- 1 - Albrecht Dürer byl významným německým malířem

Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec
CZ.1.07/1.5.00/34.0766
Klíčová aktivita: IV/2
Číslo dokumentu: VY_42_INOVACE_M.S1.17
Typ výukového materiálu: Pracovní list pro žáka
Název výukového materiálu: Přirozená čísla - magické čtverce
Autor: PhDr. Jan Fiala, Ph.D.
Škola: Gymnázium V. Nováka Jindřichův Hradec
Obor vzdělávání: Gymnázium (všeobecné), osmileté
Ročník: I.
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace
Vzdělávací obor: Matematika
Tématická oblast: Matematika - I.-IV. ročník osmiletého gymnázia
Datum vytvoření: 7. 10. 2012
Anotace: Pracovní list slouží žákům druhého ročníku osmiletého gymnázia k seznámení
se s tzv. Fibonacciho čísly a Fibonacciho posloupností a seznamuje žáky s jejím praktickým využitím v životě.
Albrecht Dürer byl významným německým malířem
středověkého světa. Na svém obrazu s názvem Melencolia
ukryl pro bystrého pozorovatele jednu číselnou zajímavost.
Bylo to schéma čtvercového tvaru s čísly. Čtverec měl více
různých podivuhodných (magických) vlastností, začalo se
mu říkat magický čtverec.
[1,2]
Není čtverec
jako čtverec!
Některé čtverce
jsou magické!
Co všechno čtverec se 16 poli
vždy s různými číslicemi ukrývá?
V každém řádku, sloupci, v každé
úhlopříčce a každém malém čtverci
2x2 dostáváme stejný součet 34.
Dürer dokonce do spodní řady číslic
umístil datum vzniku celého obrazu.
1. Přepiš Dürerův magický čtverec
do sešitu a ověř zmíněné vlastnosti.
Americký vědec Benjamin Franklin (čti benžemin
52 61 4 13 20 29 36 45
frenklin) sestavil jiný magický čtverec. (Obrázek vpravo.)
2. V magickém čtverci ověř tyto jeho vlastnosti: a) Součet 14 3 62 51 46 35 30 19
v každém řádku, sloupci a úhlopříčkách se rovná 260, b) 260 53 60 5 12 21 28 37 44
je i součet v zalomených řádcích (barevně zvýrazněno v 11 6 59 54 43 38 27 22
obrázku), c) součet středního čtverce 2x2 a čísel v rohových 55 58 7 10 23 26 39 42
políčkách je také 260, d) odhalte součty ve všech čtvercích 9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
2x2.
Pro zajímavost uvedeme, že o magických čtvercích 16 1 64 49 48 33 32 17
bylo již leccos zjištěno i dokázáno, tak například neexistují magické čtverce velikosti 3x3,
jejichž políčka by byla obsazena třetími nebo čtvrtými mocninami celých čísel. Existují
magické čtverce 4x4 i 5x5, 32x32, ale dokonce také 1024x1024!
-1-
3. První příklad magického čtverce je na obrázku vpravo. Ověř vlastnosti 4 9 2
magického čtverce. Kolik je číslo, které se vyskytuje v daných součtech?
4. Jeden z nejzajímavějších magických čtverců je čtverec nizozemského 3 5 7
elektroinženýra Lee Sallowse. (Obrázek vlevo.) Ověř, že si 8 1 6
5 22 18
jsou rovny součty všech řádků, sloupců a úhlopříček.
28 15 2 Přepišme si nyní tento magický five
twenty-two eighteen
čtverec
slovy
(v
angličtině).
twenty-eight
fifteen
two
12 8 25
twelve
eight
twenty-five
5. Sečti nyní písmena v každém slově a zapiš do nového čtverce do stejného pole. Jaká čísla
nový čtverec obsahuje? Co je na nich zajímavého? Ověř, že je nový čtverec také magický.
[3]
Úkoly k procvičení a opakování:
1. Gaudího katedrála v Barceloně má na stěně upravený
magický čtverec tak, aby číslo představující dané součty bylo
33, což je věk smrti Ježíše Krista. Přepiš magický čtverec do
sešitu a ověř jeho vlastnosti.
2. *V matematice existují kromě magických čtverců také tzv.
magická čísla. Je to takové číslo, které není součtem žádné
kombinace svých dělitelů. Nejmenší magické číslo je 70.
Zjisti jeho dělitele a ověř danou vlastnost. Zjisti, zda je
magické číslo 12. Magická čísla jsou poměrně vzácná. Zatím
nebylo nalezeno žádné liché magické číslo a existuje jen
sedm magických čísel menších než 10 000: 70, 836, 4 030, 5 830, 7 192 a 9 272.
3. *Odhadni, co jsou tzv. magické krychle.
4. Které číslo je pro tebe „magické“ a proč?
5. Zjisti, jak ne sobě závisí dva uvedené magické čtverce. Doplň chybějící čísla.
96
64
37
45
69
46
39
43
98
62
93
34
84
76
25
57
23
95
73
54
28
87
6. Zapiš rovnosti pod sebe a vytvoř dalších řádky: 1·9+2=11, 12·9+3=111, 123·9+4=1111…
-2-
Literatura a zdroje obrázků:
1. Dürer, A., Melencolia I [online]. Biblioteca Digital Hispánica 1514 [cit. 7.10.2012].
Dostupný pod licencí Wikimedia Commons:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Melencolia_I_(Durero).jpg?uselang=cs
2. Dürer, A., Melencolia I (Detail) [online]. Biblioteca Digital Hispánica 1514 [cit.
7.10.2012]. Dostupný pod licencí Wikimedia Commons: http://commons.wikimedia.org/
wiki/File:Albrecht_D%C3%BCrer_-_Melencolia_I_(detail).jpg?uselang=cs
3. Maksim, Ms_sf_2.jpg [online]. 2006 [cit. 7.10.2012]. Dostupný pod licencí Wikimedia
Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ms_sf_2.jpg?uselang=cs
Ostatní obrázky vytvořil autor.
Prohlašuji, že při tvorbě výukového materiálu jsem respektoval(a) všeobecně užívané právní a morální zvyklosti, autorská a jiná práva třetích
osob, zejména práva duševního vlastnictví (např. práva k obchodní firmě, autorská práva k software, k filmovým, hudebním a fotografickým
dílům nebo práva k ochranným známkám) dle zákona 121/2000 Sb. (Autorský zákon). Nesu veškerou právní odpovědnost za obsah a původ
svého díla.
Prohlašuji dále, že výše uvedený materiál jsem ověřil(a) ve výuce a provedl(a) o tom zápis do třídní knihy. Dávám souhlas, aby mé dílo bylo
dáno k dispozici veřejnosti k účelům volného užití (§ 30 odst. 1 zákona 121/2000 Sb.), tj. že k uvedeným účelům může být kýmkoliv
zveřejňováno, používáno, upravováno a uchováváno.
-3-