5 ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI

5
ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI
5.1
Základní úvahy
Základní úlohou teorie spolehlivosti stavebních konstrukcí je rozbor zdánlivě
jednoduché podmínky mezi účinkem zatížení E a odolností konstrukce R ve tvaru nerovnosti
E<R
(5.1)
Podmínka (5.1) popisuje vyhovující (bezpečný) stav sledované konstrukce. Porucha
konstrukce nastane v případě, že nerovnost (5.1) není splněna. Předpokládá se tedy, že
existuje ostré (jednoznačné) rozhraní mezi vyhovujícím (bezpečným) a nevyhovujícím
stavem (poruchou) konstrukce, popsané rovností
R-E=0
(5.2)
kterému se říká mez porušení (mezní stav).
Příklad 5.1. Ocelová tyč podle obrázku 5.1 má odolnost v
axiálním tahu R (= π d2fy /4, kde d značí průměr tyče a fy mez
kluzu) a přenáší břemeno o tíze E (= Vρ, kde V značí objem a ρ
objemovou tíhu břemene). Podmínka (5.1) má tedy tvar
R
Vρ < πd2fy/4
Mez porušení je dána rovnicí
π d2fy/4 - Vρ = 0
Mezní stav je zde definován jako dosažení meze kluzu fy. To je
E
sice často přijímané zjednodušení, nemusí však být pro některé
Obrázek 5.1. Táhlo.
druhy ocele výstižné.
Obě veličiny E a R jsou náhodné veličiny a platnost nerovnosti (5.1) nelze zaručit
absolutně, tj. s pravděpodobností 1. Je tedy nutno připustit, že s určitou malou
pravděpodobností dojde k překročení meze porušení (mezního stavu) popsaného rovnicí
(5.2) a nastane porucha. Základním cílem teorie spolehlivosti je stanovit pravděpodobnost
poruchy pf. Pro jednoduchou podmínku vyhovujícího (bezpečného) stavu ve tvaru nerovnosti
59
(5.1) lze pravděpodobnost poruchy zapsat ve tvaru
pf = P(E > R)
(5.3)
Náhodné chování účinku zatížení E a odolnosti R je obvykle popsáno vhodným
typem rozdělení pravděpodobností, tj. distribuční funkcí ΦE(x), ΦR(x) a odpovídající hustotou
pravděpodobnosti ϕE(x), ϕR(x), kde x označuje obecný bod sledované veličiny X (např.
napětí, síla, ohybový moment), prostřednictvím které jsou obě veličiny E a R vyjádřeny.
Rozdělení veličin E a R jsou dále závislá na příslušných parametrech, např. na
momentových parametrech µE, σE, αE, µR, σR a αR. Předpokládáme dále, že E a R jsou
vzájemně nezávislé (což je možné zajistit případnou transformací).
Obrázek 5.2 ukazuje příklad rozdělení pravděpodobností obou veličin a jejich
vzájemnou polohu. Typy rozdělení a údaje o jejich parametrech (vyjádřené v bezrozměrných
jednotkách, např. v procentech) uvedené na obrázku 5.2 jsou ukázkou možných teoretických
modelů pro veličiny E a R.
Hustota pravděpodobnosti ϕ(x)
0.06
Účinek zatížení E
gama rozdělení,
µE = 70, σE = 7
Odolnost R
lognomální rozdělení,
µR = 100, σR = 10
0.04
0.02
0.00
40
60
80
100
120
140
Náhodná veličina X
Obrázek 5.2. Účinek zatížení E a odolnost R jako náhodné veličiny.
Všimněme si, že hustoty pravděpodobnosti ϕE(x) a ϕR(x) se na obrázku 5.2 překrývají
a je tedy zřejmé, že může dojít k současnému výskytu takových (nepříznivých) realizací e a r
veličin E a R, že platí e > r a nastane tedy porucha. Aby k takovému stavu došlo pouze s
přijatelně malou pravděpodobností pf, musí být v závislosti na typech rozdělení splněny
určité podmínky o vzájemné poloze a rozptylu veličin E a R. Jednou z takových podmínek
60
bude patrně nerovnost µE < µR, která je na obrázku 5.2 splněna. Zřejmě však tato "podmínka
polohy" obou rozdělení nebude postačující.
5.2
Zvláštní případ jedné náhodné veličiny
Sledujme nejdříve zvláštní případ, kdy jedna z veličin E a R, řekněme účinek zatížení
E, má velmi malou (zanedbatelnou) variabilitu v porovnání s variabilitou odolnosti R. Pak lze
E považovat za veličinu nenáhodnou (deterministickou), tj. za takovou veličinu, která při
každé relizaci nabývá určité pevné hodnoty e0 (E = e0). Takové případy mohou jistě v praxi
nastat. Ukázkou je táhlo s břemenem z příkladu 5.1, kdy tíhu F zavěšeného břemena je
možno stanovit dostatečně přesně (bez významných nejistot). Popsaný zvláštní případ je
zachycen na obrázku 5.3, kde účinek zatížení je vyznačen jedinou hodnotou e0 = 80 (µ = 80,
σ = 0).
