sumasil

DALŠÍ TYPY VLN
Iontozvukové vlny (elektrostatické nízkofrekvenční vlny)
jsou to podélné vlny podobné klasickému zvuku
v plynu
cs =
ω
⎛ γ k BT ⎞
=⎜
⎟
k ⎝ M ⎠
1
2
plazma – zvuk pomalý pro elektrony, rychlý pro ionty
hustota elektronů je v každém okamžiku rovnovážná pro
okamžiku v rovnováze s okamžitým potenciálem
⎛ eΦ ⎞
⎛ eΦ1
⎞
ne = n0 exp ⎜ 1 ⎟ = n0 ⎜1 +
+ ... ⎟
⎝ k BTe ⎠
⎝ k BTe
⎠
eΦ1
n1 = n0
elektrony jsou izotermální ( γ = 1 )
k BTe
n
ni 0 = 0
Z
pro ionty pohybové rovnice
iω ni1 = ni 0ikvi1
−iω Mvi1 = −
∇pi1
+ ZeE1
ni 0
E1 = − ∇Φ = − ik Φ1
Poissonova rovnice není potřeba
−ε 0 ∆Φ1 = Zeni 0 − en1 = e ( Zni1 − n1 )
pomalý pohyb
→
kvazineutralita Zni1 = n1
V1
n1 = n0
eΦ1
k BTe
→ Φ1 =
k BTe
n1
en0
pro zachovaní kvazineutrality–suma sil na elektrony = 0
eE1 = −e∇Φ1 = −
kT
n
1
∇pe1 = − B e ∇n1 = −ikk BTe 1
n0
n0
n0
⇒ E1
−iω Mni 0 vi1 = − − ikγ i k BTi ni1 − ikk BTe Zni1 - pohyb iontů
2
⎛ γ k T + Zk BTe ⎞ 2
ω =⎜ i B i
⎟ ⋅k
M
⎝
⎠
2
s použitím kontinuity
cs2
obvykle ionty adiabatické γi = 5/3
Pokud je ZTe ≈ Ti , pak je silný bezesrážkový útlum na
iontech, fázová rychlost cs ≈ iontová tepelná rychlost
Iontozvukové vlny pro ZTe >> Ti
zvuková rychlost
cs
slabě tlumené
Zk BTe
M
Použité plazmatické přiblížení neplatí pro velká k
v důsledku velkých ω.
Proto odvodíme disp. vztah bez plazmatického přiblížení
∇E1 = −∆Φ1 = k 2Φ1 = e ( Zni1 − ne1 ) / ε 0
ne1 =
eΦ1
n0
k BTe
V2
dosadíme do Poissonovy rovnice
⎛ 2 n0 e 2 ⎞ Zeni1
Φ1 ⎜ k +
⎟=
ε 0 k BTe ⎠
ε0
⎝
Zeni1
Φ1 =
ε0
λDe 2
1 + k 2λDe 2
dosadíme potenciál Φ1 do pohybové rovnice iontů
⎛ Zk T
γ i k BTi ⎞
1
=⎜ B e
+
⎟
k ⎝ M 1 + k 2 λDe 2
M ⎠
ω
1
2
2
2
disperzní vztah iontozvuk. vln se liší jen členem k λDe
−1
nejjednodušší vztah pro k >> λDe a Ti = 0
2
2 2
n
Ze
n
Z
e
ω2 = 0
= i0
= ω pi 2
ε0M
ε0M
… iontová plazmová frekvence
V3
Elmg. vlny v plazmatu bez vnějšího magnetického pole B0
Maxwellovy rovnice
∂B1
∂t
∂E
1
∇ × B1 = ε 0 1 + j1
∂t
µ0
∇ × E1 = −
převedeme na vlnovou rovnici
∂ 2 E1
∂j
∇ × ∇ × E1 + ε 0 µ 0 2 = − µ 0 1
∂t
∂t
(
)
vyjádříme vysokofrekvenční proud
eE1
v e1 =
imeω
⇒
e 2 ne
j1 = i
E1
meω
hustota elektronů se nemění (kontinuita ⇒ n1= 0)
využijeme identity
(
)
∇ × ∇ × A = grad divA − ∆A
e 2 ne ∂E1
1 ∂ 2 E1
−∆E1 + 2
= −i µ 0
c ∂t 2
meω ∂t
ωp
⎛ 2 ω2 ⎞
ω 2 tr
2
⎜ k − 2 ⎟ E1 = − 2 E1 ⇒ k = 2 ε r
c ⎠
c
c
⎝
