4.3.08 Vzorce pro součet goniometrických funkcí

4.3.8
Vzorce pro součet goniometrických funkcí
Předpoklady: 4306
Vzorce pro součet goniometrických funkcí:
x+ y
x− y
• sin x + sin y = 2sin
⋅ cos
2
2
x+ y
x− y
• sin x − sin y = 2 cos
⋅ sin
2
2
x+ y
x− y
• cos x + cos y = 2 cos
⋅ cos
2
2
x+ y
x− y
• cos x − cos y = −2 sin
⋅ sin
2
2
Na první pohled jsou vzorce k ničemu, protože na pravá strana vzorců je složitější než levá.
Při řešení rovnic však mohou být velmi užitečné, protože převádějí součet na součin.
Př. 1:
Uprav na součin výrazy.
a) sin 2 x + sin 4 y
b) cos 5a + cos 3a
c) sin 3x − sin ( x + π )
π
π


d) cos  x +  − cos  3 x − 
2
2


2x + 4x
2x − 4x
⋅ cos
= 2sin 3 x ⋅ cos ( − x ) = 2sin 3 x ⋅ cos x
2
2
5a + 3a
5a − 3a
8a
2a
b) cos 5a + cos 3a = 2 cos
⋅ cos
= 2 cos ⋅ cos
= 2 cos 4a ⋅ cos a
2
2
2
2
3x + x + π
3x − x − π
4x + π
2x − π
sin 3 x − sin ( x + π ) = 2 cos
⋅ sin
= 2 cos
⋅ sin
=
2
2
2
2
c)
π
π


= 2 cos  2 x +  ⋅ sin  x − 
2
2


π
π
π
π


x + + 3x − 
x + − 3x + 


π
π


2
2 ⋅ sin
2
2 =
cos  x +  − cos  3 x −  = −2 sin 



2
2
2
2






d)




a) sin 2 x + sin 4 y = 2 sin

π 
π
 4x 
 π − 2x 


−2sin   ⋅ sin 
 = −2sin 2 x ⋅  − sin  x −   = 2 sin 2 x ⋅ sin  x − 
2 
2
 2 
 2 



Př. 2:
Urči definiční obor výrazu
1 − cos x
a pak jej zjednoduš využitím vzorců pro součet
1 + cos x
goniometrických funkcí.
Nesmíme dělit nulou ⇒ 1 + cos x ≠ 0 ⇒ cos x ≠ −1 ⇒ x ≠ π + k ⋅ 2π
1
⇒ x ∈ R − ∪ {π + k ⋅ 2π } .
k ∈Z
Problém: Vzorce pro součet goniometrických funkcí můžeme použít pouze v případě, že
čitatel (jmenovatel) zlomku bude obsahovat součet (rozdíl) dvou stejných goniometrických
funkcí ⇒ místo 1 musí zlomky obsahovat hodnoty funkce cos x ⇒ použijeme 1 = cos 0 .
0+ x
0 − x −2 ⋅ sin x ⋅ sin  − x 
−2 ⋅ sin
⋅ sin


1 − cos x cos 0 − cos x
2
 2
2
2 =
=
=
x
1 + cos x cos 0 + cos x 2 ⋅ cos 0 + x ⋅ cos 0 − x
 x
2 ⋅ cos ⋅ cos  − 
2
2
2
 2
x
x
 x
 x
Použijeme: sin  −  = − sin a cos  −  = cos .
2
2
 2
 2
x
x
x
2 ⋅ sin ⋅ sin
sin 2
2
2 =
2 = tg 2 x
=
x
x
x
2
2 ⋅ cos ⋅ cos
cos 2
2
2
2
Př. 3:
Vypočti.
a) sin105° − sin15°
b)
cos 70° − cos10°
sin 70° + sin10°
a) sin105° − sin15°
Nejde o tabulkové hodnoty ⇒ použijeme vzorce na součet goniometrických funkcí a budeme
doufat, že vyjdou úhly, ke kterým známe hodnoty.
105° + 15°
105° − 15°
3 2
6
sin105° − sin15° = 2 ⋅ sin
⋅ cos
= 2sin 60° ⋅ cos 45° = 2 ⋅
⋅
=
2
2
2 2
2
b)
cos 70° − cos10°
sin 70° − sin10°
70° + 10°
70° − 10°
−2sin
⋅ sin
cos 70° − cos10°
−2sin 40° ⋅ sin 30°
3
2
2
=
=
= − tg 30° = −
sin 70° + sin10° 2sin 70° + 10° ⋅ cos 70° − 10°
2sin 40° ⋅ cos 30°
3
2
2
Př. 4:
π

