Diferenciáln´ı geometrie

Diferenciálnı́ geometrie
Pomocný učebnı́ text
František Ježek
Plzeň, 4. února 2010
Obsah
1 Křivky
1.1 Vyjádřenı́ křivky . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Transformace parametru . . . . . . . . . . . . .
1.3 Délka křivky, oblouk jako parametr . . . . . . .
1.4 Tečný vektor a tečna křivky . . . . . . . . . . .
1.5 Oskulačnı́ rovina . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Frenetovy vzorce, křivosti . . . . . . . . . . . .
1.7 Kanonické a přirozené rovnice křivky . . . . . .
1.8 Oskulačnı́ vlastnosti křivek . . . . . . . . . . . .
1.9 Obálky systému křivek . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Speciálnı́ křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Spádové křivky . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Evoluta a evolventa . . . . . . . . . . . .
1.11 Globálnı́ vlastnosti rovinných uzavřených křivek
1.11.1 Jednoduchá uzavřená rovinná křivka . .
1.11.2 Isoperimetrická nerovnost . . . . . . . .
1.11.3 Věta o vrcholech . . . . . . . . . . . . .
2 Plochy
2.1 Vyjádřenı́ plochy . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Transformace parametrů . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tečné vlastnosti ploch . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Obalové plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Rozvinutelné plochy . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Vektory na ploše . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Tenzory na ploše a tenzorová pole . . . . . . . .
2.8 Prvnı́ základnı́ forma plochy . . . . . . . . . . .
2.9 Druhá základnı́ forma plochy . . . . . . . . . .
2.10 Normálová křivost a Meusnierova věta . . . . .
2.11 Dupinova indikatrix a významné směry na ploše
2.12 Gaussova a střednı́ křivost . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
7
8
11
12
14
15
16
18
18
19
22
22
24
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
31
32
32
34
36
38
39
43
43
45
47
2.13
2.14
2.15
2.16
Geodetická křivost plochy . . . . . . . .
Weingartenovy a Gaussovy rovnice . . .
Asymptotické, hlavnı́ a geodetické křivky
Minimálnı́ plochy . . . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
50
51
52
56
Předmluva
Tento text je záznamem přednášek, které jsem připravil pro Fakultu aplikovaných
věd v akademickém roce 2002/03 pro předmět Diferenciálnı́ geometrie. Ochotným
přı́stupem dvou studentů byl záznam přednášek vysázen v systému LATEX. Později
jsem provedl autorizaci a doplněnı́ tohoto záznamu.
Velké poděkovánı́ patřı́ studentům Petru Märzovi a Marku Byrtusovi, kteřı́ pro
budoucı́ generaci studentů připravili základ záznamu přednášek.
Budu Vám vděčný za přı́padné připomı́nky k textu. Řadu podnětů v roce 2004
a 2005 poslali Josef Otta a Martina Smitková, za což jim patřı́ dı́k. Většinu námětů
jsem akceptoval.
Od akademického roku 2006/07 si tento předmět zapisujı́ i studentky a studenti
Fakulty pedagogické. Věřı́m, že i od Vás, budoucı́ch učitelek a učitelů, dostanu
dalšı́ náměty na úpravy tohoto textu.
Je zajı́mavé, že po relativně dlouhém použı́vánı́ textu se v něm najdou při
pečlivém čtenı́ a promýšlenı́ dalšı́ a dalšı́ nejasnosti i chyby. To se podařilo studentu
doktorského studijnı́ho programu se zaměřenı́m na počı́tačovou grafiku Romanovi
Soukalovi. Za podněty děkuji.
František Ježek
4
Kapitola 1
Křivky
1.1
Vyjádřenı́ křivky
Definice 1. Regulárnı́ křivkou třı́dy Cn v E3 rozumı́me množinu K ⊂ E3 (obr.
1.1), pro nı́ž existuje vektorová funkce P (t), t ∈ I tak, že
(a) P : I → K, I je otevřený interval,
(b) P je třı́dy Cn ,
P 0 (t0 )| =
(c) |P
6 0 pro všechna t0 ∈ I,
(d) t1 6= t2 ⇒ P (t1 ) 6= P (t2 ).
Obrázek 1.1: K definici křivky
5
1.2. TRANSFORMACE PARAMETRU
6
Poznámka 1. Rozepsánı́m do složek dostaneme parametrické vyjádřenı́.
Přı́klad 1. Uvažujme dvě různé parametrizace přı́mky
(a) P (t) = (t, t, t), t ∈ R tato přı́mka je regulárnı́ křivkou,
(b) P (t) = (t3 , t3 , t3 ), t ∈ R stejná přı́mka (stejná množina bodů) jako v (a), ale
tato parametrizace přı́mky již nesplňuje podmı́nky definice regulárnı́ křivky,
P 0 (t)| =
protože neplatı́ nerovnost |P
6 0 pro t = 0.
Poznámka 2. Definice křivky je, jak to u elementárnı́ch pojmů bývá, poměrně
komplikovaná. Námi uvedená definice regulárnı́ křivky je problematická při praktickém ověřovánı́ podmı́nek. V dalšı́m textu budeme použı́vat pojem křivka (bez
přı́vlastku). Křivkou rozumı́me množinu (bodů), která je skoro všude (až na konečný
počet bodů) regulárnı́ křivkou.
Poznámka 3. Kromě vektorových (nebo parametrických) rovnic lze pracovat i s
explicitnı́mi nebo implicitnı́mi rovnicemi.
E2
E3
Explicitnı́
Implicitnı́
y = f (x)
f (x, y) = 0
y = f1 (x)
f1 (x, y, z) = 0
z = f2 (x), x ∈ I f2 (x, y, z) = 0
Převod mezi implicitnı́m a explicitnı́m tvarem lze provést pomocı́ věty o implicitnı́ch funkcı́ch.
K určenı́ regulárnı́ křivky implicitnı́mi rovnicemi je nutné, aby následujı́cı́ matice měla hodnost 2:
!
∂f1
∂f1
∂f1
∂x
∂f2
∂x
1.2
∂y
∂f2
∂y
∂z
∂f2
∂z
.
Transformace parametru
Věta 1. Necht’ P (t), t ∈ I, je regulárnı́ křivkou a necht’ ϕ je spojitá funkce ϕ :
I? → I a ϕ0 (t?0 ) 6= 0 pro každé t?0 ∈ I? . Pak P (ϕ(t? )), t? ∈ I? , je vektorovou rovnicı́
křivky P (t).
Důkaz. Funkce ϕ je rostoucı́ nebo klesajı́cı́, tedy je prostá. Snadno se ověřı́ podmı́nky
definice 1 i pro P (ϕ(t? )) na I? .
6
1.3. DÉLKA KŘIVKY, OBLOUK JAKO PARAMETR
7
Obrázek 1.2: Transformace parametru
Obrázek 1.3: Transformace parametru na křivce
1.3
Délka křivky, oblouk jako parametr
Věta 2. Necht’ P (t), t ∈ I = (td , th ) je regulárnı́ křivka. Pak délka křivky je dána
vztahem
Zth p
P 0 (t) · P 0 (t) dt
d=
td
7
1.4. TEČNÝ VEKTOR A TEČNA KŘIVKY
8
Důkaz. Tvrzenı́ plyne z integrálnı́ho počtu a z rovnice:
2 2 2
dy(t)
dz(t)
dx(t)
0
0
+
+
.
P (t) · P (t) =
dt
dt
dt
Definice 2. Necht’ P (t), t ∈ I, je regulárnı́ křivkou. Položme
Zt q
P 0( b
t ) · P 0( b
t ) db
t
s(t) =
td
a inverznı́ funkci označme t(s). Pak nový parametr s nazýváme oblouk.
q
Poznámka 4. Definice 2 je korektnı́, nebot’ s0 (t) = P 0 ( b
t ) · P 0( b
t ) > 0 a tedy
existuje inverznı́ funkce. Derivaci podle oblouku značı́me tečkou, tj.
P (s) =
Ṗ
P (s)
dP
.
ds
Přı́klad 2. Kružnici (0,r) parametrizujte obloukem.
Vı́me, že parametrické vyjádřenı́ kružnice je
x(t) = r cos t,
kde
y(t) = r sin t,
t ∈ h0, 2π) ,
Zt p
Zt √
2
s(t) =
r2 cos2 b
r2 db
t = rt.
t + r2 sin b
t db
t=
0
Pak dostáváme t =
0
1
s
r
a z toho už plyne parametrizace obloukem ve tvaru
1
1
x(s) = r cos
s
a y(s) = r sin
s .
r
r
1.4
Tečný vektor a tečna křivky
Z diferenciálnı́ho počtu je známo, že tečna“ je limitnı́ polohou sečny“.
”
”
Definice 3. Vektor
P
dP
P 0 (t0 ) =
(t0 )
dt
nazýváme tečný vektor křivky P (t), t ∈ I, v bodě t0 . Tečnou křivky v daném bodě
P 0 (t0 ).
rozumı́me přı́mku P (k) = P (t0 ) + kP
8
1.4. TEČNÝ VEKTOR A TEČNA KŘIVKY
9
Obrázek 1.4: Tečný vektor křivky
Věta 3. Křivka má v daném bodě jedinou tečnu.
Důkaz. Z definice 3 plyne, že v dané parametrizaci existuje v daném bodě křivky jediná tečna. Stačı́ tedy dokázat, že tečna nezávisı́ na zvolené parametrizaci. Uvažujme
změnu parametru t = ϕ(t? ), kde ϕ je spojitá a ϕ0 6= 0. Pak platı́
P (t) dϕ(t? )
P (t? )
dP
dP
=
·
,
dt?
dt
dt?
dϕ(t? )
kde člen
6= 0. Tečné vektory pro různé parametrizace jsou kolineárnı́,
dt?
tj. tečna nezávisı́ na parametrizaci.
Věta
4. Necht’ P (t), t ∈ I je regulárnı́ křivka. Parametr t je obloukem, právě když
dP
P
dt = 1 pro každé t ∈ I.
Důkaz.
⇒ Necht’ t je parametr, který je obloukem. Platı́
Zt q
t = s(t) =
P 0( b
t ) · P 0( b
t ) db
t.
td
9
1.4. TEČNÝ VEKTOR A TEČNA KŘIVKY
10
Derivujeme-li podle t, dostáváme tuto rovnici
p
P 0| .
1 = P 0 (t) · P 0 (t) = |P
P 0 | = 1 podle parametru dostáváme
⇐ Integrovánı́m vztahu |P
Zs
Zs q
1d b
t =
P 0( b
t ) · P 0( b
t ) db
t,
sd
sd
Zs q
s − sd =
P 0( b
t ) · P 0( b
t ) db
t.
sd
Pro oblouk položı́me sd = 0.
Věta 5. Necht’ je dána křivka implicitnı́mi rovnicemi
f1 (x, y, z) = 0, f2 (x, y, z) = 0
a necht’ bod [x0 , y0 , z0 ] ležı́ na křivce.
 ∂f1 ∂f1  ∂y ∂z , −
 ∂f2 ∂f2 ∂y ∂z Pak vektor
∂f1 ∂f1 ∂x ∂z ,
∂f2 ∂f2 ∂x ∂z
∂f1
∂x
∂f2
∂x
∂f1
∂y
∂f2
∂y



je tečným vektorem.
Důkaz. Necht’ x = x(t), y = y(t), z = z(t) je parametrické vyjádřenı́ téže křivky v
df
df
okolı́ bodu [x0 , y0 , z0 ], pak pro derivace 1 a 2 platı́ následujı́cı́ rovnost
dt
dt
dfi
∂fi dx ∂fi dy ∂fi dz
=
·
+
·
+
·
= 0 , i = 1, 2 .
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
dx dy
dz
,
a
. Jde o ortogonálnı́ vektor k jiným
dt dt
dt
dx dy dz
dvěma vektorům. Použijeme tedy vektorový součin, tj.
, ,
je kolineárnı́
dt dt dt
∂f1 ∂f1 ∂f1
∂f2 ∂f2 ∂f2
s
,
,
×
,
,
. Uvedený vztah pak snadno plyne z mati∂x ∂y ∂z
∂x ∂y ∂z
cového zápisu výpočtu vektorového součinu.
Hledáme řešenı́ pro neznámé
10
1.5. OSKULAČNÍ ROVINA
11
Přı́klad 3. Určete tečnu řezu kulové plochy (0, r = 5) rovinou x + y + z − 7 = 0
ve zvoleném bodě.
Máme tedy dvě plochy v implicitnı́m vyjádřenı́:
x2 + y 2 + z 2 − 25 = 0
x + y + z − 7 = 0.
Můžeme zvolit z, např. z = 0, pak bodem, který splňuje rovnice, je např. bod
[3, 4, 0]. Dostáváme takovouto obecnou soustavu
2x
dy
dz
dx
+ 2y
+ 2z
= 0
dt
dt
dt
dx dy dz
+
+
= 0.
dt
dt
dt
Dosadı́me-li bod [3, 4, 0] do prvnı́ rovnice
dy
dx
+8 +0 = 0
dt
dt
dx dy dz
+
+
= 0,
dt
dt
dt
6
pak tečný vektor v bodě [3, 4, 0] má podle
8 0 6 0 6 8
t =
1 1 , − 1 1 , 1 1
věty 5 tvar
= (8, −6, −2) ∼ (4, −3, −1) .
Tečna řezu v bodě je P (t) = (3, 4, 0) + t(4, −3, −1).
1.5
Oskulačnı́ rovina
Oskulačnı́ rovina je limitnı́ polohou“ roviny tX určené tečnou t a pohybujı́cı́m
”
”
se bodem X křivky“.
Definice 4. Necht’ P (t), t ∈ I, je regulárnı́ křivka a je dáno t0 ∈ I. Necht’ vektory
P 0 (t0 ) a P 00 (t0 ) jsou nekolineárnı́, pak rovinu
P 0 (t0 ) + vP
P 00 (t0 )
R (u, v) = P (t0 ) + uP
nazýváme oskulačnı́ rovinou křivky v daném bodě.
Věta 6. Oskulačnı́ rovina se neměnı́ při změně parametrizace.
