1. průzkum bojem

»1«
Věda
1. průzkum bojem
A máme tu první díl našeho průzkumného boje. Nejdřív se
podíváme na svatbu, kde procvičíme počítání s procenty.
Nechybí ani trocha geometrie či kombinatoriky. A jako
bonus — tři příklady s hvězdičkou. Ještě že správně je vždy
jen jedna odpověď.
» STANISLAV MINÁRIK
1 Jsou dána čísla:
a = −1,05 − {[−1 – 2 · (−1)] − 2 · (−2 + 1)};
b = −1,1 + {[1 + 2 · (−1)] + 2 · (2 − 1)};
c = 0,94 − {[−1 – 1 · 2] − [−2 · ((−1) · (−2))]}.
Seřaďte čísla a, b, c podle velikosti.
2 Výherce se rozhodl, že pětinu výhry věnuje na dobročinné účely. 17 % z této
částky, což činilo 11 084 Kč, věnoval výherce místnímu klubu šachistů. 45 % ze
zbylých čtyř pětin výhry jej stála svatba dcery.
Kolik činila celá výhra? Kolik stála svatba? Kolik zbylo výherci?
3 Jsou dány úhly α = 172° 53' 26", β = 37° 47', γ = 242° 17' 22". Tyto úhly byly po zaokrouhlení na čtyři desetinná místa vyjádřeny v radiánech takto:
a) α = 3,0175 rad;
b) β = 0,6594 rad;
c) γ = 4,2288 rad.
Který z výsledků a—c je chybný?
4 Vyjádřete z rovnice neznámou T1 a uveďte podmínky, za nichž má úprava smysl:
L = L0 · [1 + α · (T2 − T1)].
5 Řešte nerovnici:
–2 · x + 32 · x – 128 ≤ 0.
2
»2«
Věda
6 Porovnejte jednotlivé dvojice podle velikosti:
a) cotg (π/4), cotg (3 · π/4);
b) cotg 119°, cotg 121°;
c) cotg 269°, cotg 272°.
7 Rovnicí přímky p = ↔ AB, kde A[2; 7], B[7; 2] je:
a) p: x = 7 – 5t, y = 2 + 5t;
b) p: x + y – 10 = 0;
c) p: y = –x + 8.
8 Rovnice z5 – z3 + z2 – 1 = 0 má v K:
a) právě tři různé reálné kořeny;
b) právě dva různé reálné kořeny;
c) právě jeden reálný kořen.
9 V kvádru ABCDEFGH je |AB| = 5 cm, |BC| = 12 cm a | ACE| = 45°.
Pro objem kvádru V platí:
3
a) V > 800 cm ;
3
b) V < 750 cm ;
3
c) V ∈ (750; 800) cm .
Obr. 1: K příkladu 10
y
1
10 Označte funkci, jejíž graf je na obrázku:
f
a) f: y = logx x;
b) f: y = log|x||x|;
3
2
c) f: y = [(x – x) / (x – 1)] + 1 – x.
-1
1
x
11 Je dána krychle ABCDEFGH a bod S = SCG. Přímky ↔ EG a ↔ AS se na náčrtku protnou v bodě X. Rozhodněte, které tvrzení je pravdivé:
Obr. 2: K příkladu 11
H
E
G
F
S
C
D
A
x
B
a) Přímky ↔ EG a ↔ AS jsou různoběžné; v bodě X se skutečně protínají.
b) Přímky ↔ EG a ↔ AS jsou mimoběžné; v bodě X se protínají jen zdánlivě.
c) Bez znalosti délky strany krychle nelze rozhodnout, která z odpovědí a), b) platí.
12 Máme určit vektor v = (x; y), jehož velikost je 4 a který svírá s vektorem u = (1; 1) úhel
o velikosti 45°. Navzájem různé vektory v vyhovující podmínkám jsou celkově:
a) 4;
b) 1;
c) 2.
»3«
Věda
13 Vzdálenost kružnice K: x2 + y2 – 10x + 8y + 32 = 0 je:
a) 3 od osy x;
b) 2 od osy y;
c) od obou os stejná.
14 Jsou dány intervaly I1 = –5; 4), I2 = (2; 7. Které z tvrzení a—c je pravdivé?
a) (I1)' ∩ I2 = (4; 7;
b) I1 ∩ (I2)' = –5; 2);
c) [(I1)' ∪ (I2)']' = (2; 4).
* 15 Řešte rovnici a proveďte zkoušku:
x
log x
–log x
+ 10 · x
= 11.
16 V dané aritmetické posloupnosti platí: a100 = 500; a289 = 17 · a17. V této posloupnosti je:
a) a1 < 4;
b) d > 5;
c) (a1 · d) ∈ 20; 30.
* 17 Je dán pravoúhlý ∆ ABC (s pravým úhlem u vrcholu C) o stranách a = 4 cm,
b = 3 cm. Pravoúhlý je rovněž ∆ ABD (s pravým úhlem u vrcholu B), přičemž D leží
na polopřímce → AC. Délka strany DC je:
a) přesně 5,3 cm;
b) přesně 16/3 cm;
c) nelze z uvedených údajů určit.
