MATEMATIKA II
Transkript
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 4 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by LATEX 2ε c Josef Diblı́k, Oto Přibyl 2004 Obsah 1 Struktura řešenı́ LDR 1.1 Jaké lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice budeme studovat? 1.2 Základnı́ pojmy z teorie LDR . . . . . . . . . . . . 1.3 Počátečnı́ úloha pro LDR . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Princip superpozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Lineárnı́ závislost systému funkcı́ . . . . . . . . . . 1.6 Wronskián systému řešenı́ LDR . . . . . . . . . . . 1.7 Počátečnı́ podmı́nky . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Obecné řešenı́ HLDR . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Počet nezavislých řešenı́ . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Obecné řešenı́ NHLDR . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 LDR s pravou stranou nezávislou na řešenı́ . . . . . 1.12 Snı́ženı́ řádu homogennı́ rovnice . . . . . . . . . . . 2 Homogennı́ LDR s konstantnı́mi koeficienty 2.1 Exponenciálnı́ tvar řešenı́ . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Symbolické operátory . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice . . . . . . . . . 2.4 Aplikace rovnic druhého řádu – harmonické kmity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 6 6 9 16 17 19 20 21 22 27 . . . . 29 30 32 36 41 3 Partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ LDR 47 3.1 Metoda odhadu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Metoda variace konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 i ii OBSAH Úvod Cı́le modulu Cı́le studia tohoto modulu jsou průběžně popisovány na začátku každé kapitoly, ke které se vztahujı́. Požadované znalosti Pro zvládnutı́ tohoto modulu je nezbytné zvládnout problematiku modulu BA02_M03: Obyčejné diferenciálnı́ rovnice 1. Doba potřebná ke studiu Přibližně lze odhadnout potřebnou dobu ke studiu tohoto modulu na 25 hodin. Pro zı́skánı́ dostatečné početnı́ praxe bude ještě zřejmě zapotřebı́ dalšı́ čas závislý na individuálnı́ch schopnostech studenta. Klı́čová slova Homogennı́ lineárnı́ rovnice, lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice, nehomogennı́ lineárnı́ rovnice, princip super pozice, lineárnı́ nezávislost systému funkcı́, Wronskián, fundamentálnı́ systém řešenı́, exponeciálnı́ tvar řešenı́, charakteristická rovnice, symbolický diferenciálnı́ operátor, harmonické kmity, kriticky tlumené kmity, silně tlumené kmity, slabě tlumené kmity, amplituda, netlumené kmity, metoda neurčitých koeficientů, metoda odhadu, rezonance, metoda variace konstant. 1 2 OBSAH Kapitola 1 Struktura řešenı́ lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic vyššı́ch řádů; lineárnı́ nezávislost řešenı́, wronskián Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: V této části bude osvětlena struktura obecného řešenı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice n-tého řádu. Uvidı́me, že obecné řešenı́ má jednoduchý a logický tvar. Právem je tato část chloubou obyčejných diferenciálnı́ch rovnic. Pochopenı́m tvaru řešenı́ vstřebáte jakýsi nadhled nad situacı́, který budete potřebovat v dalšı́ch částech modulu při řešenı́ konkrétnı́ch diferenciálnı́ch rovnic. Dı́lčı́ cı́l: Po prostudovánı́ této části: • si dále upevnı́te znalosti zı́skané v 1. kapitole prvnı́ho modulu o diferenciálnı́ch rovnicı́ch; • budete vědět, jak má obecné řešenı́ vypadat, i když jeho přesný konkrétnı́ tvar vypočı́tat nepůjde; • naučı́te se pracovat s pojmem lineárnı́ závislosti a nezávislosti řešenı́ diferenciálnı́ch rovnic; • poznáte wronskián a načı́te se s nı́m pracovat. Pan Přı́sný, váš přı́sný průvodce studiem: Využijeme některých poznatků z předchozı́ho modulu. Půjde, napřı́klad, o samotný pojem lineárnı́ diferenciálnı́ 3 4 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR rovnice n-tého řádu, pojem řešenı́ diferenciálnı́ rovnice, partikulárnı́ho řešenı́ a parametrické množiny řešenı́, definici a pojem obecného řešenı́. Proto je bezpodmı́nečně nutné, si tyto pojmy opět řádně zopakovat! Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: Alespoň malé ,,osvěženı́“ by mělo přijı́t i v přı́padě počátečnı́ úlohy pro rovnici n-tého řádu. 1.1 Jaké lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice budeme studovat? V centru našı́ pozornosti bude speciálnı́ přı́pad lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice n-tého řádu an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x). (1.1) Bez omezenı́ obecnosti předpokládejme nejenom, že an (x) 6= 0 na intervalu I (v opačném přı́padě by rovnice nebyla rovnicı́ n-této řádu), ale i to, že tento koeficient položı́me identicky roven jedné, tj. an (x) ≡ 1 na intervalu I. Pokud tento předpoklad nenı́ splněn, lze jednoduše takovou rovnici na rovnici s jednotkovým koeficientem převést. To je možné zajistit vždy dělenı́m celé rovnice na nenulový koeficient an (x) a následných přeznačenı́m nově vzniklých koeficientů. Tento postup ilustrujme takto: Za předpokladu an (x) 6= 0 na intervalu I z rovnice (1.1) dělenı́m na an (x) dostaneme y (n) + an−1 (x) (n−1) a1 (x) 0 a0 (x) g(x) y + ··· + y + y= . an (x) an (x) an (x) an (x) Utvořı́me-li nové funkce pomocı́ předpisů An−1 (x) := an−1 (x) a1 (x) a0 (x) g(x) , . . . , A1 (x) := , A0 (x) := , G(x) := , an (x) an (x) an (x) an (x) pak má nová lineárnı́ rovnice n-tého řádu tvar y (n) + An−1 (x)y (n−1) + · · · + A1 (x)y 0 + A0 (x)y = G(x). Bez omezenı́ obecnosti se přidržı́me původnı́ho značenı́ pomocı́ malých pı́smen a budeme se dále odvolávat na lineárnı́ rovnici n-tého řádu y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x). (1.2) 1.2. ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE LDR 1.2 5 Homogennı́ a nehomogennı́ rovnice, dalšı́ použité termı́ny a některé základnı́ vlastnosti V teorii lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic se vžily a dodnes se použı́vajı́ určité názvy a termı́ny. Nebylo by však účelné kdybychom se s nimi neseznámili nebo kdybychom se je snažili nahradit nějakými jinými, které by dle našeho názoru byly třeba i výstižnějšı́. Hodně bychom tı́m ztratili a ztráta pravděpodobně nejzávažnějšı́ by byla ve ztı́ženı́ nebo dokonce znemožněnı́ komunikace s těmi odbornı́ky, kteřı́ by užı́vali terminologii standardnı́. K tomu, bohužel, někdy ve vědeckých a odborných disciplı́nách docházı́. Možná je to částečně podmı́něno bouřlivým vývojem některých z nich, kdy je nutno v krátké době pojmenovat nové jevy, tj. zavést ,,novou“ terminologii. Stává se však, že odbornı́ci si v překotné práci nevšimnou, že něco podobného je třeba již pojmenováno v jiném vědnı́m oboru. Tak může vzniknout a vžı́t se jiné názvoslovı́. Nechme ale tuto širokou problematiku termı́nového chaosu či termı́nového babylnu stranou a vrat’me se k lineárnı́m diferenciálnı́m rovnicı́m a k přı́slušné terminologii. V rovnici (1.2), tj. v rovnici y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x) je y = y(x), y : I → R hledanou funkcı́ a y (i) (x) = y (i) , i = 1, 2, . . . , n jsou jejı́ derivace. Připomeňme, že symbol I má stále stejný význam, tj., je jednı́m z čı́selných intervalů tvaru [a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (−∞, b], (−∞, b), [a, ∞), (a, ∞), nebo (−∞, ∞), kde a < b. Funkce ai : I → R, i = 0, 1, . . . , n − 1 nazýváme koeficienty rovnice (1.2). Pravou stranou rovnice (1.2) nazýváme funkci g : I → R. Předpokládáme, že všechny koeficienty ai , i = 0, 1, . . . , n − 1 i pravá strana g jsou spojitými funkcemi na intervalu I. Homogennı́ a nehomogennı́ rovnice Pokud nenı́ v rovnici (1.2) pravá strana identicky nulová, tj., pokud g 6≡ 0 na intervalu I, pak rovnici nazýváme (kromě již dalšı́ch přı́vlastků, tj. lineárnı́ a n-tého řádu) rovnicı́ nehomogennı́. V opačném přı́padě, tj., pokud g ≡ 0 na intervalu I je rovnice (1.2) nazývána homogennı́. Přidružená homogennı́ rovnice Je-li dána rovnice (1.2), pak rovnici se stejnými koeficienty a s nulovou pravou stranou u(n) + an−1 (x)u(n−1) + · · · + a1 (x)u0 + a0 (x)u = 0 6 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR nazýváme přidruženou (nebo asociovanou) homogennı́ rovnicı́ k rovnici (1.2). Bez ztráty obecnosti úvah nenı́ nutné v přidružené rovnici značit hledanou funkcı́ jiným symbolem (v našem přı́padě jsme užili pı́smena u) a můžeme hledanou funkci značit stejně jako v nehomogennı́ rovnici, tj., můžeme přidruženou rovnici psát ve tvaru y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0 (1.3) s vědomı́m, že řešenı́ přidružené homogennı́ rovnice (1.3) a řešenı́ výchozı́ nehomogennı́ rovnice (1.2) jsou různými funkcemi. 1.3 Počátečnı́ úloha pro lineárnı́ rovnice vyššı́ch řádů Slı́bili jsme, že se ještě vrátı́me k otázce existence řešenı́ počátečnı́ úlohy pro lineárnı́ rovnice. Uvažujme tedy počátečnı́ úlohu pro lineárnı́ nehomogennı́ rovnici n-tého řádu (1.2), tj. uvažujme úlohu: y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x), y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y00 , ... (n−1) y (n−1) (x0 ) = y0 (1.4) . kde x0 ∈ I. Následujı́cı́ věta má na rozdı́l od vět, uvedených v Kapitole ?? nelokálnı́ charakter. Věta 1. Předpokládejme, že koeficienty an−1 (x), . . . , a1 (x), a0 (x) rovnice (1.2) a jejı́ pravá strana - funkce g(x) - jsou spojitými funkcemi na intervalu I. Pak má počátečnı́ úloha (1.4) jediné řešenı́ y = y(x), které je definováno na celém intervalu I. 1.4 Princip superpozice V takzvaném principu superpozice je soustředěna nejdůležitějšı́ vlastnost řešenı́ lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic. Týká se struktury řešenı́ jak homogennı́ch tak i nehomogennı́ch rovnic. V přı́padě homogennı́ch rovnic (po formulaci principu si promyslete jakou volbou funkcı́ k homogennı́mu přı́padu dospějete) řı́ká, že součet řešenı́ homogennı́ rovnice je opět řešenı́m homogennı́ rovnice a že výsledek násobenı́ řešenı́ homogennı́ rovnice libovolnou konstantou je opět řešenı́m homogennı́ rovnice. V nehomogennı́m přı́padě si princip superpozice můžeme zjednodušeně vyložit tak, že když má pravá strana komplikovaný tvar a lze ji rozložit na součet několika (jednoduššı́ch) funkcı́ tak, že substituce každé z těchto jednoduššı́ch funkcı́ mı́sto 1.4. PRINCIP SUPERPOZICE 7 původnı́ do rovnice vede k rychlému nalezenı́ partikulárnı́ho řešenı́, je součet těchto partikulárnı́ch řešenı́ také partikulárnı́m řešenı́m výchozı́ rovnice. Uved’me zněnı́ tohoto principu. Věta 2 (Princip superpozice) Předpokládejme, že funkce g : I → R je lineárnı́ kombinacı́ dvou funkcı́ g1 a g2 s konstantami K1 , K2 , tj., g(x) = K1 g1 (x) + K2 g2 (x). Označme y = y1 (x) partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g1 (x) (1.5) a y = y2 (x) partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g2 (x). (1.6) Předpokládejme dále, že funkce u = u1 (x) a u = u2 (x) jsou řešenı́ asociované homogennı́ rovnice se stejnými koeficienty u(n) + an−1 (x)u(n−1) + · · · + a1 (x)u0 + a0 (x)u = 0. Pak je lineárnı́ kombinace y(x) = K1 y1 (x) + K2 y2 (x) + C1 u1 (x) + C2 u2 (x) s libovolnými konstantami C1 , C2 řešenı́m rovnice (1.2) na intervalu I . Důkaz. Charakter důkazu má výpočetnı́ charakter a proto jej v rámci procvičenı́ početnı́ch úkonů probı́hajı́cı́ch v lineárnı́ch rovnicı́ch provedeme. Dosazenı́ funkce y(x) do levé strany rovnice (1.2) dává (samostatně zdůvodněte rozepsánı́ prvnı́ho výrazu na následujı́cı́ čtyři) y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y (n) (n−1) + · · · + a1 (x)y10 + a0 (x)y1 (n) (n−1) + · · · + a1 (x)y20 + a0 (x)y2 (n) (n−1) + · · · + a1 (x)u01 + a0 (x)u1 (n) (n−1) + · · · + a1 (x)u02 + a0 (x)u2 = K1 y1 + an−1 (x)y1 + K2 y2 + an−1 (x)y2 + C1 u1 + an−1 (x)u1 + C2 u2 + an−1 (x)u2 = K1 g1 (x) + K2 g2 (x) + 0 + 0 = g(x). 2 Na závěr ještě poznamenejme, že jsme uvedli variantu principu superpozice se dvěma funkcemi g1 (x) a g2 (x) a dvěma řešenı́mi u1 (x) a u2 (x). Lze podle vašeho názoru tento princip formulovat pro libovolný konečný počet funkcı́ g1 (x), g2 (x), . . . , gm (x) 8 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR a pro libovolný počet řešenı́ u1 (x), u2 (x), . . . , us (x)? Musı́ přitom platit m = s nebo může být m 6= s? Podpořte váš názor konkrétnı́mi argumenty! Přı́klad 1. Prověřte, že funkce u1 (x) = e3x a u2 (x) = e−3x vyhovujı́ diferenciálnı́ rovnici druhého řádu u00 − 9u = 0 (1.7) na intervalu I = R. Sestavte s pomocı́ principu superpozice dalšı́ řešenı́ této rovnice. Řešenı́. Pro dané funkce platı́ u1 (x) = e3x , u01 (x) = 3e3x , u001 (x) = 9e3x a u2 (x) = e−3x , u01 (x) = −3e−3x , u001 (x) = 9e−3x . Nynı́ je zřejmé, že se jedná o řešenı́ rovnice (1.7). Podle principu superpozice je řešenı́m také každá funkce u(x) = C1 u1 (x) + C2 u2 (x) = C1 e3x + C2 e−3x s libovolnými parametry C1 a C2 . Přı́klad 2. Prověřte, že partikulárnı́m řešenı́m nehomogennı́ rovnice y 000 + y 00 − 2y 0 = x (1.8) je funkce 1 y = y1 (x) = − x(x + 1) 4 a partikulárnı́m řešenı́m nehomogennı́ rovnice y 000 + y 00 − 2y 0 = −ex (1.9) je funkce 1 y = y2 (x) = − xex . 3 Sestavte s pomocı́ principu superpozice partikulárnı́ řešenı́ rovnice y 000 + y 00 − 2y 0 = x − ex . (1.10) 1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ Řešenı́. 9 Pro dané funkce platı́ 1 1 1 y1 (x) = − (x2 + x), y10 (x) = − (2x + 1), y100 (x) = − , y1000 (x) = 0 4 4 2 a y2 (x) = y20 (x) = y200 (x) = y2000 (x) = −ex . Nynı́ je zřejmé, že se jedná o řešenı́ rovnic (1.8), (1.9). Podle principu superpozice je partikulárnı́m řešenı́m rovnice (1.10) funkce 1 1 y(x) = y1 (x) + y2 (x) = − x(x + 1) − xex . 