11 Analytická geometrie v rovině

11 Analytická geometrie v rovině
V této části se budeme zabývat pouze rovinou
v prostoru 3 neplatí.
2.
Využijeme některých vlastností, které
11.1 Poznámka: Opakování
u = (u1, u2), v = (v1, v2)
||u||= (u12 + u22)
u.v = u1v1 + u2v2
vektory
velikost vektoru
skalární součin vektorů
A = [a1, a2], B = [b1, b2]
body
AB = (b1 – a1, b2 – a2)
vektor
2
||AB|| = ((b1 – a1) + (b2 – a2)2)
vzdálenost dvou bodů
parametrické rovnice přímky
p: x = a1 + tu1
y = a2 + tu2
p = {A, u}, u – směrový vektor
t R
11.2 Příklad:
Dokažte, že ∆ABC, A=[3,2], B=[3,7], C=[5,6] je pravoúhlý
a) pomocí skalárního součinu
b) pomocí Pythagorovy věty
Řešení:
a) AB = (0,5), AC = (2,4), BC = (2,-1)
AC.BC = 4 – 4 = 0
pravý úhel je při vrcholu C
b=||AC||= (22+42)= 20
b) c=||AB||=5
a=||BC||= 5
a2 + b2 = 5 + 20 = 25 = 52 = c2
11.3 Příklad:
Určete y tak, aby ∆ABC byl pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu B, A=[4,1], B=[-3,2],
C=[1,y]
Řešení:
BA = (7,-1) BC = (4,y-2)
BA.BC = 28 – y + 2 = 0
=>
y = 30
11.4 Příklad:
Ukažte, že body A=[-3,4], B=[3,2], C=[6,1] jsou kolineární
Řešení: body A,B,C jsou kolineární <=> AB je násobkem AC
AB = (6,-2), AC = (9,-3)
=>
AB = 3/2 AC
11.5 Poznámka: Obecná rovnice přímky
V rovině platí, že k přímce existuje jednoznačně (až na násobek) kolmý vektor.
přímku můžeme určit bodem a směrovým vektorem
přímku můžeme určit bodem a normálovým vektorem
X p

AX
u

AX.u = 0
A = [a1, a2], X = [x, y], u = (a, b)
AX.u = 0

(x – a1)a + (y – a2)b = 0
ax + by + ( - aa1 – ba2) = 0
ax + by + c = 0
koeficienty u x a y jsou souřadnice normálového vektoru
Napište obecnou rovnici přímky určenou A = [3,2], u = (15, -5)
15x – 5y – 35 = 0
15.3 – 5. 2 + c = 0
=> c= -35
počítat zpaměti !!!
u = (15, -5) ~ (3, -1) lepší vzít vektor s menšími čísly souřadnic, ale stejného směru
3x – y – 7 = 0
15x – 5y – 35 = 0
/5
Obecná rovnice přímky je dána jednoznačně až na násobek.
11.6a Poznámka: obecná -> parametrické
Přechod mezi rovnicí obecnou a rovnicemi parametrickými.
protože
(a,b).(-b,a)=-ab+ab=0
u =(a,b) a zároveň
u .u|| = 0 <=> u|| = (-b,a)
z obecné rovnice na parametrické
p: 3x – y + 1 = 0
=>
u =(3,-1) => u|| = (1,3)
A = [0,1]
=>
p: x =
t
y = 1 + 3t
souřadnice mezi sebou prohodit a u
jedné změnit znaménko
jednu souřadnici volím a druhou
dopočtu, vhodná volba něco = 0
11.6b Poznámka: parametrické -> obecná
z parametrických na obecnou
q: x = 2 – 3t
y = -1 – 2t
u|| = (-3,-2) => u =(2,-3) souřadnice mezi sebou prohodit a u
jedné změnit znaménko
A = [2,-1]
=>
q: 2x – 3y – 7 = 0
11.7 Poznámka: směrnice
Směrnicový a úsekový tvar přímky
ax + by + c = 0
b≠0
y=(-a/b)x + (-c/b)
přeznačení
y = kx + q
- směrnicový tvar
k - směrnice
q – úsek na ose y
Nejdou tak napsat rovnoběžky s osou y !!!
