Matematika

1. Osnova
1. Osnova........................................................................................................................................2
2. Úvod ............................................................................................................................................3
3. Obecný cíl vzdělávání...............................................................................................................3
4. Rozvíjené kompetence .............................................................................................................3
5. Hlavní myšlenka ........................................................................................................................4
6. Časová dotace ...........................................................................................................................4
7. Klíčové zásady realizace..........................................................................................................4
8. Požadavky na realizaci.............................................................................................................4
9. Cílová skupina ...........................................................................................................................5
10.
Postup práce: .........................................................................................................................5
11.
Zadání žákům: .......................................................................................................................5
12.
Harmonogram činnosti .........................................................................................................6
13.
Závěr .......................................................................................................................................6
14.
Přílohy .....................................................................................................................................6
Příloha č. 1 - Matematické hry k tématům ŠVP........................................................................7
Příloha č. 2 – Matematická hra CESTA VESMÍREM ...............................................................9
2
2. Úvod
Metodika má pomoci učitelům středních škol při výuce matematiky aplikovat
nové vyučovací metody a žákům zvýšit znalosti a dovednosti.
3. Obecný cíl vzdělávání
Matematika plní nejen funkci všeobecně vzdělávací, ale má především funkci
průpravnou pro odbornou složku vzdělávání. Vyučování probíhá ve vazbě na
ostatní přírodovědně vzdělávací předměty a na předměty odborné.
Matematika vede k formování všestranně rozvinutého člověka, k rozvoji
rozumové a mravní výchovy, důslednosti, přesnosti a vytrvalosti. Cílem
předmětu je výchova žáků k tomu, aby dovedli využívat matematické postupy
a metody při řešení praktických úloh, aby uměli problém pojmenovat,
analyzovat a navrhnout efektivní způsob řešení. Vede žáky k tomu, aby
dovedli pracovat s geometrickými informacemi, uměli matematizovat reálné
situace a diskutovat o vstupních parametrech. Žáci jsou směřováni k tomu,
aby uměli číst s porozuměním matematický text a přesně se vyjadřovali, byli
schopni získávat informace z tabulek, grafů a diagramů a využívali tyto
nástroje pro prezentování svých závěrů. Mezi obecné cíle patří také
schopnost používat při práci pomůcky – kalkulátor, výpočetní techniku,
rýsovací potřeby a odbornou literaturu a využití získaných znalostí a
dovedností i mimo matematiku.
4. Rozvíjené kompetence
Mezi klíčové kompetence, které matematické vzdělávání rozvíjí, patří
především přesné a správné vyjadřování, logické myšlení a odvozování;
práce s informacemi, porozumění odbornému textu, tabulkám a grafům,
odborná komunikace; aplikace základních matematických postupů při řešení
praktických úloh a kompetence k pracovnímu uplatnění. Žáci jsou motivováni
k práci, důslednosti, pečlivosti, spolupráci s ostatními lidmi a samostatnému
učení. Neméně významný je rozvoj adaptability a podpora získávání
předpokladů pro celoživotní vzdělávání.
3
5. Hlavní myšlenka
Cílem je výchova žáků k tomu, aby dovedli využívat matematické postupy a
metody při řešení praktických úloh. Žáci jsou směřováni k tomu, aby uměli
číst s porozuměním matematický text a přesně se vyjadřovali, byli schopni
získávat informace z tabulek, grafů a diagramů a využívali tyto nástroje pro
prezentování svých závěrů. Nejdůležitějším cílem je pomoci jeden
druhému.
6. Časová dotace
Frekvence (tj. počet hodin v týdnu): 3 hodiny
Doba trvání vzdělávacího modulu: 28 hodin
7. Klíčové zásady realizace
• Složení jednotlivých skupin žáků (maximálně čtyři až šest žáků ve
skupině, matematicky zdatné žáky dát dohromady s matematicky
slabšími žáky) – (žáci se rozdělí samostatně do skupin, nebo budou
rozděleny pomocí rozřazovacího testu)
• Důraz na samostatné rozhodování žáků (učitel jen radí a kontroluje
zadanou práci)
• Dán důraz na konkrétnost zadané práce
8.
Požadavky na realizaci
• Uspořádaná učebna teorie pro možnost práce ve skupinách (vhodná i
učebna s počítačem, plátnem a dataprojektorem)
• Desky pro žáky k uspořádání získaných informací
• Příprava učitele – zadání základních informací žákům nutné k realizaci
úkolu, představení základních informací
4
9. Cílová skupina
Žáci prvních ročníků středních škol. Dle obtížnosti či rámce výuky také žáci
ostatních ročníků středních škol nebo žáci základní školy.
10. Postup práce:
• Vytvoření pracovních skupin, seznámení s tématem hry
• Výběr jednotlivých her jednotlivými skupinami žáků
• Rozdělení úkolů ve skupinách
• Práce na jednotlivých úkolech
• Zhodnocení práce a postup na další úlohy (do dalšího kola)
11. Zadání žákům:
• žáci budou rozděleny do 4 – 6 členných skupin (každá skupina si zvolí
svůj matematický obrazec, pod kterým budou vystupovat)
• matematická hra probíhá plněním jednotlivých úkolů v rámci probíraného
vzdělávacího tématu – jednotlivé hry mohou být plněny buď samostatně
ve skupině nebo vždy 2 skupiny soutěží proti sobě – vyučující objasní
zadaný úkol a stanoví určitý čas.
• každá skupina obdrží svou kosmickou loď, kterou umístí na herní plán
„matematická cesta vesmírem“, po každém správně splněném úkolu
obdrží malý obrazec. Po splnění všech dílčích úkolů obdrží velký
obrazec, který si umístí na danou planetu, kde úkoly vykonávala.
Skupina, která nesplní správně všechny dílčí úkoly, nemůže na dané
planetě zanechat svou stopu.
• celkem žáci musí projít 8 kol. Každé kolo je složeno z několika
postupových úloh
• skupina, která získá nejvíce obrazců vyhrává. Při shodnosti vyhrává ta
skupina, která měla nejrychlejší časy nebo ta, která má více pomocných
malých obrazců
• k plnění úkolů bude připraven pracovní sešit
• každému z 8 kol bude předcházet teoretický výklad vzdělávacího tématu
5
12. Harmonogram činnosti
Č.
Název aktivity
Počet hodin
Místnost
1. blok
Seznámení
projektem
1 x 45 min.
Učebna
teorie
Matematika
2. blok
Rozřazovací
test
1 x 45 min.
Učebna
teorie
Matematika
3. blok
Rozdělení žáků
1 x 45 min.
do skupin
Učebna
teorie
Matematika
4. blok
Matematické
hry k tématům 24 x 45 min.
ŠVP
Učebna
teorie
Matematika
5. blok
Závěrečné
hodnocení
Učebna
teorie
Matematika
s
1 x 45 min.
Předmět
Pomůcky
notebook,
dataprojektor, pracovní
sešity
Notebook,
dataprojektor,
Matematický test
Pracovní sešity
Notebook,
dataprojektor, pracovní
sešity,kartičky, křížovky,
psací potřeby
Notebook,
dataprojektor, pracovní
sešity
13. Závěr
Cílem je posilování individuální iniciativy a tvořivosti ve vzdělávacích
systémech a rozvíjet matematické a logické myšlení. Dále je podporována a
rozvíjena práce ve skupinách. Žáci se učí pomáhat jeden druhému a
vystupovat před kolektivem. Důležité je sledovat práci jednotlivých členů v
týmu, koordinovat jejich práci a podporovat je. Výstupem je zprostředkování
dovedností potřebných k pochopení dalšího učiva.
14. Přílohy
Matematické hry k tématům ŠVP
Matematická hra CESTA VESMÍREM
6
Příloha č. 1 - Matematické hry k tématům ŠVP
OSNOVA MODELOVÉHO VYUČOVÁNÍ:
1)
2)
3)
4)
seznámení žáků s projektem a s jeho cílem
vyplnění rozřazovacího testu (shrnutí učiva základní školy – logické myšlení)
rozdělení žáků do skupin (soutěžních týmů)
matematické hry k tématům školního vzdělávacího plánu 1. ročníku: absolutní
hodnota, procenta, mocniny a odmocniny, algebraické výrazy, lineární rovnice,
nerovnice a funkce, soustavy lineárních rovnic a nerovnic, lineární rovnice,
nerovnice a funkce s absolutní hodnotou, konstrukční úlohy
hra: poskládej
hra: čísla
hra: matematika
hra: pexeso
hra: křížovka
5) závěrečné hodnocení – vyhodnocení soutěžních týmů podle pořadí a získaných
bodů
PODROBNÝ ROZBOR JEDNOTLIVÝCH BODŮ OSNOVY:
1. Seznámení žáků s projektem a s jeho cílem:
• objasní žákům pravidla celého modulového vyučování
• modulové vyučování bude probíhat 28 vyučovacích hodin
• celé vyučování je zaměřeno teoreticky (formou různých her si žáci
zdokonalují vědomosti a dovednosti probrané látky) – pojmy se společně
s vyučujícím snaží žáci objasnit
• během celého modulového vyučování sbírají soutěžní týmy body – v závěru
modulového vyučování proběhne vyhodnocení nejlepších týmů
2. Vyplnění rozřazovacího testu:
• po úvodním seznámení s projektem, vyplní žáci krátký rozřazovací test, který
bude podkladem pro rozdělení do pracovních týmů
3. Rozdělení žáků do skupin (soutěžních týmů):
• během celého „modulového vyučování“ budou žáci pracovat ve skupinách
(v týmech)
• vyučování bude probíhat formou soutěže a nejlepší tým bude v závěru
vyhodnocen a odměněn (vhodná motivace žáků k práci)
• jednotlivé skupiny jsou vybírány podle určitých kritérií, to znamená, že
v každém týmu by měl být žák, který ovládá dobře matematiku, žák schopný
vyhledávat informace na internetu či v matematických tabulkách, žák logicky
uvažující ...
• je možné vytvořit i týmy chlapecké a dívčí a porovnat tak vzájemné
7
schopnosti a dovednosti
• výběr žáků ve skupině závisí na celkovém počtu žáků, zapojených do
projektu a také na počtu skupin, dále pak schopnostech a dovednostech
žáků (vše posoudí vyučující před vlastním zahájením projektu)
4. Matematické hry:
•
•
•
•
•
Poskládej - Hra s 24 dělenými kartami (možno být více či méně – záleží na
každém vyučujícím). Dělené karty jsou promíchané a účelem je tyto karty
správně složit. Na jedné kartě je zadaný příklad a na druhé kartě je výsledek.
