LOGARITMICKÉ ROVNICE

LOGARITMICKÉ ROVNICE
Logaritmické rovnice jsou rovnice s neznámou v argumentu logaritmické funkce.
U logaritmických rovnic je součástí řešení určení podmínek řešitelnosti nebo provedení
zkoušky.
a)
Základní logaritmická rovnice je typu
log a x = y
,
kde a > 0, a ≠ 1
podle definice logaritmu má pro libovolné y jediné řešení :
x = ay
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
1.Určete číslo x, je-li dán logaritmus
Řešení:
2. Určete číslo a, je-li dán logaritmus
Řešení:
3. Určete číslo y, je-li dán logaritmus
Řešení:
log2 x = 3
23 = x
x = 8
loga 16 = 4
a2 = 16
a = 2
log4 2 = y
4y = 2
22y = 21
2y = 1
1
y =
2
b) Logaritmická rovnice typu
log a f 1 ( x ) + log a f 2 ( x ) + ... + log a f m (x ) = log a g 1 ( x ) + log a g 2 ( x ) + ... + log a g n ( x )
kde a > 0,a ≠1, f i ( x )(i = 1,2,..., m ), g i ( x )(i = 1,2,...n ) jsou dané funkce, které mohou nabývat
pouze kladných hodnot.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 1. Řešte rovnici
Řešení:
Rovnají-li se logaritmy výrazů, pak se rovnají výrazy.
(x + 5) = (2 x − 1)
x=6
Zkouška: L = log 4 (6 + 5) = log 4 11
P = log 4 (2 ⋅ 6 − 1) = log 4 11
℘ = {6}
L=P
Příklad 2. Řešte rovnici
Řešení:
log 4 ( x + 5) = log 4 (2 x − 1)
log 5 x =
1
log 5 9
2
Rovnici upravíme podle věty pro počítání s logaritmy log a n x =
1
log 5 x = log 5 9 2
x= 9
x=3
Zkouška: L = log 5 3
1
P = log 5 9 = log 5 3
2
L=P
℘ = {3}
log a x
n
Příklad 3. Řešte rovnici
Řešení:
2 log x = log 9
Rovnici upravíme podle věty pro počítání s logaritmy log a x n = n ⋅ log a x
log x 2 = log 9
x2 = 9
x1 = 3
x 2 = −3
Zkouška: L 1 = 2 ⋅ log 3 = log 9
P 1 = log 9
L1 = P1
Příklad 4. Řešte rovnici
Řešení:
L 2 = 2 ⋅ log(−3) není definováno
℘ = {3}
log3 ( 5 – 2x ) = 1
Pravou stranu rovnice zlogaritmujeme log3 3 = 1
log3 ( 5 – 2x ) = log3 3
( 5 – 2x ) = 3
x = 1
Zkouška: L = log3 ( 5 – 2.1 ) = log3 3 = 1
P=1
L=P
Příklad 5. Řešte rovnici
Řešení:
℘ = {1}
log (x – 2 ) + log ( 8x + 4 ) = 3
Rovnici upravíme – levou stranu podle věty pro počítání s logaritmy
a pravou stranu zlogaritmujeme ( log x je dekadický logaritmus o základu 10)
log (x – 2 ) . ( 8x + 4 ) = 3 . log 10
8x2 + 4x – 16x – 8 = 1000
8x2 – 12x – 1008 = 0
2x2 – 3x – 252 = 0
…
x1 = 12
x2 = -10,5
/ :4
Zkouška: L 1 = log (12 – 2 ) + log ( 8.12 + 4 ) = log10 +log 100 = 1 + 2 = 3
P1 = 3
L1 = P1
L 2 = log (-10,5 – 2 )není definováno
℘ = {12}
___________________________________________________________________________
Příklad 6. Řešte rovnici
Řešení:
log3 (2x + 3 ) - log3 ( x - 2 ) = 2
Rovnici upravíme – levou stranu podle věty pro počítání s logaritmy
a pravou stranu logaritmujeme
log 3
2x + 3
= 2 log 3 3
x−2
2x + 3
= 9
x−2
x = 3
Zkouška: L = log 3 ( 2.3 + 3 ) - log 3 ( 3 - 2 ) = log 3 9 + log 31 = 2 - 0 = 2
P=2
L=P
℘ = {3}
__________________________________________________________________________