zde - České vysoké učení technické v Praze

Transkript

15. KONFERENCE STUDENTŮ
VŠTEZ
SBORNÍK
Komise JČMF pro matematiku na VŠTEZ
Katedra matematiky FSv ČVUT v Praze
SBORNÍK
15. konference studentů v matematice
škol VŠTEZ
Lázně Bohdaneč
4. – 6. června 2007
Editor: Stanislav Olivík
Vydavatel: Komise JČMF pro matematiku na VŠTEZ
2007
Předmluva
Jako každý rok, i letos se konala konference studentů v matematice na školách
VŠTEZ. Tu letošní, jubilejní 15. hostil opět hotel Technik v Lázních Bohdaneč.
Na konferenci zazněly tradičně přednášky pozvaných hostů. Letos se o ně postarali
Doc. RNDr. Jiří Máca, CSc, který pohovořil o dynamické interakci mostů a těžkých
vozidel a Prof. RNDr. Jiří Neustupa, CSc. přednášející o Navierových-Stokesových
rovnicích.
Konference byla nejen sledem přednášek a příspěvků, ale byla proložena mnoha
diskusemi, jak k předneseným příspěvkům, tak diskusemi mimo její přednáškový
program. A to je jedním z cílů, proč se tyto konference konají. Věříme, že sborník
připomene nejen účastníkům konference přednesené referáty, ale dá všem
čtenářům celkový pohled na konferenci samu.
Věřme, že zájem o konferenci, snaha prezentovat co nejlépe výsledky své práce,
seznámit se s kolegy z jiných fakult a novými problémy, bude přenesena i do
dalších ročníků konference. Poděkování patří nejen skupině organizátorů, ale také
všem, kteří se aktivně podíleli na průběhu konference. Pokud byste chtěli
nahlédnout
do
atmosféry
konference,
navštivte
stránku
http://mat.fsv.cvut.cz/komisevstez/ .
Milada Kočandrlová
Jaroslav Černý
Stanislav Olivík
V Praze dne 10. 10. 2007
APLIKACE GEOMETRICKÝCH METOD PŘI ŘEŠENÍ
VYBRANÝCH PROBLÉMŮ VE STROJÍRENSTVÍ
Marek BYRTUS1
1
Úvod
V posledních zhruba třiceti letech je velice aktuální jeden klíčový problém ve strojírenství, zejména při 3-osém a 5-osém obrábění, který se nazývá podříznutí. Popišme si tento
problém blíže. Představme si, že z daného materiálu chceme vyfrézovat předem zadaný
tvar, nejčastěji plochu nebo její část. V jistém okamžiku frézování dochází k problému,
kdy fréza obrábí nejen požadovanou část materiálu, ale také část materiálu již obrobenou.
Výsledkem je, že celkově vyfrézovaný materiál je takto vzniklou chybou znehodnocený a
dále nepoužitelný.
Jedním z možných aparátů, které popisují a identifikují podříznutí je diferenciální geometrie a relativně mladá teorie klasického a zobecněného offsetu.
2
Diferenciální geometrie
Vzhledem k tomu, že existuje několik skript a knih, zabývající se diferenciální geometrií
(např viz [3]), budou v této části popsány zejména křivosti křivek a ploch, které hrají
významnou roli při určení podříznutí.
2.1
Křivosti křivky
Budeme-li studovat křivky k, pak budeme mít na mysli geometrický objekt popsaný vektorovou rovnicí p = p (t), t ∈ I. Tento výraz rozepsáním do souřadnic nazýváme parametrickým vyjádřením nebo-li zkráceně parametrizací. V dalším textu se omezíme pouze na
eukleidovský prostor E2 , resp. na E3 . Vzhledem k tomu, že obecně nepracujeme s křivkou,
kterou lze reparametrizovat obloukem, tj. neplatí kdpp/dtk = 1 pro každé t ∈ I, a proto budeme pracovat s obecnými vzorci popisující tyto křivosti, které jsou popsány v následující
větě.
Věta 2.1. Pro regulární křivku k s obecným parametrem platí
1
kṗp × p̈pk
k=
kṗpk3
a
2
(ṗp, p̈p , p̈p · )
k=
.
kṗp × p̈pk2
Důkaz. Viz [3].
student magisterského studijního programu Matematika na FAV ZČU v Plzni, obor Matematika, email: [email protected]
1
2.2
Křivosti plochy
Předpokládejme, že plocha κ je popsána vektorovou funkcí p = p (u, v), [u, v] ∈ Ω, jejíž
rozepsáním do složek obdržíme opět parametrické vyjádření plochy. Při vyšetřování křivostí
na ploše se zde omezíme pouze na eukleidovský prostor E3 . Uveďme si stěžejní definice a
věty zabývající se křivostmi na plochách.
Definice 2.2. Nechť k je křivka na ploše κ, která prochází bodem X ∈ κ. Pak číslo
n
k = n · p̈p ,
(1)
kde n je jednotkový normálový vektor a ṗp˙ je druhá derivace křivky na ploše κ, nazveme
normálovou křivostí křivky k v bodě X .
Definice 2.3. Směr, pro který je normálová křivost n k nulová nazveme asymptotický.
Bod X plochy κ, ve kterém je normálová křivost n k v každém směru nulová nazveme
planární a bod X plochy κ nazveme kruhový, je-li normálová křivost v ve všech směrech
n
k = q, q ∈ R r {0}.
1
Definice 2.4. Buď n k normálová křivost v neasymptotickém směru v bodě X . Číslo n
k
nazveme poloměrem normálové křivosti v daném směru. Bod
Sn = X +
1
nk
n
(2)
se nazývá střed normálové křivosti.
Definice 2.5. Buď w (u) = (dw1 (u), dw2(u)) jednotkový vektor v tečné rovině τ bodu X
1
plochy κ. Označme
= hij dui duj , kde |R| je poloměr oskulační kružnice normálového
R
řezu. Pak křivku
p
d (u) = X + |R| w (u), u ∈ I
(3)
nazveme Dupinovou indikatrix.
Dupinova indikatrix je jedna z významných křivek popisujících vlastnosti plochy, popisuje křivosti ve všech směrech daného bodu X plochy κ.
Věta 2.6. Dupinova indikatrix v neplanárním bodě X plochy κ je buď středovou kuželosečkou nebo dvojicí středových kuželoseček.
Důkaz. Čtenář může nahlédnout do [3].
Definice 2.7. Bod X plochy κ je
1. eliptický,
je-li h > 0,
2. parabolický,
je-li h = 0,
3. hyperbolický,
je-li h < 0,
kde h je diskriminant druhé základní formy plochy κ v bodě X .
Věta 2.8. Dupinova indikatrix v eliptickém, resp. hyperbolickém, resp. parabolickém bodě
je elipsa, resp.dvojice hyperbol se společnými asymptotami, resp. dvojice rovnoběžných přímek. V parabolickém, resp. hyperbolickém, resp. eliptickém bodě existuje jeden, resp. dva,
resp. žádný asymptotický směr.
Důkaz. Viz [3].
Definice 2.9. Tečný směr plochy κ v bodě X se nazývá hlavní směr, pokud normálová
křivost plochy určená v bodě X tímto směrem je extrémální. Normálová křivost v hlavním
směru bodu X se nazývá hlavní křivost v bodě X plochy κ.
Definice 2.10. Buď n kmin a n kmax hlavní křivosti plochy κ ve dvou různých směrech bodu
X . Pak čísla
n
kmin + n kmax
(4)
K = n kmin n kmax , H =
2
nazveme Gaussovou křivostí a střední křivostí plochy κ v bodě X .
Jedna z důležitých vlastností Gaussovy a střední křivosti je ta, že je lze zapsat pouze
pomocí koeficientů první a druhé křivosti a to ve tvaru
h11 h22 − (h12 )2
,
g11 g22 − (g12 )2
(5)
1 g11 h11 − 2g12 h12 + g22 h22
.
2
g11 g22 − (g12 )2
(6)
K=
H=
Věta 2.11. Gaussova křivost je kladná v eliptických bodech plochy, záporná v hyperbolických bodech plochy a rovna nule v parabolických bodech plochy.
Důkaz. V [3].
3
Offset
V 80. letech 20. století J. Hoschek poprvé zavádí termín offset a od té doby se mu věnuje
velká pozornost, protože jak se ukázalo, je jedním z možných aparátů na popis jistých
problémů ve strojírenství, zejména v obrábění, kde jím můžeme popsat pohyb frézy po
zadané ploše. V 90. letech 20. století se terminologie rozšiřuje také o zobecněný offset a
původnímu offsetu byl přiřazen název klasický nebo zkráceně δ–offset.
Jelikož většina moderních CAD a CAM systémů užívaných ve strojírenství využívá
NURBS popisu ploch (tedy racionálního popisu), je proto kladen důraz na racionální popis
klasického i zobecněného offsetu kvůli zachování jednotnosti popisu a možnosti reprezentace
offsetů v NURBS formě.
3.1
Klasický offset
Uveďme nejdříve definici, která klasický offset pevně vystihuje.
Definice 3.1. Buď nadplocha κ o vektorové funkci p = p(u1 , . . . , un−1), pak
p off (u1 , . . . , un−1, δ) = p (u1 , . . . , un−1) + δ n κ (u1 , . . . , un−1 ), kde δ ∈ R+
{0} ,
(7)
nazveme klasickým offsetem k nadploše κ ve vzdálenosti δ nebo jen zkráceně δ–offsetem.
Je tedy zřejmé, že klasický offset sestrojujeme vždy k nadploše daného prostoru, což
je v rovině křivka a v prostoru E3 plocha. Dále zdůrazněme, že v definici 3.1 je kladen
požadavek na jednotkové normálové pole, do kterého zahrnujeme i jednotkové normálové
n.
vektory −n
Poznámka 3.2. Vynášíme-li vzdálenost δ do kladně, resp. záporně orientovaného jednotkového normálového pole n κ nadplochy κ, pak vzniklý δ–offset nazveme vnitřní, resp.
vnější. Obecně můžeme nadplochu κ popsat více parametrizacemi a lze tedy vnitřní a vnější
offset zaměnit. Vzhledem k tomu, že jsme uvažovali δ ∈ R+
{0} , pak pro danou parametrizaci
je možné rozlišit vnitřní a vnější offset.
3.2
Racionální klasický offset
Může se zdát, že k racionálně parametrizované nadploše κ bude existovat také racionálně
parametrizovaný klasický offset, což obecně neplatí. Klíčovou roli zde hraje jednotkové
normálové pole n κ , které má tvar
Nκ
,
(8)
nκ =
N κk
kN
p
N κk =
kde kN
N12 + · · · + Nn2 . Aby klasický offset byl racionální, musí být jednotkové
normálové pole také racionální. To bude racionální za podmínky
N12 + · · · + Nn2 = ϑ2 .
(9)
Budeme-li v E2 , pak křivky které splňují tuto vlastnost nazýváme PH–křivkami, tj.
křivky s pythagorejským hodografem a v E3 mluvíme o PN–plochách, tj. plochách s pythagorejskou normálou.
Požadavek je popsat a klasifikovat nadplochy s racionální parametrizací (do které spadá
i polynomiální parametrizace), které budou mít racionální klasický offset. Postup je ve
stručnosti popsán následovně.
Racionální parametrizaci p = (p1 , . . . , pn ) nadplochy κ s racionálním klasickým offsetem
můžeme získat jako obalovou nadplochu systému tečných nadrovin o rovnicích
n S (u1 , . . . , un−1) · p = h(u1 , . . . , un−1),
(10)
kde n S (u1 , . . . , un−1 ) je parametrické vyjádření nadsféry a tedy jednotková normála tečné
nadroviny má racionální popis. Aplikujeme-li postup na hledání obalové nadplochy, pak
rovnici (10) zderivujme postupně podle proměnných u1 , . . . , un−1 a s rovnicí (10) dostáváme
n rovnic pro n neznámých p1 , . . . , pn . Těchto n rovnic lze zapsat ve tvaru
n S (u1 , . . . , un−1) · p = h(u1 , . . . , un−1),
∂
nS (u1 , . . . , un−1) · p = h(u1 , . . . , un−1)),
(n
∂u1
..
.
∂
nS (u1 , . . . , un−1) · p = h(u1 , . . . , un−1)).
(n
∂un−1
(11)
Pokud existuje řešení soustavy (11), pak dostáváme racionální funkce pi v proměnných
u1 , . . . , un−1, které popisují nadplochu κ. Tato nadplocha má racionální klasický offset, jehož předpis můžeme získat z definice 3.1 nebo ho lze vyjádřit jako obálku tečných nadrovin,
kde místo funkce h(u1 , . . . , un−1) dosadíme funkci h(u1 , . . . , un−1) ± δ.
3.3
Zobecněný offset
U klasického offsetu jsme vynášeli vzdálenost δ na jednotkové normálové pole. U zobecněného offsetu budeme ke konstrukci přistupovat z jiného úhlu pohledu, kdy na vstupu místo
nadplochy κ a vzdálenosti δ budou dvě nadplochy κ a σ. Zobecněný offset můžeme popsat
následující definicí.
Definice 3.3. Nechť nadplochy κ a σ mají normálová pole N κ a N σ . Zvolme libovolně
referenční bod R a označme množinu všech vektorů posunutí w
A, B ) = {w
w = A − B , kde A ∈ κ, B ∈ σ a N (A
A) k N (B
B )} .
µ(A
(12)
Pak množinu bodů
R + w , kde w ∈ µ(A
A, B )}
γ = {R
(13)
nazveme zobecněným offsetem nadplochy κ s vazbou na nadplochu σ.
R
B
R
R
s
B
s
s
g
w
A
w
k
k
k
A
(a) Nalezení bodů, ve kterých (b) Vektor, o který posuneme (c) Bodové znázornění vzniklé
nadplochy.
jsou normály rovnoběžné.
nadplochu s.
Obrázek 1: Konstrukce zobecněného offsetu
Popišme si výše uvedenou definici zobecněného offsetu, viz obrázek 1, kde je znázorněna
situace v E2 . Nechť jsou dvě nadplochy κ a σ v prostoru En , kde jsme libovolně zvolili
referenční bod R . Buď bod A na nadploše κ. Vzhledem k tomu, že jsme předpokládali
existenci normálové pole N κ (není zde kladen požadavek na jednotkové normálové pole
A) a hledáme na nadploše σ
jako u klasického offsetu), pak v bodě A existuje normála N (A
A) k N (B
B ). Je důležité zdůraznit, že na nadploše
takový bod B , pro který bude platit N (A
σ takový bod B vůbec existovat nemusí. Pokud ale takový bod B existuje, pak body A a
B určují vektor w = A − B . Posuneme-li referenční bod R o vektor w , dostáváme nový
bod R + w , který leží na zobecněném offsetu γ.
Předpokládejme, že nadplochu κ můžeme popsat parametrizací ve tvaru
κ : p (u1 , . . . , un−1) = (p1 (u1 , . . . , un−1), . . . , pn (u1 , . . . , un−1)),
(14)
kde (u1, . . . , un−1 ) ∈ Rn−1 . Nadplochu σ lze vyjádřit parametrizací
σ : q (v1 , . . . , vn−1 ) = (q1 (v1 , . . . , vn−1 ), . . . , qn (v1 , . . . , vn−1 )),
(15)
kde (v1 , . . . , vn−1 ) ∈ Rn−1 .
Jak bylo uvedeno v definici 3.3, tak k bodu A ∈ κ hledáme takový bod B ∈ σ, aby byla
splněna podmínka
A) k N (B
B ),
N (A
(16)
kterou lze přepsat na tvar
N κ (u1 , . . . , un−1 ) = λ N σ (v1 , . . . , vn−1 ) , λ 6= 0,
(17)
který představuje n nelineárních algebraických rovnic pro n neznámých v1 , . . . , vn−1 , λ.
Protože jsme nepožadovali jednotkové normálové pole, pak dvě normály mohou být rovnoběžné, ale už nemusejí být stejně velké, a proto se v rovnici (17) vyskytuje faktor λ.
Jelikož hledáme zobecněný offset nadplochy κ s vazbou na nadplochu σ a tedy řešíme
soustavu rovnic (17) pro neznámé v1 , . . . , vn−1 , λ a zobecněný offset γ je v parametrech
u1 , . . . , un−1. Hledáním zobecněného offsetu nadplochy σ s vazbou na nadplochu κ řešíme
soustavu rovnic (17) pro neznámé u1 , . . . , un−1, λ a výsledný zobecněný offset γ je v proměnných v1 , . . . , vn−1 .
Reparametrizací nazveme zobrazení dané následujícím vztahem
φ : (u1 , . . . , un−1) 7→ (v1 (u1, . . . , un−1 ), . . . , vn−1 (u1 , . . . , un−1))
(18)
a vyjadřuje závislost parametrů v1 , . . . , vn−1 na parametrech u1 , . . . , un−1. Dosadíme-li do
rovnice (15) z (18), pak nadplochu σ lze zapsat ve tvaru
q (u1 , . . . , un−1 ) = q (v1 (u1 , . . . , un−1), . . . , vn (u1 , . . . , un−1 )) .
(19)
Na nadploše κ zvolme bod A , který můžeme zapsat ve tvaru
A = p (u1,0 , . . . , un−1,0) .
(20)
A) = (N1 (u1,0 , . . . , Nn−1,0 ), . . . , nn (u1,0 , . . . , un−1,0)) .
N (A
(21)
Normálu v bodě A lze vyjádřit
Když nyní dosadíme do rovnice (19) hodnoty (u1,0 , . . . , un−1,0), tak dostáváme bod
B = q (v1 (u1,0 , . . . , un−1,0), . . . , vn (u1,0, . . . , un−1,0 ))
(22)
A) k N (B
B ). Nadplochu σ jsme tedy reparametrizovali tak,
na nadploše σ takový, že N (A
že bod na nadploše κ a bod na nadploše σ pro odpovídající si pevné parametry mají
rovnoběžné normály.
Podle definice 3.3 je zobecněný offset γ tvořen libovolným referenčním bodem R , který
B . Vzhledem k tomu, že jsme nadplochu σ reparametrizovali,
posouváme o vektor w = A −B
vektor w můžeme obecně zapsat ve tvaru
w (u1 , . . . , un−1) = p (u1 , . . . , un−1) − q (v1 (u1 , . . . , un−1), . . . , vn (u1 , . . . , un−1))
(23)
a zobecněný offset γ můžeme vyjádřit
p goff (u1 , . . . , un−1) = R + w (u1 , . . . , un−1) ,
(24)
kde R je libovolný referenční bod. Jak je patrné z rovnice (24), zobecněný offset γ bude v
parametrech u1 , . . . , un−1.
V následujících větách popíšeme některé zajímavé vlastnosti zobecněného offsetu.
Věta 3.4. Zobecněný offset γ nezávisí, až na posunutí r , na volbě referenčního bodu R .
Důkaz. Viz [4].
Zobecněný offset je možné vyjádřit pomocí konvoluce, která je definovaná následujícím
způsobem.
Definice 3.5. Nechť κ a σ jsou nadplochy v prostoru En , kde n ∈ N r {1}, které mají
normálové pole N κ a N σ . Pak množinu
A + B , kde A ∈ κ , B ∈ σ a N (A
A) k N (B
B )}
κ ⋆ σ = {A
(25)
nazveme konvolucí nadploch κ a σ.
Pak vztah mezi zobecněným offsetem a konvolucí vyjadřuje následující věta.
Věta 3.6. Buďte nadplochy κ a σ a nechť ϕ je konvoluce nadploch κ, σO , kde σO je nadplocha symetrická podle počátku O s nadplochou σ. Označme γ zobecněný offset nadplochy
κ s vazbou na nadplochu σ a s referenčním bodem O , pak konvoluce ϕ a zobecněný offset
γ popisují stejnou nadplochu.
Důkaz. Viz [4].
Konvoluce je obecně komutativní, což může vést k očekávání, zda-li existuje nějaký
vztah mezi zobecněným offsetem nadplochy κ s vazbou na nadplochu σ a zobecněným
offsetem nadplochy σ s vazbou na nadplochu κ. Tento vztah lze vyjádřit následovně.
Lemma 3.7. Buď γ zobecněný offset nadplochy κ s vazbou na nadplochu σ a referenčním
bodem R , nebo-li podle věty 3.6 konvoluce nadploch κ ⋆ σO . Dále buď ̺ zobecněný offset
nadplochy σ s vazbou na nadplochu κ a stejným referenčním bodem R , který je podle věty
3.6 konvoluce nadploch σ ⋆ κO . Zobecněné offsety γ a ̺ jsou symetrické podle referenčního
bodu R .
Důkaz. Viz [4].
Vzhledem k tomu, že zobecněný offset nadplochy κ s vazbou na nadplochu σ by v
sobě měl zahrnovat i klasický offset nadplochy κ ve vzdálenosti δ, což nemusí být z rozdílných konstrukcí patrné, existuje zde konkrétní volba nadplochy σ, kdy budou klasický
a zobecněný offset shodné.
Věta 3.8. Buď γ zobecněný offset nadplochy s vazbou na nadplochu σ popsaný vektorovou
funkcí p goff a δ–offset sestrojený k nadploše κ ve vzdálenosti δ a popsaný vektorovou funkcí
p off . Pokud nadplocha σ bude nadsférou o poloměru δ a středem v referenčním bodě R , pak
δ–offset a zobecněný offset budou shodné.
Důkaz. Viz [4].
3.4
Racionální zobecněný offset
Hledáme-li popis zobecněného offsetu nadplochy κ s vazbou na nadplochu σ, řešíme soustavu n nelineárních algebraických rovnic pro n neznámých. Řešení takovéto soustavy nemusí být, pokud bude existovat, racionální.
Jedním z možných cest je soustavu zjednodušit na soustavu lineární nebo použít vhodný
aparát na řešení soustavy nelineární, kterým je např. Gröbnerova báze.
Existuje třída ploch, které nelineární soustavu zjednoduší na soustavu lineární. Tato
třída je popsána v následující definici.
Definice 3.9. Nadplochu κ v En , kde n ∈ N, n ∈ Nr{1}, nazveme LN–nadplochou, pokud
existuje taková parametrizace p = p (u1 , u2 , . . . , un−1), kde (u1 , u2 , . . . , un−1 ) ∈ Ω ⊂ Rn−1 ,
nadplochy κ, že její normála N = N (u1 , u2, . . . , un−1) splňuje podmínku
N (u1 , u2 , . . . , un−1) = u1 a 1 + u2 a 2 + · · · + un−1 a n−1 + a n ,
(26)
kde a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ Vn . Parametrizaci splňující tuto podmínku nazveme LN parametrizací.
Je důležité zdůraznit, že pokud sestrojujeme zobecněný offset racionálně popsané nadplochy κ s vazbou na nadplochu σ, která je popsaná LN parametrizací, pak zobecněný
offset bude racionální. Opačně to už ale platit nemusí.
V nedávné době byla zavedena nová třída nadploch, tzv. RC–nadplochy, které poskytují
racionální konvoluci a tedy i racionální offset. Tato třída se dále dělí na GRC–nadplochy
s GRC parametrizací, které vždy poskytují racionální konvoluci a SRC–nadplochy s SRC
parametrizací, které tvoří racionální konvoluci pouze ve speciálních případech. Třída RC–
nadploch vychází z řešení nelineární soustavy algebraických rovnic pomocí redukované
Gröbnerovy báze.
Definice 3.10. Buď κ racionální nadplocha v En popsaná racionální parametrizací
p (u1 , . . . , un−1), kterou nazveme GRC parametrizací právě tehdy, když konvoluce nadploch
κ ⋆ σ, kde σ je libovolná nadplocha popsaná racionální parametrizací q (v1 , . . . , vn−1 ), je
racionální. Nadplochu κ nazveme GRC–nadplochou právě tehdy, když ji lze popsat GRC–
parametrizací.
Pokud budeme počítat zobecněný offset racionálně parametrizované nadplochy κ s vazbou na nadplochu σ, která bude popsána GRC parametrizací, pak zobecněný offset bude
také racionální.
4
Aplikace
Jak bylo uvedeno v úvodu, cílem je identifikovat krizové oblasti při 3-osém a 5-osém obrábění, kdy bude docházet k podříznutí. Dále je důležité diskutovat, zda-li pracujeme s
kulovou nebo obecně s nekulovou frézou.
Budeme-li hledat problémové oblasti při 3-osém a 5-osém obrábění kulovou frézou, pak
hledáme extrém hlavních křivostí a jeho převrácenou hodnotu porovnáváme s poloměrem
kulové frézy. Takto lze rozhodnou pouze o lokálním podříznutí. Sestrojením klasického
offsetu ve vzdálenosti rovné poloměru kulové frézy, který popisuje pohyb kulové frézy po
zvolené ploše a hledáním samoprůniků na klasickém offsetu už můžeme navíc rozhodnout
nejen o lokálním ale také globálním podříznutí. Tímto postupem je také možné rozčlenit
frézovanou plochu na podoblasti, které je možné obrábět kulovou frézou různého poloměru.
Další metoda zkoumá problém podříznutí u 3-osého obrábění nekulovou frézou. Tento
postup byl v minulosti řešen pouze pro eliptické body plochy, což bylo motivací jej rozšířit
i na body parabolické a hyperbolické.
Proveďme několik předpokladů. O nekulové fréze předpokládejme, že je ostře konvexní a
obsahuje jen eliptické body a Dupinovy indikatrix jsou proto elipsy. Dále předpokládejme,
že fréza k dané ploše přistupuje „shoraÿ, což znamená, že její počáteční poloha je vždy nad
danou plochou, resp. materiálem, ze kterého chceme danou plochu vyfrézovat.
Vzhledem k tomu, že fréza přistupuje k ploše „shoraÿ, pak na obráběné ploše je možné
vypustit navíc takové body, které jsou konkávní.
Hledání lokálního podříznutí se tedy převádí na hledání vzájemné polohy dvou Dupinových indikatrix. Pro eliptické body už byl algoritmus popsán, zaměřme se zejména na
body parabolické a hyperbolické.
U parabolických bodů diskutujeme vzájemnou polohu dvou rovnoběžných přímek s
elipsou. Pokud bude elipsa, která popisuje křivosti na fréze, ležet mezi dvěmi rovnoběžkami,
pak k lokálnímu podříznutí docházet nebude. Problém tedy nastane bude-li docházet k
reálnému průsečíku elipsy s rovnoběžkami.
Studujeme-li hyperbolické body plochy, jejichž Dupinova indikatrix je dvojice hyperbol,
pak studujeme vzájemnou polohu těchto hyperbol s elipsou. Je zde důležité zdůraznit, že ne
každý průsečík bude signalizovat lokální podříznutí. Cílem je tedy hledat, který z hlavních
směrů popisuje konvexní směr a zjistit, která z dvojic hyperbol tomuto směru náleží. Pak
stačí diskutovat vzájemnou polohu této hyperboly s elipsou. Reálný průsečík pak určuje
lokální podříznutí.
Ukažme si hledání lokálního podříznutí v hyperbolickém bodě na následujícím příkladě.
Příklad 4.1. Hledejme lokální podříznutí plochy κ s racionální parametrizací
p(u, v) = (u, v, 2v(1 − 3v + 2v 2 ) + u3 (4 − 21v + 43v 2 − 29v 3)+
+u(2 − 15v + 36v 2 − 24v 3 ) + u2 (−6 + 33v − 69v 2 + 46v 3 ),
kde (u, v) ∈ h0, 1i × h0, 1i a frézy popsané plochou σ s racionální parametrizací q (r, s) =
(r, s, r 2 +s2 ). Nejdříve provedeme reparametrizaci plochy σ v závislosti na ploše κ. Plocha σ
je popsána LN parametrizací, a proto reparametrizace bude opět racionální v parametrech
u, v. Z parametrické roviny vybereme hyperbolický bod popsán parametry u = 0.5, v = 0.5.
1
0.2
0.8
0.1
0
-0.1
-0.2
0
1
0.6
0.75
0.5
0.4
0.25
0.25
0.5
0.2
0.75
1
(a) Plocha κ.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b) Parametrická rovina bez konkávních eliptických bodů.
Obrázek 2: Plochy κ a σ.
Hyperbolický bod má souřadnice C = (0.5, 0.5, 0.0781). Dupinovy indikatrix mají tvar
iκ : 1.7x2 + 3.333xy − 0.1234y 2 = ±1,
(27)
iσ : 1.4138x2 + 0.4166xy − 1.4138y 2 = −1,
kde iκ představuje dvě hyperboly, které mají stejné hlavní a asymptotické směry. Vzájemná
poloha elipsy iσ a dvou hyperbol iκ je na obrázku 3(a). Jak je z obrázku zřejmé, nastává
průsečík obou hyperbol s elipsou. Abychom mohli rozhodnout, který průsečík bude způsobovat lokální průnik, diskutujme hlavní směry a konkávnost a konvexnost křivek určených
těmito směry.
směry hyperbol
√ √ iκ jsou na sebe kolmé a můžeme je zapsat ve tvaru h 1 =
√ Hlavní
√ 2
2
, − 2 a h 2 = 22 , 22 . Hlavní směry h 1 , h2 popisují přímky v parametrické rovině,
2
které zapíšeme ve tvaru
b + h 1 t,
u (t) = C
b + h 2 w,
v (w) = C
b = (0.5, 0.5). Přímky v parametrické rovině určují křivky na ploše κ, které mají tvar
kde C
k1 : k 1 (t) = p (u1 (t), u2 (t)),
k2 : k 2 (w) = p (v1 (w), v2 (w))
a jsou na obrázku 3(b). Zkoumejme, která z křivek k1 , k2 je na malém okolí bodu C kon-
k1
k2
1
0.5
-1
-0.5
C
0.5
1
-0.5
-1
(a) Dupinovy indikatrix iκ a iσ .
(b) Křivky ve směrech h 1 , h 2 na ploše κ.
Obrázek 3: Diskuse hyperbolického bodu na ploše κ.
vexní. Bod C na křivce k1 dostáváme pro hodnotu parametru t = 0 a na křivce k2 pro
hodnotu parametru w = 0. Abychom rozhodli o konvexnosti, resp. konkávnosti, zkoumáme
znaménko druhých derivací parametrizací k 1 (t), k 2 (w). Dostáváme
√
√ d2k 1 (t) 2
= −1.8125 < 0 ⇒ směr 2 , − 22 je konkávní,
2
dt
t=0
√ √ 2
k
d 2 (w) =
1.5625 > 0 ⇒ směr 22 , 22 je konvexní.
2
dw
w=0
Teď už stačí pouze určit, která z hyperbol iκ se bude protínat s přímkou vedenou v konvexním směru. Tento požadavek vede na řešení soustavy a zajímá nás pouze reálné řešení.
Na obrázku 4 je znázorněn průnik ploch κ a σ. Rozdíl normálových křivostí ploch κ a σ ve
směru h 2 je relativně malý, proto lokální průnik ploch je také relativně malý a z obrázku
4 málo rozlišitelný.
Ve výše uvedeném příkladě bychom také mohli sestrojit zobecněný offset plochy κ s
vazbou na plochu σ a zkoumat jeho samoprůnik, který by určoval buď lokální, a nebo
globální podříznutí.
(a) Vzájemná poloha ploch κ a σ.
(b) Lokální průnik ploch κ a σ.
Obrázek 4: Lokální průnik v hyperbolickém bodu plochy κ.
5
Závěr
V tomto článku byly ukázány dva možné matematické aparáty, které je možné použít k
identifikaci oblastí, ve kterých dochází při 3-osém nebo 5-osém obrábění k podříznutí.
Z velkého požadavku kladeného na NURBS reprezentaci zde byly velice stručně popsány
třídy křivek, ploch a nadploch, které poskytují racionální klasický nebo zobecněný offset.
Další motivací je přesně vymezit globální podříznutí a pokusit se jej popsat nejen pro
kulovou frézu, kde už je definován.
Literatura
[1] Barnhill, R. E. – Boehmand, W. – Hoschek. J. : Curves and Sufraces in CAGD ’89.
CAGD Vol. 7, ISBN:044488629 X, 1990.
[2] Brechner, E. : General offset curves and surfaces. R. Barnhill, Geometry Processing
for Design and Manufacturing, Philadelphia: SIAM 1992 , str. 101-121.
[3] Budinský, B. : Analytická a diferenciální geometrie. STNL, Praha, 1983.
[4] Byrtus, M. : Aplikace geometrických metod při řešení vybraných problémů ve strojírenství. Diplomová práce, ZČU v Plzni, 2007.
[5] Lavička, M. – Bastl, B. : Rational parametrized curves and surfaces with rational
convolution. In Proc. Algebraic Geometry and Geometric Modeling (Barcelona), 2006,
str. 74-79.
[6] Pottmann, H. : Rational curves and surfaces with rational offsets. CAGD 12, 1995,
str. 175-192.
[7] Sampoli, M. L. – Peternell, M. – Jüttler, B. : Rational surfaces with linear normals
and their convolutions with rational surfaces. CAGD 2006, str. 179-192.
Morsmy zachovávající slova kódující vým¥nu
interval·
Lenka Háková
Fakulta jaderná a fyzikáln¥ inºenýrská
eské vysoké u£ení technické v Praze
1 Úvod
Tato práce se zabývá nekone£nými slovy, které kódují transformaci vým¥ny t°í interval· (3iet slova). Jedná se o jedno z moºných zobecn¥ní tzv. sturmovských slov,
coº jsou nejjednodu²²í aperiodická slova, nad dvojpísmennou abecedou. Zkoumáme
morsmy, které zobrazují tato slova. Konkrétn¥ nás zajímají takové morsmy, které
zachovávají mnoºinu 3iet slov (zobecn¥ní tzv. sturmovských morsm·). P°i jejich
studiu vyuºíváme p°edev²ím inciden£ní matice morsm·. Dále zkoumáme souvislost t¥chto morsm· s tzv. invertibilními morsmy.
2 Kombinatorika na slovech
Na za£átek si denujeme n¥které základní pojmy z kombinatoriky na slovech.
Abecedou rozumíme libovolnou kone£nou mnoºinu A = {a1 , a2 , . . . , an }. Její
prvky se nazývají písmena. Budeme se zam¥°ovat hlavn¥ na abecedu na t°ech
písmenech, která budeme nej£ast¥ji ozna£ovat po£áte£ními písmeny abecedy, A =
{A, B, C}.
Kone£né z°et¥zení písmen z abecedy nazýváme slovo. Mnoºina v²ech slov vytvo°ených z písmen abecedy A, v£etn¥ prázdného slova, které budeme zna£it ε, je
A∗ .
Nekone£né slovo je posloupnost písmen z abecedy, m·ºe být jednosm¥rné,
u = (un )n∈N , nebo obousm¥rné, u = (un )n∈Z . Mnoºinu (monoid) v²ech nekone£ných slov pak zna£íme AN , resp. AZ . Jednosm¥rné nekone£né u slovo nazveme
posléze periodické, pokud existují kone£ná slova v, w taková, ºe u = vwww · · · .
Obousm¥rné nekone£né slovo u je periodické, pokud existuje kone£né slovo v ,
tak ºe u = · · · vvv · · · . Slovo, které není periodické (posléze periodické), nazýváme
aperiodické.
Faktorem nekone£ného slova u délky n nazveme podslovo ui ui+1 . . . ui+n−1 .
Mnoºinu v²ech faktor· slova u délky n zna£íme Ln (u). Jejich sjednocení
[
Lu =
Ln (u)
n∈N
jazyk nekone£ného slova u.
Komplexitou nekone£ného slova u nazýváme funkci Cu : N → N, která p°iro-
nazýváme
zenému £íslu n p°i°adí po£et faktor· délky n tohoto slova, tedy
Cu (n) = #Ln (u) .
Zajímáme se o slova kódující vým¥nu t°í interval·.
Denice 1. Nech´ α, β, γ jsou kladná £ísla. Ozna£me
IA = [0, α) ,
IB = [α, α + β) ,
IC = [α + β, α + β + γ) ,
resp.
IA = (0, α] ,
IB = (α, α + β] ,
IC = (α + β, α + β + γ] ,
a I = IA ∪ IB ∪ IC . Zobrazení T : I → I dané p°edpisem


