po vyřešení poslední – mimořádně náročné

po vyřešení poslední – mimořádně náročné – série úloh a po jejím – mimořádně časově náročném – opravování pro vás máme výsledky 18. ročníku Pikomatu MFF UK.
Vítězem se stal student tercie Josef Müller z Bakova nad Jizerou, který v celé soutěži neztratil ani jediný bod. Má jich tedy 150. Jen o dva body méně dostal Milan
Dvořák. Na třetím místě máme nejlepší z dívek Veroniku Jurtíkovou spolu s Pavlem
Motlochem. Oběma se podařilo získat 147 bodů. Na pátém místě skončil Petr Košař
se 146 body. Nejlepším řešitelem z devátého ročníku je Milan Dvořák, z osmého Josef
Müller, v sedmém je to Karolína Rezková a nejlepší řešitelkou z šestého ročníku je
Lada Peksová. Všem vítězům i vítězkám moc gratulujeme.
Pochvalu a veliké uznání si samozřejmě zaslouží i ti, kteří v průběhu celého roku
posílali správná řešení a dostali více než polovinu z celkového počtu bodů, tedy alespoň 76; ti od nás obdrží diplom. Prvních třináct nejlepších řešitelů a dva nejlepší
šesťáci dostanou zajímavé ceny.
Těm, kteří už se Pikomatu nebudou moci příští rok účastnit, bychom chtěli doporučit některý z korespondenčních seminářů pro střední školy, které pořádá Matematicko-fyzikální fakulta. Můžete si vybrat matematický nebo fyzikální seminář. Podle některých řešení poslední série Pikomatu se zdá, že by pro některé z Vás mohl být zajímavý
i seminář z programování. Více se o korespondenčních seminářích můžete dozvědět
na internetové adrese http://www.mff.cuni.cz/verejnost/ks/.
Ti, kterým je už nyní po Pikomatu smutno, se mohou těšit na září příštího roku,
kdy by měli obdržet zadání dalšího ročníku Pikomatu MFF UK. Všichni organizátoři
i opravovatelé vám přejí krásně strávené prázdniny a těší se na setkání s některými
z vás na našem táboře: Jiří Benc, Jan Blažek, Lenka Blažková, Viktor Bobro, Lenka
Burešová, Katka Dobiášová, Jan Foniok, Martina Chabadová, Václava Kopecká, Věra
Koudelková, Stanislava Kucková, Zbyněk Pawlas, Karel Pazourek, Petr Škovroň.
Úloha č. 1
!"#$"%&'()
Začneme několika obecnými úvahami, které se strategií týkají. Strategie, jakou máme
na mysli, je podrobný návod, jak hrát – jaké tahy volit jako reakci na všechny možné
tahy, které může soupeř udělat. V řešení tedy nebude stačit předvést jednu ukázkovou partii a říci: „První hráč vyhrál, přestože druhý dělal dobré tahy, proto pro
prvního hráče existuje vyhrávající strategie.ÿ Na druhé straně, když strategii popisujeme, nemusíme zdůvodňovat prováděné tahy, stačí, že vedou ke zvolenému cíli.
Dále si všimněme, že pokud má první hráč vyhrávající strategii, nemůže pro druhého
existovat neprohrávající strategie.
Nejdříve se budeme zabývat rovinnou variantou. Ukážeme, že pro oba hráče existují
neprohrávající strategie. Označme si políčka piškvorkovnice A1–C3.
A teď tedy slíbená neprohrávající strategie pro prvního hráče. První křížek umístíme na B2 (tedy doprostřed). Protože hrací pole je symetrické, má druhý hráč vlastně
jen dvě možnosti, jak hrát: do rohu (A1) nebo doprostřed strany (A2). Oba případy
dále rozeberme; nejprve ten kratší, což je zrovna ten druhý. Budeme pokračovat tahem
na A1. Soupeř musí hrát na C3*, my odpovězme na C1. Hrozíme výhrou na sloupci 1
a na úhlopříčce C1–A3, protihráč nemá možnost obě tyto hrozby pokrýt (leda by
porušil pravidla) a ať táhne kamkoliv, vyhrajeme dalším tahem (na B1 nebo A3).
