Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Vícekriteriální hodnocení variant – metody
Jana Klicnarová
Katedra aplikované matematiky a informatiky
Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta
2010
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriální hodnocení variant (VHV)
Jak jsme již zmiňovali, VHV obecně neposkytuje jedno jediné
řešení a výsledné řešení je ovlivněno volbou vah a použitou
metodou. V této části se budeme podrobněji zabývat jednotlivými
metodami VHV a metodami volby vah.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Ordinální a kardinální informace
Metody vícekriteriální optimalizace (resp. metody volby vah) se liší
mj. tím, zda nám dávají ordinální či kardinální informace o pořadí
jednotlivých variant (resp. důležitosti jednotlivých kritérií) a zda
pro své použití potřebují ordinální či kardinální informace
o jednotlivých variantách vůči jednotlivým kritériím (resp.
o preferenci jednotlivých kritérií zadavatelem).
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Ordinální a kardinální informace
Ordinální a kardinální informace
Ordinální informace nám pouze udává pořadí. Je-li výsledkem
vícekriteriální optimalizace ordinální uspořádání jednotlivých
variant, dozvíme se, jaká varianta se jeví jako nejlepší, která jako
druhá nejlepší. Ale ordinální informace neudává, o kolik je první
varianta lepší než druhá. Abychom mohli říci, o kolik je první
varianta lepší než druhá, k tomu potřebujeme právě kardinální
informaci.
Právě tak, pokud máme pouze ordinální informaci o jednotlivých
variantách z hlediska nějakého kritéria, známe pořadí variant
z hlediska tohoto kritéria, ale už nevíme, o kolik je první varianta
lepší než druhá (k tomu bychom opět potřebovali kardinální
informaci). A tedy máme-li pouze ordinální informaci, nemají smysl
aritmetické operace.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody volby vah
Co jsou to váhy?
Váhy číselně odlišují jednotlivá kritéria z hlediska jejich
významnosti, čím je kritérium pro zadavatele důležitější, tím větší
váhu má přidělenu. Požaduje se, aby váhy byly nezáporná čísla
a často navíc, aby byly tzv. normované, tzn. aby jejich součet byl
1.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody volby vah
Stanovení vah
Volba vah je subjektivní. Vzhledem k tomu, že analýzu provádíme
pro nějakého zadavatele, je zapotřebí volbu vah především
konzultovat se zadavatelem. Mnohdy je vhodné provést volbu vah
ve více krocích – nejprve prodiskutovat se zadavatelem jeho postoj
k jednotlivým kritériím, poté na tomto základě navrhnout váhy.
Dále tyto váhy znovu prokonzultovat se zadavatelem a popř. je
upravit.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Základní metody stanovení vah
Metoda stejné důležitosti
V případě, že nemůžeme od zadavatele získat žádnou informaci
o preferenci jednotlivých kritérií, nebo zadavatel se sám nedokáže
rozhodnout, které ze zadaných kritérií je pro něho důležitější než
jiné, nezbude nám, než všem kritériím přiřadit stejnou váhu.
A protože součet vah má být roven 1, bude váha každého kritéria
1
n , kde n udává počet kritérií.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Základní metody stanovení vah
Metoda pořadí
Jedná se o metodu, která je založena na ordinální informaci
o preferenci jednotlivých kritérií. Pro využití této metody
potřebujeme znát od zadavatele pořadí, v němž preferuje jednotlivá
kritéria. Potom už stačí přiřadit jednotlivým kritériím body, a to
sestupně dle pořadí, přičemž nejdůležitější kritérium má tolik bodů,
kolik máme kritérií, druhé nejdůležitější o bod méně, atd. Tudíž,
nejméně preferované kritérium má jeden bod. Na závěr sečteme
přidělené body a tímto součtem všechny přidělené body vydělíme,
čímž získáme váhy jednotlivých kritérií. Touto normalizací
dosáhneme toho, že součet vah bude 1.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Základní metody stanovení vah
Metoda bodovací
Metoda bodovací je obdobná jako metoda pořadí, ale na rozdíl od
metody pořadí vyžaduje (a tedy ve výsledku i udává) kardinální
informaci o preferencích jednotlivých kritérií. Tato metoda
požaduje od zadavatele, aby každému kritériu přiřadil nějaký počet
bodů, podle toho, jak moc toto kritérium preferuje (čím více bodů,
tím silnější preference). Potom se opět sečte počet přidělených
bodů a váhy získáme podělením přidělených bodů jejich součtem.
