Diplomová práce

Transkript

Diplomová práce

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE
Fakulta životního prostředí
Diplomová práce
Digitální model terénu povodí Modrava 2
Petr Bašta
Vedoucí práce: Ing. Petr Máca, Ph.D.
Obor: Environmentální modelování
Květen 2008
ii
Prohlášení
Prohlašuji, že jsem celou diplomovou práci na téma „Digitální model terénu povodí
Modrava 2“ vypracoval samostatně za použití uvedené literatury a podle pokynů
vedoucího diplomové práce.
V Praze dne 19. května 2008
……………………………….
Petr Bašta
iii
Poděkování
Na tomto místě bych rád poděkoval zejména vedoucímu mé diplomové práce, Petru
Mácovi, za cenné rady, trpělivost a shovívavost. Dále všem, kteří se podíleli na měření
cenných dat v terénu, za ohromný kus odvedené práce a ještě větší odhodlání. Vojtovi
Bartákovi za přínosný dialog a svému bratrovi za inspiraci k vizuelní podobě této práce. A
v neposlední řadě své rodině a přátelům za velkou podporu. Můj dík patří vám všem.
iv
Diploma thesis
Digital terrain model of the basin Modrava 2
Abstract
Presented MSc. Thesis „Digital terrain model of the basin Modrava 2“ is aimed on
analysis of digital terrain model in coarse scale and resolution. The first part of this study
analyzes digital elevation data sources and their structure, common interpolation
techniques for DTM’s generation, DTM’s error, and digital terrain analysis with their
applications and outputs. The next part describes the topografic data set extraction in the
research site – the experimental basin Modrava 2 in Sumava mountain area (in
southwestern Bohemia). Finally, the focus was on interpolation of DTM of the research
area, local terrain analysis, and the impact of interpolation techniques, DEM structure and
its resolution on topographic attributes. For DTM’s generation the technics of arithmetical
mean and IDW were used, and orthogonal and hexagonal grids were produced. Flow paths,
slope, aspect, and watershed were determined. These attributes are displayed with images
and some databases. The results show that more accurate DTM is produced by IDW, and
DEM resolution has a great influence on terrain attributes.
v
Obsah
Obsah
1 ÚVOD ................................................................................................... 1
1.1
Struktura práce...............................................................................................1
2 DIGITÁLNÍ ANALÝZA TERÉNU. REŠERŠE A METODIKA........................... 3
2.1 Úvod do problematiky. Základní pojmy........................................................3
2.2 Digitální elevační model ................................................................................4
2.2.1
Zdroje dat pro DEM...............................................................................4
2.2.2
Datové struktury DEM...........................................................................5
2.3 Vybrané interpolační techniky pro tvorbu DEM ...........................................8
2.3.1
Aritmetický průměr..............................................................................10
2.3.2
Metoda IDW ........................................................................................10
2.3.3
Splajny, metody na bázi RBF ..............................................................12
2.3.4
Bodový Kriging ...................................................................................13
2.3.5
Polynomiální interpolace .....................................................................17
2.4 DEM jako spojitý terén. Polynomiální interpolace spojitého terénu...........18
2.4.1
Linear plane .........................................................................................19
2.4.2
Lineární interpolace .............................................................................20
2.4.3
Dvojitě lineární interpolace .................................................................21
2.4.4
Bilineární interpolace...........................................................................22
2.4.5
Bikvadratická interpolace ....................................................................22
2.4.6
Kubická interpolace „po částech“........................................................23
2.4.7
Bikubická interpolace ..........................................................................24
2.4.8
Bikvintická interpolace (interpolace 5. stupně) ...................................25
2.5 Kvalita DEM. Úspěšnost interpolačních technik.........................................26
2.5.1
Verifikace interpolačních technik ........................................................26
2.5.2
Kvalita DEM........................................................................................28
2.5.3
Chyby v DEM ......................................................................................29
2.5.4
Rozlišení pravidelných mřížek DEM ..................................................30
2.6 Terénní charakteristiky povodí ....................................................................30
2.6.1
Primární terénní charakteristiky...........................................................31
2.6.2
Sekundární terénní charakteristiky ......................................................35
2.7 Odtokové algoritmy .....................................................................................35
2.7.1
D8.........................................................................................................36
2.7.2
Rho 8....................................................................................................37
2.7.3
Lea .......................................................................................................38
2.7.4
Metody vícesměrného odtoku..............................................................38
2.7.5
DEMON...............................................................................................38
2.7.6
D∞........................................................................................................39
3 SBĚR A PŘÍPRAVA DAT ........................................................................ 40
3.1
3.2
3.3
Popis experimentálního povodí Modrava 2 .................................................40
Sběr topologických dat ................................................................................41
Metodika přípravy topografických dat ........................................................43
vi
Obsah
3.3.1
Výpočet souřadnic bodů polygonového pořadu ..................................43
3.3.2
Transformace souřadnic bodů tachymetrie..........................................45
3.4 Úvod do R....................................................................................................47
4 POPIS ŘEŠENÍ ...................................................................................... 48
4.1 Systém řešení ...............................................................................................48
4.2 Verifikace interpolační techniky, výpočet parametrů..................................49
4.3 Generování pravidelné sítě DEM ................................................................51
4.3.1
Ortogonální síť.....................................................................................52
4.3.2
Hexagonální síť....................................................................................53
4.4 Odtokový algoritmus ...................................................................................54
4.4.1
Směr odtoku.........................................................................................54
4.4.2
Sklon ....................................................................................................55
4.4.3
Aspekt ..................................................................................................55
4.5 Vymezení území povodí ..............................................................................56
4.6 Charakteristiky TCA ...................................................................................57
4.7 Rozvodnice, údolnice...................................................................................58
4.7.1
Rozvodnice ..........................................................................................58
4.7.2
Údolnice...............................................................................................59
5 VÝSLEDKY.......................................................................................... 60
5.1 Výsledky zpracování naměřených dat .........................................................60
5.1.1
Polygonový pořad ................................................................................60
5.1.2
Zpracování tachymetrie .......................................................................62
5.2 Verifikace interpolačních metod..................................................................62
5.2.1
Interpolační metoda aritmetického průměru........................................62
5.2.2
Interpolační metoda IDW ....................................................................69
5.3 Sítě DEM .....................................................................................................76
5.3.1
Ortogonální síť.....................................................................................76
5.3.2
Hexagonální síť....................................................................................76
5.3.3
Porovnání sítí typu AP a IDW .............................................................77
5.4 Primární charakteristiky...............................................................................80
5.4.1
Sklon ....................................................................................................80
5.4.2
Aspekt a směr odtoku ..........................................................................85
5.4.3
Vymezení povodí. Rozvodnice............................................................88
5.4.4
Údolnice...............................................................................................91
5.4.5
Rozloha vymezeného povodí...............................................................92
6 DISKUZE ............................................................................................. 95
6.1
6.2
Reprezentace terénu .....................................................................................95
Analýza primárních charakteristik terénu....................................................99
7 ZÁVĚR .............................................................................................. 103
8 POUŽITÁ LITERATURA....................................................................... 105
9 PŘÍLOHY ........................................................................................... 107
vii
1 Úvod
1 Úvod
Studijní obor Environmentální modelování na Fakultě životního prostředí České
zemědělské university jsem si vybral z důvodu svého zájmu o přírodní vědy, zejména pak
o hydrologii. Chtěl jsem proniknout do teorie modelování přírodních procesů
odehrávajících se v prostředí kolem nás, a mimo to poznat také praktickou stránku celé
věci. Zaměření mé diplomové práce je proto logickým vyústěním zmíněných aspektů.
Proč právě digitální model terénu? Velkou výzvou a motivací je pro mě spojení práce
v terénu s prací na modelu, který bude možno uplatnit v praxi napříč mnoha obory, o které
se zajímám – vedle již zmíněné hydrologie jde především o geografii a kartografii, ale i
další. Jen v samotné hydrologii nachází digitální model terénu široké spektrum uplatnění
z důvodu své schopnosti jednoduše a efektivně reprezentovat prostorově distribuované
charakteristiky povodí.
Mým prvotním cílem bylo vytvořit základní aplikaci, která by umožňovala
z topografických dat získaných kdekoli v terénu vytvořit jeho kvalitní digitální
reprezentaci, na níž by bylo posléze možné analyzovat nejrůznější terénní charakteristiky,
ať už pro hydrologické účely, či pro účely jiných vědních disciplin.
Za největší úspěch diplomové práce považuji, že se podařilo dokončit celý proces od
prvotního sběru dat v experimentálním povodí Modrava 2 přes zpracování těchto dat a
vytvoření digitální reprezentace terénu až po jeho konečnou analýzu, jejímž výstupem jsou
konkrétní hodnoty terénních charakteristik pro toto povodí.
1.1 Struktura práce
Text diplomové práce je rozdělen do několika kapitol. Druhá kapitola nazvaná
Digitální analýza terénu, rešerše a metodika se zabývá komplexní analýzou problematiky
digitálního modelu terénu a jeho souvislostí. Obsahuje využívané druhy digitální
reprezentace terénu, následuje rešerše nejpoužívanějších interpolačních technik, na jejichž
základě tato reprezentace vzniká. Dále se kapitola zabývá modely terénu z hlediska kvality,
popisem důležitých charakteristik terénu se zaměřením na hydrologické uplatnění a
poslední část kapitoly je věnována stručným popisům odtokových algoritmů, které jsou
základem k analyzování terénních charakteristik.
Třetí kapitola s názvem Sběr a příprava dat se zabývá postupem při měření v terénu
a přípravou naměřeného vzorku dat pro potřeby digitální analýzy terénu.
1
1 Úvod
Čtvrtá kapitola nazvaná Popis řešení obsahuje popis algoritmů použitých při tvorbě
digitálního modelu terénu z připravených dat a rovněž algoritmů určených pro vlastní
digitální analýzu zaměřeného území.
Pátá kapitola pak přináší vyhodnocení a srovnání úspěšnosti interpolačních technik
použitých ke tvorbě digitální reprezentace terénu, a dále veškeré výsledky digitální analýzy
terénu, jejich srovnání a příslušné komentáře týkající se vlivu použité interpolační
techniky.
Diskuze je předmětem šesté kapitoly. Její snahou je především uvedení všech
výstupů diplomové práce do vzájemných souvislostí, zhodnocení vlivů, které se na
výsledcích podepsaly, a možné návrhy na další rozvoj projektu. Následuje kapitola Závěr
s celkovou rekapitulací postupu řešení, shrnutím výsledků diplomové práce a popisem
záměru na její další rozvoj, a Seznam literatury.
Důležitou částí dokumentu jsou Přílohy. Obsaženo je zde několik vybraných obrázků
reprezentujících důležité výstupy ve velkém formátu, a dále skripty jednotlivých algoritmů
využitých v diplomové práci.
2
2 Digitální analýza terénu. Rešerše a metodika
2
Digitální analýza terénu. Rešerše a metodika
2.1 Úvod do problematiky. Základní pojmy
Všechny procesy, jež kvantitativně popisují terén, nazýváme digitální analýzou
terénu (Digital Terrain Analysis, DTA). K tomuto účelu je využíván digitální model terénu
(Digital Terrain Model, DTM) a digitální elevační model (Digital Elevation Model, DEM).
Digitální model terénu lze charakterizovat jako uspořádané pole číselných hodnot, které
představují kvantifikaci charakteristik terénu v libovolných bodech geografického povrchu
[Moore et al., 1991]. V praxi se využívá celá řada výpočetních aplikací založených na
DTM, zejména v geomorfologii, povrchové hydrologii, hydropedologii, při modelování
eroze, v kartografii, zemědělství, ekologii, biologii a při mnohých dalších aplikacích
[Moore et al., 1991; Ziadat, 2007; aj.]. Aplikace zaměřené na hydrologické modelování
analyzují prostřednictví DTM např. hodnoty různých terénních charakteristik
specializovaných na srážko-odtokové modely – sklonitost terénu apod. [Moore et al.,
1991].
Digitální elevační model (DEM) je podmnožinou DTM; jde o jeho konkrétní případ,
kdy číselné hodnoty v poli reprezentují jednotlivé výšky v daných bodech. Jde tedy o
model topografický, který prostřednictvím diskrétních bodů reprezentuje topografii
zemského povrchu. Výška je funkcí geografické polohy [O’Callaghan and Mark, 1983, in
Moore et al., 1991]. Podoba DEM může být rozličná: jednotlivé hodnoty mohou
představovat výšky v diskrétních bodech terénu, nebo mohou zastupovat jakousi
průměrnou výšku na předem specifikované části terénu – záleží na konkrétních modelech a
jejich specifikacích [Moore et al., 1991]. Digitální elevační model je základem pro veškeré
analýzy topografických charakteristik na povodí.
V některých zdrojích [např. Hengl et al., 2003] jsou však pojmy digitálního
elevačního modelu a digitálního modelu terénu brány jako synonyma s významem
klasického digitálního elevačního modelu dle výkladu Moora et al. [1991], viz výše.
Zkratku DTM naproti tomu Hengl et al., [2003] vyčleňují pro pojem digitálního
modelování terénu (Digital Terrain Modelling), což je obor, který zahrnuje veškeré
techniky pro tvorbu digitálních elevačních modelů.
Terénní charakteristiky (nebo parametry) jsou konkrétní kvantifikátory, jež z různých
hledisek popisují terén. Jsou odvozeny přímo z digitálního elevačního modelu. Příkladem
je již zmíněná sklonitost terénu.
3
2.2 Digitální elevační model
2.2.1
Zdroje dat pro DEM
Hlavním zdrojem dat pro DEM je fotogrammetrie zemského povrchu [Moore et al.,
1991]. Jedná se o způsob dálkového snímání zemského povrchu z letadla nebo družice.
Přesnost této techniky je velmi vysoká, v případě leteckého snímání je uváděna přesnost
v intervalu 0,1 až 1 m, v případě snímání povrchu z družice pak 10 až 20 m [Hengl et al.,
2003]. Principem je zachytit jednotlivé objekty na povrchu Země z několika různých pozic
(v nejjednodušším případě alespoň ze dvou). To znamená, že daný objekt je snímán vždy
pod jiným úhlem, který odpovídá orientaci snímače (kamery). Přesnou polohu snímače i
jeho orientaci známe; dále je známa i tzv. vnitřní orientace snímače, tj. geometrické
vlastnosti optické soustavy, např. aktuální ohniskovou vzdálenost nebo zakřivení optických
čoček. Na fotografiích má zachycený objekt své 2-D souřadnice. Ze všech uvedených
údajů tedy lze následně vyhodnotit přesnou polohu objektu ve 3-D souřadnicích, k čemuž
bývá obvykle využívána technika stereoskopie. Stereoskopie je metoda, při níž je u 2-D
obrazu docílena iluze 3-D obrazu, a to díky projekci odlišných obrazových vjemů do
každého oka. Tuto techniku představil v roce 1840 sir Charles Wheatstone a její přední
uplatnění je právě ve fotogrammetrii. Složením více 2-D obrázků zemského povrchu
získaných metodou fotogrammetrie obdržíme vícerozměrný soubor vstupních dat, který je
následně skenován specializovanými 3-D skenery uzpůsobenými k rozlišení 3-D
informací, čímž docílíme 3-D vizualizace.
Nejpřesnější metodou je však sběr dat přímo v terénu; tachymetricky prostřednictvím
totální stanice nebo využitím globálních polohových systémů (Global Possitioning
Systems, GPS). Zvláště totální stanice umožňuje docílení špičkové přesnosti naměřených
dat, v nejlepším případě až 0,001 m, na delší vzdálenosti max. 1 m [Hengl et al., 2003].
Tímto způsobem bylo zmapováno i území experimentálního povodí Modrava 2. Velmi
přesných výsledků lze docílit i použitím technologie diferenčních GPS (DGPS). Princip
DGPS spočívá v tom, že využíváme najednou dvou přijímačů GPS. Jeden, základnový,
umístíme na bod o známých souřadnicích a vytvoříme tím tzv. referenční stanici. Druhý
přijímač GPS představuje pracovní stanici a s ním obcházíme určované body. Na
referenční stanici přijímáme data z družic GPS a určujeme tak nepřetržitě polohu této
stanice. Takto získanou polohu porovnáváme s předem známou přesnou polohou
referenční stanice a rozdíl obou hodnot určuje korekce DGPS, které zpřesní určení polohy
pracovní stanice. Při použití nejkvalitnějších přijímačů GPS lze dosáhnout až centimetrové
přesnosti, maximální odchylka bývá 1 m [Chamout and Skála, 2003; Hengl et al., 2003].
Nevýhoda takového způsobu získávání dat je nutnost projít detailně danou oblast, což
může být kupříkladu u rozlehlého povodí problém, a v případě techniky DGPS také
možnost absence referenční stanice. Síť referenčních stanic v České republice se teprve
vyvíjí a dokončena je zatím pouze v Praze a okolí, přičemž dosah jedné referenční stanice
je obvykle do 30 km. Další nevýhodou těchto dvou metod jsou vysoké finanční náklady.
4
Rozšířené jsou i další metody získávání dat, např. skenování povrchu technikou
radarové interferometrie (letecky – přesnost 0,5 až 2 m, z družice – přesnost 10 až 25 m)
nebo laserová altimetre (laserové snímání zemského povrchu z letadla, přesnost 0,2 až 1 m,
výhodou je navíc možnost snímat objekty na povrchu země – budovy, energetické sítě,
vegetační pokryv apod.) [Hengl et al., 2003].
Data pro pravidelné sítě DEM (viz níže) lze získat i digitalizací topografických map
s výškovými ekvipotenciálami (vrstevnicemi). U této metody však musíme počítat s tím, že
odchylky výšek bodů takto vytvořeného DEM budou plně závislé na kvalitě zdrojové
mapy – oproti situaci, kdy zdrojem pro DEM jsou data přímo z terénu. Přesnost se uvádí
jako polovina intervalu dvou sousedních výškových ekvipotenciál. Velikou výhodou je ale
jejich dobrá dostupnost. [Ziadat, 2007].
2.2.2
Datové struktury DEM
Data pro DEM se strukturují různými způsoby. Každý typ strukturování je odlišný a
vyhovuje jiným potřebám a odlišným výpočetním algoritmům. Rozlišujeme tři základní
metody, jak strukturovat soubor výškových dat pro DEM: (1) pravidelná síť bodů (regular
grid), (2) trojúhelníková nepravidelná síť bodů (triangulated irregular network, TIN), a (3)
liniově strukturovanou síť (contour-based network) [Moore et al., 1991]. Dle Barnhilla
[1983, in Hengl et al., 2003] lze data DEM dělit dle jiného přístupu, do dvou tříd: (i) tzv.
patch surface (z angl. patch, ploška), kde povrch je složen z miniaturních zakřivených
plošek, které na sebe hladce navazují, a (ii) bodové schéma, jež sestává z diskrétních bodů.
Zaměřme se na členění typů struktur DEM na tři kategorie dle Moora et al. [1991].
(a)
(b)
(c)
Obr. 2.1 Metody strukturování výškových dat. (a) pravidelná ortogonální (čtvercová) síť,
(b) nepravidelná trojúhelníková síť, TIN, (c) liniově strukturovaná síť.
Zdroj. Moore, Grayson, and Ladson (1991) – Digital terrain modeling: A review of hydrological,
geomorphological, and ecological applications. Hydrological Processes 5: 3–30.
Copyright © 1991 by John Wiley and Sons Ltd.
Pravidelná síť (Regular grid)
5
Pravidelná síť (Regular grid)
Jde o pravidelně rozvrženou síť diskrétních bodů o rovinných souřadnicích x, y, a
výšce z. Spojnice bodů tvoří pravidelnou mřížku. Každý bod v mřížce má tedy přiřazeny
kartézské souřadnice x, y, z, jež jednoznačně specifikují přesnou polohu bodu ve 3-D
prostoru. Výška je uváděna buď jako absolutní (nadmořská), nebo relativní (vztažená ke
stanovené srovnávací hladině).
Hustota vrcholů by měla být natolik vysoká, aby dokázala zachytit co nejmenší
terénní nerovnosti, jež už by mohly ovlivňovat sledovanou veličinu, např. odtoky z povodí,
avšak s narůstající jemností sítě bodů roste i výpočetní náročnost.
Tento typ strukturování DEM dále dělíme dle rozvržení bodů v mřížce. Body
v pravidelné mřížce mezi sebou tvoří oka, tzv. buňky. Podle tvaru těchto buněk,
ohraničených zpravidla třemi nebo čtyřmi vrcholovými body, pak rozlišujeme pravidelné
mřížky na (1) ortogonální a (2) neortogonální. Do ortogonálních řadíme mřížky (a) se
čtvercovými buňkami (square-grid networks), a (b) obdélníkovými buňkami (rectangulargrid networks); mezi ty neortogonální pak mřížky (c) s buňkami čtyřhrannými, u nichž
vrcholový úhel sice není pravý, ale je neměnný (regular angular grid networks), a konečně
mřížky (d) s buňkami tvaru pravidelného trojúhelníku (regular triangular networks).
(a)
(b)
(c)
(d)
Obr. 2.2 Ukázky pravidelných sítí DEM: (a) ortogonální čtvercová, (b) ortogonální obdélníková, (c)
neortogonální čtyřhranná, (d) pravidelná trojúhelníková (hexagonální).
Ortogonální typ mřížek lze velmi jednoduše popsat dvourozměrnou maticí obsahující
pro každé křížení i-tého řádku a j-tého sloupce údaj o z-ové souřadnici, která představuje
výšku konkrétního bodu o poloze x = x0 + i.a, y = y0 + j.b, kde a, b jsou pravidelné
intervaly ve vzájemné vzdálenosti dvou sousedních bodů v řadě a sloupci a x0, y0 jsou
rovinné souřadnice rohu mřížky, ke kterému vztahujeme polohu ostatních bodů. Je-li navíc
a = b, jde o čtvercovou mřížku. Často se setkáme s termínem rozlišení DEM (DEM
resolutin), což je interval vzdálenosti dvou sousedních bodů v mřížce (zde a, b).
Je to právě struktura čtvercové mřížky, jež se stala celkově nejužívanější datovou
strukturou DEM, a to v rámci všech datových struktur, které jsou uvedeny v této sekci.
Mezi hlavní důvody patří především relativně jednoduchá implementace výpočetních
6
algoritmů založených na tomto typu datové struktury, a taktéž velice příznivá výpočetní
složitost [Collins and Moon, 1981, in Moore et al., 1991]. Toto s sebou však nese i
nevýhody: (1) čtvercová síť bodů (a pravidelně rozvržená síť obecně) nemůže zachytit
veškeré terénní nerovnosti a náhlé výškové zvraty v terénu, speciálně se to týká plochých
míst mapovaného segmentu zemského povrchu [Moore et al., 1991]; a stejně tak nemůže
ani zcela přesně popsat průběh údolnice či hřebene, takže pak vznikají výškové
disproporce. (2) Velikost buněk v mřížce (tzn. rozlišovací schopnost mřížky) má vliv na
konečné výsledky výpočtů založených na této síti bodů; ovlivněna je i velikost datového
souboru s DEM a s tím spojená výpočtová náročnost [Panuška et al., 1990, in Moore et al.,
1991]. (3) Další nevýhoda spočívá v nerealistickém průběhu vypočtených odtokových cest
[Moore et al., 1991], což je způsobeno omezeným počtem směrů, kterými může vodní tok
plynout; v případě čtvercové mřížky je jich osm. (4) S tím úzce souvisí i nepřesnosti ve
výpočtech ploch povodí [Zevenbergen and Thorne, 1987, in Moore et al., 1991].
Nepravidelná trojúhelníková síť (Irregular Triangulated Network, TIN)
Nepravidelná trojúhelníková síť bodů je pro DEM využívána rovněž ve velké míře.
Jde o soubor nepravidelně rozmístěných bodů, tzv. uzlů, jež jsou podle určitých zákonitostí
vzájemně propojeny pomyslnými úsečkami tak, aby tyto úsečky celou oblast
fragmentovaly na jednotlivé trojúhelníkové buňky. Tyto trojúhelníky jsou elementárními
ploškami celé struktury TIN, přičemž každé tři vrcholy těchto trojúhelníků náleží do
množiny výchozích bodů [Moore et al., 1991]. Struktura TIN může být sestavena i
z pravidelných sítí bodů, ovšem nejlepší výsledky získáme, tvoří-li datový vstup pro TIN
body umístěné nezávisle na jejich půdorysném rozvržení tak, aby svou polohou co nejlépe
vystihovaly důležité terénní charakteristiky a trendy daného místa – vrcholy, hřebeny,
údolnice, zlomy ve sklonitosti svahů apod. Oproti pravidelným sítím nám v tomto případě
nestačí uvést ke každému bodu TIN pouze jeho kartézské souřadnice x, y, z. Neméně
podstatým údajem je zde navíc seznam sousedních bodů v síti, se kterými sdílí řešený bod
společnou hranu [Moore et al., 1991].
Existuje celá řada algoritmů na tvorbu TIN; např. Delauneyova triangulace, kterou se
zabýval Weibel a Heller, 1991.
Porovnáme-li principy datové struktury TIN a struktury pravidelných sítí, dojdeme
k závěru, že technice TIN se mnohem lépe daří minimalizovat výškové disproporce a
nepřesnosti. Je to dáno podstatou obou metod; zatímco TIN má své body pouze na místech
důležitých pro charakteristiku terénu z hlediska morfologie, v případě pravidelné sítě bodů
jsou buňky mřížky unifikované a poloha jednotlivých bodů je tedy dána předem, bez
ohledu na terénní zlomy apod. Další nespornou výhodou datové struktury TIN je fakt, že
v případě členitějšího terénu lze libovolným způsobem zvýšit hustotu bodů, z nichž TIN
vzejde, a naopak [Moore et al., 1991]. Nevýhodou je ovšem obtížnější implementace.
7
Liniová síť (Contour-based network)
Tento koncept strukturování dat pro DEM je založen na digitalizovaných obrysových
liniích popisujících jistý trend; proto bývá také nazýván digitálním liniovým grafem
(digital line graph, DLG). Celá struktura je složena ze dvou typů linií. Jsou to linie (1)
výškově ekvipotenciální, které označujeme jako vrstevnice; ty jsou popsány definovanými
body o rovinných souřadnicích x, y, a představují specifikovanou stálou výšku. (2) Linie
toků (tzv. streamlines), popř. hřebenové linie, jež jsou ortogonální k typu (1); opět jsou
popsány definovanými body o rovinných souřadnicích x, y, ovšem jejich výška je
proměnná. Tímto způsobem je sledovaný povrch rozdělen oběma typy linií do malých
nepravidelných polygonů [Moore et al., 1991].
Takto strukturovaná data pro DEM mají největší uplatnění především
v hydrologických aplikacích. Umožňují totiž přesně sledovat průběh jednotlivých toků,
orientaci svahů apod., datová struktura navíc umožňuje zjednodušit složité 3-D rovnice
popisující odtokové cesty na soustavu provázaných 1-D rovnic [Moore et al., 1991].
Implementace jednotlivých algoritmů je ovšem složitější než třeba v případě pravidelných
sítí.
2.3 Vybrané interpolační techniky pro tvorbu DEM
Obsahem této sekce je popis vybraných interpolačních technik. Interpolaci lze
definovat jako proces predikce hodnot jisté veličiny v požadovaném místě, a to na základě
hodnot naměřených v bodech situovaných ve specifikovaném okolí tohoto místa [Peralvo,
2002]. Díky interpolačním technikám tak lze z dostupných bodů o známých hodnotách
sledované veličiny provést odhady hodnot v bodech neznámých. Uplatnění je široké:
výsledkem sběru dat některou z technik uvedených v sekci 2.2.1 je obvykle soubor bodů
nepravidelně rozmístěných ve 3-D prostoru (R3), většina hydrologických aplikací
založených na DEM však pro své výpočty využívá pravidelné sítě bodů. Pokud je
nepravidelná struktura naměřených dat pro některou z aplikací nežádoucí, lze tuto
strukturu přetvořit na pravidelnou, a to prostřednictvím interpolace nových bodů v místech,
která vyhovují zvoleným požadavkům pravidelného rozvržení.
Rozlišujeme interpolační techniky (1) deterministické a (2) geostatistické.
Deterministické interpolační metody využívají ke svým výpočtům matematické funkce a
obecně jsou založeny buď na stupni podobnosti vypočtených hodnot (např. metoda IDW)
nebo na stupni vyhlazení (např. metoda RBF) ve vztahu k měřeným hodnotám sousedních
vzorových bodů. Geostatistické interpolační techniky k predikci užívají matematické i
statistické metody a navíc poskytují pravděpodobnostní odhady kvality provedené
interpolace, které se provádějí na základě prostorové autokorelace mezi jednotlivými body
[Burrough and McDonnell, 1998, in Peralvo, 2002]. Příkladem může být Kriging.
8
Interpolační techniky jsou dále klasifikovány dle šíře svého působení. Rozlišujeme
interpolace (1) lokální a (2) globální [Barnhill, 1983, in Hengl et al., 2003]. Lokální
interpolace při svých odhadech využívá pouze dat naměřených v definovaném okolí
odhadovaného bodu, které je menší než rozloha celé řešené oblasti (příkladem jsou metody
IDW a RBF či interpolace lokálním polynomem – viz níže). Výstupem tohoto typu
interpolace pro celou řešenou oblast je tedy soubor prostorově distribuovaných hodnot
odhadované veličiny. Výpočetní náročnost takového algoritmu je proporcionálně rovna n,
kde n je celkový počet bodů v modelu. Globální interpolační techniky naproti tomu
využívají všech dostupných dat najednou a výstupem jsou odhady jedné hodnoty
parametru pro celou řešenou oblast. Tento typ interpolace se využívá k odhadům
globálních proměnných, na něž mají vliv např. fyzikální trendy daného prostředí
[Burrough and McDonnell, 1998, in Peralvo, 2002]. Globální metoda je ale v některých
zdrojích [Hutchinson, 1989a, in Moore et al., 1991] chápána i tak, že všech nebo velké
většiny bodů je využito k interpolaci nikoli jedné hodnoty zastupující celou oblast, ale
všech bodů o neznámé hodnotě. V tomto pohledu má tato metoda výhodu zachování
spojitosti modelu, nevýhodou je vysoká výpočetní náročnost – proporcionálně n3.
Dalším kritériem pro klasifikaci interpolačních metod je povaha odhadů vůči
vstupním měřeným datům. Rozlišujeme interpolace (1) exaktní (přesné) a (2) inexaktní
(nepřesné). Zatímco exaktní metoda podává odhady hodnot srovnatelné s měřenými daty,
odhady získané inexaktní metodou se od měřených vzorových dat liší. V takovém případě
se rozdíly odhadovaných a měřených dat statisticky analyzují a na základě toho se
vyhodnocuje odhad kvality modelu [Burrough and McDonnell, 1998, in Peralvo, 2002].
Jsou-li dány body xi, yi, zi pro i = 1, 2,…, n na určité oblasti R3, potom existuje
funkce
z = f(x, y),
(2.1)
jejímž výstupem je odhad úrovně povrchu (z) ve všech bodech (x, y) dané oblasti
[Peckham and Jordán, 2007 aj.]. Toto je obecný model všech interpolačních technik. Platí
tedy, že výška daného bodu je závislá na jeho rovinných souřadnicích x, y. V takovém
případě mluvíme o interpolaci závislé pouze na jedné proměnné (univariable
interpolation), a tou je poloha místa [Bartier et al., 1996].
Rozlišujeme však i takové interpolační techniky, při nichž do odhadu veličiny
z vstupují i další neznámé. Interpolační funkce má pak tvar
z = f(x, y, v1,…, vm),
(2.2)
a v takovém případě se jedná o interpolaci závislé na více proměnných (multivariable
interpolation) [Bartier et al., 1996]. Dalšími proměnnými jsou zde veškeré veličiny, jež
utvářejí chování veličiny z.
9
V diplomové práci využívám dvě základní interpolační techniky: (1) techniku
provedení odhadů pomocí aritmetického průměru (popsanou v sekci 2.3.1), a (2) techniku
IDW (obsaženou v sekci následující). Protože ale do budoucna počítám s využitím dalších
interpolačních technik, věnuje se tato kapitola také jim.
2.3.1
Aritmetický průměr
Jde o metodu exaktní, lokální, deterministickou; nejjednodušší svého druhu. Odhad
výšky z v interpolovaném bodě p0 = (x, y) je dán rovnicí
zˆ( p0 ) =
1 n
∑ z( pi ) ,
n i =1
(2.3)
kde z(pi) představuje výšku i-tého vzorového bodu pi užitého při interpolaci; i = {1; 2;…;
n}. Zbývá vymezit okolí interpolovaného bodu, z něhož bude pocházet vzorek bodů
použitých pro tento odhad.
V nejjednodušším možném případě je z(p0) = z(p1), kde p1 je bod situovaný nejblíže
k místu odhadované výšky z(p0). Tento způsob není pro tvorbu DEM zcela vhodný,
protože vede ke tvorbě plošin (více bodů o stejných výškách vedle sebe), což
v hydrologických aplikacích způsobuje řadu komplikací (např. při řešení odtokových
algoritmů).
2.3.2
Metoda IDW
Jde o odhad parametru metodou vážených průměrů hodnot naměřených v bodech
z definovaného okolí bodu interpolovaného [Bartier et al., 1996]; váhy jsou
reprezentovány inverzemi vzdáleností bodů od místa odhadovaného parametru. Jde o
metodu exaktní, lokální, deterministickou. Užívaná zkratka metody IDW pochází
z anglického výrazu inverse distance weighted.
Základní rovnice pro metodu IDW je
n
zˆ( p0 ) = ∑ λi z( pi ) ,
(2.4)
i =1
kde z(p0) představuje odhad výšky interpolovaného bodu p0, z(pi) reprezentuje výšku itého vzorového bodu pi a λi je váha, která přiřazuje hodnotě z(pi) poměrnou důležitost při
procesu interpolace, tzn. jakou měrou ovlivní výška z(pi) výsledný odhad výšky z(p0).
Výpočet váhy se řídí rovnicí
λi =
wi
n
∑w
i =1
.
(2.5)
i
10
Rozlišujeme dva základní způsoby, jak stanovit hodnotu wi. V prvním případě lze
definovat wi = 1 pro n bodů umístěných nejblíže k bodu, který interpolujeme, nebo pro ty
body, jejichž vzdálenost od interpolovaného bodu je menší než určitá vzdálenost r; ve
všech ostatních případech bude wi = 0.
Druhý způsob ohodnocení vlivu jednotlivých bodů na výsledný odhad v bodě
interpolovaném je založen na inverzních vzdálenostech. Čím blíže k interpolovanému bodu
se vzorový bod nachází, tím větší váhu získá. Hodnota wi je dána rovnicí
wi = d0−,βi ,
(2.6)
kde d0,i je vzdálenost mezi body p0 a pi, β je exponent definovaný uživatelem. Sloučením
rovnic (2.4), (2.5) a (2.6) obdržíme tvar
n
zˆ( p0 ) =
∑ z( p ) d
−β
0 ,i
i
i =1
n
∑d
i =1
;
(2.7)
−β
0 ,i
[Bartier et al., 1996]. Zápornost exponentu β způsobuje inverzi délek. Dále platí
n
∑λ
i
= 1.
(2.8)
i =1
Výsledný odhad je tedy závislý na (1) počtu n měřených bodů, které jsou použity
v procesu interpolace, a (2) na hodnotě exponentu β. Počet bodů je obvykle volen
z intervalu od jednoho do třiceti, exponent pak z intervalu od jedné do pěti. Konkrétní
hodnoty obou parametrů je třeba zvolit tak, aby interpolační technika poskytovala co
nejlepší odhady. Volba jejich hodnot se provádí na základě výsledků procesu kalibrace
parametrů IDW, který je tedy nutno provést před vlastním procesem interpolace. Proces
kalibrace parametrů interpolační techniky se provádí tak, že si pro každý bod ze souboru
naměřených dat vypočteme odhady jejich výšek, a to na základě všech kombinací hodnot
parametrů n a β. Je-li n = (1; 2; …; 30) a β = (1; 2; …; 5), získáme celkem 150 hodnot
odhadů výšek pro každý naměřený bod. Vybrány jsou potom takové kombinace hodnot
parametrů n a β, jejichž odhady poskytují celkově nejlepší odhady. Nejlepší kombinaci
parametrů lze odvodit buď jednu, která bude platit plošně pro celé zájmové území, nebo
(např. při členitější morfologii terénu) na základě prostorové analýzy odchylek mezi
odhady a naměřenými hodnotami vytvořit distribuovaný model těchto parametrů měnících
se v závislosti na poloze. Toto je jeden ze způsobů verifikace interpolačních technik.
11
2.3.3
Splajny, metody na bázi RBF
Radiální bázové funkce (RBF) představují základ sady exaktních deterministických
interpolačních technik. Mezi bázové funkce řadíme funkce nazývané jako splajny. Splajny
(angl. splines) jsou funkce s velmi výhodnými vlastnostmi pro aproximaci. Jejich název
pochází z angličtiny; spline je pružné pravítko, které se užívalo při konstrukcích výkresů
lodí. Techniku splajnu si v praxi můžeme představit jako prokládání naměřených bodů
pružnou blánou tak, aby křivost takto vytvořeného povrchu byla minimální a povrch tak
byl maximálně vyhlazen. Hladkost povrchu je zde klíčovým specifikem. Přestože se jedná
stejně jako v případě metody IDW o exaktní interpolační techniku, technika splajnů
umožňuje provést i odhady, jejichž hodnoty se pohybují mimo rozpětí vstupních hodnot –
odhad může být vyšší než maximální, resp. nižší než minimální naměřená hodnota použitá
k interpolaci.
Mezi splajny užívané pro interpolaci terénu řadíme Thin Plate Spline [Duchon,
1976], Thin Plate Spline with Tension [Franke, 1985; Mitáš and Mitášová, 1988; Hofierka
et al., 2002], Regularized Thin Plate Spline [Mitáš and Mitášová, 1988], Regularized
Spline with Tension [Mitáš and Mitášová, 1993; Mitášová and Hofierka, 1993; Mitáš and
Mitášová, 2005], aj.
Pro názornost popíšu funkci splajnu na dvojrozměrné reprezentaci prostoru, kde
polohu bodů představuje hodnota x. Obyčejným splajnem řádu k pro body p1,…, pn o
poloze x0 < x1 < … < xn se nazývá funkce, která je na každém intervalu 〈xi; xi+1〉, i = {1;
2;…; n – 1}, polynomem stupně nejvýše k a která má na celém intervalu 〈x0; xn〉 spojité
derivace až do řádu k – 1 [Segethová].
Při použití obyčejného splajnu o řádu k > 1 k interpolaci funkce zadané v bodech
p1,…, pm+1, nejsou tyto splajny takovými hodnotami určeny jednoznačně. Je-li m počet
intervalů 〈xi; xi+1〉, tj. m = n – 1, je každý splajn řádu k určen jednoznačně m(k + 1)
parametry. Přitom pro interpolaci obyčejným splajnem je dáno m + 1 interpolačních
podmínek a (m – 1)k podmínek pro spojitost derivací až do řádu k – 1 v m – 1 bodech,
takže zbývá k – 1 volných parametrů [Segethová].
Odhad pomocí splajnů je lineární kombinací n bázových funkcí stanovených pro
každý z bodů p1,…, pn, z nichž je interpolace provedena. Obecná rovnice pro odhad výšky
zˆ( p0 ) v bodě p0 má tvar
n
zˆ( p0 ) = ∑ ωi Φ( ρi ) + ωn +1 ,
(2.9)
i =1
kde Φ( ρi ) je radiální bázová funkce s argumentem ρ, který je v nejjednodušším případě
roven vzdálenosti odhadovaného bodu p0 a měřeného bodu pi, tedy ρ = r0,i = ai − a0
[Peralvo, 2002]. Například u metody Regularized Spline with Tension je argument ρ dán
vztahem ρ = (φr0,i / 2) 2 , kde ϕ je tzv. tension parametr [Mitáš and Mitášová, 2005].
V následujících výpočtech však pro názornost zůstaňme u nejjednodušší interpretace, takže
12
nechť ρ = r0,i . Hodnoty ωi v rovnici (2.9) jsou váhy, které přiřazující každé bázové funkci
relativní důležitost. Jejich odvození vychází z řešení rovnice
 ω1   Φ(r1,1 )

