pdf - Pikomat MFF UK

PIKOMAT MFF UK
Milé øe¹itelky, milí øe¹itelé,
v tomto závìreèném letáku dostáváte s opravenými úlohami i vzorová øe¹ení úloh
¹esté série. Jak jste dopadli ve 25. roèníku Pikomatu MFF UK, se dozvíte v závìreèné výsledkové listinì. Na prvním a¾ druhém místì se umístili Václav Steinhauser
a Anna Steinhauserová, tøetí místo obsadila Markéta Andr¹ová a ètvrté Jan Soukup. Vítìzem kategorie osmých roèníkù je Jan Soukup, za ním se umístil Ondøej
Darmovzal, tøetím osmákem je Jan Kadlec. Nejlep¹ími øe¹iteli ze sedmého roèníku
se stali Petr Machovec a Jan ©orm, kteøí mìli stejný poèet bodù, na tøetím místì
skonèil Jiøí Bro¾. Mezi ¾áky ¹estých roèníkù byla nejlep¹í Tereza Kislingerová, která
celkovì skonèila na krásném osmém místì. Druhým ¹es»ákem je Franti¹ek Couf a tøetí
v této kategorii je Kateøina Nová. V¹em vítìzùm moc gratulujeme.
Pochvalu a velké uznání si ov¹em zaslou¾í i ti, kteøí v prùbìhu celého roku posílali
správná øe¹ení a obdr¾eli alespoò polovinu z celkového poètu bodù, tedy alespoò 90
bodù. Dostávají od nás diplom. Nìkolik nejlep¹ích øe¹itelù z ka¾dého roèníku od nás
získává zajímavé ceny.
Tìm, kteøí u¾ se Pikomatu nemù¾ou pøí¹tí rok úèastnit, bychom chtìli podìkovat
za úèast a doporuèit jim nìkterý z korespondenèních semináøù pro støední ¹koly, které
poøádá Matematicko-fyzikální fakulta. Mù¾ete si vybrat matematický nebo fyzikální
semináø nebo také semináø z programování. Více se o korespondenèních semináøích
dozvíte na internetové stránce http://www.mff.cuni.cz/verejnost/ks/.
Ostatním øe¹itelùm za¹leme zadání dal¹ího roèníku Pikomatu MFF UK v prùbìhu
záøí. V¹ichni organizátoøi i opravující vám pøejí krásnì strávené prázdniny a tì¹í se
na setkání s nìkterými z vás na na¹em táboøe. . .
Za Pikomat MFF UK
Klára Krejèíèková
Vzorová řešení a komentáře k 6. sérii
Úloha è. 1
Nejprve si pøipomeòme fakta o pravidelném ¹estiúhelníku. Skládá se z ¹esti rovnostranných trojúhelníkù, tudí¾ je napøíklad jeho úhlopøíèka dvojnásobkem jeho strany
a vnitøní úhel má 120 . První, co nám notnì schází, je polomìr vnitøní kru¾nice. Jak
si ho tedy opatøíme? Spoèítáme vý¹ku SU.
a
a2 = ( )2 + jSUj2
2
jSUj =
r
a2
jSUj = 2
p
a
2
( )2
3 cm
A co tedy
p vidíme? Úseèku SU tvoøí polomìr pùlkru¾nice r a polomìr vnitøní kru¾nice. r je 3 a na polomìr vnitøní kru¾nice tedy zbývá je¹tì jednou tolik, je tedy také
rovný r. Obsah vnitøního ¹edého kruhu je tedy πr2 = 3π.
a = 4 cm
S
r=
p
r
T
3 cm
A
α
U
B
A podíváme se na zoubek tìm drobným ¹edým støípkùm pøi okraji. Pùl jednoho
takového získáme, kdy¾ odeèteme kruhovou výseè TUB od trojúhelníku TUB, s chutí
tedy do toho. Úhel ^UTB je pravý, proto¾e se jedná o dotyk teèny. Toho vyu¾ijeme
k formulaci Pythagorovy vìty.
jUBj2 = jUT j2 + jTBj2
jUT j známe, je to polomìr r. jUBj také známe, je to pùl strany a. Mù¾eme tedy
vypoèítat jTBj:
p
p
jTBj = jUBj2 jUT j2 = 4 3 = 1 cm
Tím jsme si otevøeli cestu k obsahu 4TUB:
p
jUT j jTBj = 3
S TUB =
4
2
2
U¾ nám chybí jen ona kruhová výseè. Jaký má asi úhel? Víme, ¾e ^UTB je pravý.
