GÖDELOVA NEROZHODNUTELNÁ VĚTA A MÖBIOVA PÁSKA

GÖDELOVA NEROZHODNUTELNÁ VĚTA
A MÖBIOVA PÁSKA
Blažena Švandová
Shrnutí: Vysvětlit názorně podstatu Gödelova převratného objevu
1. věty o neúplnosti je v krátkosti nemožné, studenti se s Gödelovými
větami obvykle seznamují ke konci semestrálního kurzu matematické
logiky. Jim i širší veřejnosti by mohla analogie mezi Gödelovou nerozhodnutelnou větou a Möbiovou páskou usnadnit pochopení povahy
Gödelova slavného objevu. Nejde nám v první řadě o vzájemný vztah
mezi logikou a topologií, ale o vyjasnění filosofického významu Gödelovy nerozhodnutelné věty. Obhajujeme názor, že Gödelův postup při
dokazování existence nerozhodnutelné a přitom pravdivé věty by mohl
ilustrovat postup, jakým rozum, když narazí na paradox, po dialektickém zdvihu proniká do vyšších sfér skutečnosti.
V druhé půlce 20. století bylo slyšet Gödelovo jméno z úst lidí
nejrůznějšího zaměření, kteří se jím zaštiťovali v odborných i laických
debatách o fungování lidské mysli, o nekonečnu, o pravdě v matematice
i mimo ni a o povaze lidského poznání vůbec.
V těchto debatách se často mluvilo o Gödelově důkazu první věty
o neúplnosti, jehož jádrem je demonstrace nerozhodnutelné věty (formule) pomocí prostředků axiomatického systému logiky 1. řádu s aritmetikou (viz Gödelův slavný článek z r. 1931)1 . Pro pochopení přesahu
1
K. Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und
verwandter Systeme I, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38 (1931), s. 173198. Česky: O formálně nerozhodnutelných větách v díle Principia Mathematica a
příbuzných systémech I. Přel. B.Švandová. In: J. Malina, J. Novotný (eds.): Kurt
Gödel. Brno: Universitas Masarykiana, Osobnosti, s. 168-205. Gödelovy věty o neúplnosti jsou dvě. První tvrdí a dokazuje, že každý dostatečně obsažný axiomatický
systém, například zavedený v Russellově a Whiteheadově knize Principia Mathematica, obsahuje věty, o jejichž pravdivosti se nedá v rámci uvedeného systému
rozhodnout a druhá věta tvrdí, že jednou z těchto vět je věta o bezespornosti
systému. V článku (1931) je podrobně proveden důkaz první věty, důkaz druhé
věty je přesvědčivě naznačen. Zde se zabýváme jen důkazem 1. věty, tj. způsobem,
jakým Gödel nerozhodnutelnou větu ve svém axiomatickém systému konstruoval
a jak dokázal jednak její nerozhodnutelnost a vzápětí, z hlediska vyšší úrovně,
pravdivost.
2
Blažena Švandová
do filosofie, který důkaz 1. věty o neúplnosti má, si v tomto příspěvku
povšimneme překvapující podobnosti Gödelovy nerozhodnutelné věty
s Möbiovou páskou.
Pro uvedení do problému dáme slovo Grahamu Priestovi, který se
domnívá, že paradox lháře je jakousi jazykovou Möbiovou páskou.2
Uvažujme lhářský paradox ve tvaru
(1) Věta (1) je nepravdivá.
Ptejme se: je věta (1) pravdivá nebo nepravdivá? Jestliže je pravdivá,
pak podle toho, co tvrdí, je nepravdivá. Jestliže naopak je nepravdivá,
a přitom tvrdí, že je nepravdivá, je pravdivá. A tak se točíme v paradoxním kruhu. Z logického hlediska, které si nevšímá postupu úvahy
v čase, je lhářská věta současně pravdivá i nepravdivá.
Obr. 1. Kruhová páska a Möbiova páska
Rub černě
Kruhová páska
Líc-pravda,
rub-nepravda
a)
c)
b) Analogie lhářské
věty
d) Je povrchem líc
nebo rub?
Möbiova páska
Na obr. 1b) a d) je Möbiova páska. Představme si, že máme pásek
papíru slepený do kruhu připomínající plášť válce na obr. 1a). Jeho
líc necháme bílý, rub začerníme. Bílá symbolizuje pravdu, černá nepravdu. Nyní pásku rozstřihneme, jeden konec vůči druhému o 1800
přetočíme a znovu přiložíme k sobě a slepíme. Vzniklá Möbiova páska
má jen jeden povrch. Na obr. 1b) se na něm střídají bílé a černé části
odpovídající pravdě a nepravdě. Kloužeme-li prstem po povrchu pásky,
připomíná to paradoxní střídání pravdy a nepravdy lhářské věty. Na
2
46
G. Priest: Logika, průvodce pro každého, Přel. P. Hromek, Dokořán, 2007, str.
Gödelova nerozhodnutelná věta
3
Möbiovu pásku můžeme hledět jako na topologickou ilustraci lhářské
věty.
Pokud na kruhové pásce neobarvíme rub, viz obr. 1d, nabízí se
otázka: Je nyní jediný povrch Möbiovy pásky jejím lícem nebo rubem? To se nedá rozhodnout, jako se nedá rozhodnout o pravdivosti
nebo nepravdivosti Gödelovy nerozhodnutelné věty prostředky jeho
axiomatického systému. A analogie pokračuje. Když Möbiovu pásku
vhodně rozvineme do čtyřrozměrného prostoru, bude mít toto rozvinutí opět líc a rub vzhledem k čtyřrozměrnému tělesu, které v něm
obepíná. To odpovídá v logice situaci, kdy se Gödelova nerozhodnutelná věta dá rozhodnout v logikách vyššího řádu.3
Abychom naši analogii obhájili a zjistili její přiléhavost, potřebujeme si nejprve uvědomit, že Gödel sám nijak nezastíral, že paradoxy
lze použít při konstrukci nerozhodnutelných vět a že sám konstruoval
svoji nerozhodnutelnou větu jako paradox;4 upadnutí do paradoxu se
ale elegantně vyhnul, když namísto pravdivosti zvolil dokazatelnost za
společný atribut celku dokazatelných vět.
Obraťme nyní pozornost k Möbiově pásce. Topologové neznají pojmy líc a rub. Odpovídajícími pojmy jsou kladná a záporná orientace
daného útvaru vzhledem k oblasti, kterou ohraničuje. Abychom se vyhnuli nenázorným demonstracím ve čtvrté prostorové dimenzi, k nimž
analogie s Möbiovou páskou vede, provedeme zásadní zjednodušení.
Sestoupíme o dimenzi níže a místo na Möbiově pásce ukážeme naši
analogii na tzv. dvousmyčce.
Dvousmyčkou rozumíme jednorozměrný útvar v rovině (není to
křivka) obsahující překřížení. Můžeme si ji představit jako ležatou
osmičku, která se stala v novověku symbolem pro nekonečno; je zajímavé, že kdysi dávno, snad již šestnáct století před Kristem, byl
malován v tomto tvaru Uroboros, had požírající svůj ocas (symbol
sebereflexe), viz obr. 2.5
3
K.Gödel, c.d., pozn. pod čarou 98: „. . . Lze totiž ukázat, že nerozhodnutelné
věty se stanou rozhodnutelnými, když přidáme vhodné vyšší typy (např. typ w
do systému P). S podobným chováním se setkáme i v případě systému axiomů
teorie množin.ÿ (Gödel ve svém článku pojem řádu neužívá, pojetí „typuÿ přibližně
koresponduje s dnešním pojetím „řáduÿ.)
4
K. Gödel, c.d., pozn. pod čarou 58, v čes. překladu s. 172.
5
Obr. 2 je převzat z knihy Johna D. Barrowa: Kniha o nekonečnu. Stručný
průvodce světem bez hranic, počátku a konce, Přel. J.Novotný, Paseka, Praha 2007,
4
Blažena Švandová
Obr. 2. Uroboros (16. stol. př.n.l.)
Obr. 3. Rozpojením orientované kružnice a opětným spojením s opačnou orientací jednoho z konců vznikne překřížení (dvousmyčka).
a)Kružnici
rozpojíme
b) Opačně
orientovaný konec
připojíme
c)
Překřížení je volně
pohyblivé
d)
Dvousmyčka
může
mít
různé tvary
e) Nejsymetričtější tvar
dvousmyčky
Posloupnost obrázků 3a) až 3e) ukazuje, jak z kružnice s neproblematickou orientací vzhledem k uvnitř ležící kruhové oblasti, vznikne
dvousmyčka, kterou nelze orientovat. Orientace výchozí kružnice je
vyznačena pomocí normálových vektorů. Abychom přešli z kružnice
k dvousmyčce a nevystoupili přitom z původní roviny, musíme kružnici rozpojit, jeden konec vůči druhému opačně orientovat (analogie
přetočení pásky, aby vznikla Möbiova) a znovu spojit. Tím vznikne
smyčka, dojde k překřížení a destrukci kruhové oblasti, vzhledem k níž
byla kružnice orientovaná. Původní rozdělení roviny na kruh a jeho
doplněk se tím zcela rozvrátí. Ale lidský rozum touží po řádu. Ten je
opět nastolen, když vyvineme dvousmyčku z roviny do prostoru tak,
že vznikne křivka, u které se orientace dá určit.
s. 18
Gödelova nerozhodnutelná věta
5
Obr. 4. Rozvinutím symetrické dvousmyčky na
povrchu válce obdržíme sinusoidu.
