Rešitelnost nelokálních okrajových úloh

Transkript

Řešitelnost nelokálních okrajových úloh
20. matematická konference studentů VŠTEZ
Yulia Tigay
Vedoucí práce: doc. Ing. Gabriela Holubová, Ph.D.
Západočeská univerzita v Plzni
Fakulta aplikovaných věd
Katedra matematiky
26.6.2012
Yulia Tigay (ZČU v Plzni)
26.6.2012
1 / 40
Odsah
1
Úvod
2
Tříbodová okrajová úloha
3
Tříbodová okrajová úloha s tlumením
4
Čtyřbodová okrajová úloha
5
Nelokální okrajové úlohy Fučíkova typu
6
Závěr
26.6.2012
2 / 40
Tříbodová okrajová úloha
Uvažujme následující tříbodovou okrajovou úlohu:
 00

 u (t) + λu(t) = 0, t ∈ (0, π),
u(0) = 0,


u(π) = u(η),
(1)
kde λ ∈ R a η ∈ (0, π).
1
Dvojici (η, λ) ∈ (0, π) × R nazveme vlastní dvojicí, jestliže úloha (1)
má netriviální řešení u(t).
2
λ = λ(η) standardně nazýváme vlastním číslem.
3
Nenulové násobky u(t) nazýváme vlastními funkcemi okrajové úlohy
(1).
26.6.2012
3 / 40
Systém vlastních čísel a vlastních funkcí tříbodové úlohy
λ2n =
2nπ
π−η
2
nebo
λ2k−1 =
(2k − 1)π
η+π
,
n ∈ N,
(2)
2
,
Odpovídající systémy vlastních funkcí jsou:
2nπt
u2n (t) = sin
,
π−η
k ∈ N.
(3)
n∈N
(4)
nebo
u2k−1 (t) = sin
(2k − 1)πt
η+π
,
k ∈ N.
(5)
26.6.2012
4 / 40
Grafické znázornění vlastních funkcí pro případ (4)
První dvě vlastní funkce pro η = 0.5
26.6.2012
5 / 40
První dvě vlastní funkce pro η =
π
2
26.6.2012
6 / 40
První dvě vlastní funkce pro η = 0.5
26.6.2012
7 / 40
První dvě vlastní funkce pro η =
π
2
26.6.2012
8 / 40
Podrobnější struktura vlastních dvojic a vlastních funkcí
Uvažujeme vlastní dvojici (η, λ) ∈ h0, π) × R. Množinu všech vlastních
dvojic znacíme σ.
σ = C2n ∪ C2k−1 , n, k ∈ N,
(
C2n =
(η, λ) : λ =
(
C2k−1 =
(η, λ) : λ =
2nπ
π−η
2 )
(2k − 1)π
π+η
,
2 )
.
26.6.2012
9 / 40
Struktura množiny σ
26.6.2012
10 / 40
Limitní případy tříbodové úlohy na (0, π)
Necht’ η −→ 0. Potom okrajová úloha bude ve tvaru:
 00

 u (t) + λu(t) = 0, t ∈ (0, π),
u(0) = 0,


u(π) = u(0) = 0.
(6)
Dostáváme tedy standardní Dirichletovu úlohu se známými vlastními čísly
a vlastními funkcemi:
λ n = n2 ,
un (t) = sin nt,
n ∈ N.
26.6.2012
11 / 40
Limitní případy tříbodové úlohy na (0, π)
Necht’ η −→ π. Z Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne:
u ∈ C(h0, πi) ∩ C 1 (0, π) ∧ u(π) = u(η) =⇒ ∃ξ ∈ (η, π) : u0 (ξ) = 0.
Tedy okrajová úloha se zredukuje na Dirichletovu-Neumannovu úlohu:
 00

 u (t) + λu(t) = 0, t ∈ (0, π),
u(0) = 0,
(7)


