Vícebodové okrajové úlohy s asymetrickými nelinearitami a tlumením

Transkript

www.KMA.zcu.cz
Vícebodové okrajové úlohy s asymetrickými
nelinearitami a tlumením
Iveta Looseová
Vedoucí práce: Ing. Petr Nečesal, Ph.D.
Katedra matematiky,
Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerzita
20. matematická konference studentů VŠTEZ, TETŘEVÍ BOUDY 2012
25. – 27. června 2012
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
1 / 25
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Outline
1 Úvod
Tříbodová okrajová úloha
2 Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
Vlastní čísla
Numerické experimenty
Analytická odvození
3 Fučíkovo spektrum
Fučíkovo spektrum operátoru Lηb
25. – 27. června 2012
2 / 25
Úvod
www.KMA.zcu.cz
 00
 y (x) + by 0 (x) + λy(x) = 0, x ∈ (0, 1),
y(0) = y(η),
 0
y (0) = y 0 (1),
(1)
kde λ ∈ R, b ≥ 0, η ∈ (0, 1i.
I
I
pro η = 1: periodická okrajová úloha
pro η → 0+ : Neumannova okrajová úloha
y(0) = y(η) ⇒ ∃ξ ∈ (0, η) : y 0 (ξ) = 0
0 = lim y 0 (ξ) = y 0 (0+ ) = y 0 (0)
ξ→0+
Lηb :
Operátor
Lηb y (x)
D(Lηb )
D(Lηb )
:= −y 00 (x) − by 0 (x),
:= y ∈ C 1 (h0, 1i) ∩ C 2 (0, 1) : y 0 (0) = y 0 (1) = 0
:= y ∈ C 1 (h0, 1i) ∩ C 2 (0, 1) : y 0 (0) = y 0 (1), y(0) = y(η)
pro η = 0,
pro η ∈ (0, 1i.
25. – 27. června 2012
3 / 25
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Neumannova okrajová úloha
y 00 (x) + by 0 (x) + λy(x) = 0, x ∈ (0, 1),
y 0 (0) = y 0 (1) = 0,
(2)
kde λ ∈ R, b ≥ 0.
Nechť η = 0. Potom vlastní čísla operátoru Lηb mají tvar
I pro b = 0
λk = (kπ)2 , k ∈ N0 := N ∪ {0}
I pro b > 0
2
λ0 = 0, λk = (kπ)2 + 2b , k ∈ N
y
y
y
x
λ = λ0
y
x
λ = λ1
y
x
λ = λ2
x
λ = λ3
x
λ = λ4
Obrázek: Některá řešení pro Neumannovu úlohu s tlumením (2) pro b = 4.
25. – 27. června 2012
4 / 25
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Periodická okrajová úloha
 00
 y (x) + by 0 (x) + λy(x) = 0, x ∈ (0, 1),
y(0) = y(1),
 0
y (0) = y 0 (1),
(3)
kde λ ∈ R, b ≥ 0.
Nechť η = 1. Potom vlastní čísla operátoru Lηb mají tvar
I pro b = 0
λk = (2kπ)2 , k ∈ N0 := N ∪ {0}
I pro b > 0
λ=0
y
λ = λ0
y
x
λ = λ1
y
λ = λ2
x
y
x
λ = λ3
y
λ = λ4
x
x
Obrázek: Některá řešení periodické úlohy bez tlumení.
25. – 27. června 2012
5 / 25
Úvod
www.KMA.zcu.cz
b
Nechť η ∈ (0, 1i.
Potom vlastní čísla operátoru
Lηb pro b = 0 mají tvar
1
2
2
λk = ( (2k+1)π
η−1 ) , k ∈ N0 ,
2
λm = ( 2mπ
η ) ,
3
λn = (2nπ)2 ,
0
1
m ∈ N,
n ∈ N0 .
η
25. – 27. června 2012
6 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
Outline
1 Úvod
Vlastní čísla
25. – 27. června 2012
7 / 25
www.KMA.zcu.cz
Tříbodová úloha s kladným tlumením
Věta
Pro η ∈ (0, 1i je λ = 0 jediným vlastním číslem operátoru Lηb pro λ ≤
2
Úloha pro λ > 2b
q
λ−
I µ=
b 2
2 .
b 2
2
bη
b
b − bη
b bη b
e 2 sin(µη) − e− 2 e− 2 sin(µη) cos(µ) − e− 2 e− 2 µ sin(µ) sin(µη)
2
2
bη
b
b b
− e− 2 sin(µ) − µ + e− 2 µ cos(µ) + e− 2 µ cos(µη)
2
bη
b
b bη b
+ e− 2 e− 2 sin(µ) cos(µη) − e− 2 e− 2 µ cos(µ) cos(µη)
2
φ(µ) =
η=
1
,b
10
=
1
10
η = 13 , b =
y
15
10
η = 89 , b =
y
µ
1
10
y
µ
µ
25. – 27. června 2012
8 / 25
www.KMA.zcu.cz
Outline
1 Úvod
Vlastní čísla
25. – 27. června 2012
9 / 25
www.KMA.zcu.cz
b
1.5
b
1.5
0
1
η
0
1η
25. – 27. června 2012
10 / 25
y
b = 21 , η =
1
4
y
b = 0.9223, η = 0.6029
µ
y
b = 12 , η =
1
4
www.KMA.zcu.cz
y
b = 21 , η =
1
3
µ
y
b = 0.9223, η = 0.6029 y
µ
µ
b = 21 , η =
1
3
µ
µ
Obrázek: Graf funkce φ (černě) pro pevné b, η a omezení přímkou (modře). Zleva:
nekonečně mnoho nulových bodů, konečně mnoho nulových bodů a žádný nulový