k 2 = ω 2 µ 0ε 0ε r tr = ω 2 (1 − ne / nc ) / c 2
´
2
ω 2 = ω p 2 + c2k 2
fázová
vϕ =
ω
k
= c 2 + ω p2 / k 2
ω p2
ε r (ω ) = 1 − 2
ω
tr
grupová
vg =
ε = ε 0ε r tr
dω
= c 2 k / ω = c 2 / vϕ
dk
V4
2
pro ω < ω p → k < 0
vlna se nešíří, do plazmatu
proniká pouze skin-efektem
pro ω → ω p +
k → 0 a dochází k úplnému odrazu
(mezní frekvence)
nc =
ε 0 mω 2
e2
n
Re(ε r ) = 1 −
nc
nc - kritická hustota
nc = 1021cm-3
nc = 1019 cm-3
nc = 1015 cm-3
→
→
→
λ=1,06 µm
λ=10,6 µm
λ=1,06 cm
(Nd-laser)
(CO2-laser)
(cm vlny)
A. Kolmý dopad elmg. vlny na rovinné plazma
rot E +
rot rot = grad div − ∆
∂B
=0
∂t
div D = 0 = ε div E + E∇ε
∂D
=0
rot B − µ0
∂t
0
⇒ div E = 0
∂2 E
∆E − µ0ε 0ε r 2 = 0
∂t
∂
→ −iω
∂t
E ∼ e − iωt
pokud charakt. čas změn hustoty τ >> ω −1
ε r ( x, t ) → ε r ( x )
V5
∂2 E ω 2
ω2
2
+ 2 εr E = 0 ⇒ k = 2 εr
2
∂x
c
c
λ
∇ε
ε
<< 1 ⇒
stacionár.vln.rce
ε pomalu proměnné v prostoru
WKB přiblížení
E = E+ ( x ) e ∫
− i k dx
+ E− ( x ) e ∫
i k dx
⎡
⎤
2
⎢
∂E
∂ E+ ⎥ i ∫ k dx
∂k
+ ...
E '' = ⎢ −k 2 E+ + 2ik + + i E+ +
e
2 ⎥
∂x
∂x
∂x ⎥
⎢ 0. řád
2. řád ⎦
1. řád
⎣
0. řád
−k E+ =
1. řád
2ik
2
E0+
4
ε
e∫
i k dx
+
E0−
4
c
2
ε r E+
splněno
∂E+
∂k
+ i E+ = 0
∂x
∂x
E ∼ k
E=
ω2
ε
−1
2
∼ εr
− i k dx
e ∫
−1
4
WKB řešení (žádný odraz !!)
Existují profily, kde WKB řeší úlohu přesně
Okolí kritického bodu – ε → 0 - WKB neplatí
nalezneme řešení pro lineární profil hustoty ne
relativní permitivita
ε r = −ax + iS
ν
kde S = ω
hustota plazmatu tedy roste ve směru osy x – pole musí jít
k 0 pro x →∞
V6
∂2E ω 2
+ 2 ( − ax + iS ) E = 0
2
∂x
c
⎛ω⎞
ξ =⎜ ⎟
⎝ ca ⎠
2
3
( −ax + iS )
⇒
d 2E
+ξE = 0
2
dξ
Existuje přesné řešení splňující okrajovou podmínku
…3 Aai ( −ξ )
E=
ai = Airyho funkce
⎧ 12 ⎡ ⎛ 2 3 2 ⎞
⎛ 2 32 ⎞⎤
A
ξ
J
ξ
J
+
⎪
⎟ − 13 ⎜ ξ ⎟ ⎥
⎢ 13 ⎜ 3
⎠
⎝3
⎠⎦
⎪
⎣ ⎝
=⎨
⎪ A ( −ξ ) 12 ⎡ I ⎛ 2 ( −ξ ) 3 2 ⎞ + I ⎛ 2 ( −ξ ) 3 2 ⎞ ⎤
⎟ − 13 ⎜
⎟⎥
⎢ 13 ⎜ 3
⎪
3
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
⎣
⎩
Re(ξ) > 0
Re(ξ) < 0
B. Šikmý dopad vlny a rezonanční absorpce
k = kx + k y
2
2
2
kx +
2
ω2
c
2
sin 2 θ 0
2
bod odrazu Re ( ε r ) = sin θ0
V7
E ⎫⎪
⎬
B ⎪⎭
TE vlna =
s-polarizace
B ⎫⎪
⎬
E ⎪⎭
TM vlna =
p-polarizace
p-polarizace
E ⋅∇ε ≠ 0
d 2 B 1 d ε dB ω 2
2
ε
sin
θ)B = 0
−
+
−
(
div E ≠ 0
r
2
2
dx
ε dx dx c
ky B
sin θ 0 B
Ex = −
=−
⋅
v kritické ploše singularita
ωµ0ε
µ 0ε 0 ε r
Rezonanční absorpce
t → l (příčná elmg.
