Projekt OPVK – CZ.1.07/2.3.00/09.0017 MATES – Podpora

Projekt OPVK – CZ.1.07/2.3.00/09.0017
MATES – Podpora systematické práce se žáky SŠ v oblasti rozvoje
matematiky
Seminář z matematiky — Bílovec 23. 5. 11
Pokud není řečeno jinak, následující hry hrají dva hráči, kteří se pravidelně střídají
tazích. Hráč, který nemůže táhnout, prohrává. Rozhodněte, který z hráčů má vyhrávající
strategii.
1. (hra Nim) Je dána množina přirozených čísel M . Na stole je několik hromádek kamenů.
Před každým tahem si hráč vybere jedno číslo m ∈ M . Svým tahem pak z některé
hromádky, která obsahuje alespoň m kamenů, m kamenů odebere. Hru řešte:
(i) jedna hromádka o n = 14, 15, 16 kamenech a M = {1, 2, 3, . . . , k}.
(ii) jedna hromádka o n kamenech a M = {1, 3, 4, 8, 16, . . .}.
(iii) jedna hromádka o n kamenech a M = {1, 2, 3, 5, 7, 11, . . .} (1 a všechna prvočísla).
(iv) jedna hromádka o n kamenech a M = {1, 3, 8}.
(v) dvě hromádky s 5 a 6 (5 a 9, 8 a 8) kameny a M = {1, 2, . . . , 6}
(vi) dvě hromádky s 20 a 25 kameny a M = N.
(vii) 3 hromádky s 3, 4 a 5 kameny a M = N.
(viiii) atd.
2. Wythoff ’s Game Na stole jsou dvě hromádky kamenů. Hráč může buď odebrat z jedné
hromádky libovolný počet kamenů, nebo z obou hromádek stejný počet kamenů. Pozice
jsou dvojice [x(i), y(i)] nezáporných čísel. Hledejte prohrávající pozice tak dlouho, dokud
nenajdete rekurzivní pravidlo. Pokuste se také najít explicitní pravidlo pro prohrávající
pozice.
3. Na tabuli je napsáno číslo 2. Dva hráči střídavě k číslu na tabuli přičítají některý jeho
přirozený dělite menší než n (vlastní dělitele a 1) a výsledek zapíší jako nové číslo. Vyhrává
hráč, který první získá číslo větší nebo rovné 2011.
4. Dva hráči střídavě pokládají na šachovnici bílé a černé jezdce na pole, která nejsou obsazena. Navíc hráč nemůže položit jezdce na pole, které je ohroženo soupeřovým jezdcem
(jezdcem opačné barvy). Prohrává hráč, který nemůže táhnout.
5. Totéž se střelci.
6. Hráči střídavě obarvují úhlopříčky pravidelného 1988úhelníku. Hráč může úhlopříčku
obarvit za podmínky, že nemá společný bod s nějakou dříve obarvenou úhlopříčkou. Prohrává ten, kdo nemůže táhnout.
7. je dán trojúhelníkový koláč obsahem 1. Hráč A může umístit kamkoliv do roviny koláče
bod X. Hráč B vede bodem X přímkový řez a vezme si větší kousek koláče. Jak velký je
zaručený zisk hráče B.
8. Je dán trojúhelník P QR s obsahem 1. Hráč A vybere bod X ∈ P Q, hráč B bod Y ∈ QR.
Poté hráč A vybere bod Z ∈ P R. Cílem hráče A je maximalizovat obsah trojúhelníku
XY Z. Najděte zaručený zisk hráče A.
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
České republiky
1
9. Hra jednoho hráče Na stole je 2011 hromádek obsahujících po řadě 1, 2, . . . , 2011 kamenů.
Můžete vybrat libovolnou množinu hromádek na stole a z každé hromádky této množiny
odebrat stejný počet kamenů. Najděte nejmenší počet tahů, po kterých na stole nezůstane
žádný kámen.
10. Na řádku jsou napsána po řadě čísla 1, 2, . . . , 100. Hráči A a B mezi ně střídavě umísťují
znaménka „+ÿ, „−ÿ, „×ÿ. Ukažte, že začínající hráč A může dosáhnout toho, že výsledek
bude číslo a) sudé, b) liché.
11. Hráči A a B začínají s číslem p = 1. Střídavě ho násobí některým z čísel 2, 3, . . . , 9.
Vyhrává ten, kdo první získá číslo alespoň a) 1 000, b) 106 . Kdo má vyhrávající strategii?