a≠0 , b≠0, c≠0
ax by
c
x
y
1
c
c
a
b
přeznačení
x
A
y
B
1
směrnicový tvar
A – úsek na ose x
B – úsek na ose y
Nejdou tak napsat žádné rovnoběžky s osou x, ani s osou y ani žádná přímka procházející
počátkem - využívá se při rýsování
11.8 Příklady: na převod
S přímkami a jejími částmi se v geometrii pracuje neustále. V analytické geometrii pomocí
přímek počítáme délky, vzdálenosti, úhly, společné body, apod. Ke každé úloze je výhodnější
jiné vyjádření téže přímky: parametricky, obecnou rovnicí či pomocí směrnice a úseku. Pro je
třeba umět rychle převádět rovnici přímky z jednoho typu vyjádření na druhý.
Pod označením Cvičení na převod najdete v menu tabulku, ve které jsou příklady na napsání
rovnice přímky ve všech typech při různém výchozím zadání (informacích o přímce). Napsat
potřebný tvar rovnic přímky musí být rychlý, abyste se mohli zabývat podstatou zadaného
příkladu a netopili se na takovém základu (napsat rovnici přímky). Proto byste měli v průměru
dosáhnout vyplnění jednoho řádku tabulky zhruba za jednu minutu. Kontrolu správnosti
můžete provést v textu Výsledky převodu.
Několik vzorů je postupovat:
dány dva body přímky A = [-1,2], B = [0,6]
směrový vektor u|| ≈ B-A ≈ (1,4) => normálový vektor u = (4,-1) přehodit
parametrické x = -1 + t, y = 2 + 4t
směrový vektor a bod A
obecná
4x – y + 6 = 0
normálový vektor a bod A
směrnicový
y = 4x + 6
výpočet y z obecné
dán jeden bod A a jeden z vektorů (směrový či normálový)
druhý vektor získáme přehozením souřadnic a změnou znaménka u jedné z nich
a dál je to jako v předchozím případě
dán bod A = [2,-2] a směrnice k = 3
směrnicový tvar přímky y = 3x +q, dosadím bod A, -2 = 6 + q => q = -8
y = 3x – 8
obecná rovnice
3x – y – 8 = 0
jen převedeno na jednu stranu
=> normálový u = (3,-1) a směrový u|| = (1,3)
parametrické x = 2 + t, y = -2 + 3t
dány parametrické rovnice x = 3 – 2t, y = 1 + t
vyčteme bod A = [3,1] a u|| = (-2,1) a tedy u = (1,2)
obecná rovnice
x + 2y –5 = 0
normálový vektor a bod A
směrnicový tvar
y = -½ x + 5/2
vyjádřit y z obecné rovnice
dána obecná rovnice
x – 2y + 3 = 0
normálový vektor
u = (1,-2) tedy směrový u|| = (2,1)
potřebujeme ještě jeden bod: volím např. y = 0 a z rovnice vypočtu x = -3 A =[-3,0]
parametrický tvar x = -3 + 2t, y = t
směrnicový tvar
y = ½ x + 3/2
dán směrnicový tvar
y = 2x –1
obecná rovnice
2x – y – 1 = 0
vše převedeno na jednu stranu
normálový vektor
u = (2,-1) tedy směrový u|| = (1,2)
potřebujeme ještě jeden bod: volím např. x = 0 a z rovnice vypočtu y = -1 A =[0,-1]
parametrický tvar x = t, y = -1 + 2t
11.9 Příklad:
Určete obecnou rovnici přímky určenou body A = [2,4], B = [-1,3]. Výsledek porovnejte
s rovnicí z determinantu
1
1
1
x y
2 4
1 3
0
Řešení: u|| = AB = (-3,-1) => u =(1,-3) => x – 3y + 10 = 0
1
1
1
x y
2 4 = 6 +4x – y – 2y –3x +4 = x – 3y + 10 = 0
1 3
11.10 Poznámka:
Obecnou rovnici přímky určenou dvěma různými body
A = [a1,a2], B = [b1,b2] získáme sestavením determinantu
1 x
1 a1
1 b1
y
a2
b2
0
11.11 Příklad:
Určete obecné rovnice přímek určených dvojicí bodů pomocí determinantu.
