radji znovu samostatn
dkaz tto vty.
Vta o spektrlnm rozkladu. Je-li f : V
! V normln opertor,
tak existuje ortonormln base V sloen z vlastnch vektor opertoru f .
(Jin formulace a etn dsledky tto vty pro konkrtn volby f viz pozdji.)
Dkazu pedeleme dv lemmata, z nich prvn plat i v obecnjm kontextu linernch prostor i bez skalrnho souinu (a u jsme se o nm tu a
tam zmnili).
Lemma prv. Dva komutujc opertory f g :
V
!
V
maj alespo
jeden spolen
vlastn vektor.
Ozname symbolem K er (dve K er 1 ) nulov prostor (f ; 1) odpovdajc njakmu vlastnmu slu . K er = f~v j ~f (~v) = ~vg: Jeliko plat1
g(K er ) K er (16.1)
tak existuje njak vlastn vektor restrikce (zen opertoru na K er )
g : K er ! K er (16.2)
1
Dkaz: ~v 2 K er ) ~f (~v) = ~v ) ~g(~f (~v)) = ~g(~v) ) ~f (~g(~v)) = ~g(~v).
235
236
KAPITOLA 16. SPEKTRLN ROZKLAD, ADJUNKCE
a ten je prv hledanm netrivilnm spolenm vlastnm vektorem.
Toto lemma uijeme pro ppad g = f , kter pro normln f komutuje
s f.
Tvrzen. Speciln, je-li ~v spolen
vlastn vektor f a f , tak pslun
vlastn sla
~f (~v) = ~v ~f (~v) = 0~v
spluj vztah = , jeliko
(16.3)
0
0 b(~v ~v) = b(~v ~f (~v)) = b(~f (~v) ~v) = b(~v ~v) = b(~v ~v):
(16.4)
Jako v dkazu Jordanovy vty nyn chceme ovit, e K er i Im =
fw~ = (f ; 1)~v j ~v 2 V g jsou invariantn podprostory vzhledem k obma
opertorm f i f * pesnji, dokeme pouze
lemma druh. Nech+ ~f (~v) = ~v. Ozname symbolem W ortogonln
doplnk f~vg?. Pak f (W ) W .
Pro dkaz si sta uvdomit, e
8w~ 2 W
b(~v ~f (w~ )) = b(~f (~v) w~ ) = 0:
(16.5)
Toto lemma pouijeme pro ppad, kdy je ~v spolen
m vlastnm vektorem
f a f . Potom jsou opertory (restrikce)
f f : W ! W
(16.6)
opt vzjemn adjungovan (ovte) a zajist, e stle komutuj. Lze tud
nalzt dal vlastn vektor f a f , tentokrt v prostoru W . V ppad konen
dimense V (popravd ale vtinou i jindy) takto najdeme za konenou dobu
celou basi, a dkaz je tmto hotov.
Jin
dkaz vty lze zskat pomoc nsledujc vty, kter je jednoduchou
variantou lemmatu zformulovanho na stran 200 na konci kapitoly o Jordanov tvaru.
Schurova vta. Kad
opertor lze ve vhodn ortonormln basi vyjdit trojhelnkovou matic. Nen toti tk uvidt, e tato trojhelnkov
matice mus bt pro ppad normlnho opertoru diagonln (pokud basi odpovdajc rostoucmu systmu invariantnch podprostor zkonstruovanmu
na stran 200 bereme ortonormln).
237
Maticov reformulace. Pro normln matici A (AA = A A) existuje komplexn diagonln D a unitrn U takov, e
A = UDU;1 UDU :
(16.7)
Je-li navc A unitrn resp. hermitovsk resp. antihermitovsk, jsou na diagonle v D komplexn jednotky resp. reln resp. ryze imaginrn sla.
Rozklad do projektor. Pro kad
normln opertor f :
existuj ortogonln projekce pi : V ! V takov, e
X
pi pj = ij pi
i
pi = 1 pi = ji ihi j
a navc (i jsou elementy spektra)
f=
X
i
X
i pi =
i
jiii hi j
V
!V
(16.8)
(16.9)
kde druh
(Diracv) zpis se uv v kvantov mechanice a vztahu
1=
X
i
ji ihi j
(16.10)
kme obvykle relace plnosti a vztah
pi pj = ji ihi jj ihj j = ij ji ihi j = ij pi
(16.11)
plat prv proto, e vlastn vektory ji i tvo ortonormln basi a tedy
hijj i = ij :
(16.12)
Funkce normlnch opertor. Rozklad do projektor
f=
X
i
i pi
(16.13)
umouje denovat opertor F (f ) pro jakoukoliv funkci F () denovanou
na spektru pedpisem
X
F (f ) = F (i )pi :
(16.14)
Cvi en. Pro F (x) = xn , F (x) = ex je to v souladu s dvjmi denicemi.
Zopakujte!
238
Jinou zajmavou funkc je odmocnina z matice. Popite podrobn jej
konstrukci. Zajimaj ns hlavn reln odmocniny ili ppad tzv. positivn
denitnch, reln
ch symetrick
ch matic (jejich spektrum sestv pouze
z positivnich hodnot).
Odmocnina z matice je pmo nezbytn pi prci teba s tzv. vcerozmrn
mi gaussovsk
mi integrly (tzn. nap. integrl z funkce exp(;xT Ax)
pop. jet dle vynsoben njak
m polynomem). Znte-li ji metody vcerozmrn integrace (Fubiniovu vtu a vtu o substituci { mimochodem
jak zn pslun linern algebraick zjednoduen verse tchto vt, vte?),
spotte tyto integrly.
lohy o adjunkci a transposici.
1. Nech% f : V ! V na obyejnm prostoru bez skal
rnho souinu m
vi
basi ~v1 : : : ~vn matici A. Urete matice transponovanho a adjungovanho zobrazen vi t e basi.
2. $ete minulou lohu v ppad, je-li zad
n skal
rn souin b na V .
3. Nech% f : E n ! E n je d
no matic A v njak basi ~v1 : : : ~vn 2 E n ,
kde ~vi = (c1i : : : cni )T . Potom du
ln zobrazen f 0 m
vi stejn basi
matici (peme-li vektor v dy vpravo, i kdy je z du
lu identikujeme
E n = (E n )0 ) G;1 AT G, kde G = CT C.
een. Otzky prv lohy jsou nekorektn formulovny. V druh pime
(~v1 : : : ~vn ) = (~e1 : : : ~en )C
(16.15)
pomoc matice pechodu C od njak ortonormln base ~ei (tj. b(~ei ~ej ) =
ij ) k basi zadan. Potom m f vi basi f~ei g matici C;1AC a f m vi
tto basi matici C A (C;1 ) . Konen vi basi f~vi g m f matici
CC A (C;1) C;1 = GA G;1 (16.16)
kde G = CC je tzv. Grammova matice. (Setkme se s n i jinde.)
16.1 Fyzik ln veliiny v kvantov mechanice
Pi pechodu od klasick teorie ke kvantov nahradme fysikln veliiny
vhodn
mi linernmi opertory, inkujcmi na Hilbertov prostoru (linern prostor se skalrnm souinem) stav (obvykle nekonenrozmrnm prostoru komplexnch funkc* jde o funkce na R 3 , studujeme-li pohyb stice ve
16.1. FYZIKLN VELIINY V KVANTOV MECHANICE
239
tech rozmrech). Tak napklad v kvantov mechanice jedn stice pohybujc se v jednom rozmru mme hermitovsk (aby vlastn sla byla reln
a tedy miteln) opertory x p s komutan relac
'x p] = ih@ (16.17)
kter pipout interpretovat opertor x jako nsoben dan funkce (jde
o prostor funkc R ! C ) funkc x a opertor p jako ;ih@ d=dx (v takovm
ppad mluvme o souadnicov representaci).
Podotknme, e funkci lze Fourierovou transformac pevst do hybnostn representace, chpat funkci jako funkci promnn p a opertor p
representovat jako nsoben dan funkce funkc p a opertor x jako ih@ d=dp.
Ovte, e oba tyto oper
tory jsou hermitovsk v obou representacch.
Zatmco v klasick fysice mly vechny veliiny konkrtn hodnotu, v kvantov mechanice lze o pesn hodnot mluvit pouze v ppad, e systm se
nachz ve stavu, kter
je vlastn funkc danho opertoru.
Tak napklad, hledme-li (v souadnicov representaci) vlastn stavy
opertoru polohy (vlastnmu slu kejme x0 ), m platit
8x xx0 (x) = x0x0 (x)
(16.18)
z eho dostvme po vydlen x0 (x), e funkce x0 mus b
t vude (pro
vechna x) nulov, vyjma bodu x = x0 . Takovou funkci lze tedy pst
x0 (x) = hxjx0 i = (x ; x0)
(16.19)
a nelze ji nsobit takov
m initelem, aby mla jednotkovou normu. Jde toti
o ppad spojitho spektra (vlastn slo nab
v hodnot ze spojitho oboru),
a tak musme podmnkou v
e nahradit vztah pro ortonormlnost base
hijj i = ij :
(16.20)
Podobn, vlastn funkc psluejc vlastnmu slu p0 opertoru p je rovinn vlna2
p0 (x) = hxjp0i = p 1 exp(ip0 x=@h)
(16.21)
2h@
a tyto vlny mohou poslouit jako spojit base prostoru stejn dobe, jako
base vektor jx0 i. Ortonormlnost tto base a relace plnosti pro ob base
zapeme jako
hpjp0 i = (p ; p0) 1 =
Z1
;1
p
jxidxhxj =
Z1
;1
jpidphpj:
(16.22)
Kdybychom nepipsali jmenovatel 20h, museli bychom napsat 20h do jmenovatele
v relaci plnosti pro jpi-basi.
2
240
Heisenbergova relace neuritosti
(]) Mluvme o stedn hodnot dan veliiny F ve stavu ji (normovanm,
hji = 1) jako o
hF i~ = b(F~ ~ ) = hjFji:
(16.23)
Neuritost veliiny F (ve stavu , tento index budeme dle vynechvat)
mjme na mysli3
q
2F = h(F ; hF i)2 i:
(16.24)
Ujasnte si, e 2F = 0 je pr
v kdy je ji vlastnm vektorem F.
Ptejme se nyn, zda mohou dv (reln) fysikln veliiny dan (hermitovsk
mi) opertory F G nab
vat spolen pesn
ch hodnot, a hned si
odpovzme: pokud komutuj, je mon vytvoit basi celho V ze spolen
ch
vlastnch vektor. V opanm ppad je
Fji = f ji Gji = gji (FG ; GF)ji = (fg ; gf )ji = 0 (16.25)
mon nalzt spolen vlastn vektory jen ty, kter jsou navc vlastnmi vektory komuttoru 'F G] psluejc nulovmu vlastnmu slu. Pesnj vztah
pro neuritosti nm poskytuje
Heisenbergv princip neur itosti. Podle nho je pro hermitovsk
F G
1 jh'F G]ij (16.26)
2
co m napklad nsledujc dsledek, pejdeme-li do nekonendimensionlnch prostor:
Pro opertory x p plat 'x p] = ih@ , stedn hodnota tohoto komuttoru
je vdy ih@ , a tak
2x 2p h@2 :
(16.27)
2F 2G
Poznamenejme, e rovnost nastv pro vlnovou funkci ve tvaru
1
ip
x
0
2
(16.28)
hxji = c exp ; 42x2 (x ; x0 ) + h@
Gaussovy kivky, tedy pro tzv. minimalisujc vlnov balk.
3
Pi ten literatury se neleknte, je-li neur itost naz
vna stedn kvadratickou
odchylkou, dispers nebo rozptylem (poslednmi dvma pojmy se spe naz
v tverec
na neur itosti), a e se zna teba F .
16.2. PROSTOR FOURIEROVCH AD
241
Pro dkaz (jsme opt v konen dimensi) si uvdomme, e opertory
F0 = F ; hF i G0 = G ; hGi
(16.29)
maj stejn komuttor 'F0 G0 ] = 'F G] dky bilinearit komuttoru a faktu, e slo hF i apod. komutuje se v+m. Upravujme: prvn nerovnost je
Cauchyova, Im zde zna imaginrn st, v pedposledn prav uijeme
samoadjungovanost F G a v posledn rovnost komuttor.
2F 2G b(F0 G0 ) Im b(F0 G0 ) =
(16.30)
= 21 b(F0 G0 ) ; b(G0 F0 ) = 21 b((F0 G0 ; G0 F0 ) ) = (16.31)
(16.32)
= 12 jb('F G] )j :
16.2 Prostor Fourierovch ad
: : : Pot, co na jednom semini skonila Weylova pednka o Riesz-Fische-
rov vt4 se Hilbert dajn Weyla zeptal: Weyle, eknete mn, prosm, co
to je Hilbertv prostor? J jsem tomu nerozuml.!
Popovdme si o prostoru komplexnch funkc periodick
ch s periodou
2 a se skalrnm souinem
Z
~
b(f ~g) = f (x)g(x)dx
(16.33)
;
splujcch njakou podmnku rozumnosti, konkrtn integrovatelnost v kvadrtu, tj.
Z
jf (x)j2 dx < 1
(16.34)
;
(tmito detaily vs budou zatovat pt rok dosti). Uvame, e opertor
hybnosti P = ;id=dx je5 hermitovsk
, protoe (podle metody per partes,
hranat zvory se tentokrt anuluj dky periodinosti)
Z
;
d f )g dx =
(;i dx
Z
;
d g) dx:
f (;i dx
(16.35)
4
O isomorfnosti dvou prostor se skalrnm sou inem: prostoru posloupnost s kone nou sumou kvadrt absolutnch hodnot len a prostoru funkc na intervalu s kone n
m
integrlem tverce absolutn hodnoty { ztotonn
ch v Lebesgueov smyslu.
5
Pro srovnn: na prostoru polynom je tento opertor nilpotentn, co je jako nebe a
dudy.
242
Opertor P m vlastn funkce odpovdajc celmu vlastnmu slu p
(16.36)
p (x) = p1 exp ipx
2
kter jsme normovali (nsobili faktorem, zaruujcm jednotkovou normu).
(Kad funkce P, jmenovit jeho tverec, m tyt vlastn vektory jako P.
tverec P2 bychom museli uvaovat v ppad reln
ch prostor a vidme,
e by podprostory odpovdajc vlastnmu slu p2 byly dvojrozmrn. Komplexn v
klad je fundamentlnj!.)
Tyto vlastn funkce meme uvat jako basi prostoru funkc. Pedtm
jsme funkce vyjadovali jako integrln linern kombinaci vektor (nespoetn spojit) base vlastnch vektor unitrnho opertoru! eix (s vlastnmi
sly { komplexnmi jednotkami) nebo hermitovskho opertoru x s vlastnmi
sly x0 2 (; i. Vyjden funkce ve spojit basi lze pst
(x) =
Z
;
(x0 )(x ; x0 )dx0 (16.37)
kde (x0 ) hraj roli koecient linern kombinace a x0 (x) = (x ; x0 ) jsou
funkce tvoc basi. (Delta-funkce je vyloena v kapitole o dualit.)
Takovto vyjden ovem pojmem Hilbertova prostoru jet sprvn formalisovna nejsou* to vyaduje dal matematick konstrukce jako je nap.
tzv. osnaonnoje prostranstvo! I. M. Gelfanda.
V ei bracket lze pst relace plnosti a vztahy mezi basemi
1=j=
X
p2Z
jpihpj =
Z
;
ipx
jxihxjdx hxjpi = pe = hpjxi:
2
(16.38)
16.3 Kvantov harmonick oscil tor
Tomuto problmu je poprvu vnovno mnoho pozornosti v mnoh
ch knihch* nejen proto, e na mnoh situace lze nahlet v piblen, kdy je sla
mrn v
chylce (tedy potenciln energie roste kvadraticky s v
chylkou),
ale i proto, e identick loha se objevuje v kvantov teorii pole, vetn
(super)strun, a proto, e m svoji velkou krsu a jednoduchost.
Mluvme o prostoru komplexnch funkc na reln ose (dostaten slun
se chovajcch, integrovateln
ch v kvadrtu, v nekonenu jdoucch k nule i
se svoj prvou derivac atd.), v nm mjme opertory souadnice a impulsu
d '^x p^] = i@h
x^ p^ = ;i@h dx
(16.39)
16.3. KVANTOV HARMONICK OSCILTOR
243
(aby pbyl text lpe vyuiteln
i fysikln, vkldme vude konstanty @h k m a
! = k=m), o nich si ten me mysliti, e jsou rovny jedn* pak vyhlej
vzorce zvlt elegantn.
Na tomto prostoru mjme skalrn souin
hgjf i = b(~f ~g) =
Z1
;1
f (x)g(x)dx:
(16.40)
Hledme vlastn sla a vektory hamiltoninu kvantovho osciltoru, to
jest opertoru energie (k = m!2 je tuhost!, m je hmotnost stice)
2
H^ = 2p^m + 12 kx^2 :
(16.41)
Bez dlouh
ch e, zanme nejefektivnj cestu: vme, e opertory x^ a
p^ jsou hermitovsk (v dkazu hermitovosti p^ tentokrt vypadnou hranat
zvorky proto, e funkce spolu se sv
mi prv
mi derivacemi jdou v nekonenu
k nule)* jako vdy, kdy se nm vyskytne v
raz tvaru a2 + b2 , je i te- v
hodn
ut pro anal
zu komplexn kombinace a + bi a ; bi.
Zave-me tedy anihilan opertor c^ a k nmu adjungovan
krean
opertor c^ vztahy
r 1
r 1
c^ = 2m@h! (m!x^ + ip^) c^ = 2m@h! (m!x^ ; ip^):
(16.42)
Pomoc bilinearity komuttoru lehce ovte, e '^c c^ ] = ^1 (16.43)
a snadn
m roznsobenm6 schvlte, e
H^ = (^c c^ + 12 )@h!:
(16.44)
^ c^ ] = @h!c^ 'H
^ c^] = ;@h!c^ (16.45)
Pipravme si jet komuttory 'H
kter lehce spotete, znte-li rovnost, ji lehce zkontrolujete rozepsnm
'AB C ] = A'B C ] + 'A C ]B:
(16.46)
Mme-li vlastn vektor ji opertoru H^ odpovdajc energii (vlastnmu
slu E )
H^ ji = E ji
(16.47)
6
Pozor, (â + ^b)2 = a^2 + a^^b + ^ba^ + ^b2 6= a^2 + 2â^b + ^b2 , pokud a^ a ^b nekomutuj.
244
potom vektory c^ji, c^ ji jsou tak vlastn stavy H^ s energi E ; @h! resp.
E + h@ ! (uito roznsoben, fakt, e slo E komutuje se vm atd.):
^ c^] + c^H^ )ji = ;h@ !c^ji + cÊ ji = (E ; h@ !)^cji (16.48)
H^ c^ji = ('H
^ c^ ] + c^ H^ )ji = h@ !c^ ji + c^ E ji = (E + h@ !)^c ji: (16.49)
H^ c^ ji = ('H
Tyto rovnosti plat nesporn, avak tak mme poadavek, e vlastn slo
c^ c^ neme b
t zporn (a tedy vlastn slo H^ men ne h@ !=2), protoe
stedn hodnota opertoru c^ c^ v normovanm stavu ji
hjc^ c^ji = hji hji = 1
(16.50)
kter je pro vlastn vektor ji pmo rovna vlastnmu slu , je vlastn
tvercem normy vektoru c^ji.
een zhady zle v tom, e rovnosti v
e jsou splnny proto, e cel
vektor c^ji se rzem stane nulov
m, jdeme-li s energi pli nzko. Dovolen je jen takov spektrum energi, e pro njak
vektor j0i (kejme mu
vakuum) plat
(16.51)
c^j0i = 0 ) c^ c^j0i = 0 ) H^ j0i = 21 @h!j0i:
Jinak eeno, spektrum obsahuje hodnoty @h!=2 3@h!=2 5@h!=2 : : :, jsou ekvidistantn rozestavn a toho vyuil Stvoitel v kvantov teorii pole: kad
stav fotonu, stejn jako ostatnch boson, s danou velikost a smrem hybnosti a s danou polarisac, pedstavuje jeden osciltor a stupe hladiny (vlastn
slo opertoru c^ c^) udv poet foton v tomto stavu.
Nedvno zavedenou terminologi bychom mohli ci, e je vakuum cyklick
m vektorem kreanho opertoru. (^c n j0i tvo celou basi pro n = 0 1 2 : : : .)
To, e zkladn hladina (nula foton) nem nulovou energii, byl jist
jeden ze stimul k v
stavb supersymetrickch teori. Pokud si myslte,
e sta ci, e H^ = h@ !c^ c^ a zbavit se tak energie zkladnho stavu, vzte,
e potom nejde celkov energie pst jako objemov
integrl jej hustoty.
16.4 Hermitovy polynomy
Funkce vakuum! m v souadnicov representaci tvar (vracme se opt
k znaen obvyklmu v matematice)
2!
1
hxj0i = 0 (x) = 1=4 1=2 exp ; 2xx2 (16.52)
xj
j
16.4. HERMITOVY POLYNOMY
kde xj je jednotkov dlka
245
s
h@
xj = m!
(16.53)
Vidme, e k-nsobn
m psobenm kreanho opertoru (kombinace x a
d=dx) se k exponencile pinsob polynom k-tho stupn.
To ns vybz k tomu, abychom exponenciln faktor vytkli (dle stavme
k = m = ! = xj = 1) a denovali skalrn souin na prostoru polynom
(F = f exp(x2 =2))
b(F~ G~ ) =
Z1
;1
F (x)G(x)e;x2 dx:
(16.54)
Hermitovy polynomy Hn odpovdajc n-krt vzbuzenmu vakuu (n fonon
ili vibranch kvant) se obvykle normuj tak, e
b(Hm Hn) = mnn! 2np:
(16.55)
Pak lze pst jednoduch
vzorec (s konvennm znamnkem)
dm e;x2 :
Hm(x) = (;1)n ex2 dx
m
(16.56)
Abychom zjistili, kter
opertor G m za sv vlastn funkce Hermitovy polynomy, sta si uvdomit, e tento opertor zskme tm, e polynom nsobme exp(;x2 =2), m ho pevedeme na vlnovou funkci harmonickho osciltoru, zapsobme na toto hamiltoninem (z minul sekce) a opt dlme
exp(;x2 =2), m vlnovou funkci opt pevedeme na polynom. (Pamatujme,
e H^ = 1=2(x2 ; d2 =dx2 ).)
2
G = exp(x2 =2)H^ exp(;x2=2) = 12 (; dxd 2 + 2x dxd + 1)
(16.57)
Takov
opertor G m tedy vlastn sla 1=2, 3=2, 5=2 atd. (Abychom mli
vlastn sla 0 1 2, sta vynechat jednotku v zvorce.)
Tvar nkolika prvnch Hermitov
ch polynom
H0 = 1 H1 = 2x H2 = 4x2 ; 2
(16.58)
H3 = 8x3 ; 12x H4 = 16x4 ; 48x2 + 12:
Plat rekurentn vzorec
Hn+1 ; 2xHn + 2nHn;1 = 0
(16.59)
a polynomy lze zskat jako koecienty MacLaurinovy ady vytvoujc funkce
e;t2 +2tx =
1
X
n=0
n
Hn (x) nt ! :
(16.60)
246
16.5 Legendreovy polynomy
V ppad Legendreov
ch polynom uvaujeme polynomy na h;1 1i se skalrnm souinem
Z1
~
hgjf i = b(f ~g) = f (x)g(x)dx:
(16.61)
;1
Na tomto prostoru ns zajm Legendrev opertor (derivujte, vynsobte
x2 ; 1 a opt derivujte)
2
L = (x2 ; 1) dxd 2 + 2x dxd = dxd (x2 ; 1) dxd :
(16.62)
Po substituci x = cos nabude opertor tvaru
L = ; sin1 dd sin dd :
Ukeme, e je hermitovsk
(L = L).
(16.63)
R 1 ( d (x2 ; 1) d f (x))g(x)dx =
;1 dx
dx R
R
= ; 1 (x2 ; 1)( d f (x)) d g(x)dx = 1 f (x) d ((x2 ; 1) d g(x))dx
;1
dx
dx
;1
dx
dx
(16.64)
Pouili jsme dvakrt per partes. Hranat zvory byly tentokrt nulov proto,
e obsahovaly initel (x2 ; 1), kter
nab
v v bodech 1 nuly (alespo pokud
jsou f g polynomy).
Vlastnmi vektory jsou Legendreovy polynomy, obvykle normovan podle
vztahu
dn '(x2 ; 1)n ]:
Pn (x) = 2n 1 n! dx
(16.65)
n
Prvnch pr polynom m tvar (jsou pepoteny i na kosiny nsobk po
substituci x = cos )
P0 = 1 P1 = x = cos P2 = 12 (3x2 ; 1) = 41 (3 cos 2 + 1)
P3 = 12 (5x3 ; 3x) = 81 (5 cos 3 + 3 cos ):
(16.66)
To, e jsou vlastnmi vektory, je vidt z toho, e jsou na sebe kolm. Provdme-li ortogonalisaci 1 x x2 : : :, vyjdou nm jednoznan (a na koecienty)
vektory. Na druh stran, hledme-li mezi polynomy n-tho stupn vlastn vektor L, kter
(protoe vlastn) je kolm
na vechny polynomy nich
stup, vyjdou tak jednoznan.
16.5. LEGENDREOVY POLYNOMY
247
Kolmost ovte nsobn
m provedenm per partes na v
razu
Z 1 dn
m
b(Pm Pn) = konst dxn (x2 ; 1)n dxd m (x2 ; 1)m dx:
;1
(16.67)
Mimo jin, pro polynomy normovan zpsobem v
e, plat vztah ortogonality (n + 1=2 d dost potn)
b(Pn Pm ) = n+mn1 :
2
(16.68)
Pesto ns zajm spektrum Legendrinu (nsobme koecientem = 2n n!).
d (x2 ; 1) dnn+1
L(P
x2 ; 1)n =
n )(x) = dx
dx +1n(+2
n
+1
d
d
2
n
2
= 2n+1
x dxn+1 (x ; 1) + (x ; 1) dxn+2n+1(x2 ; 1)n =
(16.69)
= dxd n+1 (x2 ; 1) dxd (x2 ; 1)n ; 2nx dxd n+1 (x2 ; 1)n ;
n 2
n+1
n+1 2
d
d
d
n
2
n
n
;n(n + 1) dxn (x ; 1) =n dxn+1 2nx(x ; 1) ; 2nx dxn+1 (x ; 1) ;
;n(n + 1) dxd n (x2 ; 1)n = n(n + 1)Pn (x)
Nkolikrt byla uita Leibnizova formule pro N -tou derivaci souinu
(uv)(N ) = u(N ) v + Nu(N ;1) v0 + N (N2; 1) u(N ;2) v00 + : : : + uv(N ) (16.70)
analogick binomick vt. Tak napklad v posledn prav polome v prvm lenu N = n + 1, u = (x2 ; 1)n , v = 2nx a mme (leny, kde se v
derivuje vce ne jednou, jsou nulov)
dn+1 2nx(x2 ; 1)n = 2nx dn+1 (x2 ; 1)n +2n(n +1) dn (x2 ; 1)n : (16.71)
dxn+1
dxn+1
dxn
Posledn napsan
len 2n(n + 1) se trochu odete s n(n + 1) a pedposledn
vyru s pedposlednm v pravch. Prostedn pravu pi v
potu spektra
kontrolujte pozptku, pi piazen u = d=dx(x2 ;1)n , v = (x2 ;1), N = n+1.
Tentokrt jsou nulov leny, kde se v derivuje alespo tikrt.
Vidme, e Pn je vlastn funkce psluejc vlastnmu slu n(n + 1).
Bez dkazu konstatujme na zvr jet, e polynomy lze potat podle
rekursivnho vzorce
(n + 1)Pn+1 ; (2n + 1)xPn + nPn;1 = 0
(16.72)
nebo jako koecienty Taylorova rozvoje vytvoujc funkce
(1 ; 2tx + t2 );1=2 =
1
X
n=0
Pn(x)tn
(16.73)
248
p
(konverguje7 pro jtj < x x2 ; 1), z toho plyne, e po dosazen x =
P tn, a tud
1 dostaneme nalevo 1=(1 ; t), co je geometrick ada 1
n=0
8n Pn(1) = 1, e jejich denici lze rozepsat
(2n)!
(2
n
;
2)!
1
n
n
;2
(16.74)
Pn(x) = 2n n! n! x ; n (n ; 2)! x + : : :
nebo ve vyjden x = cos !
!
1
X
1
2
i
2
n
;
2
i
Pn (cos ) = 4n i
(16.75)
n ; i cos(n ; 2i):
i=0
Pevrcenou hodnotu vzdlenosti dvou bod o sfrick
ch souadnicch (r 0 0)
a ( ) lze vyjdit jako
(r2 ; 2r cos + 2 );1=2
=
1
X
n=0
n
Pn (cos ) rn+1
(16.76)
pro < r* pro > r ve vzorci vymnme r a .