Nyní dořešme zbývající případ (my jsme hráli B2 a soupeř odpověděl na A1). Nakresleme křížek na A2, soupeř musí na C2, odpovězme na B1, protihráč reaguje B3,
hrajme na A3, soupeř odehraje na C1, a po našem posledním tahu na C3 partie končí
remízou. Tedy s jakýmkoliv protihráčem umíme uhrát nejhůř remízu.
Řešení by mělo pokračovat podobným popisem postupu pro protihráče. Pro zkrácení ho ale vypouštíme.
Na závěr přejděme k prostorové variantě. Jednotlivé „krabičkyÿ si tentokrát označíme A1x–C3z. Zde existuje vyhrávající strategie pro prvního hráče (což vylučuje
neprohrávající strategii pro druhého). Hrajme na B2y. Nyní soupeř může odpovědět
třemi způsoby: do rohu krychle, doprostřed hrany nebo doprostřed stěny. Opět pro
zkrácení rozebereme jen jeden případ, například první, tedy A1x. Odpovězme na A2y,
soupeř má vynucený tah na C2y a my tahem na A1y hrozíme výhrou na A3y a C3y
a v dalším tahu zvítězíme.
Úloha č. 2
Řešení podle Jana Tkadlece. Nejpřehlednější bude znázorňovat jednotlivé počty do
množinového diagramu. Označme x počet well-Bloudů, kteří umí všechny tři jazyky.
Je jich stejně jako těch, kteří umí jen katalánsky a jen velšsky. Čínsky a katalánsky
umí 6 well-Bloudů, takže 6−x z nich neumí velšsky. Well-bloudů, kteří umí katalánsky,
je o 2 méně než těch, kteří umí velšsky. Proto těch, kteří umí jen velšsky a čínsky,
je 8 − x. Čínsky umí celkem 25 well-Bloudů. To znamená, že jenom čínsky jich umí
25 − (6 − x) − x − (8 − x) = 11 + x. Dohromady je 30 well-Bloudů. Z toho dopočteme,
že jenom katalánsky a velšsky umí 5 − 2x well-Bloudů.
x
6−x
11 + x
katalánsky
čínsky
x
5 − 2x
8−x
x
velšsky
* Sice jsme v úvodu řekli, že nesmíme předpokládat, jak protihráč táhne, a zde to zdánlivě
porušujeme. Této větě tedy rozumějme: „Pokud protihráč táhne jinam, tak tam budeme
hrát my a vyhrajeme, protože dokončíme piškvorku.ÿ
2
Ze zadání má platit
11 + x > 2 · (8 − x)
11 + x > 16 − 2x
3x > 5
5
x> .
3
Protože x je celé číslo, musí být x = 2.
Na druhou stranu počty well-Bloudů jsou větší nebo rovny 0. Tedy
5 − 2x = 0
5
x5 .
2
Z obou podmínek vyplývá jediná možnost a to, že x = 2.
4
2
13
katalánsky
čínsky
2
1
6
2
velšsky
Čínsky mluví 25 well-Bloudů, katalánsky umí 9 well-Bloudů a velšsky mluví 11 well-Bloudů.
Komentář: Většina řešitelů dospěla k tomu, že jen velšsky umí 0, 1 nebo 2 (stejně
tak jen katalánsky). Ti, co opomněli nulu, dostali 4 body (přece jen je to řešení
horší). Pokud jste neměli vůbec žádné zdůvodnění nebo postup, dostali jste 2 nebo
3 body. A vzhledem k tomu, že se často vyskytl předpoklad, že 6 well-Bloudů umí
jen katalánsky a čínsky, dával jsem těmto řešitelům po 1 bodu, pokud měli alespoň
pro tento případ správné řešení.
Úloha č. 3
****
Označme daný čtyřúhelník ABCD (dle obrázku). Podle zadání je |AD| = |CD| =
= |BC| a |AC| = |BD| = |AB|. Proto jsou podle věty sss trojúhelníky ABC a BAD
shodné. Navíc jsou tyto trojúhelníky rovnoramenné. Velikost úhlů u základen označíme α. Platí tedy | B AD| = | ADB| = | ABC| = | ACB| = α. Využijeme-li
3
* ** * * *
větu sss ještě jednou, zjistíme, že i ACD a BDC jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky. Označme | DAC| = | ACD| = | B DC| = | C BD| = β. Nyní vidíme, že
| B AC| = | ABD| = α − β. Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku ABD je 180 ◦ :
α + (α − β) + α = 180 ◦ ,
3α − β = 180 ◦ .
