Matematika v kostce 1

MATEMATIKA

OBSAH:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATICKÉ LOGIKY A TEORIE MNOŽIN ........................................................................................... 1
MATEMATICKÉ DŮKAZY .............................................................................................................................................................................. 2
MOCNINY A ODMOCNINY, MOCNINNÉ FUNKCE.................................................................................................................................... 3
ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ ........................................................................................................................................................ 3
FUNKCE A JEJICH ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI............................................................................................................................................. 4
LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE........................................................................................................................................................ 4
LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU....................................................................................... 5
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE.................................................................................................................................................. 6
VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE ................................................................................................ 6
IRACIONÁLNÍ ROVNICE................................................................................................................................................................................. 7
KOMPLEXNÍ ČÍSLA.......................................................................................................................................................................................... 7
ŘEŠENÍ ROVNIC V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL.................................................................................................................................. 8
ROVNICE S PARAMETREM............................................................................................................................................................................ 8
SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC .............................................................................................................................................................. 8
EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE......................................................................................................................................... 9
EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE A NEROVNICE ............................................................................................................................................ 10
LOGARITMICKÉ ROVNICE A NEROVNICE .............................................................................................................................................. 11
GONIOMETRICKÉ FUNKCE ......................................................................................................................................................................... 11
VZTAHY MEZI GONIOMETRICKÝMI FUNKCEMI .................................................................................................................................. 12
GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ........................................................................................................................................... 13
TRIGONOMETRIE........................................................................................................................................................................................... 14
SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ ............................................................................................................................................................... 14
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST .............................................................................................................................................................. 14
PYTHAGOROVA VĚTA, EUKLIDOVY VĚTY ............................................................................................................................................ 14
ROVINNÉ ÚTVARY ........................................................................................................................................................................................ 15
NEROTAČNÍ TĚLESA..................................................................................................................................................................................... 15
ROTAČNÍ TĚLESA .......................................................................................................................................................................................... 16
MATICE A DETERMINANTY........................................................................................................................................................................ 16
LINEÁRNÍ ALGEBRA ..................................................................................................................................................................................... 17
VEKTORY......................................................................................................................................................................................................... 18
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ.......................................................................................................... 18
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V PROSTORU.................................................................................................... 19
POLOHOVÉ A METRICKÉ VZTAHY ÚTVARŮ V ROVINĚ ..................................................................................................................... 20
POLOHOVÉ A METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU ....................................................................................................... 20
ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A ELIPSY ................................................................................................................................. 21
ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY .................................................................................................................................................. 22
ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY ................................................................................................................................................ 22
VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY.................................................................................................................................. 22
VARIACE A PERMUTACE............................................................................................................................................................................. 23
KOMBINACE.................................................................................................................................................................................................... 23
ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI.............................................................................................................................................................. 24
ZÁKLADY STATISTIKY ................................................................................................................................................................................ 25
ARITMETICKÁ POSLOUPNOST................................................................................................................................................................... 26
GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST ................................................................................................................................................................. 26
ŘADY................................................................................................................................................................................................................. 26
LIMITA, SPOJITOST A DERIVACE FUNKCE ............................................................................................................................................. 27
GEOMETRICKÝ A FYZIKÁLNÍ VÝZNAM DERIVACE ............................................................................................................................ 29
VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE .......................................................................................................................................................... 29
PRIMITIVNÍ FUNKCE, URČITÝ INTEGRÁL .............................................................................................................................................. 31
UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU K VÝPOČTU OBSAHŮ ROVINNÝCH OBRAZCŮ A OBJEMŮ ROTAČNÍCH TĚLES .................. 33
1 ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATICKÉ LOGIKY A TEORIE MNOŽIN
Výrok (p): Každé sdělení, o kterém můžeme rozhodnout, zda je či není pravdivé. Je-li výrok
pravdivý, přiřazujeme mu 1. Není-li pravdivý, přiřazujeme mu 0.
Negace výroku (p'): tvoříme ji pomocí „není pravda, že“ nebo „neplatí, že“.
1.1
LOGICKÉ SPOJKY
Konjunkce ( p  q ): „a“, „i“, „a zároveň“ – je pravdivá, když jsou pravdivé oba výroky
Disjunkce (alternativa) ( p  q ): „nebo“ – je pravdivá, je-li pravdivý alespoň 1 výrok
Implikace ( p  q ): „jestliže …, pak“ – není pravdivá jen tehdy, vyplývá-li z pravdy nepravda
Ekvivalence (oboustranná implikace) ( p  q ): „…právě tehdy, když …“ – je pravdivá, mají-li
oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu
A
B
A B
A B
A B
A B
1
1
0
0
1.2
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
KVANTIFIKOVANÉ VÝROKY
Obecný
kvantifikátor
(  ):
„V
každém…“,
1
0
1
1
„Pro
x  R;  x  1  x  2 x  1
Existenční kvantifikátor (  ): „Existuje…“ – např. x  R; x  0
2
1
0
0
1
každé…“
–
např.
2
1.3
DEFINICE, VĚTY
Definice: zavádí základní matematické pojmy
Věty: musíme je na rozdíl od definic dokázat. Skládají se z předpokladu a tvrzení.
Např. a  Z  ; a  liché č.  a 2  liché č. – předpoklad: celé kladné liché č. – tvrzení: a2 je
liché č.
q'  p' věta obměněná p  q
1.4
MNOŽINY
Množina (A,B,…): soubor určitých prvků – konečná (žáci), nekonečná (R), prázdná ({})
Určení množin: výčtem ( A  {a, b, c, d} ), symbolicky ( A  {x  N ;10  x  20} )
1.5
VZTAHY MEZI MNOŽINAMI
Podmnožina ( A  B ): „A je podmnožinou B“ – inkluze – def. A  B  x  A; x  B
Rovnost ( A  B ): def. A  B  A  B  B  A
1.6
OPERACE MEZI MNOŽINAMI
Vennovy diagramy: U – základní (universální) množina
U
Sjednocení ( A  B ): def. C  A  B  x  U ; x  A  x  B A
B
U
Průnik ( A  B ): def. C  A  B  x  U ; x  A  x  B A
zákon komutativní (o záměně):
A B  B A
B
A B  B A
zákon asociativní (o sdružování):
zákon distributivní (o roznásobení):
 A  B   C  A  B  C 
 A  B   C  A  B  C 
A  B  C    A  B    A  C 
A  B  C    A  B    A  C 
1
U
Rozdíl ( A  B ): def. C  A  B  x  U ; x  A  x  B A
B
U
A
B
Doplněk ( A' B ): def. A  B  A' B  {x  U ; x  B  x  A}
 A  B l
 A  B l
de Morganova pravidla:
1.7
 A' B'
 A' B'
ČÍSELNÉ INTERVALY
Otevřený: a, b   x  R; a  x  b
Uzavřený: a, b  x  R; a  x  b
Polouzavřený: zleva uzavřený: a, b   x  R; a  x  b

zprava uzavřený: a, b  x  R; a  x  b
S intervaly pracujeme stejně jako s množinami, a proto pro ně platí stejné operace.
1.8
SPOLEČNÝ NÁSOBEK A DĚLITEL
Nejmenší spol. násobek: n12,28,42   2  2  3  7  84 , v prvočíselném rozkladu má každé
prvočíslo obsažené v nejvyšší mocnině.
Největší spol. dělitel: D 12,28,42   2 , v prvočíselném rozkladu má pouze spol. prvočíslo.
2 MATEMATICKÉ DŮKAZY
Přímý důkaz ( A  B ): vycházíme z předpokladu dané věty a musíme se dopracovat k jejímu
tvrzení
Např. a  Z  ; a  liché č.  a 2  liché č.