Hustota pravděpodobnosti ϕ(x)
0,06
0,04
Deterministický účinek
zatížení E:
e0 = 80 (µE = 80, σE = 0)
Náhodná odolnost R:
lognomální rozdělení,
µR = 100, σR = 10
0,02
0,00
-u0×σR
40
60
80
100
120
140
Náhodná veličina X
Obrázek 5.3. Deterministický účinek zatížení E a náhodná odolnost R.
Pravděpodobnost poruchy pf pro zvláštní případ deterministického účinku zatížení
zachyceného na obrázku 5.3 je možno stanovit přímo z distribuční funkce ΦR(x)
pf = P(R < e0) = ΦR(e0)
(5.4)
Hodnota distribuční funkce ΦR(e0) se obvykle stanoví z tabulek pro normovanou
náhodnou veličinu U, pro kterou se vypočte hodnota u0 odpovídající e0. Z transformačního
vzorce (3.14) vyplývá, že
61
u0 = (e0 - µR) /σR
(5.5)
Pravděpodobnost poruchy pf je pak dána
pf = P(R < e0) = ΦR(e0) = ΦU(u0)
(5.6)
kde ΦU(u0) je hodnota distribuční funkce normované náhodné veličiny příslušného rozdělení
(např. normálního nebo lognormálního).
Všimněme si, že hodnota -u0 je vzdálenost pevné hodnoty e0 účinku zatížení E od
průměru µR odolnosti R vyjádřená v jednotkách směrodatné odchylky σR. Jestliže rozdělení
odolnosti R je normální, pak se takto definovaná vzdálenost nazývá index spolehlivosti β
β = (µR − e0) /σR
(5.7)
a pravděpodobnost poruchy lze vyjádřit vztahem
pf = P(R < e0) = ΦU(−β)
(5.8)
Pokud však odolnost R má jiné rozdělení než normální, definuje se index spolehlivosti β
formálně jako záporná hodnota normované náhodné veličiny odpovídající pravděpodobnosti
poruchy pf. Obecně tedy platí definice
β = − Φ U−1 ( p f )
(5.9)
kde Φ U−1 ( p f ) označuje funkci, která je inverzní k distribuční funkci normovaného normálního
rozdělení. Takto formálně definovaný index spolehlivosti je dnes všeobecně používanou
mírou spolehlivosti konstrukcí.
Příklad 5.2. Uvažujme, že odolnost R má průměr µR = 100 (vyjádřeno v bezrozměrných
jednotkách), směrodatnou odchylku σR = 10 (variační koeficient je tedy w = 0,10). Pro
deterministický účinek zatížení platí, že e0 = 80 (viz obrázek 5.3). Jestliže R má normální
rozdělení, pak z rovnice (5.7) plyne přímo index spolehlivosti
β = (100 − 80) /10 = 2
a pravděpodobnost poruchy plyne ze vztahu (5.8)
pf = P(R < 80) = ΦU(−2) = 0,023
kde ΦU(−2) je hodnota distribuční funkce normovaného normálního rozdělení pro u = −2.
Jestliže však R nemá normální rozdělení, nýbrž lognormální rozdělení s dolní mezí v nule
62
(podle rovnice (3.20) pro šikmost platí α = 3 w + w3 = 0,301), pak z rovnice (5.5) plyne
u0 = (80 − 100) /10 = −2
Pravděpodobnost poruchy pf je pak dána
pf = P(R < 80) = ΦU(−2) = 0,014
kde ΦU(−2) je distribuční funkce normované náhodné veličiny U s lognormálním rozdělením,
která má šikmost α = 0,301. Výsledné pravděpodobnosti se navzájem příliš neliší, jejich
hodnoty jsou však poněkud vysoké.
Pokud se pevná hodnota účinku zatížení sníží na e0 = 70, vychází pro normální
rozdělení odolnosti R index spolehlivosti β = 3 a pravděpodobnost poruchy
pf = P(R < 70) = ΦU (−3) = 0,00135
pro lognormální rozdělení s dolní mezí v nule
pf = P(R < 70) = ΦU (−3) = 0,00021
Výsledné pravděpodobnosti poruchy jsou významně nižší než pro e0 = 80. Jejich vzájemné
rozdíly však také ukazují, že předpoklad o typu rozdělení tu hraje významnou roli a může být
rozhodující. Formálně definovaný index spolehlivosti podle rovnice (5.9) v posledním případě
vychází β = − Φ U−1 (0,00021) = 3,53, tedy větší než hodnota 3, která platí pro předpoklad
normálního rozdělení odolnosti R.
