Milé řešitelky, milí řešitelé

Milé řešitelky, milí řešitelé,
dostává se vám do rukou druhá a třetí série 29. ročníku Pikomatu MFF UK. Po
první sérii evidujeme přes 250 řešitelů, což nás velmi těší. Z toho je zřejmé, že
v letošním ročníku bude velká konkurence. Odměnou za vaše snažení vám bude
tradiční soustředění, na které se dostanou jen ti nejúspěšnější. My se budeme
těšit na vaše další řešení.
Upozornění
Rádi bychom vás znovu upozornili na to, abyste řešení jednotlivých úloh psali
každé zvlášť na samostatný čistý papír, přičemž každý papír podepište minimálně svým jménem a příjmením, v ideálním případě napište i adresu školy nebo
bydliště. Nepodepsaná řešení nebudou opravována. Dále upozorňujeme, že pokud své řešení odešlete po termínu odeslání, za každý zpožděný den strháváme
bod. Dávejte si proto pozor na včasné odesílání.
Návratky
V obálce jste obdrželi, mimo jiné, návratku. Prosím zkontrolujte své údaje a opravené i neopravené návratky nám zašlete zpět s řešeními další série. Děkujeme.
Novinky
Od této série je možné odevzdávat řešení úloh elektronicky. Pokud vám tato
forma více vyhovuje, už nebudete muset řešení tisknout a fyzicky posílat. Na
následujících řádcích se dozvíte, jak na to.
Jak elektronicky odevzdávat?
Elektronickou cestou můžete odevzdat řešení buď zpracované v některém editoru anebo naskenované ručně psané řešení. Nahrávat lze pouze soubory ve formátu PDF. Proto skenujte nebo exportujte řešení do PDF. Vaše řešení můžete
nahrávat na stránkách Pikomatu, na odkazu elektronické odevzdávání (odkaz
bude na hlavní stránce). Pozor! Nebudeme opravovat řešení, která jsou vyfocená
fotoaparátem nebo mobilem v nedostatečné kvalitě a čitelnosti.
pikomat.mff.cuni.cz
Jak vytvořit PDF?
Soubor PDF lze vytvořit jak v originálním Adobe Acrobat, tak i ve většině editorů,
včetně MS Word, či Open Office. V těchto textových editorech lze dokument
uložit přímo jako PDF soubor. Druhou variantou je nainstalovat si PDF tiskárnu,
dokument pak tisknete z libovolného zdroje a on se vám uloží jako PDF. Nejpoužívanějšími jsou PdfCreator nebo DoPDF. Lze si je stáhnout jako freeware.
Maximální nahratelná velikost vašeho PDF souboru je 20MB.
Co s obrázky?
Pokud chcete odevzdávat elektronicky řešení s obrázky, vložte obrázky přímo
do dokumentu ke zbytku vašeho řešení. Obrázky můžete tvořit v GeoGebře,
malování, GIMPu či dalších grafických editorech. Obrázek uložte ve formátu jpg,
bmp, png či gif. Obrázky lze také nakreslit ručně a naskenovat. I v tomto případě
vložte obrázek do zbytku řešení.
Jak řešení nahrát?
Na našich stránkách najdete nově odkaz na elektronické odevzdávání. Přihlásíte
se pod svým jménem a heslem, které vám přišlo e-mailem. Pokud ne, ozvěte se
nám. Po přihlášení se dostanete do samotné aplikace. Odevzdávání je možné do
00:00 v den odevzdání (př.: termín odevzdání je 2. 12., tedy nejpozději v 00:00
z 2. 12. na 3. 12. musí být řešení nahráno). Poté už nebude možné nahrát žádné
další řešení. Doporučujeme se s aplikací seznámit dříve než v den odeslání, pak
už nemusí být čas řešit nejasnosti.
Jak obdržím své opravené řešení?
Prozatím úlohy u nás vytiskneme, opravíme a pošleme vám zpět poštou spolu
s ostatními řešeními.
Facebook
Pikomat už je i na Facebooku! Už nejsme jen skupinou, máme svoji oficiální
facebookovou stránku. Budeme na ní zveřejňovat veškeré novinky a aktuality
z pikomatího světa.
Akce
Dne 28. listopadu 2013 se bude na MFF UK konat Den otevřených dveří. Přijďte se
podívat na Pikomat a další korespondenční semináře. Bližší informace naleznete
na: http://www.mff.cuni.cz/verejnost/dod/.
Nejbližší akce Pikomatu, která nás čeká, je Vánoční besídka. Termín a další
informace budou zveřejněny na stránkách Pikomatu. Přihlašovat se můžete na
emailu: [email protected].
Strana 2
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 2. prosince 2013
Zadání úloh 2. série 29. ročníku
Termín odeslání: 2. prosince 2013
„Koukám, že nejsem jediný, kdo má divné sny,“ řekl Matěj, aniž by přestal na
kytaru vybrnkávat tichou melodii. „Když jsme se s rodiči přestěhovali do nového
bytu, zdál se mi první noc dost divný sen. Pořád doufám, že se nikdy nesplní.
Začínal docela normálně, spravoval jsem si kolo. Při tom jsem se bavil tím, že
jsem počítal zuby na převodech.“
Úloha č. 1: Zjistil jsem, že převody A, B, C na předním talíři mají postupně 44,
32 a 22 zubů, zatímco na zadním talíři mají převody U, V , W , X, Y , Z postupně
14, 16, 18, 21, 24 a 28 zubů. Dokážete vypočítat, který z převodů AZ, BX, CU je
nejlehčí?
„Dám vám chvilku na přemýšlení, musím si vzpomenout, jak to vlastně pokračovalo.“
„Už to mám!“
„No jo, Ondra, naše hlavička. Vyřešil jsi to akorát včas, zrovna jsem si vzpomněl, jak to pokračovalo. Když jsem si spravil kolo, sedl jsem si na něj, že se
projedu. Jel jsem neznámými prázdnými ulicemi lemovanými na jedné straně
škaredými šedými krychlemi a na druhé nádhernými stromy s podzimními listy.
Korunami stromů docela zajímavě procházely sluneční paprsky. Koukal jsem po
těch barvách a hře paprsků tak moc, že jsem si nevšiml výmolu v cestě, najel
jsem do něj a pak jsem padal. A tady se ten sen zvrhl. Padal jsem příliš dlouho.
Jako bych byl Alenka padající do říše divů. Ale dopadl jsem do obrácené země.
Lidé tam chodili hlavou dolů, nebe a země byly prostě naopak. Když jsem se
trochu vzpamatoval po tom pádu, zeptal jsem se tamního domorodce, kde to
jsem, a ten mi prozradil, že jsem na létajícím ostrově. Za normálních okolností
tam prý chodí stejně jako my, nikoliv jako protinožci, ale nějak se jim pokazilo
řízení a celý ostrov je vzhůru nohama. Taky mi řekl, že jsme kousek od hlavního
města jedné ze tří provincií, města Ango. Slíbil mi, že mě tam dovede, ale pak
už budu ponechán napospas svému osudu. Souhlasil jsem a vydali jsme se na
cestu. Vyprávěl mi při tom, jak to na ostrově funguje, kdo ho řídí, jak to tam
vypadá, …“
Úloha č. 2: „Dozvěděl jsem se, že přes ostrov vedou jenom tři velké přímé cesty. Ty
se potkávají v jednom bodě a na každé z nich leží jedno z hlavních měst provincií.
Průvodce mi dal mapu, kde bylo město Ango a tyto tři cesty nakreslené, a řekl, že
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 3
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 2. série
křižovatka těchto cest je těžištěm trojúhelníku, jehož vrcholy jsou tři hlavní města.
Nemůžu si vzpomenout, jestli jsem z těchto informací do mapy dokázal zakreslit
Bango a Cango, hlavní města ostatních provincií. Můžete mi říct, jestli se mi to
mohlo podařit? Pokud ano, jak jsem to udělal?“
„No jasně, že váháš. Dej mi minutku a hned ti to řeknu,“ řekl Tom.
„Díky, Tome. Mezitím budu pokračovat ve snu, nevadí? Když jsme došli do
Anga, poděkoval jsem průvodci a šel jsem do města. Ulice ale byly liduprázdné.