a) A = [0,2], B = [2,0]
b) A = [1,3], B = [1,5]
c) A = [-2,5], B = [0,0]
Výsledky:
a) A = [0,2], B = [2,0]
b) A = [1,3], B = [1,5]
c) A = [-2,5], B = [0,0]
2x + 2y – 4 = 0
x–1=0
5x +2y = 0
11.12 Příklad:
Rozhodněte, zda jsou následující trojice bodů kolineární
a) A = [0,5], B = [2,1] , C[-1,7]
b) A = [-3,2], B = [0,3], C[4,4]
c) A = [1,3], B = [1,5] , C[1,7]
d) A = [-2,5], B = [1,1] , C[4,4]
e) A = [-3,4], B = [3,2] , C[6,1]
Řešení: Kolineární body leží na jedné přímce. Když napíšeme rovnici přímky určenou dvěma
body a souřadnice třetího bodu mu budou vyhovovat, pak jsou kolineární. S výhodou lze
použít determinant.
1
a) 1
1
0 5
2 1 = 14 – 5 –10 + 1 = 0
1 7
=>
body jsou kolineární
b) nejsou c) jsou d) nejsou e) jsou
11.13 Věta: obsah ∆
Jsou dány tři body v rovině A = [a1,a2], B = [b1,b2], C = [c1,c2]. Označme D determinant
D
1 a1
1 b1
1 c1
a2
b2 . Body A,B,C jsou kolineární právě když D = 0. Jsou-li body A,B,C
c2
nekolineární, pak obsah ∆ABC je roven ½ |D| (jedné polovině absolutní hodnoty determinantu
D.
11.14 Příklad:
Určete obsah ∆ABC, kde A = [2,-3], B = [4,2] , C = [-10,-4].
Řešení:
1
1
1
2
4
10
3
2
4
16 4 30 12 8 20 58
P
29
11.15 Příklad:
Vypočtěte souřadnice vrcholů kosočtverce, jsou-li známy rovnice jeho stran AB: x + 2y – 4 =
0, CD: x + 2y –10 = 0 a rovnice jedné jeho úhlopříčky DB: y = x + 2
Řešení:
průsečík AB, DB je bod B
x + 2y – 4 = 0
x- y+2=0
1 2 -4
1 -1 2
0 -6 -3
Dx –Dy D
B = [0,2]
průsečík CD, DB je bod D
x + 2y – 10 = 0
x- y + 2=0
1 2 -10
1 -1 2
-6 -12 -3
D = [2,4]
S = (B + D)/2 = [1,3]
přímka AC je určena bodem S a normálovým vektorem BD
2x + 2y – 8 = 0 => x + y – 4 = 0
průsečík AC, AB je bod A
x+ y–4=0
průsečík AC, DB je bod C
x + 2y – 4 = 0
4 0 1
A = [4,0]
x+ y– 4=0
x + 2y – 10 = 0
-2
6
1
C = [-2,6]
11.16 Příklad:
Jsou dány vrcholy ∆ABC, A = [-4,3], B = [4,1] a průsečík výšek (ortocentrum) V = [3,3].
Určete souřadnice třetího vrcholu a obsah trojúhelníka.
