Téma: Astronomické souřadnice

Téma: Astronomické souřadnice
Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Souřadnice v astronomii slouží zejména pro identifikaci polohy vesmírného objektu
pro pozemského pozorovatele. Ve značném množství případů při zmíněné identifikaci
polohy nezáleží na tom, jak je objekt od pozorovatele vzdálen. Můžeme tedy si představit, že všechny vesmírné objekty se promítají na povrch koule (obrovského poloměru), v
jejímž středu se nachází pozorovatel. Tuto kouli nazýváme nebeská (Gaussova) sféra.
Polohu objektu na této kulové ploše proto určíme prostřednictvím dvou úhlových souřadnic, jež obecně získáme položením délkové sférické souřadnice (viz příslušné téma)
rovno konstantě (např. jedničce). Různé typy astronomických souřadnic na nebeské sféře
proto dostaneme definováním jejich hlavní roviny a hlavního směru (viz příslušné téma).
Obzorníkové souřadnice
Jestliže Zemi uvažujeme jako dokonalou kouli s těžištěm v jejím středu (což v prvním
přiblížení jistě platí), prochází nositelka gravitační síly na hmotný bod, nacházející se v
pozorovacím stanovišti P na povrchu Země, středem této koule. Tato nositelka se nazývá
svislicí (vertikálou) příslušející k pozorovacímu stanovišti P. Hlavní rovinou obzorníkových souřadnic je rovina procházející pozorovacím stanovištěm kolmo na vertikálu.
Nazývá se obzorníková (horizontální) rovina ρ0 . Tato rovina protíná nebeskou sféru
v hlavní kružnici této sféry, kterou nazýváme obzorník (matematický horizont).
Vertikála protíná nebeskou sféru ve dvou bodech. Viditelný průsečík Z se nazývá zenit
(nadhlavník) a průsečík Z’ skrytý povrchem Země se nazývá nadir (podnožník).
Poznámky:
1. Směr svislice nám ukazuje olovnice.
2. Horizontální rovina je zřejmě tečnou rovinou k (ideálně kulovému) povrchu Země
v bodě P.
3. Všechny výše definované pojmy jistě závisejí na poloze pozorovacího stanoviště P.
4. Matematický horizont můžeme reálně pozorovat pouze na klidné hladině moře a
navíc při pohledu z hladiny (nikoliv tedy z výšky). Všude jinde je křivka ”v níž
se stýká povrch Země s oblohou” rušen reliéfem krajiny, popřípadě výškou pozorovatelova oka nad povrchem. Křivku průniku povrchu Země s nebeskou sférou
(kterou pozorujeme pohledem do dálky) nazýváme (reálným) obzorem.
Na obzorníku definujeme body zeměpisného severu (N), jihu (S), východu (E) a západu
(W). Hlavním směrem obzorníkových souřadnic je směr definovaný polopřímkou PS.
Nechť L je libovolný bod (objekt) na nebeské sféře. Polopřímku PL pak nazveme
směrem na objekt. Podle obecné definice sférických souřadnic je první obzorníkovou souřadnicí (šířkovou) odchylka směru na objekt od horizontální roviny. Tuto
souřadnici nazýváme výškou nad obzorem (elevací). Její ustálené označení je h.
Elevace nabývá hodnot h ∈ h− π2 ; π2 i. Leží-li objekt na viditelné části nebeské sféry (na
1
polokouli, na které leží zenit), má elevaci kladnou a leží-li na opačné polokouli (na které
leží nadir), má elevaci zápornou. Definujeme ještě veličinu z = π2 − h, kterou nazveme
zenitovou vzdáleností.
Poznámka: Zřejmě h(Z) = π2 , z(Z) = 0, h(Z ′ ) = − π2 , z(Z ′ ) = π. Pro libovolný bod L
na obzorníku je h(L) = 0 a z(L) = π2 .
Pro libovolný bod L na nebeské sféře, který není zenitem ani nadirem nyní definujme
jeho pravoúhlý průmět L’ do horizontální roviny. Podle obecné definice sférických souřadnic je druhou obzorníkovou souřadnicí (délkovou) odchylka polopřímky PL’ od
hlavního směru. Tuto souřadnici nazýváme (astronomickým) azimutem. Její ustálené označení je A. Azimut nabývá hodnot A ∈ h0; 2π) a přibývá jej matematicky kladně.
Díváme-li se na horizontální rovinu směrem od zenitu, přibývá azimutu ve smyslu proti
pohybu hodinových ručiček. Azimut zenitu ani nadiru není definován.
Poznámky:
1. Azimut lze rovněž definovat jako odchylku poloroviny ZZ’L (vyťaté spojnicí zenitu
s nadirem) od poloroviny ZZ’S
2. Jižní bod na obzorníku má tedy azimut rovný nule, východní bod má azimut π2 ,
severní bod má azimut π a západní bod 3π
.
2
3. Zeměpisný (turistický) azimut je měřen od severního směru. Rozdíl mezi azimutem
na kompasech a astronomickým azimutem je proto π. Tato disproporce vznikla
historicky.
Sférické rovnoběžky (geometrická místa bodů, kde h =konst) se nazývají almukantaraty. Almukantarat příslušející nulové konstantě je tedy obzorník, almukantarat příslušející konstantě π2 je zenit a almukantarat příslušející konstantě − π2 je nadir. Sférické
poledníky (geometrická místa bodů, kde A =konst) se nazývají výškové polokružnice. Sjednocení výškových polokružnic pro konstanty A = 0 a A = π je hlavní kružnicí
nebeské sféry a nazývá se místní poledník. Sjednocení výškových polokružnic pro
konstanty A = π2 a A = 3π
je rovněž hlavní kružnicí nebeské sféry a nazývá se první
2
vertikál.
P
,
α
v
P
.
T
α
rz
S
Obrázek 1:
Díváme-li se na rovný obzor (např. tedy na mořské hladině) z pozorovacího stanoviště
P’, tedy z výšky v nad povrchem, vidíme zřejmě na nebeské sféře i místa se zápornou
2
elevací (obr.1). V absolutní hodnotě maximální záporná elevace α, která je z daného
stanoviště na nebeské sféře ještě viditelná, se nazývá obzorníková deprese. Příslušná
vzdálenost PT= d po povrchu Země se nazývá (maximální) dohlednost z výšky v.