4 3 1.5 Co je to lineárnı́ závislost a lineárnı́ nezávislost systému funkcı́? Vysvětlı́me pojmy takzvané lineárnı́ závislosti a lineárnı́ nezávislosti systému funkcı́. Jejich užitečnost brzy ocenı́me při konstrukcı́ch obecných řešenı́ homogennı́ch a nehomogennı́ch lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic n-tého řádu. Definice 1. [Lineárnı́ závislost] Systém funkcı́ v1 , v2 , . . . , vk , zobrazujı́cı́ch interval I do R nazýváme lineárně závislým systémem na intervalu I, existujı́-li konstanty C1 , C2 , . . . , Ck , které nejsou všechny rovné nule tak, že pro každé x ∈ I platı́ C1 v1 (x) + C2 v2 (x) + · · · + Ck vk (x) = 0. (1.11) Jinými slovy můžeme řı́ci, že systém funkcı́ je lineárně závislý, pokud existujı́-li konstanty C1 , C2 , . . . , Ck , které nejsou všechny rovné nule tak, že lineárnı́ kombinace daných funkcı́ s těmito konstantami je identicky rovna nule na intervalu I. Opakem této definice je vysvětlenı́ pojmu lineárnı́ nezávislosti systému funkcı́. Uved’me přı́slušnou definici. 10 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR Definice 2. [Lineárnı́ nezávislost] Systém funkcı́ v1 , v2 , . . . , vk , zobrazujı́cı́ch interval I do R nazýváme lineárně nezávislým systémem na intervalu I, platı́-li vztah (1.11) pro každé x ∈ I pouze tehdy, když jsou všechny konstanty nulové, tj. v přı́padě, že C1 = C2 = · · · = Ck = 0. Pro úplnost ještě dodejme následujı́cı́. Naše definice předpokládaly, že systémy funkcı́ jsou systémy reálných funkcı́. Je ovšem možné předpokládat, že pracujeme s funkcemi, které nabývajı́ komplexnı́ch hodnot a zněnı́ definic zůstane stejné. Přı́klady lineárnı́ (ne:-)závislosti systémů funkcı́ Přı́klad 3. Jsou funkce v1 (x) = 2, v2 (x) = cos 2x, v3 (x) = sin2 x jsou lineárně závislé na libovolném intervalu I? Řešenı́. Protože platı́ cos 2x = 1 − 2 sin2 x vidı́me, že také platı́ 1 · v1 (x) − v2 (x) − 2v3 (x) = 0 2 pro každé x ∈ I ⊆ R. Pro k = 3 a C1 = 1 , C2 = −1, C3 = −2 2 je splněna Definice 1 o lineárnı́ závislosti systému funkcı́. Daný systém funkcı́ je lineárně závislým systémem funkcı́ na libovolném intervalu I. Přı́klad 4. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé funkce v1 , v2 : I := (−1, 1) → R, definované předpisy ( x5 je-li −1 < x ≤ 0, 0 je-li 0 < x < 1; ( 0, je − li −1 < x ≤ 0, x5 , je − li 0 < x < 1. v1 (x) = v2 (x) = 1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ Řešenı́. 11 Proved’me analýzu vztahu C1 v1 (x) + C2 v2 (x) = 0 (1.12) na intervalu I. Má-li tento vztah platit na celém intervalu I, pak musı́ platit i pro hodnotu x = −1/2 ∈ I. V tomto, přı́padě je vztah (1.12) redukován na −C1 · 1 + C2 · 0 = 0, 32 tj., vztah (1.12) může platit jen tehdy, když C1 = 0. Dosad’me dále (za podmı́nky, že C1 = 0) hodnotu x = 1/2 ∈ I do vztahu (1.12). Potom C2 · 1 =0 32 a C2 = 0. Tı́m jsme prověřili, že vztah (1.12) může platit na celém intervalu I jen tehdy, když C1 = C2 = 0. Podle Definice 2 jsou funkce v1 , v2 lineárně nezávislé na intervalu I. Přı́klad 5. Jsou funkce √ √ ω1 (x) = 2 x + 4, ω2 (x) = − x + 4x, ω3 (x) = 2x + 1, ω4 (x) = x5 lineárně závislé na intervalu I = (0, ∞)? Řešenı́. Prokážeme lineárnı́ závislost tohoto systému funkcı́. Můžeme se přesvědčit, že na intervalu I platı́ 1 · ω1 (x) + ω2 (x) − 2 · ω3 (x) + 0 · ω4 (x) = 0. 2 Pro k = 4 a 1 , C2 = 1, C3 = −2, C4 = 0 2 je splněna Definice 1 o lineárnı́ závislosti systému funkcı́. Daný systém funkcı́ je lineárně závislým systémem funkcı́ na intervalu I. C1 = Přı́klad 6. Systém funkcı́, které se často objevujı́ jako řešenı́ lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic je systém eλx , xeλx , . . . , xk−1 eλx , 12 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR ve kterém je čı́slo λ různé od nuly. Ukažme, že se jedná o systém lineárně nezávislých funkcı́ na intervalu I = R. Řešenı́. Při řešenı́ postupujeme standardně. Sestavı́me lineárnı́ kombinaci C1 eλx + C2 xeλx + · · · + Ck xk−1 eλx = 0, která se po krácenı́ nenulovým výrazem eλx stává lineárnı́ kombinacı́ C1 + C2 x + · · · + Ck xk−1 = 0. (1.13) Zkuste chvilku přemýšlet o tom, jak zdůvodnit, proč je poslednı́ vztah nulový na intervalu I pouze, když jsou všechny koeficienty nulové, tj. když C1 = C2 = · · · = Cn = 0. Cest k tomu vede několik a většinou využı́vajı́ poznatky, které byly probı́rány již na střednı́ch školách. Ukážeme dvě možnosti. Dosad’me do poslednı́ho vztahu mı́sto x postupně k navzájem různých hodnot x = λ1 , x = λ2 , . . . , x = λk . Tı́m zjistı́me, že koeficienty C1 , C2 , · · · , Ck vyhovujı́ k lineárnı́m algebraickým rovnicı́m C1 + C2 λ1 + · · · + Ck λk−1 = 0, 1 C1 + C2 λ2 + · · · + Ck λk−1 = 0, 2 ... (1.14) C1 + C2 λk + · · · + Ck λk−1 = 0. k Determinant tohoto systému rovnic 1 1 ... 1 λ1 . . . λk−1 1 k−1 λ2 . . . λ2 . . . . . . . . . λk . . . λkk−1 je tzv. Vandermondův determinant, který je uvažován v Přı́kladu 8, kde je ukázano, že za uvedeného předpokladu navzájem různých hodnot λ1 , λ2 , . . . , λk , je Vandermondův determinant různý od nuly. Pak má systém (1.14) pouze řešenı́ C1 = C2 = · · · = Cn = 0 a nezávislost daného systému funkcı́ je prokázána. Úkol pro vás: Ukažte, že daný determinant a Vandermondův determinant z Přı́kladu 8 jsou skutečně stejné. Přitom využijte svých poznatků o vlastnostech determinantů. Uved’me i odlišný způsob řešenı́ předchozı́ úlohy. Využijeme pouze tzv. hlavnı́ větu algebry. Tato věta řı́ká, že každá polynomiálnı́ rovnice stupně s má právě s kořenů (každý 1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ 13 kořen je počı́tán tolikrát, jaká je jeho násobnost). Necht’ vztah (1.13) platı́ pro nějaké konkrétnı́ a ne všechny nulové hodnoty C1∗ , C2∗ , · · · , Ck∗ na intervalu I. Pak má polynomiálnı́ rovnice C1∗ + C2∗ x + · · · + Ck∗ xk−1 = 0 (1.15) vzhledem k neznámé veličině x nejvýše k − 1 kořenů x = x1 , x = x2 , . . . , x = xk−1 . (Přijdete na to, proč za této situace nemusı́ být počet kořenů roven přesně čı́slu k −1 a kdy je počet kořenů přesně roven čı́slu k − 1?) Pak je ale výraz uvedený v (1.15) roven nule pouze pro tyto uvedené hodnoty. Vezmeme-li jinou hodnotu, napřı́klad x = x∗ tak, aby x∗ 6= x1 , x∗ 6= x2 , . . . , x∗ 6= xk−1 , musı́ platit C1∗ + C2∗ x∗ + · · · + Ck∗ xk−1 6= 0. ∗ To je ale spor s výchozı́m předpokladem. Proto C1∗ = C2∗ = · · · = Ck∗ = 0 a nezávislost daného systému funkcı́ je také tı́mto postupem prokázána. Jak poznat lineárnı́ nezávislost systému funkcı́, pojem wronskiánu Nenı́ nutné vždy zjišt’ovat lineárnı́ závislost či lineárnı́ nezávislost systému funkcı́ přı́mo podle uvedených definic nebo na základě našich kombinačnı́ch schopnostı́. V této části předkládáme postačujı́cı́ podmı́nku pro zjištěnı́, zdali je daný systém funkcı́ lineárně nezávislý. Nejprve zavedeme název pro jeden konkrétnı́ druh determinantu, který nazýváme wronskiánem. Definice 3. Necht’ je dán systém funkcı́ v1 , v2 , . . . , vk zobrazujı́cı́ch interval I do R. Předpokládejme navı́c, že tyto funkce majı́ na intervalu I spojité derivace do řádu k − 1 včetně. Pak determinant W : I → R definovaný předpisem v (x) 1 v10 (x) W (x) = W (v1 (x), v2 (x), . . . , vk (x)) := ··· (k−1) v1 (x) v2 (x) v20 (x) ··· (k−1) v2 (x) ... ... ··· ... vk (x) vk0 (x) . · · · (k−1) vk (x) nazýváme wronskiánem systému funkcı́ v1 , v2 , . . . , vk . Věta 3. Předpokládejme, že reálné funkce v1 , v2 , . . . , vk jsou definované na intervalu I a majı́ zde spojité derivace do řádu k − 1 včetně. Jestliže pro některé x1 ∈ I platı́: W (x1 ) = W (v1 (x1 ), v2 (x1 ), . . . , vk (x1 )) 6= 0, (1.16) 14 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR pak jsou funkce systému v1 , v2 , . . . , vn lineárně nezávislé na intervalu I. Opačné tvrzenı́ neplatı́, tj., pro systém lineárně nezávislých funkcı́ nemusı́ v žádném bodě x1 ∈ I platit nerovnost (1.16). Důkaz. Prověrka formulované vlastnosti je připomenutı́m poznatků o řešenı́ algebraických rovnic. Pro snažšı́ přehlednost budeme uvažovat jen systém dvou funkcı́, tj. položı́me k = 2. Předpokládejme, že pro některé x1 ∈ I platı́ W (x1 ) 6= 0 a že existujı́ konstanty C1 a C2 takové, že C1 v1 (x) + C2 v2 (x) = 0 (1.17) pro všechny hodnoty x ∈ I. Ukážeme, že obě konstanty musı́ být nulové. Derivovánı́m vztahu (1.17) dostáváme C1 v10 (x) + C2 v20 (x) = 0. (1.18) Uvažujme systém lineárnı́ch algebraických rovnic vzhledem ke konstantám C1 a C2 , který vznikne dosazenı́m hodnoty x = x1 do vztahu (1.17) a (1.18): C1 v1 (x1 ) + C2 v2 (x1 ) = 0, C1 v10 (x1 ) + C2 v20 (x1 ) = 0. (1.19) Systém (1.19) sestává ze dvou rovnic o dvou neznámých. Determinant jeho matice koeficientů je wronskiánem W (x1 ). Podle předpokladu je W (x1 ) 6= 0. Proto má systém (1.19) pouze jediné řešenı́. Protože jako řešenı́ vyhovujı́ hodnoty C1 = C2 = 0 nemůže jiná alternativa existovat. Jsou splněny podmı́nky Definice 2, uvažovaný systém funkcı́ je tedy lineárně nezávislý. Tı́m je prvnı́ část věty dokázána. To, že opačné tvrzenı́ neplatı́ prověřı́me na konkrétnı́m přı́kladu. Stačı́, napřı́klad, položit k = 2 a použı́t funkce v1 a v2 , které byly definovány v Přı́kladu 4. Snadno ověřı́me, že pro wronskián tohoto systému funkcı́ na intervalu (−1, 1) platı́ W (x) = W (v1 , v2 ) = 0. Vı́me ale, že Přı́klad 4 ukazoval, že funkce v1 a v2 jsou na intervalu (−1, 1) lineárně nezávislé. Opačné tvrzenı́ tedy neplatı́. 2 Přı́klad 7. Ukažme, že funkce v1 (x) = eλ1 x a v2 (x) = eλ2 x jsou na intervalu I = R lineárně nezávislé v přı́padě, kdy pro konstanty λ1 a λ2 platı́ λ1 6= λ2 . 1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ 15 Řešenı́. Úlohu vyřešı́me pomocı́ wronskiánu uvedených funkcı́, vypočı́taný v bodě x1 = 0. Wronskián v libovolném bodě je W (x) = W e λ1 x ,e λ2 x eλ1 x = λ1 eλ1 x eλ2 x λ2 eλ2 x a 1 W (0) = λ1 1 = λ2 − λ1 6= 0. λ2 Tı́m je podle Věty 3 prokázána lineárnı́ nezávislost uvedených exponenciálnı́ch funkcı́. Přı́klad 8. [Vandermondův determinant] Funkce testované v právě vyřešeném Přı́kladu 7 se často objevujı́ jako řešenı́ lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic. Řešme proto obecnějšı́ úlohu - ukážme, že systém exponenciálnı́ch funkcı́ eλ1 x , eλ2 x , . . . , eλk x , ve kterém jsou všechna čı́sla λ1 , λ2 , . . . , λk navzájem různá, je systémem lineárně nezávislých funkcı́ na intervalu I = R. Řešenı́. Úlohu řešı́me podobně jako v Přı́kladu 7. Sestavı́me wronskián eλ1 x λ eλ1 x λ1 x λ2 x λk x W (x) = W e , e , . . . , e = 1 ... k−1 λ eλ1 x 1 eλ2 x λ2 eλ2 x ... k−1 λ2 x λ2 e ... eλk x . . . λk eλk x ... . . . λk x . . . λk−1 k e a najdeme jeho hodnotu, napřı́klad, v bodě x = 0, tj. vypočı́táme 1 λ W (0) = 1 ... k−1 λ 1 1 λ2 ... λk−1 2 ... 1 . . . λk . . . . . . . . . . λk−1 k Právě tento determinant se nazývá Vandermondovým determinantem. Připomeňme ještě, že předchozı́ přı́pad je speciálnı́m přı́padem našı́ úlohy. Odpověd’ uvádı́me pro všechny kategorie řešitelů (postup je uveden, napřı́klad, v knize [10]). Hodnota determinantu je: W (0) = Y 1≤i<j≤k (λj − λi ). 16 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR Protože podle předpokladu nemůže být žádný z rozdı́lů čı́sel nulový, platı́ W (0) 6= 0. Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: Vandermondův determinant je jeden z význačných determinantů, hodnotu kterého lze vypočı́tat. Nenı́ to ale jednoduché. Může to pro vás být výzvou, pokusit se třeba během vı́kendové ,,nečinnosti“ ho pokořit. Jedná se o úlohu typu rekreačnı́ matematiky a hodně bude záležet na vašem důvtipu. 1.6 Wronskián systému řešenı́ rovnice (1.3) V procesu využitı́ wronskiánu nynı́ nastává kvalitativnı́ skok. Nebudeme již využı́vat wronskián ke zkoumánı́ lineárnı́ nezávislosti libovolného systému funkcı́. Nynı́ budeme předpokládat, že zkoumané systémy funkcı́ jsou řešenı́mi lineárnı́ homogennı́ rovnice n-tého řádu (1.3), tedy rovnice y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0. Teprve při zkoumánı́ takových systémů řešenı́ nabývá wronskián nové diagnostikačnı́ sı́ly a dává jednoznačnou odpověd’ na otázku, zdali je nebo nenı́ daný systém řešenı́ lineárně závislý nebo lineárně nezávislý na intervalu I. Pak tedy platı́ tvrzenı́ opačné k prvnı́mu tvrzenı́ Věty 3. Věta 4. Je-li na intervalu I dán systém řešenı́ y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) rovnice (1.3), pak je tento systém lineárně nezávislým systémem řešenı́ tehdy a jen tehdy, když W (x) = W (y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)) 6= 0 pro každé x ∈ I. Důkaz. Prvnı́ část věty je důsledkem předcházejı́cı́ Věty 3. Druhá část prověrky je zajı́mavým zúročenı́m tvrzenı́ věty o jednoznačnosti řešenı́ počátečnı́ úlohy (viz Věta 1) a prověřı́ vaši schopnost logické dedukce. Opět se, kvůli přehlednosti, omezı́me na přı́pad n = 2, tedy na rovnici druhého řádu. Předpokládejme opak toho, co věta uvádı́. Tedy předpokládejme, že W (x1 ) = 0 pro některou hodnotu x1 ∈ I. Ukážeme, že pak je systém dvou řešenı́ lineárně závislým systémem funkcı́. Uvažujme systém dvou rovnic C1 y1 (x1 ) + C2 y2 (x1 ) = 0, C1 y10 (x1 ) + C2 y20 (x1 ) = 0, (1.20) vzhledem k neznámým veličinám C1 a C2 . Z poznatků o řešenı́ rovnic pak vyplývá, že systém (1.20) má netriviálnı́ rešenı́ C1 = C1∗ , C2 = C2∗ , tj. má takové řešenı́, že obě dvě hodnoty C1∗ , C2∗ nejsou nulové. Vezměme tyto hodnoty a uvažujme na intervalu I 1.7. POČÁTEČNÍ PODMÍNKY 17 řešenı́ rovnice (1.3) určené následujı́cı́ lineárnı́ kombinacı́ (lineárnı́ kombinace řešenı́ je dle principu superpozice opět řešenı́m - viz Větu 2): y(x) ≡ C1∗ y1 (x) + C2∗ y2 (x). Potom z jednotlivých řádků systému (1.20) vyplývá, že y(x1 ) = C1∗ y1 (x1 ) + C2∗ y2 (x1 ) = 0 a y 0 (t1 ) = C1∗ y10 (x1 ) + C2∗ y20 (x1 ) = 0. Podle již zmı́něné věty o jednoznačnosti řešenı́ počátečnı́ úlohy je řešenı́ y = y(x) rovnice druhého řádu určené počátečnı́mi podmı́nkami y(x1 ) = 0, y 0 (x1 ) = 0 jediné. Protože homogennı́ lineárnı́ rovnice má triviálnı́ (nulové) řešenı́ y = y(x) ≡ 0, je těmito podmı́nkami určeno právě toto řešenı́ a žádné jiné. Proto musı́ na intervalu I platit: y(x) ≡ 0, tj. C1∗ y1 (x) + C2∗ y2 (x) ≡ 0. V poslednı́m vztah vyjadřuje lineárnı́ závislost řešenı́ y1 a y2 . Logicky tedy - pokud má být tento systém lineárně nezávislým, musı́ být jejich wronskián nenulový pro všechny hodnoty x ∈ I. To je spor s našı́m výše uvedeným předpokladem. Tı́m je tvrzenı́ prokázáno. 