Hra je časově omezena. Vyhrává ta skupina, která správně poskládá dělené
karty a má nejrychlejší čas. Podle daných vzdělávacích témat lze hru i různě
kombinovat či pozměnit.
Čísla - Žáci dostávají různé matematické úlohy, jejich výsledkem je skládání
čísel či vzorců z jednotlivých číslic či písmen a zakreslování výsledků na
číselnou osu či do grafu.
Matematika - Žák dostane řešit jednotlivé příklady složené z kartiček, které
musí dopočítat, dokreslit, dorýsovat.
Pexeso - Hra se 22 matematickými kartičkami, které tvoří 11 dvojic (kartiček
může být i jiný počet dle potřeby). Na jedné kartičce je zadán příklad, na
druhé je výsledek. Princip spočívá v hledání dvojic kartiček, které k sobě
patří. Karty jsou během hry otočené příklady i výsledky dolů, proto je
potřeba, aby si každý hráč jednotlivé karty zapamatoval. Žáci se dohodnou
na pořadí, ve kterém budou vstupovat do hry. Toto pořadí se stále opakuje a
zůstává nezměněné po celou dobu hry. Všechny kartičky se rozloží na hrací
plochu příklady dolů tak, aby je nikdo neviděl. Žák, který je na řadě, otočí dvě
libovolné kartičky tak, aby je všichni spoluhráči viděli. V případě, kdy hráč
otočí dvě kartičky, které k sobě pasují, dvojici kartiček si vezme a pokračuje
ve hře. V případě, kdy otočí kartičky, které k sobě nepatří, kartičky si
nevezme, otočí je zpět a pokračuje ve hře další spoluhráč. Hra končí tehdy,
když si hráči rozeberou všechny kartičky. Hru vyhrává ten, kdo získá nejvyšší
počet správných dvojic. Dle obtížnosti příkladů probíraného matematického
tématu lze hru pozměnit – všechny kartičky mohou být otočeny příklady i
výsledky nahoru – kartičky jsou k sobě správně přikládány.
Křížovka – seznámení s matematickými pojmy
5. Závěrečné hodnocení – vyhodnocení soutěžních týmů:
• během celého modulového vyučování získávají soutěžní týmy body
• po jejich sečtení je vyhlášen nejlepší tým
8
Příloha č. 2 – Matematická hra CESTA VESMÍREM
ROZŘAZOVACÍ TEST DO JEDNOTLIVÝCH TÝMŮ
Planeta Země
ÚLOHA Č. 1.:
Mei-Ling ze Singapuru se připravovala na tříměsíční studijní pobyt do Jižní Afriky.
Potřebovala si vyměnit singapurské dolary (SGD) za jihoafrické randy (ZAR).
OTÁZKA 1.1.:
Mei-Ling zjistila, že kurz singapurského dolaru k jihoafrickému randu je:
1 SGD = 4,2 ZAR
Mei-Ling si v tomto kurzu směnila 3000 singapurských dolarů na jihoafrické randy. Kolik
jihoafrických randů Mei-Ling dostala?
ODPOVĚĎ: 12 600 ZAR
OTÁZKA 1.2.:
Když se po třech měsících Mei-Ling vracela do Singapuru, zbývalo jí 3 900 ZAR. Když si
je měnila zpět na SGD, všimla si, že se kurz změnil na :
1 SGD = 4,0 ZAR
Kolik singapurských dolarů Mei-Ling dostala?
ODPOVĚĎ: 975 SGD
ÚLOHA Č. 2:
Na zhotovení jedné knihovničky truhlář potřebuje:
4 dlouhá prkna,
6 krátkých prken,
12 malých úchytek,
2 velké úchytky a
14 šroubů.
Truhlář má ve skladu 26 dlouhých prken, 33 krátkých prken, 200 malých úchytek. 20
velkých úchytek a 510 šroubů.
Kolik knihovniček z nich může udělat?
ODPOVĚĎ: 5
9
ÚLOHA Č. 3:
V pizzerii si můžeš dát základní pizzu se dvěma přísadami: sýrem a rajčaty. Také si můžeš
vytvořit svou vlastní pizzu s dalšími přísadami. Můžeš si vybrat z dalších čtyř druhů přísad:
olivy, šunka, žampiony a salám.
Rudla si chce objednat pizzu se dvěma dalšími přísadami.
Z kolika různých kombinací má Rudla na výběr?
ODPOVĚĎ: 6
ÚLOHA Č. 4:
Emil rád jezdí na skateboardu. Zašel do obchodu „Ráj skaterů“, aby zjistil ceny.
V tomto obchodě je k dostání kompletní skateboard. Nebo se tam dá koupit prkno, sada 4
koleček, sada 2 závěsů a sada spojovacích prvků a pak si můžeš sestavit svůj vlastní
skateboard.
Ceny zboží v obchodě jsou:
Zboží
Ceny za zboží
Kompletní skateboard
82 nebo 84
Prkno
40, 60 nebo 65
Sada 4 koleček
14 nebo 36
Sada 2 závěsů
16
Sada spojovacích prvků (ložiska, gumové
podložky, šrouby a matky)
10 nebo 20
Emil si chce svůj skateboard sestavit sám. Jaká je v tomto obchodě nejnižší cena a
nejvyšší cena za skateboard v dílech?
ODPOVĚĎ:
nejnižší cena: 80
nejvyšší cena: 137
10
ÚLOHA Č. 5:
Rudla si skládá schodiště ze čtverců. První tři kroky vypadají takto:
1. krok
2. krok
3. krok
Jak je vidět, potřebuje na 1. krok jeden čtverec, na 2. krok tři čtverce a na 3. krok šest
čtverců.
Kolik čtverců bude Rudla potřebovat na 4. krok?
ODPOVĚĎ: 10
ÚLOHA Č. 6:
Na obrázku je šest kostek označených (a) až (f). Pro všechny tyto kostky platí určité
pravidlo (určitě znáš jaké).
(a) (b) (c)
6
2
3
5
1
(d)
2
(e)
(f)
Zapiš do každého políčka počet teček na spodní stěně odpovídající kostky na obrázku.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
ODPOVĚĎ:
(a) (b) (c)
1
5
4
2
6
(d)
5
(e)
(f)
11
ÚLOHA Č. 7:
Učitel fyziky dává písemky, za každou lze dostat 100 bodů. Marta má z prvních čtyř
písemek z fyziky průměr 60 bodů. Za pátou písemku dostala 80 bodů.
Jaký bude mít Marta průměr bodů ze všech pěti písemek z fyziky?
ODPOVĚĎ:
64
6
5,5
5
ÚLOHA Č. 8:
4,5
počet
4
Maminka dovolila Rudlovi, aby
si ze sáčku vzal jeden bonbon.
Rudla do sáčku nevidí. Počet
bonbonů jednotlivých barev v
sáčku udává graf:
3,5
3
2,5
počet
2
1,5
1
0,5
0
Červená
Barva
bonbonů
počet
Červená
6
Oranžová
5
Žlutá
3
Zelená
3
Modrá
2
Růžová
4
Fialová
2
Hnědá
5
Oranžov
á
Žlutá
Zelená
Modrá
Růžová
Fialová
Hnědá
barva bonbonů
Jaká je pravděpodobnost, že si Rudla vezme červený bonbon?
A 10%
B 20%
C 25%
D 50%
ODPOVĚĎ:
B
20%
12
ÚLOHA Č. 9:
Časopis pro motoristy užívá bodový systém pro hodnocení nových aut a vozu s nejvyšším
hodnocením pak udělí cenu „Auto roku“. Hodnocení pěti nových aut je uvedeno v tabulce:
Auto
Bezpečnost (B)
Úspornost (U)
Exteriér (E)
Interiér (I)
Ca
3
1
2
3
M2
2
2
2
2
Sp
3
1
3
2
N1
1
3
3
3
KK
3
2
3
2
Bodové hodnocení lze slovně vyjádřit takto:
3 body = vynikající
2 body = dobré
1 bod = uspokojivé
Časopis používá pro výpočet celkového hodnocení auta následující vzorec, který je
váženým součtem dílčích bodových hodnocení:
Celkové hodnocení = (3 x B) + U + E + I
Vypočti celkové hodnocení aut a urči jejich pořadí od nejlepšího a zapiš do tabulky:
Auto
Hodnocen Pořadí
í
13
ODPOVĚĎ:
Auto
Hodnocen Pořadí
í
Ca
15
2-3
M2
12
4-5
Sp
15
2-3
N1
12
4 -5
KK
16
1
ÚLOHA Č. 10:
Mark (ze Sydney v Austrálii) a Hans (z Berlína v Německu) spolu často komunikují pomocí
„chatu“ na internetu. Aby mohli chatovat musejí být připojeni k internetu v tutéž dobu.
K určení vhodného času k chatování si Mark vyhledal přehled časových pásem a zjistil
následující:
Berlín 1:00 ráno
Sydney 10:00 dopoledne
Kolik hodin je v Berlíně, když v Sydney je 19:00?
ODPOVĚĎ: 10 hodin dopoledne
ÚLOHA Č. 11:
Na obrázku jsou stopy kráčejícího muže. Délka kroku P je vzdálenost mezi konci dvou po
sobě následujících stop.
Vzorec:
n = 140
p
udává přibližně vztah mezi n a P pro muže, kde:
n: je počet kroků za minutu
P: je délka kroku v metrech
OTÁZKA 11.1.:
Použijeme vzorec na Honzovu chůzi, který udělá 70 kroků za minutu. Jak dlouhý krok má
Honza? Zapiš postup výpočtu.
14
ODPOVĚĎ: 0,5 m (50 cm)
70/p = 140
70 = 140p
p = 0,5
OTÁZKA 11.2.:
David ví, že délka jeho kroku je 0,80 metru. Použij vzorec na Davidovu chůzi.
Vypočítej rachlost Davidovo chůze v metrech za minutu a v kilometrech za hodinu. Zapiš
postup výpočtu.
ODPOVĚĎ: n = 140 x 0,80 = 112
za minutu ujde 112 x 0,80 = 89,6 metru ( jeho rychlost je 89,6 metru za
minutu a
5,38 km za hodinu)
15
ÚLOHA Č. 12:
OTÁZKA 12.1.:
Vpravo jsou tři hrací kostky postavené na sobě. Kolik teček je celkem na pěti vodorovných
stěnách, které nejsou vidět (spodek 1.kostky, spodek a vršek 2. a 3. kostky)?