11
1.6. FRENETOVY VZORCE, KŘIVOSTI
12
Důkaz. Je-li t = ϕ(t? ), kde ϕ je spojitá a ϕ0 6= 0 pro každé t? ∈ I? , pak platı́
t?0 = ϕ−1 (t0 ) ,
P (ϕ(t? )) ?
dP
dϕ
P
=
(t0 ) = P 0 (t0 ) · ? (t?0 )
?
dt
dt
a z toho plyne, že tečné vektory jsou kolineárnı́.
Určı́me dále druhé derivace:
2
P d2 ϕ
P dϕ 0 d2P
dP
dϕ
dP
00
· ? = 2 ·
+
·
,
P =
dt dt
dt
dt?
dt dt? 2
0
(t?0 )
2
P 00 (t?0 ) = P 00 (t0 ) · (ϕ0 (t?0 )) + P 0 (t0 ) · ϕ00 (t?0 ).
P 00 (t?0 ) je tedy lineárnı́ kombinacı́ P 0 (t0 ) a P 00 (t0 ) a oskulačnı́ rovina se tedy při
změně parametrizace neměnı́.
Definice 5. Bod křivky, v němž P 0 (t0 ) a P 00 (t0 ) jsou kolineárnı́, nazýváme inflexnı́
bod.
Poznámka 5. V inflexnı́m bodě nenı́ definována oskulačnı́ rovina, resp. za oskulačnı́
rovinu lze považovat každou rovinu procházejı́cı́ tečnou. Snadno tedy plyne, že pojem inflexnı́ bod nezávisı́ na parametrizaci (viz důkaz věty 6).
1.6
Frenetovy vzorce, křivosti
Definice 6. Normálou křivky v daném bodě rozumı́me každou přı́mku R (s) =
n, kde n · P 0 (t0 ) = 0, tj. každou přı́mku kolmou na tečnu. Hlavnı́ normála
P (t0 ) + sn
n je normála ležı́cı́ v oskulačnı́ rovině. Binormála b je normála, která je kolmá k
oskulačnı́ rovině. Rovinu tb nazýváme rektifikačnı́, rovinu nb nazýváme normálová.
P (s0 )| = 1,
Necht’ křivka je parametrizovaná obloukem P (s), s ∈ I. Vı́me, že |Ṗ
(podle věty 4) pro každé s0 ∈ I. Tedy
P · P̈
P + P̈
P · Ṗ
P = 0 ⇒ Ṗ
P · P̈
P = 0,
Ṗ
P je bud’ nulový (inflexe), nebo je ortogonálnı́ k Ṗ
P.
tj. vektor P̈
P (s0 )|, tj.
Definice 7. Prvnı́ křivostı́ křivky (flexe) v bodě rozumı́me čı́slo 1 k(s0 ) = |P̈
velikost vektoru druhé derivace vektorové funkce parametrizované pomocı́ oblouku.
12
1.6. FRENETOVY VZORCE, KŘIVOSTI
13
Obrázek 1.5: Tečna t, hlavnı́ normála n, binormála b, oskulačnı́ rovina τ ,
normálová rovina ν, rektifikačnı́ rovina µ křivky k v bodě X
P (s0 ) a
Označme t (s0 ) = Ṗ
n (s0 ) =
P (s0 )
1
P̈
1
P (s0 ) = 1 · ṫt(s0 )
= 1 · P̈
k
k
P (s0 )|
|P̈
jednotkové vektory tečny a hlavnı́ normály.
Dále b (s0 ) = t (s0 ) × n (s0 ) je jednotkový vektor binormály. Ze vztahu b (s0 ) ·
b (s0 ) = 1 plyne derivovánı́m b (s0 ) · ḃb(s0 ) = 0.
n. Dále b · t = 0 a
Tedy ḃb patřı́ do zaměřenı́ oskulačnı́ roviny, tj. ḃb = Att + Bn
1
derivovánı́m ḃb · t + b · ṫt = 0 ⇒ ḃb · t + b · k · n = 0 ⇒ ḃb · t = 0.
n vynásobı́me t , máme ḃb · t = A, ale to je nula. Tı́m
Jestliže rovnici ḃb = Att + Bn
jsme ukázali, že koeficient A je nulový a tedy vektory ḃb a n jsou kolineárnı́. To
nám dovolı́ definovat druhou křivost křivky.
Definice 8. Druhou křivostı́ křivky (torzı́) v bodě rozumı́me čı́slo
2
k(s0 ) = −ḃb · n ,
neboli |2 k(s0 )| = |ḃb|.
Věta 7 (Frenetovy vzorce). Pro regulárnı́ křivku parametrizovanou obloukem platı́
ṫt =
n = −
ṅ
ḃb =
1
1
n
kn
ktt
+
−
13
2
n.
kn
2
kbb
1.7. KANONICKÉ A PŘIROZENÉ ROVNICE KŘIVKY
14
Důkaz. Máme tyto vztahy
1
n
ṫt =
kn
2
n
ḃb = − kn
n. Vı́me, že platı́ ṅ
n · n = 0, tedy ṅ
n = Att + Bbb (je lineárnı́ kombinacı́
a chceme určit ṅ
vektorů kolmých k vektoru n ). Derivovánı́m dostaneme
t·n =
n
⇒ t · ṅ
b ·n =
n
⇒ b · ṅ
1
n = 0 ⇒
n = 0
0
⇒ ṫt · n + t · ṅ
k + t · ṅ
1
= − k,
n = 0 ⇒ −2 k + b · ṅ
n = 0
0
⇒ ḃb · n + b · ṅ
2
=
k.
Snadno plyne A = −1 k, B = 2 k.
Poznámka 6. Ryze algebraicky lze větu vyvodit po zavedené prvnı́ křivosti pomocı́
tzv. věty o ortonormálnı́m repéru.
Věta 8. Pro regulárnı́ křivku s obecným parametrem platı́
(1 k)2 =
2
k=
P 0 × P 00 )2
(P
P 0 · P 0 )3
(P
P 0 , P 00 , P 000 )
(P
P 0 × P 00 )2
(P
Důkaz. Důkaz je snadným cvičenı́m a provede se změnou parametrizace.
1.7
Kanonické a přirozené rovnice křivky
Pro vektorovou funkci P (s) použijeme v okolı́ bodu s = 0 Taylorův rozvoj v
P = t , P̈
P = 1 kn
n, dále snadno vypočteme
mocninnou řadu. Platı́ Ṗ
n +n
P (3) = 1 kṅ
d1 k 1
n = −(1 k)2 · t + 1 k̇ · n + 1 k · 2 k · b .
= k(−1 ktt + 2 kbb) + 1 k̇n
ds
Pro rozvoj bude platit
1
1
P (s) = P (0) + P (1) (0)s + P (2) (0)s2 + P (3) (0)s3 + . . .
2
6
14
1.8. OSKULAČNÍ VLASTNOSTI KŘIVEK
15
a tedy (v lokálnı́m repéru)
1 1
2 3
P (s) = P (0) + t (0) s − ( k(0)) s + . . . +
6
11
11
2
3
+ n (0)
k(0)s + k̇(0)s + . . . +
2
6
11
2
3
+ b (0)
k(0) k(0)s + . . . .
6
Definice 9. Vyjádřenı́ křivky P (s) ve tvaru
P (s) = P (0) + t 0 g1 (s) + n 0 g2 (s) + b 0 g3 (s),
kde funkce gi (s) jsou dány řadou, jejı́ž členy obsahujı́ hodnotu derivacı́ prvnı́ a druhé
křivosti v bodě s = 0, nazýváme kanonickými rovnicemi křivky v okolı́ bodu s = 0.
Poznámka 7. Nejjednoduššı́ náhradou prostorové křivky (jednoduššı́ prostorovou
křivkou) je
P (s) ≈ P (0) + t (0)s + n (0)
1
11
k(0)s2 + b (0) 1 k(0) 2 k(0)s3 .
2
6
Z vymezenı́ pojmu kanonická rovnice plyne, že je-li dán repér, pak k určenı́
křivky stačı́ znát 1 k(s) a 2 k(s).
Definice 10. Jsou - li dány funkce 1 k(s) a 2 k(s), je dán přirozený popis ( přirozené
”
rovnice“) křivky, neboli trojice s, 1 k(s), 2 k(s) tvořı́ přirozené souřadnice bodu na
křivce.
Přı́klad 4. Přirozené rovnice kružnice jsou 1 k = 1r ; 2 k = 0. Křivkou s přirozenými
rovnicemi 1 k(0) = a1 s + a0 , 2 k(s) = 0 je klotoida. Použitı́ má tato křivka v návrhu
přechodových oblouků komunikacı́ (obr. 1.6).
1.8
Oskulačnı́ vlastnosti křivek
Definice 11. Necht’ P (s) a Q (s), s ∈ I, jsou křivky. Řekneme, že pro s = 0 majı́
dotyk řádu q (neboli q + 1 bodový dotyk), jestliže
drQ
drP
(0)
=
(0), r = 0, . . . , q .
dsr
dsr
Věta 9. Nutnou a postačujı́cı́ podmı́nkou pro dotyk řádu q ve společném bodě
křivek je:
15
1.9. OBÁLKY SYSTÉMU KŘIVEK
16
Obrázek 1.6: Klotoida
q = 1 rovnost jednotkových tečných vektorů,
q = 2 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavnı́ch normál
a rovnost prvnı́ křivosti,
q = 3 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavnı́ch normál,
rovnost prvnı́ a druhé křivosti a rovnost derivace prvnı́ křivosti.
Důkaz. Plyne z kanonického tvaru křivky.
Definice 12. Kružnice, která má s křivkou v daném bodě dotyk alespoň druhého
řádu (alespoň třı́bodový), nazýváme oskulačnı́ kružnı́cı́. Kružnice s dotykem alespoň třetı́ho řádu (alespoň čtyřbodovým) se nazývá hyperoskulačnı́ kružnice.
Věta 10. Oskulačnı́ kružnice křivky P (s) v bodě s = s0 ležı́ v oskulačnı́ rovině
1
křivky v daném bodě, má poloměr 1 k(s)
a pro střed této kružnice platı́ S = P (s0 ) +
1
1 k(s ) n (s0 ).
0
Důkaz. Důkaz plyne z věty 9. Technickým problémem je stanovenı́ znaménka +
nebo − u vektoru hlavnı́ normály.
1.9
Obálky systému křivek
Uvažujeme křivky F (x, y, α0 ) = 0 a F (x, y, α1 ) = 0 a necht’ tyto křivky majı́
průsečı́k Q. Mı́sto toho můžeme vzı́t ekvivalentnı́ soustavu
F (x, y, α0 ) = 0
F (x, y, α1 ) − F (x, y, α0 )
=0
α1 − α0
16
1.9. OBÁLKY SYSTÉMU KŘIVEK
17
Obrázek 1.7: Oskulačnı́ kružnice křivky k v bodě X(s0 )
. Limitnı́m přechodem α1 → α0 máme soustavu
F (x, y, α) = 0 ,
∂F (x, y, α)
= 0.
∂α
Jejı́m řešenı́m je (pokud řešenı́ existuje) charakteristický bod. Pro proměnné α
dostaneme obalovou křivku a α je jejı́ parametr.
Věta 11. V charakteristickém bodě, v němž
tvořı́cı́ křivky.
∂2F
∂α2
6= 0, se obalová křivka dotýká
= 0 byl eliminován parametr α,
Důkaz. Necht’ z rovnic F (x, y, α) = 0 a ∂F (x,y,α)
∂α
2
tj. F (x, y, α(x, y)) = 0. K tomu potřebujeme podmı́nku ∂∂αF2 6= 0.
Uvažujme charakteristický bod X[x0 , y0 ], který odpovı́dá poloze tvořı́cı́ křivky
pro α0 . Tečna obálky bude v tomto tvaru
∂F ∂α
∂F
∂F ∂α
∂F
+
·
+ (y − y0 )
+
·
= 0,
(x − x0 )
∂x
∂α ∂x (x0 ,y0 )
∂y
∂α ∂y (x0 ,y0 )
ale
∂F
∂α
= 0. Z toho vyplývá
(x − x0 )
∂F
∂F
(x0 , y0 , α(x0 , y0 )) + (y − y0 )
(x0 , y0 , α(x0 , y0 )) = 0,
∂x
∂y
což je však tečna křivky F (x, y, α0 ) = 0 v bodě X.
17
1.10. SPECIÁLNÍ KŘIVKY
18
Poznámka 8. Využili jsme toho, že pro rovinnou křivku F(x,y)=0 je rovnicı́
(x − x0 )
∂F
∂F
(x0 , y0 ) + (y − y0 )
(x0 , y0 ) = 0
∂x
∂y
dána tečna křivky v bodě [x0 , y0 ].
Přı́klad 5. Určete obálku systému kružnic (x − α)2 + y 2 = 1.
Podle předcházejı́cı́ věty máme rovnice:
∂F
∂ 2F
= 2(x − α)(−1) = 0,
6= 0.
∂α
∂α2
Dostáváme dvě rovnice
(x − α)2 + y 2 − 1 = 0
x − α = 0
Vyjádřı́me - li si z druhé rovnice x a dosadı́me jej do prvnı́ rovnice, máme pak tuto
rovnici y 2 − 1 = 0, tj. y = ±1. Obálkou systému křivek jsou tedy dvě přı́mky y = 1
a y = −1.
1.10
Speciálnı́ křivky
1.10.1
Spádové křivky
Definice 13. Necht’ je dán jednotkový vektor w a odchylka ω ∈ h0, πi. Spádovou
křivkou k pro daný vektor w a odchylku ω se rozumı́ křivka, jejı́ž všechny tečné
vektory majı́ od vektoru w konstantnı́ odchylku ω.
Věta 12. Křivka je spádová, právě když pro jejı́ křivosti a odchylku ω platı́ ve
všech jejı́ch bodech vztah
2
k sin ω − 1 k cos ω = 0.
Důkaz. Uvažujme nejprve křivku P (s) parametrizovanou obloukem, která je je
spádová pro vektor w a odchylku ω. Pro každé s z intervalu parametrizace platı́
P (s) = cos ω.
w · Ṗ
Vzhledem k tomu, že vektor w a odchylka ω nejsou závislé na parametru s, dostaneme pomocı́ derivovánı́ a prvnı́ho Frenetova vzorce
P (s) = w · 1 k(s)n
n(s) = 0.
w · P̈
18
1.10. SPECIÁLNÍ KŘIVKY
19
Tedy vektor w je lineárnı́ kombinacı́ vektorů t a b (je totiž kolmý k vektoru n ).
