Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Příklad 1: Je dána kružnice k(O,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu
AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1.
Návod:
Sestrojte obraz kružnice k ve stejnolehlosti se středem v M a λ = - 0,5, průsečíky k´a k jsou
krajní body A hledaných tětiv. Body B jsou obrazy bodů A ve stejnolehlosti se středem v M
aλ=-2
Příklad 2: Uvnitř kružnice k(S,r) leží bod M. Bodem M sestrojte tětivu AB tak, aby platil
vztah |AM| : |BM| = 2 : 3
Návod:
Sestrojte kružnici k´, která je obrazem kružnice k ve stejnolehlosti se středem v M
a λ = – 2 / 3. Průsečíky kružnic k a k´jsou krajní body hledaných tětiv. Další postup – viz
úloha 1.
Příklad 3: Je dána kružnice k(S,r) a bod Q v její vnější oblasti. Sestrojte všechny úsečky AB
s krajními body ležícími na kružnici k, pro které platí : |QA| = 3 . |QB|
Návod:
Sestrojte obraz k´ kružnice k ve stejnolehlosti se středem Q a λ = 1/3. Průsečíky
kružnic k a k´jsou body B hledaných úseček. Body A jsou obrazy bodů B ve stejnolehlosti
se středem Q a λ = 3 .
Příklad 4: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém je a : b : c = 2 : 3 : 4, vc = 5 cm.
Návod:
Sestrojte pomocný trojúhelník A´B´C´ se stranami v poměru 2 : 3 : 4 (např. a = 4cm, b = 6cm,
c = 8cm) a sestrojte jeho výšku v´c (její délka není 5 cm)
Dále je možno postupovat třemi způsoby (rozhodněte, která konstrukce je nejjednodušší):
1. Výšku v´c upravte na 5 cm tak, že v´c je vnitřní částí úsečky o délce 5 cm. Hledaný
trojúhelník ABC je obrazem A´ B´C´. Při konstrukci využíváme vlastnosti
stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné.
2. Výšku v´c upravte na 5 cm tak, že v´c prodloužíte od paty kolmice. Hledaný
trojúhelník ABC je obrazem A´ B´C´. Při konstrukci využíváme vlastnosti
stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné.
3. Výšku v´c upravte na 5 cm tak, že v´c prodloužíte od vrcholu C´. Hledaný trojúhelník
ABC je obrazem A´ B´C´ ve stejnolehlosti se středem v C´. Při konstrukci využíváme
vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné.
Nejjednodušší je třetí postup (sestrojujete pouze jednu rovnoběžku).
Příklad 5: Sestrojte rovnostranný trojúhelník KLM o výšce v = 6 cm.
Návod:
Sestrojte pomocný rovnostranný trojúhelník K´L´M´. Výšku M´X´ upravte na 6 cm.
Trojúhelník KLM je obrazem trojúhelníku K´L´M´ve stejnolehlosti se středem v M´.
Využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné.
Příklad 6:Do rovnostranného trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN tak, aby K, L ∈ AB,
M ∈ BC, N ∈ AC.
Návod:
Do rovnostranného trojúhelníka ABC sestrojte pomocný čtverec K´L´M´N´ tak, aby
K´, L´ ∈ AB, N´∈ AC. Čtverec KLMN je obrazem čtverce K´L´M´N´ ve stejnolehlosti se
středem v A. Využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že přímka procházející bodem a jeho
obrazem prochází středem stejnolehlosti.
Příklad 7:Do kruhové výseče (S = 6 cm, α = 60° ) vepište čtverec ABCD.
Návod:
Do zadané kruhové výseče sestrojte pomocný čtverec A´B´C´D´ tak, aby body A´,B´,D´
ležely na poloměrech zadané výseče. Bod C je obrazem bodu C´ se středem v bodě S.
Příklad 8: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a : b : c = 2 : 3 : 4, a poloměr kružnice vepsané má
délku ρ = 3cm.
Návod:
Sestrojte pomocný trojúhelník A´B´C´ s poměrem stran a : b : c = 2 : 3 : 4 (např. 4cm, 6cm,
8cm), sestrojte střed S poloměr kružnice vepsané ρ´, ten upravte na 3 cm. Hledaný trojúhelník
ABC je obrazem trojúhelníka A´B´C´ ve stejnolehlosti se středem v S. Využíváme vlastnosti
stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem rovnoběžné.
Příklad 9: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li α = 60° , β = 45° , vc = 6 cm.
Návod:
Sestrojte pomocný trojúhelník A´B´C´, ve kterém je α = 60° , β = 45°, c má libovolnou délku.
Výšku v´c upravte na 6 cm. Trojúhelník ABC je obrazem trojúhelníka A´B´C´ ve
stejnolehlosti se středem v C´. Využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky
jsou navzájem rovnoběžné.
Příklad 10: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li α = 75° , γ = 45° , r = 6 cm.
Návod:
Sestrojte pomocný trojúhelník A´B´C´ s úhly α = 75° , γ = 45°, b má libovolnou délku.
Sestrojte kružnici opsanou trojúhelníku A´B´C´ (nebo jen střed S a poloměr r´). Poloměr r´
upravte na 6 cm. Trojúhelník ABC je obrazem trojúhelníka A´B´C´ ve stejnolehlosti se
středem v S. Využíváme vlastnosti stejnolehlosti, že odpovídající si přímky jsou navzájem
rovnoběžné.