liché č.: 2k  1 , potom 2k  1  4 k 2  k  1 , kde 4 k 2  k je sudé.
Nepřímý důkaz ( A  B  B '  A' ): dokazujeme větu obměněnou pomocí přímého důkazu.
2
Např. m  Z  ; m 2 dělitelné 3  m dělitelné 3
nedělitelné
3k  1  3k  2 ,
3:
3k  2  33k  4k   4 , kde 33k
Důkaz sporem (  A  B '  A  B' ):
2
2
potom
2
3k  12  33k 2  2k   1
 

nebo
 4k a 3 3k  2k jsou dělitelná 3.
2
ab
 ab
2
ab
2
 ab , po úpravách rovnice: a  b   0 , protože x2
předpokládáme a, b  R  ;
2
Např. a, b  R  ;
nemůže být <0 – spor s předpokladem a daná věta platí.
Matematická indukce: Dokážeme, že platí V(1), potom že pro k  1; V k   V k  1 .
Např. n  N ; 12  2 2  3 2  ...  n 2  16 nn  12n  1
1) ověření n=1; L=P
2) předpoklad k  1; L  12  2 2  ...n 2 P  16 k k  12k  1
máme dokázat k  1; 12  2 2  3 2  ....k 2  k  1 
k  1k  22k  3
L  16 k k  12k  1  k  1  16 k  1k 2k  1  6k  1 
 16 k  12k 2  7k  6  16 k  1k  2 2k  3
2
2
3) platí pro k  N
2
1
6
3 MOCNINY A ODMOCNINY, MOCNINNÉ FUNKCE
3.1
MOCNINY S CELOČÍSELNÝM EXPONENTEM
a a s  a rs
r
r
a
 a r s
s
a
n
a0
a 2  a  a
 a rs
ab r
 arbr
n
a

b
 a
r
ar
a
   r
b
b
1
a r  r
a
a  x  xn  a
ab  n a  n b
n
a 
r s
a, b  R, r , s  Z
m
n
b0
n m
a  0, r  0
np
n
a
n
b
a, b  R0 , m, n, p  N
b0
 n am
a  nm a
a mp  n a m
Slučovat lze pouze souhlasné odmocniny, odmocnit součet a rozdíl nelze.
Částečné odmocňování:
Usměrňování zlomků:
3
128  3 2 7  3 2 6  3 2  2 2  3 2  4  3 2
1
2

1
2
Mocniny s reálným exponentem:
3.2

n
2
2

2
2
a m  a m n m  Z , n  N , a  R 
MOCNINNÉ FUNKCE
y  x2
y  x3
vyšší parabola
kubická parabola
y  x 2
y  x 1
rovnoosá hyperbola
4 ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ
4.1
MNOHOČLENY
a  b 2  a 2  2ab  b 2
a  b a  b   a 2  b 2
3
a  b  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac
a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2 
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
4.2
LOMENÉ VÝRAZY
Definiční obor – obor proměnnosti – (D) je množina, ve které má daný výraz řešení.
x 2  2x  1
x 1
D  R  1
DĚLENÍ MNOHOČLENU MNOHOČLENEM
4.3
x
 x
2

 2 x  1 :  x  1  x  1 

x
 x 1
  x  1
2
2
2
x 1
zbytek
5 FUNKCE A JEJICH ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI
Funkce: předpis, který každé hodnotě nezávislé proměnné x z def. oboru přiřadí právě jednu
hodnotu závislé proměnné y.
Graf funkce: množina všech bodů o souřadnicích x, f ( x) .
Obor hodnot (H): množina řešení (y) dané funkce.
5.1
VLASTNOSTI FUNKCÍ
Rostoucí: x  D; x1  x 2  f  x1   f  x 2  – např. y  x
Klesající: x  D; x1  x 2  f  x1   f  x 2  – např. y   x
Konstantní: x  D; x1  x 2  f  x1   f  x 2  – např. y  0
f  x   f  x  – např. y  cos x 
Lichá: x  D; f  x    f  x  – např. y  sin  x 
Sudá: x  D;
Periodická: průběh funkce se v určitých cyklech opakuje – např. y  sin  x   sin  x  2k 
Prostá (monotónní): x  D; x1  x 2  f  x1   f  x 2  – např. y  x
Inverzní: graf funkce (f) a funkce inverzní ( f
f : y  x2  f
5.2
1
1
) je souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. Např.
: x  y 2 (zaměníme x a y). Pro D  R0 platí y  x
TYPY FUNKCÍ
Jednouchá: y  f  x  – např. y  sin  x 
Složená: y  g  f  x  – např. y  sin 2 x
6 LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE
6.1
LINEÁRNÍ
y  ax  b a  0 D  R H  R
pro a  0  y  b – funkce konstantní
pro a  0 – funkce rostoucí
pro a  0 – funkce klesající
4
yx
6.2
KVADRATICKÁ
y  ax 2  bx  c
a  1 – sevřená
a  1 – rozevřená
a  0 – v horní polorovině (konvexní)
a  0 – v dolní polorovině (konkávní)
7 LINEÁRNÍ
FUNKCE,
ROVNICE
y  x2
A
NEROVNICE
S ABSOLUTNÍ
HODNOTOU
7.1
ROVNICE
Obor proměnnosti: obor, v němž chceme danou rovnici řešit.
Definiční obor (D): obor, v němž má rovnice smysl.
Obor pravdivosti (P=K): množina kořenů.
Řešit rovnici znamená najít takové x, které dané rovnici vyhovuje.
Nutno provést zkoušku.
Ekvivalentní úpravy rovnic:
1) Rovnice lze převádět z jedné strany na druhou, ale s opačným znaménkem.
2) Rovnice se nezmění, když k oběma jejím stranám přičteme nebo odečteme stejný výraz.
3) Rovnice se nezmění, když obě její strany vynásobíme nebo vydělíme stejným výrazem.
7.2
NEROVNICE
ostré znaky nerovnosti:
neostré znaky nerovnosti:
<
>


menší než
větší než
menší nebo rovno než
větší nebo rovno než
Ekvivalentní úpravy nerovnic:
1) Nerovnice se nezmění, když k oběma jejím stranám přičteme nebo odečteme stejný výraz.
2) V nerovnici lze převádět z jedné strany na druhou, ale s opačným znaménkem.
3) Nerovnice se nezmění, jestliže její obě strany vynásobíme stejným výrazem, který je kladný
na celém definičním oboru.
4) Násobíme-li nerovnici výrazem, který je záporný na celém def. oboru, pak musíme převrátit
znak nerovnosti.
7.3
ROVNICE A NEROVNICE V SOUČINOVÉM TVARU
Rovnice:  x  2 3  x   0 – Součin je nulový, je-li nulový alespoň 1 činitel – x  2  x  3 .
x2
 0 – Podíl je nulový, je-li čitatel roven nule – x  2
3 x
x2
 0  x  3 – pomocí nulových bodů
Nerovnice:  x  2 3  x   0 nebo
3 x
x20
3 x  0
x2
x3
2
3
-
+
x–2
–
+
+
3–x
+
+
–
Pozn.: V nulových bodech mění dvojčlen znaménko. Je-li u x koeficient kladný, pak od
nulového bodu nalevo je dvojčlen záporný a napravo kladný.
x   ;2   3;  – při neostrém znaku nerovnosti by byl interval uzavřený.
7.4
ABSOLUTNÍ HODNOTA
Absolutní hodnota: vzdálenost bodu od počátku na číselné ose.
Funkce, rovnice a nerovnice řešíme pomocí nulových bodů.
5
y  x 1  1 x
Např.
x 1  0
1 x  0
x  1
x 1
-1
x+1
1–x
–
+
x   ;1
y   x  1  1  x 
y  2 x
1
+
+
x   1;1
+
–
x  1;  
y   x  1  1  x  y   x  1  1  x 
y2
y  2x
Pozor u rovnic a nerovnic musíme vždy výsledek porovnat s intervalem – např. x  1; 3 a
výsledek je x  4 , proto rovnice nemá v tomto intervalu řešení.
8 KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
ax 2  bx  c  0
b
c
x 2  x   0  x 2  px  q  0
a
a
Neúplná kvadratická rovnice: b, c  0  c  0
Ryze kvadratická rovnice: b  0
x2  a
x
a  a
Řešení kvadratické rovnice:
ax 2  bx  c  0
 b  D  b  b 2  4ac
x1, 2 