Stejně tak součet vnitřních úhlů v trojúhelníku BCD je 180 ◦ :
β + β + (α + β) = 180 ◦ ,
α + 3β = 180 ◦ ,
α = 180 ◦ − 3β.
Po dosazení do první odvozené rovnice dostaneme:
3(180 ◦ − 3β) − β = 180 ◦ ,
540 ◦ − 10β = 180 ◦ ,
10β = 360 ◦ ,
β = 36 ◦ .
Odtud už snadno dopočítáme α = 180 ◦ − 3β = 180 ◦ − 3 · 36 ◦ = 72 ◦ .
D
C
β
β
α
α
β α
α β
A
B
Velikosti vnitřních úhlů čtyřúhelníku jsou 72 ◦ , 72 ◦ , 108 ◦ a 108 ◦ . Jelikož úhly u delší
základny jsou stejné a zároveň úhly u kratší základny jsou stejné, jsou strany AB a CD
rovnoběžné. Jedná se tedy o rovnoramenný lichoběžník.
Komentář: Dva body jsem uděloval za odůvodnění, proč se jedná o rovnoramenný
lichoběžník. Tři body jsem uděloval za správné spočítání úhlů v lichoběžníku. Nelíbila
se mi řešení, která využívala rýsování, protože nebylo zdůvodněno, že se dá použít
libovolná velikost základny. Dále v těchto řešeních většinou chybělo, jak jste přicházeli
na velikosti ostatních stran v lichoběžníku.
Úloha č. 4
Pokud máme změnit pravou stranu právě jedné z pěti rovnic tak, aby pak už měla
soustava rovnic řešení, znamená to, že čtyři z pěti zadaných rovnic toto řešení mají
4
už teď. Odečteme-li od třetí rovnice rovnici druhou, dostaneme x − y = 3. Pokud
odečteme od čtvrté rovnice pátou, dostaneme také x − y = 3. To znamená, že právě
použité čtyři rovnice spolu korespondují; kdybychom změnili pravou stranu některé
z nich, soustava by řešitelná nebyla. „Chybaÿ bude tudíž v rovnici první. Abychom
zjistili, jak máme změnit pravou stranu první rovnice, musíme zjistit, čemu se rovná
výraz x + y (tj. její levá strana). Zjistíme to třeba tak, že od čtvrté rovnice odečteme
třetí; dostaneme rovnici x + y = 39. Stačí tedy změnit pravou stranu první rovnice
ze 41 na 39. Vyřešíme-li upravenou soustavu rovnic, dostaneme řešení x = 21, y = 18,
z = −5.
Úloha č. 5
Pokud a, b jsou číslice prvního dvojciferného čísla a c, d jsou číslice druhého dvojciferného čísla, pak příklad uvedený v zadání lze zapsat takto: (10a + b)(10c + d) =
= (10b + a)(10d + c). Upravením získáme
ac = bd.
(∗)
Uvažujme následující čtyři možnosti a u každé určíme, kolik dvojic splňuje podmínku (∗).
1. a = b = c = d: takových dvojic existuje celkem 9 (11 · 11, . . . , 99 · 99),
2. a = b, c = d, b 6= c: dostaneme 36 různých dvojic (11 · 22, . . . , 88 · 99),
3. a = d, b = c, b 6= d: opět máme 36 různých dvojic (12 · 21, . . . , 89 · 98),
4. ostatní možnosti: můžeme předpokládat, že a je nejmenší ze čtyř hledaných číslic.
V tabulce jsou vypsána všechna řešení rozdělená podle hodnoty a. Při hledání číslic
b, c a d přitom s výhodou využijeme vztah (∗). Například pro a = 1, máme c = bd
a lehce zjistíme, že je celkem 6 způsobů, jak napsat číslici c jako součin dvou číslic:
4 = 2 · 2, 6 = 2 · 3, 6 = 3 · 2, 8 = 2 · 4, 8 = 4 · 2, 9 = 3 · 3.