Jediné, co jsem tam viděl, byl malý duhový míček. Všiml jsem si ho jen díky
tomu, že ve slunci nádherně zářil. Vzal jsem ho do ruky, že si alespoň budu mít
s čím hrát, když jsem si nemohl s nikým povídat. Ale ve chvíli, kdy jsem ten
míček zvedl do ruky, začal s písničkou. Zpíval o strašné tragédii, která se tam
kdysi přihodila. Bývalo to prosperující město plné umělců, kouzelníků, potulných kejklířů, kyklopů, lykantropů, kentaurů a bůhví čeho všeho ještě. Pak se
ale jednomu kouzelníkovi nepovedlo kouzlo a všichni se změnili v duchy. Když
písnička skončila, míček cinkl, zprůhledněl a uvnitř se ukázal jehlan.“
Úloha č. 3: „Měl jsem jehlan ABCDV s obdélníkovou podstavou. Koule, což byl
ten míček, opsaná jehlanu měla střed v podstavě. Jak velký byl úhel AVC?“
„Tak já se nad tím zamyslím a Tom nám mezitím řekne řešení minulého příkladu, co ty na to?“ řekla jsem.
Tom nám tedy řekl, co vypočítal, a Matěj pokračoval ve vypravování.
„Když jsem spočítal snad všechno možné ohledně jehlanu a jemu opsané kouli,
přál jsem si, abych mohl vidět ostrov v celé jeho kráse. A vnitřek míčku se zase
změnil, teď ukazoval model létajícího ostrova. Mohl jsem si to přiblížit a oddálit
pouhou myšlenkou, jak jsem chtěl, a všiml jsem si, že na ostrově jsou koleje,
které vypadají skoro jako dětská stavebnice.“
Úloha č. 4: „Ostrovní železnice byla tvořena rovnými kolejnicemi o délce 1 m a také
čtvrtkruhovými zatáčkami o poloměru 1 m. Mohla být na ostrově vytvořena uzavřená dráha, když měli stavitelé k dispozici neomezeně rovných kolejnic, ale použili
přesně 1 021 zatáček?“
„Pfr, jednodušší příklad už tam nemáš?“ zeptal se Marek.
„Když jsem si prohlédl model ostrova, rozhodl jsem se, že najdu nádraží a pojedu se podívat do jiného města. Jak jsem tak šel kolem těch prázdných domů,
všiml jsem si, že jsou na nich nakreslené karty. Snažil jsem se přijít na to, proč
to tehdejší obyvatelé takhle udělali, ale nic mě nenapadlo.“
„Promiň, že ti do toho skáču,“ řekla Zuzka, „ale těmi kartami jsi mi připomněl
Strana 4
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 2. prosince 2013
příklad, který mi kdysi zadali ve škole. Tehdy jsem se nudila v hodině dějepisu,
a tak jsem zkoušela míchat karty různými způsoby. Když na to učitel přišel, za
trest mi zadal takovýhle příklad.“
Úloha č. 5: Tzv. „perfektním zamícháním“ nazveme zamíchání takové, že balíček
rozdělíme na horní a dolní polovinu a promícháme tak, že vždy vezmeme nejspodnější kartu z dolní poloviny a na ni položíme nejspodnější kartu z horní poloviny, a to opakujeme, dokud nepoužijeme všechny karty. Na konci tedy budeme
mít balíček, kde nahoře zůstane horní karta z horního balíčku a dole dolní karta
z dolního balíčku. Kolikrát musíme balíček „perfektně zamíchat“, abychom dostali
původní uspořádání? Počítejte s tím, že balíček má 32 navzájem odlišných karet.
„Jo, ten příklad si pamatuju, ten jsme taky kdysi řešili ve škole! Tehdy nám dal
docela zabrat. Ale zpátky ke snu. Když jsem došel na nádraží, zjistil jsem, že tam
vlak jezdí jednou za den a jeden mi zrovna ujel. Napadlo mě, že bych mohl zabít
čas tím, že si projdu celé město.“
Úloha č. 6: „Chtěl jsem vyjít z nádraží a projít si město (obr. 1) tak, abych každou ulicí prošel právě jednou. To však nebylo možné: abych se dostal zpátky na
nádraží, musel jsem několika ulicemi projít dvakrát. Šel jsem tedy tak, aby počet
ulic, kterými jsem prošel dvakrát, byl nejmenší možný. Kolik ulic to bylo?“
N
Obr. 1
„Dej mi plánek města a já ti to povím,“ řekl Ondra.
„Máš ho mít. Než jsem ale došel zpátky na nádraží, úplně se setmělo a na ulici
se začali objevovat duchové obyvatelů. Míček měl ve své písni pravdu, všichni byli
nějak zajímaví. Nejvíce mě zaujala trojice mága, culíkaté holčičky, která měnila
barvu podle nálady, a malého kyklopa, kteří se bavili o svém věku.“
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 5
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 2. série
Úloha č. 7: Malý kyklop říkal: „Kdybych zestárl o tolik, kolik je nám všem dohromady, bylo by mi už 70 let.“ Na to culíkatá odpověděla: „Vážně? Tak to potom ale
platí, že kdybych zestárla o 30 let já, tak by mi bylo tolik, jako kdyby tadyhle mág
omládl o věk tvého dvakrát staršího brášky.“ Kolik let bylo mágovi?
„Sedl jsem si a začal jsem ten příklad počítat. Čím déle jsem počítal, tím bledší
byl svět kolem mě a jakoby tam prosakovaly barvy mého pokoje. Pak jsem se
probudil.“
Z jarního soustředění pro nejlepší řešitele
Strana 6
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 13. ledna 2014
Zadání úloh 3. série 29. ročníku
Termín odeslání: 13. ledna 2014
„To mně se zase jednou zdálo, že jsem usínal a čím blíž jsem byl spánku, tím
jsem byl menší, až jsem skončil jako jedna z postaviček na mém povlečení,“ řekl
Tom. „Spali jsme někde na chatě a jediné použitelné povlečení bylo s trpaslíky
a zvířátky. Když jsem se změnil v jednoho z trpaslíků, ostatní si mě nejdřív nedůvěřivě prohlíželi a povídali si o tom, kdo jsem, kde jsem se tam vzal, co se mnou
mají dělat apod. Potom přede mě předstoupil jeden z nich, vypadal jako nějaký
mág a řekl mi, že pokud vyřeším příklad, nad kterým oni bezvýsledně přemýšlí
už několik let, nechají mě žít a přijmou mě mezi sebe.“
Úloha č. 1: Máme číslo 91 583 472. Kolika způsoby můžeme škrtnout právě dvě
cifry, aby výsledné číslo bylo dělitelné třemi?
„Chvilku mi to zabralo, ale nakonec se mi to podařilo vyřešit a byl jsem přijat
do skupiny. Na mou počest, za to, že jsem jim vyřešil příklad, chtěli uspořádat hostinu, jakou ještě nikdo z nich nezažil. Všichni se tedy vydali do svých
domečků, že uvaří své nejoblíbenější jídlo. Většina z nich ale byla tak nadšená
z vyřešeného příkladu, že zkazili snad všechno, co se dalo. Chvíli z toho sice byli
smutní, ale pak někoho napadlo, že to můžeme oslavit v cukrárně.“
Úloha č. 2: „Když jsme tam dorazili, zjistili jsme, že čokoládovna Permoníček vložila do každé své čokolády speciální kupon a vlastník 5 takových kuponů dostane
čokoládu zdarma. Jedna čokoláda stála 5 dukátů. Schválně, kolik jsme nechali
v cukrárně peněz, jestliže jsme měli 333 čokolád?“
„To snad nemyslíš vážně, ptát se nás na tak primitivní příklad,“ řekla Zuzka.
„No jo, tak promiňte. Vrátím se teda radši zpátky k příběhu. Když jsme se
všichni přejedli čokolády, svalili jsme se do trávy u řeky a odpočívali jsme. Mě
ale ta jejich řeka zaujala. Ze začátku to vypadalo, že je barevně pruhovaná. Když
jsem se ale připlazil blíže, zjistil jsem, že to je tím, jak tam plavou ryby. Vždycky
totiž plavaly ve skupince ryby stejné barvy, jakoby rodina.“
Jeden z trpaslíků si všiml mého zaujetí, připlazil se ke mně a povídá: „Jak tu
tak koukáš na ty ryby, nechceš si spočítat jeden příkladeček o rybách? Nedávno
jsme to řešili v práci a tobě to počítání tak jde.“
Samozřejmě, že jsem souhlasil.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 7
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 3. série
Úloha č. 3: Máme přesně 10 kg ryb, z nichž žádná neváží více než 1 kg. Kolik si na
ně musíme nejméně připravit balení, když je chceme určitě zabalit všechny tak,
aby v žádném balení nebylo více než 3 kg ryb?
„Když jsem to spočítal, koukl jsem kolem sebe a zjistil jsem, že už hodně trpaslíků odešlo domů. Tak jsem se vydal na cestu zpátky i se svým novým kamarádem rybářem. Když jsme přišli do osady, všiml jsem si, že trpaslíci mají ještě
trpaslíčata. Několik z nich hrálo kuličky, šel jsem tedy za nimi, že si zahraju taky.