2a
2a
D  0 2 reálná řešení
D  0 1 reálné řešení
D  0 2 komplexní řešení
8.1
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ KVADRATICKÉ ROVNICE
x2  4  0
2 x 2  3x  4  0
y  x2  4
y  x 2  y  1,5 x  2
K   2
K  
9 VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE
x1  x 2   p  
x1  x 2  q 
6
c
a
b
a
Rozklad kvadratického dvojčlenu: ax 2  bx  c  0  a x  x1  x  x 2   0
Diskuse kvadratické rovnice s parametrem: viz. otázka č. 13
10 IRACIONÁLNÍ ROVNICE
tzn. neznámá je pod odmocninou
provádíme zkoušku
6  x  3x  2  4
/
2
6  x 3 x  2  3 x  2   16
6  x   2
2 6  x 3 x  2   12  2 x
6  x 3x  2  6  x /  2
6  x 3x  2  6  x 2 / 6  x 
3x 2  2  6  x 2
6  x1  0

x1  6
4 x2  8
x2  2
L1  0  16  4
L2  4  4  4
P1  4
P2  4
L1  P1  K 1  6
L2  P2  K 2  2
11 KOMPLEXNÍ ČÍSLA
Komplexní – složené, imaginární – neskutečné, vymyšlené
a  a1  a 2  – Gausova rovina, a – vzdálenost v G. rovinně od počátku
Absolutní hodnota: a 
2
2
a1  a 2 – reálné číslo
Komplexní jednotka: číslo, jehož absolutní hodnota se rovná 1
Algebraický tvar: a  a1  a 2 i
Opačné číslo:  a   a1  a 2 i
Komplexně sdružené č.: a  a1  a 2 i ,
1
1
Převrácené číslo: 
Goniometrický tvar: a  a cos  i sin  
Exponenciální tvar: a  a  e i –  v radiánech
a
a1  a 2 i
11.1 OPERACE S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY
i 2  1
Sčítání: a  b  a1  b1   a 2  b2 i
Násobení:
Dělení:
a  b  a1  a 2 i b1  b2 i 
a  b  a  b  cos     i sin      a  b  e i    
a a1  a 2 i b1  b2 i


b b1  b2 i b1  b2 i
a
a a
  cos     i sin       e i    
b b
b
11.2 MOIVREOVA VĚTA
cos  i sin  n  cos n  i sin n 
n
Mocniny: a n  a  cos n  i sin n 
7
Odmocniny:
n
a  n a  cos  n2 k  i sin  n2 k 
12 ŘEŠENÍ ROVNIC V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL
12.1 KVADRATICKÉ ROVNICE S DISKRIMINANTEM MENŠÍM 0
x    m  i m
ax 2  bx  c  0
D  0 
 x
bi D
2a
12.2 BINOMICKÉ ROVNICE
x n  m  x  n m  n m  cos 0 2nk  i sin 0 2nk 
Je-li binomická rovnice s reálnými kořeny stupně sudého, pak má 2 reálné kořeny (čísla opačná) a
komplexní kořeny jsou vždy 2 a 2 komplexně sdružené.
Je-li stupně lichého, pak má jeden reálný kořen a 2 a 2 komplexně sdružené.
13 ROVNICE S PARAMETREM


x t 2 1  t 1
xt  1t  1  t  1
t 1
t 1

xt  1  1
00 K  R
t  1
t  1

1
x
0 1
t 1
K  t 11
K  
Lineární rovnice s parametrem:
Diskuse:
pro t  1,1 má K  t 11
pro t  1 má K  R
pro t  1 má K  
Kvadratická rovnice s parametrem:

px 2  bx  c  0  D  b 2  4 pc
b2
x má 2 řešení
4c
b2
D0  p
x má 1 řešení
4c
b2
D0 p 
x nemá řešení v R
4c
D0 p
U parametrických rovnic s neznámou ve jmenovateli nebo u rovnic, kde umocníme či odmocníme,
děláme zkoušku.
14 SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC
14.1 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU A VÍCE NEZNÁMÝCH
Metody: sčítací, dosazovací
8
2
3

 13
xz x y
1
2

 16
xz yz
x, y , z  R
x   y , z
y  z
3
1

 15
x y yz
2a  3b  13
a  2c  16
3b  c  15
2a  3b  13
a  6b  14
 9b  15
b
c
/ 2
/  2 
1
c
yz
a
4
 8   8  10
2
2
a  14  6b  14  10  4
5
3
1
4
xz
1
5

x y 3
1
 10
yz
x  z  14 /  1
x y 
1
a
xz
1
substituce:
b
x y
x  82  z 
3
8
3
5
y  z  101
yz 
7
20
z
y  z  101
2y 
9
20
y
9
40
4
40
 y   18
Soustavy lineárních nerovnic o jedné neznámé
Vyřešíme každou zvlášť, potom uděláme průnik výsledků.
14.2 GRAFICKÉ ŘEŠENÍ LINEÁRNÍCH ROVNIC A NEROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH
Nakreslíme graf funkcí. Výsledkem je průnik grafů.
14.3 SOUSTAVY LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ ROVNICE
Řešíme dosazovací metodou – z lineární vyjádříme a dosadíme do kvadratické.
15 EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE
15.1 GRAFY FUNKCÍ
Exponenciální funkce: y  a x
a 1
a  0, a  1
a 1
9
Logaritmická funkce: y  log a x
a  0, a  1
a 1
D  R
a 1
15.2 VĚTY O LOGARITMECH
a x  b  x  log a b
b0
nejde logaritmovat součet ani rozdíl
log a r  s   log a r  log a s
log a rs  log a r  log a s
log a r s  s  log a r
log b x
log a x 
log b a
log a a  1
log a 1  0
a log a x  x
Pokud je základ e  2,71828... , jedná se o přirozený logaritmus a značí se ln x
Při základu rovnému 10 se jedná o dekadický logaritmus – log x
16 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE A NEROVNICE
rovnice
x2
3
5  3
x
x4
nerovnice
5
x2
3 x  32  5 x  3 x  34  5 x  5 2



3 x 32  34  5 x 1  5 2

72  3 x  24  5 x
   18 x 2
 12 4 x6   12 3 x6
1 2 x 3
4
4 x  6  3x  6
x0
Základ < 1
převrací se nerovnost
3  3x  5x
3 x 1  5 x
x  1 log 3  x  log 5
xlog 3  log 5   log 3
x
log 3
log 5  log 3
2 x  3 x 1
x  log 2  x  log 3  log 3
xlog 2  log 3  log 3
log 3
x
log 2  log 3
log 2  log 3 <0
převrací se nerovnost
27
 12 – substitucí a  x 81
81
a 2  12a  27  0  x 81  9  x 81  3
x
81 
4
x
4
3 x  3 2  3 x  31  x  2  x  4
10
17 LOGARITMICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
Podmínky pro logaritmus i pro jmenovatele.
Odlogaritmovat mohu pouze tehdy, pokud mají logaritmy stejný základ.
rovnice:
podmínky:
log x
1
log3 x  5
log x  log3x  5
x  3x  5
x  0  3x  5  0
x
log3x  5  0

log3x  5  log 1
5
3
x   43
x  2,5
K  
nerovnice: při 0  a  1 se u exponenciálních a logaritmických nerovnic převrací nerovnost
log 0,5  x  2   3
log 2  x  2  3
log 2  x  2  log 2 8
log 0,5  x  2   log 0,5
x6
1
8
Podmínky:
x   158
x20
x  2
Základ < 1
převrací se nerovnost
18 GONIOMETRICKÉ FUNKCE
18.1 DEFINICE NA PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU
a
a
tg  
c
b
b
b
cos  
cot g 
c
a
sin  
c
a
b

18.2 DEFINICE NA JEDNOTKOVÉ KRUŽNICI
II
I
sin 2
sin 1
2
cos 2
cos 3
3
sin 3
cos 4
4
sin 4
III
c
b
cosec 
c
a
 2  180   1
 3 180   1
 4  360   1
II. kvadrant: sin  2  sin  1
cos 1
1
sec  
IV
cotg 
cos  2   cos  1
III. kvadrant: sin  3   sin  1
cos  3   cos  1
IV. kvadrant: sin  4   sin  1
cos  4  cos 
sin      sin 
cos    cos 
lichá funkce
sudá funkce
perioda je 2

tg 
tg      tg 
cot g      cot g 
funkce lichá
funkce lichá
perioda je 
11
18.3 ZÁKLADNÍ ÚHLY
0°
30°