a=1
a=2
a=3
a=4
12 · 42 = 21 · 24,
12 · 84 = 21 · 48,
23 · 64 = 32 · 46,
23 · 96 = 32 · 69,
34 · 86 = 43 · 68,
46 · 96 = 64 · 69
12 · 63 = 21 · 36, 13 · 62 = 31 · 26,
14 · 82 = 41 · 28, 13 · 93 = 31 · 39
24 · 63 = 42 · 36, 24 · 84 = 42 · 48,
26 · 93 = 62 · 39
36 · 84 = 63 · 48
Komentář: Plný počet bodů jsem dávala za správné určení všech řešení na základě
matematických úvah (1 bod za vytvoření a upravení rovnice s vysvětlením, čeho jsme
dosáhli, 1 bod za řešení uvedená v 1. a 2. možnosti, 1 bod za řešení ze 3. možnosti
a 2 body za řešení ze 4. možnosti). Body jsem strhávala za nejasnosti v postupu,
úvahy bez vysvětlení „z čeho to plyneÿ. Pokud někdo usoudil ze zadání na rovnici
b2 = ac a měl všechna řešení, dostal pět bodů.
Pikomat není programátorská soutěž, proto jsem hodnotila pouze matematické
úvahy, nikoli to, že dotyčný má všechna řešení. Pokud někdo poslal schéma programu bez popisu, co to dělá a proč, mohl dostat jeden bod za snahu. Nula bodů
jsem nikomu neudělila.
5
Úloha č. 6
Nechť x označuje obsah plochy trojúhelníku ACF , nechť obsah trojúhelníku ADF
je y, obsah trojúhelníku BDF je z a obsah trojúhelníku BEF ať je ž.
C
4
x
E
F
ž
y
z
A
D
B
Jelikož |AD| = |BD|, je obsah trojúhelníku ADC roven obsahu trojúhelníku BDC
(výšku mají oba tyto trojúhelníky také stejnou, a to vzdálenost bodu C od přímky
AB). Takže obsah každého z těchto dvou trojúhelníků je roven polovině obsahu trojúhelníku ABC. Dostáváme tak rovnice
15
2
15
.
z + ž + 4 =
2
x+y =
(1)
(2)
Podobně je obsah trojúhelníku ADF roven obsahu trojúhelníku BDF , tedy
y = z.
(3)
Protože trojúhelníky BEF a CEF mají stejnou výšku (vzdálenost bodu F od
přímky BC), je poměr jejich obsahů roven poměru délek úseček BE a CE. Podrobněji:
Je-li v vzdálenost bodu F od přímky BC, pak
v · |BE|
,
2
v · |CE|
=
.
2
S4BEF =
S4CEF
Dostáváme tedy (sledujte obrázek)
|BE|
ž
=
.
4
|CE|
6
(40 )
Podobně jsou v poměru délek úseček BE a CE i obsahy trojúhelníků BEA a CEA.
To znamená, že
|BE|
y + z + ž
=
.
(400 )
x+4
|CE|
Z rovnic (40 ) a (400 ) dostaneme rovnici
ž
y + z + ž
=
.
4
x+4
(4)
Vyřešíme soustavu rovnic (1)–(4) například tak, že si neznámé y, z a ž vyjádříme
pomocí neznámé x a dosadíme do rovnice (4):
15
−x
2
15
−x
z=
2
ž = x − 4
y=
z rovnice (1),
z rovnice (3),
z rovnice (2).
Dosazení do rovnice (4) pak dává
11 − x
x−4
=
4
x+4
neboli
x2 + 4x − 60 = 0.
Řešení kvadratické rovnice jste se mohli naučit například v komentářích ke čtvrté
sérii, a tak už jistě víte, že tato rovnice má řešení
x=
−4 ±
p
√
n
42 − 4 · 1 · (−60)
−4 ± 256
−10,
=
=
2·1
2
6.
Vzhledem k tomu, že x představuje obsah trojúhelníku, záporné řešení nepřipadá
v úvahu. Máme tedy x = 6 a snadno už dopočítáme y = 3/2, z = 3/2 a ž = 2. To
znamená, že
SAF C = x = 6,
SBDF E = z + ž =
SADF = y =
3
.
2
7
,
2
Vidíme, že Královo království je největší.
Komentář: Úloha byla dosti obtížná, proto jen málo řešení bylo zcela správných.
Většina dokázala určit velikost Králíkova království (1 bod). Někteří navíc zjistili, že
největší je Královo království, a zbytek buď neuměli nebo přehlédli v zadání otázku
na všechny plochy (podle kvality 2–3 body). Opět se vyskytla řešení typu narýsuj
a změř ; při takových řešeních dochází k nepřesnostem, navíc nikdo neuvedl postup,
jak trojúhelník sestrojit.