V bdělém stavu mi jdou snad všechny hry, v tom snu mě ale všichni ti prťouskové
porazili. Nebyl jsem z toho nijak nadšený, ale oni začali skákat a tančit. Všichni
až na jednoho. Ten se snažil všechny ty vyhrané kuličky dát do krabičky, aby se
mu nepoztrácely. A já mám pro vás trošku počítání.“
Úloha č. 4: „Trpaslíček měl krabičku 8 × 8 × 1 a kuličky o průměru 1. Kolik nejvíc
kuliček se mu vejde do krabičky?“
„A budou v tom tvém snu někdy i těžší příklady, nebo pořád jen takové banality?“ zeptal se Marek.
„Budou, neboj. Za chvilku. Od těch jásajících dětí jsem raději utekl, byly docela
hlasité, a zastavil jsem se u dětí, které se bavily kreslením do písku. Přisedl jsem
k nim a zamyslel jsem se. Když jsem se ze zamyšlení probral, zjistil jsem, že jsem
pořád dokola kreslil trojúhelník.“
Úloha č. 5: V písku jsou zapíchnuté tři klacíky tak, že neleží na jedné přímce. Úkolem je sestrojit trojúhelník tak, aby klacíky byly paty jeho výšek. Dokážeš ho sestrojit ty?
„Nevím, proč jsem to dělal, a ani jsem neměl čas to zjistit, protože se najednou
zatáhla obloha. Všichni začali s křikem utíkat, a když jsem se jich zeptal, co se
děje, jenom zaječeli a ukázali rukou nad sebe. Zvedl jsem hlavu a uviděl jsem
obrovského medvěda. Najednou jsem nebyl schopný pohybu, jak jsem se bál.
Medvěd pak došlápl tlapou doprostřed osady, sehnul se a začal si vybírat svou
oběť. Jelikož jsem nestihl utéct, vybral si mě a odnesl si mě do doupěte.“
Úloha č. 6: Medvědovo doupě nebylo v jeskyni, ale byla to obrovská krychle na kuří
nožce pomalovaná třemi různými barvami. Kolika různými způsoby jde obarvit
stěny doupěte tak, aby každou barvou byly obarveny právě dvě strany? Obarvení,
která se liší jen otočením, jsou stejná.
„Pak mi řekl, že mu budu několik let sloužit. Co jsem mohl dělat, uklízel jsem
v medvědově doupěti, česal jsem mu kožich, obstarával jídlo a bůhví co všechno
Strana 8
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 13. ledna 2014
ještě. Po deseti letech služby mi řekl: ’Dobře jsi mi sloužil. Za odměnu ti dám
možnost na přežití. Spočítáš-li přetěžký příklad, nechám tě jít. Pokud ale neuspěješ, sežeru tě.’ Musel jsem se pokusit to vypočíst. Měl jsem ale takový strach,
že neuspěju, že jsem to nezvládl. Zajímalo by mě, jak dopadnete vy.“
Úloha č. 7: „Medvěd mi zadal takovýto příklad: Magická čísla jsou dvojciferná
a mají zvláštní vlastnost. Každé magické číslo je rovno součtu své číslice na místě
desítek a druhé mocniny své číslice na místě jednotek. Která čísla to jsou?“
„No, tak konečně tu máme zajímavější příklad. Než ho ale začneme řešit, ukončeme tvůj sen. Předpokládám, že ses probudil ve chvíli, kdy tě vhodil do tlamy,
že?“ řekla jsem.
Populární hrou na táborech Pikomatu je tzv. šátkovaná
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 9
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 1. série
Vzorová řešení a komentáře
k 1. sérii úloh
Úloha č. 1
Ondra dal Zuzce za úkol vyplnit tabulku (obr. 2) čísly 1–7 tak, aby v každém
řádku i sloupci bylo každé číslo právě jednou. Aby to ale nebylo tak jednoduché,
musela dodržovat podmínky dané kolečky: plné kolečko značí, že jedno z čísel je
dvojnásobkem sousedního; prázdné kolečko znamená, že se sousední čísla liší o 1.
A pokud tam není žádné kolečko, nenastává žádná z předchozích dvou podmínek.
Dokážete to i vy?
Obr. 2
Řešení: Vzorové řešení podle Martina Trégla.
Nejprve si označíme sloupce písmeny A–G a řádky čísly 1–7 (viz obr. 3).
V pravém horním rohu jsou tři plná kolečka v řadě. Jedinou možností, jak je
obsadit, je 1, 2, 4 nebo 4, 2, 1. Vždy bude ale 2 uprostřed (F1 = 2). V poli E2 musí
být tedy také 2 (E2 = 2). Ve sloupci G jsou jen dvě místa bez černých teček –
musí tedy obsahovat 5 a 7. V poli F2 může být kvůli bílému kolečku jen 4 nebo
6, ale 4 je dvojnásobek dvojek z okolních polí (F2 = 6). V posledním sloupci smí
6 být jen v poli G7, jinak by sousedilo s čísly 5 nebo 7, ale chyběly by kolečka
(G7 = 6). Dále G6 = 3. V G3 a G4 nesmí být čísla 1 a 2 – 1 potřebuje 2 přes bílé
kolečko, ale ve sloupci F už 2 je. Tedy na G3 a G4 bude 2 a 4. Dál G1 = 1, E1 = 4.
Strana 10
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
V E3 může být jen 1 nebo 3, totéž v F3 (nesmí tam být 5 kvůli F2). V F4 může
být 1, 3 nebo 5, z toho plyne, že na F5 bude 2, 4 nebo 6, ale 2 a 6 už ve sloupci
F jsou (F5 = 4). Na G5 tedy nesmí být 5 (G5 = 7, G2 = 5). Na G3 nesmí být 4
(G3 = 2, G4 = 4). Na D1 může být jen 6 nebo 7 kvůli sousední 4. Na D2 by tedy
šlo 5, 6 nebo 7, ale 5 a 6 už v řádce jsou (D2 = 7, D1 = 6). Na pole A1 zbývá 3,
5 nebo 7. Z toho plyne, že v poli A2 může být 2, 4 nebo 6, ale 2 a 6 už v řádce
jsou (A2 = 4). V řádku 2 už chybí jen 1 a 3, z toho 3 nesmí být vedle 4 v políčku
A2 (B2 = 1, C2 = 3). V poli C3 musí být 4, v poli C4 potom 2 (C3 = 4, C4 = 2).
V 3. řádku mám čísla 1 a 3 zarezervována pro pole E3 a F3, tedy D3 = 5. V C5
musí být 1 kvůli bílému kolečku (C5 = 1). Z toho D5 = 2. V poli E5 musí být 6
kvůli dvěma bílým kolečkům (E5 = 6). Na C6 musí být také 6, protože v prvním
a posledním řádku už 6 je (C6 = 6). Na D6 nesmí být 1, protože pak by na D7
vycházela 2, jenže ta už ve sloupci je (D6 = 4, D7 = 3, D4 = 1). Dále E6 = 5,
E4 = 7. Doplníme 6. řádek – F6 = 7, A6 = 1, B6 = 2. Potom A7 = 2, B7 = 4,
B5 = 3 a postupně doplňujeme jako sudoku (A5 = 5, A4 = 6, A3 = 7, A1 = 3,
B3 = 6, B4 = 5, B1 = 7, C1 = 5, C7 = 7, F7 = 5, E7 = 1, E3 = 3, F3 = 1
a F4 = 3).
1
3
7
5
6
4
2
1
2
4
1
3
7
2
6
5
3
7
6
4
5
3
1
2
4
6
5
2
1
7
3
4
5
5
3
1
2
6
4
7
6
1
2
6
4
5
7
3
7
2
4
7
3
1
5
6
A
B
C
D
E
F
G
Obr. 3
Komentář: Za správně vyplněnou tabulku jsem udělovala dva body. Další tři
jsem přidávala za postup. Přišla spousta řešení jenom s vyplněnou tabulkou.
Protože ale postup je občas důležitější než samo řešení, nemohla jsem takovým
dát plný počet. Proto příště pište veškeré svoje poznatky z řešení.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 11
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 1. série
Úloha č. 2
Tom tvrdil, že viděl včera v noci v lese mnohostěn, jehož každá stěna byla mnohoúhelník s různým počtem vrcholů. Marek mu to ale nevěřil. Kdo má pravdu? Jak
mohl onen mnohostěn vypadat?
