Lekce 7 Metoda molekulární dynamiky I Úvod

Lekce 7
Metoda molekulární dynamiky I
Úvod
Osnova
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
KFY/PMFCH
Princip metody
Ingredience
Počáteční podmínky
Časová evoluce
Vyhodnocení dat
Izotermická molekulární dynamika
Molekulárně – dynamická simulace
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky
Princip metody
Termodynamické (makroskopické) parametry počítáme jako časové střední
hodnoty dynamických (mikroskopických) parametrů podél klasické trajektorie.
1
B = b ≡ lim
τ→+∞ τ
to +τ
∫t b (r
Κ
(t ) , pΚ (t ) ) dt
o
kde
.
rK
∂Η .
∂Η
=
, pK = −
,
∂pK
∂rK
rK (t = 0 ) = r0K , pK (t = 0 ) = p0K
Podmínka τ → +∞ prakticky znamená, že τ je dostatečně velké (obvykle stačí ε ∼ 10 −9 − 10 −8 s ).
Mikrokanonický soubor!
KFY/PMFCH
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky
Ingredience
¾ interakční model
¾ nastavení počátečních podmínek
- počet částic
- polohy částic
- rychlosti (hybnosti) částic
¾ řešení pohybových rovnic
¾ výpočet integrálu (časových středních hodnot)
KFY/PMFCH
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky
Počáteční podmínky
Počet částic
je omezen dostupným výpočetním výkonem
- první MD simulace
- dnes
- 10 – 100,
- 103 – 107.
Problém: makroskopické počty částic jsou dány Avogadrovým číslem ( ∼ 1024 částic).
Řešení:
periodické okrajové podmínky.
Polohy částic
pravidelně/náhodně uvnitř „nádoby“.
Pozor ovšem na příliš blízké částice – problémy při numerickém řešení pohybových rovnic.
Velikost nádoby
určíme ze zadané hustoty systému (ρ)
d ≈
N
3
MK / ρ
∑
K
=1
Pro „zvládnutelné“ počty částic d ∼ 10 −9 − 10 −8 m .
KFY/PMFCH
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky
Počáteční podmínky
Periodické okrajové podmínky
„Nádoba“ (základní buňka) periodicky rozmístěna po celém prostoru.
Klad:
efektivně nekonečný počet částic, ale počítáme jen se 100, 1000, ... .
Zápor:
vynucená periodicita systému (nelze studovat prostorové efekty přesahující
rozměr základní buňky).
KFY/PMFCH
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky
Počáteční podmínky
Rychlosti částic
náhodné rozložení co do velikosti i směru (Maxwellovo rozdělení).
Vazebné podmínky
¾
nulová celková hybnost
¾
nulový celkový moment hybnosti
¾
zadaná celková energie E
∑ 21 MKvK 2 +W ( r1 , …, rN ) = E
K
KFY/PMFCH
⇒
∑ 21 MKvK 2 = E −W ( r1, …, rN )
K
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky
Časová evoluce
Nutno řešit soustavu pohybových rovnic:
¾ jak?
– numerické metody (následující lekce),
¾ jak dlouho?
– τ → +∞ , prakticky τ ∼ 10 −9 − 10 −8 s,
¾ jak přesně?
– klasická trajektorie nemusí být přesná (v praxi toho ani nelze
dosáhnout), stačí, aby procházela fázovým prostorem systému
ve shodě s mikrokanonickou statistikou.
Dvě fáze časové evoluce
¾ ekvilibrizace (dosazení termodynamické rovnováhy)
¾ simulace (sběr dat pro výpočet středních hodnot)
KFY/PMFCH
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky
Vyhodnocení dat
K určení časových středních hodnot používáme numerické metody výpočtu určitých
integrálů, zpravidla metodu obdélníkovou:
b
∫a f (t ) dt
≈
b −a
n
n
f (ti )
∑
i
=1
t1 = a + t , t2 = a + 2 t , …, tn = b 
⇓
1
τ
t0 +τ
∫t b (rK (t ) , pK (t ) ) dt
0
≈
1
n
n
b ( rK (ti ) , pK (ti ) )
∑
i
=1
Postup
a) Během simulační části numerické integrace pohybových rovnic uchováváme v pravidelných
časech polohy a hybnosti (rychlosti) jednotlivých částic, které na závěr použijeme při
výpočtu odpovídajících aritmetických průměrů. (Náročné na paměť, šetří čas!)
b) Předem zvolené aritmetické průměry (časové střední hodnoty) počítáme průběžně, polohy
a hybnosti částic neuchováváme. (Šetří paměť, neumožňuje ale výpočet dalších středních
hodnot, aniž celou numerickou integraci zopakujeme).
KFY/PMFCH
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky
Izotermická molekulární dynamika
Metoda molekulární dynamiky odpovídá svou podstatou Gibsovu mikrokanonickému
souboru. Existují ale i její kanonické verze.
Přechod ke kanonickému souboru = doplnění členů do Hamiltonovy funkce
(pohybových rovnic) reprezentujících interakce částic s termostatem:
N
¾ škálování rychlostí
Berendsenův termostat
vK → T /Tkin vK , kde Tkin =
∑
K
=1
1
2
(3N
MKv Κ 2
− 6 ) kB
,
rK = FK / MK − η (Tkin −T ) rK ,
¾ Nosého-Hooverův termostat.
KFY/PMFCH
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky
MD simulace - shrnutí
Postup
¾ volba interakčního modelu
¾ volba počtu částic
¾ volba velikosti základní buňky („nádoby“)
¾ nastavení počáteční podmínky
- polohy částic
- rychlosti částic
¾ numerická integrace pohybových rovnic
- ekvilibrizace (ustavení termodynamické rovnováhy)
- simulace (sběr dat)
¾
KFY/PMFCH
vyhodnocení dat (výpočet časových středních hodnot jako aritmetických
průměrů)
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky
Doporučená literatura
I. NEZBEDA, J. KOLAFA, M. KOTRLA
Úvod do počítačových simulací, kap. 3 a 7
Karolinum, Praha 2003
D. C. RAPAPORT
The Art of Molecular Dynamics Simulations, kap. 1 – 3
Cambridge University Press, Cambridge 2004
M. M. WOOLFSON, G. J. PERT
An Introduction to Computer Simulation, kap. 3.5
Oxford University Press, New York 1999
A. HINCHLIFFE
Molecular Modelling for Beginners, kap. 9
J. Wiley, Chchester 2006
KFY/PMFCH
Lekce 7 – Metoda molekulární dynamiky