První zákon termodynamiky - Odbor termomechaniky a techniky

FSI VUT v Brně, Energetický ústav
Odbor termomechaniky a techniky prostředí
prof. Ing. Milan Pavelek, CSc.
TERMOMECHANIKA
4. První zákon termodynamiky
OSNOVA 4. KAPITOLY
● 1. forma I. zákona termodynamiky
● Objemová práce
● Vnitřní energie
● Shrnutí 1. formy I. zákona
● Tepelné kapacity
● Mayerův vztah
● 2. forma I. zákona
termodynamiky
● Entalpie
Teplo lze měnit
v práci
● Technická práce
● Shrnutí 2. formy I. zákona
1
1. FORMA I. ZÁKONA
TERMODYNAMIKY
I. zákon termodynamiky - R. Mayer, 1842 (Neexistuje perpetuum mobile)
Teplo lze měnit v práci a naopak, a to se děje dle určitého vztahu.
Jde o zvláštní případ zákona zachování energie (Helmholz - 1847)
Součet energií v izolované soustavě je konstantní.
1. forma I. zákona termodynamiky - nerozepsaná
Forma vhodná převážně pro uzavřené soustavy (nádoby, pístové stroje)
δQ  dU  δA ,
δq  du  δa
Q a A nejsou totální diferenciály,
v dalším textu je ale přesto budeme
značit dQ a dA
dQ = m.dq, dU = m.du, dA = m.da
dQ > 0 teplo se do soustavy přivádí
dU > 0 vnitřní energie soustavy roste
dA > 0 soustava koná práci
Kontrolní
plocha
Soustava
OKOLÍ
Q
E, U
T, p, V…
A
2
OBJEMOVÁ PRÁCE
OBJEMOVÁ PRÁCE A [J]
MĚRNÁ OBJEMOVÁ PRÁCE a [J.kg-1]
Je dána působením síly F po dráze l
např. ve válci s pístem a platí
A12
dA
dA = F.dl = p.S.dl = p.dV
Definice práce A a měrné práce a mezi
původním stavem o objemu V1 a
konečným stavem o objemu V2 jsou
tudíž dány vztahy
2
A1 2   p  dV
1
A1 2  m  a1 2
p
2
V1
p
dV
V2
S
F
2
a1 2   p  dv
Expanze
ve válci
s pístem
1
p
l1
V
F’
dl
l2
1
Objemová práce není stavovou veličinou, jelikož závisí na cestě, po
které děj probíhá a také platí, že neexistuje práce A1 nebo A2.
Objemová práce je plocha pod křivkou v p-V diagramu.
3
VNITŘNÍ ENERGIE
VNITŘNÍ ENERGIE U [J]
MĚRNÁ VNITŘNÍ ENERGIE u [J.kg-1]
Pro dA = p.dV = 0 (platí u dějů za konstantního objemu) je vnitřní
energie dU rovna teplu za konstantního objemu dQv a lze psát
dQV = dU + dA = dU + pdV = dU
Definice vnitřní energie a měrné vnitřní energie pro ideální plyn jsou
proto dány vztahy:
dU  m  cv  dT
du  cv  dT
kde cv je měrná tepelná kapacita za konstantního objemu.
Vnitřní energie je stavová veličina, a proto dU je totální diferenciál a lze
napsat následující integrály:
 dU  U 2 - U 1  mcv T 2 T1 
 du  u 2 - u 1  cv T 2 T1 
 dU  0
 du  0
2
1
2
1
4
SHRNUTÍ 1. FORMY
I. ZÁKONA
1. forma I. zákona termodynamiky - NEROZEPSANÁ
uvedená již dříve, vhodná převážně
Při dp=0 může být jen
p
pro uzavřené soustavy - pístové stroje
Qp
práce A12
p
dQ  dU  dA
dq  du  da
1
2
1. forma I. zákona termodynamiky
ROZEPSANÁ PRO IDEÁLNÍ PLYN
získaná po dosazení definičních vzorců
vnitřní energie a objemové práce
dQ  m  cv  dT  p  dV
A12
V1
T1
V2
V
dq  cv  dT  p  dv
1. forma I. zákona termodynamiky - ROZEPSANÁ PRO PÁRU
cv = f (T, p)  nerozepisujeme vnitřní energii a platí
dQ  dU  p  dV
dq  du  p  dv
5
TEPELNÉ KAPACITY
Měrná tepelná kapacita c [J.kg-1.K-1] je teplo k ohřátí 1 kg látky o 1 K
U plynů rozlišujeme
● Měrnou tepelnou kapacitu
p
