8 Urcitý integrál, krivkový integrál a Cauchyovy integráln´ı vety
Transkript
KMA/SKA TEORIE 8 analyza.KMA.zcu.cz 8 Určitý integrál, křivkový integrál a Cauchyovy integrálnı́ věty 8.1 Definice (primitivnı́ funkce). Necht’ funkce f je definována na oblasti Ω ⊂ C. Holomorfnı́ funkce F se nazývá primitivnı́ funkcı́ k funkci f na Ω, pokud platı́ ∀z ∈ Ω : F 0 (z) = f (z). R Množina všech primitivnı́ch funkcı́ k funkci f se značı́ f (z) dz. 8.2 Věta (vlastnosti primitivnı́ch funkcı́). i) Je-li F primitivnı́ funkce k f na Ω, potom také F + c je primitivnı́ funkcı́ k f na Ω pro libovolné c ∈ C. ii) Jsou-li F, G primitivnı́ funkce k f, g na Ω, potom αF + βG je primitivnı́ funkce k αf + βg na Ω pro libovolné α, β ∈ C. iii) Integrace per partes: Jsou-li F, G primitivnı́ funkce k f, g v Ω a H je primitivnı́ k f G, potom (F G − H) je primitivnı́ k F g. 8.3 Definice (určitý integrál). Má-li funkce f v oblasti Ω ⊂ C primitivnı́ funkci F , pak pro z1 , z2 ∈ Ω definujeme určitý integrál Zz2 f (z) dz = F (z2 ) − F (z1 ). z1 Poznámka. i) Obecně neplatı́, že ke každé funkci spojité na Ω existuje funkce primitivnı́ (jako je tomu u reálných funkcı́). ii) Pro existenci primitivnı́ funkce k funkci f na Ω je třeba holomorfnosti funkce f na Ω a navı́c integračnı́ množina Ω musı́ být jednoduše souvislá oblast. posledn zm ena: 30.11.2009 1 KMA/SKA TEORIE 8 analyza.KMA.zcu.cz 8.4 Definice (křivkový integrál). Necht’ (ϕ, ha, bi) je křivka, D : a = t0 < t1 < · · · < tn = b je dělenı́ intervalu ha, bi, n ∈ N. Dále necht’ kDk = max (tk − tk−1 ) je norma dělenı́ D, zk = ϕ(tk ), k = 0, 1, . . . , n, a τk ∈ htk−1 , tk i k=1,2,...,n jsou libovolně zvolené body. Pak Riemannovým integrálnı́m součtem z funkce f po křivce ϕ nazveme hodnotu J(D, {τk }) = n X f (ϕ(τk ))(zk − zk−1 ). k=1 Pokud pro každou posloupnost dělenı́ {Dn }, pro kterou platı́ kDn k → 0 pro n → ∞ a při každé volbě bodů {τk } existuje konečná limita lim J(Dn , {τk }) = J, kDn k→0 nazveme hodnotu limity J křivkovým integrálem funkce f podél křivky ϕ. R R R f (z) dz. Křivkový integrál značı́me f (z) dz nebo také f dz nebo přesněji ϕ ϕ hϕi 8.5 Věta (existence křivkového integrálu). Necht’ (ϕ, ha, bi) je rektifikovatelná křivka a necht’ f je komplexnı́ funkce definovaná, konečná a spojitá na množině hϕi. Pak existuje křivkový integrál a platı́ Z Z Z f (z) dz = u(x, y) dx − v(x, y) dy + i v(x, y) dx + u(x, y) dy, ϕ ϕ ϕ kde integrály na pravé straně jsou křivkové integrály II. druhu. Poznámka. i) Pokud křivka (ϕ, ha, bi) splňuje ϕ(t) = t, a, b ∈ R a funkce f je reálná, tj. f (z) = f (x) + i 0, potom Z Zb n X f (z) dz = lim f (τk )(xk − xk−1 ) = (R) f (x) dx. n→∞ ϕ k=1 a ii) Pokud křivka (ϕ, ha, bi) splňuje ϕ(t) = t, a, b ∈ R a funkce f je komplexnı́ funkce reálné proměnné, tj. f (z) = u(x) + i v(x), potom b Z b Z Z n X f (z) dz = lim (u(τk ) + i v(τk ))(xk − xk−1 ) = (R) u(x) dx + i (R) v(x) dx. n→∞ ϕ posledn zm ena: 30.11.2009 k=1 a a 2 KMA/SKA TEORIE 8 analyza.KMA.zcu.cz 8.6 Věta (o výpočtu křivkového integrálu). Je-li f (z) integrovatelná po (po částech) hladké křivce (ϕ, ha, bi), potom Zb Z f (z) dz = ϕ f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt. a Poznámka. i) Integrovatelná funkce f (z) je podle věty o existenci křivkového integrálu každá konečná a spojitá funkce. ii) Integrál na pravé straně je Riemannův nebo Newtonův integrál reálné funkce reálné proměnné. 8.7 Věta (vlastnosti křivkového integrálu). Pro libovolnou (po částech) hladkou křivku (ϕ, ha, bi) a integrovatelné funkce f, g platı́: i) Linearita integrálu: Z Z (αf + βg)(z) dz = α ϕ Z f (z) dz + β ϕ g(z) dz; ϕ ii) Integrál přes opačně orientovanou křivku: Z Z f (z) dz = − f (z) dz; ϕ −̇ϕ iii) Integrál přes po částech hladkou křivku: Je-li ϕ = ϕ1 +̇ϕ2 +̇ . . . +̇ϕn , potom Z f (z) dz = n Z X f (z) dz; j=1 ϕ j ϕ iv) Substituce: Necht’ g : C → C je funkce se spojitou a nenulovou derivacı́ na okolı́ množiny hϕi. Pak definuji ψ(t) = g(ϕ(t)) a (ψ, ha, bi) je také hladká křivka v C a platı́ (substituce w = g(z)) Z Z f (w) dw = f (g(z)) g 0 (z) dz. ψ posledn zm ena: 30.11.2009 ϕ 3 KMA/SKA TEORIE 8 analyza.KMA.zcu.cz 8.8 Věta (vztah křivkového integrálu a primitivnı́ funkce). Je-li f : C → C spojitá funkce v oblasti Ω ⊂ C, potom následujı́cı́ tvrzenı́ jsou ekvivalentnı́: i) f má primitivnı́ funkci v Ω. R ii) f (z) dz = 0 pro každou uzavřenou křivku ϕ ležı́cı́ v Ω (tj. hϕi ⊂ Ω). ϕ iii) Křivkový integrál nezávisı́ na integračnı́ cestě. Tj. jsou-li (ϕ1 , ha1 , b1 i) a (ϕ2 , ha2 , b2 i) dvě křivky splňujı́cı́ hϕ1 i , hϕ2 i ⊂ Ω a ϕ1 (a1 ) = ϕ2 (a2 ), ϕ1 (b1 ) = ϕ2 (b2 ), potom Z Z f (z) dz = f (z) dz. ϕ1 ϕ2 8.9 Věta (Cauchyova fundamentálnı́ věta). Je-li Ω ⊂ C jednoduše souvislá oblast a funkce f je holomorfnı́ v Ω, potom pro každou Jordanovu křivku ϕ ležı́cı́ v Ω platı́ I f (z) dz = 0. ϕ 8.10 Věta (Cauchyova-Goursatova věta). Necht’ ϕ je Jordanova křivka v C a Ω je vnitřnı́ oblast (vnitřek) křivky ϕ (tj. Ω = Int ϕ). Jestliže funkce f je holomorfnı́ v Ω, konečná a spojitá v uzávěru Ω = Ω ∪ hϕi, potom platı́ I f (z) dz = 0. ϕ 8.11 Věta (Cauchyova-Goursatova věta pro vı́cenásobně souvislou oblast). Necht’ ϕ, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , n ∈ N, jsou souhlasně orientované Jordanovy křivky v C