7
Úloha č. 7
Nejprve si osvěžíme základní pojmy. Výška na stranu AB je úsečka kolmá na AB,
jejími krajními body jsou C a pata kolmice (označena P ). Těžnice na stranu AC
(označíme ji tb ) je úsečka s krajními body B a SAC (střed strany AC).
Trojúhelník BCP je pravoúhlý a známe dvě jeho strany – je tedy zadán podle
věty Ssu. Narýsovat jej je možné několika způsoby, například nejdříve narýsujeme P C,
v bodě P k ní vedeme kolmici (přímka P X) a sestrojíme kružnici k1 se středem C
a poloměrem rovným |BC|. Průnik kružnice k1 a přímky P X je bod B.
Dále hledáme bod A. Ten leží na přímce AB a zároveň na přímce CSAC . Najděme
tedy bod SAC . Leží na kružnici k2 se středem B a poloměrem rovným délce tb . Víme,
že SA C je střed AC, proto nutně musí ležet také na přímce rovnoběžné s P B, která
je přesně v polovině mezi C a P (neboli jde o osu úsečky CP ).
Podtrženo a sečteno:
I. Rozbor
Dáno: 4BCP (podle věty Ssu).
Hledáme:
1. bod SAC :
a) SAC ∈ k2 (B, |tb |),
b) SAC ∈ p, p je osa CP .
2. bod A:
a) A ∈ ↔ P B,
b) A ∈ ↔ CSAC .
II. Zápis konstrukce
1. 4BCP ,
2. p; p je osa CP ,
3. k2 ; k2 (B, |tb |),
4. SAC ; SAC = p ∩ k2 ,
5. A; A ∈ ↔ CSAC ∩ ↔ P B,
6. 4ABC.
III. Konstrukce
Tady bylo třeba použít vhodné měřítko (např. 1 cm =
ˆ 1 palec).
k2
C
p
SAC
A
B X
P
k1
8
IV. Diskuse počtu řešení
Úloha má v dané polorovině právě dvě různá řešení (kružnice k2 protne přímku p
ve dvou různých bodech).
+',-",)'$)!./&0&1)"#!$234567%&'()89
Komentář: Ideální řešení mělo obsahovat náčrtek, rozbor, zápis konstrukce, konstrukci a diskusi počtu řešení. Za chybějící druhé řešení nebo diskusi jsem strhával
1 bod, taktéž za chybějící narýsování. Nepleťte si osu úhlu s těžnicí!
Úlohy poslední série opravovali a komentáře sepsali: 1. Petr Škovroň, 2. Jan Blažek,
3. Viktor Bobro, 4. Lenka Blažková, 5. Václava Kopecká, 6. Jan Foniok, 7. Karel
Pazourek.
Celkově
1.
2.
3.–4.
5.
6.–7.
8.–9.
10.
11.
12.
13.
14.–15.
16.
17.
18.
19.
20.–21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.–29.
30.–31.
32.–33.
34.
35.
V roč.
1.
1.
2.–3.
Jméno a příjmení
Josef Müller
Milan Dvořák
Veronika Jurtíková
Pavel Motloch
4.
Petr Košař
2.–3.
Lukáš Drápal
Jan Musílek
4.
Jan Valášek
5.
Marek Scholle
6.
Petr Kadaňka
5.
Petr Polák
1.
Karolína Rezková
2.
Hana Bílková
6.
Tomáš Pajma
7.
Vlastimil Peksa
3.
Miroslav Klimoš
7.
Lenka Petrů
8.
Martin Kočí
8.
Klára Krejčíčková
4.
Hana Šormová
9.
Roman Pliska
10.
Zuzana Blokešová
5.
Blanka Némethová
6.
Šárka Křížková
11.
Miroslav Kaděra
9.
Matěj Pacovský
7.
Pavla Zárubová
12.–13. Jiří Havelka
Štěpán Škoda
10.–11. Erik Derner
Dagmar Ličková
1.
Lada Peksová
12.
Jaroslav Žák
8.
Josef Tkadlec
9.