5.3
Zvláštní případ dvou náhodných veličin
Jestliže účinek zatížení E i odolnost R jsou náhodné veličiny, je stanovení
pravděpodobnosti pf definované rovnicí (5.3) složitější. Nejjednodušší je v tomto případě
předpoklad normálního rozdělení obou veličin E a R. Za tohoto předpokladu má také rozdíl
G=R−E
(5.10)
který se nazývá rezerva spolehlivosti, normální rozdělení. Parametry rezervy spolehlivosti
pro vzájemně nezávislé veličiny R a E (bez ohledu na typ jejich rozdělení) jsou
µG = µR − µE
(5.11)
σ G2 = σ R2 + σ E2
(5.12)
Pro pravděpodobnost poruchy pf lze nyní modifikovat rovnicí (5.3) na tvar
pf = P(E > R) = P(G < 0) = ΦG(0)
63
(5.13)
a celý problém se redukuje na stanovení hodnoty distribuční funkce ΦG(g) pro (g = 0), která
udává pravděpodobnosti výskytu záporných hodnot rezervy G. Víme, že se hodnota
distribuční funkce ΦG(g) stanoví z tabulek pro normovanou náhodnou veličinu U, pro kterou
se nejdříve zjistí hodnota u0 odpovídající hodnotě g = 0 podle transformačního vzorce (3.14)
u0 = (0 − µG) /σG = − µG /σG
(5.14)
Pravděpodobnost poruchy pf je pak dána
pf = P(R < E) = ΦG(0) = ΦU(u0)
(5.15)
Hustota pravděpodobnosti ϕG(g) rezervy spolehlivosti G je zachycena na obrázku 5.4, šedá
plocha pod křivkou ϕG(g) odpovídá pravděpodobnosti pf.
Hustota pravděpodobnosti ϕG(g)
0,04
0,03
1 − pf
0,02
− u0 σG
0,01
pf
0,00
−10
0
20
10
30
40
50
Rezerva spolehlivosti G
Obrázek 5:4. Rozdělení rezervy spolehlivosti G.
Jak již bylo řečeno, za předpokladu, že G má normální rozdělení, se hodnota −u0
nazývá index spolehlivosti a označuje se symbolem β. Z rovnice (5.14) vyplývá pro index
spolehlivosti vztah
β = µG /σG =
µR − µE
σ R2 + σ E2
(5.16)
Víme již také, že takto definovaný index spolehlivosti β lze popsat geometricky jako
vzdálenost průměru µG rezervy spolehlivosti G od počátku, stanovenou v jednotkách
směrodatné odchylky σG.
64
Příklad 5.3. Uvažujme, že stejně jako v příkladu 5.2 má odolnost R průměr µR = 100
(vyjádřeno v bezrozměrných jednotkách), směrodatnou odchylku σR = 10 (variační koeficient
je tedy pouze w = 0,10). Pro účinek zatížení E nechť platí µE = 80 a σE = 8. Z rovnic (5.11) a
(5.12) vyplývá
µG = 100 − 80 = 20
σ G2 = 10 2 + 8 2 = 12,812
Jestliže R i E má normální rozdělení, pak z rovnice (5.7) plyne přímo index spolehlivosti
β = 20 /12,81= 1,56
a pravděpodobnost poruchy plyne ze vztahu (5.8)
pf = P(G <0) = ΦU(−1,56) = 0,059
Jestliže veličiny E a R nejsou normální, pak rozdělení rezervy spolehlivosti G také
není normální a uvedený postup je třeba upravit. V obecném případě se obvykle obě
základní veličiny transformují na veličiny s normálním rozdělením, a pak je možno
postupovat podle předcházející vztahů. Tyto transformace se uplatňují zejména u
softwarových produktů, neboť jde o náročné operace. Pro první (řádovou) představu však
zpravidla postačí následující jednoduchá aproximace, při které se rozdělení rezervy
spolehlivosti G pokládá za tříparametrické lognormální rozdělení.
Předpokládáme, že rozdělení veličin E a R jsou závislá na momentových
parametrech µE, σE, αE, µR, σR a αR. Průměr a směrodatná odchylka rezervy spolehlivosti G
lze stanovit z předchozích rovnic (5.11) a (5.12), šikmost αG rezervy spolehlivosti G ze
vztahu
αG =
σ R3 α R − σ E3 α E
(σ
2
R
+ σ E2
)
3/2
(5.17)
Předpokládá se, že rezervu spolehlivosti G lze dostatečně výstižně popsat lognormálním
rozdělením s takto stanovenými parametry µG, σG a αG. Ukazuje se, že tato aproximace
poskytuje vyhovující výsledky, pokud pravděpodobnost poruchy není velmi malá.
Příklad 5.4. Uvažujme táhlo s odolností R se zavěšeným břemenem o tíze E. Nechť odolnost
R má logormální rozdělení s počátkem v nule s parametry (vyjádřenými opět v relativních
bezrozměrných jednotkách) µR = 100 a σR = 10 (a tedy αR = 0,301), tíha E nechť má
Gumbelovo rozdělení s momentovými parametry µE = 50 a σE = 10 (z oddílu 3.4 plyne, že αE
65
= 1,14).