Řešení: Máme rozhodnout o existenci mnohostěnu, jehož všechny stěny jsou
tvořeny mnohoúhelníky s různým počtem vrcholů. Označme si počet stěn našeho mnohostěnu n.
První stěna v konstrukci našeho n-stěnu má alespoň 3 hrany, protože nejmenší
n-úhelník je trojúhelník. Můžeme tedy s jistotou říci, že stěna v našem n-stěnu,
kterou přidáme do konstrukce v n-tém kroku, bude mít minimálně n + 2 hran.
Kdybychom nestavěli náš n-stěn postupně z 3, 4, 5, 6, 7,…, n-úhelníků, ale nějaké
mnohoúhelníky z této posloupnosti vynechali, mohlo by se stát, že stěna s největším počtem vrcholů („největší n-úhelník“) bude mít ještě větší počet hran.
Ale s jistotou víme, že náš „největší n-úhelník“ bude mít alespoň n + 2 hran.
Má-li být náš n-stěn mnohostěnem, musí platit, že každá stěna n-úhelníku
se na všech svých hranách stýká s různými dalšími stěnami našeho n-stěnu.
Kdyby tato podmínka neplatila, nebylo by možné takový útvar vůbec označit za
mnohostěn.
A z těchto dvou úvah již nám vyplývá spor. Na jedné straně víme, že náš n-stěn
má n stěn a že jeho n-tá stěna má n + 2 hran. Zároveň však víme, že má-li
výsledkem být n-stěn, pak se každá stěna na každé své hraně stýká s jinou. Z toho
by ovšem plynulo, že n-stěn musí mít nejméně n+2 stěn, abychom mohli doufat,
že výsledné těleso bude opravdu mnohostěn. Předpokládáme-li tedy, že existuje
n-stěn splňující zadání, plyne z toho, že se nejedná o n-stěn ale o (n + 2)-stěn.
Proto takovéto těleso existovat nemůže, a Tom ho tedy nemohl vidět v lese.
Úloha č. 3
„Součet několika po sobě jdoucích přirozených čísel (alespoň dvou) je 22 088. Jaké
číslo tam bylo nejvyšší?“
Řešení: Rozmysleme si, kolik může mít součet po sobě jdoucích členů prvků.
Nechť je nejprve počet sčítanců liché číslo. Obecně platí, že se číslo a dá rozložit na k sčítanců, kde k je liché, pokud k dělí a beze zbytku. Tyto sčítance pak
k
a
k
a
k
a
a
k
a
k
jsou ( a
k − 2 ), ( k − ( 2 + 1)), ( k − ( 2 + 2)), …, k , …, ( k + ( 2 − 1)), ( k + 2 ).
Je-li počet sčítanců sudé číslo m, pak číslo a se dá rozložit na m sčítanců,
pokud se podíl a : m dá zapsat ve tvaru c + 0,5, kde c je nějaké přirozené číslo.
m
m
Tyto sčítance pak jsou (c − m
2 + 1), (c − 2 + 2), …, c, (c + 1), …, (c + 2 ).
Strana 12
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Nyní si rozložme číslo 22 088 na prvočinitele:
22 088 = 2 · 2 · 2 · 11 · 251.
Nejprve zjistěme, zda jde číslo 22 088 rozložit na sudý počet dělitelů. To jde,
neboť 22 088 : 16 = 1 380,5, tedy 22 088 jde rozložit na součet 1 373 + 1 374 +
+ · · · + 1 387 + 1 388. Rovněž jde rozložit na 11 a 11 · 16, tedy 176 sčítanců, jedná
se o rozklady 2 003 + 2 004 + · · · + 2 013 a 37 + 38 + · · · + 213. Číslo 22 088 nejde
rozložit na jiný počet sčítanců, poněvadž by nejmenší prvek součtu byl menší
než nula, což být nemůže, jelikož se má jednat o součet přirozených čísel.
Díky poněkud nešťastně zformulovanému zadání je správným výsledkem kterékoli z čísel 213, 1 388 a 2 013.
Komentář: Většinou se vám podařilo nalézt alespoň jedno řešení, ale k plnému počtu bodů jste potřebovali své řešení alespoň trochu slovně okomentovat a vysvětlit, jak jste postupovali. Pokud jste tak vůbec neučinili a na opravujícího vykoukla série výpočtů téměř bez slovního komentáře, dostali jste zpravidla
3 body. Body jsem vám tentokrát nestrhával, pokud jste se mě snažili přesvědčit,
že se nedá 22 088 rozložit na sudý počet sčítanců, neboť v zadání úlohy nebylo
napsáno, že máte najít všechna taková řešení.
Úloha č. 4
„Kolik existuje pravoúhelníků s celočíselnými délkami stran, pro které platí, že
velikost obsahu je rovna velikosti obvodu?“
Řešení: Pravoúhelník je čtyřúhelník, který má všechny úhly pravé.
Hledáme takový, jehož obvod je stejný jako obsah. To znamená, že hledáme
dvojice délek stran, pro které platí rovnost:
a · b = 2a + 2b.
Příklad šel řešit pomocí dělitelnosti:
a · b = 2a + 2b,
a · b − 2a = 2b,
a · (b − 2) = 2b,
2b
a=
,
b−2
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 13
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 1. série
2b − 4
4
+
,
b−2
b−2
4
a=2+
.
b−2
a=
4
Čísla a i 2 jsou přirozená, proto musí být přirozené i b−2
. Aby bylo přirozené,
musí být výraz (b − 2) dělitelem 4, tedy 1, 2 nebo 4. Z toho vyplývá, že b je 3, 4
nebo 6.
K těmto hodnotám dopočítáme a. Obdélníky se stranami a = 3, b = 6
a a = 6, b = 3 jsou shodné. Proto má úloha dvě řešení: a = 3, b = 6 a a = 4,
b = 4.
Komentář: Někteří řešitelé si mysleli, že pravoúhelníky jsou i pravoúhlé trojúhelníky, a řešili tak těžší příklad. Někteří sice zadání pochopili a našli obě řešení,
ale ani se nepokoušeli vysvětlit, proč jsou jen tato dvě; za taková řešení jsem dávala tři body. Ráda bych pochválila ty řešitele, kteří k výsledkům přidali i důkaz,
že jich víc není, nebo se alespoň o tento důkaz pokusili. Obzvlášť pěkné řešení
měli Martin Trégl a Tereza Jilková.
Úloha č. 5
„Stála jsem v místnosti s obdélníkovým půdorysem, jejíž stěny byly od stropu až do
určité výšky nad zemí tvořené zrcadly. Byla jsem 2 m od stěny dlouhé 2,5 m a 1 m
od 6 m dlouhé stěny. V jaké největší výšce nad zemí mohla začínat zrcadla, abych
si viděla na svoje paty, jestliže se obraz od každé ze stěn odrážel právě jednou
a oči jsem měla ve výšce 1,8 m nad zemí?“
Řešení: Tato úloha má více postupů řešení, zde si ukážeme jedno z těch jednodušších, které je téměř totožné s řešením Davida Koziny.
Mnoho z vás si správně představilo, že při pohledu od jedné z bočních stěn
uvidíme paprsek spojující oči a paty jako lomenou čáru s jedním odrazem od levé
a jedním od pravé stěny (obr. 4). Základním faktem, ze kterého vycházíme, je
zákon odrazu, tvrdící, že úhel dopadu světelného paprsku je stejný jako úhel
odrazu. Další užitečnou znalostí je shoda velikosti střídavých úhlů. Tím nám
v bočním pohledu paprskem vznikají dva rovnoramenné trojúhelníky, které jsou
navzájem podobné. Jejich základny dohromady tvoří výšku postavy, tedy 1,8 m.
