jzjXa

Doc. RNDr. Zdenìk Vlá¹ek, CSc (s pou¾itím star¹ích poznámek Doc. RNDr. Ondøeje Kalendy, PhD.):
, zimní semestr 2011/12
(verze 14.2.2012)
Poznámky k pøedná¹ce Úvod do komplexní analýzy
Literatura v èe¹tinì, z mnoha uèebnic, skript a sbírek:
[Ve] J. Veselý: Komplexní analýza pro uèitele, Karolinum, 2000 (jen do odst. 8.2 vèetnì a pak odst. 10.1 a¾ 10.2),
rozebráno, ale je na síti: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/kompl/kompl.pdf
[Ru] W. Rudin: Reálná a komplexní analýza, Academia Praha, 2003 (jen Úvod a kap. 10)
[Èe] I. Èerný: Analýza v komplexním oboru, Academia Praha, 1983 (jen výbìr z kap. 1 a¾ 10)
[Je] M. A. Jevgrafov a kolektiv: Sbírka úloh z teorie funkcí komplexní promìnné, SNTL Praha, 1976.
In English, e.g.:
[GK] R. E. Green and S. G. Krantz: Function Theory of One Complex Variable, AMS, 2nd Ed. 2002, 3rd Ed. 2006.
Free web textbook in English:
[AN] R. B. Ash and W. P. Novinger: Complex Variables (up to Chapter 4.3 incl.)
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV.html
1. Tìleso komplexních èísel, prostor
Denice. Mno¾ina komplexních èísel C (jiné názvy: komplexní rovina, Gaussova
uspoøádaných dvojic reálných èísel) s následujícími operacemi a s roz¹íøeními:
sèítání (denované stejnì jako v R2 ), (a; b) + (x; y) := (a + x; b + y);
násobení libovolných dvou prvkù z C denované vzorcem
C
rovina)
je mno¾ina
R2 (tj. mno¾ina v¹ech
(a; b) (x; y) := (ax by; bx + ay); a; b; x; y 2 R;
(*)
mno¾inu R pova¾ujeme za podmno¾inu mno¾iny C, R C, k tomu pro a 2 R ztoto¾níme (a; 0) = a;
oznaèíme i := (0; 1).
p
1 . Èíslo i tradiènì nazýváme imaginární jednotka, ale
Nav¾dy zapomeòte na historicky vzniklou þnedeniciÿ èísla i =
nic imaginárního na nìm není. Je i2 = 1; i3 = i; i4 = 1.
Základní vlastnosti tìlesa C.
(i) Mno¾ina C s uvedenými operacemi sèítání a násobení tvoøí komutativní tìleso, nulovým prvkem je (0; 0) = 0,
jednotkovým prvkem je (1; 0) = 1. Inverzním prvkem k prvku (a; b) 6= 0 je prvek (a; b)=(a2 + b2 ).
(ii) Jak násobení v R tak násobení prvku z R2 reálným èíslem jsou zahrnuty ve formuli (*).
(iii) R je podtìleso tìlesa C.
(iv) Na C není denováno uspoøádání. Na C ani nelze denovat uspoøádání tak, aby bylo uspoøádaným tìlesem.
Proè právì R2 a ne tøeba R3 ? (Frobeniova vìta, 1877)
Pro n > 2 lze na Rn denovat þrozumnéÿ násobení jen pro n = 4 (kvaterniony, tvoøí nekomutativní tìleso, jsou
u¾iteèné v teoretické fyzice, v popisu prostorových rotací, ve 3D animaci i jinde - ve vyhledávaèi zadejte quaternion)
a pro n = 8 (oktoniony, Cayleyho èísla, pro nì násobení není ani asociativní).
Zápisy komplexního èísla
(i) Algebraický zápis komplexního èísla: (x; y) = x + iy, x + i0 = x a 0 + iy = iy. Umo¾òuje vyhnout se kolizím oznaèení
prvku (a; b) 2 C a otevøeného intervalu (a; b) R (matematika má málo typù závorek). Denici (*) násobení v C
teï mù¾eme zapsat obvyklým zpùsobem, jako násobení dvou dvouèlenù, kde nahradíme i2 = 1 :
(**)
(a + ib) (x + iy) := (ax by) + i (bx + ay); a; b; x; y 2 R :
(ii) Zápis komplexního èísla v goniometrickém tvaru a v exponenciálním
tvaru: bude pozdìji, potøebujeme funkce log; arg.
x
y
(iii) Maticová reprezentace komplexního èísla: (x; y) y x : Sèítání a násobení v C pak odpovídá sèítání a násobení
takovýchto speciálních matic (ve vyhledávaèi zadejte representation of complex numbers).
Denice. Nech» x; y 2 R a z = (x; y) = x + iy. Pak denujeme:
Re z := x : : : reálná èást komplexního èísla z, první slo¾ka èísla z;
Im z := y : : : imaginární
komplexního èísla z , druhá slo¾ka èísla z , je to reálné èíslo;
s èást
p
x
jzj := x2 + y2 = det y xy : : : absolutní hodnota komplexního èísla z;
z := x iy : : : komplexnì sdru¾ené èíslo ke komplexnímu èíslu z.
Oznaème C+ := fz 2 C : Im z > 0g, C := fz 2 C : Im z < 0g, je to horní resp. dolní polorovina.
Pro ka¾dá z; w 2 C platí
(1) z + w = z + w,
(2) jz j2 = z z ,
(3) jz wj = jz j jwj, z=w = z=w kdy¾ w 6= 0,
C jako metrický prostor
(4) jz j = jz j,
(5) j Re z j jz j, j Im z j jz j.
1
2
Èíslo jz j je rovno eukleidovské normì prvku z = (x; y). Funkce dist(z; w) := jz wj je tedy eukleidovská metrika na C.
Tudí¾ víme napøíklad, co je v prostoru C okolí bodu U (a; r), otevøená mno¾ina, uzavøená mno¾ina, konvergence posloupnosti, a
také spojitost a limita zobrazení z R do C, z C do R, z C do C.
Pøíklad. Funkce z 7! Re z , z 7! Im z , z 7! z a z 7! jz j jsou spojité na C.
C jako vektorový prostor
(1) R2 je vektorový prostor dimenze 2 nad tìlesem R , se standardní bazí f(1; 0); (0; 1)g. (Reálné) lineární zobrazení prostoru
R2 do R2 má obecný tvar
LR2 : (x; y)T
(2)
7! ab dc (x; y)T ; kde a; b; c; d 2 R jsou libovolná:
C je vektorový prostor dimenze 1 nad tìlesem C, s jednoprvkovou bazí f1g. (Komplexní) lineární zobrazení prostoru C
do C má obecný tvar
L : z 7! w z; kde w 2 C je libovolné;
neboli, pro w = (a; b), z = (x; y),
L : (x; y)T
7! ab ab (x; y)T ; kde a; b 2 R jsou libovolná:
Pak máme L(1) = (a; b) a nutnì L(i) = L(i 1) = i L(1) = ( b; a), druhý sloupec matice je tedy urèen prvním
sloupcem, zatímco v LR2 byl libovolný.
Vidíme, ¾e v C je þménìÿ lineárních zobrazení ne¾ v R2 , tak¾e pro matematickou analýzu je v C k dispozici þménìÿ
totálních diferenciálù (tj. komplexních lineárních zobrazení) ne¾ v R2 . Proto bude v C þménìÿ diferencovatelných zobrazení
ne¾ v R2 , ale ta mohou mít þvíceÿ u¾iteèných vlastností - a právì tìmito vlastnostmi se zabývá matematická analýza v C.
2. Komplexní funkce reálné promìnné
V tomto odstavci bychom mohli postupovat i obecnìji, namísto zobrazení z R do C uva¾ovat zobrazení z R do Rn , n 2.
Denice.
(1) Komplexní funkce reálné promìnné je zobrazení f : M ! C, kde M R.
(2) Nech» f je komplexní funkce reálné promìnné a x 2 R. Derivace funkce f v bodì x je èíslo
f 0 (x) :=
lim
h!0; h2R
f (x + h) f (x)
;
h
pokud tato limita existuje (v C).
(3) Pro interval I = (a; b) R, funkce F : I ! C je primitivní funkce k f na I , jestli¾e F 0 (x) = f (x) pro v¹echna x 2 I .
Analogicky pro uzavøené a jiné intervaly.
Vìta 2.1 (limita, spojitost, derivace, primitivní funkce - v¹e po slo¾kách). Nech» f : M ! C je komplexní funkce reálné
promìnné, a 2 R, c 2 C. Pak platí
(1) x!
lima+ f (x) = c, právì kdy¾ x!
lima+ Re f (x) = Re c a x!
lima+ Im f (x) = Im c: Podobnì pro limity zleva a oboustranné.
(2) f je spojitá (zleva, zprava) v bodì a, právì kdy¾ obì funkce Re f a Im f jsou spojité (zleva, zprava) v bodì a.
(3) f 0 (x) existuje, právì kdy¾ existují vlastní derivace (Re f )0 (x) a (Im f )0 (x). Pak f 0 (x) = (Re f )0 (x) + i (Im f )0 (x).
(4) Funkce F : (a; b) ! C je primitivní funkce k f na (a; b), právì kdy¾ Re F je primitivní funkcí k Re f na (a; b) a Im F
je primitivní funkcí k Im f na (a; b). Analogicky pro uzavøené a jiné intervaly.
Denice. Nech» f je komplexní funkce reálné promìnné, a; b 2 R.
Z b
a
f=
Z b
a
f (x) dx :=
Z b
a
Integrál (Riemannùv, Newtonùv) z funkce
Re f + i
Z b
a
f
od
a do b je
Im f;
pokud oba integrály na pravé stranì existují.
Lemma 2.2 (odhad abs. hodnoty integrálu z komplexní funkce, integraèní promìnná je reálná).
nech» f : [a; b] ! C je spojitá funkce. Pak platí
Z
b f a Z b
a
Nech» a b jsou reálná èísla a
jf j (b a) max
jf j :
[a;b]
R
R
R
R
R
Dùkaz. Je-li vlevo nula, odhad platí. Jinak oznaèíme c := ab f , pak jcj2 = c c = c ab f = ab cf = ab Re(cf ) ab jcf j
Rb
= jcj a jf j (ètvrtá rovnost vyu¾ívá toho, ¾e zcela vlevo je reálné èíslo). Dìlením èíslem jcj > 0 doká¾eme odhad. 3. Derivace v
C, holomorfní funkce
3
Denice.
(1) Komplexní funkce komplexní promìnné je zobrazení f : M ! C, kde M C.
(2) Nech» f je komplexní funkce komplexní promìnné a z 2 C. Derivace funkce f podle komplexní
(struènì derivace funkce f v bodì z ) je komplexní èíslo
f (z + h) f (z )
f 0 (z ) := lim
;
h!0; h2C
h
pokud limita na pravé stranì existuje (v C). ®ádné nevlastní derivace v C neuva¾ujeme.
promìnné v bodì
z
Poznámky. (i) Pro derivaci podle komplexní promìnné platí vìty o derivaci souètu, souèinu, podílu a slo¾ené funkce ve stejné
podobì jako pro vlastní derivaci v R, i jejich dùkazy jsou analogické.
(ii) Má-li f v bodì z 2 C derivaci podle komplexní promìnné, je v bodì z spojitá.
(iii) Je-li f komplexní funkce komplexní promìnné, g komplexní funkce reálné promìnné a x 2 R, pak
(f g)0 (x) = f 0 (g(x)) g0 (x);
pokud obì derivace na pravé stranì existují.
Vìta 3.1 (diferencovatelnost v R2 a v C). Nech» f je komplexní funkce komplexní promìnné, oznaème f1 (x; y) := Re f (x +
iy); f2 (x; y) := Im f (x + iy), tak¾e f (x + iy) = f1 (x; y) + i f2 (x; y). Pak f~ := (f1 ; f2 ) je funkce dvou reálných promìnných
s hodnotami v R2 , která odpovídá komplexní funkci f .
(a) Nech» a; b 2 R a c = a + ib. Pak f má v bodì c derivaci podle komplexní
právì kdy¾ f~ má v bodì
promìnné
p
q
(a; b) totální diferenciál a pøíslu¹ná Jacobiho matice má speciální tvar J = q p , tj. v bodì (a; b) jsou splnìny
Cauchy-Riemannovy podmínky
@f1 @f2 @f1
@f2
=
;
=
:
@x
@y @y
@x
(b) Pokud existuje f 0 (c), je f 0 (c) = p + iq , Jacobiho determinant funkce f~ v bodì (a; b) je det J = p2 + q2 = jf 0 (c)j2 a
Jakobiho matice zobrazení f~ v bodì (a; b) je regulární právì kdy¾ f 0 (c) 6= 0.
Dùkaz. (a) Diferencovatelnost v R2 resp. v C lze denovat známým zpùsobem pomocí vyjádøení pøírùstku funkce, a to
souètem lineárního zobrazení LR : R2 ! R2 resp. L : C ! C pøírùstku promìnné a zbytku zanedbatelného vùèi pøírùstku
promìnné. Porovnáním onìch dvou lineárních zobrazení (viz kap.1) doká¾eme tvrzení.
(b) Jde jen o jednoduché výpoèty.
.......................... konec 1. pøedná¹ky 6.10.2011 ..........................
Poznámka. Je-li G C otevøená konvexní mno¾ina a f : G ! C splòuje f 0 (z ) = 0 pro v¹echna z 2 G, pak f je konstantní
na G.
Denice. (holomorfní funkce). Jiné názvy: regulární funkce, (jednoznaèná) analytická funkce.
Nech» C je otevøená. Øekneme, ¾e funkce f je holomorfní na mno¾inì , jestli¾e má v¹ude v derivaci, oznaèení:
f 2 H(
).
Speciální pøípad: funkce holomorfní na C se nazývá celá funkce.
Funkce je holomorfní v bodì c 2 C, jestli¾e v nìjakém jeho okolí má v¹ude derivaci.
Funkce je holomorfní na mno¾inì M C, je-li holomorfní v ka¾dém jejím bodì, tj. je-li holomorfní v nìjaké otevøené
mno¾inì , M .
V¹imnìme si, ¾e inverzní matice k regulární Jacobiho matici J = pq pq je matice J 1 = pq pq =(p2 + q2 ) a ¾e i
ta splòuje Cauchy-Riemannovy podmínky. Vy¾ijeme-li vìtu o existenci a diferencování inverzní funkce pro pøípad zobrazení
z R2 do R2 (její pracný dùkaz - viz pøedná¹ky z MA), doká¾eme následující vìtu:
Vìta 3.2 (lokální existence inverzní funkce k holomorfní funkci, derivace inverzní funkce). Nech» f je holomorfní v bodì c 2 C,
f 0 (c) 6= 0 a f 0 je v okolí bodu c spojitá. Pak existuje okolí bodu c, ve kterém je f prostá, pøíslu¹ná inverzní funkce g je
holomorfní a její derivace je g 0 = 1=(f 0 g ).
Tuto vìtu pozdìji doká¾eme znovu, nezávisle a jednodu¹e (vìta 17.7), navíc pøedpoklad spojitosti f 0 bude splnìn automaticky.
4. Mocninné øady v
C
Zatím známe jen málo holomorfních funkcí: polynomy v C a racionální funkce. Dal¹í nám poskytnou mocninné øady v
C, pøedpokládáme znalost jejich teorie v R.
1 je posloupnost komplexních èísel a z je komplexní promìnná. Nekoneènou øadu funkcí
Denice. Nech» a 2 C, fcn g+n=0
tvaru
(M)
+1
X
n=0
cn (z a)n
nazýváme mocninná øada o støedu a s koecienty cn . Jejím souètem v bodì z 2 C nazvu limitu (v C) posloupnosti èásteèných
souètù. Polomìr konvergence øady (M) je R 2 [0; +1] denované vzorcem
+1
X
R := supfr 2 [0; +1);
jcn jrn konvergujeg:
n=0
4
Mno¾inu
U (a; R) := fz 2 C : jz aj < Rg;
pak nazýváme kruh konvergence øady (M). Pro R = 0 je to prázdná mno¾ina, pro R = +1 je to C, jinak je to otevøený kruh
se støedem a. Pro pøípady jz aj > R øada nekonverguje a o pøípadech jz aj = R < +1 obecnì nic nevíme.
Kriteria konvergence pro øady komplexních funkcí (nejenom pro mocninné øady), kriteria pro absolutní resp. stejnomìrnou
èi lokálnì stejnomìrnou konvergenci takové øady jsou stejná jako v R (pokud se v nich vyskytují nerovnosti, tak jen mezi
reálnými èísly nebo absolutními hodnotami komplexních èísel).
Vìta 4.1.
(1) Ka¾dá mocninná øada konverguje absolutnì a lokálnì stejnomìrnì na svém kruhu konvergence. Její souèet je tam
holomorfní funkce.
p
(2) Polo¾me L := lim sup n jcn j. Pak polomìr konvergence øady (M) je R = 1=L, kde (jen pro struènost a jen zde)
n!+1
klademe 1= + 1 = 0; 1=0 = +1.
(3) Existuje-li n!
lim
jcn+1 j=jcn j, rovná se èíslu L z pøedchozího bodu.
+1
P 1 cn
P+1
n+1 mají stejný polomìr konvergence jako øada (M).
(4) Mocninné øady n=1 ncn (z a)n 1 a +n=0
n+1 (z a)
(5) Na kruhu konvergence lze (M) derivovat èlen po èlenu a také integrovat èlen po èlenu, tj.
+1
0
0
+1 +1
X
X
X
n
n
cn (z a) =
cn (z a) =
cn n(z a)n 1 ;
n=0
+1
X
n=0
cn
(z a)n+1
n
n=0 + 1
Dùkaz (5).
zvolme reálné
P+1
c (wn
n=1 n
0
=
+1
X
n=0
n=1
cn (z a)n :
P 1
Bez újmy na obecnosti polo¾me a = 0. Oznaème f (z ) = +n=0
cn z n , jz j < R. Pro pevné z; jz j < R
tak, aby jz j < <R. Pro libovolné w takové,
¾e jwj , w 6= z , upravíme zlomek g(w) = f (ww) zf (z) =
P
P
z n )=(w z ) = +1 c n 1 (wj z n 1 j ) . Tato nekoneèná øada polynomù v promìnné w konverguje i pro
n=1 n j =0
pøípad w = z , navíc je jcn j =0 (wj z n 1 j )j jcn jnn 1 , tak¾e konverguje absolutnì a stejnomìrnì pro jwj , souèet øady
P+1
n 1
je tedy spojitá funkce a její limitu pro w ! z spoèteme dosazením w = z . Je tedy f 0 (z ) = wlim
!z g(w) = n=1 cn n(z a) .
Pn 1
K dùkazu druhého øádku pou¾ijeme ji¾ dokázaný øádek první, jen¾e pro jinou øadu.
5. Exponenciála, hyperbolické a goniometrické funkce
Zapomeòte na v¹echny denice a vlastnosti exponenciály, goniometrických a hyberbolických funkcí, jak je znáte z reálné
analýzy, zapomeòte i na denice èísel e; . V¹echno to vybudujeme znovu (a dokonce v C), je to toti¾ ukryto v øadì (E):
Denice. Pro z 2 C denujeme
+1 n
X
z
(E)
exp(z ) :=
= 1 + z=1! + z 2 =2! + z 3 =3! + z 4 =4! + : : :
n=0 n!
a oznaèíme e := exp(1) = 2; 7182818::: .
Funkci exp nazýváme exponenciální funkce, krátce exponenciála. Namísto exp(z ) je zvykem psát ez , i kdy¾ (zatím) nejde
umocòování kladného èísla e na komplexní exponent z .
Vìta 5.1 (vlastnosti exponenciály - 1.èást). Platí:
(E1) Funkce exp je denována na C, je tam spojitá, exp(0) = 1.
(E2) exp(z + w) = exp(z ) exp(w) pro z; w 2 C.
(E3) Funkce exp je v C holomorfní, exp 0 = exp.
(E4) exp 6= 0 v¹ude v C,
1= exp(z ) = exp( z ) pro z 2 C.
(E5) exp(z ) = exp(z ) pro z 2 C.
(E6) Funkce exp zobrazuje R na interval (0; +1), je na R rostoucí a ryze konvexní.
(E7) j exp(z )j = exp(Re z ) pro z 2 C.
Dùkaz (E1). Sèítáme spojité funkce, pøi lokálnì stejnomìrné konvergenci øady je souèet spojitý.
Dùkaz (E2). Vpravo je souèin dvou absolutnì konvergentních øad, násobíme je "èlen po èlenu", provedeme dílèí souèety
P
P 1) z j P+1 wk
P 1
pro pevná n = j + k, nakonec pou¾ijeme binomickou vìtu: ( j+=0
)( k=0 k! ) = +n:=
( nj=0 j !(n1 j )! z j wn j ) =
j
+
k
=0
j
!
P+1 1 Pn
n j n j ) = P+1 1 (z + w)n =: exp(z + w).
n=0 n!
n=0 ( n! j =0 j z w
Dùkaz (E3). Buïto derivujeme øadu (E) èlen po èlenu podle Vìty P
4.1 (5) anebo (bez této vìty) upravíme pro w 6= z
1 hn 1 =n! . Limitu zlomku pro h ! 0 spoèteme
zlomek exp(z+hh) exp(z) = exp(z) exp(hh) exp(z) = exp(z ) exp(hh) 1 = exp(z ) +n=1
dosazením h = 0 do této mocninné øady (její souèet je spojitý).
Dùkaz (E4). V (E2) polo¾íme w = z .
P 1
Dùkaz (E5). Obecnìji, pro ka¾douPmocninnou øadu a její
souèet f (z ) = +n=0
cn (z a)n , v pøípadì kdy¾ a 2 R a v¹echna
P
+1
1
n
n
cn 2 R, je f (z ) = f (z ): vlevo je zde n=0 cn (z a) = n=0 cn (z a) = f (z ) .
Dùkaz (E6). Pro x 0 je exp0 (x) = exp(x) 1+ x > 0, tak¾e exp je na intervalu [0; +1) rostoucí, prostá, exp([0; +1)) =
[1; +1). Pro x <= 0 je exp(x) = 1= exp( x), x 0, tak¾e i tam je exp rostoucí, prostá, exp(( 1; 0]) = (0; 1]. Pro x 2 R
je tedy exp00 = exp0 = exp > 0.