Při této metodě se někdy udává horní hranice udělených bodů
(např. 10 či 100), jindy se to nechává na zadavateli. Alternativou,
která se ale jeví jako dosti těžko použitelná, je alokace 100 bodů
mezi všechna kritéria.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Základní metody stanovení vah
Fullerova metoda
Fullerova metoda je ve své podstatě bodovací metoda a užívá se
především v situacích, kdy pro velký počet kritérií je pro zadavatele
obtížné obodovat jednotlivá kritéria. Pro použití této metody
postačí zadavateli, když dokáže rozhodnout o důležitosti kritérií
vždy pouze mezi dvěma (přičemž může říci, že dvě kritéria jsou pro
něho stejně důležitá). Princip této metody spočívá v tom, že
zadavateli jsou postupně předkládány dvojice jednotlivých kritérií
(tak, aby mu každá možná dvojice byla předložena právě jednou),
zadavatel z této dvojice určí to kritérium, které je pro něho
důležitější (v případě, že jsou obě stejně důležitá, může přiřadit
například půl body) a tomu přidělí bod. Na závěr se sečte počet
bodů přidělený jednotlivým kritériím a normalizací získáme váhy.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Základní metody stanovení vah
Fullerova metoda – modifikace
Jedna z možných modifikací této metody je, každému kritériu
navýšit počet získaných bodů o jeden bod a teprve potom provést
normalizaci. Je to proto, aby kritérium, které nezískalo žádný bod
mělo nenulovou váhu.
Poznámka
V případě, že zadavatel má jasno v pořadí kritérií a použije se
modifikace Fullerovy metody, získáme stejné výsledky jako při
metodě pořadí.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody úprav zadaných dat
Jak uvidíme nadále, většina metod požaduje, aby kriteriální matice
obsahovala číselné hodnoty (které mohou mít buď ordinální nebo
kardinální charakter). Ovšem v praktických úlohách leckdy zadané
hodnoty nejsou číselné.
Číselné hodnoty bývají typicky kardinální informace o variantě –
požadovaný plat, vzdálenost, doba trvání, počet zákazníků atd.
a někdy ordinální – varianty jsou z hlediska některého kritéria
seřazeny podle preference apod.
Ovšem někdy se vyskytuje hodnocení varianty podle kritéria, které
nemá ani ordinální ani kardinální charakter, viz úvod do statistiky.
Jedním z příkladů je bivalentní kritérium – např. možnost připojení
na internet – ano-ne, další možností je slovní ohodnocení varianty
podle kritéria, apod.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody úprav zadaných dat – chybějící hodnoty
Dalším problémem, se kterým se setkáváme při vícekriteriální
optimalizaci, jsou chybějící hodnoty. Například nemáme informace
o nějaké variantě podle nějakého kritéria. Zde je zapotřebí rozlišit
dva základní případy, a to situaci, kdy nám informace chybí
„omylemÿ, tj. informace nebyla nalezena pravděpodobně z důvodu,
že dodavatel dat nepokládal tuto informaci za nutnou (například
rozměr nějakého zařízení). A situaci, kdy informace chybí záměrně
– dodavatel dat se rozhodl tuto informaci zatajit (například vodní
sloupec u stanů prodávaných v supermarketech).
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody úprav zadaných dat – stejný typ účelové funkce
Někdy máme v zadání kritéria minimalizační i maximalizační
a zvolená metoda vyžaduje všechna kritéria stejného druhu, resp.
všechna kritéria maximalizační. Stojíme tedy před problémem, jak
převést minimalizační kritérium na maximalizační, popř. naopak.