ODPOVĚĎ:
17
16
OTÁZKA 12.2.:
Hrací kostku lze snadno vystřihnout, složit a slepit z tvrdého papíru, a to několika způsoby.
Na obrázku dole jsou čtyři tvary, z nichž lze složit krychle s tečkami na stěnách.
Ze kterých z následujících útvarů lze složit krychli vyhovující požadavku, aby součet
protilehlých stěn byl celkem 7? U každého útvaru zakroužkuj v tabulce buď „ANO“ nebo
„NE“
Útvar
Vyhovuje požadavku
I.
Ano / Ne
II.
Ano / Ne
III.
Ano / Ne
IV.
Ano / Ne
ODPOVĚĎ:
Útvar
Vyhovuje požadavku
I.
Ne
II.
Ano
III.
Ano
IV.
Ne
ÚLOHA Č. 13:
Na obrázku je znázorněno schodiště se 14 schody, celkovou délkou 400 cm a celkovou
výškou 252 cm.
Jak vysoký je každý ze 14 schodů?
ODPOVĚĎ:
18
17
ABSOLUTNÍ HODNOTA
planeta Merkur
Absolutní hodnota je předehra k „metodě dělení definičního oboru“, tedy ke všem
postupům (nerovnosti v podílovém tvaru, rovnice, nerovnice, funkce s absolutní hodnotou),
kde při řešení příkladu musíme vytvořit několik různých větví.
Absolutní hodnota se rovná vzdálenosti obrazu čísla na číselné ose od počátku (proto je
vždy kladná a shodná pro obě dvě čísla)
Absolutní hodnota mění své chování podle toho, jaké je znaménko čísla, které obsahuje.
Definice:
Absolutní hodnotu |a| reálného čísla a definujeme takto:
Je-li a ≥ 0 , pak |a| = a (s nezápornými nic nedělá)
Je-li a < 0 , pak |a| = - a (záporným změní znaménko na plus)
Geometrická interpretace absolutní hodnoty:
|2| = |- 2| = 2
Co mají 2 a - 2 stejné ? → vzdálenost od nuly
|- 2| = 2
-3
-2
-1
|2| = 2
0
1
2
3
18
Matematické hry:
• Poskládej - Hra s 24 dělenými kartami. Dělené karty jsou promíchané a účelem je tyto
karty správně složit. Na jedné kartě je zadaný příklad a na druhé kartě je výsledek. Hra
je časově omezena. Vyhrává ta skupina, která správně poskládá dělené karty a má
nejrychlejší čas.
−
-5-|2|=
17,2 - | - 32,6 | + | - 15,4 + 7,8 | =
0
1
| 8 – 10 | - | 3 – 9 | =
12,4 + | - 2,3 . ( - 13,5 ) | =
12
-1
| - 3 - | 5 – 8 || =
| 26,5 – 63,2 . 0,6 + ( - 7 ) . 3,1 + 22,3 |
=
2
1
| - 3 - ( - 1) | =
| - 2 + | - 3 || =
6
43,45
15 - | 4 – 7 | =
| - 5 + ( - 2 ) | 2 – 3 || - 8 =
-4
- 7,8
|-|2–3|+1|=
| 2 - | 3 | + 4 | - 2 || - | 3 . ( - 2 ) | =
-7
10,82
dělené karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě
výsledky.
SPRÁVNÉ VÝSLEDKY:
-5-|2|=
-7
17,2 - | - 32,6 | + | - 15,4 + 7,8 | =
- 7,8
| 8 – 10 | - | 3 – 9 | =
-4
12,4 + | - 2,3 . ( - 13,5 ) | =
43,45
| - 3 - | 5 – 8 || =
6
| 26,5 – 63,2 . 0,6 + ( - 7 ) . 3,1 + 22,3 |
=
10,82
| - 3 - ( - 1) | =
2
| - 2 + | - 3 || =
1
15 - | 4 – 7 | =
12
| - 5 + ( - 2 ) | 2 – 3 || - 8 =
-1
|-|2–3|+1|=
0
| 2 - | 3 | + 4 | - 2 || - | 3 . ( - 2 ) | =
1
19
• Čísla - Žáci dostávají různé matematické úlohy, jejich výsledkem je skládání čísel či
vzorců z jednotlivých číslic či písmen a zakreslování výsledků na číselnou osu či do
grafu.
0
5
10
+
1
6
<
-
2
7
>
x
3
8
≤
|
4
9
≥
|
=
Jednotlivé příklady budou žákům zadávány. Úkolem je správně složit příklad pomocí
kartiček a výsledek zakreslit na číselnou osu.
Na číselné ose znázorni všechna reálná čísla, pro něž platí:
|x|<5
1<|x|≤3
|x|≥3
|x–3|≤1
|x|>0
|x+5|≤3
|x|≤1
|x–1|<3
|x|=4
|x+1|<2
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
3. ( - 5 , 5 )
6. < - 3 , - 1) U ( 1 , 3 >
4. ( - ∞ , - 3 ) U ( 3, ∞ )
7. < 2 , 4 >
5. ( - ∞ , ∞ )
8. < - 8 , - 2 >
6. < - 1 , 1 >
9. ( - 2, 4 )
7. {- 4 , 4}
10. ( - 3 , 1)
20
• Matematika - Žák dostane řešit jednotlivé příklady složené z kartiček, které musí
dopočítat, dokreslit, dorýsovat.
-7
-1
-2
3
x
+ 3
1
+ 3
3
+
-4
-3
1
1
+ 3
4
+ 3
1
|
4
-4
0
0
|
4
+ 3
0
+ 3
=
Změna
znaménka
Stejné
znaménko
Změna
znaménka
Stejné
znaménko
Stejné
znaménko
Stejné znaménko
Do výrazu | x + 3 | dosaď za „x“ postupně čísla { - 7, - 4 , - 3 , - 2 , 0, 1 }. Na základě
výsledků stanov pravidlo, pro která čísla dosazená za
„x“ mění absolutní hodnota
znaménko výrazu uvnitř.
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
| x + 3 | = | - 7 + 3 | = | - 4 | = 4 → změna znaménka
| x + 3 | = | - 4 + 3 | = | - 1 | = 1 → změna znaménka
| x + 3 | = | - 3 + 3 | = | 0 | = 0 → znaménka zůstavají stejná
| x + 3 | = | - 2 + 3 | = | 1 | = 1 → znaménka zůstavají stejná
| x + 3 | = | 0 + 3 | = | 3 | = 3 → znaménka zůstavají stejná
| x + 3 | = | 1 + 3 | = | 4 | = 4 → znaménka zůstávají stejná
Pexeso - Hra s 22 matematickými kartičkami, které tvoří 11 dvojic. Na jedné kartičce je
zadán příklad, na druhé je výsledek. Princip spočívá v hledání dvojic kartiček, které k sobě
patří. Karty jsou během hry otočené příklady i výsledky dolů, proto je potřeba, aby si každý
hráč jednotlivé karty zapamatoval. Žáci se dohodnou na pořadí, ve kterém budou
vstupovat do
21
hry. Toto pořadí se stále opakuje a zůstává nezměněné po celou dobu hry. Všechny
kartičky se rozloží na hrací plochu příklady dolů tak, aby je nikdo neviděl. Žák, který
je na řadě, otočí dvě libovolné kartičky tak, aby je všichni spoluhráči viděli. V
případě, kdy hráč otočí dvě kartičky, které k sobě pasují, dvojici kartiček si vezme a
pokračuje ve hře. V případě, kdy otočí kartičky, které k sobě nepatří, kartičky si
nevezme, otočí je zpět a pokračuje ve hře další spoluhráč. Hra končí tehdy, když si
hráči rozeberou všechny kartičky. Hru vyhrává ten, kdo získá nejvyšší počet
správných dvojic.
3/5
| - 3/5 |
|a|
|-a|
2x - | 4x |
- 2x
√3
|-√3|
|b|
√ b2
2x + | - 2x |
4x
c
|c|
|a|.|b|
| ab |
2x - | - 3x |
-x
3/8
| 3/8 |
| a |: | b |
|a / b |
kartičky s příklady mají jinou barvu než kartičky s výsledky pro lepší a snadnější orientaci.
22
PROCENTA
planeta Mars
Procenta - značí se %.
Procenta většinou popisují poměr – nebo přesněji kolik procent mají různé zastoupené
složky nebo o kolik procent se změnil stav.
Slovem procento (%) označujeme 1/100 z libovolného celku. Tomuto celku říkáme základ
a značíme jej z.
Části daného celku říkáme část a značíme jej č.
č = ( z: 100 ) . p
nebo - li
č= z.p
100
p = č: ( z: 100 )
nebo – li
p = č . 100
z
z = ( č: p ) . 100
nebo – li
z = č . 100
p
Matematické hry:
Poskládej - Hra s 24 dělenými kartami. Dělené karty jsou promíchané a
účelem je tyto karty správně složit. Na jedné kartě je zadaný příklad a na
druhé kartě je výsledek. Hra je časově omezena. Vyhrává ta skupina, která
správně poskládá dělené karty a má nejrychlejší čas.
−
8% ze 167
4% je 600
7%
25%
145% ze 134,6
45% je 90
16%
2%
30% ze 30
4 z 25
15 000
200
0,1% z 200
2 ze 100
195,17
13,36
13% je 39
28 ze 400
0,2
9
0,2% je 5
100 ze 400
2 500
300
dělené karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě
výsledky.
23
SPRÁVNÉ VÝSLEDKY:
8% ze 167
13,36
4% je 600
15 000
145% ze 134,6
195,17
45% je 90
200
30% ze 30
9
4 z 25
16%
0,1% z 200
0,2
2 ze 100
2%
13% je 39
300
28 ze 400
7%
0,2% je 5
2 500
100 ze 400
25%
• Čísla - Žáci dostávají různé matematické úlohy, jejich výsledkem je skládání čísel či
vzorců z jednotlivých číslic či písmen.
č
č
č
:
p
9 z 10
z
z
z
:
základ
8% je 10
p
p
p
:
Procentová část
30
100
100
100
z
procenta
125
=
=
=
č
20% ze 150
90%
Z daných kartiček poskládejte správné vzorce, přiřaďte dané příklady, které k nim patří a
dopočítejte.
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
Procenta = p
P = (č . 100): z
9 z 10
90%
Procentová část = č
Č = (z . p): 100
20% ze 150
30
Základ = z
Z = (č . 100): p
8% je 10
125
• Matematika - Žák dostane řešit jednotlivé příklady, které musí dopočítat.