Dùkaz (E7). Vlevo i vpravo jsou kladná èísla, umocníme je na druhou a doká¾eme jejich rovnost. Vlevo je pak j exp(z )j2
= exp(z ) exp(z ) = exp(z ) exp(z ) = exp(z + z ) = exp(2 Re z ).
5
Denice. Pro z 2 C polo¾me
P+1 2n
cosh(z) := 12 (exp(z) + exp( z)) = P
n=0 z =(2n)!, funkce hyperbolický kosinus, sudá èást exponeciály;
1 z 2n+1 =(2n + 1)!, funkce hyperbolický sinus, lichá èást exponeciály;
sinh(z) := 21 (exp(z) exp( z)) = +n=0
1 ( 1)n z 2n =(2n)!, funkce kosinus;
1
cos(z) := cosh(iz) = 2 (exp(iz) + exp( iz)) = P+nP=0
1 ( 1)n z 2n+1 =(2n + 1)!, funkce sinus.
1
sin(z) := sinh(iz)= i = 2 i (exp(iz) exp( iz)) = +n=0
Vìta 5.2 (vlastnosti goniometrických a hyperbolických funkcí, vlastnosti exponenciály - 2.èást).
(1) Funkce cosh, sinh, cos, sin jsou denovány na C, pøièem¾ funkce cosh, cos jsou sudé a funkce sinh, sin jsou liché.
(2) cosh(0) = cos(0) = 1, sinh(0) = sin(0) = 0.
(3) Funkce cosh, sinh, cos, sin nabývají na R jen reálných hodnot.
(4) Funkce cosh, sinh, cos, sin jsou holomorfní na C, jejich derivace jsou
cosh0 = sinh; sinh0 = cosh; cos0 = sin; sin0 = cos
a stejné formule platí tedy i pro jejich derivování v R.
(5) Pro ka¾dé z 2 C platí rozklady na souèet sudé funkce a liché funkce,
exp(z ) = cosh(z ) + sinh(z ); Eulerova identita: exp(iz ) = cos(z ) + i sin(z ):
(E8)
(6) Souètový vzorec (E2) pro exponenciálu je ekvivalentní jak se souètovými vzorci pro hyperbolické funkce tak se
souètovými vzorci pro goniometrické funkce. Pro z; w 2 C platí
cosh(z + w) = cosh(z ) cosh(w) + sinh(z ) sinh(w);
cos(z + w) = cos(z ) cos(w) sin(z ) sin(w);
sinh(z + w) = sinh(z ) cosh(w) + cosh(z ) sinh(w);
sin(z + w) = sin(z ) cos(w) + cos(z ) sin(w):
(7) Identita z (E2), exp(z ) exp( z ) = 1, má pro hyperbolické resp. goniometrické funkce tvar
cosh2 sinh2 = 1;
cos2 + sin2 = 1:
Bylo by ale chybou odtud usuzovat, ¾e j cos j 1 v¹ude v C, èísla cos(z ); sin(z ) toti¾ nemusí být reálná.
(8) cos(2) < 0, tak¾e mù¾eme denovat
:= 2 minfx > 0 : cos(x) = 0g 2 (0; 4):
(9) Na intervalu [0; =2] je funkce sin rostoucí a konkávní, funkce cos klesající a konkávní; cos( 2 ) = 0, sin( 2 ) =
1. S vyu¾itím sudosti cos a lichosti sin získáme jejich prùbìh v [ =2; 0], pomocí souètových vzorcù cos(z +
)= cos(z ), sin(z + )= sin(z ) jejich prùbìh v sousedních intervalech a v celém R.
(10) Funkce sin a cos jsou v C periodické s periodou 2; funkce cosh, sinh jsou v C periodické s periodou 2i.
(11) Funkce
exp je v C periodická s periodou 2i:
(E9)
(12) Nech» z; w 2 C. Pak
exp(z ) = 1 právì kdy¾ z=(2i) 2 Z ;
obecnìji
(E10)
(13)
(14)
(15)
(16)
(E11)
exp(z ) = exp(w) právì kdy¾ (z
w)=(2i) 2 Z :
.......................... konec 2. pøedná¹ky 13.10.2011 ..........................
Pro z 2 C je sin z = 0 právì kdy¾ z= 2 Z, tak¾e v¹echny koøeny komplexní funkce sin (a tedy i cos) le¾í v R .
Pro pevné 2 R zobrazuje exponenciála orientovanou pøímku z = r + i, r 2 R , na orientovanou polopøímku
exp(r)(cos() + i sin(), x 2 R .
Pro pevné r 2 R zobrazuje exponenciála orientovanou pøímku z = r + i, 2 R , na þnekoneènìkrát probìhnutouÿ
kru¾nici exp(r)(cos() + i sin()), 2 R .
Funkce
exp zobrazuje C na
P := C n f0g :
(17) Funkce exp není v C prostá, ale napøíklad
(E12)
exp je prostá v pásu Pexp = fz 2 C : Im z 2 ( ; ]g ; jeho obrazem je P :
Dùkazy jsou elementární, lze je provést na cvièeních.
6. Logaritmus, argument, obecná mocnina
6
Denice.
ln, je inverzní funkce k funkci expR . (Odtud ln : (0; +1) ! R.)
Komplexní logaritmus (hlavní hodnota logaritmu), log, je inverzní funkce k funkci expP . (Odtud log : P ! Pexp .)
exp
Mno¾ina v¹ech logaritmù èísla z 2 P je Log(z ) = exp 1 (z ) = fw 2 C : exp(w) = z g = flog(z ) + 2ki : k 2 Zg.
Argument (hlavní hodnota argumentu, úhel) je reálná funkce arg = Im log komplexní promìnné.
Mno¾ina v¹ech argumentù èísla z 2 P je Arg(z ) = farg(z ) + 2k : k 2 Zg.
Reálný logaritmus,
Zatímco log; arg jsou funkce komplexní promìnné, jsou Log(z ), Arg(z ) pro pevné z podmno¾inami prostoru C resp.R .
Funkce log je v souladu s na¹í denicí implementována i v softvérech provádìjících numerické èi symbolické výpoèty v C.
Pozor, formule log(z w ) = w log(z ) v C obecnì neplatí: zatímco levá strana má imaginární èást v ( ; ], pravá strana
(díky násobení èíslem w) ji tam mít nemusí. Platí jen log(z w ) = w log(z ) mod 2i.
Pøíklad. log(( 1)4 )=log 1=0 zatímco 4 log( 1)=4i.
Vìta 6.1.
(1) Pro z 2 P platí log(z ) = ln jz j + i arg(z ).
(2) Pro z 2 P oznaème = arg(z ). Pak z = jz j(cos + i sin ) (goniometrický zápis komplexního èísla z ) a také z =
exp(log(z )) = exp(ln jz j + i) (exponenciální zápis komplexního èísla z ).
(3) Funkce arg, log jsou spojité na otevøené mno¾inì M = C n ( 1; 0], log je holomorfní na M a na této mno¾inì platí
log0 (z ) = 1=z .
(4) Pro x 2 ( 1; 0), y 2 R je ylim
lim0 arg(x + iy) = = arg(x), tak¾e funkce arg, log
!0+ arg(x + iy) = = arg(x), y!
nejsou v bodì x < 0 spojité. Jsou tam v¹ak spojité vzhledem k uzavøené horní polorovinì.
(5) Pro a; b 2 P je log(ab) = log(a) + log(b) + 2ki, kde k 2 f 1; 0; 1g. Pøíklady: pro a = b = 1 je k = 1, pro
a = b = i je k = 1, pro Re a > 0; Re b > 0 je k = 0.
Denice. Nech» z 2 P a w 2 C. Pak denujeme
zw = mw (z) = exp(w log(z)) : : : hlavní hodnota w-té mocniny komplexního èísla z.
Mw (z) = fexp(w b) : b 2 Log(z)g =fexp(w log(z) + w 2ki); k 2 Zg : : : mno¾ina v¹ech w-tých mocnin èísla z 2 C.
Vìta 6.2 (vlastnosti obecné mocniny).
(1) Máme ez = exp(z ) (koneènì jsme se doèkali).
(2) Denice mocniny z w je pro reálná z; w pro z > 0 souladu s denicí obecné mocniny v R. Pro z 2 C, w = n 2 Z je
z w v souladu s celoèíselnou mocninou z n ve smyslu algebry v C.
(3) Pøi pevnì zvoleném základu z 2 P je g(w) = z w spojitou funkcí komplexní promìnné w. Pøi pevnì zvoleném
exponentu w 2 C mù¾e mít funkce f (z ) = z w , z 2 P, nespojitost v bodech z 2 R, z < 0, ale pro w = n 2 Z je i tam
spojitá (napø. z 4 ).
(4) Je-li n 2 Z, obsahuje mno¾ina Mn (z ) právì jeden prvek, a to prvek z n .
(5) Je-li w = p=q racionální, p; q celá nesoudìlná, q 2 N, pak Mw (z ) obsahuje právì q prvkù.
(6) Souètový vzorec: pro z 2 P a libovolná a; b 2 C je z a+b = z a z b .
(7) (!) Pøi umocòování mocniny na neceloèíselný exponent w 2= Z obecnì neplatí formule (z v )w = z vw , napø. pro
z = 1, v = 2, w = 1=2.
.......................... konec 3. pøedná¹ky 20.10.2011, Johanis .........................
Cvièení 6.1
p
(1) Pro n 2 N n f1g, z 2 P oznaème n z = z 1=n , aèkoli pro z < 0, n liché to není n tá odmocnina ze záporného èísla
jak ji (mo¾ná) známe z R.
(2) Pro a 2 P øe¹te rovnici z n = a s neznámou z 2 C.
1
(3) Pro a 2 P øe¹te rovnici zuk(z ) = a s neznámou z 2 P, kde zuk(z ) = (z + 1=z ) je ®ukovského funkce.
2
(4) Pro a 2 C øe¹te rovnici f (z ) = a s neznámou z 2 C, kde f = cosh; sinh; cos; sin. Návod: je cosh z = zuk(exp(z )),
sinh z = i zuk(i exp(z )), cos z = zuk(exp(iz )), sin z = zuk(i exp(iz )) .
(5) Denujme tgh = cosh = sinh, cotgh = cosh = sinh, tg = cos = sin, cotg = cos = sin v¹ude v C, kde nedìlíme nulou. Kde
jsou tyto funkce holomorfní?
(6) Pro a 2 C øe¹te rovnici f (z ) = a s neznámou z 2 C, kde f = cotgh; tanh; cotg; tg. Návod: je tanh z = (u 1)=(u +1),
kde u = exp(2z ), coth z = (u + 1)=(u 1), tg z = i(w 1)=(w + 1), kde w = exp(2iz ), cotg z = i(w + 1)=(w 1) .
7. Køivky a køivkový integrál v
C
Denice. Køivkou v C rozumíme spojité zobrazení uzavøeného intervalu do C, tj. spojitou funkci ' : [a; b] ! C, kde a < b
jsou reálná èísla. Je-li ' : [a; b] ! C køivka, pak
obrazem køivky ' rozumíme její obor hodnot, tj. mno¾inu
h'i := '([a; b]) = f'(t) : t 2 [a; b]g;
poèáteèním bodem køivky ' rozumíme bod pb ' := '(a), koncovým bodem bod kb ' := '(b);
køivku ' nazýváme uzavøenou, pokud '(a) = '(b);
opaènou køivkou k ' rozumíme køivku ' : [ b; a] ! C denovanou vzorcem ( ')(t) := '( t);
7
je-li navíc : [c; d] ! C køivka, pro kterou (c) = '(b), pak jejich spojením (nalepením) ' u rozumíme køivku
denovanou na intervalu [a; b + (d c)] vzorcem
(' u )(t) :=
délkou køivky
'(t);
t 2 [a; b];
(t b + c); t 2 [b; b + (d c)];
' rozumíme (je to supremum délek pøíslu¹ných lomených èar)
V (') := sup
8
n
<X
:
j =1
9
=
j'(tj ) '(tj 1 )j : n 2 N; a = t0 < t1 < < tn = b; 2 [0; +1] :
Uzavøenou køivku '(t) = a + reit , t 2 [0; 2], kde a 2 C a r > 0, nazýváme kladnì orientovaná kru¾nice o støedu a a polomìru
r. Opaènou køivku ' nazýváme zápornì orientovaná kru¾nice.
Køivku '(t) = z +t(w z ), t 2 [0; 1], kde z; w 2 C, nazýváme orientovaná úseèka [z ; w]. [z ; w] je tedy funkce (parametrický popis
orientované úseèky), cesta, zatímco h[z ; w]i C je úseèka v klasickém smyslu. Obecnìji, napø. [z ; w; u; v] je parametricky
popsaná orientovaná lomená èára urèená body z; w; u; v 2 C (v tomto poøadí), je denovaná jako spojení tøí orientovaných
úseèek [z ; w] u [w; u] u [u; v]. Oznaèení [z ; w] (oddìlovaèem je støedník) nám nekoliduje s intervalem [a; b] R.
Cesta neboli po èástech hladká køivka v C, je køivka ' : [a; b] ! C pro kterou existuje takové dìlení a = t0 < t1 < < tn = b,
¾e pro ka¾dé j = 1; : : : ; n je funkce ' tøídy C 1 na [tj 1 ; tj ] (tj. derivace ' 0 je spojitá na (tj 1 ; tj ) a má v krajních bodech
tj 1 a tj jednostranné koneèné limity). Cesty budeme potøebovat pøi práci s køivkovým integrálem v C. Mo¾né nespojitosti
derivace v dìlících bodech lze odstranit volbou jiné parametrizace, viz vìta 7.1.(5).
Denice.
(køivkový integrál v C) Pro cestu ' a spojitou funkci f
Z
'
f=
Z
'
f (z ) dz =
Z b
a
: h'i ! C denujeme integrál funkce f podél cesty ' vzorcem
f ('(t))'0 (t) dt
2 C:
Integrál na pravé stranì je Riemannùv èi zobecnìný Newtonùv, jeho integrand je po èástech spojitý.
Pøíklad 7.1. Pro n 2 Z a kru¾nici '(t) = a + reit , t 2 [0; 2] je
Z
'
(z
a)n dz =
Z 2
0
rn eitn rieit dt = = 2i (pro n = 1) resp. 0 (pro ostatní n 2 Z) :
Z b
j'0 (t)j dt.
Nech» ' : [a; b] ! C je cesta a f : h'i ! C je spojitá.
Poznámka. Je-li ' : [a; b] ! C cesta, pak délka cesty ' je V (') =
a
Vìta 7.1 (základní vlastnosti køivkového integrálu).
(1) (zmìna
ale ne orientace) Nech» g je rostoucí zobrazení intervalu [c; d] na interval [a; b], které je tøídy C 1 .
Z parametrizace,
Z
Pak f =
f:
'
'g Z
Z
(2) (zmìna orientace)
f=
f.
'
'
(3) (integrál pøes spojení dvou cest) Je-li ' =
(4)
(5)
Z
(odhad abs.hodnoty integrálu) f Z b
u !, kde ; ! jsou cesty, pak
Z
'
f=
Z
f+
jf ('(t)) '0 (t)j dt V (') max jf j .
h'i
'
a
(zmìna parametrizace po èástech hladké køivky na hladkou køivku) Není-li køivka
lze v (1) zvolit takovou substituci g , ¾e køivka ' g je hladká.
Z
!
f:
' hladká (je jen po èástech hladká), pak
Dùkaz (5). Nech» [u; v] = [tj 1 ; tj ] je j -tý dílèí interval. Funkce g( ) := u + (v u) 1 cos( (v uu) ) =2, 2 [u; v], je
rostoucí, spojitì diferencovatelná, g0 (u+) = g0 (v ) = 0, tak¾e ' g má jednostranné derivace v u+ a v rovny nule a ty tedy
budou spojitì navazovat na nulové jednostranné derivace takto denované funkce g na sousedních dílèích intervalech. Poznámka. Vlastnost (5) umo¾òuje zjednodu¹ení mnoha dal¹ích dùkazù, kde namísto po èástech hladkých køivek lze
uva¾ovat jen hladké køivky.
Lemma 7.2.
Nech» f je komplexní funkce komplexní promìnné spojitá na okolí bodu a 2 C. Pak pro h 2 C je
Z
1
lim
f = f (a) :
h!0 h [a;a+h]
R
Dùkaz. h1 [a;a+h] f
! 0 pro h ! 0. R
f (a) = h1 [a;a+h] (f (z ) f (a)) dz =
R1
0 (f (a + th)
f (a)) dt =: c. Je jcj maxz2U (a;jhj) jf (z ) f (a)j
8
Denice. Nech» G C je otevøená a f : G ! C je funkce. Funkci F : G ! C nazýváme primitivní funkcí k f
f 0 (z ) = f (z ) pro ka¾dé z 2 G.
Vìta 7.3
(výpoèet køivkového integrálu pomocí primitivní funkce, Newtonùv vzorec).
Nech» G
spojitá funkce a F je primitivní funkce k f na G. Pak pro ka¾dou cestu ' : [a; b]
na
G, pokud
CZje otevøená, f : G ! C je
! G platí
'
f = F ('(b))
(pøírùstek primitivní funkce od poèáteèního do koncového bodu køivky). Speciálnì, je-li ' uzavøená cesta v G, pak
F ('(a))
Z
'
f = 0.
Poznámka. Z pøíkladu 7.1 pro n = 1 nyní vidíme, ¾e 1=z nemá na P primitivní funkci. Zatímco v R pro existenci
primitivní funkce staèila spojitost, v C spojitost nestaèí a vìta o existenci primitivní funkce asi bude mít jinou podobu.
.................. konec 4. pøedná¹ky 27.10.2011 (zatím bez Vìty 7.1 a 7.2, které budou v 5. pøedná¹ce) ..................
Vìta 7.4. Nech» ' : [a; b] ! C je cesta.
(1) (zámìna poøadí integrálu a limity posloupnosti) Nech»Z pro ka¾dé
Z n 2 N je fn : h'i !Z C spojitá
Z funkce a tyto funkce nech»
na h'i konvergují stejnomìrnì k funkci f . Pak fn ! f neboli lim
f = n!lim
fn .
n!+1 ' n
'
'
' +1
(2) (spojitost integrálu s komplexním (resp. reálným) parametrem, tj. zámìna poøadí integrálu a limity funkce) Nech» G C je
neprázdná otevøená mno¾ina (resp. G je libovolný interval v R) a F : h'i G ! C je spojitá funkce. Pak funkce
g(w) =
'
R
w2G
F (z; w) dz;
R
lim
F (z; w) dz = ' lim F (z; w) dz; w0 2 G.
w!w0 ;w2G '
w!w0 ;w2G
(derivace integrálu podle komplexního parametru, tj. zámìna poøadí derivace a integrálu) Nech» G C je otevøená mno¾ina,
je spojitá na G neboli
(3)
Z
F : h'i G ! C je spojitá funkce a parciální derivace funkce F podle druhé promìnné (tj. derivace funkce
w 7! F (z; w) podle komplexní promìnné w) je spojitá na h'i G. Potom funkce
g(w) =
Z
'
w2G
F (z; w) dz;
je holomorfní na G a platí
g0 (w) =
Z
Z
@F
d
F (z; w) dz =
(z; w) dz pro w 2 G :
dw '
' @w
Dùkaz. (1), (2) dokazujeme analogicky jako v R. Pro dùkaz (3) ale nemáme vìtu o støední hodnotì pro komplexní funkci reálné
(pro f (t) = eit není f () f (0) = f 0 ()). Proto pøírùstek funkceR F nahradíme integrálem. Derivaci funkce F
podle druhé promìnné oznaème F2 . Pro pevné w 2 G dokazujeme g0 (w) = ' F2 (z; w) dz . K tomu pro promìnnou h 6= 0
promìnné
odhadujeme absolutní hodnotu zlomku h 1 (g(w + h)
R
R
g(w)) =h
1R
' (F (z; w + h)
F (z; w)) dz =h
1R
'
R1
0 (F2 (z; w +
ht) h dt dz = ' 01 F2 (z; w + ht) dt dz . Vzhledem ke spojitosti a tedy i stejnomìrné spojitosti integrandu pro [z; h; t] 2
R R
R
h'i U (0) [0; 1] je pro h ! 0 limita integrálù rovna integrálùm z limity, èíslu ' 01 F2 (z; w) dt dz = ' F2 (z; w) dz. Denice. Otevøenou souvislou podmno¾inu prostoru C nazýváme oblast.
Denice. Nech» M C je mno¾ina. Mno¾inu A M nazveme komponentou mno¾iny M , je-li maximální souvislou podmno¾inou M (tj. je-li A souvislá a pøitom ka¾dá mno¾ina B splòující A $ B M je nesouvislá).
Lemma.
Nech» C je otevøená. Pak ka¾dá její komponenta je oblast.
Vìta 7.5 (charakterizace oblasti). Nech» C je otevøená. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní.
(a) je souvislá (tj. pro ka¾dou neprázdnou G takovou, ¾e G i n G jsou otevøené mno¾iny, platí G = ).
(b) je køivkovì souvislá (tj. pro ka¾dé dva body z; w 2 existuje spojité zobrazení ' : [0; 1] ! , pro které '(0) = z a
'(1) = w).
(c) Ka¾dé dva body v lze spojit lomenou èárou v (tj. pro ka¾dé dva body z; w 2 existuje koneèná posloupnost
bodù z = u0 ; u1 ; : : : ; un = w taková, ¾e pro ka¾dé j = 1; : : : ; n je [uj 1 ; uj ] ).
Vìta 7.6
(primitivní funkce a nezávislost integrálu na cestì).
následující podmínky jsou ekvivalentní.
(i) f má v primitivní funkci.
Nech» C je oblast a f : ! C je spojitá funkce.
Z
(ii) Pro ka¾dou uzavøenou cestu ! : [a; b] ! je f = 0.
!
(iii) Køivkový integrál v Z
nezávisí
Z na cestì, tj. kdykoli ' : [a; b] ! a
a '(b) = (d), pak f = f .
'
Pak
: [c; d] ! jsou dvì cesty splòující '(a) = (c)
9
Dùkaz (i))(ii): viz Vìta 7.3.