Parametry rezervy spolehlivosti se stanoví z rovnic (5.11), (5.12) a (5.17)
µG = µR − µE =100 − 50 = 50
σ G2 = σ R2 + σ E2 =102+102 = 14,142
αG =
σ R3 α R − σ E3 α E
(σ
2
R
+ σ E2
)
3/2
=
10 3 × 0,301 − 10 3 × 1,14
(10
2
+ 10 2
)
3/2
= − 0,30
Pro normovanou náhodnou veličinu z rovnice (5.14) plyne
u0 = − µG /σG = − 50/14,14 = − 3,54
Pro lognormální rozdělení se šikmostí αG = - 0,30 platí
pf = P(R < E) = ΦU(−3,54) = 0,00100
což odpovídá indexu spolehlivosti β = 3,09. Přesnější výsledek získaný aplikací softwaru
VaP [32] je pf = 0,00181.
Jestliže by se však při odhadu pravděpodobnosti nepřihlíželo k šikmosti, pak z
normálního rozdělení plyne
pf = P(R < E) = ΦU(−3,54) = 0,00020
což je řádově odlišný výsledek proti předpokladu lognormálního rozdělení.
5.4
Přesné řešení pro dvě náhodné veličiny
Přesné řešení pravděpodobnosti poruchy pf, která je pro případ dvou náhodných
veličin E a R definována rovnicí (5.3), lze získat integrací. Vysvětlíme ji s použitím obrázku
5.5. Označme jev A výskyt účinku zatížení E v diferenciálním úseku <x, x+dx>.
Pravděpodobnost jevu A je dána vztahem
P(A) = P(x< E<x+dx) = ϕE(x) dx
(5.18)
Označme jev B výskyt odolnosti R v intervalu < -∞, x >. Pravděpodobnost jevu B je podle
oddílu 3.1 dána vztahem
P(B) = P(R < x) = ΦR(x)
(5.19)
Diferenciál (přírůstek) pravděpodobnosti poruchy dpf odpovídající výskytu veličiny E v
intervalu <x, x+dx> je dán pravděpodobností současného výskytu jevů A a B, tj.
66
pravděpodobností jejich průniku A∩B. Podle věty o součinu pravděpodobností (2.22) platí
dpf = P(A∩B) = P(A) P(B) = P(x< E<x+dx) P(R<x) = ΦR(x) ϕE(x) dx
(5.20)
Zde se však uplatňuje výše uvedený předpoklad vzájemné nezávislosti veličin E a R, a tedy
také nezávislosti jevů A a B.
Hustota pravděpodobnosti ϕ(x)
0,06
Účinek zatížení E
gama rozdělení,
µE = 70, σE = 7
Odolnost R
lognomální rozdělení,
µR = 100, σR = 10
0,04
dx
0,02
0,00
40
60
x x+dx
100
120
140
Náhodná veličina X
Obrázek 5.5. Rozdělení veličin E a R.
Integrace diferenciálního vztahu (5.20) v intervalu současného výskytu obou veličin E
a R (obecně v intervalu < - ∞, ∞ >) vede ke vztahu
pf =
∞
∫ Φ R ( x )ϕE ( x )dx
(5.21)
−∞
Integraci vztahu (5.21) je zpravidla nutno provést numericky, popř. simulační
metodou Monte Carlo.
Pro numerickou integraci vztahu (5.21) za předpokladu, že obě veličiny E a R lze
popsat (alespoň aproximativně) obecným (tříparametrickým) rozdělením, autor sestavil
jednoduchý program "PFLN" v jazyce FORTRAN, který je uveden v dodatku 1.
Příklad 5.5. Účinek zatížení E i odolnost R jsou popsány lognormálním rozdělením se
stejnými parametry jako v příkladu 5.4 (Gumbelovo rozdělení pro E je nahrazeno
lognormálním rozdělením se stejnými parametry). Aproximativní řešení v příkladu 5.4 vedlo k
pravděpodobnosti poruchy pf = P(R < E) = ΦU(−3,54) = 0,00100. Numerická integrace podle
67
vztahu (5.21) s využitím programu PFLN vede k výsledku pf = P(R < E) = 0,00243, program
VaP poskytuje výsledek pf = P(R < E) = 0,00184, což lze pokládat za velmi dobrou shodu.
Pravděpodobnost poruchy pf stanovená pro dané parametry veličin E a R (µR = 100,
σR = 10, µE = 50 a σE = 10) programem PFLN je v závislosti na šikmostech αE a αR
zachycena na obrázku 5.6.
Šikmost αE
0
1,00E-02
1,00E-03
0,5
-2
1
2
-1
0
Šikmost αR
1
1,00E-04
1,5
2
1,00E-05
pf
1,00E-06
Obrázek 5.6. Pravděpodobnost poruchy pf v závislosti na šikmostech αE a αR pro µR = 100,
σR = 10, µE = 50 a σE = 10.
Z obrázku 5.6 je zřejmé, že pravděpodobnost poruchy pf je významně závislá na
šikmostech αE a αR a může se v praktických podmínkách při stejných průměrech a
směrodatných odchylkách veličin E a R pohybovat v rozmezí několika řádů.