2V
za konstantního tlaku cp
Qv
● Měrnou tepelnou kapacitu
za konstantního objemu cv
2p
T2
Děj 1-2V plyn zvýší vnitřní energii
1
Děj 1-2p plyn zvýší vnitřní energii
Qp
T1
a vykoná práci
V
m  c p  dT  dQp  dQv  m  cv  dT
c p  cv
Molová tepelná kapacita Cm [J.kmol-1.K-1]
C m  M c
C m p  M c p
C m v  M  cv
Tepelná kapacita C [J.K-1]
C  m  c  n C m , C p  m  c p  n C m p , Cv  m  cv  n C m v
6
MAYERŮV VZTAH
Odvození Mayerova vztahu
1. forma I. zákona termodynamiky
Stavová rovnice ideálního plynu
Po dosazení p.dv do 1. formy …
Pro izobarický děj dp = 0
Mayerův vztah
c p  cv  r
Poissonova konstanta
1-atomové plyny  = 1,67
2-atomové plyny  = 1,41
3-atomové plyny  = 1,30
dq  cv  dT  p  dv
p v  r T  p dv v dp  r dT
dq  cv  dT  r  dT v  dp
c p  dT  cv  dT  r  dT
cp
κ
cv
7
2. FORMA I. ZÁKONA
TERMODYNAMIKY
Odvození rozepsané 2. formy I. zákona termodynamiky
Mayerův vztah
dq  cv dT  p dv
p v  r T  p dv v dp  r dT
c p  cv  r
Po dosazení p.dv do 1. formy …
dq  cv  dT  r  dT v  dp
1. forma I. zákona termodynamiky
Stavová rovnice ideálního plynu
Po dosazení Mayerova vztahu do poslední rovnice dostaneme
rozepsanou 2. formu I. zákona termodynamiky
dQ  m  c p  dT V  dp
Zavedeme
veličiny:
Entalpie
Technická
práce
dq  c p  dT v  dp
Měrná
entalpie
Měrná technická
práce
8
ENTALPIE
Entalpie H [J], měrná entalpie h [J.kg-1] - teplo za konstantního tlaku
dH  m  dh
Definice entalpie
dH  m  c p  dT
H je stavová veličina
dH je totální diferenciál
 dH  H 2 - H 1  mc p T2 T1 
 dH  0
 dh  0
Vztah mezi entalpií a vnitřní energií
1. forma I. zákona pro p = konst
Entalpie je teplo při p = konst
Po integraci při p = konst
Po seskupení veličin stavu 1 a 2
Stavová rovnice h = f(u, p, v)
dh  c p  dT
2
1
 dh  h2 - h1  c p T2 T1 
2
1
dq p  du  da p
dh  du  da p
h2  h1  u 2  u 1  p v 2 v 1 
h2  h1  u 2  p v 2   u 1  p v 1 
H  U  p V
h  u  p v
9
TECHNICKÁ PRÁCE
TECHNICKÁ PRÁCE At [J]
MĚRNÁ TECHNICKÁ PRÁCE at [J.kg-1]
Je to práce na hřídelích rotačních strojů.
p
p1
1
Technická práce je plocha pod křivkou
v p-V diagramu směrem k ose p.
Plocha je uvažována záporně (vzhledem
k růstu tlaku), aby při expanzi či poklesu dp
tlaku soustavy byla kladná.
Definice technické práce At a měrné
p2
technické práce at mezi původním
stavem o tlaku p1 a konečným stavem
o tlaku p2 jsou tudíž dány vztahy
2
At 1 2   V  dp
1
2
at 1 2   v  dp
At 1 2  m  at 1 2
1
Expanze
1 kg
at12 plynu
dat
v
2
v
Technická práce není stavovou
veličinou, neboť závisí na cestě,
po které děj probíhá a platí, že
neexistuje At1 nebo At2.
10
SHRNUTÍ 2. FORMY
I. ZÁKONA
2. forma I. zákona termodynamiky
NEROZEPSANÁ, použitelná též pro otevřené
soustavy - proudění, proudové stroje
dQ  dH  dA t
dq  dh  dat
Byla získána dosazením dH= m.cp.dT
a dAt = -V.dp do dříve uvedené
2. formy I. zákona termodynamiky
ROZEPSANÉ PRO IDEÁLNÍ PLYNY
dQ  m c p dT Vdp dq  c p dT v dp
2. forma I. zákona termodynamiky
ROZEPSANÁ PRO PÁRU
cp = f (T, p)  nerozepisujeme entalpii
dQ  dH Vdp dq  dh vdp
T1
p
1
p1
at12
Při dv=0
může být
jen práce
at12
qv
p2
2
Kontrolní
plocha
T2
v
qv < 0
H1
H2
at > 0
11