Také je zøejmé, ¾e ^ABS = 60 . Na úhel α tedy zbývá rovných 60 . To dìlá dvanáctinu kruhu. Její obsah tedy je:
SvýseèeTUB = π r2 1
π
=
12
4
Po odeètení tedy na pùl ¹edého støípku zbude:
Spùlstøípku = S4TUB
SvýseèeTUB =
p
3
2
π
4
Takových celých støípkù je vybarveno ¹est, tedy dvanáct pùlek, a je¹tì pøièteme
celý vnitøní kruh:
2
S¹edéplochy = 12 (
p
3
2
p
π
) + 3π = 6 3
4
p
3π + 3π = 6 3 cm2
Voilá, a máme tu
Dopoèítali jsme se k tomu, ¾e obsah vybarvených èástí
p výsledek.
.
¹estiúhelníku je 6 3 cm2 = 10, 39 cm2 .
Komentáø: Úloha nebyla pøehnanì poèetnì nároèná. Pokud jste mìli trochu za
u¹ima, vystaèili jste si bohatì se znalostí ¹estiúhelníku a Pythagorovou vìtou. V
øe¹ení ¹lo spí¹e o to, zda zvládnete nároèný postup a jednotlivé my¹lenkové obraty
správnì popsat a zapsat a zda podáte v¹echny potøebné dùkazy svých tvrzení. V tom
u¾ neuspìli zdaleka v¹ichni a strhával jsem v tìchto pøípadech po bodu.
Dále mnoho z vás nenaèasovalo správnì zaokrouhlování. S obsahy, délkami a jinými
èísly nepoèítáme v zaokrouhleném stavu dále, naopak je udr¾ujeme co nejdéle v pøesné
podobì, vyu¾ívajíce π, odmocnin atd. Teprve nální stále pøesný výsledek mù¾eme
pro doplnìní pøedstavy zaokrouhlit. V opaèném pøípadì si kumulujeme ve výpoètu
chybu. Za nedodr¾ení tohoto zlatého matematického pravidla jsem také strhával po
bodu.
Mnoho pìkných variací se dalo vytvoøit pomocí pøeuspoøádání plo¹ek v rámci ¹estiúhelníku. Napøíklad Václav Steinhauser si v¹iml, ¾e kruhové výseèe po obvodu, jako
je tøeba TUB, mají celkovì stejnou plochu jako støedový kruh a mù¾e je tedy bez slo¾itých propoètù zamìnit. Tím se mu celá vybarvená plocha pøesunula k okraji a ve
støedu ¹estiúhelníku se mu vytvoøil druhý, men¹í ¹estiúhelník, jeho¾ obsah následnì
nebylo obtí¾né spoèítat.
Úloha è. 2
Zadání si nejprve pøehlednì zapí¹u. Mám seèíst dvì èísla: ABCD a xxx.
+
A B CD
x x x
2 0 1 0
Sèítám-li postupnì v jednotlivých øádech, dostanu tyto ètyøi rovnice:
D + x = 19
C + x + 1 = 20
B + x + 1 = 19
A+1=2
Po úpravì dostanu:
D = 19
x
C = 19
x=D
B = 18
x=D
1
A=1
Je-li x = 18 nebo x = 17, má první èíslo dvì rùzné cifry (1011 nebo 1122) v
ostatních pøípadech má tøi rùzné cifry (B se nerovná A ani D se nerovná A).
3
První èíslo mù¾e mít dvì nebo tøi rùzné cifry.
Komentáø: Velká èást øe¹itelù místo zamý¹lení se nad problémem jen zkou¹ela
v¹echny mo¾nosti, pokud jste tímto zpùsobem nalezli správné øe¹ení, strhávala jsem
jen jeden bod (vìt¹inou jste ale na nìco zapomnìli, i z tohoto dùvodu to není zrovna
nej¹»astnìj¹í zpùsob øe¹ení). Obèas si nìkdo neuvìdomil, jak se sèítá v devatenáctkové
soustavì.
Úloha è. 3
Lahev si rozdìlíme na pìt èástí. Jejich objemy si oznaèíme V1 a¾ V5 jak je znázornìno
na následujícím obrázku.
r1 V1
r2
v1
r3
V2
r4
V3
v2
v3
V4
r5 V5 r6
v4
v5
Spodní èást lahve má tvar komolého rotaèního ku¾ele. Jeho objem V1 spoèítáme
podle vztahu V1 = 13 πv1 (r21 + r1 r2 + r22 ). Po dosazení vyjde:
V1 =
1
436π .
