PH8. Speciální teorie relativity a dilatace času

PROMOTE MSc
POPIS TÉMATU – FYZIKA 8
Název
Speciální teorie relativity a dilatace času
Tematický celek
Relativita
Jméno a e-mailová
adresa autora
Neil Hutton
[email protected]
Cíle
Žáci by si měli prohloubit poznatky týkající se Einsteinovy
speciální teorie relativity. Cílem je rozvoj abstraktního
myšlení a vnímání žáků na základě příkladů zaměřených na
výpočet dilatace času.
Obsah
Einstein, speciální teorie relativity, dilatace času,
Lorentzovy transformace, poločas rozpadu miónu.
Pomůcky
Poznámky
PH8 – 1
Speciální teorie relativity a dilatace času
Albert Einstein navrhl teorii relativity v roce 1905. Vědecká komunita na ní
zpočátku neviděla nic zvláštního a neprojevila o ni příliš velký zájem. Tato teorie
však způsobila revoluci ve fyzice 20. století. Dnes, o 100 roků později, jsou Einstein,
jeho život a práce všeobecně známe na celém světě.
•
•
Einsteinův návrh byl založen na dvou myšlenkách:
že rychlost světla ve vakuu je konstantní pro všechny pozorovatele bez ohledu na
to, jako se pohybují
že fyzikální zákony jsou stejné ve všech soustavách, které se navzájem pohybují
konstantní rychlostí
Einstein používal pro rozvoj svých idejí myšlenkové experimenty. O jeho
představách, jak by svět vypadal, kdybychom uměli jezdit na světelném paprsku, bylo
již mnoho napsáno. Ve svých pracích, podobně jako kterýkoli jiný vědec, uznal a
ocenil výsledky práce dalších fyziků (Maxwell, Lorentz, Poincare) a jejich myšlenky
dále rozvíjel.
Speciální teorie relativity je často vyjadřována v podobě matematických
rovnic, které jsou pro většinu lidí těžko pochopitelné. Právě pochopení teorie
relativity je pro studenty největší výzvou.
Einstein bol přesvědčen, že způsob myšlení, jaký vyžaduje jeho teorie, je
vhodnější pro děti než pro dospělé a řekl:
„Normální dospělý si nikdy nezatěžuje hlavu problémy časoprostoru.
Představy o časoprostoru si většina lidí osvojí v ranném dětství. Já jsem se na druhé
straně, vyvíjel tak pomalu, že jsem si začal lámat hlavu nad prostorem a časem, až
když jsem dospěl.“
Podle Einsteinova názoru, když už ne matematika, tak koncepce speciální
teorie relativity by měla být přístupná pro studenty všech věkových kategorií.
Cílem této práce, zahrnující aktivity studentů, je vyrovnat se s jedním
důsledkem speciální teorie relativity – dilatací času.
Dilatace času znamená, že proces, který v pohybující se soustavě trvá jistou
dobu, trvá pro pozorovatele mimo soustavu déle. Přijmeme Einsteinovu radu
používat dětské uvažování a použijeme analogii z lunaparku.
Představme si ruské kolo otáčející se pomalu rovnoměrně ve směru pohybu
hodinových ručiček. Dívka, sledující kolo a svoje přátele sedící na různých sedačkách
usoudilo, že z pohybu kola by mělo být možné určit čas, kdybychom znali dobu startu
a počet sedaček procházejících za hodinu jistým pevným bodem. Skutečností, že vidí
sedačky jen díky odraženým fotonům pohybujícím se vzhledem k ní rychlostí světla,
se pravděpodobně nezabývá. Z hlediska vědců je dívka při pozorování kola ve
stacionární souřadnicové soustavě,
Položme si nyní otázku, co se stane, když se děvče pohybuje. Řekněme, že se
pohybuje po soustředné kružnici o menším poloměru než kolo a pomaleji než kolo.
Sedačky se pohybují kolem ní, ale trvá jim to déle, protože i ona se pohybuje. Čas,
který potřebuje sousední sedačka, aby ji minula, se zvětšil, protože souřadnicová
soustava děvčete již není je stacionární, což ovlivňuje její metodu určení času. Může
si myslet, že čas plyne pomaleji! To je idea dilatace času.