Jan Vaňhara
Roč. a škola
8. GPMB
9. GVMN
9. GREB
9. GPBM
9. GVRC
8. GCDP
8. GNOB
8. GCDP
9. GDAP
9. GRPR
8. JGNA
7. GVOP
7. GFPR
8. GMOS
9. GCDP
7. GLAN
8. GBRE
9. GKJB
8. MGMO
7. GKJB
9. GJWP
9. ZOTO
7. GMKR
7. ZSHK
9. GPBM
8. GPCT
7. ZMFM
9. MGOP
9. ZVNV
8. GNKP
8. ZBUO
6. GCDP
8. CGKV
7. GJKP
7. GLJH
9
1
5
5
4
5
5
5
4
5
5
4
3
2
4
3
5
3
5
2
4
3
2
3
2
3
2
3
4
3
4
4
-
2
5
5
5
5
5
4
5
5
5
4
5
3
5
2
4
4
4
5
4
5
0
3
4
5
5
4
4
2
5
4
5
3
5
5
3
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
4
5
5
4
5
5
5
4
4
5
5
1
5
4
5
3
5
5
4
5
5
2
5
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
0
5
5
3
5
4
5
5
5
5
5
4
5
2
5
4
5
5
5
4
4
4
3
5
1
4
4
4
3
3
4
4
4
3
2
3
2
3
5
3
5
-
6
5
5
5
3
1
3
5
5
4
5
5
4
2
5
0
3
5
2
2
2
2
1
3
2
5
-
7
5
5
4
5
4
4
5
5
5
4
5
5
5
5
2
5
4
5
4
4
4
5
3
3
4
4
1
3
4
3
4
5
4
5
-
30
30
28
28
28
27
30
30
29
27
28
27
27
25
24
28
25
28
22
26
26
21
23
22
16
20
17
14
18
24
25
23
23
29
14
150
148
147
147
146
143
143
142
142
141
140
139
138
135
135
132
131
128
124
123
123
121
119
118
115
113
112
112
112
111
111
110
110
107
105
Celkově
36.–37.
38.–39.
V roč.
10.
14.
15.–16.
40.
41.
42.–43.
13.
11.
12.–13.
44.–45.
14.
17.
15.
14.
18.
19.
15.
20.
16.–17.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.–55.
56.
57.–58.
59.
60.
61.
62.–63.
64.–65.
66.–69.
70.
71.–72.
73.
74.
75.–76.
77.
78.–79.
80.
81.–82.
83.
16.
21.
2.
17.
22.
18.
23.
24.
18.
19.
19.
25.
3.
20.–21.
20.
26.
22.–23.
24.
25.
4.
21.
22.
26.–27.
27.
28.
28.
29.
Jméno a příjmení
Petr Motloch
Michaela Kaplanová
Jaroslav Šípek
Antonín Steinhauser
Vojtěch Budinský
Jaroslava Salášková
Susan Müllerová
Helena Pučelíková
Petr Kaděra
Žaneta Snížková
Vojtěch Kaluža
Aleš Růžička
Jan Matuška
Jakub Diviš
Martin Matějek
Ondrej Bogár
Lukáš Cimpl
Lucie Mohelníková
Ondřej Kurz
Karel Hořínek
Lukáš Tomaszek
Jana Honců
Radim Pechal
Kryštof Měkuta
Josef Navrátil
Jan Bernard
Žaneta Murasová
Ján Jaroň
Jana Schneiderová
Jiří Svatoš
Zuzana Rohrerová
Katarína Baxová
Marie Mejstříková
Jan Koník
Martina Otradovcová
Jan Šnábl
Jakub Töpfer
Michaela Šebetovská
Tereza Hajíčková
Jana Baxová
Josef Málek
Tomáš Toufar
Monika Gattnarová
Jindra Prokop
Nela Kopecká
Erika Pilčíková
Nikola Burešová
Marie Koutná
Roč. a škola
7. ZPFM
9. GMNH
9. EGVP
9. GNJH
8. GNSP
7. GLPP
7. GVOZ
7. GMIL
7. ZMFM
9. GOKH
7. ZMFM
8. GPCT
9. GKOJ
9. GOAS
8. ZCBK
9. ZNMT
7. GFPR
7. GEOP
8. GVOP
9. GUSP
6. ZPMH
8. GMNH
9. ZPKR
8. ZJJH
9. GIOS
9. ZOTO
7. GFPR
8. GBOH
7. GVOZ
9. GIOS
6. GTMH
7. ZDHT
7. ZJSP
8. ZOTO
9. GVOP
7. OGBP
7. GJKP
7. GFPR
7. GKLA
6. ZDHT
8. ZKLP
8. ZOTO
