Fraktály – Stručný úvod a přehled

Úvod
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Jan Velechovský
KFE, FJFI ČVUT
27. dubna 2009
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
1 Úvod
Dimenze
Konstrukce
Přehled
Ukázka
Aplikace
Závěr
Odkazy
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Motivace
Benoı̂t Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature
Clouds are not spheres, mountains are not cones,
coastlines are not circles, and bark is not smooth,
nor does lightning travel in a straight line.
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Historie
Název Fractal
rok 1975
Benoı̂t Mandelbrot (∗1924), IBM Research
How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity
and Fractional Dimension
objekt, jehož Hausdorffova dimenze je větší než topologická
Již dříve byly známy matematické konstrukce, problém se
zobrazením
Gottfried Leibniz (1646 – 1716)
rekurzivně zkonstruoval první soběpodobný objekt – přímku
Karl Weierstrass (1815 – 1897), Helge
von Koch (1870 – 1924) – Kochova křivka
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Dimenze
Dimenze fraktálu
Hausdorffova dimenze df - formální definice poměrně složitá
M(L) ∝ Ldf , kde
L . . . Charakteristický rozměr objektu
M(L) . . . Hmotnost objektu
Například pro plošný objekt
ρ=
M(L)
Ldf
∝ 2 ∝ Ldf −2
plocha
L
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Dimenze
Dimenze fraktálu
Alternativní zavedení, vhodné pro numerické vyčíslení
N útvarů velikosti r potřebných k zakrytí objektu
r →0
N(r ) ∝
1
r df
→ df = −
∆ ln N(r )
∆ ln r
Obrázek: K definici dimenze, převzato z [1]
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Konstrukce
Konstrukce fraktálů
Mnoho možností, například:
V přírodě
Afinní transformace (chceme soběpodobný objekt)
Zkoumáme konvergenci na množině
Buněčné automaty (Cellular automata)
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Konstrukce
V přírodě
Obrázek: Romanesco broccoli
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Konstrukce
Afinní transformace
Obrázek: Fraktál vytvořený afinní transformací pro 100 000 iterací
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Konstrukce
Zkoumáme konvergenci na množině
Obrázek: Mandelbrotova množina
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Konstrukce
Buněčné automaty (Cellular automata)
Obrázek: http://mathworld.wolfram.com/Rule90.html
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Přehled
Cantorovo diskontinuum
Obrázek: Cantorovo diskontinuum 1D a 2D
je nespočetná množina
je perfektní množina (je rovno množině svých limitních bodů)
je řídká množina
je uzavřená množina
má Lebesgueovu míru 0
má Hausdorffovu dimenzi
ln 2
ln 3
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Přehled
Sierpinského trojúhelník
Obrázek: Sierpinského trojúhelník a pyramida
poprvé popsán roku 1915, Waclaw Sierpiński (1892 – 1969)
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Přehled
Mandelbrotova množina
Obrázek: Mandelbrotova množina, detail okraje
množina c ∈ C, pro která
lim kzn k =
6 ∞, kde z0 = 0, zn+1 = zn2 + c
n→∞
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Ukázka
Vytvořme si vlastní fraktál
kfe.fjfi.cvut.cz/˜ velechov/mandel.c
kfe.fjfi.cvut.cz/˜ velechov/sharp.c
Zkompilujeme, např: gcc -o sharp sharp.c -lm
Spustíme, přesměrujeme výstup do souboru:
./sharp > sharp.dat
Zobrazíme: gnuplot >>> p ’sharp.dat’
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Aplikace
Použítí obecně
Generování různých povrchů v PC grafice
Komprese obrázků
Medicína - měření Hausdorffovy dimenze částic krve, mozku
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Aplikace
Aplikace ve fyzice
Atraktory - problém tří těles, počasí
Fázové přechody
Brownův pohyb, DLA - en.wikipedia.org/wiki/DLA
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Odkazy
Zajímavé zdroje (1)
Wikipedia.org. . .mnoho informací, můžeme začít například
tady:
en.wikipedia.org/wiki/Fractal
en.wikipedia.org/wiki/List of fractals by Hausdorff dimension
en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot set
en.wikipedia.org/wiki/Koch snowflake
Pavel Tišnovský - Seriál Fraktály v počítačové grafice
(82 článků):
www.root.cz/serialy/fraktaly-v-pocitacove-grafice
Rešerše - Počítačové generování fraktálních množin:
kmlinux.fjfi.cvut.cz/˜ pauspetr/html/skola/. . .
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Odkazy
Zajímavé zdroje (2)
Buněčné automaty:
en.wikipedia.org/wiki/Cellular automaton
mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html
mathworld.wolfram.com/SierpinskiSieve.html
herodes.feld.cvut.cz/mereni/dema/alife/
math.bu.edu/DYSYS/applets/chaos-game.html
[1] A Survey of Computational Physics: Introductory
Computational Science,
Rubin H. Landau, Manuel José Páez & Cristian C. Bordeianu,
Princeton University Press, ISBN: 0691131376
Introduction to Nonlinear Physics, Lui Lam,
Springer, ISBN: 0-387-40614-X
Jan Velechovský
Fraktály – Stručný úvod a přehled