2 Okamžitým důsledkem Věty 4 je následujı́cı́ tvrzenı́. Důsledek 1. Necht’ je dán na intervalu I systém řešenı́ y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) rovnice (1.3). Pak je wronskián W (x) tohoto systému bud’ identicky nulový na intervalu I, anebo nenı́ roven nule v žádném bodě x ∈ I. Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: Pokud jste si promysleli i tento důsledek, a shledali ho správný, nezbývá než vám gratulovat. Překlenuli jste se přes vrchol této problematiky a o úspěšném zvládnutı́ zbytku modulu již ve vašem přı́padě nenı́ nejmenšı́ch pochyb, protože dalšı́ konstrukce budou využı́vat již jen logických a konstruktivnı́ch obratů, které jsou analogické výše uplatněným. 1.7 Jak volit počátečnı́ podmı́nky, abychom dostali lineárně nezávislá řešenı́ Poukažme na některé lineárnı́ přı́klady, jimiž jsme se zabývali, ze zřetelem na počet lineárně nezávislých řešenı́, které jsme v těchto přı́kladech využili. Při rozboru lineárnı́ rovnice y 00 − 4y 0 + 4y = 0 18 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR v Přı́kladu 3 na straně 9 předchozı́ho modulu se ukázalo, že jejı́mi řešenı́mi je dvouparametrická množina funkcı́ y = (C1 + C2 x)e2x . Fakticky je tato množina vytvořena superpozicı́ (to jest lineárnı́ kombinacı́) dvou řešenı́ y1 (x) = e2x , y2 (x) = xe2x . Tato řešenı́ jsou lineárně nezávislá, protože jsou tvořena funkcemi, které jsme prověřovali v Přı́kladu 6. Podobně při studiu lineárnı́ rovnice (1.7) v Přı́kladu 1 jsme pracovali s jejı́mi řešenı́mi u1 (x) = e3x , u2 (x) = e−3x . Také tato dvě řešenı́ jsou lineárně nezávislá, protože jsou tvořena funkcemi z Přı́kladu 8. Můžeme si položit otázku, jedná-li se o zákonitost, kterou nynı́ zformulujeme poněkud obecněji: Lineárnı́ homogennı́ rovnice n-tého řádu má alespoň n-lineárně nezávislých řešenı́. Brzy uvidı́me, že jsme tı́mto tvrzenı́m téměř vystihli podstatu problematiky. Upřesněnı́ je pouze v tom smyslu, že těchto lineárně nezávislých řešenı́ je přesně n, tedy ani vı́ce ani méně. Pro systém n-lineárně nezávislých řešenı́ byl dokonce zaveden speciálnı́ název, kterým je nazvána následujı́cı́ pasáž. Fundamentálnı́ systém řešenı́ homogennı́ rovnice V teorii lineárnı́ch homogennı́ch diferenciálnı́ch rovnic n-tého řádu hraje při konstrukci obecného řešenı́ zásadnı́ roli pojem takzvaného fundamentálnı́ho systému řešenı́: Definice 4. [Fundamentálnı́ systém] Předpokládejme, že systém funkcı́ y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) je systémem lineárně nezávislých řešenı́ rovnice (1.3) na intervalu I. Pak tento systém nazýváme fundamentálnı́m systémem řešenı́ rovnice (1.3) na intervalu I. 1.8. OBECNÉ ŘEŠENÍ HLDR 19 Počátečnı́ podmı́nky vytvářejı́cı́ fundamentálnı́ systém Z Důsledku 1 ihned vyplývá, že na intervalu I budou fundamentálnı́ systém řešenı́ tvořit, napřı́klad, řešenı́ y1 , y2 , . . . , yn definovaná těmito počátečnı́mi podmı́nkami y2 (x0 ) y20 (x0 ) ... y1 (x0 ) 1 0 y10 (t0 ) = , . . . . . . (n−1) 0 (x0 ) y1 (n−1) y2 0 1 = , ..., . . . (x0 ) 0 yn (x0 ) 0 0 y 0 (x ) n 0 = , . . . ... (n−1) 1 yn (x0 ) kde x0 ∈ I. Vysvětlenı́ je snadné. Podle Důsledku 1 je wronskián těchto řešenı́ v bodě x = x0 : 1 0 W (x0 ) = ... 0 0 ... 1 ... ... ... 0 ... 0 0 = 1 6= 0. . . . 1 Řešenı́ s takto vybranými počátečnı́mi podmı́nkami jsou tedy lineárně nezávislá na celém intervalu I. Podtrhněme ještě, že tyto počátečnı́ podmı́nky určujı́ jeden konkrétnı́ fundamentálnı́ systém. Jiná množina lineárně nezávislých počátečnı́ch podmı́nek může určovat jiný fundamentálnı́ systém. Všechny fundamentálnı́ systémy majı́ některé zajı́mavé vlastnosti. Nebudeme se jimi ale zabývat, nebot’ tato problematika již vybočuje za omezenı́ našich modulů. 1.8 Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice Přistupme k vyvrcholenı́ této kapitoly. Je jı́m tvrzenı́ o tom, jak vytvořit obecné řešenı́ homogennı́ rovnice. Hlavnı́m předmětem této části je tedy vyjasněnı́ struktury obecného řešenı́ lineárnı́ homogennı́ rovnice n-tého řádu (1.3). Následujı́cı́ věta obsahuje přı́slušné tvrzenı́: Věta 5. Je-li na intervalu I dán fundamentálnı́ systém řešenı́ y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) rovnice (1.3), pak je jejı́ obecné řešenı́ (1.3) určené lineárnı́ kombinacı́ y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x), (1.21) s libovolnými konstantami C1 , C2 , . . . , Cn . Důkaz. Opět uved’me jen to, co je podstatné. Proto se omezı́me na přı́pad dvou rovnice a položı́me n = 2. Z principu superpozice (Věta 2) vyplývá, že lineárnı́ kombinace (1.21) je řešenı́m rovnice (1.3) pro libovolné konstanty. Tedy v našem přı́padě (n = 2) pro libovolné konstanty C1 a C2 . To znamená, že zbývá dokázat opačné 20 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR tvrzenı́, totiž že každé dané řešenı́ rovnice (1.3) je obsaženo v množině řešenı́ (1.21), která má v našem přı́padě tvar y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x). (1.22) Jinými slovy, stačı́ ukázat, že počátečnı́m podmı́nkám y(x0 ) = b0 , y 0 (x0 ) = b1 , (1.23) kde x0 ∈ I a b0 , b1 jsou libovolné reálné konstanty, vyhovuje právě jedno řešenı́ množiny (1.22). Derivovánı́m výrazu (1.22), tj. v našem přı́padě výrazu y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x), dostáváme vztah y 0 (x) = C1 y10 (x) + C2 y20 (x). Dohromady budeme na oba vztahy pohlı́žet jako na systém dvou rovnic vzhledem ke koeficientům C1 a C2 a zapı́šeme je takto: ( C1 y1 (x) + C2 y2 (x) = y(x), C1 y10 (x) + C2 y20 (x) = y 0 (x). (1.24) Nynı́ sem dosad’me počátečnı́ hodnotu x = x0 a využijme počátečnı́ podmı́nky (1.23). Systém (1.24) se změnı́ takto: ( C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) = b0 , C1 y10 (x0 ) + C2 y20 (x0 ) = b1 . (1.25) Systém (1.25) je systémem dvou lineárnı́ch algebraických rovnic o dvou neznámých C1 a C2 . Podle Věty 4 je hodnota determinantu matice daného systému, tj., hodnota wronskiánu W (x0 ) = W (y1 (x0 ), y2 (x0 )) 6= 0. Proto má uvažovaný systém (1.25) jediné řešenı́ C1 = C10 , C2 = C20 . Výsledná lineárnı́ kombinace (1.22), tj. kombinace y(x)u = C10 y1 (x) + C20 y2 (x) (1.26) je jediným řešenı́m počátečnı́ úlohy (1.3), (1.23). Tı́m je naše věta dokázána. 2 1.9 Může mı́t homogennı́ rovnice vı́ce lineárně nezávislých řešenı́ než je jejı́ řád? Důsledkem právě zformulované a dokázané Věty 5 je tvrzenı́ o maximálnı́m počtu lineárně nezávislých řešenı́, tj., o maximálnı́m počtu řešenı́ tvořı́cı́ch fundamentálnı́ systém. Tento počer je roven čı́slu n. 1.10. OBECNÉ ŘEŠENÍ NHLDR 21 Důsledek 2. Rovnice (1.3) nemůže mı́t na intervalu I vı́c než n lineárně nezávislých řešenı́. Důkaz. Pokusme se tento důsledek osvětlit. Předpokládejme, že máme n+1 lineárně nezávislých řešenı́ y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x), yn+1 (x) (1.27) rovnice (1.3) na intervalu I. Pak jsou na intervalu I lineárně nezávislá taky řešenı́ y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x). (1.28) Podle předchozı́ Věty 5 musı́ pro některé vhodné konstanty C1 = C1∗ , C2 = C2∗ , . . . , Cn = Cn∗ na intervalu I platit yn+1 (x) = C1∗ y1 (x) + C2∗ y2 (x) + · · · + Cn∗ yn (x). Tento vztah ale vyjadřuje, že řešenı́ yn+1 (x) je lineárnı́ kombinacı́ řešenı́ systému (1.28). Proto je systém řešenı́ (1.27) systémem lineárně závislých řešenı́. 2 Poznámka 1. Poznamenejme, že z Věty 5 vyplývá, že řešenı́ rovnice n-tého řádu (1.3) tvořı́ na intervalu I vektorový prostor dimenze n, jehož bázı́ je libovolný fundamentálnı́ systém řešenı́. 1.10 Obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice Zbývá ještě osvětlit strukturu řešenı́ lineárnı́ nehomogennı́ rovnice n-tého řádu. To je provedeno v následujı́cı́m tvrzenı́, které řı́ká, že obecné řešenı́ lineárnı́ nehomogennı́ rovnice n-tého řádu je rovno součtu obecného řešenı́ asociované homogennı́ rovnice a některého partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Věta 6. Je-li na intervalu I systém řešenı́ y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) rovnice (1.3) fundamentálnı́m systémem a je-li yp (x) některé partikulárnı́ řešenı́ rovnice (1.2) na I, pak je obecné řešenı́ rovnice (1.2) dané lineárnı́ kombinacı́ y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x) + yp (x), kde C1 , C2 , . . . , Cn jsou libovolné konstanty. (1.29) 22 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR Důkaz. Důkaz provedeme pro n = 2 podobně jako v předchozı́ Větě 5. Z principu superpozice (Věta 2) vyplývá, že výraz (1.29), tj. v našem přı́padě výraz y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + yp (x), (1.30) je řešenı́m rovnice (1.2) pro libovolné konstanty C1 a C2 . Zbývá dokázat, že počátečnı́m podmı́nkám (1.23) vyhovuje právě jedno řešenı́ množiny (1.30). Derivovánı́m vztahu (1.30) dostaneme y 0 (x) = C1 y10 (x) + C2 y20 (x) + yp0 (x). Dohromady budeme na oba vztahy pohlı́žet jako na systém dvou rovnic vzhledem ke koeficientům C1 a C2 a zapı́šeme je takto: ( C1 y1 (x) + C2 y2 (x) = y(x) − yp (x), C1 y10 (x) + C2 y20 (x) = y 0 (x) − yp0 (x). (1.31) Nynı́ sem dosad’me počátečnı́ hodnotu x = x0 a využijme počátečnı́ podmı́nky (1.23). Systém (1.31) se změnı́ takto: ( C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) = b0 − yp (x0 ), C1 y10 (x0 ) + C2 y20 (x0 ) = b1 − yp0 (x0 ). (1.32) Systém (1.32) je systémem dvou lineárnı́ch algebraických rovnic o dvou neznámých C1 a C2 . Tento systém má jediné řešenı́ vzhledem ke koeficientům: C1∗∗ a C2∗∗ , protože wronskián W (x0 ) = W (y1 (x0 ), y2 (x0 )) 6= 0. Pak je přı́slušná funkce daná vztahem (1.30), tj., funkce y(x) = C1∗∗ y1 (x) + C2∗∗ y2 (x) + yp (x), jediným řešenı́m úlohy (1.2) s n = 2, (1.23). 2 1.11 Rovnice y (n) = f (x) Uvažujme nynı́ na intervalu I diferenciálnı́ rovnici n-tého řádu y (n) = f (x) (1.33) se spojitou funkcı́ f . Jde o velmi speciálnı́ přı́pad lineárnı́ nehomogennı́ diferenciálnı́ rovnice n-tého řádu, které jsme v této části probı́rali. Rovnici (1.33) můžeme integrovat vzhledem k jejı́ jednoduchosti bud’ přı́mo, nebo můžeme ilustrovat vyloženou teorii. Zvolı́me druhou variantu. (V dalšı́ch částech modulu budou probı́rány lineárnı́ rovnice s konstantnı́mi koeficienty. Způsob řešenı́, který bude ukázán lze pro řešenı́ rovnice (1.33) využı́t též.) 1.11. LDR S PRAVOU STRANOU NEZÁVISLOU NA ŘEŠENÍ 23 Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice y (n) = 0 V souladu s obecnou teorii lineárnı́ch rovnice je obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice (1.33) tvořeno součtem asociované homogennı́ rovnice y (n) = 0 a některého partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) rovnice (1.33). Protože y (n) = můžeme rovnici (1.34) přepsat ve tvaru y (n−1) 0 (1.34) 0 y (n−1) , = 0, odkud integracı́ dostáváme y (n−1) = C1 , kde C1 je libovolná konstanta. Podobný postup v dalšı́ch krocı́ch dává y (n−2) = C1 x + C2 , C1 2 y (n−3) = x + C2 x + C3 , 2 ... C1 C2 C3 y0 = xn−2 + xn−3 + xn−4 + · · · + Cn−1 , (n − 2)! (n − 3)! (n − 4)! C1 C2 C3 y= xn−1 + xn−2 + xn−3 + · · · + Cn−1 x + Cn , (n − 1)! (n − 2)! (n − 3)! kde C1 , C2 , . . . , Cn jsou libovolné konstanty. Poslednı́ vztah obsahuje všechna řešenı́ rovnice (1.34) a je tedy obecným řešenı́m homogennı́ rovnice (1.34). Volbou nových libovolných konstant D1 = C2 C3 C1 , D2 = , D3 = , . . . , Dn−1 = Cn−1 , Dn = Cn (n − 1)! (n − 2)! (n − 3)! lze obecné řešenı́ přepsat ve tvaru y = D1 xn−1 + D2 xn−2 + D3 xn−3 + · · · + Dn−1 x + Dn . Partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice Najděme nynı́ partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice yp(n) = f (x). (1.35) Budeme postupovat podobně jako v předchozı́ části. Přitom se domluvı́me, že u neurčitých integrálů nebudeme psát integračnı́ konstanty, protože nás zajı́má pouze jedno partikulárnı́ řešenı́. Dostáváme yp(n−1) 0 = f (x), 24 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR odkud integracı́ yp(n−1) Z = f (x)dx. Podobný postup v dalšı́ch krocı́ch dává yp(n−2) = ZZ yp(n−3) = ZZZ f (x)dxdx, f (x)dxdxdx, ... yp0 = ZZ | ··· Z {z f (x) dxdx | {z. . . dx}, (n−1)-krát } (n−1)-krát yp = ZZ | ··· {z Z n-krát f (x) dxdx {z. . . dx} . | } n-krát Obecné řešenı́ Napišme výsledek - obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice (1.33) je rovno součtu obecného řešenı́ asociované homogennı́ rovnice (1.34) a partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) nehomogennı́ rovnice (1.35), tj. y(x) = D1 x n−1 + D2 x n−2 + D3 x n−3 + · · · + Dn−1 x + Dn + ZZ | ··· {z Z n-krát f (x) dxdx {z. . . dx}, | } n-krát kde D1 , D2 , . . . , Dn jsou libovolné konstanty. Přı́klad Najděme řešenı́ počátečnı́ úlohy ( y 00 = xe−x , y(0) = 1, y 0 (0) = 0. (1.36) Řešenı́. Nejprve najdeme obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice y 00 = xe−x . Obecné řešenı́ odpovı́dajı́cı́ asociované homogennı́ rovnici y 00 = 0 má tvar y(x) = D1 x + D2 , kde D1 a D2 jsou libovolné konstanty. Najdeme partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Procvičte si metodu integrace po částech na následujı́cı́ch dvou inegrálech. 