 
 M   M
 ω  =  Φ(r )
n ,1
 n  
ω   1
 n +1  
K Φ(r1,n ) 1 

O
M
M
K Φ(rn ,n ) 1 

K
1
0 
−1
 z1 
 
 M 
z  ,
 n
0
 
(2.10)
kde i,j-tý element bázové funkce Φ(ri,j), i, j = {1, 2,…, n}, je vyčíslen pro příslušný
argument r = ai − a j , zi jsou měřená data, ωn+1 je dispoziční parametr [Peralvo, 2002].
Výpočet funkčních hodnot funkce Φ(r) se liší podle jejího konkrétního typu. Např.
funkce typu Thin Plate Spline pro výpočet svých funkčních hodnot využívá vztah
Φ(r0,i ) = (I r0,i ) ln(I r0,i ) ,
2
(2.11)
kde I je zhlazovací parametr (smooth seminorm, též rouhgness penalty), reprezentující
míru vyhlazení terénu při interpolaci. Optimální hodnota I se stanovuje minimalizací
směrodatných odchylek interpolovaných hodnot od hodnot měřených, a to dle vztahu
n
∑ z( p ) − zˆ( p )
i
i
2
wi + w0 I (Φ) = min ,
(2.12)
i =1
kde z(pi) jsou měřené hodnoty v bodech p, i = {1, 2,…, n}, zˆ( pi ) jsou odhady jejich
hodnot dle RBF, w1 a w0 jsou kladné váhové parametry [Hofierka et al., 2002; Mitášová et
al., 2005].
Zbývá vyřešit otázku, jak specifikovat okolí interpolovaného bodu, do něhož spadají
body využité při procesu interpolace, aby byl výsledný odhad optimální. Tato interpolační
technika je založena na řešení soustavy n lineárních rovnic, což z ní činí poněkud robustní
metodu v případě rozsáhlých datových setů. Je-li však interpolační funkce aplikována
lokálně, může nastat jiný problém – funkce potom není dostatečně citlivá pro pozice, které
leží již mimo rámec specifikovaného okolí interpolovaného bodu, a to má negativní vliv na
výsledný efekt vyhlazení terénu. Obecně využívaným přístupem pro splajny i Kriging (viz
sekci 2.3.4) je zvolit pro každý z interpolovaných bodů mřížky DEM okolí, které čítá 12 až
24 bodů [Mitášová et al., 2005], přičemž tento přístup může způsobit menší nespojitosti
pozorovatelné např. v mapách orientace svahu (aspektu svahu) či zakřivenosti svahů.
2.3.4
Bodový Kriging
Tato metoda je zástupcem geostatistických interpolačních technik. Teorii, jež stojí na
pozadí této interpolační (a extrapolační) techniky, vystavěl francouzský matematik
Georges Matheron na tezích Daniela Gerharduse Kriega, z jehož jména je odvozen i název
13
techniky. Bodový Kriging je nejjednodušší formou technik tohoto druhu; k odhadům
využívá diskrétních bodů. [Wikipedia – Kriging, 2008].
Obecným konceptem této metody je prostorová závislost, autokorelace jevů.
Vztaženo ke geografickému povrchu, místa situovaná blízko sebe jsou si vzájemně
podobnější než místa od sebe vzdálenější; tzn. míra podobnosti dvou bodů klesá s rostoucí
vzdáleností těchto bodů. Princip techniky Kriging je obdobný principu metody IDW i RBF
v tom smyslu, že na výsledném odhadu výšky neznámého bodu se okolní měřené body
podílejí takovou měrou, kterou jim uděluje příslušná váha. Hodnota váhy závisí na
prostorovém uspořádání bodů použitých k interpolaci. Toto uspořádání je kvantifikováno
dle míry zmíněné prostorové autokorelace mezi těmito body. Kriging poskytuje nejlepší
nestranný lineární odhad interpolované veličiny, umožňuje minimalizaci rozptylu
směrodatných odchylek odhadu, a střední hodnota těchto odchylek je rovna nule, čímž se
zabrání zbytečnému nadhodnocování či podhodnocování odhadů. S tím je spojeno i
okamžité vyhodnocování chyb každého z provedených odhadů, takže lze současně
vyhodnotit i relevanci interpolovaného modelu terénu. [Johnston et al., 2001, in Peralvo,
2002].
Míru prostorové závislosti dat a tím i jednotlivé hodnoty vah lze kvantifikovat
různými způsoby, tím nejčastějším je analýza rozptylů. Kriging k tomuto účelu využívá
semivariogram. Semivariogram je definován jako jedna polovina rozptylu rozdílů mezi
hodnotami sledované veličiny (konkrétně třeba výšky) ve dvojicích známých bodů
v závislosti na vzdálenosti bodů v těchto dvojicích,
γ( pi , p j )
=
[
]
1
2
E (z( pi ) − z( p j )) .
2
(2.13)
Jde tedy o funkční závislost rozptylu rozdílů výšek mezi dvěma body (osa y) na vzájemné
vzdálenosti těchto dvou bodů (osa x). Je-li tato vzdálenost nulová, hodnota
semivariogramu je rovněž nulová a míra prostorové závislosti bodů je maximální.
S rostoucí vzdáleností dvou bodů se hodnota semivariogramu zvyšuje a míra prostorové
závislosti bodů se snižuje. Tento trend trvá až do určité prahové vzdálenosti, jež
označujeme jako rozpětí semivariogramu (range). Zde je semivariogram roven celkovému
rozptylu hodnot sledované veličiny kolem jejich střední hodnoty v dané lokalitě a jde o
jeho maximum. Rozpětí semivariogramu lze definovat jako nejdelší možnou vzdálenost
dvou bodů, u nichž se ještě projeví jistá míra prostorové závislosti, byť úplně minimální.
Pro vzdálenosti větší než toto rozpětí je semivariogram konstantně roven celkovému
rozptylu hodnot kolem jejich střední hodnoty a míra korelace mezi tak vzdálenými body je
nulová. Naproti tomu všechny body, jejichž vzdálenost od interpolovaného bodu je menší
než prahová vzdálenost, jsou považovány za prostorově závislé; jsou tedy zahrnuty do tzv.
okolí interpolovaného bodu a musí být zahrnuty do procesu interpolace jeho neznámé
hodnoty. [Dorsel and La Breche, 1997].
14
Semivariogram lze sestavit vynesením vypočtených rozptylů rozdílů sledované
veličiny pro každý pár bodů z vymezeného okolí interpolovaného bodu na y-ovou osu, a
příslušných vzdáleností bodů v těchto párech na x-ovou osu. Vznikne tak graf, který se
následně proloží vyhovující vyhlazenou křivkou, a ta je výsledkem semivariogramu.
Následuje vlastní proces odhadu hodnot v neznámých bodech, kde všem bodům z okolí
přidělíme váhu na základě semivariogramu [Dorsel and La Breche, 1997].
Důležitým předpokladem metody je stacionarita modelu, jinak by nebylo možné
semivariogram sestavit. Rozlišujeme zde dva typy stacionarity: (1) Střední hodnota chyby
odhadu µ = konst., takže hodnota µ je nezávislá na poloze; (2) rozptyly jsou konstantní
pro každý pár bodů, které mezi sebou mají stejnou vzdálenost a stejné prostorové
uspořádání – nezávisle na absolutní poloze. Z toho vychází konstrukce semivariogramu.
Vzdálenosti mezi každou dvojicí bodů je třeba rozřadit do tříd o malých rovnoměrných
intervalech, v rámci nichž pak budou tyto vzdálenosti považovány za sobě rovné [Dorsel
and La Breche, 1997; Wikipedia – Kriging, 2008].
Kriging dělíme do několika subtypů dle výpočetních předpokladů, z nichž následují
tři jsou nejjednodušší: (1) jednoduchý Kriging (Simple Kriging), kde µ = 0; (2) běžný
Kriging (Ordinary Kriging), kde = µ = konst.; (3) universální Kriging (Universary
Kriging) využívající pro výpočet µ lineárního modelu. Ordinary Kriging je hojně využíván
v softwarových aplikacích na bázi geografických informačních systémů (GIS aplikacích)
[Wikipedia – Kriging, 2008].
Nyní přistupme k vlastnímu procesu interpolace. Základní vztah pro odhad výšky
zˆ ( p0 ) v bodě p0 je dán lineární kombinací dle vztahu
n
zˆ( p0 ) = ∑ wi z( pi ) ,
(2.14)
i =1
kde wi jsou příslušné váhy. Vektor vah w = (w1,…,wn) pro příslušné body pi, i = {1, 2,…,
n}, je v případě metody Ordinary Kriging dán rovnicí
 w1   γ( p1 , p1 )
  
M
 M  
=
 w   γ( p , p )
n
1
 n 
 µ 
1
  
L γ( p1 , pn ) 1 

O
M
M
L γ( pn , pn ) 1 

L
1
0 
−1
 γ( p1 , p0 ) 




 γ( p , p )  ,
n
0




1


(2.15)
kde γ (pi, pj) je semivarianční funkce pro každý pár bodů pi, pj; i, j = {1, 2,…, n} a µ je
Lagrangeův multiplikátor. Pro nestrannost odhadu musí platit, že suma všech vah je rovna
jedné. Váhy pro metodu jednoduchého Krigingu se počítají obdobně, pouze Lagrangeův
multiplikátor µ je zde roven nule, čímž oba sloupcové vektory v rovnici (2.15) přicházejí o
poslední hodnotu a matice na pravé straně téže rovnice přichází o poslední řádek a sloupec.
[Wikipedia – Kriging, 2008].
15
Výsledný odhad hodnot zˆ( p0 ) v neznámém bodě p0 je potom dán rovnicí
′
−1
 z( p1 )   γ( p1 , p1 ) L γ( p1 , pn ) 1   γ( p1 , p0 ) 

 
 

M
O
M
M 
M
 M  

zˆ( p0 ) = 




z( pn )
γ( pn , p1 ) K γ( pn , pn ) 1
γ( pn , p0 ) 

 
 

 0  
 

1
K
1
0
1

 
 

(2.16)
kde z = (z(p1),…, z(pn)) je řádkový vektor hodnot (výšek) známých bodů použitých
k interpolaci (v rovnici je tento vektor z grafického důvodu uveden jako sloupcový, proto
je transponován.)
Takto získaný odhad zˆ( p0 ) se liší od skutečné hodnoty z(p0). Tento rozdíl
nazýváme chybou odhadu (estimation error), e(p0), a je dán vztahem
n
e( p0 ) = z( p0 ) − zˆ( p0 ) = z( p0 ) − ∑ wi z( pi ) .
(2.17)
i =1
Cílem je minimalizace chyb odhadu. Model proto postupně vybírá takové hodnoty
vah, které produkují minimální chyby. Pro vyhodnocení chyb je třeba provést několik
odhadů zˆ( p0 ) , pro každý vypočíst jeho chybu e(p0) a následně vyhodnotit rozptyl těchto
chyb odhadu (estimation variance):
var (zˆ( p0 ) − z( p0 )) =
δ2
=
1
n
n
2
∑ (zˆk ( p0 ) − z( p0 ))
.
(2.18)
k =1
Využitím definice kovariance a přepisem do maticové podoby pak získá rovnice (2.18)
tvar
′
−1
 γ( p1 , p0 )   γ( p1 , p1 ) L γ( p1 , pn ) 1   γ( p1 , p0 ) 

 
 

M
M
O
M
M 
M

 

2
δ =
.
(2.19)




γ( pn , p0 )
γ( pn , p1 ) K γ( pn , pn ) 1
γ( pn , p0 ) 

 
 


 

1
1
K
1
0  
1

 

Chyby odhadu budou minimální, bude-li minimální i hodnota jejich rozptylu. Minimum
rozptylu je hledáno jako lokální extrém funkce – tedy pomocí derivace. Protože jsou
hodnoty odhadu a jeho chyby závislé na použitých hodnotách vah, derivujeme dle
příslušných vah modelu wi, a tuto derivaci pokládáme rovnu nule,
∂δ 2
= 0.
∂wi
(2.20)
[Dorsel and La Breche, 1997; Lang, 2008; Wikipedia – Kriging, 2008].
16
2.3.5
Polynomiální interpolace
Další interpolační technikou, která se hojně využívá pro interpolaci diskrétních bodů
pro DEM, jsou polynomiální interpolace. Hojně se užívají při aproximaci spojitého terénu
geografického povrchu, jež se provádí z pravidelných sítí DEM. Tato technika je proto
uvedena v samostatné sekci 2.4.
Při interpolacích DEM často dochází z různých důvodů (nedostatek vstupních dat,
nevhodná interpolační technika apod.) k nepřesnostem. Z hlediska hydrologických aplikací
jsou nejzásadnější takové odchylky od skutečného terénu, které mají podobu falešných
prohlubní. Při řešení srážko-odtokových procesů v povodí může být jejich přítomnost v
DEM fatální, a proto je třeba takové prohlubně v modelu vytipovat a eliminovat. M. F.
Hutchinson [1989] prezentoval specializovaný způsob interpolační techniky, jež dokáže
tyto falešné prohlubně odstranit už ve fázi samotné interpolace DEM. Technika pracuje na
bázi konečných diferencí a pokroková je i v ohledu detekce odtokových a hřebenových
linií v terénu, kterou provádí na základě hledání lokálních extrémů na křivkách, jimiž
prokládá geografický povrch. Vstupem pro Hutchinsonův způsob interpolace jsou
nepravidelně strukturované sítě topografických bodů nebo liniové topografické mapy.
Další zajímavý způsob interpolace terénu představili Niemann et al. [2003]. Jde o
fyzicky založenou interpolační techniku pro terény s topografií modelovanou říční erozí.
Tento typ topografie povrchu je specifický extrémní členitostí terénu, která je pro dostupné
interpolační metody velmi složitá. Představená metoda interpolace je založena na simulaci
povrchu terénu tak, aby jeho průběh odpovídal sadě naměřených kontrolních bodů
rozmístěných v terénu, přičemž model simulace samotné vychází z dynamické rovnováhy
základních fyzikálních jevů ovlivňujících morfologii povrchu (tektonická činnost, činnost
řek, svahové róny apod.). Shoda mezi simulovaným terénem a naměřenými kontrolními
topografickými daty je navíc iterativním způsobem vylepšována prostorově
distribuovaným parametrem zohledňujícím tendenci dané lokality k erozi. Takto vytvořený
model povrchu je nakonec finalizován odstraněním falešných lokálních depresí.
17
2.4 DEM jako spojitý terén. Polynomiální interpolace spojitého terénu
Pravidelná síť DEM, jejíž interpolace byla předmětem sekce 2.3, představuje špičku
mezi diskrétními modely, které představují digitální reprezentaci reliéfu geografického
povrchu. Jak bylo řečeno v sekci 2.2.2, pravidelnou síť DEM představuje soubor
diskrétních bodů o rovinných souřadnicích. Představíme-li si, že spojnice bodů tvoří
pravidelnou mřížku, která celý povrch fragmentuje na pravidelné buňky čtvercového
půdorysu, výšky budou definovány pouze ve čtyřech vrcholech těchto buněk. Tyto vrcholy
mezi sebou nemají definován žádný topografický vztah; neznáme průběh výšek na
spojnicích vrcholů ani v buňkách mezi nimi – viz obrázek 2.3 (a). Chceme-li z pravidelné
sítě bodů získat spojitý model terénu – viz obrázek 2.3 (b), je třeba provést interpolaci
povrchu. V této sekci jsou představeny interpolační techniky, jež na základě vstupu v
podobě známých bodů pravidelné, zejména pak ortogonální sítě DEM, vypracují odhady
výšek ve všech polohách mimo tyto známé body a výstupem tak bude spojitý, více či méně
vyhlazený model terénu; půjde o spojitý DEM.
(a)
(b)
Obr. 2.3 Dva přístupy k DTM: (a) síť diskrétních bodů, (b) výsledek interpolace jako
spojitý terén.
Zdroj. Kidner, David – Dorey, Mark – Smith, Derek. What's the point? Interpolation and extrapolation
with a regular grid DEM. GeoComputation 99 Conference [online]. Fredericksburg: Mary Washington
College in Fredericksburg, VA, USA, 1999, No. 82 [cit. 2008-02-25]. Dostupné z:
http://www.geovista.psu.edu/sites/geocomp99/Gc99/082/gc_082.htm.
Tvorba spojitého DEM závisí na (1) reliéfu interpolovaného terénu, (2) typu sítě
vstupních bodů, (3) na jejich hustotě (respektive rozlišení sítě DEM), a konečně (4) na
metodě interpolace nových bodů z již naměřených [Laberl, 1973, in Kidner et al., 1999].
Při interpolacích spojitého terénu je třeba brát zřetel na jistá omezení, která s sebou
interpolační metody nesou. Výběr bodů sítě DEM užitých k interpolaci bodů neznámých,
které jsou situovány uvnitř buňky, je obvykle omezen pouze na rohové vrcholy této buňky;
pouze složitější techniky k interpolaci využívají i širších oblastí. Se zvětšující se oblastí, do
níž spadají body využité při procesu interpolace, se do jisté míry zvyšuje i přesnost
výsledku interpolovaného terénu [Kidner et al., 1999] a lze tak lépe zachytit trend
v chování terénu dané lokality. Předmětem mnoha analýz interpolovaného terénu je pak
18
otázka, jaký je ideální rozsah oblasti, do níž spadají body sítě DEM použité pro takzvaně
ideální interpolaci.
Samotný proces interpolace spojitého terénu může být nakonec využit i pro
extrapolaci těch oblastí geografického povrchu, o nichž nemáme k dispozici přesná, nebo
dokonce žádná data.
Existuje řada možných interpolačních procedur pro spojitý model, nejužívanější
metodou je však polynomiální interpolace. Tento typ interpolačních technik využívají
k aproximaci spojitého DEM i programy s aplikacemi GIS. Výchozí tvar rovnice pro
výpočet výšky v libovolném bodě p je polynom tvaru
z( p) = a00 + a10 x + a01 y + a20 x 2 + a11 xy + a02 y 2 + a30 x 3 + a21 x 2 y + a12 xy 2 + a03 y3 +
+ a31 x 3 y + a22 x 2 y2 + a13 xy3 + a32 x 3 y 2 + a23 x 2 y3 + a33 x 3 y3 + K + amn x m yn ,
(2.21)
kde z(p) je výška v libovolném bodě p o rovinných souřadnicích x, y; a00, a10, a01,…,
amn jsou koeficienty polynomu; m, n jsou řády polynomu a stupeň interpolace. Rovnice
(2.21) představuje polynom dvou neznámých, a je-li např. m = n = 3, jde o polynomiální
interpolaci třetího stupně, tj. interpolaci kubickou.
Princip této interpolační techniky spočívá v řešení soustavy n rovnic (2.21) o n
neznámých, kterými jsou koeficienty amn. Do každé z rovnic dosadíme souřadnice (x, y, z)
jednoho z n vzorových bodů pi. Řešením soustavy rovnic (např. Gaussovou eliminací)
získáme hodnoty koeficientů. Následně sestavíme novou rovnici (2.21) pro bod p0 o
neznámé výšce z(p0), kterou chceme odhadnout, a dosazením jeho rovinných souřadnic x,
y a vypočtených koeficientů amn ji obdržíme.
Jak už bylo řečeno na konci sekce 2.3, tuto interpolační techniku lze s úspěchem
využít i pro interpolaci diskrétně strukturovaného DEM z nepravidelného shluku
naměřených bodů, které byla věnována celá sekce 2.3. Pro lepší názornost jednotlivých
výpočtů však budu tuto techniku demonstrovat na příkladech, kdy jako datový vstup slouží
body pravidelných sítí DEM, konkrétně pak čtvercových sítí.
2.4.1
Linear plane
Jedná se o nejjednodušší a také nejhrubší způsob interpolace. Způsob aproximace
neznámé výšky je stanoven rovnicí
z( p0 ) = a00 ,
(2.22)
kde a00 může představovat aritmetický průměr výšek vrcholů ohraničujících buňku, v níž
interpolovaný bod leží, nebo o jejich vážený průměr dle metody IDW (viz sekce 2.3).
Výsledkem je ovšem stále nespojitý průběh terénu reprezentovaný více či méně rozsáhlými
19
rovinnými oblastmi o určitých výškách, jež na sebe nenavazují. Takto interpolovaný
povrch tak připomíná schodovitý terén velkolomu.
2.4.2
Lineární interpolace
Jde o jednoduchý polynom o třech členech,
z( p0 ) = a00 + a10 x + a01 y ,
(2.23)
jež vede k sestavení tří rovnic o třech neznámých koeficientech. Pro jejich výpočet
dosadíme tři nejbližší vrcholy ze sítě DEM. Výsledkem je pak terén sestavený z rovinných
trojúhelníků, což bývalo oblíbenou komponentou prvních DEM systémů [Laberl, 1973, in
Kidner et al., 1999], ale později byla tato metoda nahrazena bilineární interpolací, o níž
bude řeč níže.
Lineární rovinná interpolace je však stále hojně využívána u tvorby trojúhelníkových
nepravidelných sítí (TIN). K interpolaci spojitého modelu DEM z diskrétního protějšku ji
využívá i řada algoritmů implementovaných v aplikacích GIS. Tyto způsoby jsou rozšířeny
pro svou relativně příznivou výpočetní složitost a tedy i časovou nenáročnost výpočtů,
ovšem přesnost interpolace není optimální a terén není vyhlazen. Obrázek 2.4 znázorňuje
srovnání tří profilů terénu, jež jsou výsledkem odlišných interpolačních technik.
(a)
(b)
(c)
Obr. 2.4 Tři způsoby interpolace spojitého modelu terénu z diskrétních hodnot vrcholů sítě DTM:
interpolace (a) proximální, (b) lineární, (c) kubická.
Zdroj: WOOD, Joseph. Modelling the Continuity of Surface Form Using Digital Elevation Models
[online]. Department of Geography, University of Leicester, UK, [cit. 2008-04-03].
Dostupné z: http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/sdh98/jwood.doc.
Na obrázku 2.5 je znázorněna lineární interpolace mezi body pa a pb uskutečněná
podél hranic ortogonální buňky. Výšky v bodech pa, pb se vypočtou snadno. Při
interpolaci tímto způsobem zjistíme výšky na hranicích buňky, ale nezachytíme už průběh
výšek uvnitř buňky na spojnici obou bodů. Budeme proto předpokládat, že jde o přímku.
20
Potom ale záleží, jaké diagonále dáme při interpolaci přednost. Bude-li diagonála p2, p3
představovat hřebenovou linii, bude mít bod p5 výšku cca 71 metrů, avšak podle lineární
interpolace profilu na diagonále p1, p4 by bod p5 měl výšku přibližně 58 metrů a tato linie
by tvořila koryto. Správná může být jen jedna možnost a pomocí lineární interpolace nelze
posoudit, která z nich to bude; s velkou pravděpodobností může nastat i případ, že na střetu
obou úhlopříček se bude nacházet sedlo, a v takovém případě nebude správná ani jedna
z možností. Stejná situace nastane i při interpolaci výšek na střetu úhlopříček v bodě p6.
54
68
p4
Lineární interpolace:
p3
0,4
pb
p6
z(pa) = 50 + 0,2⋅(72 – 50) = 54,4
z(pb) = 54 + 0,4⋅(72 – 54) = 61,2
0,6
p5
pa
p1
50
0,2
0,8
72
p2
Obr 2.5 Schéma k lineární interpolační technice na ortogonální buňce.
Uvedené příklady poukazují na mylný předpoklad existence trojúhelníků uvnitř
ortogonálních buněk DEM, kde strany těchto trojúhelníků představují konstantní sklon po
celé své délce. Takový předpoklad samozřejmě může vést k tvorbě terénních anomálií.
Existují řešení, která se pokouší najít jakýsi kompromis, jež by odstranil nutnost výběru
jedné ze dvou diagonál ortogonální buňky, podle níž se terén interpoluje. Patrně
nejjednodušším řešením je tzv. bilineární způsob interpolace.
2.4.3
Dvojitě lineární interpolace
V případě prosté lineární interpolace je výběr úhlopříčky v buňce – a tedy i výběr tří
vrcholů užitých pro interpolaci nového bodu v rámci jedné buňky – libovolný, což vede
k nutnosti nežádoucího výběru jedné z diagonál, podle které pak proběhne interpolace.
Dvojitě lineární interpolační metoda tomuto předchází. Je totiž založena na výpočtu výšky
bodu situovaného uprostřed ortogonální buňky jakožto průměru výšek jejích čtyř vrcholů,
po němž následuje lineární interpolace představená v předchozí sekci 2.4.3. Nyní je však
provedena v každém ze čtyř trojúhelníků vzniklých z hran buňky a obou jejích úhlopříček
[Schut, 1976, in Kidner et al., 1999].
21
2.4.4
Bilineární interpolace
Koncept lineární interpolace mezi dvěma body lze rozšířit na bilineární interpolační
techniku uvnitř ortogonální buňky. Vycházíme z principu, že funkce pro výpočet výšky
bodu má lineární průběh na celém definičním oboru jedné proměnné, má-li druhá
proměnná fixní hodnotu. To znamená, že nejdříve vyhodnotíme výšky z(pa) a z(pb) (viz
obrázek 2.6), každou zvlášť, a z těchto dvou hodnot poté stejnou technikou odvodíme
požadovanou výšku z(p0).
(x, 1)
p3
(0,1)
pi
pa
(0, y)
(x, y)
p4
(1,1)
pb
(1, y)
y
p1
(0,0)
(x, 0)
p2
(1,0)
Princip bilineární interpolace výšky:
Výšku z(pa), resp. z(pb) na obou
svislých hranicích zobrazené buňky
stanovíme
lineární
interpolací
hodnot z(p1) a z(p3), respektive
z(p2) a z(p4). Požadovanou výšku
z(pi) pak interpolujeme stejným
způsobem mezi hodnotami z(pa) a
z(pb).
x
Obr. 2.6 Schéma k ukázce bilineární interpolace na ortogonální buňce.
Bilineární funkce poskytuje výsledek blízký tomu, který bychom obdrželi
proložením ortogonální buňky hyperbolickým paraboloidem. Zápis funkce je
z( p0 ) = a00 + a10 x + a01 y + a11 xy ,
a00 = z( p1 )
a10 = z( p2 ) − z( p1 )
kde
a01 = z( p3 ) − z( p1 )
a11 = z( p1 ) − z( p2 ) − z( p3 ) + z( p4 ).
2.4.5
(2.24)