Ukazuje se tedy, že přesné stanovení pravděpodobnosti poruchy v případě
jednoduché podmínky ve tvaru nerovnosti (5.1), ve které se uplatňují pouze dvě náhodné
veličiny E a R, je snadné jen za předpokladu, že obě veličiny mají normální rozdělení.
Jestliže mají jiná rozdělení, je přesné řešení obtížnější a výsledné hodnoty jsou významně
závislé na typech rozdělení. Přibližné řešení s využitím lognormálního rozdělení je užitečné
pro první odhad, výsledné pravděpodobnosti je však třeba ověřit přesnějšími postupy.
5.5
Návrhový bod
Pro praktické využití důležitých poznatků teorie spolehlivosti se v Eurokódech
přijímají různá zjednodušení, aby bylo možno obecné postupy efektivně přenášet do
68
operativních dokumentů. Základem těchto zjednodušení je grafické vyjádření základních
vztahů veličin E a R tak, jak je zachycuje obrázek 5.7. Předpokládá se, že veličiny E a R jsou
nezávislé a že obě mají normální rozdělení.
E
σE
mez porušení E/σE= R/σR
návrhový bod
(ed /σE, rd /σR)
β
αEβ
µE /σE
αR β
µR /σR
R
σR
Obrázek 5.7. Návrhový bod.
Na obrázku jsou náhodné veličiny E a R zachyceny v dvojrozměrném grafu, kde na
vodorovné ose je vyznačen poměr R /σR, na svislé ose poměr E /σE. Je zřejmé, že bezpečná
oblast, kde je splněna podmínka 5.1, je na obrázku 5.7 pod diagonálou os (pod mezí
porušení), nebezpečná oblast je nad diagonálou. Návrhovým bodem (ed, rd) může být
kterýkoli bod na mezi porušení (diagonále), ukázalo se však [21,22,23,24], že nejlepší
volbou, která zaručuje řadu důležitých vlastností (konsistenci a invariantnost řešení při
různých formulacích téže podmínky, volnost výběru základních veličin) je nejbližší bod od
průměru (µE, µR). Pak lze souřadnice návrhového bodu zapsat
ed = µE − αE β σE
(5.22)
rd = µR − αR β σR
(5.23)
kde αE a αR značí tak zvané váhové součinitele veličin E a R (znaménko "minus" je v
rovnicích zachováno v souladu s Eurokódem 1 [1]), ne tedy šikmost jako v předcházejících
oddílech (tato nepříjemná dvojznačnost je přijata s ohledem na zachování stejných značek
jako v dokumentech CEN a ISO [1,2]). Pro váhové součinitele (směrové kosiny přímky meze
porušení) však z obrázku 5.7 vzhledem ke konvenci v rovnicích (5.22) a (5.23) vyplývá
αE = −σE / σ E2 + σ R2
(5.24)
αR = σR / σ E2 + σ R2
(5.25)
69
V Eurokódech se dále přijímá aproximace těchto váhových součinitelů pevnými hodnotami
přičemž
se
vymezuje
αE = −σE / σ E2 + σ R2 = − 0,7
(5.26)
αR = σR / σ E2 + σ R2 = 0,8
(5.27)
platnost
aproximace
prostřednictvím
podmínky
pro
poměr
směrodatných odchylek ve tvaru nerovnosti
0,16 < σE /σR < 7,6
(5.28)
Mimo tento obor se doporučuje pro tu veličinu, která má větší směrodatnou odchylku, dosadit
váhový součinitel α = ±1,0. Poznamenejme, že toto zjednodušení je na straně bezpečnosti,
neboť součet čtverců směrových kosinů by se měl rovnat jedné.
Návrhové hodnoty ed a rd veličin E a R jsou tedy definovány jako kvantily normálního
rozdělení
P(E > ed) = ΦU(+αEβ) = ΦU(−0,7β)
(5.29)
P(R < rd) = ΦU(−αRβ) = ΦU(−0,8β)
(5.30)
kde ΦU(u) značí distribuční funkci normovaného normálního rozdělení. Jestliže β = 3,8, pak
návrhové hodnoty ed a rd jsou kvantily odpovídající přibližně pravděpodobnostem 0,999 a
0,001. Všimněme si, že v rovnici (5.29) se využívá symetrie normálního rozdělení, tj. vztahu
1 − ΦU(+αEβ) = ΦU(+αEβ).
Jestliže model pro zatížení nebo pro odolnost obsahuje více základních veličin (více
druhů zatížení, více materiálů, geometrické údaje), platí rovnice (5.29) a (5.30) pouze pro
dominantní veličiny (nejvýznamnější z hlediska sledované podmínky spolehlivosti). Pro
ostatní (nedominantní) veličiny se požadavky na návrhové hodnoty redukují a platí rovnice
P(E > ed) = ΦU(+0,4αEβ) = ΦU(−0,28β)
(5.31)
P(R < rd) = ΦU(−0,4 αRβ) = ΦU(−0,32β)
(5.32)
Jestliže β = 3,8, pak návrhové hodnoty nedominantních veličin jsou kvantily odpovídající
přibližně pravděpodobnostem 0,9 a 0,1.
