Vyrovnávací

PŘEHLED JEVNOSTI ZOBRAZENÍ
Úhlojevná
(konformní)
Plochojevná
(ekvivalentní)
Délkojevná
(ekvidistatntí)
Vyrovnávací
(kompenzační)
(azimutální) Stereografická projekce
(cylindické) Mercatorovo zobrazení (loxodroma jako přímka)
(cylindické) Gauss-Krügerovo zobrazení
(konické) Gaussovo
(konické) Křovákovo
(azimutální) Lambertovo
(cylindické) Lambertovo
(cylindické) Behrmannovo
(cylindické) Čtvercové
(konické) Lambertovo
(obecné) Hammerovo
(obecné) Wagnerovo
(obecné) Bonneovo
(obecné) Mollweideovo
(obecné) Eckertovo
(azimutální) Ortografická projekce(rovnoběžky)
(azimutální) Postelovo (poledníky)
(cylindrické) Marinovo (rovnoběžky)
(konické) Ptolemaiovo (poledníky, dotyková rovnoběžka)
(konické) De l’Islovo (poledníky, dotyková rovnoběžka)
(obecné) Sansonovo (rovnoběžky)
(azimutální) Gnómonická projekce
(azimutální) Breusingovo
(cylindrické) Gallovo
(obecné) Aitovovo
PŘEHLED ZOBRAZENÍ
Azimutální
Gnómonická
projekce
(promítání přes
střed)
poledníky a ortodromy jako přímky
rovnoběžky - kuželosečky
nelze zobrazit rovník
zkreslení od pólů k rovníku narůstá
užití v navigaci a pro zákres ortodrom
Stereografická
projekce
(promítání přes
pól)
ε =λ
Ortografická
projekce
(promítání
z protilehlého
bodu
v nekonečnu)
ε =λ
ρ = r. sin δ
Postelovo
ε =λ
ρ = r. arc δ
ρ = 2.r. tg
δ
2
Hipparchos z Nikeje, 2. stol. př.n.l.
všechny kružnice na glóbu se zobrazují
opět jako k., poloměr obrazu rovníku
je 2r (poloměr polokoule) úhlojevné
,užití v geodézii a astronomii
Appollonius, 3. stol. př.n.l.
délkojevné podél rovnoběžek
délkové zkreslení kp narůstá k rov., v
příčné pol. pro m. planet,v příčné
poloze poledníky jako části elips a
rovnoběžky jako rovnoběžné přímky
v obecné poloze obojí jako elipsy
Guillaums Postel, 1581
délkojevné podél poledníků
v jiné něž normální poloze mají
poledníky a rovnoběžky velmi složité
křivky
Lambertovo
ε =λ
ρ = 2.r. sin
Breusingovo
δ
2
ε =λ
δ
δ
ρ = 2.r. sin .2.r. tg
2
Válcová
Marinovo
x = r. arc λ
y = r. arc ϕ
Lambertovo
x = r. arc λ
2
Marinos z Tyrku, 120 délkojevné podél
poledníku a rovníku, velké zkreslení u
pólů
v příčné poloze pouze glóbové pásy,
Cassiniho-Soldenerovo – kat. mapy čs.
zemí s použitím elipsoidu v 19. stol.
Obdélníkové zobr. - sečný válec
Johan Heinrich Lambert, 1772
plochojevné, délkojevné podél
rovníku, nepoužívá se, protože má
velké úhlové zkreslení
Plochojevnost se zachová, jestliže
afinně zkreslíme mapu tak, že souř. x
násobíme koef. n a souř. y hodnotou
1/n. Položíme-li n = cosϕ0, budou
délkově zach. rovnoběžky ±ϕ0.
W. Behrmann, 1909
aplikace Lambertova zobr. pro ϕ0 = ±
30°, plochojevné, délkojevné podél ±
30°
y = r. sin ϕ
Behrmannovo
x = r. cos ϕ 0 . arc λ
sin ϕ
y = r.