Na obr. 4 je ukázáno jak může být například sinusoida na povrchu
válce považována za rozvinutí dvousmyčky z roviny do prostoru. Na
skleněný válec byly nakresleny dvě sinusové vlny a náhledy z několika
směrů dosvědčují, že rovnoběžný průmět dvou sinusovek do roviny,
která prochází osou válce, je při vhodném natočení dvousmyčka.
V Tabulce 1 jsou systematicky uspořádány útvary, které stimulují
rozum, aby nahlédl rozvinutí ve vyšší dimenzi: dvousmyčka (Uroboros), Möbiova páska a Kleinova láhev. V místech s otazníky by snad
některý z laskavých čtenářů mohl tabulku doplnit. Pokud je úvaha
vedoucí k sestavení tabulky správná, měla by Tabulka 1 pokračovat
směrem vpravo, kde by neomezeně přibývaly další, dosud nepojmenované, útvary.
Tabulka 1. Systemizace útvarů stimulujících rozvinutí ve vyšší dimenzi
6
Blažena Švandová
útvar
Uroboros
Möbiova
páska
Kleinova
láhev
1D útvar vymezuje 2D oblast.
2D útvar vymezuje 3D oblast.
3D útvar vymezuje 4D oblast.
Kružnice vymezuje kruh.
Plášť válce vymezuje válec.
Anuloid ve 4D vymezuje ?
1D
útvar
ve
2D
prostoru
je
dvousmyčka
(Uroboros).
2D útvar v 3D
prostoru je Möbiova páska.
3D útvar v 4D
prostoru je Kleinova láhev.
jeho orientovatelnost
orientovatelný vzhledem
k
oblasti,
kterou
vymezuje
výchozí
neorientovatelný
překřížený
orientovatelné rozvinutí
ve
vyšší
dimenzi
rozvinutý
?
?
1D útvar do 3D
prostoru.
2D útvar do 4D
prostoru.
3D útvar do 5D
prostoru.
Sinusoida
na
plášti
válce
má průmět do
2D, kterým je
dvousmyčka.
Co vznikne rozvinutím na plášť 4D
tělesa, aby průmětem toho do
3D byla Möbiova
páska?
Co vznikne rozvinutím na plášť 5D
tělesa, aby průmětem toho do
4D byla Kleinova
láhev?
Gödelova nerozhodnutelná věta
7
Expozice Gödelova důkazu
1. Aritmetizace: Gödelův krok k uskutečnění Leibnizova snu6
Obecně rozumíme aritmetizací jazyka překlad daného jazyka do
jazyka aritmetiky. Gödel aritmetizoval logiku, přeložil jazyk logiky do
symbolického jazyka operujícího s čísly.
Jazyk aritmetiky je jazyk čísel; pokud jsou čísla vyjádřena desítkovou číselnou soustavu, jsou jeho abecedou číslovky 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 0 a znaménka +, -, * a / pro sečítání, odčítání, násobení a dělení,
případně další znaky pro další operace. Pokud jsou čísla vyjádřena
dvojkovou číselnou soustavu, vystačíme s číslovkami 0 a 1; pokud jsou
například vyjádřena šestadvacítkovou soustavu, potřebovali bychom
26 různých číslovek, zhruba tolik, kolik je písmen abecedy. V jazyce
aritmetiky hrají roli písmen číslovky, roli slov čísla, roli gramatiky
číselná soustava a roli logického vyvozování aritmetické operace.
Mělo by nějaký smysl používat jazyk aritmetiky namísto běžného
jazyka? Kdybychom písmenům (například české abecedy) přiřadili číslovky, pak by posloupnosti číslovek, tj. čísla zapsaná v příslušné číselné
soustavě znamenala slova a počítat by znamenalo totéž co usuzovat.
V náznaku se něco takového vyskytuje u hebrejštiny.
Například druhé písmeno hebrejské abecedy beth znamená dům
a současně označuje číslo 2, třetí písmeno gimel znamená velblouda
a číslo 3,. . . jod znamená ruku a současně číslo 10, atd. Posloupnost
číslovek „23ÿ („beth gimelÿ ) má význam spojení velblouda a domu.
V židovské kabale mají taková spojení magický smysl: číslo kapitoly
jmenuje současně téma, o kterém se v ní pojednává. Hebrejštinou se
nechal inspirovat katalánský učenec R. Lull na přelomu 13. a 14. století a svůj vynález, spočívající v kombinování pojmů, nazval Velké
umění (Ars magna); G.W. Leibniz na počátku 18. století snil o univerzálním jazyce, který by veškeré užitečné úvahy převáděl na snadněji
kontrolovatelné číselné výpočty.
S jistou nadsázkou můžeme říci, že Leibnizovu myšlenku uskutečnil
6
Pasáž o aritmetizaci lze přeskočit, stačí vzít na vědomí, že Gödel zavedl symbolický jazyk operující s čísly, který dovolí logické dokazování zmechanizovat. (Pro
ty, co umí programovat: Gödel zavedl něco jako asembler, který popisuje, co se
děje na nejnižší úrovni s čísly, když mechanicky (algoritmicky) řešíme nějaký problém. Gödelův „asemblerÿ pracuje s Gödelovými čísly, což jsou zvláštním způsobem zakódovaná čísla formulí. Dokazování se pak prostě děje počítáním – o něčem
takovém snil již Leibniz.)
8
Blažena Švandová
Gödel. Nejprve definoval jazyk, kterým vymezil formální axiomatický
systém, do něhož vložil logiku Russelovy a Whiteheadovy knihy Principia Mathematica doplněnou (Peanovými) axiomy pro aritmetiku. A
tento jazyk aritmetizoval: jeho slova a věty (formule)7 zakódoval čísly
a dokazování převedl na počítání.
V logice, s níž konkrétně pracoval, zvolil Gödel jako základní následující znaky: ¬ pro negaci, ∨ pro disjunkci, Π pro obecný kvantifikátor, 0 pro nulu, f pro funkci následníka (např. f 0 = 1 znamená,
že následník nuly je jednička), „(ÿ pro otevírací závorku a „)ÿ pro
zavírací závorku; dále zavedl nekonečnou množinu proměnných pro
každou z nekonečné množiny jejich typů. Zvoleným znakům přiřadil
čísla následovně
0 f
1 3
¬ ∨
5 7
Π
9
(
)
11 13
a proměnným x1 , y1 , z1 , . . . prvního typu (nad individui, tj. přirozenými čísly včetně 0), proměnným x2 , y2 , z2 , . . . druhého typu (nad třídami individuí), proměnným x3 , y3 , z3 , . . . třetího typu (nad třídami
tříd individuí) atd., přiřadil čísla pni , kde pi jsou prvočísla větší než 13
a n označuje typ proměnné. Tak mohl zakódovat čísly jakoukoli posloupnost znaků, zejména takovou, která představuje formuli (větu).
Nechť jsou například n1, n2, . . . ns čísla, kterými byly zakódované
znaky nějaké formule F v tom pořadí, v jakém se v F vyskytují.
A nechť jsou p1 , p2 , . . . ps prvočísla v pořadí podle velikosti počínaje
prvočíslem 2. Pak kódové (Gödelovo) číslo G formule F je G = pn1
1 ·
n2
n3
ns
p2 · p3 · . . . · ps . Například jednou z dokazatelných formulí logiky,
kterou Gödel použil byla
F = ¬(xΠ((¬(x(f y))) ∨ (x(0)))),
kde x je proměnná 2. typu a y je proměnná 1. typu. Čísla znaků v této
formuli jsou postupně 5, 11, 289, 9, 11, 11, 5, 11, 289, 11, 3, 17, 13,
13, 13, 7, 11, 289, 11, 1, 13, 13, 13, 13. Kódovým číslem této formule
je G = 25 · 311 · 5289 · 79 · 1111 · 1311 · 175 · 1911 · 23289 · 2911 · 313 · 3717 · 4113 ·
4313 · 4713 · 537 · 5911 · 61289 · 71 · 7313 · 7913 · 8313 · 8913 . Pomocí příslušného
rozkladu na prvočísla a jejich mocniny lze z každého kódového čísla
7
Termín věta a formule používáme zde i na jiných místech tohoto článku jako
synonyma.
Gödelova nerozhodnutelná věta
9
jedno jednoznačně8 určit původní posloupnost číslic, resp. původní
posloupnost znaků příslušné formule. Zřejmě lze každou formuli zapsat
jako přirozené číslo, ale ne každému přirozenému číslu náleží nějaká
formule Gödelova systému.9
2. Gödelův důkazní aparát
Gödel v článku (1931) použil tři různé jazyky:
1. přirozený jazyk, kterým je článek napsán;
2. formální jazyk axiomatického systému zahrnujícího logiku s aritmetikou, který Gödel zavedl tak, že definoval jeho syntaxi a sémantiku a vybral jeho axiomy;
3. symbolický jazyk operující nad Gödelovými čísly, do kterého Gödel jedno jednoznačně přeložil syntaxi formálního jazyka včetně
jeho důkazního aparátu, který tím zmechanizoval.