x + β + γ
T (x) = x − α + γ


x−α−β
nazýváme transformace
transformation).
pro x ∈ IA ,
pro x ∈ IB ,
pro x ∈ IC ,
vým¥ny t°í interval·
(anglicky 3-interval exchange
Pomocí vým¥ny interval· generujeme nekone£né slovo uT (x0 ) = (un )n∈Z . Bu¤
x0 ∈ [0, α + β + γ), resp. x0 ∈ (0, α + β + γ], pak poloºíme

n

A pro T (x0 ) ∈ IA ,
un = B pro T n (x0 ) ∈ IB ,


C pro T n (x0 ) ∈ IC .
íkáme, ºe transformace vým¥ny interval· T je kódovaná nekone£ným slovem
uT (x0 ).
Toto slovo m·ºe být v závislosti na parametrech α, β, γ periodické nebo aperiodické. Je dokázáno [1], ºe slovo uT (x0 ) bude aperiodické, práv¥ kdyº £ísla α + β
a β + γ jsou lineárn¥ nezávislá nad t¥lesem racionálních £ísel. Budou nás zajímat
práv¥ tato nekone£ná slova.
Denice 2. Obousm¥rné nekone£né slovo uT (x0 ), které je aperiodické, nazýváme
3iet slovo
s parametry α , β , γ a s po£áte£ním bodem x0 .
Je dokázáno, ºe komplexita 3iet slova je Cu (n) ≤ 2n + 1 . Pokud platí pro kaºdé
n rovnost, nazýváme slovo nedegenerované. Jinak je degenerované.
Pozd¥ji budeme pot°ebovat lemma popisující mnoºinu dvojpísmenných faktor·
3iet slov [3].
Lemma 1. Nech´ u je 3iet slovo. Pak mnoºina jeho faktor· délky 2 je práv¥ jedna
z následujících mnoºin:
1. L2 (u) = {AA, AB, BA, AC, CA} ,
2. L2 (u) = {BB, AB, BA, AC, CA} ,
3. L2 (u) = {BB, AC, CA, BC, CB} ,
4. L2 (u) = {CC, AC, CA, BC, CB} .
Kone£ná a nekone£ná slova zobrazujeme pomocí zobrazení, které nazýváme
morsmy.
Morsmem na monoidu A∗ rozumíme zobrazení ϕ : A∗ → A∗ takové, ºe pro
kaºdá dv¥ slova u, v ∈ A∗ platí ϕ(uv) = ϕ(u)ϕ(v). Díky této vlastnosti je kaºdý
morsmus jednozna£n¥ ur£en obrazy písmen abecedy. Obvykle jej zapisujeme ve
tvaru ai 7→ ϕ(ai ), kde ai ∈ A.
Morsmus lze p°irozen¥ roz²í°it na nekone£ná slova. Je-li u = u0 u1 u2 · · · jednosm¥rn¥ nekone£né slovo (obousm¥rn¥ nekone£ná slova podobn¥), pak denujeme
ϕ(u) = ϕ(u0 )ϕ(u1 )ϕ(u2 ) · · · .
Kaºdému morsmu ϕ p°i°azujeme
inciden£ní matici M ϕ , kterou denujeme
(M ϕ )ij = po£et písmen aj v obrazu písmene ai .
Jelikoº matice zachycuje pouze po£et písmen v obrazech a ne jejich po°adí, není
p°i°azení ϕ 7→ M ϕ prosté.
V²echny morsmy na mnoºin¥ A∗ tvo°í monoid s neutrálním prvkem identickým morsmem a operací skládání morsm·. Pro inciden£ní matici sloºení dvou
morsm· ϕ a ψ platí
M ϕ◦ψ = M ψ M ϕ .
Denice 3. Morsmus ϕ : {A, B, C}∗ → {A, B, C}∗ nazýváme
vající,
3iet zachová-
pokud pro kaºdé 3iet slovo u je také ϕ(u) 3iet slovo. Mnoºinu v²ech 3iet
zachovávajících morsm· zna£íme Φ3iet .
Φ3iet je podmonoid monoidu v²ech morsm· na t°ípísmenné abeced¥.
3 Matice 3iet zachovávajících morsm·
V £láncích [1], [2] bylo dosaºeno následujících výsledk· pro matice 3iet zachovávajících morsm·.
V¥ta 2. Nech´ ϕ je 3iet zachovávající morsmus a M jeho inciden£ní matice.
Potom platí
M EM = ±E, kde E =
T
0
1 1
−1 0 1
−1 −1 0
.
V¥ta 3. Nech´ ϕ je 3iet zachovávající morsmus a M jeho inciden£ní matice.
Potom platí jedno z následujících tvrzení.
1. det M = ±1, ϕ(u) je nedegenerované pro kaºdé nedegenerované 3iet slovo u.
2. det M = 0, ϕ(u) je degenerované pro kaºdé 3iet slovo u.
Jelikoº se soust°edíme na nedegenerovaná slova, zabýváme se dále pouze regulárními maticemi. Zavedeme si zna£ení pro monoidy matic, které zkoumáme.
E(3, N) = {M ∈ N3,3 | M EM T = ±E a det M = ±1} ,
kde matice E je denovaná ve v¥t¥ 2,
R(Φ3iet ) = {M ϕ | ϕ ∈ Φ3iet a det M ϕ 6= 0} .
Platí v²ak R(Φ3iet ) ( E(3, N), známe matice, které náleºí do E(3, N), ale nejsou
inciden£ní maticí ºádného 3iet zachovávajícího morsmu.
Nakonec je vy°e²ena otázka po£tu generátor· 3iet zachovávajících morsm·.
V¥ta 4. ádný z monoid· Φ3iet , R(Φ3iet ) , E(3, N) není kone£n¥ generovaný.
4 Vztah monoidu E(3, N) a monoidu 3iet zachovávajících morsm·
e²íme následující úlohu. Máme zadanou matici z E(3, N). Zji²újeme, zda náleºí do
R(Φ3iet ), a v kladném p°ípad¥ se snaºíme najít mnoºinu v²ech 3iet zachovávajících
morsm·, kterým je tato matice p°i°azena. Zavedeme dal²í zna£ení. Zobrazení
p°i°azující morsmu jeho inciden£ní matici ozna£íme R, tzn.
R : ϕ 7→ M ϕ .
Mnoºinu morsm·, kterým je p°i°azena matice M ϕ , pak zna£íme
R−1 (M ϕ ) = {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕk } .
Postup °e²ení této úlohy si ukáºeme na jednom p°íklad¥.
Tvrzení 5. Nech´ I 1 ∈ E(3, N) je matice

1 0 1
I 1 = 0 1 1 .
0 0 1

Pak I 1 ∈ R(Φ3iet ) a platí R−1 (I 1 ) = {ϕ1 , ϕ2 }, kde
A 7→ AC
ϕ1 : B 7→ BC ,
C 7→ C
A 7→ CA
ϕ2 : B 7→ CB .
C 7→ C
D·kaz. M¥jme libovolné 3iet slovo u s parametry α, β, γ. Hledáme morsmus ϕ,
kterému p°íslu²í matice I 1 a je 3iet zachovávající, tedy zobrazí slovo u na slovo ϕ(u)
s parametry α0 , β 0 , γ 0 . Z denice inciden£ní matice víme, ºe morsmus je tvaru
A 7→ {AC}
B 7→ {BC} ,
C 7→ C
kde sloºené závorky ozna£ují fakt, ºe neznáme po°adí písmen v obrazech A a B .
Pro transformaci, kterou kóduje slovo ϕ(u), musí platit

0
0
0

x + β + γ pro x ∈ IA ,
T 0 (x) = x − α0 + γ 0 pro x ∈ IB0 ,


x − α0 − β 0 pro x ∈ IC0 ,
kde
IA0 = [0, α0 ) ,
IB0 = [α0 , α0 + β 0 ) ,
IC0 = [α0 + β 0 , α0 + β 0 + γ 0 ) .
Vyjád°íme si parametry této transformace pomocí p·vodních parametr·. Na interval IA0 se zobrazí v²echny body leºící v p·vodním intervalu IA , tedy jejich velikosti
budou shodné. Totéº platí pro intervaly IB0 a IB . Na interval IC0 se ale zobrazí body
z prvního, druhého i t°etího intervalu a tedy platí
|IC0 | = |IA | + |IB | + |IC | = α + β + γ .
Z £ehoº získáváme
α0 = α ,
β0 = β ,
γ0 = α + β + γ .
Vidíme tedy, ºe m·ºeme p°esn¥


x + α + 2β + γ
0
T (x) = x + β + γ


x−α−β
ur£it p°edpis pro transformaci T 0
pro x ∈ [0, α) = IA0 ,
pro x ∈ [α, α + β) = IB0 ,
pro x ∈ [α + β, 2α + 2β + γ) = IC0 .
Její schéma vidíme na obrázku (1). Tu£n¥ji je vyzna£eno umíst¥ní p·vodních interval·.
0
0
0
IB
IC
IA
}|
{z
}|
{z
}|
{
z
α
|
β
γ
{z
0 )
T 0 (IC
β
}|
{z
0 )
T 0 (IB
α
}|
{z
0 )
T 0 (IA
}
Obrázek 1: K d·kazu tvrzení 5
M¥jme bod x ∈ IA = IA0 . Pro n¥j platí
T 0 (x) = x + α + 2β + γ ∈ IC0 ,
(T 0 )2 (x) = x + β + γ = T (x) .
První iterace bodu x p°i T 0 padne do intervalu IC0 a druhá iterace jej zobrazí na
tentýº bod jako p·vodní transformace T . Tedy nahrazujeme A v p·vodním slov¥
na AC .
Podobn¥ pro bod x ∈ IB = IB0 platí
T 0 (x) = x + β + γ ∈ IC0 ,
(T 0 )2 (x) = x − α + γ = T (x) ,
£ili nahrazujeme B za BC .
Pro bod x ∈ IC ⊂ IC0 je T 0 (x) = T (x), tedy C nenahrazujeme. Celkov¥ dostáváme
A 7→ AC
B 7→ BC .
C 7→ C
Druhý morsmus by se odvodil podobn¥, rozdíl by byl jen v umíst¥ní p·vodních
interval·.
Ukáºeme si, ºe ºádné jiné morsmy nejsou 3iet zachovávající. Dal²í dva moºné
morsmy by byly
A 7→ AC
A 7→ CA
ϕ3 : B 7→ CB ,
ϕ4 : B 7→ BC .
C 7→ A
C 7→ A
Nech´ u je 3iet slovo takové, ºe AB, BA ∈ L2 (u). Potom
ϕ3 (AB) = ACCB
ϕ3 (BA) = CBAC ,
Potom by platilo CC, BA ∈ L2 (ϕ3 (u)), coº by podle lemmatu 1 znamenalo, ºe
ϕ3 (u) není 3iet slovo.
Podobn¥ pro ϕ4 .
Podobn¥ je moºné vy²et°it morsmy dal²í jednoduché matice z E(3, N).
Tvrzení 6. Nech´ M 1 ∈ E(3, N) je matice


0 1 0
M 1 = 1 0 2 .
0 0 1
Pak M 1 ∈ R(Φ3iet ) a platí R−1 (M 1 ) = {ψ1 }, kde
A 7→ B
ψ1 : B 7→ CAC .
C 7→ C
Úlohy pro dal²í matice se °e²í obdobn¥, nebo se vyuºívá faktu, ºe pokud lze
matici M rozloºit na sou£in matic z monoidu R(Φ3iet ), M = M 2 M 1 , a ϕ1 , ϕ2 jsou
3iet zachovávající morsmy takové, ºe R(ϕi ) = M i , kde i = 1, 2, pak M ∈ R(Φ3iet )
a platí M = M ϕ1 ◦ϕ2 .
Bohuºel neplatí
R−1 (M ) = R−1 (M 1 ) ◦ R−1 (M 1 ) .
Neboli matice M m·ºe být p°i°azena i jinému morsmu, neº jaký vznikne skládáním morsm· jednotlivých matic sou£inu. To ukazuje p°íklad.
P°íklad.
 