Proto w · b = sin ω. Z druhého Frenetova vzorce
n = −1 ktt + 2 kbb
ṅ
a z odvozených vztahů
P (s) = w · t = cos ω, w · b = sin ω
w · Ṗ
n = 0 dokazovaný vzorec.
již plyne dosazenı́m do w · ṅ
Opačná implikace se dokáže pomocı́ uplatněnı́ Frenetových vzorců a při použitı́
integrace. Necht’ tedy
2
k sin ω − 1 k cos ω = 0,
pak
2
k sin ω · n − 1 k cos ω · n = −ḃb cos ω − ṫt sin ω = 0.
Což lze psát jako
−
d
(tt cos ω + b sin ω) = o .
ds
Integracı́ máme
t cos ω + b sin ω = w ,
kde w je konstatnı́ vektor. Po skalárnı́m vynásobenı́ vektorem t obdržı́me
t · w = cos ω.
Tedy křivka je spádovou křivkou.
1.10.2
Evoluta a evolventa
Definice 14. Křivka k, která protı́ná kolmo všechny tečny dané křivky P = P (s)
(a ležı́ tedy na ploše tečen této křivky), se nazývá evolventou dané křivky k, viz
obr. 1.8. Křivka k se nazývá evoluta křivky k.
Věta 13. Necht’ je dána křivka P (s), kde parametr s je obloukem této křivky. Jejı́
evolventu lze vyjádřit ve tvaru
R (s) = P (s) + (c − s) · t (s) ,
kde c ∈ R.
(1.1)
Evolventa tedy vzniká jako dráha bodu při odvalovánı́ tečny po dané křivce, tj.
nanášenı́m délky oblouku křivky na jejı́ tečnu.
19
1.10. SPECIÁLNÍ KŘIVKY
20
Obrázek 1.8: Evoluta a evolventy
Důkaz. Sestavme vektorovou funkci R (s), jež vyjadřuje evolventu k křivky k, čili
křivku, která protı́ná kolmo všechny tečny dané křivky k. Z toho vyplývá
R (s) = P (s) + λ(s) · t (s),
(1.2)
kde λ(s) je skalárnı́ funkce, t (s), resp. n (s), je tečný, resp. hlavnı́ normálový, vektor
Frenetova trojhranu. Zároveň platı́
R 0 · t (s) = 0,
(1.3)
a
ṫt(s) =
1
n(s).
kn
Dosazenı́ derivace rovnice 1.2 do rovnice 1.3 zı́skáme rovnici
t (s) + λ0 (s) · t (s) + λ(s) · ṫt(s) · t (s) = 0.
Vı́me, že t (s) · t (s) = 1, ṫt(s) · t (s) = 0, tedy
1 + λ0 (s) · 1 + 0 = 0
⇒
λ0 (s) = −1.
Jestliže tento výsledek zintegrujeme, dostaneme λ(s) = −s + c, kde c je konstanta.
Evolventou křivky k jsou křivky
20
1.10. SPECIÁLNÍ KŘIVKY
21
R (s) = P (s) + (c − s) · t (s) ,
kde c ∈ R.
(1.4)
Přı́klad 6. Sestavme rovnici evolventy kružnice – obr. 1.9.
Použijeme obecnou parametrizaci kružnice (parametr ϕ). Na tečnu ale musı́me
samozřejmě nanášet délku oblouku kružnice.
P (ϕ) = (a · cos ϕ, a · sin ϕ)
P 0 (ϕ) = (−a · sin ϕ, a · cos ϕ)
q
0
P (ϕ)| = a · (sin2 ϕ + cos2 ϕ) = a
|P
P 0 (ϕ)
= (− sin ϕ, cos ϕ)
P 0 (ϕ)|
|P
Z ϕ
Z ϕ
0
P (u)|du =
a du = a · ϕ
|P
s =
t (ϕ) =
0
0
Aplikacı́ do vztahu 1.4 pro obecnou parametrizaci dostaneme
R (ϕ) = (a · cos ϕ − c · sin ϕ + a · ϕ · sin ϕ, a · sin ϕ + c · cos ϕ − a · ϕ · cos ϕ)
R (ϕ) = a · (cos ϕ + ϕ · sin ϕ) − c · sin ϕ, a · (sin ϕ − ϕ · cos ϕ) + c · cos ϕ .
Pro c = 0 dostáváme
R (ϕ) = a · (cos ϕ + ϕ · sin ϕ), a · (sin ϕ − ϕ · cos ϕ) .
Přı́klad 7. Najděte evolventy šroubovice – obr. 1.9.
P (ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ, ϕ)
P 0 (ϕ) = (− sin ϕ, cos ϕ, 1)
q
√
0
P
|P (ϕ)| =
sin2 ϕ + cos2 ϕ + 1 = 2
P 0 (ϕ)
1
= √ · (− sin ϕ, cos ϕ, 1)
0
P (ϕ)|
|P
2
Z ϕ
√ Z ϕ
√
0
P (t)| dt = 2 ·
s =
|P
1 · dt = 2 · ϕ
t (ϕ) =
0
0
Opět užitı́m vztahu 1.4 dostaneme
√
1
1
R (ϕ) = cos ϕ + c · (− √ · sin ϕ) + 2 · ϕ · ( √ · sin ϕ),
2
2
√
1
1
sin ϕ + c · ( √ · cos ϕ) − 2 · ϕ · ( √ · cos ϕ) ,
2
2
√
1
1
ϕ + c · √ − 2 · ( √ · ϕ)
.
2
2
21
1.11. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ROVINNÝCH UZAVŘENÝCH
KŘIVEK
22
Obrázek 1.9: Evolventa kružnice a šroubovice
Provedeme-li substituci √1 · c = d dostaneme
2
R (ϕ) = (cos ϕ + ϕ · sin ϕ) − d · sin ϕ, (sin ϕ − ϕ · cos ϕ) + d · cos ϕ, d .
Všechny evolventy šroubovice jsou rovinné křivky ležı́cı́ v rovnoběžných rovinách
z = d (viz obrázek 1.9). Speciálně v rovině z = 0 ležı́ evolventa
R (ϕ) = (cos ϕ + ϕ · sin ϕ, sin ϕ − ϕ · cos ϕ, 0),
která je zároveň průsečnicı́ tečen šroubovice s touto rovinou.
1.11
Globálnı́ vlastnosti rovinných uzavřených
křivek
V tomto odstavci si všimneme speciálnı́ třı́dy křivek v rovině, totiž křivek uzavřených.
Uvedeme zajı́mavý vztah (isoperimetrickou nerovnost) mezi délkou uzavřené křivky
a obsahem plochy dané jejı́m vnitřkem a poukážeme na výjimečnost kružnice (isoperimetrická nerovnost přejde právě pro kružnici v rovnost).
1.11.1
Jednoduchá uzavřená rovinná křivka
Definice 15. Jednoduchou uzavřenou rovinnou křivkou rozumı́me křivku P (t), t ∈
(t0 , t0 + a) (vektorová funkce P je definována i v krajnı́ch bodech intervalu), pro
22
1.11. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ROVINNÝCH UZAVŘENÝCH
KŘIVEK
23
kterou P (t0 ) = P (t0 +a) a pro libovolné celé čı́slo k je daná křivka totožná s křivkou
P (t), t ∈ (t0 + (k − 1)a, t0 + ka). Řı́káme, že daná paramerizace má periodu
a > 0, speciálně, je-li t0 = −∞ nebo t0 + a = +∞, je perioda parametrizace křivky
nekonečná.
Poznámka 9. Z definice křivky je také zřejmé, že pro žádné dvě různé hodnoty
parametru z daného intervalu nedostaneme stejný bod (křivka nemá samoprůnik).
Pojem perioda je závislý na parametrizaci křivky.
Přı́klad 8. Ukážeme, že kružnice (se středem v počátku a s poloměrem r) je jednoduchou uzavřenou křivkou, a pro některé parametrizace stanovı́me periodu.
Uvažujte kružnici danou parametrickým vyjádřenı́m
x = r · cos t , y = r · sin t , t ∈ (0, 2π).
Snadno se ověřı́, že jsou splněny požadavky z definice křivky (definice 1) i z definice
jednoduché uzavřené křivky (definice 15). Perioda této parametrizace kružnice je
2π.
Kružnici lze parametrizovat také pomocı́ racionálnı́ch lomených funkcı́ (viz substituce při výpočtu integrálů) takto:
x=r·
2t
1 − t2
, y=r·
, t ∈ (−∞, +∞) .
2
1+t
1 + t2
Perioda této parametrizace je +∞.
Poměrně složitým pojmem se vztahem k topologickým vlastnostem objektů je
pojem vnitřek“ křivky. Budeme předpokládat, že vnitřek křivky je ohraničený,
”
tj. že existuje kruh, v němž se nacházı́ daná křivka i jejı́ vnitřek. V dalšı́m textu
budeme pro takovou jednoduchou uzavřenou křivku K značit int(K) obsah jejı́ho
vnitřku. Dále předpokládáme, že daná křivka má konečnou délku l(K).
Věta 14. Pro plochu vnitřku jednoduché uzavřené rovinné křivky K dané parametrizacı́
P (t) = (x(t), y(t)) , t ∈ (td , th )
platı́
Z th
1
0
0
(x(t)y (t) − y(t)x (t)) dt .
int(K) = 2 td
Důkaz. Důkaz je založen na Greenově větě, na jejı́m jednoduchém využitı́, a patřı́
spı́še do matematické analýzy, speciálně do části věnované vı́cerozměrným a křivkovým
integrálům. Použitı́m absolutnı́ hodnoty v uvedeném vztahu je řešen problém s orientacı́ hraničnı́ křivky K.
23
1.11. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ROVINNÝCH UZAVŘENÝCH
KŘIVEK
1.11.2
24
Isoperimetrická nerovnost
Isoperimetrická nerovnost popisuje vztah mezi obsahem vnitřku jednoduché uzavřené
křivky a jejı́ délkou. Nejprve ale uved’me větu, která bude hrát klı́čovou roli v
důkazu této nerovnosti.
Věta 15 (Wirtingerova nerovnost). Necht’ f (x) je funkce třı́dy alespoň C1 na
intervalu h0, 2πi a necht’ f (0) = f (π) = 0. Pak
Z π
Z π
0
2
(f (x))2 dx.
(f (x)) dx ≥
0
0
Rovnost v této nerovnosti nastane, právě když f (x) = r sin x, kde r je konstanta.
f (x)
Důkaz. Zavedeme funkci g(x) = sin
, tedy f (x) = g(x) sin x. Vypočtěme
x
Z π
Z π
0
2
(f (x)) dx =
(g 0 (x) sin x + g(x) cos x)2 dx =
0
0
π
Z
0
2
Z
2
(g (x)) sin x dx + 2
=
π
π
Z
0
(g(x))2 cos2 x dx.
g(x)g (x) cos x sin x dx +
0
0
0
Metodou per partes vypočteme druhý z integrálů (pro funkce (g(x))2 a cos x sin x):
Z π
Z π
π
0
2
2
g(x)g (x) cos x sin x dx = (g(x)) cos x sin x 0 − (g(x))2 (cos2 x−sin2 x) dx =
0
0
π
Z
(g(x))2 (sin2 x − cos2 x) dx .
=
0
Máme tedy následujı́cı́ vztah:
Z
π
(f 0 (x))2 dx =
0
Z
π
0
2
2
Z
2
2
0
0
Z
=
π
Z
2
(g(x))2 cos2 x dx =
(g(x)) (sin x − cos x) dx +
(g (x)) sin x dx +
=
π
π
((g(x))2 + (g 0 (x))2 ) sin2 x dx =
0
Z
π
(f (x))2 dx +
0
Z
0
π
(g 0 (x))2 sin2 x dx .
0
Poslednı́ z integrálů nemůže být záporný, protože ani integrand nemůže nabývat
záporných hodnot. Z toho již plyne základnı́ nerovnost
Z π
Z π
0
2
(f (x)) dx ≥
(f (x))2 dx .
0
0
24
1.11. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ROVINNÝCH UZAVŘENÝCH
KŘIVEK
25
Nynı́ ukážeme, že rovnost nastane právě jen pro f (x) = r sin x, kde r je konstanta. Platı́
Z π
Z π
Z π
0
2
2
(f (x)) dx −
(f (x)) dx =
(g 0 (x))2 sin2 x dx,
0
0
0
ale pak integrál na pravé straně je nulový, právě když g 0 (x) = 0 na daném intervalu.
Z toho plyne g(x) = r, kde r je konstanta. Vzhledem k tomu, že f (x) = g(x) sin x
dostáváme dokazované tvrzenı́, tedy ve Wirtingerově nerovnosti nastává rovnost
jedině pro funkci f (x) = r sin x.
Věta 16 (Isoperimetrická nerovnost). Necht’ K je jednoduchá uzavřená rovinná
křivka, pak pro jejı́ délku l(K) a obsah jejı́ho vnitřku int(K) platı́
int(K) ≤
1
(l(K))2
4π
a rovnost v této nerovnosti nastane, právě když danou jednoduchou uzavřenou
křivkou je kružnice.
Důkaz.
1. Pro každou kružnici poloměru r skutečně platı́, že obsah jejı́ho vnitřku
(πr2 ) a jejı́ délka(2πr) splňujı́ rovnost v dokazované isoperimetrické nerovnosti.
2. Můžeme předpokládat, že křivka K je parametrizována nad intervalem (0, π).
Reparametrizaci lze provést tak, že uvažujeme parametrizaci obloukem s a
pak jen provedeme lineárnı́ změnu parametrizace změnou délky intervalu,
tedy
s
π.
(1.5)
t=
l(K)
Dalšı́ zjednodušenı́ provedeme tı́m, že souřadnicový systém umı́stı́me tak, aby
jeho počátek splýval s bodem, který odpovı́dá parametru t = 0 a samozřejmě
i t = π.
3. Dále budeme vycházet z polárnı́ch rovnic dané křivky. Bod křivky je dán
dvojicı́ polárnı́ch souřadnic r(t), ϕ(t) a pro kartézské souřadnice bodů křivky
samozřejmě platı́
x = r(t) cos(ϕ(t)) , y = r(t) sin(ϕ(t)) .
4. Vypočteme:
x0 = r0 cos(ϕ(t)) − r sin(ϕ(t))ϕ0 , y 0 = r0 sin(ϕ(t)) + r cos(ϕ(t))ϕ0 .