Řešení:
C je průsečík přímek AC a BC
přímka AC je určena bodem A a normálovým vektorem BV
přímka BC je určena bodem B a normálovým vektorem AV
AC: -x + 2y –10 = 0
BC: 7x
- 28 = 0
-x + 2y – 10 = 0
x
- 4=0
C = [4,7]
obsah ∆ABC = 48/2 = 24
11.17 Příklad:
Jsou dány body A = [-3,1], B = [3,-7]. Na ose y najděte bod N tak, aby AN
BN.
Řešení: Na ose y mají všechny body souřadnice N = [0, y].
AN BN <=> AN.BN = 0 <=> (3,y-1)(-3,y+7) = 0
-9 + (y-1)(y+7) = 0
y2 + 6y –16 = 0
=>
N1 = [0,2], N2 = [0,-8]
11.18 Příklad:
Určete střed a poloměr kružnice opsané ∆ABC, kde A = [4,5], B = [3,-2] , C = [1,-4].
Řešení: nutno postupně vyřešit
1) rovnici osy úsečky AB: p = {SAB, AB }
2) rovnici osy úsečky AC: q = {SAC, AC }
3) průsečík S = p q
4) poloměr r = |AS|
ad 1) SAB = [7/2,3/2] AB = (-1,-7) ~ (1,7) p: x + 7y – 14 = 0
ad 2) SAC = [5/2,1/2] AC = (-3,-9) ~ (1,3) q: x + 3y – 4 = 0
ad 3)
x + 7y – 14 = 0
x + 3y – 4 = 0
14 -10 -4
S = [-7/2, 5/2]
ad 4) r2 = |AS|2 = (4 + 7/2)2 + (5 – 5/2)2 = 250/4
=>
r
5 10
2
11.19 Příklad:
Na ose x nalezněte bod, který je stejně vzdálen od počátku souřadnic jako od bodu A = [8,4]
Řešení: 1) osu úsečky AP: p = {SAP, AP }
2) hledaný průsečík X = p ox
ad 1) SAP = [4,2], PA = (8,4) ~ (2,1) p: 2x + y – 10 = 0
ad 2)
ox:
y
=0
=> X = [5,0]
11.20 Příklad:
Je dán ∆ABC, kde A = [-1,-2], B = [1,1] , C = [0,3]. Určete velikost jeho úhlů.
Řešení: úhel α svírají vektory AB, AC
AB = (2,3)
||AB|| = 13
cos
BC = (-1,2)
||BC|| = 5
cos
AC = (1,5)
||AC|| = 26
cos
CZ
17
17 2
26
13 26
4
4 65
65
13 5
9
9 130
130
5 26
11.21 Poznámka: Odchylka dvou přímek
22 23'
119 45'
37 52'
11.22 poznámka: Kritéria kolmosti a rovnoběžnosti přímek
p||q
<=>
p|| . q = 0
p . q|| = 0
k1 = k2
p q <=>
p|| . q|| = 0
p .q =0
k1.k2 = -1
D: α1 = α2 + 90o
k1 = tg α1 =
= tg (α2 + 90o) = - cotg α2 = - 1/tg α2 = - 1/k2
11.23 Příklad:
Napište rovnici přímky, která prochází bodem A = [-1,-1] a svírá s přímkou
a: 4x – 3y + 2 = 0 úhel 45o.
Řešení: Takovouhle úlohu je nejlepší řešit přes směrnice
a: y = (4/3)x + (2/3)
hledaná přímka
b: y = kx + q
4
3
4
1
k
3
k
tg45
1
4
3
4
1
k
3
k
4
4
k k
3
3
4
16 2
8
16
1
k
k
k2
k
3
9
3
9
9 24k 16k 2 9k 2 24k 16
1
7k 2
k1
48k 7 0
1
, k2
7
=> dvě řešení = dvě přímky b1: y = x/7 – 6/7
7
b2: y = -7 + -8
11.24 Příklad:
Ukažte, že body K=[3,8], L=[-11,3], M=[-8,-2] jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníka
1. pomocí úhlů
2. pomocí délek stran
Řešení:
KL = (14,5), LM = (-3,5), KM = (11,10)
||KL|| = 221, ||LM|| = 34, ||KM|| = 221
ad 2 dokázáno, norma vektoru je rovna velikosti úsečky
cos
cos
cos
|KL|=|KM|
33 50
17
221 34
221.34
( 3)( 14) ( 5)5
17
221 34
221.34
204
221 221
11.25 Poznámka: Svazky přímek
Vyskytuje-li se v rovnici přímky nějaký parametr, jde o systém nekonečně mnoha přímek,
který nazýváme svazkem přímek.