R
R
R
(ii))(iii): oznaèíme ! = ' , ! je uzavøená, podle pøedpokladu
je ! f = 0, tak¾e ' f
f = 0.
R
(iii))(i): zvolíme pevnì z0 2 a denujeme funkci F (z ) = 'z f (w) dw, z 2 , kde 'z je libovolná cesta v ze z0 do z .
Pro dostateènì malá h 6= 0 si cestu zeR z0 do z + h slepíme z cesty 'z a orientované úseèky [z ; z + h], pak snadno upravíme
zlomek h 1 (F (z + h) F (z )) = h 1 [z;z+h] f , který má (Lemma 7.2) limitu f (z ), tak¾e F 0 = f v¹ude v . 8. Lokální Cauchyova vìta a její dùsledky
Denice. Nech» a; b; c 2 C. Trojúhelníkem 4abc rozumíme konvexní obal mno¾iny fa; b; cg, tj. nejmen¹í konvexní mno¾inu
obsahující body a; b; c. Obvodem trojúhelníka 4abc rozumíme uzavøenou køivku (orientovanou lomenou èáru)
@ 4abc = [a; b] u [b; c] u [c; a]:
Vìta 8.1
(Cauchyova vìta pro trojúhelník).
holomorfní na n fpg. Pak
Nech» C je otevøená mno¾ina, p 2 , f : ! C je funkce spojitá na a
Z
@ 4abc
f = 0 pro ka¾dý trojúhelník 4abc .
R
Dùkaz. Nejprve uva¾ujme jednodu¹¹í pøípad p 2= 4abc. Oznaème T0 = @ 4abc a M = j @T0 f j. Pro k = 0; 1; 2; : : : nyní
postupnì opakujeme následující algoritmus:
Støedními pøíèkami rozdìlíme trojúhelník Tk na ètyøi men¹í pomocné trojúhelníky P1 ; P2 ; P3 ; P4 Tk . Integrujeme-li
funkci f veRvhodnémPsmìru
@PP
1 ; @P2 ;R@P3 ; @P4 , pak v souètu se integrály pøes støední pøíèky odeètou,
R po jejich obvodech
R
tak¾e bude @Tk f = 4j =1 @Pj f , odtud j @Tk f j 4j =1 j @Pj f j a napravo nemohou být v¹ichni sèítanci men¹í ne¾ M=4k+1 .
R
Existuje tedy m takové, ¾e j @Pm f j M=4k+1 , oznaème Tk+1 = Pm .
Výsledkem uvedeného postupu je posloupnost trojúhelníkù T0 T1 T2 : : : v jejich¾ prùniku je právì jeden bod s.
Denujeme spojitou funkci g(z ) = f (zz) sf (s) f 0 (s) pro z 2 , z 6= s a g(s) = 0, tak¾e f (z ) = f (s)+ f 0 (s)(z s)+ g(s)(z s),
jde o Taylorùv polynom stupnì nejvý¹e 1 se støedem s (ten má primitivní funkci) a o jeho zbytek.
Zvolme libovolnì " > 0. RExistuje okolí U (s) takové, ¾e v nìm jgj < " a existuje index K takový, ¾e TK U (s). Pro
v¹echna k K odhademe j @Tk f j V (@Tk ) RmaxTk jgj maxTk jz sj " V (@Tk )2 " V (@T0 )2 =4k .
Souèasnì (z pøedchozí konstrukce) máme j @Tk f j M=4k , porovnání obou odhadù dá M " V (@T0 )2 a tedy M = 0.
Zbývá zvládnout pøípady, kdy p 2 4abc. Pokud le¾í body a; b; c v pøímce (T0 je buïto jednobodová anebo je to obraz
úseèky), pak tvrzení platí pro ka¾dou funkci spojitou na T0 a bod p zde není vyjímeèný. V opaèném pøípadì, pro tøi rùzné
body a; b; c nastane jedna ze tøí situací:
(i) Bod p je vrcholem trojúhelníka, napøíklad p = c. Pak pro ka¾dé " 2 (0; 1) oznaème A = c + "(a c), B = c + "(b c),
pro trojúhelníky 4abA, R4AbB máme vìtu ji¾ dokázánu, pro zbývající trojúhelník 4ABc odhadujeme
j @4ABc f j V (@ 4ABc) maxT jf j = "V (@ 4RT ) maxT jf j ! 0 pro " ! 0+ .
Souèet integrálù po obvodech v¹ech tøí uvedených trojúhelníkù je @T f , ten na " nezávisí a je tedy nula.
(ii) Bod p je na hranici trojúhelníka T mimo jeho vrcholy, je napøíklad nìkde mezi body b; c. Pak pro trojúhelníky 4abp,
4apc pou¾ijeme (i).
(iii) Bod p je uvnitø trojúhelníka. Pak pro trojúhelníky 4abp, 4pbc, 4apc pou¾ijeme (i). .......................... konec 5. pøedná¹ky 3.11.2011 .........................
Denice. Mno¾ina M C (obecnìji M Rn ) se nazývá hvìzdovitá, pokud existuje takové a 2 M , ¾e pro ka¾dé b 2 M je
úseèka [a; b] M . (Názornì: z bodu a je vidìt celá mno¾ina M ).
(Cauchyova vìta pro hvìzdovitou mno¾inu). Nech» C je otevøená hvìzdovitá mno¾ina, p 2 a f : ! C je
spojitá funkce, která je holomorfní na n fpg . Pak f má na primitivní funkci,
tj.
R
pro ka¾dou uzavøenou cestu ' v je ' f = 0 .
Vìta 8.2
Dùkaz. Vzpomeneme si na to, ¾e v R je derivace urèitého integrálu podle horní meze rovna integrandu. Tady zkonstruujeme primitivní funkci
analogicky, jako køivkový integrál po úseèce z bodu a do promìnného konce z . Pro ka¾dé z 2 R
oznaème F (z ) = [a;z] f a derivujme F . Pro pevné z 2 a pro v¹echna dostateènì malá h je také z + h 2 , tak¾e
R
R
R
trojúhelník s vrcholy a; z; z + h je také v a podle pøedchozí vìty máme [a;z] f + [z;z+h] f = [a;z+h] f . Toho vyu¾ijeme pøi
R
úpravì zlomku (F (z + h) F (z ))=h =h 1 [z;z+h] f ! f (z ) pro h ! 0 podle vìty 7.2. Poznámka 8.1 (dùkaz pøi silnìj¹ím pøedpokladu). Kdybychom do denice holomorfnosti pøidali pøedpoklad, ¾e funkce f 0
nejenom existuje, ale ¾e je spojitá, pak by namísto pracného dùkazu Cauchyovy vìty pro trojúhelník a této vìty staèilo
pou¾ít stejnolehlost se støedem a a derivaci podle reálného parametru p : Pro p 2 [0R; 1] denujme
cesty 'p = a + p (' a),
R
tak¾e '1 = ', '0 = a. Nech» cesta ' má denièní obor [; ]. Denujeme g(p) = 'p f = f (a + p ('(t) a))p '0 (t)dt.
R
R
Pak g 0 (p) = @ f (a + p ('(t) a))p ' 0 (t) dt = @ f (a + p ('(t) a))'(t) dt = 0. Funkce g je tedy konstantní a
@p
@t
sice nula, proto¾e g(0) = 0. Takovéto zjednodu¹ení dùkazu by se ale pozdìji nevyplatilo: pøi dùkazech holomorfnosti bychom kromì existence derivace
je¹tì museli dokazovat spojitost derivace.
Poznámka (nalepování primitivních funkcí). Nech» 1 a 2 jsou otevøené podmno¾iny C, pro které 1 \ 2 je souvislá
mno¾ina. Nech» funkce f má primitivní funkci v 1 i v 2 . Pak f má primitivní funkci v 1 [ 2 .
Poznámka. Výjimku z holomorfnosti v pøedchozích dvou vìtách, bod p , potøebujeme jen v dùkazu následující vìty.
Vìta 8.3 (Cauchyùv vzorec pro kruh). Nech» a 2 C, r > 0 a f je holomorfní na uzavøeném kruhu U (a; r). Oznaème '(t) =
a + reit , t 2 [0; 2]. Pak
10
Z
1
f (w)
dw; z 2 U (a; r) .
2i ' w z
Vidíme, ¾e z hodnot funkce f na hranici kruhu lze dopoèítat její hodnoty uvnitø. (Podobnou vlastnost v R - kdy z hodnot
v krajních bodech intervalu lze dopoèítat hodnoty uvnitø intervalu - mají jen funkce tvaru f (x) = ax + b.)
Dùsledek (vlastnost prùmìru pro holomorfní funkce). Pro Zspeciální pøípad z = a je
1 2
f (a) =
f (a + reit ) dt;
2 0
f (z ) =
tj. hodnota uprostøed je aritmetickým prùmìrem hodnot na kru¾nici.
Dùsledek (Cauchyùv vzorec pro kruh, i pro v¹echny
f má na U (a; r) derivace v¹ech øádù a platí
Z derivace).
n!
f (w)
(
n
)
f (z ) =
dw; z 2 U (a; r); n 2 N0 ,
2i ' (w z )n+1
symbolem f (0) rozumíme f .
Dùkaz. Pro n = 0 je to Cauchyùv vzorec pro kruh. Pro n 2 N pravou stranu (køivkový integrál s komplexním parametrem
z ) derivujeme n-krát podle z . Podle Vìty 7.4 (3)n tyto derivace existují (tedy existují i derivace levé strany) a poøadí derivace
@ (w z ) 1 = n! (w z ) 1 n . a integrálu lze zamìnit. Pøitom pro z 6= w je @z
n
Vìta 8.5 (rozvoj holomorfní funkce do mocninné øady). Nech» a 2 C, R 2 (0; +1] a f je holomorfní na kruhu U (a; R). Pak
f je na U (a; R) souètem mocninné øady tvaru
+1
X
cn (z a)n ;
n=0
Pøitom koecienty této øady jsou urèeny jednoznaènì a platí pro nì
Název: Taylorova øada funkce f se støedem a.
cn =
f (n) (a)
; n 2 N0 .
n!
Dùkaz. Zvolme pevnì z 2 U (a; R) a èíslo r 2 (jz aj; R), oznaème = jz aj. Pro integraèní promìnnou w v
Cauchyovì vzorci pro kruh je w 2 h'i, tedy jw aj = r, jw z j > r . V Cauchyovì vzorci upravíme zlomek w 1 z =
1
1
1
(w a) (z a) = w a 1 (z a)=(w a) . Je j(z a)=(w a)j < =r < 1, tak¾e mù¾eme pokraèovat (souèet geometrické øady)
P
1 ( z a )n = P+1 (z a)n . Vynásobením této úpravy funkcí f (w) spojitou na kompaktu h'i (a tedy
= w 1 a +n=0
n=0 (w a)n+1
w a
omezenou) nepokazíme stejnomìrnou konvergenci
øady, výsledek tedy
mù¾eme integrovat èlen po
èlenu a vyjde nám
R
(n)
P+1
P+1
f
(
w
)
f
(
a
)
1
n
n
f (z ) = n=0 (z a) 2i ' (w a)n+1 dw = n=0 (z a) n!
,
v posledním kroku jsme pou¾ili Cauchyùv vzorec pro f (n) (a). Právì nalezené koecienty cn u (z a)n , n 2 N0 , pøitom
nezávisí na volbì z , tak¾e opravdu jde o mocninnou øadu.
Zbývá dokázat P
jejich jednoznaènost, tedy ¾e neexistuje jiná sada koecientù takové øady, tøeba bn . Kdyby v nìjakém
1 b (z a)n , pak derivováním této mocninné øady èlen po èlenu, Vìta 4.1 (5), spoèteme pro n 2 N :
U (a) bylo f (z ) = +n=0
n
0
f (n) (a) = n! bn , tak¾e bn = cn . Dùsledek (holomorfní funkce a mocninné øady). Funkce f je holomorfní v otevøené C právì kdy¾ v ka¾dém kruhu
U (a; R) je souètem mocninné øady se støedem a.
Vìta 8.6 (Cauchyovy odhady koecientù Taylorovy øady). Za pøedpokladù a oznaèení z Vìty 8.5, pro ka¾dé r 2 (0; R) oznaème
Mr = maxfjf (z )j : jz aj = rg: Pak
jcn j Mr =rn ; r 2 (0; R); n 2 N0 .
................ konec 6. pøedná¹ky 10.11.2011, navíc Weierstarssova vìta ...............
................ státní svátek 17.11.2011 ...............
Vìta 8.7 (Liouvilleova vìta). Ka¾dá omezená celá funkce je konstantní.
Dùkaz. V Cauchyových odhadech polo¾íme R = +1, a = 0, odhadneme Mr maxC jf j = M a pro n 2 N, r ! +1
spoèteme cn ! 0. Pøitom cn nezávisí na r, tak¾e cn = 0. Proto f (z ) = c0 ; z 2 C.
Jiný dùkaz. V Cauchyových odhadech zvolme pevnì a 2 C. Je f 0 (a) = c1 , pøitom (viz pøedchozí dùkaz pro n = 1)
c1 = 0, tak¾e f 0 = 0 v¹ude a f je konstantní.
Vìta 8.7a (obecnìj¹í Liouvilleova vìta). Nech» f je celá funkce a existuje n 2 N takové, ¾e pro jz j = r ! +1 je f (z ) = o(rn ).
Pak f je polynom stupnì men¹ího ne¾ n.
Dùkaz. Z Cauchyových odhadù je ck = o(rn k ), tak¾e pro k n je ck = 0. Podrobnìj¹í informace o chování celé funkce pro velká jz j nám pozdìji dá Casorati-Weierstrassova vìta.
Vìta 8.8 (t.zv. základní vìta algebry). Ka¾dý nekonstantní polynom s komplexními koecienty má v C aspoò jeden koøen.
Dùkaz. Nech» P je takový polynom, má stupeò nejménì 1, tak¾e lim jP (z )j = +1. Kdyby nemìl v C ¾ádný koøen,
jzj!+1
pak Q = 1=P by byla celá funkce, pøitom lim Q(z ) = 0, tak¾e Q by byla omezená, tedy podle Liouvilleovy vìty konstantní
jzj!+1
a P také konstantní, spor.
Dùsledek (rozklad polynomu na koøenové èinitele). Nech» P (z ) = an z n + an 1 z n 1 + + a1 z + a0 je polynom s komplexními
koecienty, pøièem¾ n 1 a an 6= 0. Pak existují w1 ; : : : ; wn 2 C taková, ¾e
P (z ) = an (z w1 )(z w2 ) (z wn ) ; z 2 C :
Èísla w1 ; : : : ; wn (koøeny polynomu) jsou urèena jednoznaènì a¾ na poøadí.
Vìta 8.9 (násobnost koøene, koøen je izolovaný). Nech» pro a 2 C, r > 0 je funkce f holomorfní na U (a; r) a není to
konstantní nula. Pak existuje právì jedno p 2 N0 a funkce g holomorfní na U (a; r) taková, ¾e g (a) 6= 0 a
11
f (z ) = (z a)p g(z ) pro z 2 U (a; r):
Pro p > 0 øíkáme, ¾e bod a je p-násobný koøen funkce f .
Existuje prstencové okolí P (a) takové, ¾e je v nìm v¹ude f (z ) 6= f (a).
Dùkaz. Taylorova øada funkce f se støedem a nejsou samé nuly, existuje tedy nejmen¹í index
je
p 2 N0 , pro který p
p
koecient cp 6= 0. Vytkneme-li z Taylorovy øady výraz (z a) , bude v U (a; r) f (z ) = (z a) cp + cp+1 (z a) + : : : .
Øada v závorce je hledaná funkce g(z ), pøitom g(a) = cp 6= 0. Ze spojitosti funkce g odvodíme její nenulovost v nìjakém
okolí bodu a. První èinitel (z a)p je roven nule jen v bodì a. Denice. (Pøipomenutí z metrických prostorù) Nech» M C je mno¾ina a z0 2 C. Øíkáme, ¾e bod z0 je hromadným bodem
mno¾iny M , jestli¾e ka¾dé prstencové okolí bodu z0 obsahuje nìjaký bod mno¾iny M . Je-li navíc C mno¾ina obsahující
M , øíkáme, ¾e M je izolovaná v , jestli¾e nemá v ¾ádný hromadný bod.
(vìta o jednoznaènosti). Nech» funkce f; g jsou holomorfní na oblasti C a shodují se na mno¾inì M
která má v hromadný bod (tj. není izolovaná v ). Pak f = g v¹ude na .
Vìta 8.10
,
Dùkaz. Pomocná funkce h = f g má v¹ude v M hodnoty nula. Nech» a 2 je hromadný bod mno¾iny M . Existuje
tedy posloupnost zk 2 M n fag, zk ! a, pro kterou je h(zk ) = 0. Podle vìty 8.9 je tedy h = 0 v¹ude v ka¾dém U (a) .
Oznaème A = fz 2 : h = 0 v¹ude v nìjakém U (z )g, je to neprázdná otevøená podmno¾ina oblasti . Vzhledem ke
spojitosti funkce h lze pøedchozí úvahu zopakovat i v ka¾dém bodì uzávìru v mno¾iny A, tak¾e A je také uzavøená v .
Proto je A = a f = g v¹ude v .
Dùsledek. Nech» (a; b) R, f : (a; b) 7! C a oblast C obsahuje interval (a; b), pak existuje nejvý¹e jedno holomorfní
roz¹íøení funkce f do . Tedy: holomorfní roz¹íøení (pokud existuje) je hodnotami v (a; b) urèeno jednoznaènì (odtud
tradièní název vìty).
Vìta 8.11
(princip maxima modulu).
(1) Nech» C je oblast a f je nekonstantní holomorfní funkce na . Pak jf j nenabývá nikde v lokálního maxima.
(2) Nech» je omezená oblast a f je funkce spojitá na a holomorfní na . Pak jf j nabývá svého maxima v na
hranici oblasti .
(3) Je-li navíc f 6= 0 v¹ude v resp. v , pak (1) resp. (2) platí i pro lokální minimum funkce jf j.
Dùkaz. (1), sporem: nech» jf j má v bodì a 2 lokální maximum M = jf (a)j. Pak existuje R > 0, U (a; R) takové,
¾e M = maxU (a;R) jf j. Pro ka¾dý polomìr r 2 (0; R) pou¾ijeme pro f (a) vìtu o prùmìru a odhadujeme M = jf (a)j 1 R 2
it
2 0 jf (a + re )jdt maxU (a;R) jf j = M . Nalevo i napravo je M , proto v¹echny nerovnosti v tìchto odhadech lze nahradit
rovnostmi. Spojitý integrand jf (a + reit )j (omezený shora èíslem M ) nemá tedy ¾ádnou hodnotu men¹í ne¾ M a proto je
v¹ude v U (a; R) jf j = M a jf j2 = ff = M 2 . Pro M = 0 máme f = 0 a nejsou splnìny pøedpoklady vìty. Pro M > 0 jsou
jak f tak f = M 2 =f holomorfní funkce a z Cauchy-Riemannových podmínek odvodíme, ¾e je to mo¾né jen pro konstantní
f - spor.
(2). Spojitá reálná funkce jf j nabývá na kompaktu svého maxima. Pokud ho nenabývá na hranici, pak ho nabývá
uvnitø a podle (1) je konstantní na souvislé a tedy i na - spor. (3). Pro pomocnou funkci h = 1=f pou¾ijeme (2) resp. (3).
Pøíklad. Je-li v¹ude na hranici f = 0, je f konstantní, nula.
Vìta 8.12a (Weierstrassova vìta, zámìna poøadí derivace a limity). Nech» C je otevøená, funkce fn ; n 2 N jsou holomorfní
na a konvergují k funkci f lokálnì stejnomìrnì v . Pak f je holomorfní v a pro ka¾dé p 2 N funkce fn(p) konvergují k
f (p) lokálnì stejnomìrnì v .
Dùkaz. Zvolme libovolnì a 2 , zvolme U (a; r) a oznaème '(t) = a + reit ; t 2 [0; 2]. V Cauchyovì vzorci se
integraèní promìnná w a parametr z mohou ocitnout libovolnì blízko sebe, jejich rozdíl je pøitom ve jmenovateli. Proto
uva¾ujeme
jenom z 2 A = U (a; r=2), pak j1=(w z )j 2=r. Podle Cauchyova vzorce, pro ka¾dé z 2 A je fn (z ) =
1 R
h'i A, tak¾e pøi
2i fn (w)=(w z )dw. Pro n ! +1 konverguje integrand k f (w)=(w z ) stejnomìrnì na kompaktu
R
limitním pøechodu n ! +1 lze napravo zamìnit poøadí limity a integrálu, vyjde f (z ) = 21i f (w)=(w z )dw. Pravá
strana má derivaci podle parametru z , má ji tedy i levá strana a f je proto na A holomorfní.
Pro funkce f , fn lze nyní pou¾ít
Cauchyùv vzorec pro p-té derivace a odhadovat pro z 2 A: jf (p) (z ) fn(p) (z )j (p)
(p)
p!
p+1 max jf (p) (w) fn(p) (w)j ! 0 stejnomìrnì pro v¹echna z 2 A. f (w) fn (w) h'i
2 2r maxh'iA (w z)p+1 p ! r (2=r)
Vìta 8.12b (Weierstrassova
vìta, zámìna poøadí derivace a sumy). Nech» C je otevøená, funkce gk ; k 2 N jsou holomorfní
P 1
gk konverguje k funkci f lokálnì stejnomìrnì v . Pak f je holomorfní v a pro ka¾dé p 2 N øada
na a øada +
k
=0
P+1 (p)
(p)
k=0 gk konverguje k f lokálnì stejnomìrnì v .
P
Dùkaz. Èásteèné souèty øady oznaèíme fn = nk=0 gk a pou¾ijeme pøedchozí vìtu.
Pøíklad. Dokázali jsme i mo¾nost derivování mocninné øady èlen po èlenu, a to bez pou¾ití vìt 4.1 (5), 8.5.
Vìta 8.13 (Morerova vìta, kriterium holomorfnosti bez u¾ití derivace). Nech» C je otevøená a f : ! C je spojitá funkce
taková, ¾e buïto
nebo
Z
@ 4abc
Z
f =0
Pak f je holomorfní na .
