Semestrální práce Semestrální práce

Numerické metody 2
Semestrální práce
Vypracoval:
Osobní číslo:
Datum:
Zadání práce:
Vojtěch POLNICKÝ
153049
20. dubna 2014
Numerické metody 2
Semestrální práce
Vypracoval:
Osobní číslo:
Datum:
20. dubna 2014
Rozbor zadání:
Vytvoříme Butcherovu tabulku a spočteme její parametry.
Zaneseme parametry do kódu a necháme jej vypočíst tíženou hodnotu y[2] a vykreslit graf.
1) Butcherova tabulka pro Runge-Kutta III. řádu:
Vycházíme z obecného předpisu tabulky, jejichž parametry podléhají rovnicím:
(zdroj: http://slovak.evlm.stuba.sk/elearning/elearning_files/Rukovat_studenta/kapitola10.pdf)
Máme k dispozici 4 rovnice ale 6 neznámých, zvolíme tedy dva parametry a dopočítáme ručně.
zvoleno:
c2 = 1
c3=2
(
(kvůli kvadrátu těchto parametrů)
)
Konkrétní Butcherova tabulka:
0
.
0
.
.
0
0
.
.
0
.
1
1
0
.
0
2
4
-2
0
.
5/12
8/12
-1/12
2) Převedení získaných parametrů Butcherovy tabulky do rovnic:
(zdroj: http://www.fit.vutbr.cz/~satek/disertace/satek_disertace.pdf )
Butcherova tabulka
((
)
(
)
(
)
)
0
0
.
.
1
1
0
.
2
4
-2
0
.
5/12
8/12
-1/12
3) Kód programu (Matlab R2010b):
Vycházíme z kódu pro Runge-Kutta 4. řádu, který mírně modifikujeme.
(zdroj: http://mdg.vsb.cz/wiki/index.php/714-0655/01_-_Metoda_Runge-Kutta__%C5%99e%C5%A1en%C3%BD_p%C5%99%C3%ADklad_v_Matlabu )
%% Zpracovane zadani:
f=inline('-y*log(1.9+x.^(2)*y.^(2))')
h=0.1;
a=0;
b=2;
n=(b-a)/h;
x(1)=0;
y(1)=1;
%zadani prave strany dif. rovnice
% delka kroku
% zacatek intervalu
% konec intervalu
% zadani poctu kroku (pocet cyklu)
% X hodnota pocatecni podminky
% Y hodnota pocatecni podminky
%% Zadani parametru z Butcherovy tabulky:
c2=1;
a21=1;
c3=2;
a31=4;
a32=-2;
b1=5/12;
b2=8/12;
b3=(-1/12);
%% Vypocetni cast
for i=1:n,
x(i+1)=x(i)+h;
K1=h*f(x(i),y(i));
K2=h*f(x(i)+h*c2,y(i)+K1*a21);
K3=h*f(x(i)+h*c3,y(i)+K1*a31+K2*a32);
y(i+1)=y(i)+1*(b1*K1+b2*K2+b3*K3);
end
%% Zobrazeni vysledku
sprintf('Hodnota y[x=2]= %0.4g .',(y(n+1)))
plot(x,y,'r')
% posunuti na ose X
% napocitani hodnot
% prirustek k hodnote y(i)
%zobrazeni vysledku
%vykresleni
4) Výsledky a hodnocení
Jelikož je výchozí funkce pouze logaritmická tvar grafu odpovídá svou hladkostí a částečně i tvarem.
Hodnota y[x=2]= 0.2304 .