• Podnik má 50 zaměstanců, z toho 58% mužů, ostatní jsou ženy. Kolik je v něm
zaměstnáno mužů a kolik žen?
• Za tři roky klesla cena stroje následkem opotřebení:
a) o 4 500 Kč
b) na 4 500 Kč
24
a činila pak 90% ceny původní. Jaká byla původní cena?
• Původní cena přístroje byla 20 000 Kč a po inovaci vzrostla o 15%. Po jisté době přístroj
poněkud zastaral a tato nová cena o 15% poklesla. Určete cenu přísroje po zlevnění.
• Připravte 8% roztok NaCl (sůl) ve vodě. Hmotnost roztoku má být 1,5 kg. Kolik gramů
NaCl potřebuješ?
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
6) 34 mužů, 16 žen
7) a) 45 000 Kč
b) 5 000 Kč
8) 19 550 Kč
9) 120 g
Pexeso - Hra s 22 matematickými kartičkami, které tvoří 11 dvojic. Na jedné
kartičce je zadán příklad, na druhé je výsledek. Princip spočívá v hledání dvojic
kartiček, které k sobě patří. Karty jsou během hry otočené příklady i výsledky dolů,
proto je potřeba, aby si každý hráč jednotlivé karty zapamatoval. Žáci se dohodnou
na pořadí, ve kterém budou vstupovat do hry. Toto pořadí se stále opakuje a
zůstává nezměněné po celou dobu hry. Všechny kartičky se rozloží na hrací plochu
příklady dolů tak, aby je nikdo neviděl. Žák, který je na řadě, otočí dvě libovolné
kartičky tak, aby je všichni spoluhráči viděli. V případě, kdy hráč otočí dvě kartičky,
které k sobě pasují, dvojici kartiček si vezme a pokračuje ve hře. V případě, kdy
otočí kartičky, které k sobě nepatří, kartičky si nevezme, otočí je zpět a pokračuje ve
hře další spoluhráč. Hra končí tehdy, když si hráči rozeberou všechny kartičky. Hru
vyhrává ten, kdo získá nejvyšší počet správných dvojic.
%
procento
7%
7/100
p
(č . 100) / z
100%
1
25%
1/4
z
(č . 100) / p
10%
1/10
80%
4/5
č
(z . p) / 100
20%
1/5
36%
9/25
kartičky s příklady mají jinou barvu než kartičky s výsledky pro lepší a snadnější orientaci.
25
MOCNINY A ODMOCNINY
planeta Saturn
Umocňování je matematická funkce, která slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo
toho, abychom psali a . a , napíšeme a2.
Druhá mocnina čísla je vlastně obsah čtverce se stranou dlouhou jako dané číslo.
Zápis:
82
čteme: osm na druhou
základ mocniny (mocněnec)
mocnitel (exponent)
Výpočet:82 = 8 * 8 83 = 8 * 8 * 8
Mocnina součinu:
( a * b )2 = a2 * b2
př. ( 5 * 3)2 = 52 * 32 = 25 * 9
pozor neplatí pro součet: ( 5 + 3)2 = 52 + 32 ale = 82
Mocnina zlomku:
Pozor na zápis:
a
an
( )n = n
b
b
1 2 12 1
př. ( ) = 2 =
3
9
3
- 22 = - (2 * 2) = - 4 (- 2 )2 = (- 2) * (- 2) = 4
Druhá mocnina záporného čísla je vždy kladná !!!
Odmocňování – opačné početní operace k umocnění – odmocnina je výsledkem této
operace
n – tá odmocnina z a , označovaná jako , je definována jako objekt b, pro který platí
bn = a
25 - čteme odmocnina z čísla 25 a výsledek je 5, protože obráceně 52 = 25
Symbol
se nazývá odmocnítko, číslo pod odmocnítkem je základ odmocniny
(odmocněnec)
Pozor: odmocnit lze pouze kladné číslo nebo nulu !!!
Pro součin platí:
25 * 16 = 25 * 16 = 5 * 4 = 20
26
Odmocnina zlomku:
9
9
3
=
=
16
16 4
Matematické hry:
Poskládej - Hra s 24 dělenými kartami. Dělené karty jsou promíchané a
účelem je tyto karty správně složit. Na jedné kartě je zadaný příklad a na
druhé kartě je výsledek. Hra je časově omezena. Vyhrává ta skupina, která
správně poskládá dělené karty a má nejrychlejší čas.
-1
(2-|-3|)3/52
2/3
9/16
(√2 +√3).√2
2+√6
2
4 3 / 16
√8:√2
4
4/3
( 1/π ) - 2
[| ( - 3 ) 3 | / 2 5 ] . [ ( - 2 ) 3 / 3 ]
- 9/4
½
√ 10/4 : √ 9/10
3/2
10
( 4/3 )
-2
2
( 3/2 ) . ( 2/3 )
( 3/4 )
−
3
-1
√ 2 . √ 50
π
2
- 1/25
dělené karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě
výsledky.
SPRÁVNÉ VÝSLEDKY:
2 -1
½
(2-|-3|)3/52
- 1/25
( 4/3 ) - 2
9/16
(√2 +√3).√2
2+√6
4 3 / 16
4
( 1/π )
-2
2
( 3/2 ) . ( 2/3 )
( 3/4 )
-1
π
3
√8:√2
2
3
5
2
3
[| ( - 3 ) | / 2 ] . [ ( - 2 ) / 3 ]
- 9/4
2/3
√ 10/4 : √ 9/10
3/2
4/3
√ 2 . √ 50
10
Čísla - Žáci dostávají různé matematické úlohy, jejich výsledkem je skládání
čísel či vzorců z jednotlivých číslic či písmen.
a0
(a/b)r
a- n
a r/s
ar.as
( S√ a ) n
a r: a s
S
(ar)s
( ab ) r
√ a . S√ b
S
S
√ r√ a
√ a / S√ b
S
√an
1/ an
√a/b
a r-s
ar/br
ar.br
S
S
√ ab
S
√ar
S.r
√a
a r+s
a rs
1
27
Z daných kartiček poskládejte správné vzorce, které k sobě patří.
−
karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě výsledky.
SPRÁVNÉ VÝSLEDKY:
a0
1
(a/b)r
a- n
1/ an
a r/s
S
ar.as
a r+s
( S√ a ) n
S
a r: a s
a r-s
√ a . S√ b
S
r
(a )
s
a
( ab ) r
S
rs
ar.br
S
S
r
√ √a
√ a / S√ b
ar/br
√ar
√an
√ ab
S.r
√a
S
√a/b
Matematika - Žák dostane řešit jednotlivé příklady, které musí dopočítat.
1 . Doplňte mocniny deseti:
a) 1 mm =
m
b) 10 kg =
t
c) 1 m2 =
cm2
d) 0,1 hl =
l
3
dm3
e) 0,1 m =
f) 100 mg =
kg
2. Vyjádřete jako mocninu:
a)
3
√a 2 =
b) 1 / √x =
c) x 2 √x =
d)
3
√a : a 2 =
e)
5
√x 3 √x =
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
1 . Doplňte mocniny deseti:
a) 1 mm =
10 - 3
m
b) 10 kg =
10 - 2
t
c) 1 m2 =
10 4
cm2
28
d) 0,1 hl =
10 l
e) 0,1 m3 =
10 2 dm3
f) 100 mg =
10 - 4 kg
2. Vyjádřete jako mocninu:
a)
3
√a 2 = a 2 / 3
b) 1 / √x = x - 1 / 2
c) x 2 √x = x 5 / 2
d)
3
√a : a 2 = a - 5 / 3
e)
5
√x 3 √x = x 11 / 10
Pexeso - Hra s 22 matematickými kartičkami, které tvoří 11 dvojic. Na jedné
kartičce je zadán příklad, na druhé je výsledek. Princip spočívá v hledání
dvojic kartiček, které k sobě patří. Karty jsou během hry otočené příklady i
výsledky dolů, proto je potřeba, aby si každý hráč jednotlivé karty
zapamatoval. Žáci se dohodnou na pořadí, ve kterém budou vstupovat do
hry. Toto pořadí se stále opakuje a zůstává nezměněné po celou dobu hry.
Všechny kartičky se rozloží na hrací plochu příklady dolů tak, aby je nikdo
neviděl. Žák, který je na řadě, otočí dvě libovolné kartičky tak, aby je všichni
spoluhráči viděli. V případě, kdy hráč otočí dvě kartičky, které k sobě pasují,
dvojici kartiček si vezme a pokračuje ve hře. V případě, kdy otočí kartičky,
které k sobě nepatří, kartičky si nevezme, otočí je zpět a pokračuje ve hře
další spoluhráč. Hra končí tehdy, když si hráči rozeberou všechny kartičky.
Hru vyhrává ten, kdo získá nejvyšší počet správných dvojic.
²
√
√64
√25
mocnitel
√144
odmocnítko
3
8
3
5
√8
√64
13
2
12
a1/2
2
25
4
3
1
2
√a
625
1
169
kartičky s příklady mají jinou barvu než kartičky s výsledky pro lepší a snadnější orientaci.
29
ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
planeta Uran
Výraz je matematický objekt, který může obsahovat čísla, proměnné, znaky početních
operací, závorky, absolutní hodnotu, odmocnítko, zlomkovou čáru.
Výraz však nesmí obsahovat relační znaky: =, ≠ , ≤ , ≥ , < , > .
Algebraický výraz je zápis, který je správně vytvořený z matematických operačních
znaků, čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí.
Neobsahuje-li algebraický výraz odmocniny – nazývá se racionální algebraický výraz.
Obsahuje-li algebraický výraz odmocniny – nazývá se iracionální algebraický výraz.
Podmínky řešitelnosti algebraických výrazů:
• výraz pod odmocninou nesmí být záporný
• jmenovatel lomeného výrazu se nesmí rovnat nule
Mnohočlen (polynom) - je algebraický výraz složený ze členů. Členy jsou od sebe
odděleny znaménky + nebo - .
uspořádání mnohočlenu může být vzestupné nebo sestupné:
sčítání – sečteme koeficienty u členů se stejnými exponenty
odečítání – odstraníme závorky a sečteme koeficienty u členů se stejnými exponenty
násobení – prvním členem druhého polynomu vynásobíme všechny členy prvního
polynomu, to samé praktikujeme druhým členem druhého polynomu
dělení – vydělíme první člen dělence prvním členemdělitele (dostaneme první člen podílu)
- vynásobíme tímto členem dělitele a výsledný polynom odečteme od dělence a
získáme
dělence pro další postup.
rozklady – rozkladem kvadratického trojčlenu v součin kořenových činitelů
30
Matematické hry:
• Poskládej - Hra s 24 dělenými kartami. Dělené karty jsou promíchané a účelem je tyto
karty správně složit. Na jedné kartě je zadaný příklad a na druhé kartě je výsledek.
