HLEDÁME ZLATÉ ČÍSLO V PRAZE

PROJEKT:
HLEDÁME ZLATÉ ČÍSLO V PRAZE
Rozsah:
4 vyučovací hodiny (2 dvouhodiny), hodinová procházka, domácí práce s následnou zpětnou
vazbou
Cíl:
seznámit se blíže s Fibonacciho posloupností a pochopit, jak se tato posloupnost vyskytuje
v přírodě a v pražské architektuře.
Pomůcky:
1.
2.
3.
4.
5.
počítač s přístupem na internet (nepovinné, ale velmi užitečné)
tužka a papír
pravítko
kružítko
obdélníky k zjišťování zlatého poměru (různé průkazy či platební karty, kancelářský papír,
fotografie)
6. 3 pracovní listy: 1.PL: Zlatý poměr; 2.PL: Kruhy, 3.PL: Spirála
7. fotoaparát
8. vhodné ukázky přírodnin (květy, plody)
Provedení:
ve dvou částech:
1. FIBONACCIHO POSLOUPNOST
- úvodní prezentace
- PL Zlatý poměr
2. Hledání Fibonacciho čísel v přírodě a architektuře Prahy
- Prezentace Souvislosti v přírodě
- PL Kruhy, Spirála
- Společná instruktáž v počítačové učebně
- Matematická procházka, zpracování seminární práce
ad 1.:
Diskuze o Fibonacciho posloupnosti, která byla poprvé pozorována italským matematikem
Leonardem Fibonacci v r. 1202. Vyšetřoval, jak rychle by se mohli za ideálních podmínek
množit králíci. Vycházel z těchto předpokladů:
• Začneme s jedním párem králíků. Králíci se mohou pářit ve věku jednoho měsíce.
• Králík nikdy nezemře.
• Samice produkuje každý měsíc jeden pár králíků.
Fibonacciho zajímalo, kolik párů králíků bude mít za jeden rok.
Práce se studenty: studenti tvoří v ideálním případě posloupnost sami, zdůrazníme, že
• počítáme páry, ne jednotlivé králíky
•
•
•
•
•
začínáme s jedním párem králíků
na konci prvního měsíce je stále jen jeden pár
na konci druhého měsíce samice vrhne jeden pár – jsou tedy páry dva
na konci třetího měsíce původní samice vrhne další pár, jsou tedy tři páry
na konci čtvrtého měsíce původní samice vrhne jeden pár, samice narozená ve
druhém měsíci vrhne svůj první pár; celkem je tedy pěr párů
Průběžně zaznamenáváme na tabuli členy posloupnosti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144, 233
Zápis algoritmu (rekurentního vzorce) – jak z předchozích vypočteme následující člen
posloupnosti:
f1 = 1; f2 = 1; fn = fn-2 + fn-1
Vysvětlíme, že tato posloupnost je známá jako Fibonacciho. Studenti určí několik dalších
členů pomocí algoritmu (377, 610, 987,…). Všimneme si, že poměr následujících F.Č. se
postupně blíží číslu 1,6.
Rozdáme studentům PL1 – Zlatý poměr. Studenti ve skupinách proměří různé obdélníky a
spočítají poměr délky ku šířce. Tento poměr by měl být přibližně roven zlatému číslu
(1,61803…). Studenti uvádí další příklady, kde se vyskytuje a záměrně používá zlatý poměr.
Úlohy 4 a 5 si studenti připraví doma a výsledky budou diskutovány na dalším semináři.
Řešení úlohy č.5 z PL1:
Jeden trubec má jednoho rodiče (matku), dva prarodiče (rodiče matky), tři
praprarodiče (dva rodiče babičky a matku dědečka), pět prapraprarodičů, … Počty
členů v jednotlivých generacích rodokmenu jsou tedy 1, 1, 2, 3, 5, … - tedy opět
členy Fibonacciho posloupnosti. Graficky je rodokmen zobrazen na následujícím obr.
(včela: 2, 5, 8, 13; trubec: 1, 2, 3, 5, 8 předků.)
ad 2.:
Fibonacciho posloupnost fascinovala matematiky po celá staletí. Všimli si, že tato čísla se
objevují v mnoha dalších souvislostech a nejrůznějších přírodních strukturách a obdivovali
jejich krásu.