1.11. LDR S PRAVOU STRANOU NEZÁVISLOU NA ŘEŠENÍ 25 Prvnı́ integracı́ metodou per partes dostaneme (integračnı́ konstanty v souladu s předchozı́m postupem nebudeme zapisovat) y0 = Z xe−x dx = −xe−x − e−x . Dalšı́ integrovánı́ per partes vede k výsledku y= Z (−xe−x − e−x + C1 ) dx = xe−x + 2e−x . Obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice má tvar y = D1 x + D2 + (x + 2)e−x . Nakonec použijeme počátečnı́ podmı́nky. Použitı́ prvnı́ z nich dává: y(0) = 1 = D2 + 2, odkud máme D2 = −2. Použijeme druhou počátečnı́ podmı́nku. Nejprve nalézáme y 0 = D1 − xe−x − e−x , a po dosazenı́ dostaneme y 0 (0) = 0 = D1 − 1, odkud D1 = 1. Řešenı́m počátečnı́ úlohy je funkce y = (x + 2)e−x + x − 1. Průhyb nosnı́ku Uved’me ješte jednu aplikaci ze stavebnictvı́. Přı́klad 9. Průhyb homogennı́ho nosnı́ku (napřı́klad trámu tvaru pravoúhlého hranolu) je často modelován diferenciálnı́ rovnicı́ čtvrtého řádu EIy (4) = w(x), (1.37) kde E je Youngův modul pružnosti, I je moment setrvačnost průřezu trámu vzhledem k neutrálnı́ ose, y(x) je statický průhyb trámu v bodě x a w(x) je zatı́ženı́ trámu vztažené na jednotku délky. Předpokládejme, že trám má délku L, je ve vodorovné poloze a je na koncı́ch pevně uchycen. Dále předpokládejme, že zatı́ženı́ w(x) je konstantnı́, tj. že w(x) ≡ w0 . Najděte funkci popisujı́cı́ statický průhyb trámu. 26 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR Řešenı́. V této úloze využijeme podmı́nky, které nejsou ryze počátečnı́. Řı́káme jim okrajové podmı́nky. Průhyb trámu vyhovuje těmto podmı́nkám: y(0) = 0, y 0 (0) = 0, y(L) = 0, y 0 (L) = 0. Podmı́nky y(0) = 0, y(L) = 0 vyjadřujı́, že trám je na koncı́ch pevně uchycen. Podmı́nky y 0 (0) = 0, y 0 (L) = 0 vyjadřujı́, že trám je na koncı́ch v horizontálnı́ poloze. Přepišme rovnici (1.37) na tvar y (4) = w0 . EI (1.38) Obecné řešenı́ rovnice (1.38) je y(x) = D1 x3 + D2 x2 + D3 x + D4 + = D1 x3 + D2 x2 + D3 x + D4 + ZZZZ w0 dxdxdxdx EI w0 · x4 , 24EI kde D1 , D2 , . . . , Dn jsou libovolné konstanty. Využitı́m prvnı́ podmı́nky dostáváme y(0) = 0 = D4 . Potom w0 · x3 , 6EI y 0 (x) = 3D1 x2 + 2D2 x + D3 + a využitı́ druhé podmı́nky dává y 0 (0) = 0 = D3 . Použitı́ zbývajı́cı́ch dvou podmı́nek vede k rovnicı́m: y(L) = 0 = D1 L3 + D2 L2 + w0 · L4 , 24EI y 0 (L) = 0 = 3D1 L2 + 2D2 L + w0 · L3 , 6EI Řešenı́ této soustavy vede k hodnotám D1 = − w0 L w0 L2 , D2 = . 12EI 24EI Průhyb trámu je určen křivkou y(x) = − w0 L w0 L2 2 w0 w0 · x3 + ·x + · x4 = · x2 (x − L)2 . 12EI 24EI 24EI 24EI Řada dalšı́ch přı́kladů, ukazujı́cı́ch aplikace diferenciálnı́ch rovnic ve stavebnictvı́, je obsažena ve skriptu [8]. 1.12. SNÍŽENÍ ŘÁDU HOMOGENNÍ ROVNICE 1.12 27 Snı́ženı́ řádu homogennı́ rovnice Tuto kapitolu zakončı́me návodem, jak je možné snı́žit řád homogennı́ lineárnı́ rovnice za předpokladu, že známe nějaké jejı́ (nenulové) partikulárnı́ řešenı́ y = y∗ (x). Úvahy provádı́me na některém intervalu na intervalu I. Ukážeme, že v tomto přı́padě lze řád rovnice o jedničku snı́žit, tj., že lze rovnici n-tého řádu (1.3) převést na homogennı́ lineárnı́ rovnici řádu n − 1. Pro většı́ srozumitelnost budeme uvažovat jen rovnice řádu druhého n = 2, tedy rovnici y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0. (1.39) y(x) = y∗ (x) · z(x), (1.40) Zaved’me substituci kde z je nová hledaná funkce. Potom derivovánı́m vztahu (1.40) dostáváme y 0 (x) = y∗0 (x) · z(x) + y∗ (x) · z 0 (x), y 00 (x) = y∗00 (x) · z(x) + 2y∗0 (x) · z 0 (x) + y∗ (x) · z 00 (x). Po dosazenı́ do rovnice (1.39) dostaneme novou rovnici y∗ (x) · z 00 + (a1 (x)y∗ (x) + 2y∗0 (x))z 0 + (y∗00 (x) + a1 (x)y∗0 (x) + a0 (x)y∗ (x)) · z(t) = 0. Podle našeho předpokladu je funkce y∗ (x) nenulovým řešenı́m rovnice (1.39). Platı́ tedy y∗00 (x) + a1 (x)y∗0 (x) + a0 (x)y∗ (x) ≡ 0 a nová rovnice má tvar y∗ (x) · z 00 + (a1 (x)y∗ (x) + 2y∗0 (x))z 0 = 0. Zavedeme-li novou proměnnou w(t) předpisem w(x) = z 0 (x), dostáváme nakonec výsledný tvar homogennı́ lineárnı́ rovnice prvnı́ho řádu: w0 (x) + (a1 (x)y∗ (x) + 2y∗0 (x)) w(x) = 0. y∗ (x) (1.41) Ke stejnému výsledku bychom dospěli pomocı́ jedné substituce tvaru y(x) = y∗ (x) Z w(x)dx, (1.42) kde nebereme do úvahy integračnı́ konstantu v integrálu. Rovnice (1.41) je lineárnı́ rovnicı́ prvnı́ho řádu, kterou umı́me řešit (viz část ??). Zamyslete se nad tı́m k jakým změnám dojde v přı́padě, že metodu použijeme k rovnicı́m řádu vyššı́ho než druhého. 28 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR Přı́klad 10. Najděte obecné řešenı́ rovnice 2 2 y 00 − y 0 + 2 y = 0 x x (1.43) na intervalu I = (−∞, 0), vı́te-li že jeho partikulárnı́m řešenı́m je funkce y∗ (x) = x. Řešenı́. V rovnici (1.43) použijeme substituci (1.42), tj. substituci y(x) = x Potom y 0 (x) = Z Z w(x)dx. (1.44) w(x)dx + xw(x), y 00 (x) = 2w(x) + xw0 (x). Po dosazenı́ do rovnice (1.43) dostáváme lineárnı́ rovnici 2w(x) + xw00 (x) − Z Z 2 2 xw(x) + w(x)dx + 2 · x w(x)dx = 0, x x tj., rovnici xw0 (x) = 0 neboli rovnici w0 (x) = 0, která má obecné řešenı́ w(x) = C1 s libovolnou konstantou C1 . Užitı́m (1.44) máme y(x) = x Z w(x)dx = C1 x2 + C2 x, kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Kapitola 2 Homogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice s konstantnı́mi koeficienty Tato část je věnována problematice nalezenı́ obecného řešenı́ lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic s konstantnı́mi koeficienty. Z teoretického pohledu již nic nového nepřinášı́, protože otázky struktury řešenı́ byly vyřešeny v Kapitole 1. Z praktického pohledu je však tato kapitolka (a také ta následujı́cı́) nesmı́rně užitečná. Dává praktický návod, jak obecné řešenı́ sestavit. Našı́ odměnou za čas strávený nad těmito moduly může být uspokojenı́ z užitečnosti celé problematiky a z průhlednosti celého postupu sestavenı́ obecného řešenı́. Abychom tedy byli konkrétnı́. Budeme se zabývat konstrukcı́ obecného řešenı́ lineárnı́ homogennı́ rovnice n-tého řádu s konstantnı́mi koeficienty. Lineárnı́ diferenciálnı́ homogennı́ rovnicı́ n-tého řádu s konstantnı́mi koeficienty nazýváme rovnici (1.3) ve které jsou mı́sto funkcı́ an−1 (t), . . . , a1 (t), a0 (t) konstanty. Budeme tedy uvažovat rovnici y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0, (2.1) kde an−1 , . . . , a1 , a0 jsou reálná čı́sla. Protože v rovnici (2.1) nejsou žádné funkce, které by nějakým způsobem zužovaly definičnı́ obor, budou všechny naše úvahy platit na celé oboru reálných čı́sel a můžeme položit I = R. Cı́l: Po prostudovánı́ této kapitoly by každý měl: • rozpoznat to, čemu budeme řı́kat homogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice s konstantnı́mi koeficienty; • umět nalézt obecné řešenı́ takovéto rovnice. 29 30 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY Pan Přı́sný, váš přı́sný průvodce studiem: V následujı́cı́ části budeme hodně pracovat s kořenovými vlastnostmi polynomů s reálnými koeficienty jedné proměnné. Před vlastnı́m studiem této kapitoly nejprve v oboru komplexnı́ch čı́sel vyřešte následujı́cı́ algebraické rovnice, určené násobnost kořenů daných rovnic a proved’te zkoušku správnosti řešenı́: 1) λ2 − 4λ + 3 = 0, 2) λ2 + 2λ + 1 = 0, 3) λ2 + 4 = 0, 3 3 2 4) λ + λ = 0, 5) λ − 6λ + 11λ − 6 = 0, 6) λ4 − 1 = 0, 7) λ4 + 4 = 0, 8) λ4 + 8λ2 + 16 = 0, 9) λ5 + λ3 = 0. 2.1 Exponenciálnı́ tvar řešenı́ lineárnı́ homogennı́ rovnice s konstantnı́mi koeficienty, charakteristická rovnice Obecná teorie pro lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice musı́ platit i pro rovnici (2.1). Jak ale najı́t jejı́ fundamentálnı́ systém řešenı́? Vzpomı́náte si na význačnou vlastnost exponenciálnı́ funkce y = ex ? Ano, je to výsledek jejı́ho derivovánı́, který je identický s původnı́ funkcı́. A jaké derivace má funkce jen o něco málo složitějšı́ - funkce y(x) = eλx , kde λ je nějaké nenulové čı́slo (třeba i komplexnı́)? I to je jednoduchá otázka. Derivace takové funkce jsou: y(x) = eλx , y 0 (x) = λeλx , y 00 (x) = λ2 eλx , . . . , , y (n) (x) = λn eλx . Zkusme hledat některé řešenı́ rovnice (2.1) právě v exponenciálnı́m tvaru, tj. ve tvaru funkce y(x) = eλx , kde λ = const je prozatı́m neznámý koeficient. Dosazenı́m exponenciálnı́ho tvaru y(x) = eλx , λ = const (2.2) do uvažované rovnice (2.1) dostáváme (z každého výrazu vytkneme funkci eλx ) (λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 )eλx = 0. Charakteristická rovnice Vzhledem k důležitosti pojmu, který nynı́ zavedeme jsme si dovolili vložit do textu mezititulek. Pokračujme v našich úvahách dále. Exponenciálnı́ funkce eλx nenı́ nikdy rovna nule. Proto můžeme touto funkcı́ krátit. Pak dostáváme vztah - rovnici vzhledem ke hledanému koeficientu λ λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0. (2.3) Rovnice (2.3) je polynomiálnı́ rovnicı́ n-tého řádu. Je pro ni užı́ván název charakteristická rovnice, odpovı́dajı́cı́ rovnici (2.1). Mnohočlen (polynom) v levé straně rovnice (2.3) nazýváme charakteristický polynom a budeme pro něj užı́vat značenı́ p(λ) := λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 . (2.4) 2.1. EXPONENCIÁLNÍ TVAR ŘEŠENÍ 31 Tzv. hlavnı́ větu algebry jsme se již v našich modulech připomenuli (viz Přı́klad 6 na straně 11). Proto nynı́ můžeme řı́ci, že rovnice (2.3) má celkem n kořenů (přitom každý kořen počı́táme tolikrát, jaká je jeho násobnost). Kořeny charakteristické rovnice (2.3) jsou často nazývány charakteristickými kořeny. Dále můžeme řı́ci, že jsme již našli řešenı́ rovnice (2.1) v exponenciálnı́m tvaru (2.2)? Každý kořen λ1 , λ2 , . . . , λn (2.5) (nynı́ je každý kořen vypsán tolikrát jaká je jeho násobnost) rovnice (2.3) skutečně určuje některé řešenı́ diferenciálnı́ rovnice (2.1) v předpokládaném exponenciálnı́m tvaru, tj. každá funkce yj (x) = eλj x , j = 1, 2, . . . , n. (2.6) je řešenı́m diferenciálnı́ rovnice (2.1). Je již nalezen fundamentálnı́ systém řešenı́? Logická otázka nynı́ je - tvořı́ n exponenciálnı́ch funkcı́ uvedených v předpisu (2.6) fundamentálnı́ systéme řešenı́ diferenciálnı́ rovnice (2.1)? Pokud bedlivě sledujete tento výklad odpovı́te asi vyhýbavě - pravděpodobně ne vždy je tento systém systémem fundamentálnı́m. A zřejmě tuto odpověd’ zdůvodnı́te poukazem na kořeny charakteristické rovnice, které mohou být násobné. Skutečně je to tak. Pokud jsou kořeny násobné, pak se v seznamu funkcı́ (2.6) musı́ objevit funkce, které jsou stejné. Vzhledem k linearitě rovnice (2.1) je každá lineárnı́ kombinace těchto řešenı́ y(x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x + · · · + Cn eλn x (2.7) s konstantami C1 , C2 , . . . , Cn také některým řešenı́m. Tak jsme zı́skali řešenı́ diferenciálnı́ rovnice (2.1) s celkovým počtem n libovolných parametrů. Bohužel však v této lineárnı́ kombinaci je pouze tolik lineárně nezávislých exponenciálnı́ch funkcı́, kolik je různých kořenů ve výčtu (2.5). Pokud jsou však všechny kořeny ve výčtu kořenů (2.5) navzájem různé, tj. pokud jsou navzájem různé kořeny charakteristické rovnice (2.3), pak nenı́ problémem se přesvědčit, že systém řešenı́ diferenciálnı́ rovnice (2.1) y1 (x) := eλ1 x , y2 (x) := eλ2 x , . . . , yn (x) := eλn x je fundamentamentálnı́m systémem řešenı́. Ověřenı́ tohoto tvrzenı́ je snadné. Proved’te ho samostatně na základě výsledku Přı́kladu 8 na straně 15. Jak doplnit systém řešenı́, aby byl fundamentálnı́m? Jak ale postupovat v přı́padě, když má charakteristická rovnice (2.3) násobné kořeny? Předpokládejme, napřı́klad, že existuje s různých kořenů λ1 , λ2 , . . . , λs 32 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY charakteristické rovnice (2.3), kde s < n . V tomto přı́padě lze vztah (2.7) zapsat pouze s pomocı́ s libovolných konstant a proto tento vztah nenı́ obecným řešenı́m diferenciálnı́ rovnice (2.1). Problém doplněnı́ systému na fundamentálnı́ budeme řešit postupně a použijeme přitom zjednodušujı́cı́ho zápisu diferenciálnı́ rovnice (2.1) pomocı́ symbolů, kterým řı́káme symbolické operátory. Nynı́ ale ukážeme jaká dalšı́ řešenı́ mohou vznikat. V následujı́cı́m přı́kladu je v přı́padě násobného kořene charakteristické rovnice ukázán tvar dalšı́ho řešenı́, lineárně nezávislého s exponenciálnı́m tvarem (2.2). Teoretický výklad této konstrukce je dán v následujı́cı́ části. V uvedeném přı́kladu jsou dalšı́ řešenı́, odlišná od výchozı́ho exponenciálnı́ho tvaru ,,uhodnuta“. Přı́klad 11. Zkonstruujte obecné řešenı́ rovnice třetı́ho řádu y 000 − 2y 00 + 4y 0 − 8y = 0. Řešenı́. (2.8) Charakteristická rovnice, odpovı́dajı́cı́ diferenciálnı́ rovnici (2.8) je λ3 − 2λ2 + 4λ − 8 = (λ − 2)3 = 0 a má trojnásobný reálný kořen λ1,2,3 = 2. Snadno ověřı́me, že kromě exponenciálnı́ho řešenı́ (2.2), tj., kromě řešenı́ y1 (x) = e2x existujı́ dalšı́ dvě, lineárně nezávislá řešenı́, y2 (x) = xe2x a y3 (x) = x2 e2x . Věnujte chvilku samostatnému prověřenı́ tohoto tvrzenı́! Tato tři řešenı́ tvořı́ fundamentálnı́ systém řešenı́. Proto je obecné řešenı́ vyjádřeno vztahem y(x) = C1 ex + C2 xe2x + C3 x2 e2x , kde C1 , C2 a C3 jsou libovolné konstanty. Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: Porovnejte tuto situaci s dalšı́mi přı́klady, které jsme již řešili (viz Přı́klad 1 na 5. straně a Přı́klad 3 na 9. straně předchozı́ho modulu Obyčejné diferenciálnı́ rovnice 1). 2.2 Užitečnı́ pomocnı́ci - symbolické operátory Právě řešený Přı́klad 11 ukazuje na obecnou situace ve vytvářenı́ fundamentálnı́ množiny řešenı́. Abychom obecnou situaci zvládli budeme potřebovat pomoc - ve formě tzv. pomocných operátorů. 