2 
2
1 0 2
1 0 1
0 1 0
I = 0 1 2 = 0 1 1 = 1 0 2 .
0 0 1
0 0 1
0 0 1

Matice I je tedy také z R(Φ3iet ), ale pokud bychom pouºili jeden rozklad, vy²ly
by nám v jejím vzoru p°i R aº 4 morsmy, p°i druhém rozkladu 1. Správný po£et
je p°itom 3. Toto je zárove¬ d·kaz, ºe R(Φ3iet ) a E(3, N) nejsou volné monoidy.
5 Invertibilní morsmy
Zabývejme se nyní vztahem 3iet zachovávajících morsm· a invertibilních morsm·.
M¥jme abecedu A = {A, B, C}. Ozna£íme
A = {A, B, C, A−1 , B −1 , C −1 } ,
kde AA−1 = ε . . . . Mnoºinu v²ech kone£ných slov z abecedy A zna£íme ΓA .
Nech´ ϕ je morsmus nad abecedou A. Roz²í°íme ho na abecedu A tak, ºe
dodenujeme obrazy inverzních písmen, aby platilo
ϕ(A)ϕ(A−1 ) = ϕ(AA−1 ) = ϕ(ε) = ε ,
podobn¥ dal²í písmena.
Denice 4. Morsmus ϕ : ΓA → ΓA nazveme invertibilní, pokud existují slova
wA , wB , wC ∈ ΓA ,
taková, ºe ϕ(wA ) = A , ϕ(wB ) = B , ϕ(wC ) = C .
Ozna£me mnoºinu v²ech invertibilních morsm· na A jako IS(A). Zkoumáme
vztah IS(A) a Φ3iet .
Víme, ºe tyto monoidy nejsou shodné. Známe invertibilní monoidy, které nejsou
3iet zachovávající. Nap°íklad invertibilní morsmus
A 7→ AB
B 7→ B
C 7→ C
není 3iet zachovávající (nap°. proto, ºe jeho inciden£ní matice nenáleºí do monoidu R(Φ3iet )). Máme ale dokázáno, ºe v²echny 3iet zachovávající morsmy, se
kterými jsme se zatím setkali, jsou invertibilní. Coº nás p°ivádí k hypotéze (zatím
nedokázané).
Hypotéza. V²echny 3iet zachovávající morsmy jsou invertibilní.
Reference
[1] Petr Ambroº, Zuzana Masáková, and Edita Pelantová. Matrices of 3iet preserving morphism. Submitted to Theoret. Comput. Sci., 2007.
[2] Petr Ambroº and Edita Pelantová. A note on 3iet preserving morphisms. arXiv:math/0703792.
[3] Sébastien Ferenczi, Charles Holton, and Luca Q. Zamboni. Structure of threeinterval exchange transformations. II. A combinatorial description of the trajectories. J. Anal. Math., 89:239276, 2003.
Metody ověřovánı́ přesnosti spočtených vlastnı́ch
vektorů matic
Martin Kocurek
FSv ČVUT, Thákurova 7, Praha 6
Abstrakt
Přı́spěvek ukazuje vybrané metody, které sloužı́ k odhadu chyby spočteného vlastnı́ho
vektoru a tı́m k ověřenı́, zda spočtené řešenı́ je dostatečně správné a přesné. Pomocı́
některých lze spočtené řešenı́ rovněž opravit a vylepšit (viz [3]).
1
Motivace
Inženýři v praxi často použı́vajı́ numerický software bez znalosti matematiky, která stojı́
za metodami v komerčnı́ch programech implementovaými. I tyto programy ovšem mohou
spočı́tat chybný výsledek. Pokud je potřeba vyřešit úlohu, na kterou ani komerčnı́ software
nestačı́, je potřeba použı́t lepšı́ matematickou formulaci problému. Je rovněž možné si v
některých přı́padech ověřit správnost výsledku. Nejprve ukažme jeden konkrétnı́ přı́klad.
Jedná se o stochastickou matici (to znamená, že všechny prvky jsou nezáporné a součty
prvků v řádku jsou rovny jedné), která charakterizuje Markovovský proces modelujı́cı́
chovánı́ jednoho z vývojových návrhů elektronického automatického bloku ABE-1 v AŽD
Praha s.r.o pro řı́zenı́ dopravy na železnici (ad [2]).
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
31
32
1
64
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
64
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
31
32
31
32
31
32
31
32
31
32
1
32
31
32
31
32
31
32
31
32
31
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
30
32
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
63
64
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
64
0
0
0
0
0
31
32
31
32
31
32
31
32
31
32
1
32
31
32
31
32
31
32
31
32
31
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
30
32
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
63
64
1
64
31
32
31
32
31
32
31
32
31
32
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
30
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
31
32
31
32
31
32
31
32
31
32
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
32
0
0
0
0
1
32
0
0
0
1
32
0
0
1
32
0
1
32
1
32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
30
32
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
Tuto matici označme pı́smenem P. Úkolem je spočı́tat vlastnı́ vektor přı́slušný vlastnı́mu
čı́slu λ = 1. Z Geršgorinovy věty zjistı́me, že všechna vlastnı́ čı́sla jsou v absolutnı́ hodnotě
menšı́ než jedna. Z teorie nerozložitelných stochastických matic plyne, že vlastnı́ čı́slo
λ = 1 je jednoduché a přı́slušı́ mu vlastnı́ vektor, který má všechny složky kladné. Tento
vlastnı́ vektor se nazývá stacionárnı́ rozdělenı́ pravděpodobnosti. K jeho spočtenı́ použijeme
program Matlab (verzi 7.0.4), konkrétně funkci [V, X] = eig(A), která vracı́ matici X s
vlastnı́mi čı́sly matice A na diagonále a matici V, jejı́ž sloupce tvořı́ vlastnı́ vektory matice
A.
Pomocı́ této funkce obdržı́me vlastnı́ čı́slo 0.999999999999999, které budeme považovat
za 1. Přı́slušný vlastnı́ vektor je potom pro kv0 k2 = 1 přibližně roven
v0 = (0.99976, 0.015621, 0.00048816, 1.5255e − 5, 4.7672e − 7, 1.4898e − 8, 7.4488e − 9, 2.3277e − 10, 7.2742e − 12, 2.2731e − 13,
7.0996e−15, 2.1564e−16, -6.4282e-11, 0.015621, 0.00048816, 1.5255e−5, 4.7672e−7, 1.4898e−8, 7.4488e−9, 2.3277e−10, 7.2742e−12,
2.2731e−13, 7.0996e−15, 2.1764e−16, -6.4282e-11, -1.0044e-12, -3.1386e-14, -9.8365e-16, -3.1649e-17, 6.3037e−20, 4.651e−17,
-1.0044e-12, -3.1385e-14, -9.8432e-16, -3.1597e-17, 4.3399e − 22, 4.7885e − 17)T .
V tomto vlastnı́m vektoru hrajı́ důležitou roli prvky, které jsou v absolutnı́ hodnotě malé.
Ty totiž určujı́ pravděpodobnost výskytu nebezpečného stavu, kdy může dojı́t napřiklad ke
srážce dvou vlaků. Vidı́me tedy, že u prvků vyznačených tučně nesouhlası́ ani znaménko.
Tento výsledek je tedy nesprávný a je potřeba najı́t jiný způsob, jak vlastnı́ vektor matice
P spočı́tat.
Vyjdeme z rovnice P v = λv pro vlastnı́ vektor a vlastnı́ čı́slo. Pro λ = 1 je to rovnice
P v1 = v1 , tedy řešenı́ homogennı́ soustavy (I − P )v1 = 0. Tato soustava má nekonečně
mnoho řešenı́, kterými jsou násobky vektoru stacionárnı́ho rozdělenı́ pravděpodobnosti.
Přidáme tedy podmı́nku eT1 v1 = 1, kde e1 = (1, 0, . . . , 0)T , na prvnı́ složku rovnu jedné.
Pokud touto podmı́nkou nahradı́me prvnı́ rovnici soustavy, dostaneme soustavu s regulárnı́
maticı́, která má jediné řešenı́. Tı́m je vektor, který je po znormovánı́ na l1 -normu jedna
roven stacionárnı́mu rozdělenı́ pravděpodobnosti.
Nová soustava se dá zapsat jako (I − P −1,∗ )v1 = e1 , kde P −1,∗ je matice P, která má všechny
prvky prvnı́ho řádku nahrazeny nulami. Perron-Frobeniova věta (viz [1]) řı́ká, že vynulovánı́m libovolného
nenulového prvku v nerozložitelné nezáporné matici zmenšı́me jejı́ spektrálnı́ poloměr. Je tedy ρ(P −1,∗ ) < 1
a tudı́ž všechna vlastnı́ čı́sla matice I −P −1,∗ jsou kladná, tedy matice je regulárnı́. Mohli bychom vynulovat
libovolný řádek a nahradit přı́slušnou rovnici podmı́nkou, že přı́slušná složka má být rovna jedné. Prvnı́
řádek má řádkový součet největšı́, tudı́ž je pravděpodobné, že se tı́m maximálně zmenšı́ spektrálnı́ poloměr
matice P a že bude nejmenšı́ vlastnı́ čı́slo matice I − P −1,∗ dostatečně velké. Největšı́ vlastnı́ čı́slo matice
I − P −1,∗ je přibližně dvě. Pokud bude podı́l největšı́ho ku nejmenšı́mu vl.č. I − P −1,∗ přı́liš velký, nebude
ani řešenı́ nové soustavy rovnic přesné. Spočtenı́m (I −P −1,∗ )−1 a vynásobenı́m pravou stranou dostaneme
řešenı́ v1 ,které po znormovánı́ na kv1 k2 = 1 je
v1 = (0.99976, 0.015621, 0.00048816, 1.5255e − 5, 4.7672e − 7, 1.4898e − 8, 7.4488e − 9, 2.3277e − 10, 7.2742e − 12, 2.2732e − 13,
7.1037e−15, 2.2199e−16, 2.9795e−8, 0.015621, 0.00048816, 1.5255e−5, 4.7672e−7, 1.4898e−8, 7.4488e−9, 2.3277e−10, 7.2742e−12,
2.2732e−13, 7.1037e−15, 2.2199e−16, 2.9795e−8, 4.6555e−10, 1.4548e−11, 4.5464e−13, 1.4207e−14, 4.4398e−16, 2.2199e−16,
4.6555e − 10, 1.4548e − 11, 4.5464e − 13, 1.4207e − 14, 4.4398e − 16, 2.2199e − 16)T
Tento vektor už má vlastnosti, které mu předpovı́dá teorie. Budeme ovšem chtı́t ověřit,
zda se tomuto řešenı́ dá věřit.
2
Odhad chyby vlastnı́ho čı́sla a vlastnı́ho vektoru
V této kapitole se seznámı́me s metodou prezentovanou ve článku [3]. Mějme dánu aproximaci λ(0) reálného vlastnı́ho čı́sla a aproximaci v (0) přı́slušného reálného vlastnı́ho vektoru.
Budeme chtı́t najı́t opravy µ, y tak, že v (0) + y = v ∗ , λ(0) + µ = λ∗ , kde λ∗ , v ∗ jsou přesné.
Dostaneme soustavu
A(v (0) + y) = (λ(0) + µ)(v (0) + y),
(v (0) + y)T (v (0) + y) = 1;
Roznásobenı́m, zanedbánı́m součinů oprav y T · y, y · µ a převedenı́m neznámých y, µ na
levou stranu dostaneme soustavu do následujı́cı́ho tvaru (In je matice identity řádu n):
(A − λ(0) In )y − µv (0) = −(Av (0) − λ(0) v (0) ),
V maticovém zápisu
Av (0) − λ(0) v (0)
y
(0)
(0)
,
=−
J(v , λ )
1
µ
(1 − kv (0) k22 )
2
1
T
−v (0) y = (kv (0) k22 − 1).
2
(0)
(0)
J(v , λ )
(A − λ(0) In ) −v (0)
T
−v (0)
0
.
Pokud přibližnou inverzi matice J(v (0) , λ(0) ) označı́meL = (lij )n+1
i,j=1 , očekáváme, že vektor
Av (0) − λ(0) v (0)
η = −L ·
1
(1 − kv (0) k22 )
2
T
bude dobrou opravou spočteného (v (0) , λ(0) )T . Vektor η se dá rovněž použı́t ke spočtenı́
odhadu chyby v (0) , λ(0) .
Věta 2.1 Označme symbolem ν[(x1 , ..., xn )] = (|x1 |, ..., |xn |) vektor absolutnı́ch hodnot
složek původnı́ho vektoru nebo matice. Norma kxk ≡ kxk1 = |x1 | + ...|xn |. Dále označme
K = ν[In+1 − LJ(v (0) , λ(0) )] = (κij )n+1
i,j=1 ,