12. Hráč A vyškrtne 27 čísel z množiny 0, 1, 2, . . . , 255, 256. Poté B vyškrtne 26 čísel. Hráč A
nato vyškrtne 25 čísel, atd. až hráč B vyškrtne 20 = 1 číslo. Protože 20 + 21 + . . . + 27 =
28 − 1 = 255, zůstanou na konci dvě čísla a a b. Hráč B zaplatí hráči A částku |a − b|.
Jak má hráč A hrát tak, aby získal co nejvíce? Jak má hrát B, aby co nejméně prohrál?
Kolik je zaručená výhra hráče A?
13. Hráči A a B střídavě zapisují znaménka „+ÿ a „−ÿ před čísla v řadě 1 2 . . . 19 20.
Když je všech 20 znamének zapsáno, hráč B získává absolutní hodnotu výsledného součtu.
Pro každého hráče najděte jeho nejlepší strategii. Kolik je zaručená výhra hráče B?
14. V rovnici x3 + . . . x2 + . . . x + . . . = 0 nahradí hráč A jeden z výpustků (tři tečky) celým
číslem různým od 0. Poté hráč B nahradí jeden ze zbývajících výpustků celým číslem a
nakonec hráč A nahradí poslední výpustek celým číslem. Ukažte, že hráč A může hrát
tak, že všechny tři kořeny vzniklé kubické rovnice budou celá čísla.
15. Hráči A a B střídavě nahrazují hvězdičky v polynomu x10 + ∗x9 + ∗x8 + . . . + ∗x2 + ∗x + 1
reálnými čísly. Jestliže výsledný polynom nemá reálné kořeny, vyhrává hráč A, pokud má
alespoň jeden reálný kořen, vyhrává B. Má hráč B vyhrávající strategii?
16. Hráči A a B střídavě zapisují na tabuli přirozená čísla menší než P . Je zakázáno zapsat
dělitele čísla již na tabuli napsaného. Hráč, který nemůže táhnout, prohrává. Kdo má
vítěznou strategii pro a) p = 10, b) p = 1000?
17. Dvojšachy Pravidla šachu změníme následujícím způsobem. Hráči A a B mohou střídavě
udělat dva tahy dle pravidel. Ukažte, že hráč A má neprohrávající strategii. (Stačí ukázat
existenci této strategie.)
18. Sudá vyhrává Na stole je 2n + 1 kamenů. Hráči A a B střídavě odebírají libovolný počet
kamenů od 1 do k. Po odebrání posledního kamene má jeden z hráčů sudý a druhý lichý
počet kamenů. Vítězem je hráč se sudým počtem. Najděte prohrávající pozice pro k = 3,
k = 4, k sudé, k liché.
19. Na počátku je v rohu šachovnice n×n kámen. Hráči A a B ho přesouvají na sousední pole
libovolným směrem. Je zakázáno umísti kámen na pole, na kterém se kámen již nacházel.
a) Kdo má vítěznou strategii pro n sudé? b) Kdo má vítěznou strategii pro n liché? c)
Kdo má vítěznou strategii, jestliže je na počátku kámen na poli sousedícím s rohovým
polem?
20. Hráč A umístí na počátku jezdce na šachovnici 8×8. Hráč B provede platný tah jezdcem.
Poté se hráči střídají na tazích, přitom je zakázáno táhnout na pole, na kterém se již jezdec
nacházel. Prohrává hráč, který nemůže táhnout. Kdo má vítěznou strategii?
21. V horním levém rohu šachovnice m × n se nachází král. Hráči A a B se střídají na tazích,
přitom král nemůže táhnout na pole již jednou navštívené. Prohrává hráč, který nemůže
táhnout. Kdo má vítěznou strategii?
22. Na stole je n kamenů. Hráči A a B se pravidelně střídají. Na počátku odebere hráč A s
kamenů (0 < s < n). Poté může hráč odebrat libovolný počet kamenů, který je dělitelem
počtu kamenů odebraných v předchozím tahu. Vítězí hráč, který vzal poslední kámen.
Které pozice jsou vítězné pro hráče A a B?