Hra je časově omezena. Vyhrává ta skupina, která správně poskládá dělené karty a
má nejrychlejší čas.
4x – 7
5 / ( x + 9)
< 5, ∞ )
R {- 9}
5 / ( x + 4)
(x + 5 ) / [( x + 2) . ( x – 6
)]
R
R
√x – 5
√x – 3
( - ∞, - 7/3) U <11/2, ∞
)
< 3, ∞ )
√x 2 + 1
√x 2 - 16
R {- 4}
R {- 5, 7}
(3x – 2 ) / [( x + 5) . ( x – 7
)]
√( 2x – 11) / ( 3x + 7 )
R
R
3x + 4
√( 4x – 1) / (5x + 6 )
( - ∞, - 6/5) U <1/4, ∞
)
R {- 2, 6}
Urči definiční obor výrazu
−
dělené karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě
výsledky.
SPRÁVNÉ VÝSLEDKY:
4x – 7
R
5 / ( x + 9)
R {- 9}
5 / ( x + 4)
R {- 4}
(x + 5 ) / [( x + 2) . ( x – 6
)]
R {- 2, 6}
√x – 5
< 5, ∞ )
√x – 3
< 3, ∞ )
2
√x + 1
R
(3x – 2 ) / [( x + 5) . ( x – 7 R {- 5, 7}
)]
3x + 4
R
2
√x - 16
R
√( 2x – 11) / ( 3x + 7 )
( - ∞, - 7/3) U <11/2, ∞
)
√( 4x – 1) / (5x + 6 )
( - ∞, - 6/5) U <1/4, ∞ )
• Čísla - Žáci dostávají různé matematické úlohy, jejich úkolem je doplnění čísel do
tabulky.
31
Vypočtěte hodnotu výrazu a zapište do tabulky
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
(x – 2 ) / (x + 1)
5/2
4
0
-2
-1/2
0
1/4
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x –3
6
1
-2
-3
-2
1
6
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
(3x – 2 ) / (x + 2)
11
0
-5
-1
1/3
1
7/5
(x – 2 ) / (x + 1)
x
2
x –3
x
(3x – 2 ) / (x + 2)
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
2
• Matematika - Žák dostane řešit jednotlivé příklady, které musí dopočítat.
Zapište výrazem:
a) trojnásobek čísla
b) číslo o pět menší
c) druhá mocnina čísla zvětšeného o čtyři
d) polovina čísla zmenšená o tři
e) součet dvou čísel
f) rozdíl druhé odmocniny čísla a čtyřnásobku čísla
g) čtyřnásobek čísla
32
h) číslo o šest větší
i) třetina čísla zmenšeného o dvě
j) součet druhých mocnin dvou různých čísel
k) druhá odmocnina rozdílu dvou čísel
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
a) 3x
b) x – 5
c) (x + 4) 2
d) x / 2 - 3
e) x + y
f) √x - 4x
g) 4x
h) x + 6
i) x / 3 – 2
j) a 2 + b 2
k) √a - b
Pexeso - Hra s 22 matematickými kartičkami, které tvoří 11 dvojic. Na jedné kartičce je
zadán příklad, na druhé je výsledek. Princip spočívá v hledání dvojic kartiček, které k
sobě patří. Karty jsou během hry otočené příklady i výsledky dolů, proto je potřeba, aby
si každý hráč jednotlivé karty zapamatoval. Žáci se dohodnou na pořadí, ve kterém
budou vstupovat do hry. Toto pořadí se stále opakuje a zůstává nezměněné po celou
dobu hry. Všechny kartičky se rozloží na hrací plochu příklady dolů tak, aby je nikdo
neviděl. Žák, který je na řadě, otočí dvě libovolné kartičky tak, aby je všichni spoluhráči
viděli. V případě, kdy hráč otočí dvě kartičky, které k sobě pasují, dvojici kartiček si
vezme a pokračuje ve hře. V případě, kdy otočí kartičky, které k sobě nepatří, kartičky
si nevezme, otočí je zpět a pokračuje ve hře další spoluhráč. Hra končí tehdy, když si
hráči rozeberou všechny kartičky.
33
Hru vyhrává ten, kdo získá nejvyšší počet správných dvojic.
+.+
+
(a+b)2
a 2 + 2 ab + b 2
(a + b ) . (a – b )
a2 - b2
+.-
-
(a-b)2
a 2 - 2 ab + b 2
výraz bez
odmocniny
Racionální
výraz
-.+
-
(a+b)3
a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + výraz s odmocninou Iracionální
b3
výraz
-.-
+
(a-b)3
a 3 - 3 a 2b + 3 a b 2 b3
kartičky s příklady mají jinou barvu než kartičky s výsledky pro lepší a snadnější orientaci.
LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE
planeta Jupiter
Lineární funkce – vyjádřená ve tvaru y = ax + b , kde a je reálné číslo různé od nuly, b
je libovolné reálné číslo. Grafem je přímka různoběžná s osou x i osou y.
Základní vlastnosti:
a<0
D(f) = ( - ∞ , ∞) , H(f) = ( - ∞ , ∞) , není omezená shora ani zdola. Je klesající.
Nemá max. ani min.
a=0
D(f) = ( - ∞ , ∞) , H(f) = ( - ∞ , ∞) , je sudá (pro b = 0 lichá), je omezená. Je
nerostoucí a neklesající. Má max. a min.
a>0
D(f) = ( - ∞ , ∞) , H(f) = ( - ∞ , ∞), není omezená shora ani zdola. Je rostoucí.
Nemá max. ani min.
Lineární rovnice – každá rovnice, kterou lze upravit na tvar ax + b = 0 , kde a i b jsou
reálná čísla.
Je-li:
a ≠ 0 → má rovnice právě jeden kořen x = - b / a
a = 0 a b = 0 → má rovnice nekonečně mnoho řešení
a = 0 a b ≠ 0 → nemá rovnice řešení
Lineární nerovnice – každá nerovnice ve tvaru:
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
ax + b > 0
ax + b < 0
34
Řešením lineárních nerovnic je interval.
Matematické hry:
Poskládej - Hra s dělenými kartami. Karty jsou promíchané a účelem je tyto
karty správně složit. K danému výrazu přiřaďte vše, co k němu patří.
Lineární rovnice
Lineární nerovnice
Lineární funkce
a<0
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
interval
ax + b = 0
ax + b > 0
ax + b < 0
a≠0
nemá rovnice řešení
a = 0 ,b = 0
má
nekonečně
řešení
rovnice má rovnice
mnoho jeden kořen
a = 0, b ≠ 0
y = ax + b
přímka
není
omezená
shora ani zdola.
Je
klesající.
Nemá max. ani
min.
je sudá (pro b = 0
lichá), je omezená.
Je nerostoucí a
neklesající. Má max.
a min.
není
omezená
shora ani zdola. Je
rostoucí.
Nemá
max. ani min.
právě a = 0
a>0
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
Lineární rovnice
Lineární nerovnice
Lineární funkce
ax + b = 0
ax + b ≥ 0
y = ax + b
a ≠ 0 , má rovnice právě ax + b ≤ 0
jeden kořen
a < 0 , není omezená shora
ani zdola. Je klesající. Nemá
max. ani min.
a = 0 ,b = 0 , má rovnice ax + b > 0
nekonečně mnoho řešení
a = 0 , je sudá (pro b = 0
lichá), je omezená. Je
nerostoucí a neklesající. Má
max. a min.
a = 0, b ≠ 0 , nemá rovnice ax + b < 0
řešení
a > 0 , není omezená shora
ani zdola. Je rostoucí. Nemá
max. ani min.
interval
přímka
35
• Čísla - Žáci dostávají různé matematické úlohy, jejich úkolem je doplnění čísel do
tabulky.
Vypočtěte lineární funkci, doplňte do tabulky pomocí definičního oboru, zakresli graf a urči
vlastnosti dané funkce:
x
y = 3x – 2
D(f) = < - 1 , 2 >
x
y = x/2 + 2
D(f) = < - 3 , 1 >
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
x
-1
0
1
2
y = 3x – 2
-5
-2
1
4
D(f) = < - 1 , 2 >
- není omezená shora ani zdola, je rostoucí, nemá maximum ani minimum.
x
-3
-2
-1
0
1
y = x/2 + 2
0,5
1
1,5
2
2,5
D(f) = < - 3 , 1 >
- není omezená shora ani zdola, je rostoucí, nemá maximum ani minimum.
• Matematika - Žák dostane řešit jednotlivé příklady, které musí dopočítat.
36
Urči kolik má rovnice řešení a proveď zkoušku:
1.
3x – 1 = 1
5
10
2.
4x – 5 = x - ( 1 – x )
2
Zakresli výsledek lineární nerovnice na číselnou osu a urči interval:
1.
4u – 3 + 4u – 9 ≤ 3u – 4
5
6
2
2.
2x + 7 ≥ 0
x+3
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
Lineární rovnice:
1) x = ½ - rovnice má 1 řešení
2) 0x = 3 - rovnice nemá řešení
Lineární nerovnice:
2. - 3 ≤ u - interval < - 3 , ∞ )
3. x ≥ - 7/2 , x > - 3 - interval ( - 3 , ∞ )
x ≤ - 7/2 , x < - 3 - interval ( - ∞ , - 7/2 >
celkový interval - ( - ∞ , - 7/2 > U ( - 3 , ∞ )
• Pexeso - Hra s 22 matematickými kartičkami, které tvoří 11 dvojic. Na jedné kartičce je
zadán příklad, na druhé je výsledek. Princip spočívá v hledání dvojic kartiček, které k
sobě patří. Karty jsou během hry otočené příklady i výsledky dolů, proto je potřeba, aby
si každý hráč jednotlivé karty zapamatoval. Žáci se dohodnou na pořadí, ve kterém
budou vstupovat do hry. Toto pořadí se stále opakuje a zůstává nezměněné po celou
dobu hry. Všechny kartičky se rozloží na hrací plochu příklady dolů tak, aby je nikdo
neviděl. Žák, který je na řadě, otočí dvě libovolné kartičky tak, aby je všichni spoluhráči
viděli. V případě, kdy hráč otočí dvě kartičky, které k sobě pasují, dvojici kartiček si
vezme a pokračuje ve hře. V případě, kdy otočí kartičky, které k sobě nepatří, kartičky si
37
nevezme, otočí je zpět a pokračuje ve hře další spoluhráč. Hra končí tehdy, když si hráči
rozeberou všechny kartičky. Hru vyhrává ten, kdo získá nejvyšší počet správných dvojic.
