1. soutěžní den AA [i ] ZAC ZAC A ZAC (x )

1. soutěžní den
P–III–1
Je dáno pole [1 ] celých kladných čísel. Je-li = [ ] 1 ,
znamená tato hodnota odkaz (nepřímou adresu) na prvek [ ] (pro ten může platit
stejná podmínka), v opačném případě jde o již uloženou hodnotu. Dále je dáno pole
[1 ] obsahující hodnoty z 1 , kde je mnohem menší než .
Navrhněte co nejlepší algoritmus, který každý prvek pole
nahradí již přímo
indexem prvku pole s původně referencovanou hodnotou, pokud je možno takovou
hodnotu najít. V opačném případě bude prvek pole
obsahovat nulu.
P–III–2
Legendreův polynom
-tého stupně N je definován vztahy
0 (
) = 1
1 (
) = N +1 (
)=
2N +1 N +1
N (
)
N
N +1 N −1 (
)
pro všechna reálná a celá kladná čísla .
a) S použitím pouze celočíselných proměnných navrhněte co nejlepší algoritmus,
který pro zadanou hodnotu vypočte koeficienty Legendreova polynomu -tého
stupně. Koeficienty musí být vypočteny přesně.
b) Jaký je minimální počet koeficientů polynomů (do stupně ) nezbytných pro
výpočet koeficientů polynomu N ?
1
2. soutěžní den
P–III–3
Je dáno letišť očíslovaných 1 až a jejich vzdálenosti v matici [1 1 ]
(prvek [ ] udává přímou vzdálenost mezi letišti a ). Matice
je symetrická.
Dále je dána hodnota
určující dolet letadla a přirozené číslo , 1 =
= ,
označující vybrané letiště.
Navrhněte co nejlepší algoritmus, který sestaví letové trasy z letiště do všech
ostatních, pokud existují. Ze všech možných tras nás však zajímají pouze ty nejkratší,
a pokud existuje více tras minimální délky, zajímají nás z nich jen trasy s nejmenším
počtem mezipřistání.
P–III–4
a) Navrhněte Turingův stroj nad abecedou , který rozpoznává množinu
všech slov = n n n
0 .
b) Navrhněte Turingův stroj, který dané slovo nad abecedou , doplní zprava
nejkratším způsobem na palindrom.
Příklad:
Poznámka: Palindrom je slovo, které je stejně čteno zleva doprava i zprava doleva.
Např. řetězce
NÁNABALILABANÁN,
JELENOVIPIVONELEJ
jsou palindromy.
2