(2.25)
Bikvadratická interpolace
Vezmeme-li v úvahu základní polynom (2.21) se stupni m = n = 2, získáme tvar
devítičlenné bikvadratické funkce využívané pro stejnojmennou metodu interpolace:
z( p0 ) = a00 + a10 x + a01 y + a20 x 2 + a11 xy + a02 y 2 + a21 x 2 y + a12 xy 2 + a22 x 2 y 2 . (2.26)
22
V některých případech bývá člen x2y2 zanedbán [Schut, 1976, in Kidner et al., 1999],
čímž získáme osmičlennou funkci
z( p0 ) = a00 + a10 x + a01 y + a20 x 2 + a11 xy + a02 y 2 + a21 x 2 y + a12 xy 2
(2.27)
V obou případech však potřebujeme specifikovat body, které použijeme pro výpočet
rovnice (2.26) či (2.27). Pro rovnici (2.27) jich potřebujeme osm. Nejjednodušším
přístupem je vyjít z výšek vrcholů buňky, v níž chceme povrch interpolovat, a dále z výšek
bodů uprostřed každé z hran buňky, viz obrázek 2.7. V případě rovnice (2.26) jako devátý
bod navíc přidáme odhad výšky bodu uprostřed buňky. Neznámé výšky bodů ve středech
hran buňky můžeme vypočítat např. využitím kubické interpolace nejbližších čtyř vrcholů
nacházejících se ve stejné řadě (resp. sloupci) pravidelné sítě DEM, jako leží interpolovaný
bod [Kidner et al., 1999].
(½, 1)
p3
(0,1)
pi
pa
(0, ½)
(½, ½)
p4
(1,1)
pb
(1, ½)
y
p1
(0,0)
(½, 0)
p2
(1,0)
x
Obr. 2.7 Schéma k ukázce bikvadratické interpolace na ortogonální buňce.
2.4.6
Kubická interpolace „po částech“
Metodu 1-D lineární interpolace „po částech“ v podobě, jaká byla uvedena v sekci
2.4.4, můžeme rozšířit i na analogickou verzi interpolace kubické využívající polynom
tvaru
z( pa ) = k + lx + mx 2 + nx 3 .
(2.28)
Princip této metody je shodný s principem zmíněné metody lineární, i v tomto
případě je k určení výšky z(pa) (respektive z(pb); viz obrázek 2.5) potřeba sestavit čtyři
rovnice. Pro jednoduchost si skutečné souřadnice vrcholů řešené buňky nahradíme
souřadnicemi lokálními, tj. (0;0), (1;0), (0;1) a (1;1). Zaměřme se nyní pouze na hranu
23
(0;0), (0;1), na níž leží bod pa. Jak bylo řečeno výše, pro interpolaci z(pa) bude potřeba
čtyř rovnic, ale postačí nám dva vrcholy. První dvě rovnice získáme tak, že do jejich
levých stran dosadíme hodnoty výšek z(p1) a z(p2). Zbylé dvě rovnice pak získáme
derivováním prvních dvou rovnic. Derivace ∂z(pi)/∂x, respektive ∂z(pi)/∂y představují
sklon terénu v bodě pi (viz sekci 2.6 o terénních charakteristikách), a to buď ve směru osy
x nebo y. Tyto hodnoty sice neznáme, ovšem lze provést jejich jednoduchý odhad, a to
např. z rozdílu výšky v řešeném bodě vůči výšce v některém ze sousedních bodů sítě
DEM. Proto je zde třeba mít k dispozici data alespoň z pole 4 × 4 body sítě, které obklopí
řešenou buňku tak, že bude umístěna v jeho středu. Takto určené výšky z(pa) a z(pb) jsou
pak vstupem pro závěrečnou interpolaci výšky z(p0) v bodě p0 [Kidner et al., 1999].
2.4.7
Bikubická interpolace
Metoda bikubické interpolace využívá šestnáctičlennou funkci
z( p0 ) = a00 + a10 x + a01 y + a20 x 2 + a11 xy + a02 y 2 + a30 x 3 + a21 x 2 y + a12 xy 2 +
+ a03 y3 + a31 x 3 y + a22 x 2 y 2 + a13 xy3 + a32 x 3 y 2 + a23 x 2 y3 + a33 x 3 y3
(2.29)
Jedná se o 2-D interpolační techniku o nejnižším možném řádu, která už splňuje
spojitost funkce z(p) i jejích prvních derivací ∂z(p)/∂x nebo ∂z(p)/∂y na celé délce
hraničních stran ortogonální buňky DEM [Russell, 1995, in Kidner et al., 1999]. Pro
interpolaci výšky bodu p0 uvnitř buňky je třeba opět odvodit koeficienty amn. Koeficientů
bude 16, k jejich vyřešení je tedy potřeba 16 rovnic. Vrcholy s známými výškami však
máme v rámci jedné buňky pouze čtyři, a proto je třeba rozhodnout, které další údaje lze
získat pro levé strany zbylých 12 rovnic (2.28). Běžným přístupem je pro každý ze čtyř
vrcholů buňky vyhodnotit tři derivace funkce: (1) první derivaci dle x, (2) první derivaci
dle y, a (3) druhou derivaci dle x a následně dle y. Derivujeme-li rovnici (2.28) podle x
nebo y, získáme na levé straně rovnice místo výšky z(pi) její první derivace ∂z(pi)/∂x a
∂z(pi)/∂y, jež popisují sklon terénu ve směru x-ové, respektive y-ové osy. Provedeme-li
obě derivace za sebou, získáme na levé straně rovnice druhou derivaci ∂2z(pi)/∂x∂y, která
reprezentuje reálný sklon kolmo na výškové ekvipotenciály. Pro zjednodušení výpočtu lze
opět užít lokálních souřadnic vrcholů (0;0), (1;0), (0;1) a (1;1). Algoritmy pro
polynomiální interpolaci kubickou a bikubickou prezentovali mj. Kidner et al. [1999].
Schut [1976, in Kidner et al., 1999] popsal zjednodušený přístup k bikubické
polynomiální interpolaci, který spočívá v užití pouze dvanáctičlenného polynomu
z( pi ) = a00 + a10 x + a01 y + a20 x 2 + a11 xy + a02 y 2 + 21 x 2 y +
+ a12 xy 2 + a30 x 3 + a03 y 3 + a31 x 3 y + a13 xy 3 .
(2.30)
24
Vynechány jsou čtyři derivace druhého stupně ∂2z(pi)/∂x∂y, takže postačí znát (1)
hodnoty výšek čtyř vrcholů buňky a (2) osm hodnot jejich prvních derivací dle x a y, tj.
sklonů v těchto vrcholech ve směrech osy x a y.
2.4.8
Bikvintická interpolace (interpolace 5. stupně)
Zde se jedná o interpolační techniku o nejnižším možném řádu, která nejenže splňuje
spojitost funkce ∂z(p) i jejích prvních derivací ∂z(p)/∂x nebo ∂z(p)/∂y na celé délce
hraničních stran buňky DEM, ale splňuje zde i naprostou hladkost průběhu prvních
derivací.
Princip výpočtu je analogický jako u bikubické interpolace, ovšem v tomto případě
potřebujeme vyhodnotit celkem 36 koeficientů amn, takže potřebujeme sestavit 36 rovnic.
K dispozici máme pouze čtyři okrajové vrcholy buňky, takže pro ohodnocení levých stran
rovnic bereme pro každý vrchol v úvahu (1) jeho výšku; (2) dvě derivace prvního stupně
∂z(pi)/∂x, ∂z(pi)/∂y; (3) tři derivace druhého stupně ∂2z(pi)/∂x2, ∂2z(pi)/∂y2, ∂2z(pi)/∂x∂y;
(4) dvě derivace třetího stupně ∂3z(pi)/∂x2∂y, ∂3z(pi)/∂x∂y2 a (5) jednu derivaci čtvrtého
stupně ∂4z(pi)/∂x2∂y2 – tj. celkem devět hodnot pro každý vrchol. Souřadnice x, y vrcholů
pi nahradíme opět souřadnicemi lokálními z intervalu (0;1).
Jak je uvedeno výše, pro interpolace vyšších řádů je často třeba provést derivace
výchozí funkce pro jednotlivé vrcholy buňky sítě DEM. Hodnoty derivací (ať už nižších či
vyšších řádů) výšek vrcholů neznáme a je třeba tyto hodnoty určitým způsobem
aproximovat. Samozřejmě platí, že čím lepší aproximaci hodnoty derivace provedeme, tím
lepší výsledek interpolace výšky v hledaném bodě lze očekávat.
Existuje celá řada různých algoritmů sloužících k aproximaci hodnot těchto derivací,
pokud jde o derivace nižších řádů. Ovšem problematika aproximace derivací vyšších řádů
či parciálních derivací je zdokumentována již méně. Kupříkladu aproximacemi zmíněných
osmi derivací pro interpolaci 5. stupně se zabýval Russell [1995].
25
2.5 Kvalita DEM. Úspěšnost interpolačních technik
Přesnost dat je hlavním kritériem při výběru digitálního modelu terénu, ať už se
jedná o DEM z diskrétních bodů či o spojitý model. A přesnost je právě hlavním úskalím
DEM, protože na topografických modelech terénu probíhá řada navazujících aplikací, jako
jsou výpočty terénních charakteristik apod. [Warren et al., 2004; Ziadat, 2007; aj.].
Výsledky těchto aplikací jsou pak nevyhnutelně zatíženy chybou použitého DEM. Přitom
ale platí, že složitější interpolační metody, jako je Kriging nebo polynomiální interpolace
vyšších stupňů, nemusí nutně podat lepší výsledek než techniky jednodušší, jako je IDW.
Ať už je však k interpolaci terénu využita kterákoli z technik, v případě DEM sestaveného
z diskrétních bodů je obecný trend takový, že s rostoucí hrubostí modelu klesá jeho
přesnost [Ziadat, 2007]. To je patrné na skutečnosti, že terénní charakteristika stanovená
pro danou oblast na základě sítě s jemným rozlišením bude odlišná od téže charakteristiky
stanovené pro stejnou oblast na síti s hrubým rozlišením. Přesnost diskrétního DEM, ať už
se jedná o pravidelnou či nepravidelnou síť bodů, je jednoznačně závislá na hustotě bodů;
u liniových DEM (contour-based maps) jde o závislost přesnosti modelu na intervalu
jednotlivých topografických ekvipotenciál [Ziadat, 2007]. Spojité modely terénu jsou sice
diametrálně rozdílné, ale principy zůstávají stejné; i zde se jejich přesnost odvíjí kromě
samotné interpolační techniky i na hustotě bodů, z nichž interpolace proběhla [Laberl,
1973, in Kidner et al., 1999].
Při výběru DEM ovšem také záleží na konkrétním účelu, ke kterému bude použit.
Značné dopady nepřesností DEM se projevují např. u modelace sklonitostí terénu [Gao,
1998, in Ziadat, 2007]. Warren et al. [2004] a Ziadat [2007] ve svých studiích ukázali, že
nejlepších odhadů sklonitosti terénu na experimentálních oblastech bylo docíleno využitím
detailních DEM s rozlišením ortogonálních bodových sítí 1 m. Existují však aplikace, kde
je příliš podrobný DEM nežádoucí. Problém nastává, pokud výpočetní algoritmy
vyhodnocují terénní charakteristiky příliš citlivě vůči skutečné diferenciaci výšek
v sousedních bodech DEM [Hengl et al., 2003]. Příkladem, kdy je DEM s hrubším
rozlišením žádoucí, je např. výpočet orientace svahu vůči světovým stranám – aspektu
prostředí. U jemnějšího rozlišení DEM je orientace svahů rozdrobena do příliš malých
fragmentů a nelze tak dobře sledovat trend daného prostředí. Cílem je tedy zvolit optimální
DEM, který bude dostatečně přesný, aby nezatěžoval výpočty terénních charakteristik svou
chybou, ale zároveň by neměl být zbytečně jemný.
2.5.1
Verifikace interpolačních technik
Než můžeme začít s interpolací neznámých dat, je potřeba zvolenou interpolační
techniku verifikovat pro daný soubor měřených dat, z nichž budeme posléze interpolovat.
Obecný princip verifikačního procesu je uveden na konci sekce 2.3.2 o interpolační
technice IDW. Pro danou interpolační techniku je třeba vyhodnotit takové parametry,
pomocí kterých bude dosaženo nejoptimálnějších výsledků při interpolaci. Abychom tyto
26
ideální hodnoty parametrů zjistili, musíme provést sadu zkušebních interpolací, přičemž
každá z nich bude vycházet z jiné kombinace hodnot parametrů dané techniky. Vstupními
daty pro zkušební interpolaci je obvykle soubor bodů zaměřených v terénu. Interpolovány
jsou pak hodnoty právě v těchto zaměřených bodech, takže výsledné odhady lze následně
porovnat s hodnotami zaměřenými. Pro každou kombinaci hodnot interpolačních
parametrů tak vyhodnotíme rezidua jednotlivých odhadů (pro všechny body ze souboru
naměřených dat), tj. odchylky hodnot interpolovaných a měřených. Tím získáme přehled o
prostorové distribuci reziduí pro danou kombinaci parametrů, a také z těchto odchylek
můžeme vypočítat odhad celkové chyby modelu. Tato celková, nebo též absolutní chyba
už představuje pouze jedinou hodnotu pro celou interpolovanou oblast a využívá se proto
k zevrubnému srovnání úspěšnosti jednotlivých interpolací. K tomuto účelu se často
využívá střední kvadratické chyby, root mean square error (RMSE), jejíž hodnota je dána
vztahem
n
(zˆ( pi ) − z( pi ))2
i =1
n
RMSE = ∑
,
(2.31)
kde pi jsou body souboru měřených dat, i = {1; 2;…; n}; zˆ( pi ) je odhad hodnoty v bodě
pi; z(pi) je jeho skutečná hodnota naměřená v terénu. Úspěšnost interpolace je nepřímo
úměrná hodnotě RMSE. Z jednotlivých reziduí potom lze, jak už bylo řečeno, vyčíst
přesnost odhadů v závislosti na konkrétní poloze. Je-li terén hodně členitý, je běžné, že
zejména v těchto členitějších partiích terénu je přesnost odhadů výrazně nižší než v jiných
lokalitách zájmového území, a to i v případě modelu s nejnižší hodnotou RMSE. Toto lze
řešit prostorovou distribucí parametrů interpolační techniky – parametry nebudou
konstantní pro celé území zájmového území. Oblast může být rozdělena na několik
menších částí, z nichž každá bude interpolována na základě jiné kombinace hodnot
parametrů.
Proces verifikace interpolační techniky je obvykle členěn do dvou fází, kterými jsou
(1) kalibrace a (2) validace. Proces validace obvykle zahrnuje testování úspěšnosti dané
interpolace na sadě náhodně vybraných vzorků dat o různém počtu topografických bodů.
Hodnoty jsou tak interpolovány pokaždé z jiných bodů. Výsledky všech validačních
interpolací se nakonec porovnají. Lze na nich sledovat mj. závislost objemu vstupních dat
na výsledných odhadech.
Interpolační techniky mohou být dále ověřovány na interpolaci imaginárního
geografického povrchu, který je reprezentován prostřednictvím testovací matematické
funkce, a tudíž známe dokonale jeho průběh ve všech bodech. Interpolační technice potom
nabídneme set vybraných bodů z takto definovaného povrchu a čekáme na výsledek.
Imaginární povrch obvykle simuluje specifické terénní útvary, jež se běžně vyskytují
v přírodě – sedlo, horský hřeben apod. Zmíněné matematické funkce mají spojitý průběh
na celém svém definičním oboru a na celém průběhu mají rovněž definovány první
derivace. Obecným funkčním předpisem těchto funkcí je z = f(x, y), kde funkční hodota
27
z(p) v bodě p je funkcí polohy tohoto bodu. K testování věrohodnosti interpolační techniky
lze využít opět RMSE. Skutečné hodnoty z(pi) v bodech pi vypočteme dosazením
rovinných souřadnic x, y těchto bodů do předpisu dané funkce. Tyto výsledky následně
porovnáme s hodnotami, které byly ve stejných bodech odhadnuty prostřednictvím některé
z interpolačních technik vycházejících ze souboru diskrétních funkčních hodnot příslušné
funkce [Kidner et al., 1999].
Franke [1979] a Akima [1996] se zabývali testováním polynomiálních technik
interpolace, jež byly uvedeny v sekci 2.4. K tomuto testu použili matematické funkce
zobrazené na obrázku 2.8, které svým průběhem vystihují frekventované terénní útvary.
Testy prokazují poměrně silnou závislost přesnosti odhadů na výši řádu interpolačního
polynomu. Přesnějších výsledků bylo dosaženo pomocí interpolací vyšších řádů, naproti
tomu nejjednodušší interpolační techniky vykazují spíše hrubé odhady, což je dáno
omezenou schopností (či úplnou absencí schopnosti) vyhlazovat interpolovaný povrch.
Z výše uvedených interpolačních technik vzešla nejlépe metoda bikvintické interpolace, tj.
interpolace pátého řádu.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Obr. 2.8 Testovací matematické funkce. (a) kombinace čtyř Gaussových funkcí, (b) hyperbolická tangenta
(reprezentace útesů a skal), (c) funkce reprezentující horské sedlo, (d) Gaussova funkce I. (reprezentace
mírnějšího kopce), (e) Gaussova funkce II. (reprezentace strmého vrcholu), (f) výřez povrchu koule.
Zdroj. KIDNER, D. – DOREY, M. – SMITH, D. What's the point? Interpolation and extrapolation with a regular
grid DEM. GeoComputation 99 Conference [online], Fredericksburg: Mary Washington College in
Fredericksburg, VA, USA, 1999, no. 82 [cit. 2008-02-25].
Dostupné z: http://www.geovista.psu.edu/sites/geocomp99/Gc99/082/gc_082.htm.
2.5.2
Kvalita DEM
Rozlišujeme pět hlavních faktorů ovlivňujících kvalitu DEM. Jsou to (1) morfologie
terénu, jeho členitost; (2) hustota bodů DEM v prostoru; (3) rozlišení mřížky DEM, tedy
velikost a tvar buněk vymezených mezi body; (4) typ interpolační techniky, kterou byl
DEM vygenerován; (5) vertikální rozlišení, tj. nejmenší měřitelná jednotka výšky v rámci
celého DEM [Hengl et al., 2003]. Vyčleňován bývá ještě (6) algoritmus terénní analýzy
DEM, ten se ovšem na kvalitě DEM nepodílí, pouze z DEM vychází a podílí se na kvalitě
vypočtených terénních charakteristik.
28
Kvalita nebo přesnot DEM je obecně členěna do dvou kategorií: (1) přesnost
absolutní a (2) relativní [Hengl et al., 2003]. Absolutní přesnost představuje míru chyby
pro každý bod DEM a za celou oblast je kvantifikována např. střední kvadratickou chybou
RMSE vyjádřenou v rovnici (2.31). Je označována i jako absolutní chyba modelu.
Relativní přesnost naproti tomu ukazuje míru přesnosti reprezentace celé morfologie terénu
daným modelem. Jde o distribuční funkci, numericky je vyjádřena kumulativní sumou
všech hodnot RMSE vyhodnocených v dané oblasti.
Všechny faktory ovlivňující kvalitu DEM jsou vzájemně provázány a je proto velmi
těžké vybrat například správnou interpolační techniku, zvolit k ní optimální rozlišení
výstupního DEM, to vše v závislosti na morfologii terénu atd. Mitáš and Mitášová [1999]
např. ukázali, že zásadními ukazateli kvality výsledného DEM jsou (1) vyhlazenost terénu
(terrain smoothness) a úspěšnost interpolace linií toků a hřebenových linií.
2.5.3
Chyby v DEM
Carter [1989, in Moore et al., 1991] klasifikuje chyby v DEM do dvou tříd: (1) chyby
globální a (2) relativní. Globální typ se vyznačuje komplexností dopadu chyby. Jde o
systematickou chybu, která se vyskytuje napříč celým modelem terénu, a její eliminaci lze
provést transformací DEM – např. posunem všech bodů modelu (lineární či nelineární
translace), jejich rotací, hromadou úpravou výšek apod. V případě relativní chyby jde
pouze o lokální výskyt chybných hodnot ve výškách některých bodů modelu vůči těm
okolním [Carter, 1989; Moore et al., 1991].
Testovat lze buď přímo DEM jakožto výsledek provedené interpolace, a nebo
některý z derivátů DEM jakožto prostorově distribuovaný model terénu sledující veličinu
odvozenou z DEM. DEM přitom může být reprezentován pravidelnou či nepravidelnou sítí
diskrétních bodů, nebo může jít o spojitý model terénu. V každém případě je cílem testu
porovnání hodnot odhadnutých či vypočtených s hodnotami skutečnými. K tomuto účelu
provedeme vymezení kontrolních bodů a změříme v nich skutečné hodnoty sledované
veličiny. Nejlépe je uskutečnit měření kontrolních hodnot přímo v terénu, v horším případě
postačí jejich odvození alespoň z mapy, je-li k tomu uzpůsobena.
K vyhodnocení přesnosti se opět využívá střední kvadratické chyby. Mezní hodnota
RMSE závisí na konkrétních aplikacích a požadavcích na přesnost. Obecně platí, že RMSE
sledovaných terénních charakteristik odvozených z DEM je větší než RMSE výšek
samotného DEM. Čím vyšší je řád odvození sledované veličiny na daném DEM, tím lze u
této veličiny předpokládat větší chybu [Wilson and Gallant, 2000; Hengl et al., 2003].
Modely terénu lze podrobit zpětné propagaci chyby. Nejužívanější technikou je
zpětná propagace chyby metodou Monte Carlo [Heuvelink, 1994, in Hengl et al., 2003].
29
2.5.4
Rozlišení pravidelných mřížek DEM
Volba velikosti rozlišení DEM obecně závisí na morfologii krajiny. Čím je reliéf
členitější, tím by mělo být rozlišení jemnější. Rozlišení DEM by mělo splňovat základní
podmínku, jež říká, že vzdálenost dvou sousedních bodů v mřížce je menší než vzdálenost,
na níž už dojde k významnější změně sledovaného parametru. Kvantifikace této podmínky
v praxi není jednoduchá. Představíme-li si 1-D topografii, kde průběh terénu znázorňuje
křivka představující profil povrchu, velikost rozlišení by mělo být rovno alespoň průměrné
vzdálenosti sousedních inflexních bodů na této křivce. Minimální rozlišení rmin je tedy
dáno rovnicí
rmin =
l
,
n
(2.32)
kde l je délka sledované křivky, n je počet inflexních bodů na křivce [Hengl et al., 2003].
Tento způsob je však velmi teoretický a v terénu prakticky nerealizovatelný.
V případě odvozování DEM z topografických map je minimální rozlišení mřížky
DEM v nejjednodušším případě dáno poměrem rozlohy sledované oblasti ku absolutní
délce všech vrstevnic. Výpočet se provádí dle vztahu
rmin =
A
n
2∑ li
,
(2.33)
i =1
kde A je rozloha sledované oblasti, ∑l je suma délek všech vrstevnic situovaných na území
této oblasti.
Vertikální rozlišení (vertical resolution), zmíněné již v souvislosti s faktory
ovlivňujícími výslednou kvalitu DEM, je nejmenší měřitelná jednotka výšky daného DEM.
Jeho hodnota by měla být menší než střední hodnota reziduí daného modelu [Hengl et al.,
2003].
2.6 Terénní charakteristiky povodí
Terénní charakteristiky jsou parametry daného prostředí, které lze odvodit z DEM
prostřednictvím digitální analýzy terénu [Hengl et al., 2003]. V literatuře je najdeme spíše
pod pojmem terénní parametry (terrain parrameters). Lze je klasifikovat dle různých
kritérií. Moore et al. [1991] terénní charakteristiky člení do dvou základních kategorií: (1)
charakteristiky primární a (2) sekundární. Primární parametry jsou odvozeny přímo z DEM
a typickým zástupcem je sklon terénu. Sekundární (též složené) charakteristiky vycházejí
z kombinace více faktorů primárních charakteristik a obvykle popisují prostorovou
variabilitu dané veličiny v prostředí, např. tendenci k povrchové erozi, hladinu podzemní
vody apod. [Moore et al., 1991]. Přehled hlavních charakteristik dle Moorovy klasifikace
30
obsahuje tabulka 2.1. Jinou klasifikaci terénních charakteristik, založenou na účelu jejich
využití, představili Hengl et al. [2003]; má tři kategorie: parametry (i) morfometrické, (ii)
hydrologické a (iii) klimatické. Morfometrické terénní parametry charakterizují morfologii
terénu a zahrnují tedy charakteristiky jako sklon, aspekt (tj. orientaci svahu vůči světovým
stranám), zakřivení terénu. Hydrologické charakteristiky zahrnují např. odtok, tendenci
k erozi aj. Klimatické parametry pak popisují klimatické faktory ovlivňované reliéfem
povrchu. Vyvinuta je řada empirických odvození terénních charakteristik, přesnější jsou
ovšem fyzikálně založené, robustnější metody řešení.
Využití terénních charakteristik je široké. Já se zaměřím na hydrologické aplikace,
ale uplatnění je možné nalézt i v řadě jiných vědních oborů a také v mezioborových
disciplinách (např. vlhkost prostředí a míra radiace jako dvě prostorově distribuované
funkce mohou dohromady sloužit k vytipování lokalit, kde se bude dařit konkrétním
druhům rostlin apod.). Další využití najdeme v případech, kdy měření konkrétní terénní
charakteristiky není možné, např. z technických či ekonomických důvodů. Topografická
data jsou naproti tomu běžně dostupná a s využitím potřebných analýz terénu lze danou
terénní charakteristiku odvodit.
Terénní charakteristiky lze získat ze všech typů DEM, ale nejvýhodnějším zdrojem
jsou pravidelně strukturované sítě bodů. Modely terénu založené na liniových sítích,
přestože mohou podávat přesnější výsledky, nejsou tolik žádoucí z důvodu výpočetní
složitosti, u modelů TIN nastává tentýž problém a další problém je s definováním oblastí
odvodňovaných konkrétním místem v terénu (specifická rozloha povodí apod.) [Moore et
al., 1991]. S ohledem na analýzu DTM provedenou na experimentálním povodí Modrava 2
(viz kapitoly 4 a 5), která vychází z pravidelně strukturovaných sítí bodů, je tato kapitola
zaměřena na odvození vybraných terénních charakteristik právě z pravidelných, jmenovitě
ortogonálních sítí DEM.
Pro výpočet terénních charakteristik v každém případě není potřeba spojitý model
terénu a nejsou potřeba ani speciální interpolační úpravy terénu jako třeba splining
[Collins, 1975, in Moore et al., 1991]. Obecně důležitá je kvalita topografické reprezentace
terénu, ať už je model terénu jakéhokoli druhu.
Přesnost terénních charakteristik odvozených z DEM závisí (1) na kvalitě samotného
DEM, a (2) na výpočetním algoritmu [Florinsky, 1998, in Wilson and Gallant, 2000].
Analýzou vlivů zvoleného výpočetního algoritmu na vybrané terénní charakteristiky se
zabývala řada autorů, např. Costa-Cabral a Burges [1994] a mnozí další.
2.6.1
Primární terénní charakteristiky
Speight [1974, in Moore et al., 1991] popsal více než 20 primárních topografických
charakteristik. Následující tabulka obsahuje přehled těch hlavních, které jsou spojeny
s hydrologickými aplikacemi. Některé charakteristiky nemají české ekvivalenty.
31
Tabulka 2.1 Přehled primárních terénních charakteristik
Charakteristika
Definice
Význam, využití
Nadmořská výška
Výška
Všestranné
Výška svahu
Průměrná výška svahu
Energetický potenciál
Sklon, β
Gradient
Rychlost povrchového
a podpovrchového odtoku,
geomorfologie, eroze aj.
Aspekt, γ
Azimut svahu, tj. orientace svahu
ve směru největšího gradientu
Slun. záření, evapotraspirace
Upslope slope
Průměrný sklon svahu
nad krátkým úsekem vrstevnice
Rychlost odtoku
Dispersal slope
Průměrný sklon svahu
pod krátkým úsekem vrstevnice
Rychlost transportu sedimentů
Sklon povodí
Střední sklon na povodí
Doba koncentrace
Upslope area
Rozloha části povodí vymezené
nad krátkým úsekem vrstevnice
Odtokové charakteristiky
Dispersal area (TDA)
Rozloha části povodí vymezené
pod krátkým úsekem vrstevnice
Rychlost půdního odnosu
Rozloha povodí
(Total Catchment Area, TCA)
Rozloha oblasti odvodňované
uzávěrným profilem
Odtokové charakteristiky
Specifická rozloha povodí
(Specific Catchment Area, SCA)
Rozloha povodí přepočtená
na jednotku průtočné šířky
Odtok, ustálená odtoková rychlost,
sediment-transport, geomorfologie
Délka toku
Maximální vzdálenost od pramene Eroze, sediment-transport,
k vymezenému bodu v povodí
doba koncentrace
Upslope length
Průměrná délka povrch. toků
od pramenů k vymezenému bodu
Eroze, akcelerace průtoku
Dispersal length
Vzdálenost od vymezeného bodu
v povodí k uzávěrnému profilu
Impedance půdního odnosu
Délka povodí
Vzdálenost od nejvyššího místa
Povodí k uzávěrnému profilu
Zpomalení průtoku v krajině
Zakřivení profilu
Zakřivení svahu v profilu
Průtokové charakteristiky, eroze,
usazování sedimentů, geomorfologie
Rovinné zakřivení
Zakřivení vrstevnic
Konvergence / divergence toků,
sediment-transport, půdní specifika
32
Tečné zakřivení
Rovinné zakřivení
násobené sklonem
Alternativní míra konvergence /
divergence odtokové sítě
Elevation percentile
Podíl buněk DEM situovaných
v definovaném kruhu níž než
centrální buňka
Relativní pozice v krajině,
geomorfologie, výskyt rostlin
Zdroj. Moore, Grayson, and Ladson (1991) – Digital terrain modeling: A review of hydrological,
geomorphological, and ecological applications. Hydrological Processes 5: 3–30.
Copyright © 1991 by John Wiley and Sons Ltd.
Principy výpočtu vybraných primárních charakteristik
(i) Sklon terénu lze odvodit dvěma základními způsoby: (1) na základě trigonometrie
(takto bylo postupováno i při analýze sklonitosti terénu na experimentálním povodí
Modrava 2), a (2) na základě diferenciální geometrie. Dle prvně zmíněného přístupu je
sklon svahu (v procentech) počítán jako změna výšky ∆z ku vzdálenosti ∆s,
sklon(%) = 100 (∆z / ∆s),
(2.34a)
kde ∆z značí rozdíl výšek (m) mezi daným bodem z mřížky DEM a jeho nejnižším
sousedním bodem, a ∆s je vzdálenost (m) těchto dvou bodů (v případě DEM definovaného
ortogonální mřížkou jde buď o délku strany nebo diagonály buňky). Chceme-li údaj ve
stupních, použijeme vztah
sklon(rad) = arctan(∆z / ∆s),
resp. sklon(°) =
180
∆z
arctan
.
̟
∆s
(2.34b)
Je třeba vzít v úvahu, že tato metoda volí nejprudší sklon z omezeného množství směrů,
které je dáno počtem sousedních bodů v mřížce; v případě ortogonální mřížky je směrů
osm, v případě pravidelné trojúhelníkové (hexagonální) pouze šest.
Obecný a korektnější přístup poskytuje druhá metoda výpočtu využívající principů
diferenciální geometrie. Sklon je odvozen z velikosti vektoru gradientu ∇z funkce z = f(x,
y), která popisuje terén. Vztah pro gradient ∇z funkce z má tvar ∇z = (∂z/∂x, ∂z/∂y),
výsledný sklon v procentech je tedy dán rovnicí
2
2
 ∂z   ∂z 
sklon(%) = 100 ∇z = 100   +   .
 ∂x   ∂y 
(2.35)
Aby mohl být přístup popsaný rovnicí (2.35) aplikován na pravidelnou síť bodů DEM,
využívají se pro výpočet sklonu různé aproximační metody, nejčastěji splining nebo
polynomiální aproximace. Nejčastěji využívanou technikou je v těchto případech
aproximace polynomem druhého řádu o dvou neznámých, tedy kvadratická aproximace
popsaná rovnicí (2.26), jež vede k jednoduchým odhadům sklonu na základě váženého
průměru rozdílů výšek mezi daným bodem a jeho osmi sousedními body [Moore et al.,
1991; Warren et al., 2004; Mitášová et al., 2005; Peckham and Jordan, 2007]. Výpočty
33
sklonu odvozené z modelů TIN uvádí Moore et al. [1991]; zapotřebí jsou zde pouze 3-D
souřadnice bodů modelu terénu.
(ii) Aspekt, tj. azimut svahu, představuje orientaci svahu vůči severu – jde o
orientovaný úhel (ve směru hodinových ručiček), o který je odkloněn směr největšího
gradientu svahu od severu. V textu bude dále užíváno označení aspekt, se kterým se
setkáme v cizojazyčné literatuře. Aspekt je na základě diferenciální geometrie dán vztahem
∂z
∂y
.
γ = arctan
∂z
∂x
(2.36)
Záleží ovšem na výpočetním algoritmu. Používáme-li např. jednosměrný odtokový
algoritmus na ortogonální síti DEM, může aspekt nabývat pouze osmi hodnot úhlu, které
jsou odstupňovány po 45 stupních. Aspekt se využívá při výpočtech intenzity slunečního
záření v dané lokalitě, v kartografii při stínování reliéfu, při tvorbě povětrnostních map
apod.
(iii) Výpočtům zakřivení terénu se věnují Moore et al. [1991], Hengl et al. [2003],
Peckham and Jordan [2007], aj. Obdobně jako u výpočtu sklonu lze i zde užít kvadratickou
polynomiální aproximaci dle rovnice (2.26). Zakřivení terénu hraje významnou roli
v procesech eroze půdy, transportu sedimentu a jeho usazování. Eroze a její kvantifikace
jsou předmětem sekundárních terénních charakteristik.
(iv) Kvantifikace délek a rozloh na povodí (délka toku, délka povodí, rozloha povodí
a jeho segmentů, specifická rozloha povodí apod.) je založena na implementaci
odtokových algoritmů, jejichž stručný popis je obsahem sekce 2.7. Opět závisí na použité
struktuře DEM, já jsem se zabýval algoritmy pracujícími na bázi pravidelné sítě bodů
modelu terénu.
Na základě podrobných analýz hodnot RMSE pro sklon, aspekt, zakřivení profilu
terénu a rovinného zakřivení terénu vyplývají následující čtyři poznatky: (1) hodnoty
RMSE všech čtyř charakteristik jsou přímo úměrné hodnotám RMSE výšek; (2) hodnoty
RMSE těchto charakteristik narůstají s klesajícím rozlišením mřížky DEM; (3) hodnoty
RMSE u obou charakteristik zakřivení terénu reagují na změny v rozlišení mřížky citlivěji
než hodnoty RMSE pro sklon a aspekt; (4) hodnoty RMSE všech čtyř charakteristik rostou
s klesajícím gradientem sklonu, tj. na plošinách [Wilson and Gallant, 2000].
34
2.6.2
Sekundární terénní charakteristiky
Tabulka 2.2 Přehled sekundárních terénních charakteristik
Charakteristika
Definice, význam, využití
Topografické indexy
 SCA 
WT = ln 

T tan β

Prostorová distribuce vlhkosti, analytický předpis.

Popis ustáleného stavu, základ pro popis odtoku z povodí.
(T je transmisivita půdy)
 SCA 

 tan β 
W = ln 
Obdoba WT za předpokladu stál. podmínek:
T = konst. na celém povodí, As je velká (konvergentní segmenty
krajiny), β je malé (úpatí konkávních svahů, kde klesá gradient
sklonu). Počítáno podél toků a v zónách s velkou koncentrací vody
v krajině. Základní parametr pro TOPMODEL [Beven, 1986].
Indexy vydatnosti toku
SPI = SCA tan β
Míra tendence k erozi půdy.
Předpokladem je úměra průtoku ke specifické rozloze povodí As.
m
 SCA   sin β 
LS = (m + 1)
 

