Kombinatorika

Transkript

Kombinatorika

Kombinatorika
Irina Perfilieva
[email protected]
16. února 2007
logo
Předmět kombinatoriky Dvě základnı́ pravidla kombinatoriky Počet základnı́ch kombinatorických konfiguracı́ Princip inklu
Outline
1
Předmět kombinatoriky
Základnı́ kombinatorické konfigurace
2
Dvě základnı́ pravidla kombinatoriky
3
Počet základnı́ch kombinatorických konfiguracı́
4
Princip inkluze a exkluze
logo
Outline
1
2
3
4
logo
Co je kombinatorika
Větev matematiky, která se zabývá problémy sestavenı́
(konfigurovánı́) skupin prvků konečné množiny, se nazývá
kombinatorika.
Jistá sestava nebo konfigurace prvků konečné množiny se
nazývá kombinatorická konfigurace.
logo
Co je kombinatorika
Větev matematiky, která se zabývá problémy sestavenı́
(konfigurovánı́) skupin prvků konečné množiny, se nazývá
kombinatorika.
Jistá sestava nebo konfigurace prvků konečné množiny se
nazývá kombinatorická konfigurace.
logo
Historie kombinatoriky
Historie kombinatoriky:
Vznik kombinatoriky je spjat se jmény B. Pascale a
P. (de) Fermata a jejich výzkumem v oblasti teorie her.
K dalšı́mu rozvoji přispěl G. Leibniz, kterému vděčı́me za
slovo kombinatorika.
J. Bernoulli použil kombinatoriku v teorii pravděpodobnosti.
L. Euler je zakladatelem matematických metod výpočtu
různých kombinatorických konfiguracı́.
logo
logo
logo
logo
Permutace, Variace, Kombinace
Vycházı́me z konečné množiny N s n prvky, napřı́klad
N = {a, b, c}.
Permutace
Permutace N je jedno možné uspořádánı́ této množiny.
Napřı́klad
(a, b, c) (a, c, b) (b, a, c)
(b, c, a) (c, a, b) (c, b, a)
jsou všechny možné permutace N = {a, b, c}.
logo
N = {a, b, c}.
Variace
Variace r -té třı́dy z n prvků (r ≤ n) je uspořádaná sestava r
prvků z daných n prvků množiny N. Napřı́klad pro r = 2
(a, b) (a, c) (b, a)
(b, c) (c, a) (c, b)
logo
N = {a, b, c}.
Variace s opakovánı́m
Variace r -té třı́dy z n prvků s opakovánı́m je variace, kde se
prvky se mohou opakovat. Napřı́klad pro r = 2
(a, a) (a, b) (a, c)
(b, a) (b, b) (b, c)
(c, a) (c, b) (c, c)
logo
N = {a, b, c}.
Kombinace
Kombinace r -té třı́dy z n prvků (r ≤ n) je neuspořádaná sestava
r prvků z daných n prvků množiny N, napřı́klad
{a, b} {a, c} {b, c}
logo
Outline
1
2
3
4
logo
Pravidla násobenı́ a sumy
Pravidlo násobenı́
Máme-li n možnostı́ pro výběr A a pak dalšı́ch m možnostı́ pro
výběr B, potom výběr dvojice (A, B) se uskutečnı́ n · m
možnostmi.
Example
Počet K dvouciferných čı́sel dělitelných 2:
K = 9 · 5 = 45.
logo
Pravidla násobenı́ a sumy
Pravidlo sumy
Máme-li n možnostı́ pro výběr A a pak nezávisle m dalšı́ch
možnostı́ pro výběr B, potom výběr A nebo B se uskutečnı́
n + m možnostmi.
Example
Počet K čı́sel od 1 do 99 dělitelných 2:
A: jednociferné čı́slo dělitelné 2
B: dvouciferné čı́slo dělitelné 2
KA = 5
KB = 9 · 5 = 45
K = KAneboB = 5 + 45 = 50
logo
Outline
1
2
3
4
logo
Počet permutacı́, variacı́, kombinacı́
Počet permutacı́ množiny s n prvky
Pn = n · (n − 1) · . . . · 1 = n!
fakoriál
Důkaz je založen na použitı́ pravidla násobenı́.
Napřı́klad pro n = 3: P3 = 3 · 2 · 1 = 6.
logo
Počet variacı́ r -té třı́dy z n prvků
Vnr = V (n, r ) = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1) =
n!
(n − r )!
Napřı́klad pro n = 3, r = 2: V32 = 3 · 2 = 6.
logo
Počet variacı́ r -té třı́dy z n prvků s opakovánı́m
Ṽnr = n
· . . . · n} = nr
| · n {z
r
Napřı́klad pro n = 3, r = 2: Ṽ32 = 32 = 9.
logo
Počet kombinacı́ r -té třı́dy z n prvků
Cnr · r ! = Vnr
Vr
n!
n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1)
Cnr = n =
=
r!
r !(n − r )!
r!
Napřı́klad pro n = 3, r = 2: C32 =
3·2
1·2
= 3.
logo
Outline
1
2
3
4
logo
Předpoklad: Máme N předmětů a vlastnosti A1 , . . . , Ak .
Označme:
Ni – počet předmětů s vlastnostı́ Ai , i = 1, . . . , k;
Nij – počet předmětů s vlastnostmi Ai , Aj , i, j = 1, . . . , k;
atd.
Ni1 ,...il – počet předmětů s vlastnostmi Ai1 , . . . , Ail .
Potom počet N̂0 předmětů nemajı́cı́ch ani jednu z vlastnostı́
A1 , . . . , Ak se rovná
N̂0 = N − S1 + S2 − · · · + (−1)k Sk ,
kde
Sl =
X
1<i1 <···<il ≤k
Ni1 ,...il ,
l = 1, . . . , k
logo
Demonstrace principu inkluze a exkluze
Ve skupině je 25 studentů. Z nich 20 ukončilo semestr
úspěšně, 12 navštěvuje sportovnı́ klub, přičemž 10 z nich
ukončilo semestr úspěšně. Kolik neúspěšných studentů
nechodı́ do sportovnı́ho klubu?
Řešenı́:
N1 = 20, N2 = 12,
N12 = 10,
N̂0 = 25 − (20 + 12) + 10 = 3.
logo

Kombinatorika

Transkript

Podobné dokumenty

zápisky z 2. přednášky

Výroční zpráva DAR za rok 2007.

2 -SSR právě tehdy když 2

Výroční zpráva DAR za rok 2006.

11. kvetna 2010: Permutace

Stieltjesu˚v integra´l (Kurzweilova teorie) Milan Tvrdy´

Lineární obal, báze

Dynamický efekt v kapilarite - Mathematical Modelling Group

KYBERNETIKA A UMEL´A INTELIGENCE 2. Entropie a Informace