45°
60°
90°
sin 
0
1
2
2
2
3
2
1
cos 
1
3
2
2
2
1
2
0
tg 
0
3
3
1
cotg 
E
1
3
3
3
3
E
0
Doplňkový úhel:  '  90  
sin   cos  '
cos   sin  '
tg   cotg  '
cotg   tg  '
18.4 OBLOUKOVÁ MÍRA
1 rad je středový úhel, který přísluší oblouku jednotkové kružnice, jehož délka je 1.
1 rad = 57° 17’ 44,81’’
360°=2
18.5 GRAFY FUNKCÍ
sin x
cos x
tg x
cotg x
sin 2x
sin 2 x
sin x  3 
2 sin x
19 VZTAHY MEZI GONIOMETRICKÝMI FUNKCEMI
cos x
sin x
, cotg x 
cos x
sin x
2
2
sin x  cos x  1 , tg x  cotg x  1
Součtové vzorce: sin  x  y   sin x  cos y  cos x  sin y
cos x  y   cos x  cos y  sin x  sin y
tg x  tg y
tg  x  y  
1  tg x  tg y
 cotg x  cotg y  1
cot g  x  y  
cotg x  cotg y
tg x 
12
Dvojnásobný úhel: sin 2 x  2 sin x  cos x
cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x
2 tg x
tg 2 x 
1  tg 2 x
Poloviční úhel:
Součtové věty:
x
1  cos x
znaménko se určí

podle kvadrantu
2
2
x
1  cos x
cos  
2
2
x 1  cos x
sin x
tg 

2
sin x
1  cos x
sin x  sin y  2  sin x 2 y  cos x 2 y
sin
sin x  sin y  2  cos x 2 y  sin x 2 y
cos x  cos y  2  cos x 2 y  cos x 2 y
cos x  cos y  2  sin x 2 y  sin x 2 y
Převody přes liché násobky /2: sin 2     cos 
cos2     sin 
tg 2     cotg 
cotg2     tg 
20 GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
20.1 ZÁKLADNÍ GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
sin x  a, cos x  a
tg x  a
aR
cotg x  a a  R
a   1,1
x  R  k 
xR

x  R  k 
2

Př. rovnice
nerovnice
sin x  0,5
x1  210, x 2  330
interval se určí podle jednotkové
kružnice nebo grafu
K  k  Z  210  2k ,330  2k 
sin x  0,5
x1  210, x 2  330
K  k  Z  210  2k , 330  2k
20.2 SLOŽITĚJŠÍ GONIOMETRICKÉ ROVNICE
Pokud je v rovnici více goniometrických funkcí, převedeme je na jednu goniometrickou funkci.
Pokud odmocňujeme, musíme provést zkoušku.
sin 3 x  cos 2 x
sin 3 x  sin 90  2 x   0
3 x  90  2 x
3 x  90  2 x
2  cos
 sin
0
2
2
5 x  2
x  2
0

0
cos
sin
2
2
5 x  2
x  2 
 2  k
 k
2
2
x  2  2k
x  10  52 k
13
21 TRIGONOMETRIE
21.1 PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK
Goniometrické funkce
21.2 OBECNÝ TROJÚHELNÍK
Sinova věta: 2r 
a
b
c


sin  sin  sin 
– poměr strany a protilehlého vnitřního úhlu je
konstantní a je roven průměru kružnice opsané. Použití: známe stranu a 2 úhly nebo 2 strany a
úhel jedné z nich.
c 2  a 2  b 2  2ab  cos 
Kosinova věta: b 2  a 2  c 2  2ac  cos 
– Použití: známe 3 strany nebo 2 strany a úhel jimi
a  b  c  2bc  cos 
2
2
2
sevřený.
22 SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Samodružný bod – bod X je totožný se svým obrazem X’=X
Samodružný útvar – útvar U, jehož obrazem U’ je U
Osová souměrnost: osa souměrnosti
Středová souměrnost: střed souměrnosti
Posunutí (translace): vektor posunutí
Otočení (rotace): střed otočení, úhel otočení
Totožnost (identita)
23 PODOBNOST A STEJNOLEHLOST
23.1 PODOBNOST
Pro každé body X,Y a jejich obrazy X’,Y’ platí: X ' Y '  k XY
k>1
zvětšení
k=1
shodnost
k<1
zmenšení
V podobném trojúhelníku platí, že ve stejném poměru jsou i výšky, těžnice, střední příčky,
poloměry kružnice opsané i vepsané, …
2 trojúhelníky jsou si podobné shodují-li se ve dvou úhlech nebo v 1 úhlu a poměru stran
svírajících tento úhel.
23.2 STEJNOLEHLOST H S ;  
Pro každé X platí: X ' S    XS , kde S je střed stejnolehlosti a  je koeficient stejnolehlosti.
Přímka se zobrazí na přímku rovnoběžnou.
24 PYTHAGOROVA VĚTA, EUKLIDOVY VĚTY
Platí pro pravoúhlý trojúhelník ACB.
2
I. Euklidova věta: v c  c a  cb – obsah čtverce sestrojeného
nad výškou trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka
sestrojeného z obou úseků na přeponě.
Odvození:
CD
BD
v
c
R ACB  DAC  DCB 

 c  a
AD
CD
cb v c
14
C

vc
b

A cb
a
ca
D
B
C
b
A
a
vc
cb
D
B
ca
II. Euklidova věta: b 2  c  cb , a 2  c  c a
– obsah
čtverce sestrojeného nad odvěsnou se rovná obsahu
obdélníka sestrojeného z celé přepony a úseku
přilehlého k dané odvěsně.
Odvození:
R ACB a R ADC 
AD
AC

AC
AB

Pythagorova věta: a  b  c – součet obsahů čtverců nad odvěsnami
se rovná obsahu čtverce nad přeponou.
Odvození: sečtením Euklidových vět.
a2  b2  c2
2
2
cb b

b c
2
c  ca  c  cb  c
C
2
b
a
c
ca  cb  c
A
B
25 ROVINNÉ ÚTVARY
O  abc
b
a  va
c va
S
a
2
Heronův vzorec: S  s s  a s  b s  c 
abc
s
2
c
b
Obdélník: O  2a  b 
d a
S  ab
Rovnoběžník: O  2a  b 
c
b
d a v
S  a  va
Lichoběžník: O  a  b  c  d
c
b
d a v

a  c v
S
2
Pravidelný n-úhelník: S  n  S ABS – n-krát obsah jednoho trojúhelníka
Kruh: O  2 r
r
Trojúhelník:
S   r2
Mezikruží: S   r1   r2
2
2
Oblouk: O  r – úhel v radiánech
r1
r2
r
r2
r

2
1
r2
Úseč: S    r 2  sin  – obsah výseče mínus obsah trojúhelníka
2
2
Výseč: S 
r
26 NEROTAČNÍ TĚLESA
Hranol:
Kvádr:
Jehlan:
V  Sp v
S
V
S
V
 2S p  S pl
 abc
 2ab  bc  ac 
 13 S p  v
b
a
c
15
S  S p  S pl
Komolý jehlan:

V  13 v S p1  S p 2  S p1  S p 2

S  S p1  S p 2  S pl
27 ROTAČNÍ TĚLESA
V   r 2v
S  2 r 2  2 rv
Kužel: V  13  r 2 v
Válec:
S   r 2   rs , kde s  r 2  v 2 – délka pláště

Komolý kužel: V  13  v r1  r2  r1 r2
2
2

S   r1  r2   r1   r2 s
Koule: V  43  r 3
2
2
S  4 r 2
Kulová úseč: V   r1  2v  34   2v 
objem válce plus objem koule
3
2
v
r1  r 2  r  v 
2
r
r1
S
S  r1  2 rv – obsah podstavy plus obsah
2
r2
kulového vrchlíku
Kulová vrstva: V   r1    r2  2v  43   2v 
objem dvou válců a objem koule
2
v
2
3
2
aij …
i  1,2,3...m
j  1,2,3...n
a12
a 22
a32
am2
r
r1
S
28 MATICE A DETERMINANTY
 a11

 a 21
… 
a
 31
a
 m1
v
a13
a 23
a33
am3
a1n 

a2n 
a3n 

a mn 
Společný název pro řádek a sloupec je řada.
Typ matice: Obdélníková, čtvercová (m=n), sloupcová (m,1) a řádková (1,n), diagonální (samé
nuly, jen na hlavní diagonále ne), jednotková (samé nuly, na diagonále jedničky)
Hlavní diagonála: z LH do PD rohu, vedlejší diagonála: z PH do LD rohu
Transponovaná matice: zaměněné sloupce a řádky
Symetrická matice: matice je stejná jako transponovaná
Hodnost matice: počet lineárně nezávislých řádků v matici (maximálně rovna menšímu z m a n)
28.1 OPERACE S MATICEMI
Hodnost matice se nemění, když
1) matici transponujeme
2) nějakou řadu vynásobíme nenulovým číslem
3) k některé řadě přičteme lineární kombinaci (násobek) jiné řady s ní rovnoběžné
4) v matici vynecháme nebo přidáme řadu, která je lineární kombinací jiné řady s ní
rovnoběžné
Matice téhož typu se stejnou hodností jsou ekvivalentní A  B
16
Hodnost matice:
4 11   1  12
 7
 

 3  8 5    3  8
 1  12 21  7
4
 

1 2  4
  
Násobení matice: 4  
 3 4  12
21  1  12
21   1  12 21

 
 
5    0  44
68    0  11 17  h=2
11   0 88  136   0
0
0 
8

16 
1 2  5 6  6 8 
  
  