[A;B ;C ;D;A]
f =0
pro ka¾dý trojúhelník
4abc obsa¾ený v :
pro ka¾dý obdélník ABCD obsa¾ený v ; jeho¾ strany jsou rovnobì¾né s osami:
12
R
Dùkaz pro trojúhelníky. Zvolme libovolnì U (a; r) a denujme tam funkci F (z ) = [a;z] f . Stejnì jako v dùkazu
Cauchyovy vìty pro hvìzdovitou oblast doká¾eme, ¾e F 0 = f , tak¾e F je holomorfní. Nyní u¾ víme, ¾e F má derivace v¹ech
øádù a tedy f je holomorfní.
Dùkaz pro obdélníky. Postupujeme analogicky, jen integraèní cesty budou
slepeny z úseèek rovnobì¾ných s osami.
R
Podrobnì: zvolíme libovolnì U (a; r) a denujeme tam funkci F (z ) = [a;A;z] f , kde A = Re z + i Im a. Pro dostateènì
R
malá h 2 C je F (z + h) = [a;B;z+h] f , kde B = Re(z + h) + i Im a. Oznaème je¹tì C = Re(z + h) + i Im z . Pak ABCz je
obdélník (kreslete) a podle pøedpokladu
je integrál Rpøes cestu [A
R
R ; B ; C ] stejný jako pøes cestu [A; z ; C ].R To nám dává mo¾nost
upravit výraz F (z + h) F (z ) = [a;A;z;C ;z+h] f [a;A;z] f = [z;C ;z+h] f (w) dw. Máme f (z ) = h 1 [z;C ;z+h] f (z ) dw, tak¾e
R
pro h 6= 0 je jh 1 (F (z + h) F (z )) f (z )j = jh 1 [z;C ;z+h] (f (w) f (z )) dwj jhj 1 2jhj maxw2U (z;jhj) jf (w) f (z )j ! 0,
tedy F 0 = f a odtud F 00 = f 0 . ................ konec 7. pøedná¹ky 24.11.2011 ................
Pomocí Morerovy vìty lze dokázat tøeba následující vlastnost holomorfních funkcí.
Vìta 8.14 (spojité nalepování holomorfních funkcí). Nech» f je spojitá v oblasti , p je pøímka protínající a n p je
sjednocením dvou oblastí 1 a 2 . Je-li f holomorfní na 1 [ 2 , je holomorfní v .
Dùkaz. Staèí uva¾ovat p = R. Ka¾dý obdélník O jeho¾ strany jsou rovnobì¾né s osami je buïto disjunktní s R (a
pak podle Cauchyovy vìty integrál z f po jeho hranici @Oje nula) anebo namísto O uva¾ujeme jeden èi dva obdélníky Ok s
jednou stranou v R. Odsunutí této strany od R dá nulový integrál a limitní pøechod (s integrandem stejnomìrnì spojitým
na O) zpìt na R dá tedy nulu. Podle Morerovy vìty pro obdélníky je f holomorfní.
Vìta 8.15 (o otevøeném zobrazení). Nech» f je holomorfní a nekonstantní na oblasti C. Pak f (
) je otevøená.
Dùkaz. Podle vìty 8.9 pro ka¾dé a 2 existuje uzavøený kruh A = U (a; r) takový, ¾e na jeho hranici K je v¹ude
f (z ) 6= f (a). Pro ka¾dé w 2= f (A) je pomocná funkce g(z ) = 1=(f (z ) w) holomorfní na A, g(a) 6= 0. Podle principu
maxima modulu je jg(a)j maxK jgj a pro pøevrácené hodnoty 1=jg(a)j minK jgj, tj.
jf (a) wj minz2K jf (z) wj = dist(f (K ); w).
Nápad: pro w ! f (a) je vlevo 0 a vpravo dist(f (K ); f (a)) = 2v > 0, spor. Podrobnìji, pro ka¾dé w 2 B = U (f (a); v) je
vlevo jf (a) wj < v a vpravo dist(f (K ); w) > v, spor, tak¾e je w 2 f (A), B f (A) f (
). V R podobná vìta neplatí. V pøíkladech x2 : ( 1; 1) na [0; 1), sin(R) = [ 1; 1], cos(( =2; =2)) = (0; 1] zøejmì vadí
globální extrémy v koøenech derivace. U holomorfních funkcí tedy ani koøeny derivace nebrání otevøenosti zobrazení.
Pøíklad. Funkce z 2 zobrazuje kruh U (0; 1) na sebe.
9. Riemannova sféra
S = C [ f1g
K prostoru C je vhodné denovat nekoneèný prvek 1, ale jen jediný (nemáme lineární uspoøádání), ten bude jiný(!!) ne¾
jsou 1 2 R (i kdy¾ v matematice nemá jiné oznaèení). Oznaème S = C [ f1g, název Riemannova sféra, sféra komplexních
èísel. Proè sféra? V R3 uva¾ujme sféru S3 = f(a; b; c) 2 R3 : a2 + b2 + (c 1=2)2 = (1=2)2 g a její bod N = (0; 0; 1). (Jindy se
uva¾uje jednotková sféra a tentý¾ bod N ). Støedovým promítáním z bodu N pøiøadíme body mno¾iny S3 n fN g vzájemnì
jednoznaènì bodùm komplexní rovniny C (stereogracká projekce) a navíc bodu N pøiøadíme 1 2 S. Na S3 pou¾ijeme
eukleidovskou metriku dist3 a metriku dist v prostoru S pak denujeme tak, aby oba prostory byly pøi stereogracké
projekci izometrické.
Kromì dosavadních tøí metrických prostorù
(R; dist1 ) s eukleidovskou metrikou dist1 ;
(R ; dist1 ) izometrický s ([ =2; =2]; dist1 ) pøi zobrazení x 7! arctg x 2 ( =2; =2) pro x 2 R a 1 7! =2 ve
zbývajících dvou pøípadech (jiná izometrie mu pøiøazuje uzavøenou dolní pùlkru¾nici se støedem i a polomìrem 1
pomocí støedového promítání, vzdálenost na pùlkru¾nici mìøíme jako délku oblouku);
(C; dist) s eukleidovskou metrikou dist
tak zaèneme pou¾ívat ètvrtý
(S; dist ) izometrický s (S3 ; dist3 ); v nìm je napø. zlim
lim f (z ), lim zk = 1 toté¾ co lim jzk j =
!1 f (z ) toté¾ co jzj!
k!+1
k!+1
+1
+1.
Prostor C má pøíjemné algebraické vlastnosti (na rozdíl od S), ale S je (na rozdíl od C) kompaktní.
V prostoru S denujeme j1j = +1, tak¾e j j je zobrazení prostoru S na [0; +1] R .
Zobrazení 1=z dodenujeme i v bodech 0 a 1 jeho limitou v S, tj. 1=0 := 1, 1=1 := 0 a získáme tak spojitou prostou
funkci f : S na S, pøitom inverzní funkcí k f je opìt f .
Podobnì dodenujeme limitou (v S) v¹echny funkce, které tuto limitu mají: ka¾dá racionální funkce (podíl dvou polynomù,
ve jmenovateli není konstantní nula) pak je spojitým zobrazením S do S, tg je spojitým zobrazením C do S, máme tg(=2) =
1, atd.
Slo¾ením dvou racionálních funkcí získáme buïto racionální funkci anebo konstantní 1 (napø. kdy¾ do 1=z dosadíme za
z konstantní funkci 0, obecnì: kdy¾ do f (z ) pøi f (a) = 1 dosadíme za z konstantní funkci rovnou a 2 C).
Okolí bodu 1 v prostoru S je obrazem nìjakého okolí nuly pøi zobrazení 1=z , U (1) = 1=U (0). Vy¹etøování vlastností
funkce f (z ) v P (1) lze pøevést na vy¹etøování vlastností funkce g(w) := f (1=w) v P (0).
Podobnì, pro ka¾dé a 2 S, vy¹etøování vlastností spojité funkce f (z ) v U (a) kdy¾ f (a) = 1 lze pøevést na vy¹etøování
vlastností funkce h(z ) := 1=f (z ) v U (a), je h(a) = 0.
Rovnice sféry S3 je a2 + b2 = c(1 c) a stereogracká projekce zobrazí bod (a; b; c) 2 S n fN g na bod x + iy :=
(a + ib)=(1 c) 2 C, t.j. pøi pohledu na sféru shora se bod (a; b) jen násobí kladným faktorem 1=(1 c). Obrácenì, bod
x + iy 2 C je vzorem bodu (a; b; c) := (x; y; x2 + y2 )=(1 + x2 + y2 ).
13
(obraz kru¾nice pøi stereogracké projekci) Je-li K3 S3 kru¾nice, pak jejím obrazem pøi stereogracké projekci
je zobecnìná kru¾nice v S, co¾ je buïto kru¾nice v C anebo pøímka v C doplnìná o bod 1 a tím uzavøená v S.
Vìta 9.1.
Dùkaz. K3 je prùnik sféry s jistou rovinou, její¾ vzdálenost od bodu (0; 0; 1=2) je men¹í ne¾ 1=2. Rovnice takové roviny
je a + b + (c 1=2) d = 0, kde 2 + 2 + 2 = 1, jdj < 1=2. Obraz bodù mno¾iny K n fN g najdeme tak, ¾e do rovnice
roviny dosadíme za a; b; c jejich vyjádøení pomocí x; y a po úpravì máme ( 2d)(x2 + y2 ) + 2x + 2 = + 2d. Pro 6= 2d
je to kru¾nice v C. Pro = 2d je N 2 K a obrazem je pøímka v C, ke které pøidáme 1 jako obraz bodu N . Denice. Øíkáme, ¾e funkce f (z ) je holomorfní v bodì 1, jestli¾e je funkce g(w) := f (1=w) holomorfní v bodì 0. Øíkáme,
¾e funkce f má p-násobný koøen v bodì 1, jestli¾e funkce g má p-násobný koøen v nule.
Pøíklad. f (z ) = 1=z 3 + 1=z 2 má 2-násobný koøen v 1, proto¾e g(w) = w3 + w2 = w2 (1 + w) má 2-násobný koøen v 0.
10. Izolované singularity holomorfních funkcí
Nech» a 2 S a funkce f je holomorfní na P (a). Pak nastává právì jedna z následujících
tøí mo¾ností:
(1) f je omezená na nìjakém P (a; r). Pak existuje zlim
!a f (z ) = b 2 C (koneèná limita). Dodenujeme-li f (a) = b, je f
holomorfní na U (a; r). Øíkáme, ¾e f má v bodì a odstranitelnou singularitu.
p
p
(2) zlim
!a f (z ) = 1. Pak pro a 6= 1 má f tvar f (z ) = (z a) g(z ) a pro a = 1 tvar f (z ) = z g(z ), kde p 2 N, g
holomorfní v U (a), g (a) 6= 0. (Jak p tak g jsou urèeny jednoznaènì). Dodenujeme-li f (a) = 1, øíkáme, ¾e f má v
bodì a p-násobný pól. (Dodenovaná funkce 1=f má v bodì a p-násobný koøen.)
(3) zlim
!a f (z ) v prostoru S neexistuje. Pak pro ka¾dé r > 0 je f (P (a; r)) hustá v S, tj. f (P (a; r)) = S. Jinými slovy,
ka¾dý bod w 2 S je hromadným bodem funkèních hodnot. Øíkáme, ¾e f má v bodì a podstatnou singularitu.
Vìta 10.1 (Casorati-Weierstrassova).
Dùkaz. (1) Pro a 2 C je pomocná funkce h(z ) = (z a)2 f (z ); h(a) = 0 holomorfní na P (a), spojitá v bodì a, z denice
derivace spoèteme h0 (a) = 0, tedy h je holomorfní na U (a) a její Taylorova øada se støedem a má první dva koecienty
nulové: h(z ) = (z a)2 (c2 + c3 (z a) + :::), tak¾e souèet øady v závorce je tou dodenovanou funkcí f (z ). Pro a = 1
~ a~ pou¾ijeme (1).
polo¾íme f~(w) = f (1=w), a~ = 0 a pro f;
(2) Existuje P (a; r), kde je v¹ude f 6= 0, tam je h = 1=f holomorfní a zlim
!a h(z ) = 0. Pro h pou¾ijeme (1), po dodenování
je h holomorfní v U (a; r), h(a) = 0 a pøitom h není konstantní nula. h má tedy v bodì a pro právì jedno p 2 N p-násobný
koøen. Pro a 2 C tedy h(z ) = (z a)p H (z ), H (a) 6= 0; 1, proto f (z ) = (z a) p =H (z ) a g = 1=H . Pro pro a = 1 je
h(z ) = z p H (z ), H (a) 6= 0; 1, proto f (z ) = z p =H (z ) a g = 1=H .
(3) Mno¾ina B = f (P (a; r)) je uzavøená, její doplnìk do S je otevøená. Dál sporem: je-li tento doplnìk neprázdný,
existuje bod w 2 C n B a také nìjaký kruh U (w; ) C n B . Pomocná funkce h(z ) = 1=(f (z ) w) je v P (a) holomorfní a
omezená èíslem 1=, tedy podle (1) má h koneènou limitu a f má v S limitu (pro h(a) = 0 je to 1), spor. Dùsledek.
Celá funkce je buïto polynom anebo má v
1 podstatnou singularitu.
Poznámka. Platí dokonce Velká Picardova vìta: Má-li f v bodì a 2 S podstatnou singularitu, pak mno¾ina
je buïto prázdná anebo jednoprvková.
C n f (P (a))
Pøíklady. exp(P (1)) = C n f0g, sin(P (1)) = C.
R
R
Pøíklad (na cvièení). Fresnelovy integrály C := (N ) 0+1 cos x2 dx a S := (N ) 0+1 sin x2 dx (jde o Newtonovy integrály).
2
K jejich výpoètu budeme integrovat funkci eiz po obvodu kruhové výseèe o úhlu =4. Oznaèíme b := ei=4 (odtud
2
b = i) a pro libovolné r > 0 denujeme cesty '1 (t) := t; t 2 [0; r], '2 (t) := reit ; t 2 [0; =4], '3 (t) := bt; t 2 [0; r]. Podle
Cauchyovy vìty pro uzavøenou cestu '1 u '2 '3 je
(*)
Z
eiz dz +
2
'1
Z
'2
eiz dz
2
Z
eiz dz = 0
2
'3
a v této rovnosti
chceme pøejít
k limitì pro
r ! +1. p
R
R
R
2
2
2
Máme '3 eiz dz = b 0r e t dt ! b 0+1 e t dt = b =4 (pou¾ili jsme Laplaceùv integrál, viz ní¾e). Odhadneme
R
R
R
R
R
2
j '2 eiz dzj = j 0=4 exp(ir2 e2it )rieit dtj 0=4 e r2 sin 2t r dt r 0=4 e r2 (4t=) dt r 0+1 e 4r2 t dt =r=(4r2 ) ! 0 .
Existuje tedy také koneèná limitapintegrálu pøes '1 , tou jsou Fresnelovy
integrály Cp+ iS (jejich existenci jsme právì
p
dokázali). Platí pro nì (C + iS ) b =4 = 0, pøitom je b = (1 + i)= 2 tak¾e Cp
= S = =8.
R
2
Zopakujme si je¹tì jak lze spoèítat Laplaceùv integrál I := 0+1 e x dx = =4 pou¾itím Fubiniho vìty, substitucí
x = rRcos ; y =
r sin
do polárních
souøadnic a druhým
pou¾itím Fubiniho
vìty:
R
R
R
R
2
2
2
2
2
2
I 2 = 0+1 e x dx 0+1 e y dy = (0;+1)(0;+1) e (x +y ) dx dy = (0;+1)(0;=2) e r r dr d = 2 (0;+1) e r r dr = =4.
11. Laurentovy øady a funkce holomorfní na mezikru¾í
V mocninných øadách uva¾ujeme jen nezáporné mocniny výrazu (z a), pøitom substituce z a = 1=w vede k øadám,
kde jsou i záporné mocniny promìnné w. Prostudujme tedy øady, kde jsou celoèíselné mocniny výrazu z a.
P 1 n
P 1
Pøíklad. a = 0, ez + e1=z = +n=0
z =n! + +n=0
z n =n! , 0 < jz j < +1.
14
Denice.
a 2 C rozumíme symbol
+1
X
cn (z a)n ;
n= 1
Laurentovou øadou (v promìnné z ) o støedu
(*)
kde cn 2 C pro ka¾dé n 2 Z. Regulární èástí øady (*) rozumíme mocninnou øadu
+1
X
cn (z a)n ;
n=0
hlavní èástí
øady (*) rozumíme symbol
X
(**)
n=
1 1 cn (z a)n :
Øíkáme, ¾e hlavní èást øady (*) konverguje (v bodì z , absolutnì, stejnomìrnì na mno¾inì M , lokálnì stejnomìrnì na mno¾inì M ,
atp.), pokud pøíslu¹nou vlastnost má øada
+1
X
c m wm ; kde w := 1=(z a):
m=1
Souèet této øady nazveme souètem hlavní èásti øady (*) a znaèíme jej rovnì¾ (**).
Øíkáme, ¾e øada (*) konverguje (v bodì z , absolutnì, stejnomìrnì na mno¾inì M , lokálnì stejnomìrnì na mno¾inì M , atp.),
pokud pøíslu¹nou vlastnost má regulární i hlavní èást. Souètem øady (*) rozumíme souèet souètù obou jejích èástí, tj.
+1
+1
1
X
X
X
cn (z a)n =
cn (z a)n +
cn (z a)n :
n= 1
n= 1
n=0
Denice. Nech» a 2 C a 0 r < R +1. Pak oznaème
P (a; r; R) := fz 2 C : r < jz aj < Rg:
Tuto mno¾inu nazveme mezikru¾í o støedu a, vnitøním polomìru r a vnìj¹ím polomìru R.
Mìjme Laurentovu øadu (*). Pak existují r; R 2 [0; +1], pro která platí:
Regulární èást øady (*) konverguje absolutnì a lokálnì stejnomìrnì pro jz aj < R a diverguje pro jz aj > R.
Hlavní èást øady (*) konverguje absolutnì a lokálnì stejnomìrnì pro jz aj > r a diverguje pro jz aj < r.
Je-li r < R, pak øada (*) konverguje absolutnì a lokálnì stejnomìrnì na mezikru¾í P (a; r; R) a její souèet je na tomto
mezikru¾í holomorfní. Toto mezikru¾í pak nazýváme mezikru¾í konvergence øady (*).
Vìta 11.1.
Dùkaz. Regulární èást je mocninná øada, o ní toho ji¾ víme dost. Hlavní èást nejprve substitucí z = a + 1=w pro w 2 P,
tj. z 2 P (a; +1) pøevedeme na mocninnou øadu v promìnné w, pøíslu¹ná tvrzení o ní transformujeme zpìt pomocí inverzní
substituce, w = 1=(z a), která je v daném mezikru¾í jak holomorfní tak lokálnì omezená, tak¾e nepokazí holomorfnost
sumy, absolutní konvergenci ani lokálnì stejnomìrnou konvergenci.
................ konec 8. pøedná¹ky 1.12.2011 ................
Vìta 11.2. Nech» f je holomorfní na mezikru¾í P (a; r; R). Pro p 2 (r; R) oznaème 'p kladnì orientovanou kru¾nici o
støedu a a polomìru p. Pak platí:
R
(a) 'p f nezávisí na p, tj. nabývá stejné hodnoty pro ka¾dé p 2 (r; R).
(b) (Cauchyùv vzorec pro mezikru¾í) Nech» r < 1 < 2 < R. Pak
f (z ) =
1
2i
Z
f (w)
dw
'2 w z
R
!
Z
f (w)
dw ; z 2 P (a; 1 ; 2 ) :
'1 w z
R
Dùkaz (a). Oznaème g(p) = 'p f , p 2 (r; R), tedy g(p) = 02 f (a + p eit ) p i eit dt a derivujme zde podle parametru p,
R
@ f (a + p eit ) p i eit dt = R @ f (a +
podle vìty 7.4 (3). (Postupujeme stejnì jako v dùkazu Poznámky 8.1.) g 0 (p) = 02 @p
@t
p eit )eit dt = 0. Funkce g je tedy konstantní.
(b) Pro pevné z 2 P (a; 1 ; 2 ) denujeme pomocnou funkci h(w) = f (ww) fz (z) , w 2 P (a; r; R), která má v bodì w = z
R
R
odstranitelnou singularitu. Pro ni pou¾ijeme (a), tedy '1 f (ww) fz (z) dw = '2 f (ww) fz (z) dw. Ka¾dý z obou integrál
R
R
rozepí¹eme jako rozdíl dvou integrálù a vyu¾ijeme toho, ¾e '1 w 1 z dw = 0 (Cauch. vìta) zatímco '2 w 1 z dw = 2i. Vìta 11.3 (existence a jednoznaènost L. øady). Nech»
pro a 2 C, 0 r < R +1 je funkce f holomorfní na mezikru¾í
P
P (a; r; R). Pak f je tam souètem Laurentovy øady +n=1 1 cn (z a)n : Její koecienty jsou urèeny jednoznaènì a platí pro
nì
cn =
Z
1
f (z )
dz;
2i ' (z a)n+1
n 2 Z;
15
kde 2 (r; R) je libovolné a ' je jako ve Vìtì 11.2.
Ve speciálním pøípadì, kdy funkce f je sudá resp. lichá vzhledem k bodu a, tj. f (a + h) = f (a h) resp. f (a + h) =
f (a h) pro v¹echna jhj 2 (r; R), jsou v¹echny koecienty s lichým resp. se sudým indexem rovny nule.
Dùkaz. Postupujeme podobnì jako v dùkazu Cauchyova vzorce. V Cauchyovì vzorci pro mezikru¾í výraz 1=(w z )
nahradíme geometrickou øadou, na h'2 i v nezáporných mocninách výrazu (z a)=(w a), na h'1 i v nezáporných mocninách
výrazu (w a)=(z a), oba tyto výrazy jsou (tam kde je pou¾íváme) v absolutní hodnotì men¹í ne¾ 1. Tyto øady v
promìnné w konvergují na h'2 i resp. na h'1 i stejnomìrnì, po vynásobení omezenou (tamté¾) funkcí f (w) stále konvergují
stejnomìrnì, lze je tedy integrovat èlen po èlenu. Nakonec je¹tì podle (a) pøesuneme integraèní cestu na ' , integrand je
toti¾ v mezikru¾í P (a; r; R) holomorfní, a tím odvodíme formuli pro cn . K dùkazu jednoznaènosti koecientù cn (pro danou
funkci f ) dosadíme do pravé strany formule za f Laurentovu øadu se støedem a ale s jinými koecienty bn , pak integrujeme
èlen po èlenu a vyjde cn = bn , n 2 Z.