25
1.11. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ROVINNÝCH UZAVŘENÝCH
KŘIVEK
26
Z toho plyne
x02 + y 02 = r02 + r2 ϕ02 , xy 0 − yx0 = r2 ϕ0 .
(1.6)
Po uplatněnı́ vztahu (1.5) můžeme psát:
02
2
02
02
02
2
2
r + r ϕ = x + y = (ẋ + ẏ )
a dále integracı́ zı́skáváme:
Z π
(r02 + r2 ϕ02 ) dt =
0
ds
dt
2
=
l(K)2
π2
l(K)2
.
π
5. Vzhledem k druhému vztahu v (1.6) a podle věty 14 máme:
Z
Z
1 π
1 π 2 0
0
0
int(K) =
(x(t)y (t) − y(t)x (t)) dt =
r ϕ dt .
2 0
2 0
6. Dále se bude věnovat důkazu nerovnosti τ ≥ 0, kde
Z
Z
1 π 02
1 π 2 0
1 (l(K))2
2 02
− int(K) =
(r + r ϕ ) dt −
r ϕ dt ,
τ=
4 π
4 0
2 0
tedy
1
τ=
4
Z
π
(r02 + r2 ϕ02 − 2r2 ϕ0 ) dt .
0
Provedeme algebraické úpravy integrandu tak, aby vznikly kvadráty výrazů
(tzv. doplněnı́ na úplný čtverec):
r02 + r2 ϕ02 − 2r2 ϕ0 = r2 (ϕ02 − 2ϕ0 ) + r02 = r2 (ϕ0 − 1)2 + (r02 − r2 ) .
Tedy
1
τ=
4
Z
π
2
0
2
Z
r (ϕ − 1) dt +
0
π
(r − r ) dt ,
02
2
0
a již je zřejmé, že τ ≥ 0, nebot’ integrand v prvnı́m integrálu je nezáporný
(je druhou mocninou) a druhý integrál je nezáporný podle Wirtingerovy
nerovnosti (věta 15).
26
1.11. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ROVINNÝCH UZAVŘENÝCH
KŘIVEK
27
7. Nynı́ ukážeme, že z platnosti identity τ = 0 již plyne, že daná křivka je
kružnicı́. Nutnou a postačujı́cı́ podmı́nkou k dosaženı́ rovnosti τ = 0 je, aby
platilo zároveň ϕ0 = 1 a r = a sin t (viz věta 15), kde a je konstanta. Výsledná
křivka má tedy v polárnı́ch souřadnicı́ch vyjádřenı́:
ϕ = t + β , r = a sin t, tj. r = a sin(ϕ − β) ,
kde a, β jsou konstanty. Snadno již plyne, že touto rovnicı́ je popsána kružnice.
Postupovat lze např. takto: Sestavı́me vyjádřenı́ kružnice s průměrem a,
polárnı́ osou v ose x a pólem v počátku, v němž se zároveň tato kružnice
dotýká osy x, dostaneme r = a sin t. Pokud provedete otočenı́ okolo počátku
o úhel β, dostanete odvozenou rovnici r = a sin(ϕ − β) .
1.11.3
Věta o vrcholech
Nejprve zavedeme pojem konvexnı́ jednoduché uzavřené rovinné křivky, pak budeme definovat pojem vrchol křivky a v závěru vyslovı́me a dokážeme větu o počtu
vrcholů uzavřených křivek.
Definice 16. Řekneme, že jednoduchá uzavřená rovinná křivka je konvexnı́, je-li
konvexnı́ množinou jejı́ vnitřek, tj. pokud pro každé dva různé body patřı́cı́ vnitřku
křivky platı́, že i všechny body úsečky určené těmito dvěma body patřı́ vnitřku křivky.
Definice 17. Necht’ P (t), t ∈ (td , th ), je rovinná křivka a 1 k(t) jejı́ prvnı́ křivost.
Řekneme, že pro t0 ∈ (td , th ) má
křivka vrchol, právě když má v tomto bodě funkce
d 1 k(t) 1
= 0.
k(t) stacionárnı́ bod, tj. dt t=t0
Věta 17 (O čtyřech vrcholech). Každá konvexnı́ jednoduchá uzavřená rovinná
křivka má alespoň čtyři vrcholy.
Důkaz. Uvažujme uzavřenou (jednoduchou konvexnı́ rovinnou) křivku pametrizovanou obloukem, tedy P (s), s ∈ (0, l), kde l je délka dané křivky.
Ukážeme nejprve, že platı́:
Z l
1
P (s) ds = o
k̇(s)P
(1.7)
0
Použitı́m integrace per partes a pak z druhého z Frenetových vzorců - viz věta 7
pro rovinnou křivku (2 k = 0) - plyne:
Z l
Z l
Z l
1
1
l
1
1
P (s) ds = [ k(s)P
P (s)]0 −
P (s) ds = −
P (s) ds =
k̇(s)P
k(s)Ṗ
k(s)Ṗ
0
0
27
0
1.11. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ROVINNÝCH UZAVŘENÝCH
KŘIVEK
Z
=−
l
1
Z
28
l
n(s) ds = n (l) − n (0) = o .
ṅ
k(s)tt(s) ds =
0
0
Prvnı́ křivost 1 k(s) je spojitou funkcı́ na intervalu < 0, l > a nabývá tedy na
něm svého maxima a minima. Označme tyto body A (bod s maximálnı́ křivostı́) a
B (bod s minimálnı́ křivostı́). Můžeme předpokládat, že jsou různé, protože pokud
by splynuly, jednalo by se o kružnici (prvnı́ křivost by byla konstantnı́) a každý
bod by byl vrcholem. Předpokládejme dále, že počátek souřadnicové soustavy je
ve středu úsečky AB a označme b jednotkový vektor, který je kolmý k vektoru
~ Rovnici (1.7) vynásobme skalárně vektorem b , dostaneme
AB.
Z
l
1
P (s) · b ) ds = 0 .
k̇(s)(P
0
Vzhledem ke konvexnosti křivky je součin P (s) ·bb na jednom z oblouků (daném
body A a B) křivky kladný, na druhém oblouku záporný. To plyne z úhlu vektorů P (s) a b a z definice skalárnı́ho součinu (znaménko funkce kosinus). Tedy na
každém z obou oblouků musı́ existovat bod s nulovou derivacı́ křivosti. Tak jsme
identifikovali dalšı́ dva vrcholy křivky a věta je dokázána.
Poznámka 10. Předpoklady ve větě 17 lze zobecnit. Požadavek na konvexnost
křivky je možné vynechat, ale důkaz je pak mnohem složitějšı́ a přesahuje rámec tohoto textu. Platı́ tedy, že každá jednoduchá uzavřená rovinná křivka má minimálně
čtyři vrcholy.
28
Kapitola 2
Plochy
2.1
Vyjádřenı́ plochy
Pro parametr křivky jsme zpravidla užı́vali označenı́ pı́smenem t. Vzhledem k
tomu, že pro plochy použijeme tenzorového zápisu a tzv. Einsteinovy sumačnı́
konvence, označı́me parametry (souřadnice v parametrickém prostoru) pomocı́
proměnných u1 a u2 . Použitı́ hornı́ch indexů je do jisté mı́ry neobvyklé, nebot’
hrozı́ záměna s mocninou. Pokud by se v textu objevila mocnina, použijeme proto
závorek.
Definice 18. Regulárnı́ plochou třı́dy Cn v E3 rozumı́me množinu P ⊂ E3 , pro
niž existuje vektorová funkce P (u1 , u2 ), (u1 , u2 ) ⊂ Ω, kde Ω je oblast (otevřená
kompaktnı́ množina), taková že
(a) P : Ω → P je zobrazenı́ na množinu,
(b) P je třı́dy Cn (n ≥ 3),
(c)
P
∂P
∂u1
a
P
∂P
∂u2
jsou lineárně nezávislé ve všech bodech oblasti Ω,
(d) (u10 , u20 ) ∈ Ω,(u11 , u21 ) ∈ Ω a (u10 , u20 ) 6= (u11 , u21 ) ⇒ P (u10 , u20 ) 6= P (u11 , u21 ).
Poznámka 11. Pro regulárnı́ plochu ve všech bodech vzhledem k bodu c) definice
platı́
P
P
∂P
∂P
| 1 × 2| =
6 0.
∂u
∂u
Podobně jako u regulárnı́ křivky proběhne zobecněnı́ a zavedenı́ singulárnı́ch
bodů (podmı́nka (c) u křivek i ploch), kde v bodě vratu křivky neexistuje tečna a ve
vrcholu plochy neexistuje tečná rovina.
29
2.1. VYJÁDŘENÍ PLOCHY
30
Obrázek 2.1: K definici plochy
Definice 19. Necht’ je dána plocha určená vektorovou funkcı́ P (u1 , u2 ) na oblasti Ω
a necht’ jsou dány funkce α1 (t) a α2 (t), t ∈ I určujı́cı́ křivku v Ω, pak P (α1 (t), α2 (t))
nazýváme křivkou na ploše.
Je-li α1 (t) nebo α2 (t) konstantnı́, nazýváme křivku parametrickou křivkou.
Obrázek 2.2: K definici parametrických křivek plochy
Poznámka 12. Zpravidla Ω = Iu1 × Iu2 , tj. jde o dvourozměrný interval. Jinak
může dojı́t k rozpadu parametrické křivky.
Věta 18. Každým bodem plochy procházejı́ dvě parametrické křivky, které se nedotýkajı́.
Důkaz. Plyne z definice 18 bodu (c).
30
2.2. TRANSFORMACE PARAMETRŮ
31
Poznámka 13. Stejně jako u křivek i u ploch se objevuje problém odstranitelných
a neodstranitelných singularit.
Poznámka 14. Kromě vektorových funkcı́ majı́ plochy i implicitnı́ vyjádřenı́ F (x, y, z) =
0. Vyjádřenı́ x = f1 (y, z) nebo y = f2 (x, z) nebo z = f3 (x, y) se nazývá explicitnı́.
Lokálně jsou možné vzájemné převody.
2.2
Transformace parametrů
Věta 19. Je dána plocha P (u1 , u2 ) na oblasti Ω a necht’ je dáno zobrazenı́ oblasti
Ω na Ω vztahy u1 = ϕ1 (u1 , u2 ) a u2 = ϕ2 (u1 , u2 ). Necht’
(a) ϕ1 , ϕ2 jsou třı́dy Cn ,
(b) na Ω je Jakobián
∂ϕ1
1
∂u
∂ϕ1
∂u2
∂ϕ2
∂u1
∂ϕ2
∂u2
6= 0,
(c) zobrazenı́ je prosté,
1
2
1
2
1
2
P
P
pak plochy (u , u ) a
ϕ1 (u , u ), ϕ2 (u , u ) splývajı́.
Důkaz. Ověřenı́m podmı́nek definice 18.
Definice 20. Einsteinovou sumačnı́ konvencı́ rozumı́me úmluvu, podle nı́ž ve vztazı́ch,
kde je týž index použit zároveň jako dolnı́ a hornı́, provádı́me podle tohoto indexu
sčı́tánı́.
P.
P a ∂P
Přı́klad 9. Určete ∂P
1
∂u
∂u2
1
Označme ϕ1 ∼ u (·) ; ϕ2 ∼ u2 (·)
P
P
P
∂P
∂u1
∂P
∂u2
∂P
=
·
+
·
∂u1
∂u1
∂u1
∂u2
∂u1
P
P
P
∂P
∂u1
∂P
∂u2
∂P
=
·
+
·
∂u2
∂u1
∂u2
∂u2
∂u2
P = P , lze psát
Použijeme-li zápis ∂P
i
∂ui
P
∂P
∂u1
∂u2
=
P
·
+
P
·
1
2
∂ui
∂ui
∂ui
a v Einsteinově sumaci
P
∂P
∂uj
=
P
·
,
j
∂ui
∂ui
kde P popisuje plochu pomocı́ parametrizace (u1 , u2 ).
31
2.3. TEČNÉ VLASTNOSTI PLOCH
2.3
32
Tečné vlastnosti ploch
Věta 20. Všechny tečny regulárnı́ch křivek na regulárnı́ ploše v daném bodě ležı́ v
jedné rovině.
Důkaz. Uvažujme křivku u1 (t), u2 (t) na ploše P u1 , u2 . Určı́me
P
du1
du2
dui
dP
=P1 ·
+P2 ·
=Pi ·
.
dt
dt
dt
dt
Tedy tečný vektor je lineárnı́ kombinacı́ nekolineárnı́ch vektorů P 1 a P 2 . K tomu,
1
2
aby šlo o regulárnı́ křivku, stačı́, aby ( du , du ) 6= 0 a zobrazenı́ bylo třı́dy C1 a
dt dt
bylo prosté.
Definice 21. Rovinu R (α1 , α2 ) = P + α1P 1 + α2P 2 = P + αiP i nazýváme tečná
rovina plochy.
P 1 × P 2 ) normálou plochy a vektor λ(P
P 1 × P 2 ), λ 6= 0,
Přı́mku R (t) = P + t(P
normálovým vektorem v daném bodě.
Věta 21. Necht’ je plocha dána implicitnı́m vyjádřenı́m f (x1 , x2 , x3 ) = 0. Pak
jejı́m normálovým vektorem (v daném bodě) je vektor n = (f1 , f2 , f3 ), jehož složky
jsou dány parciálnı́mi derivacemi funkce f .
Důkaz. V okolı́ daného bodu existuje parametrizace
x1 (u1 , u2 ), x2 (u1 , u2 ), x3 (u1 , u2 ).
Derivujeme f x1 (u1 , u2 ), x2 (u1 , u2 ), x3 (u1 , u2 ) = 0 podle u1 a u2
∂x1
∂x2
∂x3
∂f
= n ·P1 = 0,
1 = f1 ·
1 + f2 ·
1 + f3 ·
∂u
∂u
∂u
∂u1
podobně n · P 2 = 0. Vektor n je tedy ortogonálnı́ k P 1 i P 2 a tvrzenı́ je dokázáno.
2.4
Obalové plochy
Je dán jednoparametrický systém ploch (regulárnı́ch)
f (x1 , x2 , x3 , α) = 0, α ∈ I.
Obalová plocha κ se v každém bodě dotýká některé z ploch a naopak každá
plocha dané jednoparametrické soustavy se dotýká κ. Navı́c předpokládáme, že
plochy nemajı́ společné části.