 3 4   7 8  10 12 
Součet matic: 
28.2 DETERMINANT
a11
a 21
a12
a 22
a11
Determinant 3. stupně: a 21
a12
a 22
a31
a32
Determinant 2. stupně:
–
–
a11 a 22  a12 a 21
a13 a11
a 23 a 21
a33 a31
–
+
a12
a 22
a32
+
 a11 a 22 a33  a12 a 23 a31  a13 a 21 a32 
 a13 a 22 a31  a11 a 23 a32  a12 a 21 a33
+
29 LINEÁRNÍ ALGEBRA
soustava m rovnic o n neznámých
a11 x1  a12 x2  ...a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  ...a2 n xn  b2
h je hodnost matice aij 
hr je hodnost matice aij bi 

am1 x1  am 2 x2  ...amn xn  bm
pokud bi  0
i  1,2,...m je soustava homogenní, jinak je nehomogenní
podmínka řešitelnosti
1) h  hr – nemá řešení
2) h  hr
 h  n – jedno řešení
 h  n – nekonečně mnoho řešení ( n  h neznámých volíme a ostatní dosadíme – např.
x 4  t1 , x3  t 2 , x 2  t1  t 2 , x1  2t 2 )
Příklad:
 x1
2 x1
x1
 7 x2
 x2
x1  x2
 x2
 x3  1
1
3 x3  2
 3 x3
 4 x3
30 x3
  1 0 1  1  1  1 3 2 

 

 2 7 0 1    0 1 4 1 
 1  1 3 2   0 0 30 6 

 

h  hr  n
x1  1 15
2
 1  x2   15
x3  15
6
Cramerovo pravidlo: m=n, pokud determinant A  0 – 1 řešení x k 
Ak
A
, kde Ak je matice, ve
které jsme k. sloupec nahradil sloupcem pravé strany.
17
Příklad:
 x1
2 x1
x1
 x3  1
1
3 x3  2
 7 x2
 x2
 1 0 1


A   2 7 0
 1 1 3


 1 0 1


7 0  A1  36
A1   1
 2 1 3


 1 1 1


A2   2 1 0  A2  6
1
2 3 

  1 0  1


1  A3  6
A3   2 7
 1 1 2 


x1 
x2 
x3 
A1
A
A2
A
A3
A
A  30

1
 36
1
 30
5

6
1

 30
5

6 1

 30 5
30 VEKTORY
Vektor je množina všech souhlasně orientovaných úseček, které mají stejnou velikost.
Vektory rovnoběžné jsou kolineární. (souhlasně, nesouhlasně kolineární)
AB   X B  X A , YB  Y A 
AB 
 X B  X A 2  YB  YA 2
2
u  u1  u 2
2
Vektor opačný:  u  ( u1 ,u 2 )
Součet vektorů: u  v  u1  v1 , u 2  v 2 
Násobení vektoru skalárem: k  u  k  u1 , k  u 2 
Dva vektory jsou lineárně závislé, jestliže jeden z nich je lineárním násobkem druhého.
Tři vektory jsou lineárně závislé, je-li alespoň jeden z nich lineární kombinací ostatních dvou.
Tři vektory jsou lineárně nezávislé, pokud ani jeden není lineární kombinací zbývajících dvou.
Skalární součin: u  v  u  v  cos   u1v1  u 2 v 2 – výsledkem je skalár
Úhel dvou vektorů: cos  
uv
uv
Rovnoběžné vektory: u v  u  k  v ,
Vektorový součin:
kolmé vektory: u v  u  v  0
u  v  u  v  sin 
– velikost. Směr: kolmo k oběma vektorům,
pravotočivá báze (prsty – u,v, palec ukazuje směr).
u  v   v  u – opačná orientace
k u v  k u  v
   
w  u  v   w  u   w  v 
u  u  0 – nulový vektor
31 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
Přímka:
18

parametrické vyjádření:
x  X 1  t  u1
y  Y1  t  u 2
pro přímku – t  R
pro úsečku – t  0,1
pro polopřímku – t  0,  

obecná rovnice přímky:
ax  by  c  0
n  a, b  – normálový (kolmý) vektor
s   b, a  – směrový vektor
p O x  by  c  0
p O y  ax  c  0

úsekový tvar rovnice přímky:
x y
 1
p q
c
p
a
c
q
b

q
0
p
směrový tvar:
y  kx  q
a
k    tg 
b
Polorovina: ax  by  c  0

0
q
32 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V PROSTORU
Přímka definována pouze parametricky.
Rovina:
 parametrická rovnice:
x  X 1  t  u1  s  v1
y  Y1  t  u 2  s  v 2
z  Z 1  t  u 3  s  v3
kde A  X 1 , Y1 , Z 1  je bod roviny a u,v jsou nekolineární vektory vycházející z bodu A a

náležející do roviny.
obecná rovnice roviny:
ax  by  cz  d  0
získáme ji:
1) pomocí dvou vektorů náležejících rovině – přes normálový vektor
i
j
k
n  a, b, c   u  v  u1
u2
u 3 – normálový vektor
v1
v2
v3
2) z parametrické rovnice – vyloučením t, s
3) pomocí 3 bodů náležejících do roviny – dosazením bodů za x, y, z a dopočítáním
a, b, c, d, přičemž za jednu neznámou volíme
zvláštní případy rovnice:
19
 O x  a  0, b  0, c  0
 O y  a  0, b  0, c  0
 O z  a  0, b  0, c  0
 O x   O y  a  0, b  0, c  0
33 POLOHOVÉ A METRICKÉ VZTAHY ÚTVARŮ V ROVINĚ
Vzájemná poloha dvou přímek:
rovnoběžné
různé – žádný společný bod
shodné – nekonečně mnoho společných bodů
různoběžné – jeden společný bod
Odchylka dvou přímek:
cos  
tg  
Vzdálenost bodu od přímky:
uv
uv

u1v1  u 2 v 2
2
2
2
u1  u 2  v1  v 2
2
k 2  k1
1  k1 k 2
aX 0  bY0  c
Ap 
a2  b2
A  X 0 , Y0 
34 POLOHOVÉ A METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU
Vzájemná poloha dvou přímek:
rovnoběžné
různé – žádný společný bod
shodné – nekonečně mnoho společných bodů
různoběžné – jeden společný bod
mimoběžné – žádný společný bod, neleží v jedné rovině
Vzájemná poloha dvou rovin:
rovnoběžné
různé – žádný společný bod
shodné – nekonečně mnoho společných bodů
různoběžné – jedna společná přímka – průsečnice
Příklad:  : 2 x  y  z  1  0
 : x  y  2z  3  0
p: 3 x  z  4  0
xt
z  4  3 x  4  3t
y  3  x  2 z  5  5t
Odchylka dvou přímek: stejné jako v rovině
Odchylka přímky od roviny: sin  
Odchylka dvou rovin: cos  
20
sp  n 
sp  n 
n   n
n   n
Jednu neznámou nahradíme parametrem
Vzdálenost bodu a roviny: v 
aX 0  bY0  cZ 0  d
A  X 0 , Y0 , Z 0 
a2  b2  c2
Vzdálenost bodu od přímky: vytvoříme rovinu kolmou k přímce tak, aby procházela bodem A a
spočítáme vzdálenost mezi A a průsečíkem přímky a roviny. s p  n  , v  A   p
Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek: v p, q   v A, q ; A  p
Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné: v p,    v A,  ; A  p
Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin: v  ,    v A,  ; A  
35 ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A ELIPSY
X
y
y’
n
r
S=0’
0
Transformační rovnice:
x'  x  m
y'  y  n
m x
x’
35.1 KRUŽNICE
Množina všech bodů, které mají od středu (S) stejnou
vzdálenost r.
S  m, n
Středová rovnice:
X
r
S
x  m 2   y  n 2  r 2
Vnitřek kružnice: x 2  y 2  r 2
Obecná rovnice:
x 2  y 2  ax  by  c  0
a  2m, b  2n, c  m 2  n 2  r 2
35.2 ELIPSA
Množina bodů, které mají od dvou daných pevných bodů
(ohnisek) stálý součet vzdáleností, který se rovná 2a
( F1 X  F2 X  2a ).
A,B – hlavní vrcholy
C,D – vedlejší vrcholy
S – střed
F1, F2 – ohniska
a  AS  CF – hlavní
poloosa
b  CS  DS
X
F1
S
F2
– vedlejší
poloosa (vždy menší než hlavní
poloosa)
2b  CD – vedlejší osa
SF1  SF2  e
–
excentricita
2a  AB – hlavní osa
a2  e2  b2
Osová rovnice elipsy: Pro 2a O x :
 x  m 2   y  n 2
a
1
a2
b2
 x  m 2   y  n 2  1
Pro 2a O y :
b2
a2
Obecná rovnice elipsy: Ax 2  By 2  Cx  Dy  E  0
A
F1 e
C
b
S
F2
a
B
D
21
36 ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od pevného bodu
(ohniska) a dané přímky (řídící přímka), která daným bodem
neprochází.
F – ohnisko
d – řídící přímka
V – vrchol
VF – osa paraboly
p
p – parametr: 2  DV  FV
d
D
 y  n 2  2 p  x  m 
 y  n 2  2 px  m 
 x  m 2  2 p  y  n 
 x  m  2  2 p  y  n 
Vrcholová rovnice: O  O x , F  O 
O  Ox , F  O 
O  Oy , F  O 
O  Oy , F  O 
V
F
inverzní kvadratická fce
graf kvadratické funkce
graf záporné kvadr. fce
37 ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY
Množina všech bodů, které mají tu vlastnost, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od 2
daných pevných bodu (ohnisek) je konstantní ( XF1  XF2  2a ).
A,B – vrcholy paraboly
AB  2a – hlavní osa ( AS  a )
b – vedlejší poloosa
F1,F2 – ohniska
e – excentricita  SF , e 2  a 2  b 2
X
nemusí platit a>b
x  m
2
Pro 2a  O x :
 y  n
2
1
a
b2
 y  n  2   x  m 2  1
Pro 2a  O y :
a2
b2
Obecná rovnice: Ax 2  By 2  Cx  Dy  E  0
Osové rovnice:
2