Pro výpočet parametrů d a α využijeme pravoúhlý trojúhelník P’ST (obr.1). Zřejmě je
cos α =
rz
rz
⇒ α = arccos
; d = rz α ,
rz + v
rz + v
(1)
kde rz = 6, 373 · 106 [m] je střední poloměr Země.
Příklad: Určete obzorníkovou depresi a dohlednost při pohledu z výšky
1. v =300 m (např. výška vrcholu mrakodrapu Empire State Building)
2. v =1.7 m (výška oka dospělého člověka výšky cca 180 cm)
Řešení:
1. Do (1) dosazujeme rz =6373 km (střední poloměr Země), v = 0.3 km. Vychází
α = 0.5559o = 33′ 21′′ , d = 61.8 km.
2. Dosazujeme-li v = 1.7 · 10−3 km, vychází α = 0.04185o = 2′ 31′′ , d = 4.655 km. Na
základní škole jste jistě dostali informaci, že když se dospělý člověk dívá v místech
se stálou nadmořskou výškou k obzoru, vidí jej ve vzdálenosti přibližně 5 km. Nyní
tuto empirickou informaci dokážeme matematicky zdůvodnit.
7
deprese [min]
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−3
x 10
12
dohlednost [km]
10
8
6
4
2
1
2
3
4
5
6
7
vyska pozorovaciho bodu [km]
8
9
10
−3
x 10
Obrázek 2:
V následujících obrázcích jsou znázorněny závislosti obzorníkové deprese a dohlednosti na výšce pozorovatelova oka nad okolním povrchem stálé výšky. Obrázek 2 se týká
malých výšek od jednoho do deseti metrů, tedy výšek odpovídajících pohledu z oken
3
3.5
−
*10 2
deprese [stupen]
3
−
*10 1
2.5
*100
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
400
dohlednost [km]
*10−2
*10−1
300
0
*10
200
100
0
1
2
3
4
5
6
7
vyska pozorovaciho bodu [km]
8
9
10
Obrázek 3:
domů cca do čtvrtého podlaží. Obrázek 3 obsahuje v každém grafu tři křivky. Nejnižší
200
deprese [min]
150
100
50
0
−3
10
−2
−1
10
10
0
10
1
10
dohlednost [km]
400
300
200
100
0
−3
10
−2
10
−1
10
vyska pozorovaciho bodu [km]
Obrázek 4:
4
0
10
1
10
(modrá) se týká výškového rozsahu od deseti do sta metrů, tedy výšek odpovídajících
pohledu z rozhleden nebo z oken vysokých věžáků. Střední (zelená) se týká výškového
rozsahu od sta metrů do kilometru, tedy výšek, kterých dosahují např. malá letadla při
vyhlídkových letech. Nejvyšší křivka (červená) se týká výškového rozsahu od jednoho do
deseti kilometrů, tedy výšek, ve kterých se pohybují např. dopravní letadla. Obrázek 4
syntetizuje oba předchozí obrázky, neboť obsahuje výškový rozsah od metru do deseti
kilometrů s tím, že stupnice výšek je logaritmická a tím je jednak pro vyšší výšky méně
přesná a jednak se tím smazávají skutečné tvary funkčních závislostí.
Obzorníkové souřadnice mají velkou výhodu, že objekty, jejichž poloha je v nich
zadaná, velice snadno na nebeské sféře najdeme. Tato výhoda je ovšem kompenzována
podstatnou nevýhodou těchto souřadnic. Obě obzorníkové souřadnice totiž závisejí na
čase, takže v nich nelze objekty tabelovat. Je známo, že Země se otáčí kolem své osy tzv.
denním pohybem. Zemská osa protíná nebeskou sféru ve dvou bodech, tzv. světových
pólech. V prodloužení severního zeměpisného pólu se na nebeské sféře nachází severní
světový pól NS a v prodloužení jižního zeměpisného pólu se na nebeské sféře nachází
jižní světový pól NS′ . Země se jak známo otáčí kolem své osy od západu k východu
(tedy při pohledu od severního pólu proti smyslu pohybu hodinových ručiček, tedy
matematicky kladně). Odtud ihned plyne, že zdánlivě obráceně se denním pohybem
pohybují všechny na nebeské sféře stálé objekty (tedy např. hvězdy). Opisují zdánlivé
vedlejší kružnice se středem na spojnici obou světových pólů. Odtud ihned plyne, že
délková obzorníková souřadnice (azimut) se musí s časem měnit. Protože světové póly
nejsou (s výjimkou polohy na zemských pólech) totožné se zenitem nebo nadirem, musí se
(s výjimkou polohy na zemských pólech) s časem měnit i první obzorníková souřadnice,
tedy výška nad obzorem. To je hlavní důvod zavádění následujících typů souřadnic na
nebeské sféře, které (alespoň některé) zmíněné nevýhody nemají.
Rovníkové souřadnice
Hlavní rovinou rovníkových souřadnic je rovina zemského rovníku. Tato rovina protíná nebeskou sféru v hlavní kružnici, kterou nazýváme nebeský rovník (ekvátor).
Podle obecné definice sférických souřadnic je první rovníkovou souřadnicí (šířkovou)
odchylka směru na objekt od roviny rovníku. Tuto souřadnici nazýváme deklinací. Její
ustálené označení je δ. Deklinace nabývá hodnot δ ∈ h− π2 ; π2 i. Leží-li objekt na polokouli,
na které leží severní světový pól, má deklinaci kladnou a leží-li na opačné polokouli (na
které leží jižní světový pól) má deklinaci zápornou.
Sférické rovnoběžky (geometrická místa bodů, kde δ =konst) se nazývají deklinační
rovnoběžky. Deklinační rovnoběžka příslušející nulové konstantě je tedy nebeský rovník, deklinační rovnoběžka příslušející konstantě π2 je severní světový pól a deklinační
rovnoběžka příslušející konstantě − π2 je jižní světový pól.
Poznámka: Zřejmě δ(NS ) = π2 , δ(NS′ ) = − π2 . Pro libovolný bod L na nebeském rovníku
je δ(L) = 0.