Krokem ke sfrick
m funkcm jsou pidruen Legendreovy polyno-
my
po dosazen
dm P (x)
Plm (x) = (1 ; x2 )m=2 dx
m l
(16.77)
dl+m (x2 ; 1)l
(16.78)
Plm (x) = 2l 1 l! (1 ; x2 )m=2 dx
l+m
kter pro kad m = 0 1 : : : l (vimnte si, e ve funguje i pro m = ;l ;l +
1 : : : ;1) tvo ortogonln basi. Vztah ortogonality je
Z1
+ m)! :
Plm(x)Plm0 (x)dx = ll0 2l 2+ 1 ((ll ;
(16.79)
m)!
;1
Jsou vlastnmi vektory (pslun vlastnmu slu l(l + 1)) opertoru
d2 + 2x d ; m2 :
(16.80)
(x2 ; 1) dx
2
dx x2 ; 1
Vtinou se nsob urit
m faktorem. Tzv. normovan pidruen Legendreovy polynomy jsou
1 (l ; m)! 1=2
Plm =
(l + 2 ) (l + m)!
Plm:
(16.81)
7
Pro jxj 1, co je nap. vdy pro x = cos , konverguje vdy je-li jtj < 1
16.5. LEGENDREOVY POLYNOMY
249
Jsou dobe denovny pro vechna m = ;l ;l + 1 : : : l ; 1 l a
m
l ;m = (;1) Plm :
P
(16.82)
Sfrick funkce
Asi jste u pnkdy slyeli o tom, e velikost vektoru orbitlnho momentu
hybnosti je l(l + 1)@h. Nedvno jsme nali opertor s vlastnmi sly l(l +1).
Ano, opertor
2
L~^ = L^ xL^ x + L^ y L^ y + L^ z L^ z
(16.83)
m vlastn sla l(l+1)@h2 , protoe ho jist
m zpsobem lze pevst na opertor
Legendrev.
Uvaujme tedy prostor funkc na jednotkov sfe (to jest mnoina bod,
kde r = 1), jin
mi slovy { zavedeme sfrick souadnice
x = r sin cos y = r sin sin z = r cos (16.84)
a dumejme o prostoru vech funkc 2 (0 ), 2 (0 2), na nm denuje-
me skalrn souin vztahem
Z
Z
Z 2
b(~f ~g) = sfra d` fg = 0 sin d 0 d f ( )g( )
(16.85)
v nm jsme vyjdili element prostorovho hlu d` = sin d d tak, aby
byl invariantn vi rotaci souadnic.
Na tomto prostoru mjme dva opertory
d L = ; 1 @ sin @ ; 1 @ 2 M = ;i d
(16.86)
sin @
@ sin2 @2
kter komutuj (jedin, s m me @=@ nekomutovat, je f (), a ta se zde
nevyskytuje). M m vlastn sla m 2 Z a L m vlastn sla l(l + 1),
l = 0 1 2 : : : a spolen vlastn funkce Ylm budeme naz
vat kulov neboli sfrick funkce s momentem hybnosti l a jeho tet slokou m. slo
m nab
v hodnot ;l ;l + 1 : : : l ; 1 l.
Normovan kulov funkce maj tvar
Ylm ( ) = (2);1=2 Plmeim
(16.87)
a nkdy se mluv i o nenormovan
ch
6lm = Plm (cos )eim :
(16.88)
250
Uvedeme zde tvar nkolika prvnch kulov
ch funkc, tvocch ortonormln systm vi zadanmu skalrnmu souinu (funkce Yl ;m je rovna
(;1)m Y lm 8 ):
b(Ylm Yl0m0 ) = ll0 mm0
(16.89)
r
r
(16.90)
Y00 = p1 Y10 = 43 cos Y11 = 83 sin ei
4
r 5 3
r 15
1
2
Y20 = 4 2 cos ; 2 Y21 = 8 sin cos ei
(16.91)
r 15
r 7 5
1
2
2
i
Y22 = 4 2 sin e Y30 = 4 2 cos3 ; 23 cos (16.92)
r 21
r 105
1
1
2
i
Y31 = 4 4 sin (5 cos ; 1)e Y32 = 4 2 sin2 cos e2i (16.93)
r 35
r 9 35
1
15
3
3
3
i
4
2
Y33 = 4 4 sin e Y40 = 4 8 cos ; 4 cos + 8 (16.94)
r
(16.95)
Y41 = 34 45 sin (7 cos3 ; 3 cos )ei r
Y42 = 34 85 sin2 (7 cos2 ; 1)e2i (16.96)
r 35
r 35
3
3
3
3
i
(16.97)
Y43 = ; 4 4 sin cos e Y44 = 8 8 sin4 e4i:
Kdy jsme ji zabrousili do prostor funkc vce promnn
ch, nememe neci, e nejpirozenj zpsob, jak zskat spoetnou basi polynom!
na prostoru funkc na kartzskm souinu interval, je uvaovat spolen
vlastn vektory dvou opertor psobcch na dv rzn promnn (takov
komutuj).
Tak napklad na prostoru funkc
f ( x) : (; i h;1 1i ! C
(16.98)
existuj dva komutujc opertory
2
@ L = (x2 ; 1) d + 2x d
P = ; @
dx2
dx
(16.99)
2initel (;1)m nm zaji&uje platnost vech vzorc i pro m < 0 a ti, kte denuj
kulov funkce pro zporn m bez (;1)m , tak in trochu krtkozrace.
8
16.6. EBYEVOVY, LAGUERROVY A DAL POLYNOMY
251
a za basi prostoru funkc lze vzt spolen vlastn vektory obou opertor,
souiny dvou funkc
fkn( x) = eikPn (x):
(16.100)
16.6 ebyevovy, Laguerrovy a dal polynomy
Volme opt interval h;1 1i, tentokrt ovem se skalrnm souinem
Z1
f (x)g (x) p dx 2 1;x
;1
kter
po substituci x = cos , 2 h0 i dv
b(~f ~g) =
b(~f ~g) =
Z
0
f ()g()d
(16.101)
(16.102)
a je tedy jak
msi skalrnm souinem na plkrunici.
Uvame diferenciln opertor9
p
d p1 ; x2 d = (1 ; x2 ) d2 ; x d :
C7 = 1 ; x2 dx
dx
dx2 dx
(16.103)
Vtami o substistuci nebo vyjdenm
d
d
dx = ; sin d
ihned usoudte, e v promnn m tvar ;d2 =d2 .
(16.104)
Je samoadjungovan
m opertorem, protoe
7 g ~f ) = R;1 1 f p1 ; x2 dxd p1 ; x2 dxd g dx =
b
(
C~
i1 R p
hp
= f 1 ; x2 dxd g ;1 ; ;1 1 1 ; x2 dxd f dxd g dx =
h p 2d
i1 R p
p
f 1 ; x dx g ; g 1 ; x2 dxd f ;1 + ;1 1 dxd 1 ; x2 dxd f g dx =
= b(~g C7~f )
(16.105)
hranat zvorky vymizpv ppad, e funkce f g maj konenou derivaci
v bodech ;1 1, jeliko 1 ; x2 je zde nulov.
9
p
Nejprve derivuji, pak nsobm 1 ; x2 , pak : : :
252
Vlastnmi vektory jsou ebyevovy polynomy (prvnho druhu) psluejc vlastnmu slu ;n2
Tn(x) =(1 ;!x2 );1=2 dxdnn (1 ; x2 )n+1!=2 = cos(n arccos x) =
= xn ; n2 xn;2 (1 ; x2 ) + n4 xn;4 (1 ; x2 )2 ; + : : :
(16.106)
Dalmi linern nezvisl
mi vlastnmi vektory jsou
polyp ebyevovy
2
nomy druhho druhu (jde o polynomy nsoben 1 ; x )
Un(x) = sin(n arccos x)
(16.107)
tvoc dal ortogonln basi prostoru funkc.pVimnte si, e i v ppad,
kdy ob funkce f g maj tvarppolynom krt 1 ; x2 , tak hranat
p zvorky
2
vymiz, ponvad je-li f = F 1 ; x pro polynom F a g = G 1 ; x2 pro
polynom G, je
d f = ; p Fx + ! d g = ; p Gx + ! (16.108)
dx
1 ; x2 F dx
1 ; x2 G
kde symbolp!F a !G oznauje v
razy, kter jsou nulov pro x = 1 a (nebo+
nsobeny 1 ; x2 ) v hranat
ch zvorkch tedy vymiz. Zbyl leny daj
p
; x 1 ; x2'F G ; F G]1;1
(16.109)
a vymiz tedy tak. (Pozor, podmnka samoadjungovanosti nebude
p splnna
v kombinovanm ppad, tj. pokud f bude polynom a g bude G 1 ; x2 .)
Uvedeme jet tvar nkolika prvnch ebyevov
ch polynom:
p
p
U0 = 0 Up1 = 1 ; x2 U2 = 2x 1 p
; x2 2
3
2
U3 = (4x ; 1) 1 ; x U4 = (8x ; 4x) 1 ; x2 : : :
T0 = 1 T1 = x T2 = 2x2 ; 1 T3 = 4x3 ; 3x
T4 = 8x4 ; 8x2 + 1 T5 = 16x5 ; 20x3 + 5x
T6 = 32x6 ; 48x4 + 18x2 ; 1 T7 = 64x7 ; 112x5 + 56x3 ; 7x
T8 = 128x8 ; 256x6 + 160x4 ; 32x2 + 1
T9 = 256x9 ; 576x7 + 432x5 ; 120x3 + 9x
(16.110)
Pro plnost zde jet bez dkaz uvdme rekurentn vzorec (stejn
pro T i
U)
Tn+1 ; 2xTn + Tn;1 = Un+1 ; 2xUn + Un;1 = 0
(16.111)
16.6. EBYEVOVY, LAGUERROVY A DAL POLYNOMY
253
a tzv. vytvoujc funkce
1
1
X
1
Un+1 (x) tn : (16.112)
1 ; t2 = X
jnj
p
T
(
x
)
t
=
n
2
2
1 ; 2tx + t n=;1
1 ; 2tx + t n=0 1 ; x2
Shrme jet vztahy ortogonality
R 1 T (x)T (x) p dx = ( + )
R ;1 1 Um (x)Un (x) p1dx;x2 = 2 (mn ; ;m n ):
(16.113)
;m n
n
;1 m
1;x2 2 mn
Nejlep aproximace jsou pomoc ebyevovch polynom
ebyevovy polynomy hraj dleitou lohu v teorii aproximac (funkc) polynomy. Polynom p nazveme nejlep aproximac dan spojit funkce f na
intervalu ha bi v td polynom Pn stupn nejv
e n, pokud
inf kf ; qk
q2Pn
"
#
kf k = tmax
jf (t)j
2ha bi
(16.114)
se realisuje prv pro q = p.
ebyevova vta. Polynom nejlep aproximace je prv jeden. Dle,
je-li p polynomem nejlep (n-t) aproximace funkce f , tak existuj body
a < a1 < a2 < : : : < an < b takov, e sla
i := f (ai) ; p(ai )
(16.115)
stdaj znamnka pro i = 1 : : : n a 8i i = kf ; pk.
Dleit dsledek vty. Nejlep aproximac funkce
f (x) = xn
(16.116)
v prostoru Pn;1 je prv ten polynom q 2 Pn;1 , pro nj je
xn ; q(x)
(16.117)
odpovdajcm nsobkem Tn (x). Jin
mi slovy, mezi vemi polynomy n-tho
stupn se stejn
mi koecienty u xn je prv (nsobek) Tn (x) nejlep aproximac nulov funkce.
Cvi en. Pokuste se dok
zat posledn dsledek, eventu
ln i 'ebyevovu
vtu.
254
Laguerrovy polynomy
Ji jen telegracky si ekneme o Laguerrovch polynomech
Ln
(x) = ex
!
n
dn (xn e;x ) = X
(;1)i ni ni!! xi dxn
i=0
(16.118)
kter tvo ortogonln basi 10 vi skalrnmu souinu na intervalu tentokrt
(0 1) (initel e;x zaji+uje konvergenci)
b(~f ~g) =
Z1
0
e;xf (x)g(x)dx:
Tvar nkolika prvnch je
L0 = 1 L1 = 1 ; x L2 = 2 ; 4x + x2 L3 = 6 ; 18x + 9x2 ; x3
L4 = 24 ; 96x + 72x2 ; 16x3 + x4 L5 = 120 ; 600x + 600x2 ; 200x3 + 25x4 ; x5
daj se potat podle rekurentnho vzorce
Ln+1 ; (2n + 1 ; x)Ln + n2 Ln;1 = 0
a vytvoujc funkce je
1
exp';xt=(1 ; t)] = X
tn jtj < 1:
L
(
x
)
n
1;t
n!
n=0
(16.119)
(16.120)
(16.121)
(16.122)
Funkce Ln jsou vlastnmu slu n psluejc vlastn funkce hermitovskho
opertoru
d2 + (x ; 1) d
; x dx
(16.123)
2
dx
a jsou tedy ortogonln.
Pro kad m = 0 1 2 : : : lze zskat jeden systm ortogonlnch polynom11
Lmm Lmm+1 Lmm+2 : : :, tzv. pidruen Laguerrovy polynomy (pro ppad
m = 0 dostvme pmo pvodn Laguerrovy polynomy)
Lmn =
10
11
!
;m
(;x)i dm L (x) = (;1)m n! nX
n
n
dxm
i!
i=0 m + i
(16.124)
Pomoc nich se vyjaduj radiln sti vlnov
ch funkc atomu vodku. q
Aby systm byl Lq0 Lq1 : : :, uvaj nkte autoi jinou denici: Lqp = (;1)q dxd q Lp+q (x).
16.7. DIAGONALISACE KONVOLUNHO OPERTORU
255
maj vytvoujc funkci
1
n;m
exp';xt=(1 ; t)] = X
m (x) t
L
n
(;1)m (1 ; t)m+1 n=m
n!
a vztah ortogonality je
(16.125)
Z1
3
m
m
(16.126)
b(Ln Ln0 ) = 0 xm e;xLmn (x)Lmn0 (x)dx = (nnn;0 (nm!))! :
Funkce Lmn (x) jsou vlastnmu slu n ; m psluejc charakteristick funkce
opertoru
2
d + (x ; m ; 1) d :
; x dx
2
dx
(16.127)
Zjistte, kterak v tomto ppad hodnota hranatch z
vorek zajist hermitovost
tohoto oper
toru.
Na z
vr se pokuste vytvoit dal hermitovsk oper
tory a skal
rn souiny,
vedouc k denicm dalch td ortogon
lnch polynom. Mo n
dojdete k z
vru, e uveden pklady jsou opravdu tmi nejhezmi.
Tak Besselovy funkce jsou vlastnmi funkcemi uritho opertoru a
tvo jist ortogonln systmy funkc, ortogonln vak nikoli proto, e systm obsahuje vlastn funkce odpovdajc rzn
m vlastnm slm, ale naopak obsahuje funkce Jn (x), ili rzn (ve smru osy x) roztaen funkce
psluejc jednomu vlastnmu slu n , a tak se vymykaj zde diskutovanmu
tmatu, stejn jako hypergeometrick funkce (resp. Jacobiho polynomy, kter z nich zskme jen uritou transformac parametr) a kter
ch
jsou Legendreovy a ebyevovy polynomy specilnm ppadem pro zvltn
volbu parametr, a tak zjemce odkazujeme na etnou literaturu.
16.7 Diagonalisace konvolunho oper toru
Pipomeme na vod pojem charakteru zaveden
v odstavci duln grupa.
Nech+ G je konen Abelova grupa (mysleme teba pmo na Zp ). Vnome
G do formlnho linernho obalu nad G , tzn. do R G (tento prostor dle
zname symbolem L(G ) a jeho prvky jako fxg j g 2 G g* samotn prvky G
potom ztotonme s fga j a 2 G g). Zobrazen translace! ( posunu!)
fa 7! a ; gg : G ! G
(16.128)
256
linern prodloume pedpisem
fxa j a 2 G g 7! f(Tg x)a = xa;g j a 2 G g
(16.129)
na opertor Tg denovan
na celm L(G ).
Definice. Libovoln
opertor na L(G ), kter
je linern kombinac ope-
rtor posunu, nazveme konvolunm opertorem (konvoluc). Je-li
f=
X
g 2G
F (g)Tg (16.130)
nazveme funkci fF (g) j g 2 G g jdrem konvoluce f .
Poznmka. Pozdji budete v anal
ze zkoumat spojitou analogii tohoto
pojmu na G = R . Tam bude analogicky konvoluc funkc X a F funkce
(F " X )(t) =
Z1
;1
F (t ; s)X (s)ds
(16.131)
a tedy X 7! F " X bude konvolunm opertorem s jdrem F na vhodnm
prostoru funkc na R (piem samozejm vyvstanou ve srovnn s konenou grupou G nov technick problmy spojen s otzkou, jak jdra jsou
ppustn, aby uvaovan
opertor ml rozumn vlastnosti).
Nen tk nahldnout, e kad
konvolun opertor je normln (pokud
nerozumte, uijte rejstk nebo ignorujte) (emupak je asi rovna adjunkce
k Tg !?), take m smysl chtt ho diagonalisovat. Ve skutenosti { v dsledku komutovn vech translac { lze provst tuto diagonalisaci pro vechny
konvolun opertory najednou. Ne uvedenou vtu jsme ji jednou pouili
{ pi v
potu cirkulantu:
Vta. Nech+ T je konvolun opertor s jdrem F . Potom je T diagona-
lisovn v ortogonln basi vech charakter G a plat
T (') = Fb (')'
pro libovoln
charakter ', kde
Fb (') =
X
g 2G
'(g)F (g):
(16.132)
(16.133)
16.7. DIAGONALISACE KONVOLUNHO OPERTORU
257
Poznmka. Tato vta je zkladem celho matematickho oboru { tzv.
harmonick analzy. Viz teorii Fourierov
ch ad a Fourierov
ch transformac. Pinme nkolik dsledk:
Parsevalova rovnost. (N je poet prvk G .)
X
g2G
jF (g)j2 = N1
X b 2
F (') '2G 0
(16.134)
Sta si uvdomit, e pechodp od kanonick base k basi dan charaktery
normalisovanmi faktorem 1= N , je unitrnm zobrazenm.
Druh dsledek. O uit nsledujc rovnosti se jet zmnme v pod-
kapitole o tensorech a nezvisl
ch jevech. (Je to pouh skldn diagonlnch
matic.)
F1d
" F2 = Fc1 Fc2
(16.135)
Poznmka. Hez, vi G a G 0 symetrickou variantu Parsevalovy rov-
nosti dostanemepv nsledujc normalisaci. Ztotonme G i G 0 s aditivn
grupou sel fk= N k = 0 1 : : : N ; 1g. Pime tedy charaktery G ve tvaru
Pime
' (x) = exp(2ix) x = pk = pl :
N
N
X
' (x)F (x):
Fb (T ) () = p1
N x2G Bereme-li skalrn souiny
b(F G) = p1N Px2G F (x)G(x)
b(Fb Gb ) = p1N P2G 0 Fb ()Gb ()
p
(16.136)
(16.137)
(16.138)
0
(faktor 1= N je tu proto,
p aby pslun rovnomrn mra! na G a G
s vahou kadho bodu 1= N pela v limit ne v mru Lebesgueovu) m
Parsevalova rovnost tvar
kF k = Fb(T ) :
(16.139)
Pro N ! 1 pak pechzme k Fourierov transformaci, kde Parsevalova
rovnost m tvar
Z
Z jF (x)j2 dx = F^ ()2 d:
(16.140)
R
R
258
Jin normalisace (prvky G 0 uvaujeme zde opt celoseln)
X
'(g)F (g)
Fb (() (') = 1
N g2G
vede k variant
1 X jF (g)j2 = X Fb (() (')2 N
g2G
'2G 0
(16.141)
(16.142)
co je zase obvykl
a vhodn
tvar pro pechod (pi N ! 1 a peklovn
G obdobn jako nahoe, ale faktorem 1=N ) k teorii Fourierov
ch ad. Nalevo
potom vznikne integrl pes '0 1].
Harmonick anal
za je pkn
m pkladem postupn abstrakce matematickho oboru { kter
vznikl zkoumnm kmit! (teba strun hudebnch
nstroj) a nachz mnoh aplikace teba v elektrotechnice { a o nm je po
300 letech rozvoje s jistou nadszkou tak mono ci, e to je pouze! jist
speciln ppad diagonalisace opertoru { toti konvolunho opertoru { a
to vi basi dan vemi charaktery dan grupy. (~)
Kapitola 17
Kvadratick svt
17.1 Biline rn a kvadratick formy
Definice. Zobrazen na kartzskm souinu vektorov
ch prostor
F : V 1 V 2 : : : V n ! R =C
(17.1)
nazveme multilinernm (linern v kad promnn), pokud plat
F (~v1 + ~v10 ~v2 : : : ~vn) = F (~v1 : : : ~vn ) + F (~v10 ~v2 : : : ~vn )
F (~v1 ~v2 : : : ~vn ) = F (~v1 : : : ~vn)
(pokud je to rovno F (~v1 : : : ~vn ), zobrazen je v dan promnn antilinern)
a obdobn rovnosti pro ostatn promnn. V tto kapitole mluvme o ppadu
n = 2, proto ona pedpona bi! v oznaen bilinern formy.
V ppad n = 2 je ovem nejdleitjm pkladem zobrazen duality:
f(~v w~ 0 ) 7! w0(~v)g : V V 0 ! R =C :
Z vty o representaci vme, e jakkoliv bilinern zobrazen z
penst na V V vztahem
(17.2)
V
V 0 lze
~ ) := F (~v~j(w
~ )):
G(~v w
Pak je ale zobrazen v druh promnn antilinern a nikoli linern.
259
(17.3)
260
KAPITOLA 17. KVADRATICK SVT
Abychom mohli mluviti nap. i o skalrnm souinu na komplexnm prostoru jako o bilinern form, uime mluvu, e bilinernm zobrazenm
B budeme rozumt zobrazen B : V V ! R =C linern v prv a antilinern v druh promnn. V ist algebe (neovlivnn pehnan
m! drazem
na hermitovsk formy) se bilinern formou naz
v forma linern v obou
promnn
ch* to, co my jsme nazvali bilinern formou, se obvykle naz
v
sesquilinear form apod. Ze sesquilinernch se peorientujeme na skuten
bilinern formy v kapitole o tensorech.
Definice. Zen neboli restrikci KB
f~v 7! B (~v ~v)g : V ! C
(17.4)
nazveme kvadratickou formou odpovdajc dan bilinern form.
Nabz se otzka, zda se touto restrikc neztrat njak informace o pvodn (hermitovsk, sesquilinern) bilinern form B . Odpov- neztrat!
dv nsledujc1
rekonstruk n vta.
B (~x ~y) = 14 (KB (~x + ~y) ; KB (~x ; ~y) + iKB (~x + i~y) ; iKB (~x ; i~y))
(17.5)
Na relnm prostoru lze dokonce pst
B (~u ~v) = 41 (KB (~u + ~v) ; KB (~u ; ~v)):
(17.6)
Identick vta byla uvedena u v kapitole o skalrnm souinu, dkaz
provete tmt roznsobenm.
Dsledek. Pojmy symetrick bilinern (nebo sesquilinern) forma!
a kvadratick forma! budeme dle libosti zamovat.
Definice. Bilinern formu nazveme
kou, pokud plat
8~v w~ 2 V
hermitovskou resp. symetric-
~ ) = B (w
~ ~v) resp. B (w
~ ~v):
B (~v w
Vidme, e pro reln formy oba nov pojmy spl
vaj.
1
Mluvme o !sesquilinernch" formch.
(17.7)
17.2. MATICE KVADRATICK FORMY
261
Skalrn souin te- lze chpat jako hermitovskou bilinern formu, kter
je navc positivn:
8~v 6= ~0 B (~v ~v) > 0:
(17.8)
Pojem hermitovsk (samoadjungovan) kvadratick formy je tedy zobecnnm pojmu skalrnho souinu.
17.2 Matice kvadratick formy
Definice. Nech+ ~v1 : : : ~vn je njak base V .
Matici2 A = (aij ) s prvky aij = B (~vi ~vj ) nazveme matic dan bilinern formy B .
Dva vektory. Pokud v tomto prostoru mme dva vektory
~x =
potom je
B (~x ~y) =
X
ij
n
X
i=1
~vi xi ~y =
n
X
j =1
B (~vi xi ~vj yj ) =
~viyi
X
ij
xi B (~vi ~vj )y j (17.9)
(17.10)
co lze pepsat do tvaru maticovho souinu (x je sloupcov matice se souadnicemi ~x tak, jak se vektor obvykle pe)
B (~x ~y) = y AT x nebo xT Ay:
(17.11)
(Ve plat i v R n , kde lze vynechat pruhy a hvzdiku nahradit tkem.)
Kvli shod s obvykl
m znaenm v kvantov mechanice, kde se sdruuje
lev
initel (bra-vektor),3 budeme uvat prvho zpisu s transponovanou
matic AT . Vidme, e hodnotu bilinern formy ve vektorech ~x ~y lze nahlet
jako skalrn souin
B (~x ~y) = b(~f (~x) ~y)
(17.12)
kde zobrazen f je dno vzorcem
~f (~x) = AT ~x:
2
3
Fakt, e peme oba indexy dol, je sprvn. I na prav stran jsou oba dole.
#vodn poznmka o bracketech na stran 62.
(17.13)
262
(Bude-li e o bracket-z
pisu, budeme mnit matic formy matici transponovanou
k t, o ni jsme mluvili, bn budeme pracovat s ket-vektory, jejich souadnice
budeme ps
t do sloupce, zatmco pslun bra-vektory budou vektory du
lnho prostoru se souadnicemi sdruenmi proti odpovdajcm ket-vektorm a zapisovanmi
do dky. Skal
rn souin budeme nad
le ps
t
b(~x ~y) = hyjxi = y x:
(17.14)
Natst, alespo" v re
lnm ppad je jedno, kam umstme pruh.)
Vta. Nech+ A resp. A0 je matic B vi basi ~v1 : : : ~vn resp. ~v10 : : : ~vn0 .
Nech+ matic pechodu od ~vi k ~vi0 je matice C:
~v10 : : : ~vn0 = ~v1 : : : ~vn C:
PAK JE A0 = CT AC:
(17.15)
(17.16)
Uvdomte si rozdly proti zmn matice zobrazen.
Dkaz. Tabulku A = (aij ) lze znzornit jako maticov
souin
0 ~v1 1
sloupce B
(17.17)
@ ... CA a dku ~v1 : : : ~vn ~vn
kde souinem prvk ~vi ~vj mnme B (~vi ~vj ) = aij . Pime vztah mezi basemi
tak transponovan:
0 ~v0 1
0 ~v1 1
1
B@ ... CA = CT B@ ... CA
(17.18)
0
~vn
~vn
a pronsobme sloupce a dky. Dostaneme vztah
0
B@
~v10 1 . C
.. A ~v10 : : : ~vn0
~vn0
0 ~v1 1
= CT B
@ ... CA ~v1 : : : ~vn C (17.19)
~vn
tedy vskutku A0 = CT AC
(17.20)
kde ! je nsoben dan pedpisem B a pruh u C vyjaduje antilinearitu
v druhm initeli.
17.2. MATICE KVADRATICK FORMY
263
Ve slokch vypad dkaz
X
X
X
a0ij = B (~vi0 ~vj0 ) = B (~vk ck i ~vl cl j ) = ck iB (~vk ~vl )cl j = cTi k aklcl j :
kl
kl
kl
(17.21)
Pklady bilinernch forem. Z anal
zy jsme zvykl na linearisaci
problm (potn s diferencilem zkouman
ch funkc). Tam, kde linearisace dv nedostatenou informaci, nap.4 v okol extrmu, nastupuje jemnj metoda: zkouman funkce nahrazujeme jejich linern-kvadratick
mi
aproximacemi, tj. Taylorov
m rozvojem 2.du. (Pokud se prvn diferencil
anuluje, zbude jen kvadratick forma.)
Pro funkce f : R n ! R tak dostvme kvadratick formy typu
X
B (~x~x) = xiaij xj ~x 2 R n :
(17.22)
ij
Analogicky, na prostorech funkc meme takto dospt ke kvadratick
m formm tvaru nap.
B (f g) =
Z b Z b
a
a
!
J (s t)f (s)g(t)ds dt
(17.23)
kde J je njak funkce dvou promnn
ch ( jdro! dan bilinern formy).
Budi poznamenno, e skalrn souin dostaneme pro
aij = ij a J (s t) = (s)(s ; t)
(17.24)
kde je vha (nap. 1 nebo e;x2 ) a (x) je Diracova funkce.
Jednoduch pklady kvadratick
ch forem dostvme, mme-li (teba
euklidovsky) vzdlenosti na podprostorech R n , kter njak parametrisujeme,
m vyjde kvadrt vzdlenosti bodu jako kvadratick forma rozdlu zmnn
ch parametr. Tm jsme poukzali na pirozenost zadn vzdlenosti v R m
(kde m n) pomoc vhodn kvadratick formy (s matic obecn odlinou
od jednotkov) a meme zformulovat
cvi en. Spotte vzd
lenost bodu od podprostoru
dan kvadratickou formou na R m s matic A.