F1
A
S
e
B
Rovnice asymptot:
y   kx  q
každá hyperbola má 2 asymptoty
k  tg 
pro 2a  O x :
Rovnoosá hyperbola: a=b
Větve leží v I. a III. kvadrantu:
Větve leží v II. a IV. kvadrantu:
a
b
, pro 2a  O y :
a
b
xy  12 a 2 – graf lomené funkce
xy   12 a 2 – graf záporné lomené fce
38 VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY
Počet průsečíků kuželosečky s přímkou:
kružnice a elipsa:
2 body
sečna
1 bod
tečna
0 bodů
vnější přímka
parabola:
2 body
sečna
1 bod
rovnoběžná s osou
protíná v 1 bodě
22
asymptoty
F2
protíná osu
tečna
vnější přímka
0 bodů
hyperbola:
2 body
sečna
1 bod
rovnoběžná s asymptotou protíná v 1 bodě
protíná asymptotu
tečna
0 bodů
vnější přímka
38.1 TEČNA KUŽELOSEČKY V JEJÍM BODĚ
Bod dotyku: X 1 , Y1 
Kružnice: x  m  X 1  m    y  n Y1  n   r 2
x  m  X 1  m   y  n Y1  n 

1
a2
b2
Parabola:  y  n Y1  n   p  x  m   p  X 1  m 
x  m  X 1  m   y  n Y1  n 
Hyperbola:

1
a2
b2
Elipsa:
39 VARIACE A PERMUTACE
n! 1  2  ...n  1  n – faktoriál
Kombinatorické pravidlo součinu: počet všech uspořádaných dvojic, u nichž pro volbu prvního
prvku máme n1 možností a druhého n2 možností, je roven součinu n1n2.
n!
je k-tice vytvořená z n prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše
n  k !
jednou. Záleží na pořadí ( '123'  '321' ).
Permutace: Pn   n! je zvláštní případ variace, kdy se k=n.
Variace s opakováním: V ' k n   n k je k-tice vytvořená z n prvků tak, že každý se v ní může
Variace: Vk n  
vyskytovat nejvýše k-krát.
Permutace s opakováním: P ' n1 ,n2 ,...n p n  
n!
n1!n 2 !...n p !
, kde n1 je počet prvků 1. druhu, n2 2.
druhu a … np p. druhu, přičemž platí, že n1+n2+…np=n. Všechny prvky téhož druhu jsou stejné
a žádné 2 prvky různých druhů nejsou stejné.
40 KOMBINACE
Kombinace: C k n  
n!
je k-tice vytvořená z n prvků tak, že každý z prvků se v ní
n  k !k!
vyskytuje nejvýše jednou. Nezáleží na pořadí ( '123' '321' ). Vztah mezi kombinacemi a
V n 
variacemi: C k n   k
k!
n
Kombinační číslo:    C k n 
k 
 n  k  1 n  k  1!
 
je k-tice vytvořená z n prvků
Kombinace s opakováním: C ' k n   
 k
 n  1!k!
tak, že každý prvek se v ní může opakovat maximálně k-krát.
23
40.1 VLASTNOSTI KOMBINAČNÍCH ČÍSEL
n n
      1
0 n
n
   n
1
n  n 
   

k  n  k 
 n   n   n  1
   
  

 k   k  1  k  1
40.2 PASCALŮV TROJÚHELNÍK
0
 
0
n0
1
 
0
n 1
n2
n3
n4
 2
 
0
1
1
 
1
 2
 
1
1 1
 2
 
 2
1 2 1
 3   3  3   3
 0   1   2   3 
       
 4  4  4  4  4
         
 0 1  2  3  4
1 3 3 1
1 4 6 4 1
40.3 BINOMICKÁ VĚTA
n
n
n
n
n
  a n   a n 1b1   a n  2 b 2  ...   a n  k b k  ...   b n
0
1
 2
k 
n
 n  n k 1 k 1
  a
b
k-tý člen binomického rozvoje: c k  
 k  1
a  b n
Pro výpočet mnohočlenu n-tého stupně.
Příklad: V mnohočlenu

1
3x
 x3

11
vypočítej koeficient u x 25 .
 11 
  3x 12 k    x 3k 1
c  x 25  
 k  1
 11  k 12 k 12
3 k 3
  3
c  x 25  
x
  1
 x 3 k 3
 k  1
x 25  x 4 k 15  k  10
11
27
c     3  2   1   559
9
41 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI
Náhodný pokus: ovlivněn náhodnými činiteli.
Náhodný jev: výsledek náhodného pokusu, o kterém můžeme rozhodnout zda je či není pravdivý.
Deterministický pokus: při dodržování daných podmínek vede vždy ke stejnému výsledku.
Pravděpodobnost náhodného jevu: P  A 
mA
n
, kde mA je počet výsledků příznivých jevu A
a n je počet všech možných výsledků daného pokusu.
24
nA
n
Statistická definice pravděpodobnosti: P A 
, kde nA je absolutní četnost a n je celkový
počet (z n provedených pokusů je nA příznivých).
Pravděpodobnost sjednocení jevů: jevy musejí být neslučitelné A  B  0
P  A  B   P  A  P B 
A  A'  0  P A  A'  1  P A'  1  P A
Pravděpodobnost
průniku
jevů:
Pokud
P  A  B  C   P A  P B   PC 
jsou
jevy
A,
B,
C
nezávislé,
platí
Binomická rozdělení: mějme n nezávislých pokusů, z nichž každý skončí buď zdarem
s pravděpodobností p nebo nezdarem s pravděpodobností q, potom pravděpodobnost, že k jevů
n
k 
skončí zdárně vypočítáme: P Ak     p k q n  k .
42 ZÁKLADY STATISTIKY
Jednotka: každá musí být přesně určena místně, časově, věcně
Soubor: tvořen všemi jednotkami
Rozsah souboru: počet všech jednotek
Znak: vlastnosti, které u dané jednotky sledujeme (kvalitativní – odpovídáme slovně,
kvantitativní – odpovídáme číslem)
Absolutní četnost: počet všech jednotek v souboru, u nichž byl daný jev zjištěn
Relativní četnost: P A 
nA
n
42.1 CHARAKTERISTIKY POLOHY
Aritmetický průměr: x a 
x
i
n
x n
n
i
Vážený aritmetický průměr: x a 
i
i
Modus x̂ : je střední hodnota, která odpovídá hodnotě údaje nejčastěji se vyskytujícího v daném
souboru.
Medián ~
x : hodnota prostředního členu seřazeného statistického souboru.
42.2 CHARAKTERISTIKY VARIABILITY
Průměrná odchylka: průměrná odchylka od průměru: d 
Vážená průměrná odchylka: d 
Rozptyl: var x 
 x
i
 x
 x  x n
n
i
x
i
x
n
i
i
2
n
 x  x 
Vážený rozptyl: var x 
n
i
2
 ni
i
Směrodatná odchylka:  
var x
25
43 ARITMETICKÁ POSLOUPNOST
43.1 POSLOUPNOST
Posloupnost je zobrazení všech přirozených čísel do množiny všech reálných čísel (nekonečná
posloupnost reálných čísel) a n n 1  a1 , a 2 ,...a n ,... .
Posloupnost je zobrazení prvních n přirozených čísel do R (konečná posloupnost R)
a n kn1  a1 , a 2 ,...a k .

