PIKOMAT MFF UK

PIKOMAT MFF UK
Milé řešitelky, milí řešitelé,
31. ročník soutěže Pikomat MFF UK se blíží ke svému konci. Zbývá tedy posledních 7 zajímavých příkladů a dozvíme se vítěze letošního ročníku. Situace (nejen)
v čele výsledkové listiny je stále napjatá, vyplatí se proto řešit i poslední, šestou,
sérii. Termín odeslání této série, jejíž zadání se nacházelo v minulém letáku, je
2. května.
Na základě současných výsledků jsme nejúspěšnější řešitele pozvali na soustředění. Pozvaným gratulujeme a těšíme se na vaši účast.
Přihlašování na tábor je v plném proudu a volná místa pomalu ubývají. Jeho
termín je 23. července – 6. srpna. Pokud máte zájem se zúčastnit, přihlášku
naleznete na http://pikomat.mff.cuni.cz/prihlaska. Tábor již poctivě připravujeme
a doufáme, že na něm uvidíme mnoho známých i nových tváří.
Zájemcům o další matematická zápolení nabízíme týmovou soutěž MaSo, která proběhne 18. května. Více informací naleznete na webových stránkách této
soutěže: http://maso.mff.cuni.cz.
Přejeme mnoho úspěchů při řešení šesté série.
Vaši organizátoři
pikomat.mff.cuni.cz
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 5. série
Vzorová řešení a komentáře
k 5. sérii úloh
Úloha č. 1
Na zemi je půlkruh nad průměrem AB. Na úsečce AB zvolme bod C, bod D pak
leží na kruhovém oblouku AB tak, že CD je kolmé na AB. Body C, D prochází
kružnice s průměrem CD, obsah kruhu ohraničeného touto kružnicí označme S1 .
Dále si narýsujeme kruhové půloblouky s průměry AC a CB, které jsou orientované do oblouku AB a jako S2 si označíme obsah půlkruhu s průměrem AB bez
obsahu těchto dvou menších půlkruhů. Vysvětlete, proč platí S1 = S2 pro libovolnou pozici bodu C na úsečce AB.
Řešení: Úloha se dala řešit několika různými způsoby. Popíšeme si zde pouze
jeden – ten, který mi připadá nejsnadnější. Nejprve si udělejme náčrtek.
D
A
C
B
Obr. 1
V obrázku 1 jsou zvýrazněné plochy, které se sobě mají rovnat. Pojďme dokázat, že to tak opravdu je.
První důležitá myšlenka je, že trojúhelník ABD je pravoúhlý s pravým úhlem
u vrcholu D. To proto, že bod D leží na Thaletově kružnici vytvořené nad úsečkou AB. Podobně i trojúhelníky ACD a CBD jsou pravoúhlé s pravým úhlem
u vrcholu C, což přímo plyne ze zadání z konstrukce bodu D. Pro pravoúhlé
trojúhelníky platí Pythagorova věta: a2 + b2 = c2 , kde a, b jsou délky odvěsen
pravoúhlého trojúhelníka a c je délka jeho přepony. Vzpomeňme si ještě na geometrickou interpretaci Pythagorovy věty, tedy obsah čtverce sestrojeného nad
přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho
Strana 2
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
odvěsnami. To se nám bude hodit, neboť se snažíme dokázat vztah jakýchsi obsahů. Problém je, že Pythagorova věta nám dává vztah pro obsahy čtverců, nám
by se hodil vztah pro obsahy půlkruhů sestrojených nad stranami pravoúhlého
trojúhelníka. Spočtěme, jaký je vztah mezi obsahem čtverce o straně a a obsahem půlkruhu s průměrem rovným délce strany čtverce (obr. 2):
a
Obr. 2
1 ( a )2 π 2
π
= a ,
2
2
8
kde Sc značí obsah čtverce a Sp obsah půlkruhu.
2
2
Vidíme, že obsah čtverce je π
8 -násobek obsahu půlkruhu. Pokud platí a +b =
π 2 π 2
π 2
2
= c , pak platí i 8 a + 8 b = 8 c , což je vztah pro obsahy půlkruhů. Vyjádřeme
si jednotlivé obsahy půlkruhů, které budeme potřebovat pro výpočet. Začněme
třeba s největším půlkruhem – viz obr. 3.
Sc = a2 , Sp =
D
A
B
C
Obr. 3
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 3
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 5. série
Z Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelník ABD platí: |AD|2 + |BD|2 =
= |AB|2 . Pro obsahy příslušných půlkruhů platí: π8 |AD|2 + π8 |BD|2 = π8 |AB|2 .
Podobně si vyjádřeme i vztah, který mají obsahy půlkruhů sestrojených nad
stranami pravoúhlých trojúhelníků ACD a CBD (obr. 4, 5):
D
D
A
A
C
C
B
B
Obr. 4
Obr. 5
π
π
π
|AC|2 + |CD|2 = |AD|2 ,
8
8
8
π
π
π
2
2
|BC| + |CD| = |BD|2 .
8
8
8
Vyjádřeme si z rovností obsahy půlkruhů nad průměrem CD:
π
π
π
|CD|2 = |AD|2 − |AC|2 ,
8
8
8
π
π
π
2
2
|CD| = |BD| − |BC|2 .
8
8
8
Obsahy dvou půlkruhů nad průměrem CD nám dají dohromady obsah kruhu
s průměrem CD, tedy obsah označený S1 v zadání. Obsah S1 získáme sečtením
obou rovností:
π
π
π
π
π
S1 = 2 |CD|2 = |AD|2 + |BD|2 − |AC|2 − |BC|2 .
8
8
8
8
8
π
2
2
Pokud si uvědomíme, že π
8 |AD| + 8 |BD| nám dává dohromady
už jsme spočítali z obrázku 3, dostaneme rovnost:
π
2
8 |AB| ,
což
π
π
π
π
S1 = 2 |CD|2 = |AB|2 − |AC|2 − |BC|2 .
