SHODNÁ ZOBRAZENĺ (isometrické transformace)

1
Typeset by LATEX 2ε
SHODNÁ ZOBRAZENĺ (isometrické transformace)
Osová souměrnost
1. Jsou dány tři různé přímky o1 , o2 , o3 procházející bodem S, na přímce o1 leží bod A 6= S. Sestrojte
4ABC, jehož osy vnitřních úhlů leží v přímkách o1 , o2 , o3 .
2. Je dán dutý úhel 6 M V N velikosti 45o . Na polopřímce 7→ V N leží body A, B, |AV | = 4cm a |BV | = 14cm.
Sestrojte čtyřúhelník AXY B, kde X, Y leží na polopřímce 7→ V M a úhel 6 AXY je shodný s úhlem 6 XY B
a |XY | = 3cm.
3. Je dán ostrý úhel 6 M V N a jeho vnitřní bod A. Sestrojte 4ABC tak, aby B ∈7→ V M , C ∈7→ V N a
zároveň byl obvod tohoto trojúhelníku nejmenší.
4. Jsou dány body X, Y a přímka p, která je odděluje. Sestrojte rovnoramenný 4ABC, jehož hlavní vrchol
je bod C, osou souměrnosti přímka p a jehož ramena mají danou velikost a. Přímka ↔ AC nechť prochází
bodem X a přímka ↔ BC bodem Y .
5. Sestrojte konvexní čtyřúhelník ABCD se stranami dané velikosti, je-li polopřímka 7→ AC osou vnitřního
úhlu při vrcholu A.
6. Jsou dány tři různé přímky o1 , o2 , o3 procházející bodem O, na přímce o1 je dán bod A1 . Sestrojte 4ABC
tak, aby přímky o1 , o2 , o3 byly osami jeho stran a bod A1 středem strany BC.
7. Dokažte, že body souměrně sdružené s ortocentrem (průsečíkem výšek) 4ABC podle přímek, v nichž leží
strany, leží na kružnici opsané 4ABC.
8. Jsou dány kružnice k1 (S1 ; r1 ), k1 (S1 ; r1 ), (r1 6= r2 ) a bod P uvnitř úsečky S1 S2 , přičemž |S1 P | > |S2 P |.
Bodem P veďte kolmici k přímce S1 S2 . Sestrojte čtverec ABCD tak, aby A ∈ k1 , C ∈ k2 a body B, D
ležely na přímce p.
Středová souměrnost
9. Sestrojte 4AM N , kde M ∈7→ AC a N ∈7→ AB a T je těžiště 4AM N , kde T náleží vnitřku ostrého úhlu
6 BAC.
10. Sestrojte čtverec M N P Q se středem S tak, aby ↔ M N procházela bodem A a ↔ P Q procházela bodem
B, kde A, B, S jsou libovolné tři nekolineární body.
11. Je dána kružnice k(S; r). Bodem P , který leží vně této kružnice, veďte přímku p, která protíná kružnici
v bodech A, B tak, že bod A je středem úsečky BP .
12. Sestrojte 4ABC, je-li dána strana c, těžnice ta a ostrý úhel ϕ, který určuje těžnice se stranou AC, tj.
6 (ta , AC).
13. Jsou dány dvě shodné kružnice k1 , k2 a bod A, nenáležející pásu, který svírá obě kružnice. Bodem A veďte
přímku p tak, aby na kružnicích k1 , k2 vytínala shodné úseky.
14. Jsou dány dvě soustředné kružnice a na jedné z nich bod M . Sestrojte rovnoběžník se středem v bodě M ,
aby jeho vrcholy ležely na některé z obou kružnic.
15. Jsou dány čtyři kružnice a bod S. Sestrojte rovnoběžník ABCD se středem S tak, aby jeho vrcholy ležely
k1 , k2 , k3 , k4 .
Translace
16. Jsou dány dvě kružnice k1 , k2 a přímka p. Sestrojte takovou přímku rovnoběžnou s přímkou p tak, aby
na obou kružnicích vytínala shodné tětivy.
17. Užitím posunutí sestrojte kružnici, která se dotýká přímek a, b, c takových, že a k b a c je s oběma
různoběžná.
18. Jsou dány dvě kružnice k1 , k2 , přímka p a úsečka délky d. Sestrojte na kružnici k1 bod X a na kružnici
k2 bod Y tak, aby platilo |XY | = d ∧ ↔ XY k p.
2
Typeset by LATEX 2ε
19. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a přímka c, která je protíná. Sestrojte rovnostranný 4ABC o
straně délky d tak, aby vrcholy A, B, C ležely po řadě na přímkách a, b, c.
20. Je dána kružnice k(S; r) a uvnitř této kružnice bod A 6= S. Sestrojte rovnoběžník ABCD, jehož vrcholy
B, C, D leží na kružnici a |AB| = r.
