Hledání válce s minimálním povrchem

Hledání válce s minimálním
povrchem
Martin Bodlák
10. 1. 2010
Popis
Budeme hledat, jaké musí být rozměry válce, který má při zadaném objemu
minimální povrch.
Využijeme zde metodu tzv. „Lagrangeových multiplikátorů“, budeme tedy hledat
minimum funkce obsahu v závislosti na stanoveném objemu.
Budeme tedy minimalizovat: S = 2πr2 + 2πrh
za podmínky: V = πhr2, kde V budeme mít pevně dané.
Sestavíme Lagrangean: L = 2πr2 + 2πrh + λ(πhr2 - V)
Zderivujeme Lagrangean parciálně podle r, h a λ a budeme hledat takové r, h a λ,
ve kterých jsou tyto derivace nulové.
Z nalezených řešení vezmeme to, u kterého je obsah minimální.
Zdrojový kód
function VALEC(V)
%mame zadany pozadovany objem
syms r real;
syms h real;
syms P real;
syms lambda;
%objem V = pi*h*r^2
P = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h;
L = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h - lambda*(pi*h*r^2 - V);
dR = diff(L,r,1);
dH = diff(L,h,1);
dLa = diff(L,lambda,1);
S = solve(dR, dH, dLa);
n = length(S.r);
i = 1;
for j = 1:n
if isreal(S.r(j)) && isreal(S.h(j)) %bereme jen reálné řešení
Xr(i)=S.r(j);
Xh(i)=S.h(j);
i = i+1;
end
end
%hledání řešení s nejmenší plochou
XP = subs(P,{r,h},{Xr(1),Xh(1)});
min = double(XP);
syms rr hh
rr = Xr(1);
hh = Xh(1);
for j = 2:length(Xr)
subs(XP,r,Xr(j));
subs(XP,h,Xh(j));
if double(XP)<=min
rr = Xr(j);
hh = Xh(j);
min = double(XP);
end
end
r = double(rr)
h = double(hh)
min
Ukázky výstupu
>> VALEC(1)
r = 0,5419
h = 1,0839
min = 5,5358
>> VALEC(10)
r = 1,1675
h = 2,3351
min = 25,6950
>> VALEC(20)
r = 1,4710
h = 2,9420
min = 40,7882