Délky jejich těžnic (zároveň i výšek) k základně pak udávají vzdálenost postavy
od stěn. Poměr mezi délkami základen je stejný jako poměr těchto výšek. Konkrétně tedy 4 : 2 a 1,5 : 1. Délky základen jsou proto 1,2 m a 0,6 m při pohledu od
Strana 14
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
kratší stěny a 1,08 m a 0,72 m od delší strany. Jelikož chceme, aby poslední odraz proběhl co nejvýše, díváme se na bližší stěnu tak, aby základna trojúhelníku
u země byla ta delší z dvojice. Vrcholy trojúhelníků jsou pak v polovině délky základen. V ideálním případě odrazy proběhnou ve výškách 1,5 m (= 1,2 + 0,6/2),
1,44 m (1,08 + 0,72/2), 0,6 m (= 1,2/2) a 0,54 m (= 1,08/2). Správnou odpovědí
je proto 0,54 m. Při pohledu shora tvoří paprsek rovnoběžník, jehož delší strany
jsou rovnoběžné s jednou z úhlopříček. Postava se dívá na kratší stěnu poblíž
nejbližšího rohu (obr. 5).
oči
α
β
0,72 m
α
α
1,08 m
β
0,54 m
1m
α
paty
1,5 m
Obr. 4
2,5 m
P
6m
Obr. 5
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 15
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 1. série
Komentář: Nejčastější chybou bylo, že jste počítali s odrazem jen od jedné
stěny, i když v zadání bylo „od každé stěny právě jednou“. Navíc si tím pádem
vidí postava spíše špičky než paty. Příště si na to dávejte pozor, je to zbytečná
ztráta bodů, protože to úlohu výrazně zjednodušuje. Druhou nejčastější chybou
pak bylo, že jste zapomněli, že situaci je třeba hodnotit z obou bočních stran,
a tedy po odrazu ve výšce 0,6 m se paprsek ještě jednou odráží. Dále si můžete
všimnout, že nebylo třeba počítat ani délku paprsku ani úhly, které svírá se stěnami, i když i tímto způsobem se dal tento příklad (složitěji) vyřešit.
Úloha č. 6
„Máme zadaný trojúhelník ABC a úsečku délky d. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník KLM o základně KL délky d, který bude mít stejný obsah jako trojúhelník
ABC.“
Řešení: Tato úloha měla více možných řešení.
Způsob 1: Trojúhelník ABC (ze zadání) mohu zvolit, bude tedy rovnoramenný
s velikostí |AB| = |KL| = d. Jelikož jsem si zvolil, že trojúhelník ABC je rovnoramenný, tak nemusím dále nic víc řešit a trojúhelník opíši formálně tedy trojúhelník ABC = trojúhelník KLM. Jak sestrojit tento trojúhelník? Možností je
opravdu spoustu. Jedno z řešení je: zvolím si |AB| = |AC| = |BC| = 3 cm.
1. |AB|; |AB| = 3 cm
2. k1 ; k1 (A, r = 3 cm)
3. k2 ; k2 (B, r = 3 cm)
4. C; k1 ∩ k2 = C (pracujeme pouze ve 180°)
5. 4ABC
6. A = K; B = L; C = M
7. 4KLM
Způsob 2: Trojúhelník ABC je obecný, ale má |AB| = |KL| = d. Zde využijeme příznivé situace, že mají základny stejnou délku a ze vzorce pro výpočet
obsahu trojúhelníku nám teď stačí, aby měly oba trojúhelníky stejnou výšku. Sestrojení trojúhelníku KLM: Nechť už máme narýsovaný trojúhelník ABC, který
má velikost |AB| = d.
1. p; p k AB ∧ p ∈ C
2. A = K, B = L
3. Skl ; |KSkl | = |Skl L|
4. q; q ⊥ p ∧ Skl ∈ q
5. M; q ∩ p = M
6. 4KLM
Strana 16
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Způsob 3: Trojúhelník ABC je obecný, nemá žádnou stranu s velikostí d. Znám
velikosti a, b, c, vc , d ( = |KL|); obsah trojúhelníku spočítám obecně vzorcem
S = c · vc /2. Protože SABC = SKLM , platí:
c · vc = d · vd ,
vd = c · vc /d.
1. KL; |KL| = d
2. k1 ; k1 (K, r = d/2)
3. Skl ; KL ∩ k = Skl
4. p; p ⊥ KL ∧ Skl ∈ p
5. k2 ; k2 (Skl , r = c · vc /2)
6. M; p ∩ k2 = M
7. 4KLM
Komentář: Někteří z vás mi řešení pouze narýsovali, ale byly z nich patrné
výše uvedené kroky, tedy i to stačilo k získání plného počtu bodů.
Úloha č. 7
„Kolika způsoby lze zapsat číslice 0–9 za sebe, pokud každou použijeme právě
jednou, aby takto vzniklá posloupnost neobsahovala žádné z čísel 2 011, 2 012,
2 013?“
Řešení: Nejprve bylo třeba si uvědomit, že v takové posloupnosti se nemůže
vyskytovat číslo 2 011 (protože by se v ní opakovala jednička) ani 2 012 (protože
by se v ní opakovala dvojka).
I tak je ale těžké zjistit počet způsobů přímo (ačkoliv jedné řešitelce se to
úspěšně povedlo), proto na to půjdeme oklikou. Nejprve spočítáme počet všech
způsobů – těch, kde posloupnost obsahuje číslo 2 013, i těch, kde ho neobsahuje – a pak od něj odečteme počet různých posloupností, které číslo 2 013 skutečně obsahují.
Kolik různých posloupností lze sestrojit? Inu, posloupnost má 10 cifer a každou cifru musíme dát na nějaké místo. Začněme třeba nulou, tu můžeme dát
na libovolné místo. To máme deset možností, jak umístit nulu. Ať ji umístíme
kamkoliv, zbude nám 9 políček, kam dát jedničku, pak 8 políček na dvojku a tak
dále, až nám zůstane jediné políčko pro devítku. Celkem to je 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 ·
· 4 · 3 · 2 · 1 = 3 628 800 posloupností (zkuste si to pro menší čísla).
Číslo 2 013 se může vyskytovat na celkem 7 pozicích, jak ilustruje následující
obrázek:
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 17
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 1. série
2013
2013
2013
2013
2013
2013
2013
To nám dává 7 vzorů „zakázaných“ posloupností. Do každého vzoru můžeme
ovšem doplnit zbývajících šest cifer (4, 5, 6, 7, 8, 9) mnoha způsoby. Stejným
způsobem jako pro celou posloupnost zjistíme, že to bude 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 =
= 720 posloupností pro každý vzor. Celkem je tedy zakázaných posloupností
7 · 720 = 5 040.
A počet posloupností bez 2 013 (a samozřejmě, 2 011 a 2 012) je 3 628 800 −
− 5 040 = 3 623 760.
Komentář: Nejčastější chybou bylo, že řešitel odečítal jen 7 posloupností místo
5 040. Je třeba si uvědomit, že ačkoliv máme jen 7 různých pozic, kde může být
číslo 2 013, tak posloupností s číslem 2 013 je mnohem více (720 pro každou pozici 2 013). Například jsou zakázané posloupnosti 2013456789, 2013546789 nebo
2013457689.
Ačkoliv jsem uznával všechna korektní řešení, chtěl bych obzvláště pochválit ty z vás, kteří podrobně zdůvodňovali svoje postupy a nespokojili se pouze
s uvedením nějakého vzorce.
Někteří z vás špatně pochopili celé zadání. To chtělo počet deseticiferných
posloupností, kde se každá cifra vyskytuje právě jednou a cifry 2, 0, 1, 3 nejdou
hned po sobě, např. povolené posloupnosti jsou 1234507689 nebo 5463210789;
ovšem nelze použít např. 4201357689 (obsahuje 2 013) nebo 1123456789 (opakuje se jednička).
Úlohy první série opravovali a komentáře sepsali: 1. Helena Pučelíková, 2. Michal Outrata, 3. Dominik Tělupil, 4. Anna Steinhauserová, 5. Vojtěch Kika, 6. Garegin Minasjan, 7. Petr Hudeček.
Strana 18
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Výsledková listina Pikomatu MFF UK
po 1. sérii
Celkově
1.–3.
V roč.
1.
1.–2.
4.–5.
3.–4.
6.
7.–9.
5.
1.
2.
6.
2.
3.
7.–9.
10.–14.
15.–17.
3.
10.–11.
18.–20.
4.–6.
21.–32.
1.
4.–10.
7.–9.
33.–38.
12.
11.–13.
10.–11.
13.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Martin Trégl
Vojtěch Lanz
Václav Steinhauser
Anna Nováčková
Tereza Vlčková
Victoria M. Najáres R.