Z výše podaných definic je zřejmé, že zdánlivý denní pohyb stálic (tedy hvězd, nikoliv
planet, Slunce a Měsíce) se děje po deklinačních rovnoběžkách. Pro hvězdy tedy deklinace už není (alespoň v krátkých obdobích sledování) závislá na čase. Z hlediska definice
hlavního směru (a s tím spojené délkové souřadnice) rozdělujeme rovníkové souřadnice
na dva typy.
5
Rovníkové souřadnice prvního druhu (první rovníkové souřadnice)
Místní poledník protíná nebeský rovník ve dvou bodech. Bod, který je (pro pozorovatele na severní polokouli) bližší jižnímu bodu na obzorníku, označujeme ustáleným
označením M a tvoří hlavní bod rovníkových souřadnic prvního druhu. Hlavním směrem
těchto souřadnic je tedy polopřímka PM.
Pro libovolný bod L na nebeské sféře, který není světovým pólem (severním ani jižním) nyní definujme jeho pravoúhlý průmět L” do roviny rovníku. Podle obecné definice
sférických souřadnic je druhou rovníkovou souřadnicí prvního druhu (délkovou)
odchylka polopřímky PL” od hlavního směru. Tuto souřadnici nazýváme hodinovým
úhlem. Její ustálené označení je t. Hodinový úhel nabývá hodnot t ∈ h0; 2π) a přibývá
jej matematicky záporně. Díváme-li se na rovinu rovníku směrem od severního světového
pólu, přibývá hodinového úhlu ve smyslu pohybu hodinových ručiček. Hodinový úhel
světových pólů není definován.
Poznámky:
1. Hodinový úhel lze rovněž definovat jako odchylku poloroviny NS NS′ L (vyťaté spojnicí světových pólů) od poloroviny NS NS′ M
2. Bod M na nebeském rovníku má tedy hodinový úhel rovný nule. Pokud pozorovací stanoviště není některý ze zeměpisných pólů, protíná se zřejmě obzorník s
nebeským rovníkem ve východním a západním bodě na obzorníku. Vzhledem ke
způsobu přibývání hodinového úhlu má zřejmě západní bod hodinový úhel π2 a
východní bod 3π
.
2
3. Fakt, že hodinového úhlu přibývá matematicky záporně má ten důvod, že matematicky záporným smyslem se rovněž pohybuje obloha při svém zdánlivém denním
pohybu. Délkové rovníkové souřadnice (prvního druhu) přibývá proto rovnoměrně
s časem, protože bod M na nebeském rovníku se nezúčastňuje pohybu oblohy. Tato
fakta jsou důvodem, proč se hodinový úhel měří častěji než v úhlových jednotkách
v jednotkách časových. Úhlu 2π[rad], tedy 360o , odpovídá časová hodnota 24 hoπ
din. Čas 1 hodina tedy odpovídá úhlu 12
[rad]=15o . Časová hodina se i zde (stejně
jako pro měření času) dělí na 60 minut a 3600 sekund (vteřin).
Abychom získali souřadnice, ve kterých bude i délková souřadnice časově nezávislá,
musíme za hlavní bod zvolit bod, který se zúčastňuje zdánlivého denního pohybu oblohy.
Rovníkové souřadnice druhého druhu (druhé rovníkové souřadnice)
Je známo, že Země se po přibližně kruhové dráze pohybuje tzv. ročním pohybem
kolem Slunce. Dráha Země při tomto pohybu se nazývá (reálná) ekliptika. Jestliže
se podíváme ze středu Země (abychom se vyhnuli jejímu dennímu pohybu), promítá
se Slunce při svém zdánlivém ročním pohybu po nebeské sféře mezi hvězdami na body
hlavní kružnice, kterou nazýváme (zdánlivou) ekliptikou. Rovina ekliptiky (reálné
i zdánlivé) svírá s rovinou rovníku úhel ε = 23.5o . Zdánlivá ekliptika protíná nebeský
rovník ve dvou bodech. Jedná se o jarní bod (ustálené označení Υ), ve kterém se Slunce
nachází obvykle 20. března v době jarní rovnodennosti, a o protilehlý podzimní bod, kde
se Slunce nachází obvykle 22. září, v době podzimní rovnodennosti. Oba tyto body se
zřejmě zúčastňují zdánlivého denního pohybu oblohy. Jako hlavní bod druhých rovníkových souřadnic proto volíme jarní bod a hlavním směrem těchto souřadnic je polopřímka
P Υ.
6
Podle obecné definice sférických souřadnic je druhou rovníkovou souřadnicí druhého druhu (délkovou) odchylka polopřímky PL” od hlavního směru. Tuto souřadnici nazýváme rektascenzí. Její ustálené označení je α. Rektascenze nabývá hodnot
α ∈ h0; 2π) a přibývá jí matematicky kladně. Díváme-li se na rovinu rovníku směrem
od severního světového pólu, přibývá rektascenze ve smyslu proti pohybu hodinových
ručiček. Rektascenze světových pólů není definována. Je známo, že skutečný roční pohyb
Země kolem Slunce se děje v matematicky kladném smyslu (při pohledu od severního
světového pólu). Proto i zdánlivý roční pohyb Slunce po obloze se děje v matematicky
kladném smyslu. Jeho rektascenze v době jarní rovnodennosti je nulová, v době podzimní
rovnodennosti je rovna π. Pohyb Slunce po zdánlivé ekliptice mezi zvířetníkovými (zodiakálními) souhvězdími je proto takový, že jeho rektascenze (nepravidelně) přibývá.
Sférické poledníky (tedy geometrická místa bodů, kde je délková rovníková souřadnice konstantní) jsou polokružnice hlavních kružnic na nebeské sféře, vyťaté světovými
póly. Nazývají se někdy deklinační (výškové) polokružnice.
Je zřejmé, že druhé rovníkové souřadnice objektů s malým vlastním pohybem (stálic)
jsou (alespoň v kratších časových intervalech) obě na čase nezávislé. V těchto souřadnicích se katalogizují polohy stálých objektů na nebeské sféře.
Protože denní pohyb Země kolem osy je poměrně rovnoměrný, lze lze pomocí časovými jednotkami kvantifikovaného hodinového úhlu významných bodů na nebeské sféře
skutečně měřit čas. Více o této problematice pojednává téma o časomíře. Pro tuto chvíli
pouze definujme veličinu, umožňující přepočítat hodinový úhel na rektascenzi a tím
uvést do souvislosti rovníkové souřadnice obou druhů. Jedná se o tzv. místní hvězdný
čas, který definujeme jako hodinový úhel jarního bodu. Ustálené označení pro něj je θ.