Návrhové hodnoty jsou tedy horní (u zatížení) nebo dolní (u odolnosti) kvantily s
odpovídajícími pravděpodobnostmi jejich překročení (u zatížení) nebo jejich podkročení (u
odolnosti). U dominantních veličin jde o pravděpodobnosti dané distribuční funkcí
normovaného normálního rozdělení pro hodnoty u =+αEβ a −αRβ, u nedominantních veličin
pro redukované hodnoty u = +0,4αEβ a −0,4αRβ. Tyto pravděpodobnosti (pro dolní kvantil
70
přibližně 0,001 u dominantních a 0,1 u nedominantních veličin) se pak uplatňují při stanovení
návrhových hodnot i těch veličin, která nemají normální rozdělení. Poznamenáme, že ve
smyslu obecných zásad kapitoly 4 je třeba u horních kvantilů (zatížení) pracovat s
doplňkovými pravděpodobnostmi (blízkými hodnotě 1).
Příklad 5.6. Pro návrhové hodnoty veličin E a R z příkladu 5.4 stanovíme návrhové hodnoty
ed a rd za předpokladu, že index spolehlivosti β = 3,8, αE = −0,7 a αR = 0,8. Pro E z rovnice
(5.29) tedy platí
P(E > ed) = ΦU(αEβ) = ΦU(−2,66) = 0,0039
Doplňková pravděpodobnost je tedy 0,9961 a z rovnice (4.5) obdržíme
ed = µ − (0,45 + 0,78 ln( − ln( p ))) σ =50−(0,45+0,78×ln(−ln(0,9961)))×10 = 88,75
Poznamenáme, že za předpokladu normálního rozdělení z rovnice (4.2) obdržíme
ep= µ + up σ = 50 + 2,66 ×10 = 76,6
Pro R z rovnice (5.30) platí
P(R < rd) = ΦU(−αRβ) = ΦU(-3,04) = 0,0012
Pro lognormální rozdělení s průměrem 100 a variačním koeficientem 10 z rovnice (4.4) plyne
r p ≅ µ exp(unorm,p × w ) =100×exp(− 3,04×0,10) = 73,79
Pro normální rozdělení vychází
rp= µ + up σ = 50 − 3,04 ×10 = 69,6
Zřejmě ed > rd a táhlo tedy nevyhoví (z příkladu 5.4 víme, že β je pouze 3,09). Aby táhlo
vyhovělo indexu spolehlivost 3,8, bylo by nutné parametry veličin E a R upravit.
5.6
Obecný případ více náhodných veličin
Stavební konstrukce a systémy jsou zpravidla popsány řadou základních veličin X1,
X2,… Xn, které pro jednoduchost zápisu označíme jako vektor X [X1, X2,… Xn], realizace x1,
x2, …, xn jako vektor x [x1, x2, …, xn]. V tomto případě se vztah (5.10) pro rezervu
spolehlivosti G zapíše v symbolickém tvaru
G = g(X)
a bezpečná oblast je popsána podmínkou spolehlivosti ve tvaru
71
(5.33)
G = g(X) > 0
(5.34)
která je zobecněním podmínky (5.1).
Mez porušení (funkce mezního stavu) je dána vztahem
G= g(X) = 0
(5.35)
Pravděpodobnost poruchy pf (5.3) je pak zapsána ve tvaru
pf = P(g(X) < 0)
(5.36)
Označme ϕX(x) n-rozměrnou hustotu pravděpodobnosti rozdělení vektoru X. Pak
pravděpodobnost poruchy pf se obecně stanoví integrálem
pf =
∫
ϕX
g( X )<0
(5.37)
( x )dx
kde obor integrace je dán podmínkou
G = g(X) < 0
(5.38)
která vymezuje nebezpečnou oblast vektoru X.
Příklad 5.7. Vraťme se k příkladu 5.1 tažené ocelové tyče, jejíž
odolnost je vyjádřena vztahem R = π d2fy /4, kde d značí průměr
tyče, fy mez kluzu, přenáší břemeno o tíze E = F (viz obrázek
5.8). Rezerva spolehlivosti (5.33) má tedy tvar
G(X) = g(d, fy, F) = π d2fy /4 − F > 0
2
R=π d fy/4
Mez porušení je popsána rovnicí
G(X) = g(d, fy, F) = π d2fy /4 − F = 0
Kromě konstant vystupují v příkladu tři základní veličiny d, fy a F.
Připomeneme opět, že mezní stav je zde definován jako
dosažení
meze
kluzu
fy,
což
je
všeobecně
E=F
uvažované
zjednodušení, nemusí však pro některé druhy ocele odpovídat
Obrázek 5.8. Táhlo.
skutečnosti.
Mez porušení je v případě více než dvou základních veličin poněkud obtížnější
zachytit graficky. Pro dané tíhy F = 100 a 50 kN je mez porušení G(X) = 0 zakreslena na
obrázku 5.9, kde je také vyznačena bezpečná oblast G(X) > 0 a nebezpečná oblast G(X) < 0.