Michaela Svatošová
Lucie Kundratová
Jiří Vala
Jonáš Havelka
Michaela Dunajová
Břetislav Hájek
David Kozina
Alžběta Neubauerová
František Záhorec
Ivana Holpuchová
Petra Malimánková
Daniel Bárta
Josef Minařík
Lukáš Osouch
Michael Azilinon
Daniel Archalous
Vít Gardoň
Jakub Janků
Kristýna Kratochvílová
Nora Prokešová
Martin Schmied
Lucie Vomelová
Sophie Martincová
Johan Rott
David Vojáček
Jiří Nábělek
Michal Krtouš
Miroslav Šafář
Filip Wagner
Ondřej Krabec
Josef Sabol
Timur Sibgatullin
Roč. a škola
8. GZAT
9. GCDP
9. ZVNV
9. ZSJA
9. ZSNR
9. GCDP
7. GMKO
8. GJSZ
9. GMIK
7. GJIR
8. GHUS
9. GCBR
9. ZSVB
9. GNKP
7. GRNL
9. GTMN
9. GCKV
8. GHPP
8. ZSLP
8. GBOS
6. GNVP
7. OPEN
7. GPRI
7. GMLE
7. ZSJG
7. GCKV
7. GJIH
7. GSPI
8. GBRE
8. OPEN
8. ZSCA
9. ZSCH
7. GUST
7. ZSZN
7. GTIS
8. GHAV
8. GCHO
9. GCKV
1
5
5
5
3
5
4
5
4
4
5
2
2
5
5
3
5
3
3
3
3
2
5
2
4
3
2
3
2
5
3
2
4
2
2
5
5
5
5
5
5
4
3
5
4
5
3
3
3
3
3
3
3
3
5
2
4
3
3
4
5
2
3
3
-
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
2
5
4
5
5
2
5
4
3
5
5
2
4
3
3
5
3
4
3
3
4
5
3
3
2
3
5
2
2
3
5
3
3
5
4
4
4
4
4
2
4
3
2
2
5
4
2
2
3
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
1
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
7
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
4
5
5
5
4
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
P
-
σ
Σ
30
30
30
29
29
28
27
27
27
26
26
26
26
26
25
25
25
24
24
24
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
22
22
22
22
22
22
30
30
30
29
29
28
27
27
27
26
26
26
26
26
25
25
25
24
24
24
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
22
22
22
22
22
22
Strana 19
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 1. série
Celkově
39.–47.
V roč.
2.
14.–16.
12.–15.
48.–53.
14.
3.
17.
16.–17.
15.–16.
54.–62.
1.
18.
18.–20.
17.–20.
63.–68.
69.–72.
73.–79.
4.
21.–24.
21.
19.
25.
22.–23.
20.–22.
26.
24.–26.
80.–93.
5.–6.
23.–24.
Strana 20
Jméno a příjmení
Petr Khartskhaev
Martin Hubata
Vojtěch Ježek
Eliška Vítková
Luboš Bartík
Richard Blažek
Jindřich Dušek
Ondřej Wrzecionko
Zdeněk Bydžovský
Vladimír Chudý
Matěj Rendla
Erik Kočandrle
Jan Krepčík
Nodari Godatishvili
Jakub Rypan
Petr Čech
Ondřej Brož
Václav Brož
Tereza Jílková
Marek Seďa
Filip Chudoba
Lucie Kubíčková
Kateřina Poláková
Tereza Zemánková
Jakub Kislinger
Karina Lysáková
Natálie Mikerásková
Eliška Rotterová
Tomáš Turza
Kamila Kyzlíková
Jan Kaifer
Klára Heimlichová
Jan Bambousek
Zuzana Klimsová
Jakub Friedrich
Ondřej Luka
Ondřej Macháč
Jan Feruga
Václav Kočaník
Kristýna Ľalíková
Pavla Trembulaková
Lubor Čech
Jáchym Víteček
Jan Kačenka
Roč. a škola
6. PORG
7. GMNP
7. GPRI
7. GCDP
8. GVYS
8. ZSSL
8. GCDP
8. GCST
9. GAJL
6. ZSRD
7. OPEN
8. GMNP
8. GJIH
9. GCDP
9. GTRU
?. ?
7. GCDP
8. GCDP
8. GJVK
8. ZSNE
9. PORG
9. ZSLS
9. GCDP
9. GTMN
6. GJVK
8. ZSHR
8. GMAS
8. GJSB
8. ZSLU
9. GCDP
7. GCBR
8. GPOA
9. GKCD
9. GJIH
7. GOMS
7. OPEN
7. ZSMN
8. GBOS
9. GCEJ
9. GRPR
9. ZSST
6. GMIK
6. GJHP
7. OPEN
1
3
4
4
2
3
3
2
5
4
5
2
2
3
2
3
2
3
2
3
3
5
2
1
1
5
2
5
3
5
2
3
4
4
4
3
3
3
4
4
2
5
3
3
3
4
3
3
3
0
1
3
1
2
3
3
4
3
3
-
3
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
1
3
5
5
5
5
5
5
5
3
3
5
5
5
5
5
5
5
5
4
3
3
3
5
5
3
3
1
3
5
3
4
2
5
5
1
2
5
5
2
3
3
2
4
3
2
3
2
2
5
2
4
2
2
3
1
3
3
3
4
3
-
5
5
0
1
2
0
1
2
2
1
1
2
2
2
3
1
2
1
0
3
-
6
2
5
5
3
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
2
5
2
5
4
5
5
5
7
5
5
5
5
4
5
2
5
3
4
3
5
5
0
4
5
4
4
5
4
2
5
3
1
4
4
5
5
3
4
3
5
4
4
5
5
5
-
P
-
σ
Σ
21
21
21
21
21
21
21
21
21
20
20
20
20
20
20
19
19
19
19
19
19
19
19
19
18
18
18
18
18
18
17
17
17
17
16
16
16
16
16
16
16
15
15
15
21
21
21
21
21
21
21
21
21
20
20
20
20
20
20
19
19
19
19
19
19
19
19
19
18
18
18
18
18
18
17
17
17
17
16
16
16
16
16
16
16
15
15
15
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
80.–93.
V roč.
23.–24.
27.–28.
27.–34.
94.–105.
7.
25.–29.
29.–31.
35.–37.
106.–119. 1.
8.–10.
30.–32.
32.–34.
38.–41.
120.–128. 11.–12.
33.–34.
35.–36.
42.–44.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Jakub Ucháč
David Horský
Martin Kodad
Petr Bečvář
Lukáš Caha
Eliška Cejnarová
Adéla Hanková
Filip Matějka
Kateřina Mušková
Leoš Sáblík
Krystýna Waniová
Karel Novotný
Jakub Grossmann
Martina Nová
Dinh Phu Tran
Matěj Šifalda
Táňa Tranová ao
Jan Heřman
Antonín Chochola
Michal Chudoba
Michal Bezůšek
Jan Lindauer
Josef Pekař
Kryštof Pravda
Kateřina Hubená
Klaudie Němečková
Natálie Vaníčková
Jindřich Hátle
Michal Kodad
Matěj Krátký
Petr Aubrecht
Jana Herinková
Anna Vidláková
Petr Ondomiši
Borek Požár
Veronika Scholzeová
Anežka Soukupová
Mikuláš Brož
Terezie Třeštíková
Jan Bubeníček
Šárka Nevšímalová
Lucie Kolenská
Markéta Pavlovská
Anna Skalická
Roč. a škola
7. ZVNV
8. GJHP
8. ZSKU
9. ZSEB
9. GCDP
9. GJAR
9. GCKV
9. GCDP
9. GMOK
9. ZSRO
9. ZSGP
6. GJHP
7. GPKM
7. GSOV
7. GJHP
7. GPKM
7. GJSB
8. ZSGU
8. GJHP
8. GLIP
9. GCEJ
9. GCKV
9. ZSVO
5. ZSBJ
6. GJHP
6. GJHP
6. GJHP
7. ZSKL
7. ZSJL
7. PORG
8. GJHP
8. ZSLU
8. GJIH
9. GCDP
9. GZWR
9. GTRU
9. ZSKO
6. GNSP
6. GKKO
7. GBNE
7. ZSVL
8. GJHP
8. GJHP
9. GBUD
1
5
2
5
5
4
0
2
2
3
3
5
5
1
3
3
2
4
3
2
3
3
3
3
2
1
3
2
5
5
3
1
4
2
2
-
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
3
5
5
4
5
5
5
4
4
3
5
3
5
5
5
5
5
5
0
5
5
5
5
5
5
1
5
5
5
4
4
2
3
5
5
4
5
3
3
2
2
4
3
2
2
2
2
3
3
3
5
3
3
1
3
3
3
2
3
0
3
3
5
3
3
2
3
3
-
5
1
4
2
2
2
1
2
2
0
2
0
4
6
4
5
5
4
5
3
5
4
5
4
5
5
5
5
5
3
1
4
2
-
7
5
4
3
5
5
4
5
1
5
4
1
3
5
4
3
5
5
5
5
2
5
5
5
5
2
-
P
-
σ
Σ
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
12
12
12
12
12
12
12
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
12
12
12
12
12
12
12
Strana 21
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 1. série
Celkově
V roč.
120.–128. 42.–44.
129.–136. 13.–14.
35.–36.
37.
45.–47.
137.–151. 2.
15.–17.
37.–39.
38.–42.
48.–50.
152.–158. 18.–19.
40.–41.
43.–45.
159.–177. 20.–25.
42.–47.