maxj |l1j |
maxj κ1j




..
..
, ,
h=
κ=
,
.
.
maxj |ln+1 j |
maxj κn+1 j
ǫ = ν[η].
Předpokládejme dále, že L, v (0) , λ(0) jsou dobré aproximace v tom smyslu, že kκk < 1 a
t = (1 − kκk)2 − 2khk · kǫk > 0. Položı́me
a=
2kǫk
√ ,
1 − kκk + t
1
β = ǫ + aκ + a2 h = (β1 , ..., βn+1 )T .
2
Potom existuje jednoduché vlastnı́ čı́slo λ∗ a odpovı́dajı́cı́ vl.vektor x∗ = (x∗1 , ..., x∗n )T tak,
že kx∗ k2 = 1 a
(0)
|λ∗ − λ(0) | ≤ βn+1 , |x∗i − xi | ≤ βi , 1 ≤ i ≤ n.
Dále platı́, že
(0)
|(λ(0) + ηn+1 ) − λ∗ | ≤ βn+1 − ǫn+1 , |(xi + ηi ) − x∗i | ≤ βi − ǫi ,
1 ≤ i ≤ n.
Věta tedy umožňuje kromě intervalového odhadu vlastnı́ho čı́sla a vlastnı́ho vektoru spočı́tat
vlastnı́ dvojici (v (1) , λ(1) )T = (v (0) , λ(0) )T + η, která je zpřesněnı́m původnı́ho (v (0) , λ(0) )T .
Definuje tedy jakousi iteračnı́ metodu pro zpřesněnı́ dostatečně přesného vlastnı́ho čı́sla a
vektoru.
3
Odhad chyby řešenı́ soustavy lineárnı́ch rovnic
Budeme se zabývat soustavou Ax = b. Jejı́ přibližné řešenı́ označı́me x(0) . Spočteme
přibližnou inverzi R ≈ A−1 takovou, že kRA − Ik∞ < 1. Potom platı́ odhad
kA−1 b − x(0) k∞ ≤
kR(Ax(0) − b)k∞
1 − kRA − Ik∞
(III.1)
Je RA = I − (I − RA), tedy A−1 = (I − (I − RA))−1 R, tedy A−1 b = (I − (I − RA))−1 Rb. Je
rovněž x(0) = Ix(0) = (I − (I − RA))−1 (I − (I − RA))x(0) = (I − (I − RA))−1 RAx(0) . Dohromady
x(0) − A−1 b = (I − (I − RA))−1 (RAx(0) − Rb).
kx(0) − A−1 bk∞ ≤ k(I − (I − RA))−1 k∞ kRAx(0) − Rbk∞
k(I − (I − RA))−1 k∞ = k
∞
X
(I − RA)i k∞ ≤
∞
X
kI − RAki∞ =
i=0
i=0
1
1 − kI − RAk∞
Spojenı́m poslednı́ch dvou nerovnostı́ dostaneme žádanou nerovnost.
Jiný postup (ad [4]) využı́vá následujı́cı́ větu
Věta 3.1 Bud’ A regulárnı́ matice n × n a b sloupcový vektor délky n. Necht’ x∗ , x(0) jsou
přesné a přibližné řešenı́ soustavy Ax = b. Označme r = Ax(0) − b reziduum a z (0) přibližné
řešenı́ soustavy Az = r. Potom platı́ následujı́cı́ nerovnost:
|x(0) − x∗ | ≤ |z (0) | + kA−1 k∞ kAz (0) − rk∞ e,
(III.2)
kde e = (1, ..., 1)T .
Důsledek 3.1 Necht’ A, b, x∗ , x(0) , z (0) , r jsou jako ve větě 3.1. Dále necht’ jsou r, r̄ dolnı́,
resp. hornı́ odhad r. Pokud kA−1 k∞ ≤ α, potom platı́ nerovnost
|x(0) − x∗ | ≤ |z (0) | + α(kAz (0) − rk∞ + kr̄ − rk∞ )e
(III.3)
Absolutnı́ hodnota vektoru se rozumı́ po složkách, tedy |(x1 , ..., xn )| = (|x1 |, ..., |xn |).
K odhadu normy kA−1 k∞ použijeme opět vztah A−1 = (I − (I − RA))−1 R, tedy
kA−1 k∞ ≤
kRk∞
=α
1 − kI − RAk∞
4
4.1
Numerické výsledky
Yamamoto
Pomocı́ λ(0) = 1 a již dřı́ve spočteného vektoru v (0) (zaokrouhlený je uveden v tabulce 1)
spočı́táme podle věty 2.1
kκk = 9.23631649796254e − 7 < 1,
t = 0.999998146923462 > 0,
jsou tedy splněny předpoklady věty. Určı́me tedy a = 6.068191006684716e − 8. Výsledky
jsou uvedeny v tabulce 1. Opravený vlastnı́ vektor podle věty 2.1 je označen v (1) .
Složka
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
β
3.24497e-017
4.54877e-017
2.19718e-018
6.30614e-019
2.44546e-018
3.67107e-018
3.83480e-019
6.12956e-018
3.40381e-018
4.98407e-018
4.06945e-018
6.35273e-018
2.98594e-008
5.58961e-017
2.19718e-018
1.63351e-018
2.23025e-018
4.89523e-018
1.32845e-018
8.08754e-018
3.52850e-018
5.02131e-018
4.04797e-018
4.35117e-018
2.98593e-008
4.66552e-010
1.45798e-011
4.55620e-013
1.42390e-014
4.43918e-016
1.75481e-016
4.66557e-010
1.45797e-011
4.55621e-013
1.42390e-014
4.43981e-016
1.74106e-016
Dolnı́ odhad
0.99976
0.015621
0.00048816
1.5255e-005
4.7672e-007
1.4898e-008
7.4488e-009
2.3277e-010
7.2742e-012
2.2731e-013
7.0956e-015
2.0928e-016
-2.9924e-008
0.015621
0.00048816
1.5255e-005
4.7672e-007
1.4898e-008
7.4488e-009
2.3277e-010
7.2742e-012
2.2731e-013
7.0956e-015
2.1329e-016
-2.9924e-008
-4.6756e-010
-1.4611e-011
-4.566e-013
-1.4271e-014
-4.4385e-016
-1.2897e-016
-4.6756e-010
-1.4611e-011
-4.5661e-013
-1.4271e-014
-4.4398e-016
-1.2622e-016
v (0)
0.99976
0.015621
0.00048816
1.5255e-005
4.7672e-007
1.4898e-008
7.4488e-009
2.3277e-010
7.2742e-012
2.2731e-013
7.0996e-015
2.1564e-016
-6.4282e-011
0.015621
0.00048816
1.5255e-005
4.7672e-007
1.4898e-008
7.4488e-009
2.3277e-010
7.2742e-012
2.2731e-013
7.0996e-015
2.1764e-016
-6.4282e-011
-1.0044e-012
-3.1386e-014
-9.8365e-016
-3.1649e-017
6.3037e-020
4.651e-017
-1.0044e-012
-3.1385e-014
-9.8432e-016
-3.1597e-017
4.3399e-022
4.7885e-017
Přesné
0.99976
0.015621
0.00048816
1.5255e-005
4.7672e-007
1.4898e-008
7.4488e-009
2.3277e-010
7.2742e-012
2.2732e-013
7.1037e-015
2.2199e-016
2.9795e-008
0.015621
0.00048816
1.5255e-005
4.7672e-007
1.4898e-008
7.4488e-009
2.3277e-010
7.2742e-012
2.2732e-013
7.1037e-015
2.2199e-016
2.9795e-008
4.6555e-010
1.4548e-011
4.5464e-013
1.4207e-014
4.4398e-016
2.2199e-016
4.6555e-010
1.4548e-011
4.5464e-013
1.4207e-014
4.4398e-016
2.2199e-016
v (1)
0.99976
0.015621
0.00048816
1.5255e-005
4.7672e-007
1.4898e-008
7.4488e-009
2.3277e-010
7.2742e-012
2.2732e-013
7.1037e-015
2.2199e-016
2.9795e-008
0.015621
0.00048816
1.5255e-005
4.7672e-007
1.4898e-008
7.4488e-009
2.3277e-010
7.2742e-012
2.2732e-013
7.1037e-015
2.2199e-016
2.9795e-008
4.6555e-010
1.4548e-011
4.5464e-013
1.4207e-014
4.4398e-016
2.2199e-016
4.6555e-010
1.4548e-011
4.5464e-013
1.4207e-014
4.4398e-016
2.2199e-016
Hornı́ odhad
0.99976
0.015621
0.00048816
1.5255e-005
4.7672e-007
1.4898e-008
7.4488e-009
2.3277e-010
7.2742e-012
2.2732e-013
7.1037e-015
2.2199e-016
2.9795e-008
0.015621
0.00048816
1.5255e-005
4.7672e-007
1.4898e-008
7.4488e-009
2.3277e-010
7.2742e-012
2.2732e-013
7.1037e-015
2.2199e-016
2.9795e-008
4.6555e-010
1.4548e-011
4.5464e-013
1.4207e-014
4.4398e-016
2.2199e-016
4.6555e-010
1.4548e-011
4.5464e-013
1.4207e-014
4.4398e-016
2.2199e-016
Tabulka 1: Aplikace Yamamotova postupu
Ještě je zajı́mavé spočı́tat |v − v̄|∞ ≈ 4.2702 · 10−14 . Platı́ rovněž i po výpisu dalšı́ch
desetinných mı́st, že v̄ > v.Složky, které ve v (0) byly záporné, se lišily od správných přibližně
o tři řády.
Odhady sestrojené pomocı́ vektoru v (1) jsou těsnějšı́ a kladné. V tabulce 2 uvedeme
pouze odhady ve vybraných složkách, které měly při prvnı́m odhadu dolnı́ mez zápornou.
Složka
13
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
Dolnı́ odhad
2.97950005783247e-008
2.97950303162368e-008
4.65547348691201e-010
1.45483546466e-011
4.54636082706251e-013
1.42073775845703e-014
4.43980549517823e-016
2.21990274758911e-016
4.65546884036323e-010
1.45483401261351e-011
4.54635628941721e-013
1.42073634044288e-014
4.43980524085217e-016
2.21990275516699e-016
Přesný vl. vektor
2.97950428743297e-008
2.97950428743297e-008
4.65547544911401e-010
1.45483607784813e-011
4.5463627432754e-013
1.42073835727356e-014
4.43980736647989e-016
2.21990368323994e-016
4.65547544911401e-010
1.45483607784813e-011
4.5463627432754e-013
1.42073835727356e-014
4.43980736647989e-016
2.21990368323994e-016
Hornı́ odhad
2.97950855760322e-008
2.97950556347029e-008
4.65547744292232e-010
1.45483670091322e-011
4.54636469035383e-013
1.42073896573557e-014
4.43980926792366e-016
2.21990463396183e-016
4.65548212125503e-010
1.4548381628922e-011
4.54636925903812e-013
1.42074039344941e-014
4.43980955256124e-016
2.21990464153971e-016
Tabulka 2: Odhady použitı́m v (1)
4.2
Odhady řešenı́ soustavy lineárnı́ch rovnic
Pomocı́ vyřešenı́ soustavy lineárnı́ch rovnic obdržı́me řešenı́ x(0) , které je přesné v rámci
možnostı́ dvojné aritmetiky u výpočtů s čı́sly v řádech 100 − 10−16 Spočtenı́m inverze
R = A∧ (−1) dostaneme po zaokrouhlenı́
kR(Ax(0) − b)k∞ = 5.7302 · 10−17 ,
kA−1 b − x(0) k∞ ≤
kRA − Ik∞ = 5.9605 · 10−7
kR(Ax(0) − b))k∞
≤ 5.7302 · 10−17 .
1 − kRA − Ik∞
Při použitı́ třetı́ho postupu, tedy nerovnosti
|x(0) − x∗ | ≤ |z (0) | + α(kAz (0) − rk∞ + kr̄ − rk∞ )e,
(0)
dostaneme následujı́cı́ výsledky: kA−1 k∞ = 5.7987 · 1010 , |zi | ≤ 6 · 10−17 , i = 1, . . . , n,
kAz (0) − rk∞ = 2.6683 · 10−26 . Nakonec je
kx(0) − x∗ k∞ ≤ 8.05 · 10−16 .
Z obou odhadů lze usoudit, že spočtené řešenı́ je řádově přesné, čili dostatečně přesné pro
použitı́ v pravděpodobnostnı́ch úvahách.
5
Závěr
Pokud použijeme některou z ověřovacı́ch metod na spočtený výsledek, velké rozmezı́ v
odhadu chyby může varovat před možnostı́ chybného výsledku. Lze potom výsledek pomocı́
některých metod (např. Yamamoto) opravit na žádanou přesnost. Yamamotova metoda
byla použita bez numerických optimalizacı́, přesto dává řádově lepšı́ výsledky, než metody
na ověřovánı́ řešenı́ soustav lineárnı́ch rovnic.
Reference
[1] Richard S.Varga: Matrix Iterative Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1962.
[2] Štěpán Klapka: Markov models in signalling systems, disertation thesis, MFF UK
Praha, 2002 (in Czech).
[3] T.Yamamoto - Error Bounds for Computed Eigenvalues and Eigenvectors, Numer.
Math. 34, p. 189-199, 1980
[4] Ogita, Oishi, Ushiro - Computation of Sharp Rigorous Componentwise Error Bounds
for the Approximate Solutions od Systems of Linear Equations, Kluwer Academic
Publishers, 2003
[5] S.Oishi, S.Rump - Fast Verification of Solutions of Matrix Equations, Numer. Math.
90(4),755-773, 2002
Součtové čı́slo grafů
Soňa Königsmarková1
1
Úvod
Součtové grafy představujı́ datovou strukturu pro reprezentaci grafu. V praxi se
využı́vajı́ pro kompresi dat v počı́tači. Do paměti stačı́ uložit pouze očı́slovánı́ grafu,
mı́sto toho, abychom ukládali celý graf (např. pomocı́ matice sousednosti). Podle
uložených čı́sel pak dokážeme jednoduše zkonstruovat graf. Poznáme totiž, které
uzly jsou spojeny hranou a které jsou izolovanými uzly.
2
Základnı́ pojmy z teorie grafů
2.1
Pojem grafu a dalšı́ grafové pojmy
Grafy jsou základnı́ strukturou, kterou zkoumá diskrétnı́ matematika.
Definice 2.1. Graf G je dvojice G = (V, E), kde V je konečná množina a E ⊂ ( V2 ),
kde V2 označuje množinu všech dvouprvkových množin množiny V . Prvky množiny
V nazýváme uzly (často také vrcholy) a prvky množiny E pak hrany grafu G.
Definice 2.2. Sled (z uzlu u do uzlu v) v grafu G je libovolná posloupnost (u =
= v0 , v1 , . . . , vk = v), kde vi jsou uzly grafu G a pro každé i = 1, . . . , k je vi−1 vi
hranou grafu G. Čı́slo k je délka tohoto sledu.
Definice 2.3. Graf G je souvislý, pokud pro každé dva uzly u, v existuje v grafu G
cesta z u do v. V opačném přı́padě je graf nesouvislý.
2.2
Speciálnı́ typy grafů
• Úplný graf je takový graf, jehož každé dva uzly jsou spojeny hranou. Označujeme
ho Kn .
• Cesta z u do v v grafu G je sled (u = v0 , v1 , . . . , vk = v), ve kterém se každý
uzel vi objevuje pouze jednou.
• Kružnice v grafu G je uzavřený sled délky alespoň tři, ve kterém se uzel v0
objevuje právě dvakrát a každý ostatnı́ uzel grafu nejvýše jednou.
1
3. ročnı́k - obor Obecná matematika, Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerzita v Plzni,
[email protected]
• Strom je konečný souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf žádnou kružnici.
• Hvězda je graf, v němž každý uzel je prvnı́ho stupně a jediný uzel pak nenı́
prvnı́ho stupně, nýbrž má stupeň |V | − 1.
3
Součtové grafy
3.1
Základnı́ pojmy
Zkoumánı́ čı́slovánı́ grafů je jednı́m ze základnı́ch témat teorie grafů. Očı́slovánı́m
rozumı́me přiřazenı́ celých čı́sel bud’ uzlům nebo hranám nebo uzlům i hranám, které
splňuje určité podmı́nky. Pojem součtového grafu zavedl Harary [4] v roce 1990.
Definice 3.1. Necht’ N je množina všech přirozených čı́sel: N = {1, 2, 3, . . .}. Graf
G(V, E) se nazývá součtový graf, jestliže existuje prosté zobrazenı́ λ z V do množiny
přirozených čı́sel S, S ⊂ N, takové, že {u, v} ∈ E(G) právě tehdy, když λ(u)+λ(v) ∈
S.
Pro každý graf můžeme definovat součtové čı́slo.
Definice 3.2. Součtové čı́slo grafu H, které budeme označovat σ(H), je nejmenšı́
počet r izolovaných uzlů K̄r , které musı́ být přidány, aby výsledný graf G = H + K̄r
byl součtovým grafem.
3.2
3.2.1
Známé výsledky
Stromy
M.Ellingham dokázal následujı́cı́ větu:
Věta 3.3. Každý strom T 6= K1 má součtové čı́slo σ(T ) = 1.
3.2.2
Cykly a kola
Stěžejnı́ větu o cyklech dokázal Harary [4]:
Věta 3.4. Součtové čı́slo cyklů Cn je
σ(Cn ) = 2, jestliže n 6= 4,
σ(Cn ) = 4, jestliže n = 4.
Zajı́mavou třı́dou grafů jsou grafy, které nazýváme kola. Označujeme je Wn .
Definice 3.5. Kolo Wn je pro každé celé n ≥ 3 graf G = (V, E) s množinou uzlů
V = {c0 , v1 , v2 . . . vn } a s množinou hran E = {(c, vi ), (vi , vi+1 )|i = 0, 1, . . . n − 1}.
Uzel c nazýváme střed kola, každou hranu (c, vi ) pro i = 0, 1, . . . n − 1 paprsek
kola a cyklus Cn = Wn − c jako obrubu kola.
Věta 3.6. ( [5], str. 6)
Pro n sudé je σ(Wn ) = n2 + 2.
Věta 3.7. ( [5], str. 8)
Pro liché n ≥ 5 je σ(Wn ) = n.
Přı́klad očı́slovánı́ sudého kola W4 (viz obr. 1) a lichého kola W5 (viz obr. 2):
14
9
17
13
3
7
11
14
6
10
21
25
15
17
18
8
19
10
Obrázek 1: Kolo W4
4
4.1
11
7
Obrázek 2: Kolo W5
Celočı́selné součtové grafy
Základnı́ pojmy
Definice 4.1. Celočı́selný součtový graf G+
i (S) je definován jako součtový graf, jen
s rozdı́lem, že S ⊂ Z (Z je množina všech celých čı́sel), zatı́mco u součtového grafu
je S ⊂ N (N je množina všech přirozených čı́sel).
Definice 4.2. Celočı́selné součtové čı́slo grafu G, označované ζ(G) je minimálnı́
počet izolovaných uzlů, které musı́ být přidány, aby výsledný graf byl celočı́selným
součtovým grafem.
4.2
4.2.1
Cesty a párovánı́
Věta 4.3. ( [4], str. 102)
Cesta Pn je pro všechna přirozená čı́sla n celočı́selný součtový graf.
0
0
1
1
0
2
2
2
1
2
-1
3
-4
7
-11
18
-1
3
Obrázek 3: Cesty
Na obrázku 3 vidı́me, že cesty Pn jsou celočı́selné součtové grafy pro n = 1, 2, 3, 4
a 8.
Věta 4.4. ( [4], str. 103)
Pro všechna přirozená m je párovánı́ mK2 celočı́selný součtový graf.
4.2.2
Hvězdy
Věta 4.5. ( [9], str. 171)
Pro všechna kladná celá čı́sla n je hvězda Sn = K1,n celočı́selný součtový graf.
0
1
2n-1
3
5
2n-3
Obrázek 4: Hvězda
4.2.3
Stromy
Ve staršı́ verzi článku [3] z roku 2004 bylo uvedeno, že Sethuraman a Venkatesch
dokázali následujı́cı́ větu:
Věta 4.6. Každý strom je celočı́selným součtovým grafem.
V novějšı́m vydánı́ tohoto dynamického přehledu z roku 2007 tato věta nenı́
uvedena. Nenı́ tedy jisté, zda platı́, že stromy jsou celočı́selnými součtovými grafy.
4.2.4
Kola a úplné grafy
Pro kola platı́ následujı́cı́ věta:
Věta 4.7. Kola Wn pro n 6= 4 jsou celočı́selné součtové grafy.
Pro úplné grafy byla dokázána následujı́cı́ věta:
Věta 4.8. ( [10], str. 242)
Pro úplné grafy Kn s n ≥ 4 je ζ(Kn ) = σ(Kn ).
Důsledek 4.9. Celočı́selné součtové čı́slo ζ(Kn − e) = 2n − 4 pro všechna n ≥ 4.
5
5.1
Modulárnı́ součtové grafy
Základnı́ pojmy
Definice 5.1. Graf G = (V, E) se nazývá modulárnı́ součtový graf, jestliže existuje
kladné čı́slo n a prosté očı́slovánı́ z V do {1, 2, . . . n − 1} takové, že {u, v} ∈ E(G)
právě tehdy, když (f (u) + f (v)) (mod n)= f (w) pro nějaký uzel w.
M. Sutton definoval modulárnı́ součtové čı́slo. Modulárnı́ součtové čı́slo souvislého grafu je nejmenšı́ počet r izolovaných uzlů takových, že graf G = H + K̄r je
modulárnı́ součtový graf. Označujeme jej ρ(H).
Bolland [1] ukázal, že následujı́cı́ grafy jsou modulárnı́ součtové grafy: všechny
stromy se 3 nebo vı́ce uzly, všechny cykly délky 4 a většı́ a všechny K2,n .
5.2
V článku [8] je dokázáno, že W4 je jediné kolo, které je modulárnı́m součtovým
grafem.
Věta 5.2. ( [8], str. 291)
Kolo W4 je modulárnı́ součtový graf a má jednoznačné očı́slovánı́ pro libovolně zvolené n (při počı́tánı́ mod n).
6
6.1
Rozdı́lové grafy
Základnı́ pojmy
Pojem rozdı́lový graf zavedl Harary [4].
Definice 6.1. Graf DG(S) = (V, E) se nazývá rozdı́lový graf, jestliže existuje prosté
zobrazenı́ λ z V do množiny přirozených čı́sel S takové, že {u, v} ∈ E(G) právě
tehdy, když |λ(u) − λ(v)| ∈ S.
Definice 6.2. Zobrazenı́ r : V → N se nazývá očı́slovánı́ rozdı́lového grafu G =
= (V, E) právě tehdy, když G je izomorfnı́ s DG(S), kde S = {r(v)|v ∈ V }.
Stromy, cykly, úplné grafy, úplné bipartitnı́ grafy Kn,n a Kn,n−1 a n-boké hranoly
(n ≥ 4) jsou rozdı́lové grafy.
6.2
V mnoha časopiseckých článcı́ch bylo dokazováno, jestli graf, který označujeme jako
kaktus je rozdı́lovým grafem.
Definice 6.3. Neprázdný, konečný a souvislý graf G = (V, E) se nazývá kaktus
právě tehdy, když každá hrana e ∈ E je obsažena nejvýše v jednom cyklu.
Byla dokázána následujı́cı́ věta:
Věta 6.4. ( [6], str. 62)
Kaktusy s obvodem cyklu nejméně 6 jsou rozdı́lové grafy.
7
7.1
Vlastnı́ výsledky
Kartézský součin cesty Pn a grafu K2
Cı́lem mé práce bylo určit součtové čı́slo hranolů nad kružnicı́ Cn . Nejdřı́ve jsem
se zabývala jednoduššı́m typem grafů. Byly to grafy, které zı́skáme kartézským
součinem cesty Pn a grafu K2 .
Definice 7.1. Kartézský součin GH grafů G a H je definován předpisem
GH = (V (G) × V (H), E 0 ),
kde [(x, y), (x0 , y 0 )] ∈ E 0 , právě když bud’ [x, x0 ] ∈ E(G) a y = y 0 , nebo [y, y 0 ] ∈ E(H)
a x = x0 .
Pn
K2
Obrázek 5: Kartézský součin cesty Pn a grafu K2
Věta 7.2. Pro součtové čı́slo grafu, který vznikne kartézským součinem cesty libovolné délky a úplného grafu K2 , platı́ σ(G) ≤ 3.
Důkaz. Označme uzly cesty Pn čı́sly x1 , x2 , . . . , xn a uzly cesty Pn0 čı́sly x01 , x02 , . . . , x0n .
Graf budeme čı́slovat lichými čı́sly. Prvnı́mu uzlu na cestě Pn přiřadı́me čı́slo 3
a pokračujeme v čı́slovánı́ uzlů střı́davě na cestách Pn a Pn0 ob jeden uzel lichými
vzestupně uspořádanými čı́sly. To znamená, očı́slujeme-li na cestě Pn uzel xi , přičemž
xi nenı́ poslednı́ uzel, pak dalšı́ uzel, který budeme čı́slovat nebude jemu přı́slušný
uzel x0i v kopii Pn0 , ale uzel x0i+1 . Přiřadı́me-li čı́slo poslednı́mu uzlu jedné cesty, pak
hned očı́slujeme jemu přı́slušný uzel v druhé cestě a pokračujeme stejným způsobem
zpátky až do té doby, než očı́slujeme uzel přı́slušný prvnı́mu uzlu cesty Pn0 .
K těmto grafům stačı́ vždy přidat tři izolované uzly, které majı́ následujı́cı́ hodnoty:
xi + x0i = 4n + 4,
x0i−1 + x0i = xi + xi+1 = 4n + 6,
xi−1 + xi = x0i + x0i+1 = 4n + 2.
Je třeba dokázat, že pro každé dva uzly spojené hranou existuje v grafu součet
jejich hodnot a pro každé dva nesousednı́ uzly v grafu součet jejich hodnot neexistuje.
Přı́klad očı́slovánı́ tohoto grafu:
21
5
17
9
13
22
24
26
3
19
7
15
11
Obrázek 6: Kartézský součin P5 a K2
7.2
Hranoly nad kružnicı́ Cn
Definice 7.3. Hranol nad kružnicı́ Cn je graf, který vznikne kartézským součinem
dvou grafů GH, kde G je graf, který označujeme jako cyklus Cn a H je úplný graf
K2 .
Na obrázcı́ch jsou některé typy hranolů nad Cn , kde n je délka vnitřnı́ a vnějšı́
kružnice.
Obrázek 7: Hranoly nad Cn , n = 3, 4, 5
Věta 7.4. Je-li G libovolný hranol nad kružnicı́ Cn , pak součtové čı́slo je σ(G) ≤ 6.
Důkaz. Označme uzly na kružnici Cn čı́sly x1 , x2 , . . . , xn a na kružnici Cn0 pak
čı́sly x01 , x02 , . . . , x0n . Uzly s očı́slovánı́m x1 , x2 , . . . , xn−1 a x01 , x02 , . . . , x0n−1 tvořı́ graf,
vytvořený kartézským součinem cesty Pn−1 a K2 . Očı́slujeme jej stejným způsobem
jako v důkazu věty 7.2.
Hodnoty izolovaných uzlů zı́skáme následovně:
xi + x0i = 4n,
x0i−1 + x0i = xi + xi+1 = 4n + 2,
xi−1 + xi = x0i + x0i+1 = 4n − 2.
Necht’ množina I je množina těchto třı́ čı́sel izolovaných uzlů.
Dále potřebujeme přiřadit očı́slovánı́ uzlům xn a x0n . Uzlu x0n přiřadı́me hodnotu
8n − 3. Tato hodnota je nynı́ největšı́m čı́slem v grafu. S libovolným uzlem v grafu
se jejich součet nemůže v očı́slovánı́ grafu vyskytnout. Uzel xn−1 má pro sudé n
očı́slovánı́ 2n−1 a uzel x0n−1 má očı́slovánı́ 2n+1. Pro liché n má uzel xn−1 očı́slovánı́
2n + 1 a uzlu x0n−1 je přiřazeno čı́slo 2n − 1. Poslednı́mu uzlu xn přiřadı́me pro liché
n čı́slo 10n − 7 a pro sudé n čı́slo 10n − 5. Po sečtenı́ všech dvojic uzlů spojených
hranou zı́skáme šest různých součtů čı́sel.
Ohodnocenı́ všech přidaných uzlů je:
4n − 2,
4n,
4n + 2,
u sudých hranolů 10n − 2, u lichých hranolů 10n − 4,
12n − 6,
u sudých hranolů 18n − 8, u lichých hranolů 18n − 10.
Na následujı́cı́m obrázku 8 je přı́klad očı́slovánı́ hranolu nad kružnicı́ Cn .
21
3
17
5
19
7
9
15
13
11
45
22
58
24
66
26
100
55
Obrázek 8: Očı́slovánı́ hranolu nad C6
7.3
Möbiova páska
Möbiova páska je graf velmi podobný hranolu.
Definice 7.5. Möbiova páska je graf, který dostaneme z hranolu nad kružnicı́ Cn
tı́m, že některé dvě odpovı́dajı́cı́ si hrany e = {x, y} ∈ H(Cn ) a e0 = {x0 , y 0 } ∈ H(Cn0 )
nahradı́me hranami {x, y 0 } a {x0 , y}.
Věta 7.6. Pro součtové čı́slo σ(G) grafu G, zvaného Möbiova páska, platı́ σ(G) ≤ 6.
Důkaz. V grafu hranolu nad kružnicı́ Cn označme čı́sla x1 , x2 , . . . , xn kružnice Cn
a x01 , x02 , . . . , x0n kružnice Cn0 . U Möbiovy pásky jsou hrany {xn−1 , x0n } a {x0n−1 , xn }.
Uzly x1 , x2 , . . . , xn−1 očı́slujeme stejným způsobem jako kartézský součin cesty délky
n−1 a K2 (viz důkaz věty 7.2). Zı́skáme tři izolované uzly. Očı́slovánı́ uzlu x0n zı́skáme
stejným způsobem jako u hranolu (viz důkaz věty 7.4). Uzel x0n−1 má pro sudé n
očı́slovánı́ 2n − 1 a pro liché n očı́slovánı́ 2n + 1. Uzlu xn−1 je pro sudé n přiřazeno
čı́slo 2n + 1 a pro liché n čı́slo 2n − 1. Očı́slovánı́ xn pro liché n tedy bude 10n − 7
a pro sudé n bude 10n − 5.
K tomuto grafu potřebujeme také přidat šest izolovaných uzlů:
4n − 2,
4n,
4n + 2,
u lichých grafů 10n − 2, u sudých grafů 10n − 4,
12n − 6,
u lichých grafů 18n − 8, u sudých grafů 18n − 10.
Přı́klad očı́slovánı́ Möbiovy pásky pro n = 5 (viz obr. 9):
17
3
5
15
13
7
9
11
37
18
48
20
54
22
82
15
Obrázek 9: Očı́slovánı́ Möbiovy pásky pro n = 5
8
Závěr
Existuje velký počet otázek vztahujı́cı́ch se k součtovému čı́slu. Tématem pro dalšı́
zkoumánı́ by mohlo být napřı́klad součtové čı́slo grafů, které vzniknou kartézským
součinem cest libovolné délky. Takový graf označujeme jako mřı́žka (viz obr. 10).
Obrázek 10: Mřı́žka
Zajı́mavá je rovněž otázka, zda lze vylepšit odhad na celočı́selné součtové čı́slo
hranolu nad kružnicı́ Cn , použijeme-li na očı́slovánı́ grafu nejen kladná, ale i záporná
čı́sla.
Reference
[1] Bolland, J. - Laskar, R. - Turner, C. - Domke, G.: On mod sum graphs. Congr.
Numer. 70 (1990) 131-135.
[2] Čada, R. - Kaiser, T. - Ryjáček, Z.: Diskrétnı́ matematika. ZČU v Plzni, 2004.
[3] Gallian, J.A.: Graph labelling. Dynamic Survey DS 6, Electronic J.Comb.(2007).
[4] Harary, F.: Sum graphs over all the integers, Discrete Mathematics 124 (1994),
99-105.
[5] Miller, M. - Ryan, J. - Slamin - Smyth, W. F.: Labelling wheels for minimum
sum number. J. Combin. Math. Combin. Comput. 28 (1998), 289-297.
[6] Sharary, A.: Integral sum graphs from complete graphs, cycles and wheels. Arab
Gulf J. Sci. Res. 14 (1996) 1-14.
[7] Sonntag, M.: Difference labelling of cacti. Discussiones Mathematicae, Graph
Theory 23 (2003), 55-65.
[8] Sutton, M. - Miller, M. - Ryan J. - Slamin: Connected graphs which are not
mod sum graphs. Discrete Mathematics 195 (1999), 287-293.
[9] Wu, J. - Mao, J. - Li, D.: New types of integral sum graphs. Disrete Mathematics,
260 (2005) 163-176.
[10] Xu, B.: On integral sum graphs. Discrete Mathematics 194 (1999), 285-294.
Výskyt palindromů v různých číselných soustavách
Dominik Macáš
Abstract: Představíme pojem palindomicity přirozených čísel, který je nezávislý na bázi.
Budeme studovat existenci a hustotu palindromických a vícenásobných palindromických čísel,
a položíme několik souvisejících otázek.
Klíčová slova: Palindromická čísla. Číselné systémy.
Přirozená čísla se vyskytují všude v našem denním životě: autobusové jízdenky, čísla aut,
identifikační čísla, jízdní řády, atd. Tato čísla jsou většinou vyjádřena v desítkové soustavě.
To znamená, že pro přirozené číslo n ∈ N píšeme n = (ak −1...a0 )10 pro nějaká 0 ≤ ai ≤ 9 a
ak −1 ≠ 0 , což znamená, že
n = ak −110 k −1 + ak − 210 k − 2 + ... + a0
Zvláštní půvab mají tzv. palindromická čísla. To jsou čísla, jejichž desítkový rozvoj je stejný,
pokud je čten zleva doprava a zprava doleva, tedy (ak −1...a0 )10 = (a0 ...ak −1 )10 .
Tento typ čísel byl objeven už v rukopisu Ganitasarasamgraha psaném v sanskrtu a
datovaném okolo roku 850. V něm indický matematik Mahaviracharya popsal číslo
12345654321 jako množství, které „začíná jedničkou dokud nedosáhne šestky, potom klesá
v opačném pořadí“. To je kuriózní palindromické číslo a mimochodem, je to čtverec jiného
palindromu: 12345654321 = 1111112. Je mnoho cest, jak vytvářet palindromická čísla, včetně
zajímavých domněnek.
Setkat se s palindromickým číslem je vzácná událost: například pravděpodobnost, že číslo
z intervalu 10 4 ≤ n ≤ 105 je palindrom, je 1/100, což je fakt dobře známý sběračům
palindromických autobusových jízdenek. Tedy máme sklon cítit se docela šťastně, když