Jestliže t je hodinový úhel objektu v daném okamžiku a α jeho rektascenze, platí pro ně
t+α = θ,
(2)
α
P
,
L
t
Θ
ν
M
Obrázek 5:
kde θ je místní hvězdný čas daného okamžiku. Protože jak hodinového úhlu objektu
t, tak hodinového úhlu jarního bodu θ pravidelně přibývá ”stejnou rychlostí”, stačí
výraz (2) ověřit pro libovolný zvolený časový okamžik. Nechť v tomto okamžiku situace
vypadá jako na obr.5. Je na něm zakreslen nebeský rovník jakožto hlavní kružnice,
v jejímž středu se nachází pozorovací stanoviště P. Bod L’ je průsečíkem deklinační
polokružnice objektu L s nebeským rovníkem. Kromě toho jsou na obrázku znázorněny
i jarní bod Υ a hlavní bod rovníkových souřadnic prvního druhu M. Při pohledu od
7
severního světového pólu jsou rovněž na obrázku znázorněny tyto úhly: rektascenze α
(měřena kladně), hodinový úhel objektu t a místní hvězdný čas θ (oba měřeny záporně).
Z obrázku je zřejmé, že t + α = θ + 2π. Vzhledem k periodicitě polohy průvodičů odtud
plyne ověřovaný výraz.
Transformační vztahy mezi obzorníkovými a prvními rovníkovými souřadnicemi
Tyto vztahy odvodíme přes přidružené kartézské souřadnicové soustavy (obr.6). Protože nebeský rovník o obzorník se protínají ve východním a západním bodě (na obzorníku), vychází podle definic přidružených kartézských souřadnicových soustav společná
osa x obou soustav, jež míří právě do východního bodu. Pro jednotkový poloměr nebeské
sféry plyne z obr. 6a (obzorníkové souřadnice)
,
y (N s )
y (Z)
L
L
h
P
,
x = x (E)
δ
P
,
x = x (E)
−t
A
,
z (S)
z (M)
,
L
Obrázek 6a:
,,
L
Obrázek 6b:
x′ = cos h sin A ; y ′ = sin h ; z ′ = cos h cos A .
(3)
Z obr. 6b (první rovníkové souřadnice) potom plyne
x = − cos δ sin t ; y = sin δ ; z = cos δ cos t .
(4)
Poznámka: Nutno si uvědomit, že hodinový úhel se měří v záporném smyslu. Proto u
jeho sinu v první rovnici (4) je záporné znaménko.
y
Z
z
M
ϕ
,
y
π −ϕ
2
Ns
P
z
.
,
S
x=x
,
Obrázek 7:
Jestliže ϕ je zeměpisná šířka pozorovacího stanoviště, pak zřejmě čárkovaná kartézská
souřadnicová soustava vznikne z původní natočením kolem společné osy x o úhel π2 − ϕ.
Snadno to vyplývá z obr.7, na kterém je znázorněna nebeská sféra v řezu místním
poledníkem. Pro lepší pochopení je na obrázku znázorněna i Země jako malá koule ve
8
středu nebeské sféry. Směr na severní světový pól NS je od směru na zenit Z zřejmě
odkloněn právě o úhel π2 − ϕ. Pro natočení kartézských souřadnicových soustav kolem
osy x o úhel π2 − ϕ platí (viz téma Souřadnicové soustavy)
π
π
− ϕ + z sin
− ϕ = y sin ϕ + z cos ϕ ;
2
2
π
π
′
− ϕ + z cos
− ϕ = −y cos ϕ + z sin ϕ .
z = −y sin
2
2
x′ = x ; y ′ = y cos
(5)
Dosazením (3) a (4) do (5) dostaneme
cos h sin A = − cos δ sin t ; sin h = sin δ sin ϕ + cos δ cos t cos ϕ ;
cos h cos A = − sin δ cos ϕ + cos δ cos t sin ϕ .
Poněvadž inverzní transformace souřadnic je natočení o úhel −
ných vztazích mění znaménko cos ϕ, dostáváme odtud
π
2
(6)
− ϕ , kdy v přísluš-
cos δ sin t = − cos h sin A ; sin δ = sin h sin ϕ − cos h cos A cos ϕ ;
cos δ cos t = sin h cos ϕ + cos h cos A sin ϕ .
(7)
Z
π
−ϕ
2
A +π
π
−h
2
t
NS
π −δ
2
L
Obrázek 8:
Poznámka: Právě odvozené výrazy lze nahlédnout rovněž ze sférického trojúhelníka
LZNS (objekt, zenit, severní světový pól), viz obr.8. Tento trojúhelník nazýváme nautický trojúhelník. Protože strana ZNS míří k severu, zatímco azimut máme definovaný
od jižního bodu, je (vnitřní) úhel při vrcholu Z roven A + π. Velikost ostatních prvků,
jak je znázorněna na obr.8, je zřejmá. Sínová věta pro zmíněný sférický trojúhelník dává
sin π2 − δ
sin(A + π)
,
=
sin t
sin π2 − h
z čehož okamžitě plyne první rovnice v (6) i v (7). Kosínová věta pro strany, aplikovaná
na stranu π2 − h, dává
cos
π
π
π
π
π
− h = cos
− ϕ cos
− δ + sin
− ϕ sin
− δ cos t ,
2
2
2
2
2
odkud ihned plyne 2. rovnice v (6). Stejná věta aplikovaná na stranu
9
π
2
− δ dává
cos
π
π
π
π
π
− δ = cos
− ϕ cos
− h + sin
− ϕ sin
− h cos(A + π) ,
2
2
2
2
2
odkud snadno plyne 2. rovnice v (7). Sínuskosínová věta aplikovaná na stranu
úhel A + π dává
π
2
−h a
π
π
π
π
π
− h cos(A + π) = sin
− ϕ cos
− δ − cos
− ϕ sin
− δ cos t ,
sin
2
2
2
2
2
odkud po drobné úpravě plyne 3. rovnice v (6). Konečně aplikací sínuskosínové věty na
stranu π2 − δ a úhel t dostáváme
π
π
π
π
π
sin
− δ cos t = sin
− ϕ cos
− h − cos
− ϕ sin
− h cos(A + π) ,
2
2
2
2
2
odkud po drobné úpravě plyne 3. rovnice v (7).
Východy a západy objektů (hvězd)
Vlivem denního pohybu Země kolem osy vykonávají hvězdy na nebeské sféře zdánlivé kroužky po svých deklinačních rovnoběžkách. Protože (s výjimkou pozorovacích
stanovišť na zemských pólech) deklinační rovnoběžky nejsou totožné s almukantaraty,
dochází (alespoň u některých hvězd) k jejich průchodu obzorníkem. Jestliže se s přibývajícím časem mění výška hvězdy nad obzorem ze záporné na kladnou, říkáme, že hvězda
vychází. Jestliže se s přibývajícím časem mění výška hvězdy nad obzorem z kladné na
zápornou, říkáme, že hvězda zapadá. Nutnou podmínkou obou stavů je h = 0. Po
dosazení do (6) máme
sin A0 = − cos δ sin t0 ; 0 = sin δ sin ϕ + cos δ cos ϕ cos t0 ;
cos A0 = − sin δ cos ϕ + cos δ sin ϕ cos t0 ,
(8)
kde t0 je hodinový úhel a A0 azimut východu nebo západu objektu. Ze druhé rovnice
(8) plyne snadnou úpravou
cos t0 = −tgδtgϕ .
(9)
Z této rovnice lze získat hodinový úhel východu nebo západu objektu. Ze třetí rovnice
(8) lze pak jednoznačně získat na jakém azimutu hvězda vychází eventuálně zapadá.
Rovnice (9) může mít dvě řešení (pak jedno je skutečně jejím východem a druhé jejím
západem), ve výjimečných případech může mít řešení právě jediné (hvězda se pouze
dotkne obzorníku), nebo nemá řešení žádné. Hvězdy posledního typu na daném pozorovacím stanovišti nikdy nevycházejí ani nezapadají. Jsou tedy buď trvale neviditelné
nebo trvale viditelné (tzv. hvězdy obtočnové (cirkumpolární)).
Proveďme nyní matematický rozbor řešení rovnice (9). Protože kosínus má za obor
hodnot interval h−1; 1i, má rovnice řešení, právě když platí
−1 < −tgδtgϕ < 1 ⇔ −1 < tgδtgϕ < 1 .
Rozlišíme čtyři případy podle znamének činitelů v nerovnicích.
10
(10)
1. ϕ > 0, δ > 0 (pozorovatel na severní polokouli a objekt se nachází na polokouli
nebeské sféry s kladnou deklinací). Nerovnice (10) přejdou na tvar
π
−ϕ .
tgδtgϕ < 1 ⇔ tgδ < cotgϕ = tg
2
Protože tangenta je na intervalu − π2 ; π2 funkce rostoucí, vyplývá odtud, že δ <
< π2 − ϕ. Nerovnice (10) mají tedy dvě řešení pro případ 0 < δ < π2 − ϕ.
2. ϕ > 0, δ < 0 (pozorovatel na severní polokouli pozoruje objekt se zápornou deklinací). Nerovnice (10) přejdou do tvaru
−1 < tgδtgϕ .
Protože δ < 0 a tangenta je funkce lichá, dostáváme odtud
tg(−δ)tgϕ < 1 ,
kde −δ i ϕ jsou kladné, takže lze udělat obrat podobný jako v případě 1). Dostaneme tak
π
−ϕ .
2
Vzhledem k monotónně rostoucí tangentě odtud
tg(−δ) < cotgϕ = tg
π
π
−ϕ ⇔ δ >ϕ− .
2
2
Nerovnice (10) mají tedy dvě řešení pro případ 0 > δ > ϕ −
−δ <
π
2
.
Poznámka: Protože pro δ = 0 je (10) splněna pro jakékoliv ϕ (s výjimkou ± π2 )
dostáváme z výsledků probraných dvou případů, že pro pozorovací stanoviště na
severní polokouli má (10) dvě řešení právě když
ϕ−
π
π
π
< δ < − ϕ ⇔ |δ| < − ϕ .
2
2
2
3. ϕ < 0, δ > 0 (pozorovatel na jižní polokouli pozoruje objekt s kladnou deklinací).
Nerovnice (10) přejdou do tvaru
−1 < tgδtgϕ .
Protože ϕ < 0 a tangenta je funkce lichá, dostáváme odtud
tgδtg(−ϕ) < 1 ,
kde δ i −ϕ jsou kladné, takže lze udělat obrat podobný jako v případě 1). Dostaneme tak
π
tg(−ϕ) < cotgδ = tg
−δ ,
2
odkud vzhledem k monotónně rostoucí tangentě
11
π
π
− δ ⇔ δ < + ϕ.
2
2
Nerovnice (10) mají tedy dvě řešení pro případ 0 < δ <
−ϕ <
π
2
+ ϕ, kde ovšem ϕ < 0.
4. ϕ < 0, δ < 0 (pozorovatel na jižní polokouli pozoruje objekt se zápornou deklinací). Nerovnice (10) přejdou do tvaru
tgδtgϕ < 1 .
Protože ϕ < 0, δ < 0 a tangenta je funkce lichá, dostáváme odtud
tg(−δ)tg(−ϕ) < 1 ,
kde −δ i −ϕ jsou kladné, takže lze udělat obrat podobný jako v případě 1). Dostaneme tak
π
tg(−ϕ) < cotg(−δ) = tg
+δ ,
2
(protože δ < 0), odkud vzhledem k monotónně rostoucí tangentě
π
π
+ δ ⇔ δ > − − ϕ.
2
2
Nerovnice (10) mají tedy dvě řešení pro případ 0 > δ > − π2 − ϕ, kde ovšem ϕ < 0.
−ϕ <
Poznámka: Protože pro δ = 0 je (10) splněna pro jakékoliv ϕ (s výjimkou ± π2 )
dostáváme z výsledků posledně probraných dvou případů, že pro pozorovací stanoviště na jižní polokouli má (10) dvě řešení právě když
−ϕ −
π
π
π
< δ < + ϕ ⇔ |δ| < + ϕ .
