Urcete rovnici tecny ke grafu funkce f (x) = sin (x 2 - x

Určete rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = sin x2 − x − 2 v bodě dotyku T [2, ?] .
Řešenı́: Protože máme zadánu složenou funkci, může být docela obtı́žné popsat jejı́ vlastnosti či
nakreslit si jejı́ graf. Nicméně vlastnosti základnı́ funkce f (x) lze určit bez většı́ch problémů.
Předevšı́m jejı́ definičnı́ obor je D f (x) = R. Dále pak protože obor hodnot funkce sin (x) je
h−1, 1i , bude i H f (x) = h−1, 1i .
Také graf funkce sin (x) je dobře známou vlnovkou,“ proto můžeme předpokládat, že obdobně se
”
bude vlnit“ také graf zadané funkce f (x) .
”
Takto si můžeme představit, že bod dotyku tečny a vyšetřovaného grafu ležı́ někde na sinovém“
”
”
kopci“ a tuto představu přetavit do náčrtku celé situace, viz. obr.1. Aby však tento náčrt nebyl
zcela vágnı́, zpřesnı́me ho výpočtem funkčnı́ hodnoty f (2), tj. doplněnı́m souřadnic bodu T
T [2, ?] = T 2, f (2) = T 2, sin 22 − 2 − 2 = T [2, 0] .
1.
T
2
f (x)
−1.
Obrázek 1: Prvnı́ náčrt
Pokračujme v našich úvahách. V bodě T chceme ke grafu přiložit tečnu, tedy přı́mku. K narýsovánı́“
”
přı́mky, aale je třeba znát dva jejı́ body. Známe jeden. Zvolit si druhý zcela libovolně by k nalezenı́ tečny s největšı́ pravděpodobnostı́ nevedlo. Přesto však druhý bod potřebujeme a proto si jej
opravdu zvolı́me, ovšem tak, že i on bude na ležet na grafu f (x) . Takto máme dva body, můžeme
proložit přı́mku a máme hotovo. Tedy skoro hotovo, nebot’ jak je patrné z obr. 2 nemáme tečnu ale
sečnu.
1.
T
2
f (x)
−1.
Obrázek 2: Sečna
Doplňme náčrtek dále, a to o souřadnice nově zvoleného bodu a barevný trojúhelnı́k, jak je vidět na
obr. 3. S jeho pomocı́ můžeme spočı́st rovnici námi nalezené sečny. Známe totiž modrou a červenou
odvěsnu v pravoúhlém trojúhelnı́ku, jejich podı́lem tangens oranžového úhlu a tangens tohoto úhlu
je směrnicı́ (tangentou) našı́ sečny. Přesněji
tg α =
f (x) − f (2)
.
x−2
P x, f (x)
1.
T [2, 0]
2
x
f (x)
−1.
Obrázek 3: Troúhelnı́ček
Zbývá poslednı́, do jisté mı́ry nejtěžšı́, krok - udělat ze sečny tečnu. Vrat’me se tedy o pár kroků
zpět, potřebovali jsme dva body a proto jsme si jeden nový zvolili, to nás však od tečny dovedlo
k sečně. Chceme-li zpět od sečny k tečně, bylo by vhodné se tohoto nového bodu zbavit a dále
operovat“ pouze s bodem dotyku. Musı́me ovšem postupovat obezřetně, tak abychom neztratili
”
informace, které nám druhý poskytl a nepřišli jsme o jeho pomocnu ruku.
Postupujeme tedy pomalu a polehoučkou blı́žı́me se s bodem P k bodu dotyku T , až oba splynou
v jeden a sečna se stane tečnou. Směrnice sečny k se stane měrnicı́ tečny kt .