Ve speciálním pøípadì sudé (vzhledem
f : køivku 'Rslepíme ze dvou pùlkru¾nic,
R
Rk a) funkce
R pro t 2 [0; ] oznaème
it
it
it
it
it
1;2 = a e , je ' = 1 u 2 a 2 f = o f (a e )( i)e dt = o f (a + e )( i)e dt = - 1 f . Pro druhý speciální
pøípad pou¾ijeme ten první na pomocnou funkci g(z ) = (z a)f (z ), která je vzhledem k bodu a sudá. Ke klasikaci izolovaných singularit pomocí limit (Casorati-Weierstrassova vìta) mù¾eme nyní sestavit soubì¾nou klasikaci pomocí Laurentových øad.
Vìta 11.4 (P
klasikace izolovaných singularit, pomocí L. øady). Nech» pro a 2 C, R > 0 je funkce f holomorfní na P (a; R) =
P (a; 0; R) a +n=1 1 cn (z a)n je její Laurentova øada v P (a; R). Oznaème B = fn < 0; cn 6= 0g. Pak
(1) f má v bodì a odstranitelnou singularitu , B = ;,
(2) f má v bodì a pól , mno¾ina B je neprázdná koneèná. Násobnost pólu je pak p = min M ,
(3) f má v bodì a podstatnou singularitu , mno¾ina B je nekoneèná.
Dùkaz. Z Cassorati-Weierstrassovy vìty doká¾eme ekvivalenci v (1) a ve (2). Na zbývající pøípady zbývá v C-W vìtì u¾
jen podstatná singulatita a v dokazované vìtì u¾ jen B nekoneèná, tak¾e platí i (3). Ke v¹em èlenùm Laurentovy øady kromì c 1 =(z a) známe primitivní funkce v P, jsou pou¾itelné i pro neuzavøené
cesty. Potøebujeme zvládnout i tu jedinou výjimku. Uvidíme, ¾e právì ta je cestou k dal¹ím u¾iteèným vìtám.
Pøíklad 11.1. Pro libovolnou uzavøenou cestu ' v P (a; r; R) je
R
R P+1
R
P+1 R
n
n
1
' f = ' n= 1 cn (z a) dz = n= 1 ' cn (z a) dz = c 1 ' (z a) dz:
12. Reziduum funkce v bodì, metody jeho výpoètu
(Tato kapitola by mohla je¹tì poèkat, ale umo¾òuje zaèít procvièovat hledání reziduí.)
P
Denice. Nech» pro a 2 C je funkce f holomorfní na P (a) a +n=1 1 cn (z a)n je tam její Laurentova øada. Pak reziduum
funkce f v bodì a 2 C je èíslo c 1 , tedy koecient u 1=(z a).
Název reziduum (=zbytek) si spojíme s pøíkladem 11.1. Je to jediný koecient, který tam po vyu¾ití primitivních funkcí
zbyl.
Vìta 12.1 (metody výpoètu reziduí). Nech» pro a 2 C jsou funkce f; g holomorfní na P (a) a v bodì a nemají podstatnou
singularitu.
(1) Je-li f holomorfní v bodì a a g tam má 1-násobný pól, pak
resa (fg) = f (a) resa g.
(2) Je-li f holomorfní v bodì a a g tam má 1-násobný koøen, pak
resa (f=g) = f (a)=g 0 (a).
(3) Má-li funkce f v bodì a p-násobný pól, pak pomocná funkce h(z ) := (z
odstranitelnou singularitu a je
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
a)p f (z ) =
P+1
n=0 bn (z
a)n tam má
= (p 11)! h(p 1) (a).
V pøípadì, ¾e k urèení bp 1 nelze pøímo derivovat funkci h v bodì a, vyu¾ijeme spojitost jejích derivací,
(p 1) (z ):
resa f = bp 1 = (p 11)! zlim
!a h
Je-li funkce f sudá vzhledem k bodu a, tj. f (a + h) = f (a h) pro v¹echna h 2 P (0), pak
resa f = 0.
Substitucí z = a + w pøevedeme výpoèet rezidua funkce f v bodì a 2 P na výpoèet rezidua jiné funkce v bodì 0 (o
L. øadách funkcí v P (0) toho víme víc):
resz=a f (z ) = c resw=0 f (a + w).
Substitucí z = c w s konstantou c 2 P pøevedeme výpoèet rezidua funkce f v bodì a na výpoèet rezidua jiné funkce
v bodì a=c:
resz=a f (z ) = c resw=a=c f (c w) .
Je-li f holomorfní v bodì a, pak resa f = 0 .
(... mimo pøedná¹ku ...) Libovolná holomorfní substituce. Nech» a 2 C a funkce f je holomofní v P (a). Nech»
(substituèní) funkce g je holomofní a nekonstantní v U (b), kde b 2 C a g (b) = a. Oznaème p 2 N násobnost koøene
funkce g (w) g (b) v bodì b. Potom
p resa f = resb (f g : g0 ) .
resa f = bp
1
Dùkaz. V pøípadech (1) a¾ (3) vyjádøíme funkci f pøípadnì g Laurentovou øadou v P (a), provedeme uvedenou operaci
a u výsledku hledáme pouze koecient u 1=(z a). V pøípadì (4) jsou v¹echny koecienty u lichých mocnin nulové, podle
vìty 11.3. V (5) resp. v (6) do vyjádøení funkce f (z ) L. øadou v P (a) dosadíme z = a + w resp. z = c w.
16
V dùkazu (8) pøedbíháme dùkaz principu argumentu. V U (b) je g(w) = a + cp (w b)p + : : : , cp 6= 0 . Pro dostateènì
malé r > 0 a cestu '(t) = b + reit , t 2 [0; 2] je g ' uzavøená cesta v P (a). Pro ni je (podle reziduové vìty, viz ní¾e)
p 1
R
R
R
R
R
0
I := g' f = 2i indg' a resa f , kde 2i indg' a = g' z 1 a dz = ' gg(w()w)a dw = ' pcpcwp wp +::: dw = ' (p=w + : : : ) dw
= 2ip , tak¾e I je 2i-krát levá strana dokazované rovnosti.
R
Pou¾ijeme-li reziduovou vìtu a¾ po substituci do integrálu I , bude I = ' f (g(w))g0 (w) dw = 2i resb (f g : g0 ) a to je
2i-krát pravá strana dokazované rovnosti. Pøíklady na cvièení k jednotlivým metodám (èíslo pøíkladu je stejné jako èíslo metody):
exp(1)
exp(z)
1
(1) res1 (z2 +1)(
z 1) = 12 +1 res1 z 1 = e=2 .
z)
1+exp(0)
(2a) res0 11+exp(
exp(z) = exp(0) = 2 .
(2b) k 2 Z, resk z= sin z = k= cos(k) = ( 1)k k .
(2c) k 2 Z, resk = sin z = =( cos k) = ( 1)k .
(2d) k 2 Z, resk cotg z = cos(k)=( cos k) = 1 .
(3a) res1 1=(z 2 1)2 = res1 (z 1) 2 (z + 1) 2 = ((z + 1) 2 )0 jz=1 = 1=4 .
(3b) res1 1=(z 2 1)3 = res1 (z 1) 3 (z + 1) 3 = 2!1 ((z + 1) 3 )00 jz=1 = 12 12 2 5 = 3=16 .
(6) Substitucí z = i w odtud máme resz=1 1=(z 2 1)3 = i resw=i 1=( w2 1)3 , tak¾e resw=i 1=(w2 + 1)3 = 3i=16 .
Dal¹í substituce w = u dává resu= i 1=(u2 + 1)3 = 3i=16 .
(4) res0 cotg2 = 0 .
(5) k 2 Z, resz=k z 2 = sin2 z = resw=0 (k + w)2 = sin2 (k + w) = resw=0 (k + w)2 = sin2 w = resw=0 ((k)2 + 2kw +
: : : )=(w2 + 0 w3 + : : : )
= resw=0 ((k)2 =w2 + 2k=w + : : : ) = 2k.
z)+5
(7) res1 exp(2
cotg z = 0 .
(8a) Substituce z = arctg w pro w 2 U (0): resz=0 tg 3 z = resw=0 w 3 (1 + w2 ) 1 = resw=0 w 3 (1 w2 + : : : ) = 1.
(8b) Substituce z = arctg w2 pro w 2 U (0), tak¾e p = 2:
resz=0 tg 3 z = p 1 resw=0 w 6 (1 + w4 ) 1 2 w = resw=0 w 5 (1 w4 + : : : ) = 1.
13. Spo jité vìtve logaritmu a argumentu, index bodu ke køivce
Pro a; b > 0 je
Rb 1
a x dx = ln(b) ln(a) : : : pøírùstek logaritmu podél cesty z a do b.
Pro a; b 2 R a spojitì
diferencovatelnou
funkci f : [a; b] ! (0; +1) je
R b f 0 (x)
dx
=
(ln
f
)(
b
)
(ln f )(a) : : : pøírùstek funkce ln f podél cesty z a do b.
a f (x)
Tyto jednoduché výsledky zobecníme na pøípad, ¾e integrujeme po nìjaké cestì v C, pøitom ale musíme opatrnì zacházet
s komplexními logaritmy.
Je-li M S nìjaká souvislá mno¾ina a funkce f : M ! P je spojitá, pak funkci f lze vyjádøit v exponenciálním tvaru
f (z ) = eL(z) , tøeba f (z ) = e log f (z) , nebo pro A = Im L v goniometrickém tvaru f (z ) = jf (z )jeA(z) . Takováto funkce
L(z ) = ln jz j + iA(z ) ale nemusí mít svou imaginární èást spojitou na M .
Po¾adujeme-li je¹tì spojitost (název: L je spojitý logaritmus funkce f na M resp. A je spojitý argument funkce f na M ), pak
taková funkce nemusí existovat, viz tøeba M = K (0; 1), f (z ) = z .
Pokud má funkce f spojitou derivaci (podle reálné èi komplexní promìnné z ), pak asi bude f 0 = fL0 , tj. L0 = f 0 =f ,
tak¾e funkci L budeme hledat mezi primitivními funkcemi k f 0 =f .
Denice. (spojitý logaritmus, pro cestu) Je-li ' : [a; b] ! P cesta (neprochází nulou), pak symbolem L' oznaème cestu v C,
která je takovou primitivní funkcí na [a; b] k funkci '0 =' (ta je po èástech spojitá), pro ni¾ je L' (a) = log('(a)), tj. oznaème
R
L' (t) = log('(a)) + at '0 ( )='( ) d , t 2 [a; b]:
Vìta 13.1. (L' je jako v pøedchozí denici.)
(a) Nech» ' : [a; b] ! P je cesta, pak je ' = exp L' , ' = j'j exp(i Im L' ) a platí
Z
Z b 0
1
' (t)
dz =
dt = L' (b) L' (a) =: ' log : : : pøírùstek logaritmu podél køivky ':
a '(t)
'z
(b) Nech» ' : [a; b] ! C je cesta a funkce f je na h'i holomorfní a v¹ude rùzná od nuly, tak¾e
Pak f ' = exp Lf ' = exp L a
Z
f 0 (z )
dz =
' f (z )
Z
1
dw = L (b) L (a) =: ' log f : : :
w
pøírùstek logaritmu funkce
f
= f ' je cesta v P.
podél køivky
':
(c) Je-li navíc køivka ' uzavøená, pak následující èísla jsou celá:
f
1
1
1
1
1
2i ' log = 2 ' arg; 2i ' log f = 2 ' arg f = 2 ' arg jf j .
Poznámka. Funkci L' (a tím i pøírùstek logaritmu) lze denovat nejen pro cesty ale i pro køivky. Pak namísto primitivní
funkce k ' 0 =' je tøeba spojitì nalepovat lokální spojité logaritmy funkce '.
17
Denice. Nech» ' je uzavøená cesta v C a a 2 S n h'i. Pak index bodu a vzhledem ke køivce ' (neboli poèet obìhù køivky '
kolem bodu a, anglicky winding number) je denován formulí
ind' a =
Z
1
1
1
dz =
log(z
2i ' z a
2i '
a) =
1
arg(z
2 '
a) kdy¾ a 2 C n h'i ; ind' 1 = 0 :
................ konec 9. pøedná¹ky 8.12.2011 ................
Vìta 13.2 (vlastnosti indexu). Pro uzavøenou cestu ' v C je ind' a funkcí promìnné a 2 S n h'i. Pøitom
(1) funkce ind' nabývá jen celoèíselných hodnot,
(2) funkce ind' je konstantní na ka¾dé komponentì mno¾iny S n h'i,
(3) funkce ind' je rovna nule na neomezené komponentì mno¾iny S n h'i.
(... zbytek vìty nebyl zaøazen do pøedná¹ky ...) Nech» '; : [; ] ! P jsou uzavøené cesty takové, ¾e pro ka¾dé t 2 [; ]
je '(t)= (t) 2
= ( 1; 0) (tj. bod 0 nele¾í mezi body '(t), (t), tj. body '(t), (t) nejsou v opozici). Pak
(4) ind' 0 = ind 0.
R
Dùkaz (1). Na mno¾inì := C n h'i je ind' (a) = 21i ' z 1 a dz = 21i ' log a to je podle vìty 13.1 (c) celé èíslo.
R
Dùkaz (2). Na té¾e mno¾inì je ind' (a) = 21i ' z 1 a dz spojitou funkcí (integrál s parametrem a) a proto¾e podle (1)
je ind' : 7! Z, je to konstantní funkce v ka¾dé
souvislé èásti mno¾iny . V neomezené komponentì mno¾iny je tato
1 lim R 1 dz = 0. Odtud máme také (3).
konstanta rovna nule, proto¾e alim
!1 2i a!1 ' z a
Dùkaz (4). Interpolujeme od ' k . K tomu denujeme tyto cesty v P: !p (t) := (1 p) '(t)+ p (t), p 2 [0; 1], t 2 [; ].
(Kdyby pro nìjaké p 2 (0; 1) a nìjaké t 2 [0; 1] bylo !p (t) = 0, pak (t)='(t) = (p 1)=p < 0 ve sporu s pøedpokladem.)
R
R
Pro p 2 [0; 1] denujeme funkci I (p) := ind!p 0 = (2i) 1 !p z 1 dz = (2i) 1 !p 0 (t)=!p (t) dt. Poslední integrand,
oznaème ho f (p; t), je po èástech spojitý na [0; 1] [; ], podle vìty 7.1.(5) ho mù¾eme substitucí (za t) upravit tak, ¾e
bude spojitý. Funkce I (p) je pak na [0; 1] spojitá, pøitom podle (1) nabývá jen celoèíselných hodnot, tak¾e je konstantní.
Odtud I (0) = I (1). Poznámky. (1) Je-li ' kladnì orientovaná kru¾nice o støedu c a polomìru r, pak
ind' z =
1 pro z 2 U (c; r);
0; je-li jz cj > r:
(2) Platí Jordanova vìta: Je-li ' : [a; b] ! C uzavøená cesta taková, ¾e ' je prostá na [a; b), pak mno¾ina S n h'i má právì
dvì komponenty { jednu neomezenou (na ní je index roven nule) a jednu omezenou, na ní je index roven buïto +1 (kladnì
orientovaná Jordanova køivka ') anebo 1 (zápornì orientovaná Jordanova køivka ').
(3) Platí následující propichovací vìta (Maøík). Nech» ' je uzavøená cesta v C, a; b 2 C taková, ¾e b a > 0 a úseèka
spojující body a; b protíná h'i v jediném bodì z0 rùzném od a; b a nech» existuje jediné t0 , pro které je '(t0 ) = z0 . Jestli¾e
Im ' 0 (t0 ) 6= 0 (volnì: køivka jde skrz úseèku zdola nahoru), pak
ind' a = ind' b + sgn Im ' 0 (t0 ):
Pøedchozí oznaèení a vìty nám pro uzavøenou cestu ' umo¾òují jednodu¹e vyjádøit integrály z vìty 13.1:
R
R 1
0
' z dz = 2i ind' 0, ' f =f = 2i indf ' 0.
14. Øetìzce a cykly
V Cauchyovì vzorci pro mezikru¾í jsme integrovali po dvou uzavøených cestách. V obecnìj¹ích pøípadech budeme integrovat po jedné èi více libovolných cestách. K tomu zavedeme následující jednoduché pojmy.
Denice. Øetìzec je n-tice cest (na poøadí cest nezále¾í, cesty se mohou i opakovat), kde n 2 N:
'1 ; '2 ; ; 'n :
(*)
Øetìzec (*) se nazývá cykl, pokud jsou cesty '1 ; : : : ; 'n uzavøené.
Nech» je øetìzec tvaru (*). Pak denujeme
obraz øetìzce ,
h i := h'1 i [ h'2 i [ [ h'n i;
délka øetìzce ,
V ( ) := V ('1 ) + V ('2 ) + + V ('n );
je-li f : h i ! C spojitá, pak integrál z funkce f podél ,
Z
f :=
Z
'1
f+
Z
'2
f + +
Z
'n
f;
je-li f : h i ! P spojitá, pak pøírùstek logaritmu funkce f podél ,
log f := '1 log f + '2 log f + + 'n log f:
18
Je-li
cykl, pak je¹tì
index bodu a 2 S n h
i vzhledem k cyklu ,
ind a :=
vnitøek cyklu
,
vnìj¹ek cyklu
,
1
2i
Z
1
dz = ind'1 a + ind'2 a + + ind'n a ;
z a
Int := fa 2 S n h i; ind a 6= 0g ;
Ext := fa 2 S n h i; ind a = 0g :
Jsou-li 1 a 2 dva øetìzce,
øekneme,
¾e jsou ekvivalentní (pøi integrování po nich), jestli¾e
R
R
spojitou f : h 1 i ! C platí 1 f = 2 f .
h 1 i = h 2 i a pro ka¾dou
15. Cauchyova vìta, Cauchyùv vzorec, reziduová vìta
Lemma 15.1.
Nech» C je otevøená mno¾ina a f je funkce holomorfní na . Pak funkce g : ! C,
(
g(z; w) :=
f (z) f (w) ;
z w
f 0 (z );
z 6= w;
z = w;
je spojitá na .
Dùkaz. Spojitost v bodech tvaru [a; b] 2 pro a 6= b je zøejmá (spojitost podílu kdy¾ nedìlíme nulou). Pro a = b,
0
díky spojitosti funkce f 0 máme zlim
g(z; w) = f 0 (a). K tomu
!a g(z; z ) = zlim
!a f (z ) = f (a). Zbývá je¹tì dokázat z!a; wlim
!a; z6=w
upravíme
f (z) f (w) f 0 (a) = (z w) 1 R
0
1R
0
1R
0
0
z w
[w;z] f (u) du (z w)
[w;z] f (a) du = (z w)
[w;z] (f (u) f (a)) du ! 0, proto¾e
0
1
odhad absolutní hodnoty poslední pravé strany pro z; w 2 U (a; ") je jz wj jz wj maxu2U (a;") jf (u) f 0 (a)j ! 0 :
Vìta 15.2 (Cauchyova vìta pro cykl, Cauchyùv vzorec pro cykl). Nech» je cykl v otevøené mno¾inì C takový, ¾e
(1)
Int
S n Ext :
neboli
Je-li funkce f holomorfní na , pak
Z
(2)
f =0
a
f (z ) ind z =
(3)
1
2i
Je-li navíc mno¾ina S n souvislá, pak ka¾dý cykl
(a f má tedy v primitivní funkci).
Z
f (w)
dw;
w z
z 2 n h i:
v splòuje pøedpoklad (1), tak¾e (2) platí pro v¹echny cykly
v
Dùkaz. Nejprve (kupodivu) doká¾eme Cauchyùv vzorec (3). Uvá¾íme-li denici ind z máme dokázat
(3')
Z
f (z )
dw =
w z
Z
f (w)
dw neboli
w z
Z
f (w) f (z )
dw = 0;
w z
z 2 n h i:
Integrand g(w; z ) := f (wwR) fz (z) je po dodenování g(w; w) := f 0 (w) podle pøedchozího lemmatu spojitý na , tak¾e
pomocná funkce h(z ) := g(w; z ) dw, z 2 , je spojitá (Vìta 7.4(2)) a staèí dokázat, ¾e je to nula.
1.krok. Pomocí Morerovy vìty doká¾eme,
¾e h je holomorfní
na
. Funkci h proto
integrujeme po obvodu T libovolného
R
R
R
R
R
R
trojúhelníka T : T h(z ) = T
g(w; z ) dw dz =
0 dw = 0. Ve druhé rovnosti
T g (w; z ) dz dw =
(pøejdeme k integraci pøes reálné parametry) jsme pro zámìnu poøadí integrace pou¾ili Fubiniho vìtu pro spojitou funkci
na jednom èi nìkolika uzavøených obdélnících. Ve tøetí rovnosti jsme pro ka¾dé pevné w 2 pou¾ili Cauchyovu vìtu pro
trojúhelník T .
2.krok. Funkci h roz¹íøíme holomorfnì i mimo . Polo¾me
(
H (z ) :=
pro z 2 ;
w z dw pro z 2 C \ Ext :
h( z )
R f (w )
Integrál na druhém øádku je také holomorfní funkcí (Vìta
7.4(3)), oba øádky v denici funkce H se ale pøekrývají na mno¾inì
R
\ Ext , mohly by být rozporné. Li¹í se tam o èlen wf (zz) dw = f (z ) 2i ind z = 0, tak¾e denice funkce H je korektní,
H je holomorfní na C, tj. celá funkce.
3.krok. Ze druhého øádku je zlim
!1 H (z ) = 0. Podle Liouvillovy vìty je H konstantní a tedy nula, proto také h = 0. Dùkaz
Cauchyova vzorce (2) je dokonèen.