2
2
2
Poznámka: Dáme-li dohromady výsledky obou předchozích poznámek, dostáváme že
nerovnice (10) mají dvě řešení právě když platí |δ| < π2 −|ϕ| a to bez ohledu na pozorovací
stanoviště. Je-li splněna opačná nerovnice, nemá (10) žádné řešení a objekt je buď trvale
neviditelný nebo obtočnový. Málo pravděpodobný případ přesné platnosti rovnice |δ| =
= π2 −|ϕ| symbolizuje právě jedno řešení zmíněných nerovnic, kdy objekt se pouze dotkne
obzorníku (ať už ze strany ”viditelné” nebo ”neviditelné.”)
Matematicky exaktně dokázaný stav lze názorně nahlédnout pomocí obr.9, na němž
je znázorněn řez nebeské sféry místním poledníkem. Pro snadnější pochopení je doplněna
i Země jako malá koule ve středu nebeské sféry. Významné body jsou znázorněny obvyklými symboly. Šrafovaná polosféra je z pozorovacího stanoviště P neviditelná. Každý
objekt (o deklinaci δ) při denním pohybu oblohy opisuje na nebeské sféře zdánlivou
dráhu po své deklinační rovnoběžce. Může tedy být od severního světového pólu úhlově
vzdálen maximálně o π2 − δ. Protože směr na severní světový pól je od obzorníkové roviny odchýlen o úhel rovný zeměpisné šířce pozorovacího stanoviště ϕ, dojde zřejmě k
zanoření objektu pod obzor právě když platí
π
π
− δ > ϕ ⇔ δ < − ϕ.
2
2
Analogický stav platí i pro ”okolí jižního světového pólu”. Objekt H1 v průběhu denního
pohybu oblohy kolísá mezi polohami H1′ a H1′′ (obr.9) a je na pozorovacím stanovišti
12
,,
H1
N
,,
H2
NS
,
H1 Z
π −δ
1
2
,
H2
π
− δ2
2
π−δ
1
2
ϕ
M
P
π −δ
2
2
S
,
Z
,
,,
H3
,
H3
NS
Obrázek 9:
P obtočnový. Objekt H2 v průběhu denního pohybu oblohy kolísá mezi polohami H2′
a H2′′ a na pozorovacím stanovišti P vychází a zapadá. Objekt H3 v průběhu denního
pohybu oblohy kolísá mezi polohami H3′ a H3′′ a je na pozorovacím stanovišti P trvale
neviditelný.
Vraťme se nyní k výpočtu hodinového úhlu a azimutu východu a západu objektu
(jenž skutečně na daném pozorovacím stanovišti vychází a zapadá). Rovnice (9) má dvě
řešení
t01 = arccos(−tgδtgϕ) a t02 = 2π − t01 .
(11)
Hodnota hodinového úhlu t01 je podle definice funkce arccos z intervalu (0; π), takže se
podle definice hodinového úhlu týká západní části obzorníku. Jedná se tedy o hodinový
úhel západu objektu. Hodnota t02 je doplněk t01 do 2π (v časových jednotkách do 24
hodin), a proto se jedná o hodinový úhel východu objektu. Dosazením do třetí rovnice
(8) dostaneme pro azimut A0 východu a západu objektu vztah
(cos A0 )1,2 = − sin δ cos ϕ + cos δ sin ϕ(−tgδtgϕ) = −
sin δ
.
cos ϕ
(12)
Tato rovnice má dvě řešení
A01
sin δ
= arccos −
cos ϕ
!
; A02 = 2π − A01 .
(13)
Vzhledem k definici azimutu odpovídá první řešení azimutu východu objektu a druhé
řešení odpovídá azimutu západu objektu. První rovnice (8) nebyla pro řešení této úlohy
vůbec třeba.
Příklad: Hvězda Vega (α Lyrae) má deklinaci δ = 38o 45′ a rektascenzi α =18h 36min. V
jakém místním hvězdném čase a pod jakým azimutem vychází a zapadá na pozorovacím
stanovišti o zeměpisné šířce ϕ = 50o ?
Řešení: Dosazení zadaných hodnot do (9) dává
(cos t0 )1,2 = −0, 9565 ⇔ t01 = 163o = 10h52min ; t02 = 2π − t01 = 197o = 13h08min .
Dosazením do (12) získáme
(cos A0 )1,2 = −0, 9736 ⇔ A01 = 193, 2o ; A02 = 2π − A01 = 166, 8o .
13
Protože pro místní hvězdný čas θ platí θ = t + α, dostáváme pro západ hvězdy místní
hvězdný čas θ1 = t01 + α =29h 28min, tedy po odečtení 24 hodin θ1 =5h 28min a
pro východ hvězdy místní hvězdný čas θ2 = t02 + α =31h 44min, tedy po odečtení
24 hodin θ2 =7h 44min. Hvězda tedy vychází v 7h 44min místního hvězdného času a
zapadá v 5h 28min místního hvězdného času následujícího (hvězdného) dne. Je tedy nad
obzorem celých 21h 44min (hvězdných). Jak souvisí místní hvězdný čas s časem, jenž
mají občané příslušného pozorovacího stanoviště na svých hodinkách, se čtenář dozví v
tématu o časomíře.
Kulminace objektů
Při zdánlivém denním pohybu objektů po deklinačních rovnoběžkách dochází v některých polohách k extremální výšce objektu nad obzorem na daném pozorovacím stanovišti. Kvantifikujeme nyní tuto skutečnost. Podle druhé rovnice (6) platí pro výšku h
objektu nad obzorem výraz
sin h = sin δ sin ϕ + cos δ cos t cos ϕ .
Deklinace δ a zeměpisná šířka ϕ pozorovacího stanoviště jsou konstanty. Proměnnou
veličinou je hodinový úhel t, se kterým se mění jako závisle proměnná výška objektu
nad obzorem. Derivací předchozí rovnice podle hodinového úhlu dostaneme
dh
= − cos δ cos ϕ sin t .
(14)
dt
Nutnou podmínkou extrému funkce je nulovost její první derivace. To je v našem případě
pro pozorovací stanoviště mimo zemské póly a pro objekt mimo světové póly ekvivalentní
podmínce sin t = 0. Tomu odpovídají (v časových jednotkách) řešení t1 = 0h a t2 =12h.
Postačující podmínkou pro určení kvality extrému funkce je znaménko její druhé derivace
v bodě nulové první derivace. Derivujeme tedy (14) ještě jednou podle hodinového úhlu.