 22,13   0,0896 
n
Index kapacity transportu sedimentu.
Odvozeno z teorie vydatnosti spec. průtoku, empirický vztah.
Indexy záření
Popis intenzity slunečního záření v dané oblasti v závislosti na
různých faktorech (zvolená časová perioda, orientace svahů, vlnová
délka sledovaného záření, rozptyl světla v atmosféře aj.). Využití
při výpočtech transpirace a evaporace, energetického potenciálu aj.
[Moore et al., 1991; Wilson and Gallant, 2000].
Zdroj. John P. Wilson, John C. Gallant (2000) – Terrain Analysis: Principles and Application.
479 s. Copyright © 2000 by John Wiley and Sons Ltd. ISBN: 0471321885.
2.7 Odtokové algoritmy
Pro výpočet specifické rozlohy povodí (SCA, viz sekce 2.6.1) lze využít několik
algoritmů, jež na matrici pravidelné sítě bodů DEM vyhodnocují směry povrchového
odtoku vody. Odtokový algoritmus provede pro daný bod analýzu výšek všech bodů v jeho
bezprostředním okolí (tj. osmi bodů v případě ortogonální sítě), a na základě toho
vyhodnotí jeden či více směrů, kterými bude odtok z daného bodu realizován.
Pro odtokové algoritmy platí jiný přístup pro chápání buňky DEM. Zatímco dosud
jsme za buňku mřížky DEM pokládali prostor vymezený mezi spojnicemi bodů v mřížce
(u ortogonální sítě jde o čtverec či obdélník vymezený čtyřmi okrajovými stranami), u
35
odtokových algoritmů je za buňku, též označovanou jako pixel, považován prostor
bezprostředního okolí jednoho bodu vymezený příslušným Thiessenovým polygonem.
(a)
(b)
Obr. 2.9 Buňka a pixel. Buňky jsou vymezeny spojnicemi bodů sítě DEM, zatímco pixely tvarově
odpovídají příslušným Thiessenovým polygonům dané sítě bodů.
(a) Ortogonální síť. Thiessenův polygon má stejný tvar jako buňka vymezená spojnicemi bodů.
(b) Pravidelná trojúhelníková síť. Thiessenův polygon je tvaru šestiúhelníku, podle něhož bývá tento
typ sítě také nazýván jako hexagonální.
Jak je patrné z obrázku 2.9, v případě ortogonální sítě bodů mají takto vymezené
pixely stejný tvar i velikost, jako buňky vymezené dle prvního přístupu, ovšem nyní jsou
body DEM situovány ve středech těchto pixelů a tyto pixely přebírají chování svého bodu.
V případě pravidelné trojúhelníkové sítě (buňky tvaru rovnostranných trojúhelníků) je
příslušným Thiessenovým polygonem pravidelný šestiúhelník, a proto těmto sítím také
říkáme šestiúhelníkové neboli hexagonální.
Následující řazení jednotlivých algoritmů splňuje chronologický vývoj. Algoritmy
jsou nejvíce využívány na jednoduché čtvercové síti bodů DEM, z toho pramení i názvy
některých z nich. Proto budou na této struktuře modelu terénu také popsány.
2.7.1
D8
Algoritmus D8 představili O’Callaghan a Mark [1984]. Jde o nejjednodušší způsob
distribuce povrchového odtoku z bodu, a proto je tato metoda velmi užívaná. Využita byla
i při analýze DTM na experimentálním povodí Modrava 2. Jak už název algoritmu
napovídá, každý bod, resp. pixel, odvádí vodu do jednoho z osmi sousedů (viz obrázek
2.10), ve směru nejpříkřejšího sklonu. Jde o deterministický, jednosměrný model odtoku
(single flow).
Celková rozloha povodí (TCA) je potom rovna sumě všech pixelů, jež jsou tímto
způsobem odvodňovány zvoleným uzávěrným profilem, násobené plochou jednoho pixelu.
Specifická rozloha povodí (SCA), využívaná např. pro TOPMODEL, je dána podílem
TCA a šířky průtočného segmentu, v tomto případě délky hrany jednoho pixelu.
36
Velkou výhodou tohoto algoritmu je bezesporu jeho jednoduchá implementace a
nízká výpočtová složitost. Na druhou stranu jsou výsledky podané tímto algoritmem
zatíženy značnými nepřesnostmi. Velkým nedostatkem je (1) diskretizace směrů toku po
úhlu π/4 (45°), a (2) absence divergence toků. Protože každý pixel má pouze jediný
recipient, není možné rozdělení toku do více větví. Každý tok je tedy reprezentován pouze
jednou linií tvořenou na sebe navazujícími pixely, takže jde o jednodimensionální
reprezentaci toků. Dochází tak k několika typům chyb v závislosti na povaze terénu.
K jinému zkreslení sítě toků dojde, mají-li toky vlivem morfologie terénu tendenci
divergovat (konvexní tvar vrstevnic, šíře odtokových cest se zvětšuje), konvergovat
(konkávní tvar vrstevnic, šíře odtokových cest se zmenšuje) nebo být paralelní (vrstevnice
přímkového charakteru, nakloněná rovina). Paralelní toky jsou typickým rysem algoritmů
na bázi D8 – několik toků tekoucích vedle sebe, ale bez vzájemných interakcí.
V souvislosti s uvedenými fakty také pro řešený pixel nelze určit rozlohu území, které je
zásobováno vodou odtékající z řešeného pixelu (dispersal catchment area, DCA) [Moore
et al., 1991; Costa-Cabral and Burges, 1994].
Zcela přesné výsledky ve výpočtu TCA a SCA lze prostřednictvím D8 získat pouze
tehdy, když tok teče striktně ve směru osy x nebo y. Ve zbylých případech dochází ke
dvěma typům chyb: (1) k chybě postihující směr toku, a (2) k chybě podhodnocující TCA
a SCA. První typ chyby je způsoben faktem, že skutečný směr toku je s velkou
pravděpodobností odlišný od násobku hodnoty úhlu π/4 a v modelu tak dochází k
odklonům toku od jeho skutečné trasy. Druhý typ chyby je výsledkem 1-D projekce toku
do roviny. K největší chybě dojde v případě diagonálního směru toku – tehdy je
podhodnocení dvojnásobné. Ve všech ostatních případech se násobek podhodnocení
pohybuje v intervalu od jedné (v případě kardinálního směru) do dvou. Dle směru toku je
tedy pro výpočet CA potřeba zvolit příslušný korekční násobek.
Zcela identický postup výpočtu odtokových cest je prováděn i u algoritmu D4
(proudění umožněno pouze v kardinálních směrech) a D6 (pro případ pravidelných
šestihranných pixelů hexagonální sítě).
2.7.2
Rho 8
Stejně jako v případě D8 jde o jednosměrný odtokový algoritmus, který si vybírá
z osmi možných směrů. Popsali ho Fairfield a Leymarie [1991]. Na rozdíl od D8 je zde
však přidána stochastická komponenta, jež umožňuje odklon toku od směru
determinovaného dle zásad D8 a tím umožňuje realističtější vystižení skutečné situace.
Výběr mezi potenciálními příjemci vody se realizuje jednoduchou stochastickou
metodou. Jednomu bodu je přidělena pravděpodobnost p, se kterou bude vybrán jako
příjemce vody, druhému pravděpodobnost (p – 1). Tato pravděpodobnost se obvykle řídí
aspektem daného bodu. Je-li aspekt např. π/6 (počítáno od severu po směru hodinových
37
ručiček), algoritmus D8 by v daném místě rozhodl pro severovýchodní směr (π/4), zatímco
u algoritmu Rho 8 je jistá pravděpodobnost, že výsledným směrem toku bode sever (0).
I zde však zůstává problém s divergencí toků, která není umožněna, a namísto
paralelních toků je třeba počítat s jejich náhodnou konvergencí, což zase vede k možnosti,
že některé pixely budou při celkové kalkulaci rozlohy povodí vynechány.
2.7.3
Lea
Jde o deterministický jednosměrný algoritmus, který představil Lea [1992] a který
řeší nedostatky předešlých dvou algoritmů. Směr odtoku je roven místnímu aspektu, takže
už není omezen na pouhých osm možností. Tento princip je dále rozpracován v odtokovém
modelu DEMON [Costa-Cabral and Burges, 1994]. Linie toku vody je modelována jako
trajektorie míčku kutálejícího se ze svahu. Pro každý pixel se na jeho hranicích stanovuje
místo vstupu a výstupu linie toku. Stále je ovšem vyloučena divergence toků.
2.7.4
Metody vícesměrného odtoku
Vícesměrné odtokové algoritmy (multiple flow) řeší základní problém algoritmů
jednosměrných – 1-D reprezentaci toku. Na rozdíl od nich je odtok vody z jednoho pixelu
distribuován dle specifikovaných zásad mezi všechny níže položené sousední pixely.
Quinn et al. [1991] popsal způsob distribuce, při níž jsou příjemci vody z řešeného
pixelu ohodnoceny váhami, které jsou dány součinem sklonu a efektivní průtočné šířky,
n
wi = Si Li / ∑i =1 Si Li .
Freeman [1991] definuje váhy opět dle hodnot příslušných sklonů, které jsou ovšem
umocněny koeficientem p, pro který se testováním osvědčila hodnota 1,1.
Při výpočtu TCA a SCA je plocha každého z pixelů zahrnuta jen z časti, jež
proporcionálně odpovídá přidělené váze průtoku.
2.7.5
DEMON
DEMON, Digital Elevation Model Networks [Costa-Cabral and Burges, 1994], je model
pro výpočet charakteristik TCA, SCA, TDA a SDA. Základ tvoří odtokový algoritmus od
Lea [1992], zde lze ovšem přesně definovat průtočnou šířka ω uvnitř pixelu, k němuž
chceme vztáhnout jednu z uvedených charakteristik. V tomto pixelu se tak vytvoří dvě
rovnoběžné linie orientované dle nejpříkřejšího sklonu, které tvoří levou a pravou hranici
budoucího toku. Tyto linie se nadále rozvíjejí nezávisle na sobě dle principu uvedeného
v algoritmu od Lea. Uvedený postup dokumentuje obrázek 2.10. Takto definovaný model
tedy uvažuje 2-D tok (plocha, nikoli pouze linie) a umožňuje divergenci toku. Proto je
38
možné definovat i plochy zásobované vodou protékající pixelem, pro nějž danou
charakteristiku řeším (tj. TDA a SDA).
(a)
(b)
Obr. 2.10 Porovnání směrů odtoku pro dva různé odtokové algoritmy: (a) D8, (b) DEMON.
Zdroj. M. C. Costa-Cabral and S. J. Burges (1994) – Digital Elevation Model Network (DEMON): A model
of flow over hillslopes for computation of contributing and dispersal areas.
Water Resources Research, Vol. 30, No. 6, s. 1681–1692, 1994.
Vyhodnocení nejpříkřejšího sklonu a výsledného směru odtoku pro daný pixel je
obvykle výsledkem lineární aproximace terénu na vymezeného okolí pixelu. Podrobný
popis algoritmu je předmětem práce pánů Costa-Cabrala a Burgese [1994].
2.7.6
D∞
Zcela nový přístup prezentoval Tarboton [1997]. Využívá výhod modelu DEMON,
odvození nejprudšího sklonu pro daný pixel a tedy i směru odtoku na území tohoto pixelu
je však odlišný. V tomto případě se sklonitost terénu analyzuje pouze na svazích
vymezených mezi řešeným pixelem a jeho níže položenými sousedy, na rozdíl od modelu
DEMON, kde se do výsledného sklonu a směru promítly i svahy mezi řešeným pixelem a
jeho výše položenými sousedy. Dle přístupu Tarbotona je okolí pixelu, jehož sklon a směr
odtoku řešíme, definováno osmi rovinnými trojúhelníky. Tyto trojúhelníky vzniknou
rozdělením pole 3 × 3 pixely, jehož středem je řešený pixel, kardinálně a diagonálně
vedenými řezy. Všechny trojúhelníky se stýkají ve středu celého pole, tedy v řešeném
(centrálním) bodě. Pro každý takto vzniklý trojúhelník se vyhodnotí dílčí směr odtoku –
vždy jde o vektor s počátkem v centrálním bodě. V trojúhelníku, kterým probíhá úhel
aspektu daného místa, je orientace tohoto vektoru shodná s aspektem; ve všech ostatních
trojúhelnících je orientace vektoru shodná s nejpříkřejší hranou trojúhelníku. Výsledný
směr odtoku pro řešený pixel je potom shodný s jedním z právě odvozených dílčích
vektorů, jehož gradient je největší. Není-li výsledný směr kardinální ani diagonální, počítá
se specifická rozloha daného pixelu na základě proporcionálního rozdělení toku mezi dva
sousední pixely, k nimž výsledný směr míří (proporcionalita závisí na úhlu výsledného
směru).
39
3 Sběr a příprava dat
3.1 Popis experimentálního povodí Modrava 2
Zájmová oblast je povodím potoka Mokrůvka s uzávěrným profilem o zeměpisných
souřadnicích 48°58’27,3’’ severní šířky a 13°30’42,5’’ (systém WGS 84). Povodí se
rozkládá na severovýchodním svahu Malé Mokrůvky a severozápadním svahu Mrtvého
vrchu.
(a)
(b)
Obr. 3.1 Vymezení zájmové oblasti. (a) Přibližná poloha Modravy na mapě ČR, (b) vymezení oblasti
experimentálního povodí „Modrava 2“.
Zdroj. (a) Google Earth, freeware aplikace, dostupné z: http://earth.google.com/, (b) Rastrová mapa České
republiky 1:50 000, Geoportál ČÚZK, dostupné z: http://geoportal.cuzk.cz/wmsportal/.
Z geologického hlediska je zdejší území budováno moldanubikem silně
metamorfovaných hornin, místy pak moldanubickým plutonem vystupujícím až k povrchu
v podobě granitových sutí a drobné skalky na Mrtvém vrchu. Význačnou geologickou
lokalitou je nivační mísa v severozápadním svahu Malé Mokrůvky, pozůstatek z doby
místního zalednění.
Vegetační pokryv tvoří z bylinného patra převážně travinné druhy, borůvčí a mechy,
obvyklé jsou také menší lokality porostlé výhradně kapradinami; ze stromového patra pak
solitérně či ve shlucích rostoucí mladé smrky, vzácněji i jeřáby. Ve vyšších polohách, při
jižním okraji povodí (podél státní hranice), začíná oblast mrtvého lesa zasaženého
kůrovcovou kalamitou. Při severovýchodním okraji povodí se zachovala vysoká smrková
monokultura.
Obr. 3.2 Letecký pohled na zájmovou oblast od JVJ.
Zdroj. Google Earth, freeware aplikace, dostupné z: http://earth.google.com/.
Podrobný obrázek vymodelovaného reliéfu je dále obsahem přílohy 9.2.
Z hydrologického hlediska je zajímavá lokalita poblíž sedla mezi Malou Mokrůvkou
a Mrtvým vrchem, jež je prameništěm potoka Mokrůvka. Jde o lokalitu s plochým terénem
a obvykle velkou saturací půdy, takže po vydatnějších deštích se zde tvoří povrchový
odtok ze zdrojových ploch. Z hlediska srážek jde o oblast nadprůměrně vydatnou. Průtok
potoka Mokrůvka uzávěrným profilem typu Thompson má průměrné hodnoty kolem 1 l/s,
v době tání sněhu obvykle 2 až 3 l/s. Posledním extrémním průtokem byla hodnota 136,5
l/s ze dne 2. 3. 2008 (vichřice Emma).
3.2 Sběr topologických dat
Data pro DEM byla získána tachymetrickým měřením v terénu prostřednictvím
totální stanice japonské značky TOPCON GTS 212. Měření totální stanicí patří
k nejpřesnějším metodám sběru dat pro DEM; u naměřených bodů lze docílit až
milimetrové přesnosti.
Obsahem terénních prací byly následující činnosti: (1) podrobná rekognoskace
území, (2) vytýčení podrobných bodů polygonového pořadu, (3) zaměření podrobných
bodů polygonového pořadu totální stanicí, (4) kontrolní technická nivelace podrobných
bodů polygonového pořadu, (5) tachymetrická měření provedená z podrobných bodů
polygonového pořadu.
41
Polygonový pořad je znázorněn na obrázku 3.3 a také v přílohách 9.1 a 9.2. Je
cyklický a má 17 podrobných bodů včetně výchozího trigonometrického bodu č. 9,
Mokrůvka II., ve kterém pořad začíná a v němž je pořad také uzavřen. Trigonometrický
bod je situován na vrcholu Malé Mokrůvky, několik metrů od státní hranice; souřadnice
hranolu trigonometrického bodu jsou: y = 825 997,82 m, x = 1 156 647,83 m (systém
SJTS-K); Bpv = 1330,30 m (výška v relaci k Baltu po vyrovnání). Trasa polygonového
pořadu byla vedena tak, aby z jednotlivých bodů pořadu bylo možno tachymetrickým
měřením pokrýt celou zájmovou oblast. Výstupem zaměření podrobných bodů
polygonového pořadu byly (1) vrcholové úhly ωi mezi jednotlivými body pořadu (tj.
orientované úhly měřené z bodu i, přičemž nulová orientace je ustanovena na bodě i – 1 a
hodnota výsledného úhlu zaměřena na bodě i + 1), dále (2) vzájemné délky si,i+1 mezi
sousedními body pořadu, a (3) rozdíl výšek mezi sousedními body pořadu, tj. převýšení
zi,i+1.
Obr. 3.3 Trasa polygonového pořadu v zájmové oblasti experimentálního povodí Modrava 2.
Rozměry jsou v metrech. Podrobně je celá oblast zobrazena v příloze 9.2.
Výsledkem tachymetrie je soubor 2 910 bodů o relativních ortogonálních
souřadnicích x, y, z vztažených k bodům polygonového pořadu, z nichž měření proběhlo.
Hustota naměřených bodů v terénu byla různá, závisela především na lokálních
morfologických podmínkách. Nečastěji se měřilo v odstupech cca 10 metrů, na svahu Malé
Mokrůvky i větších. Naopak dolní část údolnice byla zaměřena velice detailně – s odstupy
mezi body i kolem dvou metrů. Údaj o každém bodě byl doplněn kódem označujícím (i)
lokální morfologické atributy terénu, a (ii) vegetační či půdní pokryv dané lokality.
42
Konečným výstupem sběru dat na zájmovém území jsou tedy (1) data polygonového
pořadu, tj. vrcholové úhly v podrobných bodech pořadu, a (2) data tachymetrie, tj. relativní
ortogonální souřadnice bodů, ze kterých bude interpolován DEM.
3.3 Metodika přípravy topografických dat
Cílem přípravy dat je vytvoření konzistentního datového souboru, který bude možné
využít pro tvorbu digitálního modelu terénu a jeho analýzu. Jak už bylo řečeno výše,
digitální model terénu bude interpolován z dat tachymetrického měření. Naměřená data ve
své surové podobě ovšem nejsou pro tvorbu DEM schůdná. Souřadnice jednotlivých bodů
tachymetrie jsou pouze relativní a netvoří tak konzistentní popis terénu. Nejprve je třeba
provést výpočet souřadnic bodů polygonového pořadu (sekce 3.3.2), čehož je následně
využito pro požadovaný převod relativních ortogonálních souřadnic jednotlivých bodů
tachymetrie do souřadnic absolutních (sekce 3.3.3).
3.3.1
Výpočet souřadnic bodů polygonového pořadu
Výpočet souřadnic bodů polygonového pořadu vychází (1) z vrcholových úhlů
naměřených v těchto bodech, (2) z délek stran naměřených mezi každou dvojicí
sousedních bodů, a (3) z jejich převýšení. Celý proces výpočtu souřadnic pak obnáší tyto
čtyři úkony: (i) úhlové vyrovnání, (ii) výpočet směrníků, (iii) souřadnicové vyrovnání a
(iv) výpočet výšek.
(i) Výpočet úhlového vyrovnání je procedura, při níž je vyhodnocena celková chyba
z měření vrcholových úhlů. Výpočet hodnoty odchylky úhlového uzávěru oω provedeme
dle rovnice
n
oω = ∑ ωi − 200(n + 2) ,
(3.1)
i =1
kde n je počet bodů v polygonu. Hodnota odchylky úhlového uzávěru nesmí přesáhnout
hodnotu mezní odchylky úhlového uzávěru ∆ω dané rovnicí
∆ ω = 0,01 n .
(3.2)
Všechny hodnoty úhlů jsou uváděny v gonech (400g ≈ 2π). Výsledná odchylka oω se
rovnoměrně rozdělí do dílčích korekcí δi.
(ii) Následuje výpočet směrníků. Vycházíme z rovnice
σi ,i +1 = σi −1,i + ωi + δi − 200 ,
(3.3)
43
kde σi,i+1 je směrník v bodě i orientovaný na bod (i + 1); σi-1,i je směrník v předchozím
bodě pořadu (i – 1) orientovaný na bod i; δi je korekce úhlového vyrovnání pro vrcholový
úhel ωi. Tímto způsobem vypočteme směrníky pro všechny body polygonového pořadu.
(iii) Cílem souřadnicového vyrovnání je vypočítat výsledné rovinné souřadnice bodů
polygonového pořadu (y, x). Nejprve vypočteme relativní souřadnice ∆y a ∆x bodu (i + 1)
vztažené vždy k předchozímu bodu i (jde tedy o rozdíly y-ových a x-ových souřadnic
každých dvou sousedních bodů v polygonovém pořadu), a to dle rovnic
∆yi ,i +1 = si ,i +1 sin σi ,i +1 pro směr dle osy y,
(3.4)
∆x i ,i +1 = si ,i +1 cos σi ,i +1 pro směr dle osy x,
(3.5)
kde si,i+1 je vzdálenost bodů i a (i + 1), která je změřena. Následuje výpočet odchylek
souřadnicových uzávěrů. Hodnota odchylky oy ve směru osy y je dána sumou všech
relativních souřadnic vypočtených dle rovnice (3.4), respektive rovnice (3.5) pro odchylku
ox ve směru osy x. Protože polygonový pořad tvoří cyklus, měly by být odchylky oy a ox
v ideálním případě rovny nule. Výsledná odchylka op je potom dána pythagorejským
vztahem
o p = o 2y + ox2 ,
(3.6)
a tato hodnota nesmí přesáhnout hodnotu mezní odchylky dané rovnicí
∆ p = 0,04
n −1
∑s
i =1
i ,i +1
,
(3.7)
kde uvedená suma představuje délku polygonového pořadu. Odchylky pro směr y a x se
rozdělí proporcionálně k velikosti ∆y a ∆x do dílčích korekcí. Výsledné souřadnice y, x
bodů polygonového pořadu jsou potom dány rovnicemi
yi +1 = yi + ∆yi ,i +1 + y δi ,
(3.8)
x i +1 = x i + ∆x i ,i +1 + x δi ;
(3.9)
kde yδi, resp. xδi jsou korekce souřadnicového vyrovnání. Při výpočtu vycházíme ze
souřadnic (y1, x1) výchozího bodu polygonového pořadu, kterým je v našem případě
trigonometrický bod č. 9, Mokrůvka II.
(iv) Zbývá výpočet výšek bodů polygonového pořadu. Jednotlivá převýšení mezi
sousedními body pořadu jsou změřena, takže stačí vyjít z výšky trigonometrického bodu č.
9, Mokrůvka II., a pro jednotlivé body pořadu postupně vyhodnocovat kumulativní sumu
příslušných převýšení. Protože je polygonový pořad cyklický, na konci výpočtu se
dostaneme zpět do výchozí hodnoty. Pro kontrolu porovnáme vypočtenou hodnotu výšky
se skutečnou, maximální povolená odchylka je potom dána vztahem
44
∆ z = 40
n −1
∑s
i =1
i ,i +1
,
(3.10)
kde délka pořadu je v km. [Chamout and Skála, 2003].
Numerické výpočty dle uvedené metodiky byly provedeny v programu Microsoft
Excel. Výstupem je soubor Polygon_souradnice.xls.
3.3.2
Transformace souřadnic bodů tachymetrie
Nyní přejděme k tachymetrii. Na zájmovém území experimentálního povodí
Modrava 2 bylo provedeno celkem 17 sérií tachymetrických měření z různých stanovišť.
Stanoviště tvořily vybrané body polygonového pořadu (nikoli všechny, z některých bylo
měřeno naopak vícekrát), jejichž souřadnice jsou již známy. Důležitým aspektem měření je
skutečnost, že jednotlivé série tachymetrických měření postrádají jednotnou směrovou
orientaci ortogonálních souřadnic svých bodů. To se v praxi projeví tím, že zatímco body
v rámci jedné série měření jsou vůči sobě situovány správně, body z různých dvou sérií
jsou vzájemně vychýleny o chybný úhel α. Proto nelze body tachymetrie ihned
souřadnicově připojit k bodům polygonového pořadu. Nejdříve je nutné provést
transformaci souřadnic bodů tachymetrického měření. Transformací ortogonálních
souřadnic rozumíme rotační posun pozicí jednotlivých bodů o zmíněný úhel α (odlišný pro
každou sérii měření) tak, aby všechny body tachymetrie měly jednotnou orientaci a tvořily
tak celistvý popis terénu. Ideální jednotnou orientací pro všechny série měření se jeví jižní
směr, neboť k jihu je vztažen směrník.
Hodnotu úhlu α neznáme, nicméně její výpočet vychází z jednoduchých
pythagorejských a goniometrických výpočtů, jejichž vstupem je (1) hodnota směrníku
daného stanoviště, příp. i okolních stanovišť, (2) hodnota vrcholového úhlu daného
stanoviště, příp. i okolních stanovišť, a (3) hodnoty dvou úhlů zacílených ještě před
započetím vlastního tachymetrického měření z daného stanoviště na jiné dva body
polygonového pořadu (nejlépe sousední). Tak lze odvodit hodnotu orientovaného úhlu α, o
který je odchýlena orientace bodů dané série měření od směrníku.
Otáčení bodů kolem počátku soustavy souřadnic O (0;0) (tím je zde dané stanoviště,
protože souřadnice bodů jsou zatím pouze relativní a jsou vztaženy právě ke stanovišti) o
orientovaný úhel α je dáno vztahy
x' = x cosα – y sinα,
(3.11)
y' = x sinα + y cosα;
(3.12)
kde (x', y') jsou transformované souřadnice výchozích souřadnic (x, y). [Chamout and
Skála, 2003]. Maticové vyjádření transformace otočením je dána vztahem
 cos α sin α 0 