8
8
8
8
Strana 4
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Pravá strana rovnosti nám dává právě obsah S2 – obsah půlkruhu nad průměrem AB mínus obsahy dvou půlkruhů nad průměry AC a BC. Dohromady jsme
ukázali, že S1 = S2 .
Komentář: Úloha se dala řešit mnoha různými způsoby, většina z vás využila
Pythagorovu větu a Euklidovu větu o výšce – spočítali jste si obsahy kruhu s obsahem S1 a vyjádřili jste si obsah S2 , dali jste obsahy do rovnosti a dospěli jste
k Euklidově větě o výšce. Na tomto postupu se mi líbilo, když jste si dali i tu práci
a dokázali, proč platí Euklidova věta o výšce. Za chybějící zdůvodnění jsem strhávala jeden bod. Nestačí jen dospět k rovnosti a říct, že platí. Je třeba i napsat
pár slov o tom, proč rovnost platí. Velmi se mi líbilo řešení Magdalény Mišinové,
která pěkným geometrickým způsobem dospěla k Euklidově větě o výšce. Jiné
možné řešení bylo, že jste vyšli z Pythagorovy věty a upravovali jste obě strany
rovnosti, abyste dostali obsah S1 na jedné straně rovnosti a obsah S2 na druhé
straně. Vzorovému řešení se nejblíže přiblížíl Václav Trpišovský, velkou radost
mi ale udělala i řešení Michala Beránka, Adély Karolíny Žáčkové, Václava Janáčka
a Kateřiny Matulové.
Úloha č. 2
Na každé kartičce je právě jedno čtyřmístné číslo obsahující číslice 1, 2 a 3. Na
kartičkách jsou vypsaná všechna čtyřmístná čísla, každé právě jednou. Ve hře se
získávají body sbíráním speciálních „bodovaných“ trojic kartiček. Konkrétně takových trojic, ve kterých mají všechna tři čísla na každém z míst buď stejnou číslici,
nebo číslice navzájem různé. (Tedy např. trojice 1123, 2121, 3122 je bodovaná,
ale trojice 1123, 2121, 2122 není bodovaná, protože na pozici tisíců mají dvě čísla
dvojku a jedno číslo jedničku.) Kolik existuje různých bodovaných trojic?
Řešení: Uvědomme si nejdříve, kolik máme v balíčku kartiček. Na každé pozici
v jednom čísle máme možnosti 1, 2 a 3. Tedy kartiček je celkem 3 · 3 · 3 · 3 = 34 =
= 81. První kartičku do bodované trojice můžeme volit zcela libovolně. Druhou
také, pouze nesmíme brát již použitou kartičku. Třetí kartička je pak dvěma
předchozími jednoznačně určena, neboť jakmile na dané pozici mají dvě vybrané
kartičky stejnou číslici, i třetí kartička ji na této pozici musí mít. Pokud se naopak
kartičky na dané pozici liší, na třetí kartičce pak musí být třetí, zbývající číslice.
Tímto způsobem vybereme trojice 81 · 80 = 6 480 způsoby. Na pořadí kartiček
ale nezáleží. Například máme-li bodovanou trojici kartiček A, B a C, pak kartičky
B, C a A udávají tutéž kombinaci. Zbývá tedy otázka, kolika způsoby můžeme
seřadit tyto trojice. Těchto seřazení je 3 · 2 · 1 = 6. Celkový počet bodovaných
trojic je pak 6 480
= 1 080.
6
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 5
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 5. série
Komentář: Mnoho z vás mělo problém vymyslet nějaký snadný způsob, jakým
kartičky počítat. Často jste buď zapomínali, že některé kombinace počítáte vícekrát, nebo jste vymysleli jen několik způsobů, jakými lze vytvořit bodované
trojice, a na ostatní zapomněli. Řešení, která neobsahovala správnou myšlenku,
obvykle obdržela bod až dva v závislosti na kvalitě nápadu, jak trojice počítat.
Úloha č. 3
Zákusek měl tvar krychle. Mladík jej ukrojil jedním řezem tak, že tento řez měl
tvar pravidelného n-úhelníku. Jaké všechny n-úhelníky to mohly být? Proč ne jiné?
Řešení: Nejprve je třeba si všimnout, že každá stěna zákusku ve tvaru krychle
může obsahovat maximálně jednu stranu z n-úhelníkového řezu. Jelikož krychle
má 6 stěn, může obsahovat n-úhelníkový řez s nejvíce 6 stranami. Po chvilce
zkoumání sestrojíme řez pro pravidelné 3-, 4- a 6-úhelníky.
Obr. 6
Zbývá ukázat, že pravidelný 5-úhelník se nám nikdy nepodaří sestrojit. Pokud
by mohl existovat, měl by určitě některé své dvě strany na protějších stěnách.
Což by však znamenalo, že tento pravidelný 5-úhelník má dvě strany rovnoběžné,
a to nemůže nastat. Úloha je vyřešena.
Strana 6
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Komentář: V úloze byla velmi důležitá část s odůvodněním, proč už žádné jiné
než nalezené řezy neexistují. Kdo tuto část vynechal, nemohl dostat víc než 2
body. Jako největší oříšek se ukázalo dokazování nemožnosti sestrojit pravidelný
5-úhelník. K tomu se někteří hrdinně postavili hýbáním s body, avšak nevyvarovali se chyb a většinou na něco zapomněli. Zde bych chtěl vyzvednout řešení
Jakuba Janků, kde bylo hýbáno s body elegantně a jednoduše.
Úloha č. 4
Jeden měl 0,5 l světlé třináctky a druhý 0,5 l tmavé jedenáctky. Každý chtěl ochutnat od toho druhého. Proto druhý vzal svůj půllitr a 125 ml z něj odlil do sklenice toho prvního, a ten mu vzápětí odlil 125 ml zpátky, aby měli oba stejně. Od
pohledu se ale zdálo, že sklenice toho druhého obsahuje stále příliš mnoho tmavého piva. Kolik své směsi má podobným způsobem znovu přelít k prvnímu a pak
zpátky, aby nakonec v jeho půllitru byla 1/4 světlého piva a 3/4 tmavého?