E
Rm
v metrice
(Pklad: vzdlenost bodu od pmky v R 2 , kde vzdlenost mme pomoc kvadratick formy s njakou matic A.)
Jin
pklad: pokud zvislost sly pruiny na v
chylce aproximujeme linern, musme
zvislost energie aproximovat kvadraticky.
4
264
Pklad-Toeplitzovy formy.5 Mjme kvadratickou formu na R n , je-
j matice vi kanonick basi m prvky invariantn vi posunu v cyklick
grup f0 1 : : : n ; 1g, tzn. prvky aji zvis pouze na j ; i modulo n. (Teba
suma tverc rozdl sousednch souadnic* 0 a n ; 1 jsou tak soused.)
Takovto form se k Toeplitzova a pslun
representujc opertor je
ovem konvolun opertor (viz. str. 256)* spektrln rozklad tam uveden
dv pak diagonalisaci uvaovan kvadratick formy.)
Cvi en. Charakterisujte ppady, kdy konvolun oper
tor je dokonce sa-
moadjungovan. (Odpov-: kdy m symetrick jdro! tzn. kdy je repre-
sentujcm opertorem Toeplitzovy formy* viz dle { formulujte podrobnji).
17.3 Diagonalisace kvadratick formy
Definice. ekneme, e bilinern forma m vi dan basi kanonick
ili diagonln tvar, pokud jej matice vi tto basi je diagonln.
~ ) danou v kanonick basi
Pklad. Uvaujme symetrickou formu B (~v w
~e1~e2 prostoru R 2 pedpisem
B (~v ~v) = x2 ; 2xy + 2y2 ~v = (x y) = ~e1x + ~e2y
(17.25)
podrobnji B (~v ~v0 ) = xx0 ; xy0 ; yx0 + 2yy0 :
Forma B samozejm nem vi basi ~e1 ~e2 kanonick
tvar*
(17.26)
!
1 ;1 :
;1 2
(17.27)
(x ; y)2 + y2 = (x00 )2 + (y00 )2 (17.28)
jej matice je
Napeme-li vak B (~v ~v) ve tvaru
kde x00 = x ; y a y00 = y, znamen to, e uveden forma m jednotkovou
matici vi basi ~e001 = ~e1 , ~e002 = ~e1 + ~e2 , protoe (ovte)
B (~e001 ~e001 ) = B (~e002 ~e002 ) = 1
B (~e001 ~e002 ) = B (~e002 ~e001 ) = 0
(17.29)
Jsou dleit v teorii pravdpodobnosti pi zkoumn stacionrnch nhodn
ch proces, v modelech statistick fyziky a kvantov teorie pole i jinde.
5
17.3. DIAGONALISACE KVADRATICK FORMY
265
a dky bilinearit nsledn
B (~v ~v) = (x00 )2 + (y00 )2 pro kad
vektor ~v = ~e001 x00 + ~e002 y00: (17.30)
Formu jsme tak diagonalisovali vi basi, kter nen ortonormln (ani ortogonln) v obvykl euklidovsk norm.
Representace hermitovsk formy opertorem
Vta o representaci bilinern formy. Pro hermitovskou kvadra-
tickou formu B na linernm prostoru V se skalrnm souinem b existuje
jednoznan uren
hermitovsk
opertor f : V ! V takov
, e
~ ) = b(f (~v) w~ ) = b(~v f (w
~ )):
B (~v w
(17.31)
Dkaz. Nech B je libovoln bilinern forma. Representujme linern
formu
f~v 7! B (~v w~ )g : V ! C
(17.32)
~ : B (~v w
~ ) = b(~v w
~ ) 8~v 2 V .
vektorem w
~)=w
~ (ovte line
rnost) spl0uje hledan vztah
Potom opertor f (w
~ ) = b(~v f (w
~ )):
B (~v w
(17.33)
Dokzali jsme tedy obecnj tvrzen a hermitovost B potebujeme jen
proto, aby bylo
b(~v f (w~ )) = B (~v w~ ) = B (w~ ~v) = b(w~ f (~v)) = b(f (~v) w~ ):
(17.34)
Diagonalisace hermitovsk formy
V nedvnm pkladu jsme diagonalisovali vi basi, kter nen ortogonln v obvykl euklidovsk norm. Hermitovsk forma vak me b
t vdy
diagonalisovna v ortonormln basi: najdeme vlastn vektory dan6 matice
(neboli matice representujcho opertoru), normujeme je (nesta-li nm ji
ortogonln base), pokud nktermu vlastnmu slu pslu vcerozmrn
Doporu ujeme pracovat s matic transponovanou proti pvodn denici, tedy aij =
B (~vj ~vi ), neboli v kvantov konvenci (B je i nadle antilinern v druh promnn.)
6
266
prostor vlastnch vektor, tak jeho basi Gramm-Schmidtovsky ortogonalisujeme, a dojdeme ke kanonickmu tvaru formy, protoe vlastn vektory
hermitovsk matice psluejc rzn
m vlastnm slm jsou (v obvyklm
skalrnm souinu) kolm (o tomto neme b
t ei v ostatnch metodch,
kter uvedeme, v nich nehraje kanonick
! skalrn souin dnou roli):
Vta. Nech+ A je hermitovsk7 matice. Pak existuje diagonln matice
D a unitrn matice U (jej sloupce tvo souadnice jednotliv
ch vlastnch
vektor A) takov, e
A = UDU;1 (U;1 = U ):
(17.35)
(Pokud mte pote se zapamatovnm, e m-li U mt ve sloupcch vlastn vektory, pak musme pst U nalevo od D, navrhujeme vm nap. tuto pomcku: AU = UD, protoe napeme-li na pravou stranu sloupec jednika
a zbytek nuly!, co je prvn vlastn vektor ~v1 vyjden
v basi vlastnch
vektor, je UD~v1 roven -nsobku tohoto vektoru zapsanho ve star basi,
stejn jako AU~v1 .)
p
Zpt k pkladu. Najdete-li vlastn sla (1=2(3 5)) dan matice a
odpovdajc vlastn vektory ~e0001 ~e0002 , kter normujete, budete moci kvadratickou formu pst ve tvaru
p
p
3
+
5
3
;
000 2
000 000
000 000
(17.36)
KB (~e1 x + ~e2 y ) = 2 (x ) + 2 5 (y000 )2 :
Metoda doplnn na tverec
K jejmu vyloen od vs potebujeme znt vzorec
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 :
(17.37)
Upravujeme v
raz
P a xixj = a (x1 )2 + 2a x1 x2 + : : : + 2a x1xn + P a xixj =
ij
11
12
1n
i j>1 ij
a11(~x1 )2 + P a~ij xi xj = : : :
(17.38)
kde x~1 = x1 + aa1211 x2 + : : : + aa111n xn . Uplatnme-li stejn
postup dle na adu
a~22 (x2 )2 , : : : atd., dostaneme v
raz
a11 (~x1 )2 + a~22 (~x2 )2 + : : : + a~nn(~xn)2 :
(17.39)
Dleit
ppad je reln
, kdy slova !hermitovsk", !unitrn" lze nahradit slovy !symetrick", !ortogonln".
7
267
Takovto pravy lze ovem provst pouze za pedpokladu a11 6= 0, a~22 6= 0
atd. Pokud 8i aii = 0 (jinak bychom zaali upravovat vzhledem k libovolnmu aii (xi )2 takovmu, e aii 6= 0) a pokud je alespo jeden prvek a1i 6= 0 |
teba a17 6= 0 (opan
ppad 8i a1i = 0 je triviln, na souadnici x1 forma
nazvis, ili bude a~11 = 0), provedeme nsledujc substituci jako prvn krok
pravy (~x1 2 jsou x1 2 rotovan o 45 )
2a17 x1 x7 = a217 (x1 + x7 )2 ; (x1 ; x7 )2 ) = a12 ((~x1 )2 ; (~x7 )2 ): (17.40)
Tm pevedeme zadanou kvadratickou formu na ppad, kdy a22 6= 0 6= a11 ,
a dle pokraujeme zpsobem uveden
m v
e.
Koment k metod a zobecnn. Formu f (~x) =
podrobnji jako
P a xixj pime
ij
f (~x) = aij~e0i (~x)~e0j (~v)
(17.41)
kde f~e0i g je duln base k basi ~e1 : : : ~en , vi n m vektor ~x souadnice
xi
X
~x = ~ei xi:
(17.42)
Pechod k nov souadnici
x~1 = x1 + aa12 x2 + : : : + aa1n xn
11
vlastn znamen zmnu duln base:
11
od ~e01 : : : ~e0n
k nov
~e~01 = ~e1 + aa12 ~e02 + : : : + aa1n ~e0n:
11
11
(17.43)
(17.44)
Diagonalisovat formu metodou doplnn na tverec znamen pejt v (E n )0
k takov basi ~e~01 : : : ~e0n v n m kvadratick forma tvar
f (~v) =
X 0i 2
a~ii ~e (~v) :
i
(17.45)
Mte-li matici pechodu mezi dulnmi basemi, matici pechodu mezi pvodnmi basemi zskte jako k n inversn (v naem poad zpis) nebo chcete-li
kontragradientn.
Z postupu je zejm, e zamezme-li ppadu, kdy bylo nap. a11 = 0 (tyto
ppady oetuje nsledujc vta pomoc formulace o hlavnch minorech),
lze zskat matici pechodu C;1 od vlnkovan basi k nevlnkovan (kde C je
268
matice pechodu od nevlnkovan k vlnkovan) jako produkt (souin) matic
typu
0 1 a12 a13 a14 1
BB a111 a11 a11 CC
(17.46)
B@ 1 CA 1
bude tedy horn trojhelnkov (a tedy i matice C, inversn matice k horn
trojhelnkov je horn trojhelnkov).
Vta. Pro kadou symetrickou matici A, kter m nenulov vechny
hlavn minory (tj. nenulov determinanty matic vznikl
ch z A v
brem prvnch k dek a sloupc), existuje horn trojhelnkov matice C takov, e
matice
CT AC
(17.47)
je diagonln.
Zobecnn metody. Pechod k nov souadnici je mono popsat jako
zmnu matice formy
A 7! CT AC:
(17.48)
V ei dkov
ch a sloupcov
ch prav matice to znamen, e s kadou dkovou pravou udlme zrove i odpovdajc sloupcovou pravu matice A.
Metodu doplnn na tverec lze zobecnit tm, e tyto pravy ji nemus b
ti
elementrn. (Postup je v
hodn
, zajmme-li se pouze o signaturu.)
Promyslete podrobn, co pesn znamen
a jak lze ppadn zobecnit ono
najednou. (Jde o asociativitu nsoben matic.)
Jacobi-Sylvestrova metoda
Jednm z postup, objevujcch se v nejrznjch situacch a znovu a vdy
dvajcch njak
netriviln v
sledek, je Gramm-Schmidt
v ortogonalisan proces.
Tentokrt ho neaplikujeme vzhledem k bnmu skalrnmu souinu, ale
obecnji vzhledem k zadan symetrick kvadratick form B na relnm
prostoru:
Ozname symbolem A matici formy B vi njak zvolen basi ~e1 : : : ~en :
aij = B (~ei~ej ):
(17.49)
269
Chceme tuto basi ortogonalisovat vi B !, tzn. nalzt novou basi
~fk = X ~ei cik ik
(17.50)
aby B (~fk ~fj ) = 0 8j 6= k (tuto podmnku sta nahradit podmnkou 8j < k
a dokonce ji upravit na 8j < k B (~fk ~ej ) = 0). Cejch! bude vhodn volit
takto: B (~fk ~ek ) = 1. Pak bude ckk = B (~fk ~fk ). Najt ckj pro j < k znamen
eit soustavu rovnic typu
X
j
X
j
B (~ei ~ej )cjk = 0 pro i < k
(17.51)
B (~ei ~ej )cjk = 1 pro i = k
(17.52)
tedy soustavu s rozenou matic
0 a11 B@ ... . . .
ak1 ak1 1
.. C
. A
akk 1
..
.
Podle Cramerova pravidla plat (doka te a ovte!)
det A
ckk = det A(k;1) (k )
kde det A(k) je k-t
hlavn minor A
0 a11 det B
@ ... . . .
a1k ak 1 1
.. C
. A
akk
(17.53)
(17.54)
(17.55)
To ve plat za pedpokladu, kterho se drme i vude v tomto odstavci, e
det A(k) 6= 0 8k = 1 : : : n:
(17.56)
Ukzka. V prostoru R 3 je zadna kvadratick forma matic A vi basi
~e1~e2 ~e3 (protoe je prvn, s kterou pracujeme, kejme j kanonick)
(~x ~y) 7! B (~x ~y) = ~yT A~x
(17.57)
270
kde ~x zna sloupec a ~xT jeho transposici, ili dku se stejn
mi sly.
Nech+ teba
0
1
42 13 ;2
A = B@ 13 2 1 CA :
(17.58)
;2 1 ;3
Najdeme basi ~f1 ~f2 ~f3 , v n m forma diagonln matici, a polome
~f1 = ~e1 :
Vimneme si, e
(17.59)
B (~f1 ~f1 ) = 42
(17.60)
co bude prvn element (diagonln) matice formy v basi f~fi g. (Nebudeme
pouvat cejch z texu, ale kalibraci cjj = 1.) Dle najdme vektor ~f2 , kter
je (v metrice dan formou) kolm
na ~f1 , a to ve tvaru (vpravo)
~f2T A~f1 = 0 ~f2 = ~e2 + k~f1 :
(17.61)
Dosadme-li prav
vzorec pro ~f2 do poadovan rovnosti, vyjde roznsobenm
13 :
~eT2 A~f1 = 13 : : : k = ; 42
(17.62)
~f3 = ~e3 + m~f1 + n~f2 (17.64)
Opt si spoteme element diagonln matice (bilinern forma z ~f1 a ~f2 vymiz)
~f1 ) = 2 ; 42 13 = ;40:
B (~f2 ~f2 ) = ~eT2 A(~e2 ; 42
(17.63)
13
13
Hledme-li ~f3 ve tvaru
dostaneme z podmnek
~f3T A~f1 = ~f3T A~f2 = 0
hodnoty m n (v kad z rovnic je bu- jen m nebo jen n).
(17.65)
Zskali jsme tedy matici pechodu od kanonick basi k nov basi a (diagonln) tvar matice formy v basi f~fi g.
Cvi en. I tato metoda je jen speci
lnm ppadem metody souasnch
sloupcovch a dkovch prav. Dalo by se ci, e v protikladu k metod doplnn na tverec (diagonalisace zvnjku) jde v Jacobi-Sylvesterov metod
o diagonalisaci matice zevnit. Promyslete!
17.4. SIGNATURA, DEFINITNOST
271
17.4 Signatura, denitnost
Nech+ m kvadratick forma B ve vhodn basi diagonln matici, kde n+
resp. n; resp. n0 prvk na diagonle je kladn
ch resp. zporn
ch resp. nulov
ch.
Potom signaturou mnme uspodanou trojici (n+ n; n0 )* nkdy ji
zapisujeme nzorn jako
(+
| {z: : : 0}):
| +{z: : : +} ;| ;{z: : : ;} 00
n+
n;
n0
(17.66)
Form navc pisoudme pvlastek 2
-denitn, kde 2
je vhodn pedpona,
vytvoen podle nsledujcch pravidel:
n+n; = n0 = 0 denitn (pokud n+ > 0 tak positivn, pokud n; > 0,
negativn)
n; = 0 positivn semidenitn
n+ = 0 negativn semidenitn
n+n; > 0 indenitn
Jacobi-Sylvesterova metoda vede nyn k nsledujcmu dsledku.
Vta. Nech+ m matice kvadratick formy
A vechny hlavn minory
nenulov. Pak je signatura formy (n ; n; n; 0), kde n; je poet zmn
znamnek v posloupnosti
det A(1) det A(2) : : : det A(n) det A:
(17.67)
Speciln, A je positivn denitn prv tehdy, pokud jsou vechny hlavn
minory kladn.
Jet jsme nedokzali korektnost denice pojmu signatury, tj. nezvislost
hodnot n+ n; n0 na volb base. Pro reln symetrick formy vak toto tvrd
vta o setrva nosti.
Jej dkaz. Mjme dv base ~v1 : : : ~vn a ~v~ 1 : : : ~v~ n , v nich m dan
forma f diagonln tvar dan matic D = fdii g a D~ = fd~ii g. Nech jsou
i+1
i
prvky bas uspodny tak, e dii dii+1
+1 a d~ i d~ i+1 .
272
Nech i0 je posledn index, pro kter di0i0 > 0. Odvodme spor z pedpokladu, e d~i0i0 0. (Ostatn situace se vyd obdobn.) Vskutku, kdyby
d~jj 0 ponaje od jistho indexy j0 < i0 , provedli bychom tuto vahu:
Podprostory L(f~v1 : : : ~vi0 g) a L(f~v~ j0 : : : ~v~ n g) mus mt netriviln
~.
prnik (z dvod dimense). Nech je jm vektor w
i0
n
X
X
~0 6= w
~ = ~vi i = ~v~ j j :
i=1
Potom ale
~)=
f (w
a zrove0
~)=
f (w
To jsou paradoxy, e ano?
j =j0
X
i
X
j
(17.68)
(i )2 dii > 0
(17.69)
(i )2 d~jj 0:
(17.70)
17.5 Kvadriky a kueloseky
Uveden tma je nejstar st linern algebry (z dob Egyptu, ecka, Babylonu atd.), jeho neznalost uleh rozhodovn, zda zkouejc udl znmku
3! i vy!.
Definice.
Kvadratickou !plochou" v R n rozumme mnoinu bod
splujcch rovnici
f~x :
n
X
i j =1
ij xi xj +
n
X
i=1
i xi + = 0g
(17.71)
kde A (ti velk alfa!) je reln symetrick matice.
Nzev plocha! je adekvtn pro nmi nejvce diskutovan
ppad n =
3. V ppad n = 2 jde o kivku, v dimensch n > 3 se nkdy mluv
tak o nadplochch nebo hyperplochch.
Lev strana nen ovem samotn kvadratick forma, obsahuje t linern a absolutn len. Zmnme se o jedn v
znan konstrukci, pomoc n se stane ist kvadratickou!, toti o projektivnm prostoru.
17.5. KVADRIKY A KU$ELOSEKY
273
Projektivn prostory
Definice. Prostor R 4 n f~0g (pro konkrtnost) faktorisujeme podle ekvi-
valence b
ti nsobkem! a dostaneme mnoinu td (jsou jimi pmky!)
f~x j 2 R n f0gg
(17.72)
kterou nazveme projektivnm prostorem (v naem ppad dimense ti,
oznaen P3 ).
Body P3 tvaru f~xg pro x4 6= 0 meme ztotonit s prvky R 3 :
1
2
3
f~xg 7! ( xx4 xx4 xx4 ):
(17.73)
n
X
i
j
ij x x + ixi xn+1 + xn+1 xn+1 = 0
i j =1
i=1
(17.74)
Zbyl body P3 tvaru (x1 x2 x3 0) tvo nevlastn prvky P3 , v R 3 pedstaviteln jako body lec! na pmkch (x1 x2 x3 ) v nekonenu. (Kad
smr pmek m jeden nevlastn bod, lec na obou stranch! v nekonenu. Pak lze tedy mluvit o tom, e kad dv pmky {i rovnobn{ maj
jeden prsek.)
(Jinou, nelinern pedstavou P3 je sfra f~x 2 R 4 j k~xk = 1g, ve kter
navc ztotonme protilehl body ~x a ;~x.)
V projektivnm prostoru pejde ovem rovnice kvadratick plochy (viz
v
e) na rovnici bez linernho a absolutnho lenu tvaru (n ppad n = 3)
n
X
co lze napsat zavedenm n+1 i = i n+1 = i =2, n+1 n+1 = jako
nX
+1
i j =1
ij xi xj = 0:
(17.75)
Projektivn geometrie (studium vlastnost projektivnch prostor) by-
la vdy dleitou soust linern algebry. Vznikla v 19.stolet8 v pracech
zejmna nmeck
ch geometr (MQbius, Steiner, Pl|cker, Klein) a jejich francouzsk
ch pedchdc z 17. a 18.stolet (Pascal, Desargues, Monge, Poncelet
{ promtn!). V polovin dvactho stolet postupn pevldl nzor, e
jde vcemn o uzavenou oblast matematiky s ukonen
m v
vojem. Tento
8
V zjmu ten ve 21.stolet jsme nepouili v
raz !minul stolet".
274
nhled (s patin
m zpodnm nkolika desetilet) tak zpsobil postupn
vymizen projektivn geometrie z uebnch pln. Teprve v poslednch asi
dvaceti letech (ped psanm tchto skript) pila projektivn geometrie opt
do mdy! u mnoh
ch teoretick
ch fysik a matematik (Roger Penrose,
Yuri Manin, Semion Gindikin: : : ).
Vsuvka o promtn. Prosvcujme bodov
m zdrojem umstn
m v potku souadnic njakou rovinu R 3 a zkoumejme polohu stn! objekt
z vren
ch na jinou, ne nutn rovnobnou rovinu 0 . Na rovinch 0
~ resp. ~v0 w
~ 0.
zave-me repr, ili potek P~ resp. P~ 0 a vektory base ~v w
0
0
~
~
Podmnku pro to, aby body B resp. B z resp. ~0
B~ = P~ + s~v + t~w B~ 0 = P~ 0 + s0~v0 + t0w
(17.76)
leely na pmce se zdrojem svtla, zapeme jako nulovost vektorovho souinu B~ B~ 0 , co je soustava t rovnic (vektor m ti sloky) pro neznm
s0 t0 . Podle Cramerova pravidla napeme een jako
0
0
0
00
00
00
s0 = ss ++ tt ++ t0 = ss ++tt++ (")
(17.77)
s devti konstantami : : : (jmenovatele jsou stejn, jde o determinant soustavy).
Vnome nyn prostor R 2 = f(s t)g do projektivnho prostoru
P2
= f(t1 t2 t3 )g
(17.78)
v nm libovoln dv trojice tvaru (t1 t2 t3 ) a (ct1 ct2 ct3 ) ztotonme (pro
c 6= 0). Body (s t) odpovdaj pmce (cs ct c). Promtn fB~ 7! B~ 0 g : !
0, kter m v parametrickm popisu tvar ("), tedy zobrazen
f(s t) 7! (s0 t0)g : R 2 ! R 2
(17.79)
je nyn mono rozit na linern zobrazen
f(t1 t2 t3 ) 7! (t01 t02 t03 )g : P2 ! P2
(17.80)
na projektivnm prostoru P2 pedpisem
0 0 0
1
t
= t 1 + 0 t2 + 0 t3
1
B@ t02 = 00t1 + 00t2 + 00t3 CA :
t03 = t1 + t2 + t3
(17.81)
275
Mete si promyslet, e nevlastn body se zobraz na nevlastn body 0
prv kdy jsou rovnobn.
Shrnut. Pojem projektivnho prostoru nm umouje chpat teorii
projektivnch zobrazen (dan
ch linernmi lomen
mi funkcemi) jako sou-
st LA!
K dalmu elementrnmu v
kladu u jen poznamenme, e sprvn
kontext!, ve kterm by se ne uveden
materil ml zkoumat, je prv teorie
projektivnch prostor.
Vta. Vhodnou zmnou (je mon i ortogonln) base lze linernkvadratickou funkci
X
X
f (~x) = ij xixj + i xi + (17.82)
ij
i
i
i
pevst na tvar9 (x0i oznauje souadnice vektoru v nov, arkovan basi)
X
X
f (~x0) = i (x0i)2 + i x0i + :
(17.83)
Dle, posunem souadnice
lze doclit tvaru
z i = x0i + ai
f (~z) =
X
i
0i(zi )1=2 + 0 (17.84)
(17.85)
kde exponent je jedna u tch z i , kde i = 0, u ostatnch dva.
Poznmka ped dkazem. Posun souadnic nen linernm zobraze-
nm (nejsme v prostoru funkc na R n , ale v R n ). Opt uvdme (viz zatek
kapitoly o maticch) fakt, e v projektivnm prostoru posun je linernm
zobrazenm:
(xi ) 7! (xi + ai ) i = 1 2 3 nahradme (xi x4 ) 7! (xi + ai x4 x4 ): (17.86)
Dkaz vty jsme ji provedli.
Terminologie. Plochu danou nkterou z rovnic v posledn vt nazve-
me kuelosekou pro n = 2 a kvadrikou pro n = 3, obecnji i pro n > 3.
Cvi en.
9
Nedivte se, e u diagonalisovan matice u neplat !zkon zachovn index".
276
1. Odvodnte n
zev ku elo-seka tm, e uk
ete, e lze zskat jako prnik
vhodn roviny v R 3 (x3 = f (x1 x2 )) a kuele
(x3 )2 = (x1 )2 + (x2 )2
(17.87)
a naopak, e prnik ku ele a roviny je kivka dan rovnice.
2. Obdobn naleznte pro ka dou kvadriku nadrovinu v R 4 (parametrisovanou parametry x1 x2 x3 ) takovou, e uva ovan
kvadrika je prnik
zmnn nadroviny a hyperku ele
(x4 )2 = (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 :
(17.88)
Klasi
kace kueloseek a kvadrik
Elipsoid. Je-li kvadratick forma v rovnici plochy (positivn nebo negativn) denitn, mluvme o elipsoidu resp. o elipse (pokud n = 2).
Elipsoid nazveme koul, pokud m kvadratick forma matici, kter je nsobkem jednotkov, v kad (, v njak) ortonormln basi. (Nepoadujemeli ortonormalitu base, lze vdy elipsoid vyjdit jako kouli.) Prnik elipsoidu
s libovolnou (nad)rovinou typu
f~x 2 R n j
n
X
i=1
aixi = g
(17.89)
je opt elipsoid.
Elipsoid m tedy ve vhodn
ch souadnicch rovnici
X
i
i (xi )2 = const
8i i > 0
(17.90)
a redukuje se na bod, je-li konstanta nulov, a na przdnou mnoinu, je-li
zporn (tzv.imaginrn elipsoid).
277
kuele
jednodln
hyperboloid
dvojdln
Hyperboloid. Sloitj situace nastane, pokud bude signatura tvaru
(n+ n; 0), kde n+ n; 6= 0. Hyperboloid, jak kvadrice kme (resp. pro
n = 2 hyperbola) m tedy rovnici, ve vhodn
ch souadnicch
k
X
i=1
i(xi )2 ;
n
X
i=k+1
i(xi)2 = const
8i i > 0
(17.91)
a v nekonenu ho lze aproximovat asymptotickou plochou { kuelem
k
X
i=1
i (xi )2 ;
n
X
i=k+1
i(xi )2 = 0:
(17.92)
V ppad, e jedno i m jin znamnko ne vechny ostatn (co je vdy
pro n = 3), uruje znamnko tohoto i a konstanty napravo, zda hyperboloid
le uvnit kuele (shodn znamnka) i naopak.
V n = 3 jde v prvm ppad o dvojdln hyperboloid s rovnic typu
z 2 ; x2 ; y 2 = 1
(17.93)
a ve druhm ppad o jednodln hyperboloid s rovnic
z2 ; x2 ; y2 = ;1:
(17.94)
Kter rovnice pat ktermu, si lehce uvdomte, pedstavte-li sipz jako funkci
x y: v ppad dvojdlnho lze spotat z pro vechna x y jako 1 + x2 + y2
(u jednodlnho me dojt k odmocovn zpornho sla).
Paraboloid. Pokud je v rovnici kvadrt njak souadnice s nulov
m
koecientem a pitom jej prvn mocnina s nenulov
m a rovnice zvis na
278
vech souadnicch, dostvme paraboloid (resp. parabolu pro n = 2).
(Vdy, kdy v rovnici zbude njak
linern len, lze vhodn
m posunem
souadnic vynulovat len absolutn.)
Parabola m rovnici typu y = x2 a v trojrozmrnm prostoru existuje eliptick paraboloid (tvaru parabolickho zrctka, kter odr paprsky
jdouc z ohniska do rovnobn
ch smr) o rovnici typu
z = x2 + y 2
(17.95)
a hyperbolick
paraboloid (tvaru sedla, a+ na koni nebo na horch) s rovnic
typu
z = x2 ; y2 :
(17.96)
Rozumn funkce z , kter m minimum v bod (0 0), se v piblen linern
kvadratickm chov prv jako eliptick
paraboloid.
Paraboloid hyperbolick
a eliptick
.
Vlec. Pokud se v rovnici njak souadnice vbec nevyskytuje, zskme
tvar, kter
vznikne pmoar
m posouvnm mnrozmrnho tvaru, a
mluvme o eliptickm, hyperbolickm vlci atd.