V původním článku Gödel nemluví o mechanizování, ale o rekurzivitě
funkcí. Gödel zavedl pojem rekurzívní (vyčíslitelné) funkce. Ukázal,
že rekurzívní10 jsou vedle základních aritmetických operací i logické
operace, např. také substituce čísla za proměnnou, která hraje důležitou roli při konstrukci nerozhodnutelné věty, dále kódování znaků
a jejich posloupností do čísel a zpětné rozkódování do posloupností
8
T.j. ke každé formuli existuje jediné Gödelovo číslo a ke každému Gödelovu
číslu existuje jediná formule. Jakmile znám formuli, mohu okamžitě mechanicky
nalézt její Gödelovo číslo a naopak, když znám Gödelovo číslo, mohu okamžitě
mechanicky nalézt formuli, která jím byla zakódovaná.
9
Uvedený příklad je téměř doslova převzat z Rosserova článku, viz J. B. Rosser: Extensions of some theorems of Gödel and Church. In: M. Davis (ed.) The
Undecidable. The Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems
And Computable Functions. New York, Hewlett: Raven Press, 1965, s. 226.
Tím, že kódoval obojí, jak čísla (individua), tak i funkce nad těmito individui,
Gödelovými čísly, „vtlačilÿ individua a funkce do jedné úrovně, což může být zavádějící při určování řádu logiky, s níž Gödel pracuje. Přestože se v době, kdy
Gödel psal svůj článek pojetí toho, co dnes rozumíme řádem logiky teprve formovalo, lze se spolu s Gregory Moorem domnívat, že Gödel použil ve svém důkazu
logiku 2. řádu, viz G. H. Moore: Zrod logiky prvního řádu. In: J. Peregrin (ed.),
Logika ve 20. století: mezi filosofií a matematikou. Výbor textů k moderní logice,
Filosofia 2006, s. 17-64.
10
Funkcím, které Gödel pojmenoval rekurzívní, se dnes říká primitivně rekurzívní a jsou podmnožinou rekurzívních.
10
Blažena Švandová
jednotlivých znaků. Konstrukci důkazního aparátu v symbolickém jazyce operujícím s Gödelovými čísly popsal přesně v po sobě logicky
následujících 46-ti krocích, z nichž předposledním je rekurzívní relace
„být důkazemÿ, tj. dvoučlenný predikát D(x, y) znamenající: „věta
označená znakem pro proměnnou x je důkazem věty označené znakem
pro proměnnou yÿ. V jazyce důkazního aparátu je příslušná relace
zavedena tak, že poslední sekvencí v posloupnosti znaků, kterou je zaznamenán důkaz x formule y, je sama dokazovaná formule y. Hodnoty
predikátu D(x, y) pro konkrétní argumenty x a y jsou 1 v případě, že
x je důkazem y, a jsou 0 v případě, že x není důkazem y (1 resp. 0
jsou pravdivostní hodnoty pravda resp. nepravda).
Posledním 46-tým krokem zavedl Gödel predikát „být důkazemÿ
a to pomocí formule Dok(y) = ∃xD(x, y), která vyjadřuje, že „důkaz věty y existujeÿ nebo též „nějaká věta x je důkazem věty yÿ.
Vlastnost Dok(y) na rozdíl od relace D(x, y) obecně rekurzívní není.
Zatímco umíme rozhodnout, že věta x je důkazem věty y, když obě
odpovídající posloupnosti znaků máme před sebou (x je posloupnost
znaků, která končí znaky vyjadřujícími dokazovanou formuli y), najít neznámý důkaz věty y rekurzí znamená prohledávat jeden možný
důkaz po druhém a zkoušet, jestli se zrovna neukáže být hledaným
důkazem. Když máme nějaké konkrétní formule x a y s Gödelovými
čísly Gx a Gy, pak Gödelův symbolický jazyk dovolí ověřit čistě jen
výpočtem (mechanicky) pravdivost Dok(y), když jsme předtím dosadili Gödelova čísla Gx a Gy za proměnné x a y ve formuli ∃xD(x, y)
(viz Gödel 1931, věta 5).
3. Konstrukce Gödelova diagonálního argumentu
V Gödelově axiomatickém systému jsou platné pouze ty věty, které
mají důkaz. Přitom důkazy nejsou zase nic než formule (věty) tvořené
posloupností výchozích axiomů a důkazních kroků tak, aby posloupnost končila dokazovanou formulí (větou). Je běžné, že důkaz mají i
formule, které jsou samy již důkazem nějaké jiné formule. Jak formulí,
které mají důkaz, tak těch, které jsou důkazem nějaké jiné formule,
je spočetně nekonečně mnoho, jedná se o stejně mohutnou množinu,
kterou lze uspořádat podle velikosti Gödelových čísel, jejich kódů. Relace D(x, y) s argumenty, jejichž oborem jsou formule, má aritmetický
obraz, kterým je odpovídající relace s argumenty, jejichž oborem jsou
Gödelova čísla těchto formulí. Protože jazyk logiky operující nad for-
Gödelova nerozhodnutelná věta
11
mulemi a symbolický jazyk operující nad jejich Gödelovými čísly jsou
výrazově rovnocenné (sémantika se zračí v syntaxi), je možné oslovovat tentýž objekt jednou jako formuli a jednou jako posloupnost
znaků. Z technického hlediska je to právě tato dvojznačnost, která dovolí napodobit paradoxní zacyklení při demonstraci nerozhodnutelné
věty.
V Tabulce 2 jsou vypsány prvky matice odpovídající relaci D(x, y),
tj. „x je důkazem yÿ pro x a y probíhající všechny dokazatelné formule
Gödelova axiomatickém systému. Po řádcích jsou vypsány jednoargumentové predikáty DGi (g) v pořadí podle velikosti jejich Gödelových
čísel Gi. Formule pro predikát DGi (g) vznikne z formule pro relaci
D(x, y) tak, že za znak pro proměnnou y, označující dokazovanou formuli, dosadíme její Gödelovo číslo Gy. Připomeňme, že oborem proměnné g jsou Gödelova čísla všech dokazatelných formulí. Protože v
řeči posloupnosti znaků je formule znamenající důkaz vyjádřena touž
posloupností znaků jako relace „x je důkazem yÿ, je Gödelovo číslo Gi
formule DGi (Gj) vlastně Gödelovo číslo formule x.
Tabulka 2.
g/Gi
DGi (g)
DG1 (g)
DG2 (g)
DG3 (g)
·
·
Dg (G1)
Dg (G2)
Dg (G3)
·
·
DG1 (G1)
DG2 (G1)
DG3 (G1)
·
·
DG1 (G2)
DG2 (G2)
DG3 (G2)
·
·
DG1 (G3)
DG2 (G3)
DG3 (G3)
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Oproti Tabulce 2 jsou v Tabulce 3 vypsané (pro smyšlený případ) pravdivostní hodnoty relace D(x, y), potažmo predikátů DGi (g).
Hodnota 1 v daném místě tabulky znamená, že odpovídající věta je
pravdivá, tj. x je důkazem y, hodnota 0, že x není důkazem y. Jak už
bylo řečeno, je možné relaci D(x, y) pro konkrétní x a y pomocí jejich
Gödelových čísel Gx a Gy ověřit počítáním. Nyní si v Tabulce 3 povšimneme prvků v diagonále; ty jsou přepsány do nejbližšího volného
řádku, který pak vyjadřuje další z predikátů DGi (g). Je zakódovám
Gödelovým číslem Gd a nazveme jej DGd (g). Vyjadřuje sebevztažný
predikát „být vlastním důkazemÿ („formule g je svým vlastním důkazemÿ). Příkladem takové formule je axiom. Důkaz začne posloupností
znaků pro tento axiom a tím také končí, protože je právě tou větou,
12
Blažena Švandová
která má být dokázána. Pravdivé věty v diagonále jsou axiomy (dokazují samy sebe). Mají význačné postavení, neboť vymezují (tvarují,
ohraničují) daný celek.
Tabulka 3.
g/Gi
DGi (g)
DG1 (g)
DG2 (g)
DG3 (g)
DG4 (g)
DG5 (g)
DG6 (g)
DGd (g)
Gd
0
1
0
0
1
0
·
0
·
·
0 1 0
1 1 0
1 0 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
· · ·
1 0 0
· · ·
· · ·
0 1
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
· ·
0 0
· ·
· ·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
1?