32
2.4. OBALOVÉ PLOCHY
33
Věta 22. Pro obalovou plochu systému ploch f (x1 , x2 , x3 , α) = 0 platı́: pro bod
[x1 , x2 , x3 ] ležı́cı́ na obalové ploše existuje α tak, že
f (x1 , x2 , x3 , α) = 0
a
fα (x1 , x2 , x3 , α) = 0 ,
kde fα značı́ parciálnı́ derivaci funkce f podle proměnné α.
Důkaz. Uvažujme obalovou plochu P (u1 , u2 ).
Existuje α tak, že tvořı́cı́ plocha f (x1 , x2 , x3 , α) = 0 se obalové plochy dotýká.
α je rovněž funkcı́ u1 a u2 . Derivujme obě strany rovnice
f x1 (u1 , u2 ), x2 (u1 , u2 ), x3 (u1 , u2 ), α(u1 , u2 ) = 0
podle u1 a u2 .
Dostaneme
∂f ∂x2
∂f ∂x3 ∂f ∂α
∂f ∂x1
· 1+
· 1+
·
+
·
= 0,
∂x1 ∂u
∂x2 ∂u
∂x3 ∂u1 ∂α ∂u1
∂f ∂x1
∂f ∂x2
∂f ∂x3 ∂f ∂α
· 2+
· 2+
·
·
+
= 0.
∂x1 ∂u
∂x2 ∂u
∂x3 ∂u2 ∂α ∂u2
Součet prvnı́ch třı́ členů je nulový:
(
∂f ∂f ∂f
,
,
)=n
∂x1 ∂x2 ∂x3
a vektory
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂x1 ∂x2 ∂x3
,
,
)
1,
1,
1) a (
∂u ∂u ∂u
∂u2 ∂u2 ∂u2
jsou ortogonálnı́ k n . Tedy
(
∂f ∂α
·
=0 a
∂α ∂u1
∂f ∂α
·
= 0,
∂α ∂u2
∂f
tj. bud’
= 0 nebo ∂α1 = ∂α2 = 0.
∂α
∂u
∂u
Vyloučı́me druhou možnost, pak by totiž α = konst. v nějakém okolı́, což
znamená, že splývá část obalové a tvořı́cı́ plochy. Proto musı́ být
∂f
= fα (x1 , x2 , x3 , α) = 0
∂α
a věta je dokázána.
Definice 22. Je-li pro zvolené α rovnicemi
f (x1 , x2 , x3 , α) = 0
a
fα (x1 , x2 , x3 , α) = 0
popsána křivka, nazýváme ji charakteristika obalové plochy.
33
2.5. ROZVINUTELNÉ PLOCHY
34
Přı́klad 10. Uvažujme systém jednotkových kulových ploch (zde se objevujı́ exponenty, nejde o hornı́ indexy):
(x1 − α)2 + x22 + x23 − 1 = 0 .
Určete obalovou plochu a charakteristiku.
∂f
= 2(x1 − α) · (−1) = 0 ⇒ x1 − α = 0.
∂α
Rovnice obalové plochy je x22 + x23 − 1 = 0, což je v E3 rotačnı́ válcová plocha a v
E2 charakteristika (v rovině x1 = α).
Obrázek 2.3: Válcová plocha jako obálka jednoparametrické soustavy kulových
ploch
2.5
Rozvinutelné plochy
Definice 23. Regulárnı́ plocha, která je obalovou plochou jednoparametrického
systému rovin, se nazývá rozvinutelná plocha.
Uvažujme jednoparametrický systém rovin ve tvaru
n1 (α)x1 + n2 (α)x2 + n3 (α)x3 + d(α) = 0.
(2.1)
n01 (α)x1 + n02 (α)x2 + n03 (α)x3 + d0 (α) = 0.
(2.2)
Z věty 22 plyne
Necht’ n(α) · n(α) = 1. Derivovánı́m tohoto vztahu zı́skáme
n(α) · n 0 (α) = 0,
2n
34
2.5. ROZVINUTELNÉ PLOCHY
35
z čehož plyne ortogonalita (předpokládáme nenulovost n 0 ) vektorů n a n 0 .
Uvažujme soustavu
n1 (α)x1
n01 (α)x1
n001 (α)x1
+ n2 (α)x2
+ n02 (α)x2
+ n002 (α)x2
+ n3 (α)x3
+ n03 (α)x3
+ n003 (α)x3
+
+
+
d(α) = 0 ,
d0 (α) = 0 ,
d00 (α) = 0
(2.3)
a zkoumejme jejı́ řešitelnost pro neznámé x1 , x2 , x3 .
Mohou nastat tyto přı́pady (tomu budou odpovı́dat jednotlivé typy rozvinutelných ploch):
(i) Necht’ pro libovolné α je determinant matice soustavy (2.3) nulový. Přičemž
označme m (α) jednotkový vektor průsečnice rovin (2.1) a (2.2). Nutně m (α)·
n (α) = 0 a m (α) · n 0 (α) = 0, pak ale vzhledem k nulovosti determinantu
matice soustavy (2.3) je n 00 (α) lineárnı́ kombinacı́ vektorů n (α) a n 0 (α). Tedy
m (α) · n 00 (α) = 0.
Ukážeme, že m 0 (α) = 0 (půjde o válcovou plochu).
0
n(α) · m (α)]0 = n
[n
· m} + n · m 0 = 0
| {z
⇒ n · m 0 = 0,
=0
0
0
00
n (α) · m (α)] = n
[n
· m} + n 0 · m 0 = 0
| {z
⇒ n 0 · m 0 = 0.
=0
0
m má nulový skalárnı́ součin s n , n 0 . Ukážeme, že i mm 0 = 0:
m · m ]0 = 2m
m · m 0 = [1]0 = 0 .
[m
Tedy vektor m 0 má nulový skalárnı́ součin se všemi prvky repéru, pak je ale
m 0 nulový vektor a směr průsečnice rovin se tedy neměnı́. Plocha je tudı́ž
tvořena navzájem rovnoběžnými přı́mkami, neboli jde o obecnou válcovou
plochu.
(ii) Necht’ determinant matice soustavy (2.3) je pro libovolné α nenulový a řešenı́
nezávisı́ na α, tj. je jı́m bod. Pak ale všechny přı́mky dané soustavou rovnic
(2.1) a (2.2) procházejı́ tı́mto bodem. Jde tedy o kuželovou plochu.
(iii) Poslednı́ možnostı́ je situace, kdy determinant matice soustavy (2.3) je pro
libovolné α nenulový a řešenı́ závisı́ na α, kde
P (α) = x1 (α), x2 (α), x3 (α)
popisuje křivku a platı́
P (α) · n (i) (α) + d(i) (α) = 0, i = 0, 1, 2 .
35
2.6. VEKTORY NA PLOŠE
36
Derivovánı́m tohoto vztahu pro i = 0
P 0 (α) · n (α) + P (α) · n 0 (α) + d0 (α) = 0.
Podle (2.3) ale
P (α) · n 0 (α) + d0 (α) = 0,
tedy z rozdı́lu výše uvedených rovnic vyplývá, že
P 0 (α) · n (α) = 0.
Podobně lze ze vztahů pro derivace (i = 1) odvodit
P 0 (α) · n 0 (α) = 0
Tedy P 0 (α) je ortogonálnı́ k n (α) i n 0 (α), tj. je kolineárnı́ s vektorem m
průsečnice (2.1) a (2.2). Tedy P (α) je křivka, jejı́ž tečny jsou površkami
obalové plochy - je to plocha tečen.
Věta 23. Rozvinutelnými plochami jsou válcové, kuželové plochy a plochy tečen
prostorových křivek.
Důkaz. Důkaz je založen na diskusi řešitelnosti soustavy lineárnı́ch algebraických
rovnic a je uveden před větou.
2.6
Vektory na ploše
Je dána plocha P (u1 , u2 ), kde P 1 , P 2 jsou souřadnicové vektory v tečné rovině.
a = P i · ai je vektor ze zaměřenı́ tečné roviny.
Definice 24. Je dána plocha P (u1 , u2 ). Vektorem na ploše rozumı́me vektor
a=
X
P i · ai = P i · ai ;
Pi =
P
∂P
.
∂ui
Čı́sla ai , i = 1, 2 nazýváme kontravariantnı́ souřadnice vektoru a .
Ukažme, jak se při změně parametrizace měnı́ kontravariantnı́ souřadnice.
Necht’ a = P i ·ai a změnou parametrizace a = P i ·ai . Vztahy mezi parametrizacemi
jsou
P i · ai = P i · ai
,
P (u1 , u2 ) = P (u1 (u1 , u2 ), u2 (u1 , u2 )),
∂u1
∂u2
∂ui
+
P
·
=
P
·
2
i
∂u1
∂u1
∂u1
podobně P 2 a po dosazenı́ máme následujı́cı́ větu.
P1 =P1 ·
36
2.6. VEKTORY NA PLOŠE
37
Věta 24. Při transformaci parametrizace plochy se kontravariantnı́ souřadnice
vektoru na ploše transformujı́ pomocı́ vztahů
∂ui j
a =
·a ,
∂uj
Důkaz. Důkaz je uveden před větou.
∂uj i
a =
·a .
∂ui
i
j
Přı́klad 11. Uvažujme rovinu a proved’me změnu souřadnic, tj. změnu parametrizace roviny.
x=u
y=v
z=0
u=u−v
v=v
u =u+v
v =v
P 1 = (1, 0, 0) ; P 2 = (0, 1, 0) ;
∂u
∂u
=1 ;
=1 ;
∂u
∂v
a1 = 1 · a1 + 1 · a2 ;
a1 =
a1 + a2
;
P 1 = (1, 0, 0) ; P 2 = (−1, 1, 0)
∂v
∂v
=0 ;
=1
∂u
∂v
a2 = 0 · a1 + 1 · a2
a2 = a2
a = (1, 1) ⇒ a = (2, 1)
Uvažujme skalárnı́ součin a · b (vektorů na ploše) a výpočet proved’me v kontravariantnı́ch souřadnicı́ch při použitı́ vztahů
a = ai · P i
;
b = bi · P i
;
gij = P i · P j .
Platı́:
a · b = ai · b j · P i · P j
a · b = ai · bj · gij
Věta 25. Platı́
g
g
g = 11 12
g21 g22
> 0.
Důkaz.
P i | · |P
P j | · cos ϕij ,
P i · P j = |P
pro
i 6= j
je ϕij =
6 0, ϕij 6= π (tj. vektory P i , P j nejsou kolineárnı́).
2
P
P
P
|P
|
|P
|
·
|P
|
·
cos
ϕ
1
1
2
12
=
g = 2
P 1 | · |P
P 2 | · cos ϕ12
P 2|
|P
|P
P 1 |2 · |P
P 2 |2 · (1 − cos2 ϕ12 ) = |P
P 1 |2 · |P
P 2 |2 · (sin2 ϕ12 ) > 0,
= |P
37
2.7. TENZORY NA PLOŠE A TENZOROVÁ POLE
38
P i a nazvěme ji kovariantnı́ souřadnicı́ vektoru a .
Definice 25. Označme ai = a ·P
Odvodı́me vztah mezi kovariantnı́mi a kontravariantnı́mi souřadnicemi vektoru
na ploše.
ai = a · P i = P i · P j · aj
ai = gij · aj
Matice (gij ) je dle věty 25 regulárnı́
1
2
(a1 , a2 ) = (a , a ) ·
g11 g12
g21 g22
Proto
1
2
(a , a ) = (a1 , a2 ) ·
g
Značı́me: g 11 = g22
;
g
g 22 = g11
;
g11 g12
g21 g22
−1
.
g
g 12 = g 21 = − g12
ai = g ij · aj
Věta 26. Pro převody mezi kontravariantnı́mi a kovariantnı́mi souřadnicemi platı́
vztahy
ai = gij · aj a ai = g ij · aj ,
kde gij = P i · P j a matice (g ij ) je inverznı́ k (gij ).
Pro převod mezi parametrizacemi platı́
∂ui
aj =
· ai
∂uj
;
∂uj
ai =
· aj
∂ui
Důkaz. Důkaz je uveden před větou. Část věty o transformaci parametrů se snadno
ověřı́ přı́mým výpočtem (viz důkaz věty 24).
2.7
Tenzory na ploše a tenzorová pole
h
Definice 26. Tenzorem řádu n v bodě plochy rozumı́me 2n čı́sel aj1...j
i1 ...id ,
h + d = n (indexy nabývajı́ hodnoty 1 nebo 2), jestliže se při změně parametrizace
plochy transformujı́ pomocı́ vztahu
h
anm11...n
...md =
∂ui1
∂uid ∂un1
∂unh j1 ...jh
.
.
.
·
.
.
.
·a
∂um1
∂umd ∂uj1
∂ujh i1 ...id
Tenzor nultého řádu se nazývá skalár. Tenzor prvnı́ho řádu se nazývá vektor.
...jh
Řı́káme, že aji11...i
je d krát kovariantnı́ a h krát kontravariantnı́.
d
38
2.8. PRVNÍ ZÁKLADNÍ FORMA PLOCHY
39
Věta 27. gij je dvakrát kovariantnı́ tenzor druhého řádu. g ij je dvakrát kontravariantnı́ tenzor.
Důkaz. Důkaz plyne z výpočtů před větou 26.
Definice 27. Řekněme, že
(a) tenzor je symetrický, je-li nezávislý na záměně indexů,
(b) tenzor je antisymetrický, měnı́-li se znaménko hodnoty při záměně indexů,
(c) součtem dvou tenzorů rozumı́me tenzor, jehož složky jsou součtem složek
sčı́tanců,
(d) součinem tenzorů rozumı́me tenzor, jehož složky jsou součinem složek daných
tenzorů, tj. např.
lm
clm
ijk = aij · bk ,
(e) úženı́m tenzoru rozumı́me vytvořenı́ tenzoru eliminacı́ jednoho dolnı́ho a jednoho hornı́ho indexu sečtenı́m
l
il
1l
2l
akl
ij → bj = aik = a1k + a2k ,
(f ) zvýšenı́m, resp. snı́ženı́m indexu rozumı́me
ij
... ...
a...i...
... ... = g · a...j...
...
...j...
a...
...i... = gij · a... ...