Strana 22
Jméno a příjmení
Jaroslava Šamanová
Pavel Štěch
Anna Černá
Katka Morovicsová
Martin Hyna
Kateřina Štainerová
Ondřej Koděra
Pavel Nedělník
Sylva Poláková
Jana Vidláková
Radomír Mielec
Matouš Hlaváček
Amélie Olivová
Jan Polanský
Pepa Frühauf
Barbora Hamouzová
Jakub Vobora
Klárka Adámková
Andrea Bínová
Ondřej Huvar
Hynek Prát
Veronika Pražáková
Marek Kostka
Jiří Křesák
Tomáš Troján
Meghana Parsa
Katherine Taylor
Adam Kolomazník
Roman Koubek
ea Kratochvílová
Eliška Mocková
Lubor Šída
Julia Chudobová
Lucie Krámská
Šimon Krámský
Tatiana Krupinskaya
Robert Moucha
Fabian Rott
Čeněk David
Markéta Köhnleinová
Michaela Kostková
Denisa Nováková
Martin Šlachta
Roman Varfolomiliev
Roč. a škola
9. ZSTI
9. GCSA
6. ZSPM
6. GJHP
7. GTVL
7. ZSPO
8. GJIH
9. GKJB
9. GHUS
9. GTMN
5. ZSOS
6. GJHP
6. GJHP
6. GJHP
7. OPEN
7. GJHP
7. GSCT
8. GJKP
8. GCSL
8. GMAS
8. ZSMI
8. ZSKO
9. GTMN
9. ZSBL
9. GCHB
6. GJHP
6. GJHP
7. ZSVR
7. GPKM
8. OPEN
8. GCHB
8. ZSMA
6. GJHP
6. GJHP
6. GJHP
6. GJHP
6. GJHP
6. OPEN
7. GEKP
7. GJVK
7. GJVK
7. GSOV
7. GPMB
7. ZSHM
1
3
1
2
4
3
2
1
2
2
2
5
1
1
2
2
2
3
-
2
3
3
3
1
3
2
2
2
3
5
4
3
-
3
5
5
5
3
5
5
2
5
5
5
3
4
5
5
4
5
1
5
5
5
5
5
3
3
3
5
5
5
3
3
3
3
4
5
5
5
5
5
5
3
4
4
3
3
1
2
2
2
2
3
3
3
2
1
2
5
3
1
2
3
3
3
2
2
2
2
3
3
3
3
4
3
3
3
3
3
5
0
2
2
0
2
0
0
2
2
2
2
2
-
6
5
5
4
2
-
7
4
4
1
5
3
5
5
5
4
5
3
3
3
0
3
2
P
-
σ
Σ
12
12
11
11
11
11
11
11
11
11
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
9
9
9
9
9
9
9
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
12
12
11
11
11
11
11
11
11
11
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
9
9
9
9
9
9
9
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
V roč.
159.–177. 46.–48.
51.–54.
178.–182. 48.–49.
49.–50.
55.
183.–189. 26.–29.
50.
51.
56.
190.–205. 2.
30.–32.
51.–56.
52.–54.
57.–59.
206.–213. 33.
55.–56.
60.–64.
214.–219. 34.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Roč. a škola
Tereza Bergová
8. GRPR
Eliška Danielová
8. ZSBA
Benjamín Petržela
8. ZSCA
Martin Komínek
9. GVBT
Hana Komendová
9. GCEJ
Ladislav Nagy
9. ZSNS
Marta Titěrová
9. GDKP
Maxim Kazlou
7. GBUD
Viktor Rychlík
7. ZSTU
Hana Stará
8. ZSZA
Tomáš Večeřa
8. GPOA
Berenika Čermáková 9. GMKO
Julie Feffeira de Sousa 6. GJHP
Valeríya Fiodarava
6. GJHP
Jan Heřta
6. GSOV
Filip Varmuža
6. GJHP
Lucie Míšková
7. OPEN
David Ha
8. MGPP
Zdeněk Žižka
9. ZSKU
Danijela Djekič
?. ?
Zarin Amiri
6. GJHP
Filip Mironov
6. GJHP
Václav Trpišovský
6. OPEN
Petr Bartoš
7. OPEN
Klára Faschingbauerová7. GJSB
Tomáš Hurdzan
7. GJVK
Emil Javůrek
7. GJKP
Tereza Mlnaříková
7. GJSB
Alena Osvaldová
7. GJSB
Nela Mašková
8. GCHB
Zbyněk Nečas
8. ZSPR
Jan Novotný
8. ZSVP
Jana Janošková
9. GCEJ
Laura onová
9. GNAP
Robin Zenker
9. PORG
Jakub Šlapal
6. GJHP
Laura Samiecová
8. ZSCA
Kateřina Tymlová
8. GBLO
Zdeněk David
9. GEKP
Martin Hejl
9. ZSTG
Daniela Jahodářová
9. ZSPR
Ema Procházková
9. GKKO
Matěj Suchánek
9. ZSBI
Filip Janíček
6. GJHP
1
1
2
5
2
3
2
2
2
2
3
0
2
4
-
2
3
3
1
3
3
2
1
-
3
3
4
5
5
3
5
5
3
3
5
1
3
3
3
1
1
3
2
3
3
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
3
1
4
4
4
3
4
2
2
4
3
3
3
2
0
2
3
2
3
2
1
0
2
1
3
0
5
0
0
2
0
3
2
0
0
4
-
6
4
4
0
1
-
7
2
5
2
2
2
0
-
P
-
σ
8
8
8
8
8
8
8
7
7
7
7
7
6
6
6
6
6
6
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
4
3
Σ
8
8
8
8
8
8
8
7
7
7
7
7
6
6
6
6
6
6
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
4
3
Strana 23
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 1. série
Celkově
V roč.
214.–219. 57.–61.
220.–226. 3.
35.–36.
62.
57.–59.
227.
37.
228.–273. 3.
38.–48.
63.–82.
Strana 24
Jméno a příjmení
Petra Hrubá
Viola Chvalová
Tom Křížek
Nikola Müllerová
Václav Svoboda
Anežka Pikhartová
Filip Lupjan
Viktorie Mužíková
Dominika Kozlová
Gabriela Amchová
Natálie Martyková
Nela Prokůpková
Lea Bilá
Radek Slavíček
Aneta Bartošová
Rudolf Brejcha
Josefína Dušková
Matěj Hencl
Jan Hrebík
David Hudák
Zuzana Outratová
Eduard Schubert
Samuel Sojka
Eliška Zajacová
Jan Zicha
Klára Dembinná
Matěj Fanta
Karolína Hrabáková
Filip Hrdina
Tereza Hynková
Matyáš Chumlen
Jakub Kaifer
Bára Krbcová
Ondřej Kučera
Sylvie Majorová
Oleg Molkanov
Jana Nguyenová
Viktorija Pasichnyk
Nikola Pilchová
Kristýna Pokorná
Sára Staňková
Sebastian Šafka
Jakub Šlambor
Nikol Vlkovská
Roč. a škola
7. GSOV
7. GJSB
7. GCHB
7. ZSHU
7. GJSB
?. ?
6. GJHP
6. GJHP
7. GJSB
8. GCHB
8. GCHB
8. ZSBU
6. ZSPM
5. ZSBL
6. ZJJO
6. GHPP
6. OPEN
6. GOAS
6. OPEN
6. GVIB
6. GNSP
6. GHPP
6. ZSUS
6. GOAS
6. GKKO
7. GSCT
7. GPMB
7. ZSPM
7. GZAM
7. GJSB
7. GPMB
7. PSJG
7. GJSB
7. GSOV
7. GNKP
7. GCDP
7. GMLE
7. GNKP
7. GJSB
7. GRNL
7. PSJG
7. GJKP
7. GPMB
7. GPMB
1
3
2
2
0
2
-
2
2
0
1
-
3
3
3
1
3
0
0
-
4
2
0
0
-
5
0
0
-
6
0
-
7
2
2
0
2
-
P
-
σ
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
V roč.
228.–273. 63.–82.
60.–67.
65.–70.