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Po přepsání diagonály do řádku DGd (g) stále ještě chybí na tomto
řádku diagonální prvek DGd (Gd) – v Tabulce 3 je již doplněn a zvýrazněn otazníkem. Vyjadřuje, že formule je svým vlastním důkazem;
jenže teď je tou formulí, o kterou se jedná, predikát „být vlastním důkazemÿ: „formule ,je vlastním důkazem’ je vlastním důkazem formule
,je vlastním důkazem’ÿ. Formule je vnořena do sebe, je vztažena sama
k sobě a tím sama sebe potvrzuje. Novou vlastností, kterou vyjadřuje
a potvrzuje, je dokazatelnost jako taková, tedy to, že důkaz nějaké formule existuje, což v naší notaci zapíšeme jako ∃xD(x, Gd). Hodnota 1
(v Tabulce 3 s otazníkem) taková vždycky musí být, protože její opak
implikuje spor. Vyjadřuje, že se v diagonále objeví alespoň nějaká dokazatelná formule (třeba jen ona sama). Potvrzuje, že systém má být
použit k dokazování. Proto jej matematikové nazývají „pevný bodÿ.11
K demonstraci nerozhodnutelné (nedokazatelné ani nevyvratitelné) věty zbývá už jen krůček. Od diagonály pokročíme ke konstrukci
antidiagonály, jejíž jednotlivé prvky mají opačné pravdivostní hodnoty než prvky v diagonále. Antidiagonální predikát DGa (g), který
má Gödelovo číslo Ga, má jistě také diagonální prvek, který označíme
11
Viz např. R. M. Smullyan: Diagonalization and Self-Reference, Clarendon
Press, Oxford 1994.
Gödelova nerozhodnutelná věta
13
DGa (Ga), což můžeme zapsat také jako ¬∃xD(x, Ga), neboli neexistuje důkaz takové formule, která sama sebe dokazuje.12
Tabulka 4.
g/Gi
Gd
Ga
0
1
0
0
0
0
·
1
0
·
·
·
·
·
·
·
·
?
DGi (g)
DGd (g)
DGa (g)
0
1
0
0
1
0
·
0
1
0 1
1 1
1 0
0 0
0 0
1 0
· ·
1 0
0 1
0 0
0 0
1 1
0 0
0 0
0 0
· ·
0 0
1 1
1
0
0
0
1
0
·
0
1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
4. Důkaz nerozhodnutelnosti věty DGa (Ga)
Už jen z geometrického uspořádání Tabulky 4 je vidět, proč z definice nemá formule DGa (Ga) jednu pravdivostní hodnotu. Leží na
průsečíku diagonály a antidiagonály a proto by měla mít hodnotu 1
(protože leží v diagonále) a současně také hodnotu 0 (protože leží
v antidiagonále). Není ale možné, aby nějaká formule měla současně
hodnoty 1 a 0, protože by byla pravdivá i nepravdivá. Pro systém by
to znamenalo, že je v něm spor; takový systém by ale dokazoval například podle tautologie (p ∧ ¬p) → q jakoukoli větu. Přesný Gödelův
důkaz (v článku z 1931 důkaz věty 6) skutečně probíhá za předpokladu
bezespornosti systému13 a odehraje se ve dvou krocích.
12
V Gödelově notaci v článku z r. 1931má nerozhodnutelná věta v symbolickém
jazyce aritmetiky tvar 17 Gen r, kde „17 Genÿ má význam ∀x, v našem zápise
¬∃x a Gödelův relační znak r pro rekurzívní relaci zapisujeme v naší notaci jako
D(x, Ga). Naše notace je zjednodušená notace, kterou použil Kleene, viz S. C.
Kleene: The Work of Kurt Gödel. In: Shanker, S.G.(ed.) Gödels Theorem in focus.
London, New York, Sydney: Croom Helm, 1988, s. 48-73), v níž je nerozhodnutelná
věta označena výrazem ∀x¬A(p, x).
13
Gödel použil v druhém kroku silnější předpoklad ω-bezespornosti. Rosser (viz
J.B.Roser, c.d, s. 231-235) ukázal, že stačí jen málo pozměnit relaci „x je důkazem
yÿ a to na „x je důkazem y a současně neexistuje takové z, aby pro z ≤ x platilo, že
z je důkazem N eg(y)ÿ, kde N eg je symbol pro ¬ v jazyce aritmetiky, aby všechny
ostatní formule důkazní kroky v Gödelově článku (1931) zůstaly nezměněny a
místo ω-bezespornosti se předpokládala na příslušném místě bezespornost.
14
Blažena Švandová
V prvním kroku se ukáže, že za předpokladu dokazatelnosti
DGa (Ga) by existoval důkaz s Gödelovým číslem formule x, takže by
byla dokazatelná relace D(Gx, Ga). Tedy existoval by její důkaz pro
nějaké x a platilo by ∃xD(x, Ga), pak ovšem také ¬∀x¬D(x, Ga) a to
by znamenalo, že by bylo dokazatelné ¬DGa (Ga) a tedy opak původního předpokladu. To by způsobilo spor v systému; za předpokladu,
že systém je bezesporný, věta nemá důkaz.
V druhém kroku se opačným postupem ukáže, že za předpokladu dokazatelnosti ¬DGa (Ga) (vyvratitelnosti DGa (Ga)) by relace D(Gx, Ga) neměla důkaz; proto by byla dokazatelná relace
¬D(Gx, Ga). Tedy by neexistoval její důkaz pro nějaké x a proto by
bylo dokazatelné ¬∃xD(x, Ga), ale to by znamenalo, že by bylo dokazatelné DGa (Ga). To by opět způsobilo, že by systém byl sporný. Za
předpokladu, že je bezesporný, negace věty nemá důkaz (věta se nedá
vyvrátit).14
Nedá-li se dokázat aparátem Gödelova axiomatického systému ani
věta ani její negace, nedá se rozhodnout o její pravdivosti. Proto se
větě říká nerozhodnutelná nebo také nezávislá,15 protože rozhodnutí o
její pravdivosti je na důkazním aparátu formálního systému nezávislé.
Věta DGa (Ga) ani její negace proto do systému rozhodnutelných vět
nepatří. Přesto je pravdivá, protože je nedokazatelná, což je právě to,
co sama o sobě tvrdí. Systém tedy nedokazuje všechny pravdy, které se
v něm dají vyjádřit a proto je neúplný. Odtud název věta o neúplnosti.
Za povšimnutí stojí, že ukázání pravdivosti Gödelovy nerozhodnutelné věty není důkazem stejného druhu, jako důkaz její existence. Její
pravdivost se nedá dokázat vnitřními prostředky systému, ale teprve,
když se nad ně povzneseme, abychom prostým konstatováním shody
(korespondence) toho, co tvrdí, s tím, že je nedokazatelná, usoudili
na její pravdivost. Pravdivost poznáme teprve při pohledu zvnějšku,
z metapohledu.
14
Podobnost s cyklováním lhářské věty není náhodná, paradoxní zacyklení však
nekončí bezvýchodně, Gödel neupadl do paradoxu, ale udělal z něj součást exaktního matematického důkazu. Vedle důkazů sporem zařadil do repertoáru matematických důkazů důkazy paradoxem.
15
Triviálně nezávislých formulí s ohledem na formální aparát a zvolené axiomy Gödelova systému a proto také triviálně nerozhodnutelných vět je nekonečně
mnoho.
Gödelova nerozhodnutelná věta
15
5. Srovnání Gödelova diagonálního argumentu s původním
Cantorovým16
Tabulka 4 vybízí ke srovnání Gödelova diagonálního argumentu
s Cantorovým. Cantor17 studoval souhrn M prvků tvaru
E = (x1 , x2 , . . . xi , . . .),
kde E v místech souřadnic xi nabývá hodnotu m, nebo w, konkrétně např. 0, nebo 1. E si můžeme představit jako relaci (funkci)
o jedné proměnné nad oborem přirozených čísel, která v místě souřadnic x1 , x2 , . . . xi , . . . nabývá hodnot 0, nebo 1. Utvořením souhrnu
M získáme Tabulku 5 podobnou Tabulce 4 (konkrétní hodnoty prvků
matice jsou opět smyšlené).
Tabulka 5.
N
Ei
E1 (i)
E2 (i)
E3 (i)
·
·
·
·
Ei,i
antiEi,i
1 2
3
4
5
6
...
0
1
0
0
1
0
·
0
1
1
1
0
0
0
0
·
0
1
0
0
1
0
0
0
·
0
1
0
0
1
0
0
0
·
0
1
1
0
0
0
1
0
·
0
1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
0
1
1
0
0
1
·
1
0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Jednotlivé řádky v Tabulce 5 můžeme považovat za nekonečně
dlouhé posloupnosti číslovek tvořící číslo zapsané v binární soustavě
16
Tento odstavec lze při prvním čtení vynechat. Podstatné je zjištění, že nerozhodnutelná věta je „zvláštnímÿ prvkem na hranici axiomatického systému. Gödelovi se podařilo originálním způsobem aplikovat Cantorův postup v logice. Nechtěl
ukázat, že v axiomatickém systému chybí antidiagonální predikát (takový predikát nepatří do množiny dokazatelných, ale vyvratitelných vět), on prostě šel po
diagonále tak dlouho, jak jen mu to jeho konstrukční prostředky dovolily, a tak
našel svou nerozhodnutelnou větu.
17
G. Cantor: Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Matematiker-Vereinigung 1 (1890), s. 75-78. Česky: O jedné
elementární otázce z nauky o souhrnech. Přel. E. Fuchs. V: Fuchs, E. (1999) Teorie
množin pro učitele. Brno: PřF MU, s. 120-123.