Jde o nelineární, ale spojitou a hladkou křivku. Na obrázku 5.9 jsou rovněž vyznačeny
72
průměry veličin d a fy (30 mm a 290 MPa) i návrhové body, které jsou odvozeny za
předpokladu, že směrodatné odchylky jsou 3 mm a 25 MPa.
Pravděpodobnost pf se stanoví ze vzorce (5.37), přičemž obor integrace podle vztahu
(5.38) je na obrázku 5.9 označen jako nebezpečná oblast pod křivkou meze porušení.
400
F=100 kN
F=50 kN
350
Průměr (30,290)
300
fy [M Pa]
250
Bezpečná oblast
200
Návrhové body
150
100
Nebezpečná oblast
50
0
0
10
20
30
d [m m ]
40
50
60
Obrázek 5.9. Mez porušení a návrhové body pro táhlo.
Výpočet pravděpodobnosti pf podle vztahu (5.37) lze provést na základě několika
základních postupů:
-
přesná analytická metoda
-
numerické metody integrace
-
přibližné analytické metody (FORM, SORM, metoda momentů)
-
simulační metody
-
kombinace předchozích metod.
Přesný výpočet integrálu (5.37) analytickými postupy je možný jen v jednodušších
případech. V obecném případě, zejména je-li mez porušení g(X) = 0 komplikovaná (interakce
několika funkcí), je nutno aplikovat různé numerické metody, přibližné analytické metody
nebo simulačních metody. Základní dvě skupiny přibližných analytických postupů se označují
zkratkami FORM (First Order Reliability Method) a SORM (Second Order Reliability Method).
Odlišují se řádem Taylorova rozvoje meze porušení g(X) = 0 v okolí návrhového bodu
(lineární aproximace meze porušení je naznačena na obrázku 5.9).
Autor má velmi dobrou zkušenost se systémem STRUREL (STRUctural RELiability
System) [31], který používá metody FORM, SORM a simulační metody. Systém zahrnuje
několik samostatných programů (STATREL, COMREL, SYSREL, NASREL), je vhodný pro
73
řešení náročných úloh s časově závislými procesy. Uživatelsky velmi přátelský je program
VaP, Variable Processor) [32], který vedle metody FORM využívá metody momentové a
simulační. Tento program je vhodný zejména pro řešení jednodušších časově nezávislých
úloh. Simulační metodu výpočtu umožňuje také u nás dostupný produkt M-Star [27, 33].
Podrobný popis jednotlivých metod je uveden v odborné literatuře [21,22,23,24,25,
26,27] nebo v manuálu k softwaru STRUREL [31]. Stručně se zmíníme o hlavních krocích
metody FORM, která je základem pro odvození pravděpodobnostních ukazatelů metody
dílčích součinitelů. Nejdůležitější kroky výpočtu pravděpodobnosti pf jsou:
-
transformace základních veličin X na normované náhodné veličiny U a
odpovídající transformace meze porušení g(X)=0 na g(U)=0
-
mez porušení g(U)=0 se aproximuje lineární funkcí (tečnou nadrovinou) v
návrhovém bodě ud, což je bod na mezi porušení g(U)=0 nejblíže počátku
-
stanoví se vzdálenost β návrhového bodu ud od počátku a stanoví se
pravděpodobnost poruchy pf = ΦU(−β)
Metoda SORM se od metody FORM v zásadě odlišuje tím, že se mez porušení
g(U)=0 aproximuje v návrhovém bodě xd kvadratickou funkcí.
Návrhový bod xd původních veličin X je podle metody FORM dán vztahem
ΦXi(xid) = ΦU(−αiβ)
(5.39)
kde ΦXi(xid) je distribuční funkce původní proměnné Xi, ΦU je normovaná distribuční funkce
normálního rozdělení. Pro αi >0 (odolnosti) návrhové body odpovídají dolním kvantilům, pro
αi <0 (zatížení) návrhové body odpovídají horním kvantilům
V Eurokódu [1] se uplatňuje tak zvaná metoda návrhových hodnot (viz přehled na
obrázku 5.10), která vychází z podmínky
g(xd) = g(x1d, x2d, ..., xnd) > 0
(5.40)
kde návrhové body xid jednotlivých základních veličin Xi jsou závislé na typu rozdělení a
parametrech veličiny, na váhových součinitelích αi, které vyplývají z výpočtu metodou FORM
a na indexu spolehlivosti β. Hodnoty součinitelů αi, doporučené pro účely tvorby norem, jsou
uvedeny v tabulce 5.1 (viz též rovnice (5.26) až (5.30).
Tabulka 5.1. Doporučené hodnoty váhových součinitelů αi.