Řešení: Na začátku bylo v půllitru A 500 ml světlého piva a v půllitru B to samé
množství piva tmavého. Po přelití se v půllitru A vytvoří směs dvou piv. Bude
se
pak dále) přelévat 125 ml, což představuje 20 % celkového objemu, tedy 0,2
( 125
625 = 0,2 . V tomto poměru se udrží i přelitá část, přelije se tedy 0,2 · 500ml =
= 100 ml světlého a 0,2 · 125 ml = 25 ml tmavého. V půllitru A pak bude 400 ml
světlého a 100 ml tmavého, v půllitru B to bude naopak.
Tím máme za sebou tu jednodušší část. Teď je potřeba spočítat, kolik dalších
mililitrů si přelili. Budeme používat stále stejný vzoreček:
opre
· spuv ,
opuv + opri
resp.
opre
· tpuv ,
opuv + opri
kde opre značí přelitý objem, opuv značí původní objem a opri značí přilitý
objem.
Určíme si, kolik
piva je v půllitrech
po třetím
(
)
( přelití. xV půllitru
) A bude po
x
třetím přelití 400 + 500
· 100
ml světlého a 100 + 500
·
400
ml tmavého.
(
)
(
)
x
x
V půllitru B nám tedy zůstane 400− 500
·400 ml tmavého a 100− 500
·100 ml
světlého.
Už nám zbývá vyřešit jenom čtvrté přelévání
rov( a budeme
( si moct)sestavit )
nici. V půllitru B bude po posledním přelití 100 −
pikomat.mff.cuni.cz
x
5
+ 400 +
x
5
·
x
500+x
ml
Strana 7
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 5. série
)
)
(
x
+ 100 + 4x
·
5
500+x ml tmavého. K tomu jsme došli naprosto jednoduše: hodnota po druhém přelití − hodnota přelitá během třetího
přelívání + hodnota přelitá při čtvrtém přelévání.
Víme, že poměr tmavého a světlého piva v půllitru B má být na konci 3:1, tedy
375 : 125 ml. Můžeme si vybrat, jestli
( chceme
) počítat rovnici pro tmavé nebo pro
x
x
x
světlé, já volím světlé: 100 − 5 + 400 + 5 · 500+x
= 125.
Po mnohých úpravách, které si můžete vyzkoušet sami, ať se procvičíte v řešení rovnic, se dostaneme k tomuto:
(
světlého a 400 −
4x
5
11x = 500,
500
x=
= 45,46 ml.
11
Poskoci si tedy museli přelít ještě přibližně 46 ml, aby měl druhý poskok poměr tmavého a světlého ve svém půllitru 3 : 1.
Pro větší přehlednost naleznete v následující tabulce všechny důležité hodnoty.
Přelití
Pivo A – světlé
0.
500s
1.
500s + 125t
2. (
400s
) +(100t
x
3.
400 + 5 s + 100 +
4.
?
Pivo B – tmavé
500t
375t
400t
)
(
) +(100s
)
4x
4x
x
400 − 5 t + 100 − 500
s
5 t
(
(
)
)
x
x
x
100− 5 + 400 + 5 500+x s+
(
)
)
(
4x
x
+
100
+
+
x
t
+ 400 − 4x
5
5
500
Komentář: Většina z vás úlohu vyřešila správně, někteří to dokonce zvládli na
třech řádcích, za což chválím. Postupy se lehce lišily, 5 bodů jsem ale s radostí
dala všem, kteří na to šli přes rovnice. Body jsem pak podle závažnosti chyby strhávala za nedostatečné zdůvodnění zásadního kroku, neúplný výsledek, metodu
pokus-omyl či jiné prohřešky.
Úloha č. 5
Mapa měla tvar čtverce, jehož jedna strana byla přesně 1 m. Je na ní vyznačena
čtvercová síť s čtverečky o straně 10 cm. Na souřadnicích [3; 8], [4; 5], [5; 2] jsou
vyznačeny tři domy a pak další čtyři v rozích mapy. (Dům je na mapě značen jako
Strana 8
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
bod.) Dále je mapa rozdělená do oblastí tak, že v každé oblasti leží jeden dům
a z každého bodu dané oblasti je to nejblíže právě do domu v této oblasti. Kudy
povedou hranice oblastí? Narýsujte mapu v měřítku 1 : 10.
Řešení: Všechny body na mapě stejně vzdálené od dvou domů leží na ose mezi
nimi. Pro body v jedné polorovině platí, že jsou blíže k domu, který v té polorovině leží.
I
10
L
9
8
K
7
H
6
J
5
4
M
N
R
3
Q
2
1
0
0
1
2
P3
4
5
6
7O
8
9
10
Obr. 7
Mezi každými dvěma domy (u kterých to má smysl, tj. není na první pohled
zřejmé, že nemají společnou hranici) uděláme osu. Sestrojíme kolmici k úsečce
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 9
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 5. série
spojující oba domy tak, aby procházela středem úsečky. Výslednou oblast sestrojíme jako průnik polorovin náležící k danému domu.
Komentář: Většina odpovědí byla správných. Někdy chyběl popis, jak byly hranice vytvořeny. U řešení, která nebyla správná, proto bylo těžké pochopit, jak
bylo řešení myšleno. Někteří řešitelé hledali hranice pouze pro body na celočíselných souřadnicích mapy nebo podle jiných kritérií, která nebyla v zadání.
Úloha č. 6
√
Na kartičce bylo napsáno: republika = eeuui. Různá písmena znamenají
různé cifry. Jaké číslo představuje slovo republika?
Řešení: Na začátku řešení úlohy nevíme o číslech republika a eeuui téměř
nic. Zkusme proto prozatím slevit z nároků a snažit se do nich číslice doplňovat
jednu po druhé. Začneme omezením čísla eeuui. Slovo republika bude určitě
větší než 100 000 000 a menší než 999 999 999, proto musí platit, že:
√
. √
100 000 000 = 10 000 < eeuui < 31 623 = 999 999 999.
Z toho už je pěkně vidět, že e může být jedině 1 nebo 2. Co kdyby tedy e = 1?
Jak by potom vycházelo číslo republika? Podívejme se, jak za těchto podmínek
vychází nejmenší a největší eeuui:
11 0022 = 121 044 004 ≦ republika ≦ 143 952 004 = 11 9982 .
Tím se ale dostáváme do sporu se zadáním, protože nám vychází stejné r jako
zvolené e a e = 1 jsme tím vyloučili. Takže e = 2, což můžeme využít v dalším
postupu.
Umocněním nejmenšího a největšího možného eeuui si zase z druhé strany
můžeme omezit číslo republika:
22 0012 = 484 044 001 ≦ republika ≦ 528 908 004 = 22 9982 .
To nám prozrazuje, že r = 5, protože je to jediná možnost, jak dosáhnout
e = 2 v čísle republika. Takže už víme, že číslo republika musí vypadat následovně 52publika. Pojďme toho využít a podívat se, jak nám to omezí číslo
eeuui. Opět se podíváme na krajní hodnoty čísla republika:
√
.
. √
520 000 000 = 22 804 ≦ eeuui ≦ 23 022 = 529 999 999.
Strana 10
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Opět dostáváme jen dvě možnosti, čemu by se mohlo rovnat u v čísle eeuui,
a to 8 nebo 9. Pojďme je prozkoumat.
1. Kdyby u = 8, omezí se nám číslo republika následovně:
22 8802 = 523 494 400 ≦ republika ≦ 523 906 321 = 22 8892 .
Vychází nám, že p = 3 a číslo republika by muselo začínat 5238blika. Co
to znamená pro eeuui? Zkusme se zase podívat na nejmenší a největší možné
číslo republika:
√
.
. √
523 800 000 = 22 886,7 < eeuui < 22 888,9 = 523 899 999.
V tomto rozmezí už leží jediné možné eeuui = 22 887, pro které vychází
republika = 523 814 769 a to splňuje zadání! Objevili jsme tak jedno řešení.
Tím ale naše práce nekončí. Musíme prozkoumat ještě druhou možnost,
abychom zjistili, jestli náhodou neexistuje víc možných řešení úlohy.
2. Kdyby u = 9, omezí se nám číslo republika následovně:
22 9902 = 528 540 100 ≦ republika ≦ 528 908 004 = 22 9982 .
Vychází nám, že p = 8 a číslo republika by muselo začínat 5289blika. To
pro eeuui znamená:
√
.
. √
528 900 000 = 22 997,8 < eeuui < 22 999,5 = 528 977 777.
Takové omezení připouští jedině eeuui = 22 998, ale potom by se i rovnalo p a to není možné. Proto možnost u = 9 žádné nové řešení nenabízí
a republika = 523 814 769 je jediným řešením úlohy.
Komentář: Úlohu šlo řešit více způsoby. Většina z vás zvolila kombinatorický
způsob s více či méně čísly, která jste museli ručně vyzkoušet. To rozhodně není
špatně, pokud počet zkoušených možností nepřesáhl počet možností ověřitelných ručně bez pomoci počítače. Vzorové řešení vám má ukázat, že to šlo i jinak.
Správný výsledek jste poslali téměř všichni, a tak o počtu bodů, které jste získali, rozhodoval postup, kterým jste k výsledku došli. Řešení bez postupu získala
jen po jednom bodu. Berte to prosím jako ponaučení. V Pikomatu je postup to,
co nás zajímá.
Stejně tak po bodu dostali ti, co úlohu řešili hrubou silou za pomoci počítačového programu. Pravda, úlohu tak vyřešíte, ale nás zajímá postup, jak úlohu
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 11
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 5. série
vyřešit s tužkou a papírem. Aby nedocházelo k nedorozuměním, uvádíme to
i v pravidlech soutěže.
Naopak po bodu jsem strhával ve dvou případech. Jednak pokud z vašeho
postupu nebylo zřejmé, že výsledek, který jste objevili, je jediný možný. Vždy nás
zajímají všechna řešení úlohy. Pak také v případě, že jste ve svém řešení zkoušeli
velmi mnoho čísel, abyste se dostali k výsledku. Velmi mnoho v případě této
úlohy znamenalo čtyřicet a víc. Tím rozhodně neříkám, že ve svých postupech
nesmíte nikdy vyzkoušet několik možností. To samozřejmě můžete a některé
úlohy to vyžadují, ale čtyřicet už není několik.
Nakonec vás musím pochválit. Měl jsem tu čest opravovat spoustu moc pěkných řešení. Snažil jsem se vám to i připsat do opravených papírů.
Úloha č. 7
Dena stojí na červené dlaždici uprostřed místnosti pokryté 25 × 25 dlaždicemi.
Může se hýbat jen o jednu dlaždici dopředu, dozadu, vlevo anebo vpravo. Kolika
způsoby se může na 6 pohybů dostat na dlaždici vpravo vepředu (diagonálně
sousedící dlaždici) od té červené?
Řešení: Jako nejlepší způsob řešení mi přišel ten, který použil například Robert
Gemrot. Jeho text jsem trochu upravil a doplnil o pár vysvětlení:
Označíme si pohyby: S = pohyb na sever (dopředu), J = pohyb na jih (dozadu), V = pohyb na východ (doprava), Z = pohyb na západ (doleva).
Dena se chce dostat na pole vpravo nahoře (diagonálně) sousedící s tím, na
kterém stojí. K tomu bude potřebovat o jeden krok S více než J. Zároveň o jeden
krok více V než Z.
Podle počtu kroků v jednotlivých směrech si můžeme úlohu rozdělit na případy:
1. 1S, 0J, 3V , 2Z
Máme 6 kroků, které může Dena udělat v libovolném pořadí. Na prvním
místě výsledného pořadí může být libovolný z šesti kroků. Na druhém místě
může být libovolný ze zbylých pěti a tak dále až na poslední místo, kde zbyde
jediný možný krok. Počet možností, jak vytvořit pořadí šesti kroků je proto
6·5·4·3·2·1. Stejným postupem bychom mohli spočítat počet různých pořadí
(permutací) n prvků. Počet všech permutací by pak byl n·(n−1)·(n−2) . . . 2·1.
Zkráceně tento součin značíme n! a čteme n faktoriál.
Kdybychom kroky zamíchali úplně libovolně, byla by každá možnost ve výsledku obsažena 3! krát kvůli tomu, že tři kroky V jsou stejné. Navíc ještě 2!
krát kvůli tomu, že dva kroky Z jsou stejné.
Strana 12
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Celkový počet možností v tomto případě je tedy 3!6·2! ! = 60.
2. 2S, 1J, 2V , 1Z
Podobným způsobem jako v předchozím případě dojdeme k tomu, že možností je 2!6·2! ! = 180.
3. 3S, 2J, 1V , 0Z
Opět stejným způsobem zjistíme, že počet možností je 3!6·2! ! = 60.
Žádná jiná varianta počtů kroků není. Dohromady je tedy možností 60+180+
+ 60 = 300.
Komentář: Kdo se vydal touto cestou obvykle dospěl k cíli za 5 bodů. Za chybu
opisu, drobné opomenutí nebo nevysvětlení nějakého kroku jsem sebral bod. Ti,
kteří se při počítání dopustili nějaké systematické chyby, dostali nižší počet bodů
podle závažnosti chyby.
Část z vás bohužel špatně pochopila zadání. Někteří předpokládali, že se Dena
nesmí vracet na pole, na kterém už stála. V zadání to napsáno nebylo a co není
zakázáno, je povoleno. Takto upravená úloha je výrazně jednodušší než ta zadaná. Za správné řešení upravené úlohy jste tak dostali 2 body.
Úlohy páté série opravovali a komentáře sepsali: 1. Tereza Ptáčková, 2. Vojtěch
Kika, 3. Marián Poppr, 4. Barbora Šmídová, 5. Jiří Štrincl, 6. Jiří Erhart, 7. Jan
Hamáček.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 13
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 5. série
Výsledková listina Pikomatu MFF UK
po 5. sérii
Celkově
1.
2.–4.
V roč.
1.
1.–3.
5.
6.
7.
8.–9.
1.
2.
3.
4.
4.
5.
5.
2.
6.
6.
7.–8.
10.
11.
12.–13.
14.–16.
17.
18.–19.
29.
30.
31.–33.
3.
4.
9.
10.
5.
11.
7.
12.
8.
13.
9.
14.
15.
16.
10.–11.
34.
35.–36.
17.
12.
18.–19.
37.
13.
20.
21.–22.
23.–24.
25.–26.
27.–28.
Strana 14
Jméno a příjmení
Roč. a škola
Michal Beránek
7. ZSON
Petr Khartskhaev
8. PORG
Robert Gemrot
8. GHAV
Adéla Karolína Žáčková 8. GCDP
Jakub Janků
9. GMLE
František Záhorec
9. GRNL
Michal Krtouš
9. GUST
Jakub Kislinger
8. GJVK
Kristýna Kratochvílová 9. GBNE
Ludmila Hana Houfková8. GMHS
Matěj Hasala
9. ZSBU
Kryštof Pravda
7. GMSP
Jakub Ucháč
9. ZSVV
Lubor Čech
8. GMIK
Jan Kaifer
9. GCBR
Martin Schmied
9. GJIH
Tomáš Flídr
7. GKRO
Klára Hubínková
7. GMNP
Eliška Vítková
9. GCDP
Nora Prokešová
9. GCKV
David Hájek
7. ZSJW
Matěj Krátký
9. PORG
Magdaléna Mišinová 8. GJKP
Vít Šimeček
9. CSLH
Vladimír Chudý
8. ZSRD
Filip Novotný
9. GJIH
Erik Sedlak
8. GASK
Jan Nekarda
9. GUHV
Veronika Vařáková
9. GJSK
Viktor Materna
9. GKJB
Richard Randák
8. GCKV
Vojtěch Bořík
8. CGMN
Barbora Pavlíková
9. GJVJ
Klára Pernicová
8. GZAS
Marek Černoch
9. GFPA
Martin Hubata
9. GMNP
Lukáš Frk
8. GNAP
1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
1
5
5
1
3
5
3
3
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2
2
5
2
5
2
5
2
1
4
2
2
2
2
4
5
2
2
2
5
1
-
3
5
4
5
5
5
4
5
5
5
2
5
5
5
2
1
4
5
4
2
4
4
3
2
1
1
1
2
3
5
4
1
2
0
3
-
4
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
3
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
4
5
5
1
-
7
5
5
5
2
5
5
5
5
5
5
3
5
1
5
5
5
3
2
5
3
5
5
3
2
1
1
3
1
2
3
4
P
1
-
σ
Σ
30
29
30
30
30
30
29
30
30
30
27
24
29
27
30
27
29
26
18
23
28
29
27
22
19
19
21
22
26
22
10
22
22
22
16
12
17
150
147
147
147
146
145
144
143
143
142
140
139
139
138
138
138
137
135
135
134
132
132
129
129
122
122
121
121
119
118
117
117
117
116
115
115
114
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
38.–39.
V roč.
14.–15.
40.
41.–42.
43.–45.
16.
6.
20.
7.–8.
46.
47.–51.
21.
22.
17.–19.
23.–24.
52.–54.
9.–10.
55.
56.
57.–58.
25.
11.
20.
12.–13.
59.
60.–62.
26.
14.
21.–22.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.–70.
27.
23.
28.
24.
29.
30.
15.–16.
71.–72.
73.–75.
25.
31.
1.–2.
76.
77.
78.–79.
32.
26.
33.
17.–18.
80.–82.
27.–29.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Anna Krůtová
Jan Heřta
Václav Janáček
Martin Fried
Filip Wagner
Šimon Glück
Vladimír Vávra
Lada Švecová
Samuel Soukup
Julie Rubášová
Dominik Švarc
Petra Klusáková
Ondřej Měšťan
Jan Kačenka
Filip Vopálenský
Daniel Locker
Jitka Knížková
Petr Hladík
Adam Šlegl
Hana Bečvářová
Robin Palán
Lucie Míšková
Radomír Mielec
Veronika Krčmáriková
Mikuláš Brož
Tadeáš Tomiška
Kateřina Matulová
Soňa Curylová
Klára Zemanová
Václav Pavlíček
Matěj Mrázek
Vojtěch Vařecha
Jan Kotrlík
Martina Ferugová
Anna Musilová
Jan Sobota
Vojtěch Sýs
Jindřich Dítě
Václav Trpišovský
Adam Vavrečka
Martin Mlejnecký
Kryštof Veverka
Emma Barnoky
Tomáš A. Kovanda
Roč. a škola
8. GKJB
8. GSOV
8. GKJB
7. GJGJ
9. GTIS
7. GPIS
7. ZSJE
9. ZSKZ
9. AGKP
8. BGBN
8. GJBS
8. ZSBT
9. GUST
9. OPEN
7. MLGP
7. GFMP
9. ZSDS
7. ZSTB
8. MLGP
7. GMNP
7. GJGJ
9. OPEN
7. GVOL
8. GMAS
8. GNSP
9. ZSRD
8. BGBN
9. GFPA
8. PORG
9. ZSZD
9. GBUD
7. GTIS
7. GMNP
8. GBOS
9. PORG
6. AGKP
6. AGKP
9. ZSZO
8. OPEN
9. GPBZ
7. GSPI
7. JGNA
8. ZSKU
8. AGKP
1
5
5
5
5
3
3
3
0
5
4
5
3
2
5
2
5
1
3
1
1
5
5
5
1
5
-
2
2
5
2
1
2
2
3
2
5
5
2
1
5
2
2
1
2
2
1
1
5
2
-
3
4
5
2
1
0
1
1
2
2
1
0
2
2
4
1
3
1
1
1
5
1
1
4
1
1
1
4
1
1
1
1
5
1
1
4
5
5
5
5
5
2
3
3
5
1
1
0
2
5
1
3
1
5
3
-
5
5
5
5
2
5
5
5
5
5
5
4
3
5
4
5
5
5
2
5
3
5
2
5
2
3
5
5
1
2
3
5
2
4
6
5
4
5
5
2
2
4
5
1
4
4
4
1
3
2
5
1
4
4
5
5
1
2
2
3
0
7
1
5
1
1
5
2
3
5
1
2
1
1
1
1
2
3
5
1
1
1
1
4
1
P
1
-
σ
Σ
26
29
27
20
12
22
14
17
6
21
23
12
13
7
16
15
11
14
7
12
9
6
9
16
16
14
22
5
17
5
0
11
6
3
3
10
0
8
24
0
0
5
0
6
113
113
111
106
106
102
102
102
100
98
98
98
98
98
97
97
97
94
93
92
92
91
90
90
90
89
88
87
86
85
83
82
82
79
79
78
78
78
77
75
73
73
71
71
Strana 15
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 5. série
Celkově
80.–82.
83.–84.
85.–87.
V roč.
27.–29.
19.
30.
31.–32.
88.–90.
34.
33.–35.
91.
92.–93.
3.
4.
35.
94.
36.
95.–96.
36.
37.
97.
1.
98.
38.
99.–100. 37.
39.
101.
38.
102.
40.
103.
41.
104.
20.
105.–107. 21.–23.
108.–109. 39.
42.
110.
43.
111.–113. 40.–41.
44.
114.–116. 24.
42.
45.
117.–119. 25.–26.
46.
120.
47.
121.–123. 5.
43.–44.
124.–125. 27.
48.
Strana 16
Jméno a příjmení
Tomáš Čurda
Markéta A. Doležalová
Ladislav Hrbáček
Jaroslav Bělák
Šárka Štěpánková
Anna Švarcová
Jakub Farbula
Tetyana Zaichenko
Anastasiya Zaichenko
Martina Lauerová
Michaela Štouralová
Ondřej Brož
Matěj Pečený
Vojtěch Bičák
Jiří Novotný
Antonín Šámal
Oliver Kukolík
Jan Knápek
Nikol Krejčí
Petr Kocour
Petra Hrubá
Jindřich Hátle
Adam Fürstenzeller
Klára Polišenská
Jan Brambůrek
Vojtěch Novák
Kateřina Honigerová
Petr Stádník
Samuel Miček
Lenka Švecová
Magdalena Folková
Martina Nová
Šimon Smola
Klaudie Němečková
Jan Vondra
Martina Seidlová
Antonie Erika Grant
Kateřina Jelínková
Anna Prokošová
Adam Ucháč
Jan Heřmánek
Filip Holoubek
Lucie Brabencová
Hana Pelikánová
Roč. a škola
8. GCDP
7. BGUK
8. GMBP
8. ZSVK
8. GJRC
9. ZSHP
8. GASK
8. GJHP
8. GJHP
6. GNAP
6. GSOV
9. GCDP
9. ZSJJ
8. GUST
9. ZSPA
5. ZSDC
9. GAHS
8. GZAB
9. PORG
8. GDOB
9. GSOV
9. ZSAM
7. GJGJ
7. AGKP
7. ARCP
7. ZSKA
8. GLNS
9. GOHR
9. GPUC
8. GJIH
8. GLIP
9. GSOV
7. GMNP
8. GJHP
9. GTNV
7. GSCT
7. AGKP
9. ZSNM
9. GJNP
6. ZSSJ
8. GKKO
8. GTMN
7. GMNP
9. GJER
1
1
0
5
2
1
0
1
5
1
1
0
1
-
2
2
2
1
1
1
4
-
3
1
2
1
0
4
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
-
4
3
5
5
3
3
0
5
1
2
0
2
0
5
-
5
5
5
5
1
4
4
5
2
3
1
5
5
2
2
5
2
5
-
6
2
1
3
4
1
4
4
5
1
0
3
5
3
2
0
3
3
2
3
-
7
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
-
P
-
σ
0
14
3
9
14
10
0
13
13
16
7
9
12
4
11
15
0
0
0
0
8
4
0
1
0
0
5
0
6
0
4
8
0
0
2
0
7
0
9
12
0
2
0
0
Σ
71
70
70
69
69
69
68
68
68
67
66
66
64
63
63
62
61
60
60
59
58
57
56
55
55
55
54
54
53
52
52
52
51
51
51
50
50
50
49
48
48
48
47
47
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
V roč.
126.–127. 49.–50.
128.–129. 45.
51.
130.–131. 6.
28.
132.–133. 7.
52.
134.–138. 29.
46.–49.
139.–140. 30.–31.
141.–142. 8.
53.
143.–145. 9.–10.
50.
146.–149. 32.–33.
54.–55.
150.
34.
151.–154. 35.
51.
56.–57.
155.–157. 36.–37.
52.
158.–160. 38.–39.
58.
161.–163. 53.–54.
59.
164.–168. 40.
55.–56.
60.–61.
169.–174. 41.–42.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Ondřej Med
Thao Tranová
Josef Bálek
Andrea Jáklová
Adam Mára
Stanislav Kurhan
Kamila Bejšovcová
Denisa Nováková
Martin Kolovratník
Kamil Kohl
František Hovorka
Martin Andres
Vojtěch V. Škrlant
Karolína Veltrubská
Dominik Zeman
Karolína Korbelová
Lukáš Brázdil
Štěpánka Mrázková
Vojtěch Železný
Kryštof Havlík
Denisa Hanušková
Tomáš Fink
Tomáš Salavec
Šimon Pechoč
Markéta Hanušková
Veronika Machačná
Dominik Belza
Hana Kubová
Pavel Mazáč
Vítek Slanina
Martin Fof
Jakub Melichar
Václav Rous
Marie Vondrášková
Martina Malá
Vojtěch Březina
Šárka Rafflová
Josef Pernica
Kateřina Dostalová
Štěpán Tichý
Ngoc Hung Hoang
Jonáš Havelka
Martina Petrůjová
Jan Čížek
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P σ
9. GJIH
- - - - - - - - 0
9. GJSB
- - - - - - - - 0
8. ZSHT
- - - - - - - - 0
9. ZSTS
- - - - - - - - 0
6. ZSJS
- - - - - - - - 0
7. GKLA
- - - - - - - - 0
6. AGKP
- - 0 - - - 1 - 1
9. GSOV
- - - - - - 1 - 1
7. ZSPS
- - - - - - - - 0
8. ZSNB
- - 2 - - - 1 - 3
8. GBIB
- - - - - - - - 0
8. MLGP
- - - - - 5 - - 5
8. ZSME
- - - - - - - - 0
7. GMNP
- - - - - - - - 0
7. GMNP
- - - - - - - - 0
6. AGKP
- - 1 - 1 - - - 2
9. GVMS
- - - - - - - - 0
6. AGKP
- - - - - - - - 0
6. ZSKT
- - - - - - - - 0
8. GFXS
- - - - - - - - 0
7. GVMS
- - - - - - - - 0
7. GMNP
- - - - - - - - 0
9. GBIB
- - - - - - - - 0
9. ZSDA
- - - - - - - - 0
7. GVMS
- - - - - - - - 0
7. ZSMZ
- - - - - - - - 0
8. GBIB
- - - - - - - - 0
9. ZSSH
- - - - - - - - 0
9. ZSVY
- - - - - - - - 0
7. GCHB
- 2 0 - - 1 1 - 4
7. MGOP
- - - - - - - - 0
8. GRIC
- - - - - - - - 0
7. GMNP
- - - - - - - - 0
7. JSSV
- - - - 2 - - - 2
9. GMOK
- - - - - - - - 0
8. GPDC
- - - - - - - - 0
8. GOMS
- - - - - - - - 0
9. MGOV
- 2 4 - 4 - 2 - 12
7. ZSCY
- - - - - - - - 0
8. GCHB
- - - - - - - - 0
8. GUNL
- - - - - - - - 0
9. GJIR
- - - - - - - - 0
9. ZSBB
- - - - - - - - 0
7. ZSMH
- - - - - - - - 0
Σ
46
46
45
45
44
44
43
43
42
42
42
42
42
41
41
40
40
39
39
39
37
37
37
37
36
34
34
34
34
33
33
33
32
32
32
31
31
31
30
30
30
30
30
29
Strana 17
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 5. série
Celkově
V roč.
169.–174. 41.–42.
62.–65.
175.–177. 57.–59.
178.–182. 60.–62.
66.–67.
183.–189. 43.–46.
68.–70.
190.–197. 2.
47.–48.
63.–64.
71.–73.
198.–199. 49.
74.
200.–202. 11.
65.
75.
203.–207. 50.
66.–67.
76.–77.
208.
12.
209.–215. 51.–52.
68.–70.
Strana 18
Jméno a příjmení
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P
Matouš Křížek
7. MGPP
- - - - - - - Ondřej Macháč
9. ZSMN
- - - - - - - Josef Polášek
9. GJSP
- - - - - - - Martina Novotná
9. GMHS
- - - - - - - Alena Osvaldová
9. GJSB
- - - - - - - Amálie Dostalíková
8. GJSK
- - - - - - - David Bajer
8. SLGO
- - - - - - - Dominik Farhan
8. GMNP
- - - - - - - Marco Souza de Joode 8. GNSP
- - - - - - - Eliška Steierová
8. GVOD
- - - - - - - Matěj Machart
8. GOMS
- - - - - - - Daniela Kořánová
9. GJGJ
- - 0 - - 1 1 Petra Plachá
9. GMNP
- - - - - - - Jan Cogan
7. GSPD
- - - - - - - Adam Holda
7. GJAR
- - - - - - - Markéta Svobodová
7. GOBT
- - - - - - - David Plevka
7. GKKO
- - - - - - - Tereza Žmolová
9. GJHP
- - - - - - - Tereza Klabenešová
9. GCHO
- - - - - - - Eva Jurčeková
9. ZSSV
- - - - - - - Trung Pham Xuan
5. GCHB
- - - - - - - Isabela Andreevská
7. GINT
- - - - - - - Jana Soldánová
7. GBNP
- - - - - - - Emma Pěchoučková
8. AGKP
- - - - - - - Natálie Sedláková
8. ZSPR
- - - - - - - Jana Morávková
9. GZAB
- - - - - - - Alice Janáčková
9. GCHO
- - - - - - - František Bůžek
9. ZSVL
- - - - - - - Radim Křenek
7. ZSVS
- - - - - - - Petr Menšík
9. ZSKE
- - - - - - - Bára Lorencová
6. GBNP
- - - - - - - Tomáš Foral
8. ZSBL
- - 1 - 2 - 1 Mária Elena Bodnárová 9. ELBA
- - - - - - - Martin Černý
7. ZSNL
- - - - - - - Martin Pacák
8. ZSCD
- - - - - - - Tereza Polová
8. GDOB
- - - - - - - Laura Říhová
9. OPEN
- - - - - - - Daniela Hilscherová
9. ZSNB
- - - - - - - Ondřej Nováček
6. GJVK
- - - - - - - Jitka Waldhauserová
7. ZSTJ
- - - - - - - Tereza Hanáčková
7. ZSZS
- - - - - - - Vojtěch Štrejbar
8. ZSTJ
- - - - - - - Dana Dvořáčková
8. ZSBO
- - - - - - - Dávid Erdödy
8. GASK
- - - - - - - -
σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
29
29
29
29
29
28
28
28
27
27
27
27
27
26
26
26
26
26
26
26
25
25
25
25
25
25
25
25
24
24
23
23
23
22
22
22
22
22
21
20
20
20
20
20
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
V roč.
209.–215. 78.–79.
216.
13.
217.–218. 71.
80.
219.–222. 53.
72.
81.–82.
223.–224. 83.–84.
225.–228. 54.
73.–75.
229.–233. 55.–57.
76.–77.
234.–238. 14.
58.–61.
239.–242. 15.–16.
78.–79.
243.–244. 80.–81.
245.–250. 62.–64.
82.–83.
85.
251.–252. 65.
84.
253.
85.
254.–255. 17.
66.
256.–261. 18.–20.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Michal Vondrák
Kateřina Novotná
Kateřina Vrtišková
Jiří Zinecker
Suren Škardová
Pavel Otta
Daniel Štípek
Martin Hyna
Marek Vincíbr
Jakub Heidrich
Vilém Raška
Anežka Zadražilová
Thach Thao Hoang
Gabriela Marxová
Aleš Horák
Jan Bartoš
Martin Šimša
Nela Vítová
Markéta Ševčíková
Marek Čermák
Filip Adam Chyška
Ema Kolářová
Edita G. Vymazalová
Lucie Pytlounová
Pavla Molíková
Roman Varfalamiliev
Anička Dau
Jakub Charvot
Vladimír Vursta
Matěj Frantík
Tomáš Pavelčík
Karel Prinz
Ondřej Loukotka
Petra Kubešová
Daniel Rozehnal
Anna Blažková
Veronika Krátká
Barbora Picková
Ondřej Hejna
Vojtech Gaďurek
Sára Karolína Hrůzová
Daniel Zelenka
Anna Korandová
Marie Kukačková
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P
9. GPDC
- - - - - - - 9. GNKP
- - - - - - - 6. AGKP
- - - - - - - 8. GHAV
- - - - - - - 9. OPEN
- - - - - - - 7. GNAP
- - - - - - - 8. ZSTN
- - - - - - - 9. GTVL
1 - - - 4 - 1 9. GCKV
- - - - - - - 9. GDAR
- - - - - - - 9. ZSSI
- - - - - - - 7. ZSCH
- - - - - - - 8. GCHB
- - - - - - - 8. GDAR
- - - - - - - 8. ZSVO
- - - - - - - 7. GCKV
- - - - - - - 7. GOPA
- - - - - - - 7. ZSPN
- - - - - - - 8. ZSMO
- - - - - - - 8. ZSNH
0 - - - - - - 6. AGKP
- - - - - - - 7. AGKP
- - - - - - - 7. AGKP
- - - - - - - 7. ZSCD
- - - - - - - 7. ZSTG
- - - - - - - 6.
- - - - - - - 6. ZSKT
- - - - - - - 8. GMKA
- - - - - - - 8. FZSD
- - - - - - - 8. BGCB
- - - - - - - 8. GJAK
- - - - - - - 7. GJSK
- - - - - - - 7. GKKO
- - - - - - - 7. ZSNC
- - - - - - - 8. GJWP
- - - - - - - 8. GDAR
- - - - - - - 9. GBOS
- - - - - - - 7. GSOV
- - - - - - - 8. ZSVH
- - - - - - - 8. PORG
- - - - - - - 6. GCHB
- - - - - - - 7. GLIP
- - - - - - - 6. GSOV
- - - - - - - 6. GSOV
- - - - - - - -
σ
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
20
20
19
18
18
17
17
17
17
16
16
15
15
15
15
14
14
14
14
14
13
13
13
13
13
12
12
12
12
11
11
10
10
10
10
10
10
9
9
8
6
6
5
5
Strana 19
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 5. série
Celkově
V roč.
256.–261. 18.–20.
67.
86.
86.
262.
87.
263.–264. 21.
88.
265.
87.
266.–269. 22.
89.–90.
Strana 20
Jméno a příjmení
Martin Malík
Hana Švecová
Jan Antonín Musil
Julie Přerovská
Josef Sezemský
Jan Kotschy
Jan Zindr
Jan Macek
Petr Podskalský
Tereza M. Freibergová
Vojtěch Kantor
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P
6. GSOV
- - - - - - - 7. AGKP
- - - - - - - 8. PORG
- - - - - - - 9. GNVP
- - - - - - - 8. ZSFA
- - - - - - - 6. GMAL
- - - - - - - 8. ZSPO
- - - - - - - 9. ZSTC
- - - - - - - 6. GSOV
- - - - - - - 8. GCHB
- - - - - - - 8. GCHB
- - - - - - - -
σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
5
5
5
5
4
3
3
2
1
1
1
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8