cos ϕ 0
Čtvercové
plochojevné
aplikace Lambertova
Mercatorovo
zobrazení pro n =
x = r. arc λ
y=
2
π
x = r. arc λ
Gallovo
y = r. tg ϕ
x = r. cos ϕ 0 . arc λ
y = r.(1 + cos ϕ 0). tg
Kuželová zobrazení
plochojevné
polokoule se zobrazí do čtverce
,
Gerhard Mercator, 1569
vzniklo z potřeb námořní dopravy,
úhlojevné
loxodroma jako přímka, ortodroma
jako oblouk, nelze zobrazit póly, velké
plošné zkreslení
užití pro navigační mapy
δ
r
. logcotg
log e
2
Wetchovo
Johan Heinrich Lambert, 1772
plochojevné
v příčné a obecné poloze mají obrazy
poledníků i rovnoběžek složité křivky
nejčastěji (15 % všech map v atlase)
vzdálenosti mezi obrazy rovnoběžek se
zmenšují od stř. k okrajům
A. Breusing, 1892
geometrický průměr Lambertova a
stereografického zobrazení
typické kompenzační
úhlové zkreslení je menší než u
Postelova, ale plošné zkreslení větší,
užití u map malých měřítek
středové promítání na tečný válec na
rovníku, nelze zobrazit póly, na pohled
podobné Mercatorovu
ϕ
2
James Gall, 1885
promítání na sečný válec (ϕ0 = ± 45°) z
protilehlého bodu na rovníku,
kompenzační, délkojevné podél ϕ0 (±
45°), Braunovo zobrazení - Gallovo
zobrazení pro ϕ0 = 0° - stereografické
válcové zobrazení
Ptolemaiovo
Lambertovo
ε = n.λ
n = co δ 0
ρ = r.[t δ 0 − ar (δ0− δ
δ0
ε = λ . cos 2
2
ρ = 2.r. sin
n = cos
Delislovo
2 δ0
δ
2
: cos
δ0
2
2
⎞
⎛ arc δ 2 . sin δ1 − arc δ1. sin δ 2
ρ = r.⎜⎜
+ arc δ ⎟⎟
sin δ 2 − sin δ1
⎠
⎝
ε = λ.
Gaussovo
)]
sin δ1 − sin δ 2
arc(δ1 − δ 2 )
ε = λ . cos δ 0
δ ⎞
⎛ δ
ρ = r. tg δ 0 ⎜ tg . cot g 0 ⎟
⎝
cos δ 0
2⎠
2
Ptolemaios, 1. stol. př.n.l.
délkojevné podél poledníků
délkojevné dotykové rovnoběžky ϕ0
velmi používané pro geogr. mapy (40 %
mapy ve školním atlase), zkreslení
přibývá rychleji k pólu než k rovníku
Johan Heinrich Lambert, 1772
plochojevné
rovnoběžka ϕ0 je délkojevná, nikoliv
dotyková
velké úhlové zkreslení, proto se
využívá málo
Josef Nicholaus de l´Isle, 1745
2 délkojevné rovnoběžky, nejsou ale
sečné, délkojevné podél ϕ1,2
délkojevné podél poledníků, plochy a
úhly zkresluje méně než Ptolemaiovo
Karl Friedrich Gauss
úhlojevné, délkojevné podél ϕ0
používá se v geodézii a v letectví
vzdálenosti mezi rovnoběžkami od ϕ0
narůstají
Mezinárodní letecká mapa 1 : 1 000
000
Mezinárodní mapa světa 1 : 1 000 000
Obecná zobrazení
Hammerovo
2 .r. sin ϕ
y=
1 + cos ϕ . cos
x=
λ
2
2. 2 .r. cos ϕ . sin
1 + cos ϕ . cos
λ
2
λ
2
Aitowovo
∆λ ⎤
⎡
x = r. arccos ⎢cos ϕ . cos
. cos D
2 ⎥⎦
⎣
∆λ ⎤
⎡
y = 2.r. arccos⎢cos ϕ . cos
. sin D
2 ⎥⎦
⎣
Sansonovo
x = r.arcλ. cos ϕ
y = r.arcϕ
Molweidovo
x=
2. 2
π
.r. cosψ .arcλ
y = r. 2 . sinψ
Pseudoazimutální, E. von Hammer,
1892
z Lambertova zobrazení v příčné
poloze
y-souř. průsečíků sítě se ponechají a xsouř. se dvojnásobí, obrazy poledníků
se přečíslují (jinak: afinně zkreslíme
poloměr glóbu na 1/2 a použijeme
Lambertovo z.) Wagnerovo zobrazení
- modifikace s čárovými póly
plochojevné, délkojevné podél
rovníku
svět do elipsy
David Aitow, pseudoazimutální
podobně při použití Postelova
zobrazení
vyrovnávací
délkojevný rovník a střední poledník
Nicolas Sanson (velké užití), ale autor
Johan Cousin, pseudocylindrické
vychází z Marinova zobrazení přímkové obrazy rovnoběžek jsou
délkojevné
obrazy poledníků 1/2 sinusoid
Karl B. Mollweide, pseudocylindrické
obrazy rovnoběžek jsou přímkové,
kolmé na střední poledník, zhušťují se
k pólům
stř. poledník je přímkový, ost.