Dostaneme
cos h ·
d2 h
dh
cos h · 2 − sin h
dt
dt
!2
= − cos δ cos ϕ cos t .
= 0, to je ve výše nalezených bodech t1 a t2 , máme cos t1 = 1 a
V bodech, v nichž je dh
dt
cos t2 = −1. Proto platí
d2 h
cos δ cos ϕ
|
=
∓
.
t=t
1,2
dt2
cos h(t1,2 )
Pro objekty mimo světové póly a pozorovací stanoviště mimo zemské póly je znaménko
čitatele stále kladné, takže odtud plyne
d2 h
d2 h
|
<
0
;
|t =π > 0 .
t =0
dt2 1
dt2 2
Bod t1 = 0 je tedy maximem funkce h(t) a bod t2 = π =12 h je jejím minimem.
Polohu objektu, kdy h(t) nabývá maxima, nazýváme horní kulminací a polohu, kdy
tato funkce nabývá minima, pak dolní kulminací objektu. Pro kulminační výšky nad
obzorem pak platí podle druhé rovnice (6)
sin h1,2 = sin δ sin ϕ ± cos δ cos ϕ .
14
Užitím součtových vzorců pro goniometrické funkce dostaneme pro průchod místem
t = 0 (hodnota h1 )
π
−δ+ϕ .
sin h1 = cos(δ − ϕ) = sin
2
Padnou-li oba argumenty sínu do intervalu − π2 ; π2 , kde je funkce sin prostá, plyne
odtud i rovnost agumentů, tedy
π
.
2
Pro průchod místem, kde t =12h (hodnota h2 ) dostaneme
h1 = −δ + ϕ +
(15)
sin h2 = − cos(δ + ϕ) = sin δ + ϕ −
π
2
.
Padnou-li oba argumenty sínu do intervalu − π2 ; π2 , kde je funkce sin prostá, plyne
odtud i rovnost agumentů, tedy
π
.
(16)
2
Poznámka: Argument pravé strany sinu ve vztahu před (15) může v některých případech být větší než π2 (ale vždy je menší než π). Nastane-li tento případ, bereme za
extremální výšku v (15) výšku doplňkovou do π. Analogicky může být argument pravé
strany sinu ve vztahu před (16) v některých případech menší než − π2 (ale vždy je větší
než −π). Nastane-li tento případ, bereme za extremální výšku v (16) výšku doplňkovou
do −π.
h2 = δ + ϕ −
H
,
Z
NS
H
π −δ
π−δ2
2
M
ϕ
S
N
P
ϕ
Obrázek 10:
Kulminační výšky nad obzorem lze snadno posuzovat podle řezu nebeské sféry místním
poledníkem (tedy sjednocením polokružnic, kde t = 0 a t =12h), jenž je znázorněn na
obr.10. Na tomto obrázku jsou významné body popsány obvyklými symboly. Světová osa
je zřejmě od obzorníkové roviny skloněna o úhel ϕ rovný zeměpisné šířce pozorovacího
stanoviště. Objekt H při zdánlivém denním pohybu oblohy se pohybuje po deklinační
rovnoběžce úhlového poloměru π2 − δ kolem severního světového pólu. Horní kulminace
H’ se proto nachází ve výšce h1 = ϕ + π2 − δ nad obzorem. Pokud tato poloha překročí
zenit, nachází se horní kulminace v doplňkové výšce
π−h
1 nad protilehlým obzorem.
π
Dolní kulminace H” se nachází ve výšce h2 = ϕ − 2 − δ = ϕ + δ − π2 nad obzorem.
15
Pokud tato poloha překročí nadir, nachází se dolní kulminace v doplňkové výšce −π −h2
nad protilehlým obzorem.
Příklad: Určete kulminační výšky Vegy (δ = 38o 45′ ) při pozorování ze stanoviště o
zeměpisné šířce ϕ = 50o (severní šířky).
Řešení: Pro výšku nad obzorem h1 horní kulminace podle (15) platí po dosazení konkrétních hodnot h1 = 90o − 38o 45′ + 50o = 1010 15′ . Protože výsledek přesáhl 90o , hvězda
v okolí horní kulminace přesáhla zenit. Skutečná výška horní kulminace (nad protilehlým, tedy jižním obzorem) je h1 = 1800 − 101o 15′ = 78o 45′ . Pro výšku nad obzorem h2
dolní kulminace podle (16) platí po dosazení konkrétních hodnot h2 = 38o 45′ + 50o −
− 90o = −1o 15′ . Vega tedy v okolí své dolní kulminace se na uvedeném pozorovacím
stanovišti nachází pod obzorem.
Úhlová vzdálenost objektů na nebeské sféře
Úhlovou vzdálenost dvou objektů známých souřadnic lze určovat pro libovolný souřadnicový systém na kulové ploše. Zde výpočet ukážeme pro případ rovníkových souřadnic druhého druhu.
NS
π −δ
1
2
∆α
π
− δ2
2
L1
x
L2
Obrázek 11:
Mějme tedy objekt L1 s deklinací δ1 , rektascenzí α1 a objekt L2 s deklinací δ2 , rektascenzí α2 . Zkoumejme sférický trojúhelník L1 L2 NS (obr.11). Jeho strany od severního
světového pólu jsou doplňky deklinace do π2 , stranu L1 L2 máme určit. Vnitřní úhel proti
této straně je (v absolutní hodnotě) rozdíl rektascenzí ∆α = |α1 − α2 |. Kosínová věta
pro strany sférického trojúhelníka pak pro počítanou úhlovou vzdálenost dává
cos x = sin δ1 sin δ2 + cos δ1 cos δ2 cos ∆α ,
odkud
x = arccos(sin δ1 sin δ2 + cos δ1 cos δ2 cos ∆α) .
(17)
Příklad: Určete úhlovou vzdálenost Vegy (rovníkové souřadnice druhého druhu δ1 =
= 38o 45′ ; α1 =18h 36min) a Gemmy (α Coronae Borealis - rovníkové souřadnice druhého druhu δ2 = 26o 50′ ; α2 =15h 33min).
Řešení: Určíme absolutní hodnotu změny rektascenze a převedeme ji na úhlové jednotky. Vznikne
∆α = |α1 − α2 | = 3h03min = 45o 45′ .
Dosazením do (17) dostáváme požadovanou vzdálenost x = 39o 49′ .
