Goniometrie

Goniometrie
Goniometrie
Obsah
5.
Goniometrie .................................................................................................................... 864
5.1. Základní hodnoty goniometrických funkcí ..................................................................... 864
5.2. Goniometrické vzorce ..................................................................................................... 867
5.3. Goniometrické funkce ..................................................................................................... 873
5.4. Goniometrické rovnice.................................................................................................... 882
5.5. Sinova a kosinova věta .................................................................................................... 894
Stránka 863
Goniometrie
5. Goniometrie
5.1. Základní hodnoty goniometrických funkcí
1. Určete hodnoty goniometrických funkcí:
25
 35 
a) sin 
d) cotg    
6
 4 
 25 
19
b) tg    
e) cos 
6


3
 37 
 33 
c) cos   
f) cotg    
 6 
 4 
 19 
g) sin   
 4 
 19 
h) tg    
 4 
Řešení:
25
 1
  sin 
6
6 2
3
 25 
b) tg      
2
 6 
a) sin
2
 33 
c) cos    
 4  2
 35 
d) cotg      1
 4 
19
1
e) cos  
3
2
 37 
f) cotg       3
 6 
2
 19 
g) sin    
 4  2
 19 
h) tg      1
 4 
2. Určete hodnotu výrazu:
1  31
 9
a)
tg315   
1
1 3
 16 


1
2
 0, 4 
2
sin 210
1
9 2
2
1
b) cos 225     0,1 sin 450  tg225   
2
 3
1
 
2

1 1
1  289  2


c) 1,7  : 
 cos 240     sin 90
9  3

 25  


Stránka 864
Goniometrie
Řešení:

1
1  31
1  31
2
 9  2
 4   100   1 
tg315


0,
4
sin
210


tg315    


a)
 
   
1
1
1 3
1 3
 16 
 3   16   2 
2
50  1  50
97
 3  1 
  

4
3  2 3
6
3

1
2 2
2
1
9 2
 2

 10 1  
b) cos 225     0,1 sin 450  tg225     
2 3
3
2
 3
2
4
   10   9
6
6
1
 
2

1 1
10 17  1  1
1  289  2


c) 1,7  : 
:      9  1  1  1  0
 cos 240     sin 90 
9  3
17 5  2  9

 25  


3. Vypočtěte:
a) 7 cos 0  3sin

2
 8tg
2
4
2
5
7
b)  sin    cos   cot g 
3 
3
4
4



c) 2tg0  cos   sin  cotg
2
2

3
d) 6tg4  4cos  2sin 
2
2

 2 
tg  cotg    
3
 3 
e)
2
 
tg     cotg 
3
 3
Řešení:
a) 7 cos 0  3sin

2
f)
tg

 cotg

 sin

 tg

6
6
6
3
3
3




tg      cotg    
 4 
 4 
g)



sin     cos  6 
2



3


h) sin  cos   tg  cotg   
4
4
4
 4
 8tg  7  3  0  4
2
4
2
5
7
3 1 5
b)  sin    cos   cot g      1
3 
3
4
4
4 2 4



c) 2tg0  cos   sin  cotg  2  0   1  1  0  2
2
2

3
d) 6tg4  4cos  2sin   6  0  4  0  2  1  2
2
2

 2 
3
2 3
tg  cotg    
3
3
 3 
3
e)
 3  1
2
 


tg     cotg   3    3   2 3
3
 3
3
 3 
Stránka 865
Goniometrie
f)
tg

 cotg

 sin

 tg


3
1
3 2 3
 3
3  1

3
2
2
2
6
6
6
3
 3 
 3 
tg      cotg    
 4 
 4   11  1
g)
11
 
sin     cos  6 
 2
h) sin
3

2 
2
 
 cos   tg  cotg    
  
 1  1  1
4
4
4
2  2 
 4

4. Rozhodněte, zda následující tvrzení je pravdivé:
1
 5 
23
3
d) cos      
a) sin  
2
 3 
6
2
3
 7 
b) sin      
2
 3 
c) cos
19
2

4
2
Řešení:
23
1
   . Tvrzení není pravdivé.
6
2
3
 7 
b) sin      
. Tvrzení je pravdivé.
2
 3 
a) sin
19
2
 
. Tvrzení není pravdivé.
4
2
 5  1
d) cos      . Tvrzení není pravdivé.
 3  2
c) cos
5. Z grafu funkce nebo jednotkové kružnice zjistěte, zda následující tvrzení je pravdivé.
a) sin 20  sin140
d) cos35  cos 65
b) sin 35  cos 65
e) cos50  cos320
c) cos 20  cos140
f) cos 230  sin190
Řešení:
a) Tvrzení je pravdivé.
b) Tvrzení je pravdivé.
c) Tvrzení není pravdivé.
d) Tvrzení je pravdivé.
e) Tvrzení není pravdivé.
f) Tvrzení je pravdivé.
Stránka 866
Goniometrie
5.2. Goniometrické vzorce
1. Vypočtěte bez použití kalkulačky:
a) sin13 cos17  sin17 cos13
b) cos20 cos25  sin 20 sin 25

3
c) cos2  cos2 
8
d)
sin15  sin 75 cos75  cos15
8
Řešení:
a) Využijeme vzorec sin( x  y)  sin x cos y  sin y cos x
sin13 cos17  sin17 cos13  sin(13  17)  sin 30 
b) Využijeme vzorec cos( x  y)  cos x cos y  sin y sin y
1
2
cos 20 cos 25  sin 20 sin 25  cos(20  25)  cos 45 
2
2
3



c) Využijeme vzorec cos x  sin   x   cos   sin a vzorce
8
8
2

2
2
cos 2 x  cos x  sin x

3


2
cos 2  cos 2   cos 2  cos 
8
8
8
4
2
d)
sin15  sin 75 cos75  cos15  cos2 75  sin 2 75  cos150  
2. Upravte výraz
3
2
sin 35 cos5  cos35 sin 5
.
cos 25 cos5  sin 25 sin 5
Řešení: Využijeme vzorce sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y a
cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y
sin 35 cos 5  cos 35 sin 5 sin  35  5  sin 30
3


 tg30 
cos 25 cos 5  sin 25 sin 5 cos  25  5  cos 30
3
3. Určete tg x , jestliže:
4

a) cos x   a x   ;  
5
2 
1
3

b) sin x   a x    ; 2 
2
2

3
c) sin x  0, 6 a x    ;  
 2 
Stránka 867
Goniometrie
Řešení:
a) sin 2 x  cos 2 x  1
16
1
25
9
sin 2 x 
25
3
sin x  
5
3
 
x   ;    sin x  
5
2 
3
3
tg x   5 
4 4

5
b) sin 2 x  cos 2 x  1
1
 cos 2 x  1
4
3
cos 2 x 
4
3
cos x  
2
3
3
3

x    ; 2   cos x 
 tg x  
2
3
2

2
2
c) sin x  cos x  1
sin 2 x 
0,36  cos 2 x  1
cos 2 x  0, 64
cos x  0,8
cos x  0,8
tg x  
tg x 
0, 6 3

0,8 4
3
4
4. Určete sin x , jestliže:
8
 3 
a) tg x 
a x  ;  
15
 2 
1
3
b) tg x  a x    ;  
2
 2 

c) cotg x  3 a x   ;  
2 
Stránka 868
Goniometrie
Řešení:
a)
sin x
sin x 8
15


  cos x  sin x 
225 2
2
sin x  1 
cos x
cos x 15
8
  sin x 
64
2
2

sin x  cos x  1

tg x 
289 2
64
8
sin x  1  sin 2 x 
 sin x  
64
289
17
8
 3 
x    ;    sin x  
17
 2 
b)
sin x 1

cos x 2
1
sin x  cos x
2
1
cos 2 x  cos 2 x  1
4
4
cos 2 x 
5
4
 3 
x    ;    cos x  
5
 2 

cos x  
c)
4
5
cos x
3
sin x
cos x  3sin x
sin 2 x  9sin 2 x  1
10sin 2 x  1
1
sin 2 x 
10
sin x  
1
10
1
 
x   ;    sin x 
10
2 
Stránka 869
Goniometrie
5. Určete cos x , jestliže sin x  
15
3

a x    ; 2  .
17
2

Řešení:
sin 2 x  cos 2 x  1
225
 cos 2 x  1
289
64
cos 2 x 
289
8
cos x  
17
8
3

x    ; 2   cos x 
17
2

6. Určete cotg x , jestliže:
5
3

a) cos x  a x    ; 2 
3
2

b) cos x  
3
 
a x   ; 
2
2 
Řešení:
a) sin 2 x  cos 2 x  1
25
sin 2 x 
1
169
144
sin 2 x 
169
12
sin x  
13
12
3