Jméno a příjmení
Ondřej Zelený
Barbora Duchoňová
Sára Elichová
Karolína Faltysová
Martin Jesenič
Michal Křempek
Michal Matoulek
Tereza Novotná
Tereza Pospíšilová
Petr Coufal
Martin Golasowski
Markéta Lipovská
Daniel Ridzoň
Marie Rohmová
Tadeáš Sádecký
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P
7. GJKP
- - - - - - - 8. GKLA
- - - - - - - 8. GJKP
- - - - - - - 8. GBIB
- - - - - - - 8. GTRS
- - - - - - - 8. ZMFM
- - - - - - - 8. JGNA
- - - - - - - 8. ZSZH
- - - - - - - 8. ZSSP
- - - - - - - 9. GHPP
- - - - - - - 9. ZSBO
- - - - - - - 9. JGNA
- - - - - - - 9. ZSNO
- - - - - - - 9. PRGO
- - - - - - - 9. ZSBR
- - - - - - - -
σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Vysvětlivky
První sloupec ve výsledkové listině udává celkové pořadí řešitele po první sérii,
druhý sloupec pak pořadí redukované na řešitele v příslušném ročníku školní
docházky (což umožňuje lépe porovnávat stejně staré řešitele mezi sebou).
Školy jsou uvedeny kódy. Sloupce označené číslicemi 1 až 7 udávají počet bodů
získaný za jednotlivé úlohy. Ve sloupci se záhlavím P je bodový postih pro tuto
sérii za pozdní odeslání. Ve sloupci se záhlavím σ je celkový počet bodů za první
sérii a konečně ve sloupci označeném Σ je celkový počet bodů, které řešitel zatím
získal.
Seznam škol
GAJL
GBIB
GBLO
GBNE
GBOS
GBRE
GBUD
Gymnázium Aloise Jiráska
Litomyšl
Biskupské gymnázium B.
Balbína Hradec Králové
Gymnázium Blovice
Gymnázium Boženy Němcové Hradec Králové
Gymnázium Boskovice
Gymnázium Brno-Řečkovice
Gymnázium Budějovická
Praha
pikomat.mff.cuni.cz
GCBR
GCDP
GCEJ
GCKV
GCSA
GCSL
GCST
Gymnázium Český Brod
Gymnázium Christiana Dopplera Praha 5-Smíchov
Gymnazium T. G. Masaryka
Čejkovice
První české gymnázium
Karlovy Vary
Česko-anglické gymnázium
s.r.o. České Budějovice
Gymnázium Česká Lípa
Gymnázium Český Těšín
Strana 25
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 1. série
GDKP
Gymnazium Dr. K. Polesného Znojmo
GEKP Gymnázium Elišky Krásnohorské Praha 4-Michle
GHAV Gymnázium Havířov
GHPP Gymnázium Chodovická
Praha-Horní Počernice
GHUS Gymnazium T. G. Masaryka
Hustopeče
GCHB Gymnázium Cheb
GCHO Gymnázium Chotěboř
GJAR Gymnázium a SOŠ Jaroměř
GJHP Gymnázium J. Heyrovského
Praha 5
GJIH
Gymnázium Jihlava
GJIR
Gymnázium Jírovcova 8 České Budějovice
GJKP
Gymnázium Jana Keplera
Praha 6
GJSB
Gymnázium J. Š. Baara Domažlice
GJSZ
Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové
zkoušky Zlín
GJVK Gymnázium J. Vrchlického
Klatovy
GKCD Gymnázium Karla Čapka
Dobříš
GKJB Gymnázium kpt. Jaroše Brno
GKKO Křesťanské gymnázium Praha 10
GKLA Gymnázium Kladno
GLIP
Gymnázium Litoměřická
Praha 9-Prosek
GMAS Masarykovo gymnázium
Příbor
Strana 26
GMIK
GMKO
GMLE
GMNP
GMOK
GNAP
GNKP
GNSP
GNVP
GOAS
GOMS
GPKM
GPMB
GPOA
GPRI
GRNL
GRPR
GSCT
GSOV
GSPI
GTIS
Gymnázium, SOŠ a SOU
Mikulov
Gymnázium Mikuláše Koperníka Bílovec
Gymnázium Matyáše Lercha
Brno
Gymnázium Mikulášské
nám. Plzeň
Gymnázium Moravský
Krumlov
Gymnázium Nad Alejí Praha
Gymnázium Nad Kavalírkou
Praha 5
Gymnázium Nad Štolou Praha 7
Gymnázium Na Vítězné pláni Praha 4
Gymnázium a obchodní
akademie Chodov
Gymnázium Omská Praha
10
Podkrušnohorské gymnázium Most Bílina
Gymnázium J. Pekaře Mladá
Boleslav
Gymnázium a SPŠ Pontassievská Znojmo
Gymnázium Příbram
Gymnázium Roudnice nad
Labem
Gymnázium Rožnov pod
Radhoštěm
Sportovní gymnázium Kladno
Gymnázium a SOŠe Vimperk
Gymnázium Špitálská Praha
Gymnázium Tišnov
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
GTMN
GTRS
GTRU
GTVL
GUST
GVBT
GVIB
GVYS
GZAM
GZAT
GZWR
Gymnázium Třebíč
Gymnázium Trhové Sviny
Gymnazium Trutnov
Gymnázium Vlašim
Gymnázium Ústavní Praha 8
Gymnázium V.B.T. Slaný
Gymnázium Vídeňská Brno
Gymnázium Vyškov
Gymnázium Žamberk
Gymnázium Žatec
Gymnázium Zikmunda Wintra Rakovník
JGNA Jiráskovo gymnázium Náchod
MGPP Masarykovo gymnázium
Plzeň
OPEN Open Gate - gymnázium
Říčany
PORG První obnovené reálné gymnázium Praha 8
PRGO První obnovené reálné gymnázium Ostrava-Vítkovice
PSJG
PSJG Hradec Králové
ZJJO
ZŠ Jablonné nad Orlicí
ZMFM 1. ZŠ Petra Bezruče Frýdek-Místek
ZSBA ZŠ a MŠ Barvířská Liberec
ZSBI
ZŠ a MŠ Bílovice
ZSBJ
ZŠ Brána jazyků s rozšířeným vyučováním matematiky Praha 1
ZSBL
ZŠ a ZUŠ Horažďovice
ZSBO ZŠ Borovského Karviná
ZSBR ZŠ a MŠ Milénova Brno
ZSBU ZŠ s RVMPP Buzulucká Teplice
ZSCA ZŠ Československé Armády
Frýdek-Místek
pikomat.mff.cuni.cz
ZSEB
ZSGP
ZSGU
ZSHM
ZSHR
ZSHU
ZSCH
ZSJA
ZSJG
ZSJL
ZSKL
ZSKO
ZSKU
ZSLP
ZSLS
ZSLU
ZSMA
ZSMI
ZSMN
ZSNE
ZSNO
ZSNR
ZSNS
ZSOS
ZSPM
ZSPO
ZSPR
ZSRD
ZSRO
ZSSL
ZSSP
ZŠ a MŠ Edvarda Beneše
Písek
ZŠ a MŠ Gustawa Przeczka
s pol.jaz.vyuč. Třinec
ZŠ Gutova Praha 10
ZŠ Hornoměcholupská Praha 10
ZŠ Hrušovany nad Jeviškou
ZŠ Husitská Nová Paka
ZŠ a MŠ Chuchelná
ZŠ Jasanová Brno
ZŠ a MŠ Josefa Gočára Hradek Králové
ZŠ Jílovská Praha 4
ZŠ Amálská Kladno
ZŠ Komenského Hustopeče
ZŠ Kuncova Praha 5
ZŠ Letní Pole Vyškov
ZŠ Lesní Liberec 1
ZŠ Luhačovice
ZŠ Masarykova Čáslav
ZŠ a MŠ Mikulčice
ZŠ Mírové náměstí Hodonín
ZŠ a MŠ Nenkovice
ZŠ Norbertov Praha
ZŠ nám. Republiky 9 Znojmo
ZŠ a MŠ Brankovice Nesovice
Základní škola Chrjukinova
Ostrava
ZŠ Pod Marjánkou Praha
ZŠ a MŠ Potěhy Tupadly
ZŠ Proboštov
ZŠ Ronov nad Doubravou
ZŠ Rosice u Brna
ZŠ Slezská Třinec
ZŠ a MŠ Šlapanov
Strana 27
Pikomat MFF UK, 29. ročník, 1. série
ZSST
ZSTG
ZSTI
ZSTU
ZSUS
ZSVB
ZSVL
ZŠ Sokolská Třeboň
1. ZŠ T. G. Masaryka Milevsko
ZŠ 28.října Tišnov
ZŠ Tuchlovice
ZŠ Šumavská Šumperk
ZŠ Veverská Bítýška
ZŠ Sídliště Vlašim
Strana 28
ZSVO
ZSVP
ZSVR
ZSZA
ZSZH
ZSZN
ZVNV
Základní škola Vodňany
Základní škola Velké Pavlovice
ZŠ V Rybníčkách Praha 10
ZŠ a MŠ Zákupy
ZŠ Zlaté Hory
ZŠ Mládeže Znojmo
ZŠ Vrané nad Vltavou
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8