Bohrův model atomu vodíku

rev. 30.4.2012
Bohrův model atomu vodíku
Pro vysvětlení nedostatků planetárního modelu (nestabilita díky vyzařování energie zrychleně
se pohybujícím elektronem) zavedl Niels Bohr v roce 1913 tři předpoklady, na kterých
vybudoval teorii atomu vodíku (a vodíkupodobných atomů), která úspěšně vysvětlila některé
jeho vlastnosti, především pak poskytla přesné hodnoty vlnových délek čar v emisním spektru.
Připomeňme, že planetární model atomu vychází z představy, že okolo (přibližně)
nepohyblivého „těžkého“ jádra obíhá „lehký“ elektron po kruhové dráze (podobně jako obíhá
Země po přibližně kruhové dráze okolo Slunce). Můžeme proto psát klasickou podmínku pro
kruhovou dráhu – dostředivá síla je dána coulombickou interakcí kladného protonu se
záporným elektronem
Fd = Fc
me
v2
e2
=
r
4 πε 0 r 2
K této podmínce nyní přidáme Bohrovy předpoklady (postuláty):
1. Atom se může nacházet jen v určitých energetických (kvantových) stavech
s energiemi E1 , E2 , K, En . Svoji energii může měnit pouze při přechodu z jednoho
stavu do druhého.
2. Při přechodu ze stavu s energií Em do stavu s energií En ( Em > En ) atom vyzáří foton
s energií danou jejich rozdílem Em − En = hν . V tomto vztahu h je Planckova
konstanta a ν je frekvence odpovídajícího záření. (Při opačném přechodu n → m pak
pochopitelně atomu musí být odpovídající energie dodána.)
3. V n-tém kvantovém stavu platí pro elektron podmínka
me vr = nh = n
h
2π
Výraz na levé straně představuje moment hybnosti elektronu a podmínka tedy říká, že
moment hybnosti elektronu je kvantován v násobcích redukované Planckovy
konstanty h (n je celé číslo, nazýváme ho kvantové číslo).
Spojením podmínky kruhové dráhy a třetího postulátu můžeme snadno odvodit vztah pro
rychlost elektronu v n-tém stavu (na n-té dráze)
me
v2
e2
=
r
4 πε 0 r 2
me v 2 r =
e2
4 πε 0
e2
me vr ⋅ v = nh ⋅ v =
4πε 0
⇒
vn =
e2
1
1
⋅
=α ⋅c⋅
n
4 πε 0 nh
rev. 30.4.2012
Nově zavedená konstanta α je nazývána konstantou jemné struktury a její velikost je často
přibližně zapisována jako (c je rychlost světla ve vakuu)
α=
e2
1
=&
4πε 0hc 137
Vidíme, že rychlost elektronu na první Bohrově dráze je přibližně c / 137 (na vyšších drahách
pak ještě menší), takže není nutný relativistický popis.
Dále pak snadno z třetího postulátu najdeme poloměr dráhy elektronu pomocí rychlosti
nh nh
1
h
rn =
=
⋅
=
⋅ n2
1
me v me αc ⋅
me cα
n
h
2
rn = aB ⋅ n
,kde konstanta aB = r1 =
=& 0,53 Å se nazývá Bohrův poloměr.
me cα
Energii najdeme jako součet kinetické energie elektronu (neuvažujeme pohyb jádra) a
potenciální energie, která odpovídá coulombické interakci elektronu a jádra.
E = Ek + E p =
1
e2
1 e2
e2
e2
1
me v 2 −
= ⋅
−
=−
= − me v 2
2
4 πε 0 r 2 4 πε 0 r 4 πε 0 r
8πε 0 r
2
Při úpravě jsme využili podmínku kruhové dráhy. Nyní dosazením za r (nebo za v) dostaneme
vyjádření energie v závislosti na kvantovém čísle n.
1
1
e2
e 2 me cα 1
En = −
=−
⋅
⋅ 2 = − me c 2α 2 ⋅ 2
2
8πε 0 rn
8πε 0
h
n
n
Energie základního stavu je E1 = −13,6 eV (připomeňme, že 1 eV = 1,6 × 10 −19 J) . Ionizační
energie (energie potřebná na uvolnění
elektronu
z atomu)
je
rovna
n =4
rozdílu Ein = E∞ − En . Ionizační energie
Paschenova série
základního stavu je tedy rovna 13,6 eV
n =2
a tuto energii nazýváme rydberg
(1 Ry = 13,6 eV = 13,6 × 1,6 × 10 −19 J) .
Balmerova série
Možné hodnoty energie znázorňujeme
obvykle v uvedeném diagramu. V něm
jsou vyznačeny tři série čar v emisním
spektru vodíku. Jako první byla
pochopitelně popsána série čar ve
Lymanova série
viditelné oblasti spektra. Již v roce
1885 našel Johann Jakob Balmer
n =1
empirický vztah pro vlnové délky čar,
který nyní zapisujeme ve tvaru
1
1 
 1
= R 2 − 2  . V tomto vztahu jsou
λ
m 
n
−1
m a n celá čísla (pro Balmerovu sérii n = 2) a R = 10973731,534 m je Rydbergova konstanta.
Ještě před formulací Bohrovy teorie byla v roce 1909 objevena série čar v infračervené oblasti,
rev. 30.4.2012
která vyhovovala stejnému vztahu pro n = 3 (Paschenova). Poslední z uvedených sérií
(Lymanova) byla objevena v roce 1914, přísluší číslu n = 1 a leží v ultrafialové oblasti.
Později pak byly objeveny další série v infračervené oblasti, Brackettova (1922) a Pfundova
(1924).
Nyní můžeme snadno pomocí druhého Bohrova postulátu vysvětlit Balmerův empirický vztah
c
h ν = h = Em − E n
λ
1
λ
=
2
1
(Em − En ) = 1 1 mec 2α 2  12 − 12  = mecα  12 − 12 
hc
hc 2
m 
2h  n
m 
n
Dostáváme stejný vztah, ve kterém Rydbergova konstanta je dána vztahem
m cα 2
R= e
= 10973731,534 m−1.
2h