0
u (π) = 0.
Vlastní čísla a vlastní funkce jsou dobře známé a to následující:
λk =
2k − 1
2
2
,
uk (t) = sin
(2k − 1)t
2
,
k ∈ N.
26.6.2012
12 / 40
Tříbodová okrajová úloha s tlumením
Výchozí tříbodová okrajová úloha s tlumením
 00
0

 u (t) + 2bu (t) + λu(t)
u(0)


u(π)
kde t ∈ (0, π),
η ∈ (0, π),
λ ∈ R,
má tvar:
= 0,
= 0,
(8)
= u(η),
b > 0.
Hlubším zkoumáním se nám povedlo ukázat platnost dvou tvrzení:
1
2
pro hodnoty λ ≤ 0 existuje pouze triviální řešení tříbodové úlohy
s tlumením.
případná vlastní čísla má smysl hledat pouze na množině R+ .
26.6.2012
13 / 40
Volba konkrétní hodnoty η
Dále volíme konkrétní hodnotu η = π2 . Odpovídající vlastní čísla a vlastní
funkce jsou:
λn = 4n2 + b2 ,
un (t) = e−bt sin 2nt,
b > 0, n ∈ N.
Závislost vlastních čísel λn na tlumení b.
26.6.2012
14 / 40
Dvě transformace tříbodové úlohy s tlumením (1/2)
Nová závislá proměnná: u(t) −→ ω(t).
Vycházíme z okrajové úlohy (8). Vynásobíme-li rovnici v (8) členem ebt ,
dostaneme:
u00 ebt + 2bebt u0 + λebt u = 0.
Dále zavedeme nové označení ebt u =: ω.
 00
ω (t) + (λ − b2 )ω(t) = 0, t ∈ (0, π),



ω(0) = 0,


ebπ

ω(π) =
ω(η),
ebη
(9)
kde λ ∈ R, η ∈ (0, π).
26.6.2012
15 / 40
Dvě transformace tříbodové úlohy s tlumením (2/2)
Nová nezávislá proměnná: u(t) −→ u(x).
Vycházíme opět z úlohy (8). Zavedeme-li novou nezávislou proměnnou:
Z
x=
t Rs
e
π/2 (−2b)dξ
Z
t
ds =:
0
σ(s),
0
získáme novou tříbodovou okrajovou úlohu bez tlumení ve tvaru:

00


 u (x) +
−λ
(ebπ
= 0,
t ∈ (0, π),
(10)
u(0) = 0,



u(π̄) = u(η̄),
kde λ ∈ R, b > 0, η ∈ (0, π), π̄ =
2 u(x)
− 2bx)
Rπ
0
σ(s)ds, η̄ =
Rη
0
σ(s)ds.
26.6.2012
16 / 40
Čtyřbodová okrajová úloha
Výchozí čtyřbodová okrajová úloha
 00

 u (t) + λu(t)
u(0)