Vyřeš rovnici sin 5 x = sin  3 x −  .
2

Problém: Uvnitř sinů jsou různé výrazy, rozložení pomocí součtových vzorců nepomůže ⇒
převedeme vše na jednu stranu a rozložíme na součin pomocí vzorců pro součet funkcí ⇒
rovnice v součinovém tvaru.
π

sin 5 x = sin  3 x − 
2

π

sin 5 x − sin  3 x −  = 0
2

2
π 
π

 5 x + 3x − 2   5 x − 3x + 2
2 cos 
 sin 
2
2

 

 
π  π

cos  4 x −  sin  x +  = 0
4 
4

Součinový tvar:
π

cos  4 x −  = 0
4

Substituce: 4 x −
cos y = 0
π
4


=0


/:2
π

sin  x +  = 0
4

=y
Substituce: x +
π
π
y = 4x −
4x −
π
4
=
π
=
π
2
a = x+
+ k ⋅π
+ k ⋅π
/+
x+
π
π
4
x=−
4 2
4
3
4x = π + k ⋅π / : 4
4
3
π
x= π +k⋅
16
4
π 3
3

K = ∪  π + k ⋅ ; π + k ⋅π 
4 4

k∈Z 16
Př. 5:
4
=a
sin a = 0
a = k ⋅π
Návrat k původní proměnné:
+ k ⋅π
2
Návrat k původní proměnné:
y=
π
π
4
= k ⋅π
= k ⋅π
π
/−
π
4
3
+ k ⋅π = π + k ⋅π
4
4
π

Vyřeš rovnici sin 5 x = cos  x +  .
2

π

Zkusíme převést oba členy na jednu stranu: sin 5 x − cos  x +  = 0 .
2

Problém: Máme pouze vzorce pro součet dvou stejných goniometrických funkcí ⇒
potřebujeme, aby v rovnici byly pouze siny nebo cosiny.
π

Nápad: Platí: sin x = cos  x −  ⇒ upravíme vnitřek cosinu tak, abychom ho mohli přepsat
2

π
π π π
π



na sinus cos  x +  = cos  x + − +  = cos  x + π −  = sin ( x − π ) .
2
2 2 2
2



x+ y
x− y
sin 5 x − sin ( x − π ) = 0
(použijeme vzorec sin x − sin y = 2 cos
⋅ sin
)
2
2
5x − ( x − π )
5x + x − π
π 
π