Tento lehoučký, pomalý postup je shrnut v této rovnici
sin x2 − x − 2 − 0 x + 1
sin x2 − x − 2 (x + 1)
f (x) − f (2)
tg αt = lim
= lim
·
= lim
=
x→2
x→2
x−2
x−2
x + 1 x→2
x2 − x − 2
sin x2 − x − 2
x2 − x − 2 = t
·
lim
(x
+
1)
= lim
x→2
t→0
x→2
x→2
x2 − x − 2
sin t
= lim
· lim (x + 1) = 1 · 3 = 3 = kt .
t→0 t
x→2
Ted’ již tedy známe směrnici tečny, známe také bod dotyku, který samozřejmě tečně/přı́mce patřı́
a známe také směrnicovou rovnici přı́mky/tečny - y = kt x + q. Všechny tyto znalosti spojı́me
v jedno a dostaneme
t : y = kt x + q = 3x + q,
T ∈t
⇒
0=3·2+q
⇒
q = −6.
Zbývá uzavřı́t a konstatovat, že rovnice tečny ke grafu funkce f (x) = sin x2 − x − 2 v bodě
dotyku T je
t : y = 3x − 6.
Nakonec uved’me ještě přesný“ obrázek, vytvořený Geogebrou, který ilustrujı́ vše, co jsme si
”
o funkci f (x) odvodili ( vlněnı́“ , obor hodnot) a spočetli (tečna). Na obr. 4 je jasně vidět, že čı́m
”
”
dále od bodu dotyku jsme, tı́m méně majı́ tečna a graf společného.“ Naopak v okolı́ bodu dotyku,
graf a tečna splývajı́“ . Toho lze využı́t při odhadech funkčnı́ hodnoty. Pokud bychom chtěli spočı́st
”
např. f (2.2) museli bychom nejprve spočı́st 2.22 − 2.2 − 2 a poté sinus této hodnoty. Využijeme-li
tečny pak stačı́ násobit a odčı́tat 3 · 2.2 − 6 = 0.6. Tento odhad se od skutečné hodnoty lišı́ o tři
tisı́ciny.
Na úplný závěr si povšimněme, že je opravdu o grafu na obr. 4 mluvit jako o přesném.“ Jak jsme
”
na úvod odvodili, hodnoty funkce f (x) majı́ kmitat“ mezi −1 a 1. Ovšem na našem přesném“
”
”
grafu tomu tak nenı́ a některé z maxim a minim hodnot 1 a −1 na něm nedosahujı́.
t
1.
f (x)
T
−1
1
2
4
6
8
−1.
Obrázek 4: Tečna a graf f (x)
Určete rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = sin x2 − x − 2 v bodě dotyku T [xt , ?] .
Řešenı́: Oproti předchozı́mu přı́kladu se zadánı́ lišı́ v tom, že nenı́ určeno, kde přesně
má k dotyku
dojı́t. Za
bod
dotyku
lze
tedy
zvolit
libovolné
x
z
definičnı́ho
oboru
D
f
(x)
a
jeho
souřadnice
t
jsou T xt , f (xt ) .
Opět bychom si mohli odvodit některé z vlastnostı́ funkce f (x), zde ovšem využijeme toho, že je to
naše stará známá“. Stejně tak použijeme všech úvah, kterými jsme prošli, a obrázků, které jsme
”
si načrtnuli.
Zvláště si pro potřeby tohoto přı́kladu překreslı́me a přeznačı́me obr. 3 a to tak, jak je naznačeno
na obr. 5. Dále postupujeme stejně, necháme x se blı́žit k bodu dotyku a sečnu splynout s tečnou.
Matematicky“ zapsáno tedy jde o následujı́cı́
”
sin x2 − x − 2 − sin x2t − xt − 2
f (x) − f (xt )
= lim
.
tg αt = lim
x→xt
x→xt
x − xt
x − xt
P x, f (x)
f (x)
f (xt )
T xt , f (xt )
xt
f (x)
x
Obrázek 5: Trojúhelnı́ček jinak
Zbývá tuto limitu spočı́st a zı́skat tak směrnici tečny, ovšem jak je patrno, nebude to nic jednoduchého. Čeká nás spousta práce s goniometrickými vzorci a algebraickými úpravami, nebo si zase
namalujeme obrázek 5, ate tentokrát to zkusı́me trochu jinak.