u0 (π)
má tvar:
= 0,
t ∈ (0, π),
= u(ξ),
=
(11)
u0 (η),
kde λ ∈ R, ξ ∈ (0, π), η ∈ (0, π).
1
Trojici (ξ, η, λ) ∈ (0, π) × (0, π)× ∈ R nazýváme vlastní trojicí,
jestliže úloha (11) má netriviální řešení u(t).
2
λ = λ(ξ, η) nazýváme vlastním číslem.
3
Nenulové násobky u(t) nazýváme vlastními funkcemi okrajové úlohy
(11).
26.6.2012
17 / 40
Systémy vlastních čísel čtyřbodové úlohy
λ2n =
2πn
π−η
2
n ∈ N,
,
(12)
nebo
λ2k−1 =
(2k − 1)π
π+η−ξ
2
,
k ∈ N,
(13)
nebo
λ2l =
2πl
ξ
2
,
l ∈ N.
(14)
26.6.2012
18 / 40
A jim odpovídající systémy vlastních funkcí
1
2
3
4
u0 (t) = 1,
p
ξ
,
u2n (t) = cos λ2n t −
2
p π+η
u2l (t) = sin λ2l t −
,
2
p
ξ
u2k−1 (t) = cos λ2k−1 t −
.
2
26.6.2012
19 / 40
Grafické znázornění výsledků
p
ξ
Uvažujme 2. případ, tj. u2n (t) = cos λ2n t −
.
2
Necht’
η = 1.3 < ξ = 2.8
26.6.2012
20 / 40
Uvažujme 3. případ, tj. u2l (t) = sin
p
π+η
λ2l t −
.
2
Necht’
ξ = 1.3 < η = 2.8,
26.6.2012
21 / 40
p
ξ
Uvažujme 4. případ, tj. u2k−1 (t) = cos λ2k−1 t −
.
2
Necht’
ξ = 0.8 = η = 0.8,
26.6.2012
22 / 40
Podrobnější struktura vlastních trojic a vlastních funkcí
Uvažujeme vlastní trojici (η, ξ, λ) ∈ h0, π) × h0, π) × R. Množinu všech
vlastních trojic značíme σ.
σ = C2n ∪ C2k−1 ∪ C2l , n, k, l ∈ N,
(
)
2nπ 2
,
C2n = (ξ, η, λ) : λ =
π−η
(
)
(2k − 1)π 2
C2k−1 = (ξ, η, λ) : λ =
,
π+η−ξ
(
)
2lπ 2
.
C2l = (ξ, η, λ) : λ =
ξ
26.6.2012
23 / 40
Uvažujme nyní hodnoty parametru ξ = 0.1 a ξ =
π
2
26.6.2012
24 / 40
ξ = 3.1 a η = 0.1
26.6.2012
25 / 40
η=
π
2
a η = 3.1
26.6.2012
26 / 40
Limitní případy čtyřbodové úlohy na (0, π)
Budeme se zabývat limitními případy: ξ −→ 0, ξ −→ π, η −→ 0 a η −→ π.
Z Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne:
u ∈ C(h0, πi) ∩ C 1 (0, π) ∧ u(0) = u(ξ) =⇒ ∃µ = 0 : u0 (µ) = 0.
Pro ξ −→ 0 tedy dostaneme podmínku u0 (0) = 0.
Podobně dostáváme:
u0 (η) = u0 (π) =⇒ ∃ν = 0 : u00 (ν) = 0.
η −→ π =⇒ u00 (π) = 0.
26.6.2012
27 / 40
1. ξ → 0, η → 0
 00

 u (t) + λu(t) = 0, t ∈ (0, π),
u0 (0) = 0,


u0 (π) = u0 (0) = 0.
(15)
Standardní Neumannova okrajová úloha
Vlastní čísla a vlastní funkce jsou známé a to následující:
λ n = n2 ,
un (t) = cos nt,
n ∈ N.
26.6.2012
28 / 40
Zbývající případy
ξ → π, η → 0
λn = 4n2 ,
=⇒
periodická úloha
un (t) = cos 2nt, vn (t) = sin 2nt,
ξ → π, η → π
λ n = n2 ,
n ∈ N ∪ {0} .
=⇒
Dirichletova úloha
un (t) = sin nt, n ∈ N .
ξ → 0, η → π =⇒ Dirichletova-Neumannova úloha
!
2n − 1 2
2n − 1
λn =
, un (t) = cos
t , n ∈ N ∪ {0} .
2
2
26.6.2012
29 / 40
Oblast parametrů ξ a η
Celou výše prozkoumanou situaci lze znázornit následovně:
6
π
P
N
D
ND
η
ξ
π
-
26.6.2012
30 / 40
Fučíkovo spektrum tříbodové okrajové úlohy
Výchozí tříbodová okrajová úloha Fučíkova
 00
+
−

