Bezčasová Schrödingerova rovnice, volná částice

rev. 9.5. 2012
Bezčasová Schrödingerova rovnice, volná částice
Předpokládáme-li, že se částice nachází v časově neproměnném silovém poli (hamiltonián
nezávisí na čase), lze hledat řešení časové Schrödingerovy rovnice ve tvaru součinu dvou
funkcí. Jedna je funkcí souřadnic a druhá funkcí času (separace proměnných)
r
r
ψ (r , t ) = Ψ (r ) ⋅ ϕ (t ) .
Tuto funkci dosadíme do časové Schrödingerovy rovnice
r
r
∂ (Ψ (r ) ⋅ ϕ (t )) ˆ
ih
= H (Ψ (r ) ⋅ ϕ (t ))
∂t
r ∂ϕ (t )
r
= ϕ (t ) Hˆ Ψ (r )
i hΨ ( r )
∂t
ih
1 ∂ϕ (t )
1 ˆ r
=
r HΨ (r ) .
ϕ (t ) ∂t
Ψ (r )
Po jednoduché úpravě dostáváme rovnici, ve které levá strana je funkcí pouze času a pravá
r
funkcí pouze souřadnic. Má-li být tato rovnice splněna pro libovolné t a r , musí se obě strany
rovnat téže konstantě. Označíme-li ji E, dostáváme dvě rovnice
1 ˆ r
r HΨ (r ) = E
Ψ (r )
ih
a
1 ∂ϕ (t )
=E .
ϕ (t ) ∂t
První rovnici přepisujeme obvykle ve tvaru
r
r
Hˆ Ψ (r ) = EΨ (r )
a nazýváme ji bezčasová (nečasová, stacionární) Schrödingerova rovnice. Řešením tohoto
vlastního problému (viz „Postulát o kvantování“) jsou tedy vlastní čísla hamiltoniánu En ,
r
která odpovídají vlastním funkcím Ψn (r ) .
Řešení druhé rovnice je snadné a poskytuje nám časovou závislost vlnové funkce ϕ (t ) .
Namísto parciální derivace můžeme psát derivaci úplnou a provést jednoduchou úpravu a
integraci
ih
1 dϕ (t )
=E
ϕ (t ) dt
⇒
dϕ (t )
E
= − i ⋅ dt
ϕ (t )
h
⇒
ϕ (t ) = Ce
−i
E
t
h
.
Integrační konstantu C můžeme volit rovnu jedné a požadovat splnění normovací podmínky
r 2
∫ Ψ ( r ) dV = 1 .
V
Výsledná vlnová funkce je potom dána součinem
r
r
r −i
ψ n (r , t ) = Ψ (r ) ⋅ ϕ (t ) = Ψn (r ) ⋅ e
En
t
h
a stavy popsané touto funkcí se nazývají stacionární stavy, neboť hustota pravděpodobnosti
nezávisí na čase
r 2
r
r
r
r
r 2
ψ n (r , t ) = ψ n* (r , t ) ⋅ψ n (r , t ) = Ψn* (r ) ⋅ Ψn (r ) = Ψn (r ) .
rev. 9.5. 2012
Obecné nestacionární řešení časové Schrödingerovy rovnice pak můžeme psát jako
superpozici stacionárních stavů
r
r
ψ (r , t ) = ∑ cn Ψn (r ) ⋅ e
−i
En
t
h
,
n
kde cn jsou obecně komplexní konstanty.
Volná částice
Ukážeme nyní řešení bezčasové Schrödingerovy rovnice v nejjednodušším případě. Tím je
částice, na kterou nepůsobí žádné síly a tedy se může volně pohybovat. Pro jednoduchost
uvažujme jednorozměrný případ, částice se může pohybovat po ose x. Potenciální energii
volíme všude nula a tedy můžeme psát
r
r
Hˆ Ψ (r ) = EΨ (r )
−
⇒
h 2 d 2 Ψ ( x)
= EΨ ( x) .
2 m dx 2
Rovnici upravíme na standardní tvar
d 2 Ψ ( x)
+ k 2 Ψ ( x) = 0
2
dx
, kde jsme zavedli označení
2mE
= k2 .
2
h
Úplné řešení této rovnice můžeme psát přímo (na základě srovnání s rovnicí harmonických
netlumených kmitů) jako superpozici dvou řešení e ± ikx
Ψ ( x) = Aeikx + Be − ikx .
Jak se můžeme snadno přesvědčit, vlastní funkce e ± ikx jsou rovněž vlastními funkcemi
operátoru hybnosti (příslušné složky)
pˆ x e ± ikx = −ih
∂e ± ikx
= ±hke ± ikx
∂x
s vlastními čísly px = ± hk . Uvedený výsledek představuje de Broglieův vztah p = hk =
h
λ
.
Časově závislá vlnová funkce pak je
ψ ( x, t ) = Ψ ( x) ⋅ ϕ (t ) = ( Ae + Be
ikx
− ikx
)⋅e
−i
E
t
h
= Aei ( kx −ωt ) + Be − i ( kx +ωt ) ,
kde jsme energii částice vyjádřili pomocí kruhové frekvence E = hω . Vidíme, že získané
řešení má charakter superpozice dvou postupných harmonických vln s kruhovou frekvencí ω
a vlnovým číslem k. První člen představuje vlnu jdoucí zleva doprava (v kladném směru
osy x), druhý vlnu v opačném směru.
V konkrétním případě např. částice pohybující se v kladném směru osy x volíme B = 0 a
dostáváme řešení
i
ψ ( x, t ) = Aei ( kx −ωt ) = Ae h
( px − Et )
ve kterém kinetická energie E =
,
h 2k 2
p2
=
a hybnost p = ±hk nejsou kvantovány.
2m
2m
rev. 9.5. 2012
Všimněme si ještě, že hustota pravděpodobnosti nalezení částice v daném místě je konstantní,
nezávislá na x
ψ ( x, t ) = ψ ( x, t ) ⋅ψ * ( x, t ) = Aei ( kx −ωt ) ⋅ ( Aei ( kx −ωt ) )* = A2 .
2
To znamená, že vlnovou funkci nelze normovat běžným způsobem, tedy použitím normovací
podmínky
∞
∫ Ψ ( x)
2
dx = 1 .
−∞
To lze provést dvěma způsoby, buď normováním na konečný objem nebo normováním na δ funkci. (Více o obou způsobech např. Skála L.:Úvod do kvantové mechaniky, Academia,
Praha 2005)
Uvedený výsledek – pravděpodobnost nalezení částice v libovolném místě na ose x je stejná –
lze interpretovat jako důsledek Heisenbergova principu neurčitosti. Pro operátory souřadnice
a odpovídající složky hybnosti lze tento princip zapsat takto
∆x ⋅ ∆p x ≥
h
(podobně pro y-ové a z-ové složky)
2
a formulovat ho následovně: Nelze současně s libovolnou přesností určit polohu a hybnost
částice. Čím přesněji známe polohu, tím větší je neurčitost hybnosti a naopak.
V našem případě volné částice předpokládáme částici s přesně určenou hybností (a energií) a
tedy ∆p x = 0 . Z výše uvedené relace pak vyplývá, že ∆x → ∞ a polohu částice tedy není
možné vůbec určit. To je ekvivalentní uvedenému tvrzení o konstantní hustotě
pravděpodobnosti.
Na závěr doplňme, že podobné relace lze nalézt i pro jiné dvojice veličin. Například často je
uváděn vztah mezi neurčitostí energie a doby (jeho interpretace ovšem bývá dosti nejednotná)
∆E ⋅ ∆t ≥
h
.
2