Bohrův model atomu vodíku

Kvantová mechanika
IF
Bohrův model vodíkového atomu
4.4.1
Bohrův model atomu vodíku
Jedním z prvních pokusů, jak vysvětlit strukturu atomu, byl Thomsonův pudinkový model.
Podle něho je atom vodíku tvořen kladně nabitou koulí o poloměru zhruba 5∙10-11 m
s celkovým nábojem +e, v níž se pohybuje bodový elektron (náboj -e).
Na základě fyzikálních experimentů využívajících rozptylu nabitých částic na atomech byla
brzy vytvořena přesnější představa o struktuře atomů. Ve středu atomu je kladné jádro, které
obsahuje kladné protony a neutrální neutrony. Kladné jádro je obklopeno záporným
elektronovým obalem, obsahuje záporné částice - elektrony, které kolem něho obíhají po
přibližně kruhových drahách jako planety kolem Slunce. Proto byl tento model, formulovaný
anglickým fyzikem Ruthefordem, nazván planetární model atomu. Tento model však narážel
na neřešitelný problém – elektron obíhající po kruhové trajektorii kolem jádra by vyzařoval
elektromagnetickou energii a ve velmi krátkém čase (10-19 s) by spadl na jádro, protože by
přišel o veškerou svou kinetickou energii, což neodpovídá pozorovaným skutečnostem.
Problémy s elektromagnetickou nestabilitou Rutherfordova modelu atomu a snaha vysvětlit
kvantitativní závislosti ve spektru nejjednoduššího atomu - atomu vodíku, v jehož obalu se
pohybuje jediný elektron, vedly v roce 1913 dánského fyzika Nielse Bohra k formulaci tří
známých postulátů, na nichž vybudoval semikvantovou teorii tohoto atomu:
1. Elektrony v obalu atomu vodíku se pohybují kolem jádra
me vr  n ,
po kružnicích, pro něž platí
kde me je klidová hmotnost elektronu, v („vé“) oběžná
rychlost a r poloměr kruhové dráhy. Kvantové číslo n
nabývá kladných celočíselných hodnot, tj. hodnot 1, 2,
atd.
2. Pohybují-li se elektrony po těchto drahách, tzv. orbitách,
nevyzařují ani neabsorbují elektromagnetickou energii,
tyto dráhy můžeme nazvat stacionární.
3. Při přechodu elektronu z orbity s vyšším kvantovým číslem (n) na orbitu s nižším kvantovým
číslem (m) vyzáří atom kvantum elektromagnetického záření - foton, při opačném
procesu foton absorbuje. Frekvence  („ný“)vyzářeného fotonu je dána vztahem
h  En  Em
Poznámka: Implicitně se pak dále předpokládá, že kromě těchto omezení můžeme použít ke studiu
vodíkového atomu klasickou mechaniku.
První Bohrův postulát vyjadřuje skutečnost, že velikost momentu hybnosti elektronu
obíhajícího kolem jádra je jistým způsobem kvantována. Tato veličina, kterou z klasické
fyziky známe jako spojitou, může tedy v rámci Bohrovy teorie nabývat pouze diskrétních
hodnot - přirozených násobků redukované („škrtnuté“) Planckovy (= Diracovy) konstanty.
Mechanismus kvantování v Bohrově
modelu atomu lze nejnázorněji pochopit
pomocí představy o korpuskulárněvlnovém chování elektronu při jeho pohybu
na oběžné dráze kolem atomového jádra.
Elektron obíhá kolem jádra po stabilní
dráze neomezeně dlouho a bez vyzařování,
obsahuje-li jeho dráha celočíselný počet n
de Broglieho vlnových délek elektronu,

h
, n = 1, 2, 3, atd.
p
Kvantová mechanika
IF
Bohrův model vodíkového atomu
Při necelistvém počtu vlnových délek je dráha nestabilní - dochází k vyzáření energie,
elektron přejde na nejbližší stabilní dráhu s celočíselným počtem vlnových délek.
Podmínka pro stabilitu kruhové dráhy o poloměru r (s obvodem 2r), je 2 rn  n  n  h / p ,
kde rn označuje poloměr dráhy obsahující n vlnových délek . Vynásobením rovnice hybností
a vydělením faktorem 2 dostáváme první Bohrův postulát.
Použijme dále klasický popis elektronu (záporně nabitá částice s elementárním nábojem
a hmotností me) obíhajícího kolem jádra (kladně nabitá částice s nábojem e). Pohyb po
kružnici je v tomto případě umožněn díky coulombovské vazbě, tj. dostředivou sílu tohoto
pohybu vytváří přitažlivá síla mezi kladným a záporným elementárním nábojem. Platí tedy
v2
1 e2
me

r 4 0 r 2
Jednoduchou úpravou osamostatníme na levé straně rovnice druhou mocninu momentu
me e2 r
2 2 2
hybnosti elektronu
me v r 
4 0
Dosazením Bohrovy kvantovací podmínky získáme vztah pro přípustné hodnoty
2
m e2 r
4 0
2
2
2 h 0
stacionárních drah ve tvaru  n   e n  rn 
n