x    ; 2   sin x  
13
2

b) sin 2 x  cos 2 x  1
3
sin 2 x   1
4
1
sin 2 x 
4
1
sin x  
2
1
 
x   ;    sin x 
2
2 
Stránka 870
Goniometrie
7. Rozložte na součin:
a) cos2 x  2cos x  1
b) sin x  cos2 x  1
c) 2cos x  sin 2 x tg x
d) sin x  tg x
Řešení:
a) cos 2 x  2 cos x  1  cos 2 x  sin 2 x  2 cos x  1  cos 2 x  1  cos 2 x   2 cos x  1 
 2 cos 2 x  1  2 cos x  1  2 cos 2 x  2 cos x  2 cos x  cos x  1
b) sin x  cos 2 x  1  sin x   cos 2 x  sin 2 x   1  sin x  1  sin 2 x  sin 2 x   1 
 sin x  1  2sin 2 x  1  sin x  2sin x  1
sin x
c) 2 cos x  sin 2 x tg x  2  cos 2 x  sin 2 x   2sin x cos x

cos x
 2 cos 2 x  2sin 2 x  2sin 2 x  2 cos 2 x
sin x sin x cos x  sin x sin x  cos x  1
d) sin x  tg x  sin x 


 tg x  cos x  1
cos x
cos x
cos x
8. Určete, za jakých podmínek má daný výraz smysl:
sin 2 x
cos x
a)
f) 2sin x

cos x

sin  2 x  
2 cos x
4

b)
sin 2 x
2  cos x
g)
sin 3x
1  cos x
c)
1  sin 2 x
1  tg x
h)
1  cos x
1  cotg 2 x
d)
2  sin x
sin x
i)
1 

e) tg x 1 

 sin x 
Řešení:
a) cos x  0  x 

2
j)
1
sin x
2  sin x

k)
l)
m)
2  cos x
tg x
n)
cotg x
 k , k  Z
b) sin 2 x  0  2 x  0  k  x  0  k
c) 1  sin 2 x  0  sin 2 x  1  2 x 

2

2
, k Z
 2k  x 

4
 k , k  Z
d) 2  sin x  0  sin x  2  x  R

e) sin x  0  cos x  0  x  0  k , k  Z
2

 
3
3

f) sin  2 x    0  2 x    2k  2 x    2k  x    k , k  Z
4
4 2
4
8

g) 1  cos x  0  cos x  1  x    2k , k  Z
h) cos x  0  sin x  0  x  k

2
, k Z
Stránka 871
Goniometrie
i)
2k ,   2 k
sin x  0 
kZ
j)
   2k , 2k 
sin x  0 
kZ
k) 2  sin x  0  sin x  2  x  R
l) 2  cos x  0  cos x  2  x  R
k ,
m) tg x  0 
kZ


 k 
2

 k ,
n) cotg x  0 
kZ

2
 k
Stránka 872
Goniometrie
5.3. Goniometrické funkce
1. Je dána funkce y  2sin 2 x . Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D  f   R
c) H  f   2;2
d) p  
2. Je dána funkce y  3sin
a)
b)
c)
d)
x
. Určete:
3
Graf funkce
Definiční obor
Obor hodnot
Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D  f   R
c) H  f   3;3
d) p  6
Stránka 873
Goniometrie
1
3. Je dána/ funkce y  sin 3x . Určete:
2
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D  f   R
1 1
c) H  f    ;
2 2
2
d) p  
3

4. Je dána funkce y  2sin  x   . Určete:
6

a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D  f   R
c) H  f   2;2
d) p  2
Stránka 874
Goniometrie

5. Je dána funkce y  sin  2 x   . Určete:
3

a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:

a) y  sin 2  x  
6

b) D  f   R
c) H  f   1;1
d) p  
1
6. Je dána funkce y  cos  3x    . Určete:
2
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a) y 
1


cos 3  x  
2
3

b) D  f   R
Stránka 875
Goniometrie
1 1
c) H  f    ;
2 2
2
d) p  
3
7. Je dána funkce y  2cosx  1 . Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D  f   R
c) H  f   3;1
d) p  2
8. Je dána funkce y  cos
a)
b)
c)
d)
x
 2 . Určete:
2
Graf funkce
Definiční obor
Obor hodnot
Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D  f   R
Stránka 876
Goniometrie
c) H  f   1;3
d) p  4
9. Kolik průsečíků mají v intervalech 0;100 funkce y  cos x a y  sin 2 x ?
Řešení: Grafy v intervalu 0;2
cos x  sin 2 x
cos x  2sin x cos x
cos x  2sin x  1  0
cos x  0
2sin x  1  0
3

5
; x2   ; x3  ; x4  
2
2
6
6
 4 kořeny v intervalu 0; 2
x1 

V intervalu 0;100 mají funkce 200 průsečíků.
10. Načrtněte graf funkce y  sin x . Určete periodu funkce.
Řešení:
p 
11. Načrtněte graf funkce y  sin x . Určete periodu funkce.
Řešení:
Funkce není periodická.
Stránka 877
Goniometrie
12. Načrtněte graf funkce y  cos x . Určete periodu funkce.
Řešení:
p 
13. Načrtněte graf funkce y  cos x . Určete periodu funkce.
Řešení:
p  2

14. Je dána funkce y  tg  x   . Určete:
6

a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
Stránka 878
Goniometrie
2
 2

    k ;   k 
3
6

kZ 
c) H  f   R
b) D  f  
d) p  

15. Je dána funkce y  cot g  x   . Určete:
4

a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
 5 
 ; 

kZ  4 4
c) H  f   R
b) D  f  
d) p  
16. Je dána funkce y  1  cotg x . Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Stránka 879
Goniometrie
Řešení:
a)
b) D  f  
 0  k  ;  k  
kZ
c) H  f   R
d) p  
17. Určete periodu a obor hodnot následujících funkcí:
a) y  sin 3x
g)
b) y  2sin 2 x
h)
c) y  sin 2 x  1
i)
d) y  sin(2 x  1)
j)
1
1

e) y  cos  x  1
2
k)
2

1
f) y  2cos x
3
y  2tg x
1 1
y   tg x
2 2
y  3cotg 2 x
y  sin 2 x
y   cos 4 x
Řešení:
2
p   , H  f   1,1
3
b) p   , H  f   2, 2
a)
c)
p   , H  f   0, 2
d) p   , H  f   1,1
e)
f)
1 1
p  4 , H  f    ,
2 2
p  6 , H  f   2, 2
g) p   , H  f   R
h) p  2 , H  f   R
Stránka 880
Goniometrie
i)
j)

, Hf R
2
p   , H  f   0,1
p
k) p 

2
, H  f   1, 0
Stránka 881
Goniometrie
5.4. Goniometrické rovnice
1. Řešte rovnice s neznámou x  R :
a) sin x  0
b) cos x  1  0
c) cotg x  0
d) tgx  1
e) sin x 
1
2
f) cos x  
3
2
Řešení:
a) sin x  0  x  k ; k  Z
b) cos x  1  0  cos x  1  x    2k ; k  Z

c) cotg x  0  cos x  0  x   k ; k  Z
2
3
d) tg x  1  x    k ; k  Z
4
1

5
e) sin x   x1   2k ; k  Z  x2    2k ; k  Z
2
6
6
3
5
7
f) cos x  
 x1    2k ; k  Z  x2    2k ; k  Z
2
6
6
2. Řešte rovnice s neznámou x  R :
1
a) sin 6 x 
2
2
b) cos3x  
2
x
1
2
d) cotg 4x  0
c) tg
Řešení:
a) sin 6 x 
6 x1 
1
2

 2k  x1 

k

;k  Z
6
36
3
5
5

6 x2    2k  x2    k ; k  Z
6
36
3
2
b) cos 3x  
2
3
 2
3x1    2k  x1   k ; k  Z
4
4 3
5
5
2
3x2    2k  x2    k ; k  Z
4
12
3
x
c) tg  1
2
x 

  k  x   2 k  ; k  Z
2 4
2
Stránka 882
Goniometrie
d) cotg 4x  0
4x 

2
 k  x 

8
k

4
3. Řešte rovnice s neznámou x  R :

a) cos  2 x    1
3


3
b) sin  3x   
6 2

x 
2
c) cos     
2
3 3
;k Z
1

8

tg  3x    
4
8
8 
x 
e) cotg      3
2 6
d)
Řešení:


a) cos  2 x    1
3


2

2 x     2 k  2 x    2 k  x   k
3
3
3


K    k 

kZ  3

3

b) sin  3 x   
6 2

 
 