π 4 (72 + 7 5 + 52 ) =
= 456,58 cm2
3
3
co¾ je ménì ne¾ 0,5 l, tak¾e kofola bude i ve druhé èásti lahve. Ta má také tvar
komolého rotaèního ku¾ele. Její objem bude:
V2 =
1
1
.
πv2 (r22 + r2 r3 + r23 ) = π 8 (52 + 5 6 + 62 ) = 762,36 cm2 .
3
3
Objem prvních dvou èástí je vìt¹í ne¾ 0,5 l, tak¾e hladina kofoly bude nìkde ve druhé
èásti lahve. Následující obrázek znázoròuje druhou èást lahve. Pro vìt¹í pøehlednost
nejsou zachovány pùvodní pomìry stran, v znaèí vý¹ku hladiny kofoly od spodního
okraje druhé èásti a r znaèí polomìr hladiny kofoly.
r3
C
C0
B
v2
r
r2
v
A
4
A0
Hladina kofoly dìlí druhou èást lahve na dva komolé rotaèní ku¾ely. Vý¹ka hladiny kofoly v se dá vyjádøit ze vzoreèku pro objem komolého rotaèního ku¾ele:
V = 31 πv(r22 + r2 r + r2 ). Objem V známe, V = 0,5 l V1 = 500 cm3 V1 . Konkrétní
èísla zatím dosazovat nebudeme, abychom se vyhnuli zaokrouhlovacím chybám. Neznáme ale vý¹ku hladiny v a polomìr r.
Trojúhelníky ABC a A0 BC0 , vyznaèené na pøedchozím obrázku, jsou podobné podle
vìty uu. Proto platí:
jBCj jACj
jBC j = jA C j
0
0
0
r3 r2
v2
=
r3 r
v2 v
6 5
8
=
6 r
8 v
1 (8 v) = 8 (6 r)
v = 8r
40
Tím jsme získali soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou vyøe¹íme dosazovací metodou:
1
πv(52 + 5r + r2 )
3
v = 8r 40
1
V = π (8r 40) (25 + 5r + r2 )
3
3V
= 200r + 40r2 + 8r3 1000 200r
π
3V
= 8r3 1000
π
3V
1000
+
= r3
8π
8
3 3V
r=
+ 125
8π
V=
40r2
r
v=8
r 3V
3
8π
+ 125
40
Hladina kofoly tedy sahá do vý¹ky
v1 + v = 4 + 8 s
3
3(500
436π
3
8π
)
+ 125
.
40 = 4,55 cm.
Komentáø: Nìkteøí z vás si v¹imli, ¾e polomìry a vý¹ky na obrázku nejsou ve
správném pomìru, a ¾e lahev se zadanými polomìry by vypadala ponìkud zvlá¹tnì.
Se zadáním si toti¾ pohrál tiskaøský ¹otek a zmìnil slovo prùmìr na polomìr. Jako
správné øe¹ení jsem tedy uznávala, i pokud jste zadané èíslo pova¾ovali za prùmìr.
Úloha se v tom pøípadì poèítala témìø stejnì. Jediný rozdíl byl v tom, ¾e lahev byla
skoro plná, tak¾e bylo potøeba na zaèátku spoèítat více objemù.
5
Úloha è. 4
A
B
A
A
B
B
B
A
Oznaème si místnosti písmeny A, B podle obrázku. Pøi pohledu na obrázek vidíme,
¾e místnost s jedním písmenkem sousedí jen s místnostmi písmenka druhého. Tedy
¾e z kterékoli místnosti s A mù¾ete pøejít jen do místnosti s B a naopak.
Nejprve si vezmeme, ¾e zaèíná my¹. Pokud koèka zaèíná na jiném písmenku ne¾
my¹, tak se my¹ pøesune na stejné písmenko (ale jinou místnost ne¾ je koèka) a má
vyhráno, proto¾e se v pøí¹tím kole za ní koèka nedostane. Pokud stojí my¹ i koèka na
stejných písmenkách, tak my¹ mù¾e kolo poèkat a nechat koèku pøijít do místnosti
se jiným písmenkem, co¾ ale koèka nevyhraje, jak jsme si o øádek vý¹ ukázali.
Nyní kdyby zaèínala koèka, tak pokud my¹ stojí v místnosti s jiným písmenkem ne¾
je koèka, tak má koèka ¹anci 3:4, ¾e my¹ chytí, kdy¾ my¹ bude ve vedlej¹í místnosti.