Možností je několik, ovšem vždy je zapotřebí vzít v potaz charakter
kritéria a metodu, kterou chceme použít.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody úprav zadaných dat – stejný typ účelové funkce
Pravděpodobně nejsnazší možností je použít převrácenou hodnotu
kritéria. Máme-li funkci f (x) maximalizovat, potom je to totéž
(pokud funkce nenabývá nulové hodnoty) jako minimalizovat
1
. Ovšem převrácená hodnota často mívá problematickou
funkci f (x)
ekonomickou interpretaci a pro některé metody je naprosto
min r
nevhodná. Podobnou možností je použít transformaci rijj ij
(minj rij rozumíme minimální dosaženou hodnotu v daném kritériu
(tedy optimum)). Výhodou této transformace je, že máme
zaručeno, je takto transformované hodnoty jsou menší nebo rovné
jedné, přičemž hodnota jedna je optimální. (Všimněme si, že tuto
metodu nelze použít, pokud některá varianta nabývá v daném
kritériu hodnoty 0.)
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody úprav zadaných dat – stejný typ účelové funkce
Jinou možností, jak převést minimalizační kritérium na
maximalizační, je transformace pomocí operátoru −, tedy použití
opačné hodnoty. Opět je zřejmé, že pokud máme funkci f (x)
minimalizovat, pak je to totéž jako maximalizovat funkci −f (x).
Možností tedy je, každé hodnotě přiřadit její opačnou hodnotu.
Tato operace má však několik nevýhod. Jednak velmi často máme
všechna čísla v kriteriální matici nezáporná, a touto operací
vyrobíme v kriteriální matici sloupec nekladných hodnot. Druhou
nepříjemností je, že v mnoha využívaných metodách se normuje
optimem, jímž po této transformaci nezřídka bývá nulová hodnota.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody úprav zadaných dat – stejný typ účelové funkce
Proto se velmi často využívá modifikace této transformace, a to, že
se kriteriální hodnota odečítá od nějaké před stanovené konstanty.
Typicky touto konstantou bývá bazální (tedy maximální) varianta
v tomto kritériu. Transformace je tedy
max rij − rij .
j
Tato volba má obecně velmi dobrou ekonomickou interpretaci.
(Představme si, že máme jako kritérium dobu strávenou na cestě
do práce a toto kritérium je pro nás minimalizační. Najdeme-li
maximální hodnotu tohoto kritéria a přepočteme-li všechny
hodnoty tak, že od této maximální hodnoty odečteme dobu
strávenou na cestě do práce při dané variantě, potom nám výsledná
čísla udávají úsporu času oproti nejhorší alternativě.)
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody úprav zadaných dat – stejný typ účelové funkce
Avšak právě volba této transformace může následně u mnohých
metod vést k porušení požadavku na invarianci vůči přidané
dominované variantě. Tento problém odstraníme, pokud před
transformací použijeme konjuktivní metodu. Tj. stanovíme si
maximální (nejhorší přípustnou) hodnotu transformovaného
kritéria, pokud některá varianta tuto podmínku nesplňuje,
vyřadíme ji z hodnocení, a poté transformujeme kritérium vůči
takto zvolené hodnotě. Tedy nové hodnoty stanovíme jako dj − rij ,
kde dj je právě zvolená maximální hodnota tohoto kritéria.
(Například si řekneme, že nechceme do práce cestovat déle než 40
minut. Pokud se v hodnocení objeví varianta, v níž cesta do práce
trvá déle, potom tuto variantu vyřadíme. A dobu cesty do práce
transformuje tak, že vždy spočteme, jaká je úspora času při cestě
do práce v dané variantě oproti 40 minutám (40 − rij ).)
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Úprava kriteriální matice
Podobně jako si před použitím metod vícekriteriální optimalizace
upravujeme kriteriální matici do požadovaného tvaru, stejně si
můžeme před použitím těchto metod upravit i počet zvažovaných
variant. (Tj. redukovat počet řádků kriteriální matice.) Jako první
možnost se nabízí vyřazení dominovaných variant (dominované
varianty nemohou být zvoleny jako optimální a redukce matice
nám usnadní práci a učiní naši práci přehlednější).