AR =  − sin α cos α 0 
,
 0

0
1


(3.13)
45
přičemž vlastní transformace se provede součinem matic
PT = P⋅AR,
(3.14)
kde P je matice vstupních hodnot (souřadnice x, y, z ve sloupcích) a PT je matice
výstupních transformovaných souřadnic.
Po transformaci je třeba body tachymetrického měření ještě připojit k bodům
polygonového pořadu, čímž bude dovršen převod relativních souřadnic bodů na souřadnice
absolutní. Ke všem souřadnicím (x, y) bodů dané série měření se plošně přičtou hodnoty
souřadnic daného stanoviště, jejichž výpočet byl předmětem sekce 3.3.1. Tímto je příprava
dat pro tvorbu DEM finalizována.
Výpočty transformace souřadnic uvedené v této metodice a rovněž i veškeré
následující výpočty a analýzy terénu, jež jsou předmětem následujících kapitol, byly
provedeny v programovacím jazyce R. Výstupním souborem transformace souřadnic bodů
tachymetrie, který je zároveň finálním produktem celé přípravy dat popsané v této kapitole,
je soubor FinalSouradnice.txt.
Obr. 3.4 Body tachymetrického měření. Barvy symbolizují příslušnost bodů ke stanovišti, z něhož měření
dané série bodů proběhlo (rozměry jsou v metrech).
46
3.4 Úvod do R
R je platformou pro statistické výpočty všeho druhu a poskytuje i grafické výstupy.
Tento jazyk je podobný komerčnímu jazyku S, který byl vyvinut v Bell Laboratories
Johnem Chambersem et al. Prostřednictvím velké škály implementovaných funkcí je v R
umožněno provádět řadu statistických a grafických technik (lineární a nelineární
modelování, statistické testování, analýzy časových řad aj.), stejně tak je možné si pro
jednotlivé funkce naprogramovat algoritmy přesně na míru. Spouštět tyto algoritmy lze
pouze z prostředí programu R (popřípadě S). R je freeware, hojně využívaný na
akademické půdě. Veškeré informace o tomto produktu a možnost jeho stažení jsou na
oficiálním webu tohoto programu, http://www.r-project.org/.
47
4 Popis řešení
4 Popis řešení
Předmětem této kapitoly je metodika tvorby pravidelné sítě bodů DEM z připravené
nepravidelné sítě bodů a následná analýza modelu terénu, jejímž výstupem jsou vybrané
primární terénní charakteristiky. Veškeré výpočty, analýzy a grafické výstupy byly
provedeny v programu R. Výstupem je softwarová aplikace v podobě souboru algoritmů,
které procedurálně řeší (1) finalizaci datového paketu pro tvorbu DEM (viz sekci 3.3.2),
(2) tvorbu DEM, tzn. transformaci nepravidelné sítě bodů do pravidelných sítí bodů DEM,
a (3) digitální analýzu terénu na pravidelných sítích bodů DEM.
4.1 Systém řešení
Sběr dat (měření v terénu)
Transformace souřadnic bodů tachymetrie
Souřadnice bodů tachymetrie
Verifikace interpolační techniky
Parametry interpolační techniky
Interpolace pravidelných sítí bodů
Ortogonální síť bodů DEM
Odtok. algoritmus D-8
Hexagonální síť bodů DEM
Odtok. algoritmus D-6
Primární terénní charakteristiky
(1) odtokové cesty, (2) sklony, (3) aspekt
Vymezení povodí pro zadaný uzávěr. profil
aspekt
sklony
Vymezené povodí
Vymezení rozvodnice
Vymezení údolnice
Vyhodnocení TCA a SCA
na území vymezeného povodí
Vyhodnocení sklonu
na území vymezeného povodí
Obr. 4.1 Schéma procedur a výstupů softwarové aplikace.
48
4 Popis řešení
4.2 Verifikace interpolační techniky, výpočet parametrů
Než může začít proces vlastní interpolace dat, je třeba zvolit vhodné parametry
interpolační techniky. Softwarová aplikace, jež je předmětem této práce, využívá k odhadu
výšky interpolovaného bodu dvě jednoduché metody, (1) metodu aritmetického průměru
(„AP“), a (2) metodu IDW („IDW“). V prvním případě je potřeba pouze jeden parametr, a
tím je počet bodů n v okolí interpolovaného bodu, z nichž bude interpolace výšky
provedena. V případě interpolační metody IDW jsou to parametry dva, kromě n
potřebujeme znát ještě hodnotu exponentu β. Metodika postupu při interpolaci výšky
metodou aritmetického průměru a IDW je obsahem sekcí 2.3.1, resp. 2.3.2; obecný princip
určení ideální hodnoty parametrů dané techniky je uveden rovněž v sekci 2.3.2 a dále
v sekci 2.5.1.
Vstupem pro proceduru vyhodnocení vhodných parametrů interpolační techniky je
soubor s daty naměřenými v terénu – FinalSouradnice.txt, jehož obsahem jsou
ortogonální souřadnice (x, y, z) bodů tachymetrického měření (ukázka struktury souboru je
obsahem přílohy 9.9).
Proces verifikace obou interpolačních metod použitých v aplikaci sestává ze dvou
základních částí. První se věnuje kalibraci metody, druhá její validaci. Proces kalibrace
pracuje při interpolaci hodnot v zaměřených bodech s celým souborem měřených dat,
zatímco validační proces pouze s náhodně vybraným vzorkem. Jinak není mezi
kalibračním a validačním procesem žádný rozdíl. Oba dělím do čtyř menších procedur,
schéma popisující jejich vstupy, výstupy a vzájemnou návaznost je uvedeno na obr. 4.2.
(1) První z procedur, kterou představují skripty AP_odhady-vysek.R (pro
metodu AP), resp. IDW_odhady-vysek.R (pro metodu IDW; viz přílohu 9.10),
zajišťuje interpolaci hodnot ve všech tachymetrických bodech, a to na základě vstupního
souboru dat, kterými jsou tytéž body. Do kalibrace vstupují všechny body tachymetrie,
zatímco v případě validace pouze náhodný výběr 1 500 z nich. Pro každý interpolovaný
bod je nejprve vypočtena vzdálenost od všech ostatních bodů v souboru. Vzdálenost mezi
dvěma body (interpolovaným p0 a jakýmkoli jiným pi), jejichž rovinné souřadnice jsou (x,
y), je dána vztahem
d0,i =
(x ( pi ) − x ( p0 ))2 + (y( pi ) − y( p0 ))2 .
(4.1)
Na základě toho je poté uskutečněn výběr n jeho nejbližších bodů z okolí, které budou
použity k interpolaci jeho výšky. Pro interpolaci bodu p0 tedy vybereme n takových bodů
pi, jejichž příslušné vzdálenosti d0,i od bodu interpolovaného patří mezi n nejmenších.
Z takto vybraných bodů je nakonec vypočten odhad výšky v bodě interpolovaném; pro
metodu AP dle rovnice (2.3), pro metodu IDW dle rovnice (2.7), a to v cyklu pro n = (1;
2;…; 30) pro případ AP, nebo ve dvou vnořených cyklech pro stejné hodnoty n a pro β =
(1; 2;…; 5) v případě metody IDW. Výstupem této procedury jsou dva textové soubory z-
49
4 Popis řešení
kalib_n.txt pro kalibraci (jeden pro AP, druhý pro IDW) a dva soubory zvalid_n.txt (pro validaci), kde n značí počet n bodů využitých k interpolaci.
V případě AP je obsahem výstupu 30 odhadů výšky pro každý z tachymetrických bodů a
každý textový soubor tedy obsahuje vždy po jednom odhadu pro každý bod; v případě
IDW je obsahem výstupu 150 odhadů pro každý tachymetrický bod, kde každý ze 30
textových souborů obsahuje po 5 odhadech pro každý bod v závislosti na hodnotě β. Tato
struktura výstupů je dána strukturou výpočtového algoritmu.
FinalSouradnice.txt
Náhodný výběr
1 500 bodů
Verifikace AP/IDW
Kalibrace
Validace
AP/IDW_odhady-vysek_n.R
AP/IDW_odhady-vysek_n.R
(1) z-kalib_n.txt
(1) z-valid_n.txt
AP/IDW_RMSE+Mean.R
AP/IDW_RMSE+Mean.R
(2.a) Resid-kalib_n.txt
(2.a) Resid-valid_n.txt
(2.b) Resid-abs-kalib_n.txt
(2.b) Resid-abs-valid_n.txt
(2.c) Resid-mean-kalib_n.txt
(2.c) Resid-mean-valid_n.txt
(2.d) Resid-abs-mean-kalib_n.txt
(2.d) Resid-abs-mean-valid_n.txt
(2.e) RMSE-kalib_n.txt
(2.e) RMSE-valid_n.txt
AP/IDW_porovnani-RMSE/Mean.R
AP/IDW_porovnani-RMSE/Mean.R
(3.a) RMSE-kalib.pdf
(3.a) RMSE-valid.pdf
(3.b) Mean-kalib.pdf
(3.b) Mean-abs-valid.pdf
AP/IDW_porovnani-residui.R
Prostorová distribuce reziduí
Verifikované parametry
pro interpolaci AP/IDW
Histogramy a distrib. fce reziduí
Obr. 4.2 Schéma procedur verifikace interpolačních technik: jejich vstupy, výstupy a vzájemné vazby.
50
4 Popis řešení
(2) Druhá procedura s názvem AP_RMSE+Mean.R, resp. IDW_RMSE+Mean.R
(viz přílohu 9.11) vyhodnocuje pro každé n (AP) nebo každou kombinaci n a β (IDW):
(2.a)
rozdíly
hodnot
interpolovaných
a
měřených
(výstupy
Residkalib/valid_n.txt, celkem čtyři soubory, jeden pár pro kalibraci a validaci AP,
druhý pro kalibraci a validaci IDW; stejný systém výstupů následuje i dále);
(2.b) rozdíly hodnot interpolovaných a měřených v absolutních hodnotách (výstupy
Resid-abs-kalib/valid_n.txt);
(2.c) střední hodnotu z výstupu (2.a) (Resid-mean-kalib/valid_n.txt);
(2.d) střední hodnotu z výstupu (2.b) (Resid-abs-mean-kalib/valid_n.txt);
(2.e) dle rovnice (2.31) hodnotu RMSE (RMSE-kalib/valid_n.txt, všechny
uvedené výstupy vždy pro AP i IDW).
(3) Třetí procedura (AP/IDW_porovnani-RMSE.R) poté na základě grafických
výstupů porovnává:
(3.a) hodnoty odchylek RMSE získané v předešlé proceduře – vybírám takové parametry,
pro něž je hodnota RMSE nejmenší ze všech vyhodnocených (viz obr. 5.2, 5.3, 5.12, 5.13);
(3.b) střední hodnoty rozdílů dat měřených a interpolovaných dle obou interpolačních
technik (viz obr. 5.4, 5.14).
(4) Poslední procedura (AP/IDW_porovnani-residui.R) vyhodnocuje
prostorovou distribuci reziduí u jednotlivých bodů. Vstupem jsou výsledky druhé
procedury, ale pouze z validačního vzorku dat, pro vybrané parametry n a β. Výstupem
jsou opět grafické výstupy:
(4.a) mapy znázorňující prostorové rozložení reziduí na území zájmové oblasti (obr. 5.5,
5.6, 5.9, 5.10, 5.15, 5.16, 5.19, 5.20);
(4.b) histogramy a empirické distribuční funkce četnosti výskytu jednotlivých reziduí, opět
pro vybrané parametry n a β (obr. 5.7, 5.8, 5.17, 5.18).
4.3 Generování pravidelné sítě DEM
Při generování pravidelné sítě DEM v této softwarové aplikaci existují tři hlavní
aspekty, které mají na podobu výsledné sítě vliv. (1) Volba typu pravidelné sítě bodů
DEM, přičemž aplikace umožňuje generovat (1.a) síť ortogonální a (1.b) hexagonální; (2)
volba rozlišení sítě, tzn. sponu jednotlivých bodů, resp. velikost pixelů; a (3) zvolená
interpolační technika – (3.a) metoda aritmetického průměru výšek okolních bodů, nebo
(3.b) metoda IDW.
51
4 Popis řešení
Základem generování sítě jsou tři procesy, které se navzájem prolínají: (i) proces
výpočtu rovinných souřadnic bodů vznikající sítě DEM, během něhož dojde k rozvržení
poloh jednotlivých bodů sítě napříč polem zájmové oblasti; (ii) proces vymezení lokálního
okolí interpolovaného bodu na základě výběru n jeho nejbližších sousedních bodů, jejichž
výšky budou použity pro výsledný odhad výšky v interpolovaném bodě; a (iii) proces
vlastní interpolace výšek těchto bodů. Všechny procesy probíhají současně pro každý
interpolovaný bod, ale pro přehlednost budou rozebrány separátně. Tento sled procesů je
stejný pro tvorbu ortogonální i hexagonální sítě, rozdíl je pouze v technice rozvržení poloh
jednotlivých bodů sítě.
Vstupní data jsou obsažena v textovém souboru FinalSouradnice.txt.
4.3.1
Ortogonální síť
Nejprve se provede vymezení zájmové oblasti. Toto je učiněno vyhodnocením
rozpětí x-ových, respektive y-ových souřadnic všech bodů datového souboru; zajímá nás
tedy čtveřice hodnot xmin, xmax, ymin a ymax, které označují krajní strany ortogonálního
pole, v němž se celá zájmová oblast nachází. Rozlišení sítě je zadáno hodnotami ∆x a ∆y
označujícími vzdálenost mezi dvěma sousedními body v obou kardinálních směrech.
(i) Proces determinace polohy bodů začíná v rohu vymezeného pole o rovinných
souřadnicích (xmin, ymin). Zde je definována poloha prvního bodu sítě DEM. Při výpočtu
rovinných souřadnic dalších bodů v poli je postupováno systematicky, po řadách. Cyklus
jedné řady bodů je charakterizován fixní hodnotou souřadnice y a proměnnou hodnotou
souřadnice x, která narůstá po krocích ∆x. Takto jsou postupně determinovány polohy
bodů v jedné řadě pole. Cyklus je ukončen poté, co hodnota x přesáhne okraj pole
charakterizovaného hodnotou xmax. Poté dojde k nárůstu hodnoty souřadnice y o krok ∆y,
hodnota x je vrácena na své minimum xmin, a cyklus řady začíná znovu. Celý proces je
ukončen právě tehdy, když dojde k přesažení obou mezí xmax a ymax. Formálně lze rovinné
souřadnice bodu popsat jednoduchou rovnicí
( x , y ) = (i ⋅ ∆x , j ⋅ ∆y ) ,
(4.1)
kde i je pořadí sloupce a j pořadí řady v ortogonální síti bodů.
(ii), (iii) Proces vymezení okolí interpolovaného bodu, tj. výběr daného počtu n
nejbližších bodů použitých pro interpolaci, a následně i proces interpolace výšky bodu
probíhá zcela analogicky, jako při výpočtu vhodných parametrů interpolační techniky.
Nyní máme ovšem k dispozici konkrétní hodnoty parametrů (n, β), takže víme, kolik
nejbližších bodů využijeme k interpolaci neznámé výšky a v případě IDW i jaký zvolit
exponent tak, aby byl výsledný model terénu co nejpřesnější. Interpolovanými body jsou
neznámé body právě vznikající pravidelné sítě budoucího DEM.
52
4 Popis řešení
Algoritmy pro generování ortogonální sítě bodů DEM jsou předmětem souborů
AP_Ort_GridGenerator.R
a analogicky IDW_Ort_GridGenerator.R.
Algoritmy jsou obsaženy v příloze 9.12. Výstupem této procedury jsou textové soubory
AP_Ort_Grid_#.txt, resp. IDW_Ort_Grid_#.txt se souřadnicemi (x, y, z) bodů
ortogonální sítě DEM, kde „#“ označuje rozlišení dané sítě. Tyto soubory mají stejnou
strukturu jako vstupní soubor.
4.3.2
Hexagonální síť
Jak už bylo řečeno výše, jde vlastně o pravidelnou síť bodů, mezi jejichž spojnicemi
jsou vymezeny buňky tvaru rovnostranných trojúhelníků. Thiessenovými polygony bodů
sítě pak tvoří pravidelné šestiúhelníky, podle kterých je síť také nazývána jako
hexagonální. Spojnice sousedních bodů je pokaždé zároveň i stranou trojúhelníku, takže
všechny sousední body v síti mají mezi sebou stejnou vzdálenost. Definujme si tuto
vzdálenost jako rozlišení hexagonální sítě d. Veškerým výpočtům předchází stejně jako
v případě ortogonální sítě vymezení zájmového pole, jehož výsledkem je čtveřice krajních
souřadnic xmin, xmax, ymin a ymax.
(i) Při procesu determinace polohy bodů sítě opět vyjdeme z okraje vymezeného
pole; prvním bodem hexagonální sítě DEM tedy bude bod o rovinných souřadnicích (xmin,
ymin). Výpočet rovinných souřadnic dalších bodů pokračuje obdobným způsobem jako u
ortogonální sítě, opět po řadách. V rámci jedné řady tedy zůstává hodnota y fixní a hodnota
x se zvětšuje po krocích ∆x = d. Změna ovšem nastává tehdy, dojde-li cyklus jedné řady ke
konci. Nyní přičítáme ve směru y krok, jehož hodnota je dána vztahem vycházejícím
z analýzy rovnostranného trojúhelníku o délce strany d, tedy
∆y =
d
3,
2
(4.2)
a hodnota x je závislá na tom, jaké je pořadí nové řady bodů. Je-li její pořadí od počátku
pole liché, hodnota x je vrácena na své minimum xmin; je-li pořadí řady sudé, počáteční
hodnota x bude x = x min + d 2 . Výpočet je ukončen stejně jako v případě ortogonální sítě,
tedy přesáhnou-li hodnoty x a y své meze xmax a ymax.
(ii), (iii) Proces vymezení okolí interpolovaného bodu i proces interpolace výšky
bodu hexagonální sítě je zcela identický s postupem u ortogonální sítě.
Algoritmy pro generování hexagonální sítě bodů DEM jsou obsahem souborů
AP_Hex_GridGenerator.R a IDW_Hex_GridGenerator.R, uvedeny jsou
v příloze 9.13. Výstupem této procedury jsou textové soubory AP_Hex_Grid_#.txt
nebo IDW_Hex_Grid_#.txt se souřadnicemi (x, y, z) bodů hexagonální sítě DEM, kde
„#“ je opět rozlišení sítě.
53
4 Popis řešení
4.4 Odtokový algoritmus
Řešení odtokového algoritmu aplikovaného na síť bodů DEM nám poskytne základ
pro následnou digitální analýzu terénu. Předmětem odtokového algoritmu je projít
postupně všechny body sítě DEM a vyhodnotit pro ně (1) směr odtoku, (2) sklon terénu, a
(3) aspekt. Všechny tři procesy jsou v aplikaci řešeny pro každý bod současně. Algoritmy
provádějící tyto procesy jsou obsahem souborů Odtok-Ort.R pro ortogonální, resp.
Odtok-Hex.R pro hexagonální síť bodů a uvedeny jsou také v příloze 9.14.
4.4.1
Směr odtoku
V softwarové aplikaci byl využit odtokový algoritmus D8 pro ortogonální, respektive
D6 pro hexagonální síť bodů. Popis algoritmu je předmětem sekce 2.7.1.
Výběr směru odtoku závisí na nejníže položeném sousedním bodu. Sousední body
mohou být hledány dvěma způsoby. První způsob vychází z indexace jednotlivých řad a
sloupců ortogonální sítě bodů, jako kdyby se jednalo o matici. Každý sloupec bodů v poli
má své pořadové číslo i, řada číslo j. Bod, jehož „indexové“ souřadnice jsou (i, j), má
okolní body o „indexových“ souřadnicích (i – 1, j – 1), (i, j – 1), (i + 1, j – 1), (i – 1, j),
(i + 1, j), (i – 1, j + 1), (i, j + 1) a (i + 1, j + 1). Tento algoritmus je sice efektivní, avšak
je platný pouze pro ortogonální síť bodů. Hexagonální síť, byť je pravidelná, nelze tímto
způsobem indexovat. Proto byla zvolena jednotná varianta platná pro oba typy sítí, která
využívá „absolutní“ indexace bodů. Každý bod získá identifikační číslo, tzv. ID bodu.
Princip přidělování ID je v podstatě libovolný, protože toto číslo slouží skutečně pouze
k identifikaci bodů, nevypovídá nic o jejich poloze. Sousední body o rovinných
souřadnicích (x, y) jsou vybírány dle podmínky popsané rovnicí
(x − x ( p0 ))2 + ( y − y( p0 ))2 ≤ r
,
(4.3)
přičemž (x ( p0 ), y( p0 )) značí polohu bodu centrálního, pro který vyhodnocujeme odtokový
směr, a r je rozlišení dané sítě bodů. Tato podmínka musí být doplněna ještě druhou
rovnicí,
(x − x ( p0 ))2 + (y − y( p0 ))2 > 0 ,
(4.4)
aby bylo vyloučeno, že bude mezi sousední body vybrán i řešený bod. Tato metoda výběru
je sice robustnější a ne zcela efektivní, ovšem její síla tkví ve všestrannosti využití. Bod p,
který je takto vybrán, je příjemcem odtoku a hodnota jeho identifikátoru ID se tudíž zapíše
k datům o řešeném bodě p0 jakožto informace o směru odtoku v tomto bodě.
54
4 Popis řešení
4.4.2
Sklon
Sklon daného místa, jakožto jedna z hlavních primárních charakteristik terénu, je
v aplikaci řešen současně s procesem stanovení směru odtoku. Jeho výpočet se řídí
metodikou uvedenou v sekci 2.6.1, dle rovnice (2.34a) nebo (2.34b) – podle toho, chcemeli sklon v procentech, nebo ve stupních. Jsou-li (x ( p0 ), y( p0 ), z( p0 )) rovinné souřadnice a
výška bodu p0, pro který se směr odtoku a sklon vyhodnocuje, a (x ( pa ), y( pa ), z( pa ))
rovinné souřadnice a výška nejníže položeného souseda bodu p0, pak se sklon vypočte dle
rovnice
sklon(%) = 100
(x ( p0 ) − x ( pa ))
sklon(°) =
resp.
z( p0 ) − z( pa )
2
180
arctan
̟
+ ( y( p0 ) − y( pa ))
2
,
(4.5)
z( p0 ) − z( pa )
(x( p0 ) − x( pa ))
2
+ ( y( p0 ) − y( pa ))
2
.
(4.6)
Komplexní analýzy sklonitosti terénu lze následně provádět v rámci libovolně
zvolených částí zájmového území, např. na území povodí vymezeného daným uzávěrným
profilem dle sekce 4.5. Potom můžeme zjistit např. průměrný sklon daného území, nebo si
vytvořit histogram popisující frekvenci výskytu jednotlivých hodnot sklonů. Takový
histogram lze následně využít jako základní kritérium pro porovnávání sítí bodů DEM
dané oblasti, vygenerovaných podle různých vstupních parametrů.
4.4.3
Aspekt
Aspekt, další primární charakteristika terénu, je v pravidelných sítích bodů DEM
stejně jako směry odtoku limitován pouze osmi, respektive šesti možnými hodnotami,
kterých může nabývat. Jeho odvození pro bod p0 je proto velmi jednoduché; stačí
vyhodnotit vzájemnou pozici bodu p0 a jeho nejníže položeného sousedního bodu pa. Jsouli rovinné souřadnice bodů sítě DEM orientovány k severu (směr osy y+ má nulový
azimut), je aspekt bodů ortogonální sítě dán jednou z osmi následujících podmínek:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
[x( pa ) = x ( p0 )] ∧ [y( pa ) > y( p0 )] … 0 (0°),
[x( pa ) > x ( p0 )] ∧ [y( pa ) > y( p0 )] … π/4 (45°),
[x( pa ) > x ( p0 )] ∧ [y( pa ) = y( p0 )] … π/2 (90°),
[x( pa ) > x ( p0 )] ∧ [y( pa ) < y( p0 )] … 3π/4 (135°),
[x( pa ) = x ( p0 )] ∧ [y( pa ) < y( p0 )] … π (180°),
[x( pa ) < x( p0 )] ∧ [y( pa ) < y( p0 )] … 5π/4 (225°),
[x( pa ) < x( p0 )] ∧ [y( pa ) = y( p0 )] … 3π/2 (270°),
[x( pa ) < x( p0 )] ∧ [y( pa ) > y( p0 )] … 7π/4 (315°).
(4.7, 1–8)
55
4 Popis řešení
Obdobně, azimut bodů hexagonální sítě je dán jednou ze šesti následujících podmínek:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
[x( pa ) > x ( p0 )] ∧ [y( pa ) > y( p0 )] … π/6 (30°),
[x( pa ) > x ( p0 )] ∧ [y( pa ) = y( p0 )] … π/2 (90°),
[x( pa ) > x ( p0 )] ∧ [y( pa ) < y( p0 )] … 5π/6 (150°),
[x( pa ) < x( p0 )] ∧ [y( pa ) < y( p0 )] … 7π/6 (210°),
[x( pa ) < x( p0 )] ∧ [y( pa ) = y( p0 )] … 3π/2 (270°),
[x( pa ) < x( p0 )] ∧ [y( pa ) > y( p0 )] … 11π/6 (330°).
(4.8, 1–6)
Výstupem této sekce jsou textové soubory AP/IDW_Ort/Hex_Odtok_
#(1)/(2).txt, jejichž obsahem je sedm údajů pro každý bod sítě DEM: (1–3)
souřadnice x, y, z; dále (4) identifikátor ID; (5) identifikátor recipientu vody; (6) sklon ve
stupních; (7) aspekt a tedy i směr odtoku určený jednou z číslic 1 až 8, resp. 1 až 6.
Důvodem rozdělení výstupních dat do dvou souborů (1) a (2)jsou kapacitní limity
textových souborů .txt. První soubor obsahuje údaje (1) až (4), druhý zbylé tři.
4.5
Vymezení území povodí
Předmětem této části aplikace je vymezení území povodí pro zadaný uzávěrný profil.
Datovým vstupem je výsledek odtokového algoritmu, tj. výstupní textové soubory předešlé
sekce, a celý výpočet je založen na analýze odtokových směrů. Algoritmus je obsahem
souboru Povodi.R (viz přílohu 9.15).
Základním úkonem je označení uzávěrného profilu. V případě, že jeho poloha není
totožná s žádným z bodů sítě DEM, můžeme najít buď bod nejbližší, nebo vygenerovat
novou síť bodů DEM tak, aby vyhovovala – stačí pouze posunout polohu startovního
rohového bodu tak, aby rozdíl jeho rovinných souřadnic a souřadnic uzávěrného profilu
byl celočíselně dělitelný hodnotou rozlišení sítě.
Bod, který představuje uzávěrný profil, je iniciálním bodem algoritmu. Je jakýmsi
kořenem stromového grafu znázorňujícího odtokovou síť konvergujících linií toků. Jeho
větve jsou tvořeny liniemi toků, které dříve či později protečou uzávěrným profilem, a listy
pak tvoří body bez přítoků. Právě tyto body mohou být součástí rozvodnice povodí, ale
nejde o pravidlo. Algoritmus prochází postupně všechny body od kořene směrem k listům,
a to na základě vyhodnocování zdrojových bodů z hlediska odtoku. Všechny prošlé body
se zapisují do nového souboru, který tak obsahuje pouze body, z nichž voda odtéká do
stanoveného uzávěrného profilu.
Výběr bodu je prováděn na základě analýzy identifikátorů buněk. Mějme bod p0, pro
který řešíme jeho zdrojový bod; nechť jde o samotný uzávěrný profil, kde celý proces
začíná. Nejprve jsou vyhledány všechny body v jeho okolí, které do něj odvádějí vodu.
56
4 Popis řešení
Výběr těchto bodů se řídí analýzou identifikátorů ID. Ze seznamu bodů sítě DEM jsou
vybrány ty, u nichž je v údaji o recipientu vody nalezena hodnota identifikátoru ID shodná
s hodnotou ID řešeného bodu p0 – tím je zaručeno, že tyto body jsou pro řešený bod
zdrojem vody; označme je pz. Tyto body pz se zapíší jednak do pevného seznamu bodů
spadajících do povodí, a jednak do proměnného seznamu bodů, z nichž budou následně
vyhledávány nové zdrojové body pro body pz. Tím je procedura pro bod p0 vyřešena a
tento bod je z proměnného seznamu zdrojových bodů vyřazen. Po této proceduře je
z proměnného seznamu vybrán jeden ze zdrojových bodů pz, který se tímto stává novým,
aktuálně řešeným bodem p0 a procedura běží od počátku. Proměnný seznam se průběžně
obměňuje – přibývají v něm nové zdrojové body a naopak body, pro něž byl již zdroj
nalezen, ze seznamu vypadávají. Není-li pro řešený bod nalezen žádný soused, který by
splňoval dané podmínky, je řešený bod bez přítoku (v řeči stromového grafu je jeho
listem). Celý proces determinace bodů povodí končí, je-li proměnný seznam zdrojových
bodů prázdný.
Výstupem této sekce jsou textové soubory AP/IDW_Ort/Hex_Povodi_
#(1)/(2).txt, které mají stejnou formu a strukturu jako vstupní datové soubory.
4.6 Charakteristiky TCA
Tento algoritmus řeší výpočet rozlohy a specifické rozlohy území odvodňovaného
řešeným bodem, a to distribuovaně pro všechny body spadající do povodí vymezeného
dle sekce 4.5. Algoritmus, CA.R, je obsažen v příloze 9.18, datovým vstupem je pak
textový soubor, jež byl výstupem předchozí sekce.
Algoritmus má za úkol ohodnotit všechny body povodí číslem, které pro daný bod
představuje počet bodů nad ním, ze kterých do něj přitéká voda. Říkejme tomuto číslu
koeficient průtočnosti. Vynásobí-li se tento koeficient plochou Thiessenova polygonu
příslušejícímu dané síti bodů, představuje výsledná hodnota rozlohu dílčího povodí
vymezeného nad řešeným bodem. Algoritmus postupuje napříč povodím zcela opačným
směrem, než jak tomu bylo při vymezování povodí v předešlé sekci – od listů ke kořeni.
Iniciálními body jsou všechny body, které nemají přítoky, a celý proces končí v bodě
představujícím uzávěrný profil.
Na úvod je všem bodům v povodí implicitně přidělena hodnota koeficientu
průtočnosti –1. Tak lze v průběhu procesu rozpoznat, který z bodů v povodí už byl
ohodnocen (koeficient průtočnosti ≥ 0), či zatím nikoli. Dalším krokem je výběr všech
bodů v povodí, které nemají žádný přítok. Tyto iniciální body jsou ohodnoceny
koeficientem průtočnosti rovným nule a jsou zaznamenány do proměnného seznamu
zdrojových bodů. Následuje další krok, výběr recipientu pro daný zdrojový bod. Mějme
tentokrát bod pz, který je zdrojem odtoku pro svůj recipient, bod p0. Vyhledání bodu p0
probíhá opět dle identifikátorů, ze seznamu bodů sítě DEM se vybere právě ten, jehož
hodnota ID je shodná s hodnotou ID uvedenou u zdrojového bodu pz v kolonce odtoku (tj.
57
4 Popis řešení
u údaje o recipientu). Nyní přejdeme k analyzování bodu p0. Pro něj zpětně vyhledáme
všechny jeho zdrojové body pz,i (stejným způsobem, jaký byl popsán v sekci 4.5) a
vyhodnotíme jejich koeficienty průtočnosti. Nyní mohou nastat dvě situace: (1) všechny
nalezené zdrojové body již byly ohodnoceny, nebo (2) alespoň jeden ze zdrojových bodů
zatím nebyl ohodnocen. V prvním případě pokračuje proces dál: pro recipient p0 je
vypočten koeficient průtočnosti jako suma hodnot koeficientů všech jeho zdrojových bodů
plus počet těchto zdrojových bodů; původní zdrojový bod pz je odstraněn ze seznamu
zdrojových bodů a na jeho místo se naopak dostává právě vyřešený recipient p0. Celá
procedura se opakuje. V druhém případě nelze recipient p0 ohodnotit a procedura se o
tento bod přestává starat až do doby, než se bod p0 znovu stane recipientem v důsledku
výběru proběhlého v jiném z jeho zdrojových bodů, který prvně ještě nebyl ohodnocen a
díky čemuž se zde procedura tehdy pozastavila. Proces je ukončen, stane-li se recipientem
bod, v němž se nalézá uzávěrný profil, případně pokud není nalezen žádný recipient.
Výstupem
tohoto
algoritmu
jsou
textové
soubory
AP/IDW_Ort/Hex_CA_#(1)/(2).txt, jejichž obsahem je pro každý bod sítě mimo
souřadnic a ID ještě (1) vypočtený koeficient průtočnosti, tedy počet bodů odvodňovaných
daným bodem, a dále (2) koeficient průtočnosti přepočtený na rozlohu.
4.7 Rozvodnice, údolnice
Rozvodnici lze charakterizovat jako množinu bodů DEM, jež tvoří lokální maximum
na 1-D křivkách představujících povrch terénu na přímých řezech vedených kolmo k
povrchu země a snímaných z profilu, zatímco údolnice je naopak taková množina bodů, jež
jsou lokálními minimy těchto křivek [Peckham and Jordan, 2007]. Determinaci rozvodnic
a sítě toků dle tohoto přístupu lze provést analýzou křivosti terénu, ať už profilové či
plošné, o nichž byla zmínka v sekci 2.6.1 o primárních charakteristikách terénu. Touto
analýzou se tato softwarová aplikace však nezabývá.
4.7.1
Rozvodnice
Rozvodnice je určena už vymezením povodí dle algoritmu uvedeného v sekci 4.5.
Algoritmus popsaný zde pouze vyhledá seznam bodů, které rozvodnici tvoří. Tyto body
jsou hledány jako okrajová partie vymezeného povodí. Konkrétně, sousedí-li řešený bod
s bodem, který nepatří mezi body povodí vymezeného pro daný uzávěrný profil, je řešený
bod součástí rozvodnice a zapíše se do seznamu. Jako datový vstup slouží textový soubor
s body povodí (AP/IDW_Ort/Hex_Povodi# (1)/(2).txt) a dále buď výstup
z odtokového algoritmu (AP/IDW_Ort/Hex_Odtok_# (1)/(2).txt), nebo postačí
i výstup z generování příslušné sítě bodů DEM (AP/IDW_Ort/Hex_Grid_#.txt).
Myšleno je zde i na skutečnost, že by rozvodnice v některých místech mohla
z důvodu neúplného pokrytí zájmové oblasti tachymetrickým měřením zasahovat mimo
58
4 Popis řešení
proměřenou oblast. V takovém případě sice není u okrajových bodů povodí splněna
podmínka pro jejich začlenění do seznamu bodů rozvodnice, ale pro potřeby determinace
zakončení údolnice (viz níže) tu lze definovat alespoň tzv. nepravou rozvodnici. Bod
z povodí se stane součástí seznamu bodů nepravé rozvodnice tehdy, nemá-li kolem sebe
plný počet sousedních bodů, což dokazuje jeho umístění na okraji topografického modelu.
Obě procedury jsou založeny na systematickém analyzování okolí všech bodů
v povodí, které je řešeno dle podmínek popsaných rovnicemi (4.3) a (4.4).
Tento algoritmus je obsahem skriptu AP/IDW_Ort/Hex_Rozvodnice_#.R,
uvedeného v příloze 9.16. Výstupem je seznam bodů, které rozvodnici tvoří – textový
soubor AP/IDW_Ort/Hex_Rozvodnice_#.txt.
4.7.2
Údolnice
Detekce bodů tvořících linii údolnice je v aplikaci založena na předpokladu, že
údolnice je z morfologického hlediska místem s minimálním sklonem, v rámci okolí také
s minimální výškou a v porovnání s nejbližším okolím tu lze předpokládat rovněž
maximální průtok. Proces determinace bodů údolnice začíná v místě uzávěrného profilu
povodí a pokračuje proti směru proudění vody.
Algoritmus se řídí předpokladem, že údolnice povede do řešeného bodu p0
z takového směru, z něhož sem přitéká voda, a zároveň půjde o minimální sklon. Pro
řešený bod p0 jsou tedy dle hodnot ID vyhledány jeho zdrojové body pz,i, a z nich je
následně vybrán takový, jehož hodnota sklonu je ze všech zdrojových bodů nejmenší
(sklon pro daný bod je počítán vždy mezi ním a jeho recipientem, tzn. zde mezi bodem pz
a p0). Takto nalezený bod pz se zaznamená do seznamu bodů charakterizujících údolnici,
načež se z něj stává nový bod p0. Proces se opakuje, dokud jsou splněny všechny tři
následující podmínky: (1) aktuálně řešený bod p0 nepatří do seznamu bodů
charakterizujících rozvodnici, (2) bod p0 se nenachází na nepravém okraji povodí, tzn.
nepatří ani do seznamu bodů nepravé rozvodnice, a (3) existuje pro něj alespoň jeden
zdrojový bod. V případě, že jedna z podmínek splněna není, proces determinace údolnice
je v cíli.
Případně by bylo také možné vypočítat přibližnou délku údolnice jako sumu délek
spojnic každé dvojice sousedních bodů v linii údolnice, přičemž délka spojnice je dána
rovnicí (4.1) pro výpočet délky vektoru.
Vstupními soubory pro tuto aplikaci jsou: soubor s body povodí
(AP/IDW_Ort/Hex_Povodi_# (1)/(2).txt) a vedle něj také soubor s body
rozvodnice (AP/IDW_Ort/Hex_Rozvodnice_#.txt). Algoritmus je obsahem
skriptu AP/IDW_Ort/Hex_Udolnice_#.R uvedeného v příloze 9.17 a výstupním
souborem je seznam bodů údolnice, AP/IDW_Ort/Hex_Udolnice_#.txt.
59
5 Výsledky
5 Výsledky
Obsahem výsledků je mj. mnoho grafických analýz, a proto je důležité seznámit se,
jak zájmová oblast experimentálního povodí Modrava 2 vypadá jak z hlediska
morfologického, tak z hlediska celkového uspořádání. Zájmové území je zobrazeno
v různých tématických verzích a ve velkém formátu na obrázcích v přílohách 9.1 až 9.6.
5.1 Výsledky zpracování naměřených dat
5.1.1
Polygonový pořad
Výsledné směrníky a souřadnice podrobných bodů polygonového pořadu jsou
uvedeny v následujících tabulkách. Údaje o výchozím trigonometrickém bodě č. 9,
Mokrůvka II., jež jsou obsahem přílohy 9.7, jsem při výpočtech souřadnic bodů
polygonového pořadu nakonec nepoužil. Souřadnice tohoto bodu uvažuji jako nulové (0;0)
a pro směrník orientovaný na první bod pořadu (28) používám rovněž nulovou hodnotu.
450
R4
R3
400
350
R1
R2
300
R5
B
250
22
24
23
R6
25
200
26
150
100
R7
27
50
30
28
C
29
0
-450
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
0 9.0
-50
50
100
-50
Obr. 5.1 Schéma polygonového pořadu. Zvýrazněny jsou body, ze kterých byla provedena tachymetrie
území.
60
5 Výsledky
Tabulka 5.1 Výpočet vrcholových úhlů v bodech polygonového pořadu
orientace vrcholového úhlu
měřený
opravený
vrchol. úhel (g)
vrchol. úhel (g)
úsek
směrník
délka
převýšení
(g)
strany (m)
(m)
číslo
stanoviště
"0" na bodě
hodnota na bodě
1
9.0
29
28
323,6215
323,6222
9.0 - 28
0,0000
52,909
2
28
9.0
27
174,3350
174,3356
28 - 27
374,3356
40,414
-5,787
3
27
28
26
198,7710
198,7716
27 - 26
373,1072
81,434
-22,422
4
26
27
25
189,8280
189,8286
26 - 25
362,9358
91,025
-25,677
5
25
26
24
139,7113
139,7119
25 - 24
302,6477
88,770
-17,786
6
24
25
23
191,4960
191,4966
24 - 23
294,1443
93,928
-18,756
7
23
24
22
214,4558
214,4564
23 - 22
308,6007
111,691
-23,097
-
22
23
21
220,2211
pomocný úhel
-
-
-
-
-
22
21
R1
83,2757
pomocný úhel
-
-
-
-
8
22
23
R1
303,4968
303,4975
22 - R1
12,0982
76,532
1,456
9
R1
22
R2
300,1621
300,1628
R1 - R2
112,2610
129,122
21,067
10
R2
R1
R3
144,1747
144,1753
R2 - R3
56,4363
135,408
19,070
11
R3
R2
R4
240,4268
240,4274
R3 - R4
96,8637
105,947
12,282
12
R4
R3
R5
275,3428
275,3434
R4 - R5
172,2071
94,057
7,130
13
R5
R4
R6
216,4058
216,4064
R5 - R6
188,6135
68,327
21,111
26,161
-2,412
14
R6
R5
R7
210,7052
210,7058
R6 - R7
199,3193
138,678
15
R7
R6
30
150,6523
150,6529
R7 - 30
149,9722
52,182
5,248
16
30
R7
29
258,3952
258,3958
30 - 29
208,3680
46,919
1,511
17
29
30
9.0
268,0092
268,0098
29 - 9.0
276,3778
47,289
0,836
-
9.0
29
28
-
-
kontrola
323,6222
0,0000
Tabulka 5.2 Výpočet souřadnic podrobných bodů polygonového pořadu
souřadnice (m)
stanoviště
∆y
∆x
oprava y
oprava x
9.0
-
-
-
-
28
0.000
52.909
0.000
27
-15.855
37.174
26
-33.386
74.276
25
-50.051
24
nadmořská
y
x
výška (m)
0.000
0.000
1330.300
-0.004
0.000
52.905
1327.888
0.003
-0.003
-15.851
90.077
1322.101
0.007
-0.005
-49.231
164.347
1299.679
76.029
0.010
-0.005
-99.273
240.370
1274.002
-88.693
3.691
0.018
0.000
-187.948
244.061
1256.216
23
-93.531
-8.627
0.019
-0.001
-281.460
235.433
1237.460
22