eliptické, plochojevné, délkojevné
podél ϕ0 = ±45,767°, svět v elipse
a=2b=2r√2
Eckertovo
x = 0,882.r.arcλ . cos 2
y = 0,882.r.arcψ
ψ
2
Bonneovo
ρ = r.[tg δ 0 + arc(δ − δ 0 )]
360°. sin δ
ε=
tg δ 0 + arc(δ − δ 0 )
Americké
ρ = r. tg δ
y0 = ρ + arc ϕ
Grintenovo
π + arc 2 λ
ρ p = r.
2arcλ
⎞
1 ⎛ π 3 .r 3
ρ p = .⎜⎜ 3 − y F ⎟⎟
2 ⎝ yF
Zobrazení
CNIIGAiK
ρ = k .r. sin
⎠
ψ
k
ψ α
) . sin ( pD )
ε = D − C(
ψ max
Max Eckert, 1906, pseudocylindrické
základní poledník a oba póly jsou
úsečky o 1/2 délce rovníku, poledníky
mají sinusoidální průběh,
plochojevné, délkojevné podél ϕ0 =
±49,268°
Rigobert Bonne, 1752, pseudokonické
z Ptolemaiova zobrazení
obrazy rovnoběžek délkojevné,
poloměry podle Ptolemaiova vzorce
střední poledník délkojevný, póly
bodové
plochojevné
při ϕ0 = 0° - Sansonovo
dříve pro mapy světadílů
Ferdinand Rudolph Hassler, 19. stol.
obraz rovníku přímkový a délkojevný
obraz střed. poledníku přímkový a
délkojevný, obrazy rovnoběžek
kruhové a délkojevné, délkojevné:
rovnoběžky, střední poledník, velké
zkreslení při okrajích, používá se jen
střední část
modifikace: anglické zobrazení
použito pro Mezinárodní mapu světa 1
: 1 mil., použito pro Topogr. mapu GŠ
ČSA 1 : 1 mil.
Alphons J. on der Grinten, 1904
obraz světa do kruhu o poloměru π.r
rovník a střední poledník - v
průměrech, kolmé
rovnoběžky i poledníky - části kružnic
vyrovnávací
G. A. Ginzburg
vypočten na základě požadovaného
zkreslení
nic jevného, kompenzační
Geodetická zobrazení
Gauss-Krügerovo
Křovákovo
úhlojevné válcové příčné zobrazení
elipsoidu do roviny bez použití
referenční koule
1952 pro Topografickou mapu ČSSR
využívá Krasovského elipsoidu
systém sférických dvojúhelníků po 6°
(od 1 válce dotýkajícího se podél
poledníku)
λ od Greenwiche, S-42
základní poledník přímkový a
délkojevný
rovník přímkový a délkojevný
obrazy poledníků sinusoidy,
rovnoběžek paraboly
úhlojevné kuželové zobrazení v šikmé
poloze (výpočet značně komplikovaný)
Besselův elipsoid do roviny
prostřednictvím referenční koule (R =
6 380,7 km - Gaussova k.)
na sečný kužel, aby se eliminovalo
délkové zkreslení (0,9999)
1922 nejprve katastrální mapy,
později i pro mapy definitivního
vojenského mapování
od roku 1968 - Základní mapa ČSSR, SJTSK, kartografický pól:
ϕ=59°42’42,7“, λ=42°31’31,4“ od
Ferra
UTM (Universal
Transverse
Mercator)
úhlojevné válcové příčné sečné
Mercatorovo zobrazení
dříve pro vojenské mapy USA a
NATO, dnes běžně
úhlojevné, od Gauss-Krügerova
se liší:
používá WGS84
základní poledníky pásů nejsou
délkojevné (1,0004x kratší)
pouze mezi 80. rovnoběžkami
polární oblasti od 79°30’ - UPS
(Universal Polar Stereographic)