 2
3x1    2k  3 x1    2k  x1   k
6 3
3 6
6 3
 2
5
5
2
3 x2     2k  3 x2    2k  x2    k
6 3
6
18
3
5
2 
 2
K    k ;   k 
3
18
3 
kZ  6
2
x 
c) cos     
2
3 3
x1  3
x 94
13
    2 k  1 
  2k  x1    6k 
3 3 4
3
12
4

5
 x1  3  6k  x1    6k ; k  Z
4
4
x2  5
x 15  4
19
    2 k  2 
  2k  x2    6k 
3 3 4
3
12
4
3
3
 x2  4   6k  x2    6k ; k  Z
4
4
5
3


K     6 k ;   6 k 
4

kZ  4
Stránka 883
Goniometrie
d)
1

8

tg  3 x    
4
8
8 


tg  3 x    1
4

 3



3 x     k  x   k  x  k
4 4
3
3
3
 
K  k 
kZ  3 
x 
e) cotg      3
2 6
x1  
x
   k  1  k  x1  2k
2 6 6
2
K  2 k  
kZ
4. Řešte rovnice s neznámou x  R :
a) 2cos2 x  cos x  0
b) 2sin2 x  3sin x  1  0
c)
3cotg 2 x  2cotg x  3  0
d) sin x  2sin x  1  1
f) sin2 x  cos2 x  sin x  0
g) 2cos2 x  2cos x  3 cos x  3


h) 4cos2 x  2 1  3 cos x  3  0
i)
e) tg3 x  tg x
2tg x  3cotg x  1
Řešení:
a)
2 cos 2 x  cos x  0
cos x  2 cos x  1  0
cos x1  0  x1 

2
 k
1

5
 x21   2k  x22    2k
2
3
3

5


K    k ;  2k ;   2 k 
3
3

kZ  2
2
b) 2sin x  3sin x  1  0
sub.: y  sin x
2 cos x2  1  0  cos x2 
2 y2  3y 1  0
3  32  4  2 1 3  9  8 3  1


22
4
4
3  1
1
1
7
11
y1 
   sin x1    x11    2k  x12    2k
4
2
2
6
6
3  1
3
y2 
 1  sin x2  1  x21    2k
4
2
7
11
3


K     2 k ;   2 k ;   2 k 
6
6
2

kZ 
y12 
Stránka 884
Goniometrie
c)
3cotg 2 x  2cotgx  3  0
cotg x1,2 
2  4  4  3 2  4

2 3
2 3
3

 x1   k
3
6
3
5
cotg x2  
  3  x2    k
6
3
5


K    k ;   k 
6

kZ  6
sin x  2sin x  1  1
cotg x1 
d)
2sin 2 x  sin x  1  0
sub.: y  sin x
2 y2  y 1  0
y12 
e)
  1 
 1
2
 4  2   1

1 1 8 1 3

4
4
22
1 3

y1 
 1  sin x1  1  x1   2k
4
2
1 3
1
1
7
11
y2 
   sin x2    x21    2k  x22    2k
4
2
2
6
6
7
11


K    2 k ;   2 k ;   2 k 
2
6
6

kZ 
3
tg x  tg x
tg x  tg 2 x  1  0
tg x1  0  x1  0  k


tg x2  1  x2   k


4
tg x2,3  1  
 tg x  1  x  3   k
3
3


4



K   k ;  k 
4
2
kZ 
Stránka 885
Goniometrie
f)
sin 2 x  cos 2 x  sin x  0
sin 2 x  1  sin 2 x   sin x  0
2sin 2 x  sin x  1  0
sub.: y  sin x
2 y  y 1  0
2
g)
1  12  4  2   1
1  1  8 1  3

22
4
4
1  3
3
y1 
 1  sin x1  1  x1    2k
4
2
1  3 1
1

5
y2 
  sin x2   x21   2k  x22    2k
4
2
2
6
6
5

3

K     2 k ;   2 k ;  2 k 
6
6

kZ  2
2
2 cos x  2 cos x  3 cos x  3
y12 

2 cos 2 x  2 cos x  3  cos x  1
2 cos x  cos x  1  3  cos x  1  0
 cos x  1  2 cos x 

3 0
cos x1  1  x1    2k
3

11
 x2   2k  x3    2k
2
6
6

11

 2 k ;  2 k ;   2 k 
6
6

2 cos x23  3  0  cos x23 
K
h)




kZ 
4 cos 2 x  2 1  3 cos x  3  0
4 cos 2 x  2 cos x  2 3 cos x  3  0
2 cos x  2 cos x  1  3 1  2 cos x   0
 2 cos x  1  2 cos x 

3 0
1

5
 x1   2k ; x2    2k
2
3
3
3

7
cos x34 
 x3   2k ; x4    2k
2
6
6

5
7


K    2 k ;  2 k ;   2 k ;   2 k 
3
3
6

kZ  6
cos x12 
Stránka 886
Goniometrie
i)
2tg x  3cotg x  1
2tg x  3
1
1
tg x
2tg 2 x  tg x  3  0
sub.: y  tg x
2 y2  y  3  0
y12 
  1 
 1
 4  2   3 
2
22

1  1  24 1  5

4
4
1 5 3
3
  tg x1   x1  5618  k 180
4
2
2
1 5
y2 
 1  tg x2  1  x2  45  k 180
4
K  5618  k 180; 45  k 180
y1 
kZ
5. Řešte rovnice s neznámou x  R :
1
1
a)
  3  2tg x
tg x 6
sin 2 x
1
b)
 cos 2 x  tg x 
tg x
2
c)
d)
e)
f)
g)
Řešení:
a)
sin2 x  3sin x cos x  0
sin 2 x  sin x
2tg 2 x  7tg x  6  0
9sin2 x  11cos2 x  7sin 2 x  3
6sin2 x  7sin 2 x  8cos2 x  0
1
1
  3  2tg x
tg x 6
6  tg x  18tg x  12tg 2 x
12tg 2 x  17tg x  6  0
sub.: y  tg x
12 y 2  17 y  6  0
y12 
  17  
 17 
2 12
2
 4 12  6

17  289  288 17  1

24
24
17  1 3
3
  tg x1   x1  3652  k 180
24
4
4
17  1 2
2
y2 
  tg x2   x2  6926  k 180
24
3
3
K  3652  k 180;6926  k 180
y1 
kZ
Stránka 887
Goniometrie
b)
sin 2 x
1
 cos 2 x  tg x 
tg x
2
sin 2 x
sin x 1
 cos 2 x 

sin x
cos x 2
cos x
1
sin x  cos x  sin x  cos x 
2
1
2sin x cos x 
2
1
sin 2 x 
2

c)
 2k  x1 

 k
6
12
5
5
2 x2    2k  x2    k
6
12
5


K    k ;   k 
12

kZ 12
2 x1 
sin 2 x  3 sin x cos x  0


sin x sin x  3 cos x  0
sin x  0  x1  0  k
sin x  3 cos x  0  sin x  3 cos x  tg x  3  x2 
K
d)
sin 2 x  sin x
2sin x cos x  sin x

3
 2k



0  k ;  2 k 
3

kZ 
sin x  2 cos x  1  0
sin x  0  x1  0  k
1

5
 x2   2k  x3    2k
2
3
3

5


K   0  k ;  2 k ;   2 k 
3
3

kZ 
cos x 
Stránka 888
Goniometrie
e) 2tg 2 x  7tg x  6  0
sub.: y  tg x
2y  7y  6  0
2
y12 
  7  
 7 
2
 426

7  49  48 7  1

4
4
22
7 1
y1 
 2  tg x1  2  x1  6326  k 180
4
7 1 3
3
y2 
  tg x2   x2  5618  k 180
4
2
2
K  6326  k 180;5618  k 180
kZ
9sin 2 x  11cos 2 x  7 sin 2 x  3
f)
9sin 2 x  11cos 2 x  7 sin 2 x  3  sin 2 x  cos 2 x 
6sin 2 x  14sin x cos x  8cos 2 x  0
6tg 2 x  14tg x  8  0
sub.: y  tg x
6 y 2  14 y  8  0
y12 
  14  
 14 
2
 4  6 8
26