16
Blažena Švandová
(binární čísla jsou spočetně nekonečněmístné dvouprvkové variace
s opakováním). Pokud je argumentů ve funkcích E spočetně nekonečně
mnoho, a tedy tolik, kolik přirozených čísel, a pokud funkcí zapíšeme
tolik, kolik mají argumentů, a tedy opět tolik, kolik je přirozených čísel, bude matice čtvercová a Cantorovým diagonálním postupem vyjde najevo, že vedle souhrnů spočetně nekonečně mnoha čísel existují i
souhrny s nekonečným počtem čísel větším než spočetným. Důvodem
je, a to je jádro Cantorova diagonálního argumentu, že antidiagonální
řádek antiEi,i v souhrnu spočetně nekonečně mnoha čísel vždy ještě
obsažen není, protože se od každého předchozího řádku liší hodnotou
diagonálního prvku.
Gödelovu i Cantorovu postupu je společná konstrukce celku ze
spočetně nekonečně mnoha prvků. Pokud interpretujeme jako binární
číslo posloupnosti pravdivostních hodnot Gödelových funkcí DGi (g) –
řádky matice v Tabulce 4, které udávají vztah mezi větou a jejími
možnými důkazy, – pak je zřejmě Gödelův systém dokazatelných formulí neúplný v tomtéž smyslu jako množina N spočetně nekonečně
mnoha přirozených čísel.
Srovnáme-li Tabulky 4 a 5, vidíme, že se Gödelovi podařilo přidat k původní Cantorově verzi diagonálního argumentu něco navíc,
co dovoluje lépe „vymezit hraniciÿ spočetně nekonečného souhrnu objektů.18
Nerozhodnutelná věta jako analogie topologické operace „rozpojení, přetočení a opětné spojeníÿ
Gödelův diagonální postup se vyznačuje tím, že o každé dokazatelné větě zaznamená do tabulky jeden řádek, na kterém se nachází vedle nul alespoň jedna jednička. Každé dokazatelné větě odpovídá v Tabulce 4 jeden predikát, který je pravdivý pro ty hodnoty argumentu
18
Hlavní rozdíl je ale v následujícím: Cantor číslo na antidiagonálním řádku přidává k dosavadní spočetně nekonečné množině čísel jako další číslo teprve ovšem
až je všechny vypsal, protože z každého pak použije při jeho konstrukci jednu cifru.
Pak usoudí, že čísel může být víc než spočetně nekonečně mnoho těch, které vypsal. Ne proto, že existuje číslo, které právě nově utvořil, ale protože může takové
tvoření opakovat do nekonečna. Gödel použil diagonální argument s jiným cílem a
jinak. Gödelův antidiagonální řádek nemůže být přidán k dosud vypsané množině
dokazatelných vět, nemůže být další dokazatelnou větou, jejichž řádky zatím v
matici figurují. Jak si brzy ukážeme, Gödelův antidiagonální řádek odpovídá vyvratitelné větě, kterých je v Gödelově systému stejně mnoho jako dokazatelných.
Gödelova nerozhodnutelná věta
17
(věty), které danou větu dokazují. Co by se stalo, kdybychom chtěli
zaznamenat do Tabulky 4 i řádky pro nedokazatelné, dobře utvořené
věty axiomatického systému? V tom případě by se v tabulce objevily
řádky se samými nulami. Nedokazatelné věty jsou ale dvojího druhu.
Jedny jsou nejen nedokazatelné, ale i nevyvratitelné, například proto,
že axiomy nejsou dostatečně „silnéÿ, aby na ně důkazní aparát „dosáhlÿ. Takovým budeme říkat triviálně nerozhodnutelné.19 Druhým
druhem jsou věty nedokazatelné, ale vyvratitelné. Jejich negací jsou
věty dokazatelné, pro které v Tabulce 4 již existuje příslušný řádek.
Zkusme nyní zrcadlově překlopit Tabulku 4 a současně zaměnit
jedničky za nuly a nuly za jedničky tak, jak je to uděláno v Tabulce 6.
Tabulka 6.
g/Gi
Gd
DGi (g)
DGd (g)
VGa (g)
0 0
1 1
0 1
0 0
1 0
0 1
· ·
0 1
1 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
· ·
0 0
0 1
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
· ·
0 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
1
1 0
· ·
1 0
0 1
1 1
1 0
0 0
1 1
1 1
· ·
1 1
1 1
1 1
1 0
0 1
0 1
1 1
· ·
1 1
1 0
1 1
0 1
1 1
1 0
·
·
·
·
·
·
·
·
0
·
1
1
1
1
0
1
·
·
·
·
·
·
·
·
?
·
·
·
·
·
·
·
·
VGi (g)
g/Gi
19
Gd
A nebudeme se jimi v tomto pojednání dále zabývat. Jen podotkneme, že
v negativním zrcadlovém obraze každé takové větě přísluší řádek obsahující samé
hodnoty 1 – jsou nejen nedokazatelné, ale také nevyvratitelné.
18
Blažena Švandová
Zatímco v horní polovině zůstaly predikáty DGi (g) znamenající „g
je důkazem věty s Gödelovým číslem Giÿ, v dolní části jsme zrcadlově – odspodu nahoru – zapisovali predikáty ¬DGi (g) „není pravda,
že g je důkazem věty s Gödelovým číslem Giÿ. Tvrdíme nyní, že matice, kterou jsme přidali, je matice vyvratitelných vět, kterou označíme
V (x, y). Svědčí pro to několik důvodů.
Zaprvé víme, že dokazatelných i vyvratitelných vět je stejný počet,
protože každá negace vyvratitelné věty je dokazatelná věta. Každá vyvratitelná věta je vyvrácena právě tím, čím je její negace jako jedna
z dokazatelných vět dokazovaná, a není vyvrácena tím, čím její negace
jako jedna z dokazatelných vět formule není dokazovaná. Proto každému řádku jedniček a nul, který se objeví v horní matici odpovídá
řádek nul a jedniček (namísto jedničky nula a namísto nuly jednička)
v dolní matici; jinak řečeno: každé větě v matici vyvratitelných vět
V (x, y) odpovídá ten řádek v matici dokazatelných vět D(x, y), který
přísluší predikátu zaznamenávajícímu dokazatelnost její negace.
Konstruujme nyní matici V (x, y) pro vyvratitelné věty stejným
způsobem, jako Gödel konstruoval matici D(x, y) dokazatelné věty.
Je zřejmé, že i když ji budeme zapisovat odspodu, přesto si nebudou
řádky v maticích D(x, y) a V (x, y) zrcadlově odpovídat, protože vyvratitelné věty a negace vyvratitelných vět (již zapsané v D(x, y)) mají
jiná Gödelova čísla, podle kterých se určuje pořadí řádků a sloupců
v maticích. Ale protože je v obou maticích řádků a sloupců spočetně
nekonečně mnoho, lze je v matici V (x, y) vhodně přečíslovat, abychom
získali zápis jako v Tabulce 6.
Pokusme si nyní udělat vizuální představu o Gödelově systému.
Na obr. 5a) je znázorněna kruhová oblast, obsahující dokazatelné věty.
Na hranici oblasti, tvořené spočetně nekonečným počtem bodů náležejících kružnici k, se vyskytují axiomy systému, které danou oblast
„tvarujíÿ. Orientace hranice vzhledem k dané oblasti je znázorněna
pomocí normálových vektorů k této kružnici.20 Na obr. 5b) je znázorněna oblast obsahující vyvratitelné věty. Její hranice úzce přiléhá21
20
Jde nám o to, aby orientace vystihovala co rozumíme pojmy líc a rub. Líc kružnice analogicky jako u kruhové pásky vidíme při pohledu zvenčí, zatímco rub při
pohledu zevnitř. Líc kružnice odpovídá směru normálového vektoru vzhledem ke
kruhu, jehož je hranicí, zatímco rub odpovídá směru normálového vektoru vzhledem k oblasti vně kruhu.
21
Jde o jiné body než ty, které tvoří hranici dokazatelných vět na k. Mohli
Gödelova nerozhodnutelná věta
19
hranici dokazatelných vět a je opět tvořena spočetně nekonečně mnoha
body kružnice k. Orientace hranice vzhledem k oblasti vyvratitelných
vět je znázorněna pomocí normálových vektorů k této kružnici, jejichž
směr je opačný než těch, které určují orientaci vzhledem k oblasti dokazatelných vět.
Obr. 5. Orientace hranice k : a) vzhledem k oblasti uvnitř k; b)
vzhledem k oblast vně k.
Obr. 6 je pokusem o vizualizaci Tabulky 4. Vynesené body znázorňují diagonální resp. antidiagonální věty DGi (Gi) resp. VGj (Gj).
V Tabulce 4 se tyto věty objevují dvakrát: jako diagonální prvky odlišných predikátů a jako prvky jednoho diagonálního predikátu DGd (g)
resp. VGj (g) odpovídající diagonální vlastnosti „být svým vlastním
důkazemÿ resp. antidiagonální vlastnosti „být svým vlastním vyvrácenímÿ. Orientovat kružnice k lze dvojím způsobem (nikoli současně).