vlna se mění v podélnou plazmovou) l nemůže z plazmatu
uniknout – absorpce srážkami nebo bezesrážkově
• v principu lineární jev – existuje i při malých I
ν
2
3
→
0
A
=
f
η
η
=
k
L
sin 2 θ
(
)
(
)
při ω
0
Ex x → 0
θ →0
kolmý dopad – není Ex
c
L→∞
Ex
xc
→0
bod odrazu daleko od xc
V8
1
B ( xc )
2 ( r cos θ ) 2
≅ 1
1
3
B0
1
k0 L ) 6
3 Γ
(
3
( )
(pro malá η)
η << 1
⎛ 2 ⎞
A = η ⎜1 − η ⎟
⎝ 3 ⎠
η >> 1
⎛ 4 32 ⎞
⎛ 8 32 ⎞
A = 2 exp ⎜ − η ⎟ − exp ⎜ − η ⎟
⎝ 3
⎠
⎝ 3
⎠
maximální A ≈ 0.5
při η ≈ 1
νc
ε
x
=
i
(
)
c
srážky
ω
Ez ( xc ) =
sin θ
νc
ω
B ( xc ) ⋅
1
ε 0 µ0
Šířka maxima ∆
n − nc
nc
=
νc
ω
⇒ ∆=
νc
L
ω
∆
L
Absorbovaná energie
∆/2
2
ν ei 2
νc ω
ω ν c sin 2 θ 2
2 ⎛ν c ⎞
E
dz
E
x
⋅
∆
=
B
x
c
⋅⎜ ⎟ L =
(
)
(
)
c
ω c z c
c −∆∫/ 2 ω
c ω ⎛ ν c ⎞2
⎝ω ⎠
⎜ ⎟
⎝ω ⎠
ω
nezávisí na ν c
= ω cB 2 ( xc ) ⋅ L
Teplé plazma (prostorová disperze
3vTe 2
D = εr E + 2
c
ε0
1
tr
pole)
⎡
⎤
1 ∇ε r
E
E
−
grad
div
div
⎢
⎥
3 εr −1
⎣
⎦
V9
plazmová vlna se síří z kritické plochy do řidšího plazmatu,
při poklesu hustoty roste vlnové číslo k a klesá tedy vϕ
stane se srovnatelnou s tepelnou rychlostí ⇒Landaův útlum
při vyšších intenzitách je útlum plazmové vlny nelineární
mechanismem lámání vln (wavebreaking) – vede k předání
energie malé skupině tzv. „horkých (rychlých) elektronů“
elektrony urychlovány především k hranici plazmatu
s vakuem, kde se většina elektronů odrazí v elektrostatickém poli dvojvrstvy („sheath“) zpět do terče
V10
Nelinearity při šíření elektromagnetických vln v plazmatu
ωp
e 2 ne
εr = 1−
= 1− 2
ε 0 meω 2
ω
2
A. → me – relativistická nelinearita
me =
me 0
v2
1− 2
c
pokud vosc << c
nelinearita
≈
me 0
2
(vosc >> vTe)
e 2 EL
1− 2 2 2
me c ω
2
2
e 2 ne ⎛ 1 e EL ⎞
εr = 1−
⎜1 −
⎟
ε 0 me 0ω 2 ⎜⎝ 2 me20 c 2ω 2 ⎟⎠
⇒
2
2
δε ∼ EL / ω ∼ I λ 2
- kvadratická nelinearita
B. → ne - změnu hustoty způsobí pond. síla nebo grad tlaku
a) ponderomotorická nelinearita
ρ
ρ
2
Fp = −
ε 0∇ E 2 = −
ε 0∇ EL
2 ρc
4 ρc
Fp − ∇p = 0
ponderomotorická síla vytlačuje plazma z oblasti
intenzivního pole ⇒vznikne grad hustoty⇒grad tlaku
v rovnováze grad tlaku vyrovnává pond. sílu
2
ε 0 EL
ne
2
)
−
ε 0∇ EL − k BTe∇ne = 0 ⇒ ne = n0 exp (−
4k BTe nc
4nc
pro malé I - kvadratická nelinearita
2
2
δε ∼ EL / nc ~ I λ
b) tepelná – v maximu pole se plazma maximálně zahřeje
a hustota se sníží, aby tlak byl konstantní
V11