 u (t) + αu (t) − βu (t) =
u(0) =


u(π) =
typu bude ve tvaru:
0,
t ∈ (0, π),
0,
u(η),
(16)
η ∈ (0, π),
kde (α, β) ∈ R2 .
1
2
3
Řešením rozumíme funkci u ∈ C 2 (0, π) ∩ C(h0, πi).
Bod (α, β) ∈ R2 , pro který existuje netriviální řešení u(t) nazýváme
Fučíkovo vlastní číslo.
Odpovídající netriviální řešení u(t) a všechny jeho kladné násobky
nazýváme Fučíkovy vlastní funkce dané úlohy.
26.6.2012
31 / 40
Konkrétní předpisy Fučíkových větví
Definujme následující operátory:
Lu := LP η u := LDN u := −u00 ,
kde η ∈ (0, π) a platí:
D(L) := u ∈ C 2 (0, π) ∩ C(h0, πi) : u(0) = 0, u(π) = u(η) ,
D(LP η ) := u ∈ C 2 (0, π) ∩ C(h0, πi) : u(π) = u(η), u0 (π) = u0 (η) ,
D(L
DN
) :=
π+η
)=0 .
u ∈ C (0, π) ∩ C(h0, πi) : u(0) = 0, u (
2
0
2
26.6.2012
32 / 40
LP η na intervalu (η, π)
Řešení bude periodické na intervalu (η, π), pokud na něm bude mít stejný
počet kladných a záporných půlvln:
π−η
k
k
√ +√ =
, k ∈ N.
π
α
β
Řešení, které je periodické na (η, π) můžeme libovolně posunout, abychom
zajistili splnění podmínky na začátku intervalu u(0) = 0.
26.6.2012
33 / 40
LDN na intervalu 0, π+η
2
k
k
π+η
1
√ +√ + √ =
,
2π
α
β 2 α
k ∈ N ∪ {0},
k
1
(k + 1)
π+η
√ + √
+ √ =
,
2π
α
2 α
β
k ∈ N ∪ {0},
1
π+η
(k + 1)
k
√
+√ + √ =
,
2π
α
β 2 β
k ∈ N ∪ {0},
k
1
π+η
k
√ +√ + √ =
,
2π
α
β 2 β
k ∈ N ∪ {0}.
26.6.2012
34 / 40
Fučíkovy větve
26.6.2012
35 / 40
Netriviální řešení v případě periodické úlohy na (η, π)
26.6.2012
36 / 40
Netriviální řešení v případě DN úlohy na (0, η+π
2 )
26.6.2012
37 / 40
Netriviální řešení v případě DN úlohy na (0, η+π
2 )
26.6.2012
38 / 40
Fázový portrét pro lineární rovnici v (1)
26.6.2012
39 / 40
Fázový portrét pro lineární rovnici v (8) s b=1 a b=3
26.6.2012
40 / 40
Fázový portrét pro nelineární rovnici v (16) s α = 5 a
α = 30
26.6.2012
41 / 40
Závěr
Nalezli jsme všechny systémy vlastních čísel a vlastních funkcí
tříbodové a čtyřbodové okrajové úlohy.
Pro tříbodovou úlohu s tlumícím členem se nám podařilo ukázat, že
vlastní čísla existují pouze na množině R+ .
Dále byla úloha s tlumením formulována v obecném případě a byla
použita věta o jednoznačnosti na základě článků Kiguradzeho a
Lomtatidzeho. Ukázali jsme, že dostáváme podle očekávání stejné
výsledky.
Naznačili jsme dvě transformace, které naznačují, jak se dá tlumící
člen eliminovat avšak za určitou cenu.
Dále jsme se zabývali tříbodovou úlohou Fučíkova typu. Ukázali jsme
analytické předpisy pro Fučíkovy větve a názorně jsme ukázali
příslušné vlastní funkce.
26.6.2012
42 / 40
Kontakt: [email protected]
Děkuji za pozornost.
26.6.2012
43 / 40

Rešitelnost nelokálních okrajových úloh

Transkript

Podobné dokumenty

Pomůcky k usnadnění chůze

Vícebodové okrajové úlohy s asymetrickými nelinearitami a tlumením

Maloobchodní sortiment Vždy ten správný nástroj - LUKAS

doc. Zednik - Linearni algebra 2.cast

trhací stroj rozšírený pro testování vzorku na kombinaci

Renowacja - angielski_eng upravy

Integrální transformace T. Kozubek, M. Lampart