Pokud o ní uvažujeme jako o hranici dokazatelných vět, pak obsahuje
bychom uvažovat například tak, že za předpokladu, že kružnice je bodovým kontinuem, může obsahovat jak množinu spočetně nekonečného počtu bodů hranice
dokazatelných vět, tak stejně mohutnou množinu bodů náležejících hranici vyvratitelných vět. Jakoby tím kružnice tvořící hranici mezi dokazatelnými a vyvratitelnými větami získala líc a rub. Líc tvoří spočetně nekonečně mnoho bodů
příslušných větám na diagonále, rub tvoří stejně mohutný počet bodů příslušných
větám na antidiagonále. V tomto článku ale vystačíme s představou, že máme dvě
velmi blízké kružnice: jednu, která tvoří hranici dokazatelných vět a druhou, která
tvoří hranici vyvratitelných vět.
20
Blažena Švandová
věty v diagonále včetně pevného bodu DGd (Gd) a její orientace je
naznačena normálovými vektory směřujícími jako na obr. 5a). Pokud
o ní uvažujeme jako o hranici vyvratitelných vět, pak obsahuje věty
v antidiagonále včetně negace pevného bodu VGa (Ga) = ¬DGd (Gd) a
její orientace je naznačena normálovými vektory směřujícími jako na
obr. 5b) Za povšimnutí stojí, že logickým opakem pevného bodu není
nerozhodnutelná věta.22
Obr. 6. Opět Tabulka 6 spolu s pokusem o její vizualizaci
Nerozhodnutelnou větu utvořil Gödel tak, aby ležela současně v diagonále i antidiagonále, jakoby v tomto bodě diagonálu rozpojil a
z jedné strany ji antidiagonálně (přetočeně) připojil. Topologicky toho
22
Podle toho by lhářská věta „Tato věta je nepravdiváÿ neměla být opakem poctivcovy věty „Tato věta je pravdiváÿ, jak se běžně má zato. Opakem poctivcovy
věty je neparadoxní (vyvratitelná a proto nepravdivá) negace poctivcovy věty, totiž
padouchova věta „Není pravda, že tato věta je pravdiváÿ, což bychom měli pojímat jako významově odlišné od lhářské věty „Tato věta je nepravdiváÿ. Opakem
lhářské věty je ona sama a proto je podivnou překážkou rozumu. Termíny poctivec
a padouch pocházejí od R. Smullyana: ve světě logiky poctivec říká vždycky o čem
myslí, že je pravda, padouch říká vždycky opak toho, o čem myslí, že je pravda,
zatímco lhář přece občas řekne pravdu, míchá totiž pravdu a nepravdu bez jakéhokoli důvodu. Viz např. R. Smullyan: O čem je tato knížka?, Mladá fronta, Praha
1978.
Gödelova nerozhodnutelná věta
21
lze dosáhnout bez vystoupení z dané dimenze tak, jak bylo ukázáno na
obr. 3, totiž že hranici oblasti rozpojíme, přetočíme a znovu připojíme.
Příslušná operace vede, jak jsme již tehdy podotkli, ke ztrátě orientace hranice a tím smíšení původně oddělených oblastí. To odpovídá
situaci, kdy by přítomnost nerozhodnutelné věty v systému způsobila ztrátu hranice mezi oblastí dokazatelných a vyvratitelných vět a
vzniklý spor v systému by způsobil jeho nepoužitelnost k dokazování.
Z tohoto důvodu Gödel nerozhodnutelnou větu ze systému vyloučil.
Nerozhodnutelná věta nenáleží ani k dokazatelným ani vyvratitelným větám, které se dají formulovat v Gödelově systému logiky
s aritmetikou. Přesto je, jak víme, pravdivá, ale exaktní důkaz o její
pravdivosti může být proveden teprve v obsažnějších systémech vyššího řádu, kde se může stát jednou z dokazatelných vět.
Závěr
Zdá se, že analogií orientovatelnosti v topologii je rozhodnutelnost
v logice a analogií geometrické dimenze je řád logiky. Význam analogie
mezi Gödelovou nerozhodnutelnou větou a Möbiovou páskou pro pochopení filosofického významu Gödelovy věty spatřujeme v ukázání, že
zkrocený paradox v podobě nerozhodnutelné věty dává rozumu křídla,
aby se povznesl na vyšší úroveň smyslu a pochopil problém v obecnější
rovině. V tomto krátkém pojednání jsme nemohli zajít hlouběji a vyčerpat všechny zajímavé aspekty, které naše analogie nabízí. Splnilo
svůj účel, pokud alespoň některý z laskavých čtenářů nabude přesvědčení, že mezi Gödelovou nerozhodnutelnou větou a Möbiovou páskou
je určitá podobnost a že stojí zato ji dále zkoumat.
Literatura
[1] Aristotelés. Metafyzika. Přel. A. Kříž. Praha: Laichter. Berlínské
souborné vydání Aristotelových spisů v řečtině: Aristoteles graece (1831) Immanuelis Bekkeri, Academia Regia Borussica. (ed.).
Berolini, Apud Georgium Reimerum
[2] Barrow, John D. (2000) Pí na nebesích. Přel. N. Stehlíková, A.
Vrba. Praha: Mladá fronta, 1. angl. vyd. 1992
[3] Bertalanffy, Ludwig von (1972) Člověk – robot, myšlení. Praha:
Svoboda
22
Blažena Švandová
[4] Bulloff, Jack J., Holyoke, Thomas C., Hahn, S.W. (eds.) (1969)
Foundations of Mathematics. Symposium Papers Commemorating
the Sixtieth Birthday of Kurt Gödel. Berlin, Heidelberg, New York:
Springer Verlag. Ve sboníku z konference pořádané v r. 1966 na
oslavu Gödelových 60. narozenin je v úvodu otištěn slavnostní
projev Johna von Neumanna u příležitosti předání Einsteinovy
ceny, která byla Gödelovi udělena v r. 1951.
[5] Cantor, Georg (1874) Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller
reellen algebraischen Zahlen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 77, s. 258-62. Česky: O jedné vlastnosti souhrnu všech reálných algebraických čísel. Přel E. Fuchs. V: Fuchs,
E. (1999) Teorie množin pro učitele. Brno: PřF MU„ 117-120
[6] Cantor, Georg (1890) Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen MatematikerVereinigung 1, s. 75-78. Reprint in Zermelo (1932), s. 278-81.
Česky: O jedné elementární otázce z nauky o souhrnech. Přel E.
Fuchs. V: Fuchs, E. (1999) Teorie množin pro učitele. Brno: PřF
MU, 120-123
[7] Carnap, Rudolf (1934) Die Antinomien und die Unvollständigkeit der Mathematik. Monatshäfte für Mathematik und Physik. 41
(1934), pp. 263-284
[8] Collegium Logicum, Annals of the Kurt-Gdel-Society, Vol 1.,
Springer 1995
[9] Collegium Logicum, Annals of the Kurt-Gdel-Society, Vol 2.,
Springer 1995
[10] Cundy, Martyn H. (1996) Gödelův teorém, Universum No. 20,
Jaro, vyd. Čs. křesť. akad., s. 2-16
[11] Cutland Nigel, J. (1996) Co nám říká Gödel? Odpověď na článek
dr. Cundyho, Universum. No. 20, Jaro, vyd. Čs. křesť. akad., s.
17-21
[12] Davis, Martin (ed.) (1965) The Undecidable. (The Basic Papers
on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions). New York, Hewlett: Raven Press
[13] Davis, Martin (1982) Why Gödel Didn’t Have Church’s Thesis,
Information and Control, Vol. 54, pp. 3 - 24
[14] Davis, Martin (2000) Universal Computer. The Road from Leibniz
to Turing. New York: W.W. Norton & Comp.
Gödelova nerozhodnutelná věta
23
[15] Dawson, John, W. jr. (1984) Kurt Gödel in Sharper Focus. The
Mathematical Inteligencer, 4 (1984), 9-17. In: Shanker, S.G. (1988)
Gödels Theorem in focus. London, New York, Sydney: Croom
Helm, 1-16. Česky v: J. Malina, J. Novotný (eds.) (1996) Kurt
Gödel. Přel. P. Hájek. Brno: Universitas Masarykiana, Osobnosti,
s. 10-32
[16] Dawson, John, W. jr. (1988) The Reception of Gödels Incompleteness Theorems. In: Shanker, S.G. (1988) Gödels Theorem in focus.
London, New York, Sydney: Croom Helm, 74-95
[17] Dawson, John (1999) Gödel and the Limits of Logic, Scientific
American, June 1999
[18] Dawson, John, W., jr. (1997) Logical Dilemmas. The Life and
Work of Kurt Gdel. Wellesley, Massachusetts: A K Peters.
[19] Duží, Marie (2005) Kurt Gödel. OrganonF 12, No.4, 447-474
[20] Fiala, Jiří (2000) Poznání, pravda a nutnost II. Jan ukasiewicz.
Vesmír 79, 2000, 6, 332-334
[21] Fidelius, Petr (2000) Postmoderní filosof na českém tržišti. V: P.
