ano - Hippo

Vlastnosti a popis lineárních systémů
Miloš Laipert, Jan Bičák
30. září 2007
Příklad 1
Lineární spojitý systém je dán zapojením na obr. 1.4. Určete:
• diferenciální rovnici pro odezvu u2 (t), je-li obvod na vstupu buzen napětím u1 (t),
• přenos napětí H(p) =
U2 (p)
,
U1 (p)
• impulsní odezvu h(t).
iL (0+ )
R
L
u1 (t)
u3 (t)
C
u2 (t)
Obrázek 1.4: Zapojení obvodu
Řešení:
Pro zapojení na obr. 1.4 metodou uzlových napětí získáme integrodiferenciální rovnice
Z
u3 (t) − u1 (t) 1 t
[u3 (t) − u2 (t)]dτ + iL (0+ ) = 0 ,
+
R
L 0
Z
du2 (t)
1 t
[u2 (t) − u3 (t)]dτ − iL (0+ ) + C
= 0,
(1)
L 0
dt
ve kterých iL (0+ ) je počáteční podmínka pro proud v induktoru. Derivováním a eliminací proměnné u3 (t) z původních rovnic dostaneme pro odezvu u2 (t) diferenciální rovnici
druhého řádu
d2 u2 (t)
du2(t)
LC
+ CR
+ u2 (t) = u1 (t) .
(2)
2
dt
dt
V Laplaceově transformaci platí
L
kde
h du (t) i
2
= p U2 (p) − u2 (0) ,
dt
L
h d2 u (t) i
2
= p2 U2 (p) − p u2 (0) − u̇2 (0) ,
dt2
du2 (t) .
u̇2 (0) =
dt t=0
1
(3)
Při nulových počátečních podmínkách u2 (0) = 0, u̇2 (0) = 0 a užitím Laplaceovy transformace přejde diferenciální rovnice (3) na algebraickou rovnici
p2 LCU2 (p) + p CRU2 (p) + U2 (p) = U1 (p) .
Odtud vyplývá přenosová funkce H(p) =
H(p) =
1
LC
U2 (p)
U1 (p)
1
p2
(4)
R
1
+ p+
L
LC
=
Q(p)
.
N(p)
(5)
K nalezení impulsní odezvy nejprve určíme póly přenosové funkce řešením rovnice
N(p) = 0
r 1
R
R 2
±
(6)
−
p∞1,2 = −
2L
2L
LC
p
• R > 2 L/C . . . . dvojice reálných pólů
H(p) =
k1
K
k1
Q(p)
+
,
=
=
N(p)
(p + a1 )(p + a2 )
p + a1 p + a2
(8)
p∞1 = −a1 a p∞2 = −a2
k1 = lim (p − p∞µ )
p→p∞µ
Q(p)
K
K
= lim (p + a1 )
=
,
N(p) p→p−a1
(p + a1 )(p + a2 )
a2 − a1
k2 = lim (p + a2 )
p→−a2
h(t) = L
−1
[H(p)] =
2
X
(9)
K
K
.
=
(p + a2 )(p + a2 )
a1 − a2
kµ ep∞µ t =
µ=1
K
K
e−a1 t +
e−a2 t .
a2 − a1
a1 − a2
(10)
p
• R < 2 L/C . . . . dvojice komplexních pólů
H(p) =
K
k1
k1
=
+
,
(p + a − jb)(p + a + jb)
p + a − jb p + a + jb
(11)
p∞1 = −a + jb a p∞2 = −a − jb.
k1 = −
2
X
jK
,
2b
k2 =
jK
.
2b
(12)
i
j −a t jb t
j
e e + e−a t e−jb t =
2b
2b
µ=1
i
e−a t h
− j (cos(b t) + j sin(b t)) + j(cos(b t) − j sin(b t)) =
=K
2b
K
= e−a t sin(b t) . (13)
b
h(t) = L−1 [H(p)] =
kµ ep∞µ t = K
2
−
4
3
x 10
2.5
→ h(t)
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
1
2
3
→t
−4
x 10
Obrázek 1.5: Impulsní charakteristika
→ |H(j2πf )|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
→f
x 10
−5
→ τ (f )
3
3
4
x 10
2
1
0
0
0.5
1
1.5
→f
2
2.5
3
4
x 10
Obrázek 1.6: Modulová charakteristika a skupinové zpoždění filtru
R = 1 kΩ, L = 11,25 mH, C = 22,5 nF:
3,950 617 · 109
=
H(p) = 2
p + 88 888,89 + 3,950 617 · 109
3,950 617 · 109
=
.
(p + 44 444,45 − j 44 444, 45)(p + 44 444,45 + j 44 444,45)
h(t) =
K −a t
e
sin(b t) = 88 888,89 e−44 444,45 t sin(44 444,45 t) .
b
✵✵✵
3
Program 1
V prostředí Matlab vykreslete průběh funkce (impulsní charakteristiky) z příkladu 1
h(t) =
K −a t
e
sin(b t)
b
pro t ∈ h0, 3 · 10−4 i, K = 3,951 · 109 a a = b = 4,444 · 104 .