Pmkov plochy. Jednodln
hyperboloid a hyperbolick
paraboloid
jsou pmkov plochy, protoe kad
m jejich bodem lze proloit pmku
(v ppad tchto dvou vdy dv), kter cel le na dan kvadrice.
Dokonce si mete vymodelovat jednodln
hyperboloid tak, e do kruhov obrouky zapchte pejle a na jejich druh konce symetricky umstte
dal kruhovou obrouku tak, abyste dostali vlec. Potom sta jen krouky
vzjemn pootoit.
279
Dkaz. Otoenm souadnic o 45
x0 = xp+ y y0 = xp; y
2
2
(17.97)
pep+eme rovnici hyperbolickho paraboloidu na tvar (tentokrt vhodnj+)
z = 2x0 y0 :
(17.98)
Kad bod tto kvadriky je uren sly (x0 y0 ) a dv pmky prochzejc
tmto bodem zskme pedpisem x0 =const. resp. y0 =const. (pak z zvis
linern na y0 resp. x0 ).
U jednodlnho hyperboloidu najdeme pmky prochzejc bodem (0 1 0)
(kad zapsan jako prnik dvou rovin)
y = 1 z = x a y = 1 z = ;x:
(17.99)
Protoe kad z tchto pmek prochz njakm bodem kvadriky s danou
souadnic z , sta ji otoit kolem osy z o urit hel, aby prochzela zvolenm bodem (dky invarianci hyperboloidu vi rotaci kolem osy z ).
(Protoe uveden pmky v bod (0 1 0) nelze zskat jednu z druh rotac
kolem osy z {ponvad v rovin z = 0 se protnaj, co by se rotac naru+ilo{
budou prochzet kadm bodem dv pmky.)
Hlavn osy kvadrik
Mme-li kvadriku typu
b(A~x~x) + b(~x ~) + c = 0
(17.100)
kde A je symetrick matice, ~ 2 R n a b(~:~:) je obvykl
skalrn souin
z E n , naz
vme vlastn vektory A t hlavnmi osami uvaovan kvadriky.
(Tento pojem se pouv hlavn pro elipsoidy, ppadn hyperboloidy.)
Poznamenejme, e nejkrat vlastn (polo)osa elipsoidu
f~x j
X
ij
aij xixj = constg
(17.101)
odpovd vlastnmu vektoru psluejcmu nejvtmu vlastnmu slu A.
280
17.6 Vlnky a kdov n obrazu
Mal vod do teorie \Image Processing"
Uvedeme zde jeden speciln pklad diagonalisace kvadratick formy ( Toeplitzova typu!* tedy formy invariantn vi njak grup posun na danm
linernm prostoru funkc na intervalu '0 1]). Jde vlastn o peveden na
diagonln tvar symetrick matice typu cirkulant!, kde prvky matice ai j
zvis pouze na ji ; j j.
Jako mnoho jin
ch vc, ne uveden problematika pvodn nevznikla
v ln LA, n
br jinde v matematice, fyzice i technice (konkrtn v teorii
zpracovvn a kdovn obrazu, pi studiu tzv. renormalisan grupy ve
fysice, v otzkch aproximace funkc v matematick anal
ze: : : ).
Jde vak koneckonc jen o ortogonalisaci jistho specilnho souboru vektor, jak uvidme.
Samozejm, ne uveden dky maj slouit jen jako prvn letm seznmen s oborem, kter
se zvlt v poslednch letech bouliv rozvjel a nalezl
etn dleit aplikace v problematice optimlnho kdovn a zpracovn
obrazov informace. (Zjemce odkazujeme na velmi bohatou asopiseckou a
posledn dobou i knin literaturu* hledej pod heslem \waveletts").
vodn a motiva n poznmky.
1. Obrazem! rozumjme v dalm relnou funkci f (x y) denovanou te-
ba na tverci '0 1]2 . Hodnotu funkce f (x y) interpretujme jako stupe edi!
danho obrzku v bod (x y) 2 '0 1]2 .
Mluvme tedy o ernoblm obrazu. (Barevn
obraz lze pak representovat
temi monochromatick
mi obrazy.) Stupnm edi mnme { mluvme teba o
diapositivu { veliinu typu logaritmus koecientu zeslaben prochzejcho
svtla v danm bod!. Jednotliv obrazy lze takto stat ( pekldat pes
sebe!* koecienty zeslaben svtla se pak vzjemn nsob!), nsobit konstantou ( zv
it i snit kontrast!), odtat : : : (Abychom dostali linern
prostor, co se bude hodit. Uvaujeme tedy dle i funkce s nekladn
mi hodnotami, ani bychom je chtli njak interpretovat jako zesilovae! svtla.)
2. My se zde ale pro jednoduchost omezme (matematick jdro teorie
pitom zstane nezmnno!) na jednorozmrn obrazy! tzn. funkce na intervalu '0 1].
Mluvit zde ale o zvuku! by asi nebylo nejvhodnj. V souvislosti se
zpracovnm (nedigitlnm) zvuku vyrostla toti prv klasick Fourierova
anal
za { kter je zaloena na mylence rozkladu zvukovho signlu! do
17.6. VLNKY A K4DOVN OBRAZU
281
harmonick
ch sloek (sin a kosin). To je prv to, o co v teorii vlnek
nejde . Teorie vlnek je naopak nhradou za klasickou Fourierovu anal
zu v
tch (etn
ch) situacch, kde by pouit metody rozkladu do harmonick
ch
sloek nedvalo rozumn v
sledky .
(Na druh stran je apart Fourierovy transformace jednou z nejdleitjch dkazov
ch technik pi dkladnjm budovn teorie vlnek. Takhle
daleko se my ale nedostaneme, i kdy metody Fourierovy transformace rudimentrn pouvme t { viz partie o cirkulantu a konvolunch opertorech.)
Rastrovan obrzky a ortogonln projekce
(]) Pipomeme prostory funkc K L Q zkonstruovan v prvn sti knihy
v odstavci vnovanm funkcm typu \spline". V dalm budeme dlenm
intervalu '0 1] rozumt vdy dlen specilnho typu:
xi = ni * i = 0 1 2 : : : n
(17.102)
a navc budeme obvykle pedpokldat speciln volbu sla n toti n =
2k * k = 1 2 : : : Pslun dlen intervalu na 2k st budeme oznaovat
v dalm symbolem Dk a odpovdajc prostory funkc K L Q budou mt
t navc index k .
Vimnme si jedn velmi dleit vlastnosti uveden
ch prostor funkc.
A+ u Fk oznauje kter
koliv z tchto t prostor, plat vdy vztah
k
F
k+1 :
F
(17.103)
Skalrn souin na vech tchto prostorech budeme brt obvykl
m zpsobem:
b(f g) =
Z1
0
f (x)g(x)dx
(17.104)
(poppad s komplexnm sdruenm u g, bude-li e o prostorech komplexnch funkc).
Ozname symbolem Gk+1 ortogonln doplnk prostoru Fk v Fk+1 . Meme pak napsat nsledujc ortogonln rozklad Fk+1 na ortogonln podprostory:
k+1 = Fk Gk+1 = F1 G2 G3 : : : Gk+1:
F
(17.105)
282
Ozname Pi , podrobnji Pik+1 , ortogonln projekci z Fk+1 na Fi . Dle
ozname symbolem Qi ortogonln projekci na Gi+1 . Meme pak pro kadou
funkci f 2 Fk+1 a pro kad j < k + 1 (teba pro j = 1) napsat rozklad
f = Pj (f ) +
speciln
kX
+1
i=j +1
kX
+1
f = f1 +
i=2
fi
fi
(17.106)
(17.107)
kde fi = Qi (f ) resp. f1 = P1 (f ) .
Interpretujme tento rozklad pro ppad F = K { tedy pro ppad aproximace f po stech konstantnmi funkcemi : Funkce
Pj (f ) =
j
X
1
fi 2 Fj
(17.108)
m v
znam j -tho rastru obrzku f ! tzn. je to ta funkce z Fj , jej hodnota v libovolnm intervalu zvolenho dlen Dj je rovna prmrn hodnot
(prmrn edi!) funkce f . Funkce fj +1 dodv pak jakousi dodatenou
informaci, kterou je teba k obrzku Pj (f ) piloit!, abychom dostali jemnj, (j + 1)-n rastr funkce f .
Jak nyn skladovat! informaci obsaenou ve funkcch fi ? Nejlpe zvolenm vhodn base kadho z prostor Gk+1 . (A zapsnm souadnic fi vi
tmto basm).
Jde tedy o vhodn volby bas v tchto prostorech.
Ortogonln base invariantn vi posunu
V dalm budeme hledat ortogonln base zmnn
ch prostor.10 V ppad
prostor Kk je odpov- vcelku nasnad. Basi volme z (vhodn normalisovan
ch) funkc tvaru
. ik i+1k ) ; . i+1k i+2k ) :
(17.109)
2
2
2
2
K tomu jet musme pidat { jako prvn prvek base { funkci identicky rovnou
jedn na celm intervalu '0 1].
Na otzku, pro jsou prv ortogon ln base tak douc v numerick
ch aplikacch, je
zejm odpov': V jak jin basi jste schopni spo tat souadnice libovolnho vektoru tak
snadno?
10
283
Jde o tzv. Haarovy funkce. Vimnme si nsledujc v
znan vlastnosti
tchto funkc: Vechny tyto funkce (krom prvn) jsou vhodn
m posunem a
dilatac jedin funkce (x) = ;sgn(2x ; 1).
(Takovto vlastnost bude jist mil pi snaze o sporn skladovn prvk
dan base v pamti, pi programovn i pi samotnm v
potu souadnic
funkc fi !)
Funkce, jejich vhodn posuny a dilatace tvo (zhruba eeno) ortogonln basi uvaovanho prostoru funkc, nesou nzev vlnky! (waveletts,
ondeletts, : : : ) Obsahem teorie vlnek! je v prv ad konstrukce takovto
base (s co nejlepmi vlastnostmi!, jako je hladkost, lokalisace apod.) { v
nejrznjch prostorech, kter se mohou vyskytnout v aplikacch.
Pro se nespokojme jenom s Haarovou bas ? Protoe teba v lohch
aproximace hladk
ch! funkc je vhodnj hledat (co nejpesnj) aproximace dan funkce nikoliv v prostoru K, ale v prostorech L, Q poppad v
dalch prostorech hladk
ch funkc.
Konstrukce vlnky zan obvykle zadnm njak pirozen! (obvykle
zatm neortogonln) base v prostorech Fi , zadan pomoc posunu jedin
funkce (at u je to funkce typu Stolov hora i Mileovka, p, : : : { viz
odstavec vnovan
spline funkcm v prvn sti knihy).
Prvnm kolem bude tuto basi ortogonalisovat pi zachovn invariance
vzhledem k posunm:
Vta 1. Nech+ V jeR linern prostor funkc na grup '0 1) (s obvykl
m skalrnm souinem 01 f (x)g(x)dx) generovan
vemi posuny, o hodnoty ni * i = 0 1 : : : n ; 1 njak funkce . Nech+ dimense V je n . Pak existuje
funkce 2 V takov, e jej posuny o hodnoty ni * i = 0 1 2 : : : n ; 1 tvo
ortogonln basi V .
Dkaz. Napi+me si matici vzjemnch skalrnch souin jednotlivch
posun funkce . #kolem nen nic jinho ne diagonalisovat kvadratickou formu s uvedenou matic v nov basi, invariantn vi v+em posunm o hodnoty
i
n * i = 1 2 : : : n: Ozname-li v+e zmnnou (positivn denitn, odvodnte!) matici jako A (je to matice typu cirkulant a navc symetrick!), je
teba najt jinou matici B typu cirkulant, aby matice
B AB
(17.110)
byla jednotkov ! Tedy v podstat (chceme-li dokonce B hermitovskou) najt
odmocninu z matice A;1 { co je problm, kter e+ vta o spektrlnm
rozkladu.
284
Numerick nalezen B me b
t vak (pro velk n, kter vystupuj pro
dostaten jemn! volby prostor Fk * n = 2k ) znan netriviln problm.
Navc bychom rdi nco vdli o chovn koecient ai ve vyjden (jeho
existence je prv Vtou 1 garantovna!)
(x) =
n
X
i=0
bi (x + ni ):
(17.111)
Velmi douc by byla nap. vlastnost rychlho ub
vn! koecient ai
(teba ub
vn rychlej ne vhodn geometrick posloupnost s kvocientem
menm ne 1).
(]]) een vech tchto netrivilnch otzek zle na volb prostoru V .
Napklad pro prostory typu L m matice A tvar A = 1 + Q kde pitom
Q m nenulov (a mal, bereme-li normu rovnu jedn) prvky pouze tsn vedle diagonly. (Spotte je tedy spotte skal
rn souiny dvou funkc
typu Mileovka.) Pak m smysl hledat odmocninu z matice nikoliv pomoc
spektrlnho rozkladu (co me b
t prakticky neprovediteln!) ale pomoc
Taylorova rozvoje, tzn. ze vzorce
p
A;1 =
X (;1)k (k + 12 )(k ; 12 )(k ; 32 ) : : : 12
k
k!
Qk :
(17.112)
Pokuste se ukzat rychlou konvergenci tto ady matic (v uvedenm pklad prostoru L* v jin
ch prostorech dn rychl konvergence! tto sumy
ani nemus nastat. Pak je teba zvolit jin pstupy).
Vlnky
V pedchozm odstavci jsme krtce zkomentovali prvn krok nutn
ke konstrukci vlnky, tedy konstrukci ortonormln base v kadm prostoru Fk .
Pracujme ted opt s prostory typu K L Q a s dlenm intervalu '0 1] na 2k
stejn
ch dl.
Druh
m potebn
m krokem bude nsledujc vta.
Vta 2. Nech+ prostory Fk jsou generovny vzjemn ortogonlnmi
posuny, o hodnoty i=2k * i = 1 2 : : : 2k ; 1 njak funkce k kter je dilatac,
k (x) = ( 2xk )
(17.113)
285
urit funkce . Nech+ plat vztah Fk Fk+1 . Pime pak
2
X
x
( 2 ) = ci (x + 2ik ):
k
i=0
Polome
(x) =
2k
X
i=0
(;1)i c1;i (x + 2ik ):
(17.114)
(17.115)
Pak vechny mon posuny o hodnoty i=2k * i = 0 1 : : : 2k ; 1 funkce
k (x) = (x=2k ) tvo ortogonln basi kadho z prostor Gk * k 1 .
Poznmka. Tm je konstrukce vlnky dokonena. Poznamenejme vak,
e pedpoklady vty nahoe (speciln konstatovn, e vechny ortogonln
base ji sestrojen jsou vhodn
mi posuny a dilatacemi jedin funkce) nejsou obecn garantovny pro funkce sestrojen pomoc vty 1! Jsou splnny
obvykle jen piblin, pro velk k. Tyto problmy zmiz, pracujeme-li na
cel reln ose msto na grup '0 1]. (Pak je platnost uvedenho pedpokladu vcemn zejm. Cenou je ovem nutnost prce s nekonenrozmrn
mi
prostory, nutnost diskuse chovn koecient v nekonen ad vty 1 apod.
Tedy problematika ji v podstat mimo obor LA. Nicmn je to tato { zcela
realistick { situace, kter se pi aplikacch vtinou uvauje.)
(~) Dkaz samotn Vty 2 nen vbec obtn
a penechme ji teni,
aby napsal pslun skalrn souiny a ovil jejich nulovost (a poppad
ocenil dvtipnou volbu koecient ci ). Je potebn si vimnout vztahu (kter
je dsledkem ortogonality jednotliv
ch posun funkce )
X
i
a2i+j a2i = 0
8j:
(17.116)
Pkladem je prostor K* postupem zde naznaen
m (zanajcm s funkcemi typu Stolov hora a konstruujcm vlnky pomoc vt 1 a 2) dostaneme
ji zmnnou Haarovu basi. (Ovte jednotliv kroky konstrukce, vpoet koecient ci !)
Konstrukce vlnek v dalch prostorech je ji mnohem obtnj, piem
hlavn problm je v proveden kroku popsanho vtou 1 (a diskuse chovn
funkce k tam sestrojen).(~)
286
Kapitola 18
Dv maticov bagately
18.1 Pseudoinverse matice
Co dlat, nem-li matice A inversn matici? Jin
mi slovy, jak nahradit vzorec
~x = A;1~b
(18.1)
pro een soustavy A~x = ~b v ppad, e A;1 neexistuje? Odpovd je
konstrukce tzv. pseudoinverse matice z kuchyn Moore-Penroseho.
Definice. Pseudoinvers obecn (obdlnkov) matice A nazveme ta-
kovou matici A: , pro kterou plat1 (prv posledn dv podmnky pinej
pvlastek Moore-Penroseho!)2
AA:A = A A:AA: = A: (AA: ) = AA: (A: A) = A:A:
(18.2)
Cvi en. Existuje-li
A;1, je samozejm A: = A;1. Zatm penechme
matematikm dkazy jednoznan existence pseudoinversn matice a radji
ukeme, jak zkonstruovat A: ve dvou typick
ch ppadech.
Kdyby to nkoho pece jen zajmalo, pseudoinversn zobrazen k f : V !
W zskme tak, e ve W najdeme basi Im f a doplnme ji na basi W vektory
kolm
mi3 na Im f . Zobrazen f : : W ! V piad vektorm base Im f jejich
1
Mysleme zvlt na reln
ppad, kdy lze nahradit adjunkci transposic% je mysliteln
i transposice v komplexnm ppad.
2
Prv podmnka znamen, e A: je pseudoinversn k A, druh naopak, plat-li ob,
jsou navzjem pseudoinversn.
3
Potebuji skalrn sou in na V i na W .
287
288
KAPITOLA 18. DV MATICOV BAGATELY
vzory pi zobrazen f , a to ty, kter jsou kolm na K er f , a zbyl
m (kolm
m
na Im f ) vektorm base piad nulov
vektor ve V .
A je obdlnkov, typicky m vce dk ne sloupc (je
nap. z loh linern regrese takov, e
A A je regulrn
vysok),
(18.3)
A je obdlnkov, poet dk nejv
e roven potu sloupc (irok
matice) takov, e (rovnice A~
x = ~b m typicky vce een)
AA je regulrn
(18.4)
1. Msto neexistujcho een soustavy A~x = ~b hledme een pro projekci ~b? do sloupcovho prostoru, tedy
A~x = ~b? (~b ; ~b?) ? S(A) , A (~b ; ~b?) = ~0
(18.5)
Potom je A A~x = A ~b = A ~b? a meme pst ~x = (A A);1 A ~b.
Ovte, e v tomto ppad spluje (A A);1 A podmnky pro pseudoinversi matice A.
2. M-li rovnice A~x = ~b vce
meme hledat to nejmen! z nich
P een,
(ve smyslu minimalisace ni=1 xi 2 ). Jeliko pro ~b = 0 je een rovnice
A~x = ~0 v ortogonlnm doplku k sloupcovmu prostoru S(A ) matice
A , znamen to, e pro obecn4 ~b =6 ~0 bereme een A~x = ~b kolm
k S(A )? (abychom zskali een s minimlnm ~x ~x), tedy ~x 2 S(A ).
Takov ~x, kter je kombinac sloupc A , lze zapsat jako A ~z, kde
sloupec ~z obsahuje prv koecienty udvajc jak velk! kombinace.
M tedy b
t
A~x = AA ~z = ~b ili ~z = (AA );1~b ~x = A (AA );1~b:
(18.6)
Take A: = A (AA );1 je hledanou pseudoinvers v tomto ppad.
Odvodnte podrobnji.
Tato situace je duln minul, protoe pseudoinversi te- hledme tak,
e matici A nejprve hermitovsky sdrume, najdeme k n pseudoinversi
podle minulho postupu a tuto opt (nazptek) hermitovsky sdrume.
4
Obecn een rovnice A~x = ~b dostaneme tak, e pi teme k jejmu jednomu konkrtnmu een jakkoli een rovnice A~x = ~0.
18.2. POLRN ROZKLAD OPERTORU
Cvi en. Spotte pseudoinverse matic
0
A = (a1 a2 : : : an) B = B@
289
a1 1
.. C
. A:
an
(18.7)
Cvi en. Nech+ matice A m hodnost h. Jakou hodnost maj jej Grammova matice AAT a jej pseudoinverse?
18.2 Pol rn rozklad oper toru
V tto sekci najdete analogii zpisu komplexnho sla v exponencilnm
tvaru
z = r ei r(cos + i sin )
(18.8)
pro matice: vyjdme jakoukoli (nehermitovskou) matici jako komposici matice (resp. opertoru) hermitovsk a unitrn. M to velk
v
znam pro een rzn
ch aproximanch loh, kter jsou snadno eiteln pro diagonln
(resp. hermitovsk
) opertor. Rozklad obecnho opertoru pak umouje
rzn aproximan lohy eit obecn, jak uvidme ne.
Vta. Regulrn komplexn matici A lze zapsat v ktermkoli z nsledujcch t5 tvar (matice U U0 V V0 jsou unitrn { analogie komplexnch
jednotek ei , matice B C positivn denitn hermitovsk a D je matice positivn diagonln hermitovsk { tedy reln {)
A = CV = UB = U0 DV0
(18.9)
a navc
A A = B2 = V0 D2 V0 AA = C2 = U0D2 U0 U0 = UV0 : (18.10)
Pro dkaz sta prodiskutovat spektrln rozklad matice A A, kter je
nutn hermitovsk a positivn denitn. Pi+me tedy
A A = V0 EV0
5
Ti vztahy msto jednoho mme dky nekomutativit.
(18.11)
290
s unitrn V0 (vzorcem V0 V0 = 1) a diagonln6 relnou positivn E, kter
je Jordanovm tvarem A A. Polome proto E = D2 s jinou positivn relnou
diagonln matic D. Zejm matice
B := V0 DV0
(18.12)
je positivn denitn a hermitovsk a B2 = A A. Polome je+t
U := AB;1
(18.13)
a U bude unitrn, nebo BU UB = A A = B2 , a tak U U = 1.
Plat tak A = UB = UV0 DV0 = U0 DV0 pro U0 := UV0 .
Pklad uit spektrlnho rozkladu. Chtjme relnou nn tvercovou regulrn matici A co nejlpe! aproximovat matic B zadan hodnosti
h = h(B) < n. Co nejlpe! zde znamen minimalisovat normu kA ; Bk
pro matice B hodnosti h, kde
v
uX i 2 q
t2 a j = Tr(AA ):
kA k = u
(18.14)
ij
Diskusi provete sami, hlavn body postupu v dalm textu formulujeme jako
cvien.
Cvi en.
1. Uka te, e dan
norma je speci
lnm ppadem norem typu
kAk2 =
X
i
kA~xi k2 (18.15)
podrobnji norem odvozench ze skal
rnho souinu matic
b(A B) =
X
i
b(A~xi B~xi )
(18.16)
kde = f~xi g je njak soubor vektor v E n .
2. Je-li systm tvoc ortonorm
ln basi E n , je kAk = kAk pro ka dou
A a tedy uveden
norma k:::k nez
vis na .
6
Matice E je ur ena jednozna n a na permutaci vlastnch sel.
18.2. POLRN ROZKLAD OPERTORU
291
3. k:::k = k:::kU , kde U = fU~xi g, pro libovoln oper
tor U inkujc
na line
rnm obalu s unit
rn matic vi f~xi g.
4. kAUk = kAk pro libovolnou ortonorm
ln basi a libovoln unit
rn
U.
5. Nech%
A = U0 DAV0
je pol
rn rozklad A. Zaveme matici DB vztahem
B = U0 DB V0
(18.17)
(18.18)
a zva me si, e
kA ; Bk = U0DA ; U0DB = kDA ; DB k
(18.19)
podle vztahu minulho a n
sledujcho trivi
lnho
6. kAk = AT , podle eho (ve spojen s pedminulm bodem) tak
kUAk = kAk pro unit
rn U
A matic B dan hodnosti jsme
pevedli na lohu o nejlep aproximaci matice DA , o n tentokrt smme
pedpokldat, e je diagonln a positivn, matic DB . V tto oblasti najdeme
een lehce: i matice DB bude diagonln a positivn* zskme ji toti vynulovnm patinho potu nejmench diagonlnch element DA , abychom
Zvr. >lohu o nejlep aproximaci
doclili poadovan hodnosti.
Shrnujeme: nejlep aproximac k A je matice
B = U0 DB V0
(18.20)
kde DB je nejlep aproximac DA .
Cvi en. Spotte pseudoinversi D: diagon
ln matice D (nezapad
do
ppad, kter jsme ji potali).
S pou itm tetho pol
rnho rozkladu denujte matici
A: = V0 D:U0
a uka te, e jde o pseudoinversi k A.
(18.21)
292
Cvi en. Je-li A tvercov matice, tak AAT i AT A maj stejn
Jorda-
nv (diagonln!) tvar (co je silnj forma tvrzen dokzanho u ve cvien
na konci kapitoly spektrum). Vyuijte polrn rozklad A.
Cvi en. (Tzv. Golden-Thompsonova nerovnost pouvan nap. v kvantov teorii pole.)7
Pro libovoln dva hermitovsk opertory A B plat nerovnost
Tr exp(A + B) Tr exp A exp B
(18.22)
(piem rovnost nastv prv tehdy, kdy A a B komutuj).
A vzpomnte, jak je to pro determinant?
Dkaz. Rozepeme levou i pravou stranu jako
X Tr Ak Bl
k ! l! (18.23)
Tr(A0 B0 A00 B00 : : :) Tr(A0 A00 : : : B0 B00 : : :)
(18.24)
X Tr(A + B)n
n!
resp.
tak vidme, e sta dokzat nerovnosti typu
kde A0 A00 : : : oznauj njak mocniny matice A a podobn u B0 B00 : : :.
Pedpokldejme, e A a B jsou hermitovsk matice a matice B = D je
ji dokonce diagonln. (To smme podle vty o spektrlnm rozkladu a dky
cyklinosti stopy matice.)
Nerovnost (18.24) pak dostaneme, rozepeme-li stopy zmnn
ch souin
matic v (18.24), z nerovnost typu
xn1 yn2 zn3 nn1 xn + nn2 yn + nn3 zn * n = n1 + n2 + n3
(18.25)
(co je znm nerovnost mezi aritmetick
m a geometrick
m prmrem!).
Napime si to podrobnji teba pro A = A0 = A00 = : : : a pro B0 =
Dn1 * B00 = Dn2 * B000 = Dn3 :
X
aij (dj )n1 ajk (dk )n2 akl (dl )n3 (18.26)
ijk
nn1 Tr ADnA2 + nn2 Tr A2 DnA + nn3 A3 Dn = Tr A3Dn:
7
Pro ueten msta umis&ujeme zde, nikoliv na konec kapitoly Spektrln rozklad.
Kapitola 19
e tensor
19.1 Co jest tensor
Zvoliv1 rozpravu o potu tensorovm za pedmt tto posledn kapitoly, doufm, e se zavdm tenstvu hojnmu naemu a to tm vce, jeliko v na
matetin nen mnoho spis o tomto veledleitm pedmtu jednajcch.
Linern algebra pojednv, jak nm znmo ji, o pedmtech obecn
ch i
konkrtnch, aby s jedn strany poadavkm dostaten obecnosti mathematick hovla a s druh strany poznn toho, s m se stle st
kme v mathematice i v prodozpytu, rozovala* neb kter vdomosti byly by prospnj neli ty, kter schopnosti abstrakce mathematick rozvinuj a navc nm
obcovn v prod a s prodou usnaduj?
Poohldneme-li se na nai dosavadn innost, poznme ihned, e prvnmu
elu bylo pedevm hoveno* pevldaj+ valn v textu naem konstrukce
abstraktn, a i v tch mnoho konkretnho jest jak tenstvo nae zajist
poznalo.
Zvoliv tedy nyn pedmt potu tensorovho za nai rozpravu, budi hned
zpedu podotknuto, e pedmt, je jsem pro tenstvo sv hojn dle skrovn
ch sil sv
ch upravil, bude pojednn v obecnosti ne men, ne dosavadn
themata nae, m jsem se arci vzdal nadje, e by vichni tenov vemu
stejn porozumli* vyaduj+ zkladn konstrukce theorie tensorov nkter dvj abstraktn konstrukce nap. theorii dvojatosti jako i zklady
Cantorova potu mnostevnho.
Spis tohoto druhu nesm se porovnvati s povdkami, kter jednou byve
peteny obyejn ztrc vechnu cenu, n
br slu se jej pokldati za nutn
1
Neprolo jazykovou pravou.
293
294
KAPITOLA 19. E TENSOR%
len prostonrodn knihovny studentsk.2
Tensor jako multilinern zobrazen. Bylo by omylem povaovat
pojem multilinernho zobrazen za ppravu k studiu funkce vce promnn
ch v anal
ze. Spe je mon ci toto: pojem linernho zobrazen odpovd
tm situacm v anal
ze (typicky vce promn
ch), kdy ns zajm diferencil prvnho du. Pojem kvadratick formy nastupuje v anal
ze tam, kde
informace dan diferencilem prvnho du je pli triviln. (Pechod od
kvadratick formy k bilinern form je pro anal
zu ovem zcela formln
zleitost.) Zato vak existuj v anal
ze, a mnohem etnji v geometrii a
fysice objekty, popsan multilinernmi formami. Zatm jsme mli jedin
netriviln pklad multilinern funkce vce ne dvou promnn
ch: lo o pojem
determinantu.