n


4 0
me e2
 me e2
h2 0  4 2 0 

5,3 10-11 m se nazývá Bohrův poloměr atomu vodíku
Veličina a0 
2 
2 
 me e  mee 
a udává zhruba velikost vodíkového atomu za běžných podmínek.
Rychlosti elektronu na příslušných orbitách jsou pak dány vztahem
1 e2
vn 
n 2h 0
4.4.2
Energetické spektrum atomu vodíku
Celková energie elektronu v poli vodíkového jádra (protonu, tj. bodového kladného náboje e)
je dána součtem energie kinetické a potenciální na n-té orbitě
1
e2
2
E  Ek  E p  me vn 
2
4 0 rn
Dosazením dříve odvozených vztahů pro poloměr orbity a rychlost na ní dostaneme
1 m e4
E  Ek  E p   2 e2 2
n 8 0 h
Tyto diskrétní hodnoty energie se označují jako energetické hladiny či slupky. Skutečnost,
že všechny přípustné energie jsou záporné, odráží fakt, že soustava jádro - elektron je vázaná.
Energie E1 odpovídá tzv. základnímu stavu (hovoříme o základní energetické hladině) atomu
vodíku. Hodnotu této energie získáme dosazením příslušných konstant E = -13,6 eV.
Ostatní energie odpovídají stavům excitovaným (vzbuzeným). Rozdíl mezi základní
hladinou a nekonečně excitovanou hladinou je ionizační energie, minimálně tuto energii je
totiž třeba dodat elektronu, aby se odtrhl od atomu v základním stavu.
Dostane-li se elektron v důsledku absorpce energie na vyšší energetickou hladinu (do
excitovaného stavu), setrvá na ní do doby, než se mu podaří přebytečnou energii vyzářit ve
formě kvanta elektromagnetického záření – fotonu.
IF
Kvantová mechanika
Bohrův model vodíkového atomu
4.4.3
Spektrální série atomu vodíku
Podle posledního Bohrova postulátu vyzařuje atom vodíku elektromagnetickou energii ve
formě kvanta (fotonu) pouze při přechodu elektronu z vyšší energetické hladiny na nižší.
Frekvence vyzářeného fotonu je pak dána rozdílem energií na obou hladinách. Tak při
přechodu z n-té hladiny na m-tou (n > m) vyzáří atom foton o frekvenci nm, kterou můžeme
určit z výše uvedených vztahů
me e4  1
1
h nm 
 2
2 2 
2
8 0 h  m n 
Tento vztah dobře koresponduje s empirickým
(experimentálně určeným) vztahem získaným při
studiu spektrálních čar atomárního vodíku (1885),
kdy bylo zjištěno, že vlnové délky čtyř čar ležících
ve viditelné části spektra mohou být vyjádřeny
nm 1  R  m2  n 2 
kde R = 1,097·10-7 m-1 je Rydbergova konstanta.
Na sousedním obrázku jsou znázorněny jednotlivé
energetické hladiny atomu vodíku a přechody
z vyšších do nižších energetických hladin, při nichž
atom emituje elektromagnetické záření. Přechody
jsou sdruženy do sérií, pojmenovaných po vědcích,
kteří se studiem příslušné série zabývali.
4.4.4
Kvantová čísla atomu vodíku
Energie odpovídající kvantovým stavům atomu vodíku může být charakterizována jediným
kvantovým číslem n, ale vlnové funkce popisující tyto stavy jsou určeny třemi kvantovými
čísly, která odpovídají pohybu elektronu v trojrozměrném prostoru. Tato tři kvantová čísla,
současně s jejich názvy a možnými hodnotami, jsou uvedena v následující tabulce:
SYMBOL
n
l
m
NÁZEV
hlavní kvantové číslo
orbitální kvantové číslo
orbitální magnetické kvantové číslo
PŘÍPUSTNÉ HODNOTY
1, 2, 3, …
0, 1, 2, …, n − 1
−l, −(l − 1), …, +(l − 1), +l
Každá trojice kvantových čísel (n, l, m) určuje vlnovou funkci určitého kvantového stavu.
Hlavní kvantové číslo n, se objevuje ve vyjádření energie příslušného stavu, vyjadřuje
vzdálenost elektronu od jádra. Bez dalšího důkazu vezmeme na vědomí, že orbitální
kvantové číslo l (někdy též zvané vedlejší) určuje velikost momentu hybnosti příslušného
kvantového stavu. Magnetické kvantové číslo m (někdy pro zdůraznění zvané orbitální
magnetické kvantové číslo) souvisí s orientací vektoru momentu hybnosti v prostoru.
Omezení kladená na výběr hodnot kvantových čísel nejsou náhodná, jsou důsledkem
Schrödingerovy rovnice a přirozeně vyplývají z jejího řešení.
Pro základní stav n = 1 tato omezení vyžadují, aby l = 0 a m = 0. Atom vodíku v základním
stavu má tedy nulový moment hybnosti.
Pro úplnost je třeba ještě doplnit spinové kvantové číslo s  
1
a Pauliho vylučovací princip:
2
kvantová čísla každé dvojice elektronů v atomu se musí lišit aspoň v jednom kvantovém čísle.
Kontrolní otázky: (1) Uveďte všechny tři Bohrovy postuláty; (2) proč označujeme Bohrův model vodíkového atomu
za semikvantový? (3) uveďte všechna kvantová čísla elektronu v atomovém obalu, hodnoty, kterých
nabývají a jejich fyzikální význam; (4) vysvětlete Pauliho vylučovací princip