21. Jsou dány dvě různoběžky a, b a úsečka M N , která neprotíná přímky a, b. Sestrojte čtverec XY ZU tak,
aby X ∈ a, Y ∈ b, |XY | = |M N |, XY k M N .
22. Sestrojte lichoběžník, jsou-li dány
(a) velikosti jeho stran.
(b) velikosti jeho základen a úhlopříček.
Rotace
23. Jsou dány soustředné kružnice k1 , k2 a bod C, který leží uvnitř obou kružnic. Sestrojte rovnostranný
4ABC tak, aby bod A ležel na k1 a bod B na k2 .
24. Jsou dány dvě navzájem kolmé přímky a, b a bod C, který neleží ani na jedné z nich, a úhel γ. Sestrojte
rovnoramenný 4ABC s hlavním vrcholem C a úhlem při hlavním vrcholu C tak, aby A ∈ a, B ∈ b.
25. Do čtverce ABCD vepište rovnostranný 4P QR, je-li bod P ∈ AB a platí |AP | = 3|BP |.
26. Do daného rovnoběžníku vepište čtverec (vrcholy čtverce leží na stranách rovnoběžníku).
27. Je dána kružnice k(S; r) a bod P 6= S. Bodem P veďte přímku, na které kružnice k vytíná úsečku dané
velikosti d < 2r.
Posunutá souměrnost
28. Jsou dány přímka p a dva body A, B uvnitř téže poloroviny vyťaté přímkou p. Na přímce p sestrojte
úsečku XY délky d tak, aby součet AX + XY + Y B byl co nejmenší.
Grupa shodných zobrazení
29. Dokažte, že všechna shodná zobrazení, kterými se reprodukuje
(a) rovnostranný trojúhelník
(b) čtverec
(c) obdélník
tvoří grupu.
30. Dokažte,
(a) složením translace T a rotace R, která není středovou souměrností, vznikne rotace téhož smyslu jako
R a úhly obou rotací jsou shodné.
(b) Složením dvou translací vznikne translace nebo identita.
(c) Složením translace a středové souměrnosti vznikne středová souměrnost.
31. Složením středové souměrnosti se středem S1 a středové souměrnosti se středem S2 (S1 6= S2 ) vznikne
translace S1 → S20 , přičemž úsečka S1 S20 má střed S2 . Je-li S1 = S2 , pak S1 · S2 = I.
32. Dokažte, že složením dvou rotací vznikne shodnost přímá (identita, otočení, posunutí).
33. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC. Vyšetřete shodné zobrazení, které vznikne složením souměrností,
jejichž osy jsou po řadě přímky AB, BC, CA.
3
Typeset by LATEX 2ε
PODOBNÁ ZOBRAZENĺ (ekviformnĺ transformace)
34. Do trojúhelníku ABC vepište čtverec M N P Q tak, aby M, N ∈ AB, P ∈ BC, Q ∈ AC.
35. Je dán kruhový oblouk. Vepište do něj čtverec tak, aby dva jeho vrcholy ležely na tětivě a dva na oblouku.
36. Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby platilo a : b = 4 : 5, γ = 60o , vc = 5.
37. Je dán trojúhelník ABC, určete střed strany AB, je-li bod B nepřístupný.
38. Spojte bod M s nepřístupným průsečíkem různoběžek a, b.
39. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán bod A, ortocentrum V a těžiště T , přičemž A, V, T jsou nekolineární.
40. Je dána kružnice k a bod P 6∈ k. Určete body X, Y ∈ k takové, že
|P X|
|P Y |
= λ ∈ <.
41. Je dána kružnice k a na ní tři různé body A, B, C. Najděte na k bod X takový, aby tětiva AX byla tětivou
BC půlena.
42. Každým vrcholem trojúhelníku ABC veďte přímky rovnoběžné s protější stranou, které určí trojúhelník
A0 B 0 C 0 . Dokažte, že trojúhelník A0 B 0 C 0 a trojúhelník ABC jsou podobné (stejnolehlé). Určete střed a
koeficient κ.
43. Sestrojte kružnici, která se dotýká dvou různoběžných přímek a, b a prochází daným bodem A. (jedna z
Apolloniových úloh)
44. Sestrojte kružnici, která se dotýká dvou různoběžných přímek a dané kružnice k1 . (jedna z Apolloniových
úloh)
45. Kružnice k prochází dvěma různými body a dotýká se dané přímky. (jedna z Apolloniových úloh)
46. Jakou mocnost má střed S1 kružnice k1 o poloměru r1 vzhledem ke kružnici k2 se středem S2 a poloměrem
r2 , jestliže k1 , k2 se protínají ortogonálně.