Poznámka 15. Měli bychom dokázat, že obrazy tenzorů v daných operacı́ jsou
opět tenzory. Jde o pracný, ale rutinnı́ výpočet.
Definice 28. Je-li v každém bodě plochy definován tenzor, mluvı́me o tenzorovém
poli. Speciálně o skalárnı́m poli, resp. vektorovém poli, pro tenzory nultého a prvnı́ho
řádu.
2.8
Prvnı́ základnı́ forma plochy
Definice 29. Kvadratickou formou
ϕ(x1 , x2 ) = gij xi xj
nazýváme prvnı́ základnı́ formou plochy. Tenzor gij je prvnı́m (neboli metrickým)
tenzorem plochy.
39
2.8. PRVNÍ ZÁKLADNÍ FORMA PLOCHY
40
Věta 28. Necht’ R (t) = P (u1 (t), u2 (t)) je křivka na ploše a t ∈ ht0 , t1 i, pak integrál
Zt1 r
dui duj
gij
dt
dt dt
t0
určuje délku oblouku křivky pro t ∈ ht0 , t1 i.
Důkaz.
Zt1 √
Zt1
R 0 · R 0 dt =
t0
s
2
Zt1 r
dui
dui duj
Pi ·
·
dt
dt =
gij
dt
dt dt
t0
t0
Definice 30. Necht’ jsou dány plochy P (u1 , u2 ) nad oblastı́ Ω a R (v 1 , v 2 ) nad
oblastı́ Λ. Vzájemně jednoznačné zobrazenı́ ϕ : P → R nazýváme regulárnı́, jestliže
na jedné z ploch lze provést transformaci parametrů tak, že odpovı́dajı́cı́ si body majı́
stejné křivočaré souřadnice.
Definice 31. Regulárnı́ zobrazenı́ dvou ploch nazýváme rozvinutı́m (délkojevným
zobrazenı́m), právě když obrazem křivky je křivka stejné délky.
Věta 29. Regulárnı́ zobrazenı́ ploch P (u1 , u2 ), R (v 1 , v 2 ) nad oblastı́ Ω je rozvinutı́m, právě když v odpovı́dajı́cı́ch bodech jsou stejné kovariantnı́ souřadnice
prvnı́ch základnı́ch tenzorů.
Důkaz. (a) Předpokládáme rovnost tenzorů, tj gij = gbij v odpovı́dajı́cı́ch si bodech. Pak se samozřejmě rovnajı́ i následujı́cı́ integrály
Zt2 p
Zt2 p
gij dui duj dt =
gbij dui duj dt ,
t1
t1
kde t je parametr na křivce a na t závisı́ i ostatnı́ veličiny pod odmocninou.
(b) Předpokládáme, že se rovná délka obrazu a vzoru křivky a dokazujeme rovnost tenzorů v bodech křivky. Důkaz vedeme sporem. Necht’ v bodě (u1 , u2 )
se nerovnajı́ souřadnice tenzoru na ploše P a R . Ze spojitosti plyne, že
souřadnice se lišı́ v jistém okolı́ (u1 , u2 ). Tak najdeme křivku, která má
rozdı́lnou délku vzoru a obrazu, což je spor.
40
2.8. PRVNÍ ZÁKLADNÍ FORMA PLOCHY
41
Věta 30. Pro úhel α dvou křivek na ploše platı́
gij dui dv j
cos α = p
.
√
gkl duk dul gmn dv m dv n
(2.4)
Přitom (du1 , du2 ) a (dv 1 , dv 2 ) jsou kontravariantnı́ souřadnice tečných vektorů
daných křivek.
Pro úhel parametrických křivek platı́
g12
(2.5)
cos α = √
g11 g22
a nutnou a postačujı́cı́ podmı́nkou pro ortogonalitu parametrické sı́tě je, aby ve
všech bodech plochy platilo
g12 = 0.
(2.6)
Důkaz. Vztah (2.4) plyne ze známého vztahu
cos α =
a ·b
|aa| · |bb|
(2.7)
a ze zavedenı́ metrického tenzoru. Rovnice (2.5) plyne z parametrických křivek
(du1 , du2 ) = (1, 0) a (dv 1 , dv 2 ) = (0, 1) Podmı́nka (2.6) je již snadným důsledkem
vztahu (2.7).
Definice 32. Regulárnı́ zobrazenı́ dvou ploch, které zachovává úhly křivek, nazýváme
konformnı́ zobrazenı́, resp. zobrazenı́ úhlojevné.
Obrázek 2.4: Konformnı́ zobrazenı́ plochy na plochu
Věta 31. Regulárnı́ zobrazenı́ dvou ploch je konformnı́, právě když při použitı́
shodných křivočarých souřadnic platı́
gij = λ gbij , i = 1, 2, j = 1, 2, λ 6= 0 ,
tj. metrické tenzory majı́ úměrné kovariantnı́ souřadnice.
41
2.8. PRVNÍ ZÁKLADNÍ FORMA PLOCHY
42
Důkaz. (a) Necht’ gij = λ gbij , λ 6= 0, pak ze vztahu (2.4) plyne snadno dokazované tvrzenı́.
(b) Necht’ je zobrazenı́ konformnı́. Uvažujme dvě dvojice kolmých vektorů (a1 , a2 ), (b1 , b2 )
a (c1 , c2 ), (d1 , d2 ), tj. platı́
gij ai bj = 0 , gij ci dj = 0 ,
(2.8)
gbij ai bj = 0 , gbij ci dj = 0 .
(2.9)
pak i (konformnost)
Soustava dvou rovnic (2.8) je homogennı́ pro tři neznámé g11 , g12 (= g21 ) a
g22 . Podobně v (2.9). Netriviálnı́ řešenı́ soustav (homogennı́ch) se stejnou
maticı́ jsou v tomto přı́padě násobkem (3 neznámé, hodnost 2), koeficient
označme λ a samozřejmě z netriviálnosti řešenı́ plyne λ 6= 0. Tı́m je věta
dokázána.
Věta 32. Necht’ je dána plocha P (u1 , u2 ) na oblasti Ω. Pak obsah plochy je (pokud
existuje) dán vztahem
ZZ p
P =
g11 g22 − (g12 )2 du1 du2 .
Ω
Důkaz. Platı́
ZZ ∂P
1 2
P
P
∂P
P =
∂u1 × ∂u2 du du .
Ω
Pro vektory platı́
(aa × b ) · (cc × d ) = (aa · c ) · (bb · d ) − (aa · d ) · (bb · c )
a tedy
P
P
∂P
∂P
× 2
1
∂u
∂u
P
P
∂P
∂P
×
·
= g11 g22 − (g12 )2 .
∂u1 ∂u2
Věta 33. Regulárnı́ zobrazenı́ je rovnoploché (plochojevné), tj. zachovává oblast
plochy, právě když při vyjádřenı́ ve shodných křivočarých souřadnicı́ch se rovnajı́
diskriminanty prvnı́ch tenzorů, tj.
2
2
= gb11 gb22 − gb12
.
g11 g22 − g12
Důkaz. Důkaz podobně jako u věty 31.
42
2.9. DRUHÁ ZÁKLADNÍ FORMA PLOCHY
2.9
43
Druhá základnı́ forma plochy
Zabývejme se křivostmi ploch a křivek na ploše. Označme
Pi =
n=
P1 ×P2
,
P 1 × P 2|
|P
P
∂P
,
∂ui
i = 1, 2
P ij =
∂ 2P
,
∂ui ∂uj
ni =
n
∂n
∂ui
niP j .
a definujme hij = −n
Věta 34. Čı́sla (funkce) hij tvořı́ symetrický tenzor (tzv. druhý základnı́ tenzor
plochy) a platı́ hij = nP ij .
Důkaz. (a) Snadno se vypočte, že pro hij platı́ přı́slušné transformačnı́ vztahy,
tj. že jde o tenzor.
n je vektorový součin P 1 ×P
P 2 ).
(b) Ukážeme, že hij = nP ji . Jistě platı́ nP j = 0 (n
Derivovánı́m n iP j + nP ji = 0 ⇒ hij = nP ji .
(c) Symetrie tenzoru hij plyne ze zaměnitelnosti pořadı́ derivovánı́ hij = nP ji =
nP ij = hji .
2.10
Normálová křivost a Meusnierova věta
Studujme křivost křivky na ploše. Uvažujme křivku
P (s) = P u1 (s), u2 (s) ,
která je parametrizována obloukem. Pro prvnı́ křivost platı́: P̈ = 1 k · ν (νν je
jednotkový vektor hlavnı́ normály).
n · ν , tj. odchylku normály plochy a hlavnı́ normály křivky.
Označı́me γ = ^n
Definice 33. Normálovou křivostı́ křivky k v bodě X rozumı́me čı́slo
Poznámka 16. Platı́ také n k =
součinu).
n
k = P̈ · n .
1
k · cos γ (viz geometrický význam skalárnı́ho
Věta 35. Normálová křivost všech křivek plochy se společnou tečnou v daném bodě
je stejná.
43
2.10. NORMÁLOVÁ KŘIVOST A MEUSNIEROVA VĚTA
44
Důkaz. Vyjdeme z rovnice P (s) = P u1 (s), u2 (s) , kde s je oblouk. Platı́
Ṗ (s0 ) = P i u1 (s0 ), u2 (s0 ) · u̇i (s0 )
P̈ (s0 ) = P ij u1 (s0 ), u2 (s0 ) · u̇i (s0 ) · u̇j (s0 ) + P i u1 (s0 ), u2 (s0 ) · üi (s0 )
Vypočteme n k násobenı́m (skalárnı́m) vektorem n :
n
k = P̈ · n = P ij · n · u̇i (s0 ) · u̇j (s0 ) + P i · n · üi (s0 ) = hij · u̇i (s0 ) · u̇j (s0 )
Tedy n k je dáno tečným vektorem a druhým tenzorem plochy, tj. normálová křivost
je stejná pro všechny křivky plochy s daným tečným vektorem.
Věta 36. (Meusnierova) Středy křivosti (středy oskulačnı́ch kružnic) křivek plochy, které se dotýkajı́ jedné tečny plochy, ležı́ na kružnici.
Důkaz. Platı́ n k = 1 k·cos γ. Pro normálový řez s danou tečnou pak platı́ n k = 1 k.
Označme poloměry křivostı́ n ρ = n1 a n ρ = 11 . Pak ale n ρ = n ρ · cos γ
k
k
a podle Thaletovy věty střed křivosti ležı́ na kružnici nad průměrem XS, kde
|XS| = n ρ
Věta 37. Pro normálovou křivost platı́
n
k=
hij · dui · duj
gij · dui · duj
Důkaz. Derivaci podle oblouku u̇i nahradı́me derivacı́ podle obecného parametru:
dui = λ · u̇i ,
λ 6= 0.
1
2
Pro λ
pplatı́ λ = |(du , du )|, ale pro velikost vektoru na ploše (např. věta 31) platı́
λ = gij · dui · dui . Tedy
dui
u̇i = p
gij · dui · duj
a z důkazu věty 35
n
k = hij · u̇i · u̇j =
44
hij · dui · duj
gij · dui · duj
2.11. DUPINOVA INDIKATRIX A VÝZNAMNÉ SMĚRY NA PLOŠE 45
2.11
Dupinova indikatrix a významné směry na
ploše
Definice 34. Směr, pro nějž je normálová křivost nulová, nazýváme asymptotický.
Bod, v němž každý směr je asymptotický, nazýváme planárnı́ bod.
Kruhovým bodem rozumı́me bod, v němž normálová křivost je konstantnı́ (ve
všech směrech stejná) a nenulová.
Obrázek 2.5: a) Eliptický, b) parabolický, c) hyperbolický bod X dané plochy
Uvažujme jednotkový vektor v tečné rovině a = (du1 , du2 ) a označme
1
i
j
R = hij · du · du , |R| je poloměr oskulačnı́ kružnice normálového řezu.
Vytvořme křivku
p
P (t) = X + a (t) · |R|
a nazveme ji Dupinova indikatrix plochy v bodě X.
Věta 38. Dupinova indikatrix v bodě, který nenı́ planárnı́, je středovou kuželosečkou
nebo dvojicı́ středových kuželoseček.
1 = h ·dui ·duj ;
Důkaz. R
ij
p
1
|R| · (du , du2 ), pak
(dui , duj ) určuje jednotkový vektor. Označme (α1 , α2 ) =
1
αi
αj
= hij · p
·p
,
R
|R|
|R|
tj. hij · αi · αj = ±1.
hij · αi · αj obsahuje jen kvadratické členy, jde tedy o středovou kvadriku. Dvě
různá znaménka umožňujı́ existenci dvou hyperbol. V eliptickém bodě je jedna z
elips imaginárnı́.
45
2.11. DUPINOVA INDIKATRIX A VÝZNAMNÉ SMĚRY NA PLOŠE 46
Stanovme h = h11 · h22 − (h12 )2 , diskriminant druhé formy plochy.
Pomocı́ znaménka h můžeme rozhodnout o počtu asymptotických směrů plochy.
Definice 35. Řekněme, že bod plochy je:
1. eliptický,
je-li h > 0,
2. parabolický,
je-li h = 0,
3. hyperbolický,
je-li h < 0.
Věta 39. Dupinova indikatrix v eliptickém (hyperbolickém, parabolickém) bodě je
elipsa (dvojice hyperbol se společnými asymptotami, dvojice rovnoběžných přı́mek).
V hyperbolickém (parabolickém, eliptickém) bodě existujı́ dva (jeden, žádný) asymptotický směr.
Důkaz. Vyjdeme ze vztahu hij · αi · αj = ±1 a pro asymptotické směry platı́
2
1
hij · αi · αj = 0 a lze zavést λ = αα2 nebo λ = αα1 (jedno z čı́sel α1 nebo α2
musı́ být nenulové). Pak o existenci asymptotického směru rozhoduje diskriminant
kvadratické rovnice
h11 (λ)2 + 2h12 (λ) + h22 = 0,
tj. h212 −h11 ·h22 = −h. Dalšı́ část je snadným důsledkem klasifikace kuželoseček.
Definice 36. Směr plochy je hlavnı́, je-li normálová křivost v něm extrémálnı́
(maximálnı́, resp. minimálnı́).