2.2. SYMBOLICKÉ OPERÁTORY 33 Zavedenı́ diferenciálnı́ho operátoru V matematice je derivace často značena pı́smenem D. Tı́m mı́nı́me, že mı́sto symbolu derivovánı́ můžeme psát pouze dy = Dy. dx Symbol D nazýváme symbolický diferenciálnı́ operátor. Jeho činnost je stejná jako operace derivovánı́. Často také pouze schématicky pı́šeme D := d . dx Tento zápis vystihuje jen to, co operátor dělá. Vyzkoušejme, zdali jste činnost operátoru pochopili. Prověřte, že D(e8x ) = 8e8x , D(sin 5x) = 5 cos 5, D(3x7 − ln x) = 21x6 − 1 . x Správně! Vidı́me, že diferenciálnı́ operátor je jen jiným zápisem derivace. Proto, podle známých vzorců pro derivovánı́, bude platit D(af (x) + bg(x)) = aDf (x) + bDg(x), kde a a b jsou konstanty a f (x) a g(x) jsou funkce Vzhledem k této vlastnosti řı́káme, že diferenciálnı́ operátor je lineárnı́. Derivace vyššı́ch řádů s pomocı́ diferenciálnı́ho operátoru Co bude znamenat zápis D2 ? Význam tohoto symbolu spočı́vá ve dvojnásobném použitı́ diferenciálnı́ho operátoru a je tedy zkratkou pro operaci nalezenı́ druhé derivace: D2 y = D(Dy) = D(y 0 ) = y 00 . O symbolu D2 hovořı́me jako o druhé mocnině operátoru D. Podobně pro derivaci k=tého řádu užı́váme operátor Dk a hovořı́me o k-té mocnině operátoru D. Mı́nı́me tı́m: Dk y = D(Dk−1 y) = D(y (k−1) ) = y (k) . Pro úplnost a správné definovánı́ dalšı́ch výrazů ješte nadefinujeme operátor, kterému řı́káme identický I a jehož činnost je charakterizována tı́m, že objekty na které působı́ nechává beze změny. Mohli bychom řı́ci, že se jedná o diferenciálnı́ operátor nulového řádu a definovat D0 := I. Tedy, napřı́klad, Iy = y, I(x5 − 6) = x5 − 6. Diferenciálnı́ operátor můžeme kombinovat a vytvářet lineárnı́ operátory, např. (D− 5I), (D3 + 2D + 4I) jsou lineárnı́ operátory, které působı́ na dané výrazy takto: (D−5I)u = u0 −5u, (D3 +2D2 +4I) cos x = sin x−2 cos x+4 cos x = sin x+2 cos x. 34 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY Jak pracujeme se s diferenciálnı́mi operátory? S diferenciálnı́m operátorem D, s jeho mocninami a s identickým operátorem I počı́táme podobně jako s polynomy. Vysvětleme to na přı́kladu operátoru D2 − I. Jeho působenı́ bude zřejmé. Platı́ napřı́klad (D2 − I)x2 = D2 x2 − Ix2 = 2 − x2 . Chovejme se tedy k výrazům, obsahujı́cı́mi diferenciálnı́ operátory podobně jako k polynomiálnı́m výrazům. Pak můžeme napsat tento rozklad: D2 − I = (D − I)(D + I), protože platı́ (D−I)(D+I) = (D−I)D+(D−I)I = DD−ID+DI−II) = D2 −D+D−I = D2 −I. Přesvědčı́me se, že poslednı́ rozklad působı́ na daný výraz stejně jako původnı́ nerozložený polynomiálnı́ operátor (nejprve působı́ pravý výraz a pak levý výraz), tj.: (D−I)(D+I)x2 = (D−I)[(D+I)x2 ] = (D−I)(2x+x2 ) = 2+2x−2x−x2 = 2−x2 . Navı́c lze ukázat, že výrazy v rozkladu komutujı́. Tedy, je-li dán rozklad diferenciálnı́ho operátoru na součin diferenciálnı́ch operátorů, pak můžeme pořadı́ jednotlivých součinitelů libovolně měnit. V našem přı́padě platı́ D2 − I = (D − I)(D + I) = (D + I)(D − I). Prověřme ještě toto poslednı́ tvrzenı́ na stejném přı́kladu: (D+I)(D−I)x2 = (D+I)[(D−I)x2 ] = (D+I)(2x−x2 ) = 2−2x+2x−x2 = 2−x2 . Na základě uvedených zdůvodněnı́ lze zapsat homogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnici n-tého řádu (2.1) v operátorové podobě. Proto definujeme operátor, který tuto rovnici kopı́ruje. Nazývá se Symbolický polynomiálnı́ operátor Jeho definice je následujı́cı́. Symbolický polynomiálnı́ operátor p(D) vzhledem k operátoru D je definovaný předpisem: p(D) := Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a1 D + a0 I, kde I je identický operátor. Potom pro každou funkci y = y(x), která má n derivacı́, je p(D)y = Dn y + an−1 Dn−1 y + · · · + a1 Dy + a0 Iy. Dále předpokládejme, že uvažované funkce majı́ tolik derivacı́, kolik jich budeme při výpočtech potřebovat. 2.2. SYMBOLICKÉ OPERÁTORY 35 Jak zapsat homogennı́ rovnici pomocı́ symbolického polynomiálnı́ho operátoru? Nynı́ se můžeme snadno přesvědčit, že pomocı́ definovaných operátorů lze zapsat homogennı́ rovnici (2.1) jednoduchým vztahem p(D)y = 0. (2.9) Vlastnosti symbolických polynomiálnı́ch operátorů Zrekapitulujme a zobecněme vlastnosti o diferenciálnı́ch operátorech a o symbolických polynomiálnı́ch operátorech, které jsme již uvedli v předchozı́m textu. Základnı́ vlastnostı́ symbolického polynomiálnı́ho operátoru p(D) je jeho linearita. Definujme součet a násobenı́ dvou polynomiálnı́ch operátorů p(D) a q(D), kde q(D) := Dm + bm−1 Dm−1 + · · · + b1 D + b0 I a bm−1 , . . . , b1 , b0 jsou konstanty, jako nově vzniklé polynomiálnı́ symbolické operátory s konstantnı́mi koeficienty, pomocı́ předpisů pro součet [p(D) + q(D)]y := p(D)y + q(D)y a pro součin [p(D)q(D)]y := p(D)[q(D)]y. Následujı́cı́ věta shrnuje některé vlastnosti polynomiálnı́ch operátorů, které budou dále použity. Věta 1. Necht’ R(λ) a S(λ) jsou obyčejné polynomy definované předpisy R(λ) := p(λ) + q(λ), S(λ) := p(λ)q(λ). Potom pro součet polynomiálnı́ch operátorů platı́: p(D) + q(D) = R(D) a pro jejich součin: p(D)q(D) = S(D). Ověřenı́ platnosti tohoto tvrzenı́ nebudeme provádět. Je však jednoduché a a spočı́vá v porovnánı́ výrazů na levých a pravých stranách daných vztahů. Pokuste se však promyslet, jak byste při ověřenı́ postupovali. Z uvedených vlastnostı́ polynomiálnı́ch operátorů také vyplývá, že součet a násobenı́ polynomiálnı́ch operátorů (závisejı́cı́ch na D) je asociativnı́, komutativnı́ a distributivnı́. Proto tedy platı́ to, co jsme již na přı́kladu prováděli - symbolický polynomiálnı́ operátor lze rozložit stejným způsobem jako normálnı́ polynom. Tento závěr hned použijeme. 36 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY Rozklad symbolického polynomiálnı́ho operátoru, přı́slušejı́cı́ho homogennı́ rovnici Předpokládejme, že kořeny charakteristické rovnice (2.3), tj. kořeny rovnice p(λ) = 0, kde polynom p(λ) je definován vztahem (2.4), jsou čı́sla λ1 , λ2 , . . . , λn (která nemusı́ být všechna navzájem různá). Pak platı́ p(λ) = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) . . . (λ − λn ) a taktéž (v souladu s výše uvedenými vlastnostmi symbolického polynomiálnı́ho operátoru) platı́ p(D) = (D − λ1 I)(D − λ2 I) . . . (D − λn I). 2.3 Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice s konstantnı́mi koeficienty V této části uvedeme prvnı́ variantu konstrukce funkcı́, tvořı́cı́ch fundamentálnı́ systém řešenı́ homogennı́ rovnice (2.1). Výhodou této varianty je jednoduššı́ formulace výsledku. Nevýhodou je, že řešenı́ mohou být komplexnı́mi funkcemi. Tuto nevýhodu v dalšı́ části odstranı́me, formulace výsledku pak bude o něco těžkopádnějšı́. Jaké funkce mohou být řešenı́mi homogennı́ rovnice? Ukážeme, jaké funkce jsou anulovány (tj. vynulovány nebo agresivněji řečeno ,,zničeny“) symbolickým polynomiálnı́m operátorem v přı́padě, že se nejedná o čisté exponenciály a mohou tedy sloužit jako řešenı́ homogennı́ch diferenciálnı́ch rovnic. Některé řešené přı́klady nám tvary těchto funkcı́ napověděly (viz třeba Přı́klad 11) Jinými slovy - ukážeme možné tvary řešenı́ homogennı́ rovnice (2.1) v (zejména) přı́padě násobných kořenů charakteristické rovnice. Tvrzenı́ o tvaru těchto funkcı́ sformujeme jako následujı́cı́ lemmu a provedeme ověřenı́ jejı́ správnosti. Užitý symbol λ ∈ C značı́, že čı́slo λ je v obecném přı́padě komplexnı́. Lemma 1. Předpokládejme, že λ ∈ C a že m je celé kladné čı́slo. Pak pro každé x ∈ R a každé k = 0, 1, . . . , m − 1 platı́ (D − λI)m xk eλx = 0. Důkaz. Nezávisle na tom, je-li čı́slo λ reálné nebo komplexnı́ platı́ (D − λI) xk eλx = kxk−1 eλx + λxk eλx − λxk eλx = kxk−1 eλx . 2.3. OBECNÉ ŘEŠENÍ HOMOGENNÍ ROVNICE 37 Právě zı́skaný vztah můžeme aplikovat k výpočtu výrazu (D −λI)2 xk eλx = (D −λI) kxk−1 eλx = k(D −λI) xk−1 eλx = k(k −1)xk−2 eλx . Tak můžeme pokračovat dále: (D − λI)3 xk eλx = k(k − 1)(k − 2)xk−3 eλx až po k-krocı́ch dostaneme (D − λI)k xk eλx = k! eλx . V přı́padě pokračovánı́ dostaneme (D − λI)k+1 xk eλx = k!(D − λI)eλx = k!(λeλx − λeλx ) = 0. Proto v přı́padě m > k platı́ (D − λI)m tk eλt = 0. 2 Ukážeme, že právě testované funkce tvaru xk eλx mohou sloužit jako řešenı́ homogennı́ diferenciálnı́ rovnice. Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice vyjádřené v komplexnı́m tvaru Právě dosažený výsledek o tvaru funkcı́, které jsou symbolickým polynomiálnı́m operátorem anulovány využijeme v následujı́cı́ úvaze. Předpokládejme, že charakteristická rovnice (2.3) má kořeny λj ∈ C, j = 1, 2, . . . , q s násobnostmi mj kde m1 + m2 + · · · + mq = n. Pak můžeme charakteristický polynom p(λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 , vyjádřit jako součin p(λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 . . . (λ − λq )mq . Potom, na základě vlastnostı́ symbolických diferenciálnı́ch operátorů, můžeme polynomiálnı́ operátor p(D) rozložit podobně (D − λ1 I)m1 (D − λ2 I)m2 . . . (D − λI )mq y a diferenciálnı́ rovnici (2.1) lze přepsat ve tvaru (D − λ1 I)m1 (D − λ2 I)m2 . . . (D − λq I)mq y = 0. 38 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY Kromě toho můžeme jednotlivé součinitele tohoto součinu zapisovat v libovolném pořadı́. Pak z Lemmy 1 vyplývá, že každá funkce xk eλj x , (2.10) kde k = 0, 1, . . . , mj − 1 a j = 1, 2, . . . , q, definuje některé řešenı́ rovnice (2.1). Obecné řešenı́ rovnice (2.1) je pak definované jako lineárnı́ kombinace takovýchto funkcı́, proto je taktéž řešenı́m rovnice (2.1). Snadno se dá ověřit, že všechny funkce definované pomocı́ vztahu (2.10) (tj. celý systém těchto funkcı́ odpovı́dajı́cı́ch všem hodnotám k = 0, 1, . . . , mj − 1 a j = 1, 2, . . . , q) jsou lineárně nezávislé a jejich celkový počet je n. Tuto prověrku jsme prováděli jen částečně pro dva význačné podsystémy tohoto systému funkcı́ (viz Přı́klad 6 a Přı́klad 8). Celkovou prověrku již provádět nebudeme, i když nenı́ komplikovaná. Zesumarizujeme provedené úvahy do následujı́cı́ věty. Připomeňme ještě, že výraz (2.11) v této je obecným řešenı́m rovnice (2.1) podle Věty 5. Věta 7 (Obecné řešenı́ rovnice (2.1)) Necht’ má charakteristická rovnice (2.3) kořeny λj ∈ C, j = 1, 2, . . . , q s násobnostmi mj (kde m1 + m2 + · · · + mq = n). Pak je výraz y(x) = P1 (x)eλ1 x + P2 (t)eλ2 x + · · · + Pq (x)eλq x , (2.11) kde Pj (x) jsou libovolnými polynomy stupně mj − 1 obecným řešenı́m rovnice (2.1). Možná vás překvapilo, že se ve vzorci (2.11) nehovořı́ o libovolných konstantách. Vše je ale v naprostém pořádku. Libovolných konstant je v obecném řešenı́ celkem n. Jaké k tomuto přı́padu podáte vysvětlenı́? Přı́klad 12. Najděte obecné řešenı́ lineárnı́ homogennı́ diferenciálnı́ rovnice čtvrtého řádu y (4) − 6y (3) + 12y 00 − 8y 0 = 0. Řešenı́. (2.12) Charakteristická rovnice odpovı́dajı́cı́ rovnici (2.12) je λ4 − 9λ3 + 27λ2 − 27λ = 0. Snadno se přesvědčı́me, že platı́ rozklad λ4 − 9λ3 + 27λ2 − 27λ = λ(λ − 3)3 a proto jsou jejı́ kořeny kořeny λ1 = 0 a λ2,3,4 = 3. Podle Věty 7 je obecné řešenı́ rovnice (2.12) dané vzorcem y(x) = C1 + C2 e3x + C3 xe3x + C4 x2 e3x , kde C1 , C2 , C3 a C4 jsou libovolné konstanty. 2.3. OBECNÉ ŘEŠENÍ HOMOGENNÍ ROVNICE 39 Přı́klad 13. Najděte obecné řešenı́ lineárnı́ homogennı́ diferenciálnı́ rovnice čtvrtého řádu y (4) − 6y (3) + 12y 00 − 8y 0 = 0. Řešenı́. (2.13) Charakteristická rovnice odpovı́dajı́cı́ rovnici (2.13) λ4 − 6λ3 + 12λ2 − 8λ = 0, má kořeny λ1 = 0 a λ2,3,4 = 2. Proto, dle Věty 7, je obecné řešenı́ rovnice (2.13) dané relacı́ y(x) = C1 + C2 e2x + C3 te2x + C4 x2 e2x , kde C1 , C2 , C3 a C4 jsou libovolné konstanty. Transformace komplexnı́ch řešenı́ homogennı́ rovnice na reálná řešenı́ Ve Větě 7 byl uveden přesný tvar obecného řešenı́ rovnice (2.1). Často je však potřebné pracovat pouze s reálnými výrazy. Tento doplňujı́cı́ požadavek Věta 7 nebere do úvahy, protože v jejı́ formulaci je předpoklad, že kořeny charakteristické rovnice mohou být komplexnı́. Předpokládali jsem, že koeficienty an−1 , . . . , a1 , a0 jsou reálnými čı́sly. Proto jsou také koeficienty odpovı́dajı́cı́ charakteristické rovnice (2.3) reálné. Připomeňme známou vlastnost kořenů polynomiálnı́ch rovnic s konstantnı́mi koeficienty - má-li charakteristická rovnice komplexnı́ kořen, pak je kořenem charakteristické rovnice taktéž čı́slo komplexně sdružené; má-li charakteristická rovnice násobný komplexnı́ kořen, pak je kořenem charakteristické rovnice taktéž čı́slo komplexně sdružené se stejnou násobnostı́. Jinak řečeno, existuje-li q různých kořenů λ1 , λ2 , . . . , λq charakteristické rovnice (2.3), kde q < n a je-li (pro některé j ∈ {1, 2, . . . , q}) čı́slo λj = µ + iω komplexnı́m kořenem násobnosti mj = m, potom pro některý jiný index k ∈ {1, 2, . . . , q}, k 6= j platı́ λk = λj = µ − iω a mk = m. Těmto kořenům charakteristické rovnice odpovı́dajı́ ve vzorci (2.11) výrazy obsahujı́cı́ komplexnı́ čı́sla: Pj (x) · eλj x + Pk (x) · eλk x , (2.14) 40 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY kde Pj a Pk jsou polynomy stupně ne vyššı́ho než m − 1. Ukažme postup vedoucı́ k zı́skánı́ reálných řešenı́. Upravı́me uvedené výrazy pomocı́ Eulerova vzorce. Předtı́m ho ještě připomeneme - platı́ eλj x = eµx · (cos ωx + i · sin ωx) a podobně eλk x = eµx · (cos ωx − i · sin ωx) , kde i je tzv. komplexnı́ jednotka (platı́ pro ni i2 = −1). Nynı́ provedeme slibovanou transformaci: Pj (x) · eλj x + Pk (x) · eλk x = Pj (x) · eµx · [cos ωx + i · sin ωx] + Pk (x) · eµx · [cos ωx − i · sin ωx] = [Pj (x) + Pk (x)] · eµx · cos ωx + i · [Pj (x) − Pk (x)] · eµx · sin ωx) = Q(x) · eµx · cos ωx + i · R(x) · eµx · sin ωx, kde Q a R jsou polynomy stupně nejvýše m − 1, definované předpisy Q(x) := Pj (x) + Pk (x), R(x) := Pj (x) − Pk (x). Výraz (2.14) je řešenı́m rovnice (2.1), proto je i ekvivalentnı́ výraz Q(x) · eµx cos ωx + i · R(x) · eµx sin ωx (2.15) jejı́m řešenı́m. Komplexnı́ čı́sla, zapsaná v algebraickém tvaru jsou stejná, majı́li stejné reálné a imaginárnı́ složky. Poslednı́ výraz (2.15) je zapsán v algebraickém tvaru. Protože je po dosazenı́ do rovnice (2.1) násoben pouze reálnými čı́sly, dospı́váme k závěru, že řešenı́m rovnice (2.1) bude jak jeho samostatná reálná složka, tak jeho samostatná imaginárnı́ složka. Proto můžeme komplexnı́ řešenı́ (2.14) nahradit dvěma reálnými řešenı́mi Q(x) · eµx · cos ωx a R(t) · eµt · sin ωt. Větu 7 můžeme přeformulovat takto: Věta 8 (Konstrukce obecného řešenı́ v reálném tvaru) a) Každému k-násobnému reálnému kořenu λ charakteristické rovnice (2.3) odpovı́dá celkem k partikulárnı́ch (a lineárně nezávislých) řešenı́ eλx , xeλx , x2 eλx , . . . , xk−1 eλx . b) Každé dvojici s-násobných komplexně sdružených kořenů λ1 = α + β · i, λ2 = α − β · i, α, β ∈ R 2.4. APLIKACE ROVNIC DRUHÉHO ŘÁDU – HARMONICKÉ KMITY 41 charakteristické rovnice (2.3) odpovı́dá celkem 2s partikulárnı́ch (a lineárně nezávislých) řešenı́ tvaru eαx cos βx, xeαx cos βx, x2 eαx cos βx, . . . , xs−1 eαx cos βx, eαx sin βx, xeαx sin βx, x2 eαx sin βx, . . . , xs−1 eαx sin βx. c) Součet násobnostı́ všech kořenů je roveň stupni n charakteristické rovnice (2.3), proto je počet všech partikulárnı́ch řešenı́, konstruovaných podle bodů a) a b) roven n. Obecné řešenı́ homogennı́ rovnice (2.1) je lineárnı́ kombinacı́ všech těchto partikulárnı́ch řešenı́ s n libovolnými koeficienty. Přı́klad 14. Najděte obecné řešenı́ lineárnı́ homogennı́ diferenciálnı́ rovnice pátého řádu y (5) + 2y (4) + 2y 000 + 4y 00 + y 0 + 2y = 0. Řešenı́. (2.16) Nenı́ těžké uhodnout, že jeden kořen charakteristická rovnice λ5 + 2λ4 + 2λ3 + 4λ2 + λ + 2 = 0 odpovı́dajı́cı́ rovnici (2.16) je λ1 = −2. Rozkladem polynomu na levé straně dostáváme λ5 + 2λ4 + 2λ3 + 4λ2 + λ + 2 = (λ + 1)(λ4 + 2λ2 + 1) = (λ + 2)(λ2 + 1)2 . Rovnice (λ2 + 1)2 = 0 má kořeny λ2 = λ3 = i, λ4 = λ5 = −i. Podle Věty 8 je obecné řešenı́ diferenciálnı́ rovnice (2.16) y = C1 e−2x + (C2 + C3 x) cos x + (C4 + C5 x) sin x, kde C1 , C2 , . . . , C5 jsou libovolné konstanty. 