Matematická rovnice, popisující tento jev (lze ji nalézt v kterékoli učebnici
fyziky pro pokročilé studenty a je dokazatelná bez větších problémů) je
PH8 – 2
∆t’ = ϕ∆t
kde ∆t’ je čas měřený v souřadnicové soustavě pohybující se rychlostí v vzhledem
k v soustavě v klidu, v níž daný časový interval trvá ∆t. Veličina ϕ se nazývá
Lorentzův činitel a je dán vztahem
ϕ=
1
v2
1− 2
c
.
Jak dilatace času vysvětluje paradox miónů tvořících se v atmosféře
Mióny jsou subatomární částice vznikající někdy v atmosféře jako výsledek
srážek částic kosmického záření. Mohou být detekované balóny ve výškách asi 2 km
nad horskými observatořemi. Paradox spočívá ve skutečnosti, že přibližně 80 %
miónů detekovaných balóny jsou detekované rovněž observatořemi, přičemž
jednoduchý výpočet ukáže, že to je značně víc, než vyplývá z klasické mechaniky.
AKTIVITA:
Mióny se pohybují rychlostí 0,996c. Jak dlouho jim trvá překonání vzdálenosti
2 km? (rychlost světla ve vakuu je c = 3,0 · 108 m · s–1)
Mióny jsou nestabilní a rozpadají se s poločasem rozpadu 2,2 µs. Kolik celých
poločasů rozpadu uplyne za dobu potřebnou na překonání vzdálenosti 2 km?
Když za poločas rozpadu klesne počet miónů na polovinu, kolik miónů zůstane
z původního počtu po třech poločasech rozpadu?
Měření ukazují, že 80 % miónů zůstává a jsou detekovány v observatořích –
ale naše výpočty ukazují jen 12 %. Impozantní nesoulad! Avšak speciální teorie
relativity říká, že při rychlosti 0,996c je poločas rozpadu (definovaný v souřadnicové
soustavě miónů) delší, než ho měříme v observatoři. Několik dalších výpočtů vám
pomůže vysvětlit tento paradox.
AKTIVITA:
Jakou hodnotu má Lorentzův činitel pro mióny pohybující se rychlostí 0,996c?
Jaký je poločas rozpadu miónů vzhledem k observatoři, jestliže vzhledem
k jejich soustavě souřadnic je to 2,2 µs? Kolik poločasů rozpadu uplyne za dobu
6,7 µs potřebných k překonání dráhy 2 km? V tomto čase, který je jen zlomkem
z poločasu rozpadu, se rozpadne jen asi 20 % miónů. Tím je paradox vyřešený!
Dilatace času tedy, jako důsledek Einsteinovy teorie, perfektně vysvětluje
experimentální měření miónů vytvořených v atmosféře.
Když pochopíme dilataci času, uvědomíme si že nutně musí vést ke kontrakci
délky.
Fyzik, pohybující se ve vesmírné laboratoři s mióny, by místo času 6.7 µs
naměřených v observatoři, naměřil čas 6,7/11,2 µs, což je asi 0,6 µs. Vzdálenost
překonaná mióny by potom ale nebyla 2 km, ale jen 0,6 µs × 0,996c, což je asi 180 m.
Opačně, 2 000 m dlouhý objekt pohybující se směrem k observatoři touto rychlostí by
bol z observatoře změřený jako 180 m dlouhý.
PH8 – 3
Z matematického tvaru Lorentzova činitele je jasné, že pokud není rychlost
objektu porovnatelná s rychlostí světla, jsou dilatace času a kontrakce délky
zanedbatelné, což vysvětluje, proč klasická mechanika správně opisuje pohyb atletů,
automobilů a ruských kol (třebaže poslední nám posloužil jako užitečná analogie!)
Přece však, jakékoli pozorování zahrnuje vždy světlo ve smyslu fotonů pohybujících
se rychlostí světla, a protože čas a prostor jsou nezávislé, všechna jejich měření jsou
relativní vzhledem k pozorovatelově soustavě souřadnic.
Einsteinova speciální teorie relativity vedla k jeho slavné rovnici E = mc2
(a na jejím základě k štěpení jádra a vývoji hvězd) a k mnoha dalších úspěchů fyziky
20. století. Vysvětlila však i jevy hypoteticky chápané i před ní. Například vznik
magnetického pole v okolí vodiče s proudem je důsledkem dilatace času a plně může
být pochopena jen na základě uvedených principů.
PH8 – 4