Posloupnost rostoucí: r  s  a r  a s
Posloupnost klesající: r  s  a r  a s
r, s  N
r, s  N
43.2 ARITMETICKÁ POSLOUPNOST
a n 1  a n  d , d diferenciál
an 
a n 1  a n 1
2
– jakýkoliv člen posloupnosti je aritmetickým průměrem členu předcházejícího
a následujícího
N-tý člen posloupnosti: a n  a1  n  1d
Součet prvních n členů: s n 
na1  a n 
2
44 GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST
a n 1  a n  q
q0
a n  a n 1  a n 1
N-tý člen posloupnosti: a n  a1  q n 1
Součet prvních n členů: s n  a1 
qn 1
q 1
q 1
44.1 VYUŽITÍ POSLOUPNOSTI
Úročitel: r  1  p , p přírůstek (%)
Pravidelný růst: a n  ar n , a počátek
r n 1
Růst s příspěvky: a n  ar  b 
, b příspěvky
r 1
n
Jednoduché úrokování (vkládáme po měsíci): a n  n  a  a  p  121 
n1  n 
2
r n 1
Složité úrokování (roční): a n  a 
r 1
45 ŘADY
Nekonečná geometrická řada: geometrická posloupnost a n n 1

Součet geometrické řady: lim s n 
n 
jinak je divergentní.
26
a1
1 q
q  1,
existuje-li tato limita je konvergentní,
46 LIMITA, SPOJITOST A DERIVACE FUNKCE
46.1 LIMITA

Limita posloupnosti: Posloupnost a n n 1 má konečnou (vlastní) limitu a právě tehdy, když ke
každému libovolně zvolenému kladnému  existuje číslo n0 takové, že pro každé n>n0 platí
a n  a   . Zápis: lim a n  a
a  R . Je-li konečné číslo reálné, tedy jedná se o vlastní
n 
limitu, je posloupnost konvergentní. Nemá-li konečnou limitu je divergentní.
Limita funkce: Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu L
existuje okolí bodu a takové x  U a   a; f  x   U L  . Zápis: lim f  x   L
xa
x
x
Limita zleva: lim  1 , zprava: lim  1
x 0 x
x 0 x
x
x
x
Nevlastní limita: lim  1  lim  1  lim  1
x 0 x
x 0 x
x 0 x
1
1
Limita v nevlastním bodě: lim  0, lim  0
x   x
x   x
Věty o limitách: lima n  bn   lim a n  lim bn
n 
n 
n 
lima n  bn   lim a n  lim bn
n 
n 
a
lim n
n  b
 n
n 
an
 lim
  n
bn
 lim
n 
limkonst.  a n   konst.  lim a n
n 
n 
lim  0
n
1
n
lim f  x   f a 
xa
sin kx 
1
x 0
kx
ex 1
lim
1
x 0
x
0 
Neurčité výroky: , ,0  ,0 0 ,  0 ,   
0 
lim
46.2 SPOJITOST FUNKCE
Okolí bodu: a   , a   

Levé okolí bodu: a   , a
  0 nebo x  a   , zápis U a,  
 0
Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí f(a) existuje okolí bodu a
takové, že x  U a ; f  x   U  f a  .
Funkce f je spojitá v intervalu (a,b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu.
Funkce f je spojitá na <a,b>, je-li spojitá na (a,b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá
zleva.
Funkce f je spojitá v bodě a, má-li v tomto bodě limitu.
f
46.3 DERIVACE FUNKCE
f  x0  x   f  x0 
f x   f x0 
y
 lim
 lim
x 0 x
x 0
x  x0
x  x0
x
dy
y ' x0  
dx
f '  x 0   lim
t
y
x
27
y‘ … 1. derivace
y‘‘ … 2. derivace
y(6) … 6. derivace
Jestliže má funkce f v bodě x0 derivaci je v bodě x0 spojitá. Obrácená věta neplatí
Funkce f má derivaci v <a,b>, má-li derivaci v každém bodě (a,b), v bodě a má derivaci zprava a
v bodě b zleva.
Je-li funkce f definována v nějakém okolí bodu x0 a existuje-li lim
x  x0
f x   f x0 
, má funkce f
x  x0
v bodě x0 derivaci zleva. (Obdobně platí pro derivaci zprava).
c'  0
Derivace:
x '  n  x
n
n 1
goniometrické fce: sin x '  cos x
cos x '   sin x
1
x  R  2  k 
cos 2 x
cotg x '   21
x  R  k 
sin x
arcsin x '  1 2
1 x
arccos x '   1 2
1 x
arctg x '  1 2
1 x
arccotg x '   1 2
1 x
c  f x '  c  f ' x 
u  v '  u 'v'
uvz '  u ' vz  uv' z  uvz '
tg x ' 
s konstantou:
sčítání:
násobení:
l
dělení:
složená fce:
u ' v  uv'
u
  
v2
v
 f g x '  f ' g x   g ' x 
 
a '  a
exponenciální fce: e x '  e x
 ln a
logaritmické fce: ln x ' 
x0
log a x '  xln1 a x  0, a  0, a  1
x
x
1
x
implicitní funkce:
y  x sin x
ln y  sin x  ln x
1
y
vyšší derivace:
28
y '  cos x  ln x  sin x  1x
y '  cos x  ln x  sin x  1x   y
y '  cos x  ln x  sin x  1x   x sin x
y ' '   y ''
Derivujeme tak, že členy obsahující x
derivujeme normálně a členy
obsahující y derivujeme podle y a
násobíme y‘.
47 GEOMETRICKÝ A FYZIKÁLNÍ VÝZNAM DERIVACE
Fyzikální: derivace dráhy podle času je okamžitá rychlost, 2. derivace dráhy podle času je
okamžité zrychlení
Geometrický: 1. derivace funkce v bodě dotyku je směrnice tečny y '  x 0   k t
y  y 0  k  x  x0 
k t k n  1
48 VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
48.1 MONOTÓNNOST FUNKCE
Rostoucí: jestliže je v každém bodě intervalu první derivace kladná ( f  x '  0 )
Klesající: je-li v každém bodě 1.derivace záporná ( f  x ' 0 )
y  x 3  3x
y'  3x 2  3
rostoucí:
3x 2  3  0   ,1, 1, 
klesající:
3x 2  3  0   1,1
Příklad:
48.2 EXTRÉMY FUNKCE
Funkce má v x0 maximum právě tehdy, existuje-li okolí bodu x0 takové, že pro každé x náležející
do tohoto okolí platí, že funkční hodnota je menší nebo rovna funkční hodnotě funkce v x0.
Obdobně platí i pro minimum funkce.
Stacionární body: f  x '  0 – v těchto bodech má funkce lokální minimum (pokud je
f ' ' x   0 ) nebo maximum ( f ' '  x   0 ). Pokud je druhá derivace ve stacionárním bodě rovna
nule, nejedná se o extrém.
Inflexní bod: f  x ' '  0 – nelze udělat tečnu, funkce konkávní přechází na konvexní.
konkávní funkce: f  x ' '  0
konvexní funkce: f  x ' '  0
– celý graf leží pod tečnou
– celý graf leží nad tečnou
48.3 VYŠETŘENÍ PRŮBĚHU FUNKCE
1) Určit definiční obor funkce
funkce sudá, lichá, periodická
2) Body, v nichž není definována, ale má v nich limitu zprava a zleva
Limita v nevlastních bodech
3) Průsečíky s osami x,y
Znaménka funkčních hodnot
4) Výpočet I. derivace
Nulové body I. derivace – stacionární body
Body, v nichž není derivace definována
5) Intervaly monotónnosti
6) Výpočet II. derivace
Nulové body II. derivace – inflexní body
Body, v nichž není derivace definována
7) Lokální extrémy
Intervaly konvexnosti a konkávnosti
8) Asymptoty
y  ax  b
f x 
x
b  lim f  x   ax 
a  k as  lim
x 
x 
29
9) Obor hodnot funkce
10) Graf funkce
Příklad: f : y  x 3  6 x 2  9 x
1) D=R
f  x    x 3  6 x 2  9 x  x 3  6 x 2  9 x  – ani sudá, ani lichá
 6 9 
2) limx 3  6 x 2  9 x   lim x 3 1   2   
x 
x 
 x x 
 6 9 
lim x 3  6 x 2  9 x   lim x 3 1   2   
x  
x  
 x x 
3) průsečík s x: y  0
x3  6x 2  9x  0
x0 x3
0,0, 3,0
průsečík s y: x  0
y0
0,0
y '  3 x 2  12 x  9
stacionární body: y '  0  x1  1, x 2  3
5) rostoucí: y '  0   ,1, 3, 
6) y ' '  6 x  12
inflexní body: y ' '  0  x  2
7) y ' ' 1  6 – lokální maximum [1,4]
4)
klesající: y '  0  1,3
y ' '3   6 – lokální minimum [3,0]
konvexní: y ' '  0  2, 
8) k as  lim b  lim
x 
x 
konkávní: y ' '  0   ,2 
f x 
x3  6x 2  9x
 lim
 lim x 2  
x 
x 
x
x
9) H=R
10)
48.4 GLOBÁLNÍ EXTRÉMY
Příklad: Do koule o poloměru R vepište válec největšího objemu.
V   r 2v
r 2  v 2  4R 2  r 2  4R 2  v 2
V   4 R 2  v 2 v
V '  4R 2  3v 2
4R 2  3v 2  0  v  43  R
r 2  4 R 2  v 2  r  4 R 2  43 R 2  R
v
30