2.4 Aplikace rovnic druhého řádu – harmonické kmity K důležitým typům rovnic s konstantnı́mi koeficienty patřı́ lineárnı́ rovnice druhého řádu. Lze jimi popisovat, napřı́klad, kmity pružiny, jednoduché elektrické obvody i třeba zjednodušený pohyb fyzikálnı́ho kyvadla. Proto se budeme podrobněji zabývat lineárnı́ rovnicı́ druhého řádu s konstantnı́mi koeficienty tvaru y 00 + 2ay 0 + b2 y = 0, (2.17) 42 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY kde předpokládáme a ≥ 0, b > 0. Tato rovnice uvedené jevy dobře popisuje. Rovnici (2.17) nazýváme rovnicı́ tzv. lineárnı́ho oscilátoru. Charakteristická rovnice λ2 + 2aλ + b2 = 0, (2.18) odpovı́dajı́cı́ rovnici (2.17), má kořeny √ √ λ1 = −a + a2 − b2 , λ2 = −a − a2 − b2 . Proved’me nynı́ diskusi řešenı́ rovnice (2.17). Přı́pad I: a2 < b2 . Charakteristická rovnice (2.18) má komplexně sdružené kořeny: √ √ λ1 = −a + i b2 − a2 , λ2 = −a − i b2 − a2 . Pak je obecné řešenı́ rovnice (2.17) dáno vzorcem √ √ y(x) = e−ax C1 cos b2 − a2 x + C2 sin b2 − a2 x kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty. V tomto přı́padě řı́káme, že jde o periodické kmity, které se nazývajı́ podkriticky utlumené nebo slabě tlumené (viz náčrtek 2.1). Přı́pad II: a2 = b2 . Charakteristické rovnice (2.18) má dvojnásobný reálný kořen λ = λ1,2 = −a. Obecné řešenı́ rovnice (2.17) je popsáno vzorcem y(x) = C1 e−ax + C2 xe−ax nebo y(x) = e−ax (C1 + C2 x) kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty. V tomto přı́padě jde o aperiodické kmity, které jsou kriticky tlumené (viz náčrtek 2.2). Přı́pad III: a2 > b2 . Kořeny charakteristické rovnice (2.18) jsou reálné a různé. Obecné řešenı́ rovnice (2.17) je y(x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x nebo y(x) = e−ax C1 e √ a2 −b2 x + C2 e− √ a2 −b2 x kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty. V tomto přı́padě řı́káme, že jde o aperiodické kmity, které jsou silně tlumené (viz náčrtek 2.3). Přı́pad IV: a = 0. Kořeny charakteristické rovnice (2.18) jsou ryze imaginárnı́: λ1 = ib, λ2 = −ib. Obecné řešenı́ rovnice (2.17) je y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx 2.4. APLIKACE ROVNIC DRUHÉHO ŘÁDU – HARMONICKÉ KMITY Obrázek 2.1: Slabě tlumené kmity Obrázek 2.2: Kriticky tlumené kmity 43 44 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY Obrázek 2.3: Silně tlumené kmity Obrázek 2.4: Harmonické kmity 2.4. APLIKACE ROVNIC DRUHÉHO ŘÁDU – HARMONICKÉ KMITY 45 kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty. V tomto přı́padě řı́káme, že jde o tzv. harmonický lineárnı́ oscilátor jehož kmity jsou netlumené (viz náčrtek 2.4). Pro netriviálnı́ řešenı́ C12 + C22 6= 0 upravme poslednı́ vztah takto: y(x) = C1 q C2 C12 + C22 q cos bx + q sin bx . 2 2 2 2 C1 + C2 C1 + C2 Kladné čı́slo A= q C12 + C22 se nazývá amplitudou kmitánı́ a úhel φ vyhovujı́cı́ vztahům C1 sin φ = q C12 + C22 , C2 cos φ = q 2 C1 + C22 nazýváme fázı́ kmitánı́. Čı́slo b nazýváme kruhovou frekvencı́ kmitánı́. Nynı́ můžeme řešenı́ zapsat ve tvaru y(x) = A (sin φ · cos bx + cos φ · sin bx) nebo y(x) = A sin(bx + φ). Pan Přı́sný, váš přı́sný průvodce studiem: Hodně zjednodušeně se dá řı́ci, že kapitola, kterou jste právě prostudovali, vám vytvořila jen určité ,,předmostı́“ pro studium dalšı́ teorie – jen jakýsi ,,odrazový můstek“ pro Váš skok k dalšı́mu pokořenı́ vyššı́ matematiky (jak se kdysi těmto partiı́m matematiky běžně řı́kalo). A jak by vás poučil každý elementárnı́ kurz vojenské taktiky (o takové jste byli v důsledku zrušenı́ vojenských kateder na civilnı́ch vysokých školách ochuzeni), nenı́ radno pouštět se do ,,nepřátelského vnitrozemı́“, nenı́-li řádně zajištěno ,,předmostı́ útoku“. A zkuste si zaskákat, když ,,odrazový můstek“ je nakřivo nebo nedejbože dokonce nepružı́. Proto ještě než přistoupı́te ke studiu dalšı́ kapitoly, která je jakýmsi vyvrcholenı́m tohoto modulu a těsně navazuje na kapitolu právě prostudovanou, pečlivě si vyřešte úlohy následujı́cı́ho autotestu. Autotest: Určete obecné řešenı́ daných homogennı́ch lineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic s konstantnı́mi koeficienty: 1) y 00 − 4y 0 + 3y = 0, 4) y 000 + y 0 = 0, 7) y (4) + 4y = 0, 2) y 00 + 2y 0 + y = 0, 5) y 000 − 6y 00 + 11y 0 − 6y = 0, 8) y (4) + 8y (2) + 16y = 0, 3) y 00 + 4y = 0, 6) y (4) − y = 0, 9) y (5) + y (3) = 0 46 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY a jedna malá, taková ,,na vydýchánı́“, nakonec 10) y 0 − 541147607y = 0. Výsledky: 1 ) y = c1 e3x + c2 e2x 2 ) y = (c1 + c2 x)e−x 3 ) y = c1 cos 2x + c2 sin 2x 4 ) y = c1 + c2 cos x + c3 sin x 5 ) y = c1 ex + c2 e2x + c3 e3x 6 ) y = c1 ex + c2 e−x + c3 cos x + c4 sin x 7 ) y = (c1 ex + c2 e−x ) cos x + (c3 ex + c4 e−x ) sin x 8 ) y = (c1 + c3 x) cos 2x + (c2 + c4 x) sin 2x 9 ) y = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 cos x + c5 sin x 10) y = ce541147607x Pan S., ikona nové doby, který tady ale nemá vůbec co dělat: Pokud se Vám předchozı́ přı́klady lı́bily, volejte na brněnské telefonnı́ čı́slo uvedené v indexu v poslednı́m přı́kladu (s vypuštěnı́m koncového x) a chtějte pana Jana. A pokud se nelı́bily, tak si trhněte... Chvilka trapného ticha. Jan Amos, všemi milený a rád vı́taný nejenom na stránkách této učebnı́ opory, se který jsme se potkali už v úvodu předchozı́ho modulu: Já pamatuju třicetiletou válku – to se tenkrát soldateska nechovala zrovna vychovaně, a zažil jsem už kde co, ale pouštět taková individua do studijnı́ch opor, to je teda skandál! To ani za Habsburka nebylo! Kde je pořádková služba!? A co pravı́ Průvodci, aby dohlédli na pořádek a zabránili neoprávněnému pronikánı́?! Hanba!! Dalšı́, poněkud kratšı́ chvilka ticha. Pan Hodný, hodný průvodce studiem této učebnı́ opory: Vážený Jene Amosi, prosı́m uklidněte se. Osobně a i jménem pana Přı́sného slibuji, že bude nastolen pořádek, aby už k žádnému dalšı́mu neoprávněnému vniknutı́ nedošlo. Navı́c si dávám předsevzetı́, že se pokusı́m napravit pana S. Ale já s nı́m promluvı́m soukromě a věřı́m, že když se mi podařı́ ho nasměrovat k nějaké ušlechtilejšı́ činnosti, stane se i z něj řádný člen lidské společnosti, který nebude obtěžovat své okolı́ vulgárnı́m chovánı́m. Silně věřı́m, že právě já mám dost trpělivosti a sil ke splněnı́ tohoto jistě nelehkého úkolu. Jen si počkejte na výsledek. Kapitola 3 Nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice. Stanovenı́ partikulárnı́ho řešenı́ Předběžné cı́le studia této kapitoly, motivačnı́ poznámky: O nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnici n-tého řádu jsme již diskutovali v Kapitole 1. Tam jsme uvedli poznatek o tom, z čeho se skládá jejı́ obecné řešenı́. Vı́me (podı́vejte se na zněnı́ Věty 6), že obecné řešenı́ lineárnı́ nehomogennı́ rovnice n-tého řádu je rovno součtu obecného řešenı́ asociované homogennı́ rovnice a některého partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Vedeme-li opět debatu o nehomogennı́ rovnici, má to tento důvod: je možné najı́t jejı́ partikulárnı́ rešenı́? To nenı́ jednoduchá otázka. Ukazuje se, že diskutovat o nalezenı́ partikulárnı́ch řešenı́ nehomogennı́ch rovnic nenı́ možné bez toho, aniž bychom znali vlastnosti obecného řešenı́ asociované homogennı́ rovnice. Můžeme to vyjádřit ještě výstižněji: tvar partikulárnı́ho řešenı́ závisı́ nejen na tvaru pravé strany rovnice, ale je podmı́něn i tvarem obecného řešenı́ přidružené homogennı́ rovnice. V této kapitole se budeme věnovat postupům, jak partikulárnı́ řešenı́ určit. Jak jsme již naznačili, bude přitom potřeba znát, jak vypadá obecné řešenı́ asociované homogennı́ rovnice nebo vědět o tomto obecném řešenı́ některé informace, které jsou vlastně jejı́mu sestavenı́ ekvivalentnı́. Vysvětlı́me dvě nejznámějšı́ metody sestavenı́ partikulárnı́ho řešenı́ lineárnı́ nehomogennı́ diferenciálnı́ rovnice n-tého řádu. Jako prvnı́ bude vyložena tzv. metoda odhadu (nebo též metoda neurčitých koeficientů). Tuto metodu můžeme použı́t jen tehdy jestliže má pravá strana nehomogennı́ rovnice speciálnı́ tvar (kombinace polynomů, exponenciál, sinů a kosinů) a je-li přidružená homogennı́ rovnice rovnicı́ s konstantnı́mi koeficienty. Pak můžeme funkci, která bude partikulárnı́m řešenı́m ,,odhadnout“ jako některou funkci podobného typu jako byla pravá strana a to s přesnostı́ do koeficientů jistých polynomů. Tyto koeficienty je potom nutno dourčit dosazenı́m předpokládaného tvaru partikulárnı́ho řešenı́ do výchozı́ nehomogennı́ 47 48 KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR rovnice a porovnánı́m koeficientů, kterými jsou násobeny stejné typy funkcı́. Druhá metoda je tzv. metoda variace konstant. Jde o metodu univerzálnı́ v tom smyslu, že pokud známe obecné řešenı́ asociované homogennı́ rovnice (může to být obecná homogennı́ rovnice nikoliv s nutně konstantnı́mi koeficienty), nalezneme partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice v přı́padě jakkoliv zadané pravé strany nehomogennı́ rovnice. Myšlenka této metody je ve stručnosti tato - partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice lze najı́t ve tvaru, který je formálně podobný obecnému řešenı́ homogennı́ rovnice, a který vzniká náhradou libovolných konstant v obecném řešenı́ vhodnými funkcemi. Naše úvahy se v této kapitole vztahujı́ k určitému intervalu I. Po prostudovánı́ této kapitoly by každý měl: • umět se efektivně rozhodnout, kterou metodu pro hledánı́ partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice s konstantnı́mi koeficienty zvolit; • následně takové partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ LDR s konstantnı́mi koeficienty najı́t. 3.1 Určenı́ partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice metodou odhadu Našı́m cı́lem bude určit partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice n-tého řádu tvaru y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = g(x), (3.1) kde an−1 , . . . , a1 , a0 jsou konstanty za předpokladu, že pravá strana g(x) má speciálnı́ předepsaný tvar, který za chvı́li uvedeme. Vı́me, že z Věty 6 vyplývá, že obecné řešenı́ rovnice (3.1) je rovné součtu obecného řešenı́ přidružené homogennı́ rovnice y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0 (3.2) a některého partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Postup konstrukce obecného řešenı́ přidružené homogennı́ rovnice s konstantnı́mi koeficienty byl vyložen v Kapitole 2. Informace o tomto obecném řešenı́ homogennı́ rovnice nám budou užitečné pro nalezenı́ partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Nı́že uvedená metoda se nazývá metodou odhadu nebo též metodou neurčitých koeficientů. Některé učebnice také pı́šı́ o zvláštnı́ pravé straně. Jejı́ použitı́ je možné jen v přı́padě, že pravá strana rovnice (3.1) má speciálnı́ tvar. Naformulujeme tvrzenı́ o tom, že partikulárnı́ řešenı́ má jistý a dosti konkrétnı́ tvar. Důkaz tohoto tvrzenı́ nebudeme uvádět. Nebylo by však obtı́žné ho provést, protože důkaz tvrzenı́, že jisté funkce mohou být partikulárnı́mi řešenı́mi lze provést s pomocı́ symbolických polynomiálnı́ch operátorů podobným způsobem, jakým jsme v části 2.3 (viz Lemma 1) prověřovali, že funkce uvedených typů jsou řešenı́mi homogennı́ rovnice. 3.1. METODA ODHADU 49 Věta o metodě odhadu Použitı́ metoda odhadu je založena na následujı́cı́ větě. Věta 9 (Metoda odhadu) Předpokládejme, že pravá strana rovnice (3.1) má tvar i h g(x) = e αx · Ps1 (x) cos βx + Pm2 (x) sin βx , (3.3) kde Ps1 (x) a Pm2 (x) jsou polynomy stupňů s a m. Potom má partikulárnı́ řešenı́ rovnice (3.1) (s přesnostı́ do koeficientů polynomů) tvar h i yp (x) = xk e αx · Rr1 (x) cos βx + Rr2 (x) sin βx , kde Rr1 (x) a Rr2 (x) jsou polynomy stupňů nejvı́ce r = max{s, m}. Čı́slo k je rovné nule, nenı́-li výraz α + i · β kořenem charakteristické rovnice asociované homogennı́ rovnice. V opačném přı́padě udává čı́slo k násobnost tohoto kořene. Poznámka 2. Koeficienty polynomů Rr1 (x) a Rr2 (x) lze určit přesně dosazenı́m tvaru partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) do rovnice (3.1) a porovnánı́m koeficientů při stejných funkcionálnı́ch výrazech. Takový je praktický postup přesného ,,dourčenı́“. Jak již bylo uvedeno, v přı́padě, že pravá strana g(x) rovnice (3.1) nemá uvedený tvar, metoda odhadu nenı́ funkčnı́. V takovém přı́padě lze užı́t univerzálnı́ metodu - metodu varice konstant, kterou uvedeme v části 3.2. Ilustrace metody odhadu Ukážeme na přı́kladech, jak lze metodu odhadu použı́t. Přı́klad 15. Nalezněte řešenı́ počátečnı́ úlohy ( y 00 − 2y 0 + y = 2 − x, y(0) = 3, y 0 (0) = 6. (3.4) Řešenı́. Pravá strana rovnice je polynomem prvnı́ho stupně. Je tedy funkcı́, definovanou na celém intervalu I = R. Proto zde bude definováno také řešenı́ počátečnı́ úlohy (3.4). Řešenı́ úlohy najdeme ve třech krocı́ch: a) Prvnı́ krok spočı́vá v nalezenı́ obecného řešenı́ asociované homogennı́ rovnice y 00 − 2y 0 + y = 0. Charakteristická rovnice má tvar λ2 − 2λ + 1 = 0 a jejı́ kořeny jsou λ1 = λ2 = 1. 