2
23. Nechť n je libovolné přirozené číslo a M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hráč A začíná libovolnou číslicí
z M . Poté k ní B připojí libovolnou číslici z M atd. až získají 2nmístné číslo. Jestliže je
výsledek dělitelný 9, vyhrává B, jinak vyhrává A. Kdo má vítěznou strategii v závislosti
na n?
24. Na stole jsou dvě hromádky s p a q kameny. Hráči A a B se střídají na tazích. Tahem
přitom rozumíme buď odebrání jednoho kamene z libovolné hromádky, nebo odebrání
jednoho kamene z obou hromádek, nebo přesun jednoho kamene z jedné hromádky na
druhou. Hráč, který nemůže táhnout, prohrává. Kdo má v závislosti na počátečních podmínkách vítěznou strategii?
25. Na tabuli je napsáno n ≥ 12 po sobě jdoucích přirozených čísly. Hráči A a B střídavě
mažou po jednom číslu, až zůstanou dvě čísla a a b. Hráč A vyhraje, jestliže jsou tato čísla
navzájem nesoudělná. V případě soudělných čísel vyhraje B. Kdo má vítěznou strategii?
26. Dva hráči střídavě obarvují mřížové čtverce tabulky 19×94. Kdo má vyhrávající strategii?
Mřížový čtverec je libovolný čtverec, jehož vrcholy jsou mřížové body tabulky 19 × 94.
27. Hráči A a B střídavě táhnou jezdcem na šachovnici 1994 × 1994. hráč A může provádět
pouze horizontální tahy (x, y) 7→ (x ± 2, y ± 1), hráč B pouze vertikální tahy (x, y) 7→
(x ± 1, y ± 2). Hráč A začne výběrem pole a tahem. Tahy na pole již jednou navštívené
jsou zakázány. Prohrává hráč, který nemůže táhnout. Dokažte, že hráč A má vyhrávající
strategii.
28. Hráč A vyvolává číslice, hráč B jimi nahrazuje hvězdičky v následujícím rozdílu ∗∗∗∗ −
∗∗∗∗. Snahou hráče A je získat co největší výsledek, snahou B co nejmenší. Dokažte, že
hráč B může umísťovat číslice tak, že výsledný rozdíl je nejvýše 4000. Hráč A může číslice
vyvolávat tak, že rozdíl je alespoň 4000.
29. Hráči A a B střídavě obarvují pole tabulky 4 × 4. Prohrává ten hráč, který jako první
získá obarvený čtverec 2 × 2. Který hráč má vyhrávající strategii?
30. Hráči A a B střídavě nahrazují hvězdičky v rovnici x4 + ∗x3 + ∗x2 + ∗x + ∗ = 0 celými
čísly dle svého výběru. Hráč A vyhraje, jestliže výsledná rovnice nemá celočíselný kořen.
Jinak vyhraje B. Kdo má vítěznou strategii?
31. Dva hráči střídavě odebírají kameny ze dvou hromádek o a a b kamenech. Na počátku
je a > b. Tah spočívá v odebrání násobku kamenů jedné hromádky ze druhé. Vyhrává
ten hráč, která odebere poslední kámen z některé hromádky. Ukažte: a) Jestliže a > 2b,
potom má hráč A vyhrávající strategii. b) Pro která α má hráč A vyhrávající strategii,
jestliže a > αb?
32. Hráč A obarvuje pole tabulky 2n × 2n. Poté hráč B umísťuje domina 1 × 2 na tabulku
tak, že pokrývá dvě pole, z nichž jedno je obarvené. Hráč A vyhraje, jestliže je nakonec
bezezbytku pokryta tabulka domina 1 × 2, jinak vyhraje B. Který z hráčů má vyhrávající
strategii?
33. Každé hraně mnohostěnu s 1997 vrcholy je přiřazeno jedno z čísel +1 nebo −1. Ukažte,
že pak existuje vrchol tohoto mnohostěnu s vlastností, že součin čísel na všech hranách
vycházejících z tohoto vrcholu je +1.
34. Na tabuli jsou napsáni všichni přirození dělitelé přirozeného čísla N . Dva hráči A a B
hrají hru, při které se střídají na tazích. V prvním tahu hráč A smaže číslo N . Bylo-li
naposled smazáno číslo d, v následujícím tahu je nutno smazat buď dělitele, nebo násobek
čísla d. Hráč, který nemůže táhnout, prohrává. Určete všechna čísla N , pro která hráč A
může vyhrát nezávisle na tazích hráče B. (MEMO 2010)
3