18 Dělník má dvě možnosti:
1 Začne okamžitě vyrábět daný typ součástky, přičemž jednu součástku vyrobí
tímto způsobem za 10 minut.
2 Nechá si seřídit soustruh, což trvá 4 hodiny, a pak vyrábí jednu součástku
za 2 minuty.
a) Sestavte funkci, která popisuje výrobu 1. způsobem.
b) Sestavte funkci, která popisuje výrobu v 2. případě.
c) Sestrojte grafy obou funkcí do jedné soustavy souřadnic.
d) Zjistěte, zda je v případě, že má vyrobit celkem 28, případně 32 součástek, časově
výhodnější postup 1 nebo 2.
19 Test obsahuje čtyři otázky. Ke každé jsou nabídnuty dvě odpovědi — jedna správná,
jedna chybná. Jestliže žák odpoví správně, získá jeden bod. Odpoví-li chybně, jeden
bod se mu odečte. Neodpoví-li vůbec, bod nezíská ani neztratí. Testem projde
úspěšně, jestliže získá nejméně dva body. Kolika různými způsoby může žák uspět,
jestliže rozlišujeme, jak odpověděl nebo neodpověděl na jednotlivé otázky?
a) deseti;
b) patnácti;
c) třemi.
* 20 Rotačnímu kuželu o výšce 10 cm s vrcholovým úhlem 90° je vepsána koule.
Poloměr vepsané koule je:
a) přibližně 4,14 cm;
b) přesně 4,14 cm;
c) rotačnímu kuželu kouli vepsat nelze.
»4«
Věda
Výsledky
1. a < b < c. 2. 326 000 Kč; 117 360 Kč; 143 440 Kč. 3. c). 4. T1 = T2 – (L – L0) / (α · L0).
5. P = . 6. a) cotg (π/4) > cotg (3 · π/4); b) cotg 119° > cotg 121°; c) cotg 269° > cotg
272°. 7. a). 8. b). 9. c). 10. b). 11. a). 12. c). 13. b). 14. c). *15. P = {0,1; 1; 10}. 16. c).
*17. b) znázorněna na obrázku 4. 18. a) f1: y = 6 · x, kde za x dosazujeme čas v hodinách a D(f1) = 0; xk1, kde xk1 je čas, kdy s prací na tomto typu výrobků na dané
směně dělník skončil; b) f2: y = 30 · x – 120, kde za x dosazujeme čas v hodinách
a D(f2) = 4; xk2, kde xk2 je čas, kdy s prací na tomto typu výrobků na dané směně
dělník skončil; c) viz Obr. 3; d) pro 28 součástek postup 1, pro 32 součástek
postup 2. 19. b). *20. a) Na obrázku 5.
Řešené příklady
*15.
log x
» Po substituci x = y dostaneme kvadratickou rovnici, jejímiž řešeními jsou
y1 = 10, y2 = 1.
» Položíme nejprve xlog x = 10 a tuto rovnici logaritmujeme. Dostaneme výraz
2
log x
log x = 1, jenž má dvě řešení: x1 = 10, x2 = 0,1. Analogicky z rovnice x = 1 dostaneme třetí řešení x3 = 1.
» Nezapomeneme na zkoušku.
*17. Situace popsaná v textu úlohy je znázorněna na obrázku.
2
2
» V pravoúhlém ∆ BDC platí: x = y + 16.
» V pravoúhlém ∆ ABD platí: (3 + y)2 = x2 + 25.
» Řešením soustavy těchto dvou rovnic zjistíme, že y = |CD| = 16/3 cm.
*20. Na obrázku je řez rotačního kužele a vepsané koule rovinou obsahující osu
kužele.
» Z osové souměrnosti s osou ↔ VP je zřejmé, že | MNV| = | NMV| = 45°.
» Pravoúhlý ∆ PNV je rovnoramenný → |PN| = |PV| = 10 cm.
» Vzhledem k tomu, že S je střed kružnice vepsané ∆ MNV, musí střed S ležet na
ose úhlu MNV, tj. | MNS| = 22,5°.
» Poloměr vepsané kružnice ρ = |SP| = |PN| · tg 22,5°, což je přibližně 4,14 cm.
Obr. 4: K příkladu *17
Obr. 3: K příkladu 18
y
počet výrobků
f2
30
D
Obr. 5: K příkladu *20
f1
V
y
24
x
18
C
12
S
a=4
3=b
k
6
1
2
3
4
5
x
hod
A
c
B
M
p
Průzkum bojem Stanislav Minárik
» Editor Stanislav Kliment » Jazyková korektura Iva Váchová » Ilustrace Svatava Horáčková » Sazba Marek Lovčí
Copyright © Knostr, 2012 » Vydává Knostr, Pionýrská 1370, 347 01 Tachov 1 » www.knostr.cz
» Vzor citace MINÁRIK, Stanislav. Průzkum bojem. 1. díl [online]. 2. vyd. Tachov: Knostr, 27. května 2012 [cit. RRRR-MM-DD].
Dostupné z: http://knostr.cz/file_get.php?id=1056&type=db
N