Teorii tensor je mono budovat na prostorech se skalrnm souinem
(viz nap. knihu J. Kvasnici), co asto dostauje pro aplikace a co je mon pro zatenky stravitelnj!, neb nevyaduje pojem dulnho prostoru* po pravd eeno se vak pojem dulnho prostoru spe jenom dokonale
zamaskuje tm, e se ztoton dul s pvodnm prostorem pomoc vty o representaci a transformace souadnic se provdj pouze ortogonln.
Teorii tensor je mono ovem budovat i obecn na linernch prostorech
i bez skalrnho souinu* skalrn souin se potom pouv jen k nkter
m
specilnm konstrukcm. Tento postup je v souasn literatue astj, je
logitj a asi i jednodu (i kdy nikoli nutn pro zatenky). Pidrme se
ho ji proto, e kapitola o dualit m smysl pedevm s ohledem na budovn
teorie tensor. Kdy jsme ji dualitu zvldli (haha?), bylo by nesmysln
zavdt tensory njak
m specilnjm zpsobem.
Pklady tensor.
skalr (tensor bez index, m jednu sloku, kter se nemn pi transformacch)
vektor (kovektor, kontravektor)
zobrazen, opertor* jeden index nahoe a jeden dole* identickmu zobrazen ^1 : V ! V odpovd Kronecker
v tensor bilinern forma (nap. Riemannova metrika g )
#vod zpracovn voln dle spisu !O povtrnosti", dr. F. J. Studni ka, Praha, 1872, Matice lidu { spolek pro vydvn lacin
ch knih esk
ch. F.J. Studni ka byl prvnm rektorem
esk sti UK.
2
19.1. CO JEST TENSOR
295
dal tensory z obecn teorie relativity* nap. tensor kivosti R ,
tensor hmoty (tj. hustoty energie a hybnosti) T
tensor setvanosti Iij , pomoc nho lze vyjdit moment setrvanosti
na osu zadanou jednotkov
m vektorem ~v, vztah mezi vektorem hlov
rychlosti a momentem hybnosti atd. a vztah pro energii rotujcho tlesa jako hodnotu kvadratick formy po dosazen vektoru hlov rychlosti
(jde o speciln ortogonln! tensory, proto vechny indexy dole)
(19.1)
I = Iij vi vj Li = Iij !j E = 12 Iij !i !j : : :
tensor napt ij a deformace "ij * jako pklad vzorc uvedeme vztah
~ (normlov
vektor k ploce o velipro slu psobc na ploku dS
kosti stejn jako m ploka obsah), vztah mezi nimi pomoc tensoru
prunosti (Hookv zkon), kter
pro isotropn ltku me obsahovat
jen dv nezvisl konstanty , protoe mus b
t zkonstruovn jen
z delta-tensoru (vechny indexy peme dol: pipoutme jen ortogonln transformace)
dFi = ij dSi ij = cijkl"kl : : :
cijkl = ij kl + 2 (ik jl + il jk )*
(19.2)
tensor deformace "ij = 1=2(@i uj + @j uj ) lze tak interpretovat tak, e
udv, na jak
elipsoid tvaru (alespo pro mal "ij )
(ij ; 2"ij )xi xj = r2
(19.3)
se smkne! kulov
element objemu danho tlesa xi xi = r2 (alespo
pro tak mal polomry koule r2 , abychom mohli zanedbat eventuln
nekonstantnost "ij v kouli)
dal a dal fysikln tensory, nap. tensor polarisovatelnosti, ud-
vajc vztah mezi vektorem polarisace a vektorem elektrick intensity
v krystalech (v homogennch ltkch je nsobkem ij )
Pi = ij Ej piezoelektrick tensory a mnoh jin
determinant
(19.4)
296
Abyste mohli lpe st dal text, osvte si, co je to faktorprostor (v hledn
vm pome rejstk).
Vysvtlete, pro je faktorprostor V podle W speci
lnm ppadem faktorm-
noiny, tzn. mno iny vech td ekvivalence ~ typu
v^ = fv 2 V j v0 ~vg
(19.5)
(ekvivalence je relace, kter je re/exivn, symetrick a transitivn) pro speci
ln ekvivalenci
~v~~v0 () ~v ; w
~ 2W :
(19.6)
Definice formlnho linernho obalu. Budeme potebovat jet
jednu abstraktn konstrukci, toti vytvoen vektorovho prostoru nad zvolenou bas. Nsledujc denici lehce pochopte, pedstavte-li si dobe znm
linern prostor R n jako formln linern obal mnoiny f1 2 : : : ng.
Formlnm linernm obalem Lf (X ) mnoiny X budeme3 mnit mnoinu vech (reln
ch i komplexnch podle kontextu) funkc na mnoin X .
Kad
prvek ~ 2 Lf (X ) lze zapsat ve tvaru
~ = X (x)~vx
x2X
(19.7)
kde vektor ~vx 2 Lf (X ) oznauje funkci (y) = xy . V ppadech, o nich
budeme mluvit, budeme (i pokud X bude nespoetn) kombinovat konen
poet jejch prvk. V ppadech sloitjch (nap. chceme-li Hilbertv
prostor kvantov mechaniky jedn stice popsat jako komplexn formln
linern obal prostoru R 3 ) bychom sumu (alespo formln) nahradili njak
m integrlem, Kroneckerovo delta njakou delta-funkc atd.
Ti de
nice tensorovho souinu prostor
Prv definice. Nech+ V a W jsou linern prostory majc base ~v1 :::~vn
~ 1 : : : w
~ m . Pak formln linern obal kartzskho souinu bas naz
vme
aw
tensorovm souinem V a W a zname ho
V
W := (f~v1 : : : ~vng fw~ 1 : : : w~ mg):
L
(19.8)
Jestlie bude zejm, e jin
linern obal ne formln nebudeme umt konstruovat,
budeme index f vynechvat.
3
297
Prvky V W budeme zapisovat ve tvaru
X
$
T = (~vi w~ j )tij ij
(19.9)
~ j je nov oznaen pro prvek (~vi w
~ j ) kartzskho souinu bas
kde ~vi w
(naz
van
asto dyadick souin vektor), a jest prvkem base V W .
Denice jest tedy takov, e
dim(V W ) = dim V dim W :
(19.10)
Nejde tedy o kartzsk
souin V W , kter
m dimensi dim V + dim W ,
a tud ho rdi zname tak V W . (Toto znaen jsme ji uvali u direktnch rozklad prostor.) Prostor W V je isomorfn prostoru V W ,
a o tto skutenosti se vyjadujeme jako o komutativit tensorovho souinu. (Nechpejte tuto vtu jako tvrzen o komutativit nsoben
matic. S takovmi nedbalostmi si zde nezahrvme.) Meme tak konstruovat isomorsmy mezi prostory
(V W ) = ( U V ) ( U W ) (19.11)
co nm umouje mluvit i o distributivnosti vi . (Ovte alespo,
U
e prostory na obou stran
ch maj stejn dimense.)
Zatm se nebudeme obtovat otzkou, zda nezvis denice na volb
base (lze konstruovat isomorsmy), vta ne nm ve vypov.
Druh definice. Tensorov
m souinem V W naz
vme prostor vech
bilinernch forem na kartzskm souinu V 0 W 0 dulnch prostor.
Vztah tto nejkrat denice k denici prv plyne z nsledujcho.
Vta. Kad bilinern forma B na V 0 W 0 je urena jednoznan sly
~ 0j )
bij = B (~v0i w
(19.12)
~ 0j g oznauje duln basi, protoe
kde f~v0i g resp. fw
X
B(
i~v0i X
~ 0j ) =
j w
X
~ 0j ):
i j B (~v0i w
(19.13)
~ j s bilinern formou
Dsledek. Ztotonme-li tensor ~vi w
~ 0 ) 7! v0 (~vi ) w0 (w
~ j )
(~v0 w
(19.14)
298
mme tm zadn isomorsmus V W na prostor vech bilinernch forem
na V 0 W 0 , m je tak vyzena otzka V W zkonstruovan
ch podle
rzn
ch bas dle denice prv. Objasnte.
Definice tet. (]) Tato nejabstraktnj denice je matematiky nejpouvanj.
Tensorov
m souinem V W rozumme faktorprostor4
L(V W )=Z
(19.15)
kde Z je linern podprostor generovan
vektory
~1+w
~ 2 ) ; (~v w
~ 1 ) ; (~v w
~ 2)
(~v w
~ ) ; (~v1 w
~ ) ; (~v2 w
~) :
(~v1 + ~v2 w
(19.16)
~
~
(~v w) ; (v ~w)
~ ) ; (~v w
~)
(~v w
Podrobnou diskusi posledn denice vynechme.
Spojen prv a tet definice. Nech+ mnoina f~v1 ~v2 : : :g generuje
~ 1 : : :g generuje W . Potom prostor
a mnoina fw
Lf f(~
vi w~ i)g=Z
(19.17)
kde Z je podprostor L generovan
vemi prvky tvaru
P i (~v w~ ) kde w~ 2 W a P i~v = ~0
i
i
i
i
P
(19.18)
~ j ) kde ~v 2 V a Pj j w
~ j = ~0
a j j (~v w
je isomorfn V W .
V
~ 1 : : :g
Poznmka. Extrmnmi monostmi voleb mnoin f~v1 : : :g resp. fw
je jednak base V resp. W * v tomto ppad dostvme denici prvou, protoe
Z je triviln podprostor obsahujc jen (~0 ~0) nulov
prvek.
Druhou extrmn monost je dosazen cel
ch prostor V resp. W za
~ 1 : : :g, m dostvme tet denici tensorovho soumnoiny f~v1 : : :g a fw
inu.
Dkaz jenom nazname. Vyjdeme ze sprvnosti prv denice a pidme
njak nov vektor
X
~vn+1 = i~vi
(19.19)
i
Jde o faktorprostor opravdu obho prostoru, kter
!m" dimensi takovou, jako je
po et prvk v V W . Tato troufalost je pinejmenm zde uite n.
4
299
do souboru ~v1 : : : . Tm sice zvt+me prostor L, nikoli v+ak 0faktorprostor,
$
$
jeliko pro kad element t novho prostoru L existuje t ze starho L
takov, e5 (~)
$
0
$
t;t =
X
j
~ j) ;
j (~vn+1 w
XX
i
j
~ j ) 2 Z (!)
i j (~vi w
(19.20)
Tvrzen. Kad bilinern zobrazen
F : V W ! W~ (19.21)
kde V W W~ jsou linern prostory, lze jednoznan rozit na linern zobrazen
F : V W ! W~ *
(19.22)
~ ) = ~v w
~
ozname-li symbolem j vnoen j (~v w
~ ) = j (~v ~w) = j (~v w
~ )), tak
(pozor, j (~v w
~ ) = F (~v w
~ ):
F = F j , s argumenty F (~v w
(19.23)
Dkaz opt jen strun: ned moc prce roz+it kad zobrazen (bili-
nearity zde neteba) na kartzskm souinu
~ 1 : : :g ! W~
F : f~v1 : : :g fw
(19.24)
na linern zobrazen na L. Bilinearitu uijeme teprve v okamiku, kdy ukazujeme, e takto roz+en zobrazen se anuluje na podprostoru Z L.
V W { tedy prostor
podle denice druh { jsme tmto ztotonili s dulem prostoru V W
(je teba jet dodat, e restrikc linernho zobrazen na V W je bilinern
zobrazen na V W ).
Zcela analogicky je mono ztotonit prostory
Dsledek. Prostor vech bilinernch forem na
V0 W
0
(V W 0 )0 = V 0 W (V 0 W 0 )0 = V W atd.
(19.25)
(Pro nekonenrozmrn prostory V W , kde navc uvaujeme rzn topologie, to ovem takto jednoduch nen!)
5
$
Peme jen tu st t , kter nele ve starm L.
300
~ 2 W . Tensorem
Definice. Nech+ ~v 2 V w
t = ~v w~ tij = vi wj
ozname ten prvek t 2 (V 0 W 0 )0 , pro nj plat
~ 0) = v0 (~v) w0 (w
~ 0 ) tij vj0 wj0 = vi0 vi wj0 wj :
t(~v0 w
$
Terminologick poznmka. Je tedy mono chpat prostor W
(19.26)
(19.27)
V 0
jako prostor vech Y-linernch zobrazen (Y je tleso, Y-linearita znamen,
e zobrazen piazuje vektoru vynsobenmu konstantou k 2 Y opt knsobek, co vektoru pvodnmu) z prostoru V do W . Ten se tak nkdy zna
jako Hom (V W ) a k se, e je kovariantn podle W a kontravariantn
podle V (kvli t rce).
Tvrzen bez dkazu. Nech+ ~v
posledn denice
~v w
~=
X
ij
2 Pi ~vi i w~ = Pj w~ j j . Pak podle
~vi w
~ j i j (19.28)
~ i denovat.
pomoc eho bychom mohli ve smyslu prv denice v
raz ~v w
Definice. Tensor
~v w
~.
t 2 V W nazveme rozloitelnm, pokud je tvaru
$
~ jsou ureny a na to, e lze jeden z nich vydlit a druh
Vektory ~v w
vynsobit njak
m , jednoznan.
Cvi en. Nech+ P je prostor funkc (teba polynom) na R . Tensorov
souin P P je mono ztotonit s jist
m prostorem funkc na R 2 (dvou
promnn
ch). Elementy ~f ~g jsou prv ty funkce, kter maj tvar
f(x y) 7! f (x)g(y)g : R R ! R :
(19.29)
Rozen. Tensorov
souin vce (ne dvou) linernch prostor (nap.
nebo jako souin U a jeho prvky lze zase
nazvat vektory). Natst, ob denice vedou k isomorfnm prostorm, a
o tto vlastnosti budeme mluvit jako o asociativit tensorovho nsoben
(zvorky budeme vynechvat).
U V W ) lze zkonstruovat jako souin (U V ) W
(V W ) (prostor U V je opt linern prostor
301
Prvky tensorovho souinu U V : : : Z budeme zapisovat ve tvaru
$
T=
X
(~ui ~vj : : : ~zl )tij:::l :
i j ::: l
(19.30)
Tensor tedy lze chpat jako tabulku sel indexovanou nkolika (dn
m,
jednm, dvma, temi6 atd.) indexy, vak dvajc informaci pouze ve zvolen
ch basch ve U ,: : : ,Z. Se zmnou base se mn i tabulka sloek tensoru!:
$
T v nov
ch basch prostor U V ,...Z,
toti v basch f~u~ i g, f~v~ j g,: : : ,f~z~l g a matice pechodu od nevlnkovan
ch k vlnkovan
m basm ozname U, V,: : : ,Z, nap.
(~u~1 : : : ~u~n ) = (~u1 : : : ~vn )U:
(19.31)
Vta. Vyjdeme tento tensor
Potom tensor napsan
v nov
ch basch
X
$
T = (~u~i ~v~j : : : ~z~l )t~ij:::l
i j ::: l
(19.32)
bude mt sloky takov, e sloky ve star
ch basch jdou vyjdit jako
X i j
tij:::l =
u ~{ v |~ : : : z l~l t~~{|~:::~l :
(19.33)
~{ |~ ::: ~l
Dkaz. Sta dosadit ~u~~3 =
P ~u ui (a podobn pro ostatn base) a
i i ~3
tensorov roznsobit s uitm distributivnho zkona.
$
T=
X X
(~ui ~vj : : : ~zl )ui~{ vj|~ : : : z l~l t~~{|~:::~l
~{ |~ ::: ~l i j ::: l
(19.34)
Matematick pklady tensor.
Prostor polynom vce promnn
ch lze pst jako tensorov
souin prostor polynom jedn promnn: xm yn ztotonme s xm yn .
V tomto smyslu je Hilbertv prostor stav dvou stic v kvantov
mechanice tensorov
m souinem Hilbertov
ch prostor tchto stic*
popisujeme-li dv stice, vlnovou funkci musme denovat v estirozmrnm prostoru { nejsou to tedy dv vlny v trojrozmrnm prostoru!
6
D le tymi, pti atd.
302
(]) Analytici rdi povauj prostor funkc vce promnn
ch za tensorov
souin prostor funkc jedn promnn. V ppad nekonendimensionlnch prostor je douc zkonstruovat jet vhodnou topologii na
V W . Pak se ukazuje, e prostor C(h0 1ih0 1i) spojit
ch funkc na
danm dvourozmrnm intervalu s normou kf k = supx y2h0 1i jf (x y)j
je zplnnm Ch0 1i Ch0 1i. (~)
Uveden tematika tvo rozshlou partii funkcionln anal
zy (Grothendieck,: : : ).
Vidme, e v tchto ppadech jsme nahleli na tensory spe v duchu denice prv a tet. Jindy (tensor setrvanosti, metrick
tensor, piezoelektrick
tensor) je pirozenj mluvit v duchu denice druh, to jest kvadratick
formy.
V dalm se omezme na tensorov souiny V W : : : Z vznikl
tensorov
m nsobenm prostor V W : : : Z, kter jsou vechny kopiemi
jednoho zvolenho vektorovho prostoru eventuln jeho dulu (obyejn
jde o prostor isomorfn njakmu R n ).
Odedvna v tto knize uvme zpis pomoc hornch a dolnch index,
kter
pin nesporn v
hody: vechny stance (a tedy tak ob strany
rovnic) mus mt stejn ty horn i doln indexy (a kad
se sm vyskytovat
jen jednou), kter nejsou hluch* hluch
mi indexy mme na mysli indexy,
vyskytujc se v rovnicch jednou nahoe a jednou dole, piem podle nich
provdme stn, nap.
X
F V = F 0 V0 + F 1 V1 + : : : + F d Vd = F V
(19.35)
a (jak vidte v poslednm vyjden) znak sumy lze vynechat v souladu s Einsteinovou suman konvenc.
V dalm bude E pevn
vektorov
prostor s bas ~e1 : : : ~ed a E 0 jeho
dul.
Definice. Tensor tvaru
$
T=
X
0
0
0k
0l
aij:::
kl:::~ei ~ej : : : ~e ~e : : : 2 E E : : : E E : : : (19.36)
kter
m u koecient aij:::
kl::: m hornch a n dolnch index, tedu u souin
0
k
~ei : : :~e : : : m m dolnch a n hornch index, naz
vme m-krt kontravariantn a n-krt kovariantn. Budeme tak kat, e je to tensor typu
(n m).
303
Tak napklad, vektor base ~e1 prostoru E je (jednou) kontravariantn
vektor neboli tensor typu (0 1).
Zmme nyn basi f~ei g a odpovdajcm zpsobem duln basi f~e0i g:
matice C nech+ je matic pechodu od base ~e1 : : :~en k nov basi ~f1 : : : ~fn :
~f~{ = ~ej cj~{:
(19.37)
Pipomnme, e je potom ((c;1 )~{j jsou elementy inversn matice)
~f 0~{ = (c;1 )~{j~e0j (19.38)
co lze zapsat v mn pirozenm tvaru mn pirozen
m zavedenm kontragradientn matice D = (C;1 )T (pozor, u dji uruje { na rozdl od naich
zvyk { doln index j dku)
~f 0~{ = ~e0j dj~{ :
(19.39)
Potom se sloky tensoru s obma druhy index u sloek transformuj podle
nsledujcch vzorc: nech+
$
~{|~::: ~ ~
0k
0l
~ 0k~ ~ 0~l
T = aij:::
kl:::~ei ~ej : : : ~e ~e : : : = a~k~~l:::f~{ f|~ : : : f f : : : : (19.40)
Potom je (pipomnme Einsteinovu konvenci)
~{|~::: ;1 k~ ;1 ~l
i j
aij:::
kl::: = c ~{ c |~ : : : a~k~~l:::(c ) k (c ) l : : : :
(19.41)
Pklad. Tensor (1,1)
aji ~ej ~e0i = ~ej aji~e0i
(19.42)
ztotoujeme s opertorem ~ei xi 7! ~ej yj , kde yj = aji xi . Vzorec pro transformaci tensoru je potom dobe znm
m vzorcem
~ ;1
A = CAC
(19.43)
pro zmnu matice zobrazen pi zmn base.
Dvakrt kovariantn tensor
aij~e0i ~e0j
(19.44)
ztotoujeme s bilinern formou na E danou pedpisem
B (~ei xi~ej yj ) = aij xixj :
(19.45)
304
Ve vzorci pro transformaci tensoru poznvme formuli popisujc zmnu matice kvadratick formy pi zmn base:
akl = a~k~~l (c;1 )k~k (c;1 )~ll = (c;1T )kk~ ak~~l (c;1 )~ll :
(19.46)
~ ;1 , co znme v obrcenm
Z poslednho tvaru je vidt A = (C;1 )T AC
tvaru A~ = CT AC.
Operace s tensory
Tensory z tho prostoru lze stat (jejich souadnice! se pitom staj),
lze mezi sebou nsobit tensory typu (n m) a (n0 m0 ), aby daly jako v
sledek
tensor (n + n0 m + m0 ). Napklad lze pst pro souadnice!
cijklmn = aik bjlmn:
(19.47)
Specilnm ppadem tohoto je nsoben konstantou { skalrem, tensorem
typu (0 0).
Ale hlavn lze tensory it* zvolme si pr index (jeden horn a jeden
doln) souadnic tensoru typu (m n), abychom msto obou napsali t
index,
stali podle nho a dostali souadnice tensoru typu (m ; 1 n ; 1).
Pak lze na velkou st linern algebry (krom specilnjch! parti
zaloen
ch na pojmu spektra opertoru) nahlet jako na sadu cvien ilustrujcch pojem en tensor
. Jak se vm lb takov
nzor? Dve ne
odpovte negativn, pette si nsledujc pklady.
Hodnota linern formy ~u0 (prvku dulnho prostoru, jednou kovariantnho tensoru) ve vektoru ~v je enm tensoru typu (1 1)
u0 (~v) = u0i vi:
(19.48)
Tensorov
m nsobenm dvou tensor typu (1 1), kter
mi jsme nahradili
$
opertory, dostaneme tensor t typu (2 2), jeho vhodn
m enm dostvme
tijkl = aik bjl tijjl = cil = aij bjl
(19.49)
souin matic C = AB.
Z jednoho tensoru se souadnicemi tij typu (1 1) lze enm dostat skalr
tii . Co je to? U jste na stop?!
Pesvdili jsme ji tene o hloubce denice Henriho Poincar, e Matematika je umn nazvat rzn vci stejnmi jmny. ?
305
Cvi en. Na rozdl od stopy oper
toru jsme nikde nediskutovali pojem stopy
kvadratick formy. Vte pro?
Tensory na euklidovskch prostorech. Podle nzoru nkter
ch
je toto a jenom toto prv to, co fysikov potebuj.
Urit to nen tak pln pravda, neb zvlt sloitj linern prostory
(nekonen dimense) jsou potebn, a pitom nemvaj vdycky k disposici
skalrn souin.
Potme-li obvykl
euklidovsk
skalrn souin, tak ho pro vektory ~x ~y
dostaneme jako
X
b(~x ~y) = xiyi:
(19.50)
i
Ale podle toho, co jsme ekli o tensorech a o zkonech zachovn index, nen
tato rovnice korektn. Lze ji ovem spravit, zavedeme-li symetrick
metrick
tensor gij a zapeme tedy souin jako
b(~x ~y) = gij xixj :
(19.51)
Meme povolit zvedn a spoutn index za pomoci metrickho tensoru,
nap. pro tensory typu (1 0) a (0 1) (a jeden sloitj)
ti = gij ti tl = tk gkl mabcde = gee0 ma b0c0 d e0 gbb0 gcc0
(19.52)
zavedeme-li inversn metrick
tensor se souadnicemi takov
mi, aby
gij gjk = ik :
(19.53)
Skalrn souin lze pak strun pst jako7 xi yi = xi yi . Inversn tensor vypoteme jako inversn matici, a proto je poadavek ekvivalentn podmnce
gij gjk = ki :
(19.54)
V euklidovskm prostoru vak b
vaj lid mnohem tvrd: povol jen takov base a transformace (ortogonln), ve kter
ch m metrick
tensor tvar
(zkratka) gij = ij . Potom horn index hraje tut roli jako doln
vi = vi vab cd = va bcd : : :
(19.55)
a nen je teba rozeznvat, a proto nab
v smyslu teba i pojem stopy kvadratick formy.
Rovnost dvou uveden
ch v
raz je dsledkem obvykle poadovan symetrie metrickho tensoru.
7
306
19.2 Symetrick a antisymetrick tensory
Doufejme, e nikoho moc nemrz, e ji del dobu mluvme spe o souadnicch! tensor ne o tensorech. Vdy mluvme o tensoru, zapsanm ve
standardnm tvaru (souet tensorov
ch souin vektor base { a dulnch
vektor base { nsoben
ch pslunou souadnic!).
Nyn si budeme vmat symetrie a antisymetrie vi permutacm nkter
skupiny index (mus b
t vechny horn nebo vechny doln) a s eventulnmi
ostatnmi indexy tensoru nebudeme h
bat. Pro konkrtnost, budeme mluvit
o tensoru, kter
jin takov indexy nem, a budeme se zab
vat (anti)symetri
vi permutacm n dolnch index (souadnic).
Definice. Nazvme (anti)symetrisac8 tensoru se souadnicemi cij:::p
tensor
X
(anti)symij:::p cij:::p = n1! fznak gc(i) (j ) :::(p) (19.56)
kde stme pes vechny permutace mnoiny psmen pro indexy fi j : : : pg
a znak peme v ppad antisymetrisace. Pokud je to mon, peme msto
textu (anti)sym! zvorky kolem index, podle nich (anti)symetrisujeme,
nap.
tij (kl)mn = symkl tijklmn tijhklimn = antisymkl tijklmn:
(19.57)
Faktor 1=n! je volen tak, aby dvoj proveden (anti)symetrisace dalo tot,
co proveden jedin. (Anti)symetrisac toti dostaneme (anti)symetrick
tensor, to jest takov
, e pro kadou permutaci cij:::p = fznak g c(i) (j ) ::: (p):
(19.58)
Mnoh uiten tensory b
vaj symetrick (kvadratick formy, moment
setvanosti atd.), mnoh antisymetrick (determinant, tensor elektromagnetickho pole F , sjednocujc vektor elektrick intensity a magnetick
indukce v teorii relativity).
Samozejm, zajmav by mohlo b
ti i studovat (anti)symetrii(isaci) vi
zmnm dvojic index* nap. velk
tensor kivosti R je nejen antisymetrick
vi zmn jako i , ale je tak symetrick
vi zmn
onch dvojic index
R = R :
(19.59)
8
Antisymetrisaci se tak k alternace.
19.2. SYMETRICK A ANTISYMETRICK TENSORY
307
Tmito otzkami se nebudeme pli zab
vat.
Symetrisace tensoru ~v1 : : : ~vm , kde ~vi jsou vektory (nebo obecnji
symetrick tensory) se nkdy oznauje symbolem
~v1 sym
: : :sym
~vn:
(19.60)
Obdobn antisymetrisace tensoru ~v1 : : : ~vm , kde ~vi jsou vektory (nebo
obecnji antisymetrick tensory) se (vdy) oznauje symbolem skobka!
~v1 ^ : : : ^ ~vn
(19.61)
a naz
v se vnjm (Grassmannovm) souinem vektor (...) ~v1 : : : ~vm .
Mimo jin, pro tensor zadan
abstraktn multilinern formou na E E : : : E denujeme (anti)symetrii takto:
Definice. Multilinern formu f nazveme (anti)symetrickou, pokud pro
vechny n-tice vektor z E plat vztah
f (~v1 : : : ~vn ) = fznak gf (~v(1) : : : ~v(n) ):
(19.62)
Cvi en. Vyjdme-li f slokov
m zpisem
f (~eixi1 ~ej xj2 : : : ~ep xpn) = aij:::pxi1 xj2 : : : xpn
(19.63)
pak je denice nov v souladu se starou.
Definice. Symetrisovanm
tensorovm souinem E sym
E rozumme mnoinu vech mon
ch kombinac tensor typu ~vsym
w~ . (Na E sym
E
mme pirozen zadanou linern strukturu, ovte.)
Abstraktn lze E sym
E denovat jako faktorisaci prostoru E E podle
podprostoru generovanho vemi prvky tvaru
~v w
~ ;w
~ ~v:
(19.64)
(Ve slokch to znlo jednodueji, nebo ne?)
~)=
Uka te, e ka d symetrick zobrazen F : E E { tj. takov, e F (~v w
~ ~v) { lze jednoznan rozit na line
rn zobrazen na E sym
F (w
E.
308
Definice. Obdobn antisymetrisovanm tensorovm souinem
^ E rozumme mnoinu vech mon
ch kombinac tensor typu ~v ^ w~ .