Definiční obor
D(f)
Konstantní
přímka
Konstantní funkce
Obor hodnot
H(f)
Lineární rovnice
ax + b = 0 Řešením nerovnice Interval
je
Rostoucí
přímka
Lineární funkce
y = ax + b
Klesající
přímka
Lineární
nerovnice
ax + b > 0
Grafem funkce je
y=b
Přímka
kartičky s příklady mají jinou barvu než kartičky s výsledky pro lepší a snadnější orientaci.
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC A NEROVNIC
planeta Venuše
Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých – dvojice lineárních rovnic se
dvěma neznámými, které spolu souvisejí. Řešením soustavy nazýváme takovou
uspořádanou dvojici čísel [x,y], která po dosazení do původní soustavy za příslušné
proměnné určí platné rovnosti.
Metody řešení:
4) srovnávací (komparační) – z obou rovnic vyjádříme stejnou neznámou. Získáme tak
rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme. Kořen této rovnice dosadíme zpět do jedné
z daných rovnic a vypočteme druhý kořen rovnice.
5) sčítací (adiční) – jednu nebo obě rovnice vynásobíme vhodnými čísly (různými od
nuly) tak, aby sečtením obou rovnic vznikla rovnice jen o jedné neznámé.
6) dosazovací (substituční) – z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a takto
získaný výraz dosadíme do druhé rovnice soustavy. Dostaneme rovnici o jedné
neznámé, kterou řešíme. Kořen této rovnice dosadíme zpět do jedné z daných rovnic a
vypočteme druhý kořen rovnice.
7) můžeme využít i grafické řešení
8)
38
Obecný zápis soustavy:
ax + by = c
dx + ey = f
(a, b, c, d, e, f jsou libovolná reálná čísla, x, y jsou neznámé)
Soustavy lineárních nerovnic – řešíme tak, že každou nerovnici vyřešíme samostatně, tj.
určíme jejich obory pravdivosti, a celkové řešení, tj. výsledný obor pravdivosti, získáme
jako jejich průnik. Řešení pomocí intervalů.
Matematické hry:
Poskládej - Hra s dělenými kartami. Karty jsou promíchané a účelem je tyto
karty správně složit. K danému výrazu přiřaďte vše, co k němu patří.
Metoda dosazovací
Komparační metoda
x + 2y = 6
3x – y = 4
Metoda srovnávací
Adiční metoda
x+y=3
2x + y = 10
Metoda sčítací
Substituční metoda
y=5–x
y = 2x – 1
Metoda sčítací
Adiční metoda
x + 2y = 6
3x – y = 4
Metoda dosazovací
Substituční metoda
x+y=3
2x + y = 10
Metoda srovnávací
Komparační metoda
y=5–x
y = 2x – 1
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
Matematika - Žák dostane řešit jednotlivé příklady, které musí dopočítat.
Vypočítej soustavu lineárních rovnic všemi metodami:
3x + 2y = 8
x – 5y = - 3
39
Vypočítej soustavu lineárních nerovnic, zakresli na číselnou osu a urči celkový interval.
7 – x - 3 < 3 + 4x - 4
2
5
5x + 5(4 – x) < 2(4 - x)
3
3( - x + 2) ≥ x – 1
3 < 2x + 1
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
Soustava lineárních rovnic: u všech metod
x=2, y=1
Soustava lineárních nerovnic:
7. interval ( 9 , ∞)
8. interval ( 1 , 7/4 >
Křížovka - Žák vyplní tabulku pomocí matematických pojmů a zjistí tajenku:
1. Komparační metoda se nazývá metodou....
2. Soustavy lineárních nerovnic se řeší pomocí ...
3. Sčítací metoda se také nazývá metodou....
40
4. Dosazovací metodě se také říká metoda ….
5. Posledním krokem soustavy lineárních rovnic je ...
6. Výsledek soustavy lineárních nerovnic se zakresluje na osu, která se nazývá ...
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
a
z
s
r
o
V
n
á
v
a
i
n
t
E
r
v
a
l
d
i
č
N
í
s
U
b
s
t
i
k
o
u
Š
k
a
č
í
s
E
l
n
c
í
t
u
č
n
í
á
LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
planeta Pluto
Lineární funkce s absolutní hodnotou – takové funkce, které mají v předpisu funkce
jednu nebo více absolutních hodnot, ve kterých jsou výrazy s proměnnou.
Lineární rovnice s absolutní hodnotou – metoda, kterou užíváme při řešení se nazývá
metoda intervalů. Tyto intervaly vyplývají z tzv. nulových bodů. Nulové body získáme tak,
že výrazy v absolutních hodnotách, které se v rovnici vyskytují, pokládáme rovny nule.
Provedeme dílčí řešení pro každý interval, v němž nahrazujeme absolutní hodnoty výrazy
bez absolutních hodnot, a to s ohledem na definici absolutní hodnoty. Dostaneme tak tolik
dílčích oborů pravdivosti, kolik je počet intervalů. Konečný obor pravdivosti získáme
sjednocením dílčích oborů pravdivosti.
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou – postupujeme podobně jako u lineárních
rovnic s absolutní hodnotou. Rozdíl je pouze v tom, že nezjišťujeme, zda kořen patří do
dané části definičního oboru, ale zjišťujeme průnik řešení a dané části definičního oboru.
Matematické hry:
• Čísla - Žáci dostávají různé matematické úlohy, jejich úkolem je doplnění čísel do
tabulky.
41
Urči nulový bod a daný interval. Urči, pro který interval se hodnoty v absolutní hodnotě
mění a kde zůstávají stejné.
Příklad
Nulový bod
Interval
|x - 1|
|x|
|2x - 1|
|2x – 7| + |x - 2|
|x – 2| + |x|
|x| - 2 |x + 1| + 3 |x + 2|
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
Příklad
Nulový bod
Interval
|x - 1|
x=1
( - ∞ , 1) , <1 , ∞)
|x|
x=0
( - ∞ , 0) , <0 , ∞)
|2x - 1|
x = 1/2
( - ∞ , 1/2) , <1/2 , ∞)
|2x – 7| + |x - 2|
x = 7/2 , x = 2
( - ∞ , 2) , <2 , 7/2) , <7/2 , ∞)
|x – 2| + |x|
x=2,x=0
( - ∞ , 0) , <0 , 2) , <2 , ∞)
|x| - 2 |x + 1| + 3 |x + 2|
x=0,x=-1,x=-2
( - ∞ , - 2) , <- 2 , - 1) , <- 1 , 0) , <0 ,
∞)
Poskládej - Hra s dělenými kartami. Karty jsou promíchané a účelem je tyto
karty správně složit. K danému výrazu přiřaďte postupně jednotlivé kroky, jak
postupujete při řešení.
Nerovnice s AH
Graf
Nulové body
Nulové body
Nulové body
Rovnice s AH
Zkouška
Intervaly
Intervaly
Intervaly
Funkce s AH
Číselná osa
Výpočet
Výpočet
Výpočet
Doplň:
1 absolutní hodnota má …........... nulových bodů a ….......... intervaly.
2 absolutní hodnoty mají …........... nulových bodů a ….......... intervaly.
5 absolutních hodnot má …........... nulových bodů a ….......... intervaly.
42
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
Rovnice s AH
Nerovnice s AH
Funkce s AH
Nulové body
Nulové body
Nulové body
intervaly
intervaly
intervaly
Výpočet
Výpočet
Výpočet
Zkouška
Číselná osa
Graf
1 absolutní hodnota má 1 nulových bodů a 2 intervaly.
2 absolutní hodnoty mají 2 nulových bodů a 3 intervaly.
5 absolutních hodnot má 5 nulových bodů a 6 intervaly.
Matematika - Žák dostane řešit jednotlivé příklady, které musí dopočítat.
Vypočítej lineární funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou a správně urči, kde
udělat zkoušku, graf či číselnou osu a proveď.
|3x + 1| + |x| = 1
|x – 1| ≤ |x - 3|
y = |x + 1| - |x - 1|
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
5. x Є ( - ∞ , - 1/3 ) → x = - ½
x Є < - 1/3 , 0 ) → x = 0
xЄ<0,∞)
→ x=0
6. x Є ( - ∞ , 1 ) → 0x ≤ 2 → ( - ∞ , 1 )
xЄ<1,3) → x≤ 2
→ < 1, 2 >
x Є < 3 , ∞ ) → 0x ≤ - 2 → Ø
→(-∞,2>
4. x Є ( - ∞ , - 1 ) → y = - 2
x Є < - 1 , 1 ) → y = 2x
xЄ<-1,∞) → y=2
43
SHODNÁ ZOBRAZENÍ – KONSTRUKČNÍ ÚLOHY
planeta Neptun
Shodné zobrazení (shodnost) v rovině je každé zobrazení v rovině, které má tu
vlastnost, že pro libovolné body A, B této roviny a jejich obrazy A´ , B´ platí: |AB| = |A´B´|
Klasifikace shodnosti:
•
•
•
•
Identita – zobrazení, ve kterém se každý bod zobrazí sám do sebe
Středová souměrnost – zobrazení v rovině, v němž každý její bod X se pomocí
daného bodu S (střed), ležícího v této rovině zobrazí na svůj obraz X´
Osová souměrnost – zobrazení v rovině, v němž každý její bod X je pomocí dané
přímky o (osa) ležící v této rovině zobrazen na svůj obraz X´
Posunutí – je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které
každému X přiřadí X´ takové, že orientované úsečky XX´ a AB mají stejnou délku i
směr.
Matematické hry:
• Matematika - Žák dostane řešit jednotlivé příklady, které musí narýsovat.
• Sestroj trojúhelník ABC (c = 7 cm, a = 6 cm, b = 5 cm). K němu sestrojte trojúhelník
souměrně sdružený podle osy „o“, která prochází vrcholem B a se stranou BC svírá
úhel o velikosti 30 0 a leží vně trojúhelníku.