nějaké z těchto čísel zkříží naši cestu. A čím víc cifer má, tím šťastněji se cítíme, a tím
šťastnější to číslo vypadá.
Ale je tento pocit opravdu podložitelný? Je nutno říct fakt, že tato vlastnost není vlastní jen
číslu, ale také závisí na základu soustavy použité k jeho vyjádření. Třeba číslo (894111498)10
je palindromické v soustavě o základu 10, ale ne při základu 13 jako n = (113314377)13 . Tedy
pokaždé, když narazíme na 894111498, musíme – přinejmenším z principu – děkovat
nebesům za tu náhodu, že zároveň má lidská rasa má pět prstů na každé ruce.
Ale můžeme snadno získat nezávislost na bázi definováním čísla jako „skutečně
palindromického“, pokud je palindromické v nějaké bázi. Chvilka přemýšlení ukáže, že tato
definice je nesmyslná už tak, jak je postavená : každé číslo je palindromické v jakékoli bázi
m>n, protože n = (n)m.
Vskutku je daleko více přirozené počítat s počtem číslic. (DEF) Tedy nazveme číslo n ∈ N
jako k-palindromické, pokud existuje báze b tak, že rozvoj při bázi b je palindromický
s délkou k.
Předchozí pozorování ukazuje, že každé číslo je 1-palindromické. Také si všimneme, že pro
všechna n>2 je n = (11) n −1 , tedy každé číslo n>2 je 2-palindromické.
Co lze říct o k-palindromických číslech pro k ≥ 3 ? Naše tvrzení říká, že je velni málo
palindromických čísel přinejmenším pro k ≥ 4 : pravděpodobnost že číslo příslušné hodnoty
bude, řekněme, vlastně 9-palindromické, je malá, a o to menší v desítkové soustavě. Toto nám
potvrzuje náš první dojem, že 894111498 je šťastné, bez ohledu na základ, který byl zvolen
k jeho vyjádření.
K sepsání našich výsledků nejdříve definujeme následující sčítací funkci:
(DEF): Nechť k , N , b ∈ N a položme Φ k ( N , b) := #{ n ≤ N ; n je k-palindromické v bázi b}.
Také položme
Φ k (N ) := #{ n ≤ N ; n je k-palindromické}.
Potom Φ k ( N , b) / N a Φ k (N ) / N označme jako hustotu čísel menších než N, která jsou kpalindromická v bázi b a vlastně k-palindromická.
Věta 1: Nechť k ≥ 4 , a napišme k = 2i+r, kde i ∈ N a r = 0,1. Potom platí:
Φ k ( N ) ≤ 4( N + 1)
i + r +1
k
Důkaz: Základ b přispívá k Φ k (N ) tehdy a jen tehdy, když Φ k ( N , b) >0, tedy když existuje
číslo n = ak −1b k −1 + ... + a0 ≤ N palindromické v bázi b délky k, tzn. 0 ≤ a j ≤ b − 1 a ak −1− j = a j
pro j = 0,..., i + r a ak −1 ≠ 0 . Potom b k −1 + 1 ≤ n ≤ N a z toho b přispěje k Φ k (N ) tehdy a jen
tehdy, když b ≤ ( N − 1)
1
k −1
.
1
1
1
Budeme uvažovat odděleně případy b ≤ ( N + 1) k a ( N + 1) k < b ≤ ( N − 1) k −1 . V prvním případě,
největší k-palindrom v bázi b je (b − 1)(b k −1 + ... + 1) = b k − 1 ≤ N a tedy
Φ k ( N , b) = Φ k (∞, b) = (b − 1)b i + r −1 .
[
]
Nyní, pro druhý případ položme θ (b) = N /(b k −1 + 1) ≤ N / b k −1 . Tedy (θ (b) + 1)(b k −1 + 1) >N a
tedy každé k-palindromické číslo v bázi b začíná číslicí ak −1 ≤ θ (b) . Odtud
Φ k ( N , b) ≤ θ (b)b i + r −1 ≤ N / b i .
1
1
⎡
⎤
⎡
⎤
Položme L := ⎢( N + 1) k ⎥, M := ⎢( N − 1) k −1 ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
L −1
Rozdělme sumu Φ k (N ) = ϕ + χ + ψ , kde ϕ := ∑ Φ k ( N , b), ψ :=
b=2
χ := Φ k ( N , L) + Φ k ( N , L + 1).
M
∑Φ
b= L+2
k
( N , b), a
Z předchozích úvah odvodíme, že:
L −1
L
b=2
2
ϕ ≤ ∑ b i + r ≤ ∫ t i + r dt ≤
i + r +1
k
i + r +1
L
( N + 1)
≤
i + r +1
i + r +1
Na druhou stranu:
i + r +1
k
M
N
dt
N
( N + 1)
≤
ψ ≤∑ i ≤N ∫ i ≤
i −1
t
(i − 1)( L + 1)
i −1
L+2 b
L +1
M
Konečně: χ ≤ L
i+r
+ N /( L + 1) ≤ 2( N + 1)
i
i+r
k
a tedy
⎛
⎞
i + r +1
i + r +1
⎜
2
1
1 ⎟
k
Φk (N ) ≤ ⎜
+
+
⎟( N + 1) k ≤ 4( N + 1)
1
i
r
1
i
1
+
+
−
⎜ ( N + 1) k
⎟
⎝
⎠
Q.E.D.
Nechť k = 2i + r ≥ 4 a nechť b ≥ 2 je bází. Položme N := b k − 1 , tedy N je větší nebo rovno
než jakékoli číslo, jehož reprezentace v bázi b je délky k. Potom
Φ k ( N , b) = Φ k (∞, b) = (b − 1)b i + r −1 ,
a tedy hustota čísel menších než N, která jsou k-palindromická v bázi b, je
(b − 1)b i + r −1 / N ≈ 1 / b i .Na druhou stranu, předchozí výsledek ukazuje, že hustota vlastních
k-palindromických čísel menších než N je omezená hodnotou 4(b k )
i + r +1
k
/(b k − 1) ≤ 4 / b i −1 .
Například pravděpodobnost, že číslo n<109 bude 9-palindromické při základu 10 je 0,00009,
zatímco pravděpodobnost, že bude 9-palindromické v jakékoli bázi, je 0,004. Z pohledu
pravděpodobnosti, situace je tedy – ve většině případů – docela jasná: pro k ≤ 2 je každé číslo
k-palindromické, zatímco pro k ≥ 4 téměř žádné číslo není. Zlomový případ je k = 3.
Zhodnoťme tuto tabulku:
Φ 3 (200) − Φ 3 (100) = 61
Φ 3 (1100) − Φ 3 (1000) = 70
Φ 3 (10100) − Φ 3 (10000) = 83
Φ 3 (100100) − Φ 3 (100000) = 86
Φ 3 (1000100) − Φ 3 (1000000) = 89
Φ 3 (10000100) − Φ 3 (10000000) = 94
To naznačuje, že téměř každé číslo je 3-palindromické, ale ne každé dostatečně velké číslo.
Pustit se do tohoto problému by mohlo být cenné vzhledem k následujícímu přeformulování:
Označme { ξ } := ξ − [ξ ]∈ 0;1) , tedy desetinnou část reálného čísla ξ ∈ R.
Lemma 2 Nechť n, b ∈ N a rozvoj čísla n při základu b má délku 3. Potom n je 3palindromické v soustavě o základu b tehdy a jen tehdy když
b
b
0 < { (n + 1) 2
}<= 2
b +1
b +1
Důkaz: Nejdříve si všimněme, že fakt, že rozvoj při základu b čísla n má délku 3, je
ekvivalentní faktu, že b 2 + 1 ≤ n ≤ b 3 − 1 . Tedy n je 3-palindromické při bázi b tehdy a jen
tehdy, existuje-li 0 < e < b a 0 ≤ f < b tak, že
n = e(b 2 + 1) + fb
Řešením příslušné diofantické lineární rovnice n = x(b 2 + 1) + yb vzhledem k x,y zjistíme, že
vyjádření výše je ekvivalentní existenci l ∈ Z splňujícím 0 < n-lb < b , 0 ≤ l (b 2 + 1) − nb < b
Druhý pár nerovností je ekvivalentní s
{
(n + 1)b
nb
≤l < 2
, v důsledku čehož
b +1
b +1
2
(n + 1)b
b
}<= 2
. Toto je tedy nutná podmínka , aby n bylo 3-palindomické v bázi b.
2
b +1
b +1
⎡ (n + 1)b ⎤
splňuje druhý
Zkontrolujme, zda se jedná i o podmínku postačující: celé číslo l = ⎢ 2
⎣ b + 1 ⎥⎦
pár nerovností. Tedy stačí jen dokázat, že splňuje také první pár nerovností, což je
b
n
b
ekvivalentní s l < n/b < l+1. To vyplývá z nerovnic (n + 1) 2
< <n 2
+ 1 , které jsou
b +1 b
b +1
důsledkem vztahu b 2 + 1 ≤ n ≤ b 3 − 1 .
Q.E.D.
Nyní se podívejme na palindromicitu jako vlastnost vlastní číslu – nezávislou na základu –
nijak nám nebrání fakt, že dané číslo může být palindromické v různých bázích . Na příklad:
3074 = (44244)5 = (22122) 6
Zdravý rozum říká, že vícenásobná palindromicita bude daleko vzácnější než jednonásobná,
která je vzácná už sama o sobě, jak jsme si ukázali. Ve skutečnosti není jasné, zda existují
čísla, která jsou k-palindromická v libovolném pevném množství soustav. Formalizujme tyto
otázky: nechť :
μ k (n) := # {b;n je k-palindromické v bázi b}.
Tedy nejprve se zamyslíme nad otázkou, zda μ k je omezené nebo není. Opět vidíme, že
případy k = 1,2 jsou triviální. V prvním případě n = (n)m pro jakoukoli bázi m>n, tedy
μ1 (n) := ∞ pro každé n. V druhém případě položíme n := 2 2u +1 pro nějaké u ∈ N . Pak
n = 2v (2 w − 1) + 2v = (2v ,2v ) 2 w −1
pro v < w tak, že v+w=2u+1. Potom μ 2 (n) ≥ u .
Následující věta řeší případ k=3:
Věta 3: Existuje nekonečná posloupnost n1 < n2 < n3 < ... tak, že
1
μ3 (n j ) ≥ ln(n j + 1) .
7
Důkaz: Vezměme N>>0 a předpokládejme, že μ3 (n) <
N
1
ln( N + 1) pro všechna n ≤ N , takže
7
1
∑ Φ ( N , b) = ∑ μ (n) < 7 N ln( N + 1) .
3
b
3
n =1
Vidíme, že toto je spor:
1
⎡
⎤
Položme L := ⎢(N + 1) 3 ⎥ a M :=
⎣
⎦
přirozené číslo, pro které
1
⎡
⎤
2
(N
−
1
)
⎢
⎥ . Pro L ≤ b ≤ M definujme ς (b) ∈ N jako největší
⎣
⎦
ς (b)(b 2 + 1) + (b − 1)b ≤ N
Potom 1 ≤ ς (b) ≤ b − 1 , a tedy každé 3-palindromické číslo n := eb 2 + fb + e , kde e ≤ ς (b) je
menší nebo rovno než N. Odsud Φ 3 ( N , b) ≥ ς (b)b , z čehož vyplývá, že
M
M
M
⎞
⎛ N
N
b
N
b
b
b
b⎜ 2
(
,
)
(
,
)
ς
(
)
Φ
≥
Φ
≥
≥
− 2 ⎟,
∑b 3
∑
∑
∑
3
⎠
b= L
b= L
b= L ⎝ b + 1
jako i ς (b) + 2 ≥
N
. Máme tedy
b +1
2
⎛ N
⎞
b⎜ 2
− 2⎟ ≥ N
∑
⎠
b= L ⎝ b + 1
M
M +1
∫
L
( (
) (
))
t
N
2
2
dt
−
2
M
≥
ln (M + 1) + 1 − ln L2 + 1 − 2 N
2
t +1
2
Máme odvozeny vztahy ( M + 1) 2 + 1 ≥ N a L2 + 1 ≤ 2 N 2 / 3 a z toho odvodíme, že
N
∑p Φ 3 ( N , p) > 6 ln N − 2 N − ln 2 , což popírá nerovnost
N
1
Φ
(
N
,
b
)
=
μ3 (n) < N ln( N + 1) pro dostatečně velká N. Z toho plyne, že pro každé
∑b 3
∑
7
n =1
dostatečně velké N ∈ N existuje n ≤ N tak, že
1
7
1
7
μ3 (n) ≥ ln( N + 1) ≥ ln(n + 1) .
Fakt, že μ3 (n) < ∞ implikuje, že posloupnost různých čísel n je nekonečná.
Q.E.D.
Zde jsou některá ukázková data pro k:=4,5:
μ 4 (624) = μ 4 (910) = 2 , μ 4 (19040) = 3 , μ5 (2293) = 2 .
Pro k , l , N ∈ N položme Φ k ,l ( N ) rovno počtu čísel n ≤ N , která jsou k-palindromická pro
aspoň l různých bází, tedy
Φ k ,l ( N ) := #{ n ≤ N ; μ k (n) ≥ l }.
Speciálně Φ k ,1 = Φ k . Následující tabulka dává více informativní data:
k
l
N
Φ k ,l ( N )
4
4
4
5
5
6
2
3
4
2
3
2
10 000
100 000
100 000
10 000
100 000
100 000
13
2
0
10
0
0
To naznačuje, že pro k ≥ 4 a k + l ≥ 8 už nejsou žádná k-palindromická čísla s násobností l.
Na závěr můžeme také uvážit
μ ≥k (n) := #{b;n je j-palindromické v bázi b pro nějaké j ≥ k }= ∑ μ j (n)
j ≥k
což je počet různých základů, ve kterých n je palindromické s délkou aspoň k. Je snadné
nahlédnout, že tato funkce je neomezená: mějme
(
L
l
l
)
nL := 2 2 − 1 = 2 2 − 1,...,2 2 − 1 22l
tedy nL je 2
L-l
palindromické v bázi
2
2l
pro l = 0,…,L. Odtud μ ≥ k (nL ) ≥ L − log 2 k .
Dalším problémem je určit hustotu k-palindromických čísel v l různých základech. Z tohoto
hlediska, věta 1 je důležitým nástrojem k řešení případů k ≥ 4 a l = 1.
Případy, kdy l ≥ 2 jsou více náročné, ale také zajímavější. Jejich řešení vám umožní například
vědět, jaké štěstí máte, když číslo taxi, kterým jedete, je
19040 = (8888)13 = (5995)15 = (2 EE 2)19.
Odkazy:
G.Ifrah: The universal history of numbers: from prehistory to the invention of the computer,
Willey, 2000
W.J.Reichmann: The fascination of numbers, Methuen, 1957
C.W.Trigg, Palindromes by addition, Math. Mag. 40 (1967), 26-28
Post – Scriptum: Poté, co byl napsántento text, N.J.A. Sloane vložil posloupnost kpalindromických čísel pro k = 3,…,9 do své on.line Encyklopedie celočíselných posloupností
(http://www.research.att.com/ñjas/sequences).
Antonio J.di Scala: Facultad de Matemática, Astronomia y Física (Fa.M.A.F.), Universad
Nacional de Córdoba, Ciudad Universitaria, 5000 Córdoba, Argentina
E-mail_ [email protected]
Martín Sombra: Université de Paris 7, Institut de Mathématiques, Équipe de Géometrie et
Dynamique. Case 7012, 2 place Jussieu, 75251 paris Cedex 05, France; a Departmento de
Matemática, Universad Nacional de La Plata, Calle 50 y 115, 1900 La Plata, Argentina
E-mail: [email protected]
VÝUKA DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA
VYSOKÝCH ŠKOLÁCH V ČESKÉ REPUBLICE
Ondřej Machů
Katedra algebry a geometrie, Přírodovědecká fakulta
Univerzity Palackého v Olomouci
Abstrakt: Vznik, vývoj a význam deskriptivní geometrie. Počátky výuky
deskriptivní geometrie, současný stav. Konkrétní ukázka dvou vysokých
škol. Nástin budoucnosti výuky deskriptivní geometrie.
Klíčová slova: Deskriptivní geometrie, výuka, vysoké školy v ČR.
1 Úvod
Deskriptivní geometrie se zabývá zobrazováním prostorových útvarů a řešením
prostorových úloh převedením na úlohy planimetrické. Uvedené dva cíle jsou řešeny
metodami syntetické geometrie použitím grafických konstrukcí. Deskriptivní geometrie
mimo jiné rozvíjí prostorovou představivost a vysvětluje různé partie geometrie
konstruktivní formou. Proto měla vždy své místo v souboru teoretických předmětů
vyučovaných na vysokých školách. Tento text se zabývá především současným
rozsahem výuky deskriptivní geometrie, samozřejmě s malou připomínkou historie a
nástinem budoucího vývoje. Cílem diplomové práce bylo vytvořit souhrn všech
předmětů, jejichž jádrem je právě deskriptivní geometrie a seřadit je podle škol a oborů.
Seznam obsahuje dva typy škol. Technické univerzity, na nichž je deskriptivní
geometrie součástí přípravy inženýra, a pedagogické resp. přírodovědecké fakulty
univerzit, kde je deskriptivní geometrie jedním z předmětů přípravy učitelů matematiky
na základních a středních školách, případně přímo studijní obor. V tomto příspěvku
bude uvedeno jen několik konkrétních ukázek.
2 Historie deskriptivní geometrie
Některé prvky deskriptivní geometrie byly známy již poměrně dávno. Asi
nejstarším dokladem rýsování (15. stol. př.n.l) je městský plán Nippuru, starého
sumerského města, který je pečlivě zakreslen na hliněné destičce. Ovšem nálezy
ukazují, že základy měřictví a snad i rýsování půdorysu byly známy již Chaldejcům
(reliéf z Uru - 2300 př.n.l.). Rýsování půdorysu vedlo ke vzniku pojmu pravoúhlého
promítání. V antice se objevily i počátky kartografie a stereografické projekce. U nás
jsou zachovány nejstarší doklady o užití promítání z náčrtu na stavbu chrámu sv. Víta
(14. stol). Středověcí mistři se snažili perspektivně zachytit prostorové výjevy. S první
geometrickou konstrukcí perspektivy se setkáváme v Itálii v 1. pol. 15. století. Freziéres
byl jedním z průkopníků stereotomie (kamenořezu). Zásadním obratem se stává dílo
Géométrie descriptive (1799) francouzského matematika Gasparda Monge (1746-1818).
Popsal v ní pravoúhlé promítání na dvě k sobě navzájem kolmé průmětny.
Vybudovanou teorii nazval géométrie descriptive (měřictví zobrazující). 19. a 20. století
přináší rozvoj samotné deskriptivní geometrie a odvětví s ní příbuzných - konstrukční
mechanika v souvislosti s kinematickou geometrií, pozemní a letecká fotogrammetrie.
2.1
Klasická deskriptivní geometrie
Při definování pojmu klasické deskriptivní geometrie vyjdeme z knih profesora
Aloise Urbana, Deskriptivní geometrie I., II., viz seznam literatury [2], [3]. Klasická
deskriptivní geometrie v sobě zahrnuje tyto oblasti: promítací metody (rovnoběžné
promítání, středové promítání, promítání na jednu průmětnu, na více průměten, …),
zobrazení geometrických objektů v zobrazovacích metodách (bod, přímka, kružnice,
krychle, válec, koule, kužel, …), řešení prostorových úloh (kolmice, průsečnice, průnik,
…), konstrukce křivek a ploch a jejich zobrazení (cykloidy, šroubovice, rotační
kvadriky, zborcené plochy, konoidy, …), osvětlení (rovnoběžné, středové), projektivní
geometrie a kinematická geometrie. Principem klasické deskriptivní geometrie je řešení
těchto oblastí co nejvíce metodami syntetické geometrie, tzn. grafickými konstrukcemi
prováděnými na papíře použitím pravítka a kružítka.
2.2
Technické kreslení
Technická stránka realizace výkresů a plánů rýsováním vedla k nutnosti unifikace
a vytvoření řady pravidel a jednotných norem pro grafické zpracování objektů. Tak
vzniklo technické kreslení, které se těmito otázkami zabývá.
2.3
Konstruktivní geometrie
Konstruktivní geometrie představuje pojetí geometrie, kterou potřebuje a bude
potřebovat moderní inženýr. Ukazuje, že vedle standardních syntetických metod
deskriptivní geometrie, které často představují efektní postupy při řešení problémů,
musí geometrie prezentovaná inženýrům využívat všechny nástroje matematiky, jakými
jsou například diferenciální a algebraická geometrie, postavené na analytických
metodách.
2.4
Konstrukční geometrie
Pro budoucí učitele matematiky je důležité při výuce deskriptivní geometrie
připomenout i základy některých konstrukcí používaných při řešení úloh, tj.
geometrická zobrazení v rovině a prostoru, konstrukce rovinných a prostorových útvarů.
Pro takovýto souhrn oblastí se vžil název konstrukční geometrie.
3 Výuka deskriptivní geometrie
3.1
Historie výuky
První přednáška z deskriptivní geometrie byla přednesena v roce 1795 na nově
založené polytechnické škole v Paříži (École Polytechnique). Do Čech přišlo Mongeovo
učení nepřímo přes vídeňskou polytechniku. První přednášky přednášel německy jako
doplněk ke strojnickému rýsování na pražské technice roku 1840 Václav de Laglio.
Jako první zavedl české přednášky v roce 1861 Rudolf Skuherský, který se stal řádným
profesorem roku 1864. Rozsah výuky deskriptivní geometrie na stavebním odboru
pražské techniky v akademickém roce 1900/01 byl 5h/týd.př. (5 hodin přednášek
týdně), 6h/týd.cv. v zimním semestru, počet posluchačů - 271; 4h/týd.př., 6h/týd.cv.
v letním semestru, počet posluchačů 299.
3.2
Současnost
Technický vývoj připravil deskriptivní geometrii o její dominantní postavení v
oblasti zobrazování a řešení konstrukčních úloh. Syntetické metody ztratily svůj
praktický charakter. Podíváme-li se na výše zmíněné dva hlavní cíle deskriptivní
geometrie, tj. zobrazování trojrozměrného prostoru do roviny a řešení prostorových
úloh převedením na planimetrické, tak jejich uskutečnění je dnes většinou prováděno
softwarově za použití výpočetní techniky. Tyto však již nevyužívají metody klasické
deskriptivní geometrie, nýbrž pracují s metodami geometrie počítačové, která vychází z
principů analytické geometrie a lineární algebry. Pochopitelně však sleduje stejné cíle.
Tedy jednoznačně zobrazit situaci v prostoru do roviny. Monitor počítače nahradil
papír, který je používán až k zachycení výsledku tiskem. Jak se promítá tento stav do
výuky na vysokých školách? Především výrazným poklesem hodin věnovaných
deskriptivní geometrii na technikách. Budoucím inženýrům je nejčastěji věnován jeden
semestr geometrie, která je často směsí geometrie deskriptivní, analytické a
diferenciální. Ve své práci se věnuji takovým předmětům, které obsahují klasickou
deskriptivní geometrii alespoň z jedné třetiny svého rozsahu. Vím, že posuzování
uvedené podmínky může být velice subjektivní.
Budoucí učitelé matematiky mají povinný jeden až dva semestry deskriptivní
geometrie, nebo též někdy geometrie zvané konstrukční.
Učitelé deskriptivní geometrie jsou připravováni výlučně v rámci dvouoborového
studia společně s matematikou na přírodovědeckých fakultách univerzit v Praze, Brně a
Olomouci. Do jejich studia je zařazena řada předmětů reflektující daný vývoj počítačová geometrie a počítačová grafika.
3.3
Ukázky rozsahu výuky v akademickém roce 2006/07
Jako příklad konkrétních škol byla vybrána Univerzita Palackého v Olomouci a
České vysoké učení technické v Praze. Předměty uvedené v tabulce jsou vždy
jednosemestrální a všechny jsou na daných fakultách povinné.
Na Univerzitě Palackého má výuka deskriptivní geometrie velkou tradici.
Vyučuje se zde v kombinaci s matematikou jako obor dobíhajícího magisterského
studijního programu Učitelství pro střední školy a podle nových standardů již čtvrtým
rokem rozdělením původních dvou etap studia na bakalářské a poté navazující
magisterské studium. Budoucí učitelé matematiky na základní a střední škole si během
studia zapisují předmět konstrukční geometrie.
ČVUT v Praze je místem prvních přednášek z deskriptivní geometrie v českých
zemích vůbec. Byla vždy centrem jejího vývoje a vývoje jejich aplikací. Dnes již
bohužel rozsah výuky klesl na pouhý jeden až dva semestry a v budoucnu bude problém
udržet i jen to.
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
Konstrukční geometrie
Pedagogická
fakulta
Přírodovědecká
fakulta
1h/týd.př.
2h/týd.cv.
85 studentů
3 roky, 13 studentů
Deskriptivní geometrie (dvouoborové
bakalářské studium)
Učitelství deskriptivní geometrie pro střední 2 roky, 1 student
školy (navazující magisterské studium)
Učitelství deskriptivní geometrie pro střední 5 roků, 5 studentů
školy (dvouoborové magisterské studium)
Konstrukční geometrie 1
2h/týd.př.
1h/týd.cv.
56 studentů
Konstrukční geometrie 2
2h/týd.př.
1h/týd.cv.
55 studentů
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Deskriptivní geometrie I
2h/týd.př., 2h/týd.cv.
Fakulta
280 studentů
architektury
Deskriptivní geometrie II
220 studentů
Geometrie
Fakulta
402 studentů
dopravní
Fakulta stavební Konstruktivní geometrie
1194 studentů
Konstruktivní geometrie 2
2h/týd.cv., 281 studentů
Konstruktivní geometrie
Fakulta strojní
684 studentů
3.3.1
Úspěšnost studentů v předmětu Konstruktivní geometrie na Fakultě
stavební ČVUT v Praze v akademickém roce 2005/06
Konstruktivní geometrie určitě nemůže být považována za nezvládnutelný
předmět, jak ukazuje následující tabulka. Všechny předměty jsou jednosemestrální a
jsou ukončeny zkouškou. Předměty označené * jsou reparáty, které si zapisují studenti
v dalším semestru, protože tyto předměty musí mít studenti splněny během prvního
ročníku studia. Z tabulky lze vyčíst, že předmět KOG za první ročník úspěšně splnilo
79% zapsaných studentů, předmět KOG1 úspěšně splnilo 92% zapsaných studentů a
předmět KOGG zvládlo dokonce 95% zapsaných studentů.
Předmět
Počet
Získali
Nedostavili Známka
zapsaných zápočet
se ke
studentů
zkoušce
1
2
3
4
KOG
937
845
24
70
177
474
100
KOG1
228
218
0
16
52
124
26
KOG*
26
21
0
0
0
20
1
KOG1*
22
20
0
1
5
12
2
KOGG
85
85
0
14
30
37
4
KOG - Konstruktivní geometrie (Stavební inženýrství, 1.semestr), KOG1 - (Architektura a stavitelství,
1.semestr), KOGG - Konstruktivní geometrie (Geodézie a kartografie, 4.semestr).
4 Budoucnost výuky deskriptivní geometrie
Na vysokých školách technických bude velmi obtížné udržet výuku deskriptivní a
konstruktivní geometrie. Proto je snahou mnoha učitelů o modernizaci výuky v podobě
zavedení cvičení vedených jako práce na počítači. To však také může vést k rozmělnění
metod deskriptivní geometrie v principech počítačové grafiky. Spíše než řešením
geometrických úloh přejde výuka v prosté modelování situace v prostoru. Řešení úloh
provedené počítačovým programem nemá již pak pro studenta žádný didaktický
význam. Důležité bude najít vhodný kompromis tak, aby deskriptivní geometrie zůstala
věrna svým základům a přitom stále měla praktický účel pro budoucího technika.
Jiná situace je při výuce budoucích učitelů, kde je výuka deskriptivní geometrie
udržitelná ve stávajícím rozsahu i obsahu. Je čas na základní úlohy a geometrické
konstrukce by stále měly být prováděny pravítkem a tužkou, protože je důležité
studenty vést k oné pečlivosti, čistotě a šikovnosti, kterou budou vštěpovat svým žákům
s studentům, a která bude pro další generace dětí větším a větším problémem.
5 Seznam literatury a použitých zdrojů
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2004.
Urban, A.: Deskriptivní geometrie I, SNTL Praha, 1965.
Urban, A.: Deskriptivní geometrie II, SNTL Praha, 1967.
http://www.upol.cz: Univerzita Palackého v Olomouci.
http://www.cvut.cz: České vysoké učení technické v Praze.
IFS fraktály a jejich použití
Filip Rejman1
Reálný svět je plný objeků, které vykazují fraktální strukuru, ať už se jedná o rostliny,
oblaka, seskupení vesmírných objektů, strukturu minerálů, atp. Není tedy překvapením, že
člověk se snažil tyto struktury nějakým způsobem napodobit už v dobách nástupu výpočetní
techniky. Jak se ale postupně vyvíjejí stále rychlejší procesory, je stále menším problémem
vytvářet i fraktální obrazce náročné na výpočet. Algoritmů na tvorbu fraktálních obrazců je
celá řada. Jedním z nich je postaveno na využití iterového systému funkcí (Iterated Function
System - IFS). Abychom porozuměli podstatě, připomeňme základní matematický aparát,
který je zapotřebí. Nechť  je nějaká transformace, d je Euklidovská metrika. X, Y jsou body
reprezentované souřadnicemi. Definujme rovnost d   X    Y   s.d  X  Y  . Je-li s <1,
potom φ nazveme zmenšením (kontrakcí) , je-li s =1, pak φ je symetrie (rotace,zrcadlení) a za
předpokladu, že s >1, mluvíme o zvětšení (expanzi). Iterovaný systém funkcí pak není nic
jiného než množina takovýchto transformací. V zásadě rozlišujeme dva případy takovýchto
systémů. Jednak je to deterministický IFS, kde se neuplatňuje vliv náhody, lze pro n
transformací stručně psát IFS = {1 , 2 , ... , n } . V každém kroku se aplikuje právě jedna
předem určená tranformace. Aby atraktor daného systému nebyl v nekonečnu, musí tento být
průměrně kontraktivní, tj.
n
s
i 1
i
 1 . Na druhé straně zde máme stochastický model, kde se
uplatňuje prvek náhody. V každém kroku 1,…, n může proběhnout jedna z určitého počtu
transformací, každá s pevně zadanou pravděpodobností, tedy
n
IFS =
{{ , 
1
i
2
i
, ... ,  }, { p , p , ... , p }} s podmínkou
mi
i
1
i
2
i
mi
i
i 1
mi
p
j 1
j
i
1 .
Jako metriku zpravidla volíme vzdálenost dvou bodů s kartézskými souřadnicemi.
Z transformací se pak nejčastěji využívá afinita:
a12   x   b1 
a
.     (rovina)
Y    X    11
 a21 a22   y   b2 
 a11 a12 a13   x   b1 