(Na E ^ E mme pirozen zadanou linern strukturu, ovte.)
Abstraktn tento prostor denujeme jako faktorisaci V V podle jeho
E
podprostoru generovanho prvky
~e ~f + ~f ~e
(19.65)
m ve faktorisaci ztotonme tensory ~e ~f a ;~f ~e. Obecnji, prostor
Ym (E ) E ^: : :Ê (napravo m-krt E ) denujeme jako faktorisaci E : : :E
podle podprostoru Z generovanho tensory typu
~e1 ~e2 : : : ~em ; znak ~e(1) ~e(2) : : : ~e(m) (19.66)
kde je permutace na indexov mnoin f1 : : : mg. Pslunou tdu ~e1 : : : ~em + Z oznaujeme symbolem ~e1 ^ : : : ^ ~em.
$
Cvi en. Je-li m > dim E , je Ym (E ) = f 0 g.
Nvod. Kad
prvek Ym (E ) je linern kombinac prvk tvaru ~e1 ^ : : : ^
~em , kde ~ei volme z njak base E . Pro m > dim E se mus nkter
prvek ~ei
vyskytnout ve v
razu ~e1 ^ : : : ^ ~em alespo dvakrt* transponujeme-li tyto
dv kopie mezi sebou, uveden transposice na tensoru nic nemn, z druh
strany vak podle antisymetrie mn znamnko tensoru. Pouze nulov
tensor
se rovn svmu opaku.
Definice. Podobn jako u obecn
ch, lze i u antisymetrisovan
ch tensor
mluvit o rozloitelnosti tensoru t 2 Yk (E ), existuj-li vektory ~v1 : : : ~vk
$
takov, e t = ~v1 ^ : : : ^ ~vk .
$
Pklad. Kad
tensor z Y2 (R 3 ) je rozloiteln
, co souvis (jak zane-
dlouho uvidte) s tm, e ho vdy lze zapsat (a to nekonen mnoha zpsoby,
a to nejen volbou ) jako vektorov
souin! dvou vektor.
$
Naopak, u tensor t z Y2 (R 4 ) nemus b
t rozloiteln
, jako napklad
(~e1 : : : ~e4 tvo basi R 4 )
t = ~e1 ^ ~e2 + ~e3 ^ ~e4 :
$
Dkaz. Pokud by
t = ~u ^ ~v, byl by tzv. anultor
$
$
~ 2 R 4 j w~ ^ ~t = 0 g
An( t ) = fw
(19.67)
$
(19.68)
309
alespo0 dvourozmrn, protoe ~u ~v 2An( t )!
~ = ~eixi, tak
Na druh stran, je-li w
$
w~ ^~t = ~ei ^~t xi = ~e1 ^~e3 ^~e4x1 +~e2 ^~e3 ^~e4x2 +~e3 ^~e1 ^~e2x3 +~e4 ^~e1 ^~e2x4 (19.69)
co je rozklad njakho tensoru vi basi Y3 (R 4 ) a je tedy nulov jen pokud
jsou v+echna xi nulov, anultor tedy obsahuje jen nulov vektor.
Fysikln pklad. (]) U jsme mluvili o tom, e v kvantov mechanice
je Hilbertv prostor stav dvou rzn
ch stic (nap. protonu a elektronu)
tensorov
m souinem prostor tchto stic samotn
ch. Vezmeme-li symetrick
resp. antisymetrick
produkt N kopi prostoru stav jednoho bosonu
resp. fermionu (stice s celoseln
m resp. poloseln
m spinem, nap. fotonu, alfa-stice resp. elektronu, protonu atd.), dostaneme prostor stav
soustavy N tchto stic.
Poznmka. Formln direktn souet (kartzsk
souin prostor se stnm denovan
m po komponentch!)
R
E (E sym
E ) (E sym
E sym
E) :::
(19.70)
se naz
v symetrickou algebrou9 linernho prostoru E . Nkte to
radji p jako
1
1
1
(19.71)
R E (E E ) (E E E ) : : : =: exp(E )
1!
2! sym
3! sym sym
a naz
vaj to exponencilou danho vektorovho prostoru. Prvky tto algebry lze interpretovat jako formln mocninn ady nad E . Symetrick algebra prostoru je vdy nekonenrozmrn
m prostorem.
Na druh stran antisymetrick algebra linernho prostoru E zapsan jako direktn souet
Y(E ) = R E (E ^ E ) : : : Yn (E )
(19.72)
m pro konenrozmrn E dimensi konenou, konkrtn eeno
dim Y(E ) =
9
n
X
k=0
dim Yk (E ) =
n
X
n! = 2n k=0 k!(n ; k)!
!Algebrou" mnme v algebe vtinou okruh bez poadavku asociativity.
(19.73)
310
protoe skobky ~e1 ^ : : : ^ ~em z rzn
ch vektor base tvo basi Yk (E ). (Kombinan slo n nad k snad znte.)
Mluvili-li jsme o prvcch symetrick algebry jako o formlnch mocninn
ch adch, existence Y(E ) nm dv tuit, e by mohlo existovat nco
jako analza antikomutujcch promnnch. (Objev lze pipsat Berezinovi do roku 1969.)
Opravdu, pedstavme si sadu (i = 1 : : : n) antikomutujcch promnn
ch10 analogick
ch komutujcm xi
f~i ~j g = 0
(19.74)
kde fa bg = ab + ba oznauje antikomuttor (vztah ~i ~j = ;~j ~j mimo
jin implikuje ~2i = 0), a uvame, e kadou funkci tchto promnn
ch lze
zapsat jako
f = + i ~i + ij ~i~j + : : : + ij:::p~i~j : : : ~p
(19.75)
v kterto formuli se vyskytuje 2n nezvisl
ch koecient (tensory jsou
antisymetrick). Stat meme jen leny grassmannsk s grassmannsk
mi
nebo negrassmannsk s negrassmannsk
mi, tud bude polovina tensor nulov* podle toho, kter to bude, bude funkce f grassmannsk nebo negrassmannsk.
Meme tak parciln derivovat podle i-t promnn a pravidla
f @@~ @ @~ g = 0 f @@~ ~j g = ji
i
j
i
(19.76)
a integrovat* integrovn je v tomto svt tot co derivovn a jsme-li dsledn, je i hermitovsky sdruen
m opertorem k danmu ~i . Lze efektn
mluvit i o delta-funkci:
(~i ) = ~i :
(19.77)
Antikomutujc (fermionovsk: : : ) promnn hraj velkou roli v supersymetrii, superstrunch atd.
Matematick monosti, skryt pod tmito pojmy, jsou dleit v kvantov teorii pole. Bu- napklad E Hilbertv prostor11 stav jednoho elektronu
(pro nzornost mluvme o basi tohoto prostoru obsahujc vektory (n l lz sz ),
Dosud se zna pedevm psmenem # apod.
Nyn mluvme o komplexn variaci zmnn
ch pojm, kde se vechny vektory base
mohou nsobit komplexnmi faktory, algebra m tvar C : : : atd.
10
11
311
stejn tak bychom mohli vzt basi elektron se spinem nahoru/dol v bod
~x! apod.)
Antisymetrick algebra je te- (stejn jako E ) nekonenrozmrn a tvo
Hilbertv prostor, kter
je direktnm soutem n-elektronov
ch Hilbertov
ch
prostor pro n = 0 1 2 : : : . Stavy tvoc jeho basi lze pst nap. jako
(1s" ) (1s# ) (2s" ) j0i
(19.78)
kde j0i znamen vakuum a (2s" ) apod. jsou krean opertory pidvajc elektron do danho stavu. Snad v tom vidte jednak antisymetrisovan
tensorov
souin
(1s" ) ^ (1s# ) ^ (2s" )
(19.79)
a jednak Pauliho princip: tm, e byste kreovali dva elektrony do jednoho
stavu, byste dostali nulov
vektor (prvek antisymetrisovan algebry).
Men plonch obsah
Vnj (Grassmannovy) souiny jsou jet dleitj (alespo v geometrii)
ne symetrisovan tensorov souiny a vnujeme jim nkolik ppravn
ch poznmek. (Viz nejprve ppravn poznmky k denici determinantu ze zimnho semestru.)
Souvisej toti s pojmem plonho obsahu linernch tvar v euklidovskm (nebo kvasieuklidovskm na zpsob Minkowskho prostoru) prostoru.
Nech+ R(~v1 : : : ~vk ) je k-rozmrn
rovnobnostn
k
X
f ~viti j ti 2 h0 1ig
(19.80)
i=1
vymezen
vektory ~v1 : : : ~vk 2 R n .
Chtjme mu piadit veliinu
F (~v1 : : : ~vk )
(19.81)
kter by mla v
znam plonho obsahu! tohoto rovnobnostnu. (Toto
pojmenovn pochz z ppadu k = 2, n = 3, jindy by mohlo b
ti rozumnj hovoit o dlce, objemu apod.) Ppad k = n jsme ji diskutovali
(determinant): determinant matice A lze potat jako
det A = n! ai<i ajj : : : app> :
|
{z
n-krt a
}
(19.82)
312
Vimnte si, e tato rovnice m indexy zapsny korektn. Chceme-li spotat
n-rozmrn
objem n vektor ~si, i = 1 : : : n, spoteme si tensor
X
$
V = ~s1 ^ : : : ^ ~sn V ij:::p = n1! s1 (i) s2 (j) : : : sn(p)znak (19.83)
a vimneme si, e n!-krt V 12:::n nm vyjaduje objem rovnobnostnu vyt
enho vektory ~si v jednotkch objemu rovnobnostnu vyt
enho vektory base ~e1 : : : ~en * samozejm,
zmnou base se mn tento objem a tak se
$
budou mnit i sloky tensoru V, pokud se neomezme pouze na unimodulrn
transformace.
V
raz n! V 12:::n lze pst tak jako
V ij:::p "ij:::p
(19.84)
zavedeme-li pln antisymetrick
tensor "ij:::p s elementem "12:::n = +1.
(Elementy odpovdajc sud
m resp. lich
m permutacm jsou +1 resp. ;1.)
Tento tensor zstv pi unimodulrn zmn base (kdy matice pechodu je
unimodulrn) konstantn. Obecn, nsob se determinantem matice pechodu k nov basi, nap. pro zrcadlen mn znamnko.
Plon obsahy k-dimensionlnch objekt umstn
ch v n-rozmrnm
prostoru ale nelze potat pomoc objekt se stejn
mi vlastnostmi, jak m
determinant.
Grassmann si ani ne sto let ped vydnm tto knihy uvdomil, e antisymetrick
tensor
$
(19.85)
R(~v1 : : : ~vk ) = ~v1 ^ ~v2 ^ : : : ^ ~vk m plno plon
obsah! vystihujcch vlastnost* zvlt to, e
R(~v1 +
$
k
X
i=2
~vi i ~v2 : : : ~vk ) = R(~v1 : : : ~vk )
$
(19.86)
se nemn pitenm nsobk ostatnch vektor k prvmu (a obdobn pro
ostatn vektory), co nm pipomn invarianci velikosti plochy! vi tto
operaci.
$
Linern charakter m tensor R a nikoliv pouh slo!, jak
m je determinant (co je ovem { jak ji vme { tak tensor, i kdy tento fakt je
ad uivatel tohoto pojmu skryt dky tomu, e jde o speciln ppad nnsobnho vnjho souinu12 v prostoru dimense n).
Mluvme o determinantu matice, jej sloupce tvo souadnice vektor, nikoliv matice
zobrazen.
12
$
313
Zb
v nyn denovat normu na E ^ : : : ^ E a prohlsit R za velikost
k-rozmrn plochy! rovnobnostnu.
My natst znme konkrtn pklad, jak se to ve dl: chceme-li spotat obsah rovnobnka vyt
enho (trojrozmrn
mi) vektory ~a ~b, spoteme
si jejich vektorov
souin
~ = '~a ~b]
m
(19.87)
co je vektor, a velikost plochy dopoteme jako dlku tohoto vektoru.
Obdobn postupujeme i v tensorovm zpisu: vypoteme sloky tensoru
$
m
= ~a ^ ~b mij = 2!1 (ai bj ; aj bi )
(19.88)
a tverec obsahu dopoteme jako (doln indexy chpejte jako podle nedvno
diskutovan
ch pravidel sputn indexy)13
S 2 = 2!mij mij :
(19.89)
(Faktor 2! jsme pidali proto, e ve vzorci pro mij je 1=2!, kter se mocn
na druhou, ale zase sumace pes vechny dvojice rzn
ch i j je sumac 2!
stejn
ch len, a proto nsobme jen prvou mocninou 2!.)
Snad je zejm, jak se vytvo analogie pro obecn k (poet vektor
$
$
~a : : : ~d, poet index tensoru m
atd.). Tensor m
bude
$
m
= ~a ^ : : : ^ ~d mij:::p = a<i bj : : : dp> :
(19.90)
tverec obsahu k-rozmrnho rovnobnka!
R(~a : : : ~d) = ft1~a + t2~b + : : : + tk ~d j ti 2 h0 1ig
budeme potat jako
(19.91)
S 2 = k!mij:::p mij:::p:
(19.92)
$ $
b(m
n ) = k!mij:::p nij:::p:
(19.93)
Lze tedy zavst skalrn souin dvou tensor s k indexy
Na tomto vzorci je vidt linearita v prvm parametru, antilinearita
v druhm
$
$ $
a positivn denitnost (pro positivn denitn metriku, 8m
6= $0 b(m
m) >
0).
Od nynjka peme prouky, aby byly vzorce vyuiteln pro ppad komplexnch prostor (se skalrnm sou inem s pruhem). Mete si je odmyslit, sta -li vm reln varianta.
13
314
Vta. V
e denovan
skalrn souin antisymetrick
ch tensor spluje
podmnku
b(~v1 ^ : : : ^ ~vk w~ 1 ^ : : : ^ w~ k ) = det G
kde G = (gij ) je Grammova matice soubor vektor a je
~ j ) = vik wjk gij = b(~vi w
(19.94)
(19.95)
mme-li skalrn souin vektor zadn uveden
m zpsobem.
~ i a navc jsou vechny ~vi na sebe kolm, uveden
Konkrtn, je-li ~vi = w
determinant m hodnotu souinu tverc norem vektor ~vi .
Vidme, e v
raz m vechny poadovan vlastnosti a navc je i dobe
normovn. Protoe je sprvn zapsn po strnce indexov, je to skalr, kter
se nezmn, pejdeme-li k nov basi. Piteme-li k tto invarianci vi rotacm
jet nemnnost pi pitn k vektoru nsobk vektor ostatnch (i samotn
tensor je vi tomuto invariantn), lze vit tomu, e jsme nali tu pravou
formuli pro v
poet obsahu.
me
Dkaz. Rozep+eme-li skalrn souin do tvaru n!mij:::p mij:::p, dostane-
k! X v(i) v(j) : : : v(p) w 0 : : : w 0 znak znak 0 :
1 (i)
k (p)
k
(k!)2 0 1 2
(19.96)
Nyn najdeme nap. k initeli v1(i) takov initel mezi w, aby ml index tak
(i). Bude to ten s tm psmenem i : : : p, ktermu permutace 0 piad
(i), to jest s psmenem 0;1 ((i)). Dojdeme tak ke tvaru
1 X znak znak 0 v(i) w 0;1
(p)
0;1 ((i)) : : : v1 w0;1 ((k)) 0;1 ((p)) :
(
(1))
1
k ! 0
(19.97)
Ov+em oznaen hluchch index lze jakkoli prostdat a pst msto v+ech
(i) : : : (p) pmo i : : : p a sumace podle tak pejde na prost nsoben
k! (v+echny stance jsou stejn). Mme tedy vsledek, v nm poznvme
det G, jeliko znak 0 je t jako znak 0;1 a sumace pes inversn permutace
je tot, co sumace pes permutace.
X
0
znak 0 v1i w1 0;1 (i) : : : vkp wk 0;1 (p)
(19.98)
315
Vechny souvislosti mohou mt mnoho v
klad a my uvdme nkolik
reformulac. Podrobnji viz dal literaturu, teba '21].
Vta prv. Nech+ ~vi = ~ej aji , kde ~e1 : : : ~en je base E . Pak
~v1 ^ : : : ^ ~vk =
X
det A ~e!1 ^ : : : ^ ~e!k (19.99)
kde A oznauje matici vzniklou z (vysok) matice A v
brem dk s indexy !1 < !2 < : : : < !k a sumace ve vzorci se provd pes vechny takovto
v
bry `.
K dkazu vm sta denice determinantu.
Vta druh. Nech+ b(~:~:) je skalrn souin na E a nech+ ~e1 : : : ~en je
ortonormln base E . Pak vzhledem ke skalrnmu souinu plat nsledujc
zobecnn Pythagorovy vty.
k~v1 ^ : : : ^ ~vk k2 =
X det A2
(19.100)
a vysazen formule vty prv dv ortogonln rozklad tensoru ~v1 ^ : : : ^ ~vk .
Dsledek. Nech+ A je libovoln thl! matice o k sloupcch a n dcch. Ozname symbolem G jej Grammovu matici
G = A A:
(19.101)
(V relnm ppad si msto adjunkce pedstavte transponovn.14 ) Potom
plat vzorec
2
X
det G = det A (19.102)
kde sumace je pes vechny vybran k-tice !1 < : : : < !k z mnoiny index
1 : : : n.
Pravidlo pro zapamatovn. Mme-li
k-rozmrn rovnobnostn
vymezen vektory 1
k , tak jeho k-rozmrn "objem" V potme
vzorcem
= det , kde =
a do sloupc matice
peme
souadnice vektor 1
k . (Nkdy me bt vhodnj vzt msto
V
p ~v : : : ~v
G
G
~v : : : ~v
AA
A
Transponovn si lze pedstavit i v komplexnm ppad, pak je teba vynechat absolutn hodnotu v nsledujcm vzorci.
14
316
det
G pravou
k=na
stranu vzorce nahoe.) Popite podrobn ppady
dle vechny ppady
3.
kn
Poznmka. S pomoc techniky vnjho souinu a zavedenm skalrnho
souinu na Yk (E n ) jsme dokzali tvrzen z teorie determinant, kter bychom
tko dokazovali jenom prostedky samotn teorie determinant. Nejelnj by bylo asi postupovat nepmo, nap. lze lehce dokzat, e vynsobenm
matice A zprava njakou unitrn (resp. ortogonln) matic se nezmn ani
jedna strana zobecnn Pythagorovy rovnosti. (Kad
si to me zkusit.)
Navc m rozklad z vty prv v
znamnou geometrickou interpretaci:
Mjme ti vektory
0 1
x
~e1 = B
@ CA 0 1
~e2 = B
@ y CA 0 1
~e3 = B
@ CA
z
(19.103)
a zajmejme se o se prvnho oktantu, to jest plochu trojhelnku s vrcholy
v bodech s polohov
mi vektory ~e1 ~e2 ~e3 .
~ bude znait plochu trojhelnka s dvma
Dohodnme se lokln, e ~v ^ w
~ (tedy polovinu rovnobnka). Potom lze tensor see pst
stranami ~v w
jako
(~e3 ; ~e1 ) ^ (~e2 ; ~e1 ) = ~e3 ^ ~e2 ; ~e3 ^ ~e1 ; ~e1 ^ ~e2
(19.104)
a (ztotonme-li jet vnj souiny s vektorov
mi, co je vm asi jasn ji
~ ~S, kde ~S je normlov
te-, za chvli o tom budeme mluvit) skalrn souin D
vektor k ploe S s velikost shodnou, jako je velikost plochy, se d tedy pst
ve tvaru
FxSx + Fy Sy + Fz Sz (19.105)
kde nap. Sx u lze chpat jako plochu prmtu see do roviny x = 0. To
m za nsledek, e v plonm integrlu
Z
~
D~ dS
(19.106)
nezle na tom, zda plochu, po n integrujeme, trochu zhrubme nebo nikoli.
Navc, tverec plochy see se d podle naeho zobecnn Pythagorovy
vty zapsat jako
P 2 = Px2 + Py2 + Pz2 (19.107)
kde Px apod. jsou prmty see do dan
ch rovin (x = 0).
19.3. TENSORY V OBECN RELATIVIT
317
Vnj a vektorov sou in. Tensory z prostor Yk (E ) a Yn;k (E ) lze
ztotonit (vimnte si alespo, e maj stejnou dimensi) pomoc pln antisymetrickho tensoru (s n indexy) Levi-Civitty, toti ( je njak konvenn
konstanta)
ij:::pq:::t
ij:::p
|{z}
m
k
= :::"
| {z }
n
Mz}|{
n;k
q:::t
(19.108)
a indexy lze spoutt a zvedat pomoc metrickho tensoru.
Opt poznamenejme, e tensor " zstv invariantn jen pi unimodulrnch transformac* dokonce i mezi ortogonlnmi transformacemi je polovina
neunimodulrnch { jsou to zrcadlen (" je pseudoskalr). Pi nich mn
" znamnko a tedy se transformace tensoru s k indexy li od transformace
tensoru s (n ; k) indexy o znamnko.
Konkrtn, v trojrozmrnm prostoru rozeznvme polrn vektory
~ atd.), kter se pi zrcadlen transformuj stejn jako ~x. Vybere(nap. ~x ~p E
me-li za zrcadlen prostorovou inversi (stedovou soumrnost podle potku),
zmn znamnko.
Na druh stran lze napklad vektorov
m nsobenm dvou polrnch
vektor dostat tensor s dvma indexy, kter
lze pevst na vektor, nyn vak
axiln vektor neboli pseudovektor (nap. moment hybnosti, magnetick
indukce), kter
pi inversi znamnko nemn.
Doufme, e ji rozumte, za jak
ch pedpoklad lze povaovat determinant { vnj souin n vektor v n-rozmrnm prostoru, kter
je zajist tak
determinantem, za skalr.
19.3 Tensory v obecn relativit
(]]) Jak funguje Einsteinova gravitan teorie matematicky?
Mme tyi souadnice x , = 0 1 2 3 a rzn tensory jsou jejich funkcemi. V prvnch adch, jde o metrick
tensor g . Ten udv v kadm
bod geometrii. Chceme-li zjistit, jak je dlka (jej tverec) malho vektoru
o slokch dx umstnho v bod x , pouijeme vztah
ds2 = g (x)dx dx
(19.109)
s Einsteinovou suman konvenc pes vech 16 kombinac hodnot index
.
318
Mimo jin, metrika sta na formulaci zkona pohybu tlesa v gravitanm poli (zkona kosmick lenivosti): tlesa se mezi dvma body asoprostoru pohybuj po takov drze, aby vlastn as, kter
na drze nam, byl
maximln mon
(alespo ve srovnn s blzk
mi drhami).
Z ds = 0
(19.110)
Tento tensor pedpokldejme symetrick
(obecn lze tensor druhho du napsat jako souet symetrick a antisymetrick sti a antisymetrick
st nepispv k ds2 ) a uvejme ho na spoutn index: mme-li napklad tensor o slokch F , mluvme tak o tensoru se slokami F , kter
vypotme
F (x ) = g (x )F (x ):
(19.111)
Dle si spotme inversn tensor (jakoto inversn matici) g takov
, aby
g (x )g = :
(19.112)
Podotknme, e speciln teorii relativity zskme poadavkem konstantnho
g .
0
1
1 B ;1 CC
g = B
(19.113)
B@ ;1 CA
;1
(Stejn sloky pak m i g .) Tensoru g lze pak ut pro zvedn index:
F = F g :
(19.114)
Dle m smysl mluvit o determinantu g (podvej se, e pro speci
ln relativistickou metriku je z
porn), bapo odmocnin15 z jeho opan velikosti.
asto se o n mluv jako o skalru ;g, ale po pravd jde z hlediska transformanch vztah pesn o antisymetrick
16 tensor Levi-Civitta se tymi
indexy dole, co ocente pohledem na indexov sprvnou rovnici ne:
; p;g p;g = 4!antisym gg g g :
(19.115)
Udv cosi jako hustotu fysick
ch m4 na jednotkovou tyrozmrnou krychli v souadnicch% je to nzorn pi diagonlnm g .
16
Je teba se dohodnout na znamnkov konvenci, nap. p;g0123 > 0 (pro pravoto iv
soustavy).
15
319
Kad
tensor lze derivovat. Derivaci podle x zname @ namsto neprhlednho @=@x , take
@ x = :
(19.116)
Tmto zpsobem lze z tensoru dostat veliinu s jednm indexem dole navc.
Takto zskan veliina se vak nebude transformovat sprvn
m zpsobem! pi transformaci souadnic (nepjde-li o derivaci skalru nebo obecnji
o vnj - tj. antisymetrisovanou derivaci diferenciln formy, tj. pln antisymetrickho tensoru).
Co je to sprvn
zpsob transformace!? Na tyrozmrnm asoprostoru mjme
dv sady souadnic* kadmu bodu pia-me dv tveice sel x
0
a x (to, e jde o souadnice v rkovanm systmu, zname pouze0 rkami u index). Lze si (alespo lokln) pedstavit x jako funkce x nebo i
$
naopak. Potom sprvn
vztah mezi slokami njakho tensoru t mus b
t
t:::::: = @0 x @0 x : : : t0 0 :::0 0 :::@ x0 @ x0 : : : :
(19.117)
Napklad, jsou-li x a x 0 svzny linern (c 0 je konstantn)
x = c0 x 0 (19.118)
@0 x = c 0 00 = c0
(19.119)
plat po zderivovn nap.
a vztah mezi tensory lze pst ((c;1 )0 jsou elementy inversn matice)
t:::::: = c0 c0 : : : t0 0 ::: 0 0 :::(c;1 )0 (c;1 )0 : : : :
(19.120)
Pouh
m zderivovnm prvnho vztahu mezi slokami v rzn
ch systmech
(aplikac @ zleva) se pesvdte, e @ t:::
::: nem v rkovanm systmu
poadovan
tvar
0 0
@0 t 00 ::::::
(19.121)
ale obsahuje navc leny typu
@ @0 (x )@0 x : : : (19.122)
z nich vliv nerkovanho systmu nevypudme. Zajist, pro zmnnou linern transformaci souadnic vymiz, nikoli vak obecn.
320
V
chodisko spov v zaveden kovariantn (Christoelovy) derivace. Denujeme Christoel
v symbol pedpisem
; ; = 12 g! (@ g! + @ g! ; @! g )
(19.123)
(sm se netransformuje jako sprvn
tensor) a msto derivace @ uvejme
kovariantn derivaci r , kter obsahuje navc leny, kter se navs! nsledujcm zpsobem na kad
index derivovanho tensoru
::: ) = @ (T ::: ) + ; T ::: + ; T ::: + : : : ; ; T ::: ; ; T ::: : : :
r(T:::
:::
:::
:::
(19.124)
Pouh
mi pravami si mete dopotat, e r g = 0, r g = 0 a e
rt:::
::: se ji transformuje sprvn
m zpsobem.
Tak je zajmav, e i kovariantn derivace spluje Leibnizovo pravidlo
(pro derivovn souinu)
:::
::: ::: :::
:::
rt:::
::: u::: = r (t::: )u::: + t::: r (u::: ):
(19.125)
Mimo jin, pokud se budete snait nalzt sprvn se transformujc tensor,
obsahujc druh derivace metriky, dostanete Riemann
v tensor kivosti
R = ;@ ; + ; ; + @ ; ; ; ; (19.126)
z nho ns asto zajm jen en, tzv. tensor Ricciho
R = R a skalrn kivost
(19.127)
R = R R g :
(19.128)
Mete ovit, e Riemannv tensor je antisymetrick
vi zmn index
prv nebo posledn dvojice a symetrick
vi zmn tchto dvojic a e
spluje cyklick pravidlo
R + R + R = 0:
(19.129)
Dky tmto vlastnostem je jasn, e Riemannv tensor ve dvou dimensch
m jen jednu nezvislou sloku R1212 a ve tyech dimensch sloek 20 =
6 7=2 ; 1. Riemannv tensor m jednu nzornou interpretaci: objedeme-li
vektorem V obrys innitesimln dvojrozmrn plochy popsan antisymetrick
m tensorem dS ij tak, abychom se chovali jako v plochm prostoru a
321
s vektorem neoteli (paraleln posun), potom se nm vektor V trochu
sto o hodnotu
V k = dS ij Rij k l V l :
(19.130)
17
Pi vech uzaven
ch obj-kch vektor me rotovat rotac z grupy znm jako grupa holonomi. V plochm prostoru je to jen triviln grupa
s jedin
m prvkem, v nhodn vybranm zakivenm prostoru to b
v grupa
SO (n), kde n je dimense variety (anglicky manifoldu, to jest onoho zakivenho prostoru, o nm jde e, kter
si lze pedstavit, e je umstn
ve
vcerozmrnm prostoru). Existuj vak i variety s grupou holonomi U (n).