Fidelius, Kritické eseje. Praha: Torst
[22] Feferman, Solomon (1988) Kurt Gödel: Conviction and Caution.
In: Shanker, S.G. (1988) Gödels Theorem in focus. London, New
York, Sydney: Croom Helm, 96-114
[23] Fuchs, Eduard (1996) Kurt Gödel, Universitas, No. 4, s. 7-12
[24] Fuchs, Eduard (1999) Teorie množin pro učitele. Brno: PřF MU
1999
[25] Gahér, František (1998) Logika pre každého. Bratislava: IRIS,
1994. 2. vyd. 1998
[26] Gaarden, Jostein (1995) Sofiin svět. Košice: Timotej
[27] Gödel, Kurt (1930): Die Vollständigkeit der Axiome des logischen
Funktionenkalküls, Monatshefte für Mathematik und Physik, 37
(1930), s. 349-360.
[28] Gödel, Kurt (1931): Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Monatshefte für
Mathematik und Physik, 38 (1931), s. 173-198.
[29] Gödel, Kurt. Collected Works Vol. I: Publications 1929-1936.
Solomon Feferman (editor-in-chief), Dawson, John, W., jr.; Kleene, Stephen, C.; Moore, Gregory, H.; Solovay, Robert, M.; Heijenoort, Jean van (eds.). Oxford: Oxford University Press 1986
24
Blažena Švandová
[30] Gödel, Kurt. Collected Works Vol. II: Publications 1938-1974.
Feferman, Solomon (editor-in-chief), Dawson, John, W., jr.; Kleene, Stephen, C.; Moore, Gregory, H.; Solovay, Robert, M.; Heijenoort, Jean van (eds.). Oxford: Oxford University Press 1990
[31] Gödel, Kurt. Collected Works Vol. III: Unpublished Essays
and Lectures. Solomon Feferman (editor-in-chief), Dawson,
John, W., jr.; Kleene, Stephen, C.; Moore, Gregory, H.; Solovay,
Robert, M.; Heijenoort, Jean van (eds.). Oxford Univrsity Press
1995
[32] Gödel, Kurt. Collected Works Vol. IV: Corespondence A-G.
Solomon Feferman, John W. Dawson, Jr. (editors-in-chief), Goldfarb, Warren; Parsons, Charles; Sieg, Wilfried (eds.). Clarendon
Press, Oxford 2003. Reprint 2006
[33] Gödel, Kurt. Collected Works Vol. V: Corespondence H-Z. Solomon Feferman, John W. Dawson, Jr. (editors-in-chief), Goldfarb, Warren; Parsons, Charles; Sieg, Wilfried (eds.). Clarendon
Press, Oxford 2003.
[34] Gödel, Kurt (1999) Filosofické eseje. Přel. J. Fiala. Praha: Oikúmené
[35] Goldstein, Rebecca (2005) Incompleteness. (The Proof and Paradox of Kurt Gdel). Atlas Books, W.W. Norton &,Comp., New
York, London . Česky: (2005) Neúplnost. Důkaz a paradox Kurta
Gödela. Přel. Martin Weiss, Praha: Argo, Dokořán
[36] Gottlob G., Leitsch A., Mundici D. (Eds.) Computational Logic
and Proof Theory (Third Kurt Gdel Colloquium, KGC93, Brno,
August 1993)
[37] Hintikka, Jaakko (2000) On Gdel, Australia, Canada, Mexico,
Singapore, Spain, United Kingdom, United States: Wadsworth,
Thomson Learning, Wadsworth Philosophers Learning
[38] Hájek, Petr, Švejdar, Vítězslav (1994) Matematická logika.
Skripta, Praha: UK
[39] Hájek, Petr (1996) Matematik a logik. In: Kurt Gödel. Ed. J.
Malina, J. Novotný, Brno: Masarykiana, s. 74 - 92
[40] Hájek P. (ed.) Gdel96, Logical Foundations of Mathematics, Computer Science and Physics - Kurt Gdels Legacy, Brno, Springer
1996
[41] Hao Wang. (2001) A Logical Journay. From Gdel to Philosophy.
Cambridge, Massachusetts, London: The MIT Press, 1. vyd. 1996.
Gödelova nerozhodnutelná věta
25
[42] Hegel, Georg, Wilhelm, Friedrich (1992) Malá logika. Přel. J. Loužil. Praha: Svoboda
[43] Heijenoort, Jean van (1967) Logical Paradoxes. In: Encyclopedia
of Philosophy. Paul Edwards (ed.). Collier-Macmillan 1967
[44] Hofstadter, Douglas R. (1989) Gödel, Escher, Bach: An Eternal
Golden Braid. New York: Vintage Books. 1. vyd. 1979
[45] Church, Alonzo (1936a) An Unsolvable Problem of Elementary
Number Theory. The American Journal of Mathematics, Vol. 58,
pp. 345-363. Přetištěno In: The Undecidable (Basic Papers On
Undecidable Propositions, Unsolvable Problems and Computable
Functions). M. Davis, (ed.). New York: Raven Press, Hewlett 1965,
pp. 89-107
[46] Church, Alonzo (1936b) A Note on the Entscheidungsproblem,
Journal of Symbolic Logic, Vol. 1, No. 1 and Vol. 1, No. 3. Přetištěno In: The Undecidable (Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable Problems and Computable Functions). M. Davis,
(ed.). New York: Raven Press, Hewlett 1965, pp. 110-115
[47] Jahrbuch 1988 (W. Hodges, R. Manka, A. Leitsch, K.Svozil, M.
Baaz, P. Erdös, N. Brunner, M. Boffa, A. Blass, W. Just)
[48] Jahrbuch 1989 (Proceedings of the first Kurt Gdel Colloquium,
Sept. 1989, Salzburg, Austria) (Hao Wang, E. Börger, G.Salzer,
Ch.Fermller, D. Bojadžijev, M.L.D. Chiara, M. Boffa, J.Mattes,
M.Baaz
[49] Jahrbuch 1990 (J.Hilgert, J.C.Simms, T.Jech, E.Köhler,
H.Rasiowa, Hao Wang, U.Felgner, R.F.Tichy, A.R.D.Mathias)
[50] Jahrbuch 1991 (Second Kurt Gdel Colloquium – 60 years of incompleteness, including the symposium on directions in set theory) (J.Hintikka, M.van Lambalgen, Edgar G.K. López-Escobar,
T.Oberdan, J.Wolenski, D.Mundici)
[51] Jahrbuch 1992 (Hao Wang, P. Loeb, J. Mattes, V.Rudenko,
N.Rozsenich). Kurt-Gdel-Gesellschaft (angl. Kurt Gdel Society),
založená v r. 1987 ve Vídni, každoročně vydává sborníky věnované
odkazu Kurta Gödela.
[52] Kahane, Howard, Cavender, Nancy (1998) Logic and Contemporary Rhetoric. The Use of Reason in Everyday Life. 11. vyd. Wadsworth Publishing Company, ITP An International Publishing
Company
26
Blažena Švandová
[53] Kindler, Evžen (1996) Několik poznámek k článkům H. M. Cundyho a N. J. Cutlanda. Universum No. 20, Jaro, vyd. Čs. křesť.
akad., s. 22-31
[54] Kleene, Stehen, C. (1988) The Work of Kurt Gödel. In: Shanker,
S.G.(ed.) Gödels Theorem in focus. London, New York, Sydney:
Croom Helm, 48-73
[55] Khler, Eckerhart; Weibel, Peter; Stltzner, Michael; Buldt, Bernd;
Klein, Carsten; Depauli-Schimanowich-Gttig, Werner (eds.).
(2002) Kurt Gdel. Wahrheit & Beweisbarkeit, Band I - Dokumente
und Historische Analysen, II - Kompendium zum Werk. . Wien:
bv et hpt Verlagsgmbh & Co. KG
[56] Malina Jaroslav, Novotný, Jan (eds.) (1996) Kurt Gödel. Brno:
Universitas Masarykiana, Osobnosti
[57] Mendelson, Elliott (1964) Introduction to Mathematical Logic.
Princeton, New Yersey, Toronto, New York, London: D.van Nostrand Comp. Inc.
[58] Moore, Gregory H. (1998) Paradoxes of Set and Property. In:
Routledge Encyclopedy of Philosophy. E. Craig (ed.). London, New
York: Routledge, pp. 214-22
[59] Moore, Gregory H. (2006) Zrod logiky 1. řádu. V: J. Peregrin
(ed.) Logika 20. století: mezi filozofií a matematikou. Výbor textů
k moderní logice. Praha
[60] Müllerová, Dora: Brňan pobuřoval svět matematiky - vzpomínání
na Kurta Gdela. Sborník Technického muzea v Brně, 7, 44-46.
[61] Nagel, Ernest, Newman, James, R. (2003) Gdelův důkaz. Redakce
a předmluva Douglas, R. Hofstadter. Předmluva k čes. vyd. J.
Novotný. Přel. R. Niederle. Brno: VUTIUM 2003. 1. angl. vyd.
1959.
