Krystal. Symetrie krystalu

Krystal. Symetrie krystalu
• Krystalová struktura
• Krystalové roviny, Millerovy indexy (symboly)
• Prvky a operace symetrie
• Bodové a prostorové grupy
• Bravaisovy mřížky a krystalografické soustavy
Krystal - morfologie
Krystal. Základní buňka. Unit cell.
Krystalová mřížka. Crystal lattice.
Periodické uspořádání
ve 3 rozměrech. Mříž.
Uzlové body.
3-D (dimensions).
b
c
a
β
α
γ
b
a
Vektory: a, b, c
Mřížkové parametry: a, b, c, α, β, γ
Krystalová struktura
mříž + základní motiv (báze) = struktura
Krystalové roviny
Translace
t=ua+vb+wc
Uzlové body mřížky. Roviny v uzlových bodech.
Množina rovnoběžných rovin (h k l). Směr [u v w]
Mezirovinná vzdálenost – d(hkl).
b
(-2,1)
a
(-1,2)
Millerovy symboly (3D)
Každý systém rovin v krystale je definován Millerovými
indexy. Systém rovin definuje rovina nejbližší k počátku.
z
z=1
h=(1/x)
k=(1/y)
l=(1/z)
(1,1,1)
(1,0,1)
y
y=1
x
x=1
Normála ke krystalové rovině: n=(h,k,l)
Krystalografické soustavy
trojklonná
(triklinická)
a≠b≠c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
jednoklonná
(monoklinická)
a≠b≠c
α = γ = 90 ≠ β ≠ 90°
kosočtverečná
(orthorombická)
a≠b≠c
α = β = γ = 90°
Krystalografické soustavy
čtverečná
(tetragonální)
a=b≠c
α = β = γ = 90°
krychlová
(kubická)
a=b=c
α = β = γ = 90°
šesterečná
(hexagonální)
a=b≠c
α = β = 90° ≠ γ =120°
Krystalografické soustavy
trigonálnální
(klenec, romboedr)
a=b=c
α = β = γ < 90°
Bravaisovy mřížky
P
trojklonná - P
C
jednoklonná
Bravaisovy mřížky
I
P
čtverečná
Bravaisovy mřížky
šesterečná - P
trigonální – R (P)
trigonální– R (P)
Bravaisovy mřížky
P
I
C
orthorombická, kosočtverečná
F
Bravaisovy mřížky
P
I
krychlová
F
Reciproká mřížka
a* = b x c/V
b* = c x a/V
c* = a x b/V
V - objem základní buňky
Uzlový bod reciproké mřížky:
H = ha* + kb* + lc*
Tento vektor je kolmý na systém uzlových rovin (hkl).
H – vektor má délku 1/d (d-mezirovinná vzdálenost)
•Z počátku vyneseme vektor ve směru normály k rovině (hkl)
•Velikost vektoru je 1/dhkl
•Tímto způsobem vytvoříme reciprokou mřížku
Crystal symmetry
Besides lattice translations,
most crystals contain symmetry
elements such as rotation axes
2-fold
symmetry axis
asymmetric
unit
unit cell
Crystal symmetry obeys to one
of the space groups
Prvky a operace symetrie
zrcadlení
rovina
m
σ
rotace
osa
2,3,4,6
C2,C3,C4,C6
inverze
střed
1
i
rotační inverze
osa
3,4,6
S3,S4,S6
translace
přímka
-
-
kluzný pohyb
kluzná
rovina
a,b,c,n,d
-
šroubový pohyb
šroubová
osa
21, 31,32
41,42,43
61,62,63,64,65
Zařazení krystalů do soustav
Soustava
Minimum vnější souměrnosti
Triklinická
1 nebo 1
Monoklinická
2 nebo 2
Ortorombická
2 ⊥ 2 ⊥ 2 nebo 2 ⊥ 2
Trigonální
3 nebo 3
Tetragonální
4 nebo 4
Hexagonální
6 nebo 6
Kubická
4x3 (⎟ ⎢tělesové úhlopříčky)
Bodové grupy symetrie
Mezinárodní Hermann-Mauguinův symbol
Soustava
Schöfliesův
symbol
Triklinická
Monoklinická
Ortorombická
Mezinárodní symbol
úplný
zkrácený
C1
1
1
Ci
1
1
C2
2
2
Cs
m
m
C2h
2/m
2/m
D2
222
222
C2v
mm2
mm2
D2h
2/m 2/m 2/m
mmm
Bodové grupy symetrie
Soustava
Trigonální
Kubická
Schöfliesův
symbol
Mezinárodní symbol
úplný
zkrácený
C3
3
3
C3i
3
3
D3
32
32
C3v
3m
3m
D3d
3 2/m
3m
T
23
23
Th
2/m 3
m3
O
432
432
Td
43m
43m
Oh
4/m 3 2/m
m3m
Bodové grupy symetrie
Soustava
Tetragonální
Schöfliesův
symbol
Mezinárodní symbol
úplný
zkrácený
C4
4
4
S4
4
4
C4h
4/m
4/m
D4
422
422
C4v
4mm
4mm
D2d
42m
42m
D4h
4/m 2/m 2/m
4/mmm
Bodové grupy symetrie
Soustava
Hexagonální
Schöfliesův
symbol
Mezinárodní symbol
úplný
zkrácený
C6
6
6
C3h
6
6
C6h
6/m
6/m
D6
622
622
C6v
6mm
6mm
D3h
62m
62m
D6h
6/m 2/m 2/m
6/mmm
celkem 32 bodových grup (krystalografických oddělení)
Rozdělení krystalů do grup
Bodová
grupa
zastoupení
látky
2/m
22%
sádrovec, ortoklas, slídy, mastek,
naftalen, anthracen
m3m
19%
Cu, Ag, Au, Al, Pb, γ-Fe, Ge, Si,
diamant, α-Sn, NaCl, KCl, granáty
spinely, kamence
mmm
13%
aragonit, topas, α-S, kys.octová
4/mmm
7%
zirkon, β-Sn, rutil
3m
5%
korund, kalcit, Bi, As, Sb
6/mmm
4%
Be, Co, Mg, Zn, Cd, Ti, grafit
Prostorové grupy symetrie
Množiny všech operací symetrie krystalové soustavy
- bodové prvky symetrie + translace +
+ (šroubové osy + kluzné roviny)
každá bodová grupa → několik prostorových grup
(izogonálních)
Bodová
grupa
C2 , 2
Schöfliesův
symbol
Mezinárodní symbol
úplný
zkrácený
C21
P 121
P2
C22
C23
P 1211
C 121
P 21
C2
celkem 230 prostorových grup