2 cos
sin
= 2 cos  3x −  sin  2 x +  = 0
2
2
2 
2

Součinový tvar:
π
π


cos  3 x −  = 0
sin  2 x +  = 0
2
2


3
Substituce: y = 3 x −
cos y = 0
π
Substituce: a = 2 x +
2
π
y = 3x −
3x −
π
2
π
=
π
+k⋅
3
π
2
a = 2x +
+ k ⋅π
+ k ⋅π
2
3x = π + k ⋅ π
x=
2
=
π
/+
2
sin a = 0
a = k ⋅π
Návrat k původní proměnné:
+ k ⋅π
2
Návrat k původní proměnné:
y=
π
2x +
π
π
2
2x = −
2
/ :3
π
x=−
3
π
2
= k ⋅π
= k ⋅π
π
π
4
2
+ k ⋅π
+k⋅
/−
π
2
/:2
π
2
π π
π
π
K = ∪  + k ⋅ ;− + k ⋅ 
3 4
2
k∈Z  3
Vyřeš rovnici cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 .
Př. 6:
Problém: Vzorce pro součet dvou stejných goniometrických funkcí umožňují spojit pouze
dva členy (v rovnici jsou tři) ⇒ potřebujeme správně vybrat, které dva spojíme.
x+ y
x− y
Vzorec: cos x + cos y = 2 cos
⋅ cos
⇒ potřebujeme, aby se člen, který vznikne
2
2
x+ y
x− y
z výrazu
nebo
, rovnal členu uvnitř nepoužitého cosinu (kvůli vytýkání v dalším
2
2
kroku) ⇒ spojíme členy cos 3 x a cos x .
cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0
x+ y
x− y
(použijeme cos x + cos y = 2 cos
⋅ cos
)
( cos 3x + cos x ) + cos 2 x = 0
2
2
3x + x
3x − x
2 cos
cos
+ cos 2 x = 0
2
2
2 cos 2 x ⋅ cos x + cos 2 x = 0
cos 2 x ( 2 ⋅ cos x + 1) = 0
Součinový tvar:
cos 2 x = 0
2 cos x + 1 = 0
Substituce: y = 2 x
1
cos x = − ⇒ třetinové úhly v záporné
cos y = 0
2
polorovině podle osy x.
π
y = + k ⋅π
2
2
x1 = π + k ⋅ 2π
3
Návrat k původní proměnné:
4
π
x2 = π + k ⋅ 2π
y = 2x = + k ⋅π
3
2
2x =
x=
π
π
4
2
+ k ⋅π
+k⋅
/:2
π
2
4
π 2
4
π

K = ∪  + k ⋅ ; π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 
2 3
3

k∈Z  4
Pedagogická poznámka: Diskuse o tom, které dva členy vybrat do součtového vzorce, je
nejzajímavější částí řešení příkladu. Je třeba, aby studenti pochopili, že volba není
náhodná, naopak jde o poměrně jednoznačný důsledek dalšího potřebného kroku.
Vzorce pro součet goniometrických funkcí se odvozují ze součtových vzorců, na základě
x+ y x− y
x+ y x− y
následujících rovností: x =
+
, y=
−
.
2
2
2
2
 x+ y x− y
 x+ y x− y
sin x + sin y = sin 
+
−
 + sin 

2 
2 
 2
 2
Nyní použijeme pro vnitřek prvního sinu vzorec sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y :
x+ y
x− y
x+ y
x− y
 x+ y x− y
.
sin 
+
cos
+ cos
sin
 = sin
2 
2
2
2
2
 2
Nyní použijeme pro vnitřek druhého sinu vzorec sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y :
x+ y
x− y
x+ y
x− y
 x+ y x− y
.
sin 
−
cos
− cos
sin
 = sin
2 
2
2
2
2
 2
x+ y
x− y
Po sečtení získáme: sin x + sin y = 2 sin
cos
.
2
2
Př. 7:
(BONUS) Odvoď vzorec pro cos x + cos y .
 x+ y x− y
 x+ y x− y
cos x + cos y = cos 
+
−
 + cos 

2 
2 
 2
 2
Nyní použijeme pro vnitřek prvního cosinu vzorec cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y :
x+ y
x− y
x+ y
x− y
 x+ y x− y
.
cos 
+
cos
− sin
sin
 = cos
2 
2
2
2
2
 2
Nyní použijeme pro vnitřky druhého sinu vzorec cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y :
x+ y
x− y
x+ y
x− y
 x+ y x− y
.
cos 
−
cos
+ sin
sin
 = cos
2 
2
2
2
2
 2
x+ y
x− y
Po sečtení získáme: cos x + cos y = 2 cos
cos
.
2
2
Př. 8:
Petáková:
strana 47, cvičení 60 a), e)
strana 54, cvičení 21 c), e)
strana 54, cvičení 22 a)
Shrnutí: Vzorce pro součet goniometrických funkcí jsou výhodné tím, že převádění součet
na součin.
5