14  196  192 14  2

12
12
14  2 4
4
  tg x1   x1  537  k 180
12
3
3
14  2
y2 
 1  tg x2  1  x2  45  k 180
12
K  537  k 180; 45  k 180
y1 
kZ
g)
6sin x  7 sin 2 x  8cos x  0
2
2
6sin 2 x  14sin x cos x  8cos 2 x  0
6tg 2 x  14tg x  8  0
sub.: y  tg x
6 y 2  14 y  8  0
y12 
  14  
 14 
2
 4  6 8

14  196  192 14  2

12
12
26
14  2 4
4
y1 
  tg x1   x1  537  k 180
12
3
3
14  2
y2 
 1  tg x2  1  x2  45  k 180
12
K  537  k 180; 45  k 180
kZ
Stránka 889
Goniometrie
6. Řešte rovnice s neznámou x  R :
a) 7sin x  4cos x  8
5 2
b) 4sin x  3cos x  
2
c) sin x  sin 2 x  sin 3x  sin 4 x  0
Řešení:
a)
d) sin 2 x  cos 2 x  tg x  1
7 sin x  4 cos x  8
8  4 cos x
sin x 
7
2
2
pomocí rovnice sin x  cos x  1
64  64 cos x  16 cos 2 x
 cos 2 x  1
49
64  64 cos x  16 cos 2 x  49 cos 2 x  49
65cos 2 x  64 cos x  15  0
sub.: y  cos x
65 y 2  64 y  15  0
y12 
  64  
 64 
2  65
2
 4  65 15

64  4096  3900

130
64  14
130
64  14 3
3
y1 
  cos x1   x1  538  k 180
130
5
5
64  14 5
5
y2 
  cos x2   x2  6723  k 180
130
13
13
K  538  k 180;6723  k 180

kZ
b)
5 2
2
5 2

 3cos x
5 2  6 cos x
2
sin x 

4
8
2
2
pomocí rovnice sin x  cos x  1
4sin x  3cos x  
50  60 2 cos x  36 cos 2 x
 cos 2 x  1
64
50  60 2 cos x  36 cos 2 x  64 cos 2 x  64
100 cos 2 x  60 2 cos x  14  0
50 cos 2 x  30 2 cos x  7  0
Stránka 890
Goniometrie
sub.: y  cos x
50 y 2  30 2 y  7  0
y12 

 
 30 2 
30 2

2
 4  50   7 
2  50
30 2  1800  1400 30 2  40 2


100
100

30 2  40 2 7 2
7 2

 cos x1 

130
10
10
 x1  35152  k  360
y1 
30 2  40 2
2
2

 cos x2  

130
10
10
 x2  26152  k  360
y2 
26152  k  360;35152  k  360
K
kZ
c) sin x  sin 2 x  sin 3x  sin 4 x  0
sin  x  y   sin x  cos y  cos x  sin y
sin  2 x  x   sin 2 x cos x  cos 2 x  sin x 
 2sin x cos 2 x   cos 2 x  sin 2 x  sin x 
 sin x  2 cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  
 sin x  3cos 2 x  sin 2 x   sin x  3  4sin 2 x 
sin 4 x  2sin 2 x cos 2 x  4sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x  
 4sin x cos x 1  2sin 2 x 
sin x  2sin x cos x  sin x  3  4sin 2 x   4sin x cos x 1  2sin 2 x   0
sin x 1  cos x  3  4sin 2 x  4 cos x  8sin 2 x cos x   0
sin x1  0  x1  k
4  6 cos x  sin 2 x  4  8cos x   0
4  6 cos x  1  cos 2 x   4  8cos x   0
4  6 cos x   4  4 cos 2 x  8cos x  8cos 3 x   0
4  6 cos x  4  4 cos 2 x  8cos x  8cos3 x  0
8cos3 x  4 cos 2 x  7 cos x  0
cos x  8cos 2 x  4 cos x  7   0
cos x2  0  x2  k

2
Stránka 891
Goniometrie
8cos 2 x  4 cos x  7  0
sub.: y  cos x
8 y2  4 y  7  0
4  42  4  8   7 
4  16  224 4  4 15 1  5


2 8
16
16
4
1  5
1  5
y3 
 cos x3 
 x3  72  k  360
4
4
1  5
1  5
y4 
 cos x4 
 x4  288  k  360
4
4
K  k  90; k  72
y34 

kZ
d)
sin 2 x  cos 2 x  tg x  1
sin x
1
cos x
2sin x cos x 2 x  cos x  2sin 2 x cos x  sin x  cos x
2sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x 
2sin x cos x  cos x  sin x   cos3 x  sin x  cos x  0
 cos x  sin x  2sin x cos x  1  cos x
2sin x cos x  cos x  sin x   cos x  cos 2 x  1  sin x  0
2sin x cos x  cos x  sin x   sin 2 x cos x  sin x  0
2sin x cos x  cos x  sin x   sin x  sin x cos x  1  0
sin x  2 cos x  cos x  sin x   sin x cos x  sin x   0
sin x1  0  x1  0  k 180
sin x
0
cos x
sin x
2sin x cos x  2sin 2 x 
0
cos x
1 

sin x  2 cos x  2sin x 
0
cos x 

1
2 cos x  2sin x 
0
cos x
2 cos 2 x  2sin x cos x  1  0
2sin x cos x  cos 2 x  1  sin 2 x 
cos 2 x  cos 2  1  2sin x cos x  0
cos 2 x  sin 2 x  2sin x cos x  0
cos 2 x  sin 2 x  0
cos 2 x  sin 2 x
Stránka 892
Goniometrie
2 x2  45  k  380
x 2  22,5  k  90
cos x  0
x

2
 k
K
22,5  k  90; k 180
kZ
Stránka 893
Goniometrie
5.5. Sinova a kosinova věta
1. V trojúhelníku ABC známe stranu a = 104 cm a úhly   43,   77 . Určete velikosti
zbývajících stran a úhlu  .
Řešení:
a)a) Vypočteme úhel 
      180
  180   43  77   60
b)b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu c
a
c

sin  sin 
104
c

sin 43 sin 77
104
c  sin 77
 148,58 cm
sin 43
c)c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b
a
b

sin  sin 
104
b

sin 43 sin 60
104
b  sin 60
 132,1 cm
sin 43
2. V trojúhelníku ABC známe stranu a = 86 cm, b = 43 cm a úhel   5642´ . Určete
velikost strany c a úhlů  ,  .
Řešení:
a)a) Pomocí sinové věty vypočteme úhel 
a
b

sin  sin 
86
43

sin 5642´ sin 
43  sin 5642´
sin  
 0, 42
86
  2442´
b)b) Vypočítáme velikost úhlu 
      180
  180   5642´2442´  9836´
Stránka 894
Goniometrie
c)c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu c
a
c

sin  sin 
86
c

sin 5642´ sin 9836´
86
c  sin 9836´
 101, 74 cm
sin 5642´
3. V trojúhelníku ABC známe stranu b = 12,6 cm, c = 18,4 cm a úhel   7623´ . Určete
velikost úhlů  ,  a strany a.
Řešení:
a)a) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b
b
c

sin  sin 
12, 6
18, 4

sin  sin 7623´
12, 6  sin 7623´
sin  
 0,37
18, 4
  4143´
b)b) Vypočítáme velikost úhlu 
      180
  180   4143´7523´  6254´
c)c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu a
a
b

sin  sin 
a
12, 6

sin 6254´ sin 4143´
12, 6  sin 6254´
a
 16,86 cm
sin 4143´
4. V trojúhelníku ABC známe stranu b = 18,9 cm, c = 32,6 cm a úhel   5614´ . Určete
velikost úhlů  ,  a strany a.
Řešení:
a) Pomocí sinové věty vypočteme úhel 
b
c

sin  sin 
18,9
32, 6

sin 5614´ sin 
32, 6  sin 5614´
sin  
 1, 43
18,9
Protože sin  1, takový trojúhelník neexistuje. Tato úloha nemá řešení.
Stránka 895
Goniometrie
5. V trojúhelníku ABC známe stranu a = 15,6 cm, c = 26,4 cm a úhel   6319´ . Určete
velikost úhlů  ,  a strany b.
Řešení:
a)a) Pomocí sinové věty vypočteme úhel 
a
c

sin  sin 
15, 6
26, 4

sin  sin 6319´
15, 6  sin 6319´
sin  
 0,53
26, 4
  3152´
b)b) Vypočítáme velikost úhlu 
      180
  180   3152´6319´  8449´
c)c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b
b
c

sin  sin 
b
26, 4

sin 8449´ sin 6319´
26, 4  sin 8449´
b
 29, 43 cm
sin 6319´
6. V trojúhelníku ABC je dáno c = 105 cm,   6843´ ,   4351´ . Určete velikost úhlu 
a stran a, b.
Řešení:
a)a) Vypočítáme velikost úhlu
      180