Ji jen dodme, e pomoc Ricciho tensoru se formuluje deset rovnic
gravitace (nebo jedna tensorov, chcete-li), popisujcch zakiven prostoru
v zvislosti na hmot v nm
R ; 12 Rg = ;T (19.131)
kde je njak
souin Newtonovy gravitan konstanty a dalch konstant
(obvykle stavme c = 1) a T je tensor hmoty: v ppad speciln relativity vyjaduje hustotu (pro = 0) nebo hustotu toku (pro = 1 2 3)
energie (pro = 0) nebo sloky hybnosti ( = 1 2 3).
Kdy u jsme se zmnili o kovariantn derivaci, je na mst tak pohovoit o jin kovariantn derivaci, takt splujc Leibnizovo pravidlo
(pedpokldme-li, e nboj pole, kter je souinem dvou pol, je soutem
nboj tchto pol), toti
r = @ + iqA
(19.132)
pro ppad elektromagnetismu a analogick
ch v ppad siln
ch i elektroslab
ch interakc.
Dan derivace vynsoben i dv
p^ ; qA (19.133)
kde q je nboj pole a A je typotencil. V teoretick mechanice i jinde
budete hovoit o p^ jako o (opertoru) zobecnn hybnosti a p^ ; qA
odpovd onomu klasickmu souinu hmotnosti a (tyvektoru) rychlosti.
Nzorn
v
klad souvislost s Christo.elovou derivac dvaj KaluzovyKleinovy teorie. Pedpokldejme, e krom obvykl
ch ty souadnic v asoprostoru mme jet ptou (x5 ), kter se neprojevuje, protoe je cyklick
17
Kad uzaven kivce odpovd jeden prvek { jedno oto en z grupy holonomi.
322
s periodou 2R, neboli protoe je svinut (kompaktikovan) na krunici o (malinkm) polomru R. Pak lze pole (je je funkc pti souadnic)
rozvinout do (komplexn) Fourierovy ady podle souadnice x5 :
(x0 x1 x2 x3 x5 ) =
X
k2Z
k (x0 x1 x2 x3 ) exp(ikx5 =R):
(19.134)
Uvdomme si, e k lze interpretovat jako nboj pole k vyjden
v elementrnch nbojch, a zajmejme se zvlt o pole (pro konkrtnost) 1 , kter
se mn v zvislosti na pt souadnici jako exp(ix5 =R).
Budi element metriky g55 konstantn (pro uritost ;1 jako nap. g11 ),
zato elementy g5 ( = 0 1 2 3) ztotonme s potencilem (a na konstantu)
a derivaci r ( = 0 1 2 3) potejme ve smru, v nm je g diagonln:
r = @ ; g5 @5
(19.135)
Ovem @5 lze dky zvolen zvislosti na pt souadnici pst jako nsoben
faktorem ik=R.
Kalibran invarianci lze vyloit jako speciln ppad invariance vi
transformacm souadnic. Pokud v kadm bod (x = 0 1 2 3) urme
2x5 (dostaten pomalu se mnc, abychom neohrozili konstantnost g55 ),
pole k se nsob v kadm bod komplexn jednotkou
k (x ) ! k (x ) exp(ik2x5 =R)
(19.136)
a elementy metriky g5 se zmn podle standardnho pravidla pro transformaci tensoru pi transformaci metriky
g5 ! g5 ; @ 2x5
(19.137)
v em dobe rozpoznme vzorce pro zmnu potencilu.
19.4 Spinory
Vidli jsme, e lze konstruovat tensory s libovoln
m potem index nahoe
a dole. V tto sekci ukeme, e je mon i cosi opanho, toti zavst polovin! indexy, abychom veliinu transformujc se jako vektor zskat jako
souin dvou elementrnjch objekt, kejme jim spinvektory, podobn,
jako jsme zskali tensor (tensorov
m) nsobenm dvou vektor.
Hned na potku upozorujeme, e budeme mluvit o ppadu speciln
(!) teorie relativity, tj. budeme uvaovat jen transformace grupy SO (3 1)
19.4. SPINORY
323
(kterou nahradme SL (2 C ), kter je s n a na diskrtn rozdly isomorfn)
a nikoli cel grupy G L (4) (a nakonec se podvme na jej podgrupu prostorov
ch rotac SO (3), nahraenou SU(2), a nikoli na G L (3)).
Spinory je mon uvat efektivn i v obecn relativit, ale postup v zsad spov v zaveden v kadm bod nov base (tzv. stonoky nebo v ppad ty rozmr tynoky, pro kter se vila nmeck oznaen vielbein
a vierbein), kter se chov jako obvykl base ve speciln relativit.
Zaneme trochu neoekvan pmo pepisem vektoru do spinorov formy: vektorov indexy mohly nab
vat ty rzn
ch hodnot. My sestavme ze
sloek relnho vektoru V tyi kombinace18
p
p
V 040 = (x0 + x3 )= p2 V 041 = (x1 + ix2 )=p2
(19.138)
V 140 = (x1 ; ix2 )= 2 V 141 = (x0 ; x3 )= 2
kter vak ji nejsou reln, ale spluj
V AB4 = (V BA4 )
(19.139)
@ B@ hodnot @0 @1 (zpis byl
kde indexy A B nab
vaj hodnot 0 1 a indexy A
@
jen zkratkovit
, pod B jsme zde mli na mysli B , nad nm se nakresl pruh,
v dalm textu index A nebude souviset s A@ o nic vce, ne s B@ ). Pouvme
upravenho formalismu Rogera Penrose a Wolfganga Rindlera, kte msto
pruh p rky* prava nespov jen v tomto* my budeme vdy uvaovat
tak, e pokud existuje njak
spinor nap.
S ABC D4 E4 F4 G4 (19.140)
potom existuje i spinor
S DEFGA4B4 C4 (19.141)
kter
m komplexn sdruen sloky (v ppad, a pjde o opertory, budou
hermitovsky sdruen) a spinor se stejn
m potem pruhovan
ch a nepruhovan
ch index spluje uritou podmnku relnosti, analogickou podmnce
pro vektor. Nap.
P 000104140414041 = (P 101014040404140 ) a P 000114040404141 je reln slo. (19.142)
Za uritou dobu bude tak zejm, e nae podmnky zstanou splnny
i po transformaci.
Jako pklad odlin konvence uvdme, e nap. Landau ve svm vodu do teoretick
fyziky 2 { kvantov mechanika pouv horn indexy 1,2 msto naich hornch 0 01 a horn
indexy 1_ 2_ msto naich dolnch 0 1.
18
324
Jak to vechno funguje?
Hledme-li zpsob, kterak vyjdit tverec dlky tyvektoru!
VV = g V V = V 0 V 0 ; V 1 V 1 ; V 2 V 2 ; V 3V 3 (19.143)
zjistme, e ho lze pst jako dvojnsobek (to kvli tm odmocninm ze dvou)
determinantu
2 (V 040 V 141 ; V 041 V 140 ):
(19.144)
To je velmi pjemn, protoe pouitm nov
ch (antisymetrick
ch) spinor
s dvma indexy dole
"AB = ;"BA "A4B4 = ;"B4 A4 "01 = "4041 = 1
(19.145)
lze tverec dlky tohoto tyvektoru pst jako (Einsteinova suman konvence, A a A@ zde spolu nesouvis)
"AB "A4B4 V AA4 V BB4 :
(19.146)
Chceme-li nyn pejt od star
ch souadnic k nov
m, lze vzt msto matice
z grupy SO (1 3) matici z grupy SL (2 C ). Mjme tedy soubor ty komplexnch sel (z nich jsou nezvisl ti, jeliko determinant m b
t jedna, maj
tud informan hodnotu esti reln
ch sel, stejn jako prvky SO (1 3))
tAA0 , co je matice pechodu! od nerkovan base k rkovan
S A = tAA0 S A0 (19.147)
umoujc vypotat souadnice v nerkovan basi z tch v rkovan.
Dle pod tA4A40 mjme na mysli (jak jsme se dohodli) komplexn sdruen
sla. Potom lze vyjdit jak
koli spinor (s hornmi indexy) v nerkovan
basi, nap. vektor
V AB4 = tAA0 tB4B4 0 V A0 B4 0 :
(19.148)
Poznamenejme, e podmnka pro invarianci "AB vi tto transformaci je
prv podmnka pro unimodularitu transforman matice (zkontrolujte):
"AB = tAA0 tBB0 "A0 B0 :
(19.149)
Mete se pesvdit, e na potku uvedenou podmnku reality!
V AB4 = (V BA4)
(19.150)
19.4. SPINORY
325
bude splovat vektor i po transformaci, sploval-li ji ped n (a stejn tak
vceindexov spinory).
Navc, jako obdobu zvedn a spoutn index pomoc g
t = g t
(19.151)
budeme spoutt a zvedat indexy pomoc "AB * je zde ale teba brt ohled
na poad index, ponvad "AB je antisymetrick
(ne tedy symetrick
).
Dohodnme se na nsledujc konvenci: "AB bude zase antisymetrick
a "01 =
1. Dle index 0 nahoe bude tot, co 1 dole (podle gravitan pomcky!),
zatmco 1 nahoe bude opan proti 0 dole:
0 = 1 1 = ;0 (19.152)
s anonymnmi indexy pime
B = A"AB C = "CD D (19.153)
obdobn pro vceindexov spinory (ostatn indexy beze zmny) a stejn pro
pruhovan indexy.
Rozklad na symetrick spinory. Budeme si vmat jen ppadu spinoru, symetrickho vi permutacm ve dvou skupinch index. Nen toti
obtn nsobn
m provedenm nsledujcch vah rozloit spinor na souiny
" symbol a spinor symetrick
ch vi zmn njak
ch dvou index, dle
na souiny " a spinor symetrick
ch vi permutacm ve dvou skupinch,
z nich jednou je prv ona dvojice atd.
N ppad bude ukazovat to, co se d fysikln popsat jako skldn
moment hybnosti!. Mjme kupkladu rzn spinory A(i)ABC , B(i)DEFG ,
ob symetrick vi vem permutacm index. V takovm ppad zvis pouze na tom, kolik index z mnoiny fA B C g resp. fD E F Gg je jednotka.
Pokud m spinor k spinorov
ch index, me mezi nimi b
t 0 a k jednotek
(k + 1 variant) a tedy obsahuje k + 1 nezvisl
ch sloek. V kvantov mechanice se dozvte, e lze stici popisovan takov
m spinorem pipsat spin
s = k=2 (cel nebo polocel slo) a k +1 = 2s +1 sloek bude odpovdat tzv.
amplitudm pravdpodobnosti, e se stice nachz ve stavu s prmtem
spinu do osy z sz = ;s ;s + 1 : : : s ; 1 s.
Ale zpt k matematice. Spinor SABC DEFG symetrick
vi permutacm
v obou skupinch
SABC DEFG = SBAC DEFG = SABC EDFG = : : : (19.154)
326
kter
si lze pedstavit nap. jako njakou sumu
SABC DEFG =
X
i
AABC BDEFG
(19.155)
lze rozloit zpsobem
7=2
5= 2
SABC DEFG = symABC symDEFG(SABCDEFG
+ SABDEF
"CG + (19.156)
3=2 " " + S 1=2 " " " )
+SADE
BF CG
D AE BF CG
kde sla 7=2 : : : znamenaj polovinu potu index, tj. spin.
7=2
Spinory SABCDEFG
lze spotat zptn jako nap.
5=2
SABDEF
= symABDEF SABC DEFG"CG ovem kombinatorickou konstantu nen lehk spotat.
(19.157)
Fysikln se vc vykld tak, e dv stice A,B se spiny sa sb (v naem
ppad 3=2 a 2) mohou vytvoit sloenou! stici se spiny v intervalu (krok
minus jedna)
sa + sb sa + sb ; 1 : : : jsa ; sbj :
(19.158)
Pokud vem tmto eem nerozumte, alespo se pesvdte, e poet sloek
je stejn
:
saX
+sb
(2sa + 1)(2sb + 1) =
(2s + 1):
(19.159)
s=jsa;sb j
Trojrozmrn transformace
Budeme si vmat Lorentzov
ch transformac, xujcch navc jak
koli vektor
ve smru asu, tedy i vektor
V AB4
p
p
=
1 1
!
(19.160)
dlky 2, tj. V = ( 2 ). Pomoc nho lze pepotvat! horn nepruhovan indexy na doln pruhovan a naopak.
S A = V AB4 SB4 S B4 = SA V AB4 : : :
(19.161)
V AB4 = tAA0 V A0 B4 0 tB4B40 = V A0B40
(19.162)
Ve vzorci pro invarianci V AB4 napsanm jako (tB4B40 zde znamen tB4B4 0 = tBB0 )
19.4. SPINORY
327
lze interpretovat V jako jednotkovou matici, a tak navc o matici pechodu
t (o ni u vme, e je unimodulrn) meme ci, e je unitrn (tt = 1).
Takov transformace jednodue tvo podgrupu SU(2) grupy SL (2 C ).
Jak vypad takov matice z SU(2)? Ozname-li ji jako
!
A = m b
t
(19.163)
AA = 1
(19.164)
z eho mimo jin + = 0 lze vyjdit . Navc m b
t determinant
jednotkov
1 = ; = ; ; = ; ( + )
(19.165)
ale protoe + = 1, mme v
sledn = ; a z toho tak = .
To je pjemn vc: matice A z grupy SU(2) m tvar
!
A = ; , kde + = 1:
(19.166)
Nepoadujeme-li posledn podmnku, dostaneme mnoinu matic isomorfn
tlesu kvaternion. Ovte zvl
t, e matice piazen
(kvaternionovmu) souinu dvou kvaternion je (maticovm) souinem matic piazench tmto kvaternionm. Jako u n
hrady komplexnho sla matic 2 2 si i zde vimnte,
e
(Q )JJ = (QJJ ) (19.167)
zna-li QJJ komplexn matici 2n 2n vzniklou z kvaternionick matice Q
uvedenm rozeps
nm (a viz pozn
mku pod arou).
+ i
+ i + j + k 7! ; ++ i
i ; i
!
(19.168)
Kdy u jsme tak daleko, meme ji tak ci, e symplektick grupa Sp(2n)
nen nic jinho ne grupa unitrnch matic19 n n* tentokrt nikoli reln
ch
ani komplexnch, ale kvaternionick
ch.
19
Matice A, e AA = 1, kde pod adjungovanou matic mnme matici transponovanou
a kvaternionicky sdruenou: ( + i + j + k) = ; i ; j ; k.
328
Za matici K z denice na stran 115 si pedstavte komplexn matici
2n 2n, kter je nulov krom tlust! diagonly, kde m n blok 2 2
tvaru
!
;1 :
(19.169)
1 Snad neulo va pozornosti, e pi rotaci o 2 se zmn spinory s lich
m
potem index na opan (a a pi rotaci o 4 se vrt na pvodn hodnotu).
Je na ase, abychom vysvtlili kosmetick
rozdl mezi grupou SO (n) a
^ kadmu spojitmu (kad
maticov
element
Spin(n). kejme rotovn R
20
je spojit
) zobrazen intervalu do grupy ortogonlnch matic (zajmme se
hlavn o n = 3)
R^ : h0 1i ! SO (n)
(19.170)
takovmu, e R^ (0) = 1. Ekvivalenc ! dvou rotovn R^ (0) a R^ (1) mjme na
mysli fakt, e existuje spojit (vechny maticov elementy R^ v (t) jsou spojit
jakoto funkce dvou promnn
ch v t) zobrazen
fv 7! R^v g : h0 1i ! Pprostor rotovn
(19.171)
takov, e 8v 2 h0 1iR^v (1) = R^ 0 (1), R^ (0) (t) = R^ 0 (t) a R^ (1) (t) = R^ 1 (t). (Jsou
ekvivalentn, pokud lze plynule pejt od jednoho rotovn k druhmu* nutnou podmnkou ekvivalence je rovnost koncov
ch matic R^ (0) (1) = R^ (1) (1).)
Uka te re#exivitu, symetrinost a transitivitu21 zaveden ekvivalence.
Na rotovnch zavedeme rozumnou binrn operaci
( ^
0 (2t) pro 0 t 1=2
'R^ 0 R^ 1 ](t) = R
(19.172)
^
R0(1) R^ 1 (2t ; 1) pro t 1=2 1 :
(Polovinu asu provdme dvakrt zrychlen rotaci R^ 0 a druhou polovinu
R^1 . Lehce ukete, e nhradou initel za ekvivalentn rotovn se i souin
zmn na ekvivalentn.)
Jeliko 'R^ 0 R^ 1 ](1) = R^ 0 (1) R^ 1 (1), dostaneme grupu tm isomorfn
s SO (n), a na jednu drobnost. Rotovn o 2 kolem osy z
0
1
1
R^ (t) = B
(19.173)
@ cos 2t ; sin 2t CA
sin 2t cos 2t
Speciln ppad homotopie.
Re4exivn je relace, pokud 8R^ R^ R^ .
Symetrick, pokud 8R^ 0 R^1 R^ 0 R^ 1 () R^ 1 R^0 .
Transitivn, pokud 8R^ 0 R^1 R^2 R^ 0 R^ 1 a R^1 R^2 =) R^0 R^2 .
20
21
19.4. SPINORY
329
je ekvivalentn rotaci o 2 kolem kterkoli jin osy a (spojit
m pechodem
bude rotovn o 2 kolem osy, kter bude plynule pechzet od osy z k ose a
s tm, jak se v mn od 0 do 1), a proto je tak nehybn! rotovn (R^ (t) = 1)
ekvivalentn rotaci o 4 kolem jakkoli osy. (Proto nemohou existovat dn
stice se spinem, jeho dvojnsobek nen cel slo.) Ale plynul
pechod
od nehybnho rotovn k rotovn o 2 nenajdete. Matematicky eeno, grupa SU(2) je narozdl od grupy SO (3) jednodue souvisl, protoe kad
uzaven kvka v n { rotovn { lze sthnout na bod.
Kdy jsme ji zmnili staiteln kivky { uvedeme zde i pojem fundamentln
grupy 1 dan variety. Jde o grupu vech td uzavench kivek (kivky jedn
tdy lze na sebe spojit pev
dt) s operac danou napojenm tchto kivek. Jednodue souvisl variety tedy maj fundament
ln grupu trivi
ln, povrch genu22 g m
fundament
ln grupu Z2g , sfra se ztotonnmi protjmi body m
fundament
ln
grupu Z2 atd.
A tak tvo vechny tdy ekvivalentnch rotovn grupu Spin(n) (pro
SU(2)) takovou, e existuje morsmus na SO (n), kter
piad vdy dvma prvkm Spin(n) jeden prvek SO (n).
n = 3 isomorfn
Diracova rovnice
Pochopte-li nsledujc odstavce, budete se moci ctit velmi chyte, a uslyte, e nap. relativistickou invarianci Diracovy rovnice dokzal a dvacet
let po jejm objeven esk
fysik Trkal. (To samozejm nen tak pln pravda.)
Kdy hledali lid vhodnou relativistickou pravu SchrQdingerovy rovnice,
napadla je zprvu Klein-Gordonova23 rovnice, kter opertorov vyjaduje
vztah (uvme jednotky c = h@ = 1)
@ 2 + 2)6 = m26:
E 2 = m2 + ~p2 , toti (; @t
2
(19.174)
Tato rovnice je relativisticky korektn, abychom ji pevedli do Hamiltonova
formalismu (kde se vyskytuj jen prvn derivace), musme zvolit funkci dvouslokovou (6 a @=@t6) a nakonec zjistme, e se pro elektron vbec nehod
(hod se pro pion).
Mnme tm plochu, kter je z topologickho hlediska sfrou, v n g dvojic kruhov
ch
dr spojme rourou. Genus jedna m tedy torus.
23
Mnohdy zvan Klein-Fockova.
22
330
Hledme jin vylepen SchrQdingerovy rovnice
2
@
( 2p^m + U^ ) = i@h @t
p
(19.175)
a napad ns nahradit p^2 =2m relativisticky sprvn
m v
razem m2 + p2 .
Tuto odmocninu nm nezb
v potat jinak ne jako nekonenou adu obsahujc jakkoli vysokou mocninu p^ ili jakkoli vysokou derivaci a ze zkuenost
Taylorova vzorce (kde jsme posun vyjdili jako exponencilu derivace) je
nm zejm, e v
sledn teorie bude nelokln: funkce v okamiku t + dt
bude ovlivnna funkc v ase t v jakkoli vzdlen
ch bodech.
Pesto se Diracovi podailo m2 + p^2 odmocnit lokln* zaal toti operovat s vceslokovou vlnovou funkc. V naem spinorovm jazyce lze ci, e
diracovskou vlnovou funkci tvo dva spinory
A4 A (19.176)
kad
z nich se skld z dvou komplexnch sloek. (Index A@ resp. A me
b
t bu- nula { pak jde o amplitudu, e m elektron spin nahoru { nebo
jedna { spin dol.) Rovnice napeme ve tvaru
(^pAA4 ; eAAA4) A4 = pm A (^pAA4 ; eAAA4 )A = pm A4 (19.177)
2
2
kde pÂA4 = i@AA4 je opertor tyhybnosti, AAA4 je typotencil, m klidov
hmotnost elektronu a e jeho nboj (zporn
).
Obvykle se pe Diracova rovnice ve form matic. Peme-li sloky vlnov
funkce pod sebe do sloupce :
:1 = 40 :2 = 41 :3 = 0 :4 = 1 (19.178)
nabudou rovnice tvar jedn
~ = 0
((^p ; eA ) ; m) $
(19.179)
kde jsou Diracovy matice 4 4, kter maj v na spinorov representaci
tvar
0
1
0
1
1 ;1
B 1 CC 1 BB ;1 CC
0 = B
(19.180)
B@ 1 CA = B@ 1 CA 1 1 19.4. SPINORY
0
1
0
1
i
;1 B ;i CC 3 BB 1 CC
2 = B
B@ ;i CA = B@ 1 CA :
i ;1 331
(19.181)
Vimnte si, e dv rzn Diracovy matice antikomutuj a tverec 0 je
jednotkov, tverec zbyl
ch minus jednotkov matice, co zapeme
+ = 2g 1:
(19.182)
Navc i-krt asov derivace :, kterou peme pomoc hamiltoninu jako
H:, d pro hamiltonin24
H = ~ ~p^ + m
(19.183)
kde jest pouito obvykl znaen pro matice ~ = 0~ , = 0 . Pouh
m
uitm antikomutanch pravidel pro matice zjistte, e
H2 = m2 + ~p2 (19.184)
co jsme na potku chtli.
tyi sloky bispinoru jsme vybrali urit
m zpsobem. Stejn tak lze
ale pracovat s libovoln
mi linernmi kombinacemi tchto sloek* lze vyjdit
: v jin basi!. Tvary -matic se zmn, zstanou vak antikomutan relace,
0 zstane hermitovsk a 1 2 3 antihermitovsk (pro unitrn transformace).
Tak napklad potme-li, na co pechz rovnice v nerelativistickm
ppad (kdy teba ukazujeme, e magnetick
moment spojen
se spinem
je dvojnsobn
ve srovnn s orbitlnm pohybem), volme tzv. standardn
representaci, jeliko v n jsou posledn dv sloky mnohem men ne prvn
dv (ve spinorov byly prvn a posledn dv v nerelativistick limit stejn).
0 40 + BB 41 + 01
1
:= p B
2 @ 404 ; 0
1 ; 1
1
CC
CA :
Cvi en. Odvote tvar -matic ve standardn reprentaci. (~~)
24
Pro tyto vahy stavme typotencil roven nule.
(19.185)
332
19.5 Tensory a nez visl jevy
Vra+me se na zvr z v
in obecn relativity a Diracov
ch rovnic k nemu pzemnjmu { teba k diskusi, co je to stedn (kvadratick) chyba
men (v praktikch se s n potkte dosti, pokud po vs nebudou chtt chyby mezn!), nebo+ i zde je tensor uiten
m nstrojem. Nevte? Uve-me
pr poznmek na tma nezvislost v teorii pravdpodobnosti!. Asi ji na
stedn kole jste slyeli
definici. Dv nhodn veliiny F a G nab
vajc konen mnoha hodnot
nazveme nezvisl, pokud
Prob(F = x&G = y) = Prob(F = x) Prob(G = y)
(19.186)
piem Prob(F = x) zna pravdpodobnost udlosti, e F nab
v hodnoty
x. (Nebudeme dle formalisovat tento pojem, to je kolem teorie pravdpodobnosti.) Pipomeme pojem mry na konen mnoin (ve skutenosti jde
o prvek dulu k prostoru funkc na X , pro konen X vak na tto interpretaci pli nezle):
Definice. Je-li X konen mnoina, tak nezpornou mru na X , to
znamen funkci p : X !PR takovou, e p(x) 0 8x 2 X , nazveme pravdpodobnost, pokud x2X p(x) = 1.
Vezmme nyn tensorov
souin formlnch linernch obal X a Y (pro
nekonen metrick prostory X Y se bere tensorov
souin dul k prostorm spojit
ch funkc na X resp. Y , jak jsme ji poznamenali na stran 302*
ns te- pro jednoduchost zajmaj jen konen mnoiny). Je-li p resp. q pravdpodobnost (obecnji mra) na X resp. Y , tak pravdpodobnost (i mru)
p q denovanou vztahem
p q(f g) = p(f )q(g)
(19.187)
nebo prostji p q(x y) = p(x)q(y) nazveme tensorov
m souinem p a q.
(Nkte mluv o direktnm souinu, jin jen o souinu* tensor to vak je!)
Poznmka. Pro lovka s kategorilnm! nhledem na matematiku,
kterho ji na obecn kole pesvdili (: : : ) o dleitosti pojmu kartzskho
souinu mnoin, by nemlo b
t pekvapenm, e pojem tensorovho souinu
pravdpodobnost popisuje nco fundamentlnho.
19.5. TENSORY A NEZVISL JEVY
333
Definice. Pravdpodobnost p na stavovm prostoru! X nazveme roz-
dlenm pravdpodobnosti nhodn veliiny F , pokud
Prob(F = x) = p(x):
(19.188)
Tvrzen. Nech+ maj nhodn veliiny F resp. G rozloen pravdpo-
dobnosti p resp. q (na X resp. Y ). Ozname symbolem !
!(x y) = Prob(F = x & G = y)
(19.189)
tzv. sdruen rozloen F a G. Potom F a G jsou nezvisl
() ! = p q:
(19.190)
Mme-li dv nhodn veliiny F1 F2 s oborem hodnot v njak komutativn grup G { teba v
sledky dvou nezvisl
ch men { meme chtt
studovat souet F1 + F2 F2 + F1 . Radji bychom zde vidli R namsto
konen grupy, tm bychom ale vnesli hned na vodu do naeho v
zkumu
technick komplikace, kter penechme pozdjm kursm anal
zy a teorie pravdpodobnosti. Pichzme zde opt k dleitmu pojmu konvoluce
(tentokrte pravdpodobnost, srovnej vak se stranou 256).
Definice. Nech+ p a q jsou pravdpodobnosti (obecnji mry) na konen
komutativn grup G . Pravdpodobnost (mru) danou pedpisem
g 2 G 7!
X
a2G
p(g ; a)q(a) X
h i:h+i=g
p(h)q(i)
(19.191)
nazveme konvoluc p a q a budeme ji oznaovat p " q. Je to tedy dal
pravdpodobnost* p " q(g) udv pravdpodobnost, e souet h + i je g, kde
h resp. i m rozdlen p resp. q.
Tvrzen. Obrazem tensorovho souinu p q pi zobrazen (x y)
x + y : G G ! G je prv konvoluce pravdpodobnost p a q.
!
Podobn se denuje konvoluce vce pravdpodobnost (mr)* dkaz komutativity a asociativity (dky n lze vynechvat zvorky) si provede kad
sm.
p " q = q " p (p " q) " r = p " (q " r)
(19.192)
334
Vcensobn konvoluce
(]) asto ns zajmaj vcensobn konvoluce, kter v jazyce pravdpodobnostnch rozloen odpovdaj soutm vce nezvisl
ch veliin. Hodme-li
nap. tisckrt nezvisle minc resp. kostkou, jde nm o tiscinsobnou konvoluci pravdpodobnosti
(19.193)
p = 12 (0 + 1 ) resp. p = 16 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 )
zajmme-li se o to, kolikrt padla panna i kolik je souet jednotliv
ch hod
kostkou. (Omlouvme se teni, e jsme zvolili pklad, kde grupa G { zde
nejspe Z i R { bude mt nekonen mnoho prvk.)
Asi ji chpeme, e jednou z dleit
ch otzek een
ch teori pravdpodobnosti bude charakterisace toho, jak vypadaj! mnohonsobn konvoluce
typu
p " p " : : : " p:
(19.194)
V ppad n initel zapisujme uvedenou pravdpodobnost jako p "n p. Vzpomeme si na tvrzen ze strany 257:
pd
"n p = (pb)n
(19.195)
(V teorii pravdpodobnosti se msto pojmu Fourierova transformace! pouv synonyma charakteristick funkce.)
V ppad G = R se ukazuje, e charaktery maj tvar
fx 7! exp(ix)g 2 R :
(19.196)
d n
Jde nm tedy o to, jak vypad p( ) pro libovolnou pravdpodobnost na
R.