Věta 40. Nenulový vektor (du1 , du2 ) plochy určuje hlavnı́ směr, právě když
(du2 )2 −du1 du2 (du1 )2 g11
= 0.
g
g
12
22
h11
h12
h22 Důkaz. Z vlastnostı́ Dupinovy indikatrix plyne, že gij · dui · dv j = 0 pro (du1 , du2 )
a (dv 1 , dv 2 ) ležı́cı́ v hlavnı́ch směrech.
Hlavnı́ osy kuželosečky jsou totiž hlavnı́mi směry. Z teorie kuželoseček plyne i
konjugovanost hlavnı́ch směrů, tj. hij · dui · dv j = 0. Jde o sdružené průměry.
Máme tedy soustavu
gij · dui · dv j = 0
hij · dui · dv j = 0,
tj. po rozepsánı́
(g11 · du1 + g21 · du2 ) · dv 1 + (g12 · du1 + g22 · du2 ) · dv 2 = 0
(h11 · du1 + h21 · du2 ) · dv 1 + (h12 · du1 + h22 · du2 ) · dv 2 = 0.
46
2.12. GAUSSOVA A STŘEDNÍ KŘIVOST
47
Pro existenci (dv 1 , dv 2 ) 6= 0 je nutné a stačı́, aby determinant matice soustavy byl
nulový, tedy
g11 du1 + g21 du2 g12 du1 + g22 du2 h11 du1 + h21 du2 h12 du1 + h22 du2 = 0,
tj. použitı́m věty o součtu a násobku pro determinanty
1 2 g11 g12 2 2 g21
(du ) +
(du ) h11 h12
h21
1
2 g11 g22 1
2 g21
+ du · du +
du
·
du
h21
h11 h22 kde vzhledem k rovnostem g12 = g21 a h12
g21 g12
h21 h12
g22 +
h22 g12 = 0,
h12 = h21 platı́
= 0,
pak již plyne tvrzenı́ (rozvoj determinantu).
2.12
Gaussova a střednı́ křivost
Definice 37. Hlavnı́mi křivostmi plochy v neplanárnı́m bodě rozumı́me normálové
křivosti v hlavnı́ch směrech. Označme je n kmin , n kmax .
Gaussovou křivostı́ plochy v daném neplanárnı́m bodě rozumı́me čı́slo
K =
n
kmin ·
n
kmax .
Střednı́ křivost plochy v neplanárnı́m bodě je dána vztahem
n
kmin + n kmax
.
2
Odvodı́me vzorce pro výpočet Gaussovy a střednı́ křivosti. Pro (du1 , du2 ) máme
normálovou křivost n k a platı́
H=
n
kmin ≤
Dále
n
k=
n
k ≤
n
kmax .
κ
hij · dui · duj
= .
i
j
gij · du · du
γ
Určenı́ hlavnı́ch křivostı́ lze chápat jako hledánı́ extrémů funkce κ − n kγ. Pro
n
k = n kmax je κ − n kmax γ ≤ 0 (a právě pro hlavnı́ směr nastane rovnost), podobně
pro n k = n kmin je κ − n kmin γ ≥ 0 a pro hlavnı́ směr nastane rovnost.
47
2.12. GAUSSOVA A STŘEDNÍ KŘIVOST
48
Hledáme tedy (du1 , du2 ) tak, aby (κ − n kex γ) bylo extrémnı́. Parciálnı́m derivovánı́m podle du1 a du2 dostaneme:
∂
n
1 · (κ − kex γ) = 0 a
∂du
∂
n
2 · (κ − kex γ) = 0,
∂du
tj.
2h11 du1 + 2h12 du2 − n kex (2g11 du1 + 2g12 du2 ) = 0
2h12 du1 + 2h22 du2 − n kex (2g12 du1 + 2g22 du2 ) = 0
tj. pro neznámé du1 , du2 , které tvořı́ nenulový vektor, musı́ být
h11 −n kex g11 h12 − n kex g12 h12 −n kex g12 h22 − n kex g22 = 0.
To je kvadratická rovnice pro n kex :
n 2
g11 · g22 − (g12 )2 kex
− (g11 · h22 − 2g12 · h12 + g22 · h11 )n kex + h11 · h22 − (h12 )2 = 0.
Absolutnı́ člen rovnice (v normalizovaném tvaru) je součinem kořenů
n
kmin · n kmax =
h11 · h22 − (h12 )2
h
=
.
g11 · g22 − (g12 )2
g
Věta 41. Pro Gaussovu křivost platı́
K=
h
,
g
kde h a g jsou diskriminanty druhé a prvnı́ základnı́ formy plochy.
Pro střednı́ křivost
H=
1 g11 · h22 − 2g12 · h12 + g22 · h11
·
.
2
g
Důkaz. Zdůvodněnı́ pro Gaussovu křivost je uvedeno před větou. Tvrzenı́ o střednı́
křivosti plyne z vlastnosti lineárnı́ho členu kvadratické rovnice v normovaném tvaru
(koeficient se rovná opačné hodnotě k součtu kořenů).
Věta 42. (Eulerova) Pro normálovou křivost n k platı́
n
k =
n
kmax · cos2 ϕ +
n
kmin · sin2 ϕ,
kde ϕ je odchylka směru od hlavnı́ho směru s maximálnı́ normálovou křivostı́.
48
2.12. GAUSSOVA A STŘEDNÍ KŘIVOST
49
Důkaz. Uvažujme (α1 , α2 ) a (β 1 , β 2 ) kontravariantnı́ souřadnice jednotkových vektorů hlavnı́ch směrů. Hlavnı́ směry jsou ortogonálnı́, což plyne např. z existence
Dupinovy indikatrix.
Označme (γ 1 , γ 2 ) směr na ploše, jistě lze psát
γ i = αi · cos ϕ + β i · sin ϕ
Normálová křivost pro směr (γ 1 , γ 2 )
n
k = hij · γ i · γ j = hij · (αi cos ϕ + β i sin ϕ) · (αj cos ϕ + β j sin ϕ) =
=
h11 · (α1 )2 cos2 ϕ + (β 1 )2 sin2 ϕ + 2α1 β 1 sin ϕ · cos ϕ +
+ 2h12 · α1 α1 cos2 ϕ + β 1 β 2 sin2 ϕ + β 1 α2 sin ϕ · cos ϕ + α1 β 2 sin ϕ · cos ϕ +
+ h22 · (α2 )2 cos2 ϕ + (β 2 )2 sin2 ϕ + 2α2 β 2 sin ϕ · cos ϕ
=
=
n
kmax · cos2 ϕ +
n
kmin · sin2 ϕ + 2 sin ϕ · cos ϕ ·hij αi β j =
| {z }
=0
=
n
kmax · cos2 ϕ +
n
kmin · sin2 ϕ.
Dané směry jsou sdružené, tj. hij αi β j = 0. Tı́m je věta dokázána.
Bez důkazu uvedeme větu, kterou v roce 1827 objevil Gauss a považoval ji za
slavný“ objev (egregium = slavný).
”
Věta 43. (Theorema Egregium) Gaussovu křivost plochy v daném bodě lze
vyjádřit pouze pomocı́ prvnı́ho tenzoru gij a prvnı́ch a druhých derivacı́ jeho složek.
Důsledek 1. (Theoremy Egregium)
(i) Plochy, které lze na sebe rozvinout (délkojevně zobrazit) majı́ v odpovı́dajı́cı́ch
bodech stejnou Gaussovu křivost.
(ii) Rozvinutelné plochy majı́ nulovou Gaussovu křivost.
(iii) Gaussova křivost je kladná v eliptických, nulová v parabolických a záporná v
hyperbolických bodech.
Důkaz.
(i) Plyne snadno z věty 43 a z věty 29.
(ii) Rovina má samozřejmě Gaussovu křivost K = 0.
(iii) Plyne z věty 41. Znaménko K je dáno znaménkem h (g > 0, věta 25).
49
2.13. GEODETICKÁ KŘIVOST PLOCHY
2.13
50
Geodetická křivost plochy
Definice 38. Necht’ P (t), t ∈ I, je křivka na ploše κ. Velikost průmětu vektoru
prvnı́ křivosti P̈ křivky do tečné roviny plochy nazýváme goedetická křivost křivky
na ploše.
Obrázek 2.6: Geometrický význam geodetické křivosti křivky na ploše
Věta 44. Pro geodetickou křivost křivky na ploše platı́
g
n · (Ṗ × P̈ )|,
n, Ṗ , P̈ )| = |n
k = |(n
kde n je jednotkový normálový vektor plochy, Ṗ jednotkový tečný vektor křivky a
P̈ vektor prvnı́ křivosti křivky.
Důkaz. Označme c = n × Ṗ . Vektor c , |cc| = 1, patřı́ do zaměřenı́ tečné roviny.
Zřejmě g k = |cc · P̈ |. Tedy (záměnou pořadı́ vektorů se ve smı́šeném součinu měnı́
přı́padně jen znaménko)
g
n × Ṗ ) · P̈ | = |(n
n, Ṗ , P̈ )|.
k = |(n
Poznámka 17. Pro řešenı́ konkrétnı́ úloh samozřejmě nenı́ vhodné a ani možné
provést parametrizaci křivky obloukem. Ovšem normovánı́m tečného vektoru a pomocı́ určenı́ hlavnı́ normály a křivosti lze potřebné vektory stanovit i při obecné
parametrizaci.
50
2.14. WEINGARTENOVY A GAUSSOVY ROVNICE
2.14
51
Weingartenovy a Gaussovy rovnice
n , i = 1, 2,
P a n = ∂n
Věta 45. (Weingartenova) Pro vektory P i = ∂P
i
∂ui
∂ui
platı́
n i = −hji · P j .
Platı́ hji = hik g jk (operace zvýšenı́ indexu tenzoru).
Důkaz. Vyjdeme ze vztahu n · n = 1, tj. n · n i = 0. Tedy n i ležı́ v tečné rovině,
tj. n i = kij · P j , kde kij jsou kombinačnı́ koeficienty, které vypočteme. Tuto rovnici
vynásobı́me vektorem P k :
P k · n i = kij · P j · P k
−hik = kij · gjk
neboli kij = −hji (jde o operaci snı́ženı́, resp. zvýšenı́ indexu).
Věta 46. (Gaussova) Pro vektory P ij platı́
P ij = Γkij · P k + hij · n ,
kde Γkij jsou tzv. Christoffelovy symboly, pro něž
Γkij = P ij · P l · g lk
Důkaz. P ij vyjádřı́me v bázi P 1 , P 2 , n
P ij = λkij · P k + bij · n
a stanovı́me koeficienty λkij a bij .
Vyjdeme z platnosti těchto vztahů:
n · n = 1, n · P i = 0, n · P ij = hij .
Po skalárnı́m vynásobenı́ (2.10) vektorem n dostaneme
n · P ij = hij = bij .
Po skalárnı́m vynásobenı́ (2.10) vektorem P r dostaneme
P r · P ij = λkij · P k · P r = λkij · gkr .
51
(2.10)
2.15. ASYMPTOTICKÉ, HLAVNÍ A GEODETICKÉ KŘIVKY
52
Poznámka 18. Weingartenovy a Gaussovy vzorce tvořı́ pro plochu analogii k Frenetovým vzorcům pro křivku. Popisujı́ změnu lokálnı́ho repéru plochy, který je
tvořen tečnými vektory parametrických křivek a vektorem normály plochy. Celkem jde o šest rovnic, ale dvě z nich vzhledem k zaměnitelnosti pořadı́ derivovánı́
splývajı́.
n1
n2
P 11
P 12
P 22
=
=
=
=
=
−hj1 · P j
−hj2 · P j
Γk11 · P k + h11 · n
Γk12 · P k + h12 · n
Γk22 · P k + h22 · n
Poznámka 19. Christoffelovy symboly netvořı́ tenzor, nebot’ jejich transformace
při změně souřadnic je obecnějšı́ než u tenzoru. Christoffelovy symboly jsou přı́kladem
tzv. konexe.
2.15
Asymptotické, hlavnı́ a geodetické křivky
Definice 39. Křivka plochy je asymptotická, je-li jejı́ normálová křivost v každém
bodě nulová.
Věta 47. Tečna asymptotické křivky je určena asymptotickým směrem. Hlavnı́
normála asymptotické křivky ležı́ v tečné rovině plochy (binormála je normálou
plochy). Asymptotická křivka je určena diferenciálnı́ rovnicı́
hij · dui · duj = 0.
Důkaz. Plyne z vlastnostı́ normálové křivosti.
Poznámka 20. Pro parametrické křivky, které jsou asymptotické, platı́
h11 = h22 = 0
Definice 40. Křivka plochy je hlavnı́ křivkou, je-li jejı́ tečna v každém bodě
určena hlavnı́m směrem.
Poznámka 21. Hlavnı́ křivky jsou nazývány také křivoznačné“.
”
Věta 48. Hlavnı́ křivky na ploše bez planárnı́ch a kruhových bodů jsou popsány
diferenciálnı́ rovnicı́
(du2 )2 −du1 du2 (du1 )2 g11
= 0.
g
g
12
22
h11
h12
h22 52
2.15. ASYMPTOTICKÉ, HLAVNÍ A GEODETICKÉ KŘIVKY
53
Hlavnı́ křivky (na takové ploše) tvořı́ ortogonálnı́ sı́t’.
Parametrické křivky jsou hlavnı́mi křivkami, právě když g12 = h12 = 0.
Důkaz. plyne z vlastnostı́ hlavnı́ch směrů.
Věta 49. (Rodriguesova) Křivka P (t) = P u1 (t), u2 (t) plochy je hlavnı́ křivkou
plochy, právě když v každém jejı́m bodě jsou vektory n0 a P 0 lineárně závislé. Koeficient kolineárnosti je roven hlavnı́ křivosti n kex , tj.
n0 = −n kex · P 0 .
Důkaz. ⇒ n je jednotkový vektor normály plochy a n · n0 = 0, tj. n0 ležı́
v zaměřenı́ tečné roviny, tedy
n0 = α · P 0 + β · ⊥ P 0 ,
(|⊥ P 0 | = 1, P 0 · ⊥ P 0 = 0),
(2.11)
kde ⊥ P 0 je kolmý vektor na P 0 a ležı́ v tečné rovině. Rovnici (2.11) vynásobı́me
P0 :
n0 · ⊥ P 0 = β,
⊥
ale
n0 = n j · (uj )0
a
⊥
P 0 = P i · bi , tedy
nj · (uj )0 ] · [P
P i · bi ] = −hij · (uj )0 · bi .