  180   6843´4351´  6726´
b)b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b
b
c

sin  sin 
b
105

sin 4351´ sin 6726´
105  sin 4351´
b
 78, 77 cm
sin 6726´
Stránka 896
Goniometrie
c)c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu a
a
b

sin  sin 
a
78, 77

sin 6843´ sin 4351´
78, 77  sin 6843´
a
 105,95 cm
sin 4351´
7. V trojúhelníku ABC je dáno a = 36,8 cm,   2346´ ,   9212´ . Určete velikost úhlu 
a stran b, c.
Řešení:
a)a) Vypočítáme velikost úhlu 
      180
  180   2346´9212´  642´
b)b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b
a
b

sin  sin 
36,8
b

sin 2346´ sin 9212´
36,8  sin 9212´
b
 91, 24 cm
sin 2346´
c)c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu c
a
c

sin  sin 
36,8
c

sin 2346´ sin 642´
36,8  sin 642´
c
 82,1 cm
sin 2346´
8. Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno b =156 cm,   6220´ a   4826´ .
Řešení:
a)a) Vypočítáme velikost úhlu 
      180
  180   6220´4826´  6914´
b)b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu a
a
b

sin  sin 
a
156

sin 6914´ sin 6220´
156  sin 6914´
a
 164, 7 cm
sin 6220´
Stránka 897
Goniometrie
c)c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu c
b
c

sin  sin 
156
c

sin 6220´ sin 4826´
156  sin 4826´
c
sin 6220´
c  131, 78 cm
9. Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno c = 56 cm,   3214´,   5040´ .
Řešení:
a)a) Vypočítáme velikost úhlu 
      180
  180   3214´5040´  976´
b)b) Pomocí sinové věty vypočítáme velikost strany a
a
c

sin  sin 
a
56

sin 3214´ sin 5040´
56  sin 3214´
a
 38, 62 cm
sin 5040´
c)c) Pomocí sinové věty vypočítáme velikost strany b
b
c

sin  sin 
b
56

sin 976´ sin 5040´
56  sin 976´
b
 71,85 cm
sin 5040´
10. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 26 cm, b = 12 cm,
  42 .
Řešení:
a)
Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu c
c 2  a 2  b 2  2ab  cos 
c 2  262  122  2  26 12  cos 42  356, 28
c  18,88 cm
Stránka 898
Goniometrie
b)
c)
Pomocí sinové věty vypočítáme úhel 
b
c

sin  sin 
12
18,88

sin  sin 42
12  sin 42
sin  
 0, 425
18,88
  259´
Dopočítáme úhel 
      180
  180  (    )
  180   259´42   11251´
11. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 15,2 cm, c = 10,9 cm
a   58 .
Řešení:
a)a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu b
b 2  a 2  c 2  2ac  cos 
b 2  15, 22  10,92  2 15, 2 10,9  cos 58  174, 26
b  13, 2 cm
b)b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel 
b
c

sin  sin 
13, 2
10,9

sin 58 sin 
10,9  sin 58
sin  
 0, 7
13, 2
  4426´
c)c) Dopočítáme úhel 
      180
  180      
  180   58  4426´  7734´
Stránka 899
Goniometrie
12. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno b = 64 cm, c = 80 cm
a   9925´ .
Řešení:
a)a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu a
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
a 2  642  802  2  64  80  cos 9925´ 12171, 4
a  110,32 cm
b)b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel 
a
c

sin  sin 
110,32
80

sin 9925´ sin 
80  sin 9925´
sin  
 0, 72
110,32
  4540´
c)c) Dopočítáme úhel 
      180
  180     
  180   9925´4540´  3455´
13. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 8,4 cm, b = 7,4 cm,
c = 11,3 cm.
Řešení:
a)a) Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel 
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
2bc  cos   b 2  c 2  a 2
b2  c2  a 2
2bc
2
7, 4  11,32  8, 42
cos  
 0, 67
2  7, 4 11,3
  48
cos  
Stránka 900
Goniometrie
b)b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel 
a
b

sin  sin 
8, 4
7, 4

sin 48 sin 
7, 4  sin 48
sin  
 0, 66
8, 4
  4053´
c)c) Dopočítáme úhel 
      180
  180     
  180   48  4053´  917´
14. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 10,4 cm, b = 12,8 cm,
c = 32,6 cm.
Řešení:
a) Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel 
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
2bc  cos   b 2  c 2  a 2
b2  c2  a 2
2bc
12,82  32, 62  10, 42
cos  
 1,34
2 12,8  32, 6
cos   1
Tato úloha nemá řešení, tento trojúhelník nelze sestrojit, což jsme mohli zjistit i použitím
trojúhelníkové nerovnosti ( a  b  c )
cos  
15. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 39,9 cm, b = 28,2 cm,
c = 32,1 cm.
Řešení:
a)a) Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel 
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
2bc  cos   b 2  c 2  a 2
b2  c2  a 2
cos  
2bc
28, 22  32,12  39,92
cos  
 0,13
2  28, 2  32,1
  8236´
Stránka 901
Goniometrie
b)b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel 
a
b

sin  sin 
39.9
28, 2

sin 8236´ sin 
28, 2  sin 8236´
sin  
 0, 7
39,9
  4429´
c)c) Dopočítáme úhel 
      180
  180     
  180   8236´4429´  5255´
16. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 30,6, cm, b = 35,7 cm,
  102 .
Řešení:
a)a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu c
c 2  a 2  b 2  2ab  cos 
c 2  30, 62  35, 7 2  2  30, 6  35, 7  cos102  2665,1
c  51, 62 cm
b)b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel 
b
c

sin  sin 
35, 7
51, 62

sin  sin102
35, 7  sin102
sin  
 0, 68
51, 6
  4235´
c)c) Dopočítáme úhel 
      180
  180      
  180   4235´102   3525´
Stránka 902
Goniometrie
17. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 19,6 cm, c = 22,3 cm
a   93 .
Řešení:
a)a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu b
b 2  a 2  c 2  2ac  cos 
b 2  19, 62  22,32  2 19, 6  22,3  cos 93  927, 2
b  30, 45 cm
b)b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel 
b
c

sin  sin 
30, 45 22,3

sin 93 sin 
22,3  sin 93
sin  
 0, 73
30, 45
  47
c)c) Dopočítáme úhel 
      180
  180      
  180   93  47   40
18. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 21,9 cm, b = 38,4 cm,
c = 26,6 cm.
Řešení:
a)a) Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel 
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
2bc  cos   b 2  c 2  a 2
b2  c2  a 2
cos  
2bc
38, 42  26, 62  21,92
cos  
 0,83
2  38, 4  26, 6
  3333´
b)b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel 
a
b

sin  sin 
21,9
38, 4

sin 3333´ sin 
38, 4  sin 3333´
sin  
 0,97
21,9
  7543´
Stránka 903
Goniometrie
c)c) Dopočítáme úhel 
      180
  180     
  180   3333´7543´  7044´
19. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku a poměr délek stran trojúhelníku, jestliže
a : b  2 : 3 ,  :   1: 2 .
Řešení:
a sin  2


b sin  3
 1

       2
 2
2
sin 
2

sin 2 3
sin 
2
3
  cos      4125';   8250 ';   180       5545'
2sin  cos  3
4
a : b : c  sin  : sin  : sin   sin 4125' : sin 8250 ' : sin 5545'
20. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku a poměr délek stran trojúhelníku, jestliže
 :  :   3: 5:10 .
Řešení:
 :  :   3 : 5 :10
      3d  5d  10d  180
18d  180
d  10
  30;   50;   100
a : b : c  sin 30 : sin 50 : sin100
21. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže
a  62,3 mm , c  41,8mm ,   13042' .
Řešení: Využijeme kosinovu větu
b 2  a 2  c 2  2ac cos   b  95 mm
sin  a
a
  sin   sin     2948'
sin  b
b
      180    1930 '
Stránka 904
Goniometrie
22. Určete velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku, jestliže a  18,3 cm , b  27,6 cm ,
c  30,8 cm .
Řešení: Využijeme kosinovu větu
a 2  b 2  c 2  2bc cos   cos  
b2  c2  a 2
   36
2bc
a 2  c2  b2
   6225'
2ac
  180        8135'
cos  
23. Vypočítejte velikost největšího vnitřního úhlu trojúhelníku, jehož strany mají délky 2a ,
3
a , 3a .
2
Řešení: Proti 3a leží úhel 
2
3
2
2
3 
 3a    2a    a   2  2a  a  cos 
2
2 
9
9a 2  4a 2  a 2  6a 2 cos 
4
11
cos   
24
  11716 '46 ''
24. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže
b  8 cm , c  5 cm ,   2835' .
Řešení: Úloha má dvě řešení.
sin  b