11.26 Příklad:
Pro kterou hodnotu parametru a R dostaneme rovnici přímky ze svazku
(3a + 4)x + (2 – a)y + a – 9 = 0
která je (řešte sami, jen v krajním případě se inspirujte návodem):
rovnoběžná s osou x
rovnoběžná s osou y
svírá s osou x orientovaný úhel +45o
prochází bodem A = [0,1]
prochází počátkem
prochází bodem B = [7/10, 31/10]
rovnoběžná s přímkou p: x – 3y + 2 = 0
rovnoběžná s přímkou q: x = 2 + 2t, y = -1 – t
kolmá na přímku p
kolmá na přímku q
a
-4/3
2
-3
neexistuje
9
a R
-7/4
-6/7
1/3
-8
rovnoběžná s osou x
rovnoběžná s osou y
svírá s osou x orientovaný úhel +45o
prochází bodem A = [0,1]
prochází počátkem
prochází bodem B = [7/10, 31/10]
rovnoběžná s přímkou p: x – 3y + 2 = 0
rovnoběžná s přímkou q: x = 2 + 2t, y = -1 – t
kolmá na přímku p
kolmá na přímku q
návod
normálový vektor osy x je (0,1)
normálový vektor osy y je (1,0)
směrnice musí být tg45o = 1 => souřadnice
normálového vektoru přímky jsou stejné
dosadíme do rovnice => rovnice pro a nemá
řešení
dosadíme počátek P = [0,0]
dosadíme a zjistíme, že na a nezáleží
směrový vektor přímky p a normálový
svazku musí dát skalárně 0 (kritérium ||)
dtto
normálový vektor přímky p a normálový
svazku musí dát skalárně 0 (kritérium )
dtto
11.27 Poznámka: Vzdálenost bodu od přímky
AX.p = 0
<=>
p: ax +by +c = 0
d
p =(a,b), X = [X0,Y0]
ax0
by0
a2
c
b2
11.28 Příklad:
Určete délku kolmice spuštěné z bodu S = [4,-1] na přímku
p: 12x – 5y – 27 = 0
Řešení:
Sp
12.4 5.( 1) 27
12 2
( 5) 2
26
13
2
11.29 Příklad:
Napište rovnice přímek rovnoběžných s přímkou p: 4x-3y-12=0, jejichž vzdálenost od bodu
[2,3] je rovna 5.
Řešení: hledané přímky musí mít stejný normálový vektor
tedy q: 4x – 3y + c = 0 a vzorec pro vzdálenost představuje rovnici pro c
5
4.2 3.3 c
4
2
3
25
2
c 1
c1
26 c2
24
q1: 4x – 3y + 26 = 0
q2: 4x – 3y – 24 = 0
11.30 Poznámka: Osa úhlu.
Osa úhlu ABC je určena bodem B a
směrovým vektorem u
Musíme dostat jednotkové vektory ve směrech
BA, BC. To jsou vektory
BA
BA
,
BC
BC
je jednotkový protože (norma je číslo, tak lze
vytknout)
Tedy u
BA
BC
BA
BC
BA
1
BA
BA
BA
1
.
11.31 Příklad:
Napište rovnici osy
BAC, kde A=[1,-2], B=[4,1], C=[0,5].
