ktimes

algebra a matematická analýza - 3. ročník ra
pracovní list číslo 13 strana 1/2
Determinanty, Cramerovo pravidlo
Řešení úloh (z pracovního listu 12): 2f) a2 g) -2
3h) 4a+1
V: Jestliže libovolný řádek (popř. sloupec) determinantu je nulový, pak determinant je roven 0
V: Jestliže dva libovolné řádky (popř. sloupce) determinantu se rovnají, pak je determinant roven 0.
Př. 13.1: Dokažte předchozí tvrzení pro determinant stupně 3.
V: Čtvercová matice An stupně n je regulární právě tehdy, det An≠0.
Př. 13.2: Zjistěte, zda se jedná o regulární či singulární matice.
1 + 2 2 − 2 

a) 
 3 + 2 5 2 − 6


2 3
b) 
6 2

− 3 +1 

− 3 2 + 6 
 cos 20° sin 20° 
c)  sin 70° cos 70° 


d)
 cos 70° cos 110° 


 − sin 110° sin 70° 
Př. 13.3: Zjistěte pomocí determinantů, pro které hodnoty parametru k∈ℜ jsou uvedené matice regulární.
a)
1 
k + 2


 − k k − 1
k 2

k

b)
k − 1

k + 3
 sin k

 −1
c)


2 cos k 
1
Př. 13.4: Zjistěte pomocí determinantů, zda se jedná o regulární či singulární matice.
a)
 3 − 2 − 1


1
2
 2
−1 − 2 3 


b)
1
1
−1 



2
2 +1
1


 2 2 + 2 3 2 + 1 − 2 2 + 1


c)
 3 −2

 2
0

 −1 − 2
1 

2 

3 
Př. 13.5: Zjistěte, pro které hodnoty parametru k∈N jsou uvedené matice singulární.
a)
 2 − 2 − 1


k
2
 2
−1 − 2 3 


Řešení úloh: 2) sing. a)+c)+d) reg. b)
b)
−1 − 2 − k


k
1 
 2
−1 − 2 k 


c)
 1

3
 ln k
 −1

−2
ln k
3
3a) {-1±√3}´ b) {0;1}´ c) {3π/4+kπ}´ 4) sing. b) reg. a)+c)
−1 

ln k 2 
− 1 
5a) ∅ b) {0;4} c) {1}
Možná jste si při obecném řešení soustavy dvou a tří lineárních rovnic z příkladu 11.12 všimli, že nejen jmenovatele, ale i čitatele jednotlivých kořenů soustavy mají specifický tvar. Pokud ne, pak si pečlivě promyslete následující větu - Cramerovo pravidlo.
V: Cramerovo pravidlo. Nechť je dána soustava n lineárních rovnic pro n neznámých reprezentovaná následující rozšířenou maticí
soustavy
 a11

 a 21
 M

 a i1
 M

a
 m1
a12
a 22
M
ai 2
M
am2
L a1 j
L a2 j
M
L a ij
M
L a mj
L a1n
L a 2n
M
L a in
M
L a mn
b1 

b2 
M 

bi 

M 
bm 
D (i )
, kde determia nechť determinant matice soustavy D≠0. Pak soustava má právě jedno řešení, uspořádanou n-tici s prvky x i =
D
nant D(i) vznikne z determinantu D nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran dané soustavy rovnic.
algebra a matematická analýza - 3. ročník ra
pracovní list číslo 13 strana 2/2
Př. 13.6: Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavy rovnic:
a)
d)
2x − 3y
= −1
10 x + 10 y = 5
x+ y−z
= 6
3x − 2 y + z = − 5
x + 3 y − 2 z = 14
2x + 3y = 6
x− y
= 12
b)
e)
3x − 5 y = 3
15 x + 5 y = 21
c)
x + 2y − z
= −3
2x − 4 y + z
= −7
− 2 x + 2 y − 3z = 4
x − 2 y + 3z
= 1
3x + y − 2 z
= 0
2x − 4 y + 6z = 2
f)
vlastnosti determinantů, (properties of determinants)
Slovní zásoba:
Cramer´s Rule
Exercise: Interchange any two rows of a 2 by 2 (3 by 3) determinant. Show that the value of the new determinant is -1 times the value
of the original determinant.
Exercise: Multiply each entry of any row of a 2 by 2 (3 by 3) determinant by the number k, k≠0. Show that the value of the new determinant is k times the value of the original determinant.
Př. 13.7: Dokažte, že platí:
x2
2
y
z2
x 1
y 1 = ( y − z )( x − y )( x − z )
z 1
Př. 13.8: Řešte v ℜ rovnice s determinanty
a)
x
4
x
=5
3
d)
x −1 1 1
b)
4
−1
3 sin 2 x
=0
− 1 sin x
3 2 =2
2 5
e)
sin 2 x
cos x
c)
x
2
1
6
x
1
3
0 =7
−2
2 sin x
=0
cos 2 x
Řešení úloh: 6a) {1/10;2/5} b) {3/2;1} c) {4/3;1/5} d) {1;3;-2} e) {-3;1/2;1} f) nelze řešit 8a) ∅ b) {-2/11;24/11} c) {0} d) ?? e) ??