50 KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Obecné řešenı́ asociované homogennı́ rovnice je (podle Věty 8) určeno tvarem y = (C1 + C2 x)ex , kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. b) Ve druhém kroku najdeme partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Snadno lze ověřit, že pravá strana uvažované rovnice má tvar (3.3), uvedený ve Větě 9 pro α = 0, β = 0, P11 (x) = −x + 2. Čı́slo α + i · β = 0 nenı́ kořenem charakteristické rovnice. Proto budeme hledat partikulárnı́ řešenı́ ve tvaru yp (x) = x0 e0·x [(ax + b) cos(0 · x) + R2 (x) sin(0 · x)] = ax + b kde a a b jsou vhodné konstanty. Můžeme je najı́t dosazenı́m předpokládaného partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) do výchozı́ nehomogennı́ diferenciálnı́ rovnice. Dostáváme yp00 − 2yp0 + yp = −2a + ax + b = 2 − x, odkud a = −1 a b = 0. Po dosazenı́ vidı́me, že partikulárnı́ řešenı́ je určené vztahem yp (t) = −x. c) Ve třetı́m a poslednı́m kroku sestavı́me obecné řešenı́ výchozı́ nehomogennı́ rovnice a zvolı́me hodnoty libovolných konstant tak, abychom obdrželi řešenı́, vyhovujı́cı́ daným počátečnı́m podmı́nkám. Obecným řešenı́m asociované nehomogennı́ rovnice je funkce y(x) = (C1 + C2 x)ex − x, kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Určeme je tak, aby partikulárnı́ řešenı́ vyhovovalo počátečnı́m podmı́nkám. Dosazenı́ počátečnı́ch podmı́nek do nalezeného řešenı́ a do jeho derivace y 0 (x) = C2 ex + (C1 + C2 x)ex − 1 vede ke vztahům 3 = C1 , 6 = C2 + C1 − 1. Tento systém má řešenı́ C1 = 3, C2 = 4. Hledané řešenı́ počátečnı́ úlohy je y(t) = (3 + 4x)ex − x. Přı́klad 16. Najděte obecné řešenı́ nehomogennı́ rovnice y 00 + y = x cos x + sin x. (3.5) 3.1. METODA ODHADU 51 Řešenı́. I v tomto přı́kladu je pravá strana funkcı́, definovanou na celém intervalu I = R. Na tomto intervalu bude určeno také obecné řešenı́ rovnice (3.5). Úlohu vyřešı́me ve dvou krocı́ch: a) Prvnı́ krok opět spočı́vá v nalezenı́ obecného řešenı́ asociované homogennı́ rovnice y 00 + y = 0. Charakteristická rovnice je tvaru λ2 + 1 = 0 a má kořeny λ1,2 = ±i. Obecné řešenı́ asociované homogennı́ rovnice určı́me (podle Věty 8) jako y = C1 cos x + C2 sin x, kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. b) Druhý krok spočı́vá v hledánı́ partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Snadno lze ověřit, že pravá strana uvažované rovnice má tvar (3.3), uvedený ve Větě 9 pro α = 0, β = 1, P11 (x) = x, P02 (x) = 1. Čı́slo α + i · β = i je kořenem charakteristické rovnice. Proto budeme hledat partikulárnı́ řešenı́ ve tvaru yp (x) = xe0·x [(ax + b) cos x + (cx + d) sin x)] = (ax2 + bx) cos x + (cx2 + dx) sin x, kde a, b, c a d jsou vhodné konstanty. Najdeme je dosazenı́m předpokládaného partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) do výchozı́ nehomogennı́ diferenciálnı́ rovnice. Po předběžném pomocném výpočtu yp0 (x) = (2ax + b) cos x + (2cx + d) sin x − (ax2 + bx) sin x + (cx2 + dx) cos x = cx2 + (d + 2a)x + b cos x + −ax2 + (−b + 2c)x + d sin x a yp00 (x) = (2cx + d + 2a) cos x + (−2ax − b + 2c) sin x − cx2 + (d + 2a)x + b sin x + −ax2 + (−b + 2c)x + d cos x = −ax2 − bx + 4cx + 2d + 2a cos x + −cx2 − 4ax − dx + 2c − 2b sin x dostáváme yp00 + yp = (4cx + 2d + 2a) cos x + (−4ax + 2c − 2b) sin x = x cos x + sin x. Porovnánı́m koeficientů při stejných funkcı́ch vede k hodnotám koeficientů 1 1 1 a = 0, b = − , c = , d = . 4 4 2 Obecným řešenı́m nehomogennı́ rovnice je funkce 1 1 2 y(x) = C1 cos x + C2 sin x − x cos x + x + x sin x, 4 4 kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. 52 KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Vznik rezonance Využijeme metody odhadu k objasněnı́ matematické podstaty jevu, který nazýváme rezonance. Hovořili jsme o nı́ v úvodu prvnı́ modulu – vzpomeňte si na obrázky pochodujı́cı́ho vojska. Také jsme se zmı́nili o tom, co se může stát, pokud rezonance vznikne. Vztah tohoto jevu a stavebnictvı́ je velmi úzký – kmity konstrukcı́, desek, výškových budov – to jsou jen některé přı́klady, kde k tomuto jevu může dojı́t. V části 2.4 na straně 41 jsme vedli diskuzi o rovnici s konstantnı́mi koeficienty (2.17), která má bohaté uplatněnı́ v různých disciplı́nách. Tuto rovnici jsme nesestavovali, i když to nenı́ obtı́žné. Napřı́klad, při popisu kmitů závažı́ (hmotného bodu), upevněného na pružině je využit druhý Newtonův zákon. Pokud ve svých úvahách zanedbáme třenı́, potom má rovnice popisujı́cı́ kmity závažı́ tvar rovnice (2.17), kde a = 0, tj. rovnice má tvar y 00 + b2 y = 0. (3.6) Jako y je značena odchylka závažı́ od některého zvoleného počátku souřadnic. Rovnice (3.6) byla v části (2.4) vyřešena a jejı́ řešenı́ mělo tvar y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx (3.7) kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Vidı́me, že kmity jsou periodické s periodou 2π/b. Předpokládejme, že na pružinu působı́ nějaká (nezanedbatelná) periodická vnějšı́ sı́la s periodou 2π/ϕ popsaná vztahem F (x) = F0 sin ϕx, kde F0 je jejı́ amplituda. Rovnice, popisujı́cı́ pohyb závažı́ na pružině má v takovém přı́padě tvar y 00 + b2 y = F0 sin ϕx. (3.8) Najděme obecné řešenı́ rovnice (3.8). Obecné řešenı́ asociované homogennı́ rovnice je popsáno vztahem (3.7). Proto začneme sestavovat partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice. Charakteristická rovnice odpovı́dajı́cı́ rovnici (3.6): λ2 + b = 0 má kořeny λ1,2 = ±b. Proto se, v souladu s návodem daným ve Větě 9, budeme zabývat dvěma přı́pady: b 6= ϕ a b = ϕ. Otázka pro vás: Dokážete uspokojivě zdůvodnit, proč nelze hledánı́ omezit jen na jeden přı́pad? 3.1. METODA ODHADU 53 a) Přı́pad b 6= ϕ. Tento přı́pad značı́, že perioda vlastnı́ch (nebo též vnitřnı́ch) kmitů závažı́ na pružině (čı́slo 2π/b) je různá od periody vnějšı́ sı́ly (tj. čı́sla 2π/ϕ). Partikulárnı́ řešenı́ hledáme ve tvaru yp (x) = M cos ϕx + N sin ϕx, kde musı́me určit konstanty M a N . Protože yp0 (x) = −M ϕ sin ϕx + N ϕ cos ϕx, yp00 (x) = −M ϕ2 cos ϕx − N ϕ2 sin ϕx, dosazenı́ partikulárnı́ho řešenı́ do rovnice (3.8) dává M (−ϕ2 + b2 ) cos ϕx + N (−ϕ2 + b2 ) sin ϕx = F0 sin ϕx. Odtud vyplývá: M = 0, N = F0 . −ϕ2 + b2 Partikulárnı́ řešenı́ má tvar yp (x) = F0 sin ϕx. −ϕ2 + b2 Obecné řešenı́ rovnice (3.8) je popsáno vzorcem y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx + F0 sin ϕx, −ϕ2 + b2 (3.9) kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Toto řešenı́ je rovno součtu dvou typů periodických funkcı́ s různými periodami. Graf partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) je na náčrtku (viz obr. 3.1) b) Přı́pad b = ϕ. Tento přı́pad značı́, že perioda vlastnı́ch kmitů závažı́ na pružině je stejná s periodou vnějšı́ sı́ly. Tento přı́pad popisuje naprosto jiný mechanismus kmitů. Protože v tomto přı́padě je čı́slo ϕ kořenem charakteristické rovnice, hledáme partikulárnı́ řešenı́ ve tvaru yp (x) = M x cos bx + N x sin bx, kde určı́me konstanty M a N . Protože yp0 (x) =M cos bx + N sin bx − M bx sin bx + N bx cos bx, yp00 (x) = − M b sin bx + N b cos bx − M b sin bx + N b cos bx − M b2 x cos bx − N b2 x sin bx = 2N b cos bx − 2M b sin bx − M b2 x cos bx − N b2 x sin bx, dosazenı́ partikulárnı́ho řešenı́ do rovnice (3.8) dává 2N b cos bx − 2M b sin bx − M b2 x cos bx − N b2 x sin bx + b2 (M x cos bx + N x sin bx) = F0 sin bx. 54 KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Odtud vyplývá: 2N b cos bx − 2M b sin bx = F0 sin bx a proto N = 0, M = − F0 . 2b Partikulárnı́ řešenı́ má tvar yp (x) = − F0 x cos bx. 2b Obecné řešenı́ rovnice (3.8) je nynı́ popsáno vztahem y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx − F0 x cos bx, 2b (3.10) kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Graf partikulárnı́ho řešenı́ yp (x) je na náčrtku (viz obr. 3.1) Význačnou změnou, která nastala ve vzorci (3.10) vzhledem k předchozı́mu obecnému řešenı́ (3.9), je přı́tomnost výrazu yp (x) s neohraničenou amplitudou. Interpretujeme-li x jako čas, potom s jeho růstem (tj. pro x → ∞) roste amplituda výrazu do nekonečna. Proto popis kmitů závažı́ na pružině již nenı́ periodickým výrazem. Vnějšı́ sı́la, která působı́ na závažı́ má v tomto přı́padě stejnou periodu jakou majı́ vlastnı́ kmity závažı́ na pružině. Popsaná situace se nazývá rezonancı́. Docházı́ k stále většı́mu rozkmitu a nakonec až k destrukci systému, což jste si jistě schopni barvitě (i když možná někteřı́ méně nadanı́ jen černobı́le:-) představit. Užitı́m metody odhadu určete obecné řešenı́ daných diferenciálnı́ch rovnic: 1) y 00 + y = sin x 3) y 00 + y = sin x + cos 2x 2) y 00 + y = cos 2x 4) y 00 − 3y 0 + 2y = x + 1 − e−2x Výsledky: 1) y = c1 cos x + c2 sin x − 12 x cos x; 2) y = c1 cos x + c2 sin x − 13 cos 2x; 4) y = c1 ex + c2 e2x − 1 −2x e 12 + 21 x + 45 . 3.1. METODA ODHADU Obrázek 3.1: Ilustrace ke vzniku rezonance 55 56 3.2 KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR Určenı́ partikulárnı́ho řešenı́ nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice metodou variace konstant Budeme se zabývat nehomogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnici n-tého řádu (1.2). y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x). Ukážeme, jak lze najı́t jejı́ partikulárnı́ řešenı́ za předpokladu, že známe obecné řešenı́ asociované homogennı́ lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice (1.3) y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0. Předpokládejme, že systém funkcı́ y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) je fundamentálnı́m systémem řešenı́ asociované homogennı́ rovnice. Jejı́ obecné řešenı́ má potom tvar y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x), kde C1 , C2 , . . . , Cn jsou libovolné konstanty. Pokusı́me se najı́t partikulárnı́ řešenı́ y = yp (x) rovnice (1.2) ve tvaru, který připomı́ná obecné řešenı́ asociované rovnice: yp (x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) + · · · + Cn (x)yn (x), (3.11) C1 (x), C2 (x), . . . , Cn (x) (3.12) kde jsou prozatı́m neznámé funkce. Dalšı́ postup má svým cı́lem určit systém funkcı́ (3.12). Přitom budeme požadovat, aby některé dalšı́ vlastnosti výrazu (3.11) byly analogické vlastnostem obecného řešenı́ homogennı́ rovnice. Při vysvětlenı́ podstaty se omezı́me na přı́pad rovnic druhého řádu. Variace konstant v přı́padě rovnic druhého řádu Uvažujme rovnici y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x). Předpokládejme, že systém funkcı́ y1 (x), y2 (x) je fundamentálnı́m systémem řešenı́ asociované homogennı́ rovnice. y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0. 3.2. METODA VARIACE KONSTANT 57 Jejı́ obecné řešenı́ má potom tvar y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x), kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty. Pokusı́me se najı́t partikulárnı́ řešenı́ y = yp (x) nehomogennı́ rovnice ve tvaru yp (x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x), (3.13) C1 (x) a C2 (x) (3.14) kde jsou prozatı́m neznámé funkce. Najděme prvnı́ derivaci výrazu (3.13). Přitom budeme předpokládat, že výsledek bude mı́t formálnı́ tvar stejný, jako kdyby se jednalo o derivaci obecného řešenı́ homogennı́ rovnice, tj., jako kdyby funkce C1 (x) a C2 (x) byly konstantami. Tento předpoklad vede k požadavku, aby byla označená část výsledku rovna nule: yp0 (x) = C1 (x)y10 (x) + C2 (x)y20 (x) + C10 (x)y1 (x) + C20 (x)y2 (x) = | {z =0 } C1 (x)y10 (x) + C2 (x)y20 (x). Najdeme druhou derivaci. Na rozdı́l od předchozı́ho výpočtu budeme předpokládat, že označená část výsledku je rovna pravé straně nehomogennı́ rovnice, tj. funkci g(x): yp00 (x) = C1 (x)y100 (x) + C2 (x)y200 (x) + C10 (x)y10 (x) + C20 (x)y20 (x) = | {z =g(x) } C1 (x)y100 (x) + C2 (x)y200 (x) + g(x). Napišme oba předpoklady, které jsme učinili. Prvnı́ derivace hledaných funkcı́ C1 (x) a C2 (x) musı́ vyhovovat systému rovnic: ( C10 (x)y1 (x) + C20 (x)y2 (x) = 0, C10 (x)y10 (x) + C20 (x)y20 (x) = g(x). (3.15) Systém (3.15) je systémem algebraických rovnic vzhledem k neznámým derivacı́m C10 (x) a C20 (x). Determinant tohoto systému je wronskián W (x) = W (y1 (x), y2 (x)), který je na uvažovaném intervalu I nenulový. Proto má systém (3.15) jediné řešenı́. Z principiálnı́ho hlediska nenı́ podstatné znát přesný tvar tohoto řešenı́ (které může být snadno zapsáno s pomocı́ determinantů). Spokojı́me se jen s konstatovánı́m, že toto řešenı́ může být zapsané ve tvaru ( C10 (x) = ω1 (x), C20 (x) = ω2 (x), (3.16) 58 KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR kde funkce ω1 (x) a ω2 (x) jsou spojitými funkcemi na intervalu I. Integracı́ jednotlivých vztahů, uvedených v (3.16) dostáváme hledané funkce C1 (x), C2 (x), vyhovujı́cı́ všem zapsaným požadavkům. Jejich dosazenı́m do předpokládaného tvaru partikulárnı́ho řešenı́ (3.11) dostáváme yp (x) = y1 (x) Z ω1 (x)dx + y2 (x) Z ω2 (x)dx. O tom, že tento výraz je skutečně partikulárnı́m řešenı́m nehomogennı́ rovnice svědčı́ způsob jeho konstrukce. Můžeme se však zkouškou přı́mo přesvědčit o správnosti tohoto tvrzenı́. Poznamenejme ještě, že v přı́padě, když budeme při integraci funkcı́ ω1 (x) a ω2 (x) zapisovat i přı́slušné libovolné integračnı́ konstanty, dostaneme po dosazenı́ do předpokládaného tvaru partikulárnı́ho řešenı́ (3.13) obecné řešenı́ dané nehomogennı́ rovnice. Modifikace metody