My také budeme objevovat tuto posloupnost. Nejdříve vyjdeme z ukázek a fotografií
různých přírodních objektů. Budeme hledat konkrétní čísla v pořadí daném Fibonacciho
posloupností, ne celou posloupnost (která je nekonečná!). Na ukázkách a fotografiích
různých rostlin (v připravené prezentaci, na internetu) demonstrujeme výskyt Fibonacciho
čísel v přírodě.
• OKVĚTNÍ PLÁTKY
Spočítejte počet lístků na každé z květin. Jaká čísla dostanete? Jsou to Fibonacciho
čísla? (Lilie a kosatce mají 3 plátky, blatouchy mají 5 plátků, astry 21 plátků – jde o F.
čísla.)
• SEMÍNKA V SEMENÍKU
Spočítejte od středu spirály počty semínek v jednotlivých kruzích. Postupujte
nejdříve doprava a pak doleva. Kolik jste napočítali semínek? Jde o F. čísla? (počty
semínek se liší ale jde o F.č.)
• RŮŽIČKY KVĚTÁKU (PLOD ANANASU)
Vyhledejte střed hlavy květáku. Spočítejte počet růžiček které tvoří spirálu směrem
doprava. Potom i směrem doleva. Jde o F.č.? ( Počty růžiček se liší, ale mělo by jít o
F.č.)
• BOROVÁ ŠIŠKA
Podívejte se pozorně na obrázek borové šišky. Vidíte, jak se semena řadí ve spirální
tvary? Najděte co nejvíce spirál v libovolných směrech a spočítejte, kolik je tvoří
semen. Jde o F.č.? (Mělo by jít o F.č.)
• JABLKO
Kolik bodů tvoří „hvězdičky“? Jde o F.č.? (Je jich pět.)
Výhodné je prohlédnout si galerii na internetu:
http://www.math.smith.edu/phyllo//EXPO/index.html) ..
Rozdělíme studenty na skupiny po 3 až 4. Rozdáme jim zbývající pracovní listy (PL2: Kruhy,
PL3: Spirála). Řekneme jim, aby podle návodu provedli konstrukce a aby se snažili odpovědět
na otázky. Ujistíme se, že studenti pochopili, co mají hledat a že každý student vyplnil svůj
PL. V případě potřeby pomůžeme. Přesnou konstrukci Fibonacciho spirály mohou udělat za
domácí úkol.
1) Diskuze o výhodnosti spirálního uspořádání semen. (Maximální využití prostoru.)
2) Kde jinde je možné pozorovat tvar spirály v přírodě? Najděte tvary příjemné na pohled (ulita,
mušle, ptačí vejce – ochranná funkce tvaru; listy, tornádo, spirální mlhovina).
Tyto spirály jsou odvozeny od Fibonacciho čísel – mají matematický základ.
3) Na další hodině se studenti podělí o své výkresy. Diskutují o tom, jak se dají použít
Fibonacciho obdélníky v architektuře a umění.
• Egypťané při stavbě pyramid
• Řekové v Pantheonu
• Stavební slohy
• Piet Mondrian – malíř používající ve své tvorbě tří a pěti jednotkové obdélníky
(http://cs.wikipedia.org/wiki/Piet_Mondrian, http://www.novinky.cz/bydleni/tipya-trendy/204458-nabytek-inspirovany-pietem-mondrianem-kouzli-s-vlivem-barevna-psychiku.html, http://www.allposters.cz/-st/Piet-MondrianPlakaty_c26757_.htm )
Na společné procházce studenti získali fotografický materiál pro zpracování seminární práce:
Hledáme zlaté číslo v Praze. V počítačové učebně jsme si před tím vyzkoušeli úpravu
fotografií – vpisování textu a vkreslování čar s popisky, což potom studenti ve své práci
využili.
Zdroje:
www.discoveryeducation.com/teachers/free-lesson-plan/numbers-in-nature.cfm
http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1491-leonardo-z-pisy-fibonacci
http://www.math.smith.edu/phyllo//EXPO/index.html
http://www.math.smith.edu/phyllo//