A pokud my¹ bude v té místnosti, která nesousedí s místnosti, kde je koèka, tak se
koèka nìkam pøesune a bude na tahu my¹ a obì kamarádky budou v místnostech
se stejným písmenem, co¾ vyhraje my¹, jak jsme si ukázali nahoøe. A pokud koèka
zaèíná a obì jsou v místnostech stejného písmenka, tak a» se koèka pohne do jakékoliv
místnosti opaèného písmenka, tak my¹ bude moct do dvou místností, kde není koèka,
ale písmenko bude stejné, jako písmenko místnosti, ve kterém je koèka. Navíc si koèka
nemù¾e dovolit poèkat, proto¾e by potom èekala i my¹ a tedy má koèka ¹anci chytit
my¹ jen pokud zaèíná a my¹ je ve vedlej¹í místnosti.
Komentáø: Úloha byla pomìrnì volná a øe¹itelé na tom byli opravdu rùznì, ale
pár dobrých øe¹ení se nakonec na¹lo.
Úloha è. 5
Ze zadání plyne, ¾e 3 cm by mohla mìøit základna nebo ramena. Rozebereme tedy
oba pøípady.
3 cm bude mìøit základna:
C
X
A
S
U
6
B
Popis konstrukce:
1. AB; jABj = 3 cm
2. o; o osa AB
3. U; støed AB
4. S; S 2 o, jSUj = 1cm
5. k; k(S, 1 cm)
6. T ; støed AS
7. k2 ; k2 (T, jTSj)
8. X; X = k \ k2 , X 6= U
9. C; C = $AX \ o
Existuje jen jedno øe¹ení, ostatní jsou symetrická jako pùvodní
3 cm budou mìøit ramena:
Druhý pøípad byl o nìco tì¾¹í. Vìt¹ina z vás po nìkolika neúspì¹ných pokusech
o narýsování trojúhelníku usoudila, ¾e takový trojúhelník neexistuje. Ukázat to ale
není jednoduché.
C
x
L
3
K
x
S
A
B
M
Oznaème x délku úseèky LC. Uká¾eme, ¾e neexistuje x takové, aby trojúhelník
þvy¹elÿ. Délka KL tedy podle zadání musí být 3 x. Proto¾e trojúhelníky ALS a
AMS jsou shodné, musí být i délka AM 3 x. Délka základny AB tedy je 6 2x.
Nyní pou¾ijeme vzoreèek pro obsah trojúhelníku, který jste potkali v minulé kapitole,
toti¾ obsah trojúhelníku je roven jedné polovinì souèinu obvodu a polomìru kru¾nice
vepsané. Ramena mají délku 3, základna 6 2x, obvod tedy je 12 2x, polomìr
kru¾nice vepsané je 1. Dosazením dostaneme:
S=
(12
2x) 1
=6
2
x.
Teï si obsah vyjádøíme jinak: pou¾ijeme vzoreèek
S=
1
ab sin(γ),
2
kde a, b jsou strany trojúhelníku a γ je úhel jimi sevøený. Za a a b zvolíme ramena
trojúhelníku ABC. Úhel γ sice neznáme, víme ale, ¾e sin(γ) bude men¹í ne¾ jedna.
Obsah trojúhelníku tedy mù¾eme odhadnout shora:
S=
1
1
ab sin(γ) 5 S = ab = 4,5.
2
2
7
Víme tedy, ¾e obsah ABC je men¹í ne¾ 4,5. Pokud tento odhad skombinujeme s
x, dostaneme 6 x 5 4,5, tedy x = 1,5
Nyní pou¾ijeme dal¹í odhad: délka vý¹ka na stranu AB musí být men¹í ne¾ 3,
proto¾e vý¹ka je v¾dy krat¹í ne¾ pøilehlé strany. Pokud si vyjádøíme obsah pomocí
základny a vý¹ky, dostaneme:
S=6
S=
1
jABj vab = (3
2
x) vab < 9
3x.
Tento odhad u¾ jenom staèí spojit s rovností, kterou jsme odvodili na zaèátku: S =
= 6 x.
6
S<9
3x
x<9
3x
2x < 3
x < 1,5
Teï víme, ¾e kdyby trojúhelník existoval, tak pro x platí tyto vztahy x = 1,5 a
x < 1,5. ®ádné x ale nemù¾e splòovat oba, a proto trojúhelník zadaných vlastností
neexistuje.