variace konstant v přı́padě rovnic libovolného řádu Výše uvedený postup zůstane stejný. Vypišme jen tvar systému, který je analogický uvedenému systému (3.15). Rovnice, kterým musı́ vyhovovat neznámé funkce (3.14), jsou 0 C1 (x)y1 (x) C 0 (x)y10 (x) 1 + · · · + Cn0 (x)yn (x) + · · · + Cn0 (x)yn0 (x) = 0, = 0, ... (n−2) C10 (x)y1 (x) + · · · + Cn0 (x)yn(n−2) (x) = 0, 0 (n−1) 0 (n−1) C1 (x)y1 (x) + · · · + Cn (x)yn (x) = g(x). Dále postupujeme obdobně jako v přı́padě rovnic druhého řádu. Ukažme použitı́ metody variace konstant na přı́kladu. Přı́klad 17. Najděte obecné řešenı́ rovnice y 00 − 2y 0 + y = ex . x2 (3.17) Řešenı́. Řešenı́ rovnice (3.17) bude definované na množině I = R\{0} (zdůvodněte proč). Postup řešenı́ rozdělı́me do dvou kroků: a) Nejprve najdeme obecné řešenı́ přidružené homogennı́ rovnice y 00 − 2y 0 + y = 0. Odpovı́dajı́cı́ charakteristická rovnice λ2 − 2λ + 1 = 0 3.2. METODA VARIACE KONSTANT 59 má dvojnásobný kořen λ1,2 = 1 a obecné řešenı́ je y = C1 ex + C2 xex , kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. b) Partikulárnı́ řešenı́ nehomogennı́ rovnice hledáme v souladu s metodou variace konstant ve tvaru yp (x) = C1 (x)ex + C2 (x)xex . Zapišme přı́slušný systém (3.15): C10 (x)ex + C20 (x)xex = 0, C10 (x)ex + C20 (x)(1 + x)ex = ex . x2 Po úpravě (krácenı́ výrazem et ) dostaneme C10 (x) + C20 (x)x = 0, 1 C10 (x) + C20 (x)(1 + x) = 2 , x odkud C10 (x) = −1, C20 (x) = 1 x2 a po integraci 1 C1 (x) = −x, C2 (x) = − . x Partikulárnı́ řešenı́ má tvar yp (x) = −xex − 1 x ·e . x Obecné řešenı́ rovnice (3.17) je y = C1 ex + C2 xex − xex − 1 x ·e . x Toto obecné řešenı́ můžeme upravit takto (na základě vašich znalostı́ provedenou úpravu zdůvodněte) 1 y = D1 ex + D2 xex − · ex , x kde D1 a D2 jsou libovolné konstanty. Cvičenı́: Užitı́m metody variace konstant určete obecné řešenı́ daných diferenciálnı́ch rovnic: 60 KAPITOLA 3. PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ LDR y 00 + y = sin x h y = c1 cos x + c2 sin x − 21 x cos x , b) y 00 + y = tan x h cos x y = c1 cos x + c2 sin x + cos ln 1+sin , x a) c) i i y 00 + y = sin x + tan x d) y 00 − 2y 0 + y = ex x [y = (c1 + c2 x + x ln x)ex ]. Pánové Hodný a Přı́sný, tentokrát netradičně spolu: Zvládli jste poslednı́ kapitolu tohoto soumodulı́ o diferenciálnı́ch rovnicı́ch, gratulujeme! Věřı́me, že vědomosti, které jste studiem těchto textů zı́skali, někdy v budoucnu uplatnı́te ve Vašı́ inženýrské praxi. A na závěr, jako dárek na rozloučenou, malý autotest. Autotest: Vhodnými metodami nalezněte obecné přı́padně partikulárnı́ řešenı́ daných diferenciálnı́ch rovnic: a) y 00 − 4y = 8x3 [y = c1 e2x + c2 e−2x − 3x − 2x3 ], h b) y 00 + y 0 = x c) y 00 + y 0 = [y = c1 + c2 e−x + x − (1 + e−x ) · ln(1 + ex )], 1 1+ex d) y 00 + y 0 = x + i y = c1 + c2 e−x + 21 x2 − x , 1 . 1+ex Literatura [1] Aramanovič, I.G., Lunc, G.L., Elsgolc, L.E.: Funkcie komplexnej premennej, operátorový počet, teria stability, Alfa, Bratislava, SNTL Praha, 1973. [2] Borůvka, O.: Diferenciálne rovnice, SPN Bratislava, 1961. [3] Diblı́k, J., Růžičková,M.: Positive solutions of singular initial problems for systems of ordinary differential equations, Studies of the University of Žilina, Mathematical Series, vol. 17 (2003), 47–60. [4] Driver, R.D.: Ordinary and Delay Differential Equations, Springer-Verlag New York Inc., 1977. [5] Greguš, M., Švec, M., Šeda, V.: Obyčajné diferenciálne rovnice, Alfa, Bratislava, SNTL, Praha, 1985. [6] Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, Second Edition, Birkhäuser, 1982. [7] Hairer, E., Norsett, S.P., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations I, Springer-Verlag, 1987. [8] Havelka, J., Čermáková, H.: Matematika II4 , Obyčejné diferenciálnı́ rovnice, Akademické nakladatelstvı́ CERM, s.r.o. Brno, 1997. [9] Hronec, J.: Diferenciálne rovnice I, Slovenská akadémia vied, Bratislava, 1956. [10] Chudý, J.: Determinanty a matice, SNTL, Práce, 1971. [11] Jirásek, F., Benda, J., Čipera, S., Vacek, M.: Sbı́rka řešených přı́kladů z matematiky III, SNTL, Praha, 1989. [12] Kalas, J., Ráb, M.: Obyčejné diferenciálnı́ rovnice, MU Brno, PřF, 2001. [13] Kamke, E.: Lsungsmethoden und Lsungen. I. Gewhnliche Differentialgleichungen., 9. Aufl. Unvernd. Nachdr. d. 8., durchges. Aufl. (German) Stuttgart: B.G. Teubner. XXVI, 1977 [14] Kluvánek, I., Mišı́k, L., Švec, M.: Matematika II, Alfa, Bratislava, 1961. [15] Kuben, J.: Obyčejné diferenciálnı́ rovnice, VA Brno, 2000. [16] Kurzweil, J.: Obyčejné diferenciálnı́ rovnice, SNTL Praha, 1978. 61 62 LITERATURA [17] Lakshmikantham, V., Leela, S., Differential and Integral Inequalities, Vol. I Ordinary Differential Equations, Academic Press, New York, London, 1969. [18] Matvejev, N.M., Metody integrirovanija obyknovennych differencialnych uravnenij, Vyshejshaja shkola, Minsk, 1974. [19] Medved’, M.: Dynamické systémy, VEDA, Bratislava, 1988. [20] Neuman, F.: Global Properties of Linear Ordinary Differential Equations, Academia, Praha, 1991. [21] Nagy, J.: Elementárnı́ metody řešenı́ obyčejných diferenciálnı́ch rovnic, MVŠT IX, SNTL, Praha, 1978. [22] Nagy, J.: Soustavy obyčejných diferenciálnı́ch rovnic, MVŠT XV, SNTL, Praha, 1980. [23] Nagy, J.: Stabilita řešenı́ obyčejných diferenciálnı́ch rovnic, MVŠT IX, SNTL, Praha, 1980. [24] Pták, P.: Diferenciálnı́ rovnice, Laplaceova transformace, ČVUT v Praze, 1999. [25] Ráb, M.: Metody řešenı́ obyčejných diferenciálnı́ch rovnic, MU Brno, PřF, 1998. Index Řešenı́ Exponenciálnı́ tvar, 30 Nehomogennı́, 5 Obecné řešenı́ Exponenciálnı́ tvar, 30 Lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice, 4 Lineárnı́ oscilátor, 41 Amplituda, 45 Charakteristická rovnice, 30 Komplexnı́ kořeny, 39 Metoda neurčitých koeficientů, 48 Metoda odhadu, 48 Metoda variace konstant, 56 Determinant Vandermondův, 15 Nehomogennı́ lineárnı́ rovnice, 5 Nehomogennı́ lineárnı́ rovnice Metoda neurčitých koeficientů, 48 Metoda odhadu, 48 Metoda variace konstant, 56 Partikulárnı́ řešenı́, 47 Nehomogennı́ rovnice Obecné řešenı́, 21 Netlumené kmity, 45 Neurčité koeficienty, 48 Fáze, 45 Frekvence, 45 Fundamentálnı́ systém řešenı́, 18 Harmonické kmity, 41 Homogennı́ lineárnı́ rovnice, 5 Homogennı́ rovnice Obecné řešenı́, 19 Snı́ženı́ řádu, 27 Identický operátor, 32 Obecné řešenı́, 19, 21 Operátor Diferenciálnı́, 32 Identický, 32 Symbolický, 32 Kmity Amplituda, 45 Fáze, 45 Frekvence, 45 Harmonické, 41 Kriticky tlumené, 42 Netlumené, 45 Silně tlumené, 42 Slabě tlumené, 42 Kořeny Komplexnı́, 39 Kriticky tlumené kmity, 42 Počátečnı́ úloha, 6 Počátečnı́ podmı́nky, 17 Princip superpozice, 6 Rezonance, 52 Rovnice Charakteristická, 30 Rovnice y (n) = f (x), 22 Lineárnı́ diferenciálnı́ rovnice Asociovaná, 5, 6 Přidružená, 5, 6 Lineárnı́ rovnice Homogennı́, 5 Silně tlumené kmity, 42 Slabě tlumené kmity, 42 Snı́ženı́ řádu, 27 Superpozice, 6 Symbolický diferenciálnı́ operátor, 32 63 64 Symbolický operátor, 32 Symbolický polynomiálnı́ operátor, 32 Systém řešenı́ Fundamentálnı́, 18 Systém funkcı́ Lineárnı́ nezávislost, 9 Lineárnı́ závislost, 9 Wronskián, 16, 18 Vandermondův determinant, 15 Variace konstant, 56 Wronskián, 13, 16 INDEX Mohl by Komenský napsat svůj Labyrint v dnešnı́ době? Měl by průvodce s potřebnými schopnostmi? Uznávaný amatérský komeniolog František Pluháček z Lešné u Zlı́na se zamýšlı́, jak by to asi vypadalo, kdyby se Komenského hrdina dostal do dnešnı́ doby. Do doby, která rozsahem dosaženého vědeckého poznánı́ už dlouho nepřeje polyhistorům různého raženı́ a všeznalosti–všudybylstvı́ obecně. Poslednı́m Mohykánem kmene všudypřı́tomných byl jistý hrdina jednoho v dnešnı́ době už mezi mládežı́ zapomenutého autora, Ondřeje Sekory. Jmenoval se Pytlı́k, mezi přáteli nazývaný Brouk. A jak jeho průvodcovánı́ dopadalo, raději zamlčet! Esej Františka Pluháčka Lešenského se nedochovala v úplnosti – stala se obětı́ velkého požáru, vzniklého z neopatrnosti švédské turistky Ulmy Johnssonové při manipulaci s otevřeným ohněm. Přinášı́me část přeživšı́ho torza, kapitolu o tom, jaký dojem udělalo působenı́ Všudybyla na vědecké konferenci o diferenciálnı́ch rovnicı́ch. Varujeme čtenáře s pokleslejšı́m literárnı́m vkusem, že styl Františka Pluháčka silně koketuje se surrealismem. Už to, že hlavnı́ hrdina, Všudybyl, je přı́tomen na mı́stě konference, ale jen v důchovnı́m významu, je experiment docela nadreálný. Ne každému se něco takového může lı́bit. Proto prosı́me o pochopenı́. Stručné uvedenı́: Vědecká konference o diferenciálnı́ch rovnicı́ch. Organizačnı́ výbor se rozhodl pozvednout konferenčnı́ pracovnı́ morálku účastnı́ků tı́m, že provádı́ důkladnou kontrolu přı́tomnosti před každou plenárnı́ přednáškou zvlášt’, před každým jednánı́m v sekcı́ch. Je potřeba vymýtit nešvary, které lze jednoduše shrnout do sloganu: Když je možno být alespoň na dvou mı́stech, člověk nemusı́ být nikde. Před přednesenı́m přednášky prof. RNDr. S. Staňka, CSc., na téma Singulárnı́ okrajové úlohy, nastává pozdviženı́: Chybějı́ José Chroustal z Brna a jakýsi Všudybyl, podepisujı́cı́ se jako Všudybyl Komenský. Následuje přı́sné vyšetřovánı́. Prokážı́ se závažné skutečnosti: José Chroustal nikdy na žádné konferenci nebyl, ani nikdy nebude, nemůže být, snad jen kdyby si nechal uvést podrobné zněnı́ přı́spěvku v elektronické části sbornı́ku. Jedná se fiktivnı́ postavu, duchovnı́ dı́tě jakéhosi Františka Kocourka – účastnický poplatek byl proto zabaven ve prospěch organizačnı́ho výboru. Kdo ho zaplatil, se dodnes nevı́. (Raději se po tom už nepátralo, byl-li problém úspěšně vyřešen. Kaz na důslednosti organizačnı́ho výboru.) S panem Všudybylem je to těžšı́. Několik jedinců se při výslechu přiznalo, že ho na konferenci osobně viděli, že s nı́m mluvili. Byl tu navı́c jeho podpis na prezenčnı́ listině. Proč se ale zapsal, vyslechl úvodnı́ řeč a zmizel? Vysvětlenı́ podala až jistá Róssa Mámenyi. Ta se doznala, že je s panem Všudybylem v kontaktu už z dřı́vějška. Tolik stručné uvedenı́, převyprávěné z textu Františka Pluháčka autory této učebnı́ opory. A nynı́ vlastnı́ Pluháčkův text – část, kdy Růžena Mámeniová (dovolili jsme si, pro internı́ potřeby tohoto textu, počeštit jejı́ jméno) vysvětluje chovánı́ pana Všudybyla: Když on pořád někde lı́tá. Onehdá sestavoval vládu. Nebo dneska: Ráno seká dřevo pod Hostýnem - bzum, a hned v poledne Kralický Sněžnı́k - tam byl u sklizně ovsa. Měli byste ho vidět s těmi vidlemi, co mu tam dali do rukou. A ještě večer ho čeká Oděsa. Mezitı́m vaše konference. To všechno se on snažı́ stı́hat... Pan Přı́sný: ,,Tak to už já nevydržı́m. Pche, pěkné surreálno! Spı́š pěkně ujetá postmoderna. Takové vršenı́ slov bez ladu a skladu, bez jakékoliv logiky. Vidle a vláda. Nebo kdo mi vysvětlı́, jaká je souvislost mezi Hostýnem, Kralickým Sněžnı́kem a Oděsou? Je vůbec nějaká? Prostě pitomina, která ani do takovéto učebnı́ opory nepatřı́. Jenom to zabı́rá mı́sto!“ Pan Hodný: ,,Pane Přı́sný, nebud’te tak přı́krý. Dočkejte času a pochopı́te. Jenom trpělivost. Byl jste přeci na začátku varován, že to nenı́ pro lidi s pokleslým vkusem. Tak se tak neprojevujte. Raději se vrat’me k panı́ Mámeniové.“ Ptáte se mě, proč on přibyl na konferenci, sotva pobyl a už tu zas nenı́? Má toho moc! To vı́te, když se chce člověk dneska udržet na špici v oboru, musı́ na sobě hodně pracovat. A on má tak těžký obor! Jo, kdyby si zvolil třeba takovou matematiku. Ale on musel mı́t všudybylstvı́! Že si to bral. To máte tak. Dneska musı́ být jeden na všudybylstvı́ pěkný diblı́k, aby všechno stı́hal. Ono se totiž pořád něco děje. A polevit, to by se mu ta jeho živnost pěkně svezla: To by byl za chvilku jenom Jenon-někde-nebyl a za nedlouho Jenom-někde-byl. Pak by to už následovalo v rychlém tempu. Relativně-skoro-nikde-nebyl a nakonec Vlastně-nikde-nebyl. To jsou ty konce. Proto se on snažı́ všechno stihnout a proto už tu nenı́... Těmito slovy torzo textu kdysi tak nadějného komeniologa Františka Pluháčka končı́. Tato část studijnı́ opory byla autory pojata jako hold a poděkovánı́ průvodcům této učebnı́ opory, pánům Hodnému a Přı́snému, za jejich nelehký a odpovědný úkol, kterého se tak nezištně zhostili. Aby bylo vidět, že v dnešnı́ době, kdy lehce selhávajı́, sklouzávajı́ k povrchnosti a nedůslednosti i v minulosti tak osvědčené kapacity, např. Komenského Všudybyl, je někdo schopný průvodcovánı́ s plným nasazenı́m a odpovědnostı́ k Poutnı́kovi poznánı́m. Za to jim patřı́ dı́k! Autoři
Podobné dokumenty
Sbírka příkladů z matematické analýzy II
y = C1 x2 + C2 x3 .
Příklad 64 : Podobně při řešení rovnice x2 y 00 − 3xy 0 + 4y = 0 dostaneme
λ2 − 4λ + 4 = 0 ⇒ λ1,2 = 2 a fundamentální systém rovnice je tvořen funkcemi
y1 (x) = x2 , y2 (x) = x2...
slidy - Petr Olšák
Důkaz: Označme v partikulárnı́ řešenı́ a necht’ u ∈ M0. Stačı́ ověřit, že v + u ∈ M. Dále musı́me ověřit, že pro každé w ∈ M existuje
u ∈ M0 tak, že v + u = w.
Poznámka: Výhodná ...
MAT2-ekniha
• Když f ′ (a) existuje, pak f je spojitá v bodě a, a lim f (x) = f (a);
x→a
když f ′ (x) existuje pro každé x ∈ (a, b), pak f je spojitá na intervalu (a, b).
• I bud’ otevř. interval a f (...
ii. konstitutivní teorie
vymysleli C. Truesdell a W. Noll, kteří se v padesátých letech 20. století intenzivně zabývali studiem důsledků požadavku
objektivity. Autor tohoto textu si na tento termín stále ne a ne zvyknout. ...
Spektrální metody studia chemických látek
intenzity o hodnotu dI, která je úměrná původní intenzitě světla a síle vrstvy, tzn.
dI = − βIdδ
integrací tohoto vztahu dostaneme tzv. Lambertův-Beerův zákon
A = ε.c.l
kde ε je molární absorpční k...
Diferenciální rovnice v biologii II
Uvědomı́me si, že tuto úlohu na vlastnı́ čı́sla jsme dostali z linearizované úlohy
stejně jako v přı́padě obyčejných diferenciálnı́ch rovnic a také že kritérium stability nulového r...