Poznámka: Dáme-li měřítko 57cm od oka a stočíme-li jej do kruhového oblouku se
středem v oku, znamená každý centimetr na měřítku úhlový stupeň na nebeské sféře. Pro
malé úhly nemusíme (s uspokojivou přesností) ani měřítko stáčet do oblouku. Nechámeli je rovné, pro úhly do 20o uděláme jen zanedbatelnou chybu. Nemáme-li měřítko, lze si
16
vypomoci běžnými tělesnými rozměry. Zmíněných 57cm je délka mírně pokrčené ruky,
šířka prstu ruky je cca 2cm, šířka pěsti cca 10cm a rozpětí roztažených prstů ruky cca
20cm.
Galaktické souřadnice
Tento typ souřadnic se používá zpravidla při určování poloh galaxií a galaktických
kup mimo ”naši” Galaxii. Snahou bylo, aby hlavní rovinou těchto souřadnic byla rovina
Galaxie. Vzhledem k tomu, že tato vlastnost by hlavní rovinu souřadnic neurčovala
jednoznačně, byl konvencí definován severní galaktický pól NG , jakožto bod o (druhých)
rovníkových souřadnicích δNG = 27o 45′ , αNG =12h 45min. Jižní galaktický pól NG′ má
přirozeně souřadnice opačné, tedy δNG′ = −27o 45′ , αNG′ =0h 45min. Rovina kolmá na
spojnici galaktických pólů (procházející počátkem, tedy např. pozorovacím stanovištěm)
se nazývá rovinou galaktického rovníku a tvoří hlavní rovinu galaktických souřadnic.
Tato rovina protíná nebeskou sféru v hlavní kružnici, kterou nazýváme galaktický
rovník. Kolem této křivky se rozprostírá jádro ”naší” Galaxie, což jsou hustá seskupení
hvězd známá pod lidovým názvem mléčná dráha. Hlavně v letním období je lze v
našich zeměpisných šířkách pozorovat vysoko nad obzorem.
První galaktická souřadnice, galaktická šířka b objektu L, je definovaná jako odchylka směru PL na objekt od roviny galaktického rovníku. Do poloprostoru severního
galaktického pólu ji kótujeme kladně a do opačného poloprostoru záporně. Zřejmě tedy
b ∈ h− π2 , π2 i, přičemž b(NG ) = π2 a b(NG′ ) = − π2 . Galaktický rovník protíná nebeský
rovník ve dvou bodech G1 a G2 , jejichž rektascenze zřejmě je αG1 = αNG −6hod=6h
45min a αG2 = αNG +6hod=18h 45min. Rovina galaktického rovníku svírá zřejmě s rovinou (nebeského) rovníku úhel ψ = π2 − δNG = 62o 15′ . Hlavním směrem galaktických
souřadnic je směr P G2 . Druhou galaktickou souřadnicí objektu, galaktickou délkou
l, pak nazýváme odchylku směru P L′ od směru P G2 . Bod L′ je přitom pravoúhlý průmět objektu L do roviny galaktického rovníku. Je l ∈ h0, 2π) a přibývá této souřadnice
matematicky kladně. Pak platí l(G1 ) = π, l(G2 ) = 0.
Poznámka: Galaktickou délku lze definovat také jako odchylku poloroviny vyťaté spojnicí galaktických pólů, na které leží objekt L, od analogické poloroviny, na které leží bod
G2 .
Transformační vztahy mezi galaktickými a rovníkovými souřadnicemi druhého druhu
odvodíme přes přidružené kartézské souřadnicové soustavy. Kartézská souřadnicová soustava x, y, z je přidružená ke druhým rovníkovým souřadnicím, které ovšem musíme
natočit v rektascenzi (kolem osy y) tak, aby jejich osa z mířila do bodu G2 (obr.12).
Označíme-li x′ , y ′ , z ′ kartézskou souřadnicovou soustavu přidruženou ke galaktickým souřadnicím, budou obě soustavy mít společnou osu z. Proto zřejmě soustava přidružená
ke galaktické (čárkovaná) vznikla z natočené soustavy přidružené ke druhé rovníkové
(nečárkovaná) natočením kolem osy z o výše zmíněný úhel ψ = π2 − δNG .
17
,
y (NG)
y (N s )
L
δ
P
L
b
P
x
x
,
l
α − α G2
,
z = z (G 2 )
,
L
z (G 2 )
Obrázek 12a:
,,
L
Obrázek 12b:
Při popsaném natočení kolem osy z zřejmě mezi přidruženými kartézskými souřadnicemi
platí transformační vztahy
π
π
− δNG + y sin
− δNG ,
x = x cos
2
2
π
π
′
y = −x sin
− δNG + y cos
− δNG ,
2
2
z′ = z .
′
(18)
Mezi sférickými a přidruženými kartézskými souřadnicemi pro nebeskou sféru jednotkového poloměru pak platí vztahy
x = cos δ sin(α − αG2 ); y = sin δ; z = cos δ cos(α − αG2 )
(19)
pro natočenou rovníkovou soustavu druhého druhu a
x′ = cos b sin l; y ′ = sin b; z ′ = cos b cos l
(20)
pro galaktickou soustavu. Dosazením (19) a (20) do (18) dostaneme
cos b sin l = cos δ sin(α − αG2 ) sin δNG + sin δ cos δNG ,
sin b = − cos δ sin(α − αG2 ) cos δNG + sin δ sin δNG ,
(21)
cos b cos l = cos δ cos(α − αG2 ) .
Z těchto vztahů při znalosti druhých rovníkových souřadnic objektu a parametrů δNG a
αG2 jednoznačně
určíme
jeho galaktické souřadnice. Inverzní transformace je natočením
π
o úhel − 2 − δNG . Oproti vztahům (21) zaměňujeme δ ↔ b, α ↔ l a ve sčítancích u
kosínů měníme znaménka. Získáme tak
cos δ sin(α − αG2 ) = cos b sin l sin δNG2 − sin b cos δNG2 ,
sin δ = cos b sin l cos δNG2 + sin b sin δNG2 ,
(22)
cos δ cos(α − αG2 ) = cos b cos l .
Z těchto vztahů naopak při znalosti galaktických souřadnic objektu a parametrů δNG a
αG2 jednoznačně určíme jeho druhé rovníkové souřadnice.
18