47. Sestrojte kružnici, která se dotýká dané kružnice k1 a prochází dvěma různými body A, B. (jedna z
Apolloniových úloh)
Pappovy úlohy
Sestrojte kružnici, která splňuje následující podmínky:
48. pT , A (P-1);
49. pT , p0 (P-2);
50. pT , k (P-3);
51. kT , A (P-1∗ );
52. kT , p (P-2∗ );
53. kT , k 0 (P-3∗ ).
Konstrukce algebraických výrazů
54. Jsou dány úsečky o délkách a, b, c, d. Sestrojte úsečku délky x, kde
(a) x =
(b) x =
(c) x =
a2 −bc
d
√
√
a2 − bc
a2 + b2 − c2
55. Určete obdélník o stranách a, b tak, aby obsahy trojúhelníku i obdélníku se sobě rovnaly.
56. Je dán obdélník o stranách a, b. Určete (sestrojte) čtverec tak, aby obsahy obou obrazců se sobě rovnaly.
57. Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte čtverec, který má stejný obsah jako trojúhelník ABC.
4
Typeset by LATEX 2ε
AFINNĺ ZOBRAZENĺ
58. Je dána přímka o, trojúhelník ABC a dvojice bodů X, X 0 . Sestrojte obraz 4A0 B 0 C 0 trojúhelníku ABC
v osové afinitě s osou o, v které je obrazem bodu X bod X 0 ; XX 0 6k o.
59. Je dána přímka o a trojúhelník ABC. Sestrojte obraz 4A0 B 0 C 0 trojúhelníku ABC v takové osové afinitě
s osou o, aby trojúhelník A0 B 0 C 0 byl rovnostranný.
60. Je dána přímka o a rovnoběžník ABCD. Sestrojte obraz A0 B 0 C 0 D0 rovnoběžníku ABCD v osové afinitě
s osou o tak, aby rovnoběžník A0 B 0 C 0 D0 byl čtverec.
61. Je dána přímka o a rovnoběžník ABCD. Sestrojte obraz A0 B 0 C 0 D0 rovnoběžníku ABCD v osové afinitě
s osou o tak, aby rovnoběžník A0 B 0 C 0 D0 byl obdélník, jehož strany jsou v daném poměru a : b.
62. Jsou dány dvojice bodů A, A0 a B, B 0 ; AA0 k BB 0 , dále číslo k = − 52 a bod X. K bodu X najděte jeho
obraz X 0 v osové afinitě s charakteristikou k, ve které je obrazem bodu A bod A0 a obrazem bodu B bod
B0.
63. Jsou dány body A, A0 a přímky a, a0 , na kterých body A, A0 neleží; dále je dána přímka x. K přímce x
sestrojte její obraz x’ v osové afinitě, ve které je obrazem bodu A bod A0 a obrazem přímky a přímka a0 .
64. Osová afinita je dána svojí osou o a dvojicí vzájemně přiřazených bodů A, A0 . Dále jsou dány dvě přímky
x, y. Na přímce x najděte bod X, na přímce y bod Y tak, aby v afinitě byl obrazem bodu X bod Y .
65. Jsou dány čtyři přímky a, a0 a b, b0 a bod X. V osové afinitě, ve které je obrazem přímky a přímka a0 a
přímky b přímka b0 , sestrojte obraz X 0 bodu X.
KRUHOVÁ INVERZE
Úlohy na omezené nákresně
66. Jsou dány 2 různoběžky a, b a jejich nepřístupný průsečík V a bod M . Sestrojte přímku M V . (Srovnejte
s využitím stejnolehlosti.)
67. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímky t v bodě T a prochází nepřístupným bodem V , což je průsečík
různoběžek a, b.
68. Sestrojte střed S kružnice k, která prochází nepřístupnými body A ∈ x ∩ y, B ∈ u ∩ v a přístupným bodem
C.
69. Jsou dány dvě kružnice k1 , k2 , jejichž středy jsou nepřístupné, a přístupný je jeden jejich společný bod A.
Sestrojte bodem A tečny kružnic k1 , k2 .
70. Jsou dány dvě kružnice k1 , k2 protínající se ve dvou bodech, jejichž středy jsou nepřístupné, a přístupný
je jen jeden jejich společný bod A. Sestrojte společnou tětivu obou kružnic.
71. Sestrojte střed kružnice opsané trojúhelníku, jehož vrcholy A ∈ b ∩ c, B ∈ a ∩ c, C ∈ a ∩ b jsou nepřístupné.
Apolloniovy úlohy
Sestrojte kružnici, která splňuje následující podmínky:
72. BBB;
73. BBp;
74. BBk;
75. Bpp;
76. Bpk;
77. Bkk;
78. ppp;
79. ppk;
80. pkk;
81. kkk.