Základní veličina Xi
Doporučený váhový součinitel αi
odolnosti, dominantní
0,8
0,4 × 0,8 = 0,32
odolnosti, nedominantní
74
zatížení, dominantní
- 0,7
- 0,4 × 0,7 = - 0,28
zatížení, nedominantní
V souladu se zásadami Eurokódu se dílčí součinitele spolehlivosti γi základních
veličin xi se u veličin s nepříznivým vlivem na pf, pro které αi < 0 (zvyšující účinek zatížení),
stanoví ze vztahu
γi = xid /xik
(5.41)
u veličin s příznivým vlivem na pf, pro které αi > 0 (zvyšující odolnost), ze vztahu
γi = xik /xid
(5.42)
Takto definované dílčí součinitele spolehlivosti γi jsou zpravidla větší než 1. Podrobný postup
uplatnění dílčích součinitelů spolehlivosti při ověřování spolehlivosti stavebních konstrukcí je
uveden přímo v dokumentech [1, 2], skriptech [7], článcích [9,10,11,12] a v monografii [29].
Příklad 5.8. Uveďme pro základní veličiny d, fy a F táhlo z příkladu 5.7 nové údaje.
Veliči- Typ
Průměr Směr. od. Součinitel
Návrhové hodnoty Návrhové hodnoty
na X
rozdělení
µX
σX
αX
xd teoretické
xd doporučené
d
normální
30
3
0,878
20,0
20,8
fy
lognorm.
290
25
0,275
263,5
260,8
F
Gumbel.
70
7
-0,391
81,5
91,7
Index spolehlivosti stanovený metodou FORM s využitím programu VaP [32] je β =
3,85. Návrhové hodnoty Xd se za předpokladu β = 3,85 vypočítají na základě doporučených
hodnot váhových součinitelů αX podle tabulky 5.1. Průměr tyče d je zřejmě dominantní
veličina odolnosti, takže z rovnice (4.2) plyne
dd = µ(1 − αβw) = 30(1−0,8×3,85×0,1)= 20,8 mm
Mez kluzu fy je v tomto příkladu nedominantní veličina odolnosti, takže z rovnice (4.4) plyne
f y,d ≅ µ exp(− α × β × w ) =290 × exp (−0,32×3,85×0,086) = 260,8 kN
Síla F je dominantní veličina zatížení, takže z rovnice (4.5) plyne
Fd ≅ µ − (0,45 + 0,78 ln( − ln( p ))) σ = 70 − (0,45+0,78×ln(−ln (Φ-1(0,7×3,85)))) ×7 = 91,7 kN
Je patrná dobrá shoda teoretických a doporučených hodnot. Jestliže se charakteristická
hodnota zatížení rovná průměru (což se obvykle předpokládá u vlastní tíhy) Fk=µk=70 kN,
pak dílčí součinitel γF pro veličinu zatížení F vyplývá ze vztahu (5.41)
75
γF = Fd /Fk = 91,7/70 = 1,31
Poznamenáme,že kalibrace dílčích součinitelů γ se opírá o velké množství obdobně
stanovených hodnot.
Závěrem uveďme, že rozbor spolehlivosti se může buď omezit na jeden prvek nebo
může zahrnovat konstrukční systém jako celek. Velké množství různých postupů a jejich
rozsahů vedlo ke klasifikaci spolehlivostních metod do tří základních úrovní:
-
úroveň III zahrnuje postupy přesné integrace a stanovení pravděpodobnosti pro
celý konstrukční systém na základě teoretických modelů základních veličin;
-
úroveň II se opírá o stanovení pravděpodobnosti poruchy ve vybraných
návrhových bodech na mezi porušení, které jsou vyhledány iteračními postupy;
-
úroveň I se omezuje na ověření spolehlivosti prvků na základě dílčích součinitelů
stanovených s ohledem na určené charakteristické hodnoty základních veličin.
Nejnižší metoda úrovně I, která se často nazývá metoda dílčích součinitelů (nepřesně
také často metoda mezních stavů), je základem současných zásad a pravidel pro navrhování
konstrukcí v zemích EU (podle Eurokódů) i jinde ve světě (v ČR byla postupně zaváděná již
po druhé světové válce). Uvedená klasifikace se uvádí také v přehledu spolehlivostních
metod v Eurokódu 1 [1], kde je rovněž uveden diagram na obrázku 5.10, který zachycuje
návaznosti jednotlivých metod a jejich vztah k metodě dílčích součinitelů.
Pravděpodobnostní metody
Předchozí metody
Empirické metody
Exaktní metoda
(úroveň III)
FORM
(úroveň II)
Kalibrace
Kalibrace
Metoda návrhových hodnot
Kalibrace
(Ib)
(Ia)
Metoda dílčích součinitelů
(úroveň I)
(Ic)
Obrázek 5.10. Přehled spolehlivostních metod.
Podle obrázku 5.10 mohou být tedy ukazatele spolehlivosti metody dílčích součinitelů
(úroveň I) získány trojím způsobem:
-
(Ia) kalibrací z historických a empirických metod;
-
(Ib) zjednodušenou metodou FORM prostřednictvím metody návrhových hodnot;
76
-
(Ic) kalibrací z pravděpodobnostních metod.
Současná generace Eurokódů se opírá především o metodu (Ia) s úpravami podle metody
(Ic). Metoda návrhových hodnot (Ib) se uplatňuje především při navrhování pomocí zkoušek
nebo ověřování spolehlivosti existujících konstrukcí.
77