-110.673
15.044
0.022
-0.001
-392.112
250.475
1214.363
R1
14.457
75.154
0.003
-0.005
-377.652
325.624
1215.819
R2
126.735
-24.715
0.025
-0.002
-250.892
300.908
1236.886
R3
104.923
85.595
0.021
-0.006
-145.949
386.497
1255.956
R4
105.818
5.217
0.021
0.000
-40.109
391.714
1268.238
R5
39.770
-85.235
0.008
-0.006
-0.331
306.472
1275.368
R6
12.156
-67.237
0.002
-0.005
11.827
239.231
1296.479
R7
1.483
-138.670
0.000
-0.010
13.311
100.551
1322.640
30
36.914
-36.882
0.007
-0.003
50.232
63.666
1327.888
29
-6.149
-46.514
0.001
-0.003
44.084
17.148
1329.399
9.0
-44.071
-17.147
0.009
-0.001
0.013
0.000
1330.235
61
5 Výsledky
Tabulky obsahují údaje nezbytné pro následující tachymetrická měření terénu.
Kompletní údaje jsou obsaženy v souboru Mokruvka_polygon.xls.
5.1.2
Zpracování tachymetrie
Tachymetrie území byla provedena z polygonových bodů č. 22 (čtyři sady měření:
22A, 22B, 22C a 22E), 24, 25, 27, 29, 30, R4 (dvě sady měření: R4 a R4B) a R6, a dále
z bodů situovaných mimo polygonový pořad – z bodu B (čtyři sady měření: B1, B2, B3 a
B4) a z bodu C. Celkem tedy 17 sad tachymetrického měření. Výpočty úhlů, o které bylo
nutné otočit rovinné souřadnice každé sady měření (z důvodů uvedených v metodice
přípravy topologických dat, viz sekci 3.3.2), jsou obsahem souboru
Mokruvka_polygon.xls. Postup výpočtu úhlu pro transformaci souřadnic bodů každé
sady byl individuální, záleželo na konkrétních datech, které byly k dané sadě naměřeny.
Výsledek celého měření a jeho zpracování je soubor rovinných souřadnic (x, y) 2 910
bodů tachymetrie a jejich výšky z; jeho grafická podoba je obsahem přílohy 9.9.
5.2 Verifikace interpolačních metod
5.2.1
Interpolační metoda aritmetického průměru
Podle metodiky řešení uvedené v sekci 4.2 byla provedena kalibrace a validace
interpolační metody. K porovnání výsledků všech provedených interpolací lišících se
hodnotami parametru n bylo využito hodnot (1) středních kvadratických chyb a (2)
středních hodnot reziduí pro jednotlivá n. Použití RMSE je výhodné zejména pro
porovnávání úspěšnosti jednotlivých interpolačních technik a tedy i k výběru optimálních
hodnot parametrů, protože jde o kumulativní chybu. Porovnávání úspěšnosti interpolačních
technik pomocí středních hodnot reziduí lze samozřejmě také, křivka proložená body
středních hodnot má proporcionálně identický průběh s křivkou proloženou příslušnými
hodnotami RMSE, ale tím, že se jedná o střední hodnotu, nejsou rozdíly mezi technikami
tolik patrné. Pomocí střední hodnoty reziduí naproti tomu získáme konkrétní, metrickou
hodnotu odchylek mezi měřenými a interpolovanými hodnotami. Na obrázku 5.2 jsou
znázorněny hodnoty RMSE pro n = {1; 2;…; 30} vyhodnocené z interpolací na validačním
vzorku dat. Minimální hodnota RMSE, 35,91 m, byla vypočtena pro hodnotu parametru n
= 4. Takto vybranou hodnotu parametru proto považuji za optimální a bude vstupem pro
tvorbu pravidelných sítí interpolovaných pomocí techniky aritmetického průměru. Na
následujícím obrázku 5.3 pak vidíme srovnání hodnot RMSE pro interpolace provedené na
vzorku kalibračním a validačním.
Obrázek 5.4 dokumentuje totéž, ale prostřednictvím středních hodnot reziduí.
V nejlepším případě, tedy pro n = 4, dosahuje střední hodnota reziduí hodnoty téměř 0,67
m. Zajímavé je pak srovnání s metodou IDW.
62
5 Výsledky
Obr. 5.2 Hodnoty střední kvadratické chyby v závislosti na počtu bodů n, z nichž se provádí interpolace.
Obr. 5.3 Srovnání hodnot RMSE příslušejících interpolacím o dané hodnotě n, provedeným na kalibračním
vzorku dat (přerušovaná čára) a validačním vzorku dat (plná čára). Zvýrazněny jsou min. hodnoty RMSE.
63
5 Výsledky
Obr. 5.4 Srovnání středních hodnot reziduí pro kalibraci a validaci. Zvýrazněny jsou opět minimální
hodnoty středních hodnot.
Dále byla provedena analýza prostorové distribuce reziduí, a to pro optimální
hodnotu parametru n = 4 a z důvodu možnosti srovnání také pro další čtyři vybrané
hodnoty – celkově tedy pro n = {1; 2; 4; 8; 30}. Tyto hodnoty n byly vybrány tak, aby
zachytily důležité body na křivce proložené hodnotami RMSE (viz obrázek 5.3, 5.4).
Výběr proto obsahuje kromě optimální hodnoty n pro validační interpolaci (n = 4) i
optimum pro kalibrační interpolaci (n = 2), dále hodnotu n = 8, které přísluší u kalibrace
rovněž velmi příznivá hodnota RMSE a nad kterou mají hodnoty RMSE již více méně
stálý rostoucí průběh, a nakonec krajní hodnoty n = 1 a 30. Obrázek 5.5 dokumentuje
výsledek pro optimální hodnotu n = 4, zatímco obrázek 5.6 pro hodnotu n = 30, pro kterou
vycházela hodnota RMSE nejhůře ze všech testovaných. Při srovnání obou obrázků je na
první pohled zřejmé, že body interpolované na základě optimálního n vykazují menší
hodnoty reziduí. Četnost výskytu konkrétních hodnot reziduí pro optimální n znázorňuje
histogram a příslušná empirická distribuční funkce na obrázku 5.7, obrázek 5.8 pak
dokumentuje prostřednictvím empirických distribučních funkcí srovnání četností výskytu
reziduí pro všechny analyzované hodnoty n. Tyto diagramy potvrzují, že nejlepších
výsledků při interpolaci bylo dosaženo právě v případě n = 4. Třída nejmenších reziduí (tj.
reziduí o velikosti od 0 do 0,25 m) pro n = 4 totiž čítá v porovnání s ekvivalentními
třídami u ostatních hodnot n největší podíl ze všech reziduí (viz tabulku k obrázku 5.8), a
naopak, třídy s velkými rezidui zde mají menší zastoupení než ekvivalentní třídy u jiných
n.
64
5 Výsledky
Obr. 5.5 Prostorová distribuce reziduí pro parametr n = 4. Barevná škála vymezuje hodnoty reziduí (m).
Největších reziduí nabývá oblast svahu Malé Mokrůvky (vpravo nahoře), kde jejich hodnoty dosahují i více
než 3 m.
Obr. 5.6 Prostorová distribuce reziduí pro parametr n = 30. Barevná škála vymezuje hodnoty reziduí (m).
Oproti modelu na obrázku 5.5 je patrný razantní nárůst vysokých hodnot reziduí.
65
5 Výsledky
(a) (b) (c) třída od (m) 0
0,25
0,5
0,75
1
1,5
2
3
5
10
četnost
890
653
450
302
335
132
113
28
7
0
distrib. f ce
0,3058 0,5302 0,6849 0,7887 0,9038 0,9491 0,9880 0,9976 1,0000 1,0000
Obr. 5.7 (a) Četnost výskytu hodnot reziduí, (b) empirická distribuční funkce relativní četnosti výskytu
reziduí; n = 4. (c) Přehled hodnot.
(a) (b) třída od (m)
n=1
n=2
n=4
n=8
n = 30
0
0,2550
0,2718
0,3058
0,2746
0,1715
0,25
0,5
0,75
1
1,5
2
3
5
10
0,4536 0,5962 0,7165 0,8612 0,9254 0,9790 0,9986 1,0000 1,0000
0,4938 0,6560 0,7729 0,8931 0,9436 0,9818 0,9986 1,0000 1,0000
0,5302 0,6849 0,7887 0,9038 0,9491 0,9880 0,9976 1,0000 1,0000
0,4814 0,6485 0,7605 0,8893 0,9385 0,9801 0,9979 1,0000 1,0000
0,3220 0,4543 0,5691 0,7292 0,8316 0,9278 0,9763 0,9966 1,0000
Obr. 5.8 (a) Empirická distribuční funkce hodnot reziduí; n = {1; 2; 4; 8; 30}. (b) Přehled hodnot.
66
5 Výsledky
Prostorová distribuce reziduí byla analyzována také z pohledu, zda-li jsou jednotlivé
odhady vůči měřeným hodnotám nadhodnoceny či podhodnoceny. Pro tento účel byly
rozdíly mezi hodnotami měřenými a interpolovanými ponechány ve svých skutečných
hodnotách (nikoli absolutních). Rozdíl zde chápu jako (odhad mínus měřená hodnota).
Obr. 5.9 Prostorová distribuce rozdílů mezi hodnotami interpolovanými a měřenými, n = 4. Na svahu Malé
Mokrůvky dochází ke střídání vysoce podhodnocených a vysoce nadhodnocených výšek.
Obr. 5.10 Prostorová distribuce rozdílů mezi hodnotami interpolovanými a měřenými, n = 30.
67
5 Výsledky
Na obrázcích 5.9 (n = 4) a 5.10 (n = 30) je patrné, že k velkému nadhodnocení
dochází v partiích údolnice (jasně viditelná linie modrých bodů představujících
nadhodnocené výšky dole uprostřed) a podhodnocovány jsou naopak oblasti obou břehů a
svahů podél ní (oblasti červených bodů obklopující z obou stran linii údolnice). K větším
chybám obecně dochází také na svahu Mokrůvky (vpravo nahoře), což je ale v tomto
případě dáno především nedostatečnou hustotou sítě naměřených bodů. Následující
obrázek 5.11 znázorňuje porovnání jednotlivých empirických distribučních funkcí pro
analyzované hodnoty n. Opět je vidět, že modrá křivka pro n = 4 má ve srovnání
s ostatními funkcemi nejmenší podíly v třídách velkých odchylek a naopak největší podíly
v třídách malých odchylek. Žlutá křivka pro n = 30 představuje pravý opak.
Obr. 5.11 (a) Empirické distribuční funkce rozdílů mezi hodnotami interpolovanými a měřených pro
n = (1; 2; 4; 8; 30).
Všech pět funkcí se ale shoduje na faktu, že mírné většině převažuje podhodnocování
odhadů, což potvrzují i průměrné hodnoty všech rozdílů mezi hodnotami měřenými a
odhadovanými pro daná n; např. pro n = 4 činí takový průměr –0,04 m.
68
5 Výsledky
5.2.2
Interpolační metoda IDW
V případě interpolační metody IDW jsem postupoval stejným způsobem, jako u
metody aritmetického průměru. Následující výsledky proto budou řazeny zcela analogicky.
Obrázek 5.12 znázorňuje výsledné hodnoty RMSE pro parametry n = {1; 2;…;30} a
β = {1; 2;…; 5} a je analogií k obrázku 5.2 pro interpolaci aritmetickým průměrem.
Zaměříme-li se na exponent β, je patrné, že nejlepší výsledky podává hodnota β = 3,
nejhorší naopak β = 1. Také vidíme, že u hodnot β větších než tři jsou hodnoty RMSE pro
větší počet bodů n již prakticky neměnné. To je dáno záporností exponentu v rovnici (2.6)
pro výpočet vah přidělujících okolním bodům jejich vliv na výsledný odhad. Čím vyšší je
hodnota exponentu β, tím rychlejší je pokles vlivu n-tého bodu s jeho rostoucí vzdáleností
(tj. s rostoucím n) – pokles je exponenciální. Takže čím větší je hodnota β i n, tím rychleji
klesá vliv n-tého bodu na výsledný odhad.
Nejnižší hodnotu RMSE ze všech 150 vyhodnocených interpolací, provedených na
validačním vzorku dat, má interpolační technika s kombinací parametrů n = 9 a β = 3:
28,55 m, což je o 7,36 m (tj. o téměř 21 %) méně než minimální hodnota RMSE
vyhodnocená pro interpolaci aritmetickým průměrem.
Obr. 5.12 Hodnoty střední kvadratické chyby v závislosti na počtu bodů n a exponentu β.
69
5 Výsledky
Obrázek 5.13 (analogií k obrázku 5.3 u AP) popisuje srovnání hodnot RMSE pro
kalibrační a validační sady interpolací. Stejně jako v případě metody aritmetického
průměru je i zde úspěšnost interpolací na validačním vzorku dat nižší, ale proporčně jsou
výsledky obou sad interpolací – kalibrační i validační – pro příslušné kombinace parametrů
n, β velmi podobné.
Obr. 5.13 Srovnání hodnot RMSE příslušejících interpolacím o daných kombinacích parametrů n a β,
provedeným na kalibračním vzorku dat (přerušovaná čára) a validačním vzorku dat (plná čára). Zvýrazněny
jsou minimální hodnoty RMSE, jim příslušející hodnoty n a β poskytují optimální výsledky interpolace.
Exponent β = 2 poskytuje pro n v rozmezí od šesti do devíti rovněž velmi dobré
výsledky. Hodnota β = 4 prokazuje stabilně dobré výsledky pro hodnoty n od 12 výš a pro
hodnoty n nad 25 poskytuje dokonce lepší výsledky, než jaké v této oblasti podává β = 3;
přesto jsou však horší, než optimální kombinace generující minimální hodnotu RMSE.
Obrázek 5.14 (analogie k obrázku 5.4 u AP) znázorňuje totéž, ale prostřednictvím
středních hodnot reziduí. Střední hodnota reziduí pro optimální kombinaci n = 9, β = 3 činí
u validace 0,53 m, tj. o 0,14 m méně než pro interpolaci aritmetickým průměrem
(procentuelně jde samozřejmě o stejný pokles, jako v případě kvantifikace pomocí RMSE).
70
5 Výsledky
Obr. 5.14 Srovnání středních hodnot reziduí pro kalibraci a validaci. Zvýrazněny jsou minimální hodnoty
středních hodnot.
Následuje analýza prostorové distribuce reziduí. Na obrázku 5.15 a 5.16 (analogie
s obrázky 5.5 a 5.6 u AP) je znázorněn výskyt konkrétních hodnot reziduí napříč zájmovou
oblastí. Analýza byla provedena pro zvolenou hodnotu parametru β = 3, považovanou za
optimální, a pro n = {1; 6; 9; 13; 30}. Tyto hodnoty n byly stejně jako v případě
interpolace aritmetickým průměrem vybrány tak, aby zachytily důležité body na křivce
proložené hodnotami RMSE (viz obrázky 5.13, 5.14). Výběr proto obsahuje optimální
hodnotu n pro kalibraci (n = 13) a validaci (n = 9), dále jakousi „zlomovou hodnotu“ n =
6, nad kterou mají hodnoty RMSE pro všechny hodnoty β již více méně stálý průběh, a
krajní hodnoty n = 1 a 30 (též pro srovnání s interpolací aritmetickým průměrem). Obrázek
5.15 zachycuje výsledek pro n = 9, obrázek 5.16 potom výsledek odvozený z hodnoty n =
30.
Obrázek 5.17 obsahuje histogram a empirickou distribuční funkci četnosti výskytu
reziduí pro optimální kombinaci obou parametrů, obrázek 5.18 srovnává empirické
distribuční funkce pro vybrané hodnoty n (analogie k obrázkům 5.7 a 5.8 u AP).
Dvojice obrázků 5.19 a 5.20 pak dokumentují (analogicky jako obrázky 5.9 a 5.10 u
AP) hodnoty rozdílů (nikoli v absolutních hodnotách) mezi měřenými výškami a jejich
71
5 Výsledky
odhady, poslední obrázek této sekce, 5.21 (jež je analogií k obrázku 5.11 u AP), porovnává
distribuční funkce reziduí pro vybrané hodnoty n.
Obr. 5.15 Prostorová distribuce reziduí pro n = 9, β = 3. Barevná škála vymezuje hodnoty reziduí (m).
Obr. 5.16 Prostorová distribuce reziduí pro n = 30, β = 3. Při porovnání s výsledkem optimální kombinace
parametrů na obr. 5.15 nejsou patrné velké rozdíly (oproti srovnání ekvivalentů na obrázku 5.5 a 5.6).
72
5 Výsledky
(a) (b) (c) třída od (m)
četnost
distrib. fce
0
0,25
1030
0,3540
730
0,6048
0,5
456
0,7615
0,75
280
0,8577
1
1,5
257
0,9460
101
0,9808
2
3
45
0,9962
5
10
0,9997
10
1
1,0000
0
1,0000
Obr. 5.17 (a) Četnost výskytu hodnot reziduí, (b) empirická distribuční funkce relativní četnosti výskytu
reziduí; n = 9, β = 3. (c) Přehled hodnot. Při srovnání s ekvivalentními hodnotami pro AP (obrázek 5.7) je
patrné, že metoda IDW podává přesnější výsledky. Třída nejmenších reziduí je zde obsáhlejší a naopak.
(a) (b) třída od (m)
n=1
n=6
n=9
n = 13
n = 30
0
0,2680
0,3447
0,3540
0,3495
0,3471
0,25
0,5
0,75
1
1,5
2
3
5
10
0,4612 0,5966 0,7137 0,8584 0,9351 0,9787 0,9966 1,0000 1,0000
0,5931 0,7560 0,8515 0,9450 0,9794 0,9952 0,9997 1,0000 1,0000
0,6048 0,7615 0,8577 0,9460 0,9808 0,9962 0,9997 1,0000 1,0000
0,6055 0,7595 0,8598 0,9460 0,9808 0,9955 0,9997 1,0000 1,0000
0,5931 0,7608 0,8536 0,9399 0,9756 0,9945 0,9993 0,9966 1,0000
Obr. 5.18 (a) Empirické distribuční funkce reziduí, (b) přehled hodnot. Srovnejte s ekvivalenty (obr. 5.8).
73
5 Výsledky
Hodnoty distribučních funkcí pro vybrané hodnoty n a β jsou ve srovnání s
ekvivalentními hodnotami příslušných distribučních funkcí reziduí pro interpolace
aritmetickým průměrem vyšší, a zvláště to platí pro třídy nejnižších hodnot reziduí. To
poukazuje na příznivý fakt, že zde máme větší počet malých reziduí na úkor velkých.
Obr. 5.19 Prostorová distribuce rozdílů mezi hodnotami interpolovanými a měřenými pro n = 9 a β = 3.
Obr. 5.20 Prostorová distribuce rozdílů mezi hodnotami interpolovanými a měřenými pro n = 30 a β = 3.
74
5 Výsledky
Obr. 5.21 (a) Empirické distribuční funkce rozdílů mezi hodnotami interpolovanými a měřených pro
n = {1; 6; 9; 13; 30} a β = 3.
Na obrázcích 5.19 a 5.20 se stejně jako v případě interpolace aritmetickým
průměrem (viz obrázky 5.9 a 5.10) projevuje nadhodnocení odhadů výšek v prostoru
údolnice (jasně viditelná modrá linie dole uprostřed) a podhodnocovány jsou naopak
oblasti obou břehů a svahů podél ní.
Z posledního obrázku je patrné, že v kladném spektru jsou rozdíly pro vybrané
parametry poměrně vyrovnané, zatímco v záporné oblasti už nikoli a především distribuční
funkce pro hodnotu n = 30 zde poskytuje horší výsledky. Srovnáme-li tyto distribuční
funkce s ekvivalenty pro aritmetický průměr (viz obrázek 5.11), zjistíme, že i tam lze
pozorovat velice podobný trend. V obou případech také platí, že celkově je větší výskyt
záporných rozdílů (interpolovaná hodnota mínus měřená hodnota) než těch kladných, takže
celkově jsou interpolované hodnoty spíše podhodnocované; např. pro naše optimum n = 9
a β = 3 činí průměr takových rozdílů –0,08 m.
75
5 Výsledky
5.3 Sítě DEM
Pravidelné sítě DEM byly vygenerovány na základě optimálních parametrů vzešlých
z validační interpolace. Pro interpolační techniku využívající ke svým odhadům
aritmetického průměru byla vybrána univerzální hodnota n = 4, takže pro každý
interpolovaný bod jsou vybrány striktně čtyři nejbližší body z jeho okolí a na základě
aritmetického průměru jejich výšek je následně vypočtena požadovaná výška. Pro metodu
IDW byly vybrány univerzální hodnoty n = 9 a β = 3, takže k interpolaci je vybráno devět
nejbližších bodů a požadovaná výška je vypočtena použitím exponentu –3.
5.3.1
Ortogonální síť
(a)
(b)
(c)
Obr. 5.22 (a) Bodová reprezentace ortogonální sítě, (b) pohled na část zájmové oblasti reprezentované
ortogonální sítí bodů DEM, (c) příklad reprezentace terénní charakteristiky – zde nadmořské výšky.
5.3.2
Hexagonální síť
(a)
(b)
(c)
Obr. 5.23 (a) Bodová reprezentace hex. sítě, (b) pohled na část oblasti, (c) příklad reprezentace sklonů.
76
5 Výsledky
Celkem bylo vygenerováno 12 základních sítí, jejichž přehled obsahuje tabulka 5.3.
Jde o kombinace typu interpolační techniky a typu rozvržení bodů sítě; pro každou z těchto
čtyř kombinací byly vytvořeny tři sítě lišící se svým rozlišením. Na nich byly následně
provedeny další analýzy terénu. Vybrané sítě jsou zobrazeny také v přílohách 9.3 a 9.4.
Tabulka 5.3 Přehled vygenerovaných sítí bodů DEM.
Rozvržení / interpolace
AP
IDW
Ortogonální
rozlišení: 3x5, 7x10, 13x20 m
rozlišení: 3x5, 7x10, 13x20 m
Hexagonální
rozlišení: 5, 10, 20 m
rozlišení: 5, 10, 20 m
5.3.3
Porovnání sítí typu AP a IDW
Ekvivalentní sítě (tj. se stejným rozlišením a stejným rozvržením bodů)
interpolované (1) aritmetickým průměrem a (2) metodou IDW jsem mezi sebou porovnal
stejným způsobem, jako rezidua v případě verifikace interpolačních technik. Srovnání je
založeno na analýze rozdílů vzniklých odečtením výšky bodu určené metodou IDW od
výšky bodu určené aritmetickým průměrem. Porovnání se týká párů sítí se stejným
rozlišením a rozvržením bodů.
Z empirických distribučních funkcí popisujících relativní četnost výskytu daných
hodnot rozdílů (obrázky 5.24 a 5.25) je patrné, že pro všech šest párů sítí je rozvržení
četností těchto rozdílů prakticky stejné – nezávisle na tom, zda jde o ortogonální nebo
hexagonální typ sítě a jaké její rozlišení. Potvrzují to i střední hodnoty absolutních rozdílů,
které se pohybují ve všech případech shodně kolem hodnoty 0,42 m, a rovněž střední
hodnoty reálných rozdílů, které se pohybují shodně kolem nuly. Globálně tedy ani jedna
z interpolačních technik své odhady nepodhodnocuje či nenadhodnocuje vůči té druhé,
z lokálního hlediska pak záleží na konkrétním místě, což dokumentuje obrázek 5.26.
Tabulka 5.4 Střední hodnoty rozdílů pro porovnávané sítě.
Ortogonální síť
Střední hodnoty pro:
Absolutní hodnoty rozdílů (m)
Reálné hodnoty rozdílů (m)
3x5
7x10
Hexagonální síť
13x20
5
10
20
0,4163
0,4248
0,4237
0,4181
0,4262
0,4398
-0,0032
0,0008
-0,0012
-0,0040
-0,0017
-0,0195
77
5 Výsledky
Obr. 5.24 Empirické distribuční funkce relativní četnosti hodnot rozdílů mezi výškami porovnávaných
ortogonálních sítí s rozlišením 3×5, 7×10 a 13×20 m.
Obr. 5.25 Empirické distribuční funkce relativní četnosti hodnot rozdílů mezi výškami porovnávaných
hexagonálních sítí s rozlišením 5, 10 a 20 m.
78
5 Výsledky
Obr. 5.26 Prostorová distribuce rozdílů mezi výškami interpolovanými metodou aritmetického průměru a
metodou IDW. Tento obrázek zobrazuje případ ortogonální sítě o rozlišení 3×5 m, distribuce rozdílů u
ostatních případů je ale velmi podobná, což dokazuje i obrázek 5.27.
Obr. 5.27 Prostorová distribuce rozdílů mezi výškami interpolovanými metodou aritmetického průměru a
metodou IDW, nyní pro případ hexagonální sítě s rozlišením 5 m. K největším rozdílům dochází v obou
uvedených případech v oblasti svahu Mokrůvky (vpravo nahoře), což je zde pravděpodobně způsobeno
především nedostatečnou hustotou měřených dat v této lokalitě.
79
5 Výsledky
5.4 Primární charakteristiky
5.4.1
Sklon
Sklon byl vyhodnocen ve stupních a v procentech pro body všech vygenerovaných
sítí. Pro zobrazení jsem zvolil škálu ve stupních – odpadá tak problém se svahy o sklonu
příkřejším než 100%, u kterých by grafické vyjádření v případě procentické míry ztratilo
proporcionalitu.
Z výsledků vyplývají dva trendy. (1) Zastoupení větších sklonů klesá na úkor
zastoupení mírnějších sklonů, zvětšujeme-li rozlišení sítě. To dobře dokumentuje dvojice
obrázků 5.28 a 5.29 znázorňující prostorové rozložení sklonů v zájmové oblasti na dvou
sítích s odlišným rozlišením, ale shodnou interpolační technikou a shodným typem
rozvržení bodů v síti. Popsaný trend potvrzují i empirické distribuční funkce relativní
četnosti hodnot sklonů na obrázcích 5.32 a 5.33 pro ortogonální síť, resp. 5.34 a 5.35 pro
hexagonální síť. Veškeré číselné údaje potom obsahuje tabulka 5.5 na konci této sekce.
(2) Druhým trendem je mírný pokles zastoupení větších sklonů na úkor menších,
přejdeme-li od interpolační techniky aritmetického průměru k metodě IDW. To opět
dokazuje dvojice obrázků 5.28 a 5.29 znázorňujících prostorové rozložení sklonů pro sítě
odlišných interpolačních technik, ale se shodným rozlišením i typem uspořádání bodů.
Příslušné empirické distribuční funkce, které srovnávají výsledky sklonitosti pro obě
interpolační techniky, jsou na obrázku 5.33 pro ortogonální, resp. 5.35 pro hexagonální síť.
Závislost sklonitosti terénu na použitém rovinném uspořádání bodů sítě
(ortogonálním / hexagonálním) se nepotvrdila.
Důvody těchto trendů jsou následující: obecně platí, že čím hrubší rozlišení sítě
máme k dispozici, tím je charakteristika terénu více generalizována a zmenšují se hodnoty
extrémů. Dokazují to údaje obsažené v tabulce 5.5. Zatímco maximální úhel sklonu u
jemného rozlišení (3×5, resp. 5 m) je v případě techniky AP i přes 60°, směrem k hrubšímu
rozlišení sítí klesá jeho hodnota postupně až ke 30° (tj. pod 60%). Tato maxima jsou
situována na svahu Malé Mokrůvky (na obrázcích prostorových distribucí jde o oblast
vpravo nahoře). Průměrné hodnoty sklonitosti terénu vztažené k celé zaměřené oblasti se
chovají úměrně k maximům. Nejvyšší hodnotu má, stejně jako v případě maxim, případ
jemných sítí interpolovaných aritmetickým průměrem: téměř přes 12° (tj. téměř 23%).
V ostatních případech se průměrná sklonitost terénu zaměřené oblasti pohybuje v rozmezí
hodnot (10,4 až 11)°, tj. (18,5 až 19,7) %.
Dále jsem určil alespoň přibližný odhad průměrné sklonitosti zájmové oblasti
napravo od údolnice (ve směru toku) a nalevo od údolnice. Pravá část (na obrázku levá
polovina) je z hlediska sklonu mírnější, což je patrné i z uvedených obrázků 5.27 a 5.28;
hodnota průměrného sklonu je zde 12,5%. Pro levostrannou oblast od údolnice je průměrná
sklonitost rovna 22,6% – průměr navyšuje svah Malé Mokrůvky.
80
5 Výsledky
Obr. 5.28 Prostorová distribuce sklonitosti terénu pro jemnou síť (rozlišení 3×5 m). Ortogonální, IDW.
Obr. 5.29 Prostorová distribuce sklonitosti terénu pro hrubší síť (rozlišení 3×5 m). Ortogonální, IDW.
Vůči jemnému rozlišení na obr. 5.28 je patrný úbytek extrémně vysokých hodnot sklonů.
81
5 Výsledky
Obr. 5.30 Prostorová distribuce sklonitosti terénu pro síť AP. Hexagonální, jemná (rozlišení 5 m).
Obr. 5.31 Prostorová distribuce sklonitosti terénu pro síť IDW. Hexagonální, jemná (rozlišení 5 m).
Vůči síti typu AP na obrázku 5.30 je opět patrný úbytek extrémně vysokých hodnot sklonů.
82
5 Výsledky
U sítí vygenerovaných technikou aritmetického průměru je kromě více extrémních
hodnot patrná i přítomnost více „bílých děr“ uvnitř sítě. Jedná se o bezodtoká místa, díry,
pro které odtokový algoritmus nemůže vypočíst sklon. Vyplývá z toho příznivý fakt pro
metodu IDW, a to že tato interpolační technika produkuje méně nerealistických děr
v modelu terénu. Děr ubývá s přibývající generalizací terénu, tzn. s klesajícím rozlišením
sítě.
(a)
(b)
Obr. 5.32 Empirické distribuční funkce relativní četnosti sklonů pro ortogonální sítě.
(a) Sítě vygenerované metodou aritmetického průměru, (b) metodou IDW.
Obr. 5.33 Srovnání empirických distribučních funkcí sklonů pro všechny ortogonální sítě.
83
5 Výsledky
(a)
(b)
Obr. 5.34 Empirické distribuční funkce relativní četnosti sklonů pro hexagonální sítě.
(a) Sítě vygenerované metodou aritmetického průměru, (b) metodou IDW.
Obr. 5.35 Srovnání empirických distribučních funkcí sklonů pro všechny hexagonální sítě. Z porovnání je
vidět, že sítě generované technikou AP mají větší zastoupení vysokých hodnot sklonů než ekvivalentní sítě
interpolované metodou IDW. Stejný trend lze pozorovat mezi jemným a hrubším rozlišením sítě.
84
5 Výsledky
Tabulka 5.5 Srovnání hodnot empirických distribučních funkcí relativní četnosti sklonů
pro všechny sítě, maximální a průměrné hodnoty sklonitosti terénu.
Ortogonální síť
Třídy (°)
AP 3x5
IDW 3x5
AP 7x10
0-2
2-4
4-6
6-8
8 - 10
10 - 12
12 - 14
14 - 16
16 - 18
18 - 20
20 - 22
22 - 24
24 - 26
26 - 28
28 - 30
30 - 32
32 - 34
34 - 36
36 - 38
38 - 40
40 - 42
42 - 44
44 - 46
46 - 48
48 - 50
50 - 52
52 - 54
54 - 56
56 - 58
58 - 60
60 - 62
62 - 64
64 - 66
66 - 68
68 - 70
maximum (°)
0,0785
0,1747
0,2726
0,3737
0,4709
0,5654
0,6565
0,7301
0,7865
0,8292
0,8673
0,8978
0,9208
0,9376
0,9532
0,9630
0,9711
0,9769
0,9812
0,9859
0,9883
0,9920
0,9936
0,9962
0,9970
0,9978
0,9988
0,9993
0,9996
0,9998
0,9999
0,9999
1
1
1
65,19
0,0822
0,2043
0,3213
0,4348
0,5445
0,6444
0,7244
0,7884
0,8413
0,8789
0,9084
0,9320
0,9516
0,9677
0,9767
0,9840
0,9896
0,9943
0,9967
0,9981
0,9990
0,9993
0,9997
0,9999
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
49,77
0,0527
0,1483
0,2567
0,3793
0,5003
0,6309
0,7351
0,8075
0,8590
0,8952
0,9273
0,9511
0,9657
0,9759
0,9813
0,9860
0,9924
0,9949
0,9962
0,9975
0,9987
0,9994
0,9997
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
46,57
maximum (%)
IDW 7x10
0,0489
0,1416
0,2446
0,3802
0,5221
0,6527
0,7504
0,8246
0,8847
0,9192
0,9427
0,9587
0,9715
0,9825
0,9900
0,9944
0,9978
0,9991
0,9994
0,9997
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
40,07
Hexagonální síť
AP 13x20
0,0324
0,1306
0,2127
0,3410
0,5029
0,6405
0,7618
0,8416
0,9087
0,9480
0,9688
0,9769
0,9908
0,9954
0,9977
0,9977
0,9977
0,9977
0,9988
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
39,89
IDW 13x20
AP 5
IDW 5
AP 10
0,0358
0,1096
0,2076
0,3276
0,5029
0,6494
0,7716
0,8558
0,9319
0,9516
0,9712
0,9873
0,9977
0,9977
0,9977
0,9988
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
32,08
0,0808
0,1761
0,2768
0,3796
0,4765
0,5611
0,6441
0,7219
0,7792
0,8216
0,8593
0,8867
0,9149
0,9334
0,9485
0,9595
0,9701
0,9772
0,9826
0,9866
0,9895
0,9920
0,9937
0,9971
0,9982
0,9991
0,9995
0,9998
0,9999
1
1
1
1
1
1
58,20
0,0867
0,2101
0,3301
0,4414
0,5443
0,6318
0,7105
0,7690
0,8222
0,8636
0,8965
0,9237
0,9451
0,9573
0,9693
0,9800
0,9876
0,9929
0,9962
0,9982
0,9991
0,9998
0,9998
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
47,61
0,0664
0,1616
0,2783
0,4055
0,5320
0,6397
0,7299
0,8013
0,8466
0,8884
0,9188
0,9387
0,9617
0,9758
0,9824
0,9875
0,9899
0,9918
0,9953
0,9977
0,9984
0,9996
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
44,39
IDW 10
0,0522
0,1446
0,2644
0,4043
0,5385
0,6509
0,7414
0,8106
0,8655
0,8980
0,9304
0,9536
0,9702
0,9787
0,9857
0,9915
0,9950
0,9985
0,9992
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
38,65
AP 20
0,0495
0,1236
0,2257
0,3493
0,5147
0,6538
0,7666
0,8439
0,8918
0,9382
0,9614
0,9799
0,9861
0,9954
0,9985
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
30,83
IDW 20
0,0464
0,1144
0,2087
0,3369
0,5008
0,6600
0,7697
0,8547
0,9119
0,9490
0,9629
0,9815
0,9923
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
27,85
216,30
118,20
105,64
84,11
83,58
62,68
161,30
109,56
97,88
79,96
59,68
52,85
průměr (°)
12,28
10,67
10,94
10,60
10,50
10,39
12,38
10,89
10,82
10,66
10,44
10,44
průměr (%)
22,65
19,30
19,71
19,00
18,74
18,51
22,82
19,76
19,54
19,17
18,64
18,62
5.4.2
Aspekt a směr odtoku
Protože je směr odtoku dán algoritmem D-8 (resp. D-6), je aspekt místa shodný se
směrem odtoku. Následující obrázky porovnávají aspekt určený na vybraných typech
vygenerovaných sítí DEM. Poměrně výrazné jsou rozdíly mezi ekvivalentními sítěmi
generovanými odlišnými interpolačními technikami. Z obrázků je patrné, že metoda IDW
poskytuje modely, které více respektují celkový trend v chování terénu zájmové oblasti,
zatímco u modelů metody aritmetického průměru je větší četnost takových směrů odtoku,
které jsou ve své lokalitě vůči trendu aspektu ojedinělé. S klesajícím rozlišením sítě
relativní zastoupení těchto diskrétně rozmístěných, mimo trend stojících směrů odtoku
klesá.
85
5 Výsledky
Obr. 5.36 Aspekt a směry odtoků na ortogonální síti interpolované aritmetickým průměrem. Častá jsou
bezodtoká místa (bílé díry uvnitř a na „horním“ okraji modelu). Dobře patrná je údolnice – předěl mezi
polovinami s převládající žlutou a bledě modrou barvou.
Obr. 5.37 Aspekt a směry odtoků na ortogonální síti interpolované metodou IDW. Ve srovnání se sítí
generovanou technikou AP na obrázku 5.36 je zde minimum bezodtokých míst a více patrný trend směrů
odtoku a tedy i aspektu v oblastech na obou stranách údolnice. Linie údolnice je rovněž jednoznačnější.
86
5 Výsledky
Obr. 5.37 Aspekt a směry odtoků na hexagonální síti interpolované metodou IDW. Ve srovnání
ortogonálním typem sítě ubývají dva směry, ale celkový trend chování terénu je velmi podobný. Zachovány
jsou i anomálie na svahu Malé Mokrůvky (vpravo nahoře) způsobené nedostatečnou hustotou měření.
Obr. 5.38 Aspekt a směry odtoků na hexagonální síti (IDW), hrubší rozlišení. Ve srovnání s jemnější sítí na
obrázku 5.37 je patrná generalizace terénu, drobné anomálie se ztrácejí a trend směrů je zřetelnější.
87
5 Výsledky
5.4.3
Vymezení povodí. Rozvodnice
Experimentální povodí Modrava 2 na potoce Mokrůvka je vymezeno rozvodnicí
vztaženou k Thompsonovu přelivu (na obrázku v příloze 9.2 je jeho poloha vyznačena
červeným bodem).
Při řešení odtokového algoritmu a následném vymezování povodí nastaly dva
problémy. (1) Hlavní problém představují bezodtoká místa. Tyto body zadržují veškerou
vodu, která do nich stéká, a proto jsou potom dílčí povodí těchto bezodtokých bodů zcela
vyčleněna mimo území povodí vztaženého k uzávěrnému profilu. Tento fakt se projevuje
nejvíce na jemných sítích a s generalizací terénu se vytrácí; stejný trend pak pozorujeme
při přechodu od sítě generované metodou aritmetického průměru k síti interpolované
metodou IDW.
(2) Druhý problém je způsoben faktem, že se nám tachymetrickým měřením
nepodařilo pokrýt celou plochu území povodí vztaženého k Thompsonovu přelivu – a to
podél „pravého“ okraje modelu (z pohledu na obrázky), tj. levobřežní část povodí od
přelivu až k vrcholu Malé Mokrůvky. Na všech obrázcích této sekce je vidět, že území
povodí vymezeného na základě vyhodnocených směrů odtoku sahá až k tomuto pravému
okraji modelu. Z toho jasně vyplývá, že zde nebyla rozvodnice tachymetricky zaměřena a
v každém případě tento okraj modelu nelze za rozvodnici považovat. Trochu jiná situace
nastává v případě „levého“ okraje modelu. Okolnosti nasvědčují tomu, že alespoň na této
straně povodí bylo území zaměřeno až za linii rozvodnice, takže z teoretického hlediska by
neměl být problém ji v modelu vymezit. V praktické rovině to ovšem problém je – území
sice bylo zaměřeno až za její linii, ale nikoli s dostatečnou rezervou v lokalitě uzávěrného
profilu (zde se to týká hlavně pásma pod přelivem). Odtokový algoritmus pro okrajové
body modelu vyhodnotí zkreslený směr odtoku – jednoduše proto, že jiná možnost
odtokového směru zde neexistuje. Okraj modelu tak představuje falešnou preferenční cestu
odtoku. A protože bod reprezentující uzávěrný profil je sám umístěn na okraji modelu, tato
falešná preferenční cesta do něj ústí a uzávěrný profil je tak recipientem vody z bodů, které
by do jeho zdrojové oblasti jinak vůbec nepatřily. Takto vymezená rozvodnice je tudíž také
neplatná. Proto jsem v případech, kde se tento fenomén projevil nejvíce, zvolil pro
reprezentaci uzávěrného profilu jiný bod, abychom přibližně zmapovali alespoň
pravobřežní část rozvodnice (na obrázcích levý okraj modelu).
Obrázek 5.39 se zaměřuje na srovnání vlivu použitých interpolačních technik při
tvorbě sítě a poukazuje tak na prvně zmíněný problém bodů reprezentujících falešné
bezodtoké prohlubně. Přechod od interpolace aritmetickým průměrem k IDW je vidět malý
postup kraje povodí k vrcholu Malé Mokrůvky. Obrázek zároveň prezentuje i druhý
problém – uzávěrný profil byl ponechán v místě jeho skutečné polohy.
Na obrázku 5.40 byla poloha uzávěrného profilu naopak posunuta o 10 metrů
směrem proti proudu potoka, což má, jak se ukázalo, velké důsledky na pravobřežní část
88
5 Výsledky
rozvodnice. Navíc je zde dobře zachycen vliv generalizace terénu na bezodtoká místa, na
který jsem poukázal v sekcích 5.4.1 a 5.4.2 s výsledky sklonitosti a aspektu terénu.
Poslední obrázek této sekce pak porovnává extrémy týkající se prvně zmíněného
problému bezodtokých míst. Vedle sebe jsem postavil model povodí vymezený na síti
vygenerované interpolační metodou aritmetického průměru, která má navíc jemné
rozlišení, a model povodí na hrubé síti vytvořené technikou IDW. Právě tento model
vystihuje plochu povodí při daných možnostech asi nejvěrněji. Plocha takto vyčleněného
povodí činí podle algoritmu uvedeného v poslední sekci této kapitoly 17,67 ha.
(a)
(b)
Obr. 5.39 Vliv interpolační metody a použití skutečného uzávěrného profilu na vymezení rozvodnice.
(a) Síť typu AP. Bod reprezentující uzávěrný profil (vyznačen červeně) odvodňuje území situované podél
„levého“ okraje modelu (z pohledu na obrázek). Kdyby ovšem bylo území zaměřeno dál, směry odtoku by
zde nebyly limitovány okrajem a situace by se tak rapidně změnila. Výsledná situace je navíc podpořena i