Nové operátory a funkce použité v programu:
=
linspace
;
+
*
.*
/
exp(x)
sin
plot
grid
xlabel
ylabel
title
přiřazení do proměnné
vytvoří vektor s lineárním rozdělením hodnot
na konci příkazu potlačí výstup
sčítání
násobení
násobení vektorů
dělení
funkce ex
funkce sinus
kreslení grafu
nakreslí mřížku v grafu
přidá popis na osu X
přidá popis na osu Y
přidá popis na vrchol grafu
Vlastní program:
t=linspace(0,3e-4,200);
K=3.951e9
a=4.444e4
b=4.444e4
h=K/b*exp(-a*t).*sin(b*t);
plot(t,h)
grid
xlabel t
ylabel h(t)
title ’Impulsní charakteristika’
Příklad 2
Určete přenos napětí zapojení obvodu na obr. 1.4 z příkladu 1. Výpočet proveďte z operátorových obvodových rovnic.
Řešení:
Z hlediska analýzy obvodů v kmitočtové oblasti je výhodné sestavovat obvodové rovnice
(metodami uzlových napětí a smyčkových proudů) přímo v operátorovém tvaru. Kirchhoffovy zákony pro uzavřenou smyčku a proudy uzlu pak mají tvar
n
X
m
X
Uk (p) = 0,
k=1
k=1
4
Ik (p) = 0.
Metodou uzlových napětí pro zapojení na obr. 1.4 obdržíme rovnice
U3 (p) − U1 (p) U3 (p) − U2 (p)
+
= 0,
R
pL
U2 (p) − U3 (p)
= 0.
p C U2 (p) +
pL
(14)
Na rozdíl od (1) jde o algebraické rovnice, ze kterých eliminací uzlového napětí U3 (p)
vyplývá přenosová funkce (5)
H(p) =
U2 (p)
1
=
U1 (p)
LC
1
p2
1
R
+ p+
L
LC
.
✵✵✵
Program 2
V prostředí Matlab vyřešte symbolicky soustavu operátorových obvodových rovnic (14) z příkladu 2 a
vyjádřete přenosovou funkci. Do symbolického vyjádření přenosové funkce dosaďte konkrétní hodnoty
součástek R = 1 kΩ, L = 11,25 mH, C = 22,5 nF. Přenosovou funkci rozložte na čitatele a
jmenovatele. Symbolické vyjádření polynomů převeďte na vektorové vyjádření. Čitatel a jmenovatel
upravte tak, aby koeficient u nejvyšší mocniny ve jmenovateli byl roven jedné.
Nové operátory a funkce použité v programu:
’’
solve
X.y
subs
numden
format
sym2poly
A(1)
označení řetězce
symbolické řešení rovnic
výběr pole y z datové struktury X
symbolická substituce
čitatel a jmenovatel symbolického výrazu
nastavení formátu zobrazení čísel
symbolické vyjádření polynomu převede na vektorové vyjádření
první prvek vektoru (koeficient u nejvyšší mocniny polynomu)
Program vyžaduje Symbolic Math Toolbox.
Vlastní program:
f1=’(U3-U1)/R+(U3-U2)/(p*L)=0’
f2=’p*C*U2+(U2-U3)/(p*L)=0’
rU=solve(f1,f2,’U2,U3’);
rU.U2
rU.U3
P=rU.U2/’U1’
nP=subs(P,{’R’,’C’,’L’},{1e3,22.5e-9,11.25e-3})
[num, den]=numden(nP)
format short e
A=sym2poly(den)
B=sym2poly(num)/A(1)
A=A/A(1)
5
Program 3
V prostředí Matlab vykreslete modulovou a fázovou charakteristiku a charakteristiku skupinového
zpoždění odpovídající přenosové funkci
H(p) =
3,950 617 · 109
p2 + 88 888,89 + 3,950 617 · 109
pro f ∈ h0, 3 · 104 i.
Nové operátory a funkce použité v programu:
[1 2 3]
freqs
pi
figure
abs
phase
diff
./
vytvoří vektor, který odpovídá polynomu p2 + 2p + 3
komplexní frekvenční odezva z analogové přenosové funkce
3,141 592 653 . . .
nové okno pro grafy
absolutní hodnota
fáze z komplexního vektoru (fáze je spojitá na okrajích ±π)
diference prvků vektoru (aproximace derivace)
dělení vektorů
Program vyžaduje Signal Processing Toolbox.
Vlastní program:
A=[1 88888 3.9506e9]
B=3.9506e9
f=linspace(0,3e4,200);
w=2*pi*f;
H=freqs(B,A,w);
figure(1)
plot(f,abs(H));
grid
xlabel f
ylabel ’|H|’
title ’Modulová charakteristika’
figure(2)
plot(f,phase(H));
grid
xlabel f
ylabel ’PH’
title ’Fázová charakteristika’
t=diff(-phase(H))./diff(w);
figure(3)
plot(f(1:199),t);
grid
xlabel f
ylabel ’t’
title ’Skupinové zpoždění’
Program 4
Je dána přenosová funkce
H(p) =
3,950 617 · 109
.
p2 + 88 888,89 p + 3,950 617 · 109
V prostředí Matlab vypočítejte a vykreslete impulsní charakteristiku pro t ∈ h0, 3 · 10−4 i.
6
Nové operátory a funkce použité v programu:
poly2sym
ilaplace
vpa
vektorové vyjádření polynomu převede na symbolické vyjádření
inverzní Laplaceova transformace
konverze racionálního čísla na desetinné číslo
Program vyžaduje Symbolic Math Toolbox.
Vlastní program:
A=[1 88888 3.9506e9]
B=3.9506e9
P=poly2sym(B)/poly2sym(A)
ih=ilaplace(P)
vpa(ih,5)
t=linspace(0,3e-4,200);
plot(t,subs(ih))
grid
7