β = [n
Jde o hlavnı́ křivku, derivace normálové křivosti musı́ být nulová, tj. β = 0. Snadno
spočteme
tj.
n0 = α · P 0 , tedy n0 · P 0 = α · P 0 · P 0 ,
n0 · P 0
hij · (ui )0 · (uj )0
= − n kex .
α= 0
=
−
P · P0
gij · (ui )0 · (uj )0
⇐ Předpokládáme n0 = α · P 0 a ukážeme, že vektor P 0 a ⊥ P 0 jsou konjungované k druhé základnı́ formě, tedy určujı́ směry os Dupinovy indikatrix. To
plyne ze vztahu n0 · ⊥ P 0 = 0, čili
n0 j · (uj )0 · P i · bi = −hij · (uj )0 · bi = 0.
Definice 41. Křivku plochy, která obsahuje jen body s nulovou geodetickou křivostı́,
nazýváme geodetickou křivkou (neboli geodetikou).
Věta 50. Pro geodetickou křivost platı́
g
m|,
k = |m
kde m =
d2 uk
dui duj k
+
Γ
·
·
·Pk
ij
ds2
ds ds
53
2.15. ASYMPTOTICKÉ, HLAVNÍ A GEODETICKÉ KŘIVKY
Důkaz.
dui
ds
Pomocı́ Gaussovy věty 46
Ṗ = P i ·
;
P̈ = P ij ·
54
dui duj
d2 ui
·
+Pi ·
.
ds ds
ds2
dui duj
d2 u i
·
+Pi ·
P̈ = Γkij · P k + hij · n ·
.
ds ds
ds2
Z toho, že g k je velikost pravoúhlého průmětu vektoru prvnı́ křivosti do tečné
roviny, plyne vzorec.
Poznámka 22. Větu 50 lze chápat i jako soustavu diferenciálnı́ch rovnic pro
určenı́ geodetik.
Vypočteme Christoffelovy symboly tak, že vystačı́me s 1. tenzorem. Tı́m ukážeme,
že geodetická křivost je pojmem vnitřnı́ geometrie plochy.
Platı́ gij = P i · P j , derivujeme
∂k gij = P ik · P j + P i · P jk
(2.12)
∂j gki = P kj · P i + P k · P ij
(2.13)
∂i gjk = P ji · P k + P j · P ki
(2.14)
cyklickou záměnou
Od součtu rovnic (2.12) a (2.13) odečteme rovnici (2.14) a obdržı́me:
2 · P i · P jk = (∂k gij + ∂j gki − ∂i gjk ),
tedy Γkij lze vyjádřit pomocı́ derivacı́ gij .
Věta 51. (O geodetice I.)
(a) Křivka plochy je geodetikou, právě když v každém bodě (s nenulovou prvnı́
křivostı́) splývá hlavnı́ normála křivky s normálou plochy.
(b) Je-li geodetická křivka rovinná (ale nenı́ přı́mkou), pak je hlavnı́ křivkou.
(c) Při rozvinutı́ dvou ploch na sebe (délkojevné zobrazenı́) se všechny geodetiky
jedné plochy zobrazı́ na geodetiky druhé plochy.
Důkaz.
(a) Plyne z definice geodetické křivosti.
(b) Je důsledkem lemmatu
Lemma 1. Křivka plochy je hlavnı́, právě když plocha tvořená normálami
plochy v bodech křivky je rozvinutelná.
54
2.15. ASYMPTOTICKÉ, HLAVNÍ A GEODETICKÉ KŘIVKY
55
(c) Plyne z toho, že lze Γkij vyjádřit pomocı́ derivacı́ gij .
Věta 52. (O nejkratšı́ spojnici)
(a) Pokud mezi dvěma body plochy existuje nejkratšı́ spojnice, pak je geodetikou.
(b) Každým bodem plochy procházı́ jediná geodetika s danou tečnou.
Důkaz. Odvozenı́ těchto vlastnostı́ vyžaduje hlubšı́ poznatky z variačnı́ho počtu.
Proto zde nenı́ možné podat důkaz.
Poznámka 23. Řez je normálový, je-li rovina řezu v každém bodě řezu kolmá na
tečnou rovinu (obsahuje normálu plochy).
Věta 53. (O geodetice II.)
(a) Každá přı́mka (nebo jejı́ část) na ploše je geodetikou.
(b) Každý normálový řez plochy je geodetikou.
Důkaz. Je zřejmý z definice.
Přı́klad 12.
(a) Geodetikami v rovině jsou právě jejı́ přı́mky. Splývá množina geodetik a nejkratšı́ch spojnic.
(b) Geodetikami na kulové ploše jsou tzv. hlavnı́ kružnice, tj. kružnice, které majı́
střed ve středu kulové plochy. To plyne např. z věty 53 - b.
(c) Geodetikou (jednou z geodetik) na obecné válcové ploše je normálový řez (viz
věta 53 - b).
(d) Geodetikami na rotačnı́ válcové ploše jsou: površky, rovnoběžkové kružnice a
šroubovice. Zvolı́me-li na povrchu dva body, existuje mezi nimi (nejsou-li na
téže rovnoběžkové kružnici, tj. normálovém řezu) nekonečně mnoho geodetik.
Jen jedna z nich je nejkratšı́ spojnicı́.
(e) Uvažujme rotačnı́ plochu
P (u, v) = α(u) · cos v, α(u) · sin v, β(u)
Pak každý meridián je geodetikou (je normálovým řezem).
Rovnoběžková kružnice je geodetikou, právě když pro meridiány M v bodech
dané rovnoběžkové kružnice platı́
M (u) = α0 (u), 0, β 0 (u) = 0, 0, β 0 (u) 6= 0 ,
tj. α0 (u) = 0. Jde tedy o rovnı́kové a hrdlové kružnice.
Důkaz plyne z toho, že jde o normálový řez.
55
2.16. MINIMÁLNÍ PLOCHY
56
Samozřejmě, že na rotačnı́ ploše existujı́ i jiné geodetiky (viz šroubovice na rotačnı́
válcové ploše).
Věta 54. (Clairautova) Necht’ G (t) je geodetikou na rotačnı́ ploše s osou o a
necht’ ρ(t) je vzdálenost bodu křivky G (t) od osy o. Označme ϕ(t) odchylku křivky
G (t) od meridiánu M (k) v daném bodě, tj.
G0 (t) · M 0 (k)|
|G
.
ϕ(t) = arccos
M 0 (k)|
G0 (t)| · |M
|G
Pak součin ρ(t) · sin(ϕ(t)) je konstatnı́. Naopak je-li součin ρ(t) · sin(ϕ(t)) konstantnı́, je křivka G (t) geodetikou.
Důkaz. Standardnı́m výpočtem. Druhá část vyžaduje řešenı́ diferenciálnı́ rovnice.
2.16
Minimálnı́ plochy
Pro prostorovou křivku (uzavřenou) hledáme plochu, která ji obsahuje a má minimálnı́ povrch. Z fyzikálnı́ho hlediska jde o problém mýdlové bubliny“. Počátky
”
jsou v 18. stoletı́ u Eulera a Lagrange. Problém bývá nazýván problém Plateau
(Plateau byl fyzik, který se věnoval kapilárnı́m jevům a vytvářenı́ povrchů na
mřı́žkách).
Definice 42. Řekneme, že plocha je minimálnı́, právě když ve všech jejı́ch bodech
je nulová střednı́ křivost.
Věta 55. Řešenı́m problému Plateau jsou minimálnı́ plochy, tj. pokud pro danou
uzavřenou křivku existuje plocha (plát, část plochy) s touto hranicı́ taková, že ze
všech ploch s danou vlastnostı́ má minimálnı́ povrch, pak jde o plochu minimálnı́,
tj. o plochu s nulovou střednı́ křivostı́ ve všech jejı́ch bodech.
Přı́klad 13.
(a) Mezi rotačnı́mi plochami existuje jediná minimálnı́ plocha. Je jı́ katenoid,
který vzniká rotacı́ řetězovky.
1 · cosh ax, a > 0.
Řetězovka: z = a
1 · cosh(au) · cos v, 1 · cosh(au) · sin v, u.
Katenoid: P (u, v) = a
a
(b) Jedinou přı́mkovou minimálnı́ plochou (kromě roviny) je helikoid
P (u, v) = (u · cos v, u · sin v, v0 · v).
Helikoid je pravoúhlou uzavřenou šroubovou plochou (povrchové přı́mky jsou
kolmé k ose šroubového pohybu a osu protı́najı́).
56
2.16. MINIMÁLNÍ PLOCHY
57
(c) Enneperův deštnı́k“
”
1
1
P (u, v) = (u − u3 + uv 2 , v − v 3 + vu2 , u2 − v 2 )
3
3
je minimálnı́ plochou.
57
Literatura
[1] Budinský, B. – Kepr, B.: Základy diferenciálnı́ geometrie s technickými aplikacemi. SNTL, Praha 1970.
[2] Budinský, B.: Analytická a diferenciálnı́ geometrie. SNTL, Praha 1983.
[3] Pradlová, J.: Diferenciálnı́ geometrie – sbı́rka řešených přı́kladů. ZČU, Plzeň
2001.
[4] Pressley, A.: Elementary differential geometry. Springer, London 2001.
[5] Švec, A.: Úvod do diferencovatelných variet. MFF, Praha 1969.
[6] Vanžurová, A.: Diferenciálnı́ geometrie křivek a ploch. Univerzita Palackého,
Olomouc 1996.
58
Index
Asymptotická křivka na ploše, 52
Asymptotický směr, 45
Hyperbolický bod, 46
Hyperoskulačnı́ kružnice křivky, 16
Bod na ploše
eliptický, 46
hyperbolický, 46
kruhový, 45
parabolický, 46
planárnı́, 45
Inflexnı́ bod křivky, 12
Christoffelovy symboly, 51
Dotyk
křivek, 15
Druhá základnı́ forma plochy, 43
Druhý tenzor plochy, 43
Dupinova indikatrix, 45
Einsteinova sumačnı́ konvence, 29, 31
Eliptický bod, 46
Ennerepův deštnı́k, 57
Ennerova plocha, 57
Evoluta, 19
Evolventa, 19
Flexe, 12
Frenetovy vzorce, 13
Gaussova křivost plochy, 47
Geodetická křivost křivky na ploše, 50
Geodetika, 53
Helikoid, 56
Hlavnı́ křivka na ploše, 52
Hlavnı́ křivost plochy, 47
Hlavnı́ směr, 46
Jacobián, 31
Křivka
asymptotická, 52
binormála, 12
délka, 7
definice, 5
druhá křivost, 13
geodetická, 53
hlavnı́, 52
hlavnı́ normála, 12
hyperoskulačnı́ kružnice, 16
inflexnı́ bod, 12
jednoduchá uzavřená rovinná, 22
kanonické vyjádřenı́, 15
konvexnı́, 27
na ploše, 30
nejkratšı́, 55
normála, 12
normálová rovina, 12
obalová, 17
oskulačnı́ kružnice, 16
oskulačnı́ rovina, 11
parametr
oblouk, 8
transformace, 6
parametrická (na ploše), 30
parametrické vyjádřenı́, 6
perioda parametrizace, 23
59
INDEX
60
prvnı́ křivost, 12
regulárnı́, 5
rektifikačnı́ rovina, 12
rovnice
explicitnı́, 6
implicitnı́, 6
přirozené, 15
spádová, 18
tečný vektor, 8
tečna, 8
vrchol, 27
Křivka na ploše
geodetická křivost, 50
Křivky
dotyk, 15
Křivost
Gaussova, 47
geodetická, 50
hlavnı́, 47
normálová, 43
střednı́, 47
Křivost křivky
druhá, 13
prvnı́, 12
Kanonické vyjádřenı́ křivky, 15
Katenoid, 56
Klotoida, 15
Konexe, 52
Kontravariantnı́ souřadnice vektoru na
ploše, 36
Kovariantnı́ souřadnice vektoru na ploše,
38
Kruhový bod, 45
Nerovnost
isoperimetrická, 25
Wirtingerova, 24
Normála plochy, 32
Normálová křivost plochy, 43
Normálový řez, 55
Normálový vektor plochy, 32
Obálka
charakteristický bod, 17
Obálka systému křivek, 17
Obalováplocha, 32
Oskulačnı́ kružnice křivky, 16
Oskulačnı́ rovina křivky, 11
Parabolický bod, 46
Parametrizace
křivky, 6
obloukem, 8
transformace, 6
Planárnı́ bod, 45
Plocha
definice, 29
minimálnı́, 56
normála, 32
obalová, 32
parametrická křivka, 30
regulárnı́, 29
rozvinutelná, 34
tečná rovina, 32
transformace parametrů, 31
Problém Plateau, 56
Prvnı́ tenzor plochy, 39
Prvnı́ základnı́ forma plochy, 39
Rovnice
Gaussovy, 51
Weingartenovy, 51
Rozvinutelná plocha, 34
Řád dotyku křivek, 15
Směr na ploše
asymptotický, 45
hlavnı́, 46
Souřadnice vektoru na ploše, 36
kontravariantnı́, 36
kovariantnı́, 38
Střednı́ křivost plochy, 47
Tečná rovina plochy, 32
60
INDEX
61
Tenzor
úženı́, 39
antisymetrický, 39
druhý, 43
metrický, 39
na ploše, 38
prvnı́, 39
snı́ženı́ indexu, 39
symetrický, 39
zvýšenı́ indexu, 39
Theorema Egregium, 49
důsledky, 49
Torze, 13
úhlojevné (konformnı́), 41
délkojevné, 40
konformnı́, 41
plochojevné, 42
regulárnı́, 40
Věta
Clairautova, 56
Eulerova, 48
Gaussova, 51
Meusnierova, 44
o čtyřech vrcholech, 27
o délkojevném zobrazenı́, 40
o Gaussově křivosti, 48
o hlavnı́m směru na ploše, 46
o konformnı́m zobrazenı́, 41
o normálové křivosti, 43
o obalové ploše, 33
o ortonormálnı́m repéru, 14
o plochojevném zobrazenı́, 42
o rozvinutelných plochách, 36
Rodriguesova, 53
Theorema Egregium, 49
Weingartenova, 51
Vektor
na ploše, 36
Vrchol křivky, 27
Vzorce
Frenetovy, 13
Gaussovy, 51
Weingartenovy, 51
Zobrazenı́
61