tzv. edge efektem (zkreslení odhadů výšek na okrajích modelu), takže do profilu stéká i voda z bodu, který je
na obrázku situován pod ním, přestože tento bod by měl mít výšku menší než profil. To celou situaci ještě
zhoršuje. Na svahu Malé Mokrůvky (na obr. vpravo nahoře) navíc dochází k výraznému zkreslení průběhu
rozvodnice z důvodu bezodtokých míst, které zadržují průtok z horní části svahu. (b) Síť typu IDW.
Alespoň částečná eliminace bezodtokých míst na svahu Malé Mokrůvky umožnila posunout rozvodnici dále
k vrcholu.
89
5 Výsledky
(a)
(b)
Obr. 5.40 Vliv generalizace terénu a použití improvizovaného uzávěrného profilu na vymezení rozvodnice.
Oba modely, (a) i (b), jsou nyní odvozeny na síti typu AP. (a) Oproti situaci znázorněné na obrázku 5.39,
tentokrát do uzávěrného profilu nespadají body podél „levého“ okraje modelu a nezkreslený průběh
rozvodnice je tedy vystižen alespoň zde. Na svahu Malé Mokrůvky (na obr. vpravo nahoře) však stále
dochází k jejímu výraznému zkreslení z důvodu bezodtokých míst, stejně jako v případě modelu na obrázku
5.39 a. (b) Generalizace terénu způsobená hrubším rozlišením sítě tato bezodtoká místa do jisté míry
eliminuje, proto dosahuje území povodí až k vrcholu Mokrůvky tak, jak by mělo.
(a)
(b)
Obr. 5.41 Porovnání extrémů. (a) Hexagonální síť typu AP má problémy s vedením rozvodnice na svahu
Malé Mokrůvky. (b) Přechod k interpolační technice IDW a generalizace terénu tento problém odstraňují.
Srovnání mezi výsledky na hexagon. síti zde a ortogon. síti na obrázku 5.40 zásadní rozdíly nevykazuje.
90
5 Výsledky
5.4.4
Údolnice
Algoritmus k vymezení údolnice popsaný v sekci 4.7.2 se příliš neosvědčil. Narážel
na dva problémy. (1) Prvním z nich byly diskontinuity modelu terénu způsobené
bezodtokými místy. Na jemných sítích (rozlišení 3 × 5 m, resp. 5 m) tak bylo prakticky
nemožné údolnici vymezit. V tomto případě nejde o nedostatek algoritmu samotného, ale
spíše o problém interpolační techniky bodů sítě DEM. Tento problém není možné řešit,
dokud nebudou bezodtoké lokality eliminovány – ať už generalizací terénu či lepší
interpolační technikou. (2) Druhý problém pramení z nedostatečné specifikace bodů, které
mají údolnici tvořit. Nastávají tak situace, kdy je směr průběhu údolnice vlivem místní
topografické situace odkloněn do nesprávného směru a pravděpodobnost pozdější nápravy
je mizivá, a nebo je její průběh dokonce předčasně ukončen. V každém případě dopadly
nejlépe testy na hrubých sítích (tj. s rozlišením 13 × 20 m, resp. 20 m).
(a)
(b)
Obr. 5.42 Vymezení údolnice. (a) Hrubé rozlišení sítě poskytuje uspokojivé výsledky. Počátek vedení linie
údolnice (dole) však musel být upraven, z uzávěrného profilu to nebylo pro algoritmus průchodné.
(b) Ukázka předčasného ukončení linie údolnice. Ukončení bylo způsobeno tím, že se údolnice dostala do
bodu, odkud nebylo možno dle algoritmu pokračovat dál – všechny okolní body byly položeny buď níže
nebo šlo o zdrojový bod bez přítoku.
Přesvědčivější výsledky měly v tomto ohledu výstupy modelů aspektu (sekce 5.4.2),
na kterých je linie údolnice patrná velice dobře, a pak také výstupy výpočtů prostorově
distribuovaných rozloh území odvodňovaných příslušnými body (charakteristiky TCA) –
viz následující sekci.
91
5 Výsledky
5.4.5
Rozloha vymezeného povodí
Algoritmus uvedený v sekci 4.6 poskytl prostorové rozložení hodnot rozlohy dílčích
povodí vymezených dle odtokového algoritmu pro všechny body povodí specifikovaného
uzávěrným profilem. Každý bod z povodí má tedy vypočtenu rozlohu jemu příslušejícího
území, které tento bod odvodňuje. Body bez přítoku tedy mají tuto hodnotu rozlohy
nulovou (zdrojové body), zatímco rozloha pro bod reprezentující uzávěrný profil
představuje rozlohu celého povodí. Pochopitelně tedy záleží na způsobu, jakým bylo území
povodí vymezeno (narážím na nedostatky uvedené v sekci 5.4.3 o vymezení rozvodnice).
Vedlejším produktem tohoto algoritmu je vizualizace preferenčních cest
povrchového odtoku v povodí, a tedy i specifikace údolnice. V tomto ohledu velmi záleží
na použité síti bodů DEM a na odtokovém algoritmu. V závislosti na rozložení aspektu a
tedy i distribuci směrů odtoku se průběh preferenčních cest liší, jak je patrné
z následujících obrázků. Všechny uvedené modely se ale shodují na vedení hlavní
údolnice, která má hodnoty rozlohy svého odvodňovaného území stabilně nejvyšší ze
všech bodů.
Obr. 5.43 Rozlohy území protékaného příslušnými body a preferenční cesty v povodí. Síť hexagonální,
interpolace aritmetickým průměrem. Celému území dominuje linie údolnice, boční přítoky jsou nevýrazné.
Model je drasticky ovlivněn nežádoucím vyčleněním svahu Malé Mokrůvky (světle žlutá oblast vpravo
nahoře) ven z území povodí – díky diskontinuitě modelu kvůli bezodtokým lokalitám. Při takto vymezeném
povodí odvodňuje uzávěrný profil území o rozloze 12,11 ha.
92
5 Výsledky
Obr. 5.44 Rozlohy území protékaného příslušnými body a preferenční cesty v povodí. Ortogonální síť,
interpolační technika aritmetického průměru. Protože jde o stejnou interpolační techniku, má tento model
stejná specifika jako model v předchozím obrázku. Rozloha takto vymezeného území je 12,59 m.
Obr. 5.45 Model TCA vytvořený na síti typu IDW: větší území povodí (18,68 ha), výraznější boční přítoky.
93
5 Výsledky
Obr. 5.46 Model TCA vytvořený na síti typu IDW, oproti obr. 5.45 jde zde o hexagonální rozvržení bodů.
Stejně jako si byly podobné oba modely založené na interpolační technice AP (obr. 5.43 a 5.44), jsou si nyní
velmi podobné i modely na síti typu IDW. Rozvržení bodů v síti nehraje velkou roli. Celk. rozloha: 14,29 ha.
Obr. 5.47 Vliv generalizace terénu na TCA použitím hrubší sítě. Tato souvislost se příliš nepotvrdila –
srovnáme-li tento model s obrázkem 5.46, preferenční cesty zůstaly stejné. Generalizací terénu se ovšem
zvětšila rozloha území. Tento model vystihuje skutečné území experimentálního povodí ze všech
vytvořených modelů nejlépe. Uzávěrný profil zde odvodňuje území o rozloze 17,67 ha.
94
6 Diskuze
6 Diskuze
Hlavním záměrem této kapitoly je komplexní zhodnocení výsledků, uvedení všech
výstupů diplomové práce do vzájemných souvislostí a zhodnocení vlivů, kterými byly
výsledky ovlivněny – především pak vlivu použité interpolační techniky, prostřednictvím
které byl analyzovaný model terénu vytvořen.
6.1 Reprezentace terénu
Prvotním cílem sběru dat na našem experimentálním povodí bylo vytvořit co nejlepší
reprezentaci zdejšího terénu tak, aby bylo možné jejím prostřednictvím analyzovat místní
hydrologické charakteristiky, řešit srážko-odtokové modely apod. Z výsledků uvedených
v této práci vyplývá, že hodnoty terénních charakteristik, odvozené při neměnných
podmínkách, se ale přesto liší, a to v závislosti na způsobu reprezentace terénu. Zásadní je
v tomto ohledu (1) kvalita vstupních dat naměřených v terénu, a (2) způsob, jakým byla
vygenerována síť bodů modelu terénu, protože právě na tom velice záleží kvalita sítě
samotné, a tudíž i veškerých dalších výpočtů založených na její analýze.
Vliv struktury tachymetrických dat na tvorbu DEM
V kapitole 3 byla popsána metodika sběru topografických dat v terénu a jejich
zpracování. Naměřený vzorek dat sehrál při tvorbě digitálního modelu terénu zásadní roli,
což se projevilo hned při verifikaci interpolačních technik pravidelných sítí bodů DEM
provedené podle metodiky popsané v kapitolách 2 a 4, jejíž výsledky jsou prezentovány
v kapitole 5.
Verifikace vyhodnotila pro všechny kalibrované parametry obou interpolačních
technik nejvyšší hodnoty odchylek odhadů od měřených hodnot (obrázky 5.5, 5.6, 5.15,
5.16) na území svahu Malé Mokrůvky, tzn. v oblasti, kde se nacházejí podrobné body
polygonového pořadu č. 27, 26, 25, 24, R5, R6, R7 (viz přílohu 9.1, v obrázcích
znázorňujících jednotlivé modely terénu jde o partie pravého horního kvadrantu).
Podíváme-li se na pokrytí tohoto území měřenými body (viz přílohu 9.1), zjistíme, že
hustota bodů je poměrně nízká, zvláště pak vůči partiím v dolní části zájmového území,
nad uzávěrným profilem. Přestože není morfologie terénu na svahu Malé Mokrůvky příliš
členitá, vyhodnocení výsledků jednotlivých interpolací terénu dokazuje, že pokrytí
tachymetrickými body je v této oblasti nedostatečné.
Představené interpolační techniky si s takovou situací nedovedou poradit. Při
odhadech výšky pro jednotlivé body sítě DEM berou v úvahu vždy stanovený počet
95
6 Diskuze
nejbližších tachymetrických bodů. V nejhorším případě může dojít k situaci, kdy bude pro
více než jeden interpolovaný bod vybrán vzorek stejných tachymetrických bodů.
Pravděpodobnost této situace se zvyšuje s rostoucím rozlišením sítí (tj. s jejich rostoucí
rozlišovací schopností), kde jsou body DEM blízko u sebe. V případě interpolace metodou
aritmetického průměru to pak znamená, že se pro tyto body vyhodnotí pokaždé stejná
výška, což způsobuje vznik falešných plošin nežádoucích pro všechny druhy digitálních
modelů terénu. Tyto plošiny je nutno dále eliminovat, což digitální analýzy terénu pouze
komplikuje. Interpolační technika IDW tomuto problému předchází tím, že do výpočtu
svých odhadů včleňuje vzdálenosti tachymetrických bodů od bodu interpolovaného. To
jednotlivé odhady diverzifikuje i přesto, že byly odvozeny ze stejných bodů tachymetrie.
Druhý, častější problém, který je možno pozorovat na modelech prostorové
distribuce rozdílů měřených a interpolovaných hodnot v oblasti svahu Malé Mokrůvky, je
střídání silně podhodnocených odhadů výšek s odhady naopak značně nadhodnocenými.
Patrnější je to opět v případě interpolace aritmetickým průměrem. Důvodem nebude ve své
podstatě ani tak nedostatečná hustota tachymetrických bodů v této lokalitě, jako spíš jejich
prostorové uspořádání. Jak je patrné z přílohy 9.1, tachymetrické body jsou zde rozmístěny
v souběžných liniích, které jsou vedeny více méně po vrstevnicích, takže body jedné linie
mají srovnatelnou výšku. Vzájemné rozestupy mezi body v linii jsou mnohem kratší než
rozestupy mezi liniemi. Tato prostorová disproporce způsobuje, že i při relativně malém
posunu z místa na místo se může razantním způsobem změnit seznam nejbližších
tachymetrických bodů pro dané místo. Do seznamu začnou najednou přibývat
tachymetrické body z jedné linie na úkor hromadného úbytku tachymetrických bodů
z druhé linie. Tak vzniká jakýsi „schodovitý“ efekt v interpolovaném terénu, který se
prohlubuje s detailnějším rozlišením sítě, který je dobře patrný z výsledků analýzy
prostorové distribuce sklonitosti terénu. Na svahu Malé Mokrůvky se střídají souběžná
pásma extrémně příkrých sklonů, největších v celé zájmové oblasti, s pásy velmi mírných
sklonů. Efekt je markantnější u sítí interpolovaných metodou aritmetického průměru.
Z analýzy prostorového rozložení aspektu a tedy i směrů odtoku navíc vyplývá, že
v jednotlivých stupních se zejména v případě interpolační techniky aritmetického průměru
tvoří bezodtoká místa. Ta jsou vůbec největším problémem interpolovaných sítí digitálního
modelu terénu. Důkazem toho jsou výsledky sekce zabývající se vymezením rozvodnice
k danému uzávěrnému profilu. U jemných sítí se rozvodnice nedostala dál než ke spodní
polovině svahu, protože veškerý odtok z horních partií svahu Malé Mokrůvky přerušila
falešná depresní pásma v úbočí svahu.
Generalizace terénu v podobě volby hrubší sítě DEM tento nedostatek z části řeší
svým vyhlazujícím účinkem. Vzdálenost dvou sousedních bodů a tedy i průměrný
vertikální interval mezi sousedními body je totiž v hrubší síti obvykle větší než
horizontální a vertikální rozměry většiny falešných prohlubní, takže se bezodtoká místa
tímto eliminují. Ztrácíme tím však všechny detaily, nikoli pouze ty nežádoucí.
Univerzálním řešením je proto nikoli generalizace terénu, ale využití některého ze
96
6 Diskuze
sofistikovanějších interpolačních algoritmů. Lepší výsledky lze obecně očekávat od
vyšších interpolačních technik, jako jsou splajny, bodový Kriging či polynomiální
interpolace vyšších řádů. Speciálně technika splajnů klade velký důraz na precizní
vyhlazení terénu, které by při generování pravidelných sítí DEM schodovitému efektu do
jisté míry předešlo. Je třeba si však uvědomit, že ani dokonale vyhlazený terén vždy
nemusí představovat nejlepší výsledek.
Svah Malé Mokrůvky však není jedinou oblastí s větší koncentrací větších hodnot
odchylek mezi hodnotami interpolovanými a měřenými. Druhou lokalitou je dolní část
hlavní údolnice – pásmo potoka Mokrůvka od uzávěrného profilu až k nivační míse pod
podrobným bodem R2 polygonového pořadu. Právě v lokalitě pod bodem R2 se poprvé
objevuje zřetelný povrchový odtok v podobě potoka Mokrůvka. Na rozdíl od svahu Malé
Mokrůvky bylo toto pásmo území zaměřeno naopak velice důsledně, hustota
tachymetrických bodů je zde dokonce nejvyšší z celého zaměřeného území. Zvýšené
hodnoty reziduí jsou tedy dány jiným fenoménem, a tím je členitější morfologie zdejšího
terénu. Tato lokalita je tvořena údolím, které je vůči okolnímu terénu již poměrně hluboce
zařízlé. Jde o oblast, kde se oproti vrcholovým partiím experimentálního povodí začíná
projevovat výraznější modelace terénu erozní činností vody. Výsledkem všech interpolací
pak je, že úroveň dna potoka je oproti skutečnosti nadhodnocena, zatímco břehová pásma
v blízkosti potoka jsou naopak podhodnoceny – údolnice a její okolí se vzájemně ovlivňují.
Tuto situaci dobře dokumentují obrázky 5.9 a 5.10 pro případ interpolace aritmetickým
průměrem, a obrázky 5.19 a 5.20 pro interpolaci metodou IDW. Tento problém je
předmětem obou použitých interpolačních technik a popsané zkreslení odhadů výšek se u
obou z nich vyskytuje dokonce srovnatelnou měrou. Velkou výhodou je zde fakt, že tato
lokalita byla tachymetricky zaměřena tak podrobně, nicméně pro další eliminaci reziduí
v těchto místech by bylo v každém případě vhodné zkusit vytipovat jiné, individualizované
hodnoty parametrů interpolační techniky (např. počet bodů n použitých při interpolaci)
přímo na míru této lokality.
Okrajový efekt
Další komplikací, jež jsem zaregistroval při digitální analýze terénu na vytvořených
sítích bodů DEM, je tzv. okrajový efekt (angl. edge efekt). V tomto případě se jedná o
obecný problémem týkající se všech interpolačních technik nezávisle na jejich druhu. U
edge efektu dochází ke zkreslení odhadů výšek na okrajích modelovaného území.
K tomuto problému dochází z důvodu asymetrie prostorového uspořádání tachymetrických
bodů vybraných k procesu interpolace. Interpolované body umístěné na okraji modelu totiž
nejsou obklopeny tachymetrickými body rovnoměrně ze všech stran, ale obvykle pouze
z jednoho směru. Je-li v dané lokalitě terén rovinný, nemusí se edge efekt vůbec projevit,
ale v případě svahu bude průběh terénu na okraji modelu ovlivněn značně. Pokud se terén
směrem k okraji svažuje, jsou odhady výšek v okrajových bodech nadhodnoceny a naopak.
Efekt je výraznější s narůstající vzdáleností nejvzdálenějšího tachymetrického bodu
použitého při interpolaci, z čehož lze usuzovat, že k největšímu zkreslení podél okrajů
97
6 Diskuze
modelu může docházet v případech, máme-li při interpolacích sítí bodů DEM k dispozici
příliš hrubou síť měřených bodů. Nejde však o pravidlo.
Okrajový efekt jsem pozoroval v blízkosti uzávěrného profilu při situaci znázorněné
na obrázku 5.39: do bodu reprezentujícího uzávěrný profil stéká voda také z bodu
situovaného v modelu „pod“ ním, přestože tento bod by ve skutečnosti měl mít výšku
menší, než uzávěrný profil. Díky této anomálii zde dochází k velkému ovlivnění trasy
rozvodnice, protože do uzávěrného profilu tak nepatřičně stéká voda z bodů umístěných
podél okraje modelu, které, jak bylo popsáno v příslušné sekci 5.4.3, slouží jako falešná
preferenční cesta povrchového odtoku. Další projevy okrajového efektu jsou patrné na
nedoměřeném svahu Malé Mokrůvky.
Okrajovému efektu lze účinně předcházet jednoduše tím, že body sítí DEM
nebudeme interpolovat až ke krajům zmapovaného území. V našem případě je to ovšem
problém právě v oblasti uzávěrného profilu, kde se nám díky vskutku nepříznivým
meteorologickým podmínkám nepodařilo zaměřit dostatečně velké území kolem tohoto
profilu. Kdybych proto interpolaci bodů pravidelných sítí nenechal dojít až ke krajům
zmapovaného území, nebyla by lokalita Thompsonova přelivu do digitálního modelu
terénu našeho experimentálního povodí vůbec zahrnuta.
Porovnání interpolačních technik
Nyní přejděme k bilanci úspěšnosti obou interpolačních technik použitých v této
práci ke tvorbě pravidelných sítí bodů DEM. S jednoznačně lepšími výsledky vychází
metoda IDW. V případě použití nejlepších parametrů pro obě techniky byla průměrná
hodnota reziduí pro metodu IDW přibližně o jednu pětinu nižší než pro metodu
aritmetického průměru, ale nejde pouze o globální hledisko. Jak už bylo řečeno, metoda
vážených průměrů dle inverzních vzdáleností umožňuje do výsledného odhadu výšek
oproti obyčejnému aritmetickému průměru hodnot zohlednit také vliv vzdálenosti
tachymetrických bodů od bodu interpolovaného. Podle výsledků analýzy prostorové
distribuce reziduí tento fakt zmírňuje uvedený schodovitý efekt v případě svahu Malé
Mokrůvky – podhodnocení či nadhodnocení odhadů je zde menší – a do značné míry jsou
eliminovány i falešné bezodtoké lokality. Dokumentuje to i srovnání zmíněných modelů
aspektu, sklonitosti a vymezení rozvodnice pro obě interpolační techniky. Ne ve všech
případech však musí interpolace výšek aritmetickým průměrem poskytovat jednoznačně
horší výsledky. Z již zmíněného srovnání reziduí v partiích dolní části údolnice vycházejí
obě interpolační techniky takřka srovnatelně.
Ačkoli jsou extrémní hodnoty reziduí v případě interpolace aritmetickým průměrem
obecně vyšší než rezidua u metody IDW, prostorové rozložení těchto extrémních hodnot
reziduí napříč celým zaměřeným územím experimentálního povodí je pro obě interpolační
metody při parametrech vzešlých z její verifikace v podstatě shodné: nejvyšších hodnot
dosahují rezidua ve dvou popsaných lokalitách – na svahu Malé Mokrůvky a v dolní části
údolnice nad uzávěrným profilem. Jak už jsem zmínil výše, pro účel snížení hodnot reziduí
98
6 Diskuze
lze pro vytipované lokality vyhodnotit individuální hodnoty interpolačních parametrů a na
jejich základě zde pak provést dílčí interpolace. Tímto způsobem bychom mohli celou
oblast experimentálního povodí rozdělit na libovolný počet dílčích podoblastí, pro každou
z nich určit individuální sadu hodnot parametrů, která by pro danou lokalitu při validaci
vykazovala nejnižší hodnoty reziduí, a celé území povodí interpolovat po částech. Přesnost
takto interpolovaného terénu je pak samozřejmě mnohem větší než v případě jedné sady
hodnot parametrů, kterou jsem použil pro celou oblast. Mnohem větší je ale také náročnost
takového procesu. Pro stanovení individuálních parametrů je potřeba vytipovat takové
lokality, které to opravdu vyžadují. V případě našeho experimentálního povodí jde o
zmíněné dvě oblasti (svahu Malé Mokrůvky a dolní části údolnice), jinak se celé území
povodí vyznačuje poměrně stabilními morfologickými podmínkami. V případě lokality na
svahu Malé Mokrůvky je však možné, že ani změna hodnot interpolačních parametrů by
nepřinesla větší úspěch – vzhledem ke zmíněné nedostatečné hustotě tachymetrických
bodů.
6.2 Analýza primárních charakteristik terénu
Na výsledky interpolačních technik navazuji v sekci 5.4 s výsledky primárních
charakteristik terénu. Výsledky analyzovaných terénních charakteristik jsou plně závislé na
interpolované vstupní síti bodů digitálního modelu terénu. Jak ukázaly výsledky této sekce,
vyhodnocené směry odtoků, sklony, aspekt, rozvodnice pro daný uzávěrný profil, rozlohy
zdrojových oblastí a průběh preferenčních cest povrchového odtoku na
území experimentálního povodí se liší v závislosti na typu sítě, z něhož byla konkrétní
charakteristika terénu odvozena. Obsahem výsledků byl kromě analyzování a kvantifikace
dané charakteristiky také komentář týkající se vzájemného srovnávání (1) vlivu použité
interpolační techniky, (2) uspořádání bodů sítě a (3) jejího rozlišení na výsledky
charakteristiky. Tento vliv se ukázal jako zásadní. Pokud bychom chtěli určit např.
konkrétní hodnotu průměrného či maximálního sklonu terénu na území zaměřené oblasti,
záleží na kombinaci uvedených tří atribut, které použijeme při interpolaci sítě bodů DEM,
na níž budeme následně sklon či jakoukoli jinou terénní charakteristiku analyzovat.
Vliv použité interpolační techniky
K určení, jakou zvolit interpolační metodu, potřebujeme znát konkrétní požadavky
na výsledky digitální analýzy terénu. Obecně platí, že čím nižší hodnoty reziduí bude
interpolační technika při své verifikační fázi vykazovat, tím věrnější reprezentaci terénu
dokáže vytvořit a kvalitní reprezentace terénu je základním klíčem k jeho úspěšné analýze.
V případě analýz provedených na našem experimentálním povodí se osvědčily sítě
interpolované metodou IDW.
99
6 Diskuze
Vliv struktury pravidelné stíě DEM
Pro výběr ideálního uspořádání bodů v pravidelné síti modelu terénu je třeba na
daném území vyzkoušet více typů sítí a vybrat jednoduše takovou strukturu, která zde bude
pro analyzovanou terénní charakteristiku vykazovat nejlepší výsledky. V případě analýz,
které jsem na našem experimentálním povodí provedl já, však mohu říci, že konečné
uspořádání bodů v síti DEM na analyzované charakteristiky terénu zásadní vliv nemělo.
Samozřejmě je velký rozdíl, zda-li je odtok umožněn osmi, nebo pouze šesti směry; přesto,
sklonitosti terénu se tato problematika nijak prokazatelně nedotkla a ani při
porovnání preferenčních cest povrchového odtoku generovaných stejnou interpolační
technikou na ortogonální a hexagonální síti srovnatelného rozlišení zásadní rozdíly
nenajdeme. Drobné odlišnosti jsou pozorovatelné při porovnávání průběhu rozvodnic
k danému uzávěrnému profilu.
Vliv rozlišení pravidelné stíě DEM
Zcela zásadní vliv má ale rozlišení sítě. O rozlišení lze obecně říci, že s jeho
poklesem se reprezentace terénu danou sítí generalizuje, což vede k vyhlazení extrémních
hodnot analyzované charakteristiky. K volbě ideálního rozlišení je potřeba znát členitost
analyzovaného území, ale ještě důležitější informací bývají mnohdy přesné nároky na
výsledky analyzované veličiny. Rozlišení sítě by mělo být dostatečně jemné, aby zachytilo
takovou změnu analyzované charakteristiky, která je pro nás důležitá. Obecně rozhodně
neplatí pravidlo, že čím jemnější rozlišení sítě k analýze použijeme, tím lepší výsledky
obdržíme. Síť se „superjemným“ rozlišením sice mapuje terén do nejmenších detailů, ale
to pro analyzovanou terénní charakteristiku nemusí být vždy ideální – např. v případě,
obsahuje-li síť bezodtoké lokality, byť nejsou falešné. Navíc při tvorbě jemných sítí pro
účely této práce se ukázalo, že s rostoucí jemností sítě roste i náchylnost interpolační
techniky k tvorbě bezodtokých lokalit, které falešné rozhodně jsou. I z těchto důvodů je
proto třeba zvolit rozumný kompromis tak, aby rozlišení sítě bylo schopné korektní
reprezentace analyzované charakteristiky, ale ne nadmíru jemné, aby nedocházelo k jejímu
zkreslování. Vliv rozlišení sítě na výsledky terénních charakteristik lze velmi dobře
pozorovat na analýze hodnot zkoumané charakteristiky (např. sklonitosti terénu)
vyhodnocených ze sítí o různém rozlišení. Výběr ideálního rozlišení sítě lze nakonec
rozhodnout na základě srovnání výsledků terénní charakteristiky, získaných na základě její
digitální analýzy, s hodnotami naměřenými v terénu. To však nelze učinit se všemi
charakteristikami, protože mnohé z nich jednoduše změřit nelze. V úvahu připadá zmíněný
sklon. Při příští návštěvě experimentálního povodí by bylo užitečné zaměřit několik
kontrolních hodnot sklonů na specifikovaných lokalitách a pak tyto hodnoty porovnat
s výsledky digitální analýzy prezentované v sekci 5.4.1. Na základě porovnání by pak bylo
možné vyhodnotit nejen „ideální“ rozlišení sítě, ale všechny zmíněné atributy ovlivňující
výsledky terénních charakteristik.
100
6 Diskuze
Na všech vygenerovaných sítích bodů DEM jsem vyhodnotil několik vybraných
terénních charakteristik a na jejich výsledcích následně analyzoval vliv typu použité sítě.
V úvahu je potřeba vzít důležitý fakt, že jelikož nebyla zaměřena celá plocha
experimentálního povodí, nevztahují se tyto charakteristiky k povodí, ale k celé zaměřené
oblasti. Má to ovšem tu výhodu, že výsledky se tím pádem vztahují vždy ke stejně
definovanému území, zatímco v případě vztažení charakteristik pouze k území samotného
povodí by záleželo na typu sítě použité pro vymezení rozvodnice.
Sklon
Jak je vidět z výsledků o sklonitosti terénu, průměrná hodnota sklonu je cca 19%,
přičemž hodnota klesá s rostoucím rozlišením sítě a také přechodem od analýzy na síti
interpolované metodou IDW k analýze na síti interpolované metodou aritmetického
průměru. Důvody jsem popsal výše. Nejvyšších hodnot průměrného (více než 22%) i
maximálního sklonu (dokonce 216%, což v přepočtu na stupňovou míru činí více než 65°!)
dosáhla kombinace sítě s jemným rozlišením a interpolační technikou aritmetického
průměru. V takto interpolované síti se totiž projevily poměrně velké terénní detaily, které
zvyšují přítomnost takovýchto extrémních hodnot, byť jsou přítomny třeba ve velmi malé
míře, jak ukazují hodnoty empirické distribuční funkce v tabulce 5.5. Protože je však
výskyt většiny těchto extrémů omezen především na výsek území na svahu Malé
Mokrůvky, kde je přítomen zmíněný schodovitý efekt, lze s velkou pravděpodobností
očekávat, že právě tyto extrémní hodnoty sklonu jsou falešné. Zajímavé bude srovnaní
těchto hodnot s hodnotami sklonu odvozenými na síti, jež bude mít pro lokalitu svahu
Malé Mokrůvky stanoveny individuální hodnoty interpolačních parametrů. Nicméně
průměrnou hodnotu sklonitosti terénu zaměřeného území kolem 19% můžeme považovat
za objektivní. Zároveň je z výsledků patrné, že pravá strana území od údolnice (na
obrázcích modelů jde o levou část) je z hlediska sklonu mírnější a méně členitá než strana
levobřežní.
Směry odtoku a aspekt
Výsledky z analýzy směrů odtoku a aspektu ukázaly celkovou jednotnost směrů
odtoku a tedy i aspektu na zaměřeném povodí, což je dáno poměrně vyrovnanou členitostí
terénu. Souřadnice celého území byly, jak bylo řečeno výše, pro jednoduchost ponechány
v relativních souřadnicích vztažených pouze k vrcholu Malé Mokrůvky (přičemž je
můžeme kdykoli transformovat do globálního systému), ale víme, že směr toku potoka
Mokrůvka a tedy i celá údolnice jsou orientovány k severu. Z toho vyplývá, že většině
území na pravé straně od údolnice dominuje severozápadní směr odtoku (v modelu aspektu
modrá barva), zatímco levá strana je odvodňována v drtivé většině bodů severovýchodním
směrem (žlutá barva). Oba bloky těchto převládajících barev pak na svém styku vymezují
průběh údolnice.
101
6 Diskuze
Stanovení rozvodnice a údolnice
Vymezení rozvodnice přes všechny komplikace způsobené důvody podrobně
okomentovanými v příslušné sekci výsledků (5.4.3) ukázalo, že experimentální povodí má
klasický vějířovitý tvar. V každém případě je ale nutné doměřit chybějící lokality.
Údolnice se pomocí algoritmu uvedeného v sekci 4.7.2 zachytit příliš nedařilo.
Výjimkou byl pouze příklad modelu na obrázku 5.42 na hrubé ortogonální síti
interpolované technikou IDW. Algoritmus není vyvinut pro členitější terén. Vychází
z předpokladu, že údolnice bude množinou nejníže položených bodů v dané lokalitě.
Takováto definice je ovšem nedostatečná – v situacích, kde je údolnice širší než hodnota
rozlišení, dochází k častým odklonům vedení linie údolnice ze směru proti proudu toku do
bočních stran. Proto jsem do algoritmu přidal podmínku, aby se navazující body údolnice
hledaly také na základě směrů odtoku ze zdrojových bodů. Situace se zlepšila, ovšem ani
tato varianta není dostatečná a velký vliv hraje morfologie terénu, jejíž členitost může
proces vymezení bodů údolnice zcela zhatit. Účinnější metodou, jak vytipovat seznam
bodů údolnice, by mohla být buď analýza modelu aspektu, a nebo vymezení na základě
diagnostikování preferenčních cest povrchového odtoku v povodí. Tuto variantu hodlám
dále rozvíjet.
Rozloha povodí, TCA
Pomocí algoritmu na určení rozlohy povodí k danému uzávěrnému profilu se
podařilo určit prostorové rozložení těchto rozloh vymezených pro každý bod na území
povodí. To je velmi užitečné jednak právě k vytipování zmíněných preferenčních cest
povrchového odtoku, ale především lze z těchto rozloh jednoduše odvodit specifické
rozlohy povodí, které jsou pak spolu se sklonem v daném bodu tvoří dva základní vstupy
pro výpočet topografického indexu využívaného v TOPMODELu.
Popsané algoritmy na interpolaci verifikovaných pravidelných sítí bodů digitálního
modelu terénu a rovněž algoritmy k digitální analýze terénu, které jsou obsahem této práce,
jsou univerzálně využitelné pro jakékoli další digitální analýzy terénu dalších oblastí.
102
7 Závěr
7 Závěr
Cílem diplomové práce bylo vytvořit digitální reprezentaci terénu na
experimentálním povodí „Modrava 2“ a vyhodnotit zdejší terénní charakteristiky. Veškeré
požadavky se podařilo splnit a základním výstupem projektu je soubor algoritmů
umožňujících z dostupných dat sestavit digitální model terénu a na něm následně provést
potřebné analýzy.
Projekt byl koncipován do čtyř hlavních částí. První část zahrnovala sběr dat v
podobě tachymetrického zaměření zájmového území, zpracování naměřených dat a jejich
přípravu ke tvorbě digitálního modelu reprezentujícího terén. Druhá fáze projektu
spočívala v ověřování relevance výstupů interpolačních metod, jež byly určeny ke tvorbě
digitálního modelu terénu. Třetí část se poté věnovala vlastní tvorbě digitálního modelu
terénu, která spočívala v transformaci vzorku naměřených bodů nepravidelně rozmístěných
v terénu do pravidelně strukturovaných sítí topografických bodů, jež představují digitální
reprezentaci geografického povrchu použitelnou pro široké aplikační využití. Poslední fáze
spočívala v analyzování vygenerovaného modelu terénu a vyhodnocení zdejších terénních
charakteristik.
Pro tvorbu pravidelných sítí bodů terénu byly použity dvě jednoduché interpolační
techniky: metoda určující výšku v neznámém bodě pravidelné sítě výpočtem aritmetického
průměru výšek v okolních bodech a metoda využívající váženého průměru, kde váhy
přidělíme na základě inverze vzdáleností okolních bodů. Při fázi ověřování obou
interpolačních technik podávala lepší výsledky metoda váženého průměru hodnot.
Pravidelné sítě bodů byly generovány pro obě interpolační techniky ve dvou
modifikacích – ortogonální a hexagonální. Vzdálenosti sousedních bodů v síti byly voleny
ve třech variantách pro jemnou, středně hrubou a hrubou reprezentaci terénu. Celkem bylo
tedy vygenerováno 12 experimentálních pravidelných sítí bodů reprezentujících digitální
model terénu, které byly vstupem pro následnou analýzu terénních charakteristik.
Z terénních charakteristik se podařilo analyzovat sklonitost terénu a orientace svahů
vůči světovým stranám. K danému uzávěrnému profilu byla vymezena rozvodnice a
údolnice. Pro body takto vymezeného povodí pak byly vyhodnoceny rozlohy, které každý
bod odvodňuje, čehož bylo využito pro vymezení preferenčních cest povrchového odtoku.
Vyhodnocená trasa rozvodnice ukázala, že nebylo zaměřeno celé území
experimentálního povodí, takže vyhodnocené terénní charakteristiky jsou vztaženy k
zaměřenému území.
Projekt této diplomové práce je jakýmsi základem pro plánovanou aplikaci, která by
prováděla komplexní digitální analýzu terénu. Rozvoj projektu bych chtěl nasměrovat
103
7 Závěr
k implementaci více interpolačních technik pro tvorbu modelu terénu. Dalším záměrem je
rozšíření verifikační analýzy jednotlivých interpolačních metod a možnost vytipovat dílčí
části zájmového území, kde verifikace vyhodnotila největší chyby, a tyto lokality pak
interpolovat s individuálně stanovenými interpolačními parametry, nezávisle na zbytku
zájmového území. Součástí zamýšlené aplikace by dále měla být možnost srovnávací
analýzy různých sítí interpolovaných odlišnými technikami a samozřejmě nesmí chybět
funkce pro vyhodnocení terénních charakteristik daného území. Celou aplikaci bych chtěl
zaštítit uživatelsky přátelským prostředím.
104
8 Použitá literatura
BARTIER, P. M. – KELLER, C. P. Multivariate Interpolation To Incorporate Thematic Surface Data Using
Inverse Distance Weighting (IDW). Computers & Geosciences Vol. 22, No. 7, s. 795–799, 1996. Copyright
© 1996 Elsevier Science Ltd.
COSTA-CABRAL, M. C. – BURGES, S. J. Digital elevation model networks (DEMON): A model of flow over
hillslopes for computation of contributing and dispersal areas. Water Resources Research, Vol. 30, No. 6, s.
1681–1692, 1994.
DORSEL, D. – LA BRECHE, T. Environmental Sampling & Monitoring Primer: Kriging [online]. 1997-10-09
[cit. 2008-04-15]. Copyright © 1997 Daniel Gallagher. Dostupné z:
http://www.cee.vt.edu/ewr/environmental/teach/smprimer/kriging/kriging.html.
FAIRFIELD, J. – LEYMARIE, P. Drainage Network From Grid Digital Elevation Models. Water Resources
Research, Vol. 27, No. 5, s. 709–717, 1991.
FREEMAN, T. G. Calculating Catchment Area With Divergent Flow Based on a Regular Grid. Computers &
Geosciences Vol. 17, No. 3, s. 413–422, 1991. Copyright © 1991 Perpmon Press plc.
HENGL, T. – GRUBER, S. – SHRESTHA, D. P. Digital Terrain Analysis in ILWIS. Lecture notes and user guide
[online], 2003 [cit. 2008-04-01]. © 2003 by Hengl T., Gruber S. and Shrestha D.P. Dostupné z:
http://www.itc.nl/personal/shrestha/DTA/.
HOFERKA, J. – PARAJKA, J. – MITÁŠOVÁ, H. – MITÁŠ, L. Mutivariate Interpolation of Precipitation Using
Regularized Spline with Pension. Transactions in GIS, Vol. 6, No. 2, s. 135–150, 2002. © Blackwell
Publishers Ltd. 2002.
HUTCHINSON, M. F. A New Procedure for Gridding Elevation and Stream Line Data with Automatic
Removal of Spurious Pits. Journal of Hydrology, Vol. 106, s. 211–232, 1989. Elsevier Science Publisher
B.V., Amsterdam.
CHAMOUT, L. – SKÁLA, P. Základy geodezie. Praha, Česká zemědělská univerzita, 2003. Vyd. 1. 131 s.
Skriptum. ISBN: 80-213-1051-0.
KIDNER, D. – DOREY, M. – SMITH, D. What's the point? Interpolation and extrapolation with a regular grid
DEM. GeoComputation 99 Conference [online], No. 82, 1999 [cit. 2008-02-25]. Dostupné z:
http://www.geovista.psu.edu/sites/geocomp99/Gc99/082/gc_082.htm.
LANG Ch. Kriging Interpolation [online]. Cit. 2008-04-15. Dostupné z:
http://www.nbb.cornell.edu/neurobio/land/OldstudentProjects/cs490-94to95/clang/kriging.html.
MITÁŠ, L. – MITÁŠOVÁ, H. General Variational Approach to the Interpolation Problem. Comput. Math.
Applic. Vol. 16, No. 12, s. 983–992, 1988. Copyright © 1988 Pergamon Press plc.
MITÁŠOVÁ, H. – HOFIERKA, J. Interpolation by Regularized Spline with Tension: II. Application to Terrain
Modeling and Surface Geometry Analysis. Mathematical Geology, Vol. 25, No. 6, s. 657–669, 1993. © 1993
lntemationai Association for Mathematical Geology.
MITÁŠOVÁ, H. – MITÁŠ, L. Interpolation by Regularized Spline with Tension: I. Tudory and Imlementation.
Mathematical Geology, Vol. 25, No. 6, s. 641–655, 1993. © 1993 lntemationai Association for Mathematical
Geology.
105
MITÁŠOVÁ, H. – MITÁŠ, L. – HARMON, R. S. Simultaneous spline approximation and topographic analysis
for lidar elevation data in open source GIS. Geoscience and Remote Sensing Letters, Vol. 0, No. 00, 2005.
MOORE, I. D. – GRAYSON R. B. – LADSON, A. R. Digital terrain modeling: A review of hydrological,
geomorphological, and ecological applications. Hydrological Processes, Vol. 5, s. 3–30, 1991. Copyright ©
1991 by John Wiley and Sons Ltd.
NIEMANN, J. D. – BRAS, R. L. – VENEZIANO, D. A physically based interpolation method for fluvially eroded
topography. Water Resources Research, Vol. 39, No. 1, s. 1017–1031, 2003.
O’CALLAGHAN, John F. – MARK, David M. The Extraction of Drainage Network from Digital Elevation
Data. Computer Vision, Graphics, and Image Processing, Vol. 28, s. 323–344, 1984.
PECKHAM, R. J. – JORDAN, G. Digital Elevation Modelling: Development and Applications in a Policy
Support Environment. © Springer, Verlag Berlin Heidelberg, 2007. 313 s. ISBN: 3-540-36730-6.
PERALVO, M. Influence of DEM interpolation methods in Drainage Analysis. GIS in Water Resources. 2002.
QUINN, P. – BEVEN, K. – CHEVALLIER, P. – PLANCHON, O. The Prediction of Hillslope Flow Paths for
Distributed Hydrological Modelling Using Digital Terrain Models. Hydrological Processes, Vol. 5, s. 59–79,
1991.
SEGETHOVÁ, J. Základy numerické matematiky: kap. Splajny. Karolinum, učební texty Univerzity Karlovy
v Praze.
TARBOTON, D. G. A new method for the determination of flow directions and upslope areas in grid digital
elevation models. Water Resources Research, Vol. 33, No. 2, s. 309–319, 1997.
Wikipedia. The Free Encyklopedia, article: Kriging. 2008-04-03 [cit. 2008-04-15]. Dostupné z:
http://en.wikipedia.org/wiki/Kriging.
WILSON, J. P. – GALLANT, J. C. Terrain Analysis: Principles and Applications. © John Wiley and Sons,
2000. 479 s. ISBN: 0471321885.
WOOD, J. Modelling the Continuity of Surface Form Using Digital Elevation Models [online]. Department of
Geography, University of Leicester, UK, [cit. 2008-04-03]. Dostupné z:
http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/sdh98/jwood.doc.
ZHANG, W. – MONTGOMERY, D. R. Digital elevation model grid size, landscape reprezentation, and
hydrologic simulations. Water Resources Research, Vol. 30, No. 4, s. 1019–1028, 1994.
ZIADAT, F. M. Effect of Contour Intervals and Grid Cell Size on the Accuracy of DEMs and Slope
Derivatives. Transactions in GIS, Vol. 11, No. 1, s. 67–81, 2007.
106
9 Přílohy
9 Přílohy
Seznam příloh:
Obrazová část
9.1
Body tachymetrického měření.
9.2
Spojitý model zaměřeného území experimentálního povodí Modrava 2
s vyznačenou polohou uzávěrného profilu a podrobnými body polygonového
pořadu.
9.3
Bodový topografický model zaměřeného území experimentálního povodí
Modrava 2.
9.4
Bodový topografický model II.
9.5
Spojitý model rozložení sklonitosti
experimentálního povodí Modrava 2.
9.6
Spojitý model rozložení aspektu terénu v zaměřeném území experimentálního
povodí Modrava 2.
9.7
Geodetické údaje trigonometrického bodu č. 9, Mokrůvka II (zdroj: ČÚZK).
terénu
v zaměřeném
území
Vybrané algoritmy
9.8
Algoritmus pro přípravu souřadnic tachymetrických bodů.
9.9
Ukázka textového souboru s naměřenými daty FinalSoradnice.txt.
9.10 Algoritmus pro verifikaci interpolačních technik.
9.11 Algoritmus pro výpočet hodnot RMSE a středních hodnot reziduí verifikované
interpolační techniky.
9.12 Algoritmus na generování pravidelné ortogonální sítě bodů DEM interpolační
technikou aritmetického průměru a IDW.
9.13 Algoritmus na generování pravidelné hexagonální sítě bodů DEM interpolační
technikou aritmetického průměru a IDW.
9.14 Odtokový algoritmus pro (a) ortogonální síť a (b) hexagonální síť.
9.15 Algoritmus pro vymezení povodí.
9.16 Algoritmus pro vymezení bodů tvořících rozvodnici pro obě struktury sítí.
9.17 Algoritmus pro vymezení bodů tvořících údolnici pro obě struktury sítí.
9.18 Algoritmus pro výpočet TCA pro obě struktury sítí.
107
Příloha 9.1 Body tachymetrického měření. Barevná příslušnost k bodům polygonového pořadu, z nichž byly zaměřeny.
108
Příloha 9.2 Model reliéfu zaměřeného území experimentálního povodí Modrava 2 s vyznačenou polohou uzávěrného profilu a
podrobnými body polygonového pořadu.
109
Příloha 9.3 Topografický model zaměřeného území experimentálního povodí Modrava 2.
110
Příloha 9.4 Topografický model zaměřeného území experimentálního povodí Modrava 2.
111
Příloha 9.5 Model sklonitosti terénu zaměřeného území experimentálního povodí Modrava 2.
112
Příloha 9.6 Model aspektu terénu zaměřeného území experimentálního povodí Modrava 2.
113
9 Přílohy
Příloha 9.7 Geodetické údaje trigonometrického bodu č. 9 (9.0), Mokrůvka II.
Zdroj. Český ústav zeměměřický a katastrální, Praha, 2000.
114
9 Přílohy
Příloha 9.8 Algoritmus pro přípravu tachymetrických bodů.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
49
50
51
# Nacteni dat
mokruvka22 = read.table('g-mokruvka22.txt')
mokruvka22B = read.table('g-mokruvka22B.txt')
# (opakování pro 17 stanovišť)
# Nasobeni namerenych souradnic deseti
body22 = matrix(c(10*mokruvka22$V3, 10*mokruvka22$V2,
10*mokruvka22$V4),ncol=3)
body22B = matrix(c(10*mokruvka22B$V3, 10*mokruvka22B$V2,
10*mokruvka22B$V4),ncol=3)
# Matice otocni pro jednotliva stanoviste
MaticeOtoceni22 = matrix(c(cos(0.1900381), -sin(0.1900381),
0, sin(0.1900381), cos(0.1900381), 0, 0, 0, 1), ncol=3)
MaticeOtoceni22B = matrix(c(cos(-5.9562015), -sin(-5.9562015),
0, sin(-5.9562015), cos(-5.9562015), 0, 0, 0, 1), ncol=3)
# Vypocet souradnic bodu pro otoceni
OtoceneBody22 = body22 %*% MaticeOtoceni22
OtoceneBody22B = body22B %*% MaticeOtoceni22B
# Souradnice jednotlivých stanovist
stanoviste = read.table('stanoviste.txt')
souradnice22 = matrix(c(rep(stanoviste[8,1],
length(OtoceneBody22[,1])), rep(stanoviste[8,2],
length(OtoceneBody22[,1])), rep(stanoviste[8,3],
length(OtoceneBody22[,1]))), ncol=3)
# Finální souradnice tachymetrických bodu
FinalSourad22 = OtoceneBody22 + souradnice22
FinalSourad22B = OtoceneBody22B + souradnice22B
# Finální souradnice v jednom seznamu
FinalSouradnice = matrix(c(FinalSourad22[,1], # (opakování pro 17 stanovišť)
FinalSourad22[,2], FinalSourad22B[,2], # (opakování pro 17 stanovišť)
FinalSourad22[,3], FinalSourad22B[,3], # (opakování pro 17 stanovišť)
# Vypis souradnic tachymetrických bodu do textoveho souboru
sink('FinalSouradnice.txt') # vystupni soubor
print(FinalSouradnice)
sink()
115
9 Přílohy
Příloha 9.9 Ukázka vystupního souboru z algoritmu v příloze 9.8:
Matice zpracovaných tachymetrických bodů.
[,1]
[,2]
[,3]
[1,] 264.08637562 -475.7363473 1193.133
[2,] 261.91337639 -458.1400330 1195.273
[3,] 260.76012120 -447.4860759 1196.943
[4,] 259.79408437 -442.0405206 1197.923
[5,] 262.53941018 -431.6957013 1199.333
[6,] 263.57997096 -424.3468420 1200.163
[7,] 265.92344148 -414.2422566 1201.513
(…)
[2909,] 98.22403350 -58.2244081 1311.050
[2910,] 106.63147583 -42.4776651 1312.360
Příloha 9.10 Algoritmus pro verifikaci interpolační metody.
Rozdíl mezi skriptem pro interpolaci aritmetickým průměrem a interpolaci metodou IDW je pouze ve
výpočtu odhadu výšky. Prezentován proto bude pouze algoritmus pro verifikaci interpolace IDW. Rozdíl
mezi kalibračním a validačním algoritmem není žádný, v případě validace je pouze před začátkem výpočtu
vybrán náhodný vzorek tachymetrických bodů (řádek 5 až 42).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
# Vstup parametru:
n = 10
exponent = 5
all.data = read.table('FinalSouradnice.txt')
# datovy vstup
pocet.bodu = 1500
# pocet nahodne vybranych bodu do valid. souboru
# nahodny vyber souboru dat o celkovem poctu "pocet.dat"
all.data[,4] = c(1:nrow(all.data))
a1 = rnorm(50000, nrow(all.data)/2, 15000)
a2 = round(a1)
a3 = subset(a2, (a2>=1) & (a2<=nrow(all.data)))
a4 = sort(a3)
a5 = c()
a5[1] = a4[1]
p = 2
for (i in 2:length(a4)) {
if (a4[i] != a4[i-1]) {
a5[p] = a4[i]
p = p+1
}
}
a6 = intersect(a3, a5)
a7 = c()
for (i in 1:pocet.bodu) {
a7[i] = a6[i]
}
a8 = sort(a7)
hist(a8) 3 kontrolni histogram rozlozeni vyskytu vybranych bodu
selected.data.x = c()
selected.data.y = c()
selected.data.z = c()
selected.data.ID = c()
116
9 Přílohy
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
for (i in 1:pocet.bodu) {
selected = subset(all.data, all.data[,4] == a8[i])
selected.data.x[i] = selected[1,1]
selected.data.y[i] = selected[1,2]
selected.data.z[i] = selected[1,3]
selected.data.ID[i] = selected[1,4]
}
selected.data = matrix(c(selected.data.x, selected.data.y,
selected.data.z, c(1:length(selected.data.x)),
c(rep(0,length(selected.data.x)))), ncol=5)
## Hlavni cast: interpolace vysek na zaklade parametru N, beta:
for (N in 1:n)
{ # hlavni cyklus
elev.interpol = matrix(0, nrow = nrow(all.data), ncol = exponent)
# budouci datovy vystup
for (i in 1:nrow(all.data)) {
# dilci cyklus pro konkretni "N"
selected.data.distances = selected.data
selected.data.distances[,5] = ((selected.data[,1] –
all.data[i,1])^2 + (selected.data[,2] - all.data[i,2])^2)^(1/2)
s.d.d.without.0 = subset(selected.data.distances,
selected.data.distances[,5] != 0)
s.d.d.without.0[,4] = c(1:nrow(s.d.d.without.0)) # nove
#precislovani ID, aby tvorily posloupnost bez vynechanych cisel
# vyber nejblizsich bodu (jejich pocet je "N"):
minimum = matrix(0, nrow = 3, ncol = 4)
nearest.points = matrix(0, nrow = N, ncol = 5)
j = 1
# vygenerovani souboru nejblizsich bodu:
while (j <= N) {
minimum = subset(s.d.d.without.0, s.d.d.without.0[,5] ==
min(s.d.d.without.0[,5]))
nearest.points[j,1]
nearest.points[j,2]
nearest.points[j,3]
nearest.points[j,4]
nearest.points[j,5]
<<<<<-
minimum[1,1]
minimum[1,2]
minimum[1,3]
minimum[1,4]
minimum[1,5]
s.d.d.without.0[minimum[1,4],5] <- 999999+j
minimum = matrix(0, nrow=3, ncol=4)
j = j+1
}
# interpolace vysky bodu "i", vypoctena z "N" bodu, pro exp. "r":
z = c()
for (r in 1:exponent) {
z[r] = sum(nearest.points[,5]^(-r) *
nearest.points[,3])/sum(nearest.points[,5]^(-r))
}
elev.interpol[i,] <- z
}
sink(paste('Analyza_parametru_IDW/Validace/z-validacni_',
N,'.txt'))
print(elev.interpol)
sink()
}
117
9 Přílohy
Příloha 9.11 Algoritmus pro výpočet RMSE a středních hodnot reziduí.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
n = 30
for (N in 1:n) {
interpol.data = read.table(paste('Analyza_parametru_IDW/Validace/
z-valid_', N,'.txt'))
real.data = read.table('FinalSouradnice.txt')
residua.quad = matrix(0, nrow = nrow(interpol.data),
ncol = ncol(interpol.data))
residua = matrix(0, nrow = nrow(interpol.data),
ncol = ncol(interpol.data))
for (i in 1:nrow(real.data)) {
residua.quad[i,] = (interpol.data[i,] - real.data[i,3])^2
residua[i,] = (interpol.data[i,] - real.data[i,3])^1 #vyp.rozdilu
}
residua.abs = residua.quad^(1/2) # vypocet rezidui
sink(paste('Analyza_parametru_IDW/Validace/
Resid-abs-valid_', N,'.txt')) # vypis rezidui
print(residua.abs)
sink()
Resid-valid_', N,'.txt'))
# vypis rozdilu
print(residua)
sink()
residua.abs.mean = c()
# vypocet stredni hodnoty rezidui
for (j in 1:ncol(residua.abs)) {
residua.abs.mean[j] = mean(residua.abs[,j], na.rm = TRUE)
}
Resid-abs-mean-valid_', N,'.txt'))
print(residua.abs.mean)
# vypis stredni hodnoty rezidui
sink()
residua.mean = c()
# vypocet stredni hodnoty rozdilu
for (j in 1:ncol(residua.abs)) {
residua.mean[j] = mean(residua[,j], na.rm = TRUE)
}
Resid-mean-valid_', N,'.txt'))
print(residua.mean)
# vypis stredni hodnoty rozdilu
sink()
RMSE = c()
# vypocet RMSE
for (j in 1:ncol(residua.quad)) {
RMSE[j] = sum((residua.quad[,j]/nrow(residua.quad))^(1/2),
na.rm = TRUE)
}
sink(paste('Analyza_parametru_IDW/Validace/RMSE-valid_', N,'.txt'))
print(RMSE)
# vypis RMSE do souboru
sink()
}
118
9 Přílohy
Příloha 9.12 Algoritmus na generování pravidelné ortogonální sítě bodů DEM
interpolační technikou aritmetického průměru a IDW.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
require(rgl)
all.data <- read.table('FinalSouradnice.txt') # vstupni datovy set
stanoviste = read.table('stanoviste.txt')
thompson = all.data[2786,] # umisteni uzaverneho profilu
# VSTUP PARAMETRU:
krok.x = 3
# rozliseni site ve smeru osy x
krok.y = 5
# rozliseni site ve smeru osy y
n = 4 # pocet bodu "n", ze nichz probehne interpolace neznameho bodu
exp.beta = 3
# exponent "beta" pro metodu IDW
# ALGORITMUS PRO TVORBU ORTOGONALNI SITE:
# procedurka na stanoveni souradnic x, y bodu, od ktereho se zacne
s interpolaci, aby se bod site pak trefil do Thompsona
px = 0
py = 0
x1 = thompson[1,1]
y1 = thompson[1,2]
while (x1 > min(all.data[,1])) {
x1 = x1 - krok.x
px = px + 1
}
while (y1 > min(all.data[,2])) {
y1 = y1 - krok.y
py = py + 1
}
x = thompson[1,1] – px * krok.x
y = thompson[1,2] – py * krok.y
bod.x = c() ## x-ove souradnice vsech bodu ort. site
bod.y = c() ## y-ove souradnice vsech bodu ort. site
bod.z = c() ## z-ove souradnice (vysky) vsech bodu ort. site
cislo.bodu = 1
## cislo bodu (a poradi ve vektorech bod.x/y/z)
while (y < max(all.data[,2])) {
while (x < max(all.data[,1])) {
buffer = subset(all.data, (all.data[,2] < y+15) &
(all.data[,2] > y-15)) # interpoluj jen tam, kde je zamereno
if ((x >= min(buffer[,1])) & (x <= max(buffer[,1]))) {
all.data.distances = all.data
all.data.distances[,4] = 0
# budouci vektor ID
all.data.distances[,5] = 0
# budouci vektor vzdalenosti
all.data.distances[,5] = ((all.data[,1] - x)^2 +
(all.data[,2] - y)^2)^(1/2) # vypocet vzdalenosti
s.d.d.without.0 = subset(all.data.distances,
all.data.distances[,5] != 0) # odstraneni nulovych vzdal.
s.d.d.without.0[,4] = c(1:nrow(s.d.d.without.0))
# nove precislovani ID tak, aby tvorily posloupnost bez
vynechanych cisel
119
9 Přílohy
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
# vyber nejblizsich bodu (jejich pocet je "n"):
minimum = matrix(0, nrow = 3, ncol = 4)
nearest.points = matrix(0, nrow = n, ncol = 5)
j = 1
while (j <= n) {
minimum = subset(s.d.d.without.0, s.d.d.without.0[,5] ==
min(s.d.d.without.0[,5]))
nearest.points[j,1] <- minimum[1,1]
s.d.d.without.0[minimum[1,4],5] <- 999999+j
minimum = matrix(0, nrow=3, ncol=4)
j = j+1
}
# interpolace vysky bodu "i", vypoctena z "n" bodu:
z.AP = mean(nearest.points[,3])
z.IDW = sum(nearest.points[,5]^(-exp.beta) *
nearest.points[,3])/sum(nearest.points[,5]^(-exp.beta))
bod.z[cislo.bodu] = z
} # konec podminky „if“
else {
bod.z[cislo.bodu] = NaN # pro oblast,kde nejsou zamerena data
}
bod.x[cislo.bodu] = x
bod.y[cislo.bodu] = y
cislo.bodu = cislo.bodu + 1 # vypocet souradnic dalsiho bodu
x = x + krok.x
# zmena parametru pro dalsi bod
}
# konec while-cyklu pro x (vnoreneho)
y = y + krok.y
x = thompson[1,1] - px*strana.x
}
# konec while-cyklu pro y (vnejsiho)
sit = matrix(c(bod.x, bod.y, bod.z), ncol = 3)
# VYPIS BODU
sink(paste('Site_AP/AP_Ort_Grid_', strana.x,'x',strana.y,'.txt'))
print(sit)
sink()
# GRAF
rgl.points(sit[,1], sit[,3], sit[,2], col="red", size=2)
axes3d(col="white", size=1)
120
9 Přílohy
Příloha 9.13 Algoritmus na generování pravidelné hexagonální sítě bodů DEM
interpolační technikou aritmetického průměru a IDW.
Procedura generování hexagonální sítě je principiálně shodná s procedurou pro ortogonální síť, odlišný je
pouze systém strukturování bodů v síti. Uvedu proto pouze pasáže, jichž se týká změna nebo které přibyly.
Číslování řádků odpovídá ortogonální síti. Budou-li zde vloženy řádky nové, jejich první dvojčíslí bude
odpovídat řádku, po němž následují.
6
7
8
9
10
10.1
10.2
(…)
# VSTUP PARAMETRU:
rozliseni = 5
# rozliseni site
23
24
25
26
27
28
(…)
while (y1 > min(all.data[,2])) {
y1 = y1 – 2 * krok.y
py = py + 1
}
x = thompson[1,1] – px * krok.x
y = thompson[1,2] – py * 2 * krok.y
33
33.1
33.2
(…)
cislo.bodu = 1
# cislo bodu (a poradi ve vektorech bod.x/y/z)
b = 1 # cislo rady (poradi vnejsiho while-cyklu, tj. cyklu pro y)
m = 1 # pomocny parametr k urceni sudosti/lichosti cisla „b“
86
86.1
86.2
86.3
86.4
86.5
86.7
86.8
86.9
(…)
y = y + krok.y
b = b + 1
if (2*m < b) {
#
x = thompson[1,1]
m = m + 1
}
else {
#
x = thompson[1,1]
}
n = 9 # pocet bodu "n", z nichz probehne interpolace neznameho bodu
exp.beta = 3
# exponent "beta" pro metodu IDW
krok.x = rozliseni
krok.y = (krok.x / 2)* 3^(1/2)
# bod site se bude kryt s UP
tj. cislo rady je LICHE
- px*krok.x
kdyz je cislo rady SUDE
- px*krok.x + krok.x/2
Příloha 9.14 Odtokový algoritmus pro (a) ortogonální a (b) hexagonální síť.
Procedura je pro obě struktury sítí principiálně shodná, liší se pouze ve způsobu inicializace rozlišení sítě a
ve vymezeni okolí bodu.
(a) Ortogonální síť
1
2
3
4
5
6
7
8
sit <- read.table('Site/IDW_Ort_Grid_ 13 x 20 .txt') # datovy vstup
sit[,4] = c(1:nrow(sit)) # ID bodu v siti
sit[,5] = 0
# buouci ID recipientu odtoku
sit[,6] = NaN # sklon
sit[,7] = NaN # aspekt
# inicializace vstupni site bodu a urceni jejiho rozliseni
x.all = subset(sit, sit[,2] == min(sit[,2]))
121
9 Přílohy
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
x = (max(sit[,1]) - min(sit[,1]))/(nrow(x.all) - 1)
y.all = subset(sit, sit[,1] == min(sit[,1]))
y = (max(sit[,2]) - min(sit[,2]))/(nrow(y.all) - 1)
sit.vyber = subset(sit, sit[,3] > -1) # vycleneni NaN hodnot vysek
for (i in 1:nrow(sit.vyber)) {
# vyber okolnich bodu:
okoli.bodu = subset(sit.vyber, (sit.vyber[,1] >= sit.vyber[i,1] –
(x+1)) & (sit.vyber[,1] <= sit.vyber[i,1] + (x+1)) &
(sit.vyber[,2] >= sit.vyber[i,2] - (y+1)) &
(sit.vyber[,2] <= sit.vyber[i,2] + (y+1)) &
((sit.vyber[,1] - sit.vyber[i,1])^2 + (sit.vyber[,2] –
sit.vyber[i,2])^2 > 0) & (sit.vyber[,3] < sit.vyber[i,3]))
if (nrow(okoli.bodu) > 0) {
nejnizsi.bod = subset(okoli.bodu, okoli.bodu[,3] ==
min(okoli.bodu[,3]))
# vyber okolniho bodu s min. vyskou
# odtok:
sit.vyber[i,5] = nejnizsi.bod[1,4] # zapis ID ciloveho bodu
(recipientu), do ktereho to potece z momentalne reseneho
zdrojoveho bodu (tj. z i-teho bodu), do seznamu "sit.vyber"
sit[sit.vyber[i,4], 5] = sit.vyber[i,5] #totez, ale zapis do"sit"
# sklon (stupne)
sit.vyber[i,6] = (180/pi)*atan((sit.vyber[i,3] –
nejnizsi.bod[1,3])/((sit.vyber[i,1] - nejnizsi.bod[1,1])^2 +
(sit.vyber[i,2] - nejnizsi.bod[1,2])^2)^(1/2))
sit[sit.vyber[i,4], 6] = sit.vyber[i,6]
# aspekt
if ((nejnizsi.bod[1,1] > sit.vyber[i,1]) & (nejnizsi.bod[1,2] >
sit.vyber[i,2])) {sit.vyber[i,7] = 1} # SV smer odtoku
if ((nejnizsi.bod[1,1] > sit.vyber[i,1]) & (nejnizsi.bod[1,2] ==
sit.vyber[i,2])) {sit.vyber[i,7] = 2} # V smer odtoku
if ((nejnizsi.bod[1,1] > sit.vyber[i,1]) & (nejnizsi.bod[1,2] <
sit.vyber[i,2])) {sit.vyber[i,7] = 3} # JV smer odtoku
if ((nejnizsi.bod[1,1] == sit.vyber[i,1]) & (nejnizsi.bod[1,2] <
sit.vyber[i,2])) {sit.vyber[i,7] = 4} # J smer odtoku
if ((nejnizsi.bod[1,1] < sit.vyber[i,1]) & (nejnizsi.bod[1,2] <
sit.vyber[i,2])) {sit.vyber[i,7] = 5} # JZ smer odtoku
if ((nejnizsi.bod[1,1] < sit.vyber[i,1]) & (nejnizsi.bod[1,2] ==
sit.vyber[i,2])) {sit.vyber[i,7] = 6} # Z smer odtoku
if ((nejnizsi.bod[1,1] < sit.vyber[i,1]) & (nejnizsi.bod[1,2] >
sit.vyber[i,2])) {sit.vyber[i,7] = 7} # SZ smer odtoku
if ((nejnizsi.bod[1,1] == sit.vyber[i,1]) & (nejnizsi.bod[1,2] >
sit.vyber[i,2])) {sit.vyber[i,7] = 8} # S smer odtoku
sit[sit.vyber[i,4], 7] = sit.vyber[i,7]
}
}
# deleni vystupu do dvou text. souboru z duvodu omezene kapacity
souboru typu ".txt"
odtoky.1 = matrix(c(sit[,1], sit[,2], sit[,3], sit[,4]), ncol = 4)
odtoky.2 = matrix(c(sit[,5], sit[,6], sit[,7]), ncol = 3)
122
9 Přílohy
67
68
69
70
71
72
73
74
# export do textovych souboru
sink(paste('Odtoky/IDW_Ort_Odtoky_', x, 'x', y, '(1).txt'))
print(odtoky.1)
sink()
sink(paste('Odtoky/IDW_Ort_Odtoky_', x, 'x', y, '(2).txt'))
print(odtoky.2)
sink()
(b) Hexagonální síť
11.1
11.2
(…)
rozliseni = y
if (x < y) {rozliseni = x}
17
18
19
20
21
22
23
(…)
# vyber okolnich bodu:
okoli.bodu = subset(sit.vyber, ((sit.vyber[,1] - sit.vyber[i,1])^2
+ (sit.vyber[,2] - sit.vyber[i,2])^2 < (rozliseni+1)^2) &
((sit.vyber[,1] - sit.vyber[i,1])^2 + (sit.vyber[,2] –
sit.vyber[i,2])^2 > 0) & (sit.vyber[,3] < sit.vyber[i,3]))
Příloha 9.15 Algoritmus pro vymezení povodí.
Algoritmus je univerzálně použitelný pro obě struktury sítí.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
sit.1 <- read.table('Odtoky/IDW_Ort_Odtoky_ 7 x 10 (1).txt')
sit.2 <- read.table('Odtoky/IDW_Ort_Odtoky_ 7 x 10 (2).txt')
sit = matrix(c(sit.1[,1], sit.1[,2], sit.1[,3], sit.1[,4], sit.2[,1],
sit.2[,2], sit.2[,3]), ncol = 7) # datovy vstup
FinalSouradnice <- read.table('FinalSouradnice.txt')
outlet = FinalSouradnice[2786,]
# uzaverny profil
UP = subset(sit, ((outlet[1,1] - sit[,1])^2 + (outlet[1,2] –
sit[,2])^2 )^(1/2) == min(((outlet[1,1] - sit[,1])^2 + (outlet[1,2]
- sit[,2])^2 )^(1/2) ))
# vyber bodu site, kde je UP
a = UP[1,4]
# ID bodu s uzavernym profilem
recipient = sit[a,4]
p = 1
x = c()
y = c()
z = c()
id = c()
cil = c()
sklon = c()
aspekt = c()
x[p] = sit[a,1]
# 1. bod v povodi - bunka s UP
y[p] = sit[a,2]
z[p] = sit[a,3]
id[p] = sit[a,4]
cil[p] = sit[a,5]
sklon[p] = sit[a,6]
aspekt[p] = sit[a,7]
123
9 Přílohy
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
# algoritmus na vyhledavani "zdrojove" oblasti pro zadany bod
while (length(recipient > 0)) {
r = 0
recipient.cast = c()
for (j in 1:length(recipient)) {
zdroj = subset(sit, sit[,5] == recipient[j])
if (nrow(zdroj) > 0) {
for (i in 1:nrow(zdroj)) {
x[p+i] = zdroj[i,1]
y[p+i] = zdroj[i,2]
z[p+i] = zdroj[i,3]
id[p+i] = zdroj[i,4]
cil[p+i] = zdroj[i,5]
sklon[p+i] = zdroj[i,6]
aspekt[p+i] = zdroj[i,7]
recipient.cast[r+i] = id[p+i]
}
r = r + nrow(zdroj)
p = p + nrow(zdroj)
}
}
recipient <- recipient.cast
}
povodi.1 = matrix(c(x,y,z,id), ncol = 4)
povodi.2 = matrix(c(cil,sklon,aspekt), ncol = 3)
# export do textoveho souboru
sink('Povodi/IDW_Ort_Povodi_ 7 x 10 (1).txt')
print(povodi.1)
sink()
sink('Povodi/IDW_Ort_Povodi_ 7 x 10 (2).txt')
print(povodi.2)
sink()
Příloha 9.16 Algoritmus pro vymezení bodů rozvodnice
na (a) ortogonální a (b) hexagonální síti.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
# datove
odtoky.1
odtoky.2
povodi.1
povodi.2
vstupy
= read.table('Odtoky/IDW_Ort_Odtoky_
= read.table('Odtoky/IDW_Ort_Odtoky_
= read.table('Povodi/IDW_Ort_Povodi_
= read.table('Povodi/IDW_Ort_Povodi_
13
13
13
13
x
x
x
x
20
20
20
20
(1).txt')
(2).txt')
(1).txt')
(2).txt')
odtoky.all = matrix(c(odtoky.1[,1], odtoky.1[,2], odtoky.1[,3],
odtoky.1[,4], odtoky.2[,1], odtoky.2[,2], odtoky.2[,3]), ncol = 7)
124
9 Přílohy
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
x.all = subset(odtoky.all, odtoky.all[,2] == min(odtoky.all[,2]))
x = (max(odtoky.all[,1]) – min(odtoky.all[,1]))/(nrow(x.all) - 1)
y.all = subset(odtoky.all, odtoky.all[,1] == min(odtoky.all[,1]))
y = (max(odtoky.all[,2]) – min(odtoky.all[,2]))/(nrow(y.all) - 1)
# priprava k vymezeni bodu rozvodnice
odtoky = subset(odtoky.all, odtoky.all[,3] > -1)
povodi = matrix(c(povodi.1[,1], povodi.1[,2], povodi.1[,3],
povodi.1[,4], povodi.2[,1], povodi.2[,2], povodi.2[,3]), ncol = 7)
mimo.povodi.id = setdiff(odtoky[,4], povodi[,4]) # body mimo povodi
mimo.povodi = matrix(0, nrow = length(mimo.povodi.id), ncol = 7)
for (i in 1:length(mimo.povodi.id)) {
a = subset(odtoky, odtoky[,4] == mimo.povodi.id[i])
mimo.povodi[i,1] = a[1,1]
}
p = 1
x = c()
y = c()
z = c()
id = c()
cil = c()
sklon = c()
aspekt = c()
# hlavni procedura
for (i in 1:nrow(povodi)) {
okoli.bodu = subset(mimo.povodi, (mimo.povodi[,1] >= povodi[i,1] –
(x+1)) & (mimo.povodi[,1] <= povodi[i,1] + (x+1)) &
(mimo.povodi[,2] >= povodi[i,2] – (y+1)) &
(mimo.povodi[,2] <= povodi[i,2] + (y+1)))
# vyber okolnich bodu
if (nrow(okoli.bodu) > 1)
x[p] = povodi[i,1]
y[p] = povodi[i,2]
z[p] = povodi[i,3]
id[p] = povodi[i,4]
cil[p] = povodi[i,5]
sklon[p] = povodi[i,6]
aspekt[p] = povodi[i,7]
p = p + 1
}
{
}
rozvodnice = matrix(c(x,y,z,id,cil,sklon,aspekt), ncol = 7)
sink('Rozvodnice/IDW_Ort_Rozvodnice_ 13 x 20 .txt')
print(rozvodnice)
sink()
125
9 Přílohy
14.1
14.2
(…)
rozliseni = y
if (x < y) {rozliseni = x}
46
47
48
49
(…)
okoli.bodu = subset(mimo.povodi, ((mimo.povodi[,1] - povodi[i,1])^2
+ (mimo.povodi[,2] - povodi[i,2])^2 <= (rozliseni + 1)^2))
Příloha 9.17 Algoritmus pro vymezení bodů údolnice
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
# datove vstupy
odtoky.1 = read.table('Odtoky/AP_Ort_Odtoky_ 7 x 10 (1).txt')
odtoky.2 = read.table('Odtoky/AP_Ort_Odtoky_ 7 x 10 (2).txt')
povodi.1 = read.table('Povodi/AP_Ort_Povodi_ 7 x 10 (1).txt')
povodi.2 = read.table('Povodi/AP_Ort_Povodi_ 7 x 10 (2).txt')
rozvodnice = read.table('Rozvodnice/AP_Ort_Rozvodnice_ 7 x 10 .txt')
odtoky = matrix(c(odtoky.1[,1], odtoky.1[,2], odtoky.1[,3],
odtoky.1[,4], odtoky.2[,1], odtoky.2[,2], odtoky.2[,3]), ncol = 7)
FinalSouradnice <- read.table('FinalSouradnice.txt')
outlet = FinalSouradnice[2786,]
UP = subset(odtoky, ( (outlet[1,1] - odtoky[,1])^2 +
(outlet[1,2] - odtoky[,2])^2 )^(1/2) == min(((outlet[1,1] –
odtoky[,1])^2 + (outlet[1,2] - odtoky[,2])^2 )^(1/2)) )
recipient = c(odtoky[UP[1,4],1], odtoky[UP[1,4],2],
odtoky[UP[1,4],3], odtoky[UP[1,4],4], odtoky[UP[1,4],5],
odtoky[UP[1,4],6], odtoky[UP[1,4],7]) # def. pocatku údolnice = UP
okoli.bodu = matrix(0, nrow=8, ncol=7)
# inicializace vstupni
x.all = subset(odtoky,
x = (max(odtoky[,1]) y.all = subset(odtoky,
y = (max(odtoky[,2]) -
site bodu a urceni jejiho rozliseni
odtoky[,2] == min(odtoky[,2]))
min(odtoky[,1]))/(nrow(x.all) - 1)
odtoky[,1] == min(odtoky[,1]))
min(odtoky[,2]))/(nrow(y.all) - 1)
p = 1 # parametr pro cyklus plneni vektoru x,y,z,id,… daty
b = 0 # parametr pro vyhodnocovani shody recipientu s body rozvodnice
x = c()
y = c()
z = c()
id = c()
# sada 7 vektoru 39 pro budouci matici „udolnice“
126
9 Přílohy
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
cil = c()
sklon = c()
aspekt = c()
while (length(recipient) > 0) { # podminka: pokracuj, jen kdyz vubec
existuje recipient (tj. v recipientu byl nalezen aspon 1 zdroj)
zdroje = subset(povodi, (povodi[,5] == recipient[4]))
recipient = c()
if (nrow(zdroje) > 0) {
# selekce zdrojoveho bodu s minimalni vyskou
zdroj = subset(zdroje, zdroje[,3] == min(zdroje[,3]))
x[p] = zdroj[1,1]
y[p] = zdroj[1,2]
z[p] = zdroj[1,3]
id[p] = zdroj[1,4]
cil[p] = zdroj[1,5]
sklon[p] = zdroj[1,6]
aspekt[p] = zdroj[1,7]
okoli.bodu = subset(povodi, (povodi[,1] >= x[p] - (x+1)) &
(povodi[,1] <= x[p] + (x+1)) & (povodi[,2] >= y[p] - (y+1)) &
(povodi[,2] <= y[p] + (y+1)) &
((povodi[,1] - x[p])^2 + (povodi[,2] - y[p])^2 > 0))
p = p + 1
if (nrow(okoli.bodu) == 8) {
b = 0
for (i in 1:nrow(rozvodnice)) {
if (zdroj[1,4] == rozvodnice[i,4]) {b = b+1}
} # vyhodnoceni, zda-li zdroj lezi ci nelezi na rozvodnici
(kdyz lezi, tak b > 0)
if (b == 0)
{recipient = zdroj}
}
}
}
udolnice = matrix(c(x,y,z,id,cil,sklon,aspekt), ncol = 7)
# VYPIS BODU
sink('Udolnice/AP_Ort_Udolnice_ 7 x 10 .txt')
print(udolnice)
sink()
29.1
29.2
(…)
rozliseni <- y
if (x < y) {rozliseni <- x}
63
64
65
66
67
68
69
(…)
okoli.bodu = subset(povodi, ((povodi[,1] - x[p])^2 +
(povodi[,2] - y[p])^2 <= (rozliseni+1)^2) &
((povodi[,1] - x[p])^2 + (povodi[,2] - y[p])^2 > 0) )
p = p + 1
if (nrow(okoli.bodu) == 6) {
127
9 Přílohy
Příloha 9.18 Algoritmus pro určení TCA
Procedura je pro obě struktury sítí principiálně shodná, liší pouze v inicializaci rozlišení sítě a ve výpočtu
rozlohy Thiessenových polygonů bodů dané sítě, jejíž hodnota je potřeba k výpočtu TCA.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
18
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
# datovy vstup
sit = read.table('Site/IDW_Ort_Grid_ 13 x 20 .txt')
povodi.1 = read.table('Povodi/IDW_Ort_Povodi_ 13 x 20 (1).txt')
povodi.2 = read.table('Povodi/IDW_Ort_Povodi_ 13 x 20 (2).txt')
x.all = subset(sit, sit[,2] == min(sit[,2]))
x = (max(sit[,1]) - min(sit[,1]))/(nrow(x.all) - 1)
y.all = subset(sit, sit[,1] == min(sit[,1]))
y = (max(sit[,2]) - min(sit[,2]))/(nrow(y.all) - 1)
# def. matice obsahující udaje o Contributing Areas (CA)
CA = matrix(nrow = nrow(povodi), ncol = 9)
for (i in 1:ncol(povodi)) {
CA[,i] = povodi[,i]
}
CA[,8] = -1 # "koef. prutocnosti" - cislo vyjadrujici kolik bodu
reseny bod odvodnuje. "-1" = zatim nevyhodnoceno.
CA[,9] = c(1:nrow(povodi))
# nove ID bodu, pouzivane ciste pro
interni potreby teto procedury
# vyhledani primárních zdrojovych bodu
zdroje.x = c()
zdroje.y = c()
zdroje.z = c()
zdroje.cil = c()
zdroje.sklon = c()
zdroje.aspekt = c()
zdroje.prutocnost = c()
zdroje.id.new = c()
zdroje.id = setdiff(povodi[,4], povodi[,5])
for (i in 1:length(zdroje.id)) {
a = subset(CA, CA[,4] == zdroje.id[i]) # selekce bodu bez pritoku
zdroje.x[i] = a[1,1]
zdroje.y[i] = a[1,2]
zdroje.z[i] = a[1,3]
zdroje.cil[i] = a[1,5]
zdroje.sklon[i] = a[1,6]
zdroje.aspekt[i] = a[1,7]
zdroje.prutocnost[i] = 0
# tj. body bez pritoku odvodnuji 0 bunek
zdroje.id.new[i] = a[1,9]
}
zdroje <- matrix(c(zdroje.x, zdroje.y, zdroje.z, zdroje.id,
zdroje.cil, zdroje.sklon, zdroje.aspekt, zdroje.prutocnost,
zdroje.id.new), ncol=9)
128
9 Přílohy
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
zdroje.x = c() # vyprazdneni zasobniku
zdroje.y = c()
zdroje.z = c()
zdroje.id = c()
zdroje.cil = c()
zdroje.sklon = c()
zdroje.sklon2 = c()
zdroje.aspekt = c()
zdroje.id.new = c()
for (i in 1:nrow(zdroje)) {
b = subset(CA, CA[,4] == zdroje[i,4])
CA[b[1,9],8] = 0
# pro body bez pritoku je foef. 0
}
# hlavni cast procedury - hledani recipientu pro dane zdroje,
jejich ohodnoceni koeficientem odvodnovani, a nove hledani zdroju:
recipient = matrix(0,nrow=1, ncol=9)
# uvodni definice recipientu,
ktera slouzi k tomu, aby to napoprve proslo podminkou cyklu while.
p = 1
# pocet bodu v matici "zdroje"
while (nrow(recipient) > 0) {
for (i in 1:nrow(zdroje)) {
# vyhledani recipientu pro prislusny (i-ty) zdroj
recipient = subset(CA, CA[,4] == zdroje[i,5])
if (nrow(recipient > 0)) {
# zpetna inicializace vsech zdrojovych bodu recipienta:
kriterium1 = subset(CA, CA[,5] == recipient[1,4])
kriterium2 = subset(kriterium1, kriterium1[,8] > -1)
# posouzeni, zda-li vsechny zdroje jiz byly ohodnoceny
koeficientem odvodnovani:
if (nrow(kriterium1) == nrow(kriterium2)) {
# ohodnoceni koeficientem prutocnosti:
prutocnost <- sum(kriterium2[,8]) + nrow(kriterium2)
CA[recipient[1,9],8] <- prutocnost
# recipient se stava novym zdrojem:
zdroje.x[p] = recipient[1,1]
zdroje.y[p] = recipient[1,2]
zdroje.z[p] = recipient[1,3]
zdroje.id[p] = recipient[1,4]
zdroje.cil[p] = recipient[1,5]
zdroje.sklon[p] = recipient[1,6]
zdroje.aspekt[p] = recipient[1,7]
zdroje.prutocnost[p] = prutocnost
zdroje.id.new[p] = recipient[1,9]
p = p+1
}
}
}
zdroje <- matrix(c(zdroje.x, zdroje.y, zdroje.z, zdroje.id,
zdroje.cil, zdroje.sklon, zdroje.aspekt, zdroje.prutocnost,
zdroje.id.new), ncol=9)
zdroje.x = c()
# vyprazdneni zasobniku pro nove zdroju
129
9 Přílohy
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
121
122
123
124
125
126
127
128
127
128
129
130
131
zdroje.y = c()
zdroje.z = c()
zdroje.id = c()
zdroje.cil = c()
zdroje.sklon = c()
zdroje.aspekt = c()
zdroje.id.new = c()
p = 1
} # konec hl. cyklu; pokracovani dokud se nedojde do UP
# Vypocet rozlhohy uzemi odvodnovaneho danym bodem
TCA = CA[,8]*rozliseni.x*rozliseni.y
ContrArea.1 = matrix(c(CA[,1], CA[,2], CA[,3], CA[,4]),
nrow = nrow(CA), ncol = 4)
ContrArea.2 = matrix(c(CA[,5], CA[,6], CA[,8], TCA),
nrow = nrow(CA), ncol = 4)
# VYPIS BODU
sink('CA/IDW_Ort_CA_ 13 x 20 (1).txt')
print(ContrArea.1)
sink()
sink('CA/IDW_Ort_CA_ 13 x 20 (2).txt')
print(ContrArea.2)
sink()
12.1
12.2
(…)
rozliseni <- y
if (x < y) {rozliseni <- x}
119 # Vypocet rozlhohy uzemi odvodnovaneho danym bodem
120 TCA = CA[,8]*(rozliseni^2)*(3^(1/2))/2
130

Diplomová práce

Transkript

Podobné dokumenty

diplomová práce

Polytematický strukturovaný heslář

SC 710 W SC 740 W SC 780 DX 840 W DX 860 DX

9. Účelové mapování a dokumentace skutečného provedení budov.

kvantitativní vývoj sněhové pokrývky na experimentálním

Serie 3 - řešení - Studiumbiologie.cz

kreuzigerova_vencalek

Oznámení o hodnocení vlivů na životní prostředí dle přílohy č. 4

mechanické kmitání a vlnění - Modularizace a modernizace

Školní vzdělávací program Geodézie - stav