sin  c
b
sin    sin 
c
1  50
sin  a

sin  b
sin 
sin 
 2  130
a  b
1  10125'
 2  2125'
a1  10, 2 cm
a2  3,81 cm
25. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže
b  6 cm , c  9 cm ,   75
Řešení:
sin  c

sin  b
Úloha nemá řešení.
c
sin    sin 75  1, 45
b
Stránka 905
Goniometrie
26. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže
a  2cm , b  3cm , c  7 cm .
Řešení: Úloha má jedno řešení.
a 2  b 2  c 2  2bc cos   cos  
b2  c 2  a 2
   2857 '18''
2bc
sin  b
b
  sin   sin     4634 '2 ''
sin  a
a
  180      10428'40 ''
27. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže
a  3cm , b  8cm c  4 cm .
Řešení: Úloha nemá řešení. Není splněna trojúhelníková nerovnost ( 3  4  8 ).
28. Určete délky všech stran trojúhelníku, jestliže ta  6 cm , tb  9 cm c  8 cm .
Řešení:
2 2

ABT  ta ; tb ; c 
3 3

2
2
2 
2 
t a   c 2   tb 
2
2

2
2  2 
3 
 3   16  64  36  11
2
 tb    ta   c  2  ta  c  cos   cos  
4
3
64
16
3  3 
ta c
3
2
11
2
a
2
    ta   c  2ta c 
16
2
a2
11
 36  64  2  6  8   a 2  136  a  11, 7 cm
4
16
2
2
2 
2 
2
 tb   c   t a 
3 
 3   36  64  16  7    2857 '
cos   
2
2  6 8
8
2 tb c
3
2
7
2
b
2
    ta   c  2ta c   b  8 cm
8
2
Stránka 906
Goniometrie
30. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže a  6 cm , tb  5 cm   45 .
Řešení:
sin  a
a
  sin   sin   1  583'6 ''
sin  tb
tb
1  180      7656 '53''
2
2
 b1 
2
   a   tb   2atb cos   b1  13,8 cm
2
c12  a 2  b12  2ab1 cos   c1  10,5 cm
2  12156 '54 ''
2  133'6 ''
b2  3, 2cm
c22  a 2  b22  2ab2 cos   c2  4, 4 cm
31. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže c  6 cm , ta  5 cm , a  8 cm .
Řešení:
2
a
c     ta2
2
a
9
a
2
ta2  c 2     2c cos   cos  
 cos  
2
ca
16
2
9
b 2  a 2  c 2  2ac cos   b 2  64  36  2  6  8   b  6,8 cm
16
2
32. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, je-li dáno a  6 cm , ta  9 cm tb  4 cm .
Řešení:
SCBTB
2
2
2
2
2  a 1 
8
2
2
 tb       t a 
  3 3
4
3
2
3
3
   
  cos    
cos   
 cos  
2
8
9
2  tb  3
2 3
3
3
2
2
4
b
b
2
2
   tb  a  2ta a cos      16  36  2  4  6   b  11,1 cm
9
2
2
2
2
2
1  a  2 
64
32  32 
 t a       tb 
3
2
3
   
 
9  49
cos   
1 a
2 33
81
2  ta 
3 2
2
a
a
c  t     2ta cos   c  7, 6 cm
2
2
2
2
a
Stránka 907
Goniometrie
34. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže a  10 cm , ta  8 cm , vb  6 cm .
Řešení:
vb 6
    3652 '11''
a 10
a
sin  2
5 6 3    221'27 ''  1  1216 '32 ''
  sin       1
sin  ta
8 10 8 2  15758'33''  2 nemá řešení
sin  
2
a
2
a
b      ta   2   ta  cos   b  11, 4 cm
2
2
c 2  b 2  a 2  2ab cos   c  6,9 cm
2
35. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže ta  6 cm , tb  4cm , tc  8 cm .
Řešení:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2  2  2 
2
2
2
 tc    ta    tb   2   ta  tb  cos   tc  ta  tb  2  ta  tb  cos  
3
3
3  3  3 
2
2
2
t  tb  tc
1
 cos   a
     10428'39 ''
2  t a  tb
4
2
1 2
8  1
a 1  2 
a
8
2
    ta    tb   2  ta  tb  cos      2     2  2      
3 3
3  4
2 3  3 
2
 3
 a  7, 4 cm
1 2
1
2 2  1
b 1  2 
 b  16
    tb    ta   2  tb  ta  cos       16  2   4   6     
3 3
9
3
3
2 3  3 
2
 4
2
8
 b  16
     16   b  9 cm
9
3
2
2
a
a
ta     b 2  2  b  cos 
2
2
c 2  a 2  b 2  2bc cos   c  4,3 cm
2
36. Vypočítejte délky úhlů v trojúhelníku ABC, jestliže c  15 cm , b  21cm a poměr
velikosti úhlů  :   2 :1 .
Řešení:
sin  b 21 7 
 

sin  c 15 5  sin 2 7
2sin  cos  7
7
 
  cos   

 2
sin 
5
sin 
5
10
    2 

 1
   4534 '2 '';   918'45'';   4316 '53''
Stránka 908
Goniometrie
37. V trojúhelníku ABC je dán poměr délek stran a : b : c  2 : 4 : 5 . Vypočítejte velikosti
vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC.
Řešení:
a  2d ; b  4d ; c  5d
 5d 
2
  2d    4d   2  2d  4d  cos 
2
2
25  4  16  16 cos   cos  
 4d 
2
4  16  25
5
     10812 '
16
16
  2d    5d   2  2d  5d  cos 
2
2
16  4  25  20 cos   cos  
13
   4928'
20
  2220 '
38. V rovnoběžníku ABCD je dáno: AB  6, 2 cm, BC  5, 4 cm, AC  4,8 cm . Určete:
a) Délky všech stran rovnoběžníku.
b) Velikosti všech vnitřních úhlů.
c) Délky úhlopříček.
d) Délky výšek v rovnoběžníku.
Řešení:
a) CD  AB  6, 2 cm
AD  BC  5, 4 cm
b)
AB  BC  AC
cos  
2 AB  BC
2
2
2
  4816 '53''
  13143'7 ''
c)
BD  AB  AD  2 AB  AD cos 
2
2
2
BD  10, 6 cm
d)
sin  
va
 va  AD sin   4 cm
AD
39. V rovnoběžníku ABCD je dáno: AD  10,8 cm, va  5, 4 cm,   2711' . Určete:
a) Délky všech stran rovnoběžníku
b) Velikosti všech vnitřních úhlů
c) Délky úhlopříček
d) Délky výšek v rovnoběžníku
Řešení:
a)
b)
va
v
 AD  a  9, 2 cm
AD
sin 
  15249'
sin  
Stránka 909
Goniometrie
BD  AB  AD  2 AB  AD cos 
c)
2
2
2
BD  5 cm
AC  AB  AD  2 AB  AD cos 
2
2
2
AC  19, 4 cm
v
sin   b  vb  AB sin   10,8 cm
AB
d)
40. V lichoběžníku ABCD jsou dány délky stran
a  AB  8 cm ,
b  BC  5 cm ,
c  CD  3 cm , d  AD  4 cm . Určete velikosti vnitřních úhlů.
Řešení:
b 2   a  c   d 2  2  a  c  d cos 
2
 a  c   d 2  b2
cos  
2a  c d
2