Řešení:
1) vektory AB, AC a jejich velikost
2) vektor u – směrový osy úhlu
3) rovnici osy úhlu BAC
AB = (3,3)
||AB|| = 18 = 3 2
AC = (-1,7)
||AC||= 50=5 2
b
AB
AB
u
b c
1
3 2
2 2
,
2 2
( 3, 3)
4 2 12 2
,
10
10
u = (3,-1) a bod B
c
AC
AC
4 2
(1, 3)
10
(1, 3)
1
5 2
( 1, 7 )
2 7 2
,
10
10
o: 3x - y - 5 = 0
11.32 Příklad:
Určete souřadnice středů kružnic, které se dotýkají přímek t1: x + y + 4 = 0,
t2: 7x – y + 4 = 0, víte-li že leží na přímce p: 4x + 3y – 2 = 0. Určete poloměr těchto kružnic.
Řešení:
1.
2.
3.
4.
5.
ad 1
ad 2
a = (1,-1), b = (1,7),
u
1
,
2
1
2
průsečík T
osa o1
S1 = p o1, r1 = |S1,t1|
osa o2 o1
S2 = p o2, r1 = |S2,t2|
x+y+4=0
7x – y + 4 = 0
8 24 -8
T = [-1,-3]
||a||= 2 , ||b||=5 2
1
,
7
5 2 5 2
6
,
2
5 2 5 2
~ ( 3, 1)
u = (1,-3)
o1: x – 3y – 8 = 0
ad 3
x – 3y + 8 = 0
4x + 3y – 2 = 0
S1 = [2,-2]
r1 = |2 – 2 + 4|/ 2 = 2 2
ad 4
o2: 3x + y + 6 = 0
ad 5
3x + y + 6 = 0
4x + 3y – 2 = 0
S2 = [-4,6]
r2 = |-4 +6 +4|/ 2 = 3 2
11.33 Poznámka: Střed kružnice vepsané ∆
a) Střed najdeme jako průsečík os dvou vnitřních úhlů ∆ - postup viz 11.30
b) Využitím výsledků úlohy 4.17
a PA b PB c PC
a b c
PO
P je libovolný bod, A,B,C jsou vrcholy ∆, a,b,c jsou délky stran
Označme tedy P = [0,0], A = [a1,a2], B = [b1,b2], C = [c1,c2], S = [s1,s2]
Pak platí s i
a .a i
b .bi c .c i
, i
a b c
1,2
11.34 Příklad:
Je dán ∆ABC, A=[5,2], B=[1,5], C=[-2,1]. Určete:
1. jeho obsah
2. velikost stran
3. velikost vnitřních úhlů
4. velikost výšek
5. střed kružnice vepsané a její poloměr
Řešení:
ad 1)
ad 2)
ad 3)
1
1
1
5 2
1 5
2 1
25 4 1 10 2 5 25
AB
4 ,3
BC
3, 4
a
BC
5
AC
7, 1
b
AC
5 2
cos
cos
cos
0
25
c
AB
28 3
5.5. 2
0
P
25 / 2
5
2
2
45
90
ad 4) Vzhledem k tomu, že je to pravoúhlý trojúhelník rovnoramenný =>
va = vc = a = c = 5, vb = b = 5 2/2
ad 5) střed kružnice vepsané
s1
25 5 2
10
5 5 5 2
s2
10 25 2 5
10 5 2
15 5 2
10 5 2
3 5 2
2
2
3
2
2
2
4 7 2
2
Poloměr je vzdálenost středu od přímky AB: 3x + 4y – 23 = 0
4
2
2
3
4
r
2
2
4 7 2
2
4
5
23
1
12 3 2 16 28 2 46
10
50 25 2
10
11.35 Příklad:
Je dán ∆ABC, A=[12,0], B=[0,5], C=[0,0]. Určete střed O kružnice opsané a V střed kružnice
vepsané a jejich poloměry.
Výsledky: O = [6; 2,5]
V = [2, 2]
R = ||AB||/2 = 13/2
r=2
11.36 Příklad:
Je dán ∆ABC, A=[8,6], B=[4,8], C=[2,4].