19
K dùkazu R(2) zvolíme pevnì
a 2 \ Ext = n (h i[ Int ) 6= ; a pou¾ijeme (3) na pomocnou funkci F (w) := (w a)f (w),
R
w 2 : 0 = Fw(wa) dw = f (w) dw.
Dùkaz poslední èásti vìty: zvolme libovolný cykl v . Je-li S n souvislá, je v ní v¹ude ind = ind 1 = 0, tak¾e
S n Ext , co¾ je (1).
Vìta 15.3 (reziduová vìta). Nech» , splòují pøedpoklady Cauchyovy vìty 15.2. Je-li funkce f holomorfní na n M ,
kde mno¾ina vyjímek M je disjunktní s h i a izolovaná v , pak
Z
(4)
f = 2i
X
resa f ind a :
a2M \Int
Dùkaz. Je-li M prázdná, je to Cauchyova vìta (2). Pro neprázdnou M se nejprve zbavíme v¹ech vyjímek v Ext , a to
tak, ¾e zmen¹íme mno¾inu na 1 := U ( [ Int ; ") pro vhodné " > 0 . Mno¾inu vyjímek tím zredukujeme na koneènou
M1 := M \ Int .
Zvolme nyní a 2 M1 (je to izolovaná singularita funkce f ) a v P (a) uva¾ujme pøíslu¹nou Laurentovu øadu. Hlavní nápad
dùkazu: hlavní èást Ha této Laurentovy øady konverguje nejen v P (a) ale dokonce v P (a; 0; +1), tak¾e Ha mù¾eme vyu¾ít
k opravì funkce f v¹ude v 1 n fag . Nová funkce f Ha má v bodì a odstranitelnou singularitu, tak¾e oproti f má (po
dodenování)
P o jednu vyjímku ménì. Popsanou opravu nyní provedeme pro v¹echny body mno¾iny M1 . Pomocná funkce
g := f
a2M1 Ha je holomorfní na 1 a podle Cauchyovy vìty
Z
f=
Z
(g +
X
a2M1
Ha ) = 0 +
X Z
a2M1
Ha =
X
a2M1
2i resa f ind a :
P
Poznámka. Pou¾itý rozklad f = g + a2M1 Ha je u¾iteèný i mimo tento dùkaz. Je zobecnìním známého rozkladu racionální
funkce na polynom a parciální zlomky: Pro = C a f racionální, je M mno¾ina v¹ech jejích pólù v C .
.......... zbytek kap. 15 nebyl zaøazen do pøedná¹ky .............
P
Nìkdy je snaz¹í sèítat rezidua funkce f vnì cyklu . K tomu pro funkci f holomorfní v P (1), f (z ) = +k=1 1 ck z k
denujeme reziduum v nekoneènu, res1 f := c 1 . Neèekané záporné znaménko zjednodu¹í formuli (6) (a dal¹í), je v
matematice obvyklé.
Vìta 15.3.b
(5)
Nech»
(reziduová vìta pro vnìj¹ek cyklu).
Ext
je cykl v otevøené mno¾inì C takový, ¾e
[ f1g
neboli
C n Int :
Nech» (pro jednoduchost) je cykl sestaven ze zápornì orientovaných Jordanových køivek takových, ¾e ka¾dá le¾í vnì
v¹ech ostatních (j 6= k ) h'j i Ext 'k ). Je-li funkce f holomorfní na n M , kde mno¾ina vyjímek M je koneèná a
disjunktní s h i, pak
(6)
Z
f = 2i
X
a2M [f1g
resa f :
Dùkaz. K cyklu = '1 ; : : : ; 'n je¹tì pøidáme tak velkou kladnì orientovanou kru¾nici (t) = r eit , t 2 [0; 2], ¾e
h i Int . Nový cykl oznaèíme := ; a pou¾ijeme pro nìj reziduovou vìtu. K tomu máme ovìøit (1) Spro
, vybereme
si tam druhou verzi: je-li b 2 Sn pak buïto b = 1 2 Ext anebo b 2 Cn a pak podle (5)Rje b 2 Int P= nk=1 Int 'k , tedy
ind b = 1 a ind
R b =R0, tak¾e b 2 Ext a (1) je ovìøeno. Podle reziduové vìty je tedy f = 2i a2M resa f ind a,
vlevo je souèet f + f , v jeho¾ druhém sèítanci lze funkci f nahradit její Laurentovou øadou v P (0; r "; +1) pro
vhodné " > 0, druhý sèítanec je tedy roven 2i ( res1 f ) a jeho pøesunutí na pravou stranu dává (6). ................ konec 10. pøedná¹ky 15.12.2011 ................
16. Pøíklady: u¾ití reziduové vìty k výpoètu nìkterých integrálù v
a ke sèítání nìkterých øíselných øad
R
Typ I. Integrál z racionální funkce. Jestli¾e Q je racionální funkce (podíl dvou polynomù) taková, ¾e nemá v R pól
a pro z ! 1 je Q(z ) = O(z 2 ) (tj. polynom ve jmenovateli má stupeò aspoò o dva vìt¹í ne¾ polynom v èitateli), pak
(1)
Z +1
1
Q = 2i X
a2C+ ; Q(a)=1
resa Q :
Dùkaz. Funkce Q má jen koneèný poèet pólù a ty tedy le¾í v nìjakém kruhu U (0; ). Pro r RoznaèímeR 'r (t) = reit ; t 2
+r
[0; ] (pùlkru¾nice) a integrujeme po hranici pøíslu¹ného pùlkruhu. Podle reziduové vìty je souèet
r Q + 'r Q roven pravé
R
stranì v (1). Pro r ! +1 je limita prvního sèítance rovna levé stranì v (1) a druhého nule: j 'r Qj r O(r 2 ) ! 0. Nìkteré integrály v R, ve kterých je sin nebo cos, lze spoèítat tak, ¾e integrand holomorfnì roz¹íøíme do èásti mno¾iny C,
integrujeme tam po vhodné uzavøené køivce, u¾ijeme reziduovou vìtu a limitními pøechody najdeme po¾adovaný výsledek.
Èasto se pøitom vyu¾ívá následující odhad integrálu pøes pùlkru¾nici v horní polorovinì (nebo pøes její èást).
20
Lemma 16.1
taková, ¾e
(Jordanovo lemma).
Nech» > 0, [; ]
[0; ] a funkce f
lim
z!1; arg z2[; ]
Pak pro r > , b > 0 a cestu 'r (t) = r eit , t 2 [; ] je
je spojitá na fz
2 C : arg z 2 [; ]; jzj > g
f (z ) = 0 :
Z
lim
f (z ) eibz dz = 0 :
r!+1 'r
(J)
R
R
Dùkaz. Pøejdeme k integraci pøes t a odhadujeme I := j f (r eit ) eib r e r i eit dtj r maxh'r i jf j e br sin t dt. Funkce
R
R
R
sin je na [0; =2] konkávní, tak¾e tam je sin(t) c t, kde c = 2=. Máme e br sin t dt 0 e br sin t dt = 2 0=2 e br sin t dt
R
R
2 0=2 e br ct dt < 2 0+1 e br ct dt = br2 c . Odtud I b2c maxh'r i jf j ! 0. Typ II. Integrál z racionální funkce vynásobené cos nebo sin. Nech» Q je racionální funkce taková, ¾e nemá v R
pól a pro z ! 1 je Q(z ) = O(z 1 ). Pro b > 0 oznaème f (z ) = Q(z ) eibz . Pak
Z +1
Z +1
X
X
(2)
Q(x) cos(bx) dx = Re 2i resa f ;
Q(x) sin(bx) dx = Im 2i resa f :
1
1
a2C+ ; Q(a)=1
a2C+ ; Q(a)=1
it
Dùkaz. Volíme stejnou integraèní cestu 'R r jako vR dùkazu u typu
I, integrujeme ale funkci f (nikoli funkci Q(z ) cos bz
P
nebo Q(z ) sin bz ). Podle reziduové vìty je +rr f + 'r f = 2i a2C+ ; Q(a)=1 resa f . Pro r ! +1 je limita druhého
R
integrálu rovna nule (Jordanovo lemma), limita prvního integrálu je +11 Q(x)(cos bx + i sin bx) dx . Typ II, obecnìj¹í. Pøedchozí výsledky lze zobecnit na dva navzájem se vyluèující pøípady (volíme b = 1) :
(a) Q má jeden èi více jednonásobných pólù v R, ale jen tam, kde cos má koøen (Q cos má odstranitelnou singularitu).
Pak
Z +1
(2a)
1
(Q cos) = Re 2i X
a2C+ ; Q(a)=1
i resa f
X
a2R; Q(a)=1
resa f ;
(b) Q má jeden èi více jednonásobných pólù v R, ale jen tam, kde sin má koøen (tj. Q sin odstranitelnou singularitu).
Pak
(2b)
Z +1
1
(Q sin) = Im 2i X
a2C+ ; Q(a)=1
i resa f
X
a2R; Q(a)=1
resa f :
Dùkaz (2a). Staèí dokázat pro pøípad jediného takového pólu a 2 R (u pøípadných dal¹ích pólù postupujeme analogicky).
V P (a) je Q(z ) = c=(z a) + : : : , tak¾e f (z ) = c eia =(z a) + h(z ), kde h je na U (a) holomorfní. Namísto integrace pøes '1
zvolíme dostateènì malé > 0 a integrujeme pøes úseèku [R1 ; a ], pak v protismìru pøes
!(t) := a + eit , t 2
R pùlkru¾nici
R
[0; ] a nakonec pøes úseèku [a + ; R2 ] (tj. bod a obcházíme shora po malé pùlkru¾nici). Je ! g = ! (c eia =(z a)+ h(z )) dz =
R
R
R
R
c eia i+ ! h ! c eia i = iresa f pro ! 0+. Souèasnì je Ra1 Re g + aR+2 Re g ! RR12 Re g, tak¾e polimitních pøechodech
(nejprve ! 0+, pak R1 ! 1 a R2 ! +1) se ve (2a) oproti (2) objeví napravo je¹tì sèítanec Re
i resa f .
Analogicky doká¾eme (2b). Typ III. Integrál z racionální funkce v sinech a kosinech. Nech» Q(a; b) je racionální funkce dvou (komplexních)
promìnných taková, ¾e pro a; b 2 R, a2 + b2 = 1 v ní nedìlíme nulou. Pak funkce
T (z ) := Q
z + 1=z z 1=z
;
=(iz )
2
2i
jedné komplexní promìnné z je racionální, nemá póly na jednotkové kru¾nici a platí
(3)
Z 2
0
Q(cos t; sin t) dt = 2i X
jaj<1; T (a)=1
resa T :
R
Dùkaz. Pro '(t) := eit ; t 2 [0; 2] uva¾ujeme køivkový integrál ' T (z ) dz . Pou¾ití reziduové vìty nám dá pravou stranu
ve (3), zatímco integrace pøes reálný parametr t (podle denice køivkového integrálu) dá levou stranu ve (3). Typ IV. Integrál z racionální funkce vynásobené neceloèíselnou mocninou. Nech» b 2 (0; 1) a Q je racionální
funkce taková, ¾e v [0; +1) nemá pól a pro x ! +1 je Q(x) = O(x 1 ). Pak
Z +1
Z +1
X
2i
(4)
Q(x) xb 1 dx =
Q(et ) eb t dt =
res (Q(ez ) ebz ) :
1 exp(2bi) 0<Im a<2; Q(ea )=1 a
0
1
Dùkaz. Pro b 2 (0; 1) konverguje první integrál jak u 0 tak u +1 a substitucí x = et doká¾eme první rovnost.
21
Se druhou rovností to bude slo¾itìj¹í. Funkce Q má v C jen koneèný poèet pólù a to mimo [0; +1), v¹echny póly jsou tedy
v nìjakém mezikru¾í P (0; r1 ; r2 ). Slo¾ená funkce Q(ez ) má proto v¹echny póly ve svislém pásu Re z 2 (ln r1 ; ln r2 ) = (R1 ; R2 )
a to mimo pøímky Im z = 2 ki, k 2 Z. Toté¾ platí pro funkci
g(z ) := Q(ez ) eb z :
Integrujeme-li funkci g po obvodu ' obdélníka [R1 ; R2 ] [0; 2] v kladném smìru, tj. po uzavøené cestì ' := 'R1 u
'2 1 , kde '1 := [R1 ; R2 ], '2 := '1 + 2i, 1 = [R1 ; R1 + 2i], 2 = [R2 ; R2 + 2i]. Podle reziduové vìty je ' g
R
R
R
R
roven 2i krát suma na pravé stranì ve (4). Tentý¾ integrál je roven èíslu '1 g + 2 g - '2 g - 1 g.
R
Pro j = 1; 2 odhadneme j j gj 2 maxh j i jQ(ez )ebz j =: Mj , máme zde jez j = eRj a jebz j = ebRj .
Pro R1 ! 1 je eR1 ! 0, tak¾e M1 = 2 O(1) ebR1 ! 0.
Pro R2 ! +1 je eR2 ! +1, tak¾e M2 = 2 O(e R2 )ebR2 = O(e(b 1)R2 ) ! 0.
V integrálu pøes '2 pou¾ijeme substituci u = z + 2i,
2
Z
'2
Je tedy
g(u) du =
Z
R
lim
g = (1 e2bi )
R1 ! 1; R2 !+1 '
'1
g(z + 2i) dz =
Z
R +1
'1
g(z ) e2bi dz = e2bi
Z +1
0
g:
Nech» racionální funkce Q nemá póly v [0; +1), na R
X
1
Re
res (Q L2 ) ; I0 :=
2 a2C; Q(a)=1 a
Q(x) ln x dx =
'1
t bt
1 Q(e ) e dt.
Typ V. Integrál ze souèinu racionální funkce a logaritmu.
je reálná a pro x ! +1 je Q(x) = O(x 2 ). Pak
(5) I1 :=
Z
Z +1
0
X
1
Im
res (Q L2 ) ;
2 a2C; Q(a)=1 a
Q(x) dx =
kde L(z ) := log( z ) + i = ln jz j + iA(z ) pro A(z ) 2 (0; 2 ] je inverzní funkce k funkci exp jIm2(0;2] .
Dùkaz. Nejprve ovìøíme vlastnosti funkce L, je eL(z) = elog( z)+i = elog( z) ei = ( z ) ( 1) = z . Dále je Im L(z ) =
Im log( z ) + Im(i) 2 ( + ; + ] = (0; 2].
Integraèní cestou bude obvod þcéèkaÿ: ' := u1 u 2 u2 1 , kde u1;2 (t) := t ei , t 2 [r1 ; r2 ] jsou úseèky a 1;2 (t) :=
r1;2 eit , t 2 [; 2 ] jsou oblouky kru¾nic. Èísla 0 < r1 < r2 < +1 a 0 < < jsou zvolena tak, ¾e v¹echny póly funkce
Q jsou v Int '. Integrovanou funkcí bude f := QL2 , která má body nespojitosti (0; +1), tedy vnì þcéèkaÿ. Podle reziduové
vìty je
Z
u1
f+
Z
f
2
Z
u2
f
Z
f
1
R
=
Z
'
f
=
2i R
X
a2C; Q(a)=1
resa (Q L2 ) :
Pro r1 ! 0+ resp. r2 ! +1 je 1 f = O(r1 ) O(ln r1
! 0 resp. 2 f = O(r2 ) O(r2 2 ) O(ln r2 + )2 ! 0, pou¾ité
odhady pøitom nezávisely na 2 [0; =2]. R
R
R r2
i ) L2 (t ei ) ei Q(t e i ) L2 (t e i ) e i dt = R r2 Q(t ei ) (ln t +
Dále pro ! 0+ je u1 f
f
=
Q
(
t
e
u2
r1
r1
+ )2
R
R
i)2 ei Q(t e i ) (ln t i +2i)2 e i dt ! rr12 Q(t) (ln t)2 Q(t) (ln t +2i)2 dt = rr12
4i Q(t) ln t +42 Q(t) dt
! 4iI1 + 42 I0 pro r1 ! 0+, r2 ! +1 a odtud máme (5). Poznámka. V literatuøe je popsáno mnoho dal¹ích typù takovýchto pou¾ití reziduové vìty pro integraci v R.
Lemma (periodické funkce s rezidui 1 v Z). Denujme funkce
f1 (z ) := cotg z , f2 (z ) := = sin z .
(1) Obì tyto funkce jsou holomorfní na C n Z, f1 má periodu 1, f2 má periodu 2.
(2) V bodech mno¾iny Z mají funkce f1 ; f2 jednonásobné póly, pro k 2 Z je
resk f1 = 1 , resk f2 = ( 1)k .
(3) lim f1 (z ) = i, lim f2 (z ) = 0, obì limity stejnomìrnì pro Re z 2 R .
Im z!1
Im z!1
(4) Pro ka¾dé " > 0 jsou obì funkce omezené na := C n U (Z; ") .
Dùkaz. (1) a (2): obì funkce mají v èitateli celou funkci a ve jmenovateli sin z s jednonásobnými koøeny v Z. Rezidua
jsme spoèítali v kap.12 Pøíklad (2c) a (2d).
2iw
iw
iw
(3) pro f1 : Máme cotg w = i eeiw +ee iw = i ee2iw +11 = i (1 + e2iw2 1 ).
Pro w = (a; b), b ! +1 je je2iw j = e 2b ! 0 stejnomìrnì pro a 2 R, tak¾e cotg(a + ib) ! i. Pro b ! 1 jen vyu¾ijeme
toho, ¾e cotg je lichá funkce: cotg(a + ib) = cotg( a ib) ! +i. Odtud spoèteme limity funkce f1 .
iw
(3) pro f2 : Máme 1= sin w = 2i eiw 1e iw = 2i e2eiw 1 . Pro w = (a; b), b ! +1 je jeiw j = e b ! 0, je2iw j = e 2b ! 0,
obì limity stejnomìrnì pro a 2 R, tak¾e 1= sin(a + ib) ! 0. Pro b ! 1 vyu¾ijeme toho, ¾e sin je lichá funkce.
(4): Podle (3) existuje b > 0 takové, ¾e na mno¾inì A := fz 2 C; j Im z j > bg jsou obì funkce omezené. Staèí tedy
je¹tì vy¹etøit jejich omezenost na mno¾inì B := C n U (Z; ") n A a díky jejich periodicitì dokonce jen na kompaktní mno¾inì
C := fz 2 B ; j Re z j g. Funkce jf1 j; jf2 j jsou na kompaktu C spojité a tedy omezené. ................ konec 11. pøedná¹ky 22.12.2011 ................
22
Nech» Q je racionální, Q(1) = 0. Pak
Typ VI. Suma hodnot racionální funkce celoèíselné promìnné.
(1)
lim
n!+1
(2)
lim
n!+1
+n
X
k= n; Q(k)6=1
+n
X
k= n; Q(k)6=1
Q(k) =
X
a2C; Q(a)=1
( 1)k Q(k) =
resa (Q(z ) cotg z )
X
a2C; Q(a)=1
Je-li koøen funkce Q v nekoneènu aspoò dvojnásobný, pak namísto lim
resa (Q(z ) = sin z )
P+n
k= n; Q(k)6=1 mù¾eme psát
P+1
1; Q(k)6=1 .
Dùkaz. Pou¾ijeme funkce f1 ; f2 z pøedchozího lematu. Funkce Q má jen koneèný poèet pólù, existuje tedy n 2 N takové,
¾e v kruhu U (0; rn = n + 1=2) jsou v¹echny . Oznaèíme 'n (t) := rn eit , t 2 [0; 2] a pro j = 1 resp. 2 integrujeme pomocnou
funkci Q fj ,
R
P
P
P
(*) 'n (Q fj ) = 2i jaj<rn ; Q(a)=1_fj (a)=1 resa (Q fj ) = 2i
jaj<rn ; Q(a)=1 + jaj<rn ; Q(a)6=1; fj (a)=1 : : : .
P
První suma v závorce je a2C; Q(a)=1 resa (Q fj ), tedy minus pravá strana v (j).
P
P
Druhá suma v závorce je +k=n n Q(k)=6 1 resk (Q fj ) a proto¾e fj má jen jednoduché póly, je to +k=n n; Q(k)=6 1 Q(k) resk fj ,
tedy výraz za limitou v (j).
Vìnujme se nyní integrálu v (*). Funkci Q rozlo¾íme na souèet Q(z ) = c=z + Q2 (z ), kde c := zlim
!1(z Q(z )), tak¾e
Q2 (z ) = O(z 2 ) pro z ! 1. Nyní upravíme
levou
stranu
v
(*),
R
R
R
c
'n (Q fj ) = 'n z fj (z ) dz + 'n Q2 fj dz ,
první integrál napravo
R je nula (integrujeme sudou funkci), druhý snadno odhadneme,
j 'n Q2 fj dzj 2rn maxz2CnU (Z;1=2) jQ(z)j jfj (z)j = O(rn 1 ) ! 0 pro n ! +1 .
V rovnosti (*) má levá strana pro n ! +1 limitu nula, druhá suma v závorce nezávisí na n, tak¾e existuje také limita
první sumy v závorce a platí pro ni (1) resp. (2).
Je-li navíc Q(k) = O(k 2 ) pro k ! +1, pak limita sumy v (1) resp.(2) je rovna souètu absolutnì konvergentní øady
P+1
k= 1; Q(k)=
6 1 ::: . k!+1
k=
17. Meromorfní funkce
V kapitole 9 jsme na pøíkladu funkce 1=z (a obecnìji, racionální funkce) vidìli, ¾e je u¾iteèné povolit v denièním oboru
i v oboru hodnot bod 1 2 S a souèasnì (automaticky) dodenovat limitou (v S) hodnotu funkce tam, kde není denovaná
pøíslu¹ná algebraická operace. Objevíme tak svìt spojitých zobrazení z S do S, která jsou - a¾ na izolovanou mno¾inu pólù
- holomorfní.
Denice. Spojité zobrazení f otevøené mno¾iny S do S je meromorfní v , jestli¾e pro ka¾dý bod a 2 je buïto
holomorfní v bodì a anebo má v bodì a pól (tj. 1=f má v bodì a koøen). Mno¾inu v¹ech meromorfních zobrazení
denovaných v oznaème M(
) . f je meromorfní v bodì a 2 S, jestli¾e je meromorfní v nìjakém jeho okolí.