Komentáø: Za vyøe¹ení dvou pøípadù bylo 4 a¾ 5 bodù, dle vysvìtlení. Za èást
pøíkladu, kdy byl vyøe¹en pouze pøípad vycházející z úvahy o základnì 3 cm (bod 1)
jsem udìlovala 2 body, zbytek bodù v závislosti na dùvìryhodnosti dùkazù.
Úloha è. 6
V úloze budeme pou¾ívat jistì dobøe známý vztah pro rychlost, dráhu a èas. Tedy
rychlost = dráha/èas. Nejdøíve se spoèítáme pomocí uvedeného vztahu, jak dlouho
jela Eli¹ka(vypravìèka), tento èas oznaèím tE . Ze zadání víme, ¾e jela celou dobu
= 32 = 1 h30 min Dále spoèteme, kolik
8 km/hod a trasa je dlouhá 12 km. tE = 12
8
kilometrù ujela Lucie, kdy¾ se vracela. Po tøetinì se obrátila, tak¾e ujela 4 km, zpìt
se otoèila po dvou kilometrech a pak u¾ to dojela do konce, celkem tedy ujela: 4 + 2 +
+ 10 = 16 km. Lucie Terezu potkala po 15 minutách cesty a pak na ¹estém kilometru.
Ml¾eme si tedy urèit, jaký je pomìr ujetých kilometrù Lucie a Terezy. Bìhem toho, co
se Tereza ujela 6 km, Lucie stihla 4 + 2 + 4 = 10 km. Tak¾e pomìr kilometrù Lucie vùèi
Tereze je 10
= 53 . Z toho je vidìt, ¾e Lucie potkala Terezu poprvé v na 3. kilometru.
6
Odsud vypoèítáme rychlost Lucie, ne¾ zaèala zpomalovat, proto¾e víme, ¾e Terezu
poprvé potkala po 41h . Tuto rychlost oznaèím vL 1:
vL 1 =
5
1
4
= 20 km/hod.
Dále ze zadání vím, ¾e Lucie touto rychlostí jela tøetinu trasy, tedy 12 12
= 8 km, ale
3
jela je¹tì navíc 4 km, tedy celkem ujela rychlostí vL 1 12 km. Nyní mù¾eme spoèítat,
jak dlouho jela tuto trasu, kterou oznaèíme tL 1:
tL 1 =
12
3
= = 36 min.
20
5
8
Zbytek trasy (4 km) jela Lucie tøetinovou rychlostí, tedy celková doba, za kterou ujela
Lucie závod je:
4
tL 1 + 20 = 36 + 36 = 1 h12 min.
3
Víme, kde se setkala Tereza s Lucií a po jaké dobì to bylo, mù¾eme tedy spoèítat
rychlost Terezy (vT ):
3
vT = 1 = 12 km/hod.
4
= 9 km. Zbylé 3 km jela rychlostí
Touto rychlostí jela Tereza závodu, tedy 12 12
4
5
12 = 609 km/hod.Nyní tedy mù¾eme podobnì jako u Lucie spoèítat celkovou dobu
9
Terezina závodu (tT ):
3
4
tT =
12
3
3
9
+ 60 = +
= 45 min + 27 min = 1 h12 min.
9
4
27
9
Ze zadání víme, ¾e jedna dojela v èase 1 h, co¾ mù¾e být jen Martina, proto¾e jen u
ní neznáme celkový èas. Tedy první dojela Martina v èase 1 h, na druhém a tøetím
místì Lucie s Terezou v èase 1 h12 min a poslední dojela Eli¹ka s èasem 1 h30 min.
Komentáø: Úloha se pro vás nezdála pøíli¹ tì¾ká. Vìt¹ina má plný poèet bodù.
Musím pochválit, ¾e jsme vás snad nauèili pìknì komentovat va¹e øe¹ení, proto¾e
jsem nemusela strhnout nikomu ani jeden bod, za nedostatek vysvìtlení. :)
Úloha è. 7
Nejprve si v¹echna èísla rozlo¾íme na prvoèinitele:
3861 = 33 11 13
4851 = 32 72 11
6435 = 32 5 11 13
Ze zadání musí být èíslo x takové, aby byly splnìny následující podmínky:
x j 3861 4851 6435
3861 j x 4851 6435
4851 j x 3861 6435
6435 j x 3861 4851,
kde j znamená þdìlíÿ, tedy výraz vpravo je dìlitelný výrazem vlevo, co¾ znamená,
6435
¾e zlomek napø. 38614851
je celé èíslo.
x
Nyní si do vý¹e uvedených podmínek pøepí¹eme èísla jako souèiny prvoèinitelù.