[62] Pasmore, John. Philosophical Reasoning, New York: Basic Books
1969
[63] Penrose, Roger (1989) Emperors New Mind. Concerning Computers, Minds, and The Laws of Physics. New York, Oxford: Oxford
University Press
[64] Penrose, Roger (2005) Shadows of the Mind. A Search for the Missing Science of the Consciousness. Vintage Books, 1. vyd. Oxford
Univ. Press 1994
[65] Penrose, Roger (2005) The Road to Reality. A Complete Guide to
the Laws of the Universe. Vintage Books, 1. vyd. 2004.
Gödelova nerozhodnutelná věta
27
[66] Peregrin, Jaroslav (1999) Logika a myšlení. In: Vl. Havlík (ed.)
Mezi jazykem a vědomím. Praha: Filosofia, s.41-50
[67] Peregrin, Jaroslav (2003) Filosofie a jazyk. Praha: Triton
[68] Peregrin, Jaroslav (2005) Kapitoly z analytické filosofie. Praha:
Filosofia
[69] Peregrin, Jaroslav (ed.) (2006) Logika 20. století: mezi filosofií a
matematikou. Výbor textů k moderní logice. Praha: Filosofia
[70] Platón Obrana Sókrata, Parmenidés, Faidros, Filébos, Politikos,
Symposion, Kratylos, Prótagoras. Praha:Oikúmené. Souborné vydání Platónových spisů v řečtině: Burnet, Ioannes (ed.) (1909)
Platonis Opera. Londini et Novi Eboraci. E Typographeo Clarendoniano
[71] Popper, Karl, R. (1972) Back to Presocratics. In: Conjenctures
and Refutations. The Growth of Scientific Knowledge. London:
Routledge and Kegan Paul. 1. vyd. 1963
[72] Post, Emil (1965) Finite Combinatory Processes. Formulation I.
Recursive Unsolvability of a Problem of Thue. Recursively Enumerable Sets of Positive Integers and Their Decision Problems.
Absolutely Unsolvable Problems and Relatively Undecidable Propositions – Account and Anticipation. In: M. Davis (ed.) The Undecidable (Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable
Problems and Computable Functions). New York: Raven Press,
Hewlett, pp. 288-433
[73] Priest, Graham (2007) Logika. Průvodce pro každého. Přel. P.
Hromek, Brno: Dokořán
[74] Quine, Willard Van Orman (1961) New Foundation for Mathematical Logic. In: W.V.O. Quine. From Logical Point of View. 9
Logico-Philosophical Essays. New York, Evanson, San Francisco,
London: Harper Torchbooks, Harper & Row Publ., pp. 80-101
[75] Quine Willard Van Orman (1953) From a logical point of view.
Harper Torchbooks 1961, 2. vyd. O generaci mladší americký logik
než Gödel přenášel jako jeden z prvních jeho výsledky z logiky do
filosofie.
[76] Quine, Willard Van Orman (1976) The Ways of Paradox and
Other Essays. Cambridge, Massachusets, London, Harvard Univ.
Press
[77] Ray, Georges (1997) Contemporary Philosophy of Mind. Blackwell
28
Blažena Švandová
[78] Rosser, J. B. (1936) Extensions of some theorems of Gödel and
Church. In: M. Davis (ed.) The Undecidable. The Basic Papers on
Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable
Functions. New York, Hewlett: Raven Press, 1965, 231-235
[79] Rosser, J. B. (1939) An Informal Exposition of Proofs of Gödels
Theorem and Churchs Theorem. In: M. Davis (ed.) The Undecidable. The Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable
Problems And Computable Functions. New York, Hewlett: Raven
Press, 1965, 223-230
[80] Russel, Bertrand, Whitehead, Alfred North (1960) Principia
Mathematica, Vol.1 a 2, Cambrigde: At the University Press. 1.
vyd. 1910
[81] Shanker, S.G. (1988) Gödels Theorem in focus. London, New
York, Sydney: Croom Helm. Obsahuje Gödelův článek o neúplnosti, vynikají komentář k němu spolu se zasvěceným pohledem
na celé matematické Gödelovo dílo od Stephena C. Kleena, článek
Johna W. Dawsona o reakcích obce matematiků na objev o neúplnosti, studii Solomona Fefermana o hloubce objevu a lidských
vlastnostech objevitele, studii Michaela D. Resnika o filosofickém
významu důkazů konzistence, esej Michaela Detlefsona věnovanou
druhé větě o neúplnosti a obsáhlou Shankerovu srovnávací studii
Wittgensteinovy recepce Gödelových objevů .
[82] Schirn, Matthias ed. (1998) The Philosophy of Mathematics Today. Oxford: Clarendon Press. (Motto k Benacerrafovu článku (p.
33): ”It can be said that the history of Western thought can be
regarded as history of our relationship to the diagonal argument.”
Odkaz na David King: From Gödel to Derrida: Undecidability, Indeterminacy and Infinity, Ph.D. Dissertation, Murdoch University,
Murdoch, W. Australia.)
[83] Smullyan, Raymond (1986) Jak s jmenuje tahle knížka? Přel. H.
Karlach, A. Vrba. Praha: Mladá fronta
[84] Smullyan, Raymond. Forever undecided. Puzzle Guide to Gdel
(1987) Oxford University Press. Česky: (2003) Navěky nerozhodnuto, Úvod do logiky a zábavný průvodce ke Gdelovým objevům. Přel. P. Hromek. Praha: Academia. Raymond Smullyan,
významný americký logik, se vedle své profese věnoval popularizaci Gdelových objevů. Ukazuje, jak zábavné může být hraní s
paradoxy a kde je třeba je brát vážně, nebo se jim vyhnout.
Gödelova nerozhodnutelná věta
29
[85] Smullyan, Raymond (1992) Satan, Cantor, and Infinity. And
Other Mind-Boggling Puzles. New York: Alfred A. Knopf
[86] Smullyan, Raymond M. (1994) Diagonalization and SelfReference. Oxford: Clarendon Press
[87] Sochor, Antonín. (2001) Klasická matematická logika. Praha: Karolinum
[88] Švandová, Blažena (1996) V Brně. V: Malina Jaroslav, Novotný,
Jan (eds.) Kurt Gödel. Brno: Universitas Masarykiana, Osobnosti,
33-58
[89] Švandová, Blažena (1996) Gödel a paradoxy, Vesmír, 75, 8, 466469.
[90] Švandová, Blažena (1998) Kosmopolitní myslitel Kurt Gdel, rodák
brněnský. V: Cesty k tvořivé škole. Šrámek, R., Němec, I, (eds.),
Brno: PedF MU, 185-89
[91] Švandová, Blažena (2002) Cesty paradoxu s úvodní esejí Willarda
Van Ormana Quina, Brno: Vyd. MU
[92] Švandová, Blažena (2004) Kombinatorické umění Raimunda
Lulla. V: A. Filáček (ed.) Věda, poznání, komunikace. Praha:FÚ
AV ČR, 173-190
[93] Švandová, Blažena (2005) Velecký, Lubor (1994) Aquinas five arguments in the summa theologiae 1a 2,3. Recenze. Nepublikováno
[94] Švejdar, Vítězslav (2002) Logika: neúplnost, složitost a nutnost.
Praha: Academia 2002
[95] Turing, Alan M. (1937) On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem. Proceedings of the London
Mathemat. Society, ser. 2, Vol. 42 (1936-7), pp. 230-265. Corrections, Ibid., Vol. 43 (1937), p. 544-546. Přetištěno: Davis 1965,
pp.116-154
[96] Turing, Alan M. (1992) Počítacie stroje a inteligencia. V: E.Gál,
J.Kelemen (eds.) Myseľ, telo, stroj. Bratislava: Bradlo
[97] Velecký, Lubor (1994) Aquinas five arguments in the summa theologiae 1a 2,3. Kampen: Pharos
[98] Vopěnka, Petr (1991) Druhé rozpravy s geometrií. Praha: Práh a
Fokus
[99] Vopěnka, Petr (2004) Vyprávění o kráse novobarokní matematiky.
Souborné vydání Rozprav o teorii množin. Praha: Práh
[100] Wang, Hao (1981) Some Facts About Kurt Gödel. The Journal
of Symbolic Logic, Vol. 46 (1981), No. 3, pp. 653-659
30
Blažena Švandová
[101] Weyl Hermann (1949) Philosophy of Mathematics and Natural
Science. Princeton: Princeton Univ. Press.
[102] Whitehead, Alfred, North (1970) Matematika a dobro a jiné
eseje. Přel. F. Marek, L. Hejdánek. Praha: Mladá fronta, Váhy.
1. vyd. 1948
[103] Yourgrau, Palle (2005) A World Without Time. The Forgotten
Legacy of Gödel and Einstein. New York: Basic Books, Member of
the Perseus Books Group. Od téhož autora: (1999) Gödel Meets
Einstein: Time Travel in the Gödel Universe.
[104] Zich, Otakar V. (1947) Úvod do filosofie matematiky. Praha: Jčmf
[105] Zlatoš, Pavol (1995) Ani matematika si nemôže byť istá sama
sebou. (Úvahy o množinách, nekonečne, paradoxoch a Gödelových
vetách). Bratislava: IRIS