   
Y    X    a 21 a 22 a 23 . y    b2  (prostor)
a
   
 31 a32 a33   z   b3 
nebo ještě konkrétněji podobnost (transformační matice jsou pak ortogonální).
Připomeňme ještě jeden důležitý pojem z oblasti fraktální geometrie, kterým je Hausdorfova Besicovitchova dimenze, která určuje míra nepravidelnosti útvaru. Počítá se podle vztahu
log N
, kde N je počet dílků základního motivu a r je měřítko kontrakce. Vždy platí, že
D
1
log 
r
pro fraktální křivky je D  1 , 2 a pro plochy D  2 , 3 .
Abychom měli lepší představu o tvorbě fraktální struktury, ukážeme si modelový příklad
tvorby Kochovy křivky. Aplikujme nejprve deterministický model.
1
Katedra matematiky, Stavební fakulta ČVUT, Thákurova 7, 166 29 Praha 6
1
2
3
4
Na obrázku je vidět základní motiv Kochovy křivky vytvořený pomocí čtyř symetrických
transformací (s = 1), který se skládá ze 4 úseků. Každý z těchto úseků je třikrát menší než
log 4
velikost základního motivu, pro Hausdorfovu dimenzi tedy platí D 
 1,2618.
log 3
kontrakce
kontrakce
V dalším kroku proběhne kontrakce, kdy se základní motiv „přetransformuje“ na každý úsek.
Tím je ukončena první iterace. Na následujících obrázcích jsou zobrazeny další iterace.
15
2.iterace
3.iterace
10
5
0
-5
0
5
10
15
20
25
30
Na druhé straně je stochastický model definovaný následně (ve druhém kroku proběhne jedna
z tarnsformací se stejnou pravděpodobností):
 21 ... p12  0,5
 21
 22 ... p22  0,5
 22
Na následujících obrázcích jsou znázorněny jednotlivé iterace:
1.iterace
2.iterace
10
5
0
-5
0
5
10
15
20
25
30
10
3.iterace
4.iterace
5
0
-5
0
5
10
15
20
25
30
20
25
30
10
5
0
-5
0
5
10
15
IFS fraktály lze snadno použít i pro tvorbu stromových struktur, imitaci rostlin, apod. Příklad
takové struktury je ukázán níže:
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
Pro ilustraci je ukázáno, jak vypadá jedenáctá iterace pro oba typy modelů:
60
50
40
30
20
10
0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
60
50
40
30
20
10
0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Ještě zajímavější je tvorba fraktálních ploch v prostoru. Jako základní motiv zvolíme
rovnostranný trojúhelník rozdělený podle obrázků na 6 menších též rovnostranných
trojúhelníků (podstavu čtyřstěnu neuvažujme). Je tedy zřejmé, že pro Hausdorfovu dimenzi
log 6
platí D 
 2,585 .
log 2
Po čtvrté iteraci je struktura plochy následující:
Definujme stochastický model podle níže uvedeného schématu:
p1  0,5
6
0
-0.5
5
-1
4
-1.5
3
-2
-2.5
2
-3
1
-3.5
0
10
-4
10
8
10
6
8
6
4
4
2
2
0
0
8
10
6
p 2  0,5
8
6
4
4
2
2
0
0
A jak vypadá plocha po čtvrté iteraci teď?
Jak je vidět, tvorbě IFS fraktálů se prakticky meze nekladou. Lze vytvářet celkem robustní
programy, kde uživatel pouze mění vzhled základního motivu (buďto číselně nebo pomocí
gafických nástrojů), počet iterací, respektive výskyt a hodnotu jednotlivých pravděpodobností
a kombinací těchto faktorů pak vytvářet mnohdy bizarní útvary překračující rámec lidské
představivosti.
Na závěr je třeba říci, že IFS fraktály mají kromě počítačového modelování využití i při
kompresi vybraných grafických formátů.
HLL schemata ve 2D
Michaela Sládková1 Luboš Andert2
Abstrakt
Práce je věnována odvozenı́ HLLE a HLLEC schematu ve 2D,
které jsou založeny na původnı́ Godunovově metodě. Následně zde
provedeme porovnánı́ výstupů obou řešičů.
1
Úvodem
Popı́šeme diferenčnı́ schéma založené na původnı́ Godunovově metodě použı́vajı́cı́ přibližný Riemannův řešič z třı́dy HLL. Godunovova metoda je založená
na předpokladu konstantnı́ch stavů uvnitř každé buňky a na řešenı́ Riemannova problému na každé hranici mezi dvěma buňkami. Toto řešenı́ provádı́me
za pomoci některého Riemannovského řešiče. Vedle přesného řešiče existuje
celá řada řešičů přibližných.
V roce 1983, Harten, Lax a van Leer navrhli aproximaci řešenı́ Riemannova problému třemi konstantnı́mi stavy, rozdělenými dvěmi vlnami, které
se pohybujı́ konstantnı́ rychlostı́. Partikulárnı́ algoritmus pro výpočet navrhl
o pět let později Einfeldt a následně Toro, Spruce a Speares přidali vlnu navı́c
a vytvořili 4 stavový 1D HLLC řešič. V dynamice tekutin tato vlna souvisı́ s
konstantnı́ nespojitostı́. Později Wendroff představil sérii 9ti stavových řešičů,
které jsou založeny na 3 stavovém HLLE řešiči a převedeny do 2D.
2
Eulerovy rovnice
Eulerovy rovnice popisujı́ fyzikálnı́ problémy spojené s dynamikou plynů.
Předpokládejme, že se jedná o plyn ideálnı́ bez dodatečné viskozity nebo
vedenı́ tepla.
Ve 2D majı́ Eulerovy rovnice tvar






ρ
ρu
ρv
2
 ρu 




ρuv

 +  ρu + p  + 

(1)
2
 ρv 

 ρv + p  = 0,

ρuv
E t
(E + p)u x
(E + p)v y
1
2
[email protected], Západočeská univerzita v Plzni
[email protected], Západočeská univerzita v Plzni
dále budeme použı́vat tento zápis
wt + [f (w)]x + [g(w)]y = 0.
(2)
ρ = ρ(x, y, t) zde označuje hustotu, u = u(x, y, t) a v = v(x, y, t) jsou rychlosti
v jednotlivých směrech, p = p(x, y, t) tlak a E = E(x, y, t) = ρ(e + 21 ((u)2 +
(v)2 )) hustotu celkové energie.
Protože zde máme systém čtyř rovnic o pěti neznámých, musı́me jej doplnit ještě o jednu rovnici. Ta se obvykle nazývá stavová rovnice plynu a v
přı́padě ideálnı́ho plynu má tvar
1
p = (γ − 1)(E − ρ(u2 + v 2 )),
(3)
2
kde γ je Poissonova adiabatická konstanta, která závisı́ na počtu stupňů volnosti jeho molekul. Pro plyn, kde převažujı́ molekuly složené ze dvou atomu,
jsou dva rotačnı́ stupně volnosti a tedy γ = 1.4. Za normálnı́ch okolnostı́ je
vzduch složen z N2 a O2 , pak je γ ≈ 1.4.
3
HLLE v 1D
HLL řešič, nazvaný podle Hartena, Laxe a van Leera, aproximuje řešenı́ Riemannova problému třemi konstantnı́mi stavy, oddělenými od sebe dvěma
vlnami, šı́řı́cı́me se během jednoho časového kroku Godunovova schématu
konstatnı́mi rychlostmi. Lepšı́ odhad rychlostı́ provedl Einfeldt a HLL řešič s
f má tvar
jeho rychlostmi je znám pod názvem HLLE. Odtud aproximace W

x < b0 t
 W0
∗
f (x/t) =
W
b0 t < x < b 1 t
W
(4)

1
Wl
x > b t,
kde Einfeldtovy rychlosti splňujı́ b0 < b1 a střednı́ stav bude vypočten. Aby
rychlosti v jedné buňce neovlivňovaly rychlosti v jiných buňkách musı́ být
splněna podmı́nka, která zajistı́, že vlny postupujı́cı́ ze dvou sousednı́ch buňěk
se nepotkajı́
∆t max(|b0 |, |b1 |) ≤ CCF L ≤ 1/2.
(5)
Střednı́ stav je odvozen tak, aby splňoval integrálnı́ tvar zákona zachovánı́
na intervalu (−∆x/2, ∆x/2)
Z ∆x/2
f (x/t)dx = ∆x (W0 + W1 ) − ∆t(f (W1 ) − f (W0 ))
W
(6)
2
−∆x/2
nebo
W∗ =
b1 W1 − b0 W0 + f (W0 ) − f (W1 )
.
b1 − b0
(7)
Obrázek 1: (a)1D 3 stavový řešič, (b) 1D 4 stavový řešič
4
HLLEC v 1D
Předpoklad dvou vln je často nedostatečný. Proto byl vyvinut řešič se třemi
vlnami který uvažuje i střednı́ kontaktnı́ nespojitost. Tento řešič se nazývá
HLLEC a byl vytvořen Torem, Sprucem a Spearsem.
Hlavnı́ myšlenka spočı́vá v rozdělenı́ prostřednı́ho stavu třetı́ vlnou reprezentujı́cı́ kontaktnı́ nespojitost. Protože rychlost a tlak se neměnı́ přes konstatnı́ nespojitost, lišı́ se dva střednı́ stavy pouze hustotou. Pro počátečnı́
Riemannův problém (4), kde W0 = (%0 , %0 u0 , E0 )T a W1 = (%1 , %1 u1 , E1 )T
vypočı́táme střednı́ stav ze vztahu (7) stejným způsobem jako pro 3 stavový
řešič a označı́me tento stav W ∗ = (%1/2 , %1/2 u1/2 , E1/2 )T . Předpokládáme zde,
že u1/2 a p1/2 jsou zachovány přes prostřednı́ vlnu a hustotu lze vypočı́tat
%1/2,L = %1/2
5
u0 − b0
u1 − b1
,
%
=
%
.
1/2,R
1/2
u1/2 − b0
u1/2 − b1
(8)
Godunovova metoda a HLLE ve 2D
Budeme zde řešit Riemannův problém s počátečnı́mi podmı́nkami, které jsou
tvořeny po částech konstantnı́mi funkcemi