Je¹tì budeme potøebovat pou¾ít jednu úpravu. Platí, ¾e ab ac = ab+c . Tedy:
x j 37 5 72 113 132 - odtud vyplývá, ¾e x není dìlitelné dvìma, zato mù¾e být
dìlitelné tøemi, pìti, sedmi, devíti, patnácti. . . a¾ po pøípad, kdy x se pøímo rovná
pravé stranì. V ka¾dém pøípadì v¹ak ¾ádná mocnina ka¾dého z prvoèinitelù èísla
x nesmí pøevy¹ovat stupeò této mocniny na pravé stranì, nebo» pak by dìlitelnost
neplatila.
9
33 11 13
j 34 5 72 112 13 - z této dìlitelnosti nevyplývá pro èíslo x ¾ádné
omezení, proto¾e bez ohledu na volbu èísla x levá strana pravou stranu dìlí, nebo»
mocninné stupnì v¹ech prvoèinitelù jsou na levé stranì ni¾¹í.
32 72 11 j 35 5 112 132 - u prvoèísel 3 a 11 mocninné stupnì na levé stranì
nepøevy¹ují ty na pravé, ale u èísla 7 vidíme, ¾e jím pravá strana dìlitelná není, nato¾
v druhé mocninì. To znamená, ¾e èíslo x musí ve svém rozkladu na prvoèinitele
obsahovat mj. i èlen 72 .
32 5 11 13 j 35 72 112 13 - vidíme, ¾e souèin na pravé stranì není dìlitelný
pouze pìtkou, tudí¾ èíslo x musí být dìlitelné pìti.
Tedy x = 72 5 = 245. Je to zároveò i nejmen¹í mo¾né takové èíslo, proto¾e obsahuje
pouze takové dìlitele, kteøí byli nezbytnì nutní, a ¾ádné jiné.
Komentáø: Velká vìt¹ina doraziv¹ích úloh byla bez chybièky, v nìkolika málo nebyl postup dostateènì dovysvìtlen, a jen jediné øe¹ení bylo zkou¹ené dosazováním
(neúspì¹nì). Mohla jsem tedy být s udìlováním pomìrnì ¹tìdrá.
Úlohy ¹esté série opravovali a komentáøe sepsali: 1. Pavel Houdek, 2. Al¾bìta Neèadová, 3. Tereza Pechová, 4. Jan Vaòhara, 5. Helena Puèelíková, 6. Klára Krejèíèková,
7. Alena Bu¹áková
Výsledková listina 25. roč. Pikomatu MFF UK po 6. sérii
Celkovì
V roè.
Jméno a pøíjmení
Roè. a ¹kola
1
2
3
4
5
6
7
σ
1.{2.
1.
Václav Steinhauser
5. ZVNV
5
5
5
5
5
5
5
30
1.
Anna Steinhauserová
9. ZVNV
5
5
5
5
5
5
5
30
3.
2.
Markéta Andr¹ová
9. GJKP
5
5
5
5
3
5
5
30
4.
1.
Jan Soukup
8. GJVK
4
5
-
5
5
4
5
28
5.
2.
Ondøej Darmovzal
8. GJSB
5
2
3
2
5
5
5
25
6.{7.
1.{2.
30
Petr Machovec
7. CGKV
5
-
5
5
5
5
5
Jan ©orm
7. GKJB
5
0
5
-
3
5
4
22
6. GJVK
0
4
3
5
2
5
5
24
8.
1.
Tereza Kislingerová
9.
3.
Veronika ©tìpáníková
9. GHPP
4
1
3
5
2
4
3
21
10.
4.
Jan Pulec
9. GPIP
5
-
1
-
-
-
5
11
11.
3.
Jiøí Bro¾
7. CGKV
2
-
5
4
4
5
4
24
12.
3.
Jan Kadlec
8. GJVK
3
0
1
5
-
-
5
14
13.
5.
Markéta Vohníková
9. PGLP
4
4
3
2
3
-
5
21
14.
4.
Daniel Pi¹»ák
7. GCDP
1
0
4
-
2
5
5
17
15.{16.
2.
Franti¹ek Couf
6. GCDP
-
5
5
-
-
5
5
20
6.
Nguyen van Minh
9. GNAP
4
3
5
5
-
5
5
27
17.
4.
Barbora Pe¹lová
8. GSOV
5
0
1
5
5
1
-
17
18.
7.
Marek Hanzl
9. GCAK
4
-
-
2
4
3
5
18
19.{20.
5.
Václav ©míd
7. GCCB
4
-
2
5
1
5
4
21
8.