takové, že Int ϕj ⊂ Int ϕ pro j = 1, 2, . . . , n a Int ϕj ∩ Int ϕi = ∅ pro i 6= j. Jestliže funkce f je holomorfnı́ v Ω = Int ϕ − ∪nj=1 Int ϕj , konečná a spojitá v uzávěru Ω, potom platı́ I n I X f (z) dz = f (z) dz. ϕ posledn zm ena: 30.11.2009 j=1 ϕ j 4 KMA/SKA TEORIE 8 analyza.KMA.zcu.cz 8.12 Věta (Cauchyův integrálnı́ vzorec). Necht’ ϕ je kladně orientovaná Jordanova křivka v C a Ω je vnitřek křivky ϕ (tj. Ω = Int ϕ). Jestliže funkce f je holomorfnı́ v Ω, konečná a spojitá v uzávěru Ω = Ω ∪ hϕi, potom platı́ (Cauchyův integrálnı́ vzorec) I f (z) 1 dz. ∀z0 ∈ Ω : f (z0 ) = 2πi z − z0 ϕ Navı́c má potom funkce f v Ω derivace všech řádů a platı́ pro ně vyjádřenı́ (zobecněný Cauchyův integrálnı́ vzorec) I n! f (z) (n) ∀n ∈ N ∀z0 ∈ Ω : f (z0 ) = dz. 2πi (z − z0 )n+1 ϕ 8.13 Věta (existence derivacı́ všech řádů pro holomorfnı́ funkci). Je-li funkce f holomorfnı́ v otevřené množině M ⊂ C, potom má v M derivace všech řádů a všechny jejı́ derivace jsou také holomorfnı́ v M . posledn zm ena: 30.11.2009 5
Podobné dokumenty
O imaginární matematice
Cauchyho integrálnı́ vzorce
Necht’ γ je jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka
v C a necht’ funkce f : C → C je holomorfnı́ na Ω = int γ a spojitá na Ω.
Pak pro ...
Modelován´ı elastických vln ve vrstevnatém prostˇred´ı
matic, ale přetřı́dit rovnice tak, aby se matice nestala špatně podmı́něnou. Tato technika zachová výhodu malé systémové matice, ale ztratı́ koncepčnı́ jednoduchost Thomson-Haskellovy
fo...
integrál po krivce
DŮSLEDKY CAUCHYOVA VZORCE
Cauchyův vzorec má mnoho důsledků. Nejdříve je vhodné si uvědomit, že lze používat větu z kapitoly o integrálech s parametrem, která uvádí podmínky pro záměnu
der...
4 - Petr Olšák
• prvku x zobrazenı́ A přiřadı́ prvek y, který nazýváme hodnota
zobrazenı́ v bodě x nebo obraz prvku x a značı́me jej A(x). Mluvı́me-li o obrazu prvku x, pak prvek x nazýváme vzor.
Modelové cvičení z matematiky: Základy programu Maple
(B) Povel „Dÿ u první a „(D@@k)ÿ u k-té derivace. Ukázka: nejdříve definujeme funkci, např. f:= x -> sqrt(x∧ 2+1); a pak D(f ) určí její první a (D@@3)(f ) její třetí derivaci. Pokud chceme s těmit...
Soustavy lineárních rovnic
Poznámka 5.3. Nechť soustava lineárních rovnic S(m,n) má nekonečně mnoho řešení, neboli h( A ) = h( R ) < n .
Vztah zahrnující všechna řešení soustavy se nazývá obecné řešení soustavy. Dosadíme-li ...
22 Riemannova metrika a obsah plochy
kde M je průmět kružnice, která vznikne průnikem paraboloidu a roviny z = 1, do roviny
xy. Pro řešenı́ zavedeme polárnı́ souřadnice x = % cos ϕ a y = % sin ϕ, kde jacobián J = %.
Oblast M...