Pravděpodobnost

Pravděpodobnost
od Gausse přes
Poissona k Paretovi
Jan Kábrt
Může být něco tak suše odborného, jako je
hustota pravděpodobnostního rozložení,
nápomocno k nazírání světa kolem nás?
Není to vyloučeno.
O čem bude řeč
1. Gaussovo rozdělení
2. Kde má náhoda větší slovo než Gauss
3. Intenzita poruch
4. Vzhůru ke zobecňování
5. Paretovo pravidlo
6. Paretovo rozdělení
7. Lidský život a pravděpodobnost
1. Gaussovo normální rozdělení
Existuje nějaká
střední hodnota,
kolem ní osciluje
náhodná veličina
– s náhodnými
odchylkami.
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
Obr.: http://cs.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
Gaussovo normální rozdělení
f(x)
x
Do intervalu (m – 2s; m + 2s) padne náhodná veličina
s normálním rozdělením s pravděpodobností 95,4 %.
Nespojitou analogií normálního rozdělení je
rozdělení binomické.
Například při hře v kostky má součet ok na třech
kostkách binomické rozdělení se střední hodnotou
10,5.
Veličiny v pravděpodobnosti
a statistice
Střední hodnota E(X)
Aritmetický průměr
Variance
Rozptyl
Var(X)
Hustota
pravděpodobnostního
rozdělení
f(x)
Histogram
Hustota
pravděpodobnostního
rozdělení f(x)
Histogram
Veličiny „příbuzné se střední
hodnotou“
Modus – nejčastější hodnota
Medián – prostřední hodnota
Kvantily – např. x0,25 znamená, že
čtvrtina hodnot x leží pod x0,25
P (X < x) = 0,25
Med(x) = x0,5
Gaussovo normální rozdělení
…popisuje mimo jiné rozdělení doby životnosti
různých výrobků, které se opotřebovávají. Při
„standardní kvalitě“ a za „standardních podmínek“
má výrobek předpokládanou životnost E(X).
Náhodné vlivy způsobují odchylky.
2. Kde má náhoda větší slovo
než Gauss
…V případě, že výrobek se (prakticky)
neopotřebovává. Například sklenice v restauraci,
rtuťové teploměry v nemocnici
Exponenciální rozdělení
Střední hodnota je d, variance d2
Nespojitou analogií exponenciálního rozdělení je
rozdělení Poissonovo.
Siméon Denis Poisson
(1781 – 1840)
Obr.: http://en.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson
Rozdíl mezi normálním a
exponenciálním rozdělení
V předpisu hustoty je exponenciální funkce.
V exponentu je pro normální rozdělení
– x2,
Pro exponenciální rozdělení
– x.
3. Intenzita poruch
Jde o zajímavější rozdíl mezi normálním a
exponenciálním rozdělením.
P(X < t + d | t < X)
Co je intenzita poruch P(X < t + d | t < X)
… jakou část tvoří modrá plocha z fialové a modré
dohromady.
P(t < X and X < t + d)
P(t + d < X)
t
t+d
P(t < X and X < t + d)
P(X < t + d | t < X) =
P(t < X)
P(t < X and X < t + d)
P(t + d < X)
t
t+d
Intenzita poruch P(X < t + d | t < X)
Při normálním rozdělení je intenzita poruch
rostoucí,
při exponenciálním rozdělení je konstantní.
Shrnutí
Intenzita poruch
rostoucí
a
konstantní
4. Vzhůru ke zobecňování
Vlivy na životnost klávesnice počítače:
1) Opotřebení (jako u motorů a bot)
… normální rozdělení
2) Náhodné vlivy (polití nápojem, pád na zem)
… exponenciální rozdělení
Při vyjádření hustoty bychom čekali v exponentu
„něco mezi“ – x2 a – x.
Mnohé případy životnosti popisuje
Weibullovo rozdělení.
Weibullovo rozdělení
Waloddi Weibull
(1887 – 1979)
Obr.: http://www.pixe.lth.se/forensic/bertram//KBertramB/waloddiweibullE.asp
Rayleighovo rozdělení
… případ Weibullova rozdělení pro hodnotu
parametru b = 2.
Toto rozdělení popisuje například:
1) Rozdělení vzdáleností zásahů od středu terče
(dvě souřadnice s normálním rozdělením,
přepona vyjádřená pomocí Pythagorovy věty).
2) Rozdělení rychlostí větru v obecných podmínkách.
Rayleighovo rozdělení
Rayleighovo rozdělení
Pro rozdělení rychlostí větru je h tzv. střední rychlost větru.
Nabízí se otázka
Mají smysl rozdělení pravděpodobností s
klesající intenzitou poruch ?
Odpověď přichází z oblasti ekonometrie.
5. Paretovo pravidlo
Jak bývají rozděleny statky (společenský
produkt, bohatství) v lidské společnosti ?
Rozdělení „čtyři z pěti“ – Paretovo pravidlo
Vilfredo Pareto (1848 – 1923)
Obr.: http://www.forumacil.com/dusunurler-ve-flozoflar/91848-vilfredo-pareto-kimdirkisaca-hayati.html
Užití Paretova pravidla
 20% lidí spotřebovává 80% statků.
 20% úsilí přináší 80% výsledků.
 20% příčin způsobuje 80% problémů.
Bohatství není úměrné
zdanitelnému příjmu
Není to tak, že by 20% nejbohatších lidí
odvádělo 80% všech daní z příjmu.
Přesto pravděpodobnostní rozdělení
příjmů (mezd a platů) vykazuje „klesající
intenzitu poruch“.
Klesající intenzita poruch
u příjmů
Víme-li, že kdosi měsíčně vydělává více než 18 tisíc Kč,
je tento příjem s pravděpodobností 25% menší
než 20 tisíc Kč.
Pokud je měsíční příjem větší než 28 tisíc Kč,
je s pravděpodobností 17% menší než 30 tisíc Kč.
A když víme, že je měsíční příjem větší než 38 tisíc Kč,
je s pravděpodobností 13% menší než 40 tisíc Kč.
6. Paretovo rozdělení
Jedna z variant:
Obr: http://www.chces-penize.cz/penize-a-jak-na-ne/
Paretovo rozdělení
Rozdělení s klesající
intenzitou poruch
Mnozí odborníci na ekonometrii používají pro
příjmy obyvatelstva raději logaritmicko normální
rozdělení (tříparametrické), než Paretovo.
Často se využívá vztahu
X0,75
X0,5
=
X0,8
X0,6
=
X0,9
X0,8
Rozdělení příjmů v ČR
Paretovo rozdělení
xmin = 16000;
X0,75
X0,5
=
=
25400
20160
X0,8
X0,6
=
…E(X) = 24000
k=3
=
27340
21720
X0,9
X0,8
=
34440
27340
=
1,26
Paretovo rozdělení
xmin = 12000;
X0,75
X0,5
=
=
24000
16970
X0,8
X0,6
=
…E(X) = 24000
k=2
=
26800
18980
X0,9
X0,8
=
37900
26800
=
1,41
7. Lidský život
a pravděpodobnost
Vývoj intenzity poruch v závislosti na věku:
Převrácená nebo opačná hodnota intenzity
poruch (třeba vitalita) má podobný průběh v čase,
jako duševní či tělesné schopnosti: