PDF - Pikomat MFF UK

PIKOMAT MFF UK
Milé řešitelky, milí řešitelé,
přichází k vám další zadání úloh soutěže Pikomat MFF UK. Těší nás, kolik vás
nalezlo čas a chuť řešit naše úlohy, a doufáme, že tomu tak bude i nadále. V tomto
letáku vám přichází zadání druhé a třetí série úloh, vzorová řešení úloh první
série a výsledková listina s pořadím po první sérii.
Termíny odeslání druhé a třetí série jsou po řadě 30. listopadu a 4. ledna. Vzorovým řešením i komentářům věnujte co největší pozornost. I když jste získali
plný počet bodů, můžete narazit na jinou úvahu vedoucí ke správnému výsledku.
Pokud jste nějaké body ztratili, naučíte se něco nového, co vám může pomoci
řešit úlohy dalších sérií. Ve výsledkové listině naleznete kromě celkového pořadí
také pořadí v rámci ročníku, kde se můžete porovnat se stejně starými soutěžícími, a které je zásadní pro výběr účastníků na jarní soustředění.
Odevzdávání úloh
Chtěli bychom vás upozornit, že každou úlohu je třeba řešit na samostatném
papíru formátu A4. Posíláte-li řešení poštou, bude tedy obálka obsahovat sedm
listů nadepsaných vaším jménem a číslem úlohy. Při elektronickém odevzdávání
pak nahráváte 7 PDF souborů s jednotlivými úlohami. Pokud jste nějakou úlohu
neřešili, není třeba nahrávat nebo odesílat prázdný papír. Také si dávejte pozor,
abyste správně očíslovali (nahráli) úlohy. V opačném případě se úloha dostane
k opravujícímu, který tuto úlohu neopraví.
Dalším důležitým aspektem odevzdávání jsou časové termíny. Termín odeslání je důležitý a pevný. Elektronicky lze úlohy odevzdávat opravdu jen do určeného data, poté se systém k nahrávání uzavírá. Úlohy zaslané e-mailem nepřijímáme. Pro úlohy zaslané poštou je důležité razítko pošty s datem přijetí
zásilky. Bude-li toto datum po termínu, budete penalizováni srážkou bodů – za
každý den po termínu odeslání bude stržen jeden bod. V první sérii jsme vám
pozdní odeslání odpustili, ale od příště tomu tak nebude.
Velice důležitou součástí řešení je postup. Je důležité popsat kroky, které při
řešení provádíte. Jen tak může opravující poznat, jestli jsou vaše úvahy správné,
nebo ne. Řešení obsahující jen výsledek, i když správný, není plnohodnotné a nemůže být ani zdaleka oceněno plným počtem bodů. Naopak řešení, které obsapikomat.mff.cuni.cz
huje správný myšlenkový postup, ale například číselnou chybu, se dá považovat
za úspěšné a bodová srážka bude minimální.
Návratky
S druhou sérií přichází také kontrola vašich osobních údajů pomocí tzv. návratek. Ty vám přijdou e-mailem, pod kterým jste se na našich stránkách registrovali. Nejsou-li vaše osobní údaje v pořádku, prosíme, opravte je. Na návratce
označte váš preferovaný způsob odevzdávání úloh (papírově, nebo elektronicky
přes TEP). Dále na návratce vyznačte, jakým způsobem si přejete zasílat leták
se zadáním a vzorovým řešením předchozí série úloh (poštou do školy, domů,
e-mailem, nebo nezasílat – leták si stáhnete z našich stránek jako PDF). Návratku
nám zašlete zpět se vzorovým řešením druhé série úloh, návratku můžete také
nahrát do TEPu.
Vánoční besídka
Jako každým rokem se před Vánoci uskuteční Vánoční besídka. Tentokrát se
bude konat v sobotu 19. prosince. Sraz bude v 10:00 na Hlavním nádraží před
pokladnami ČD. Přihlašovat se můžete na e-mailu [email protected].
Další informace naleznete v průběhu listopadu na stránkách Pikomatu.
Pro komunikaci s organizátory či na případné dotazy ohledně nejasností v zadání se neostýchejte použít e-mailovou adresu [email protected] .
Hodně zábavy a úspěchů při řešení vám přejí
Vaši organizátoři
Strana 2
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 30. listopadu 2015
Zadání úloh 2. série 31. ročníku
Termín odeslání: 30. listopadu 2015
Dena s Erikem stáli ve zlatnictví a nevěřícně koukali na to, co Denini malí hledači
našli. Vypadalo to jako lidský prst. Poté, co se vzpamatovali z šoku, zjistili, že
prst je ve skutečnosti vosková napodobenina. Erik se shýbnul a chtěl voskový
předmět zvednout, ale Dena ho zadržela. „Můžou na něm být ochranné bariéry,“
vysvětlila. Z kufříku vyndala své složité přístroje na měření astrálních energií
a dala se do práce.
Úloha č. 1: Dena přístroje rozmístila do vrcholů takového pravoúhlého trojúhelníku, ve kterém délky těžnic na odvěsny byly 3 a 5 palců. Sestrojte uvedený trojúhelník.
Dokud Dena klečela na zemi a nastavovala zrcadla přístrojů, přišel k Erikovi
muž, jenž se představil jako majitel. Měl dlouhý prošedivělý plnovous a ztrápený
výraz v obličeji. Erik vyndal svůj notes detektiva a zahájil výslech. Majitel mu
řekl, že zlatnictví je největší pobočkou firmy, která působí v celé Evropě, a že to
je první případ krádeže ve firmě. Postěžoval si, že škodu vyčíslili na 350 000 liber.
Mezitím Dena zjistila, že prst není nijak živý a že jej může bez obav zvednout.
Když jej prozkoumala, všimla si, že je propracovaný do nejmenších detailů, dokonce, kdyby Erik chtěl, mohl by z něj sejmout otisky. Svůj objev ukázala Erikovi,
který se právě skláněl nad knihou plnou čísel a nejrůznějších značek. Vedle něj
stál majitel a něco mu v ní ukazoval.
Úloha č. 2: Dena nevěděla, co značky znamenají. Jeden zápis pochopila jako číslo
22015 · 31000 . Jaké jsou poslední dvě cifry uvedeného čísla?
Erikův žalostný výraz svědčil o tom, že se v knize taky nevyznal. Podíval se na
prst, co mu Dena podala. „Nevíš, k čemu by to mohlo sloužit?“ zeptal se jí.
„Je to hermetický vosk, stejný, co se používá k tvorbě konstruktů. Nikdy jej ale
neopracovávají tak detailně,“ řekla. Ukazujíc na kost, co z něj vyčnívala, dodala:
„Vnitřní struktura se dělá vždycky ze dřeva nebo kovu, nikdy ne ze slonoviny.“
„Myslíš, že to tady nechali schválně?“ zeptal se Erik.
„Ne, nebylo to nijak použito. Nejde mi ovšem do hlavy, proč by to potřebovali
při vloupání.“
Místo toho, aby si s tím teď Dena lámala hlavu, dokončila svá měření. Nepovedlo se jí najít žádnou stopu, která by svědčila o násilném porušení bariér nebo
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 3
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 2. série
strážních konstruktů. Jediný obranný mechanizmus, který té noci reagoval na
cizí přítomnost, byl zmrazující pohár, který nechali na policejní stanici. Dena se
rozhodla podrobit jej testům u sebe doma a vydala se pro něj. Zjistila, že kočí,
který je vezl z policejní stanice, už odjel.
Úloha č. 3: Dena může jít na stanici pěšky rychlostí 5 mil za hodinu, anebo poslat
s pomocí konstruktu zprávu, aby jí poslali drožku. Když pošle zprávu, musí jít
pomaleji, aby ji pak konstrukt našel, a proto bude její rychlost 4 míle za hodinu.
Než zpráva dorazí na stanici, uběhne půl hodina (nezáleží na tom, jak daleko ta
stanice je). Hned poté pošlou pro Denu drožku, která pojede rychlostí 12,5 míle
za hodinu. Jak daleko musí být stanice, aby se Deně vyplatilo poslat zprávu?
Erik mezitím dokončil rozhovor s majitelem zlatnictví a přemýšlel, jak postupovat dál. Neměl se čeho chytit. Lupiči po sobě nenechali téměř žádné stopy,
kromě prstu a pergamenu bylo všechno na svém místě. Patrně měli všechno
velmi dobře naplánované. Věděl jenom to, že byli dobrými čaroději (Dena by ho
zajisté za to označení napomenula). Vyšel ven, aby si utřídil myšlenky, a najednou k němu přiběhl policista v uniformě.
„Šéfe, někdo viděl ty šutry v docích na šestce!“ zvolal, když popadl dech. „Ty
rubíny, co tady v noci štípli. Molo šest,“ vysvětlil, když si všiml Erikova zmateného
výrazu. Ten okamžitě pochopil a rozeběhl se směrem ke kanálu, jenž vedl do
přístavu. Naskočil na plující trajekt a doufal, že tam dopluje dost rychle.
Úloha č. 4: Nad 5 mil širokým kanálem je most, po němž jede vlak rychlostí 100 mil
za hodinu. Ve vzdálenosti 0,1 míle od mostu pluje po kanálu kolmo k mostu loď
rychlostí 10 mil za hodinu. Vlak projede po mostě přesně ve chvíli, kdy bude loď
pod ním. Mohla by tato situace nastat, i pokud by loď plula pod jiným úhlem?
(Předpokládejte, že vlak i loď mají velikost bodu.)
Zatímco Erik plul do přístavu, Dena přijela na stanici. I ona cestou přemýšlela o lupičích. Byli to rozhodně špičkoví hermetikové (Erik by řekl čarodějové)
a věděli, pro co přijeli. Nedokázala pochopit, proč vybrali právě rubíny. V obchodě byla spousta dražších kamenů a kovů, takže zajisté nešli po penězích. Ten
voskový prst jí ale říkal, že to nebudou obyčejní zloději a že ty rubíny určitě
potřebují kvůli nějakému nelegálnímu konstrukčnímu projektu. Šla přímo do
Erikovy pracovny a nikdo ji cestou nerušil, i přes to, že neměla oficiální doprovod. Osazenstvo totiž pořád hrálo podivné hry, tentokráte lámali čokoládu.
Úloha č. 5: Tabulka čokolády má tvar čtverce 10 × 10. Dva policisté se střídají
v tazích. V jednom tahu hráč určí čtvereček a ulomí všechny čtverečky napravo
Strana 4
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 30. listopadu 2015
a dolů od něj. Prohrává ten, kdo odebere poslední čtvereček. Má některý z hráčů
výherní strategii? Jakou? (Výherní strategie je postup hráče, který mu vždy zajistí
výhru.)
Dena sebrala pohár, který ještě pořád levitoval nad stolem, zabalila jej do
hadru a vyrazila směrem k hermetické univerzitě. Neměla ráda tu školu, podle
ní se tam až příliš soustředili na formální vzdělání a testy místo toho, aby dělali
skutečnou práci. Navíc neměla v lásce většinu svých spolužáků, kteří jí připadali
jako nafoukaní hlupáci, co mají více peněz nežli rozumu.
Škola měla ovšem velikou knihovnu, kde si Dena chtěla vyhledat informace
o rubínech v hermetice. Nemyslela si, že by jí to pomohlo chytit lupiče, ale to ji
teď nezajímalo. Chtěla především zjistit, jak dovedli tak lehounce vniknout do
jedné z nejlépe zabezpečených budov na světě, nebo alespoň proč potřebovali
právě ty drahé kameny. Při vstupu na akademickou půdu si vzpomněla na jeden
z hloupých rituálů, které dělala jako prvačka.
Úloha č. 6: Před hlavní budovou bylo malé náměstíčko vydlážděné ve tvaru mřížky
20 × 20. Student, jenž šel na první přednášku, musel projít po té mřížce tak, že
začal v pravém dolním rohu a musel se dostat do levého horního. Mohl se při
tom pohybovat jenom doleva nebo nahoru a směl dělat kroky o délce 2 nebo 3
dlaždice. Na začátku si mohl zvolit jednu z těchto délek kroku, ale pak už je vždy
musel střídat. Kolika způsoby se dalo tímto způsobem projít náměstím?
Kdysi, když tu studovala, přicházela celá škola, aby se podívala na prváky, jak
skáčou přes náměstí. Občas se to totiž někomu nepovedlo a celý dav se mu pak
smál. Někdy po něm házeli tužky nebo jiné školní potřeby, jako se to přihodilo i jí.
Povzdechla si a šla dál. Procházejíc náměstím schválně stoupala na každou čáru
mezi dlaždicemi. Vkročila do největší budovy. Uvnitř byla neuvěřitelně krásná.
Vstupní místnost se schodištěm byla tak vysoká, že člověk pořádně nedohlédl
na strop. Uprostřed stála veliká fontána obklopená pohyblivými sochami, které
gesty vítaly každého návštěvníka. Na zdech visely obrazy všech velikých hermetiků a královské rodiny. Dena výzdobu viděla už nejméně stokrát, a tak se vydala
rovnou do knihovny.
Úloha č. 7: Na fontáně byla plastika loga univerzity. Bylo složené ze dvou krychlí.
Jedna z nich měla v sobě takový otvor, že skrz něj bylo možno prostrčit druhou
krychli. Mohly být obě krychle stejně velké?
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 5
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 3. série
Zadání úloh 3. série 31. ročníku
Termín odeslání: 4. ledna 2016
Ještě než trajekt zakotvil v přístavu, Erik z něj vyskočil a sprintoval k molům. Prodíral se mezi množstvím námořníků, kteří nosili všelijaké krabice, ale cítil, že už
jde pozdě. U mola šest byla ukotvená jen jedna rybářská loď . Našel dva policisty
ve službě. „Byly tady ty rubíny?!“ vyštěkl na ně. „Proč jste je nezadrželi?!“
„Neměli jsme povolení. Kapitán moc pospíchal…“ vymlouval se jeden.
„A my stejně nevěděli, jestli to jsou opravdu ty kradené…,“ podpořil ho ten
druhý.
Erik viděl, že ti dva mu moc nepomohou, a vydal se hledat pracovníky, kteří
tu loď nakládali.
Úloha č. 1: Nikdo přesně nevěděl, kdo měl tehdy směnu. Erik získal následující
informace:
1. Žádným dvěma dělníkům nezačíná směna najednou.
2. Ben nesmí být ve službě, když je s ním Andrew, pokud s nimi neslouží i Charlie.
3. Danovi začala služba před Fineganem.
4. George šel do služby až po Andrewovi.
5. George může být ve službě spolu s Andrewem, jen když je s nimi i Finegan.
6. Charlie nepřišel do služby jako první ani jako poslední.
7. Dan přišel po Benovi.
8. Dan přijde, až když budou v práci alespoň tři další.
Nikdo jiný na molu ten den nepracoval. V jakém pořadí mohly začínat jejich
směny? Jak se to změní, pokud bychom ještě věděli, že Andrew a Charlie nepřišli
do práce těsně po sobě?
Erikovi chvíli trvalo, než zjistil, kdo vlastně s rubíny pracoval. Ale ani tenhle
pracovník nevěděl moc. Dokázal ovšem popsat člověka, jenž mu pytel s kameny
odevzdal. Zdálo se mu divné, že kameny byly v pytli a ne v zamčené truhličce,
proto poté, co je naložil, upozornil hlídku. Ta ale nechtěla zasáhnout a loď odplula. Na dotaz, proč sám nic nepodniknul, odseknul: „To není moje práce!“ a šel
si po svém.
Detektiv dále vyzvěděl od správy přístavu jméno lodi a kapitána. Byla to rychlá
kurýrní plachetnice, která za pár šilinků převeze jakoukoli zásilku. Jelikož neměl
již žádnou další stopu, kterou by teď sledoval, rozhodl se vyhlásit pátrání po chlapovi, jehož popis dostal, podat oznámení o převozu kradeného zboží a sepsat
Strana 6
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 4. ledna 2016
protokol. Vůbec se na tu byrokracii netěšil.
Úloha č. 2: Erik musí navštívit policejní komisariát na Králově náměstí, pobřežní
stráž na Westfálské ulici a svoji policejní stanici na Lundské ulici. Přitom se chce
zastavit i ve své oblíbené restauraci na Rybném trhu. Bude muset cestovat koněspřežnou drahou nebo vlakem.
Z Rybného trhu se může dostat koňkou č. 14 na Královo náměstí, anebo modrým vlakem na Westfálskou.
Z Westfálské se může dostat s přestupem koňkami č. 5 a 8 na Královo náměstí
nebo jet na Lundskou buď pětkou, nebo zeleným vlakem.
Z Lundské může jet na Královo náměstí buď koňkou č. 1, nebo s přestupem
zeleným a šedým vlakem.
Začít může kdekoli, všechny popsané spoje jezdí obousměrně. Může Erik cestovat tak, aby použil každou z uvedených linek hromadné dopravy právě jednou?
Dokud Erik běhal po úřadech, kráčela Dena po nové dlažbě v knihovně sem
a tam. Studenti hermetiky velice rádi vymýšleli komplikované způsoby, jak po
dlaždicích chodit. Aby to pořád nebylo stejné, tak je často (bez dovolení) měnili.
Úloha č. 3: Studenti si tajně vytvořili stroj, který vyrábí dlaždice ve tvaru stejných konvexních čtyřúhelníků. Je možné těmito dlaždicemi pokrýt podlahu (vyjma okrajů místnosti) tak, aby v dlažbě nebyly díry, bez ohledu na to, jak tyto
čtyřúhelníky vypadají?
Samozřejmě viděla množství studentů, kteří právě komplikovanými způsoby
skákali po těchto dlaždicích. Chvíli na ně pobaveně koukala a pak pokračovala
v hledání. Prohledala hodně polic s knihami, které by jí s rubíny ani se zmrazovacím pohárem, co měla v tašce, nepomohly.
Dostala se do oddělení, jež obsahovalo knihy, které pojednávaly o praktické
konstrukci. Jestli má najít knihu, která by jí pomohla, bylo by to tady. Taková
kniha by musela být nová, jelikož všechny starší knihy již znala zpaměti. Ohlédla
se po žebříku, neboť police s novými knihami byly úplně nahoře a ona na ně
nedosáhla.
Úloha č. 4: Žebřík se opírá o regál. Jeho délka je přirozené číslo, stejně tak výška,
ve které se opírá o regál, a vzdálenost regálu od místa, kde se žebřík opírá o podlahu. Může existovat takový žebřík, který by šlo opřít dvěma různými způsoby,
aby všechny vzdálenosti byly různá přirozená čísla? Pouhé prohození těchto délek
nestačí.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 7
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 3. série
Po chvíli úmorného hledání a přesouvání žebříku sem a tam Dena našla knihu
se slibným názvem „Konstrukční materiály a metody Okkarovského konstruktů“
od Williama T. Treacha. S touhle knihou v ruce chtěla slézt ze žebříku, ale smekly
se jí nohy a ona s velkým rachotem upadla na záda.
Když popadla dech, spatřila nad sebou ruku nabízející pomoc. Ohlédla se
a zjistila, že ruka patří mladému blonďatému studentovi, jednomu z těch, co
skákali po dlaždicích.
„Stalo se ti něco?“ vyhrknul na ni.
„Ne…, myslím…“ řekla nejistě. Chytila se nabízené ruky a stoupla si. Vtom
na něm spatřila něco, co upoutalo její pozornost. „Proč máš každou ponožku
jinou?“ zeptala se mladíka.
Ten se podrbal na hlavě. „Je to trochu trapný,“ řekl s výmluvným úsměvem
a dal se do vysvětlování.
Úloha č. 5: Vyšlo najevo, že Peter (tak se jmenoval) nerad pere. Má 5 párů černých,
2 páry tmavošedých, 3 páry světlošedých a 5 kusů bílých (byly 3 páry, ale jednu
ztratil – podezírá spolubydlícího) ponožek. Aby si zachoval systém, chce mít na
levé noze vždy tmavší ponožku než na pravé noze (nikoli stejně tmavou). Kolika
způsoby si může obléct ponožky? V každém páru jsou ponožky stejné, ale páry
jsou navzájem rozdílné.
Při vysvětlování se Peter podíval, jakou knihu to vlastně Dena má v ruce. Vůbec nechápal, co to je Okkarovského konstrukt a vytušil, že Dena v tom bude
mnohem šikovnější než on.
„Poslyš, vypadáš hodně chytře, mohl bych tě o něco požádat?“ zeptal se. „Potřebuji pomoct s domácími úkoly,“ dodal tak rychle, že Dena nestihla odmítnout.
„Od kterého učitele?“ zeptala se ho.
„Comptona.“
Compton byl její nejméně oblíbený profesor, proto se rozhodla, že mu prozradí, jak na něj.
Úloha č. 6: Profesor Compton používal pořád tutéž sbírku úloh, v níž bylo 1 155
příkladů. Každému žákovi zadal nějakého dělitele 1 155, a on musel potom vyřešit
všechny úlohy označené násobkem zadaného čísla. Každý student opíše všechny
úkoly, které již byly někým vyřešené. Kolika studentům může profesor postupně
zadat čísla tak, aby každý z nich musel sám vyřešit alespoň jednu úlohu?
Jakmile se Peter dozvěděl, že všechny úlohy jsou již někde vyřešené, poskočil
radostí. „Tak, teď ti to musím nějak oplatit,“ mrknul na ni. „Ale nevím, jak…
Pozvu tě na kafe?“ zkusil štěstí s úsměvem, který zřejmě pokládal za okouzlující.
Strana 8
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Termín odeslání: 4. ledna 2016
„Ani to nezkoušej,“ varovala ho ledovým hlasem. To jí teď chybělo. Odešla od
překvapeného studenta a našla si místo u stolu. Aktivovala lampu a při jejím
tlumeném světle se dala do čtení.
Hned na prvních stránkách jí padl zrak na něco, co plně pohltilo její pozornost.
Bylo to řešení problému, se kterým hodně dlouho zápasila. Šlo o levné uskladnění orichalciového jádra. Pokaždé, když se o to pokoušela, používala čtvercové
kovové ochranné panely, které se vždycky přehřívaly, bez ohledu na to, jak je
postavila. V knize byl popsán způsob, jak použít panely ve tvaru koule.
Úloha č. 7: Orichalciové jádro je zdroj energie, který vyzařuje všemi směry nebezpečné paprsky. Je proto potřeba kolem něj postavit ochranný štít z koulí tak,
aby se nedotýkaly jádra, ale zároveň aby žádné paprsky nepronikly ven. Je možné
postavit takový štít z osmi koulí?
V okamžiku zapomněla na to, proč sem vlastně přišla a nadšeně zavolala na
Petera, který se vrátil ke skákání po dlaždicích: „Ještě pořád mi chceš pomoct?“
Zvednul hlavu a s veselým úsměvem přikývl.
„Ale jestli tě chytnou, budeš mít velký problém,“ varovala ho.
Jeho úsměv se ještě více rozzářil.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 9
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série
Vzorová řešení a komentáře
k 1. sérii úloh
Úloha č. 1
Na papíře byla posloupnost symbolů, v níž se poměrně často opakoval symbol ∗.
Kromě něj se v posloupnosti vyskytovaly jen symboly #, % a O. Dena ví, že každá
posloupnost symbolů mezi dvěma symboly ∗, která má délku dva až pět symbolů,
představuje jeden znak zprávy. Kolik různých znaků může být tímto způsobem
zakódováno, když předpokládáme, že každý znak se kóduje právě jedním způsobem?
Řešení: Znak zprávy se zakóduje posloupností dlouhou dva až pět symbolů.
Spočítáme tedy, kolik různých posloupností těchto délek můžeme ze znaků poskládat.
Pro posloupnost délky dva máme 9 různých možností, jak symboly poskládat. Na první pozici můžeme dát libovolný ze tří symbolů a na druhou pozici
můžeme dát opět libovolný ze tří symbolů. Celkem vytvoříme 3 · 3 = 9 různých
posloupností. Vypíšeme si je do tabulky.
## %% OO
#O %# O%
#% %O O#
Před každou z devíti posloupností délky dva můžeme napsat libovolný ze tří
symbolů. Tím vytvoříme všechny možné posloupnosti symbolů délky tři. Celkem
máme 27 různých možností.
Posloupnosti délky čtyři a pět můžeme vytvořit stejným postupem – před
každou posloupnost délky tři můžeme přidat libovolný jeden nebo libovolné dva
symboly. Tím vytvoříme všechny možné posloupnosti délky čtyři a pět. Posloupností délky čtyři bude 3·27 = 81, posloupností délky pět bude 9·27 = 3·81 = 243.
Celkem můžeme ze symbolů vytvořit 9 + 27 + 81 + 243 = 360 různých posloupností. Tímto způsobem tedy můžeme zakódovat 360 různých znaků.
Komentář: Většině z vás se podařilo přijít na správné řešení. Nejčastější chybou
bylo přepočítání se při součtu možností. Další celkem častou chybou bylo, že jste
nepočítali s možnostmi, že by se mohly znaky i opakovat. Tím jste zapomněli
na posloupnosti typu %%, %%%, %%%% a %%%%%. I takovéhle posloupnosti
mohou kódovat nějaký znak, podobně jako v Morseově abecedě.
Strana 10
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Úloha č. 2
Dena si ovšem nevšimla, že svůj kufřík zapomněla doma. Jela drožkou po rovné
silnici rychlostí 30 mil za hodinu. Po 15 minutách se v jejím domě aktivovala „Pomněnka“ – okřídlený konstrukt, který za ní s kufříkem přiletěl. Když kufřík odevzdala, vrátila se zpět domů. Jakou rychlostí „Pomněnka“ letěla, když se vrátila
domů 35 minut po odchodu Deny?
Řešení: Klíčem k vyřešení této úlohy bylo si uvědomit, kdy a kde se Dena s Pomněnkou setkají. Víme, že Pomněnka vyletěla o 15 minut později než Dena. Dále
víme, že Pomněnka se vrátila zpět 35 minut po odjezdu Deny. Tedy let Pomněnky
trval 20 minut. Jelikož byla její rychlost stále stejná, cesta na místo setkání i zpět
jí trvala 10 minut každým směrem. S Denou se setkala Pomněnka po 10 minutách letu, neboli po 25 minutách jízdy Deny. Ze vzorce pro vztah mezi dráhou,
rychlostí a časem víme, že dráha, kterou Dena za těchto 25 minut urazila, byla
s = vD · tD = 30 · 25
60 = 12,5 mil, kde jsme čas v minutách převedli na hodiny.
Zbývá už jen dopočítat ze stejného vzorce rychlost Pomněnky, která tuto dráhu
,5
urazila za 10 minut. Proto vP = tsP = 12
= 75 mil za hodinu. Elegantněji šly
10
60
všechny známé údaje sepsat do jediné rovnosti, neboť víme, že dráhy Pomněnky
i Deny se rovnají. Z té pak bylo možné vyjádřit rychlost Pomněnky a dosazením
získat výsledek.
Komentář: Úloha byla relativně snadná, většina z vás si s ní poradila. Problémy
nastávaly jen tehdy, pokud jste například zapomněli na to, že Dena se pohybuje
i poté, co Pomněnka vyletěla. Další případný problém byl, pokud jste počítali
s cestou tam i zpět a neuvědomili si, že při zpáteční cestě již dráhy nejsou stejné.
Pomněnka uletěla tutéž vzdálenost, co po první cestě (jen se vracela), zato Dena
jela stále dále svou rychlostí.
Úloha č. 3
Erik jí ukázal kus pergamenu. Z nápisu zjistila, že by na něm měl být pravidelný
sedmiúhelník. Pergamen byl ovšem poškozený: zbyly na něm pouze tři vrcholy.
Z těchto zbylých vrcholů žádné dva v původním sedmiúhelníku nesousedily. Dena
potřebuje zjistit přesnou polohu všech vrcholů. Ve svém kufříku má kružítko a pravítko bez měřítka. Jak to má udělat?
Řešení: Ze zadání víme, že na pergamenu byl nakreslený sedmiúhelník, o jehož
vrcholech můžeme s jistotou říct, že leží na jedné kružnici. Zbyly nám tři body,
takže se přímo nabízí z nich sestrojit trojúhelník a jemu opsat kružnici, protože
kružnice opsaná tomuto trojúhelníku je identická s tou, na které leží vrcholy
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 11
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série
hledaného sedmiúhelníku. Víme, že zbylé body spolu nesousedí, označíme je
tedy A, C, E (nebo A, C, F, je to stejné, akorát otočené), abychom po dorýsování
měli sedmiúhelník ABCDEFG. Mezi body A a C je jeden chybějící vrchol, mezi
C a E taktéž, zatímco mezi E a A jsou chybějící vrcholy dva.
B
C
e1
A
S
b1
D
g1
G
E
F
Obr. 1
Spojíme tedy body do rovnoramenného trojúhelníku a sestrojíme osy ramen
(viz Obr. 1). Tam, kde se protnou, leží střed kružnice opsané k; k(S; r = |AS|).
Jelikož víme, že mezi A a C a C a E je po jednom chybějícím vrcholu, využijeme
os stran, které nám půlí AC a CE, k určení polohy bodů B a D. Tyto body leží na
průsečíku os stran s kružnicí k. Pak už jen zbývá vzít si do kružítka vzdálenost
AB, nebo kteroukoliv jinou vzdálenost mezi dvěma sousedními body, nanést
tuto vzdálenost na kružnici k z bodů A a E a spojit vrcholy sedmiúhelníku.
Komentář: Většina z vás úlohu správně pochopila i vyřešila, čímž jste nám udělali velkou radost. Někteří řešitelé dokonce našli originální postup nebo rovnou
i postupy dva. Našly se ale bohužel i výjimky. Nejčastější chybou byla konstrukce
kružnice z ničeho nebo použití sousedních vrcholů. Podle závažnosti chyby jsme
strhávaly 1 − 3 body, 0 bodů jsme daly pouze těm řešitelům, kteří odeslali papír
prázdný nebo pouze s jednou větou.
Strana 12
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
Úloha č. 4
Hra začínala tím, že každý ze strážníků napsal na papír nějaké číslo. Potom náhodně vybrali den v kalendáři a vynásobili vzájemně čísla sedmi následujících po
sobě jdoucích dnů (ale ne číslo měsíce ani roku). Strážníci, kteří napsali na papír
dělitele tohoto součinu, vyhráli. Jaké je největší číslo, které vždycky vyhraje?
Řešení: Na začiatok si rozmyslíme jednu jednoduchú vlastnosť, ktorú neskôr
využijeme pri hľadaní najväčšieho čísla, ktoré vždy vyhrá. Ak máme dve po sebe
idúce čísla, zrejme jedno z nich je deliteľné dvomi (ak je prvé párne, tak to je to
číslo, ak je prvé nepárne, takže po delení dvomi dáva zvyšok 1, takže to druhé
musí byť deliteľné číslom 2). Podobne, ak máme tri po sebe idúce čísla, jedno
musí byť deliteľné tromi a tak ďalej pre 4, 5, 6, 7, . . .
Pustíme sa do hľadania najväčšieho spoločného deliteľa všetkých možných
súčinov. Ak vynásobíme čísla 1 až 7, dostaneme súčin 5040 a jeho prvočíselný
rozklad je 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7. Z toho vieme, že naše hľadané číslo je určite
nanajvýš 5 040. Môžeme sa domnievať, že každý súčin je deliteľný týmto číslom,
no ak strážnik zvolí nejaký deň na konci mesiaca, môžeme dostať aj súčin, ktorý
týmto číslom deliteľný nie je, napríklad:
◦ pre dátum 28. 1. dostávame súčin 29 · 30 · 31 · 1 · 2 · 3 · 4, čo nie je deliteľné 7,
takže hľadané číslo je nanajvýš 5040
= 720,
7
◦ pre dátum 25. 2. dostávame súčin 26 · 27 · 28 · 1 · 2 · 3 · 4, čo nie je deliteľné 5
a hľadané číslo je nanajvýš 720
5 = 144,
◦ pre dátum 27. 2. v prestupnom roku máme súčin 28 · 29 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5, čo má
v prvočíselnom rozklade iba raz prvočíslo 3, takže hľadané číslo je nanajvýš
144
3 = 48.
Už teda vieme, že hľadané číslo nie je väčšie ako 48, no ešte ostáva overiť, že
toto číslo naozaj delí každý možný súčin po sebe idúcich čísel dní. Jeho prvočíselný rozklad je 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3. Pretože máme 7 po sebe idúcich dní, aspoň 4
určite padnú do toho istého mesiaca. Takže máme 4 po sebe idúce čísla. Z vlastnosti, ktorú sme si uvedomili na začiatku, vieme, že medzi nimi je číslo deliteľné
3, aspoň dve čísla deliteľné 2 a jedno číslo deliteľné 4. Zostáva už len nájsť jeden násobok dvojky, ale ten sa určite bude vyskytovať medzi zvyšnými troma
číslami, nech už patria akémukoľvek mesiacu, pretože aspoň dve z tých troch
čísel opäť patria do rovnakého mesiaca, takže nasledujú po sebe. To znamená,
že každý takýto súčin je deliteľný 48 a to je správny výsledok.
Komentář: Väčšina správnych riešení sa podobala vzorovému riešeniu a našlo
sa aj zopár veľmi pekných riešení. Často ste zabúdali na prípad, kedy je zvolený
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 13
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série
dátum na konci mesiaca, prípadne, že mesiac nemusí mať 31 dní. V takom prípade by bolo výsledkom číslo 5 040, ale úloha bola trochu zložitejšia a bolo treba
ošetriť zopár zákerných prípadov.
Úloha č. 5
Pohár měl tvar válce o průměru podstavy 10 cm a výšce 30 cm. Původně byl plný
zmrazující kapaliny. Byl ovšem nakloněn, a tak část kapaliny odtekla. Nyní byla
nejmenší vzdálenost mezi hladinou a dnem jen 22 cm. Kdyby se povedlo pohár
narovnat a položit na stůl, do jaké výšky by kapalina dosahovala?
Řešení: Prvním důležitým bodem řešení je si pohár nakreslit a najít „nejmenší
vzdálenost mezi hladinou a dnem“. Situace je naznačená na obrázku 2.
8 cm
30 cm
22 cm
10 cm
Obr. 2
Dále se zaměříme na vrchní část poháru, jak je naznačeno na obrázku 3.
Strana 14
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
8 cm
10 cm
Obr. 3
Tvoří ji válec s výškou 8 cm. Tento válec je zmrazující kapalinou rozdělen na
dvě identické části – prázdnou a plnou. Zmrazující kapalina tedy zabírá právě polovinu tohoto válce. Proto, kdyby se pohár podařilo narovnat, vyplní zmrazující
kapalina právě polovinu vrchní části poháru a dosáhne do výšky 22 cm + 82 cm =
= 26 cm.
Komentář: Úloha byla veskrze jednoduchá a většina z vás ji vyřešila bez jediného zaváhání. Mezi nejčastější chyby patřilo, že jste si neuvědomili, čemu
odpovídá „nejmenší vzdálenost mezi hladinou a dnem“ a že jste odpovídali na
jinou otázku, než byla v zadání. Čtěte příště radši dvakrát. ;-)
Nakonec, jakkoliv je úloha jednoduchá, zaslouží si slovní komentář. Úlohy
bez alespoň minimálního komentáře už příště nebudu hodnotit plným počtem
bodů. Pozor na to.
Úloha č. 6
Máme trojúhelníkovou síť jako na obr. 4 a v ní vepsané některé číslice. Doplňte do
ostatních políček číslice od 1 do 6 tak, aby v žádném z řádků (ani těch šikmých)
ani v žádném pravidelném šestiúhelníku nebyla některá z číslic dvakrát.
Řešení: K úloze se dalo přistupovat z vícero různých směrů. Jeden nejpřímější
a zároveň logický je dívat se na šestiúhelníky postupně a doplňovat do nich
čísla na pozice, kde se určitě musí vyskytovat. Tím si zaručíme, že do každého
šestiúhelníku dáme každé číslo právě jednou.
Zde je téměř jedno, kde začínáme. Vezměme to tedy od levého horního rohu.
Zde je pouze jedno místo, kam lze doplnit číslo 1 (číslo jedna z dolní řádky nám
přesně vymezí prostor, kam ji můžeme vložit). Dále vedle ní číslo 2 (nemůže být
na ostatních políčkách tohoto šestiúhelníku kvůli číslu 2 z dolní řádky). Taktéž
číslo 5, viz obrázek 5. To je vše, posuneme se doprava.
Zde lze doplnit opět 1, pod 4 (díky již doplněné 1 a původní 1 máme pouze
jednu možnost), viz obrázek 6. Zároveň zde můžeme doplnit 3 (nemůže být
v řádku ani v šestiúhelníku s 3 z levého horního rohu). A na poslední místo
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 15
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série
3
4
3
1
2
4
5
5
1
5
2
1
Obr. 4
3
1
2
5
5
1
2
Obr. 5
6
3
3
4
1
4
5
2
1
1
Obr. 6
2
5
2
6
3
4
1
6
Obr. 7
tohoto šestiúhelníku musíme umístit 6 (obr. 7).
Posuneme se doprava dolů, zde můžeme doplnit 4 (kvůli 4 ze zadání nemůže
být s ní v šestiúhelníku ani sloupci). Zároveň doplníme 6 na poslední volné místo
(obr. 7).
Posuneme se na poslední šestiúhelník. Zde doplníme 2, která je opět jasně
vymezena 2 ze zadání. Dále 3 (vymezena horní trojkou ze doplníme 6. Výsledek
pak vypadá jako na obr. 8. Můžeme ještě překontrolovat (obr. 9).
3
2
5
6
3
1
4
1
2
5
2
Obr. 8
6
3
6
4
1
3
2
5
6
3
1
4
1
2
5
2
6
3
4
1
6
Obr. 9
Druhý možný postup spočívá ve vyhledání čísel, která se mohou vyskytnout
jen na jednom místě. Tento způsob je ale trochu na způsob „kouknu a vidím“, je
nutno při něm začít ze správného konce, pak je to velmi efektivní způsob. Jinak
Strana 16
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
se totiž dostáváme do řešení, které použilo mnoho z vás, a to řešení, kdy si píšeme, co všechno za čísla se kde může vyskytovat a pak je postupně eliminujeme.
Je to dobrý způsob na malé tabulky, na velké a více čísel se stává nepřehledným.
Komentář: Úlohu jste měli téměř všichni správně. Velkým problémem zde byl
především postup řešení. Ve velkém množství chyběl postup úplně či byl jen
velmi stručný „třeba vyplňujeme jako sudoku“. Tato řešení jsme hodnotili plným počtem bodů s komentářem, že příště bude výsledek bez postupu řešení
za minimum bodů. Prosíme, pište postupy řešení, protože se můžete splést jen
třeba v maličkosti, za kterou bychom vám body nestrhávali (numerické chyby,
…), ale bez postupu řešení to bude chybný výsledek, a tedy za 0 bodů. U některých byla malá chyba, kterou jsme hodnotili mírně – strhnutím jednoho bodu.
Děkujeme vám za vaše řešení, mnohdy velké umělecké hodnoty. :-)
Úloha č. 7
Okno vypadalo jako na obrázku. Vybarvená část byla vyplněná zlatem. Jaký obsah
měla tato část, je-li strana každého ze čtyř čtverců dlouhá 1 stopu?
Řešení: Nejdříve si uvědomme, že všechny zlaté útvary jsou stejné. To znamená, že stačí spočítat plochu jen jednoho z nich. Nyní si rozmysleme, že tento
útvar se skládá ze čtverce a čtyř kruhových úsečí, viz obr. 10.
Výpočty můžeme pro zjednodušení uvádět bez jednotek. Prvně si spočítáme
obsah čtverce, pak až obsahy úsečí.
K vypočítání obsahu čtverce potřebujeme znát délku jeho strany (tedy |XY|).
Uvědomme si, že trojúhelník ABX je rovnostranný (velikost úhlu XAB je 60 °),
tedy velikost úhlu DAX je 30 ° (doplňek do 90 °). Trojúhelník DAY je také rovnostranný, tedy velikost úhlu XAY je 30 °. To znamená, že trojúhelník AYX je
rovnoramenný s hlavním úhlem velikosti 30 ° a rameny délky 1.
Označme Z střed úsečky XY (viz obr. 11). Protože AZX a AZY jsou shodné
pravoúhlé trojúhelníky s přeponou 1, platí:
|XZ| = |ZY| = sin 15 °,
|XY| = 2 · sin 15 °.
Z čehož plyne obsah čtverce: [2 · sin 15 °]2 .
Obsah úseče je rozdílem obsahů výseče a příslušného trojúhelníku. Obsah výseče se počítá podle následujícího vzorce:
πr2 ·
pikomat.mff.cuni.cz
30
π
=
.
360
12
Strana 17
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série
D
C
X
Y
A
B
Obr. 10
Známe délku strany XY a velikost úhlu XAZ, tedy délka strany AZ je cos 15 °,
takže obsah trojúhelníku AYX je:
2 · sin 15 ° · cos 15 °
= sin 15 ° · cos 15 °.
2
Obsah úseče tedy je:
π
− sin 15 ° · cos 15 °.
12
Obsah celého útvaru je tedy:
[2 · sin 15 °]2 + 4 ·
]
[π
− sin 15 ° · cos 15 ° .
12
Obsah všech zlatých částí je:
{
[π
]}
√
.
6 · [2 · sin 15 °]2 + 4 ·
− sin 15 ° · cos 15 ° = 6 − 6 3 + 2π = 1,891.
12
Obsah zlaté části je přibližně 1,891 ft2 .
Strana 18
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Vzorová řešení úloh
D
C
X
Z
Y
A
B
Obr. 11
Komentář: Úloha měla mnoho způsobů řešení, my vybrali tento, protože nám
přišel nejpřímočařejší. Celkem často jsme dostali papír popsaný rovnicemi bez
sebemenšího komentáře, takže se omlouváme, ale naše schopnosti pochopení
takovýchto řešení byly značně omezené. Body jsme rozdělovali přibližně takto:
1 bod za uvědomění si, co je vlastně útvar zač; 2 body za výpočet obsahů základních částí (průnik čtvrtkruhů); 3 body za plán na výpočet útvaru; 5 bodů za
správný postup i s výpočtem. Za numerické chyby jsme podle závažnosti strhávali až 2 body.
Úlohy první série opravovali a komentáře sepsali: 1. Jiří Štrincl, Tereza Ptáčková, 2. Vojtěch Kika, 3. Barbora Šmídová, Eliška Bušáková, 4. Jakub Dargaj, 5. Jiří
Erhart, Jan Erhart, 6. Lenka Vábková, Jan Kadlec, 7. Václav Steinhauser, Vít Kalisz.
pikomat.mff.cuni.cz
Strana 19
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série
Výsledková listina Pikomatu MFF UK
po 1. sérii
Celkově
1.–43.
V roč.
1.
1.–6.
1.–16.
1.–20.
Strana 20
Jméno a příjmení
Roč. a škola
Michaela Štouralová
6. GSOV
Tomáš Flídr
7. GKRO
Hana Bečvářová
7. GMNP
Daniel Locker
7. GFMP
Jan Kotrlík
7. GMNP
Kryštof Pravda
7. GMSP
Michal Beránek
7. ZSON
Štěpán Tichý
8. GCHB
Tetyana Zaichenko
8. GJHP
Anastasiya Zaichenko 8. GJHP
Ludmila Hana Houfková8. GMHS
Anna Krůtová
8. GKJB
Jakub Kislinger
8. GJVK
Klára Pernicová
8. GZAS
Petr Khartskhaev
8. PORG
Robert Gemrot
8. GHAV
Ngoc Hung Hoang
8. GUNL
Petr Kocour
8. GDOB
Lubor Čech
8. GMIK
Lenka Švecová
8. GJIH
Václav Janáček
8. GKJB
Adéla Karolína Žáčková 8. GCDP
Petra Klusáková
8. ZSBT
Samuel Soukup
9. AGKP
Matěj Hasala
9. ZSBU
Jan Nekarda
9. GUHV
Nora Prokešová
9. GCKV
Veronika Vařáková
9. GJSK
Michal Krtouš
9. GUST
František Záhorec
9. GRNL
Kateřina Jelínková
9. ZSNM
Adam Vavrečka
9. GPBZ
Filip Novotný
9. GJIH
Jakub Janků
9. GMLE
Ondřej Med
9. GJIH
Martin Schmied
9. GJIH
Jonáš Havelka
9. GJIR
1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
2
5
5
2
5
1
5
1
4
4
5
1
5
4
5
5
2
3
3
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
2
5
5
5
5
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
7
5
0
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
P
-
σ
Σ
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
1.–43.
V roč.
1.–20.
44.–60.
7.–9.
17.–22.
21.–28.
61.–78.
10.–16.
23.–28.
29.–33.
79.–96.
17.–19.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Eliška Vítková
Šimon Pechoč
Václav Pavlíček
Jindřich Dítě
Kristýna Kratochvílová
Jakub Ucháč
Martin Fof
Šimon Smola
Dominik Zeman
Kateřina Matulová
Julie Rubášová
Lukáš Frk
Kryštof Havlík
Jakub Melichar
Vladimír Chudý
Ondřej Macháč
Ondřej Měšťan
Josef Polášek
Matěj Krátký
Martin Hubata
Alena Osvaldová
Vít Šimeček
Jitka Knížková
Veronika Machačná
Klára Hubínková
Markéta A. Doležalová
Martin Mlejnecký
Šimon Glück
Kryštof Veverka
David Hájek
Amálie Dostalíková
Dominik Belza
Tomáš Čurda
David Bajer
Dominik Farhan
Richard Randák
Hana Pelikánová
Lucie Míšková
Viktor Materna
Jan Kaifer
Tadeáš Tomiška
Adam Fürstenzeller
Robin Palán
Vladimír Vávra
Roč. a škola
9. GCDP
9. ZSDA
9. ZSZD
9. ZSZO
9. GBNE
9. ZSVV
7. MGOP
7. GMNP
7. GMNP
8. BGBN
8. BGBN
8. GNAP
8. GFXS
8. GRIC
8. ZSRD
9. ZSMN
9. GUST
9. GJSP
9. PORG
9. GMNP
9. GJSB
9. CSLH
9. ZSDS
7. ZSMZ
7. GMNP
7. BGUK
7. GSPI
7. GPIS
7. JGNA
7. ZSJW
8. GJSK
8. GBIB
8. GCDP
8. SLGO
8. GMNP
8. GCKV
9. GJER
9. OPEN
9. GKJB
9. GCBR
9. ZSRD
7. GJGJ
7. GJGJ
7. ZSJE
1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
3
5
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
4
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
4
5
5
5
5
4
4
4
4
2
1
4
3
4
4
4
4
4
4
4
1
4
1
3
3
4
2
3
5
3
5
2
3
5
3
4
3
3
4
2
1
-
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
7
2
5
5
4
4
2
5
3
5
5
5
4
4
3
3
2
1
3
2
4
0
3
0
2
5
2
P
-
σ
Σ
30
30
30
30
30
30
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
27
27
27
30
30
30
30
30
30
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
27
27
27
Strana 21
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série
Celkově
79.–96.
V roč.
29.–33.
34.–43.
97.–119.
20.–30.
34.–37.
44.–51.
120.–140. 2.–4.
31.–35.
Strana 22
Jméno a příjmení
Magdaléna Mišinová
Marco Souza de Joode
Martina Ferugová
Šárka Rafflová
Ladislav Hrbáček
Matěj Pečený
Barbora Pavlíková
Filip Wagner
Ondřej Brož
Soňa Curylová
Matěj Mrázek
Petra Plachá
Petra Hrubá
Denisa Nováková
Andrea Jáklová
Jan Čížek
Jan Brambůrek
Matouš Křížek
Jan Cogan
Stanislav Kurhan
Adam Holda
Markéta Svobodová
Denisa Hanušková
Markéta Hanušková
David Plevka
Vojtěch Vařecha
Adam Šlegl
Vojtěch Březina
Dominik Švarc
Vojtěch V. Škrlant
Tereza Žmolová
Tereza Klabenešová
Nikol Krejčí
Martina Malá
Anna Prokošová
Pavel Mazáč
Eva Jurčeková
Lada Švecová
Jan Sobota
Karolína Korbelová
Vojtěch Sýs
Isabela Andreevská
Jana Soldánová
Radomír Mielec
Roč. a škola
8. GJKP
8. GNSP
8. GBOS
8. GOMS
8. GMBP
9. ZSJJ
9. GJVJ
9. GTIS
9. GCDP
9. GFPA
9. GBUD
9. GMNP
9. GSOV
9. GSOV
9. ZSTS
7. ZSMH
7. ARCP
7. MGPP
7. GSPD
7. GKLA
7. GJAR
7. GOBT
7. GVMS
7. GVMS
7. GKKO
7. GTIS
8. MLGP
8. GPDC
8. GJBS
8. ZSME
9. GJHP
9. GCHO
9. PORG
9. GMOK
9. GJNP
9. ZSVY
9. ZSSV
9. ZSKZ
6. AGKP
6. AGKP
6. AGKP
7. GINT
7. GBNP
7. GVOL
1
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
1
5
5
4
4
4
5
5
5
5
5
4
5
4
5
5
4
5
5
4
5
5
5
3
5
5
2
5
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
3
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
4
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
3
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
-
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
7
5
2
1
1
2
1
5
2
0
0
5
1
2
2
2
1
2
2
1
1
0
2
5
-
P
-
σ
Σ
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
25
25
25
25
25
25
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
25
25
25
25
25
25
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
V roč.
120.–140. 31.–35.
38.–44.
52.–57.
141.–151. 5.
36.–39.
45.–46.
58.–61.
152.–156. 6.
47.–50.
157.–167. 40.
51.–53.
62.–68.
168.–172. 7.
54.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Roč. a škola
Vojtěch Novák
7. ZSKA
Tomáš Fink
7. GMNP
Jan Knápek
8. GZAB
Erik Sedlak
8. GASK
Jakub Farbula
8. GASK
Klaudie Němečková
8. GJHP
Vojtěch Bořík
8. CGMN
Jan Heřta
8. GSOV
Natálie Sedláková
8. ZSPR
Jana Morávková
9. GZAB
Oliver Kukolík
9. GAHS
Marek Černoch
9. GFPA
Thao Tranová
9. GJSB
František Bůžek
9. ZSVL
Martina Petrůjová
9. ZSBB
Martina Lauerová
6. GNAP
Martin Fried
7. GJGJ
Filip Vopálenský
7. MLGP
Karolína Veltrubská
7. GMNP
Martin Kolovratník
7. ZSPS
Emma Barnoky
8. ZSKU
Tomáš A. Kovanda
8. AGKP
Tomáš Salavec
9. GBIB
Martina Novotná
9. GMHS
Jan Kačenka
9. OPEN
Petr Menšík
9. ZSKE
Bára Lorencová
6. GBNP
František Hovorka
8. GBIB
Kateřina Honigerová 8. GLNS
Veronika Krčmáriková 8. GMAS
Magdalena Folková
8. GLIP
Martin Černý
7. ZSNL
Jaroslav Bělák
8. ZSVK
Kamil Kohl
8. ZSNB
Tereza Polová
8. GDOB
Laura Říhová
9. OPEN
Mária Elena Bodnárová 9. ELBA
Martina Nová
9. GSOV
Anna Musilová
9. PORG
Daniela Hilscherová
9. ZSNB
Jiří Novotný
9. ZSPA
Anna Švarcová
9. ZSHP
Ondřej Nováček
6. GJVK
Jan Heřmánek
8. GKKO
1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
4
4
5
1
5
5
5
5
5
4
4
4
5
3
5
3
2
5
5
5
5
4
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
3
5
5
3
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
2
5
1
5
5
3
3
5
5
1
5
5
5
5
5
5
-
4
1
2
5
2
2
1
2
0
1
3
2
2
4
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
2
2
2
2
1
1
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
5
7
5
2
2
5
5
2
2
1
1
1
2
5
3
-
P
-
σ
Σ
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
23
23
23
23
23
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
21
21
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
23
23
23
23
23
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
21
21
Strana 23
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série
Celkově
V roč.
168.–172. 69.–71.
173.–184. 8.
41.–46.
55.–57.
72.–73.
185.–191. 47.–48.
58.–61.
74.
192.–198. 9.
49.
62.–64.
75.–76.
199.–202. 50.–51.
65.
77.
203.–207. 52.
78.–81.
208.–215. 10.–11.
53.–54.
66.–69.
Strana 24
Jméno a příjmení
Hana Kubová
Alice Janáčková
Lukáš Brázdil
Adam Mára
Václav Rous
Marie Vondrášková
Jitka Waldhauserová
Kateřina Dostalová
Petr Hladík
Tereza Hanáčková
Václav Trpišovský
Matěj Machart
Mikuláš Brož
Petr Stádník
Kateřina Novotná
Klára Polišenská
Radim Křenek
Vojtěch Štrejbar
Vojtěch Bičák
Josef Bálek
Filip Holoubek
Jindřich Hátle
Kamila Bejšovcová
Lucie Brabencová
Jiří Zinecker
Martin Andres
Šárka Štěpánková
Suren Škardová
Jan Vondra
Pavel Otta
Vítek Slanina
Daniel Štípek
Marek Vincíbr
Antonie Erika Grant
Samuel Miček
Jakub Heidrich
Daniela Kořánová
Vilém Raška
Štěpánka Mrázková
Adam Ucháč
Anežka Zadražilová
Martina Seidlová
Martin Pacák
Thach Thao Hoang
Roč. a škola
9. ZSSH
9. GCHO
9. GVMS
6. ZSJS
7. GMNP
7. JSSV
7. ZSTJ
7. ZSCY
7. ZSTB
7. ZSZS
8. OPEN
8. GOMS
8. GNSP
9. GOHR
9. GNKP
7. AGKP
7. ZSVS
8. ZSTJ
8. GUST
8. ZSHT
8. GTMN
9. ZSAM
6. AGKP
7. GMNP
8. GHAV
8. MLGP
8. GJRC
9. OPEN
9. GTNV
7. GNAP
7. GCHB
8. ZSTN
9. GCKV
7. AGKP
9. GPUC
9. GDAR
9. GJGJ
9. ZSSI
6. AGKP
6. ZSSJ
7. ZSCH
7. GSCT
8. ZSCD
8. GCHB
1
5
5
4
5
1
5
5
5
4
5
5
5
4
3
4
3
5
3
5
4
3
1
5
5
2
5
5
3
5
5
5
0
-
2
5
5
5
3
5
4
5
5
5
2
5
5
5
3
5
5
5
2
5
2
3
5
5
3
5
2
5
3
5
5
5
5
5
2
5
5
5
0
5
5
5
3
4
5
2
4
5
5
3
5
0
5
5
5
5
3
2
0
5
3
5
5
5
5
5
4
1
5
5
5
5
-
4
2
1
1
1
5
1
1
3
1
1
4
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
3
5
5
5
5
4
5
3
5
5
3
5
5
5
5
5
0
-
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
7
1
1
0
0
1
5
2
0
0
0
0
2
5
P
-
σ
Σ
21
21
21
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
19
19
19
19
19
19
19
18
18
18
18
18
18
18
17
17
17
17
16
16
16
16
16
15
15
15
15
15
15
21
21
21
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
19
19
19
19
19
19
19
18
18
18
18
18
18
18
17
17
17
17
16
16
16
16
16
15
15
15
15
15
15
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
V roč.
208.–215. 66.–69.
216.–219. 55.–56.
70.–71.
220.
72.
221.
12.
222.–225. 73.–76.
226.–234. 1.
57.–59.
77.–79.
82.–83.
235.–237. 13.
60.
80.
238.–240. 14.
61.
81.
241.–244. 2.
15.
62.–63.
245.–252. 16.–18.
64.–66.
84.–85.
253.–254. 19.
67.
255.–257. 20.–21.
82.
pikomat.mff.cuni.cz
Jméno a příjmení
Gabriela Marxová
Aleš Horák
Jan Bartoš
Nela Vítová
Markéta Ševčíková
Dávid Erdödy
Eliška Steierová
Anička Dau
Dana Dvořáčková
Matěj Frantík
Tomáš Pavelčík
Vladimír Vursta
Antonín Šámal
Karel Prinz
Ondřej Loukotka
Petra Kubešová
Marek Čermák
Daniel Rozehnal
Anna Blažková
Veronika Krátká
Martin Hyna
Vojtěch Železný
Barbora Picková
Ondřej Hejna
Roman Varfalamiliev
Pavla Molíková
Emma Pěchoučková
Trung Pham Xuan
Sára Karolína Hrůzová
Daniel Zelenka
Lucie Pytlounová
Anna Korandová
Marie Kukačková
Martin Malík
Hana Švecová
Ema Kolářová
Martin Šimša
Julie Přerovská
Michal Vondrák
Filip Adam Chyška
Edita G. Vymazalová
Jan Kotschy
Kateřina Vrtišková
Jan Zindr
Roč. a škola
8. GDAR
8. ZSVO
7. GCKV
7. ZSPN
8. ZSMO
8. GASK
8. GVOD
6. ZSKT
8. ZSBO
8. BGCB
8. GJAK
8. FZSD
5. ZSDC
7. GJSK
7. GKKO
7. ZSNC
8. ZSNH
8. GJWP
8. GDAR
9. GBOS
9. GTVL
6. ZSKT
7. GSOV
8. ZSVH
6.
7. ZSTG
8. AGKP
5. GCHB
6. GCHB
7. GLIP
7. ZSCD
6. GSOV
6. GSOV
6. GSOV
7. AGKP
7. AGKP
7. GOPA
9. GNVP
9. GPDC
6. AGKP
7. AGKP
6. GMAL
6. AGKP
8. ZSPO
1
3
5
3
1
5
4
5
5
5
4
4
1
5
2
-
2
5
2
3
3
1
2
5
0
5
5
5
5
5
5
5
5
3
0
3
3
2
2
5
5
3
1
3
3
5
1
2
1
5
1
1
5
4
3
-
4
5
2
1
1
2
1
0
1
1
1
-
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
1
5
5
5
5
5
5
5
5
1
4
-
7
0
0
0
0
-
P
-
σ
Σ
15
15
14
14
14
14
13
12
11
11
11
11
10
10
10
10
10
10
10
10
10
9
9
9
8
8
8
6
6
6
6
5
5
5
5
5
5
5
5
4
4
3
3
3
15
15
14
14
14
14
13
12
11
11
11
11
10
10
10
10
10
10
10
10
10
9
9
9
8
8
8
6
6
6
6
5
5
5
5
5
5
5
5
4
4
3
3
3
Strana 25
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série
Celkově
V roč.
258.–385. 22.–45.
Jméno a příjmení
David Kocian
Vít Jevčák
Alena Kročková
Ondřej Večeřa
Vojta Polonyi
Jan Vladimír Podlipný
Shamima Fernando
Michal Smetana
Jindřich Zelenka
Vojtěch Vincíbr
Michal Janík
Jiří Kruchina
Petr Drobílek
Kateřina Šebestová
Vlaďka Raclavská
Petr Podskalský
Adam Kosik
Kateřina Štruplová
Luboš Petráň
Jiří Schmidtmayer
Adéla Studničková
Jakub Rumian
Romana Vlčková
Jan Kosik
68.–102. Lucie Černá
Marie Křesťanová
Anežka Štrbová
Zuzana Kučková
Tadeáš Jakeš
Matěj Podaný
Andrea Pospíšilová
Dorota Cabálková
Lada Vestfálová
Ondřej Chwiedziuk
Jan Petránský
David Arutyunyan
David Horak
Anna Ruszová
Martina Daňková
Alžběta Kafková
Jakub Rýc
Tom Kavena
Lenka Tomanová
Adéla Kolomazníková
Strana 26
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P
6. ZSDH
- - - - - - - 6. ZSEB
- - - - - - - 6. GPBZ
- - - - - - - 6. ZSDO
- - - - - - - 6. ZSKT
- - - - - - - 6. ZSFK
- - - - - - - 6. ZSJP
- - - - - - - 6. GJRC
- - - - - - - 6. GSOK
- - - - - - - 6. GCKV
- - - - - - - 6. GJKP
- - - - - - - 6. GCSP
- - - - - - - 6. ZSPC
- - - - - - - 6. GJVK
- - - - - - - 6. SLGO
- - - - - - - 6. GSOV
- - - - - - - 6. ZSTO
- - - - - - - 6. ZSKU
- - - - - - - 6. ZSBZ
- - - - - - - 6. ZSPH
- - - - - - - 6. ZSJN
- - - - - - - 6. ZSHE
- - - - - - - 6. ZSZS
- - - - - - - 6. ZSPL
- - - - - - - 7. ZSSR
- - - - - - - 7. ZSPR
- - - - - - - 7. ZAGJ
- - - - - - - 7. ZSHL
- - - - - - - 7. ZSDR
- - - - - - - 7. ZSPN
- - - - - - - 7. GSTR
- - - - - - - 7. GCDP
- - - - - - - 7. GJER
- - - - - - - 7. GFXS
- - - - - - - 7. GNSP
- - - - - - - 7. GJHP
- - - - - - - 7. GMSP
- - - - - - - 7. GRIC
- - - - - - - 7. KSGB
- - - - - - - 7. GCSL
- - - - - - - 7. GRIC
- - - - - - - 7. GKKO
- - - - - - - 7. GSOV
- - - - - - - 7. ZSHO
- - - - - - - -
σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Výsledková listina
Celkově
V roč.
Jméno a příjmení
258.–385. 68.–102. Adam Hrbáč
Adam Auzký
Jan Šuráň
Lucie Hromková
Markéta Doubravová
Hana Houzarová
Šárka Eichlerová
Tereza Vlasáková
Lucie Hrdová
Michaela Kutá
Jakub Mikeš
Lukáš Davídek
Linda Nykendajová
Magdalena Rybová
Monika Pongrácová
83.–125. Jana Pokorná
Radka Chytrová
Tereza Zbejvalová
Tomáš Foral
Tereza M. Freibergová
Vojtěch Kantor
Anna Grebíková
Klára Zemanová
Anastasia Sergunina
Petr Šťovíček
Martin Vacek
Milan Dobrovolný
Petra Pazourkova
Věra Pokorná
Tereza Strakošová
Adéla Pokorná
Eliška Maloušková
Jan Antonín Musil
Bohdan Semiginovsky
Daniel Novotný
Vojtech Gaďurek
Filip Erben
Ondřej Čech
Jakub Charvot
Tuan Le Manh
Jakub Roubiček
Michaela Pejšová
Viktorie Hanušová
Klára Týfová
pikomat.mff.cuni.cz
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P
7. GMLE
- - - - - - - 7. AGKP
- - - - - - - 7. GSPI
- - - - - - - 7. ZSDU
- - - - - - - 7. GBIB
- - - - - - - 7. ZSMS
- - - - - - - 7. GCBR
- - - - - - - 7. ZSZC
- - - - - - - 7. ZSKL
- - - - - - - 7. ZSFC
- - - - - - - 7. ZSPT
- - - - - - - 7. ZSFL
- - - - - - - 7. ZSAS
- - - - - - - 7. ZSVV
- - - - - - - 7. ZSLN
- - - - - - - 8. ZSDE
- - - - - - - 8. ZSJH
- - - - - - - 8. ZSDI
- - - - - - - 8. ZSBL
- - - - - - - 8. GCHB
- - - - - - - 8. GCHB
- - - - - - - 8. GCSP
- - - - - - - 8. PORG
- - - - - - - 8. GVOP
- - - - - - - 8. GCKV
- - - - - - - 8. GZAS
- - - - - - - 8. GVMS
- - - - - - - 8. GZSP
- - - - - - - 8. DGSE
- - - - - - - 8. GMAS
- - - - - - - 8. GRIC
- - - - - - - 8. GVMS
- - - - - - - 8. PORG
- - - - - - - 8. GKKO
- - - - - - - 8. PORG
- - - - - - - 8. PORG
- - - - - - - 8. BGCB
- - - - - - - 8. GCEL
- - - - - - - 8. GMKA
- - - - - - - 8. GOST
- - - - - - - 8. ZSDE
- - - - - - - 8. GSOB
- - - - - - - 8. GOPA
- - - - - - - 8. GCDP
- - - - - - - -
σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Strana 27
Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série
Celkově
V roč.
Jméno a příjmení
258.–385. 83.–125. Michaela Mrázová
Petr Čerych
Stanislav Svoboda
Zdeněk Ďulák
Růžena Bártová
Andrea Nedělníková
Petr Kopřiva
Marek Šilar
jan Ďureje
Adéla Jelínková
Jindřiška Tomšovicová
Josef Sezemský
Jiří Kolář
Ondřej Husák
86.–111. Josef Losos
Oliver Moravec
Veronika Malcová
Alena Šanovcová
Adéla Vodičková
Matouš Cimala
Darina Lisichkina
Marie Rozmušová
Natálie K. Koscelanská
Josef Pernica
Jana Vozárová
Mirka Katuščáková
Marie Raušová
Patrik Kecera
Pavel Vyskočil
Valentýna Pavlasová
Jana Říhová
Eliška Hujerová
Michaela Dopitová
Jan Licek
Vojtěch Pšenák
Stanislav Kvirenc
Anežka Novotná
Lucienne Plešnerová
Adéla Zábojníková
Jan Macek
Strana 28
Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P
8. ZSRL
- - - - - - - 8. ZSSO
- - - - - - - 8. ZSSN
- - - - - - - 8. ZSVK
- - - - - - - 8. ZSAL
- - - - - - - 8. ZSUS
- - - - - - - 8. FZSP
- - - - - - - 8. ZJJO
- - - - - - - 8. ZSVD
- - - - - - - 8. ZSLV
- - - - - - - 8. ZSVI
- - - - - - - 8. ZSFA
- - - - - - - 8. ZSTY
- - - - - - - 8. ZSSY
- - - - - - - 9. ZABC
- - - - - - - 9. GJIH
- - - - - - - 9. OPEN
- - - - - - - 9. JGNA
- - - - - - - 9. GUHV
- - - - - - - 9. GJAK
- - - - - - - 9. OPEN
- - - - - - - 9. GSOK
- - - - - - - 9. GEKP
- - - - - - - 9. MGOV
- - - - - - - 9. GPUC
- - - - - - - 9. GZSM
- - - - - - - 9. GJIR
- - - - - - - 9. OSTS
- - - - - - - 9. GRJS
- - - - - - - 9. ZSZL
- - - - - - - 9. GCAK
- - - - - - - 9. GDAR
- - - - - - - 9. RGPO
- - - - - - - 9. GJRC
- - - - - - - 9. GMNP
- - - - - - - 9. GDOB
- - - - - - - 9. ZSJL
- - - - - - - 9. ZSKK
- - - - - - - 9. ZSBJ
- - - - - - - 9. ZSTC
- - - - - - - -
σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Σ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8