R
R
8
3
V ' '  6v
V ' ' R 43  R 48  0  v tomto bodě je maximum funkce

r
49 PRIMITIVNÍ FUNKCE, URČITÝ INTEGRÁL
49.1 DIFERENCIÁL FUNKCE
dx – diferenciál argumentu
dy – diferenciál funkce
f
y dy

f ' x 0   lim
x 0 x
dx
dy  f '  x0   dx
t
y
x
Výpočet absolutních chyb: dy
dy
y
Výpočet relativních chyb:
Příklad: Válec má průměr i výšku 80  0,5 cm. Jaká bude relativní chyba při výpočtu objemu?
dD  0,5
D=80,
V    D2   D 
2
 D3
4
dV  4 3D  dD
dV 3dD 1,5


 1,87%
80
V
D

2
49.2 NEURČITÝ INTEGRÁL
Primitivní funkce: F '  x   f  x  , F(x) je funkce primitivní k f(x)
Neurčitý integrál:
 f x   dx  F x   C
,
kde
 f x   dx
je neurčitý integrál, f  x   dx je
integrant a F  x   C je primitivní funkce. Integrál je opak derivace.
49.3 ZÁKLADNÍ INTEGRÁLY
 0  dx  C
x n 1
 x  dx  n  1  C
 1x  dx  ln x  C
n
x2
C
2
 c  dx  c   dx  cx  C
 x  dx 
 dx  x  C
 e  dx  e
x
x
C
ax
C
ln a
 sin x  dx   cos x  C
x
 a  dx 
 cos x  dx  sin x  C
1
 cos x  dx  tg x  C
2
1
 sin
2
x
 dx   cotg x  C
31

1
 dx  arcsin x  C   arccos x  C
1 x2
1
 1  x 2  dx  arctg x  C   arccotg x  C
  f x   g x  dx   f x   dx   g x   dx C
 c  f x   dx  c   f x   dx
49.4 INTEGRAČNÍ METODY
Substituční metody:
 f ax  b   dx   f t   dx 
1
a
1
a
 F ax  b   C
t  ax  b
dt  t 'dx  a  dx  dx 

dt
a
f ' x 
 dx   1t  dt  ln t  C  ln f  x   C
f x 
t  f x 
dt  f '  x   dx
 f g x  g ' x   dx   f t   dt  F g x   C
t  g x 
dt  g '  x   dx
Metoda per partes: (po částech)
uv '  u ' v  uv'
 uv 'dx   u ' v  dx   uv'dx
uv   u ' v  dx   uv'dx
 u ' v  dx  uv   uv'dx
Příklad:
u '  cos x u  sin x
 x  sin x   sin x  1  dx 
vx
v'  1
 x  cos x  dx 
 x  sin x  cos x  C
Příklad:
u'  1
 ln x  dx   1  ln x  dx  v  ln x
ux
v' 
1
x
 x  ln x   x  1x  dx 
 x  ln x  x  C
Příklad:
e

x
 sin x  dx 
u'  e x
x
u  ex
v  sin x v'  cos x
u  ex
v  cos x v'   sin x
e
 e x  sin x   e x  cos x  dx 
 e x  sin x  e x  cos x   e x  sin x  dx
 sin x  dx  e x  sin x  e x  cos x   e x  sin x  dx
x
 e  sin x  dx 
32
u'  e x
e x  sin x  e x  cos x
C
2
49.5 VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU
b
 f x  dx  F x 
 F b   F a 
b
a
a
Funkce f(x) musí být v intervalu <a,b> spojitá.
b
c
b
a
a
c
c  a, b ; a  c  b   f  x   dx   f  x   dx   f  x   dx
b
a
a
b
 f x  dx   f x  dx
Při substituci musíme přepočítat meze pro t:

t  sin x
t1  sin 6 
1
t 3 
7
Příklad:  sin x  cos x  dx 
t
dt








dt  cos x  dx t 2  sin 2  1 1

 3  1 24
2
2
1
1
2
2
6
2
2
Při metodě per partes:

 x  sin x  dx 
Příklad:
0
u '  sin x u   cos x
vx
v'  1

  x  cos x 0   cos x  dx 

0
  x  cos x  sin x0  

50 UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU K VÝPOČTU OBSAHŮ ROVINNÝCH
OBRAZCŮ A OBJEMŮ ROTAČNÍCH TĚLES
50.1 OBSAH OBRAZCE
y
f(x)
y
a
y
b
f(x)
x
b x
a
f(x)
b
S   f  x   dx
a
c
d
b x
b
c
d
b
a
a
c
d
S    f x   dx S   f  x   dx   f  x   dx   f  x   dx
a
Příklad: Vypočti obsah obrazce vymezeného křivkami: y  sin x, y  0, x  0, x  2

2
0

S   sin x   sin x   cos x 0   cos x   4

Pro
y f(x)
obrazce
vymezeného
dvěma
křivkami
platí
vztah:
b
S    f  x   g  x   dx , tento vzorec platí i v případě, že část plochy
g(x)
a
plochu
2
a
leží pod osou x.
b
x
Příklad: f : y  2  x 2 , g : y  x
2  x 2  x  x1  2, x 2  1
1
S
 2  x
2

 x  dx  4,5
2
33
Příklad: f : y 2  4 x, p : 2 x  y  4  0
1) Derivujeme podle x
f : y  2 x , p : y  2 x  4
Průsečíky: y 2  4 x  4 x 2  16 x  16  4 x  x  1  x  4
1
4
1


1
S  2  2 x 2  dx   2 x 2  2 x  4  dx  9
0
1
2) Derivujeme podle y
y2
y
f :x 
, p:x  2
4
2
2
y
y
 2   y  2  y  4
Průsečíky: x  x 
4
2
4
2

y y 
  dy  9
S    2  
2 4 
 2
y
50.2 OBJEMY ROTAČNÍCH TĚLES
Pro tělesa rotovaná kolem osy x: V  
b
b
 f x   dx    y
2
a
Pro tělesa rotovaná kolem osy y: V  
a
2
x
 dx
a
a
b

f
b
2
 y   dy    x 2  dy
a
a
r

x3 
v3
V    r  x  dx   r 2 x    rv 2  
3  r v
3

r v
3
2
Vzorec pro objem kulové úseče: V   r1  2v  43   2v  ,

2
2

r1  r 2  r  v  . Po dosazení a úpravách:
2
kde
V  rv 2  
y
a
kruh: y 2  x 2  r 2  y 
r
0
r 2  x2 ,
y' 
b
1
 2x


2 r 2  x2
r
r
x
r  x2
2
r
1
1
r2
x2



 dx  4r  
 dx  4  
 dx 
4
dx
2
2
2
2

x 2
r x
r x
r 2  x2
0
0
0 1  
r
1
t  rx
t1  1
1
1
 4r  
 dx  4r  arcsin t 0  2r

1
2
dt  r  dx t 2  0
0 1 t
1999 Petr Řezka
[email protected]
Nekomerční využití pro studijní potřeby povoleno v plném rozsahu.
34
r
f
a
Příklad: Vypočti obvod kruhu o poloměru r.
s  4  1
v
x
2
f
x
y
v
3
1   f '  x   dx
b
r1
r
r-v
3
50.3 DÉLKA OBLOUKU ROVINNÉ KŘIVKY
s
y
b
f
Příklad: Vypočti objem kulové úseče o výšce v, která je částí koule o poloměru r.
Kružnice: x 2  y 2  r 2  y 2  r 2  x 2
r
b
x