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Úprava kriteriální matice – disjunktivní a konjuktivní metody
K další redukci kriteriální matice můžeme přistoupit využitím tzv.
disjunktivních a konjuktivních metod. Obě tyto metody spočívají
v tom, že si nastavíme u všech kritérií (popř. u některých
zvolených) tzv. aspirační úrovně, podle nichž následně rozdělíme
varianty na akceptovatelné a neakcepovatelné. V případě
maximalizačního kritéria je jeho asipační úroveň minimální
hodnota, jaké bychom chtěli, aby kritérium dosahovalo, ale v
případě minimalizačního kritéria je aspirační úrovní maximální
hodnota, které může kritérium ještě dosahovat. Jedná se tedy
o takové hodnoty, které pokládáme v nejhorším případě za
přípustné (tedy o horších hodnotách již nechceme uvažovat).
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Konjunktivní metoda
Konjunktivní metoda spočívá v tom, že si zvolíme jen ty varianty,
které splňují všechny nastavené podmínky (aspirační úrovně), tj. ve
všech (popř. ve všech vybraných) kritériích jsou tyto varianty lepší
nebo stejné než je zvolená aspirační úroveň. Ostatní varianty
vyřadíme.
Disjunktivní metoda
Disjunktivní metoda uvažuje akceptovatelné všechny varianty, které
alespoň v jednom (popř. alespoň v jednom z vybraných) kritériu je
lepší nebo stejná než aspirační úroveň.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Příklad
Uvažujme mladý pár, který si vybírá, do kterého města se má
nastěhovat. Města chce posuzovat podle následujích kritérií:
KULTURA, SPORT, DOPRAVA, VZDĚLÁVÁNÍ, SOCIÁLNÍ PÉČE,
ZDRAVOTNICTVÍ, MOŽNOST ZAMĚSTNÁNÍ, NÁJEM. Požadují, aby
ve městě, do kterého se budou stěhovat, byl alespoň kulturní dům,
mateřská škola, základní škola a poliklinika. Provedou první předvýběr ze
všech měst – metodou konjunktivní – požadují, aby v zadaných třech
kritériích byli splněny minimálně tyto požadavky. Obce, jež některý
z těchto požadavků nesplňují rovnou vyřadí z analýzy. Dále tato rodina
požaduje, aby v obci byla pro oba možnost zaměstnání nebo byla
dopravní dostupnost do okresního města do 30 minut. Tedy metodou
disjunktivní vyřadí ty obce, kde nemají ani možnost práce ani dostupnosti
do okresního města do 30 minut.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Lexikografická metoda – princip
Lexikografická metoda vystačí pouze s ordinálními informacemi
o hodnocení jednotlivých variant dle jednotlivých kritérií
a ordinálními váhami. Jejím výstupem je také pouze ordinální
informace o preferenci jednotlivých variant.