• Narýsujte mříž, která je složena ze 2 obdélníků a 1 čtverce, kde nad jejich stranami CD
je vně sestrojen půlkruh. K takto vzniklému obrazci sestroj jeho obraz podle osové
souměrnosti. Všechny obrazce jsou na sebe napojené. Osa prochází body CD čtverce.
Obdélník ABCD - a = 3 cm, b = 5 cm
Obdélník ABCD - a = 3 cm, b = 4 cm
Čtverec ABCD - a = 3 cm
• Je dán trojúhelník ABC (c = 7 cm, a = 6 cm, b = 4 cm).Sestrojte k němu trojúhelník
A´B´C´ souměrně sdružený podle středu S, který leží ve vzdálenosti: BS = 3 cm, CS =
5 cm.
• Je dán trojúhelník ABC (c = 8 cm, a = 9 cm, b = 6 cm) a uvnitř něho je dán bod S.
Sestrojte trojúhelník A´B´C´ , který je podle středu S souměrně sdružený s
trojúhelníkem ABC.
• Je dán obdélník ABCD a nad jeho stranou CD jako nad průměrem je vně obdélníku
sestrojen půlkruh. K takto vzniklému obrazci sestrojte obrazec souměrně sdružený
podle středu S. Volte AB = 64 mm, BC = 80 mm, BS = 70 mm, CS = 30 mm a střed S
je vně obrazce.
• Narýsuj trojúhelník ABC, kde strana c = 5 cm, úhel α = 600 , strana b = 6 cm. Nad
stranou AB sestrojte čtverec ABCD. Vytvořte jeho obrazec:
a) v osové souměrnosti (osa DC čtverce)
b) ve středové souměrnosti (střed v bodě D čtverce)
c) posunutí, kde bod D → C daného čtverce
44
• Křížovka - Žák vyplní tabulku pomocí matematických pojmů a zjistí tajenku:
1.
Jak se nazývá obrazec, jehož obvod a obsah je: o = 4a , S = a2
2. zapiš pojem, který se označuje písmeny řecké abecedy (α, β …) a existuje jako
tupý, ostrý, pravý
3. malými písmeny latinské abecedy se značí na každém obrazci
4. každá kružnice (obrazec) má svůj …. (označuje se S)
5. znázorňuje se rovnou čarou, je podmnožinou prostoru, označuje se malými
písmeny latinské abecedy (a, p, q, r)
6. k přesnému rýsování potřebujeme …
7. část přímky mezi dvěma body je ..
8. existuje osová a středová …
9. v kružnici se písmenkem „d“ označuje
10. k narýsování kružnice potřebujeme ..
11. jak se nazývá množina všech bodů v rovině, které mají od pevného bodu S
konstantní vzdálenost r > 0
12. Jak se nazývá obrazec, jehož obvod a obsah je: o = a + b + c , S = z . v
2
13. v kružnici se písmenkem „r“ označuje
45
SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ:
č
t
p
v
ř
e
í
r
e
C
ú
h
E
l
S
t
r
a
n
s
T
t
ř
e
d
k
A
o
m
a
x
p
k
t
r
r
a
V
í
t
k
ú
s
E
č
k
a
S
o
u
m
ě
r
n
c
e
p
r
ů
M
ě
r
r
u
ž
Í
t
k
o
k
R
u
ž
n
i
í
k
o
j
ú
h
E
l
n
p
o
l
o
M
ě
r
o
s
t
46
MATEMATICKÁ CESTA VESMÍREM
ROZŘAZOVACÍ TEST
Otázka 1.1.
…............... ZAR
Otázka 1.2.
…............... SGD
Otázka 2.
Otázka 3.
Otázka 4.
Nejnižší cena …............
Nejvyšší cena …............
Otázka 5.
Otázka 6.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Otázka 7.
Otázka 8.
10%
20%
25%
50%
2
Otázka 9.
Auto
Hodnocení
Pořadí
Otázka 10.
Otázka 11.1.
postup výpočtu :
Otázka 11.2.
postup výpočtu :
Otázka 12.
Otázka 13.
Útvar
Vyhovuje požadavku
I.
Ano / Ne
II.
Ano / Ne
III.
Ano / Ne
IV.
Ano / Ne
Otázka 14.
3
ABSOLUTNÍ HODNOTA
planeta Merkur
Matematické hry :
•
Poskládej
−
dělené karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě výsledky.
−
Úkolem je správně tyto karty přiřadit k sobě.
-5-|2|=
17,2 - | - 32,6 | + | - 15,4 + 7,8 | =
0
1
| 8 – 10 | - | 3 – 9 | =
12,4 + | - 2,3 . ( - 13,5 ) | =
12
-1
| - 3 - | 5 – 8 || =
| 26,5 – 63,2 . 0,6 + ( - 7 ) . 3,1 + 22,3 | =
2
1
| - 3 - ( - 1) | =
| - 2 + | - 3 || =
6
43,45
15 - | 4 – 7 | =
| - 5 + ( - 2 ) | 2 – 3 || - 8 =
-4
- 7,8
|-|2–3|+1|=
| 2 - | 3 | + 4 | - 2 || - | 3 . ( - 2 ) | =
-7
10,82
•
Čísla
Slož příklady, které ti budou nadiktovány pomocí kartiček a výsledek zakresli na číselnou osu.
Na číselné ose znázorni všechna reálná čísla, pro něž daný příklad platí.
0
5
<
+
=
1
3
<
-
<
2
3
>
x
<
3
3
≤
|
≤
4
1
≥
|
≤
x
x
-
+
≤
x
x
x
x
x
x
3
1
|
|
x
5
1
|
|
|
|
|
|
|
4
•
Matematika
Do výrazu | x + 3 | dosaď za „x“ postupně čísla { - 7, - 4 , - 3 , - 2 , 0, 1 }. Na základě výsledků
stanov pravidlo, pro která čísla dosazená za „x“ mění absolutní hodnota znaménko výrazu uvnitř.
K sestavení příkladu i výpočtu použij všechny kartičky.
-7
-1
-2
3
x
+ 3
1
+ 3
3
+
-4
-3
1
1
+ 3
4
+ 3
1
|
4
-4
0
0
|
4
+ 3
0
+ 3
=
Změna znaménka
Stejné znaménko
Změna znaménka
Stejné znaménko
Stejné znaménko
Stejné znaménko
•
Pexeso
− kartičky s příklady mají jinou barvu než kartičky s výsledky pro lepší a snadnější orientaci.
− Správně k sobě vyber části, které k sobě patří
3/5
| - 3/5 |
|a|
|-a|
2
√3
|-√3|
|b|
√b
c
|c|
|a|.|b|
| ab |
3/8
| 3/8 |
|a|:|b|
|a / b |
2x - | 4x |
- 2x
2x + | - 2x |
4x
2x - | - 3x |
-x
5
PROCENTA
planeta Mars
Matematické hry :
•
Poskládej
−
dělené karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě výsledky.
−
Úkolem je správně tyto karty přiřadit k sobě.
8% ze 167
4% je 600
7%
25%
145% ze 134,6
45% je 90
16%
2%
30% ze 30
4 z 25
15 000
200
0,1% z 200
2 ze 100
195,17
13,36
13% je 39
28 ze 400
0,2
9
0,2% je 5
100 ze 400
2 500
300
•
Čísla
Z daných kartiček poskládejte správné vzorce, přiřaďte dané příklady, které k nim patří a
dopočítejte.
č
č
č
:
p
9 z 10
z
z
z
:
základ
8% je 10
p
p
p
:
Procentová část
30
100
100
100
z
procenta
125
=
=
=
č
20% ze 150
90%
•
Matematika
Vypočítejte dané slovní úlohy
1. Podnik má 50 zaměstanců, z toho 58% mužů, ostatní jsou ženy. Kolik je v něm zaměstnáno
mužů a kolik žen?
6
2. Za tři roky klesla cena stroje následkem opotřebení :
a) o 4 500 Kč
b) na 4 500 Kč
a činila pak 90% ceny původní. Jaká byla původní cena?
3. Původní cena přístroje byla 20 000 Kč a po inovaci vzrostla o 15%. Po jisté době přístroj
poněkud zastaral a tato nová cena o 15% poklesla. Určete cenu přísroje po zlevnění.
4. Připravte 8% roztok NaCl (sůl) ve vodě. Hmotnost roztoku má být 1,5 kg. Kolik gramů
NaCl potřebuješ?
•
Pexeso
− kartičky s příklady mají jinou barvu než kartičky s výsledky pro lepší a snadnější orientaci.
− Správně k sobě vyber části, které k sobě patří.
%
procento
7%
7/100
p
(č . 100) / z
100%
1
25%
1/4
z
(č . 100) / p
10%
1/10
80%
4/5
č
(z . p) / 100
20%
1/5
36%
9/25
7
MOCNINY A ODMOCNINY
planeta Saturn
Matematické hry :
•
Poskládej
−
dělené karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě výsledky.
−
Úkolem je správně tyto karty přiřadit k sobě
2 -1
(2-|-3|)3/52
2/3
9/16
(√2 +√3).√2
2+√6
2
4 3 / 16
√8 :√2
4
4/3
( 1/π ) - 2
[| ( - 3 ) 3 | / 2 5 ] . [ ( - 2 ) 3 / 3 ]
- 9/4
½
( 3/2 ) 2 . ( 2/3 ) 3
√ 10/4 : √ 9/10
3/2
10
( 3/4 ) - 1
√ 2 . √ 50
π2
- 1/25
( 4/3 )
•
-2
Čísla
−
karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě výsledky.
−
Z daných kartiček poskládejte správné vzorce, které k sobě patří.
a0
(a/b)r
a- n
a r/s
ar.as
( S√ a ) n
ar:as
S
√ a . S√ b
(ar)s
( ab ) r
S
√ r√ a
S
√ a / S√ b
S
√an
1/ an
√a/b
a r-s
ar/br
ar.br
S
S
√ ab
S
√ar
S.r
√a
a r+s
a rs
1
8
•
Matematika
1 . Doplňte mocniny deseti :
a) 1 mm =
m
b) 10 kg =
t
c) 1 m2 =
cm2
d) 0,1 hl =
l
e) 0,1 m3 =
dm3
f) 100 mg =
kg
2. Vyjádřete jako mocninu :
a)
3
√a 2 =
b) 1 / √x =
c) x 2 √x =
d)
3
√a : a 2 =
e)
5
√x 3 √x =
•
Pexeso
− kartičky s příklady mají jinou barvu než kartičky s výsledky pro lepší a snadnější orientaci.
− Správně k sobě vyber části, které k sobě patří.