7. ZROH
7. GKAD
9. ZMLB
7. ZKEL
9. GNKP
7. GVOZ
10
1
1
1
2
4
3
2
1
3
4
3
3
2
2
1
-
2
2
2
1
4
1
4
0
2
1
4
1
5
4
2
2
4
4
0
2
2
2
4
-
3
4
5
1
2
2
3
5
5
5
4
5
5
2
4
2
2
3
-
4
5
1
3
2
5
4
5
4
4
5
5
5
5
4
4
5
5
0
3
0
5
3
5
3
0
-
5
5
4
1
2
3
2
1
2
5
4
3
4
2
1
2
1
1
2
3
-
6
3
1
1
1
3
2
2
1
2
3
2
1
2
2
1
2
-
7
3
4
4
4
1
1
4
2
2
2
4
4
4
4
4
4
4
2
4
-
89
16
16
9
0
0
14
14
14
16
0
9
13
14
15
0
10
13
6
13
20
23
16
23
0
23
0
3
9
0
13
10
3
0
12
0
0
7
0
0
6
0
0
8
0
0
0
0
0
103
103
101
101
91
90
86
86
84
84
81
80
79
78
76
75
74
74
74
74
73
71
71
70
69
68
67
67
65
65
62
62
62
62
61
60
60
59
57
53
53
51
47
47
44
43
43
41
Celkově
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.–95.
V roč.
30.
31.
32.
1.
5.
29.
33.
34.
30.
6.
35.
31.
96.–97.
23.
32.
98.
33.
99.
34.
100.–102. 35.–37.
103.–105. 24.–25.
38.
106.–107. 36.
39.
108.–109. 26.
40.
110.–112. 37.
27.
41.
113.–115. 38.
28.–29.
116.–117. 39.
30.
118.
40.
119.–120. 42.–43.
121.–123. 7.
44.–45.
124.–127. 8.
41.
46.–47.
128.–129. 42.–43.
130.–131. 44.–45.
Jméno a příjmení
Roč. a škola
Vojtěch Gráf
7. GFPR
Jakub Špiřík
7. GJBI
Stanislav Josiek
7. GEOP
Stanislav Veverka
5. ZZKH
Monika Smítalová
6. EGVP
David Petrbok
9. GLIP
Lenka Švidrnochová
7. GEOP
Johana Eliášová
7. GFPR
Eliška Zajícová
9. ZOTO
Pavel Lieberzeit
6. GSLP
Karolína Kripnerová
7. AGKP
Tereza Petránková
9. EGVP
Gabriela Znamenáčková 8. ZKLP
Jan Klikáč
9. MOGB
Ondřej Horníček
9. GPRK
Petr Fojtů
9. GBEN
Radim Kašpárek
9. GFPR
Martina Kaplanová
9. GNSP
Hana Nejedlá
9. GNSP
Lucie Krejbichová
8. ZKLP
Radka Matějíčková
8. ZPMH
David Hýža
9. GFPR
Tomáš Horák
7. ZBUO
Petra Filipcová
9. ZPMH
Václav Prak
8. ZPMH
Martin Jeneš
9. GKJB
Vanda Vrlíková
7. GFPR
Jana Kolářová
8. GKRN
Petr Girard
9. GFPR
Zuzana Vlčková
7. GFPR
Daniel Sedláček
8. ZPMH
Jan Urbánek
8. ZCVP
Jana Hejdová
7. GMIL
Barbora Beková
8. GPRK
Michaela Tománková
7. GLJH
David Koplík
9. GKOJ
Břetislav Martinák
9. GFPR
Veronika Flajšingerová 6. GTMH
Markéta Heczková
9. ZPMH
Barbara Helštýnová
9. ZPMH
Jindřich Veselý
6. ZPSR
Martina Červenková
7. ZPMH
Martin Gavlas
9. GEOP
Jitka Valášková
9. ZKLL
Jana Rumlová
7. ZPMH
Romana Tatíčková
7. GFPR
Jan Babinec
7. GFPR
Barbora Holubová
7. GFPR
11
1
2
-
2
5
2
2
-
3
5
-
4
-
5
1
-
6
-
7
4
-
89
5
0
0
7
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
36
35
31
30
29
28
27
26
24
23
21
21
20
20
19
18
17
17
17
16
16
16
15
15
14
14
13
13
13
12
12
12
10
10
9
8
8
7
7
7
5
5
5
5
4
4
3
3
Celkově V roč. Jméno a příjmení
132.–135. 46.–47. Petra Chromáčková
Markéta Kusinová
48.–49. Pavel Klvaňa
David Matyáš
136.