W00
x < x 0 , y < y0



W01
x < x 0 , y > y0
f (x, y, t0 ) =
W
(9)
W
x > x 0 , y < y0

10


W11
x > x 0 , y > y0 .
Narozdı́l od 1D přı́padu, zde nevı́me o Riemannově problému téměř nic.
Nicméně budeme postupovat podobně jako v 1D
Předpokládáme pravidelnou obdélnı́kovou sı́t’ xi+1/2 = (i+1/2)∆x, yi+1/2 =
(i + 1/2)∆y a diskretizačnı́m časem tn = n∆t. Nazvěme buňky se středem
v bodech (xi+1/2 , yi+1/2 ) duálnı́mi buňkami a původnı́ buňky primárnı́mi
buňkami.
Obrázek 2: Primárnı́ buňky (plné ohraničenı́) a duálnı́ buňka (přerušované
ohraničenı́) s počátečnı́mi daty
Dostaneme po částech konstantnı́ data v primárnı́ch buňkách, která jsou
dána vztahem
Z xi+1/2 Z yj+1/2
1
n
ωij =
ω(x, y, tn )dxdy.
(10)
∆x∆y xi−1/2 yj−1/2
Mohli bychom určit ωijn+1 řešenı́m 2D Riemannova problému v každé duálnı́
buňce a promı́tnutı́m těchto řešenı́ do primánı́ch buněk,
R ∆x R y ∆y
1
n
2
2
ωi−1/2,j−1/2
(x/∆t, y/∆t)dxdy
0
∆x∆y 0
R ∆x R 0
1
n
+ ∆x∆y 0 2 − ∆y ωi−1/2,j+1/2 (x/∆t, y/∆t)dxdy
R 0 R 02
1
n
+ ∆x∆y
ωi+1/2,j+1/2
(x/∆t, y/∆t)dxdy
− ∆x
− ∆y
2
2
∆y
R
R
0
1
n
2
+ ∆x∆y
ωi+1/2,j−1/2
(x/∆t, y/∆t)dxdy,
− ∆x
0
2
(11)
n
ωi−1/2j−1/2
((x − xi−1/2 )/(t − tn ), (y − yj−1/2 )/(t − tn ))
(12)
ωijn+1 =
kde
je řešenı́m Riemannova problému ve 2D se středem v (xi−1/2 , yj−1/2 , tn ) a
n
n
n
n
.
, u10 = vi,j−1
, u11 = vi,j
, u01 = vi−1,j
u00 = vi−1,j−1
Tento způsob řešenı́ má ale smysl pouze pokud vlny generované 2D Riemannovými problémy v duálnı́ch buňkách neovlivňujı́ toky v sousednı́ch
buňkách. Jestliže je σ maximálnı́ rychlost, maximalizovaná přes všechny
směry a vrcholy, pak požadujeme, aby byla splněna podmı́nka
σ∆t < min(∆x/2, ∆y/2).
(13)
5.1
9ti stavový Riemannův řešič
Předpokládejme, že aproximované řešenı́ může vypadat jako na obr 3, kde je
naznačena duálnı́ buňka po nějakém časovém kroku ∆t. Protože se signály šı́řı́
konečnou rychlostı́, může být buňka rozdělena do devı́ti částı́ třı́ rozdı́lných
druhů R0 , R1 a R2 . V rohových oblastech R0 zůstávajı́ původnı́ data neporušena. Na krajnı́ch oblastech R1 určı́me stavy pomocı́ 3 stavového HLLE
řešiče v 1D. Potom nemusı́me řešit ”skutečný” 2D Riemannův problém v
oblasti R2 , ale stav dopočteme pomocı́ zákona zachovánı́ aplikovaný na celou
duálnı́ buňku.
Obrázek 3: 2D 9ti stavový řešič: rozloženı́ duálnı́ buňky do 9ti oblastı́.
Metoda, kterou se zde budeme zabývat závisı́ na Einfeldtových rychlostech,
které jsou určeny pomocı́ Roeových průměrů [3]. Z výše odvozených vztahů
platı́
√
√
%i,j ui,j + %i+1,j ui+1,j
,
ui+1/2,j =
√
√
%i,j + %i+1,j
√
√
%i,j vi,j + %i+1,j vi+1,j
v i+1/2,j =
,
√
√
%i,j + %i+1,j
√
√
%i,j Hi,j + %i+1,j Hi+1,j
H i+1/2,j =
,
√
√
%i,j + %i+1,j
q
ci,j = (γ − 1)(H i+1/2,j − 1/2((ui+1/2,j )2 + (v i+1/2,j )2 )),
kde Hi,j a ci,j jsou dány
Hi,j =
1
(Ei,j + pi,j ),
%ij
(14)
q
ci,j =
(γ − 1)(Hi,j − 1/2((ui,j )2 + (vi,j )2 )).
(15)
Následně vypočı́táme
b1i+1/2,j = max(ui+1/2,j + ci+1/2,j , ui+1,j + ci+1,j ),
b0i+1/2,j = min(ui+1/2,j − ci+1/2,j , ui,j − ci,j ).
Einfeldtovy rychlosti majı́ tvar
1
b+
i+1/2,j = max(0, bi+1/2 ),
0
b−
i+1/2,j = min(0, bi+1/2 ),
+
b0i,j+1/2 , b1i,j+1/2 a bi,j+1/2
, b−
i,j+1/2 zı́skáme analogicky.
K určenı́ okrajových bodů střednı́ oblasti musı́me určit nové rychlosti,
které se vztahujı́ ke středu buňky ohraničené body P00 , P01 , P10 , P11
−
−
dx− = dx−
1/2,1/2 = min(b1/2,1 , b1/2,0 ),
+
+
dx+ = dx+
1/2,1/2 = max(b1/2,1 , b1/2,0 ),
−
−
dy− = dy−
1/2,1/2 = min(b1,1/2 , b0,1/2 ),
+
+
dy+ = dy+
1/2,1/2 = max(b1,1/2 , b0,1/2 ).
A odtud již můžeme vypočı́tat hraničnı́ body střednı́ oblasti
P 00 (t) = (x1/2 , y1/2 ) + (dx− , dy− )(t − tn ),
P 01 (t) = (x1/2 , y1/2 ) + (dx− , dy+ )(t − tn ),
P 11 (t) = (x1/2 , y1/2 ) + (dx+ , dy+ )(t − tn ),
P 10 (t) = (x1/2 , y1/2 ) + (dx+ , dy− )(t − tn ).
Nynı́ máme rozdělenou celkovou oblast do jednotlivých částı́ a můžeme
vypočı́tat jednotlivé stavy v okrajových buňkách podle výše zmı́něného postupu. Prostřednı́ stav vypočteme pomocı́ zákona zachovánı́ přes celou duálnı́
buňku
X
∆x∆y X
|S|α,β Wα,β =
Wα,β
4 α,β=0,1
1
α,β=0, 2 ,1
− ∆y∆t(F1, 1 − F0, 1 ) − ∆x∆t(G1, 1 − G0, 1 ),
2
2
2
2
(16)
kde Sα,β je obsah plochy přı́slušné části buňky a toky hranicemi duálnı́ buňky
F a G zı́skáme integracı́ přı́slušné tokové funkce přes plošku v časoprostorové
rovině, odpovı́dajı́cı́ hranici duálnı́ buňky a časového kroku, tedy jednotlivými
plochami, což můžeme zapsat jako
F0, 1 =
2
1 1
[ (∆y − b+
∆t)∆tf (W01 )
0, 12
∆t∆y 2
1
+ (∆y + b−
∆t)∆tf (W00 )
0, 12
2
1
−
2
+ (b+
1 − b 1 )(∆t) f (W0, 1 )],
0, 2
2
2 0, 2
(17)
1 1
[ (∆x − b+1 ,0 ∆t)∆tg(W10 )
2
∆t∆x 2
1
+ (∆x + b−1 ,0 ∆t)∆tf (W00 )
(18)
2
2
1
+ (b+1 ,0 − b−1 ,0 )(∆t)2 g(W 1 ,0 )].
2
2
2 2
Nakonec vypočı́táme pomocı́ integrálnı́ho průměru stavy v jednotlivých primárnı́ch buňkách.
G 1 ,0 =
2
5.2
13ti stavový Riemannův řešič
Nejjednoduššı́m rozšı́řenı́m 9ti stavového řešiče je rozdělit krajnı́ oblasti R1
(viz obr 3). Nahradı́me tedy 3 stavový HLLE řešič 4 stavovým HLLEC
řešičem, který je uveden výše (viz odstavec 4). Vezmeme-li např. dolnı́ část
buňky musı́me nejdřı́ve určit celý střednı́ stav W ∗ pomocı́ (7) a následně
rozdělit střednı́ stav vlnou aproximujı́cı́ kontaktnı́ nespojitost. Průběžná rychlost zůstává zachována přes kontaktnı́ nespojitost, tedy u1/2,0,L = u1/2,0,R =
u1/2,0 , hustota %1/2,0,L a %1/2,0,R se vypočte z (8) a přı́čná rychlost je přenášena
s kontaktnı́ nespojitostı́, stanovı́me v1/2,0,L = v0,0 a v1/2,0,R = v1,0 . Nakonec
určı́me střednı́ tlak ze zákona zachovánı́ energie
(u1/2,0 − b01/2,0 )E1/2,0,L + (b11/2,0 − u1/2,0 )E1/2,0,R = (b11/2,0 − b01/2,0 )E1/2,0 . (19)
Protože tlak je konstatnı́ přes kontaktnı́ nespojitost, předpokládáme, že bude
stejný na obou částech oblasti.
Tı́mto rozdělenı́m střednı́ch oblastı́ podél všech okrajů zı́skáme 13ti stavový
řešič. Nynı́ musı́me dopočı́tat prostřednı́ oblast W1/2,1/2 .
Označme si Aσ jednotlivé oblasti v duálnı́ buňce a opět aplikujme zákon
zachovánı́ ve 2D
X ∆x∆y
A1/2,1/2 W1/2,1/2 =
(
− Aα,β )Wα,β −
4
αβ=0,1
−
X
(Aα,1/2,L Wα,1/2,L + Aα,1/2,U Wα,1/2,U ) −
(20)
α=0,1
−
X
(A1/2,β,L W1/2,β,L + A1/2,β,R W1/2,β,R )−
β=0,1
−∆t∆y(F1,1/2 − F0,1/2 ) − ∆t∆x(G1/2,1 − G1/2,0 ),
kde numerické toky přes levý a dolnı́ okraj jsou dopočteny
F0,1/2 =
1
= [(∆y + b00,1/2 ∆t)f (W00 ) + (v0,1/2 − b00,1/2 )∆tf (W0,1/2,L )+
2∆y
(b10,1/2 − v0,1/2 )∆tf (W0,1/2,U ) + (∆y − b10,1/2 ∆t)f (W0,1 )]
G1/2,0 =
1
= [(∆x + b01/2,0 ∆t)g(W00 ) + (u1/2,0 − b01/2,0 )∆tg(W1/2,0,L )+
2∆x
(b11/2,0 − u1/2,0 )∆tg(W1/2,0,R ) + (∆x − b11/2,0 ∆t)g(W1,0 )],
přes pravý a hornı́ okraj analogicky. Tı́m jsme zı́skali jednotlivé stavy v duálnı́
buňce a integrálnı́m průměrovánı́m zı́skáme stavy v okolnı́ch primárnı́ch
buňkách.
6
Simulace
Otestujeme náš řešič na 2D Riemannovu problému s počátečnı́mi daty
p00 = 1.1 %00 = 1.1 u00 = 0.8939 v00 = 0.8939,
p01 = 0.35 %01 = 0.5065 u01 = 0.8939 v01 = 0,
p11 = 1.1 %11 = 1.1 u11 = 0 v11 = 0,
p10 = 0.35 %10 = 0.5065 u10 = 0 v10 = 0.8939,
γ = 1.4, t = 0.25 a CFL= 0.9. Průběh simulace ilustrujı́ obrázky 4 a 5.
7
Závěr
Na základě těchto řešičů lze dále odvodit 16ti stavový řešič ve dvou dimenzı́ch. Našı́m cı́lem do budoucna je aplikovat tento řešič a následně zvážit
jeho efektivitu.
Obrázek 4: 9ti a 13ti stavový řešič: rozloženı́ hustoty v čase t = 3s.
Obrázek 5: 9ti a 13ti stavový řešič: rozloženı́ hustoty v čase t = 6s.
Reference
[1] Wendroff B., Kozel K.: Approximate Riemann Solvers Godunov
Schemes, and Contact Discontinuities
[2] Váchal P., Liška R., Wendroff B.: Fully two dimensional HLLEC Riemann solver
[3] Eleuterio F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for fluid
Dynamics, Manchester Mteropolitan University, 1997
[4] Váchal P., Liška R., Wendroff B.: Fully two dimensional HLLEC Riemann solver
[5] Kuchařı́k M.: Diferenčnı́ schémata pro zachovánı́ ve 3D, diplomová
práce, 2002
Podkovy na stromech
Martin Soukenka1
Abstrakt
Na přı́kladech intervalové dynamiky a dynamiky na stromech je
ilustrován proces stanovenı́ dolnı́ch odhadů topologické entropie dynamických systémů pomocı́ tzv. podkov.
1. Dynamický systém a topologická entropie
Dynamickým systémem rozumı́me spojité zobrazenı́ f kompaktnı́ho metrického prostoru X do sebe a značı́me (X, f ). Dynamiku představujı́ iterace
zobrazenı́ f . Topologickou entropiı́ rozumı́me mı́ru, která vystihuje složitost
dynamiky. Má-li systém kladnou hodnotu entropie, pak se jedná o složitý
systém. Znamená to, že daný systém má řadu zajı́mavých vlastnostı́ a že
různé body prostoru X se pod tı́hou iteracı́ zobrazenı́ f chovajı́ netriviálně.
Přı́klady 1.1. Systém ([0, 1], a) kde a ∈ [0, 1] je pevně zvolený, má
triviálnı́ dynamiku - každému prvku x ∈ [0, 1] je v prvnı́ iteraci (a ve všech
dalšı́ch) přiřazen prvek a. Systém ([0, 1], id) má rovněž triviálnı́ dynamiku obraz bodu x ∈ [0, 1] je bod sám, neboli, každý bod je pevným bodem. Oba
systémy majı́ entropii rovnu nule. Nulovou entropii může ale mı́t i systém,
který na prvnı́ pohled vypadá dosti složitě, ale ve skutečnosti je triviálnı́.
Přı́klad 1.2. Necht’ ([0, 1], f ), kde f je zobrazenı́ podle obr. 1.
f
f(x)
x
Obr. 1. Triviálnı́ dynamika .
1
KM FSv. ČVUT, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, e-mail: [email protected]
Protože pro každý bod x ∈ X platı́ f (x) < x, skončı́ iterace všech bodů
v bodě 0. Entropie tohoto zobrazenı́ je nula.
Přı́klad 1.3. Uvažujme X = [0, 1] a zobrazenı́ T , které každému prvku
x ∈ X přiřadı́ prvek T x = 1−|1−2x| ∈ X. Jedná se o tzv. stanové zobrazenı́,
viz obr. 2.
T
Tx
x
Obr. 2. Stanové zobrazenı́ .
Budeme-li iterovat body x = 0, x = 2/3, zjistı́me, že jsou pevnými
body, budeme-li iterovat bod x = 1/2 dostaneme: T (1/2) = 1, T 2 (1/2) =
0, T 3 (1/2) = 0, . . . , nebot’ bod 0 je pevným bodem. Zvolı́me-li nějaký bod
x ∈ (0, 1/2), může se stát, zě při jeho iterovánı́ doiterujeme bud’ do pevného
bodu 2/3, nebo do bodu 1/2 a tedy dalšı́mi iteracemi do pevného 0. Může se
ale také stát, že pro zvolený bod x bude množina jeho iteracı́ {T x, T 2 x, . . .}
hustá v intervalu [0,1]. Této množině se řı́ká orbita bodu x a obvykle se značı́
orb T (x). Existuje-li v dynamickém systému hustá orbita, řı́ká se, že zobrazenı́ T je tranzitivnı́. Existence husté orbity v dynamickém systému na intervalu je postačujı́cı́ podmı́nkou pro složitost dynamiky a, jak bude částečně
ukázáno dále, hodnota entropie je v tomto přı́padě rovna log 2 (log zde značı́
dvojkový logaritmus).
2. Podkovy
Definice 2.1. Soubor (J1 , J2 , . . . , Jk ) po dvou disjunktnı́ch (s možnou
výjimkou koncových bodů) podintervalů prostoru X se nazývá k–podkova,
jestliže platı́
(1)
k
[
i=1
Ji ⊂ f (Jj ),
∀j ∈ {1, 2, . . . , k}.
Přı́klad 2.2. Snadno si lze rozmyslet, že interval J1 = [0, 1/2] a J2 =
[1/2, 1] tvořı́ v přı́padě stanového zobrazenı́ z přı́kladu 1.3 dvojpodkovu.
Tvrzenı́ 2.3. Má-li systém k–podkovu, pak topologická entropie je většı́
nebo rovna log k.
Přı́klad 2.4. Aplikacı́ předchozı́ho tvrzenı́ dostáváme pro stanové zobrazenı́ hodnotu entropie většı́ nebo rovnu čı́slu log 2.
Poznámka 2.5. Má-li zobrazenı́ dvojpodkovu, pak se řı́ká, že zobrazenı́
je turbulentnı́.
3. Podkovy na stromech
Někdy se stane, že nalezenı́ nějaké podkovy pro zobrazenı́ f nenı́ snadná
úloha, zatı́mco nalezenı́ podkovy pro nějakou iteraci f s je snadné. Je možné
v tom vidět analogii s použitı́m lupy při čtenı́. S využitı́m následujı́cı́ho tvrzenı́ je pak možné řı́ct, jakou podkovu (a tudı́ž i jakou entropii) má původnı́
zobrazenı́ f .
Tvrzenı́ 3.1. Má-li zobrazenı́ f s k–podkovu, pak entropie zobrazenı́ f
je většı́ nebo rovna (1/s) log k.
Přı́klad 3.2. Uvažujme spojité tranzitivnı́ zobrazenı́ f : T → T , kde
T je strom, tj. konečné sjednocenı́ intervalů neobsahujı́cı́ kružnici. Dvojice
(T, f ) je tedy dynamický systém. Předpokládejme, že dva jeho konce a, b
jsou pevnými body, tj. f (a) = a, f (b) = b a dále předpokládejme, že existujı́
body x, y ∈ T tak, že f p (x) = a, f r (y) = b pro nějaké p, r ∈ N, viz obr. 3.
a
J1
J3
y
J2
x
Obr. 3. Trojpodkova na stromě.
b
Položme m := max {p, r}. Pak jistě platı́ f m (x) = a, f m (y) = b. Protože
a, b jsou pevné body, tvořı́ intervaly J1 = [a, y], J2 = [y, x], J3 = [x, b] trojpodkovu pro zobrazenı́ f m , nebot’ f m (Ji ) ⊃ [a, b] pro každé i = 1, 2, 3.
Podle Tvrzenı́ 3.1 je tedy topologická entropie systému (T, f ) většı́ nebo
rovna (1/m) log 3 = (1/max {p, r}) log 3.
Závěr 3.3. Předvedli jsme metodu zı́skávánı́ dolnı́ch odhadů entropie
dynamických systémů tak, jak se skutečně při nejrůznějšı́m stanovovánı́ a
zpřesňovánı́ odhadů použı́vá. Existujı́ však i jiné metody, přesto patřı́ pro
svou názornost popsaná metoda k nejpoužı́vanějšı́m.
REFERENCES
1. L.Alseda, S.Baldwin, J.Llibre and M.Misiurewicz: Entropy of transitive
tree maps. Topology 36 (1997), 519-532.
2. X.Ye: Topological entropy of transitive maps of a tree. Ergodic Theory
and Dynamical Systems 20 (2000), 289-314.
Vývoj modelování membránových konstrukcí
Jana Vecková1
Abstrakt. V této práci jsem shrnula vývoj membránových konstrukcí. Protože tyto
konstrukce jsou velice zajímavé, ale také stavebně a staticky docela náročné na provedení,
je zmíněná oblast architektury poměrně mladá. S vývojem počítačů a numerických metod
se zároveň vyvíjejí i nové postupy jako virtuální modelování konstrukce a různé simulace.
Ještě před započetím stavby se může architekt zaměřit na všechny aspekty, které mohou
ovlivnit výsledek a případně stavbu ještě upravit. To by samozřejmě nebylo možné bez
silné matematické základny.
Nejranější ukázkou plachtové konstrukce je oválný výstavní pavilon, který navrhl
Vladimír Grigorjevič Šuchov pro výstavu v Nižném Novgorodě v roce 1896. Tento
významný Ruský vědec, přezdívaný ruský Edison, měl velice široké pole zájmu. Jedním
z jeho nejvýznamnějších vynálezů byl přístroj na nepřetržité krakování ropy. V této
oblasti vymyslel ještě první ropovod a tankery na přepravu ropy. Šuchov začal řešil
napětí a deformace v nosnících početně a výsledkem byla Šuchovského věž na veletrhu
v Nižném Novgorodě v roce 1896. Věž byla tvořena ocelovou konstrukcí představující
přímky jednodílného rotačního hyperboloidu, Obr. 1. V mnoha modifikacích se tyto
věže staví dodnes. Na stejném veletrhu se pak objevuje i první plachtová konstrukce.
Nejedná se ještě o konstrukci takovou jako ji chápeme dnes, protože ji tvoří lanová
struktura potažená plachtou. Připomíná spíše cirkusový stan, Obr. 1.
Obr. 1: Vlevo: Šuchovského věž. Vpravo: Oválný pavilon.
V 70. letech 20.století německý architekt Frei Otto, který v té době zkoumá
nafukovací haly a plachty všeobecně, prezentuje, v té době ještě západní Německo, na
veletrhu Expo 67 v Montrealu velice netradičním pavilonem, Obr. 2. Stejnou myšlenku
zopakoval v roce 1972 Olympijským stadionem v Mnichově, Obr. 2.
1
ČVUT v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky, Thákurova 7, 166 29 Praha 6,
ČR, e-mail: [email protected]
Obr. 2: Vlevo: Expo 67. Vpravo: Olympijský stadion.
S rostoucími technologickými možnostmi roste i míra využití předepjatých
plachtových konstrukcí. Konstrukce působí velice nevšedním dojmem a zároveň jsou
praktické a poměrně cenově příznivé. Protože plachta je lehký a tenký materiál (175 –
3000 g/m2), není nutné, aby byla podpůrná konstrukce příliš masivní. Zároveň dosahují
plachty dobré pevnosti (0,6 - 4kN/cm) a některé jsou tedy i pochůzné. Vyrábějí se
plachty, které jsou světlopropustné nebo i téměř průhledné. Zastřešují se jimi střechy
velikých rozponů a často se kotvící prvky posouvají na okraj nebo dokonce vně stavby.
V neposlední řadě se využívá přenositelnosti konstrukce.
Obr. 3: Vlevo: Millenium Dome. Vpravo: Sofijské Hlavní nádraží.
Jako příklad současných staveb uveďme Millenium Dome, Obr. 3, architekta
Richarda Rogerse v Londýně z roku 2000. Plachtová střecha připomíná kulový vrchlík.
Zastřešuje půdorys o průměru 365m jako dní v roce a hmotnost střechy je menší než
hmotnost vzduchu, který zastřešuje. Nebo ze stejného roku je budova Hlavního nádraží
v Bulharské Sofii, Obr. 3, architekta Milana Dobreva. Uchvacující stavbou je
i denverské Mezinárodní letiště, Obr. 4.
Obr. 4: Mezinárodní letiště v Denveru
Při konstrukci plachtové konstrukce vycházíme z kotvících prvků a počátečních
požadavků na výsledný tvar. Snažíme se získat model plochy v základním rovnovážném
stavu nebo moderněji předepjatou plochu. Pak následuje sestavení střihových plánů
a poté se řeší otázka jakým způsobem zobrazit zakřivenou plochu na rovinu. Výsledky
zkoumání konečného modelu plochy zpětně ovlivňují nároky na počáteční rovnovážný
stav nebo na odlišnou strukturu střihových plánů, Obr. 5.
Tvar plochy
v rovnováze
Sestavení střihových
plánů
Vyhodnocení kvality
výsledné plochy
Sestavení (svaření
švů) dílů
a předepjetí plochy
Sledování chování
výsledné struktury
Obr. 5: Schéma postupu při vytváření plachty.
Dále se zaměříme na určení počátečního tvaru před „rozřezáním“. Pokud hledáme
tvar energeticky vyvážený, využijeme spojitost s mýdlovými bublinami, které vytvoří
minimální plochu při pevně zadané hranici. Hranice může být složena z pevných
(drátky) i volnějších prvků (provázky). Tuto metodu používal i Frei Otto při svém
návrhu železničního nádraží ve Stuttgartu, Obr. 6. Jiným směrem postupoval Heinz
Isler, který mokrou tkaninu zjišťoval tvar skořepiny. Tkaninu zavěšoval nad
požadovaný půdorys a nechal ji zmrznout.Tyto konstrukce byly namáhány pouze tahem
(podoba s funkcí cosh) a po obrácení tedy pouze tlakem.
Obr. 6: Vlevo: Nádraží ve Stuttgartu. Vpravo: Zmrzlé tkaniny.
Neméně zajímavé jsou i metody početní nebo přesněji výpočetní. Hranice můžeme
nahradit polynomy a hledat tak polynomiální minimální plochu. Jako příklady uveďme
Obr. 7. Odvození rovnic najdeme v [4] a [5]. Výhodou polynomiálních nebo po částech
polynomiálních křivek je bezesporu menší množství řídících bodů.
Další skupina metod je založena na metodě konečných prvků a můžeme ji nalézt
např. v [9]. Na obrázku Obr. 8: Vlevo: Počáteční stav. Vpravo: Konečný stav. vidíme
počáteční zadání plochy (je určené, které body budou kotvící – ty jsou pevné) i konečný
stav. Metoda vychází z nahrazení plochy rovinami. Souřadnice těchto bodů jsou
v průběhu výpočtu iterovány až k těm výsledným. Používá se minimalizace virtuální
práce nebo potenciální energie. Rovnice jsou buď linarizovány nebo jinak
modifikovány pro zjednodušení výpočtu. Např. v rovnici (1) je vedle virtuální práce
δw , gradientu deformace F, virtuálního gradientu deformace δF , druhého PiolovaKirchhofova tenzoru a Cauchyho tenzoru napětí σ ještě vyhlazující skalární prvek λ .
Hledání minima se tím značně zjednoduší.
δw = λt ∫ det F σ ⋅ F −1 : δFdA + (1-λ )t ∫ (F ⋅ S ) :δFdA = 0
(2)
A
(
)
A
Další zajímavou metodou je dynamická relaxace (v tomto případě je použita pro
statickou úlohu). Plocha představuje jednu z poloh membrány při myšleném kmitání.
Toto kmitání je tlumené a výsledkem je hledaná plocha. Metoda je podobná ustálení
mýdlové membrány když do ní například foukne vítr.
Obr. 7: Vlevo: Bézierova minimální plocha. Vpravo: B-spline minimální plocha.
Většina plachet (vyjma folií) je navíc ze tkaných materiálů (velice často
upravených odolným zátěrem). To znamená jinou pevnost v osnově a jinou pevnost
v útku (firma Ferrari již vyrábí tkaniny se srovnatelnými pevnostmi). Ortogonální
systém vláken je při působení smykového napětí velice náchylný k vrásnění, Obr. 9.
I když všechny výpočty splňují daná kritéria, nemusí být výsledek vždy uspokojivý.
Obr. 8: Vlevo: Počáteční stav. Vpravo: Konečný stav.
Obr. 9: Tkanina a smykové napětí.
Literatura:
[1] COSÍN, C., MONTERDE, Juan: Bézier Surface of Minimal Area. Lecture Notes on
Computer Science, číslo 2330, strany 72 - 81, Springer Berlin/Heidelberg, 2002.
[2] MONTERDE Juan: The Plateau-Bézier Problem. Lecture Notes in Computer
Science, číslo 2768, strany 262 – 273, 2003.
[3] MONTERDE Juan: Bézier surfaces of minimal area: The Dirichlet approach.
Computer Aided Geometric Design, číslo 21, vydání 2, strany 117-136, 2004.
[4] VECKOVÁ J.: Minimální Bézierovy plochy. Sborník 14. konference studentů
VŠTEZ, strany 69 – 72, Komise JČMF pro matematiku na VŠTEZ, 2006.
[5] VECKOVÁ J.: Minimal surfaces. Creative Mathematics and Informatics, číslo 16,
Department of Mathematics and Computer Science, North University of Baia Mare,
strany 108-113, 2007.
[6] DIERKES Ulrich, HILDEBRANDT Stefan, KÜSTER Albrecht, WOHLRAB
Ortwin: Minimal surfaces. Springer, 1995.
[7] OPREA, John: The mathematics of soap films: explorations with Maple. AMS,
2000.
[8] MARSH, Duncan: Applied Geometry for Computer Graphics and CAD. Springer,
2000.
[9] WÜCHNER R., BLETZINGER K.-U.: Stress-adapted numerical form finding of
pre-stressed surfaces by the updated reference strategy. International Journal for
Numerical Methods in Engineering, číslo 64, strany 143-166, Wiley InterScience,
2005.
Zdroje obrázků:
http://www.e-architekt.cz
http://en.wikipedia.org
http://epinet.anu.edu.au
http://www.indiana.edu/
LIEOVY DUPINOVY CYKLIDY
Jan VRŠEK 1
Abstrakt
V přı́spěvku je definována Lieova Dupinova cyklida, jako zobecněnı́ klasické Dupinovy cyklidy. Tyto plochy jsou studovány jako podprostory v modelu Lieovy sférické geometrie a je
provedena jejich klasifikace do třı́d Lieovy ekvivalence. Cyklidy náležı́cı́ jedné speciálnı́ třı́dě
jsou dále studovány z laguerrovského a möbiovského hlediska. V této třı́dě je též definována
tzv. duálnı́ cyklida a jsou nalezeny jisté vztahy mezi cyklidou a cyklidou k nı́ duálnı́.
1 ÚVOD
Přı́spěvek je věnován klasifikaci Lieových Dupinových cyklid (LDC). Motivace
této práce vycházı́ z Krasauskas et. al. (2000), kde je definována Dupinova cyklida jako obalová plocha množiny všech orientovaných sfér, které se dotýkajı́ třı́
pevně zvolených orientovaných sfér. Následně jsou tyto plochy studovány v cyklografickém modelu Laguerrovy geometrie, kde můžou být reprezentovány jako tzv.
PE–kružnice. Několik přı́kladů Dupinových cyklid je znázorněno na obrázku 1. Laguerrova geometrie je podgeometriı́ většı́ geometrie, tzv. Lieovy sférické geometrie. Jejı́mi základnı́mi objekty jsou Lieovy sféry, což jsou orientované nadroviny,