²
√
√64
√25
mocnitel
√144
odmocnítko
3
8
3
5
√8
√64
13
2
12
a1/2
2
25
4
3
1
2
√a
625
1
169
9
ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
planeta Uran
Matematické hry :
•
Poskládej
−
dělené karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě výsledky.
−
Urči definiční obor výrazu
4x – 7
5 / ( x + 9)
< 5, ∞ )
R {- 9}
5 / ( x + 4)
(x + 5 ) / [( x + 2) . ( x – 6 )]
R
R
√x – 5
√x – 3
( - ∞, - 7/3) U <11/2, ∞ )
< 3, ∞ )
2
√x + 1
√x - 16
R {- 4}
R {- 5, 7}
(3x – 2 ) / [( x + 5) . ( x – 7 )]
√( 2x – 11) / ( 3x + 7 )
R
R
3x + 4
√( 4x – 1) / (5x + 6 )
( - ∞, - 6/5) U <1/4, ∞ )
R {- 2, 6}
•
2
Čísla
Vypočtěte hodnotu výrazu a zapište do tabulky
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
(x – 2 ) / (x + 1)
x
2
x –3
x
(3x – 2 ) / (x + 2)
•
Matematika
Zapište výrazem :
a) trojnásobek čísla
b) číslo o pět menší
c) druhá mocnina čísla zvětšeného o čtyři
d) polovina čísla zmenšená o tři
10
e) součet dvou čísel
f) rozdíl druhé odmocniny čísla a čtyřnásobku čísla
g) čtyřnásobek čísla
h) číslo o šest větší
i) třetina čísla zmenšeného o dvě
j) součet druhých mocnin dvou různých čísel
k) druhá odmocnina rozdílu dvou čísel
•
Pexeso
− kartičky s příklady mají jinou barvu než kartičky s výsledky pro lepší a snadnější orientaci.
− Správně k sobě vyber části, které k sobě patří.
+.+
+
(a+b)2
a 2 + 2 ab + b 2
+.-
-
(a-b)2
a 2 - 2 ab + b 2
3
-.+
-
(a+b)
-.-
+
(a-b)3
a
3
2
+3a b+3ab
(a + b ) . (a – b )
a2 - b2
výraz bez odmocniny Racionální výraz
2
+b
3
výraz s odmocninou
Iracionální výraz
a 3 - 3 a 2b + 3 a b 2 - b 3
11
LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE
planeta Jupiter
Matematické hry :
•
Poskládej
−
dělené karty mají odlišné barvy – v jedné barvě jsou zadané příklady, v druhé barvě výsledky.
−
K danému výrazu přiřaď vše, co k němu patří
Lineární rovnice
Lineární nerovnice
Lineární funkce
a<0
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
interval
ax + b = 0
ax + b > 0
ax + b < 0
a≠0
nemá rovnice řešení
a = 0 ,b = 0
má rovnice nekonečně má rovnice
mnoho řešení
jeden kořen
a = 0, b ≠ 0
y = ax + b
není omezená shora
ani
zdola.
Je
klesající.
Nemá
max. ani min.
je sudá (pro b = 0 není omezená shora
lichá), je omezená. Je ani zdola. Je rostoucí.
nerostoucí
a Nemá max. ani min.
neklesající. Má max. a
min.
•
právě a = 0
přímka
a>0
Čísla
Vypočtěte lineární funkci, doplňte do tabulky pomocí definičního oboru, zakresli graf a urči
vlastnosti dané funkce:
x
y = 3x – 2
D(f) = < - 1 , 2 >
x
y = x/2 + 2
D(f) = < - 3 , 1 >
12
•
Matematika
Urči kolik má rovnice řešení a proveď zkoušku :
1.
3x – 1 = 1
5
10
2.
4x – 5 = x - ( 1 – x )
2
Zakresli výsledek lineární nerovnice na číselnou osu a urči interval :
1.
4u – 3 + 4u – 9 ≤ 3u – 4
5
6
2
2.
2x + 7 ≥ 0
x+3
•
Pexeso
− kartičky s příklady mají jinou barvu než kartičky s výsledky pro lepší a snadnější orientaci.
− Správně k sobě vyber části, které k sobě patří.
Definiční obor
D(f)
Konstantní přímka
Konstantní funkce
y=b
Obor hodnot
H(f)
Lineární rovnice
ax + b = 0
Řešením nerovnice je Interval
Rostoucí přímka
Lineární funkce
y = ax + b
Grafem funkce je
Klesající přímka
Lineární nerovnice ax + b > 0
Přímka
13
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC A NEROVNIC
planeta Venuše
Matematické hry :
•
Poskládej
Karty jsou promíchané a účelem je tyto karty správně složit. K danému výrazu přiřaďte vše, co k
němu patří.
Metoda dosazovací
Komparační metoda
x + 2y = 6
3x – y = 4
Metoda srovnávací
Adiční metoda
x+y=3
2x + y = 10
Metoda sčítací
Substituční metoda
y=5–x
y = 2x – 1
•
Matematika
Vypočítej soustavu lineárních rovnic všemi metodami :
3x + 2y = 8
x – 5y = - 3
Vypočítej soustavu lineárních nerovnic, zakresli na číselnou osu a urči celkový interval.
1.
7 – x - 3 < 3 + 4x - 4
2
5
5x + 5(4 – x) < 2(4 - x)
3
2.
3( - x + 2) ≥ x – 1
3 < 2x + 1
14
•
Křížovka
Pomocí matematických pojmů doplň křížovku a zjisti tajenku.
1. Komparační metoda se nazývá metodou....
2. Soustavy lineárních nerovnic se řeší pomocí ...
3. Sčítací metoda se také nazývá metodou....
4. Dosazovací metodě se také říká metoda ….
5. Posledním krokem soustavy lineárních rovnic je ...
6. Výsledek soustavy lineárních nerovnic se zakresluje na osu, která se nazývá ...
15
LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
planeta Pluto
Matematické hry :
•
Čísla
Urči nulový bod a daný interval. Urči, pro který interval se hodnoty v absolutní hodnotě mění a kde
zůstávají stejné.
Příklad
Nulový bod
Interval
|x - 1|
|x|
|2x - 1|
|2x – 7| + |x - 2|
|x – 2| + |x|
|x| - 2 |x + 1| + 3 |x + 2|
•
Poskládej
K danému výrazu přiřaďte postupně jednotlivé kroky, jak postupujete při řešení.
Nerovnice s AH
Graf
Nulové body
Nulové body
Nulové body
Rovnice s AH
Zkouška
Intervaly
Intervaly
Intervaly
Funkce s AH
Číselná osa
Výpočet
Výpočet
Výpočet
Doplň :
1 absolutní hodnota má …........... nulových bodů a ….......... intervaly.
2 absolutní hodnoty mají …........... nulových bodů a ….......... intervaly.
5 absolutních hodnot má …........... nulových bodů a ….......... intervaly.
•
Matematika
Vypočítej lineární funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou a správně urči, kde udělat
zkoušku, graf či číselnou osu a proveď.
1.
|3x + 1| + |x| = 1
2.
|x – 1| ≤ |x - 3|
16
3.
y = |x + 1| - |x - 1|
SHODNÁ ZOBRAZENÍ – KONSTRUKČNÍ ÚLOHY
planeta Neptun
Matematické hry :
•
Matematika
Udělej náčrtek a pak přesně narýsuj.
1. Sestroj trojúhelník ABC (c = 7 cm, a = 6 cm, b = 5 cm). K němu sestrojte trojúhelník
souměrně sdružený podle osy „o“, která prochází vrcholem B a se stranou BC svírá úhel o
velikosti 30 0 a leží vně trojúhelníku.
2. Narýsujte mříž, která je složena ze 2 obdélníků a 1 čtverce, kde nad jejich stranami CD je
vně sestrojen půlkruh. K takto vzniklému obrazci sestroj jeho obraz podle osové
souměrnosti. Všechny obrazce jsou na sebe napojené. Osa prochází body CD čtverce.
Obdélník ABCD - a = 3 cm, b = 5 cm
Obdélník ABCD - a = 3 cm, b = 4 cm
Čtverec ABCD - a = 3 cm
3. Je dán trojúhelník ABC (c = 7 cm, a = 6 cm, b = 4 cm).Sestrojte k němu trojúhelník A´B´C´
souměrně sdružený podle středu S, který leží ve vzdálenosti : BS = 3 cm, CS = 5 cm.
4. Je dán trojúhelník ABC (c = 8 cm, a = 9 cm, b = 6 cm) a uvnitř něho je dán bod S. Sestrojte
trojúhelník A´B´C´ , který je podle středu S souměrně sdružený s trojúhelníkem ABC.
5. Je dán obdélník ABCD a nad jeho stranou CD jako nad průměrem je vně obdélníku
sestrojen půlkruh. K takto vzniklému obrazci sestrojte obrazec souměrně sdružený podle
středu S. Volte AB = 64 mm, BC = 80 mm, BS = 70 mm, CS = 30 mm a střed S je vně
obrazce.
6. Narýsuj trojúhelník ABC, kde strana c = 5 cm, úhel α = 600 , strana b = 6 cm. Nad
stranou AB sestrojte čtverec ABCD. Vytvořte jeho obrazec :
a) v osové souměrnosti (osa DC čtverce)
b) ve středové souměrnosti (střed v bodě D čtverce)
c) posunutí, kde bod D → C daného čtverce
17
•
Křížovka
Pomocí matematických pojmů doplň křížovku a zjisti tajenku.
1.
Jak se nazývá obrazec, jehož obvod a obsah je : o = 4a , S = a2
2. zapiš pojem, který se označuje písmeny řecké abecedy (α, β …) a existuje jako tupý, ostrý,
pravý
3. malými písmeny latinské abecedy se značí na každém obrazci
4. každá kružnice (obrazec) má svůj …. (označuje se S)
5. znázorňuje se rovnou čarou, je podmnožinou prostoru, označuje se malými písmeny latinské
abecedy (a, p, q, r)
6. k přesnému rýsování potřebujeme …
7. část přímky mezi dvěma body je ..
8. existuje osová a středová …
9. v kružnici se písmenkem „d“ označuje
10. k narýsování kružnice potřebujeme ..
11. jak se nazývá množina všech bodů v rovině, které mají od pevného bodu S konstantní
vzdálenost r > 0
12. Jak se nazývá obrazec, jehož obvod a obsah je : o = a + b + c , S = z . v
2
13. v kružnici se písmenkem „r“ označuje
18