Pøíklady. Ka¾dá racionální funkce je meromorfní v S. Konstatní funkce f = 1 není meromorfní. Exponenciála je
meromorfní v C ale ne v S.
Vìta 17.1 (vlastnosti meromorfních funkcí). Nech» S je neprázdná oblast.
(1) Jsou-li f; g 2 M(
), c1 ; c2 2 C, pak také c1 f + c2 g 2 M(
) , tj. M(
) je lineární prostor nad tìlesem C.
(2) Jsou-li f; g 2 M(
), pak také souèin f g 2 M(
) .
(3) Pokud f 2 M(
) není konstatní nula, pak 1=f 2 M(
) . (Pozor, kdyby byla otevøená nesouvislá, pak tento bod
neplatí.)
(4) M(
) je komutativní tìleso, nulou a jednièkou jsou v nìm konstantní funkce nula a jednièka.
(5) Je-li f 2 M(
), pak také derivace f 0 2 M(
) .
(6) Je-li f 2 M(
) nekonstantní, pak pro ka¾dé b 2 S je mno¾ina A := f 1 (b) izolovaná v .
(7) vìta o jednoznaènosti pro meromorfní funkce: Jsou-li f; g 2 M(
) a pøitom se shodují na mno¾inì M , která má v
hromadný bod (tj. není izolovaná v ), pak f = g v¹ude na .
(8) vìta o substituci: Je-li f 2 M(
), g meromorfní v oblasti g S a je-li g(
g ) , pak slo¾ená funkce f g je buïto
meromorfní v g anebo je to konstanta 1 (to kdy¾ g je konstantní, g (z ) = b 2 C, a funkce f má v bodì b pól).
Dùkaz (1),(2),(3),(5). Zvolíme a 2 , rozli¹íme pøípad a 2 C od pøípadu a = 1 a pou¾ijeme Laurentovy øady funkcí f; g
v P (a). Pøíklad f := 0 v C+ , f := 1 v C ukazuje, ¾e ve (3) nelze vynechat pøedpoklad souvislého oboru .
Dùkaz (4). Jde o dùsledek bodù (1),(2),(3).
Dùkaz (6). Sporem, nech» existuje b 2 S pro které má mno¾ina A hromadný bod a 2 , ze spojitosti funkce f pøitom
máme f (a) = b.
Pøípad b = 1 pøevedeme pøípad b = 0 pro pomocnou funkci g(z ) := 1=f (z ), mno¾ina g 1 (0) má hromadný bod a.
Pøípad b 2 C, a = 1 pøevedeme na pøípad a; b 2 C pro pomocnou funkci g(w) := f (1=w), kde 1=w 2 . Mno¾ina g 1 (b)
má toti¾ hromadný bod 0.
Nakonec zbyl jen pøípad a; b 2 C, podle vìty o jednoznaènosti pro holomorfní funkce je f konstantní - spor.
Dùkaz (7). Denujeme pomocnou meromorfní funkci h := f g, ta je v¹ude v M rovna nule s mo¾nou vyjímkou(!) bodù,
kde má f pól. Mno¾ina v¹ech pólù funkce f je ale izolovaná v , tak¾e funkce h je rovna nule na mno¾inì M1 := M n f 1 (1),
která není izolovaná v , má hromadný bod a 2 . Je-li a 2 C, pak podle vìty o jednoznaènosti pro holomorfní funkce je
23
h nulová v nìjakém U (a) a tedy (doká¾eme analogicky jako v dùkazu vìty 8.10) h je konstantní nula v . Pøípad a = 1
pøevedeme na pøípad a = 0 pro pomocnou funkci h1 (w) := h(1=w).
Dùkaz (8). Zvolíme libovolnì a 2 g , oznaèíme b := g(a) 2 , c := f (b). Pokud je a; b; c 2 C, jde v bodì a o substituci
holomorfních funkcí, tak¾e f g je v bodì a holomorfní. Pøípady, kdy jedno nebo více èísel a; b; c je 1, mù¾eme zvládnout
buïto vhodným vyu¾íváním substituce h(z ) := 1=z , z 2 S (je h 1 = h) anebo tak, ¾e se takovému vyjímeènému bodu a
vyhneme.
Uva¾ujme nejprve nekonstantní g.
Existuje takové P1 (b) C, ¾e f (P1 (b)) C (jinak by mno¾ina pólù funkce f mìla v b hromadný bod).
Existuje takové P2 (a) C, ¾e g(P2 (a)) P1 (b) (jinak by mno¾ina g 1 (b) mìla v a hromadný bod, v rozporu se (6)).
V P1 (a) tedy skládáme holomorfní funkce, proto f g je tam holomorfní, v bodì a má izolovanou singularitu. V¹ude
skládáme spojité funkce, slo¾ená funkce je proto spojitá, lim
(f g) = c, tak¾e f g je v bodì a meromorfní.
a
Pro pøípad konstantní funkce g = b je konstantní také funkce f g = c a ta je meromorfní právì kdy¾ c 6= 1. Denice. Nech» a 2 S a funkce f je v U (a) meromorfní a není to konstantní nula. Laurentova øada funkce f v P (a) má
tvar
(L)
f (z ) = cn (z a)n + : : : kdy¾ a 2 C resp. f (z ) = cn z n + : : : kdy¾ a = 1 ,
kde èísla cn 2 P, n 2 Z jsou urèena jednoznaènì.
Funkce f v bodì a buïto má n násobný koøen (pøípad n > 0), nebo n = jnj násobný pól (pøípad n < 0), nebo tam
nemá ani koøen ani pól (pøípad n = 0). Oznaème
mult(f; a) := n 2 Z : : : násobnost (multiplicity) koøene nebo pólu.
Vìta 17.2. Je-li f meromorfní v oblasti S a není konstantní nula, pak logaritmická derivace funkce f , funkce g := f 0 =f ,
má tyto vlastnosti:
(1) g má pól v bodì a 2 \ C právì kdy¾ f má v bodì a buïto koøen anebo pól,
(2) v¹echny póly funkce g v mno¾inì \ C jsou jednonásobné,
(3) resa g = mult(f; a), a 2 .
Dùkaz. Laurentova øada funkce g = f 0 =f v P (a) má podle (L) tvar
cn n(z a)n 1 + ::: = n=(z a) + : : : resp. cn ( n)z n 1 + ::: = n=z + : : : ,
cn (z a)n + :::
cn z n + :::
kde n = mult(f; a). Poznámka. Vlastnost (3) vybízí k tomu, abychom na funkci g aplikovali reziduovou vìtu 15.3, suma reziduí funkce g je
toti¾ sumou èísel mult(f; a), tj. sumou násobností koøenù minus sumou násobností pólù funkce f v Int .
................ konec 12. pøedná¹ky 5.1.2012 ................
Vìta 17.3
(princip argumentu, Argument Principle). Nech» , splòují pøedpoklady Cauchyovy vìty 15.2.
Je-li funkce f meromorfní na taková, ¾e v ¾ádné komponentì mno¾iny není konstantní nula, a taková, ¾e na
nemá ani koøen ani pól, pak
1
1
arg f = indf 0 =
2
2i
(PA)
Speciálnì, jestli¾e v¹ude v Int
Z
h i
X
f0
=
mult(f; a) ind a :
f a2Int
je ind = +1, pak
(PA1)
indf 0 =
X
mult(f; a) :
a2Int
Dùkaz. První a druhou rovnost v (PA) známe z kap.13, tøetí rovnost je aplikací reziduové vìty na meromorfní funkci
f 0 =f , její¾ rezidua známe z pøedchozí vìty. Poznámka. Vpravo je celé èíslo, umíme-li tedy vyèíslit integrál (numericky) s chybou men¹í ne¾ 1/2, staèí numerický
výsledek zaokrouhlit. Také první a druhý výraz lze vyhodnocovat numericky, pøesnì, bez integrování.
Poznámka. Mìníme-li v (PA1) funkci f tak, ¾e se nemìní indf 0, pak se nemìní ani pravá strana, tj. þmálo odli¹néÿ
funkce mají stejný souèet násobností. Jak velké smí být to þmáloÿ? O tom je následující vìta.
Vìta 17.4 (Rouchéova vìta). Nech» , splòují pøedpoklady Cauchyovy vìty 15.2.
Jsou-li funkce f; g meromorfní na , ¾ádná není konstantní nula v ¾ádné komponentì mno¾iny , na h i nemají ani
koøeny ani póly a v¹ude na
(*)
pak
h i je
f=g 2= (
X
a2Int
mult(f; a) ind a =
1; 0) ,
X
a2Int
mult(g; a) ind a :
Pøedpoklad (*) lze zesílit (a tedy vìtu zeslabit) na obvyklej¹í
(**)
jf gj < jf j neboli g 2 U (f; jf j),
v¹ude na h i.
Dùkaz. Podle (PA) je tøeba dokázat rovnost celých èísel Nf := indf 0 a Ng := indg 0. Interpolujeme od f ke g,
nech» fp := (1 p) f + p g pro p 2 [0; 1]. Ka¾dá z funkcí fp je meromorfní v , na h i nemá pól ani koøen (jinak by pro
nìkteré p 2R (0; 1) nìkde bylo 0 = (1 p) f + p g, tj. g = p p 1 f , koecient p p 1 < 0 - spor). Celé èíslo Nfp = indf 0
= (2i) 1 fp0 (z )=fp (z ) dz má v integrandu spojitou funkci dvou promìnných p; z a závisí tedy na p spojitì, je proto
konstantní.
24
K zeslabení pøedpokladu: je-li podle (**) pro pevné z 2 h i hodnota g(z ) 2 U (f (z ); jf (z )j), pak g(z ) není na polopøímce
opaèné k polopøímce 0; f (z ), tedy platí (*). Jiné vyjádøení stejné my¹lenky, ¾e blízké funkce mají stejný poèet koøenù, pøedstavuje následující vìta.
Vìta 17.5 (Hurwitzova vìta, o souètu násobností pøi lok. st. konvergenci). Nech» posloupnost funkcí fn holomorfních v oblasti
C konverguje lokálnì stejnomìrnì k funkci g (podle Weierstrassovy vìty je g také holomorfní).
1) Jestli¾e g má v bodì a 2 p-násobný koøen a pøitom v uzavøeném kruhu U (a; r) je to její jediný koøen, pak
existuje n0 2 N takové, ¾e pro v¹echna n > n0 funkce fn nemá ¾ádný koøen na hranici K (a; r) tohoto kruhu a souèet
násobností v¹ech koøenù uvnitø kruhu je p :
P
b2U (a;r) mult(fn ; b) = p .
2) Nemá-li ¾ádná fn koøen v , pak buïto g je konstantní nula anebo ani g nemá v koøen.
Dùkaz. Oznaème '(t) := a + r eit ; t 2 [0; 2]. Na kompaktní mno¾inì h'i je jfn gj ! 0 stejnomìrnì a pøitom
m := minh'i jgj > 0. Pro dostateènì velká n tam proto je jfn gj < m jgj. Podle Rouchéovy vìty s pøedpokladem (**)
pro funkce g; fn a cestu ' je tedy P
P
b2U (a;r) mult(fn ; b) = b2U (a;r) mult(g; b) = p .
V bodì 2), kdyby g nebyla konstantní nula a mìla nìkde v koøen a, pak podle bodu 1) má v jeho okolí koøen ka¾dá
funkce fn , kde n > n0 - spor. Následující vìtu pøiblí¾í jednoduchý pøíklad. Funkce f (z ) := z 7 má v bodì a = 0 sedminásobný koøen, b := f (a) = 0.
Pro ka¾dé w 2 P je mno¾ina f 1 (w) sedmiprvková, jsou to v¹echny koøeny rovnice z 7 = w a ty jsou v¹echny jednonásobné,
tvoøí vrcholy pravidelného sedmiúhelníka. Vìta zobecòuje tento fakt pro v¹echny holomorfní funkce, tvrdí vlastnì toté¾ (ale
jen lokálnì), jen ten sedmiúhelník u¾ nemusí být pravidelný.
Vìta 17.6 (o poètu vzorù). Nech» f je holomorfní na U (a; R), oznaème b := f (a), nech» funkce f (z ) b má v bodì a
p-násobný koøen (tj. f nabývá své hodnoty v bodì a p-násobnì). Pak existuje r 2 (0; R) a > 0 takové, ¾e pro ka¾dé w 2 P(b; )
má rovnice f (z ) = w v kruhu U (a; r) právì p koøenù a ty jsou jednonásobné.
Dùkaz. Podle vìty 8.9 existuje uzavøený kruh U (a; r) takový, ¾e s výjimkou støedu je v nìm v¹ude f (z ) 6= f (a) = b a
f 0 (z ) 6= 0 (jinak by byla f konstantní a f b konstantní nula). Oznaème '(t) := a + r eit , t 2 [0; 2], cesta f ' neprochází
bodem b, oznaème := dist(hf 'i; b) > 0. Zvolme pevnì w 2 P(b; ).
Na h'i je j(f (z ) w) (f (z ) b)j = jw bj < jf (z ) bj, pou¾ijeme-li Rouchéovu vìtu pro cestu ' a funkce
f (z ) w), f (z ) b, pak obì mají v U (a; r) stejný souèet násobností koøenù. Ta druhá funkce má tento souèet pøesnì p
(jediný, p-násobný, v bodì a). Proto první funkce má takový souèet také p , pøitom v bodì a nemá koøen a v P (a; r) má
(díky (f w)0 = f 0 6= 0) jen jednoduché koøeny, má jich tam tedy právì p, navzájem rùzných, jednonásobných. Poznámka. Tvrzení vìty 17.6 pro p > 1 lze odvodit i elementárnì [Ru, V10.32]. Bez újmy na obecnosti polo¾me a = b = 0.
p
Jestli¾e f je holomorfní nekonstantní v U (0) C, pak tam
c z + : : : , kde p > 1, c 6= 0. V nìjakém P (0; "1 ) je
je f (z ) =
navíc v¹ude f (z ) 6= 0, denujme tam funkci h(z ) := z exp p1 log fc(zzp) , h(0) := 0, je h 0 (0) = 1 6= 0. Pak v U (0; "1 ) je
f (z ) = c hp (z )
a v nìjakém U (0; "2 ) je funkce g prostá a holomorfní. Øe¹ení rovnice f (z ) = w 2 P (0) nyní mù¾eme rozlo¾it do dvou krokù.
Najdeme v¹ech p øe¹ení u1 ; : : : up rovnice up = w=c (jsou to vrcholy pravidelného p-úhelníka se støedem u = 0) a k nim pak
dopoèteme zk := h 1 (uk ) pro k = 1; : : : ; p (vrcholy nìjakého p-úhelníka s bodem z = 0 unvitø).
................ konec 13. pøedná¹ky 12.1.2012 ................
Vìta 17.7 (lokální existence inverzní funkce, její derivace). Nech» f je funkce holomorfní na okolí bodu a 2 C. Pak
(i) f je prostá v nìjakém U (a) právì kdy¾ f 0 (a) 6= 0.
Jestli¾e f 0 (a) 6= 0, pak existuje r > 0 s následujícími vlastnostmi:
(ii) f je prostá na U (a; r);
(iii) G := f (U (a; r)) je otevøená mno¾ina;
(iv) inverzní funkce g := f 1 je holomorfní na G a platí g 0 (w) = 1 = f 0 (g(w)); w 2 G .
Dùkaz. (i) Z pøedchozí vìty vidíme, ¾e kdy¾ je f 0 (a) = 0 (tj. p 2), pak f není v ¾ádném P (a) prostá. Naopak, pokud
je v nìjakém P (a) prostá, jsou pøípady p 2 vylouèeny a zbývá jen p = 1 neboli f 0 (a) 6= 0.
(ii) Polomìr r z pøedchozí vìty si zde oznaème r1 . Pøedchozí vìta pro p = 1 netvrdí, ¾e f je prostá v U (a; r1 ). Díky
spojitosti funkce f existuje men¹í polomìr r 2 (0; r1 ) takový, ¾e f (U (a; r)) U (b; ). Doká¾eme, ¾e f je prostá v U (a; r):
kdyby toti¾ pro nìjaká (navzájem rùzná) z1 ; z2 2 U (a; r) bylo f (z1 ) = f (z2 ) = w 2 U (b; ), pak bychom dostali spor s
pøedchozí vìtou.
(iii) Jednak máme obecnou vìtu 8.15, jednak v pøedchozí vìtì je nalezeno U (b; ) f (U (a; r)).
(iv) Lokální inverzní funkce z = g(w) existuje podle (ii). Na zlomek v denici derivace g 0 (b) pou¾ijeme vìtu o limitì
slo¾ené funkce, (g(w) g(b))=(w b) = (z a)=(f (z ) f (a)) ! 1=f 0 (a) pro w ! b. Poznámka. Vìty 17.6 a 17.7 lze snadno zobecnit i na meromorfní funkce, pou¾ijeme-li vhodnì substituci h(z ) := 1=z ,
z 2 S.
................ konec textu ................
25
Test ke zkou¹ce Úvod do komplexní analýzy, 16.1.2012
Pøíklad. Denujeme funkce
(*)
f (a) :=
Z 2
0
dx
; g(a) :=
a + sin x
Z 2
0
dx
;
a + cos x
a 2 (1; +1) :
1) Je v¹ude f (a) = g(a) ?
2) Vyjádøete f (a) explicitnì (pou¾ijte reziduovou vìtu).
3) Odhadnìte chování funkce f (a) pro a ! +1 a porovnejte ho se svojí formulí odvozenou ve 2.
4) Má (*) smysl i pro jiná a 2 C ? Najdìte co nejvìt¹í oblast C pro taková a.
5) Je f holomorfní v ?
6) Pokud ano, najdìte Laurentovu øadu funkce f v P (1).
7) Najdìte mezikru¾í konvergence této øady.
8) Klasikujte v¹echny izolované singularity (v S) funkce f .
P 1 b j
Nápovìda k bodu 6 (zobecnìní binomické vìty): pro " 2 C, j"j < 1, b 2 C je (1 + ")b = +j =0
j " .
Mo¾né øe¹ení.
1) Pøi pevném a je integrand funkce 2-periodická a pøitom integrujeme pøes jednu periodu. Funkce sin je jen posunutý
R
dt
cos, pøesnìji sin(t + =2) = cos(t); t 2 C. Substituce x = t + =2 do prvního integrálu dává f (a) = 2=2=2 a+cos
t
= g(a) , tak¾e funkce f; g jsou stejné.
2) Je to typová úloha,
viz pøedná¹ka TypR III. Snaz¹í je poèítat g(a). ' je kladnì orientovná jednotková kru¾nice.
p 2 Máme
R
(iz) dz = 2
1
dz
.
Jmenovatel
má
jednonásobné
koøeny
z
=
a
f (a) = g(a) = ' a+(dz=
a 1 2 R.
2
1
;
2
z+1=z)=2
p i 2 ' z +2az+1
Je z1 z2 = 1, pøitom z2 = a
a 1 < a < 1, p
tak¾e z2 2 Ext ' a tedy z1 2 Int '. Podle rez. vìty tedy f (a)
= 2i 2i resz1 z2 +21az+1 = 4 2z11+2a = 4 2pa12 1 = 2= a2 1 , pro ka¾dé a 2 (1; +1).
3) Pro a ! +1 je v (*) integrand a1 , tak¾e f (a) 2=a, toté¾ vy¹lo v bodì 2), tak¾e tam není chyba ani v urèení
konstant ani v øádu mocniny èísla a.
4) První integrál v (*) má smysl právì kdy¾ se a vyhýbá v¹em hodnotám funkce sin x z intervalu [0; 2], tj. intervalu
[ 1; 1]. Lze tedy pøipustit a 2 := C n [ 1; 1].
5) f (a) je integrál (køivkový, po orientované úseèce [0; 2]) s parametrem a 2 . Integrand jako funkce dvou promìnných
h(a; x) je spojitý na [0; 2], jeho parciální derivace podle a, funkce h2 (a; x), je tam také spojitá, tak¾e podle
vìty 7.4.3 je f 2 H(
).
6) Vzoreèek
upravovat. Je jaj > 1, ja 2 j < 1, tak¾e f (a) =
p pro f (a) pmáme jenom pro a 2 (1; +1), ale iPtam1 ho 1lze
=2 ( 1)j a 2j = 2 P+1 1=2 ( 1)j a 2j 1 , tuto
2= a2 1 = 2a = 1 1=a2 = 2a (1 1=a2 ) 1=2 = 2a +j =0
j =0 j
j
rovnost jsem dokázali jenom(!) pro a 2 (1; +1). Napravo je ale Laurentova øada v M := P (0; 1; +1), tedy nìjaká
funkce L holomorfní v M , nalevo je funkce f holomorfní v M , tak¾e podle vìty o jednoznaènosti je f = L v¹ude
v M.
7) Mezikru¾í konvergence této Laurentovy øady není vìt¹í ne¾ M , proto¾e jinak by existovala koneèná limita (v R)
p 1
lim (1 a 2 ) 1=2 = alim
a!1+
!1+ 1 1=a2 = +1.
8) Jedinou izolovanou singularitou je bod 1, Laurentovu øadu v P (1) u¾ známe, je f (a) = 2a + : : : , lim
1 f = 0, tak¾e
je tam odstranitelná singularita a po dodenování
f (1) := 0 je to 1-násobný koøen.
p
9) (mimo test) Platí formule f (a) = 2a = 1 1=a2 v celém ? Uká¾eme, ¾e ANO. Napravo nyní ji¾ uva¾ujeme
komplexní odmocninu, tj. funkci F (a) = 2a exp( 12 log(1 1=a2 )) denovanou pro a 2 C n f0; 1; 1g. Ta je
holomorfní v¹ude, kde není 1 1=a2 < 0, tj. kde není 1 < 1=a2 . Pøípad 1=a2 < 0 by tady vedl ke sporu, tak¾e
1=a2 > 0 a máme øe¹it 0 < a2 < 1, odtud a 2 ( 1; 1); a 6= 0. Je tedy F 2 H(
) a z vìty o jednoznaènosti f = F
v¹ude v .
p
10) (mimo test) Platí formule f (a) = 2= a2 1 v celém ? Uká¾eme, ¾e NE. Napravo nyní ji¾ uva¾ujeme komplexní
odmocninu, tj. funkci G(a) = 2 exp( 12 log(a2 1)) denovanou pro a 2 C n f 1; 1g. Ta je holomorfní v¹ude
kde není a2 1 < 0, tj. kde není a2 < 1. Z neholomorfnosti jsou tedy podezøelé jen body tvaru a = iy, y 2 R
a body a 2 ( 1; 1). Pro speciální volbu a1;2 = i ", je a21;2 1 = 2 2i" + "2 a pro reálné " ! 0+ je tedy
arg(a21;2 1) ! . G není spojitá v bodì i a není to tedy funkce f .
