Trojúhelník-základní poznatky - Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420
Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín
NÁZEV MATERIÁLU:
Trojúhelník – základní poznatky
Autor: Mgr. Břetislav Macek
Rok vydání: 2014
___________________________________________________________________________________
Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK.
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských
zařízení. Jakékoliv další využití podléhá Autorskému zákonu.
Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora - Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0
Česko.
Trojúhelník
- rovinný útvar se třemi vrcholy, stranami a třemi vnitřními úhly.
ozn.: vrcholy – velké písmena abecedy
strany – malé písmena abecedy
úhly – písmena řecké abecedy
C
γ
a
b
α
A
β
c
B
Základní vlastnosti:
1) Součet vnitřních úhlu – α + β + γ = 180o
2) Trojúhelníková nerovnost (zda-li jde trojúhelník sestrojit) – a + b > c
a+c>b
b+c>a
Úkol:
1. a) Dokažte (sestrojte), zda-li lze sestrojit trojúhelník o stranách a = 8 cm, b = 5 cm, c = 14 cm.
[nelze sestrojit]
b) Určete velikosti vnitřních úhlu trojúhelníku ABC, jsou-li v poměru α : β : γ = 3 : 4 : 5
[45o : 60o : 75o]
c) Určete vnitřní úhly v trojúhelníku ABC, platí-li: α = 2β ,β = 3γ . [1 : 2 : 6 --> 20o : 40o : 120o]
3) Střední příčky - úsečky spojující středy stran; rozdělují trojúhelník na čtyři stejné trojúhelníky.
Úkol:
2. Sestrojte trojúhelník ABC o stranách a = 8 cm, b = 5 cm, c = 12 cm. Vyznačte střední
příčky tohoto trojúhelníku. Dokažte měřením, že mají stejný obvod, obsah a stejně velké
strany.
1
4) Výšky trojúhelníku – kolmice jdoucí z vrcholu trojúhelníku na protější stranu.
ozn.: va, vb, vc
5) Těžnice trojúhelníku – spojnice vrcholu se středem protější strany; bod T – těžiště.
ozn.: ta, tb, tc
Úkol:
3. Sestrojte trojúhelník ABC, jehož všechny strany mají délku 6 cm. Vyznačte na tomto
trojúhelníku jeho výšky a těžnice. Co lze z obrázku vyčíst?
6) Rozdělení trojúhelníku podle stran -
rovnostranný
rovnoramenný
různostranný (obecný)
7) Rozdělení trojúhelníku podle úhlu -
pravoúhlý
ostroúhlý
tupoúhlý
Úkol:
4. Sestrojte všechny typy trojúhelníků podle úhlů?
8) Kružnice opsaná – dotýká se všech vrcholů trojúhelníku; střed leží na průsečíku os stran.
ozn.: poloměr kružnice – r
9) Kružnice vepsaná – dotýká se stran trojúhelníku; střed leží na průsečíku os vnitřních úhlů.
ozn.: poloměr kružnice – ρ
2
Úkol:
5. Sestrojte trojúhelník ABC o stranách a = 5 cm, b = 7 cm a c = 9 cm. Sestrojte kružnici
opsanou tomuto trojúhelníku?
10) Shodnost
Trojúhelníky ABC , A′B′C′ jsou shodné, jestliže je lze přemístit tak, že se kryjí.
Zapisujeme: ∆ABC ≅ ∆A′B′C′
Věty o shodnosti trojúhelníku
Pro shodnost trojúhelníku stačí, aby bylo splněno kterékoliv z následujících kritérií (postačující
podmínky)
V1: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve třech stranách. (věta sss)
V2: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách úhlu jimi sevřeném. (sus)
V3: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich. (Ssu)
V4: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých.(usu)
11) Podobnost
Trojúhelníky ABC , A′B′C′ jsou podobné, právě když existuje kladné číslo k takové, že pro
délky stran trojúhelníku platí :
´
=
´
=
´
=
k ... koeficient podobnosti
symbolický zápis: ∆ABC ≈ ∆A′B′C′
3
Věty o podobnosti trojúhelníku
V1 Trojúhelníky jsou podobné, shodují – li se ve dvou úhlech. ( uu )
V2 Trojúhelníky jsou podobné, mají – li sobě rovné poměry dvou stran a shodné úhly jimi
sevřené. ( sus )
V3 Trojúhelníky jsou podobné, mají – li sobě rovné poměry dvou stran a shodné úhly proti
vetší z nich. ( Ssu )
´
,
,
´
,
,
´
,
,
2
α = α´
24,4o = 24,4o
β = β´
30,0o = 30,0o
Úkol:
6. Svislá metrová tyč vrhá stín 150 cm dlouhý. Vypočtete výšku věže, jejíž stín je ve stejném
okamžiku dlouhý 36 metru.
[ 24 m]
7. Rozhodněte, zda jsou podobné trojúhelníky o stranách 12 cm, 16cm, 19 cm a 10 cm, 15 cm,
13 cm.
[ nejsou]
8. Rozhodněte o podobnosti trojúhelníku s úhly 38°, 55° a v druhém s úhly 55°, 87°.
[ jsou]
9. Trojúhelníkové pole je na plánu 1:50 000 zakresleno jako trojúhelník o stranách 32,5 mm,
23,5 mm a 36 mm. Určete jeho skutečné rozměry.
[ 1625 m, 1175 m, 1800 m]
10. Určete měřítko mapy, je-li les tvaru trojúhelníku o rozměrech 1,6 km , 2,4 km a 2,7 km na
[1 : 50 000]
mapě zakreslen jako trojúhelník o stranách 32 mm, 48 mm a 54 mm.
4