bod.
25. – 27. června 2012
11 / 25
www.KMA.zcu.cz
b
1.5
b
1
0.75
0
1
2
1η
0.54
0.68 η
25. – 27. června 2012
12 / 25
www.KMA.zcu.cz
Outline
1 Úvod
Vlastní čísla
25. – 27. června 2012
13 / 25
Tříbodová úloha pro η =
www.KMA.zcu.cz
1
2
Věta
Operátor Lηb pro η = 12 , b > 0 má právě jedno vlastní číslo λ = 0.
b
1
y
y
b=1
b=4
µ
b
z = φ(µ, b, 12 )
z
0
µ
µ
y
b=8
µ
0
0.49
0.5
0.51 η
25. – 27. června 2012
14 / 25
www.KMA.zcu.cz
b
1.5
0
1
2
1
η
25. – 27. června 2012
15 / 25
www.KMA.zcu.cz
Omezení lineární funkcí
1
1
1
1
p(µ) = µ − 1 + e− 2 b + e− 2 bη + 2e− 2 b− 2 bη
1
1
1
1
+ 12 be− 2 b + 12 be− 2 bη + be− 2 bη− 2 bη
y
b=
1
,
10
η=
7
8
y
b = 2, η =
µ
7
8
y
b = 4, η =
7
8
µ
µ
Věta
Operátor Lηb má nejvýše konečný počet vlastních čísel, pokud (η, b) ∈ Ω1 ,
1
1
1
1
kde Ω1 : {(η, b) ∈ R2 : −1 + e− 2 b + e− 2 bη + 2e− 2 b− 2 bη < 0}.
25. – 27. června 2012
16 / 25
www.KMA.zcu.cz
b
5
Definujme následující množiny
M1 = (η, b) ∈ R2 : operátor Lηb
má nekonečně mnoho
kladných
vlastních čísel},
má nenulový konečný počet
kladných
vlastních čísel},
nemá žádné kladné vlastní
číslo}.
1.5
0
1
2
1
η
25. – 27. června 2012
17 / 25
www.KMA.zcu.cz
b
5
1.5
0
1
2
1
η
25. – 27. června 2012
18 / 25
Fučíkovo spektrum
www.KMA.zcu.cz
Outline
1 Úvod
Vlastní čísla
25. – 27. června 2012
19 / 25
Fučíkovo spektrum
www.KMA.zcu.cz
Úvod do Fučíkova spektra
Uvažujme
 00
 y (x) + by 0 (x) + αy + (x) − βy − (x) = 0, x ∈ (0, 1),
y(0) = y(η),
 0
y (0) = y 0 (1),
y = y(x)
y
kde (α, β) ∈ R2 .
Kladná a záporná část funkce
I y + = max(0, y)
I y − = max(0, −y)
y
x
y = y + (x)
y
y = y − (x)
x
x
25. – 27. června 2012
20 / 25
Fučíkovo spektrum
www.KMA.zcu.cz
Fučíkovo spektrum
Množina
Σ(Lηb ) := (α, β) ∈ R2 : Lηb = αy + (x) − βy − (x) má netriviální řešení
se nazývá Fučíkovo spektrum operátoru Lηb .
√
β
α
β
√
α
25. – 27. června 2012
21 / 25
Fučíkovo spektrum
√
β
b=0
√
www.KMA.zcu.cz
b = 0.1
β
η = 0.67
√
√
β
b = 0.2
α
√
√
α
b = 0.3
√
α
Σ(Lηb )
β
√
α
25. – 27. června 2012
22 / 25
Fučíkovo spektrum
√
b = 0.1
√
β
β
√
√
www.KMA.zcu.cz
b = 0.3
√
α
√
β
β
√
α
b = 0.2
b = 0.4
√
η = 0.65
α
Σ(Lηb )
α
25. – 27. června 2012
23 / 25
Fučíkovo spektrum
√
b=1
√
β
β
√
√
www.KMA.zcu.cz
b=2
√
α
√
β
β
√
α
b = 1.5
b = 2.5
√
η = 0.15
α
Σ(Lηb )
α
25. – 27. června 2012
24 / 25
Literatura
www.KMA.zcu.cz
Literatura
R. Agarwal, D. O’Regan
An introduction to ordinary differential equations,
Universitext. New York, NY: Springer. XII, 322 p. (2008).
S. Fučík
Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems,
Mathematics and its Applications, 4. Dordrecht–Boston–London: D. Reidel Publishing
Company. X, 390 p. (1980).
G. Holubová, P. Nečesal
Fučík spectrum in general: principial eigenvalues and inadmissible sets,
Zasláno do tisku.
G. Holubová, P. Nečesal
Nontrivial Fučík spectrum of one non-selfadjoint operator ,
Nonlinear Analysis 69 (2008), no. 9, 2930–2941.
I. Looseová
Vícebodové okrajové úlohy s asymetrickými nelinearitami a tlumením,
Plzeň: Západočeská univerzita, (2012).
S. Míka, P. Přikryl, M. Brandner
Speciální numerické metody ,
Plzeň: Západočeská univerzita 305 p. (2006).
25. – 27. června 2012
25 / 25

Vícebodové okrajové úlohy s asymetrickými nelinearitami a tlumením

Transkript

Podobné dokumenty

elementární goniometrické a trigonometrické věty

Rešitelnost nelokálních okrajových úloh

Kapitola VI. PASSING-BABLOK A TI DRUZÍ .

Informace MVS č. 51 - Jednota českých matematiků a fyziků

Stáhnout CV