Martin Hlaváèek
9. GLIP
3
0
2
3
2
5
5
20
21.
9.
Marek Landa
9. GLIP
-
-
1
3
4
-
0
8
22.
5.
Marián Poppr
8. GJNP
4
-
1
2
4
-
5
16
23.
10.
Marek Pavlík
9. ZWZH
-
1
-
4
3
5
4
17
24.{25.
3.
Kateøina Nová
6. GSOV
-
1
-
4
2
-
-
7
11.
Prokop ©ilhavý
9. AGKP
-
-
-
-
-
-
-
0
26.
6.
Jakub Hora
7. OGBP
-
-
-
-
-
-
-
0
27.
12.
Petra Lesáková
9. GSOS
-
-
-
-
-
-
-
0
10
Σ
177
177
176
172
164
163
163
162
153
150
145
141
139
136
135
135
134
128
125
125
115
112
109
107
107
102
101
Celkovì
V roè.
Jméno a pøíjmení
Roè. a ¹kola
1
2
3
4
5
6
7
σ
28.
6.
Luká¹ Kotrbatý
8. GPBM
5
-
2
-
-
-
-
7
29.
7.
Petr Gregor
8. ZSRB
5
-
5
-
3
-
3
16
30.{31.
4.
Marie Vonzino
6. ZSUS
2
-
2
1
2
4
1
12
8.
Honza Le Long
8. GNJH
-
-
-
-
-
-
-
0
32.
7.
Patrik Vlach
7. OGBP
-
-
-
-
-
-
-
0
33.
13.
Nella Fedorowyczová
9. GKJB
-
-
-
-
-
-
-
0
34.{35.
8.
Jakub Skoøepa
7. CGKV
-
0
2
2
-
-
4
8
9.
Jana Jirásková
8. GCHB
-
-
-
-
-
-
-
0
36.
9.
Franti¹ek Barto¹
7. CGKV
-
-
-
-
-
-
-
0
37.
10.
Kateøina Èervinková
7. MGMO
-
-
-
-
-
-
-
0
38.
10.
Karolína Hrdinová
8. GZAM
-
-
-
-
-
-
-
0
39.
5.
Anna Køí¾ová
6. GSOV
-
-
-
5
2
5
-
12
40.
11.
David Ling
8. ZBKB
-
-
-
-
-
-
-
0
41.
12.
Lucie Tetourová
8. GSOV
2
-
2
-
-
-
-
4
42.{43.
13.{14.
Jan Erhart
8. GFXL
-
-
-
-
-
-
-
0
Zuzana Nosková
8. NSSP
-
-
-
-
-
-
-
0
44.
6.
Jan Ka¹ník
6. GCHB
-
-
-
-
-
-
-
0
45.
7.
Vladimír Wolf
6. AGKP
-
-
-
-
-
-
-
0
46.
14.
Eli¹ka Kosová
9. GCAK
-
-
-
-
-
-
-
0
47.{49.
8.
Tomá¹ Kotrbatý
6. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
11.
Jitka Vlèinská
7. MGMO
-
-
-
-
-
-
-
0
15.
Jitka Richterová
9. GSOS
-
-
-
-
-
-
-
0
50.
9.
Boøek Kancnýø
6. GPMB
-
-
-
-
-
-
-
0
51.{53.
10.
Michal Töpfer
6. GPMB
-
-
-
-
-
-
-
0
15.
Daniela Mrázková
8. GCHB
-
-
-
-
-
-
-
0
16.
Luká¹ Petrásek
9. GRKR
-
-
-
-
-
-
-
0
54.
12.
Petra Vohryzková
7. CGKV
-
-
-
-
-
-
-
0
55.
16.
Marek Vícha
8. ZHNM
-
-
-
-
-
-
-
0
56.{57.
11.
Monika Èerná
6. GJVK
0
-
-
-
-
-
-
0
13.
Tereza Malimánková
7. CGKV
-
-
-
-
-
-
-
0
17.{18.
Eva Ambrùzová
8. GKVK
4
-
-
-
-
-
-
4
Jiøí Marek
8. ZSNB
-
-
-
-
-
-
-
0
58.{59.
60.
17.
Luká¹ Maøík
9. GNSP
-
-
-
-
-
-
-
0
61.
12.
¹ikulové Matematiètí
6. ZKCP
-
-
-
-
-
-
-
0
62.{63.
14.
Adam ©panìl
7. AGKP
-
-
-
-
-
-
-
0
19.