1. Určete obsah ∆ABC.
2. Napište rovnici přímky PT, kde P je počátek souřadnic a T je těžiště ∆ABC.
3. Napište rovnice přímek AB, BC, AC po řadě ve tvaru parametrickém, obecném a
směrnicovém.
4. Dokažte, že AB BC.
5. Rovnici přímky AC v obecném tvaru vynásobte číslem p a přičtěte k tomu obecnou
rovnici přímky AB. Vzniklý svazek přímek označte t.
6. Dokažte, že všechny přímky svazku t procházejí bodem A.
7. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku procházející počátkem souřadnic?
8. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku rovnoběžnou s přímkou BC?
9. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku kolmou k přímce BC?
Výsledky:
ad 1)
obsah = 10
ad 2)
T = [14/3,6]
ad 3)
AB = (-4,2) x=8-4t, y=6+2t
BC = (-2,-4) x=4-2t, y=8-4t
CA = (6,2) x=2+3t, y=4+t
ad 4)
AB.BC=0
ad 5)
t: (1+p)x + (2-3p)y + (10p-20) = 0
ad 6)
(1+p)8 + (2-3p)6 + (10p-20) = 0
ad 7)
10p – 20 = 0
p=2
ad 8)
t||BC BC.t =0
-2(1+p)-4(2-3p)=0
p=5/2
ad 9)
t BC BC.t||=0
-2(2-3p)+4(1+p)=0
p=0
p: 18x - 14y = 0
x+2y-20=0
2x-y
=0
x-3y+10=0
y=(-1/2)x+10
y=2x
y=(1/3)x+10/3
8 ,53
11.37 Příklad:
V pravoúhlém ∆ABC ve standardním značení platí: vc = ab/c
Řešení:
Zavedeme si soustavu souřadnic podle obrázku. Pak přímka,
v níž leží strana c má rovnici
ax + by – ab = 0
AB = (b, -a) je směrový vektor
vc=|C, c| =
0.a 0.b ab
a2
a .b
c
b2
11.38 Příklad:
V ∆ABC ve standardním značení označme R poloměr kružnice opsané a r poloměr kružnice
vepsané. Dokažte, že platí: je-li ∆ABC pravoúhlý, pak R+r = (a+b)/2.
Řešení:
Zavedeme souřadný systém podle obrázku.
Mějme na paměti, že v pravoúhlém ∆ platí Pythagorova věta,
tedy a2+b2=c2
R = c/2
střed kružnice vepsané
a .b b .0 c .0 a .0 b .a c .0
,
a b c
a b c
S
ab
ab
,
a b c a b c
r = vzdálenost středu S např. od strany b, tj. y-ová souřadnice
A tedy
R r
c
2
ab
a b c
c ( a b c ) 2ab
2( a b c )
c ( a b ) a 2 b 2 2ab
2( a b c )
ca cb c 2 2ab
2( a b c )
c(a b) (a b) 2
2( a b c )
( a b c )(a b )
2( a b c )
a b
2
q.e.d.
11.39 Poznámka: Poloroviny
přímka p dělí rovinu na dvě poloroviny
p: ax + by + c = 0
- p(X) = ax + by + c
p(A).p(B) > 0 body A,B jsou ve stejné polorovině
p(A).p(B) < 0 body A,B jsou v různých polorovinách
11.40 Příklad:
Je dána přímka q: x – 2y + 3 = 0. Zjistěte, které z následujících bodů jsou ve stejné polorovině
jako bod M = [2,0].
A = [1,1], B = [-2,3], C = [2,-3], D = [1,5], E = [-1,-3], P = [0,0]
Řešení: q(M) > 0
q(A) > 0 ano, q(B) < ne, q(C) > 0 ano, q(D) < 0 ne, q(E) > 0 ano, q(P) > 0 ano
KONEC