V obr. 6 je tedy provedena drobná úprava. Mı́sto na x, které je blı́zko“ xt , se zaměřujeme přı́mo
”
na jejich blı́zkost,“ kterou jsme označili h. Samozřejmě se budeme snažit, aby tato blı́zkost“ byla
”
”
P xt + h, f (xt + h)
f (xt + h)
f (xt )
T xt , f (xt )
xt
f (x)
xt + h
Obrázek 6: Trojúhelnı́ček opět jinak
co největšı́, resp. aby vzdálenost x a xt byla co nejmenšı́. Budeme tedy h zmenšovat, až zmizı́ rozdı́l
mezi xt a x a sečna splyne s tečnou. Limita, s jejı́ž pomocı́ spočteme směrnici, má nynı́ tvar
tg αt = lim
h→0
f (xt + h) − f (xt )
= lim
h→0
h
2
sin (xt + h) − (xt + h) − 2 − sin x2t − xt − 2
h
.
Je patrné, že náš trik celou situaci značně zjednodušil, nynı́ totiž stačı́ využı́t goniometrických
vzorců a algebraických úprav a je hotovo. Tak tedy s chutı́ do toho
tg αt = lim
h→0
2
sin (xt + h) − (xt + h) − 2 − sin x2t − xt − 2
f (xt + h) − f (xt )
= lim
h→0
h
h
2
2
2
((xt +h) −(xt +h)−2)−(x2t −xt −2)
((xt +h) −(xt +h)−2)+(xt −xt −2)
sin
2 cos
2
2
= lim
=
h
h→0
cos
2x2t +2hxt +h2 −2xt −4
2
= 2 lim
sin
2hxt +h2 −h
2
h
h→0
2x2t
2
!
=
sin
=
h(2xt −1+h)
2
+ 2hxt + h − 2xt − 4
lim
=
h→0
2
h
(2xt −1+h)
sin h (2xt −1+h)
2
2
= 2 cos x2t − xt − 2 lim
=
(2xt −1+h)
h→0
h
2
sin h (2xt −1+h)
2
(2xt − 1 + h)
lim
= 2 cos x2t − xt − 2 lim =
(2xt −1+h)
h→0
h→0
2
h
2
|
{z
}
=1
= cos x2t − xt − 2 (2xt − 1).
= 2 lim cos
h→0
Tı́mto výpočtem jsme zı́skali směrnici tečny, dosazenı́m směrnice a souřadnic bodu do směrnicové
rovnice přı́mky můžeme zı́skat také rovnici tečny. Avšak my budeme postupovat jinak. Nejprve si
připomeneme, že výsledek limity, který jsme spočetli nazýváme derivace funkce v bodě xt , značı́me
f 0 (xt ) a platı́
f 0 (xt ) = lim
x→xt
f (xt + h) − f (xt )
f (x) − f (xt )
resp. f 0 (xt ) = lim
.
h→0
x − xt
h
V dalšı́m postupu použijeme prvnı́ vztah a několik triků k určenı́ rovnice tečny
f (x) − f (xt )
zapomeňme na limitu“
”
x − xt
f (x) − f (xt )
f 0 (xt ) =
upravujme
x − xt
f 0 (xt ) (x − xt ) = f (x) − f (xt ) upravujme
f 0 (xt ) = lim
x→xt
f 0 (xt ) (x − xt ) = y − f (xt )
upravujme
0
y = f (xt ) (x − xt ) + f (xt )
směrnicová rovnice tečny v bodě T xt , f (xt ) .
Na závěr ještě použijme tento vztah pro výpočet tečny v bodě T [2, 0] , který jsme vyšetřovali
v minulém přı́kladě.
y = f 0 (xt ) (x − xt ) + f (xt ) směrnicová rovnice tečny v bodě T xt , f (xt )
y = cos 22 − 2 − 2 (2 · 2 − 1) (x − 2) + sin 22 − 2 − 2
y = cos 0 · 3 · (x − 2) + sin 0
y = 3 (x − 2) = 3x − 6.
Takto se nám podařilo zobecnit závěry předchozı́ho přı́kladu, zopakovat si definici derivace a jedno
z jejı́ch využitı́.