52  4 2  52 4

25 4
10
  6625'18''
b 2   a  c   d 2 25  25  16 17
cos  


2b  a  c 
255
25
2
  479 '22 ''
  180    13250 '38''
  180    11334 '42 ''
41. Na jednom břehu řeky je úsečka KL, KL  40 m . Na druhém břehu řeky je bod S,
LKS  7513',
KLS  4520' . Určete šířku řeky.
Řešení:


a  b  KL

KL
KL
x
x 
x
x
tg   a 

 KL  x 



1
1
tg  tg
a
tg  tg tg

tg tg
tg  tg
x
x 
tg   b 

b
tg 
tg  tg

 KL  37, 6 cm
tg  tg
Stránka 910
Goniometrie
43. V rovnoběžníku ABCD je dáno: AB  8 cm , AD  2 cm , DAB  30 Vypočítejte
obsah rovnoběžníku ABCD a poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC.
Řešení:
S  AB AD sin 30  8 cm 2
r
AC
2sin 
AC  AB  BC  2 AB BC cos 
2
2
2
r  9,8 cm
44. V trojúhelníku ABC je b  8,1 cm ,   132 . Vypočítejte poloměr kružnice opsané
trojúhelníku ABC.
Řešení:
r
b
 5, 45 cm
2sin 
45. V trojúhelníku ABC je c  6,3 cm ,   48 . Vypočítejte poloměr kružnice opsané
trojúhelníku ABC.
Řešení:
r
c
 4, 24 cm
2sin 
46. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže a  5 cm, b  6 cm, sin   0,78 .
Řešení:
S
1
ab sin   11, 7 cm2
2
47. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže b  4 cm, c  7 cm,   35 .
Řešení:
1
S  bc sin   8, 03 cm2
2
48. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže a  9 cm, c  3 cm,   63 .
Řešení:
S
1
ac sin   12, 03 cm2
2
Stránka 911
Goniometrie
49. V trojúhelníku ABC je a  3,7 cm ,   56 . Vypočítejte poloměr kružnice opsané
trojúhelníku ABC.
Řešení:
r
a
 2, 23 cm
2sin 
50. V trojúhelníku ABC je   33 ,   15 a poloměr kružnice opsané je 8cm. Vypočítejte
délky stran trojúhelníku ABC.
Řešení:
a
 a  2r sin   a  4,14 cm
2sin 
b
r
 b  2r sin   b  8, 71 cm
2sin 
  180  15  33  132
r
r
c
 c  2r sin   c  11,89 cm
2sin 
51. V trojúhelníku ABC je   62 ,   45 a poloměr kružnice opsané je 10 cm. Vypočítejte
délky stran trojúhelníku ABC.
Řešení:
b
 b  2r sin   b  17, 66 cm
2sin 
c
r
 c  2r sin   c  14,14 cm
2sin 
  180  45  62  73
r
a
2sin 
a
r
 a  2r sin   a  19,13 cm
2sin 
r
52. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže b  6 cm , c  5 cm ,   4232´ .
Řešení:
1
S  bc sin   10,14 cm2
2
53. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže a  11 cm , c  8 cm ,   5728´ .
Řešení:
S
1
ac sin   37,1 cm2
2
Stránka 912
Goniometrie
54. V jakém zorném úhlu se jeví předmět dlouhý 100 m pozorovatelovi, který je od jednoho
jeho konce vzdálen 80 m a od druhého 110 m?
Řešení:
K výpočtu použijeme kosinovou větu.
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
b2  c2  a 2
2bc
2
80  1102  1002
cos  
 0, 48
2  80 110
  617´
Pozorovatel sleduje předmět pod úhlem 617´ .
cos  
55. Jak dlouhý předmět sleduje pozorovatel pod zorným úhlem 78 , je-li od jednoho jeho
konce vzdálen 130 m a od druhého konce 98 m?
Řešení:
K výpočtu použijeme kosinovou větu.
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
p 2  982  1302  2  98 130  cos 78  21206, 42
p  145, 62 m
Pozorovatel sleduje předmět dlouhý 145,62 m.
56. Jak daleko je vzdálen pozorovatel od kraje předmětu dlouhého 156 m, který vidí pod
zorným úhlem 64 , je-li od druhého kraje vzdálen 92 m?
Řešení:
156
92

sin 64 sin 
92  sin 64
sin  
 0,53
156
  32
  180   64  32   84
a
156

sin 84 sin 64
156  sin 84
a
 172, 62 m
sin 64
Pozorovatel je od kraje předmětu vzdálen 172,62 m.
Stránka 913
Goniometrie
57. Vypočítejte obvod rovnoběžníku, je-li strana a = 114 cm, úhlopříčka u = 132 cm a úhel
proti úhlopříčce je 56 .
Řešení:
132
114

sin 56 sin 
114  sin 56
sin  
 0, 72
132
  4543´
  180   56  4543´  7817´
b
132

sin 7817´ sin 56
132  sin 7817´
b
 155,9 m
sin 56
o  2 a  b
o  2 114  155,9   539,8 m
Obvod rovnoběžníku je 539,8 m.
58. Vypočítejte obvod rovnoběžníku, je-li strana a = 38 cm, úhlopříčka u = 56 cm a úhel,
který svírají je 28 .
Řešení:
b 2  382  562  2  38  56  cos 28  822,18
b  28, 67
o  2  a  b
o  2  38  28, 67   133,34 cm
Obvod rovnoběžníku je 133,34 cm.
59. Vypočítejte obsah rovnoběžníku, je-li strana a = 31 cm, úhlopříčka u = 48 cm a úhel proti
úhlopříčce je 102 .
Řešení:
49
31

sin102 sin 
31 sin102
sin  
 0, 62
49
  3819´
  180  102  3819´  3941´
b
49

sin 3941´ sin102
49  sin 3941´
b
 31,99 cm
sin102
Stránka 914
Goniometrie
S  av
  180  102  78
v
 v  b  sin 
b
v  31,99  sin 78  31, 29
sin  
S  31 31, 29  969,99 cm 2
Obsah rovnoběžníku je 969,99 cm2.
60. Na kopci stojí rozhledna vysoká 28 m. Patu i vrchol vidíme z údolí pod výškovými úhly
o velikosti   27,   32 . Jak vysoko je vrchol kopce nad rovinou údolí?
Řešení:
V trojúhelníku si dopočítáme všechny zbylé úhly:
28
a

sin 5 sin 58
28  sin 58
a
 272, 45 m
sin 5
v
sin 27 
a
v  272, 45  sin 27  123, 69 m
Kopec je vysoký 123,69 m.
61. Sílu F = 320 N rozložte na dvě složky F1 a F2 tak, aby první složka svírala se silou F úhel
o velikosti 4226´ a druhá složka úhel o velikosti 2432´ . Určete velikosti sil F1 a F2.
Řešení:
  180   4226´2432´  1132´
  180   4226´1132´  2432´
F1
320

sin 2432´ sin1132´
320  sin 2432´
F1 
 144,56 N
sin1132´
F2
320

sin 4226´ sin1132´
320  sin 4226´
F2 
 234, 62 N
sin1132´
Síla F1 = 144,56 N, síla F2 = 234,62 N.
Stránka 915
Goniometrie
62. Síly F1 = 63 N a F2 svírají úhel   62 . Výslednice sil F = 112 N. Určete sílu F2.
Řešení:
  180  62  118
63
112

sin  sin118
63  sin118
sin  
 0, 49
112
  2947´
  180  2947´118  3243´
F2
112

sin 3243´ sin118
112  sin 3243´
F2 
 68,56 N
sin118
Síla F2 = 68,56 N.
63. Síla F = 80 N je rozložena na složky F1 = 44 N a F2 = 52 N. Vypočítej úhel složky F1 se
sílou F.
Řešení:
522  442  802  2  44  80  cos 
442  802  522
cos  
 0,8
2  44  80
  3652´
Odchylka výslednice sil F a síly F1 je 3652´ .
64. Síla F = 120 N je rozložena na složky F1 = 68 N a F2 = 104 N. Vypočítej úhel složky F2
se sílou F.
Řešení:
682  1042  1202  2 104 120  cos 
1042  1202  682
 0,825
2 104 120
  3425´
Odchylka výslednice sil F a síly F2 je 3425´ .
cos  
65. Určete výslednici sil F1 = 256 N a F2 = 108 N, které spolu svírají úhel   82 .
Řešení:
  180  82  98
F 2  2562  1082  2  256 108  cos 98  84895, 72
F  291,37 N
Výslednice je 291,37 N.
Stránka 916
Goniometrie
66. Trojúhelník má stranu a = 68 cm. Pro jeho úhly platí  :  :   2 : 3: 4 . Vypočítejte jeho
obsah.
Řešení:
 :  :  2 :3: 4
  2x

  3x         180  2 x  3x  4 x  180  9 x  180  x  20
  4 x 
  40;   60;   80
a
b

sin  sin 
68
b
68  sin 60

b
 91, 62 cm
sin 40 sin 60
sin 40
a
c

sin  sin 
68
c
68  sin 80

c
 104,18 cm
sin 40 sin 80
sin 40

 S  131,9(131,9  68)(131,9  91, 62)(131,9  104,18) 

S  s ( s  a)( s  b)( s  c)
 