48.
Jaromír Salák
137.–138. 31.–32. Eliška Šabartová
Martina Sepešiová
Roč. a škola
7. GFPR
7. ZPMH
9. GFPR
9. GFPR
7. GMKR
8. GNKP
8. GMOS
1
-
:!#",
AGKP Arcibiskupské gymnázium Praha 2
CGKV První české gymnázium Karlovy
Vary
EGVP Ekogymnázium Praha 10
GBEN Gymnázium Benešov
GBOH Gymnázium Bohumín
GBRE Gymnázium Břeclav
GCDP Gymnázium Christiana Dopplera
Praha 5-Smíchov
GDAP Gymnázium Dašická Pardubice
GEOP Gymnázium Čs. exilu Ostrava-Poruba
GFPR Gymnázium Frenštát pod Radhoštěm
GIOS Gymnázium I. Olbrachta Semily I
GJBI Gymnázium Jana Blahoslava Ivančice
GJKP Gymnázium Jana Keplera Praha 6
GJWP Gymnázium J. Wolkra Prostějov
GKAD Gymnázium Kadaň
GKJB Gymnázium kapitána Jaroše Brno
GKLA Gymnázium Kladno
GKOJ Gymnázium Kojetín
GKRN Gymnázium Krnov
GLAN Gymnázium Lanškroun
GLIP Gymnázium Litoměřická Praha 9
GLJH Gymnázium Ladislava Jaroše Holešov
GLPP Gymnázium L. Pika Plzeň
GMIL Gymnázium Milevsko
GMKR Gymnázium Moravský Krumlov
GMNH Gymnázium Mnichovo Hradiště
GMOS Gymnázium Most
GNKP Gymnázium Nad Kavalírkou Praha 5-Košíře
GNOB Gymnázium Nový Bydžov
GNSP Gymnázium Nad Štolou Praha 7
GOAS GOA Sedlčany
GOKH Gymnázium Jiřího Ortena Kutná
Hora
GOMP Gymnázium Omská Praha 10
GPBM Gymnázium P. Bezruče Frýdek-Místek
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
-
89
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
1
0
0
GPCT Gymnázium Pierra de Coubertina
Tábor
GPMB Gymnázium J. Pekaře Mladá Boleslav
GPRK Gymnázium F. M. Pelcla Rychnov
nad Kněžnou
GREB Gymnázium Brno-Řečkovice
GRPR Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm
GSLP Gymnázium Sladkovského Praha 3
GTMH Gymnázium T. G. Masaryka Hustopeče
GVMN Gymnázium V. Makovského Nové
Město na Moravě
GVOP Gymnázium Voděradská Praha 10
GVOZ Gymnázium Volgogradská Ostrava
GVRC Gymnázium a OA Vrchlabí
JGNA Jiráskovo gymnázium Náchod
MGMO Matiční gymnázium Mor. Ostrava
MGOP Mendelovo gymnázium Opava
MOGB ZŠ a MOG Bruntál
OGBP Osmileté gymnázium Buďánka
Praha 5-Smíchov
ZBUO ZŠ Bulharská Ostrava-Poruba
ZCBK 10. ZŠ Kladno
ZCVP ZŠ Červený vrch Praha 6
ZDHT 5. ZŠ Trenčín
ZJSP 4. ZŠ Příbram 2
ZKEL ZŠ Kelč
ZKLL ZŠ J. A. Komenského Lysá nad
Labem
ZKLP ZŠ Kladská Praha 2
ZMFM 1. ZŠ Petra Bezruče Frýdek-Místek
ZMLB ZŠ Lázně Bohdaneč
ZNMT 9. ZŠ Trenčín
ZOTO ZŠ Otická Opava
ZPFM 11. ZŠ Frýdek-Místek
ZPKR ZŠ 5. května Rožnov p. R.
ZPMH ZŠ 1. máje Havířov
ZPSR ZŠ Pod Skalkou Rožnov p. R.
ZROH ZŠ Rovniny Hlučín
ZSHK ZŠ SNP Hradec Králové
ZVNV ZŠ Vrané nad Vltavou
12