Postup je takový, že najdeme nejdůležitější kritérium a podle
tohoto seřadíme jednotlivé varianty. V případě stejného ohodnocení
dvou variant (či více) podle tohoto kritéria, seřadím tyto varianty
podle druhého nejdůležitějšího kritéria, atd.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Lexikografická metoda – výhody a nevýhody
Tato metoda splňuje všechny požadavky kladené na metody
vícekriteriálního hodnocení variant a je velmi jednoduchá pro
použití. Ovšem, tato metoda pro určení pořadí zohledňuje (až na
případy shody) pouze hodnoty v nejdůležitějším kritériu a vůbec
nezohledňuje hodnoty v ostatních kritériích. Může se tedy stát, že
zvolíme jako optimální variantu, která bude v nejdůležitějším
kritériu nepatrně lepší, ale ve všech ostatních kritériích mnohem
horší než jiná.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Metoda pořadí – úvod
K metodě pořadí postačuje znalost pouze ordinálních informacích
o hodnocení jednotlivých variant podle jednotlivých kritérií. Tato
metoda již obecně zohledňuje hodnoty všech variant podle všech
kritérií. Využívá tedy již celou kriteriální matici (lexikografická
často využívá pouze jeden sloupec z kriteriální matice). Zároveň
také splňuje všechny požadavky kladené na metody VHV. Její
nevýhodou je, že poskytuje (a také využívá) pouze ordinální
informace. Máme-li tedy k dispozici kardinální hodnocení, ztrácíme
informaci.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Metoda pořadí – výpočet
Tato metoda vyžaduje od zadavatele, aby pro každé kritérium
sestavil pořadí variant. Na základě tohoto pořadí se stejných
způsobem jako se určovali váhy metodou pořadí najdou prvky
kriteriální matice. Dále se vyrobí vážená kriteriální matice Z,
jejímiž prvky budou prvky původní matice vynásobené
odpovídajícími vahami, tj. zij = vi rij . Pro každou variantu se
sečtouP
prvky na odpovídajícím řádku vážené kriteriální matice
(pi = j zij ) a pořadí jednotlivých variant je určeno hodnotami
těchto součtů, přičemž, čím větší součet, tím lepší varianta. Za
optimální variantu se tedy volí ta, jejíž hodnota pi je maximální.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Bodovací metoda – úvod
Bodovací metoda je obdobná metodě pořadí (viz metody stanovení
vah), jen využívá kardinální informace o preferencích jednotlivých
variant dle jednotlivých kritérií a výsledkem je také kardinální
informace o preferenci jednotlivých kritérií.
Také tato metoda splňuje všechny požadavky kladené na metody
vícekriteriálního hodnocení variant (za předpokladu, že zadavatel
rozděluje body ve všech kritériích stejným způsobem). Nevýhodou
ovšem je poměrně velké a často zbytečné zatížení zadavatele
(Pokud například zadal dobu dojezdnosti do zaměstnání, znovu po
něm požadujeme, aby tuto dojezdnost obodoval.) Na druhou
stranu, výhodou přebodování je, že ve finále budeme pracovat
s jeho užitkovou funkcí.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Bodovací metoda – postup
Postup bodovací metody je velmi obdobný postupu při metodě
pořadí. Nejprve vyzveme zadavatele, aby každou variantu obodoval
z hlediska každé varianty body – např. 0 − 10.
Tím získáme novou kriteriální matici. Tu můžeme znormovat tak,
že body přidělené dané variantě podle daného kritéria podělíme
součtem všech bodů přidělených všem variantám podle tohoto
kritéria. S touto maticí již zacházíme stejně, jako s kriteriální maticí
v metodě pořadí. To znamená, pronásobíme tuto matici váhami,
a poté sečteme vážené body udělené jednotlivým variantám.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
Metoda váženého součtu (WSA)
Tato metoda je v principu bodovací metodu, kde právě z výše
uvedených důvodů (zbytečné zatížení zadavatele), provedeme
převedení na body sami. Tj. zadané hodnoty z normalizujeme
podle zadaného vzorce:
si j =
ri j
.
maxj rij − minj rij
Výhodou této metody je její relativní jednoduchost a získání
ordinální informace. Nevýhodou je, že tato metoda není invariantní
vůči přidaným neoptimálním hodnotám. Tento nedostatek můžeme
odstranit použitím konjuktivních a disjunktivních metod před
samotnou optimalizací.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU
Metody vícekriteriálního hodnocení variant
TOPSIS, ELECTRE aj.
Existuje mnoho metod vícekriteriálního hodnocení variant, některé
jsou výpočetně jednoduché, některé složitější. Několik
nejvyuživanějších metod je implementováno např. v SANNě.
SANNA je excelovské makro, které slouží právě k vícekriteriálnímu
hodnocení variant a bylo vyvinuto na katedře Ekonometrie Fakulty
informatiky a statistiky Vysoké školy ekonomické v Praze. Ke
stažení je například na nb.vse.cz j̃ablon.
Jana Klicnarová
Vícekriteriální hodnocení variant – metody
JU