Pro ty, kte se ct b
ti ji trochu obeznmeni s pojmem mry na R pidme jet pr poznmek na toto tma: nen-li nosi p soustedn v jedinm
bod (tedy nen-li p -funkc), tak funkce
pb( ) =
Z1
;1
eix p(x)dx
(19.197)
spluje vude podmnku
6= 0 ) jpb( )j < 1
piem je pb(0) = 1.
(19.198)
19.5. TENSORY A NEZVISL JEVY
335
Jakpak se chov funkce
(pb( ))n
(19.199)
pro velik n? To zjist kad
matematik hodn
toho jmna do pti minut.!25 : nech+
2
pb() = 1 + ia ; b2 2 ; : : :
(19.200)
je Taylorv rozvoj pb( ). Zde je
a=
Z1
;1
xp(x)dx b2 =
Z1
;1
x2 p(x)dx
(19.201)
a resp. b2 stedn hodnota x resp. x2 . Pedpokldejme pro jednoduchost
znaen a = 0 (zkoumejme msto veliiny x veliinu x ; a, jej stedn
hodnota je nula). Potom je
pb()n exp
2 !
; Nb2 2 :
(19.202)
Objasnte! Ti, kte znaj Fourierv obraz Gaussovy mry, jej na prav stra-
n ji vid, a tud nebudou udiveni platnost tzv. centrln limitn vty
teorie pravdpodobnosti, kter k, e mnohonsobn konvoluce pravdpodobnosti vypad ji zhruba Gaussovsky, jin
mi slovy
Centrln limitn vta. Maj-li nezvisl veliiny x1 : : : xn nulovou
stedn hodnotu a rozptyl (stedn hodnotu kvadrtu) b2 , m veliina
x1 + x2 p+ : : : + xn
(19.203)
n
v limit pro n ! 1 tzv. normln rozdlen
2!
1
p = p exp ; 2xb2 :
b 2
(19.204)
Rozptyl. Zapomete na vechny ty bjen vci, o nich se zde pe, a
radi pochopte, pro je rozptyl veliiny x roven
x2 = h(x ; hxi)2 i = hx2 ; 2xhxi + hxi2 i = hx2 i ; hxi2 (19.205)
Voln citovno z vodu ke lnku V. I. Arnolda, Matematick trivium. !Kdo nespo te
stedn hodnotu st mocniny sinu do pti minut, nerozum matematice, i kdyby se zab
val
supervarietami, nestandardn anal
zou nebo vtami o vnoovn."
25
336
zna-li hxi stedn hodnotu veliiny x potanou podle vzorc typu
hxi =
X
xi
Z
x(xi )p(xi ) resp. hxi = x p(x)dx
(19.206)
a pro je rozptyl soutu dvou nezvisl
ch veliin roven soutu rozptyl tchto
veliin
h(x0 + y0)2 i = hx02 + 2x0 y0 + y02 i = hx02 i + h2x0 y0 i + hy02 i = (19.207)
= hx02 i + 2hx0 ihy0 i + hy02 i = hx02 i + hy02 i
kde nap. x0 zna x;hxi a v dkazu bylo pouito, e stedn hodnota z sla je
tot slo (fakt, e stedn hodnota jednotky je jedna je tat podmnka, jako
normovanost pravdpodobnosti), stedn hodnota soutu je souet stednch
hodnot a hlavn to, e stedn hodnota souinu dvou nezvisl
ch veliin je
rovna souinu stednch hodnot tchto veliin. (~)
19.6 Epilog
Zakoneme knihu opt cittem z knihy zmnn na stran 294. Tentokrt
vak cittem doslovn
m (krom zmny singulru na plurl a substituce
zkratky LA! na msto pojmu povtrnost!).
: : : Za tou pinou neost
chali jsme se bez bliho v
kladu pouvati
nkter
ch vdomost z luby, silozpytu a hvzdstv, kde toho bylo poteb
k vysvtlen nkter strnky k LA patc. Jinde jsme je vak strun naped vyloili, m jsme se arci vzdali nadje, e by vichni tenov vemu
stejn porozumli. Neb pi tak hojnm astenstv, jakho se Matici lidu
dostalo, nutno mti pedevm na zeteli, e kad
ten, a+ jest vce neb
mn pipraven
a vzdlan
, chce mti z knihy njak
uitek, kter
by se aspo vyrovnal nkladu na zakoupen knihy uinnmu a ztrt asu ku ten
obtovanho.
Aby vak kad
b e z p p r a v y a b e z p e m l e n vechno hned pochopil a si pamatoval, co v tto knize jest obsaeno, toho
nemohli a nechtli jsme doshnouti, jeliko jest to cl velmi vzdlen
a tm
nedostiiteln
. Vedl toho jsme mli na mysli, e kniha tato dostane se nejvce
do rukou ten takov
ch, kte o tomto pedmtu sotva budou mt jinou,
a za tou pinou jsme do n vloili i nkter del seznamy rozlin
ch udn,
kter jinak bychom mohli vynechati.
Co se konen tkne slohu { nechceme tvrditi, e by nemohl b
t jet
populrnjm a chpavosti ten mlo vzdlan
ch pimenjm* tolik
19.6. EPILOG
337
ale s druh strany dovolujeme si poznamenati, e by pak kniha stala se
nkolikrte tak rozshlou a vzdlanjmu teni { a tch t Matice lidu
vce { zdlouhavou. Neb spis o pedmtu tak veobecnm, jako LA, dot
k se
na vech stranch prodnch vd ostatnch a ml by obsahovati pojednn
o vech, aby se bez ppravy velik obeel, aneb b
ti nanejv
povrchnm a
tud zbyten
m, kdyby se k nim hloub nevztahoval.
Prostedn cestu jakousi nalzti bylo na snahou svdomitou* zdali se
nm to tak podailo, jak jsme si pli aneb jak jin snad oekvaj, o tom
nech+ rozhodne nestrann
soudce. A kdyby se stalo, e by rozsudek ml proti
nm vypadnouti nech+ se shovvav m na zeteli znm
v
rok dn kniha
nen tak patn, aby se z n nedalo nemu piuiti!.
Spisovatel
N mty k obsahu skript
Veker nmty k obsahu skript poslejte prosm na elektronick adresy
:
:
:
mzahrad@karlin mff cuni cz
a
:
:
:
motl@physics rutgers edu
Plnujeme napsn doplkov
ch a roziujcch kapitol k uvedenmu textu.
Vechny tyto texty, dle veker opravy a reakce na nmty ten budou
uloeny spolu s ji existujc HTML verz tto knihy na webovsk
ch strnkch
autor skript
==
:
:
:
: =e
: =e
=
http : www karlin mff cuni cz mzahrad skripta
http : www kolej mff cuni cz lumo skripta
==
:
:
:
=
=
=
Rejst k
du
ln, 222
ortonorm
ln, 226
vi podprostoru, 181
Besselova funkce, 255
bijekce, 29
biline
rn forma, 259
bispinor, 331
blokov
matice, 87, 100
bod
nevlastn, 273
pevn, 195
bodov
grupa, 123
bracket, 62
Brianelova vta, 220
abeceda
latinsk
, 7
eck
, 7
aditivn grupa, 27
algebra
graduovan
, 170
Lieova, 149
Poincar, 170
symetrick
, 309
alternace, 306
amplituda
pravdpodobnosti, 209
analytick
funkce, 233
analza
funkcion
ln, 22
harmonick
, 104, 257
anihilan oper
tor, 160, 243
antikomut
tor, 42, 170
antiline
rn zobrazen, 259
antisymetrie, 115
antisymetrisace, 306
anul
tor, 308
aproximace, 253
asociativita, 300
asymptota, 277
automorsmus, 34, 41, 64
vnj, 167
vnitn, 28
Babilonova vta, 127
balk
vlnov, 240
Banachova vta, 195
base, 46, 52
cyklick
, 192
Cantorovo diskontinuum, 48
Cardanv vzorec, 36
Cartan, 114
Cartanova podalgebra, 162
Cayleyovo slo, 40, 116
celoseln
mka, 163
centralis
tor, 176, 177
centrum algebry Lieovy, 154
centrum grupy, 29
cirkulant, 104
Cramerovo pravidlo, 18
cyklick
base, 192
cyklinost
stopy, 91
cyklus, 31
,ebyevv polynom, 251
sla
grassmannsk
, 170, 310
slo
338
REJSTK
Cayleyovo, 40, 116
charakteristick, 109
vlastn, 109
tvrtohory, 21
denitnost, 271
derivace kovariantn, 320
determinant, 93, 96
oper
toru, 102
diagonalisace, 264
diagon
ln matice, 75
diagram
Dynkinv, 167
Feynmanv, 209
Stiefelv, 163
diference, 74
diferenci
ln forma, 319
dimense, 46, 48, 52
Hausdor-ova, 48
Diracova funkce, 263
Diracova matice, 330
Diracova rovnice, 329
Diracova symbolika, 62
direktn rozklad, 186
direktn souet, 186, 309
diskrtn grupa, 113
disperse, 240
distribuce, 230
distributivnost, 297
dl
dn
kvasiperiodick, 124
periodick, 123
du
l
topologick, 233
dualita, 217
jej zobrazen, 259
du
ln graf, 218
du
ln norma, 219
du
ln prostor, 221
dyadick souin, 297
Dynkinv diagram, 167
ekvivalentn !prava, 82
element
rn stice, 30
339
eliminace
Gaussova, 15, 82, 101
elipsa, 276
elipsoid, 276
endomorsmus, 64
epimorsmus, 28
evolun rovnice, 131
exponenci
la, 131, 210
prostoru tensorov
, 309
faktorgrupa, 28
faktormnoina, 296
faktorprostor, 50
Feynman-Kacova formule, 212
Feynmanv diagram, 209
Feynmanv integr
l, 207
fonon, 245
forma
biline
rn, 259
diferenci
ln, 319
hermitovsk
, 260
kvadratick
, 259, 260
positivn, 261
samoadjungovan
, 261
sesquiline
rn, 260
symetrick
, 260
Toeplitzova, 264
formule
Feynman-Kacova, 212
Fourierova ada, 241
frakt
l, 48
fraktura
nmeck
, 151
Frobeniova vta, 84
fundament
ln grupa, 329
funkce
analytick
, 233
Besselova, 255
Diracova, 263
Greenova, 232
Haarova, 283
hypergeometrick
, 255
charakteristick
, 334
sfrick
, 249
340
typu spline, 55
vlastn, 109
vytvoujc, 247, 253
funkcion
ln analza, 22, 150
Gaussova eliminace, 15, 82
gener
tor
innitesim
ln, 142, 151
generov
n, 31, 46
genus, 329
geometrie
algebraick
, 45
Minkowskho, 117
projektivn, 273
gotick psmo, 151
graduovan
algebra, 170
graduovan komut
tor, 170
graf
du
ln, 218
Grammova matice, 238
grassmannsk
sla, 170, 310
Greenova funkce, 232
grupa, 27
Abelova, 28
aditivn, 27
bodov
, 123
cyklick
, 31
diskrtn, 113
du
ln, 217
fundament
ln, 329
holonomi, 321
kompaktn, 114, 161
komutativn, 28
konformn, 117
krystalograck
, 30
Lieova, 113
Lorentzova, 117
multiplikativn, 27
obecn
line
rn, 101
Poincar, 117
poloprost
, 29
prost
, 29
prostorov
, 122
souvisl
, 149
REJSTK
stacion
rn, 123
translac, 123
Weylova, 165
Haarova funkce, 283
Haarova mra, 116
Hamilton, 39
Hamilton-Cayleyova vta, 193
hamiltoni
n, 243
harmonick
analza, 104, 257
Hausdor-ova dimense, 48
Heisenbergv obraz, 138
hermitovsk
forma, 260
hermitovsk oper
tor, 228
Hermitv polynom, 244
Hilbert, 9, 241
hlavn osa, 279
hodnost, 78
hodnota
stedn, 240
holonomi grupa, 321
homomorsmus, 28
homotopie, 328
hybnost, 321
hyperbola, 277
hyperboloid, 277
hypergeometrick
funkce, 255
hyperplocha, 272
charakter, 37, 217, 334
charakteristick
funkce, 334
charakteristick
rovnice, 110, 193
charakteristick slo, 109
chiralita, 160
Christo-elv symbol, 320
ide
l, 154, 162
idempotentnost, 68
identita
Jacobiho, 149
innitesim
ln gener
tor, 142, 151
injekce, 28
integrace
invariantn, 161
REJSTK
integr
l
Feynmanv, 207
pes trajektorie, 207
invariantn integrace, 161
invariantn podprostor, 124, 199
inverse, 32
inversn matice, 81, 106
ireducibilita, 38
isometrie, 30
isomorsmus, 29, 50
kanonick, 223
se skal
rnm souinem, 64
Jacobi-Sylvestrova metoda, 268
Jacobiho identita, 149
Jacobiho polynom, 255
j
dro
formy, 263
homomorsmu, 29
konvoluce, 256
zobrazen, 77
jednoduch
nrovanost, 166
Jordanv tvar, 183, 186
kanonick isomorsmus, 223
kanonick tvar, 264
kategorie, 188
Killingova forma, 153
k.dov
n obrazu, 280
kolmost, 60
kompaktikace, 322
kompaktn grupa, 114, 161
komponenta, 149
komutant, 154
komutativita
algebry Lieovy, 154
tensorovho souinu, 297
komut
tor, 133, 149
graduovan, 170
konformn grupa, 117
kontinuum, 49
kontra, 222
kontrakce, 195
kontravariantnost, 302
341
konvence
suman, 302
konvergence, 132
konvexn obal, 219
konvoluce, 255, 333
konvolun oper
tor, 256
korelace, 61
koen
racion
ln, 43
koen grupy, 164
koenov initel, 35
koenov podprostor, 186
kososymetrinost, 115
kostka
Rubikova, 30
koule, 276
kovariantnost, 302
krean oper
tor, 160, 243
Kroneckerv symbol, 60
kivka Gaussova, 240
kubatura
krychle, 43
kuel, 276
kueloseka, 220, 272
pmkov
, 220
kvadratick
forma, 259, 260
kvadratick
plocha, 272
kvadrika, 272
kvantov
mechanika, 238
kvantov oscil
tor, 243
kvasikrystal, 123
kvasiperiodick dl
dn, 124
kvaternion, 39, 327
Laguerrv polynom, 254
Laplacev oper
tor, 132
laplaci
n, 214
latinsk tverec, 47
Lebesgueova mra, 230
Legendrev polynom, 246
Leibnizovo pravidlo, 320
levotoivost, 94
Lieova algebra, 149
Lieova grupa, 113
342
linearisace, 20, 263
line
rn kombinace, 46
line
rn obal, 46
form
ln, 296
line
rn regrese, 62, 84, 288
line
rn zobrazen, 69
logaritmus, 145
Lorentzova grupa, 117
magick tverec, 47
manifold, 321
matice, 69
adjungovan
, 226
antihermitovsk
, 228
antisymetick
, 115
blokov
, 87, 100
diagon
ln, 75
Diracova, 330
formy, 261
Grammova, 238, 314, 315
hermitovsk
, 228
hermitovsky sdruen
, 226
inversn, 81, 106
jednotkov
, 73, 81, 264, 276
jej norma, 132
kontragradientn, 225
kososymetrick
, 115
lidu, 294
norm
ln, 228
ortogon
ln, 116
Pauliho, 159
permutan, 75
podobn, 90
polosymetrick
, 115
positivn, 202
pechodu, 89
pseudoinversn, 287
pseudoortogon
ln, 117
pseudounit
rn, 117
rozptylu, 209
rozen
, 83
samoadjungovan
, 228
singul
rn, 81
stochastick
, 202, 205
REJSTK
symplektick
, 115, 147, 327
transponovan
, 106
troj!helnkov
, 75
unimodul
rn, 115
unit
rn, 115, 117, 228
Vandermondova, 76
zobrazen, 71
maxim
ln torus, 162
mechanika
kvantov
, 9, 238
meteorologie, 22
metoda
doplnn na tverec, 266
Jacobi-Sylvestrova, 268
nejmench tverc, 84
metrika, 132
Minkowskho geometrie, 117
minor, 268, 269
mra, 229
Haarova, 116
mnoina mry nula, 49
modul, 45
prav, 155
mohutnost, 49
monomorsmus, 28
morsmus, 28
mka, 168
celoseln
, 163
multilinearita, 99, 259
multiplikativn grupa, 27
multiplik
tor, 224
nadplocha, 272
n
sobnost
koene, 110
nmeck
fraktura, 151
nespoetnost, 49
neuritost, 240
nevlastn bod, 273
nez
vislost, 47, 332
vi podprostoru, 181
nilpotentn oper
tor, 82, 180
norma
du
ln, 219
REJSTK
matice, 132
vektoru, 62
norm
ln oper
tor, 228
norm
ln rozdlen, 335
nosi, 233, 334
obal
form
ln, 255
konvexn, 219
obal line
rn, 46
form
ln, 296
objem, 93
obraz
zobrazen, 77
odchylka, 240
okrajov
!loha, 212
okruh, 37
oktonion, 40
oper
tor, 70
anihilan, 160, 243
derivov
n, 179
diference, 74
hermitovsk, 228
konvolun, 256
krean, 160, 243
Laplacev, 132
nilpotentn, 82, 180
norm
ln, 228
samoadjungovan, 228
unit
rn, 228
orientace
souhlasn
, 94
ortogonalisace
Gramm-Schmidtova, 65, 66, 75,
266, 268
ortogonalita, 60, 116
ortogon
ln doplnk, 67
ortogon
ln projekce, 67
ortonorm
ln base, 226
osa hlavn, 279
oscil
tor
kvantov, 243
parabola, 278
343
paraboloid, 278
paraleln posun, 320
parita, 167
Parsevalova rovnost, 257
Pascalova vta, 220
Pauliho matice, 159
Penrose, 18, 124
periodick dl
dn, 123
permanent, 96
permutace, 31
lich
, 32
sud
, 32
permutan matice, 75
Perron-Frobeniova vta, 202, 205
pti!helnk, 18
pevn bod, 195
psmo
gotick, 151
Plat.novo tleso, 20
plocha
kvadratick
, 272
pmkov
, 278
podalgebra
Cartanova, 162
podalgebra Lieova, 154
podgrupa, 28
invariantn, 28
norm
ln, 28
podobnost, 90
podprostor, 50
invariantn, 124, 199
koenov, 186
Poincarho grupa, 117
Poissonovo rozdlen, 143
pol
rn rozklad, 289
pologrupa, 75, 207
polomr
spektr
ln, 202
polopm souin, 34
polosymetrinost, 115
polyedr, 54
polynom
,ebyevv, 251
Hermitv, 61, 66, 244
344
Jacobiho, 255
Laguerrv, 254
Legendrev, 61, 66, 246
matic, 193
positivn forma, 261
positivn matice, 202
posloupnost
Fibonacciho, 19
pravdpodobnost, 229, 332
pravidlo
Cramerovo, 18, 107
Sarusovo, 101
pravotoivost, 94
princip
duality, 220
projekce, 68
dopl"kov
, 68
ortogon
ln, 67
projektivn geometrie, 273
projektivn prostor, 70, 272
prostor
ann, 70
du
ln, 62, 221
euklidovsk, 64
Hilbertv, 9, 241
line
rn, 45
nulov, 77
projektivn, 70, 272
dkov, 78
Schwartzv, 233
sloupcov, 78
vektorov, 45
prostorov
grupa, 122
pemstn, 122
pidruen
representace, 161
pmkov
kueloseka, 220
pmkov
plocha, 278
pseudoinversn matice, 287
pseudoortogon
ln matice, 117
pseudore
ln
representace, 157
pseudoskal
r, 317
pseudounit
rn matice, 117
racion
ln koen, 43
REJSTK
radik
l, 36
rank, 162
re/exivita, 328
regrese
line
rn, 62, 84, 288
regul
rnost, 81
relace
neuritosti, 240
!plnosti, 68, 237
repr, 274
representace, 75, 155
line
rn formy, 225
pidruen
, 161
pseudore
ln
, 157
souadnicov
, 239
restrikce, 260
rhomboid, 128
Ricciho tensor, 320
Riemannv tensor, 320
rotace vektoru, 150
rovnice
Diracova, 329
evolun, 131
charakteristick
, 110, 193
Schr0dingerova, 131, 329
soustava diferenci
ln, 137
veden tepla, 131
vvojov
, 131
rovnobnostn, 54
rovnost
Parsevalova, 257
rozdlen
norm
ln, 335
Poissonovo, 142, 143
rozdlen jednotky, 233
rozklad
direktn, 186
pol
rn, 289
spektr
ln, 235
rozloitelnost, 300, 308
rozptyl, 240
rozen
matice, 83
rozvoj
determinantu, 105
REJSTK
Rubikova kostka, 30
ada
Fourierova, 241
dkov prostor, 78
eck
abeceda, 7
etzec vektor, 182
#p, 57
samoadjungovan
forma, 261
samoadjungovan oper
tor, 228
Sarusovo pravidlo, 101
sedmi!helnk, 44
semidirektn souin, 34
sesquiline
rn forma, 260
setrvanost, 271
sfrick
funkce, 249
Schr0dingerova rovnice, 131, 329
Schurova vta, 236
Schwartzv prostor, 233
signatura, 271
simplex, 54
singul
rn matice, 81
skal
r, 294
skal
rn souin, 59, 260
sloupcov prostor, 78
souet direktn, 186
souin
direktn, 29
dyadick, 297
polopm, 34
pm, 29
semidirektn, 34
skal
rn, 59, 260
tensorov, 296
souhlasnost, 94
soustava dif. rovnic, 137
souvisl
grupa, 149
souvislost jednoduch
, 329
spektr
ln polomr, 202
spektr
ln rozklad, 235
spektrum, 109
spin, 158, 322
spinor, 322
345
spinvektor, 322
spline, 55
stacion
rn grupa, 123
stacion
rn stav, 203
standardn model, 30
stav
stacion
rn, 203
Steinitzova vta, 51
Stiefelv diagram, 163
stochastick
matice, 202
stopa, 91, 139
strukturn zobrazen, 156
stupe", 181
koene, 110
superalgebra, 170
supergravitace, 172
superkomut
tor, 170
superprostor, 171
superstring, 169, 214, 310
supersymetrick
teorie, 244, 310
supersymetrie, 170
surjekce, 28
svinut, 322
symbol
Kroneckerv, 60
symbol Christo-elv, 320
symetrick
forma, 260
symetrinost, 328
symetrisace, 306
symplektick
matice, 147
symplektinost, 115, 327
nrovanost
jednoduch
, 166
vabach, 151
Taylorv vzorec, 141
tleso, 38
Plat.novo, 20
tensor, 293, 317
deformace, 295
elektromagnetick, 306
kivosti, 295, 320
Levi-Civitty, 317, 318
346
metrick, 294, 305
napt, 295
piezoelektrick, 295
prunosti, 295
Ricciho, 320
teorie kategori, 188
teorie pole, 209
teorie pole kvantov
, 232
teorie relativity, 317
teorie supersymetrick
, 244, 310
Toeplitzova forma, 264
topologick du
l, 233
torus maxim
ln, 162
trajektorie, 210
transformace
Fourierova, 239
diskrtn, 105
transitivita, 328
transposice, 31
trialita, 167
trisekce !hlu, 42
tda ekvivalence, 97, 296
tvar
Jordanv, 183, 186
kanonick, 264
!loha okrajov
, 212
unimodul
rnost, 115
unit
rn oper
tor, 228
unit
rnost, 115
!plnosti relace, 237
!prava
ekvivalentn, 82
!en, 304
v
ha, 168
vakuum, 160, 244, 311
polarisace, 210
v
lec, 278
Vandermondova matice, 76
varieta, 321
vektor, 45
pol
rn, 317
representujc, 225
REJSTK
vta
vlastn, 105, 109
Babilonova, 127
Banachova, 195
Brianelova, 220
centr
ln limitn, 335
Frobeniova, 84
Hamilton-Cayleyova, 193
o representaci, 225, 259
o setrvanosti, 271
o tech potenci
lech, 214
Pascalova, 220
Perron-Frobeniova, 202, 205
Pythagorova, 315
Schurova, 236
Steinitzova, 51
vielbein, 323
vlastn slo, 109
vlastn funkce, 109
vlastn vektor, 105, 109
vlna rovinn
, 239
vlnky, 283
vytvoujc funkce, 247
vvojov
rovnice, 131
vzorec
Cardanv, 36
Taylorv, 141, 263
Weylova grupa, 165
z
kon kosmick lenivosti, 318
z
vislost, 47
zlat ez, 19, 127, 234
znak permutace, 32
zobrazen
adjungovan, 226
antiline
rn, 225, 259
duality, 259
du
ln, 222
line
rn, 69
multiline
rn, 259
strukturn, 156
transponovan, 223
z!en, 260
REJSTK
347
LETN SEMESTR
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Exponencila matice. Definice, zkladn vlastnosti (vlastn
vektory exponencily, exponencila podobnch matic). Vztah
Tr A a det exp A. Pklady.
Pojem Lieovy algebry a pklady : g = gl, sl, o, u, su.
Vztahy typu exp g = G. Isomorfismus vektorovho nsoben a
komutovn v o(3).
Teorie nilpotentnch opertor. Ekviv. charakterisace pomoc
spektra, pklady (opertory derivovn na polynomech).
Studium posloupnosti koenovch podprostor k-tho du a
alternativn k-nsobnch obraz. Nezvislost vi
podprostoru. Konstrukce potench vektor etzc
dvajcch Jordanovu basi prostoru.
Direktn rozklad prostoru na koenov podprostory danho
opertoru. Obecn Jordanova vta. Vta Hamilton-Cayleyho.
Exponencila Jordanovy matic s pouitm na een soustav
linernch diferencilnch rovnic.
Positivn a stochastick matice. Hledn nejvtho
vlastnho sla iterac. Interpretace pslunho vlastnho
vektoru (stacionrn stav systmu).
Pojem dulnho prostoru, duln base, dulnho opertoru,
transponovan matice, kontragradientn matice (pechodu
dulnch bas).
Dualita a skalrn souin: vta o representaci linern
formy (skalrnm nsobenm vhodnm vektorem). Pojem
adjungovanho opertoru. Samoadjungovan (Hermitovsk),
unitrn, obecnji normln opertory. Adjunkce
diferencilnho opertoru a metoda per partes.
Vta o spektrlnm rozkladu normlnho opertoru. Pklad
- opertor derivovn na trigonometrickch polynomech.
Funkce normlnho opertoru. Ortogonln polynomy (pklad:
Hermitovy, Legendreovy) jako vsledek ortogonalisanho
procesu ve vhodnm skalrnm souinu (alternativn
jako vlastn vektory vhodnho diferencilnho opertoru).
Bilinern a kvadratick formy. Diagonalisace Hermitovsk
formy: a) doplnnm na tverec, b) Jacobi-Sylvesterv zpis
ortogonalisanho procesu (zvl. pro positivn definitn
formy), c) diagonalisace pomoc spektrlnho rozkladu
348
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
REJSTK
representujcho opertoru formy (dvajc ortogonln
"hlavn osy" formy). Signatura a zpsoby jejho zjitovn.
Kvadriky (a kueloseky), klasifikace a vlastnosti
(omezenost, pmkov plochy, vlastnosti rovinnch ez).
Zmnka o projektivnm prostoru. Vznam paraboloid
v analze funkc vce promnnch (lokln extrmy, sedlov
body funkc).
Polrn rozklad obecnho opertoru na komposici unitrnho
a Hermitovskho opertoru (resp. unitrnho, diagonlnho,
unitrnho opertoru).
Pseudoinverse obdlnkov matice.
Pojem tensorovho souinu vektorovch prostor, isomorfismy
mezi rznmi definicemi, jako je formln linern obal
kartzskho souinu bas, mnoina multilinernch
funkcionl na souinu dul, faktorprostor formlnho
linernho obalu kartzskho souinu prostor. Rozloiteln
tensory. Pklady tensor: vektory, kovektory, bilinern
formy, strukturn tensor algebry, determinant jako
multilinern funkce sloupc, fyzikln pklady.
Slokov zpis tensoru a transforman vztahy. Kovariantn
a kontravariantn indexy tensoru, zpisy index dol
a nahoru a suman pravidlo.
Zkladn operace s tensory: tensorov nsoben, souet
tensor stejnho typu, permutace sloek tensoru, $en
(stopa). Tensory a skalrn souin: ortogonln
transformace tensor, zdvihn a spoutn index.
Symetrick tensory a tensorov souin, symetrisace.
Antisymetrick tensory, antisymetrisace, antisymetrick
(vnj) tensorov souin, Grassmannova algebra. Vektorov
souin. Men ploch mnoho$helnk, obecnji k-rozmrnch
polyedr v n-rozmrnm euklidovskm prostoru. Grammova
matice a Grammv determinant obdlnkov matice.
(Zde uvedenm sylabm se snaila piblit pednka LA veden
jednm z autor tto knihy v minulch letech.)

LINE RN ALGEBRU P STUJEME

Transkript

Podobné dokumenty