Diskrétní simulační schema - České vysoké učení technické v Praze

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE, FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ, KATEDRA ŘÍDICÍ TECHNIKY
Modelování a simulace systémů – cvičení 5
SIMULAČNÍ SCHÉMA
Jirka Roubal
1. Úvod
Na tomto cvičení si ukážeme jak převést diferenční rovnici obecně n -tého řádu
y (t ) + a1 y (t − Ts ) + … + an y (t − nTs ) = b0u (t ) + b1u (t − Ts ) + … + bn u (t − nTs )
(1)
na přenos v Z transformaci
b0 + b1 z −1 + … + bn z − n
G( z ) =
,
1 + a1 z −1 + … + an z − n
−1
(2)
se kterým se často setkáváme v literatuře a také na simulační schéma podle obr. 1.
bn
y(t)
bn
b1
b1
Scope
b0
u(t)
1
z
Vstup
Unit Delayn
.....
xn
1
z
b0
1
x2
z
Add1
x1
Unit Delayn1 Unit Delayn2
Add
an-1
an-1
a1
a1
a0
a0
obr. 1 : Simulační schéma odpovídající diferenční rovnici (1)
Nápověda k Z transformaci (pro nulové počáteční podmínky)
Z { f (t − i )} = z − i F ( z −1 )
(3)
2. Příklady
Příklad 1: Uvažujte model tělesa svázaného se stěnou pomocí pružiny a tlumiče, který jste
měli na přednášce. Vstupem systému je síla u (t ) = F (t ) působící na těleso a výstupem je poloha tělesa y (t ) = x(t ) .
obr. 2 : Mechanický systém závaží na pružině
1
MAS cvičení 5: Simulační schéma
2
Rovnici popisující tento systém v okolí rovnovážné polohy nalezneme v přednáškách
(zkuste si tento systém odvodit z Newtonova zákona)
...
(4)
Přepište diferenciální rovnici (4) na diferenční rovnici s periodou vzorkování Ts
y (t ) =
(5)
Přepište diferenční rovnici (5) na přenos v Z transformaci (2). Mohli byste ho samozřejmě
přepsat rovnou pomocí vztahů (1) a (2). Protože je ale zbytečné si tento vztah pamatovat,
aplikujte nejprve na rovnici (5) Z transformaci (3)
Y ( z −1 ) =
a odtud vyjádřete přenos
G ( z −1 ) =
Y ( z −1 )
=
U ( z −1 )
nebo
G( z) =
Y ( z)
=
U ( z)
. (6)
Vyzkoušejte si v Simulinku k modelu rovnice (4) paralelně vložit bloček Discrete / Discrete Transfer Fcn Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. a porovnat odezvy obou modelů na
stejný vstupní signál (nezapomeňte na počáteční podmínky).
Poté převeďte diferenční rovnici (5), respektive přenos G ( z −1 ) na simulinkové schéma
složené ze zpožďovacích členů 1/ z . Postupovat můžete například takto: Vztah mezi vstupem
a výstupem systému můžete zapsat jako
Y ( z −1 ) = G ( z −1 )U ( z −1 ) =
b( z −1 )
U ( z −1 ) ,
a ( z −1 )
(7)
kde b( z −1 ), a( z −1 ) jsou polynomy čitatele a jmenovatele přenosu G ( z −1 ) . Zavedete novou
proměnnou V ( z −1 ) tak, že platí
V ( z −1 ) =
1
U ( z −1 ) .
−1
a( z )
(8)
Pak pomocí vztahu (3) vyjádřete proměnnou v(t )
v(t ) =
.
(9)
Rovnici (9) překreslíte na simulinkové schéma se zpožďovači 1/ z do obr. 3 podobně, jako
jsme překreslovali diferenciální rovnice s integrátory.
obr. 3 : Simulinkové schéma znázorňující diferenční rovnici (9)
MAS cvičení 5: Simulační schéma
3
Nyní vyjádříme Z obraz výstupu Y ( z −1 ) pomocí V ( z −1 ) a zbývajícího polynomu b( z −1 )
Y ( z −1 ) =
.
(10)
Pak pomocí vztahu (3) vyjádřete proměnnou v(t )
y (t ) =
.
(11)
Do obr. 4 obkreslete schéma z obrázku obr. 3 a dokreslete do něj schéma znázorňující diferenční rovnici (11).
obr. 4 : Simulinkové schéma znázorňující diferenční rovnici (5)
Poté porovnejte časové odezvy všech tří výše uvedených simulinkových modelů. Řešení
také můžete porovnat s řešením v Matlabu diferenční rovnice (5) nebo stavového modelu (viz
příští cvičení).
Příklad 2: Uvažujte systém se vstupem u a výstupem y , kde výstup systému y (t ) je roven
minus pětinásobku výstupu v čase t − 2s , minus trojnásobku výstupu v čase t − 6s , plus dvojnásobku vstupu v čase t − 4s .
Zapište diferenční rovnici popisující tento systém
y (t ) =
a nakreslete simulační schéma do obr. 5.
obr. 5 : Simulinkové schéma znázorňující diferenční rovnici (12)
Odsimulujte tento systém v Simulinku Chyba! Nenalezen zdroj odkazů..
(12)
MAS cvičení 5: Simulační schéma
4
3. Domácí úlohy
Příklad 3: Uvažujte systém se vstupem u a výstupem y popsaný přenosem
G( z) =
Y ( z)
4z +1
.
= 2
U ( z ) z + 3z + 2
(13)
a nakreslete simulační schéma tohoto systému.
Příklad 4: Uvažujte systém se vstupem u a výstupem y popsaný následující diferenční rovnicí
y (t ) + 2 y (t − Ts ) + 3 y (t − 2Ts ) = 5u (t − 2Ts ),
(14)
kde Ts = 5s Nakreslete simulační schéma tohoto systému. Určete přenos tohoto systému G ( z ) , respektive G ( z −1 ) .
3.2. Dobrovolné domácí úlohy
Příklad 5: Uvažujte systém se vstupem u a výstupem y popsaný následující diferenční rovnicí
y (t + 2) + 4 y (t + 1) + 7 y (t ) = 3u (t + 1).
(15)
Nakreslete simulační schéma tohoto systému. Určete přenos tohoto systému G ( z ) , respektive G ( z −1 ) .
Literatura
[1] HUŠEK, P., Modelování a simulace systémů (MAS) [online].
〈https://moodle.dce.fel.cvut.cz/course/view.php?id=26〉.
[2] ROUBAL, J., Jirkovy stránky (SAM Systémy a modely) [online].
〈http://support.dce.felk.cvut.cz/pub/roubalj/〉.
[3] ROUBAL, J., Laboratoř teorie automatického řízení 26 [online].
〈http://support.dce.felk.cvut.cz/lab26/〉.
[4] ROUBAL, J., HUŠEK, P. A KOL. Základy regulační techniky v
ladatelství BEN – Technická literatura, 2011.
[cit. 2012-09-17],
[cit. 2008-09-30],
[cit. 2008-09-30],
příkladech, nak-