2
    3067, 71 cm
o
s
 
2
  s  68  91, 62  104,18  131,9 cm

2
Obsah trojúhelníku je 3067,71 cm2.
67. Z vyhlídkové věže vysoké 25 m a vzdálené 45 m od řeky se jeví šířka řeky v zorném úhlu
17°. Jak je řeka široká?
Řešení:
b  452  252  51, 48 m
25
45
 ´ 293´
tg ´
  180  293´ 15027´
  180  17  15027´  1233´
c
51, 48

sin17 sin1233´
51, 48  sin17
c
 69, 26 m
sin1233´
Řeka je široká 69,23 metrů.
Stránka 917
Goniometrie
68. Z okna domu je vidět střecha protějšího domu ve výškovém úhlu 34 a jeho pata
v hloubkovém úhlu 21 . Dům je vysoký 124 m. Jak vysoko nad rovinou terénu je okno
pozorovatele?
Řešení:
Dopočítáme potřebné úhly:
 ´ 21
  90   ´
  90  21  69
  90  44  46
  44  21  65
c
124

sin  sin 
c
124

sin 46 sin 65
124  sin 46
c
 98, 42 m
sin 65
v
sin  ´
c
v  c  sin  ´
v  98, 42  sin 21  35,12 m
Okno pozorovatele je ve výšce 35,12 metrů.
69. Pilot letadla letícího vodorovně rychlostí 240 m/s vidí dům na zemi v hloubkovém úhlu
18 . Za dvě sekundy se úhel zvětšil na 43 . Urči výšku letadla.
Řešení:
Dopočítáme úhly
  180  43  137
  180  18  137  25
Vypočítáme dráhu letadla za 2 sekundy
d  2  240  480 m
Letadlo uletělo 480 m
l
d

sin18 sin 
l
480
480  sin18

l 
 350,97 m
sin18 sin 25
sin 25
v
sin 43   v  l  sin 43  350,97  sin 43  239,36 m
l
Letadlo letí ve výšce 239,36 metrů.
Stránka 918
Goniometrie
70. Z vyhlídkové věže 80 m nad hladinou moře je vidět letadlo ve výškovém úhlu 43 . Jeho
obraz ve vodě vidíme v hloubkovém úhlu 39 . Jak vysoko je letadlo nad hladinou moře?
Řešení:
Dopočítáme úhly
 ´ 39
  90  39  51
  180  51   43  39   47
Vypočítáme stranu c
80
80
sin 39 
c
 127,12 m
c
sin 39
Pomocí sinové věty vypočítáme výšku v
v
127,12

sin  43  39  sin 47
v
127,12  sin 82
 172,12 m
sin 47
Letadlo letí ve výšce 172,12 metrů.
71. Těsně na břehu řeky stojí budova. Ze dvou oken nad sebou ve výškovém rozdílu 18 m je
vidět protější břeh řeky v hloubkových úhlech 4 a 12 . Jak široká je řeka?
Řešení:
Dopočítáme úhly.
  12  4  8
  90  12  78
Pomocí sinové věty vypočítáme stranu c.
c
18

sin 78 sin 8
18  sin 78
c
 126,51 m
sin 8
x
cos 4 
 x  126,51 cos 4  126, 2 m
126,51
Řeka je široká 126,2 metry.
Stránka 919
Goniometrie
72. Na vrcholku hory stojí rozhledna vysoká 25 m. Most v údolí vidíme z vrcholu věže
v hloubkovém úhlu 28 . Stejný most vidíme od paty věže v hloubkovém úhlu 25 . Jak
vysoká je hora?
Řešení:
Dopočítáme úhly.
  28  25  3
  90  28  62
Pomocí sinové věty vypočítáme stranu c.
c
25

sin 62 sin 3
25  sin 62
c
 421, 77 m
sin 3
x
sin 25 
421, 77
x  421, 77  sin 25  178, 25 m
Hora je vysoká 178,25 metrů.
73. Střechu domu vidíme z určitého místa ve výškovém úhlu 3826´ . Popojdeme-li
o 56 metrů blíže k domu, vidíme její střechu ve výškovém úhlu 5643´ . Jak je dům
vysoký?
Řešení:
  180  5643´ 12317´
  180  3826´12317´ 1817´
c
56

sin 3826´ sin1817´
56  sin 3826´
c
 110,96 m
sin1817´
v
sin 5643´
110,96
v  110,96  sin 5643´ 92, 76 m
Dům je vysoký 92,76 metrů.
Stránka 920
Goniometrie
74. V rovnoběžníku o stranách a = 21,4 cm a b = 38,6 cm, které svírají úhel   68 ,
vypočítejte délky úhlopříček.
Řešení:
u12  38, 62  24,12  2  38, 6  24,1  cos 68  1373,81
u1  37, 06 cm
  180  68  112
u22  38, 62  24,12  2  38, 6  24,1  cos112  2767, 73
u2  52, 61 cm
Rovnoběžník má úhlopříčky o délkách 37,06 cm a 52,61 cm.
75. Vypočítejte strany rovnoběžníku, má-li úhlopříčky o délkách 68 cm a 108 cm. Úhlopříčky
svírají úhel o velikosti 56 .
Řešení: Úhlopříčky se navzájem půlí, budeme pracovat s jejich polovinami.
u1
 34 cm
2
u2
 52 cm
2
  180  56  124
a 2  342  522  2  34  52  cos124  5837,31
a  76, 4 cm
b 2  342  522  2  34  52  cos 56  1882, 69
b  43, 69 cm
Rovnoběžník má strany o délkách 76,4 cm a 43,69 cm.
76. Dvě trasy metra vycházející z téhož místa svírají úhel 110 . Jejich cílové stanice se od
společného bodu nacházejí ve vzdálenostech 1 200 metrů a 850 m. Jak dlouhá je třetí trasa
metra, která cílové stanice spojuje?
Řešení:
a 2  8502  12002  2  850 1200  cos110  2860221,1
a  1691, 22 m
Třetí trasa má délku 1691,22 metrů.
Stránka 921
Goniometrie
77. Ze stanice vyjely dva vlaky současně na tratích pod úhlem 132 . První vlak jel rychlostí
14,6 m/s a druhý 18,4 m/s. Jak daleko byly vlaky od sebe po 8 minutách jízdy?
Řešení: Vypočítáme dráhu, kterou jednotlivé vlaky ujely.
t  8 min
t  8  60  480 s
s1  14, 6  480  7008 m
s2  18, 4  480  8832 m
v 2  70082  88322  2  7008  8832  cos132  209947505, 4
v  26644,84 m  26, 6 km
Vlaky byly od sebe vzdáleny 26,6 km.
78. Těleso, které má hmotnost 782 kg je zavěšeno na vodorovném trámu na dvou lanech
různé délky. Lana svírají s trámem úhly o velikostech   46,   58 . Vypočítej
namáhání lan v tahu.
Řešení:
  90  46  44
  90  58  32
  180  44  32  104
F1
728

sin 32 sin104
728  sin 32
F1 
 397,59 N
sin104
F2
728

sin 44 sin104
728  sin 44
F2 
 521,19 N
sin104
Lana jsou namáhány silami F1 = 397,59 N a F2 = 521,19 N.
79. Na hmotný bod působí dvě síly F1  30 N ; F2  75 N , které svírají úhel   6320' .
Určete velikost výslednice sil F a úhel, který svírá výslednice se silou F1 .
Řešení:
F 2  F12  F22  2 F1 F2 cos 180   
F  92, 4 N
cos  
F12  F 2  F22
2 F1 F
  4633'
Stránka 922
Goniometrie
80. Na hmotný bod působí dvě síly F1  20 N ; F2  30 N , které svírají úhel   135 . Určete
velikost výslednice sil F a úhel, který svírá výslednice se silou F1 .
Řešení:
F 2  F12  F22  2 F1 F2 cos 180   
F  21, 2 N
cos  
F12  F 2  F22
2 F1 F
  9325'
81. Sílu F  65 N rozložíme na dvě složky F1  30 N , F2  40 N . Jaký úhel svírají tyto síly?
Řešení:
cos  
F12  F22  F 2
2 F1 F2
cos   13557 '
  180    443'
82. Síla F o velikosti 100N je rozložena do dvou složek. Síla F1 svírá se silou F úhel   55
a síla F2 svírá se silou F úhel   80 . Určete jednotlivé složky.
Řešení:
sin 55

sin 45
sin 80

sin 45
F2
sin 55
 F2  F
391 N
F
sin 45
F1
sin 80
 F1  F
368 N
F
sin 45
Stránka 923