Vojtìch Fi¹er
8. GEKP
-
-
-
-
-
-
-
0
64.
20.
Kry¹tof Hes
8. NSSP
-
-
-
-
-
-
-
0
65.{67.
13.
Jan Køièek
6. ZZSM
-
-
-
-
-
-
-
0
21.{22.
Lucie Pravdová
8. CGKV
-
-
-
-
-
-
-
0
Iva Valachová
8. GZAM
-
-
-
-
-
-
-
0
14.
Filip ©tefaník
6. GSOV
-
-
-
-
-
-
-
0
15.{16.
Erika Lipenská
7. GZAM
-
-
-
-
-
-
-
0
Daniel Soukenka
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
68.{70.
71.
23.
Magdaléna Rumánková 8. GKVK
-
-
-
-
-
-
-
0
72.{73.
15.
Sára Wranová
6. MGMO
-
-
-
-
-
-
-
0
24.
Tomá¹ Srba
8. GCHB
-
-
-
-
-
-
-
0
74.
25.
Zdenìk Øíha
8. GJVK
-
-
-
-
-
-
-
0
75.
17.
Terezie ©ostá
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
11
Σ
96
89
87
87
86
80
79
79
75
73
65
64
63
62
61
61
58
54
50
46
46
46
43
41
41
41
38
36
35
35
31
31
30
27
25
25
24
22
22
22
21
21
21
19
16
16
15
13
Celkovì
V roè.
Jméno a pøíjmení
Roè. a ¹kola
1
2
3
4
5
6
7
σ
76.{78.
2.
Pavel Marek
5. ZSNB
-
-
-
-
-
-
-
0
16.
Jaroslav Erben
6. CGKV
-
-
-
-
-
-
-
0
26.
Stanislav Kruml
8. GCHO
-
-
-
-
-
-
-
0
17.
Barbora Li¹ková
6. GPMB
-
-
-
-
-
-
-
0
27.
Kateøina Zvolská
8. CGKV
-
-
-
-
-
-
-
0
81.
18.
Otakar Skala mlad¹í
7. GCHB
-
-
-
-
-
-
-
0
82.{85.
18.
Nathalie Bourgeois
6. AGKP
-
-
-
-
-
-
-
0
19.
Nela Machovská
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
28.{29.
Filip Nìmec
8. GEKP
-
-
-
-
-
-
-
0
Jan Svoboda
8. GCHB
-
-
-
-
-
-
-
0
Zdenka Kozáková
7. GCHB
-
-
-
-
-
-
-
0
Natálie Závorková
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
Helena Koníèková
6. ZZSM
-
-
-
-
-
-
-
0
Lubomír Pech
6. GSOV
-
-
-
-
-
-
-
0
22.
Michaela Vrá¾elová
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
21.{22.
Kateøina Èerná
6. GJVK
-
-
-
-
-
-
-
0
Jakub Svoboda
6. GCHB
-
-
-
-
-
-
-
0
Daniel Slanina
7. AGKP
-
-
-
-
-
-
-
0
Tereza ©»ovíèková
7. GCHB
-
-
-
-
-
-
-
0
18.
Barbora ©mídová
9. GPBM
-
-
-
-
-
-
-
0
96.
23.
Alena Hájková
6. ZZSM
-
-
-
-
-
-
-
0
97.{102.
24.
Eva Kobrlová
6. AGKP
-
-
-
-
-
-
-
0
25.{29.
Jan Bártek
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
Daniel Holý
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
Ane¾ka Kovalová
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
Vojtìch Mará¹ek
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
Sára Zachníková
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
25.
Vít Kalisz
6. NSSP
-
-
-
2
-
-
-
2
30.{31.
Patrik Øíha
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
Denisa ©lachtová
7. ZMFM
-
-
-
-
-
-
-
0
79.{80.
86.{87.
88.{90.
91.{95.
20.{21.
19.{20.
23.{24.
103.{105.
106.
26.
Tomá¹ Kuèera
6. GSOV
-
-
-
-
-
-
-
0
107.{110.
27.{28.
Tran Minh
6. CGKV
-
-
-
-
-
-
-
0
David Novotný
6. GPMB
-
-
-
-
-
-
-
0
Jaroslav Bludovský
9. GCAK
-
-
-
-
-
-
-
0
Jura Buzheinilan
9. CGKV
-
-
-
-
-
-
-
0
19.{20.
12
Σ
12
12
12
10
10
9
8
8
8
8
7
7
6
6
6
5
5
5
5
5
4
3
3
3
3
3
3
2
2
2
1
0
0
0
0