orientované sféry a body. V modelu Lieovy sférické geometrie je podmı́nka orientovaného dotyku dvou Lieových sfér ekvivalentnı́ s podmı́nkou ortogonality jejich
reprezentantů. Zdá se tedy, že Lieova sférická geometrie by mohla být vhodným
prostředı́m ke studiu Dupinových cyklid. Aby tomu tak mohlo být, je nutné definici
Dupinovy cyklidy lehce pozměnit. Definujeme tedy Lieovu Dupinovu cyklidu jako
obalovou plochu množiny všech Lieových nadsfér, které se dotýkajı́ třı́ pevně zvolených, navzájem různých Lieových nadsfér. Takto modifikovaná definice umožnı́
mı́sto s plochami v R3 pracovat s podprostory prostoru R4,2 . Obdobný přı́stup k
této problematice lze nalézt v Peternell (2006).
2 KVADRATICKÉ PROSTORY
Kvadratickým prostorem budeme rozumět reálný vektorový prostor V konečné dimenze spolu s bilineárnı́ formou
(−, −) : V × V → R
(1)
V každém kvadratickém prostoru existuje jednoznačně určená trojice přirozených
čı́sel (p, r, q) taková, že v něm můžeme nalézt ortonormálnı́ bázi {e1 , . . . , en }, tj.
bázi splňujı́cı́ následujı́cı́ vztahy
• (ei , ej ) = 0 pro i 6= j,
• (ei , ei ) = 1 pro 1 ≤ i ≤ p,
• (ej , ej ) = 0 pro p + 1 ≤ j ≤ p + r,
• (ek , ek ) = −1 pro p + r + 1 ≤ k ≤ p + r + q = n.
Mı́sto (x, x) pı́šeme zkráceně x2 . Trojice (p, r, q) se nazývá signatura kvadratického
prostoru. Prostor s touto signaturou značı́me Rp,r,q a přı́slušnou bilineárnı́ formu
(−, −)p,r,q . Pokud r = 0 řı́káme, že prostor je regulárnı́, použı́váme pro něj označenı́
Rp,q a odpovı́dajı́cı́ bilineárnı́ formu značı́me (−, −)p,q . Platı́–li navı́c i q = 0
1
Jan Vršek, KMA FAV ZČU v Plzni, e-mail: [email protected]
Obrázek 1: Dupinovy cyklidy.
nazýváme prostor eukleidovský a značı́me Rn . Bilineárnı́ forma definována nad eukleidovským prostorem je klasický skalárnı́ součin, který značı́me (−, −)n .
Izomorfismus ϑ : V → V ′ dvou kvadratických prostorů nazveme izometrie pokud
pro všechna x, y ∈ V platı́
(x, y) = (ϑ(x), ϑ(y))′ .
(2)
O dvou kvadratických prostorech V, W řekneme, že jsou izometrické V ∼
= W právě
tehdy, když mezi nimi existuje izometrie. Zřejmě platı́, že každé dva kvadratické
prostory se stejnými signaturami jsou izometrické.
Izometrie kvadratického prostoru na sebe se nazývá ortogonálnı́ transformace.
Všechny ortogonálnı́ transformace tvořı́ tzv. ortogonálnı́ grupu značenou Op,r,q , resp.
Op,q , resp. On .
Na závěr uvedeme Wittovu větu o rozšı́řenı́ jejı́ž důkaz lze nalézt v Cohn (2000),
str. 271.
Věta 2.1. (Wittova věta o rozšı́řenı́) Necht’ Rp,q je regulárnı́ kvadratický prostor a W jeho libovolný podprostor. Potom libovolné izometrické zobrazenı́ ϑ : W →
Rp,q může být rozšı́řeno na ortogonálnı́ transformaci prostoru Rp,q .
3 MODEL LIEOVY SFÉRICKÉ GEOMETRIE
Uvažujme eukleidovský prostor R3 . Bod X z tohoto prostoru identifikujeme s jeho
souřadným vektorem x = [x1 , x2 , x3 ] v ortonormálnı́ bázi. Pro skalárnı́ součin (x, y)3
platı́
(3)
(x, y)3 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
Základnı́mi objekty Lieovy sférické geometrie jsou orientované sféry, orientované
nadroviny a body, souhrnně nazývané Lieovy sféry.
Orientovanou sférou v R3 se středem m = [m1 , m2 , m3 ] a orientovaným
poloměrem r ∈ R rozumı́me plochu určenou rovnicı́
(x − m)2 − ρ2 = 0,
(4)
spolu s orientacı́ jejı́ho normálového pole. Pro ρ > 0 volı́me orientaci normál vně
sféry a pro r < 0 volı́me orientaci dovnitř sféry. Sféru s nulovým poloměrem
ztotožňujeme s bodem m.
Orientovaná nadrovina N je určená rovnicı́
(n, x)3 + n0 = 0,
(5)
kde normálový vektor n je normován, tj. n2 = 1, čı́mž zı́skáme jednoznačný popis
orientované nadroviny.
Fundamentálnı́m invariantem Lieovy sférické geometrie je orientovaný dootyk.
O dvou Lieových sférách řekneme, že se orientovaně dotýkajı́, pokud se dotýkajı́ v
klasickém smyslu a navı́c majı́ v bodě dotyku stejně orientované normály, viz obr. 2.
S′
′
S
r >0
m′
′
r′ < 0
m
m
S
S′
m
r>0
r>0
N
S
m
r<0
Obrázek 2: Orientovaný dotyk.
Bijektivnı́ zobrazenı́ množiny Lieových sfér na sebe, které navı́c zachovává orientovaný dotyk nazýváme Lieova sférická transformace. Grupu Lieových sférických
transformacı́ značı́me Lie(3).
Za model Lieovy sférické geometrie nám bude sloužit projektivnı́ prostor P5 =
P(R4,2 ), tj. množina všech jednorozměrných podporstorů prostoru R4,2 . Bilineárnı́
forma nad prostorem R4,2 je tedy definována předpisem
(x, y)4,2 = −x0 y0 + x1 y2 + x3 y3 + x4 y4 − x5 y5 ,
(6)
kde x = [x0 , . . . , x5 ] je souřadný vektor v ortonormálnı́ bázi {e0 , . . . , e5 } prostoru
R4,2 . Každý nenulový vektor x ∈ R4,2 určuje právě jeden projektivnı́ bod
xR = {y ∈ R4,2 | ∃a ∈ R : y = ax} ∈ P5 .
(7)
Vektor x nazýváme reprezentantem bodu xR.
Definujme zobrazenı́ λ, jež každé Lieově sféře přiřadı́ reprezentant bodu prostoru
P5 , následujı́cı́m předpisem
sféra (m, r)
bod x
nadrovina (n, n0 )
7→ [m2 − r 2 + 1, 2m, m2 − r 2 − 1, 2r],
7→ [x2 + 1, 2x, x2 − 1, 0],
7→ [n0 , n, n0 , 1].
Je vidět, že libovolný reprezentant x̂ Lieovy sféry je neutrálnı́, tj. splňuje rovnici
(x̂, x̂)4,2 = 0. Množinu
L4 = {x ∈ R4,2 | (x, x)4,2 = 0},
(8)
nazveme Lieova kvadrika. Jediný bod Lieovy kvadriky, jehož reprezentant nemá vzor
při zobrazenı́ λ je bod s reprezentantem n∞ = [1, 0, 0, 0, 1, 0]. Ten však můžeme
považovat za obraz ∞ v Möbiově rozšı́řenı́ prostoru R3M = R3 ∪ {∞}. Relaci orientovaného dotyku rozšı́řı́me následovně. Bod ∞ ležı́ v každé orientované nadrovině
a vně každé orientované nadsféry. Nevlastnı́ bod ∞ také zahrneme do množiny
Lieových sfér.
Protože nynı́ máme bijektivnı́ korespondenci mezi body Lieovy kvadriky a
Lieovými nadsférami, můžeme Lieovy sféry identifikovat s jejich reprezentanty při
zobrazenı́ λ.
Podmı́nka orientovaného dotyku dvou Lieových sfér x̂, ŷ je v tomto modelu
ekvivalentnı́ s podmı́nkou
(x̂, ŷ)4,2 = 0.
(9)
Lieovu sférickou transformaci jsme definovali jeko bijekci množiny Lieových sfér,
jež navı́c zachovává orientovaný dotyk. Lze dokázat následujı́cı́ větu, viz Cecil
(1992), str. 31.
Věta 3.2. Lie(3) ∼
= O4,2 /{±id}.
Dvě důležité podgeometrie Lieovy sférické geometrie jsou geometrie Möbiova a
Laguerrova. Nebudeme se jimi zde zabývat, protože pro nás jsou podstatné pouze
grupy Laguerrových transformacı́ Lag(3) a Möbiových transformacı́ Möb(3).
Laguerrovou transformacı́ rozumı́me Lieovu sférickou transformaci, která zobrazuje orientované roviny na orientované roviny. Protože všechny orientované
roviny ležı́ v nadrovině
R = {x ∈ R4,2 | (x, n∞ )4,2 = 0},
(10)
je Lieova sférická transformace zároveň Laguerrova právě tehdy, když reprodukuje
nadrovinu R.
O Lieově sférické transformaci řekneme, že je Möbiova právě tehdy, když zobrazuje body na body. Označme er vektor [0, 0, 0, 0, 1]. Obdobně jako v přı́padě
Laguerrových transformacı́, musı́ Möbiova transformace reprodukovat nadrovinu
B = {x ∈ R4,2 | (x, er )4,2 = 0}.
(11)
Je zřejmé, že Lag(3) i Möb(3) jsou skutečně grupy, a tedy jsou podgrupami grupy
Lie(3).
4 PODPROSTORY R4,2
Uvažujme kvadratický prostor Rp,r,q a necht’ W je jeho libovolný podprostor. Potom
množinu
W ⊥ = {x ∈ Rp,r,q | ∀y ∈ W : (x, y)p,r,q = 0}
(12)
nazveme ortogonálnı́ doplněk podprostoru W. Snadno se ověřı́, že ortogonálnı́ doplněk podprostoru je opět podprostor.
Bud’ Rn reálný eukleidovský prostor dimenze n. Pro jeho libovolný podprostor
W dimenze m platı́
W∼
a
W⊥ ∼
(13)
= Rm
= Rn−m .
Protože při studiu Lieových Dupinových cyklid chceme využı́vat zavedený model
Lieovy sférické geometrie, budou nás zajı́mat podprostory prostoru R4,2 . Tento prostor je ovšem indefinitnı́ a nenı́ zřejmé, zda dva izometrické podprostory majı́ izometrické ortogonálnı́ doplňky. Následujı́cı́ věta, jež je přı́mým důsledkem Wittovy
věty o rozšı́řenı́ 2.1, řı́ká, že tomu tak musı́ být.
Věta 4.3. Necht’ Rp,q je regulárnı́ kvadratický prostor a U, W jeho libovolné podprostory. Pokud U ∼
= W, tak i U ⊥ ∼
= W ⊥.
Podle Wittovy věty o rozšı́řenı́ 2.1 pro dva izometrické podprostory existuje ortogonálnı́ transformace celého prostoru, jež tyto podprostory zobrazuje na sebe.
Naopak pro neizometrické podprostory taková transformace existovat nemůže.
Množina podprostorů pevné dimenze se tedy rozpadá na třı́dy izometrických podprostorů. Protože R4,2 je regulárnı́, je počet třı́d podprostorů dimenze k roven počtu
třı́d dimenze 6 − k a tyto třı́dy si vzájemně odpovı́dajı́.
Napřı́klad podprostor dimenze 0 existuje pouze jeden, a to R0,0,0 . K němu duálnı́
je celý prostor R4,2 . Obdobně můžeme vyšetřit možnosti i pro ostatnı́ dimenze.
Zı́skané výsledky jsou shrnuty v tabulkách 1, 2 a 3.
Tabulka 1: Podprostory prostoru R4,2 dimenze 1 a 5 a jejich ortogonálnı́ doplňky.
A
R1,0,0
R0,1,0
R0,0,1
A⊥
R3,0,2
R3,1,1
R4,0,1
Tabulka 2: Podprostory prostoru R4,2 dimenze 2 a 4 a jejich ortogonálnı́ doplňky.
A
R2,0,0
R0,2,0
R0,0,2
R1,1,0
R1,0,1
R0,1,1
A⊥
R2,0,2
R2,2,0
R4,0,0
R2,1,1
R3,0,1
R3,1,0
Tabulka 3: Podprostory prostoru R4,2 dimenze 3 a jejich ortogonálnı́ doplňky.
A
R3,0,0
R2,1,0
R2,0,1
R1,2,0
R1,0,2
R1,1,1
A⊥
R1,0,2
R1,1,1
R2,0,1
R1,2,0
R3,0,0
R2,1,0
5 LIEOVY DUPINOVY CYKLIDY
5.1 Klasifikace z lieovského hlediska
Připomeňme, že Lieovu Dupinovu cyklidu (LDC) jsme definovali jako obalovou
plochu Lieových sfér, jež se všechny dotýkajı́ třı́ pevně zvolených, navzájem různých
Lieových sfér. Tři Lieovy sféry z definice LDC můžeme reprezentovat vektory
â1 , â2 , â3 ∈ L4 . Množina Lieových sfér dotýkajı́cı́ch se âi je
4
4,2
L4 ∩ A⊥
| (x, âi )4,2 = 0}.
i = L ∩ {x ∈ R
(14)
4,2 a dim A⊥ = 5. Pokud hledáme všechny Lieovy sféry
Platı́, že A⊥
i je podprostor R
i
dotýkajı́cı́ se všech âi , je třeba určit podprostor
⊥
⊥
4,2
A⊥ = A⊥
| (x, âi )4,2 = 0, i = 1, 2, 3}.
1 ∩ A2 ∩ A3 = {x ∈ R
(15)
Podprostor A⊥ je popsán soustavou třı́ rovnic o šesti neznámých. Tedy dimenze
řešenı́ může být rovna 5, 4, nebo 3. Rozlišı́me tyto tři možnosti:
dim A⊥ = 5 nastává právě tehdy, když existujı́ α, β ∈ R taková, že â1 =
αâ2 = βâ3 , což je spor s tı́m, že Lieovy sféry uvažujeme navzájem různé.
dim A⊥ = 4. Tato situace nastává právě tehdy, když majı́ všechny tři Lieovy
sféry společný bod dotyku. Lieova Dupinova cyklida je v tomto přı́padě obálka
svazku Lieových sfér generovaného dotýkajı́cı́mi se Lieovými sférami a tudı́ž prázdná
množina.
dim A⊥ = 3. V tomto přı́padě jsou vektory â1 , â2 a â3 lineárně nezávislé
a generujı́ třı́rozměrný podprostor A, což je ortogonálnı́ doplňek podprostoru A⊥ .
Protože A obsahuje tři lineárně nezávislé neutrálnı́ vektory, musı́ nastat některá z
následujı́cı́ch možnostı́
• I. A ∼
= R1,0,2 . Potom z tabulky 3 vidı́me, že A⊥ ∼
= R3 a
A⊥ ∩ L4 = {0}.
(16)
tedy LDC typu I nenı́ reálná, ale imaginárnı́.
• II. A ∼
= R2,0,1 . Podle tabulky 3 je jeho ortogonálnı́ doplňek A⊥ ∼
= R2,0,1 .
⊥
Množina neutrálnı́ch vektorů v A tvořı́ kuželovou plochu, čemuž odpovı́dá
jednoparametrický systém Lieových sfér a LDC je jejich obálka.
• III. A ∼
= R2,1,0 . V tomto podprostoru existuje
= R1,1,1 , potom z tabulky 3 A⊥ ∼
právě jeden neutrálnı́ podprostor a jeho dimenze je rovna jedné. Tudı́ž LDC
typu III je Lieova sféra, popsaná tı́mto podprostorem.
O LDC řekneme, že je typu I, II, resp. III, pokud podprostor A je izometrický
s R1,0,2 , R2,0,1 , resp. R1,1,1 .
Možnosti, kdy dim A⊥ = 4, 5 nejsou z hlediska studia LDC zajı́mavé, a proto se
dále budeme věnovat jen poslednı́ variantě, kdy dim A⊥ = 3.
U Lieových Dupinových cyklid typu I a II existujı́ v podprosotru A neutrálnı́ podprostory dimenze maximálně jedna. Geometricky to odpovı́dá situaci, kdy se Lieovy
sféry âi nedotýkajı́. Skutečně, kdyby např. (â1 , â2 )4,2 = 0, tak â1 a â2 generujı́
neutrálnı́ podprostor dimenze 2, ale v prostorech izometrických s R1,0,2 nebo R2,0,1
existuje neutrálnı́ podprostor dimenze maximálně 1. Naopak, typ III reprezentuje
situaci kdy se bud’ jedna Lieova sféra dotýká zbývajı́cı́ch dvou, nebo se dotýká
jedné a třetı́ se jich nedotýká. Tyto dvě možnosti se sice zdajı́ být zcela rozdı́lné,
ale následujı́cı́ přı́klad ukazuje, že z hlediska LDC jsou naopak nerozlišitelné.
Přı́klad 5.1. Uvažujme v prostoru R1,1,1 vzájemně ortogonálnı́ bázové vektory e0 ,
e− , e+ , pro které navı́c platı́
e20 = 0, e2− = −1, e2+ = 1.
(17)
â1 = e0 , â2 = e+ + e− , â3 = e+ − e−
(18)
Potom vektory
jsou lineárně nezávislé a neutrálnı́. Zjevně pro ně platı́
(â1 , â2 )4,2 = 0, (â1 , â3 )4,2 = 0, (â2 , â3 )4,2 6= 0.
(19)
Tj. v lieovském pohledu, kdy R1,1,1 je podprostor R4,2 , je â1 sféra, které se zbylé
dvě dotýkajı́. V prostoru R1,1,1 ale můžeme nalézt jinou bázi
b̂1 = â1 + â2 , b̂2 = â1 − â2 , b̂3 = â3 .
(20)
To jsou také lineárně nezávislé a neutrálnı́ vektory. Pro ně však platı́
(b̂1 , b̂2 )4,2 = 0, (b̂1 , b̂3 )4,2 6= 0, (b̂2 , b̂3 )4,2 6= 0.
(21)
Což je zbývajı́cı́ situace, kdy se dvě sféry dotýkajı́ a třetı́ se jich nedotýká. Protože
{âi }3i=1 a {b̂i }3i=1 jsou dvě báze stejného prostoru, generujı́ i stejnou LDC.
Množinu všech Lieových sfér, odpovı́dajı́cı́ch neutrálnı́m vektorům v A⊥
nazveme generujı́cı́ množina LDC. O dvou Lieových Dupinových cyklidách řı́káme,
že jsou Lieovsky ekvivalentnı́ právě tehdy, když existuje Lieova sférická transformace, zobrazujı́cı́ generujı́cı́ množinu jedné LDC na generujı́cı́ množinu druhé LDC.
V Lieově sférické geometrii můžeme tvrdit, že dvě LDC určené podprostory A⊥ a
A′ ⊥ jsou Lieovsky ekvivalentnı́, pokud existuje ortogonálnı́ transformace ρ ∈ O4,2
taková, že ρ(A⊥ ) = A′ ⊥ . Z Wittovy věty o rozšı́řenı́ plyne, že pro dva izometrické
podprostory existuje ortogonálnı́ transformace prostoru R4,2 , která je na sebe zobrazuje. Naopak, protože ortogonálnı́ transformace je izometrie, nemůže na sebe
zobrazit dva neizometrické prostory. Tı́m jsme zı́skali rozklad množiny všech LDC
na disjunktnı́ třı́dy Lieovy ekvivalence.
Předchozı́ úvahy ukazujı́, že jediná třı́da LDC, kterou má z praktického hlediska
smysl vyšetřovat, jsou cyklidy typu II. Zbývajı́cı́ třı́dy jsou degenerované přı́pady,
které nemajı́ z hlediska dalšı́ho studia LDC zásadnı́ význam. Všechny LDC typu II
jsou z lieovského pohledu ekvivalentnı́, a proto bude třeba hledat jemnějšı́ klasifikaci.
5.2 Klasifikace z laguerrovského a möbiovského hlediska
Jak jsme již výše naznačili, budeme dále uvažovat LDC typu II. Tj. LDC, pro něž
A⊥ ∼
= R2,0,1 . Protože zároveň A ∼
= R2,0,1 , vidı́me, že i A určuje LDC typu II,
konkrétně obálku Lieových sfér ležı́cı́ch v A. Tuto cyklidu budeme nazývat duálnı́
LDC.
Poznámka 5.1. Z důvodů zpřehledněnı́ následujı́cı́ho textu, budeme řı́kat prostoru
A⊥ LDC, ale budeme mı́t na paměti, že LDC je ve skutečnosti obalová plocha
Lieových sfér, obsažených v A⊥ . Stejně tak A budeme nazývat duálnı́ LDC.
Obdobně, jako jsme nalezli rozklad na třı́dy Lieovy ekvivalence, budeme v následujı́cı́m textu hledat rozklad na třı́dy Laguerrovy, resp. Möbiovy ekvivalence.
Laguerrovu, resp. Möbiovu ekvivalenci definujeme stejně jako Lieovu ekvivalenci,
tj. dvě LDC jsou laguerrovsky, resp. möbiovsky ekvivalentnı́, pokud existuje Laguerrova, resp. Möbiova transformace zobrazujı́cı́ na sebe jejich generujı́cı́ množiny.
Protože Laguerrovy transformace zobrazujı́ orientované roviny na orientované roviny
a Möbiovy transformace jsou právě ty Lieovy sférické transformace zobrazujı́cı́ body
na body, budeme dále hledat průnik LDC s nadrovinami R a B. Kde R byla definována vztahem (10) a B rovnicı́ (11).
Začneme se zkoumánı́m různých typů z laguerrovského hlediska. Označme D⊥ =
R ∩ A⊥ a D = R ∩ A.2 Potom zřejmě
2 ≤ dim D⊥ , dim D ≤ 3.
(22)
Protože hn∞ i ∼
= R0,1,0 , dostáváme z tabulky 1, R ∼
= R3,1,1 . Potom podprostor D⊥
může být izometrický s některým z těchto prostorů:
a. R2,0,1
b. R2,0,0
c. R1,0,1
d. R1,1,0 .
Signatura těchto prostorů, nám napovı́dá, kolik obsahuje LDC rovin. Napřı́klad
LDC typu II.a je obálka rovin a naopak LDC typu II.b je obálka pouze cyklů a
žádné roviny. Protože n∞ nenı́ rovina, ale přesto ležı́ v R, musı́me této situaci
věnovat zvláštnı́ pozornost. Snadno ukážeme, že pokud n∞ ∈ A⊥ , tak D⊥ ∼
= R1,1,0 .
2
Symbol ⊥ v dolnı́m indexu naznačuje, že D⊥ a nenı́ ortogonálnı́ doplněk D, ale odpovı́dajı́ duálnı́m
cyklidám.
Pokud ne, musel by existovat vektor â ∈ D⊥ ∩ L4 , pro který â 6= λn∞ pro všechna
λ ∈ R a zároveň (â, n∞ )4,2 = 0. Potom ale vektory â a n∞ generujı́ neutrálnı́
podprostor dimenze 2 a takový v A⊥ nemůže existovat. Tı́m jsme tedy ukázali, že
LDC obsahujı́cı́ n∞ musı́ být typu II.d. Obrácené tvrzenı́ ale neplatı́, tj. je možné
nalézt LDC typu II.d, jež n∞ neobsahuje.
Následujı́cı́ věty, jejichž důkazy lze nalézt v Vršek (2007), ukazujı́, že typ cyklidy
je pevně svázán s typem cyklidy duálnı́.
Věta 5.4. D⊥ ∼
= R1,1,0 a n∞ ∈ D⊥ právě tehdy, když D ∼
= R2,0,1 .
Věta 5.5. D⊥ ∼
= R1,1,0 a n∞ 6∈ D⊥ právě tehdy, když D ∼
= R1,1,0 a n∞ 6∈ D.
Věta 5.6. D⊥ ∼
= R2,0,0 právě tehdy, když D ∼
= R1,0,1 .
Ze symetrie vyplývá, že tvrzenı́ Vět 5.4 a 5.6 bude plati i pokud zaměnı́me D⊥
a D. Našli jsme tedy vztahy mezi typem LDC a typem duálnı́ LDC. Tyto vztahy
jsou znázorněny následujı́cı́m diagramem
II.a o
/ II.d
j
∗
II.b o
∗
∗
/ II.c
(23)
Typ II.d se rozpadá na dva podtypy. Prvnı́ je tvořen cyklidami, které obsahujı́ n∞
a druhý cyklidami, které naopak n∞ neobsahujı́. Označme tyto dva podtypy II.da,
resp. II.dd, kde druhé pı́smeno odpovı́dá typu duálnı́ cyklidy. Potom platı́ následujı́cı́
věta, viz Vršek (2007).
Věta 5.7. Jednotlivé typy II.a, II.b, II.c, II.da a II.dd jsou třı́dy Laguerrovy ekvivalence.
Nynı́ se budeme věnovat studiu LDC, z pohledu Möbiových transformacı́. Označme
E⊥ = A⊥ ∩B a E = A∩B. Protože dimenze E⊥ je rovna dvěma, nebo třem a B ∼
= R4,1 ,
dostaneme následujı́cı́ možnosti podprostorů izometrických s E⊥
α. R2,0,1
β. R2,0,0
γ. R1,0,1
δ. R1,1,0
Stejně jako v přı́padě laguerrovské klasifikace, nalezneme i zde vztah mezi typem
LDC a typem duálnı́ LDC. Uvažujme LDC A⊥ , která obsahuje bod â. Všechny
body, které by ležely v A by se ho musely dotýkat. To znamená, že jediný bod,
který může ležet v A je â, ale A⊥ ∩ A = {0} a duálnı́ cyklida neobsahuje žádný
bod. Tı́m jsme ukázali, že je–li LDC typu II.α, γ, δ, tak duálnı́ LDC musı́ být typu
II.β. Dále lze poměrně snadno nalézt přı́klad LDC typu II.β, jejı́ž duálnı́ cyklida je
také typu II.β. Tyto vztahy jsou shrnuty v předhledném diagramu.
(24)
II.α
O
∗
∗
o
1 II.β
O
∗
/ II.γ
∗
II.δ
Na tomto mı́stě by bylo přirozené postupovat anologicky jako v přı́padě laguerrovské klasifikace, tj. rozdělit typ II.β na čtyři podtypy a pokusit se ukázat, že
každý z vzniklých typů je třı́dou Möbiovy ekvivalence. Jak snadno ukážeme, v tomto
přı́padě takový postup selže.
′ ∼ R2,0,0 a E ∼ E ′ . Necht’ nynı́
Uvažujme dvě LDC A⊥ , A′ ⊥ takové, že E⊥ ∼
= E⊥
=
=
ϑ ∈ O4,2 je ortogonálnı́ transformace, jenž splňuje ϑ(A⊥ ) = A′ ⊥ a ϑ(er ) = ±er .
′ . V prostoru A⊥ existujı́ právě dva
Tedy je to Möbiova transformace a ϑ(E⊥ ) = E⊥
2
vektory ±a, pro které platı́ (±a) = −1 a (±a, e)4,2 = 0 pro všechna e ∈ E⊥ .
′ . Protože ϑ je ortogonálnı́
Analogicky existuje právě jedna taková dvojice ±a′ i v E⊥
transformace, musı́ platit
ϑ(a) = ±a′
(25)
a dále pro všechna x, y ∈ R4,2
(x, y)4,2 = (ϑ(x), ϑ(y))4,2 .
(26)
Z toho již plyne nutná podmı́nka existence transformace ϑ:
|(a, er )4,2 | = |(ϑ(a), ϑ(er ))4,2 | = |(±a′ , er )4,2 = |(a′ , er )4,2 |.
(27)
Tuto podmı́nku však nemůžeme obecně v rámci jednoho typu dodržet, a proto
netvořı́ tyto typy rozklad na třı́dy Möbiovy ekvivalence.
6 ZÁVĚR
Podařilo se nám množinu všech Lieových Dupinových cyklid klasifikovat do třı́d
lieovské ekvivalence. Po vyloučenı́ všech singulárnı́ch přı́padů se ukázalo, že existuje právě jedna třı́da, kterou má smysl se dále zabývat. Tato třı́da obsahuje
všechny Dupinovy cyklidy, ale zřejmě i dalšı́ přı́pady. Dále Lieovy Dupinovy cyklidy
náležejı́cı́ této třı́dě byly rozděleny do pěti třı́d laguerrovské ekvivalence. Na tomto
mı́stě bude nutné přesně specifikovat vztah těchto třı́d ke čtyřem standardnı́m typům
Dupinových cyklid (degenerovaného, eliptického, parabolického a hyperbolického),
jež jsou také rozděleny podle laguerrovské ekvivalence. Dalšı́m krokem byl pokus
o klasifikaci z möbiovského hlediska, tj. podle počtu bodových sfér obsažených v
generujı́cı́ množině dané Lieovy Dupinovy cyklidy. Tento postup je analogiı́ ke klasifikaci Dupinových cyklid podle počtu singularit. Bohužel hypotéza, že dvě Lieovy
Dupionvy cyklidy, jejichž generujı́cı́ množiny obsahujı́ stejný počet bodových sfér
jsou möbiovsky ekvivalentnı́, se nepotvrdila a tak otázka, jak vlastně vypadajı́
třı́dy möbiovské ekvivalnece je stále otevřená. Dále byla definována duálnı́ cyklida a nalezeny vztahy mezi typem původnı́ cyklidy a cyklidy k nı́ duálnı́. Všechna
dokázaná fakta o Lieových Dupinových cyklidách pocházejı́ z algebraického úhlu
pohledu. Do budoucna bude nutné věnovat se také studiu geometrických vlastnostı́.
Tento přı́stup by nám mohl umožnit zjistit jaké plochy obsahuje zbývajı́cı́ pátá třı́da
laguerrovské ekvivalence či prozradit vı́ce o vztazı́ch cyklid a duálnı́ch cyklid.
REFERENCE
Cecil, T. E., Lie Sphere Geometry: With Applications to Submanifolds. New York:
Springer–Verlag, 1992. ISBN 0-387-97747-3.
Cohn, P. M., Basic Algebra: Groups Rings and Fields. Bristol: Springer-Verlag,
2003. ISBN 1-852-33587-4.
Krasauskas, R. a Mäurer, C., Studying cyclides with Laguerre geometry. Computer
Aided Design 17: 101-126, 2000.
Peternell, M., Sphere–Geometric Aspects of Bisector Surfaces. Algebraic Geometry
and Geometric Modelling, Proc. of the conf., Barcelona, 4.–7. sept. 2006, 109–111.
Vršek, J., Studium Lieovy sférické geometrie s využitı́m geometrické algebry. Diplomová práce, Západočeská univerzita, Pzeň, 2007.

zde - České vysoké učení technické v Praze

Transkript

Podobné dokumenty

14` Ročník MK CR E 11809

Mikrokanonický ensemble

afrika - Palema

Perl Perl - RegNet.cz

Fakulta elektrotechnická - FEL

Diferenciáln´ı geometrie

PLNÁ HRA ZDARMA

Co nového v genetice. „Revoluce" v genetice

Struktura údajů pro výroční zprávu kateder - KMD

Proces remodelace kostní tkáne

pdf1 - Palindromy.pl