26
Test ke zkou¹ce Úvod do komplexní analýzy, 17.1.2012
Pøíklad 1. Uva¾ujte funkci
1
:
log(1 + z 2 )
Kde je f holomorfní? Najdìte v¹echny izolované singularity funkce f a urèete jejich typ.
Pøíklad 2. Spoètìte integrál
f (z ) = cotg2 z
Z 0
Pøíklad 3. Spoètìte integrál
1
Z
0
sin2n x dx; n = 1; 2; : : : :
dx
dx; n = 1; 2; : : : :
1 + x2n
Mo¾né øe¹ení.
1. První sèítanec je -periodická sudá funkce, holomorfní v C n A, kde A = fk; k 2 Zg. Pro z ! 0 je cos z = 1 + O(z 2 ),
sin z = z + O(z 3 ) = z (1+ O(z 2 )), odtud cotg z = z 1 (1+ O(z 2 )), cotg2 z = z 2 (1+ O(z 2 )) = z 2 + O(1). V bodech mno¾iny
A má cotg2 dvojnásobné póly.
Funkce log je sice denovaná v P, ale holomorfní je jen na P n ( 1; 0). Je rovna nule jen v bodì 1. Druhý sèítanec (je
to také sudá funkce) tedy není denován v bodech i (tam by byl 1= log 0), v bodì 0 (tam by byl 1= log 1 =1=0). Navíc, v
bodech mno¾iny B := fiy; y 2 R; jyj > 1g (a nikde jinde) je tam log záporného èísla. Funkce log(1 + z 2 ) proto asi nebude
spojitá v ¾ádném bodì iy 2 B , podrobnì: pro y > 1 je arg(1 + (iy ")2 ) = arg(1 y2 + "2 2iy") ! pro " ! 0+. Pro
y < 1 analogicky (je sudá).
Celkem tedy f je holomorfní v n (A [ B ), s izolovanými singularitami jen v A. V bodì 0 mají oba sèítanci izolovanou
singularitu.
Pro z ! 0 je log(1 + z 2 ) = z 2 + O(z 4 ) = z 2 (1 + O(z 2 )), tak¾e 1= log(1 + z 2 ) = z 2 (1 + O(z 2 )) = z 2 + O(1). Proto pro
z ! 0 je f (z ) = O(1), f má v 0 odstranitelnou singularitu.
V bodech k pro k 2 Z, k 6= 0 má f dvojnásobné póly.
2a. Funkce sin2n je -periodická, integrujeme
ji pøes jednu periodu. Substitucí x = t + =2 dostaneme
R
R
R
2
n
v := 0 sin x dx = ==22 cos2n t dt = 0 cos2n t dt,
co¾ zjednodu¹uje dal¹í výpoèty. Integrand je zde tak jednoduchý, ¾e se mù¾eme obejít bez køivkových integrálù a bez
reziduové vìty. R
R P
R P
v = 0 (eit + e it )2n =22n dt = 4 n 0 2kn=0 2kn eitk e it(2n k) dt = 4 n 0 2kn=0 2kn e2it(k n) dt.
Pro k = n (pozor na tuto vyjímku!) je tam e2it 0 = 1, pro ostatní k má e2it(k n) primitivní funkci e2it(k n) =(2i(k n))
její¾ hodnota pro t = 0 a t = je stejná a sice 1=(2i(k n)), tak¾e integrál bude nula a ze sumy zùstane jen jeden nenulový
èlen pro k = n (ten vyjímeèný). Odtud v = 4 n 2nn . Výsledek platí i pro n = 0.
2b. Stejný výsledek lze získat pomocí reziduové vìty, jde o typ III (viz pøedná¹ka). Nech» ' je kladnì orientovaná
jednotková kru¾nice, je
R
R
R
1 2n
2
2n
(z2 +1)2n
v := 21 02 cos2n t dt = 12 ' (z+22zn iz) dz = 241n i ' (zz2+1)
n+1 dz = 4n res0 z 2n+1 .
V bodì 0 má funkce (2n + 1)-násobný pól, snadno ji (pomocí binomické vìty) nahradíme Laurentovou øadou v P a pak
jednodu¹e najdeme koecient u 1=z (èlen pro k =P
n):
2 + 1)2n z 2n 1 = 2n 2nz 2k 2n 1 = : : : + 2nz 1 + : : : ,
(
z
k=0 k
n
odtud v = 4 n 2nn .
3. V¹echny koøeny funkce 1 + z 2n jsou na jednotkové kru¾nici, z1 = a := ei=2n , z2 := a3 , z3 := a5 , : : : , zn := a2n
(v¹echny v C+ ) a k nim komplexnì sdru¾ené
v C . Je
R
R
v := 0+1 1=(1 + x2n ) dx = 21 +11 1=(1 + x2n ) dx,
vpravo je integrál typu I (viz pøedná¹ka), tak¾e
P
P
P
P
P
v = 21 2i nk=1 reszk 1=(1 + z 2n ) = i nk=1 1=(2nzk2n 1 ) = 2in nk=1 zk =(zk2n ) = 2in nk=1 ( zk ) = 2in nk=1 a2k 1
P
1
= 2in a nj =01 (a2 )j = 2in a (a2n 1)=(a2 1) = 2in a ( 1 1)=(a2 1) = 22i
n =(a a ) = 2n sin(=2n) .
1
27
Test ke zkou¹ce Úvod do komplexní analýzy, 31.1.2012
Pøíklad 1. Pro meromorfní funkci
1 cos2 z
; z 2 C;
sinh(sin z )
najdìte v¹echny její koøeny a póly a urèete jejich násobnosti.
Návod: pøi øe¹ení rovnice tvaru sin(z ) = : : : lze na levé stranì vyu¾ít souètový vzorec sin(x + iy) = sin(x) cos(iy) +
cos(x) sin(iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y).
Pøíklad 2. Spoètìte integrál
Z 2
cos 3x
dx:
5
4 cos x
0
Návod: je cos 3x = (e3ix + e 3ix )=2 = ((eix )3 + (e ix )3 )=2 . Návod: v P (0) pou¾ívejte mocninné a Laurentovy øady.
Pøíklad 3. Seètìte øadu:
1
X
1
s(a) :=
2 + a2 ; a 2 C n i Z:
n
n=0
f (z ) =
Mo¾né øe¹ení.
1. V èitateli i ve jmenovateli jsou celé funkce, f je meromorfní v C.
Funkce 1 cos2 z = sin2 z má koøeny k, k 2 Z a ty jsou dvojnásobné, proto¾e koøeny funkce sin z jsou jednonásobné:
cos k 6= 0.
Funkce sinh má koøeny v bodech ni, n 2 Z, tak¾e sinh(sin z ) má koøeny ve v¹ech bodech z , které splòují rovnici
sin z = ni, neboli (viz návod) sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y) = ni.
Reálná èast rovnice je sin(x) cosh(y) = 0, pøitom cosh(y) > 0, tak¾e x = k, k 2 Z.
Imaginární èast rovnice je cos(x) sinh(y) = n, tj. ( 1)k sinh(y) = n, tj. sinh(y) = ( 1)k n. Odtud y = ( 1)k arcsinh(n).
V¹echny koøeny jmenovatele jsou tedy akn := k + i arcsinh(n), kde k; n 2 Z. V¹echny koøeny èitatele jsou mezi nimi
(pøípady n = 0).
Koøeny jmenovatele jsou jednonásobné: jeho derivace je cosh(sin z ) cos z , v bodì akn je zde první èinitel nenulový (máme
cosh2 sinh2 = 1) a druhý také (je cos2 akn = 1 sin2 akn = 1 + (n)2 > 0).
Funkce f má tedy jednonásobné koøeny v bodech ak0 = k, k 2 Z a jednonásobné póly v bodech akn , k 2 Z; n 2 Znf0g.
2. Pro kladnì orientovanou jednotkovou kru¾nici ' platí
Z
Z
Z 2
(z 3 + 1=z 3 )=2 dz
z6 + 1
1
cos 3x
dx =
=
dz = (res0 f + res1=2 f );
3
2i ' z (2z 1)(z 2)
' 5 4(z + 1=z )=2 iz
0 5 4 cos x
kde
z6 + 1
:
f (z ) = 3
z (2z 1)(z 2)
Funkce f má v bodì 1=2 jednonásobný pól, tak¾e
z6 + 1
65
res1=2 f = 3
j
res1=2 2z 1 1 = 24
:
z (z 2) z=1=2
6
Funkce f má v 0 trojnásobný pól, dvakrát derivovat funkci z 3 f (z ) = (2z z1)(+1z 2) je ale pracné. V P (0) je
1
1
1
1 1
1
=
= (1 + 2z + 4z 2 + : : : );
=
=
(1 + z=2 + z 2 =4 + : : : );
2z 1 1 2z
z 2
2 1 z=2
2
tak¾e
1
1
1
f (z ) = 3 (1 + z 6 ) (1 + 2z + 4z 2 + : : : ) (1 + z=2 + z 2 =4 + : : : ) = 3 ( + ( + 1 + 4) z 2 + : : : );
2z
2z
4
21 63
res0 f = = :
8 24
Tedy
Z 2
cos 3x
dx = (res0 f + res1=2 f ) = :
12
0 5 4 cos x
P
3. Je 2 s(a) 1=a2 = S (a) := +n=1 1 n2 +1 a2 ; v ¾ádném sèítanci nedìlíme nulou, jde o typ VI, viz pøedná¹ka. Odtud
S (a) = (res ia f + resia f ) ;
kde
cotg(z )
f (z ) := 2 2 :
z +a
Proto¾e f je lichá, platí
cotg(ai)
coth(a)
resai f = res ai f =
=
;
2ia
2a
odkud
coth(a)
S (a) =
a
1
coth(a)
s(a) = 2 +
:
2a
2a
28
Test ke zkou¹ce Úvod do komplexní analýzy, 7.2.2012, verze A
Pøíklad 1. Pro funkci
z+1
najdìte v¹echny koøeny a izolované singularity v S. Pro koøeny urèete jejich násobnost, pro izolované singularity jejich typ.
Pøíklad 2. Spoètìte integrál
Z 1
cos(ax)
I (a; b) =
2
2 3 dx; a; b > 0 :
0 (x + b )
f (z ) = 1 + cos
Pøíklad 3. Spoètìte integrál
J (a; b) =
1
Z
0
dx
; a 2 (0; 1); b > 0 :
xa (x + b)
Mo¾né øe¹ení.
1. f je holomorfní v := C n f 1g, proto¾e tam jde o slo¾ení dvou holomorfních funkcí. Izolované singularity: 1, 1.
lim1 f neexistuje: pro k 2 N, ak := 1 + 1=(2k), je f (ak ) = 1 + cos(2k) = 2, pro bk := 1 + 1=(2k + 1) je f (bk ) =
1 + cos((2k + 1)) = 0. V bodì 1 je podstatná singularita.
lim
1 f = 1 + cos(0) = 2, v bodì 1 je odstranitelná singularita, lze dodenovat f (1) := 2.
Koøeny v získáme z rovnice cos w = 1, tj. eiw + e iw = 2. Pro v = eiw 6= 0 je to kvadratická rovnice v2 + 2v + 1 = 0,
= (2k + 1) , 1 = 2k + 1, tak¾e v¹echny koøeny jsou z := 1 + 1
odtud v = 1, w = (2k + 1), k 2 Z. Odtud z+1
k
z+1
2k+1
2
k
= 2k+1 , k 2 Z.
Máme f 0 (z ) = sin((z + 1) 1 ) (z + 1) 2 , první èinitel je v bodech zk roven nule, proto¾e tam je cos(: : : ) = 1. Koøeny
zk tedy nejsou jednonásobné.
Máme f 00 (z ) = cos((z + 1) 1 ) 2 (z + 1) 4 sin(: : : ) : : : . První sèítanec je v bodech zk nenulový a druhý nula, tak¾e
00
f (zk ) 6= 0 a koøeny zk jsou 2-násobné.
R
ax
2. Integrand je sudá funkce, pou¾ijeme Typ II: I (a; b) = 21 11 (xcos
Im c, kde jsme oznaèili
2 +b2 )3 dx = Re(i c) =
c := resib eiaz (z 2 + b2 ) 3 :
Postup A. Èíslo c spoèteme pomocí vìty 12.1.3, s derivováním v bodì ib. Je c =
2c = [eiaz ]00 [(z + ib) 3 ]+2[eiaz ]0 [(z + ib) 3 ]0 +[eiaz ][(z + ib) 3 ]00 = e ab
1
2!
eiaz (z + ib)
3
00
v bodì z = ib, tak¾e
a2 (2ib) 3 +2ai( 3)(2ib) 4 +( 3)( 4)(2ib)
5 = i e ab 1 b 3 + a 3 b 4 + 3 c 5 = i e ab a2 b2 + 3ab + 3 .
ia2 81 b 3 ia 166 b 4 i 12
32 c
8
8
8
8b5
2
2
5
ab
Odtud I (a; b) = (a b + 3ab + 3)=(16 b e ).
Postup B. Èíslo c spoèteme
u¾itím Laurentovy
øady se støedem ib. Pro z = ib + ", " 2 P (0), je
2
a
2
iaz
ab
ia"
ab
e =e e =e
1 + ia" 2 " + : : : , dále
= e ab
5
(z 2 + b2 ) 3 = (2ib" + "2 ) 3 = (2ib") 3 (1 + 2"ib ) 3 = 8b3i "3 1 + 13 2"ib + 23 ( 2"ib )2 + : : : = 8b3i "3 1 23ib"
1
Vynásobením
tìchto dvou øadnajdeme koecient
c u " = 1=(z ib):
2
a
3a
3
1
ab a2 b2 + 3ab + 3 a pak stejný výsledek I (a; b) jako je v A.
c = e ab 8bi 3
2
2b
2b2 = i 16b5 e
3"2
2b2
R
(1 a)t
3. Jde o integrál typu IV. Po substituci x = et , t 2 R, je J (a; b) = 11 e et +b dt.
Jmenovatel má v C koøen c := i + ln b a dal¹í koøeny mimo pás Im 2 (0; 2). Oznaèíme-li B := 1 a
2i
z Bz
Q(z ) := 1=(z + b) je (viz pøedná¹ka) J (a; b) = 1 exp(2
Bi) resc Q(e )e .
exp(
Bz
)
exp(
Bc
)
exp(
Bi
)
exp(
B
ln
b
)
Spoèteme reziduum, resc exp(z)+b = exp(c) =
= eBi bB 1 = eBi b a .
b
2i
2i
Bi a
a
a
Nakonec upravíme J (a; b) = 1 exp(2
Bi) e b = exp( Bi)1 exp(Bi) b = sin(B) b = ba sin(a) .
+::: .
2 (0; 1) a
29
Test ke zkou¹ce Úvod do komplexní analýzy, 7.2.2012, verze B
Pøíklad 1. Pro funkci
z+1
najdìte v¹echny koøeny a izolované singularity v S. Pro koøeny urèete jejich násobnost, pro izolované singularity jejich typ.
Pøíklad 2. Spoètìte integrál
Z 1
sin(ax)
I (a; b) =
2
2 2 dx; a; b > 0 :
0 (x + b )
f (z ) = 1 + sin
Pøíklad 3. Spoètìte integrál:
J (a; b) =
1 xa dx
2 ; a 2 ( 1; 0); b > 0 :
0 (x + b)
Z
Mo¾né øe¹ení.
1.f je holomorfní v := C n f 1g, kde jde o slo¾ení dvou holomorfních funkcí. Izolované singularity jsou 1 a 1.
lim1 f neexistuje ani pro z 2 R, v bodì 1 je podstatná singularita.
lim
1 f = 1 + sin(0) = 1, v bodì 1 je odstranitelná singularita, f (1) := 1.
= 1, = + 2k , 1 = 1 + 2k = 4k 1 , tak¾e jsou z := 1 + 2 = 3 4k ,
Koøeny v øe¹í rovnici sin z+1
k
z+1
2
z+1
2
2
4k 1
4k 1
k 2 Z.
Máme f 0 (z ) = cos(=(z + 1)) (z + 1) 2 , první èinitel je v bodech zk roven nule, proto¾e tam je sin(:::) = 1. Koøeny
tedy nejsou jednonásobné.
Máme f 00 (z ) = sin(=(z + 1)) 2 (z + 1) 4 cos(: : : ) : : : . První sèítanec je v bodech zk nenulový a druhý nula. Koøeny
zk jsou 2-násobné.
R
ax
2. Integrand je sudá funkce, pou¾ijeme Typ II: I (a; b) = 12 11 (xcos
Im c, kde jsme oznaèili
2 +b2 )2 dx = Re(i c) =
c := resib eiaz (z 2 + b2 ) 2 :
Postup A. Èíslo c spoèteme pomocí vìty 12.1.3, s derivováním v bodì ib. Je c =
1
1!
eiaz (z + ib) 2
0
v bodì z = ib, tak¾e
c = [eiaz ]0 [(z + ib) 2 ] + [eiaz ][(z + ib) 2 ]0 = e ab ia (2ib) 2 2 (2ib) 3 = e ab ia 4b12 2 8bi 3 = i e ab 41b3 ab + 1 .
Odtud I (a; b) = (ab + 1)=(4 b3 eab ).
Postup B. Èíslo c spoèteme
u¾itím Laurentovy
øady se støedem ib. Pro z = ib + ", " 2 P (0), je
iaz
ab
ia"
ab
e =e e =e
1 + ia" + : : : , dále
(z 2 + b2 ) 2 = (2ib" + "2 ) 2 = (2ib") 2 (1 + 2"ib ) 2 = 4b21"2 1 + 12 2"ib + : : : = 4b21"2 1 + i "b + : : : .
1
Vynásobením tìchto
dvou
øad najdeme koecient c u " = 1=(z ib):
c = i e ab 41b2 1b + ia = i e ab 41b3 (1 + ab), a pak stejný výsledek I (a; b) jako je v A.
R
(1+a)t
3. Jde o integrál typu IV. Po substituci x = et , t 2 R, je J (a; b) = 11 eet +b dt.
Jmenovatel má v C koøen c := i + ln b a dal¹í koøeny mimo pás Im 2 (0; 2). Oznaèíme-li B := 1 + a
2i
z Bz
Q(z ) := 1=(z + b) je (viz pøedná¹ka) J (a; b) = 1 exp(2
Bi) resc Q(e )e .
exp(
Bz
)
exp(
Bc
)
exp(
Bi
)
exp(
B
ln
b
)
= eBi bB 1 = eBi ba .
Spoèteme reziduum, resc exp(z)+b = exp(c) =
b
2i
2i
ba
Bi a
a
a
Nakonec upravíme J (a; b) = 1 exp(2
Bi) e b = exp( Bi)1 exp(Bi) b = sin(B) b = sin( a) .
2 (0; 1) a
30
Test ke zkou¹ce Úvod do komplexní analýzy, 14.2.2012
Pøíklad 1. Pro funkci
1 exp(4z ) 1
z 3 1 cos z
najdìte v¹echny koøeny a izolované singularity v S. Pro koøeny urèete jejich násobnost, pro izolované singularity jejich typ.
Pøíklad 2. Spoètìte integrál
Z +1
dx
:
In =
1 (x2 + 1)n+1
f (z ) =
Pøíklad 3. Pro a > 0 spoètìte integrály
Z 1
Z 1
cos x
sin x
S (a) =
2 + a2 )2 dx ; C (a) =
2 + a2 )2 dx :
(
x
(
x
1
1
Mo¾né øe¹ení.
1. Èitatel i jmenovatel jsou celé funkce, f je tedy (po dodenování limitami) meromorfní v C.
Koøeny èitatele jsou ak := ki=2, k 2 Z a jsou jednonásobné, proto¾e derivace èitatele je 4 exp(4z ) 6= 0.
Koøeny funkce 1 cos z získáme øe¹ením rovnice cos z 1 = 0, tj. eiz + e iz 2 = 0. Pøi oznaèení eiz = v 6= 0 øe¹íme
kvadratickou rovnici v2 2v + 1 = 0, odtud v = 1, tak¾e eiz = 1, v¹echny koøeny funkce 1 cos z tedy jsou bn := 2n,
n 2 Z. Bod b0 = 0 je dvojnásobný koøen (Taylorova øada se støedem v nule je 1 (1 z 2 =2) + : : : ) a díky 2-periodì jsou
ostatní koøeny bn také dvojnásobné.
Funkce f tedy má v bodì nula 3 + 2 1 = 4-násobný pól, v bodech ak pro k 6= 0 jednonásobné koøeny, v
bodech bn pro n 6= 0 dvojnásobné póly.
2. Jde o integrál typu I, oznaème
f (z ) :=
1
1
=
(z 2 + 1)n+1 (z + i)n+1 (z
i)n+1
;
v bodech i jsou (n + 1)-násobné póly. Spoèteme
1
lim (z + i) n 1 (n) =
n! z ! i
1
= ( n 1)( n 2) ( n 1 n + 1) (2i) n
n!
4 n (2n)(2n 1) (n + 1)
=
=
2i n!
n
4
2n
=
2i n
resi f =
a tedy
1 n
=
2n
:
In = n
4 n
3. Jde o integrály typu II. V prvním z nich je integrandem lichá funkce, proto S (a) = 0. Druhý spoèteme, je
C (a) = Re 2i resia
(z
exp(iz )
:
ia)2 (z + ia)2
Reziduum funkce, která má v bodì ia dvojnásobný pól, najdeme derivováním pomocné holomorfní funkce v bodì ia,
1 exp(iz ) 0 i exp(iz )(z + ia)2 exp(iz ) 2 (z + ia)
=
;
1! (z + ia)2
(z + ia)4
pro z = ia je to
Odtud
e a ( 4ia2 4ia)
i (a + 1)
=
:
16 a4
4 a3 ea
C (a) =
(a + 1)
:
2 a3 ea